Khảo sát tính đan rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng

KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ<br /> VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG<br /> THÊM HAI PHOTON TỔNG<br /> <br /> NGUYỄN HỮU THỊNH - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br /> Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế<br /> TRẦN QUANG ĐẠT<br /> Trường Đại học Giao thông vận tải, TP Hồ Chí Minh<br /> <br /> Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát tính đan rối và viễn<br /> tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon<br /> tổng. Bằng việc sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy, chúng tôi<br /> đã thu được kết quả trạng thái hai mode kết hợp đối xứng là một trạng<br /> thái đan rối hoàn toàn. Sau đó, chúng tôi sử dụng trạng thái này làm<br /> nguồn rối để viễn tải một trạng thái kết hợp và đánh giá mức độ thành<br /> công của quá trình thông qua độ trung thực trung bình Fav . Sau khi<br /> khảo sát chúng tôi nhận thấy quá trình viễn tải với trạng thái này là<br /> thành công với độ trung thực tiến tới độ trung thực lý tưởng Fav = 1.<br /> Từ khóa: tính chất đan rối, viễn tải lượng tử, điều kiện đan rối HilleryZubairy<br /> 1<br /> <br /> GIỚI THIỆU<br /> <br /> Năm 1993, Bennett và các cộng sự của mình đưa ra mô hình lý thuyết đầu tiên về viễn<br /> tải lượng tử [1], mô hình này đã chứng minh rằng về mặt nguyên tắc viễn tải lượng tử<br /> là có thể xảy ra. Sau Bennett, rất nhiều mô hình viễn tải đã được đề xuất. Năm 1997,<br /> Braunstein và Kimble cũng đưa ra mô hình viễn tải biến liên tục với nguồn rối không hoàn<br /> toàn [2]. Trước đây, nguồn rối được sử dụng là trạng thái Gauss, trong đó trạng thái nén<br /> chân không hai mode được sử dụng, và các trạng thái viễn tải ban đầu là các trạng thái<br /> kết hợp đơn mode. Hiện nay, các nhà khoa học thực nghiệm và lý thuyết quan tâm nhiều<br /> đến nghiên cứu viễn tải biến liên tục sử dụng trạng thái phi Gauss làm nguồn rối và mở<br /> rộng với các trạng thái đa mode. Trong bài báo của Agarwal [3], nguồn rối sử dụng là<br /> trạng thái kết hợp cặp (trạng thái phi Gauss) và trạng thái viễn tải là trạng thái kết hợp,<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 04(36)/2015: tr. 24-31<br /> <br /> KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ...<br /> <br /> 25<br /> <br /> kết quả thu được độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải đạt 0.75884, chứng tỏ<br /> trạng thái kết hợp cặp phù hợp làm nguồn rối. Trong các trạng thái kết hợp, có trạng thái<br /> hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng có dạng như sau<br /> ˆ† ) (|αi |βi + |βi |αi ) ,<br /> |ψiab = Nα,β (ˆ<br /> a† + b<br /> a<br /> b<br /> a<br /> b<br /> <br /> (1)<br /> <br /> trong đó a<br /> ˆ† , ˆb† và a<br /> ˆ, ˆb tương ứng là các cặp toán tử sinh, hủy photon ứng với hai mode<br /> −1<br /> r <br /> <br /> 2 |α|2 + |β|2 + α∗ β + β ∗ α + 2 (1 + x)<br /> là hệ số chuẩn hóa (với x =<br /> a, b, Nα,β =<br /> <br /> <br /> |hα | βi|2 = exp −|α − β|2 .<br /> Trong bài báo này chúng tôi sẽ tiến hành khảo sát mức độ đan rối của trạng thái hai mode<br /> kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng và sau đó sử dụng trạng thái này làm nguồn rối để<br /> thực hiện quá trình viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp. Qua đó, chúng tôi đánh giá<br /> mức độ thành công của quá trình viễn tải lượng tử thông qua độ trung thực trung bình.