Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace”

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

134
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Người ta đã làm một số thí nghiệm, ví dụ như: chiếu tia tử ngoại (UV) có bước sóng λ vào dung dịch rượu fluorêxêin thì dung dịch này phát ra ánh sáng màu xanh lục nhạt có bước sóng λ’ và (λ’ λ). Sự phát sáng biến mất ngay sau khi ngừng kích thích ánh sáng tử ngoại. Hay chiếu tia UV vào tinh thể ZnS có pha một lượng rất nhỏ Cu và Co thì tinh thể cũng phát ra ánh sáng có màu xanh lục, ánh sáng này tồn tại khá lâu sau khi ngừng kích thích. Hiện tượng tương tự...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace”

Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace”
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán họ c là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý họ c một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán họ c. Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa giữa toán họ c và vật lý học. N hững quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ họ c cổ điển giải quyết gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và b ề sâu. D ẫn tới sự ra đời của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết. N gười ta dùng phương pháp toán họ c để tìm ra những quy luật mới. N hững quy luật tổ ng quát hơn những quy luật đ ã biết, đoán trước được mối quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều hiện tượng xét mộ t cách tổ ng quát nhất. N hững phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng. Nó gồm mộ t khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đố i với các môn họ c khác trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau khi ra trường. GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 1
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán họ c cũng như ứng dụng của nó trong vật lý. Đ ề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là mộ t trong số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọ ng trong vật lý. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán vật lý mộ t cách đơn giản hơn. Vì vậy khi chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng. 2. Mục đích nghiên cứu - Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong nghiên cứu vật lý. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ D escartes. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ tọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. 3. Đối tượng nghiên cứu - Các phép biến đổ i Laplace và ý nghĩa của chúng. 4. Phương pháp nghiên cứu - V ật lý lý thuyết - Phương pháp giải tích toán học - Đọc tài liệu và tra cứu 5. Cấ u trúc khóa luận Đ ề tài nghiên cứu gồm: - Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ D escartes. - Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong. - Chương 3: Bài tập GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 2
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ D ESCARTES 1. GRADIEN C ỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG 1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung) Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của mộ t đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho mộ t trường vô hướng có nghĩa là cho mộ t hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ D escartes Ox yz ta có: u = f (M) = f (x, y, z) Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm này. Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của trường không thay đổ i theo thời gian, ta có trường dừng. N ếu f còn phụ thuộc cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổ i f (M, t). Đ ể biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt m ức tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có mộ t mặt m ức, cho C các giá trị khác nhau ta có họ mặt mức. V í dụ như, đố i với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặt phẳng x + y + z = 1. Mặt mức đố i với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đối với trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 3
