IMO Shortlish 2000 bản tiếng Việt phần đại số và số học - Bùi Bá Anh

Chia sẻ: Bùi Bá Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:2

Thêm vào BST

Báo xấu

128
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sau đây là bản dịch IMO shortlish 2000 phần đại số và số học giúp thuận tiện cho các bạn ôn thi HSG. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn yêu thích môn Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: IMO Shortlish 2000 bản tiếng Việt phần đại số và số học - Bùi Bá Anh

IMO SHORTLIST 2000 Bùi Bá Anh I.ĐẠI SỐ Câu 1:Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 (a − 1 + )(b − 1 + )(c − 1 + ) ≤ 1 b c a Câu 2: Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện b > 2a và c > 2b. Chứng ming rằng 1 2 tồn tại một số thực t sao cho các số ta, tb, tc có phần lẻ đều thuộc đoạn ( , ] 3 3 Câu 3 Tìm tất cả các hàm f, g : R− > R thỏa mãn: f (x + g(y)) = xf (y) − yf (x) + g(x) với mọi số thực x, y Câu 4 Hàm số f xác định trên tập số tự nhiên, nhận giá trị trên khoảng này thỏa mãn các điều kiện sau với mọi n ≥ 0 i) f (4n) = f (2n) + f (n) ii)f (4n + 2) = f (4n) + 1 iii)f (2n + 1) = f (2n) + 1 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m, số số nguyên n thỏa mãn 0 ≤ n < 2m và f (4n) = f (3n) là f (2m+1 ) Câu 5 Cho n ≥ 2 là một số nguyên dương và t là một số thực dương. Ban đầu có n con bọ nằm trên một đường ngang, không trùng thành 1 điểm. Chọn hai vị trí A, B không trùng nhau, A nằm BC bên trái B, một nước đi là nước cho A nhảy qua B tới một điểm C nào đó thỏa =t AB Xác định tất cả các giá trị của t thỏa mãn, với bất kì điểm M và bất kì vị trí xuất phát nào của n con bọ, luôn tồn tại một số hữu hạn nước đi có thể dời tất cả các điểm về bên phải của M Câu 6 Một tập khác rỗng A các số thực gọi là tập B3 nếu thỏa điều kiện: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 thuộc A và a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 với (a1 ; a2 ; a3 ), (a4 ; a5 ; a6 ) là các hoán vị nào đó. Đặt A =a(0) = 0 < a(1) < a(2) < ...,B =b(0) = 0 < b(1) < b(2) < ... là các tập số thực vô hạn với D(A) = D(B), trong đó xác định D(X) với X là một tập số thực D(X) =|x − y| với x, y thuộc X. Chứng minh rằng nếu A là một tập B3 thì A = B Câu 7 Cho đa thức P có bậc 2000 với các hệ số thực phân biệt. Gọi M (P ) là tập hợp tất cả các đa thức lập từ P bởi việc hoán vị các hệ số của nó. Đa thức P gọi là độc lập nếu P (n) = 0 và ta có thể lấy bất kì Q thuộc M (P ) một đa thức Q1 (n) = 0 bằng việc thay đổi ít nhất một cặp hệ số từ Q. Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để tồn tại đa thức độc lập. II. SỐ HỌC Câu 1 Xác định tất cả các số nguyên dương n ≥ 2 thỏa mãn điều kiện: Với a, b nguyên tố cùng nhau với n, ta có a = b(modn) khi và chỉ khi ab = 1(modn) Câu 2 Với mỗi số nguyên dương n, gọi d(n) là số ước nguyên dương của n. Xác định tất cả các giá trị n thỏa mãn: d(n)3 = 4n Câu 3 Có tồn tại hay không số n thỏa n có đúng 2000 ước số nguyên tố dương và n chia hết 2n + 1 Câu 4 Tìm bộ ba nguyên dương (a, m, n) thỏa am + 1|(a + 1)n Câu 5 Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số nguyên dương n thỏa p = nr với p là nửa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có độ dài cạnh nguyên. 1
Câu 6 Chứng minh rằng tập các số nguyên dương không thể biểu diễn dưới dạng tổng của các số chính phương phân biệt là hữu hạn. III. HÌNH HỌC Câu 1 2