Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí

Chia sẻ: Huyền Thanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 4
download

Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình vi phân có ứng dụng rộng rãi trong các ngành như kinh tế, trong điều tra tội phạm, trong mô hình tốc độ tăng dân số, trong vật lí,… Đặc biệt là trong ngành Vật lí lý thuyết – một bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí. Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lí, các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí, từ đó tìm ra tính đúng đắn của các giả thuyết ấy. Và phương trình vi phân là một công cụ, một giải pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán trong quá trình chứng minh các giả thuyết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÍ ĐỖ THỊ THƢƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÍ ĐỖ THỊ THƢƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN Hà Nội – 2018
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Vật Lý – trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo Th.s Nguyễn Thị Phương Lan đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành đề tài luận văn này. Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa. Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Đỗ Thị Thương
LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của cô giáo Th.s Nguyễn Thị Phương Lan cùng với sự cố gắng của bản thân em.Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo). Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu em sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Sinh viên Đỗ Thị Thương
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN. ........................................................ 3 1.1. Một số khái niệm............................................................................................ 3 1.1.1. Cấp của phƣơng trình vi phân. .................................................................... 3 1.1.2. Phƣơng trình vi phân thƣờng. ..................................................................... 3 1.1.3. Nghiệm của phƣơng trình vi phân. ............................................................. 3 1.2. Phƣơng trình vi phân cấp một. ....................................................................... 3 1.2.1. Định nghĩa. .................................................................................................. 3 1.2.2. Một số dạng phƣơng trình. .......................................................................... 4 1.2.2.1. Phƣơng trình đẳng cấp cấp 1.................................................................... 4 1.2.2.2. Phƣơng trình vi phân toàn phần. .............................................................. 6 1.2.2.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một................................................. 7 1.2.2.4. Phƣơng trình Bernoulli. ........................................................................... 9 1.3. Phƣơng trình vi phân cấp 2. ......................................................................... 10 CHƢƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP VI PHÂN ............................. 13 ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ. ......................................................... 13 2.1. Phƣơng trình vi phân cấp 1. ......................................................................... 13 2.1.1. Phƣơng trình Bernoulli. ............................................................................ 13 2.1.2. Sự phân rã phóng xạ.................................................................................. 14 2.1.3. Định luật Newton về nhiệt độ môi trƣờng. ............................................... 15 2.1.4. Một số bài toán về cơ học. ........................................................................ 16 2.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2. ........................................................ 18 2.3. Một số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt. ................................................ 