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 1 độ , ví dụ đ ối với trường m ặt mức u = 4 là hình cầu y x  y2  z2 2 1 1  4 hay x 2  y 2  z 2  . 2 2 2 x y z 4 G iả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướng nào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được đ ịnh hướng (H.1.1). G iả sử M và M 1 là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu S là độ dài cung MM 1 , S lấy dấu + nếu điểm M 1 đứ ng sau điểm M và M1 L  lấy dấu - nếu điểm M 1 đứng trước điểm M. M  Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo H.1.1 cung M M 1 là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch chuyển từ M đến M 1 ) và độ dài cung S , tức bằng: f (M )  f (M1 ) S Đ ạo hàm theo đường cong L tại điểm M 1 là giới hạn của tỷ số: f (M )  f ( M 1 ) khi điểm M dịch chuyển dọ c theo đường cong L tiến đ ến S f điểm M 1 . Kí hiệu đạo hàm qua , ta có: L f f (M )  f (M1 ) = Mlim (1.1) L S  M1 Ta có thể dễ dàng chứng minh: f f f f M 1 =  1 cos    1 cos   M1 cos  (1.2) M M x y z L trong đó   là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại các đểm M 1 và các trục toạ độ. Đ ạo hàm theo đường cong tại điểm M 1 không phụ thuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 4
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý với L tại điểm M 1 nói cách khác,   nếu các đường cong L1 và L 2 đi qua L1 M 1 có tại điểm này cùng mộ t vectơ L2 M1 tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm này theo đường cong L1 bằng đạo hàm theo đường cong (H. 1.2). L2 H. 1 .2 1.2 Gradien của trường vô hướng Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng      vectơ  , trong đ ó = ai + b j + ck . Người ta gọi đ ạo hàm theo hướng của vectơ     tại điểm M là đạo hàm theo cung L bất kỳ đi qua M và tiếp xúc với . Đ ạo  u u là đạo hàm theo hướng vectơ i , đạo hàm riêng là đạo hàm hàm riêng y x   u theo hướng vectơ j , đạo hàm riêng là đạo hàm theo hướng vectơ k . Trước z   hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ  . a b c ; cos   ; cos   cos   2 2 2 2 2 2 a  b2  c 2 2 a b c a b  c Do đó u u u a b c u x y z   (1.3) a 2  b2  c 2    Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ  và vectơ có toạ u u u độ là ( , , ). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu: x y z u  u  u  Gradu =i+ j+ (1.4) k y x z   u gradu Do đó:        GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 5
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý     u  gradu  .    cos( gradu , ) H ay là:        V ậy:   u   gradu  . cos( gradu , )  (1.5)    Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng . Từ đây ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất. x3 y 2 Ví dụ 1 : Cho trường vô hướng u  x uất phát từ M (1, 2, 1) theo z hướng nào hàm u tăng nhanh nhất. G iải: u  u  u  3 x 2 y 2  2 x3 y  x3 y 2  gradu  i j k  i j 2 k x y z z z z gradu tại M   graduM  12i  4 j   k Đ ạo hàm theo hướng gradien, tức u (  max  122  4 2  (4) 2  176  13.3   Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số u  x 2  y 2 x tại điểm M 0 (1, 2) theo  hướng vectơ M 0 M 1 trong đó M 1 (3, 0) . G iải:     Ta thấy  M0M1  (2, -2)   u u  2x  y2 ;     2 ;  2 xy y x Do đó:   u gradu. gradu M 0  (6, 4) và       2    GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 6
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Đ ịnh lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z) gradu tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với   đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt  M mức u(x, y, z) = C, C là hằng số. l Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l H.1.3 nằm trong mặt mức, b ởi vì hàm u không thay đổi khi u nó chuyển độ ng theo đường cong l, nên   0 . Nhưng đạo hàm theo cung l l u bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế   0 .     u u Theo công thức:   gradu  .cos( gradu , ) , do   0 và gradu ≠ 0 nên       cos( gradu , )  0 . Tức là góc giữa  và gradu bằng 900 . Q uỹ tích các tiếp tuyến tại điểm M 0 với các đường cong nằm trong mặt mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm M 0 . Nếu M 0 có các toạ độ ( x0 , y0 , z0 ) thì:  u  u  u gradu M 0    ) x0 y0 z0 .i   ) x0 y0 z0 . j   ) x0 y0 z0 .k x y z Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với m ặt mức là: u u u ) x0 y0 z0 .( x  x0 )   ) x0 y0 z0 .( y  y0 )   ) x0 y0 z0 .( z  z0 )  0 (1.6)  x y z Chú ý: N ếu cho m ặt xác định b ởi f (x, y, z) = 0, ta có thể x em nó là mặt mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6). Ví d ụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với m ặt parabolic z  x 2  y 2 tại điểm M (2, 1, 5 ). Mặt đã cho có thể xét như mộ t mặt mức của hàm u  z  x 2  y 2 . Bởi vì: GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 7
