Khảo sát tính đan rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích

KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI<br /> HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG THÊM HAI PHOTON TÍCH<br /> <br /> NGUYỄN THỊ KIM THANH - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br /> Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br /> <br /> Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi khảo sát tính đan rối và quá trình viễn<br /> tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích. Kết<br /> quả cho thấy, trạng thái này là một trạng thái đan rối thỏa mãn tiêu chuẩn đan<br /> rối Hyunchul Nha. Sau đó chúng tôi sử dụng trạng thái này làm nguồn rối để thực<br /> hiện quá trình viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp. Qua kết quả khảo sát độ<br /> trung thực trung bình trên đồ thị, chúng tôi nhận thấy quá trình viễn tải lượng tử<br /> là thành công với độ trung thực trung bình tiến gần đến 1.<br /> Từ khóa: tính chất đan rối, viễn tải lượng tử<br /> 1<br /> <br /> GIỚI THIỆU<br /> <br /> Trong quá trình viễn tải lượng tử, nguồn đan rối dùng cho việc viễn tải là một phần không<br /> thể thiếu và mức độ đan rối của nguồn này ảnh hưởng đến mức độ thành công của quá trình viễn<br /> tải lượng tử. Do đó, trong bài báo này, chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha để<br /> kiểm tra tính đan rối của trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích và đánh giá<br /> mức độ đan rối của nó. Sau đó chúng tôi dùng trạng thái này làm nguồn rối để thực hiện viễn tải<br /> một trạng thái kết hợp và dựa vào độ trung thực trung bình để đánh giá mức độ thành công của<br /> quá trình viễn tải.<br /> Trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích có dạng như sau:<br /> |ψiab = N a<br /> ˆ†ˆb† (|αia |βib + |βia |αib ),<br /> <br /> (1)<br /> <br /> trong đó<br /> N =q<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> ,<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2(|α| |β| + |α| + |β| + 1 + (|α| |β| +<br /> <br /> α∗ β<br /> <br /> +<br /> <br /> β∗α<br /> <br /> + 1)x)<br /> <br /> với x = |hα|βi|2 = exp(−|α − β|2 ), |αi, |βi là trạng thái kết hợp và α, β là số phức.<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 01(33)/2015: tr. 54-62<br /> <br /> KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ...<br /> <br /> 55<br /> <br /> 2 TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG THÊM HAI<br /> PHOTON TÍCH<br /> Tiêu chuẩn đan rối được chúng tôi sử dụng để khảo sát tính đan rối của trạng thái hai mode<br /> kết hợp đối xứng thêm hai photon tích là tiêu chuẩn do Hyunchul Nha [1] đưa ra, một trạng thái<br /> gọi là đan rối khi trung bình trong trạng thái đó thỏa mãn bất đẳng thức sau:<br /> [1 − hˆ<br /> a†2ˆb2 + a<br /> ˆ2ˆb†2 − a<br /> ˆ† a<br /> ˆˆbˆb† − a<br /> ˆa<br /> ˆ†ˆb†ˆbi + hˆ<br /> a†ˆb − a<br /> ˆˆb† i2 ]<br /> × [1 + hˆ<br /> a†2ˆb2 + a<br /> ˆ2ˆb†2 + a<br /> ˆ† a<br /> ˆˆbˆb† + a<br /> ˆa<br /> ˆ†ˆb†ˆbi − hˆ<br /> a†ˆb + a<br /> ˆˆb† i2 ] < (1 + hˆ<br /> a† a<br /> ˆ + ˆb†ˆbi)2<br /> 2<br /> <br /> 1 †ˆ<br /> 1 † †ˆˆ<br /> †ˆ†<br /> †<br /> †ˆ<br /> †<br /> ˆ<br /> ˆ<br /> ˆ<br /> hˆ<br /> aa<br /> ˆ bb − a<br /> ˆa<br /> ˆb b i + hˆ<br /> a b+a<br /> ˆb ihˆ<br /> a b−a<br /> ˆb i ,<br /> + 16<br /> 2i<br /> 4i<br /> <br /> (2)<br /> <br /> trong đó a<br /> ˆ† , ˆb† là toán tử sinh hạt và a<br /> ˆ, ˆb là toán tử hủy hạt. Để thuận lợi cho việc khảo sát, chúng<br /> tôi đưa vào tham số đan rối R dưới dạng<br /> R = [1 − hˆ<br /> a†2ˆb2 + a<br /> ˆ2ˆb†2 − a<br /> ˆ† a<br /> ˆˆbˆb† − a<br /> ˆa<br /> ˆ†ˆb†ˆbi + hˆ<br /> a†ˆb − a<br /> ˆˆb† i2 ]<br /> ˆˆb† i2 ] − (1 + hˆ<br /> a† a<br /> ˆ + ˆb†ˆbi)2<br /> a†ˆb + a<br /> ˆ† a<br /> ˆˆbˆb† + a<br /> ˆa<br /> ˆ†ˆb†ˆbi − hˆ<br /> ˆ2ˆb†2 + a<br /> × [1 + hˆ<br /> a†2ˆb2 + a<br /> <br /> 2<br /> 1 † †ˆˆ<br /> 1 †ˆ<br /> − 16<br /> ˆˆb† i .<br /> ˆa<br /> ˆˆb†ˆb† i + hˆ<br /> ˆˆb† ihˆ<br /> a†ˆb − a<br /> hˆ<br /> aa<br /> ˆ bb − a<br /> a b+a<br /> 2i<br /> 4i<br /> <br /> (3)<br /> <br /> Một trạng thái bất kỳ được gọi là trạng thái đan rối nếu tham số đan rối R < 0, và R càng âm<br /> nghĩa là mức độ đan rối càng tăng và ngược lại nếu R ≥ 0 thì trạng thái đó không đan rối. Với<br /> trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích, chúng tôi thu được tham số đan rối R<br /> dưới dạng tường minh như sau:<br /> <br /> n<br /> <br /> h<br /> R = 1 − 2|N |2 (β ∗2 α2 + α∗2 β 2 ) 9 + 3(|α|2 + |β|2 ) + |α|2 |β|2<br /> <br /> <br /> + (|α|4 + |β|4 ) 9 + 3(α∗ β + β ∗ α) + |α|2 |β|2 x<br /> <br /> −<br /> 4 + (|α|2 + |β|2 )(10 + 7 |α|2 |β|2 ) + 3(|α|4 + |β|4 )<br /> <br /> + 24 |α|2 |β|2 + 2 |α|4 |β|4 + 4 + (β ∗ α + α∗ β)(10 + 7 |α|2 |β|2 )<br />  oi<br /> + 3(α∗2 β 2 + β ∗2 α2 ) + 24 |α|2 |β|2 + 2 |α|4 |β|4 x<br /> h<br /> n<br /> <br /> <br /> × 1 + 2|N |2 (β ∗2 α2 + α∗2 β 2 ) 9 + 3(|α|2 + |β|2 ) + |α|2 |β|2<br /> <br /> <br /> + (|α|4 + |β|4 ) 9 + 3(α∗ β + β ∗ α) + |α|2 |β|2 x<br /> <br /> +<br /> 4 + (|α|2 + |β|2 )(10 + 7 |α|2 |β|2 ) + 3(|α|4 + |β|4 )<br /> <br /> + 24 |α|2 |β|2 + 2 |α|4 |β|4 + 4 + (β ∗ α + α∗ β)(10 + 7 |α|2 |β|2 )<br />  o<br /> + 3(α∗2 β 2 + β ∗2 α2 ) + 24 |α|2 |β|2 + 2 |α|4 |β|4 x<br /> n<br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 4<br /> ∗<br /> ∗<br /> − 4|N | (α β + αβ ) 4 + 2(|α| + |β| ) + |β| |α|<br /> <br /> 56<br /> <br /> NGUYỄN THỊ KIM THANH - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br /> <br />  o2 i<br /> + (|α|2 + |β|2 ) 4 + 2(α∗ β + β ∗ α) + |β|2 |α|2 x<br /> h<br /> n<br /> − 1 + 2|N |2 2 + (|α|2 + |β|2 )(4 + |α|2 |β|2 ) + 6 |α|2 |β|2<br /> <br /> + |α|4 + |β|4 + 2 + (α∗ β + β ∗ α)(4 + |α|2 |β|2 )<br />  oi2<br /> .