Khóa luận tốt nghiệp đại học: Tìm hiểu về lời giải D’Alembert của phương trình sóng

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong khóa luận này, tác giả đã hệ thống được một số phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là: phương pháp tách biến Fourier, phương pháp dùng phép biến đổi Fourier và phương pháp Laplace. Đồng thời, tác giả đã đưa ra lời giải chi tiết D’Alembert cho phương trình sóng mà trong tài liệu Phương pháp toán lí của tác giả Đỗ Đình Thanh chưa làm rõ điều này. Mời các bạn cùng tham khảo khóa luận để biết thêm nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Tìm hiểu về lời giải D’Alembert của phương trình sóng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ BÙI THỊ NGỌC TÌM HIỂU VỀ LỜI GIẢI D’ALEMBERT CỦA PHƢƠNG TRÌNH SÓNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Trƣớc tiên cho tôi đƣợc gửi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2, Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý đã tạo điều kiện để tôi đƣợc làm khóa luận tốt nghiệp, đã quan tâm và đôn đốc tôi trong quá trình thực hiện khóa luận. Xin cảm ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô trong Tổ bộ môn Vật Lí Lý Thuyết và Vật Lí Toán, đặc biệt là Tiến sĩ Nguyễn Huy Thảo đã tận tình hƣớng dẫn và giúp đỡ tôi trong thời gian làm khóa luận. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Bùi Thị Ngọc
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Tìm hiểu về lời giải D’Alembert của phƣơng trình sóng” là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi, không sao chép của bất cứ ai. Các tài liệu đƣợc trích dẫn một cách rõ ràng. Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Bùi Thị Ngọc
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1 NỘI DUNG .............................................................................................. 3 CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG .............................. 3 1.1. Một số khái niệm cơ bản.................................................................... 3 1.2. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình đạo hàm riêng ....................... 5 1.2.1. Phƣơng pháp tách biến (Phƣơng pháp Fourier) ............................... 5 1.2.2. Phƣơng pháp dùng phép biến đổi Fourier ..................................... 11 1.2.3. Phƣơng pháp dùng phép biến đổi Laplace. ................................... 13 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP D’ALEMBERT .................................... 15 2.1. Phƣơng pháp D’Alembert ................................................................ 15 2.2. Một số bài toán áp dụng phƣơng pháp D’Alembert ......................... 20 KẾT LUẬN ............................................................................................ 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................... 26
