zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Kết quả chính quy nghiệm trong không gian Lorentz cho phương trình dạng p-Laplace chứa số hạng Schrödinger với p≥ n

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Báo xấu

7
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình p-Laplace chứa số hạng Schrödinger có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học. Tính chính quy nghiệm của phương trình này được nghiên cứu gần đây trên các không gian hàm khác nhau. Trong bài báo này, bài viết trình bày các kết quả về tính chính quy nghiệm trong không gian Lorentz cho phương trình p-Laplace chứa số hạng Schrödinger trong trường hợp p n ≥ .

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kết quả chính quy nghiệm trong không gian Lorentz cho phương trình dạng p-Laplace chứa số hạng Schrödinger với p≥ n

TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH JOURNAL OF SCIENCE Tập 20, Số 1 (2023): 92-109 Vol. 20, No. 1 (2023): 92-109 ISSN: Website: https://journal.hcmue.edu.vn https://doi.org/10.54607/hcmue.js.20.1.3418(2023) 2734-9918 Bài báo nghiên cứu 1 KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG p-LAPLACE CHỨA SỐ HẠNG SCHRÖDINGER VỚI p ≥ n Trần Đại Đình Phong*, Nguyễn Hữu Hải, Trần Phước An Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Tác giả liên hệ: Trần Đại Đình Phong – Email: trandaidinhhphong.hcmue@gmail.com * Ngày nhận bài: 25-4-2022; ngày nhận bài sửa: 25-5-2022; ngày duyệt đăng: 18-06-2022 TÓM TẮT Phương trình p-Laplace chứa số hạng Schrödinger có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học. Tính chính quy nghiệm của phương trình này được nghiên cứu gần đây trên các không gian hàm khác nhau. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày các kết quả về tính chính quy nghiệm trong không gian Lorentz cho phương trình p-Laplace chứa số hạng Schrödinger trong trường hợp p ≥ n . Phương pháp của chúng tôi là xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức của các đại lượng liên quan đến gradient của nghiệm và hàm dữ liệu, dưới tác động của các toán tử cực đại cấp phân số. Đây là phương pháp được phát triển và sử dụng hiệu quả trong một số bài báo gần đây. Từ khoá: tính chính quy nghiệm; toán tử cực đại cấp phân số; Không gian Lorentz; phương trình p-Laplace; đánh giá gradient 1. Giới thiệu Trong bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày chứng minh đánh giá gradient trong không gian Lorentz cho phương trình elliptic tựa tuyến tính chứa số hạng Schrödinger có dạng như − div(( x, ∇u )) +  | u |q −2 u = ( x, f , g )) trong Ω,  − div( sau  (1.1)   = h u trên ∂Ω, trong đó q > 1 và Ω là miền mở, bị chặn trong  n với n ≥ 2 . Toán tử  ×  n →  n là :Ω hàm Carathédory có giá trị vectơ và khả vi liên tục theo biến ζ , thỏa mãn điều kiện: tồn tại p > 1 , σ ∈ [0, 1] và hằng số Λ > 0 sao cho p −1 | ( x, ζ ) |≤ Λ (σ 2 + | ζ |2 ) 2 , (1.2) p−2 ∂ζ ( x, ζ ) ≤ Λ (σ 2 + | ζ |2 ) 2 , (1.3) solutions to p-Laplace equations containing Schrödinger terms in Lorentz spaces with p ≥n. Ho Chi Minh City Cite this article as: Tran Dai Dinh Phong, Nguyen Huu Hai, & Tran Phuoc An (2023). Regularity results for University of Education Journal of Science, 20(1), 92-109. 92
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 20, Số 1 (2023): 92-109 p−2 (  ( x, ζ ) −  ( x, ζ ) ) . ( ζ 1 2 1 −ζ2 ) ≥ Λ −1 (σ 2 + ζ1 + ζ 2 2 2 ) 2 ζ1 − ζ 2 , 2 (1.4) với mọi ζ , ζ 1 , ζ 2 trong  n \ {0} và x thuộc Ω hầu khắp nơi. Giả thiết về hàm  : Ω ×  n →  n là hàm Carathédory có giá trị vectơ thỏa mãn điều kiện  ( x,f , g ) ≤ c1 f p −1 + c2 g (1.5) p với c1 , c2 là số thực dương và các hàm dữ liệu f ∈ Lp ( Ω;  n ) , g ∈ Lp ( Ω;  n ) với p′ = ′ . p −1 Liên quan đến điều kiện biên, chúng tôi xét điều kiện Dirichlet h ∈ W 1, p ( Ω ) với Ω là miền Reifenberg. Trong trường hợp đơn giản khi toán tử  ≡ 0, ( x, ζ ) =| ζ | p − 2 ζ và  ( x,f , g ) =| f | p − 2 f , phương trình (1.1) chính là phương trình p -Laplace quen thuộc. Khi  ≠ 0 và p= q= 2 , kết quả về tính chính quy nghiệm của phương trình (1.1) được Shen trình bày trong bài báo của ông (Shen, 1995) với điều kiện  thuộc lớp hàm