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý   gradu  2 xi  2 y j  1k , cho nên   gradu M 0  4.i  2. j  k .  Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho tại M có dạng: 4( x  2)  2( y  1)  1( z  5)  0 hay 4 x  2 y  z  5  0 1.3 Các tính chất của Gradien G radien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng trong chứng minh các công thức vật lý: a/ grad(u+v) = gradu + g radv (1.7) b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8) vgradu  ugradv u (v≠0) c/ grad  (1.9) v2 v 1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ. Cho nên trong vật lý người ta dùng phương pháp trong đó tính một đ ại lượng vô hướng (không đơn trị) m ột cách đơn giản hơn, nhưng H.1.4 gradien của nó lại cho ta mộ t đ ại lượng vật lý thực dưới dạng vectơ, đơn trị, có thể đo được trên thực nghiệm. Thí d ụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng  φ (không đơn trị), nhưng E  grad là cường độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm. 2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ 2.1 Trường vectơ-đường vectơ GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 8
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực,  trường từ hay trường điện như E  grad được nêu ở trên. Đ ể biểu diễn hình họ c trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà   tại mỗi điểm của nó vectơ A nằm dọ c theo tiếp tuyến của trường tại điểm này. N ếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọ i là các  đường lực) là các tia xuất phát từ gố c toạ độ. Trong trường gradien A  grad đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển độ ng dọ c theo nó, đại lượng u tăng với vận tốc lớn nhất. Đ ể tìm đường vectơ của trường      A  P ( x , y , z ) i  Q ( x, y , z ) j  R ( x , y , z ) k Ta tiến hành như sau: G iả sử phương trình tham số của đường vectơ là x =x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) K hi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng  x  y  z    i j k t t t Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồ ng phương với vectơ của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các vectơ này tỉ lệ với nhau. dx dy dz dt dt dt (2.1)   P ( x , y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x , y , z ) Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là (x, y, z) ta có: dx   ( x, y , z , t ) P ( x , y , z ) ; dt dy  ( x, y, z, t )Q( x, y, z ) ; (2,2) dt GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 9
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý dz   ( x , y , z , t ) R ( x, y , z ) . dt Chú ý: vì hàm  (x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của đường vectơ là không duy nhất. Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất z điểm đ ặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơ là các tia xuất phát từ gốc to ạ độ, vì thế ống O vectơ trong trường này có dạng hình nón với y đỉnh ở gốc to ạ đ ộ (H.2.1). x H .2.1 2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt 2.1.2.1 Thông lượng  Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ A nào đó. Ta chọn trên mặt này một hướng xác đ ịnh mà ta gọi đó là hướng d ương hướng ngược lại của mặt là hướng âm. Ta nói rằng mặt như vậy là mặt định hướng. Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ   này hướng từ âm sang dương là vectơ n . V ị trí của vectơ n p hụ thuộc vào vị trí điểm M trên mặt.   X ét hàm f (M) = ( A , n ) được xác định tại mọ i điểm của mặt S.      N ếu A  Pi  Q j  Rk và các góc chỉ phương của vectơ n tương ứng     bằng , ,  tức là: n  cos i  cos  j  cos  k thì f(M)  P cos   Q cos   R cos  hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S. Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu bằng chữ  :  (2.2)  =  ( A,n)dS=  (P cos  Q cos   R cos  ) dS S S Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi d ấu của thông lượng. GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 10
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý N ếu mặt S là m ặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bên ngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm. 2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng Trong trường hợp thuỷ động họ c, thông lượng qua mặt được định hướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian. Ta xét trường hợp mặt kín S. N ếu thông lượng qua S là m ặt dương điều này nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạn bởi m ặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại, nếu thông lượng âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S. Ví dụ: Cho trường vectơ      A  ( x  y )i  ( y  x) j  zk Tính thông lượng của trường này qua b ề mặt của hình cầu bán kính với tâm tại gốc toạ độ. Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị    R   xi  y j  zk n   xi  y j  zk R x2  y 2  z2 do x 2  y 2  z 2  1 đố i với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy:   ( A, n)  ( x  y ) x  ( y  x) y  zz  x 2  y 2  z 2 V ì thế thông lượng bằng   2  y 2  z 2 )dS   dS  S  4 .  ( A, n)dS   ( x S S S 2.2 Dive của trường vectơ 2.2.1 Dive của trường vectơ   D ive (divergen) của trường vectơ A tại điểm M là giới hạn của tỉ số thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi bề mặt này GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 11