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Vật lý học hình thành bằng con đƣờng thực nghiệm nên tính chất cơ bản của nó là thực nghiệm. Và để biểu diễn các quy luật vật lý, trình bày nó một cách chính xác, chặt chẽ trong những quan hệ định lƣợng phải dùng phƣơng pháp toán học. Vật lý lý thuyết là sự kết hợp giữa phƣơng pháp thực nghiệm và toán học. Nhƣ vậy, vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phƣơng pháp toán học. Phƣơng pháp toán lý là một môn học của vật lý lý thuyết, nên cũng có những đặc điểm đó. Nó là một học phần rất quan trọng trong chƣơng trình đào tạo giáo viên THPT. Giúp cho sinh viên làm quen dần với phƣơng pháp toán học hiện đại trong vật lý, hiểu rõ hơn bản chất của quá trình truyền sóng và quá trình truyền nhiệt trong vật chất. Những phƣơng pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lƣợng kiến thức lớn thuộc các ngành nhƣ: hàm thực, hàm phức, các phƣơng trình vi phân, các phép tính tích phân. Các kiến thức toán này không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng nhƣ nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi học tại trƣờng, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau khi ra trƣờng. Phƣơng pháp D’Alembert là một trong những công cụ toán học có nhiều ứng dụng trong vật lý. Chúng tôi nhận thấy để tìm nghiệmcủabài toán Cauchy bằng phƣơng pháp D’Alembert, trong tài liệu “Phƣơng pháp toán lí” của tác giả Đỗ Đình Thanh và một số tài liệu khác chƣa trình bày chi tiết về lời giải. Với mục đích làm sáng tỏ lời giải đó chúngtôi chọn đề tài: “Tìm hiểu về lời giải D’Alembert của phƣơng trình sóng”. 2. Mục đích nghiên cứu.  Làm rõ nội dung lý thuyết, áp dụng thực tế. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.  Dao động của dây vô hạn, bài toán Cauchy. 1
4. Giả thuyết khoa học. Nếu làm chi tiết đƣợc lời giải D’Alembert của phƣơng trình sóng thì sinh viên sẽ hiểu rõ và vận dụng tốt hơn khi làm bài toán Cauchy. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu.  Tìm hiểu bài toán Cauchy và nghiệm của nó.  Đƣa ra lời giải chi tiết của lời giải D’Alembert.  Một số bài tập đề nghị. 6. Cấu trúc khóa luận. MỞĐẦU NỘI DUNG Chƣơng 1: Phƣơng trình đạo hàm riêng 1.1. Một số khái niệm cơ bản 1.2. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình đạo hàm riêng Chƣơng 2: Phƣơng pháp D’Alembert. 2.1. Lời giải D’Alembert cho phƣơng trình sóng 2.2. Một số bài toán áp dụng phƣơng pháp D’Alembert KẾT LUẬN 2
NỘI DUNG Chƣơng 1: Phƣơng trình đạo hàm riêng 1.1. Một số khái niệm cơ bản Các phƣơng trình mô tả sự biến thiên của trƣờng theo thời gian thƣờng là các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa hàm chƣa biết (hàm nhiều biến), các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập. Cấp của đạo hàm cấp cao nhất của hàm chƣa biết có mặt trong phƣơng trình là cấp của phƣơng trình. Phƣơng trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với hàm chƣa biết và đạo hàm riêng của nó. Để đơn giản ta hãy xét việc phân loại các phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập. Trƣờng hợp nhiều biến số độc lập cũng đƣợc phân loại tƣơng tự. Dạng tổng quát của phƣơng trình nhƣ vậy là: (1.1) Trong đó hàm chƣa biết u phụ thuộc hai biến số độc lập x, y: u = u(x,y), các hệ số A, B, C, D, E, F là những hàm của x, y. Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp, ta có thể đƣa phƣơng trình (1.1) về một trong ba dạng sau: 1. Nếu AC – B2> 0 trong một miền nào đó, thì có thể đƣa phƣơng trình (1.1) trong miền ấy về dạng: (1.2) Phƣơng trình này gọi là phƣơng trình loại eliptic. Dạng đơn giản nhất của phƣơng trình eliptic là phƣơng trình Laplace. (1.3) Nghĩa là D1 = E1 = F1 = G1 = 0. 2. Nếu AC – B2< 0 trong một miền nào đó thì có thể đƣa phƣơng trình (1.1) trong miền ấy về dạng: 3