Hölder ngược θ , n trong đó θ ≥ . Ở đây,  ∈ L1loc ( n ) được gọi là thỏa mãn bất đẳng thức Hölder ngược với 2 θ > 1 , kí hiệu  ∈ θ , nếu tồn tại hằng số C sao cho với mọi quả cầu B ⊂  n ta có 1  1 θ 1   B ∫ θ ( z )dz  ≤ C  B ∫ ( z )dz. (1.6)   Khi xét phương trình (1.1) với giả thiết q = p và  ∈ L1loc  n ;  + ∩ θ với ( ) n  θ ∈  , n  , trong (Lee & Ok, 2020) các tác giả chứng minh được kết quả chính quy trong  p  không gian Lebesgue dưới dạng 1 f ∈ Lt (Ω) ⇒| ∇u | +  p | u |∈ Lt (Ω), ∀t ∈ ( p, pθ ). Tiếp tục mở rộng kết quả này khi xét trường hợp 1 < p < n , trong (Tran, Nguyen & Nguyen, 2021) các tác giả đã chứng minh tính chính quy trong không gian Lorentz dưới dạng Mα (| f | p +Ψσ (g) ) ∈ Lt , s ( Ω ) ⇒ Mα ( Ψσ (u ) ) ∈ Lt , s ( Ω ) (1.7) nθ  n với mọi 0 < t < và 0 < s ≤ ∞ , trong đó α ∈ 0,  và hàm Ψσ : W 1, p (Ω) →  + được n − αθ  θ định nghĩa bởi Ψσ (ω )= σ p + | ∇ω | p +  | ω | p , ω ∈ W 1, p (Ω). 93
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Đại Đình Phong và tgk Toán tử cực đại Mα sẽ được định nghĩa ở Định nghĩa 2.2. Bài toán tổng quát (1.1) sau đó tiếp tục được khảo sát trong (Lee & Ok, 2021) và (Nguyen, Tran, Huynh, & Tran, 2020). Trong bài báo hiện tại, chúng tôi hướng đến chứng minh kết quả dạng (1.7) trong trường hợp p ≥ n . Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh rằng ( p ′ p ) Mα | f |q + | g | p +Ψσ ,q (h) ∈ Lt , s (Ω) ⇒ Mα ( Ψσ ,q (u ) ) ∈ Lt , s (Ω), (1.8) trong đó hàm Ψσ ,q được định nghĩa bởi p Ψσ ,q (ω )= σ p + | ∇ω | p +  | ω |q , ω ∈ Lq (Ω) ∩ W 1, p (Ω). p (1.9) Trong trường hợp này, chúng tôi giả thiết thế vị Schrödinger thỏa mãn điều kiện sau  ∈ L1 (Ω) ∩ θ , θ > 1. (1.10) Phương pháp nghiên cứu chúng tôi dùng để chứng minh kết quả chính quy nghiệm trong không gian Lorentz (1.8) là xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức ứng ( ) với các hàm Mα | f |q + | g | p +Ψσ ,q (h) và Mα Ψσ ,q (u ) . Phương pháp này được đề xuất p p ′ ( ) trong bài báo (Nguyen & Tran, 2021a), (Tran & Nguyen, 2022a) và có nguồn gốc từ kĩ thuật good- λ trong (Nguyen & Tran, 2020a), (Tran & Nguyen, 2019a) và (Tran & Nguyen, 2020). Các phương pháp này đã được áp dụng thành công trong việc khảo sát tính chính quy nghiệm cho nhiều bài toán khác nhau (xem (Nguyen & Tran, 2021b), (Tran & Nguyen, 2022b), (Tran, Nguyen & Huynh, 2021) và (Tran, Nguyen, Pham, & Dang, 2021)). Hàm phân phối sẽ được định nghĩa trong phần tiếp theo của bài báo. Chúng tôi phát biểu hai kết quả chính của bài báo. Trong hai định lí này, chúng tôi giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.1) với toán tử  ,  thỏa mãn các điều kiện (1.2), (1.3), (1.4), (1.5) và các hàm dữ liệu ( ) ( ) ′ f ∈ Lp Ω;  n , g ∈ Lp Ω;  n , h ∈ W 1, p (Ω), trong trường hợp p ≥ n và thế vị  thỏa mãn (1.10). Kết quả đầu tiên trong Định lí 1.1 là bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức.  n  n − αθ n − α  Định lí 1.1. Với mọi α ∈ 0,  và a ∈  , , tồn tại hằng số  θ  nθ n  δ = δ (θ , Λ, n, p, q ) > 0, b = b(a,θ , α , n, p, q) > 0 và = ε 0 (α , a, θ , Λ, n, p, q, diam(Ω) / r0 ) ∈ (0,1) sao cho nếu ( , Ω ) ∈ Η δ , r0 với một số r0 > 0 ε0 thì bất đẳng thức sau )( dM Ω, ε − a λ ) ≤ Cε d M (Ω, λ ) + d ( Ω, ε λ ) b (1.11) α ( Ψσp ,q ( u ) α ( Ψσ p ,q ( u ) )  p ′ Mα  Ψσ ,q ( h ) +|f | p +| g | p    đúng với mọi λ > 0, C (α , a, θ , Λ, n, p, q, diam(Ω) / r0 ) > 0 và ε > 0. 94
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 20, Số 1 (2023): 92-109 Giả thiết ( , Ω ) ∈ Η δ , r0 sẽ được định nghĩa trong Định nghĩa 2.8. Định lí tiếp theo là kết quả về đánh giá gradient trong không gian Lorentz. Đánh giá này sẽ suy ra trực tiếp kết quả chính quy nghiệm trong (1.8). Chúng tôi nhấn mạnh rằng kết quả này với giả thiết p ≥ n chưa được khảo sát trong các bài báo trước đó (Tran & Nguyen, 2019a) và (Tran, Nguyen, Pham, & Dang, 2021).  