21 2.3.1. Phƣơng trình dao động của sợi dây. ......................................................... 21 2.3.2. Phƣơng trình truyền nhiệt. ........................................................................ 27 2.3.3. Phƣơng trình Schrodinger. ........................................................................ 30 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC VÀ ĐỜI SỐNG. 35 3.1. Trong y sinh và hóa lý (dƣợc động lực học và quá trình biến đổi các hóa chất đơn giản, sự phát triển của dịch bệnh). ....................................................... 35
3.1.1. Dƣợc động lực học và quá trình biến đổi các hóa chất đơn giản.............. 35 3.1.2. Sự phát triển của dịch bệnh:...................................................................... 38 3.2. Trong lý kinh tế (tăng trƣởng hàng hóa và giá cả). ..................................... 39 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 41
LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phƣơng trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế, nó vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng. Nhiều bài toán cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu của các phƣơng trình vi phân tƣơng ứng. Phƣơng trình vi phân có ứng dụng rộng rãi trong các ngành nhƣ kinh tế, trong điều tra tội phạm, trong mô hình tốc độ tăng dân số, trong vật lí,… Đặc biệt là trong ngành Vật lí lý thuyết – một bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí. Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lí, các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí, từ đó tìm ra tính đúng đắn của các giả thuyết ấy. Và phƣơng trình vi phân là một công cụ, một giải pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán trong quá trình chứng minh các giả thuyết. Vì vậy, em đã quyết định lựa chọn đề tài: “Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí” để nghiên cứu. Khóa luận bao gồm các nội dung:  Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân  Chƣơng 2: Áp dụng các phƣơng trình vi phân để giải một số bài toán  Chƣơng 3: Một số ứng dụng trong khoa học và đời sống 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu về các dạng phƣơng trình vi phân. - Ứng dụng giải các bài toán vật lí bằng phƣơng trình vi phân. 3. Đối tƣợng nghiên cứu - Các dạng phƣơng trình vi phân. - Một số bài toán vật lí áp dụng phƣơng trình vi phân. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về các dạng phƣơng trình vi phân. - Nghiên cứu về các bài toán vật lý sử dụng phƣơng trình vi phân để giải. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo trên sách, trên mạng,… - Thống kê, lập luận, diễn giải. 1
6. Những đóng góp mới của khóa luận Trình bày khái quát hệ thống ứng dụng của phƣơng trình vi phân vào giải một số bài toán vật lý. 2
CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1. Một số khái niệm. 1.1.1. Cấp của phƣơng trình vi phân. Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phƣơng trình vi phân đƣợc gọi là cấp hay bậc của phƣơng trình vi phân đó Ví dụ: ( y' )2  4 xy3  5 y5  0, có mặt đạo hàm cấp 1 nên đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân cấp 1 ( y '' )2  5( y ' )3  y  1; ( y ' )5  ( y '' )2  y  1, có mặt đạo hàm cấp 2 nên đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân cấp 2 1.1.2. Phƣơng trình vi phân thƣờng. Phƣơng trình vi phân có dạng F ( x, y, y ' ,... y ( n) )  0, đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân thƣờng cấp n. Trong đó x là biến số độc lập, y là hàm phải tìm, là đạo hàm cấp 1 của y,... là đạo hàm cấp n của y 1.1.3. Nghiệm của phƣơng trình vi phân. Nghiệm hay tích phân của phƣơng trình vi phân là mọi hàm số y = f(x) mà khi thay vào phƣơng trình sẽ biến phƣơng trình thành đồng nhất thức Ví dụ: Phƣơng trình y ''  y  0, nhận các hàm số y = sinx, y = cosx, y = 2cosx – sinx và tổng quát là hàm số có dạng y = sinx + cosx là nghiệm của phƣơng trình, với mọi hằng số và 1.2. Phƣơng trình vi phân cấp một. 1.2.1. Định nghĩa. Phƣơng trình vi phân cấp một là phƣơng trình có dạng F(x,y, ) = 0 (1.1) Hay = f(x,y) hay = f(x,y) y Ví dụ: 3 yy '  3x 2  0 ; y 2 dx  xdy  0 ; y '   x Hoặc từ (1.1) ta giải ra đƣợc: 3