<br /> + 6 |α|2 |β|2 + α∗2 β 2 + β ∗2 α2 x<br /> <br /> (4)<br /> <br /> Vì α, β là hai số phức nên chúng tôi chọn α = |α| exp(iϕ1 ), β = |β| exp(iϕ2 ) và ϕ = ϕ1 − ϕ2 . Xét<br /> trường hợp ϕ = 0, kết quả khảo sát sự phụ thuộc của tham số đan rối R vào biên độ kết hợp |α| và<br /> |β| được thể hiện trên hình 1.<br /> <br /> Hình 1: Sự phụ thuộc của tham số đan rối R vào biên độ kết hợp |α| với |β| = 0.8|α| và<br /> |β| = 1.2|α| theo thứ tự từ trên xuống.<br /> Hình 1 cho thấy sự phụ thuộc của tham số đan rối R vào biên độ kết hợp |α| với |β| = 0.8|α| và<br /> |β| = 1.2|α|. Với các giá trị |β| đã chọn thì tham số đan rối R luôn âm với mọi giá trị của |α| và |α|<br /> càng tăng thì R càng âm. Như vậy trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích là<br /> trạng thái rối hoàn toàn theo tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha khi ta chọn các tham số |β| thích<br /> hợp. Do đó, trạng thái này có thể sử dụng làm nguồn rối để thực hiện viễn tải lượng tử.<br /> 3 QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI<br /> XỨNG THÊM HAI PHOTON TÍCH<br /> Qua kết quả khảo sát tính đan rối chúng tôi thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng<br /> thêm hai photon tích là một trạng thái đan rối. Do đó, chúng tôi sẽ sử dụng trạng thái này làm<br /> nguồn rối để viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp.<br /> Trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích biểu diễn theo trạng thái Fock<br /> có dạng<br /> <br /> KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ...<br /> <br /> |ψiab<br /> <br /> <br /> <br /> |α|2 + |β|2<br /> = N exp −<br /> 2<br /> ∞<br /> X α n β m hp<br /> √<br /> ×<br /> (n + 1)(m + 1)|n + 1, m + 1iab<br /> n!m!<br /> n,m=0<br /> i<br /> p<br /> (m + 1)(n + 1)|m + 1, n + 1iab .<br /> +<br /> <br /> 57<br /> <br /> (5)<br /> <br /> Theo mô hình viễn tải biến liên tục [2], trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích<br /> có hai mode a và b, trong đó mode a được đưa tới Alice và mode b được đưa tới Bob, trạng thái<br /> được viễn tải là trạng thái kết hợp |γic . Tại nơi gửi thông tin, trước khi thực hiện phép đo Bell [3],<br /> Alice sẽ thực hiện tổ hợp một trạng thái ba mode có dạng<br /> <br /> <br /> |α|2 + |β|2<br /> |ψiabc = N exp −<br /> 2<br /> ∞<br /> h<br /> n<br /> m<br /> X<br /> p<br /> α β<br /> √<br /> ×<br /> (n + 1)(m + 1)|n + 1, m + 1iab |γic<br /> n!m!<br /> n,m=0<br /> i<br /> p<br /> (m + 1)(n + 1)|m + 1, n + 1iab |γic .<br /> +<br /> (6)<br /> Tiếp theo, Alice dùng phép đo Bell tổ hợp trên hai mode a và c. Khi phép đo tổ hợp hoàn thành,<br /> trạng thái tích |ψiabc sụp đổ. Do Bob và Alice cùng chia sẻ trạng thái rối nên Bob có trạng thái<br /> sau:<br />  X<br /> <br /> ∞<br /> αn β m 2<br /> |α|2 + |β|2<br /> √<br /> √<br /> |ψiB = N exp −<br /> 2<br /> n!m! π<br /> n,m,k=0<br /> hp<br /> ˆ c (−2A)|n + 1ia |m + 1ib |γic<br /> ×<br /> (n + 1)(m + 1)a hk|c hk|D<br /> i<br /> p<br /> ˆ c (−2A)|m + 1ia |n + 1ib |γic .