n Định lí 1.2. Với mọi α ∈ 0,  khi đó tồn tại δ =θ , Λ, n, p, q ) > 0 sao cho nếu δ(  θ ( , Ω ) ∈ Η δ , r0 với một số r0 > 0 thì bất đẳng thức Mα ( Ψσ ,q (u ) ) p L (Ω) t ,s ( p ′ ≤ C Mα | f |q + | g | p +Ψσ ,q (h) ) Lt ,s ( Ω ) (1.12)  n − αθ  đúng với mọi t ∈  0,  và 0 < s ≤ ∞ với C = α , Λ, θ , n, p, q, diam(Ω) / r0 , t , s ) > 0. C(  nθ  Trong phần tiếp theo, chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản liên quan đến nghiệm yếu, không gian Lorentz, hàm phân phối, các toán tử cực đại cấp phân số và tính bị chặn của nó. Trong Mục 3, chúng tôi chứng minh bất đẳng thức so sánh địa phương giữa nghiệm yếu của bài toán ban đầu với phương trình thuần nhất tương ứng. Mục 4 trình bày quá trình xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức, trong đó sử dụng hai kết quả về bất đẳng thức so sánh ở Mục 4 và bất đẳng thức Hölder ngược trong (Lee & Ok, 2021). Các kết quả chính về bất đẳng thức hàm phân phối và đánh giá gradient trong không gian Lorentz được chứng minh ở mục cuối cùng của bài báo. 2. Nội dung 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong bài báo này chúng tôi sử dụng một số kí hiệu sau • A là độ đo Lebesgue của tập A đo được Lebesgue trong  n . 1 • E ∫ f ( x ) dx E là tích phân trung bình của hàm f ( x) trên tập E đo được Lebesgue trong  n . • diam(Ω) là đường kính của Ω. • Bρ ( x0 ) là quả cầu mở tâm x0 bán kính ρ > 0 và Ω ρ ( x0 ) Bρ ( x0 ) ∩ Ω. = Ngoài ra, hằng số C trong bài báo này có thể thay đổi qua các bước đánh giá nhưng luôn phụ thuộc vào dữ liệu của bài toán. Dữ liệu của bài toán chúng tôi gồm có data ≡ ( Λ, σ , α , ε 0 , n, p, q, diam ( Ω ) ) . 95
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Đại Đình Phong và tgk Định nghĩa 2.1. (Không gian Lorentz) Cho Ω là tập mở trong  n và hai tham số 0 < t < ∞ và 0 < s ≤ ∞. Không gian Lorentz Lt , s (Ω) là không gian các hàm f đo được Lebesgue trên Ω sao cho ‖f ‖L t ,s (Ω) < ∞ trong đó 1  ∞ s s dλ s =  t ∫ λ |{x ∈ Ω :| f ( x) |> λ}| t ‖f ‖,s ( Ω )  λ  t L  0 nếu 0 < s < ∞ và 1 ‖= sup λ | {x ∈ Ω :| f ( x) |> λ}|t , f ‖,∞ ( Ω ) Lt λ >0 nếu s = ∞. Định nghĩa 2.2. (Toán tử cực đại cấp phân số) Với mỗi số thực α ∈ [ 0, n ] , ta định nghĩa toán tử cực đại cấp phân số Mα là toán tử được xác định bởi 1 = sup r α Mα f ( x) ∫ f ( y ) dy, x ∈  n (2.1) r >0 Br ( x) Br ( x ) ( ) với hàm f ∈ L∞  n . Trong trường hợp α = 0 thì M 0 là hàm cực đại Hardy-Littlewood loc M , được định nghĩa như sau 1 = sup Mf ( x ) ∫ f ( y ) dy r > 0 Br ( x ) B ( x ) x ∈ n . r  n Mệnh đề 2.3. (Tính bị chặn của toán tử cực đại) Giả sử s ≥ 1 và α ∈ 0,  . Khi đó tồn tại  s hằng số C = C ( n,α ) sao cho với mọi f ∈ Ls  n ta có ( ) n  1  n −α s {Mα f ( x) > λ} ≤ C  s λ ∫ | f ( y ) |s dy    n  với mọi λ > 0 . Định nghĩa 2.4. (Nghiệm yếu) Hàm số u ∈ W 1, p ( Ω ) được gọi là nghiệm yếu của (1.1) nếu thỏa mãn công thức biến phân ∫ ( x, ∇u ) ⋅∇ϕ dx + ∫  | u= ∫  ( x, f , g ) ⋅∇ϕ dx, | uϕ dx q−2 Ω Ω Ω với mọi ϕ ∈ W 0 1, p (Ω) . Định nghĩa 2.5. (Hàm phân phối) Cho hàm f đo được trên Ω và K ⊂  n , hàm phân phối d f ( K , .) của f được định nghĩa bởi d f ( K , λ= |{x ∈ K ∩ Ω :| f ( x) |> λ}| λ ≥ 0. ) 96
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 20, Số 1 (2023): 92-109 Trong trường hợp Ω ⊂ K , để đơn giản ta viết tắt thành d f (λ ) . Tiếp theo dựa trên bài báo (Lee & Ok, 2021) chúng ta có bất đẳng thức Reverse Hölder như sau.  r  Bổ đề 2.6. Lấy x0 ∈ Ω và ρ ∈  0, 0  . Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.1)và v  2 là nghiệm yếu của phương trình thuần nhất − div ( x, ∇v) +  | v |q − 2 v =  0 trong Ω 2 ρ ( x0 ),    v = u − h trên ∂Ω 2 ρ ( x0 ). Khi đó với θ ∈ (1, +∞ ) và γ ∈ (1, θ ) ta có bất đẳng thức sau đúng 1  γ ∫x ( Ψ p,q (v) ) dx  ≤ C Ω2 ρ ( x0 ) 1 γ 1 ∫ σ   Ψσ ,q (v)dx. (2.2)  Ω ρ ( x0 ) p  Ωρ ( 0 )  Ω 2 ρ ( x0 ) Định nghĩa 2.7. (Giả thiết (δ , r0 ) ) Với δ ∈ ( 0,1) và r0 > 0 ta nói ( , Ω ) thỏa mãn giả thiết (δ , r0 ) được kí hiệu là ( , Ω ) ∈ Η δ , r0 . nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: i. Toán tử  thỏa mãn điều kiện nửa chuẩn BMO nhỏ nghĩa là 1  ( x, ζ ) −  B ( y ) (ζ )   sup  dx ≤ δ B ( y ) ∫B ( y )  ζ ∈n \{0} []r sup y∈ n ,0 0} ⊂ Ω Bρ (O ) ⊂ Bρ ( O ) ∩ {ξ n > −2 ρδ ′ } , với δ ′ δ / (1 − δ ) và tập = {(ξ , ξ ,…, ξ ) : ξ 1 2 n n > λ } được viết tắt thành {ξ n > λ} . 2.2. Bất đẳng thức so sánh với nghiệm của phương trình thuần nhất Phần này chúng tôi trình bày về các đánh giá so sánh cho phương trình thuần nhất.  r  Bổ đề 3.1. Giả sử ( , Ω ) ∈ Η δ , r với một số r0 > 0 . Lấy x0 ∈ Ω, ρ ∈  0, 0  và  2 0 Ω= B2 ρ ∩ Ω . Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.1) và v là nghiệm yếu của 2ρ phương trình thuần nhất − div ( x, ∇v) +  = 0  | v |q − 2 v trong Ω 2 ρ ,  (2.3)   v = u − h trên ∂Ω 2 ρ . 97