(1.4) Phƣơng trình này gọi là phƣơng trình loại hypebolic. Dạng đơn giản nhất của phƣơng trình hypebolic là phƣơng trình dao động của dây: (1.5) Nghĩa là D2 = E2 = F2 = 0 3. Nếu AC – B2 = 0 trong một miền nào đó thì phƣơng trình (1.1) có thể đƣợc đƣa về dạng: (1.6) Phƣơng trình này gọi là phƣơng trình loại parabolic, nó có dạng đơn giản nhất là phƣơng trình truyền nhiệt. (1.7) Nghĩa là D3 = F3 =0 Trong các phƣơng trình (1.5) và (1.7), ta thƣờng lấy một biến số là thời gian, còn một biến số kia là tọa độ x, khi đó ta có phƣơng trình dao động của dây (hay phƣơng trình sóng một chiều) : (1.8) Phƣơng trình truyền nhiệt: (1.9) Phƣơng trình Laplace: (1.10) Nhiều bài toán vật lí và kỹ thuật dẫn đến các phƣơng trình này nên ngƣời ta gọi chúng là những phƣơng trình vật lí – toán cơ bản. Các phƣơng trình (1.8), (1.9) và (1.10) đều có vô số nghiệm vì vậy ta phải đặt thêm các điều kiện phụ để xác định nghiệm của chúng. Các phƣơng trình (1.8) và (1.9) xuất hiện khi các quá trình là không dừng (biến đổi theo thời gian t). Nếu quá trình đó xảy ra trong một khoảng không gian x hữu 4
hạn (dao động của sợi dây có hai đầu gắn chặt) truyền nhiệt trong thanh hữu hạn thì ta có hai loại điều kiện phụ sau: 1) Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t = 0. 2) Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không gian. Bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện biên gọi là bài toán hỗn hợp, nếu quá trình xảy ra trên cả khoảng vô hạn , thì ta chỉ cần điều kiện ban đầu. Bài toán đó gọi là bài toán Côsi (Cauchy). Phƣơng trình (1.10) không chứa thời gian, cả hai biến số x, y đều là biến số không gian. Nó xuất hiện khi nghiên cứu các quá trình dừng. Để xác định nghiệm, ta chỉ cần các điều kiện biên, vì vậy, bài toán này gọi là bài toán biên. Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên thƣờng xuất phát từ việc đo đạc thực nghiệm trong vật lí và kỹ thuật nghĩa là mang tính chất gần đúng. Những sai số nhỏ của các điều kiện đó sẽ kéo theo những sai số nhỏ của nghiệm. Do đó, ta đòi hỏi nghiệm của bài toán đặt ra phải phụ thuộc liên tục vào các điều kiện biên và điều kiện ban đầu. Các bài toán đƣợc thiết lập sao cho nghiệm của nó tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện phụ, gọi là các bài toán đƣợc thiết lập đúng. Những bài toán ta xét dƣới đây là những bài toán truyền thống của Vật lí – Toán, chúng đều đƣợc thiết lập đúng. 1.2. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình đạo hàm riêng 1.2.1. Phƣơng pháp tách biến (Phƣơng pháp Fourier) Phƣơng pháp phân li biến số còn đƣợc gọi là phƣơng pháp Fourier. Phƣơng pháp này, ngƣời ta giả sử nghiệm của bài toán là tích của các hàm theo các biến độc lập của phƣơng trình đạo hàm riêng. Hệ quả của việc đặt một nghiệm của phƣơng trình đạo hàm riêng là tích của các hàm theo chỉ một biến độc lập là ngƣời ta rút phƣơng trình đạo hàm riêng về một hệ thống các phƣơng trình vi phân thƣờng tƣơng đƣơng. Nhƣ thế, thay vì phải giải bài toán biên với phƣơng trình đạo hàm riêng, ngƣời ta chỉ phải giải một số bài toán biên với phƣơng trình vi phân thƣờng. Ví dụ: Để giải phƣơng trình dạng 5