<br /> +<br /> (m + 1)(n + 1)a hk|c hk|D<br /> (7)<br /> Áp dụng tính chất của toán tử dịch chuyển và thực hiện các bước biến đổi ta thu được<br /> <br /> <br /> 1<br /> |α|2 + |β|2<br /> 2N<br /> |ψiB = √ exp −<br /> exp(A∗ γ − Aγ ∗ ) exp(− |γ − 2A|2 )<br /> 2<br /> 2<br /> π<br /> p<br /> ∞<br /> X αn β m h (m + 1)<br /> √<br /> √<br /> ×<br /> (γ − 2A)n+1 |m + 1ib<br /> n!m!<br /> n!<br /> n,m=0<br /> p<br /> i<br /> (n + 1)<br /> √<br /> +<br /> (γ − 2A)m+1 |n + 1ib .<br /> m!<br /> <br /> (8)<br /> <br /> Bây giờ, bên Bob tồn tại trạng thái ứng với mode b chứa các thông tin về mode c. Bob sẽ thực hiện<br /> ˆ<br /> phép dịch chuyển D(g2A)<br /> để xây dựng lại trạng thái được viễn tải ban đầu |γic , trạng thái cuối<br /> cùng thu được trong quá trình viễn tải sẽ là<br /> <br /> 58<br /> <br /> NGUYỄN THỊ KIM THANH - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br /> <br /> ˆ<br /> |ψiout = D(g2A)|ψi<br /> B<br /> <br /> <br /> 1<br /> 2N<br /> |α|2 + |β|2<br /> exp(A∗ γ − Aγ ∗ ) exp(− |γ − 2A|2 )<br /> = √ exp −<br /> 2<br /> 2<br /> π<br /> p<br /> ∞<br /> h<br /> n<br /> m<br /> X α β<br /> (m + 1)<br /> ˆ<br /> √<br /> √<br /> + 1ib<br /> (γ − 2A)n+1 D(g2A)|m<br /> ×<br /> n!m!<br /> n!<br /> n,m=0<br /> p<br /> i<br /> (n + 1)<br /> ˆ<br /> √<br /> +<br /> + 1ib .<br /> (γ − 2A)m+1 D(g2A)|n<br /> m!<br /> <br /> (9)<br /> <br /> Đến thời điểm này, quá trình viễn tải lượng tử đã hoàn thành.<br /> Mức độ thành công của quá trình viễn tải lượng tử được đánh giá dựa vào độ trung thực<br /> trung bình Fav . Độ trung thực trung bình được xác định thông qua biểu thức<br /> Z<br /> Fav = |in hψ|ψiout |2 d2 A,<br /> (10)<br /> với Fav = 1/2 là giới hạn viễn tải cổ điển, Fav = 1 là độ trung thực trung bình của quá trình viễn<br /> tải hoàn hảo. Vì vậy, độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải lượng tử phải thoả mãn điều<br /> kiện 1/2 < Fav ≤ 1. Để xác định Fav ta tính<br /> <br /> <br /> 2N<br /> |α|2 + |β|2<br /> exp(A∗ γ − Aγ ∗ )<br /> in hψ|ψiout = √ exp −<br /> 2<br /> π<br /> ∞<br /> X<br /> 1<br /> αn β m<br /> √<br /> × exp(− |γ − 2A|2 )<br /> 2<br /> n!m!<br /> n,m=0<br /> p<br /> h (m + 1)<br /> ˆ<br /> √<br /> ×<br /> (γ − 2A)n+1 hγ|D(g2A)|m<br /> + 1i<br /> n!<br /> p<br /> i<br /> (n + 1)<br /> ˆ<br /> √<br /> (γ − 2A)m+1 hγ|D(g2A)|n<br /> + 1i .<br /> (11)<br /> +<br /> m!<br /> Sử dụng tính chất của toán tử dịch chuyển và khai triển trạng thái kết hợp theo trạng thái Fock,<br /> ta được<br /> <br /> <br /> 2N<br /> |α|2 + |β|2<br /> exp(A∗ γ − Aγ ∗ )<br /> in hψ|ψiout = √ exp −<br /> 2<br /> π<br /> 1<br /> 1<br /> × exp(− |γ − 2A|2 ) exp [g(γ ∗ A − A∗ γ)] exp(− |γ − g2A|2 )<br /> 2<br /> 2<br /> ∞<br /> X<br /> αn β m h<br /> ×<br /> (γ − 2A)n+1 (γ ∗ − g2A∗ )m+1<br /> n!m!<br /> n,m=0<br /> i<br /> + (γ − 2A)m+1 (γ ∗ − g2A∗ )n+1 .<br /> (12)<br /> Từ đó ta có<br /> <br />