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Đại Đình Phong và tgk Khi đó với mọi ε ∈ ( 0, 1) tồn tại hằng số k k ( p, q ) > 0 và C (Λ, σ , n, p, q ) > 0 sao cho = ∫ (| f | ) 1 1 1 ∫Ψ ∫Ψ ′ σ (u − v)dx ≤ ε (u )dx + Cε − k q + | g | p +Ψσ ,q (h) dx. (2.4) Ω2 ρ Ω2 ρ Ω2 ρ p ,q p ,q p Ω2 ρ Ω2 ρ Ω2 ρ Chứng minh Bổ đề 3.1. Do u và v lần lượt là nghiệm yếu của phương trình (1.1) và (3.1) nên thỏa mãn các công thức biến phân  ( x, f , g ) ⋅∇ϕ dx, q−2 ∫Ω2 ρ ( x, ∇u ) ⋅∇ϕ dx + ∫ Ω2 ρ  u u.ϕ dx = ∫ Ω2 ρ (2.5) và ∫Ω2 ρ ( x, ∇v) ⋅∇ϕ dx + ∫ Ω2 ρ  | v |q − 2 v.ϕ dx = 0, (2.6) với ϕ ∈ W 1, p (Ω 2 ρ ). Chọn hàm thử ϕ = u − v − h ∈ W01, p (Ω 2 ρ ) và thay vào (3.3) và (3.4) sau đó trừ vế theo vế và rút gọn ta thu được ∫ (  ( x, ∇u ) −  ( x, ∇v ) ) ⋅∇(u − v)dx + ∫  (| u | u − | v | v ) (u − v)dx q−2 q−2 Ω2 ρ Ω2 ρ = ∫ (  ( x, ∇u ) −  ( x, ∇v ) ) ⋅∇hdx + ∫  (| u | u − | v | v ) hdx q−2 q−2 (2.7) Ω2 ρ Ω2 ρ +∫ ( x, f , g ) ⋅∇(u − v)dx − ∫ ( x, f , g ) ⋅∇hdx. Ω2 ρ Ω2 ρ Để thuận tiện trong việc chứng minh ta định nghĩa hàm Φσ : (W 1, p (Ω) ) →  + như sau 2 p−2 q−2 Φσ (ϕ ,ψ ) : = (σ 2 + | ∇ϕ |2 + | ∇ψ |2 ) 2 | ∇(ϕ −ψ ) |2 +  (| ϕ |2 + | ψ |2 ) 2 | ϕ −ψ |2 với mọi ϕ và ψ ∈ W 1, p ( Ω ) . Theo (Hamburger, 1992) ta có kết quả q−2 ϕ q−2 ϕ −ψ q−2 ψ ~ ϕ +ψ ( 2 2 ) 2 ϕ −ψ . Lúc này áp dụng giả thiết (1.4) ta có số hạng ở vế trái (3.5) ta được đánh giá như sau (( x, ∇u ) − ( x, ∇v)) ⋅ (∇u − ∇v) +  (| u |q − 2 u − | v |q − 2 v ) (u − v) p−2 q−2 ≥ C ( Λ ) (σ + | ∇u | + | ∇v | 2 2 2 ) 2 | ∇u − ∇v | + C  ( | u | + | v | 2 2 2 ) 2 | u − v |2 (2.8)  p−2 q−2  ≥ C (Λ ) (σ 2 + | ∇u |2 + | ∇v |2 ) 2 | ∇u − ∇v |2 +  (| u |2 + | v |2 ) 2 | u − v |2    ≥ C (Λ )Φσ (u , v). Tiếp theo, áp dụng giả thiết (1.2) ta có đánh giá cho các số hạng ở vế phải (3.5) như sau. Đầu tiên 98
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 20, Số 1 (2023): 92-109 (( x, ∇u ) − ( x, ∇v)) ⋅∇h ≤| ( x, ∇u ) − ( x, ∇v) || ∇h | ≤ (| ( x, ∇u ) | + | ( x, ∇v) |) | ∇h | (2.9)  p −1 p −1  ( ≤ Λ  σ 2 + | ∇u |2 ) 2 ( + σ 2 + | ∇v |2 ) 2  | ∇h | .   Do q > 2 nên ta có q −2  |u| ( q −2 u− | v | q −2 ) ( v h ≤ C (q)  | u | + | v | 2 2 ) 2 | u − v || h | . (2.10) Cuối cùng, áp dụng giả thiết (1.5) với C = max {c1 ,c2 } ta có ( x, f , g ) ⋅∇(u − v) − ( x, f , g ) ⋅∇h ≤ C f ( p −1 ) + g ∇u − ∇v + C f ( p −1 ) + g ∇h . (2.11) Từ (3.6), (3.7), (3.8) và (3.9) và thay vào (3.5) ta được  2 p −1 p −1  C ( Λ ) ∫ Φσ (u, v)dx ≤ Ω2 ρ C Ω2 ρ ( ∫Ω2 ρ  σ + | ∇u | 2 ) 2 ( + σ + | ∇v | 2 2 ) 2  | ∇h | dx   q −2 + C Ω2 ρ ∫Ω2 ρ (  |u| +|v| 2 2 ) 2 | u − v || h | dx (2.12) + C Ω2 ρ ∫Ω2 ρ (f p −1 ) + g ∇u − ∇v dx + C ∫ Ω2 ρ (f p −1 ) + g ∇h dx. Bây giờ, ta sẽ đánh giá phần tử chứa số hạng Schrödinger trong vế phải của (3.10) .Do q > 2 , ta có bất đẳng thức sau q −2 ( | u |2 + | v |2 ) 2 ( ≤ C (q ) | u − v |q − 2 + | u |q − 2 . ) Áp dụng bất đẳng thức trên ta thu được q −2 1 Ω2 ρ ∫ Ω2 ρ (  |u| +|v|2 2 ) 2 | u − v || h | dx ≤ C (q)  Ω2 ρ  2 ρ 2ρ q −2   ∫Ω  | u − v | | h | dx + ∫Ω  | u | | u − v || h | dx  . (2.13) q −1  Tiếp theo ta có đánh giá sau p −1 (σ 2 + ϕ2 2 ) 2 ( ≤ C ( p ) σ p −1 + ϕ1 p −1 + ϕ1 − ϕ2 p −1 ), khi đó suy ra p −1 p −1 (σ + | ∇u | ) 2 2 2 + (σ + | ∇v | ) 2 2 2 ≤ C ( p )(σ p −1 + | ∇u − ∇v | p −1 + | ∇u | p −1 ). Bây giờ với a, b và c là ba số thực. Giả sử p là số thực lớn hơn 2. Khi đó với mọi ε1 , ε 2 > 0 ta có | a | p − 2 | b || c |≤ ε1 | a | p +ε 2 | b | p +ε12− pε 2 1 | c | p . − (2.14) Áp dụng đánh giá trên ta đánh giá lần lượt cho các số hạng ở vế phải (3.10) ta sẽ thu được 99