y '  f ( x, y) Ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm. Ta cũng có thể viết phƣơng trình vi phân đã giải ra đạo hàm dƣới dạng đối xứng M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 Cách giải: Ta dùng phƣơng pháp tách biến - Đƣa phƣơng trình vi phân cấp một về dạng: A(x)dx + B(y)dy = 0 (1.2) Trong đó A(x), B(y) là các hàm lần lƣợt chỉ phụ thuộc vào x và y. - Tích phân 2 vế phƣơng trình (1.2) ta đƣợc tích phân tổng quát của (1.2):  A( x)dx   B( y)dy  C Ví dụ: Giải phƣơng trình: (1  x) ydx  (1  y) xdy  0 Nếu x ≠ 0, y ≠ 0, có thể viết phƣơng trình thành: 1 1 (  1)dx  (1  )dy x y Lấy tích phân hai vế ta đƣợc: ln|x| + x = y - ln|y| + C Hay ln|xy| + x – y = C Đó là tích phân tổng quát của phƣơng trình. 1.2.2. Một số dạng phƣơng trình. 1.2.2.1. Phƣơng trình đẳng cấp cấp 1. Phƣơng trình y’ = f(x,y) đƣợc gọi là phƣơng trình đẳng cấp nếu f (x, y) là hàm đẳng cấp bậc 0, nghĩa là f (x, y)  f (tx, ty) x y ví dụ: y'  là phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp một x y Cách giải: Theo định nghĩa phƣơng trình đẳng cấp ta có f (tx, ty)  f (x, y) 4
1 y Chọn t  ( x  0 )thì ta có y '  f (x, y)  f(1, ) (1.3) x x y Vế phải của phƣơng trình (1.3) là một biểu thức luôn phụ thuộc vào do x y y vậy y '  f (1, )   ) (1.4) x x y Đặt u  y  u.x y '  u  x.u ' thế vào phƣơng trình (1.4) ta có x.u '   (u)  u x - Trƣờng hợp 1:  (u)  u y y Khi đó: ( )  x x y dy dx Do đó phƣơng trình (**) trở thành y '   y  Cx x y x - Trƣờng hợp 2:  (u)  u  0 du dx Khi đó:  : phƣơng trình tách biến  (u)  u x x y Ví dụ: Giải phƣơng trình vi phân y '  x y Rõ ràng đây là phƣơng trình đẳng cấp. Ta viết lại phƣơng trình nhƣ sau: y 1 x y x y'   x  y 1 y x y Đặt u  . Ta có: y '  u ' x  u và thay vào phƣơng trình ta có: x 1 u 1 u dx u' x  u  du  1 u 1 u 2 x Lấy tích phân hai vế ta đƣợc: du udu  1 u   1 u 2 2  ln x  lnC 1 arctgu  ln(1  u 2 )  ln C x 2 Hay arctgu  ln C x 1  u 2 y arctg ( ) Vậy nghiệm của phƣơng trình có dạng: C( x  y )  e 2 2 x 5
1.2.2.2. Phƣơng trình vi phân toàn phần. Phƣơng trình: M (x, y) dx  N(x, y) dy  0 (1.5) Đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân toàn phần khi nó thỏa mãn điều kiện là vế trái của phƣơng trình (1.5) phải là vi phân toàn phần của một hàm khả vi nào đó. Tức là tồn tại hàm U (x, y) khả vi nào đó sao cho: dU (x, y)  M(x, y) dx  N(x, y) dy Điều kiện để một phƣơng trình vi phân dạng (1.5) trở thành một phƣơng trình vi phân toàn phần (hay cách nhận biết một phƣơng trình vi phân toàn phần) là: M N  y x Cách giải: Nếu (1.5) là phƣơng trình vi phân toàn phần thì tích phân tổng quát của phƣơng trình (1.5) là: x y U (x, y)   M (x, y0 ) dx   N (x, y)dy  C (1.6) x0 y0 Hoặc x y U (x, y)   M (x, y) dx   N (x 0 , y)dy  C (1.7) x0 y0 Với (x 0 , y0 ) là một điểm bất kì mà khi thay vào các hàm M (x, y0 ) , N (x 0 , y) xác định. Ví dụ: Giải phƣơng trình: (3x2  6 xy 2 )dx  (6 x2 y  4 y3 )dy  0 (1.8) Giải: Trƣớc tiên ta phải kiểm tra điều kiện để phƣơng trình đã cho có là phƣơng trình vi phân toàn phần hay không Ta có: M(x, y)  (3x2  6 xy 2 ) , N(x, y)  (6 x2 y  4 y3 ) M N   12 xy y x Vậy (1.8) là phƣơng trình vi phân toàn phần. Chọn (x 0 , y0 )  (0,0) 6
Theo công thức (1.7) ta đƣợc: x y  (3x  6 xy )dx   4 y dy  C 2 2 3 0 0 Hay tích phân tổng quát của phƣơng trình (1.8) là: x 3  3x 2 y 2  y 4  C 1.2.2.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một là phƣơng trình có dạng: y '   p(x) y q(x) (1.9) (hay y '  p(x) y  q(x) ) Trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trƣớc - Nếu q(x) 0 thì (1.9) đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất. - Nếu q(x) 0 thì (2.9) đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một không thuần nhất. Cách giải:  Cách 1: Phƣơng pháp thừa số tích phân. Nhân 2 vế của (1.9) với thừa số e p ( x ) dx ta đƣợc: y 'e   p( x)e y  q( x)e p ( x ) dx p (x)dx p ( x ) dx (1.10) Ta chú ý vế trái của phƣơng trình (1.10) sẽ thấy biểu thức ở vế trá chính là đạo hàm của tích số y.e p ( x ) dx . Vậy ta viết lại phƣơng trình (1.10) nhƣ sau: ( y.e )  q( x).e p ( x ) dx ' p ( x ) dx Lấy tích phân 2 vế ta đƣợc: y.e   q( x).e  p ( x ) dx p ( x ) dx dx  C Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.9) có dạng:  p ( x ) dx  ye  .   q( x).e  dx  C  p ( x ) dx   Lƣu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trƣờng hợp hệ số của y ' bằng 1. Ví dụ: Giải phƣơng trình: y '  2 xy  4 x Giải: 7