<br /> 2<br /> <br /> TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG THÊM<br /> HAI PHOTON TỔNG<br /> <br /> Để khảo sát tính đan rối của trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng,<br /> chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy [4]. Điều kiện đan rối tổng quát được<br /> cho bởi biểu thức<br /> E<br /> D<br /> E D<br />  m ˆ† n 2<br /> † m m ˆ† nˆn<br /> (ˆ<br /> a) a<br /> ˆ (b ) b <  a<br /> ˆ (b )  .<br /> (2)<br /> Xét m = n = 1 điều kiện đan rối trên trở thành<br /> D<br /> E D E2<br />  ˆ† <br /> a<br /> ˆ† a<br /> ˆˆb†ˆb <  a<br /> ˆb  ,<br /> <br /> (3)<br /> <br /> để thuận tiện cho khảo sát chúng tôi đưa vào tham số đan rối R dưới dạng<br /> D<br /> E D E2<br />  ˆ† <br /> R= a<br /> ˆ† a<br /> ˆˆb†ˆb −  a<br /> ˆb  .<br /> <br /> (4)<br /> <br /> Một trạng thái bất kì được xem là trạng thái đan rối nếu R < 0 , ngược lại nếu giá trị giá<br /> R > 0 thì điều đó có nghĩa rằng trạng thái đó không đan rối.<br /> Sử dụng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng đã được đưa ra ở<br /> phương trình (1), các số hạng trong phương trình (4) và các kết quả trung bình sau khi<br /> tính toán, ta thu được kết quả tham số đan rối R như sau<br /> <br /> 26<br /> <br /> NGUYỄN HỮU THỊNH và cs.<br /> <br /> R =<br /> =<br /> +<br /> −<br /> +<br /> +<br /> +<br /> <br /> E D E2<br />  ˆ† <br /> a<br /> ˆ† a<br /> ˆˆb†ˆb −  a<br /> ˆb <br /> h<br /> <br /> 2 <br /> |Na,b |2 |α|2 |β| |α|2 + |β|2 + α∗ β + β ∗ α + 6<br /> <br /> <br /> i<br /> o<br /> (α∗ β + β ∗ α) |α|2 + |β|2 + 1 + |α|2 + |β|2 (1 + x)<br /> n<br /> <br /> |Na,b |4 |α|2 + |β|2 + 4 (α∗ β + β ∗ α)<br /> <br /> <br /> 2 |α|2 |β|2 + |α|2 + |β|2 + α2 β ∗2 + β 2 α∗2 + 1<br /> h<br /> <br /> |α|2 + |β|2 + 2 (α∗ β + β ∗ α)<br /> <br /> <br /> i o2<br /> 4 |α|2 + |β|2 + |α|4 + |β|4 + 2 |α| 2 |β|2 + 2 x .<br /> D<br /> <br /> (5)<br /> <br /> Để thuận tiện cho việc khảo sát quá trình đan rối, chúng tôi chọn các thông số α =<br /> |α| exp(iϕ1 ), β = |β| exp(iϕ1 ) và ϕ = ϕ1 − ϕ2 . Tiến hành khảo sát sự phụ thuộc của tham<br /> số đan rối R vào biên độ kết hợp r. Kết quả khảo sát được thể hiện trên Hình 1.<br /> <br /> Hình 1: Sự phụ thuộc của tham số đan rối R vào biên độ kết hợp r với các giá trị<br /> |β| = 0.8 |α|, |β| = 1.2 |α| và |β| = 2 |α| tương ứng theo thứ tự từ trên xuống dưới.<br /> <br /> Trong hình vẽ này, với các giá trị khác nhau của k = 0.8; 1.2; 2 ta nhận thấy tham số đan<br /> rối R là âm và r càng tăng thì R càng âm, tức là mức độ đan rối là hoàn toàn. Điều này<br /> khẳng định trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng là trạng thái đan<br /> rối hoàn toàn và có thể sử dụng chúng như là một nguồn tài nguyên đan rối để thực hiện<br /> quá trình viễn tải lượng tử.<br /> <br /> KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ...<br /> <br /> 3<br /> <br /> 27<br /> <br /> VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG<br /> THÊM HAI PHOTON TỔNG<br /> <br /> Khi khảo sát tính chất đan rối chúng ta nhận thấy rằng trạng thái hai mode đối xứng<br /> thêm hai photon tổng là một trạng thái đan rối hoàn toàn. Do đó, chúng ta sử dụng trạng<br /> thái này như là một nguồn tài nguyên đan rối để viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp.<br /> Trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng biểu diễn theo trạng thái<br /> Fock có dạng<br /> ! ∞<br /> 2<br /> X αn β m<br /> |α|2 + |β|<br /> √<br /> |ψiab = Nα,β exp −<br /> 2<br /> n!m!<br /> n,m=0<br /> √<br /> √<br /> ×<br /> n + 1 |n + 1, miab + m + 1|m + 1, niab<br /> (6)<br /> √<br /> √<br /> <br /> m + 1|n, m + 1iab + n + 1|m, n + 1iab .