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Đại Đình Phong và tgk 1 ε ε ε12−qε 2−1 ∫  | u | | u − v || h | dx ≤ Ω21ρ ∫  | u | dx + Ω22ρ ∫  | u − v | dx + Ω2 ρ Ω∫  | h | dx, (2.15) q −2 q q q Ω2 ρ Ω2 ρ Ω2 ρ Ω2 ρ 2ρ 1 ε2 ε 2− q 1 Ω2 ρ ∫ Ω2 ρ  | u |q −1| h | dx ≤ Ω2 ρ Ω2 ρ ∫  | u − v |q dx + Ω2 ρ ∫ Ω2 ρ  | h |q dx, (2.16) ∫Ω2 ρ (f p −1 ) + g ∇u − ∇v dx + ∫ Ω2 ρ (f p −1 ) + g ∇h dx ≤ ε 2 ∫ Ω2 ρ |∇u − ∇v | p + ∫ Ω2 ρ ε 2− p | ∇h | p dx 1 1 (2.17) ∫ p′ +ε 1− p 2 (| f | + | g | )dx. p Ω2 ρ Kết hợp (3.11), (3.13), (3.14), (3.15) ta thu được kết quả C (Λ)  ε ε2 Ω2 ρ ∫Ω2 ρ Φσ (u , v)dx ≤ C  1  Ω2 ρ ∫ Ω2 ρ Ψσ ,q (u )dx + p Ω2 ρ ∫ Ω2 ρ Ψ p ,q (u − v)dx  (2.18)  1− p 1    ε 2 + ε1 + ε 2 + ε 2 + ε1 ε 2  ( ) 1− p 1− p 1− q 2 − q −1 p′  +  ∫Ω2 ρ f + g + Ψ p ,q (h) dx  , p  Ω2 ρ      với mọi ε1 ,ε 2 ∈ ( 0,1) . Với p, q > 2 áp dụng định nghĩa Ψσ ,q và Φσ ta có đánh giá p Φσ (u ,v) ≥ C (q )  ∇u + ∇v ( ) . u −v  p −2 . ∇u − ∇v +  ( u + v ) 2 2 2 q −2 2     ( ≥ C ( p , q ) ∇u − ∇v +  u − v p q ) = C ( p, q )Ψ p ,q (u − v). Dẫn đến 1 C Ω2 ρ ∫ Ω2 ρ Ψ p ,q (u − v) ≤ Ω2 ρ ∫ Ω2 ρ Φσ (u ,v). (2.19) Kết hợp (3.16) và (3.17) ta suy ra 1 Cε 1 Cε 2 Ω2 ρ ∫ Ω2 ρ Ψ p ,q (u − v)dx ≤ Ω2 ρ ∫Ω2 ρ Ψσ ,q (u )dx + p Ω2 ρ ∫Ω2 ρ Ψ p ,q (u − v)dx  1−1p 1− p 1− p 1− q 2− q −1  (2.20)  ε 2 + ε1 + ε 2 + ε 2 + ε1 ε 2  +C  Ω2 ρ  p p′  ∫Ω2 ρ f + g + Ψ p ,q (h) dx. ( )   Cuối cùng với ε ∈ (0,1) , ta có thể chọn ε1 và ε 2 sao cho ε 1 Cε 1 ≤ , Cε 2 ≤ 2 2C dẫn đến k được định nghĩa bởi = max{0, p − 1, q − 2}. k 100
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 20, Số 1 (2023): 92-109 2.3. Bất đẳng thức hàm phân phối Bổ đề 4.1. Cho ρ > 0, 0 ≤ α < n và a > 0 . Ta có thể tìm được các hằng số b b(α , a, n) > 0 = = ε 0 (α , a, b, n, diam(Ω) / ρ ) > 0 sao cho nếu tồn tại z1 ∈ Ω thỏa mãn bất đẳng thức sau và ε 0 ( Mα Ψσ ,q (h)+ | f | p + | g | p′ ( z1 ) ≤ ε b λ , p ) với ε ∈ (0, ε 0 ), λ > 0 thì ta có bất đẳng thức sau đúng )( ) dM Ω, ε − a λ ≤ ε n ( Bρ (O)). (3.1) α ( Ψσp ,q ( u ) )( dM Ω, ε − a λ ) ≤ ε  ( B (O)). n α ( Ψσp ,q ( u ) ρ Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 2.3 với s = 1 , ta có: n  1  n −α p ( ) {x ∈ Ω : Mα Ψσ ,q (u ) ( x) > ε − a λ} ≤ C  − a ∫ Ψσ ,q dx  , ε λ Ω p  khi đó theo đánh giá so sánh ở (3.1), ta được n  1  n −α ( ε λ Ω ) {x ∈ Ω : Mα Ψ p ,q (u ) ( x) > ε λ} ≤ C  − a ∫ (Ψσ ,q (h)+ | f | p + | g | p′ )dx  . σ p −a  Định nghĩa D là đường kính của Ω , nghĩa là D = sup d ( x, y ) . Dễ dàng thấy Ω ⊂ BD ( z1 ) , x , y∈Ω điều đó dẫn đến n  1  n −α p ( ) {x ∈ Ω : Ψσ ,q (u ) ( x) > ε − a λ} ≤ C  − a ε λ ∫BD ( z1 ) (Ψ p,q (h)+ | f | + | g | )dx  σ p p′  n  D n −α  n −α ≤ C  −a ε bλ  ε λ  n ( = C ε a +b ) n −α Dn n  D  ( an+b ) n = C   ε −α Bρ (0) . ρ ( a + b) n Từ đó chọn b sao cho > 1 và để (4.1) đúng với mọi ε ∈ ( 0, ε 0 ) ta cần chọn ε 0 sao n −α n  D  ( an+−b ) n cho C   ε 0 α < ε 0 . Vậy ta thu được điều phải chứng minh.  ρ Bổ đề 4.2. Cho α ∈ [0, n) và z2 ∈ Ω ρ (ζ ) thỏa mãn Mα (Ψσ ,q )( z2 ) ≤ λ với λ > 0. Khi đó với p mọi a > 0 bất đẳng thức sau )( ) )( ) dM Ω ρ (ζ ) , ε − a λ ≤ d Ω ρ (ζ ) , ε − a λ , (3.2) α ( Ψσp ,q ( u ) 2ρ ( Mα χ B ( ζ ) Ψ σ , q ( u ) p 101
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Đại Đình Phong và tgk n +1 − đúng với mọi 0 < ε ≤ 3 . a Chứng minh. Lấy x ∈ Bρ (ζ ), khi đó Mα (Ψσ ,q (u ))( x) ≤ max{Uα , ρ (Ψσ ,q (u ))( x); Tα , ρ (Ψσ ,q (u ))( x)}, p p p với Uα , ρ (Ψσ ,q (u ))( x) =p sup ( ρ ′)α 1 ∫ Bρ ′ ( x ) Ψσ ,q (u )dx, p 0 < ρ ′< ρ Bρ '( x ) và Tα , ρ (Ψσ ,q (u ))( x) sup( ρ ′)α =p 1 ∫ Bρ ( x ) Ψσ ,q (u )dx. p ρ ′≥ ρ Bρ ( x) Chú ý rằng { ( ) max Uα , ρ Ψσ ,q (u ) ( x); Tα , ρ Ψσ ,q (u ) ( x) > ε − a λ p p ( ) } nếu và chỉ nếu ( ) Uα , ρ Ψσ ,q (u ) ( x) > ε − a λ hoặc Tα , ρ Ψσ ,q (u ) (η ) > ε − a λ. p p ( ) Từ đó suy ra {x ∈ Ω (ζ ) : M ( Ψ (u) ) > ε λ} ρ α σ p ,q −a ≤ { x ∈ Ω (ζ ) : max {U ( Ψ (u ) ) ( x); T ( Ψ (u ) ) ( x)} > ε λ} ρ α ,ρ σ p ,q α ,ρ σ p ,q −a (3.3) = { x ∈ Ω (ζ ) : U ( Ψ (u ) ) ( x) > ε λ} ∪ {η ∈ Ω (ζ ) : T ( Ψ (u ) ) ( x) > ε λ} ρ α ,ρ σ p ,q −a ρ α ,ρ σ p ,q −a ≤ { x ∈ Ω (ζ ) : U ( Ψ (u ) ) ( x) > ε λ} + { x ∈ Ω (ζ ) : T ( Ψ (u ) ) ( x) > ε λ} . ρ α ,ρ σ p ,q −a ρ α ,ρ σ p ,q a Do x ∈ Bρ (ζ ) nên với mọi 0 < ρ ′ < ρ , ta có | x − ζ |< ρ . Xét z ∈ Bρ ′ ( x) , khi đó | z − ζ |=| z − x + x − ζ | ε − a λ ≤ x ∈ Ω ρ (ζ ) : Mα χ B2 ρ (ζ ) Ψσ ,q (u ) ( x) > ε − a λ . p ) } (3.4) 102