(1.11) Ta làm nhƣ sau: Đặt . Khi đó: Thay vào phƣơng trình (1.1) ta đƣợc phƣơng trình: Chia hai vế phƣơng trình cho XY, ta đƣợc: Chúng ta thấy rằng hàm X chỉ phụ thuộc vào biến x, hàm Y chỉ phụ thuộc vào biến y nên nếu chọn tham số thích hợp, ta sẽ đƣợc phƣơng trình vi phân cấp hai. Giải phƣơng trình này, chúng ta sẽ suy ra nghiệm của phƣơng trình (1.11). Chú ý thêm rằng, số nói trên là hằng số tùy ý nên theo nguyên lý chồng chất nghiệm, về mặt hình thức, nghiệm của phƣơng trình đạo hàm riêng là chuỗi hàm lƣợng giác mà các số hạng chính là nghiệm của phƣơng trình vi phân ở trên. 1.2.1.1. Phƣơng trình sóng Là bài toán biên trị có dạng: (1.12) (1.13) (1.14) { Đặt u(x,t) = X(x)T(t) (1.15) Thế vào (1.12), chúng ta đƣợc: Hay 6
Vì các hàm ở vế trái chỉ tùy thuộc vào x và các hàm ở vế phải chỉ tùy thuộc vào t, nên cả hai vế phải bằng hằng số , do đó: , Điều kiện (1.13) buộc rằng: Bài toán trị riêng hàm riêng là: { (1.16) Chúng ta lần lƣợt xét các trƣờng hợp Trường hợp : Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân trong (1.16) là: √ √ Với A, B là các hằng số tùy ý. Tại x = 0, X(0) = B = 0 Tại x = l, X(l)= Asinh√ =0 Suy ra A = 0 Nhƣ vậy X(x) = 0. Điều này dẫn tới u = 0, trái với giả thuyết (1.15), do đó giả thuyết
Trường hợp : Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân trong (1.16) là √ √ Với A, B là các hằng số tùy ý. Tại x=0, X(0) = A = 0 Tại x = l, X(l) = Bsin√ =0 sin√ =0 √ (1.17) Các hàm riêng tƣơng ứng là: Với cho bởi (1.17), phƣơng trình trở thành: (1.18) Và có nghiệm tổng quát là: (1.19) Với A, B là các hằng số tùy ý. Điều kiện cuối cùng trong (1.13) buộc rằng: (1.20) Áp dụng (1.20) vào (1.19) thì đƣợc: (1.21) 8
Với D là hằng số tùy ý. Do đó, các hàm: Là các nghiệm của phƣơng trình sóng (1.12) thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất (1.13). Để thỏa mãn điều kiện (1.14) ta lập chuỗi: ∑ ∑ (1.22) Cho t = 0, một cách hình thức, ta đƣợc: ∑ (1.23) Nhân hai vế với rồi tích phân theo x từ 0 đến l một cách hình thức ∫ (1.24) Chuỗi (1.23) với các hệ số (1.24) gọi là chuỗi Fourier sin của f(x). Chuỗi (1.22) với các hệ số (1.24) đƣợc gọi là nghiệm hình thức của bài toán (1.12), (1.13), (1.14). 1.2.1.2. Phƣơng trình truyền nhiệt Là bài toán biên trị có dạng: (1.25) (1.26) { (1.27) Đặt u(x,t)=X(x)T(t) (1.28) Thay (1.28) vào (1.25) ta đƣợc: 9
Hay (1.29) Vì các hàm ở vế trái chỉ phụ thuộc vào x và các hàm ở vế phải chỉ phụ thuộc vào t, nên cả hai phải bằng một hằng số , đó là: , (1.30) Hơn nữa, vì hàm u=XT phải thỏa mãn điều kiện (1.26) nên: (1.31) Bài toán trị riêng hàm riêng là: { (1.32) Lấy thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân trong (1.32) là: √ √ Với A, B là các hằng số tùy ý. Điều kiện biên trong bài toán (1.2.22) buộc rằng: √ Điều này dẫn tới √ (1.33) Các trị riêng của bài toán (1.32) đƣợc cho bởi (1.33) là một tập vô hạn các số nguyên âm { }, n=1,2,… Các hàm riêng tƣơng ứng với các trị riêng này là: Với cho bởi (1.33), phƣơng trình thứ hai trong (1.30) bây giờ là: 10