Nhân 2 vế của phƣơng trình với thừa số e  e x 2 xdx 2 Ta đƣợc: y ' .e x  2 xe x . y  4 x.e x 2 2 2 Hay d ( y.e x )  4 x.e x 2 2 dx Lấy tích phân 2 vế ta đƣợc: y.e x  4 x.e x dx  C  2e x  C 2 2 2 Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là: y  2  C.e x 2  Cách 2: Phƣơng pháp Bernoulli (phƣơng pháp tìm nghiệm dƣới dạng tích) Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phƣơng trình có dạng tích của 2 hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phƣơng trình dƣới dạng tích: y  u( x).v( x) Ta có: y '  u 'v  v'u Thế vào phƣơng trình (1.9) ta có: (u 'v  v'u)  p( x).(u.v)  q( x) Hay (u '  p( x).u)v  v' .u  q( x) (1.11) Phƣơng trình (1.11) có tới 4 thông số chƣa biết là u, v, nên không thể giải để tìm u, v bất kì. Để tìm u, v thỏa mãn phƣơng trình (1.11), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi một hàm chƣa biết. Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho u '  p( x).u  0 (1.12) Ta dễ dàng tìm đƣợc hàm u(x) thỏa mãn (1.12) vì (1.12) chính là phƣơng trình tách biến. Khi đó:   p(x) dx  u(x)  C.e  du  p ( x ) dx u Chọn C=1 ta có u(x)  e   p ( x ) dx Nhƣ vậy ta tìm đƣợc hàm u(x) nên từ (1.11) ta sẽ có:  q( x).e  v   q( x).e  q ( x) p ( x ) dx p ( x ) dx v'  dx  C1 u ( x) Vậy, nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.9) là:  p ( x ) dx   p ( x ) dx  C  ye    q( x)e 1  8
 Cách 3: Phƣơng pháp Larrange (phƣơng pháp biến thiên hằng số) Từ cách 2 ta thấy nghiệm của phƣơng trình có dạng y  u( x).v( x) , với u(x) là nghiệm của phƣơng trình (1.12) – đây là phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1. Do vậy, giải phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm đƣợc u( x)  C.e   p ( x ) dx Mà công thức nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.9) lại là y  e   p ( x ) dx .v( x) chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x). Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải đƣợc bài toán. Vậy: Bước 1: Giải phƣơng trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phƣơng trình (1.9): y '  p( x).y  0 Nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất có dạng: y  C.e   p ( x ) dx Bước 2: Nghiệm tổng quát của phƣơng trình tuyến tính không thuần nhất (1.9) có dạng: y  v( x).e   p ( x ) dx y '  v' ( x).e   v. p( x).e   p ( x ) dx  p ( x ) dx Ta có: Thế vào phƣơng trình ta có: v' ( x).e   v. p( x).e   p( x).v.e   p ( x ) dx  p ( x ) dx  p ( x ) dx  q ( x) Suy ra: v'  q( x)e p ( x ) dx . Từ đó tìm đƣợc v(x). 1.2.2.4. Phƣơng trình Bernoulli. Phƣơng trình Bernoulli là phƣơng trình có dạng: y '  p( x). y  q( x). y ,(  0,   1) (1.13) Cách giải: Nhân 2 vế của phƣơng trình (1.13) cho (1   ).y . Ta có: (1   ).y . y '  (1   ). p( x). y1  (1   ).q( x) (1.14) 9
Khi đó, ta đặt: z  y1 . Ta có z '  (1   ) y ' . y  . Thế vào phƣơng trình (1.14) ta đƣợc: z '  (1   ) p( x).z  (1   ).q( x) Phƣơng trình này chính là phƣơng trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Ví dụ: y x2 Giải phƣơng trình: y'   (1.15) 2x 2 y Giải: 1 x 2 1 Ta viết lại phƣơng trình: y' y y 2x 2 Đây là phƣơng trình Bernoulli với   1 Do đó, ta nhân hai vế của phƣơng trình với (1  (1)). y1  2 y . 1 Ta có: 2 yy '  . y 2  x 2 (*) x 1 Đặt z  y 2 z '  2 yy ' . Thế vào (*) ta có: z '  .z  x 2 (**) (phƣơng trình x tuyến tính với z là hàm theo biến x). - Giải phƣơng trình thuần nhất liên kết với (**) ta đƣợc: z  C.x - Nghiệm tổng quát của phƣơng trình (**) có dạng: z  v( x).x x2 Thế vào (**) ta tìm đƣợc: v( x)  C 2 x3 Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình (**) là: z   C.x 2 x3 Từ đó, nghiệm tổng quát của (1.15) là: y2   C .x 2 1.3. Phƣơng trình vi phân cấp 2. Phƣơng trình vi phân cấp 2 là phƣơng trình có dạng: F ( x, y, y ' , y '' )  0 hay y ''  f ( x, y, y ' ) (1.16) y Ví dụ: x3 y ''  2 xy  ex y  3x  0 ; y ''  2  x cos x là những phƣơng trình vi phân x2 cấp 2 Xét phƣơng trình y ''  f ( x, y, y ' ) 10