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 20, Số 1 (2023): 92-109 Do z2 , x ∈ Bρ (ζ ) nên với mọi ρ ′ ≥ ρ , ta suy ra | z2 − ζ |< ρ và | x − ζ |< ρ . Với z ∈ Bρ ′ ( x ) , ta có | z − z2 |=| z − x + x − ζ + ζ − z2 |0 B ρ (z )′ ∫ B (z ) 3 ρ′ 2 Ψσ ,q (u )dx p 3 2 = 3n Mα Ψσ ,q (u ) ( z2 ) p ( ) ≤ 3n λ. n +1 − Khi đó, với mọi ε − a ≤ 3 a {x ∈ Ω (ζ ) : T ( Ψ ρ α ,ρ σ p ,q ) (u ) ( x) > ε − a λ = 0. } (3.5) Kết hợp (4.3), (4.4) và (4.5) ta suy ra {x ∈ Ω ρ } { (ζ ) : Mα (Ψσ ,q (u ))( x) > ε − a λ ≤ x ∈ Ω ρ (ζ ) : Mα ( χ B2 ρ (ζ ) Ψσ ,q (u ))( x) > ε − a λ . p p } Vậy ta có điều phải chứng minh.  n  n − αθ n − α  Bổ đề 4.3. Với mọi α ∈ 0,  và a ∈  ,  . Khi đó tồn tại hằng số  θ  nθ n  ( ) = b α , p, q, a, α , p′ > 0 và ε 0 ε 0 (α , θ , a, b, n, p, q ) > 0 sao cho nếu có x1 , x2 ∈ Bρ ( x0 ) b = thỏa mãn p ( ) Mα Ψσ , q (u ) ( x1 ) ≤ λ và Mα Ψσ ,q (h)+ | f | p + | g | p p ( ′ ) ( x ) ≤ ε λ. 2 b (3.6) thì bất đẳng thức )( ) d Ω ρ , ε − a λ ≤ ε Bρ ( x0 ) . (3.7) ( Mα χ B ( x ) Ψ σ , q ( u ) 2ρ 0 p đúng với mọi λ > 0 và 0 < ε < ε 0 . 103
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Đại Đình Phong và tgk Chứng minh. Để chứng minh bất đẳng thức (4.7) ta cần kiểm tra hai trường hợp là x0 ∈ Ω tức là B4 ρ ( x0 ) ⊂ Ω và B4 ρ ( x0 ) ∩ ∂Ω ≠ ∅ . Trường hợp 1. B4 ρ ( x0 ) ⊂ Ω ta xét phương trình thuần nhất sau − div ( x, ∇v)= 0  +  | v |q − 2 v trong ∂B4 ρ ( x0 ),    v = trên ∂B4 ρ ( x0 ). u−h Bây giờ áp dụng Bổ đề 3.1 với ε1 ∈ ( 0,1) và hằng số k = k ( p, q, p ') ta có đánh giá 1 B4 ρ ( x0 ) ∫ B4 ρ ( x0 ) Ψσp ,q (u − v)dx ≤ 1  B4 ρ ( x0 )  4 ρ 0 σ −k 4ρ 0 q σ   ε1 ∫B ( x ) Ψ p ,q (u )dx + Cε1 ∫B ( x ) | f | + | g | +Ψ p ,q (h) dx  . p′  ( ) (3.8) Bây giờ ta đặt )( ( ) Ω x , ε λ ) ≤ Cd )( ( ) = d L: −a Ω x ,c ε λ) −1 − a ( Mα χ B ( x ) Ψ σ , q ( u ) 2ρ 0 p ρ 0 ( Mα χ B ( x ) Ψ σ , q ( u − v ) 2ρ 0 p ρ 0 p (3.9) + Cd ( )( Mα χ B ( x ) Ψ σ , q ( v ) 2ρ 0 p )) (Ω ( x ) , c ρ 0 p ε λ) −1 − a  n − αθ n − α  n Từ giả thiết a ∈  ,  ta suy ra 1 < an + α < θ . Khi đó tồn tại hằng số γ > 1  nθ n  sao cho n
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 20, Số 1 (2023): 92-109 Ta sẽ chứng minh B4 ρ ( x0 ) ⊂ B5 ρ ( x1 ) ∩ B5 ρ ( x2 ). Thật vậy, lấy y ∈ B4 ρ ( x0 ) ta có d ( y, x0 ) ≤ 4 ρ . Mặt khác x1 , x2 ∈ Bρ ( x0 ) do đó d ( x1 , x0 ), d ( x2 , x0 ) ≤ ρ . Dẫn đến d ( y, x1 ), d ( y, x2 ) ≤ 5 ρ . Do đó y ∈ B5 ρ ( x1 ) ∩ B5 ρ ( x2 ). Tiếp theo ta có 1 C B4 ρ ( x0 ) ∫ B4 ρ ( x0 ) Ψσ ,q (u )dx ≤ p B5 ρ ( x1 ) ∫B5 ρ ( x1 ) Ψσ ,q (u )dx p (3.12) ≤ C (5 ρ ) −α Mα ( Ψσ ,q (u ) ) ( x1 ) ≤ C ρ −α λ , p và 4 1 B ρ (x ) ∫0 B4 ρ ( x0 ) (| f | + | g | q p′ p ) +Ψσ ,q (h) dx ≤ C 5 1 B ρ (x ) ∫ 2 B5 ρ ( x2 ) (| f | + | g | q p′ ) +Ψσ ,q (h) dx p ( ≤ C (5ρ )−α Mα | f |q + | g | p +Ψσ ,q (h ) ( x2 ) p ′ ) (3.13) ≤ C ρ −α ε b λ . Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức tam giác và (4.8) với ε1 ∈ ( 0,1) ta thu được 1  1 1  B4 ρ ( x0 ) ∫B4 ρ ( x0 ) p Ψσ ,q (v)dx ≤ C   B4 ρ ( x0 ) ∫ B4 ρ ( x0 ) Ψσ ,q (u )dx + p B4 ρ ( x0 ) ∫B4 ρ ( x0 ) p Ψσ ,q (u − v)dx     (3.14)   ≤C 1  B4 ρ ( x0 ) ∫B4 ρ ( x0 ) p Ψσ ,q (u )dx + ε1− k 1 B4 ρ ( x0 ) ∫B4 ρ ( x0 ) ′ ( | f |q + | g | p +Ψσ ,q (h ) dx  . p  )   Kết hợp (4.12), (4.13) và (4.14) thay vào (4.11) ta có nγ n  n  n −αγ  (4 ρ ) n  n −α n  (2 ρ ) γ  L ≤ C  −a  (ε ρ −α λ +ε ρ ε λ) −k −α b n −α + C  −a ( ρ −α λ + ε1− k ρ −α ε b λ )  ε λ  ε λ 1 1     Thực hiện rút gọn ta có anγ  an n nγ  L ≤ C ε n −α (ε1 + ε1 ε ) + ε (1 + ε1− k ε b ) n−αγ  ρ n . − k b n −α n −αγ (3.15)       α  Trong (4.15) chọn ε1 = ε1− k ε b và b > max 0, 1 − a −  (k + 1)  . Từ đó ta có điều phải   n  chứng minh. Trường hợp 2. B4 R ( x0 ) ∩ ∂Ω ≠ ∅ . Lấy zb ∈ ∂Ω sao cho zb − x0 d ( x0 ,∂Ω) ≤ 4 R . Ta xét = phương trình thuần nhất − div ( x, ∇v′)= 0  +  | v′ |q − 2 v trong ∂B24 ρ ( zb ),    v′ = trên ∂B24 ρ ( zb ). u−h 105