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý    ( A, n)dS  (2.3) S div A  lim V V M N hững điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút. G iả sử trường vectơ      A  Pi  Q j  Rk trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1 , 2 liên tục thì    ( P cos   Q cos   R cos  )  ( A, n)dS  (2.4) S S div A  lim  lim V V V M V M trong đó , ,  là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài. Theo công thức O stro gradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp: P Q R  ( x  y  z )dV  (2.5) V div A  lim V V M Theo định lý giá trị trung bình, trong miền V, ta tìm được mộ t điểm M TB sao cho: P Q R P Q R  ( x  y  z )dV  ( x  y  z ) .V M TB V vì thế P Q R  ( x  y  z )dV  P Q R V div A  lim  lim (   )M x y z TB V V M V M K hi V→ M thì M TB →M, vì thế  P Q R (2.6) div A    x y z Từ công thức (2.4) và (2.5) ta có:     (2.7) ( A,n)ds   div AdV  S V GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 12
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý N hư vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề m ặt kín bằng tích   phân 3 lớp của div A trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức   này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi div A liên tục trong miền V. Ví dụ : Tính thông lượng của trường vectơ      A  ( x  y )i  ( y  x ) j  zk qua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ.   ( x  y)  ( y  x) z G iải: div A    3 x y z V ậy thông lượng    4    ( A, n)dS   div AdV   3dV  3V  3.   4 3 S V V 2.2.2 Trường hình ống   N ếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường A bằng   không, thì ta nói rằng A là trường hình ống của miền này.    mR Ví dụ : Cho trường hấp d ẫn F   3 trong miền G nào đó không chứa R  gố c tọa độ . Hãy tính divF .      mx  my  mz G iải: F  i 2 j 2 k ( x 2  y 2  z 2 )3/ 2 ( x  y 2  z 2 )3/ 2 ( x  y 2  z 2 )3/ 2 Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng:  divF  0  tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậy F là trường hình ống trong miền G. Bây giờ ta tính dive tại gốc to ạ độ . Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a b ằng -4π  m , tỉ số thông lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng 4 m 3 m  a3 43 a 3 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 13
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Theo định nghĩa:  3 m (divF )( 0,0,0)  lim  3   . a a0 2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của trường vectơ. Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học  div D    trong đó D là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do. 3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ 3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến Ta xét trường vectơ:      A  Pi  Q j  Rk và chu tuyến l nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường (3.1)  Pdx  Qdy  Rdz l   là lưu thông của trường vectơ A theo chu tuyến.   Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộ c vào A và l, mà còn cả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổ i hướng của đường cong, lưu thông thay đổ i dấu.   Ví dụ 1: Nếu A là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọ c theo chu tuyến l. G iả sử đường cong cho dưới dạng tham số : x = (t), y = (t) , z = (t) với t0  t  T ta có: t  Pdx  Qdy  Rdz   Pt t t  (t)  Qtt t   (t)  Rtt  t  (t)dt ' ' ' t0 l GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 14
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý N hư vậy để tính lưu thông của trường vectơ ta có thể áp dụng công thức stockes  R  Q P R Q P  Pdx  Qdy  Rdz   ( y  z )cos +( z  x )cos  ( x  y )cos dS   l S Trong trường hợp đặc biệt Q P (3.4)  Pdx  Qdy   ( x  y )dS l S 3.2 Rota của trường Trong không gian Oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơ      A  Pi  Q j  Rk trong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộc S và trong lân cận của điểm M. Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l bao z quanh điểm M rồi chọn hướng xác định trên n   chu tuyến này và tính  Adl . M Mo σl Tỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diện S tích  của b ề mặt S được giới hạn bởi chu O y tuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trung bình x H.3.1    Adl (3.5) l     Adl ta gọi giới hạn : lim là mật độ lưu thông tại điểm M trên bề m ặt S. Ta  l M có:     Pdx  Qdy  Rdz Adl l l  lim lim   l M l M GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 15