Nếu f ( x, y, y' ) là một hàm liên tục trong một miền nào đó có chứa điểm ( x0 , y, y0' ) thì phƣơng trình vi phân cấp 2 đã cho tồn tại một nghiệm y  y0 ( x) thỏa f f mãn điều kiện y( x0 )  y0 ; y ' ( x0 )  y0' . Ngoài ra, nếu và ' cũng liên tục trong y y miền nói trên thì nghiệm y  y( x) là nghiệm duy nhất. Điều kiện để y( x0 )  y0 ; y ' ( x0 )  y0' đƣợc gọi là các điều kiện ban đầu của một phƣơng trình vi phân cấp 2: y x  x0  y0 ; y ' x  x0  y0' Gọi nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.16) là hàm số y   ( x,C1 ,C2 ) , trong đó , là những hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau: - Nó thỏa mãn phƣơng trình (1.16) với mọi giá trị của , - Với mọi ( x0 , y0 , y0' ) ở đó các điều kiện của định lí tồn tại và duy nhất nghiệm đƣợc thỏa mãn, có thể tìm đƣợc các giá trị xác định C1  C10 , C2  C20 sao cho hàm số y   ( x, C10 , C20 ) thỏa mãn: y x  x0  y0 , y ' x  x0  y0' Hệ thức  ( x, y, C1 , C2 )  0 xác định nghiệm tổng quát của phƣơng trình (3.1) dƣới dạng ẩn đƣợc gọi là tích phân tổng quát của nó.Nó biểu diễn một họ đƣờng tích phân phụ thuộc hai tham số. Ngƣời ta gọi nghiệm riêng của phƣơng trình (1.16) là một hàm số y   ( x, C10 , C20 ) mà ta đƣợc bằng cách cho , trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định C10 , C20 . Hệ thức  ( x, y, C10 , C20 )  0 đƣợc gọi là tích phân riêng. Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình: y ''  sinx . Tìm một nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu y x 0  0; y ' x 0 1 Giải: Phƣơng trình trên là phƣơng trình vi phân cấp 2 có vế phải không chứa y và Từ phƣơng trình y ''  sinx (1.17) Ta có: y '   sin xdx  C1   cos x  C1 y    cos xdx  C1 x  C2   s inx  C1 x  C2 Suy ra, nghiệm tổng quát của (1.17) là: y   sinx  C1x  C2 11
Tìm nghiệm riêng: Vì y x 0  0   sin 0  C1 0  C2  0  C2  0 Vì y ' x 0  1   cos 0  C1  1  C1  2 Vậy nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu là: y   sinx  2 x 12
CHƢƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP VI PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ. 2.1. Phƣơng trình vi phân cấp 1. 2.1.1. Phƣơng trình Bernoulli. Bài toán: Chúng ta xét đến mạch RL hoặc RC đƣợc kích thích bởi một nguồn DC từ bên ngoài. Xét mạch (nhƣ hình). Khóa K đóng tại thời điểm t = 0 và tụ đa tích điện ban đầu với giá trị V0 . Xác định các giá trị v, ic và iR sau khi đóng khóa K, tức t > 0? Giải: Khi t > 0, viết định luật 1 Kirchhoff (định luật Kirchhoff về dòng điện – KCL) cho mạch: dv v C   I0 dt R Hay: dv 1 I  v 0 dt RC C Phƣơng trình này chính là phƣơng trình Bernoulli với   0 Giải phƣơng trình trên ta đƣợc: t  v(t )  A.e RC  RI 0 Xác định A nhờ điều kiện đầu. 13
Ở t = 0+: v(0)  v(0)  V0  V0  A  RI 0 Hay: A  V0  RI0 t t t     v(t )  (V0  RI 0 ).e RC  RI 0  V0 .e RC  RI 0 (1  e RC ) Hằng số A bây giờ tùy thuộc vào điều kiện đầu ( V0 ) và cả nguồn kích thích ( I 0 ). Đáp ứng gồm 2 phần:  Phần chứa hàm mũ có dạng giống nhƣ đáp ứng của mạch RC không chứa nguồn ngoài, phần này hoàn toàn đƣợc xác định nhờ thời hằng của mạch và đƣợc gọi là đáp ứng tự nhiên: t  vn  (V0  RI 0 ).e RC Để ý là vn  0 khi t    Phần thứ hai là một hằng số, tùy thuộc nguồn kích thích, đƣợc gọi là đáp ứng ép: v f  RI 0 Trong trƣờng hợp nguồn kích thích DC, vn và v f Dòng iC và iR xác định bởi: dv V0  RI 0  RCt iC (t )  C  .e dt R V  RI 0  RCt V iR (t )  I 0  iC  I 0  0 .e  R R 2.1.2. Sự phân rã phóng xạ. Gọi y(t) là số lƣợng nguyên tử phóng xạ tại thời điểm t của một mẫu vật liệu cho trƣớc. Với k là một hằng số phƣơng trình: dy (t )  k . y (t ) dt Là phƣơng trình vi phân mô tả lƣợng nguyên tử phóng xạ. 14