(1.34) Nghiệm tổng quát của (1.34) là: Với C là các hằng số tùy ý. Nghiệm của phƣơng trình (1.25) thỏa mãn (1.26) dạng u=XT là: Để thỏa mãn điều kiện biên (1.27) ta lập chuỗi: ∑ ∑ Trong (1.35) cho một cách hình thức t=0 ∑ (1.36) Nhân (1.36) với sinnx và lấy tích phân theo x từ 0 đến một cách hình thức, ta đƣợc: ∫ (1.37) Chuỗi (1.36) với hệ số (1.37) đƣợc gọi là chuỗi Fourier của f(x). Hàm u cho bởi (1.35) với hệ số (1.37) gọi là nghiệm hình thức của bài toán (1.25), (1.26), (1.27). 1.2.2. Phƣơng pháp dùng phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier cho chúng ta tìm đƣợc nghiệm hình thức của bài toán giá trị biên. Phép biến đổi này rút phƣơng trình đạo hàm riêng về phƣơng trình vi phân thƣờng. Giải phƣơng trình vi phân thƣờng chúng ta đƣợc biến đổi Fourier của nghiệm hình thức của bài toán. Dùng công thức đảo ta tìm đƣợc nghiệm hình thức của bài toán. 11
Chẳng hạn ta xét bài toán sau: { Với t cố định, giả sử u(x,t) khá tốt: ∑̂ ̂ ∫ ∑ ̂ ̂ ∑ Nhƣ vậy hàm ̂ phải thỏa mãn: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Chúng ta có một phƣơng trình vi phân thƣờng theo t để tính ̂. Giải phƣơng trình vi phân thƣờng này thì chúng ta tìm đƣợc ̂. Có ̂ ta dùng công thức Fourier đảo để tìm lại u(x,t). Suy ra: ̂ Tại t = 0 thì ̂(n,0) = Nếu f thỏa mãn: ̂ ∫ ̂ ̂ Dùng công thức Fourier đảo ta có: ∑ ̂ 12
u này gọi là nghiệm hình thức của bài toán. 1.2.3. Phƣơng pháp dùng phép biến đổi Laplace. Các bƣớc tiến hành áp dụng phép biến đổi Laplace để tìm nghiệm bài toán biên:  Xác định biến số của hàm nhiều biến có thể thực hiện biến đổi Laplace.  Thực hiện phép biến đổi Laplace cho hai vế của phƣơng trình đạo hàm riêng có để ý đến các điều kiện phụ.  Xác định ảnh Laplace của hàm cần tìm.  Dùng phép biến đổi Laplace đảo xác định hàm cần tìm. Ví dụ: Giải bài toán (1.38) { Lấy biến đổi Laplace đối với t của (1.38) [ ] * + * + [ ] Chúng ta đƣợc phƣơng trình và các điều kiện biên cho U(x,p). Giải phƣơng trình này đƣợc [ ] Từ đây suy ra: 13
14
Chƣơng 2: Phƣơng pháp D’Alembert 2.1. Phƣơng pháp D’Alembert Sợi dây vô hạn là sự trừu tƣợng hóa sợi dây có chiều dài lớn đến mức là các đầu mút không ảnh hƣởng gì đến dao động của phần sợi dây đang xét. Lúc đó dao động của phần này chỉ chịu ảnh hƣởng của điều kiện ban đầu. Sự xuất hiện dao động của sợi dây vô hạn có thể hình dung nhƣ sau: ở thời điểm ban đầu nào đó t =0, sợi dây có một hình dạng nào đó u(x,t)|t=0 = u(x,0) =f(x) và mỗi điểm của sợi dây nhận một vận tốc ban đầu: ut (x,t)|t=0 = ut(x,0) = F(x) sau đó sợi dây tự nó chuyển động. Hàm f(x) và F(x) phải đƣợc xác định trên toàn bộ trục x. Thành thử ta có bài toán vật lí – toán sau đây: Tìm nghiệm u =u(x,t), của phƣơng trình (2.1) Thỏa mãn các điều kiện ban đầu: ut|t=0 = f(x), u’t|t=0 = F(x); (2.2) Đó là bài toán Cauchy đối với phƣơng trình (2.1). Điều kiện (2.2) gọi là điều kiện ban đầu. Muốn tìm nghiệm của phƣơng trình (2.1), ta hãy đƣa nó về dạng dễ giải hơn bằng cách đổi biến số. Đặt: Phép lấy đạo hàm của hàm số hợp cho ta: ( ) ( ) 15
*( ) ( )+ ( ) ( ) Vậy phƣơng trình (2.1) có dạng: Vì ( ) nên Trong đó là một hàm tùy ý. Từ đó ∫ Trong đó là một hàm tùy ý. Vì là một hàm tùy ý nên tích phân của nó cũng là một hàm tùy ý. Vậy: Trở về các biến số cũ x, t ta đƣợc (2.3) Trong đó và là các hàm tùy ý, khả vi liên tục hai lần để cho phép đổi biến số trên là đúng. Nghiệm (2.3) đƣợc gọi là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.1). Bây giờ ta dựa vào các điều kiện ban đầu (2.2) để xác định các hàm và . Trong (2.3) ta thay t = 0: (2.4) Trong giáo trình Phương pháp toán lí của Đỗ Đình Thanh (phƣơng trình 3-17) trình bày: (3-17) | (với a = c = const) Lấy tích phân hai vế của (3-17) từ 0 đến x ta đƣợc: 16