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý  R  Q P R Q P  ( y  z )cos +( z  x )cos  ( x  y )cos d     lim   0  R Q  P R Q P )cos +(  )cos  (  )cos  MTB (  y z z x x y  lim     0 R Q P R Q P (3.6) )cos +(  )cos  (  )cos M (  y z z x x y     V ậy nếu A  Pi  Q j  Rk     n  cos i  cos  j  cos k  thì mật đ ộ lưu thông tại điểm M theo hướng n bằng: R Q P R Q P )cos +(  )cos  (  )cos   ( y z z x x y  Biểu thức trên là tích vô hướng của vectơ n và vectơ R Q  P R  Q P   )i +(  ) j  (  )k ( y z z x x y     V ectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho A . Ta kí hiệu là rot A    N hư vậy mật độ lưu thông của trường vectơ A theo hướng n bằng   rot A . n   Rota của trường vectơ A   R Q  P R  Q P  (3.7) rot A  (  )i +(  ) j  (  )k y z z x x y có giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường đã cho do đó rota lập thành trường vectơ mới. Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:    i j k     (3.8) rot A  x y z P Q R GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 16
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý   Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ A cho bởi công thức:      A  ( x 2  y 2 )i  ( y 2  z 2 ) j  ( z 2  x 2 )k G iải: Theo công thức (3.8) ta nhận được      rot A  ( 2 z )i  ( 2 x) j  ( 2 y ) k nói riêng, tại điểm (0, 0, 1)    rot A  2i Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm của một vật thể rắn quay với vận tốc góc không đổi 0 quanh trục Oz. G iải: Ta đã biết trường này được cho b ởi công thức:     A  0 yi  0 x j Do đó     rot A  (0  0 )k  20 k 3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ    (3.9) Adl   rotn AdS  l S     trong đó rotn A là hình chiếu của vectơ rot A lên pháp tuyến của mặt S. Như vậy lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến đóng l bằng thông lượng của   rot A của trường này trên bề mặt với b iên là chu tuyến l. 3.4 Ý nghĩa vật lý của rota Từ rota có nghĩa là xoáy cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ   quan trọng như rota của thông lượng của trường từ H thì sinh ra dòng đ iện  với mật độ j    (3.10) rot H  j  còn rota của thông lượng trường điện E thì sinh ra sự biến thiên của vectơ   cảm ứng từ B theo thời gian GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 17
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý    B (3.11) rot E   t Các phương trình (3.10), (3.11) là các phương trình Maxwell 4. CÁC PHÉP TÍNH Đ ỐI VỚI DIVE VÀ ROTA 4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không      Thật vậy, nếu A  ai  b j  ck trong đó a, b, c là hằng số thì  a b c (4.1) div A    0 x y z Tương tự   (4.2) rot A  0 4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính      Đ iều này có nghĩa là nếu C   A   B trong đó A , B là các trường vectơ;  ,  là các hằng số thì    divC   div A   divB    rotC   rot A   rot B Chứng minh: Giả sử     A  P i  Q1 j  R1 k 1      B  P2 i  Q2 j  R2 k K hi đó:     C  ( P   P2 )i  ( Q1   Q2 ) j  ( R1   R2 )k 1 và     divC  ( P   P2 )  ( Q1   Q2 )  ( R1   R2 ) 1 x y z P Q1 R1 P Q R 1 )  ( 2  2  2 )  (   x y z x y z     div A   divB 4.3 Các phép tính đối với tích GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 18
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý a/ Giả sử u và v là hai trường vô hướng. Khi đó uv cũng là trường vô hướng ta có: graduv = ugradv+vgradu     b/ Giả sử u là trường vô hướng, A là trường vectơ. Khi đó u A là trường vectơ và    divu A  ( gradu , A)  udiv A    rotu A  ( gradu  A)  urot A      Đ ể chứng minh ta viết vectơ A dưới dạng A  P i  Q j  R k     c/ Giả sử A , B là các trường vectơ. Khi đó ( A , B ) là trường vô hướng, còn            ( A  B ) là trường vectơ và div( A  B)  ( Brot A)  ( Arot B) Kết luận: Chương 1 chúng ta đã ngh iên cứu những khái niệm quan trọng về trường và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô hướng. Cùng với nó là các phép tính của trường như: phép tính gradien của trường vô hướng, phép tính dive của trường vectơ và phép tính rota của trường vectơ. Trong phạ m vi chương 1 chúng ta chỉ tìm hiểu các phép tính này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc. GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 19