<br /> +<br /> Trong mô hình viễn tải này, bên gởi thông tin là Alice và bên nhận thông tin là Bob cùng<br /> chia sẻ một trạng thái rối. Mode a gửi đến Alice, mode b gửi đến Bob. Trạng thái được<br /> viễn tải là trạng thái kết hợp |γic tương ứng với mode c được đưa vào Alice. Đầu tiên Alice<br /> sẽ thực hiện việc tổ hợp trạng thái ba mode<br /> ! ∞<br /> 2<br /> X αn β m<br /> |α|2 + |β|<br /> √<br /> |ψiabc = Nα,β exp −<br /> 2<br /> n!m!<br /> n,m=0<br /> √<br /> √<br /> n + 1 |n + 1, miab |γic + m + 1|m + 1, niab |γic<br /> (7)<br /> ×<br /> √<br /> √<br /> <br /> +<br /> m + 1|n, m + 1iab |γic + n + 1|m, n + 1iab |γic .<br /> Tiếp theo, Alice dùng phép đo Bell tổ hợp trên hai mode a và c<br /> ∞<br /> 2 X ˆ<br /> |B(X, P )ica = √<br /> Dc (2A)|k, kiac .<br /> π<br /> <br /> (8)<br /> <br /> k=0<br /> <br /> Khi phép đo tổ hợp hoàn thành, trạng thái này sụp đổ. Do Bob và Alice cùng chia sẻ trạng<br /> thái rối nên Bob có trạng thái sau<br /> |ψiB =<br /> =<br /> ×<br /> +<br /> +<br /> +<br /> <br /> ca hB(X, P )<br /> <br /> |ψiabc<br /> <br /> ! ∞<br /> 2<br /> X αn β m<br /> |α|2 + |β|<br /> √<br /> Nα,β exp −<br /> 2<br /> n!m!<br /> n,m=0<br /> √<br /> n + 1 ca hB(X, P ) |n + 1, miab |γic<br /> √<br /> m + 1ca hB(X, P ) |m + 1, niab |γic<br /> √<br /> m + 1ca hB(X, P ) |n, m + 1iab |γic<br /> √<br /> <br /> n + 1ca hB(X, P ) |m, n + 1iab |γic ,<br /> <br /> (9)<br /> <br /> 28<br /> <br /> NGUYỄN HỮU THỊNH và cs.<br /> <br /> Sử dụng tính chất của toán tử dịch chuyển và thực hiện các bước biến đổi ta thu được<br /> <br /> |ψiB =<br /> ×<br /> ×<br /> +<br /> <br /> ! ∞<br /> 2<br /> X αn β m<br /> 2<br /> |α|2 + |β|<br /> √ Nα,β exp −<br /> √<br /> 2<br /> π<br /> n!m!<br /> n,m=0<br /> <br /> <br /> 1<br /> exp (A∗ γ − Aγ ∗ ) exp − |γ − 2A|2<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> √ (γ − 2A)n+1 |mib + √ (γ − 2A)m+1 |nib<br /> n!<br /> m!<br /> √<br /> √<br /> <br /> m+1<br /> n+1<br /> n<br /> m<br /> √<br /> (γ − 2A) |m + 1ib + √<br /> (γ − 2A) |n + 1ib .<br /> n!<br /> m!<br /> <br /> (10)<br /> <br /> Bây giờ, bên Bob tồn tại trạng thái ứng với mode b chứa các thông tin về mode c. Bob sẽ<br /> ˆ<br /> thực hiện phép dịch chuyển D(g2A)<br /> để xây dựng lại trạng thái được viễn tải ban đầu |γic ,<br /> với g là hệ số điều khiển mà Bob dùng để hoàn thiện độ trung thực của quá trình viễn tải.<br /> Trạng thái cuối cùng thu được trong quá trình viễn tải sẽ là<br /> ˆ<br /> |ψiout = D(g2A)|ψi<br /> B<br /> =<br /> ×<br /> ×<br /> +<br /> +<br /> +<br /> <br /> ! ∞<br /> 2<br /> X αn β m<br /> |α|2 + |β|<br /> 2<br /> √ Nα,β exp −<br /> √<br /> 2<br /> π<br /> n!m!<br /> n,m=0<br /> <br /> <br /> 1<br /> exp (A∗ γ − Aγ ∗ ) exp − |γ − 2A|2<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> ˆ<br /> √ (γ − 2A)n+1 D(g2A)|mi<br /> b<br /> n!<br /> 1<br /> ˆ<br /> √ (γ − 2A)m+1 D(g2A)|ni<br /> b<br /> m!<br /> √<br /> m+1<br /> ˆ<br /> √<br /> (γ − 2A)n D(g2A)|m<br /> + 1ib<br /> n!<br /> √<br /> <br /> n+1<br /> mˆ<br /> √<br /> (γ − 2A) D(g2A)|n + 1ib .<br /> m!<br /> <br /> (11)<br /> <br /> Độ trung thực trung bình Fav trong quá trình viễn tải được xác định qua biểu thức<br /> Z<br /> Fav =<br /> <br /> |in hψ |ψiout |2 d2 A.<br /> <br /> (12)<br /> <br /> Một quá trình viễn tải là thành công nếu 0.5 ≤ Fav ≤ 1. Một quá trình viễn tải được đánh<br /> giá là hoàn hảo nếu đạt được Fav = 1. Từ đó để đánh giá mức độ thành công của quá trình<br /> viễn tải ta tiến hành tính toán độ trung thực trung bình Fav như sau:<br /> <br />