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Đại Đình Phong và tgk Từ đó ta chứng minh tương tự trường hợp 1. Vậy cả hai trường hợp ta đều có )( ) d Ω ρ , ε − a λ ≤ ε n ( Bρ ( x0 ) ) . ( Mα χ B ( x ) Ψ σ , q ( u ) 2ρ 0 p Vậy ta hoàn tất chứng minh. 2.4. Kết quả chính quy nghiệm trong không gian Lorentz Trước hết ta phát biểu bổ đề phủ của Vitali như sau Bổ đề 5.1. Cho Ω là miền thỏa điều kiện (δ , r0 ) - Reifenberg với hằng số r0 , δ > 0 . Xét hai tập con đo được  ⊂  ⊂ Ω . Giả sử 0 < ε < 1 và 0 < ρ ≤ r0 thỏa mãn i. n (  ) ≤ ε n ( Bρ (O) ) ; ii. ∀x ∈ Ω và  ∈ (0, ρ ] , nếu n (  ∩ B ( x) ) > ε n ( B ( x) ) thì Ω ∩ B ( x) ⊂  . Khi đó tồn tại hằng số C C (n) > 0 sao cho  ≤ Cε  . = Chứng minh Định lí 1.1 Chứng minh. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương )( ) ( Ω, ε λ ) ≤ Cε d dM Ω, ε − a λ − d b (Ω, λ ). (4.1) α ( Ψσp ,q ( u )  ′ Mα  Ψσ ,q ( h ) +|f | p +| g | p  p ( Mα Ψσ ,q ( u ) p )   Với mọi ε > 0 và λ > 0 ta đặt ε ,λ=: {x ∈ Ω : M α (Ψ σ p ,q ) ( (u ) ( x0 ) > ε − a λ , Mα Ψσ ,q (h)+ | f | p + | g | p ( x0 ) ≤ ε b λ p ′ ) } và λ=: {x ∈ Ω : M ( Ψ α σ p ,q ) (u ) ( x) > λ . } Bây giờ ta sẽ kiểm hai giả thiết của Bổ đề 5.1 từ đó sẽ có điều phải chứng minh. Thật vậy với ρ > 0 tùy ý ta sẽ chứng minh n ( ε ,λ ) ≤ ε n ( Bρ (O) ) . Ta có thể giả sử ε , λ khác rỗng vì nếu bằng rỗng thì luôn đúng. Khi đó tồn tại x1 ∈ ε , λ sao cho ( Mα Ψσ ,q ( h ) + | f | p + | g | p ( x0 ) ≤ ε bλ . p ′ ) Từ đó, theo Bổ đề 4.1 ta suy ra )( n ( ε ,λ ) ≤ d M Ω ρ , ε − a λ ) ≤ ε n ( Bρ (O )). α ( Ψσ p ,q ( u )  α Như vậy i. đúng với ε đủ bé và b > max 0;1 − a −  .  n Bây giờ ta sẽ chứng minh ii. đúng. Lấy x2 ∈ Ω và  ∈ ( 0, ρ ) . Giả sử tồn tại x3 ∈ Ω ( x2 ) ∩ λc và x4 ∈ ε , λ ∩ B ( x2 ) . Do x3 ∈ λc và x4 ∈ ε , λ nên ta có ( ) Mα Ψσ ,q (u ) ( x3 ) ≤ λ và Mα Ψσ ,q (h)+ | f | p + | g | p ( x4 ) ≤ ε b . p p ( ′ ) Lúc này áp dụng Bổ đề 4.1 và Bổ đề 4.3 với ε 0 > 0 và b > 0 sao cho với mọi 0 < ε < ε 0 thì 106
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 20, Số 1 (2023): 92-109 )( ) n ( ε ,λ ∩ Bρ ( x2 ) ) ≤ d Ω , ε − a λ ≤ ε n ( Bρ (O) ) . ( Mα χ B ( x ) Ψ σ , q ( u ) 2ρ 0 p ρ Từ đây định lí được chứng minh xong bằng cách sử dụng Bổ đề 5.1. Chứng minh Định lí 1.2  n − αθ   n − αθ 1  Chứng minh. Với t ∈  0,  thì tồn tại a ∈  ,  khi đó áp dụng Định lí 1.1 ta  nθ   nθ t  có thể chỉ ra δ > 0, b > 0 và ε 0 ∈ (0,1) thỏa mãn bất đẳng thức dM ( Ψσ ,q ( u )) (Ω, ε − a λ ) ≤ Cε d M ( Ψσ ,q ( u )) (Ω, λ ) + d ′ (Ω, ε b λ ), (4.2) α p α p Mα (|f | p +| g | p + Ψσ ,q ( h )) p đúng với mọi λ > 0 và ε ∈ (0, ε 0 ). Xét trường hợp 0 < s < ∞ , ta có ∞ s ∞ s σ || Mα (Ψ p ,q (u )) || s Lt ,s ( Ω ) t ∫ λ (d M ( Ψ =σ s −1 (λ )) d λ = ε t − as t∫ λ s −1 (dM ( Ψσ ,q ( u )) (ε λ )) d λ , −a t α p ,q ( u )) α p 0 0 kết hợp với (5.2) ta thu được s ∞ s − as + || Mα (Ψσ ,q (u )) ||s t ,s ( Ω ) ≤ Cε p L t t ∫ λ s −1 (d M ( Ψσ ,q ( u )) (λ )) t d λ α p 0 ∞ s (4.3) + Cε − as t∫ λ s −1 (d ′ (ε λ )) d λ. b t Mα (|f | p +| g | p + Ψσ ,q ( h )) p 0 Ta thấy rằng (5.3) tương đương với bất đẳng thức sau 1 −a+ σ || Mα (Ψ p ,q (u )) ||Lt ,s ( Ω ) ≤ Cε t || Mα (Ψσ ,q (u )) ||Lt ,s ( Ω ) p (4.4) p′ + Cε − a −b || Mα (| f | + | g | +Ψ p ,q (h)) ||Lt ,s ( Ω ) . p σ Kết quả trên vẫn đúng cho trường hợp s = ∞ , hơn nữa bằng cách chọn a ở bước đầu tiên, 1 −a+ 1 ta chỉ ra được ε ở (5.4) thỏa mãn Cε t ≤ . 2 Khi đó bất đẳng thức được chứng minh. 3. Kết luận Qua bài báo này, chúng tôi đã tiến hành chứng minh đánh giá gradient trong không gian Lorentz cho phương trình elliptic tựa tuyến tính chứa số hạng Schrödinger trong trường hợp p ≥ n . Định hướng mở rộng sắp tới có thể là chứng minh bài toán trong trường hợp p < n hoặc thay đổi không gian Lorentz thành không gian Morrey.  Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 107
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Đại Đình Phong và tgk TÀI LIỆU THAM KHẢO Caffarelli, L. A, & Peral, I. (1998). On W1.p estimates for elliptic equations in divergence form. Commun. Pure Appl. Math., 51(1), 1-21. Calderón, A. P., & Zygmund, A. (1952). On the existence of certain singular integrals. Acta Math. 88, 85-139. Cruz-Uribe, D., & Neugebauer, C. J. (1995). The structure of the reverse Hölder classes. Transactions of the American Mathematical Society, 347(8), 2941-2960. Hamburger, C. (1992). Regularity of differential forms minimizing degenerate elliptic functionals, J. Reine Angew. Math. (Crelles J.), 431, 7-64. Johnson, R., & Neugebauer, C. J. (1991). Change of variable results for Ap - and reverse Hölder RH r - classes. Transactions of the American Mathematical Society, 328(2), 639-666. Lee, M., & Ok, J. (2020). Interior and boundary W1,p -estimates for elliptic quasilinear equations of Schrödinger type. J. Differ. Equ., 269(5), 4406-4439. Lee, M., & Ok, J. (2021). Lp regularity for nonlinear elliptic equations with Schrödinger -type lower order terms, preprint, arXiv:2108.13779. Nguyen, T. N., & Tran, M. P. (2020a). Lorentz improving estimates for the p-Laplace equations with mixed data. Nonlinear Anal., 200, 111960. Nguyen, T. N., & Tran, M. P (2021a), Level-set inequalities on fractional maximal distribution functions and applications to regularity theory. J. Funct. Anal., 280(1), 108797. Nguyen, T. N., & Tran, M. P (2021b). Lorentz estimates for quasi-linear elliptic double obstacle problems involving a Schrödinger term. Math. Methods Appl. Sci., 44(7), 6101-6116. Nguyen, T. N., Tran, Q. V., Huynh, P. N., & Tran, M. P. (2022). Weighted distribution approach for a class of nonlinear elliptic equations associated to Schrödinger-type operators, preprint, 17 pages. Tran, M. P., & Nguyen, T. N. (2019a). Generalized good-λ techniques and applications to weighted Lorentz regularity for quasilinear elliptic equations. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 357(8), 664-670. Tran, M. P., & Nguyen, T. N. (2019b). Gradient estimates via Riesz potentials and fractional maximal operators for quasilinear elliptic equations with applications, preprint, arXiv:1907.01434v2. Tran, M. P., & Nguyen, T. N. (2020). New gradient estimates for solutions to quasilinear divergence form elliptic equations with general Dirichlet boundary data. J. Differ. Equ., 268(4), 1427-1462. Tran, M. P., & Nguyen, T. N. (2022a). Weighted distribution approach to gradient estimates for quasilinear elliptic double-obstacle problems in Orlicz spaces. J. Math. Anal. Appl., 509(1), 125928. Tran, M. P., & Nguyen, T. N. (2022b). Global gradient estimates for very singular quasilinear elliptic equations with non-divergence data. Nonlinear Anal., 214, 112613. 108
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 20, Số 1 (2023): 92-109 Tran, M. P., Nguyen, T. N, & Huynh, P. N. (2021). Calderón-Zygmund-type estimates for singular quasilinear elliptic obstacle problems with measure data, preprint, arXiv:2109.01026v2. Tran, M. P., Nguyen, T. N., & Nguyen, G. B. (2021). Lorentz gradient estimates for a class of elliptic p-Laplacian equations with a Schrödinger term. J. Math. Anal. Appl., 496(1), 124806. Tran, M. P., Nguyen, T. N., Pham, L. T. N., & Dang, T. T. T. (2021). Weighted Lorentz estimates for non-uniformly elliptic problems with variable exponents, preprint, 14 pages. Shen, Z. (1995). estimates for Schrödinger operators with certain potentials. Ann. Inst. Fourier, 45(2), 513-546. Vitali, G. (1908). Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali. Atti R. Accad. Sci. Torino, 43, 229-246. REGULARITY RESULTS FOR SOLUTIONS TO p-LAPLACE EQUATIONS CONTAINING SCHRÖDINGER TERMS IN LORENTZ SPACES WITH p≥n * Tran Dai Dinh Phong , Nguyen Huu Hai, Tran Phuoc An Ho Chi Minh City University of Education, Vietnam * Corresponding author: Tran Dai Dinh Phong – Email: trandaidinhhphong.hcmue@gmail.com Received: April 25, 2022; Revised: May 25, 2022; Accepted: June 18, 2022 ABSTRACT The p-Laplace equations containing the Schrödinger terms have been extensively applied in science. Recently, the regularity of the solution to this equation has been studied in different function spaces. This paper present the regularity results for solutions to p-Laplace equations containing the Schrödinger terms in Lorentz spaces with p ≥ n . The method used is to establish the distribution function inequality on the level sets of quantities related to the gradient of the solution and the given data under the influence of fractional maximal operators. This method has been recently developed and used effectively. Keywords: fractional-level maximal operator; gradient estimates; Lorentz space; p-Laplace equation; regularity theory 109

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.