Kì thi KSCL trước tuyển sinh năm 2009 ( 1) môn toán

Chia sẻ: Khong Huu Cuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi được biên soạn chi tiết, công phu giúp cho các em học sinh dễ dàng làm bài thi một cách hiệu quả nhất. Ngoài ra đề thi còn củng cố kiến thức , là tài liệu cho các bậc phụ huynh, quý thầy cô tham khảo để giúp các các em làm bài thi một cách tốt nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kì thi KSCL trước tuyển sinh năm 2009 ( 1) môn toán

Tr−êng THPT §«ng S¬n 1 k× thi KSCL tr−íc tuyÓn sinh n¨m 2009 (1) M«n Thi: To¸n Download t¹i Ebook.here.vn Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) (§Ò thi gåm 02 trang) phÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh C©u I (2 ®iÓm) Cho h m sè y = x 3 − 3 x 2 + 4 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ (C) cña h m sè. 2. Gäi d l ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(3; 4) v cã hÖ sè gãc l m. T×m m ®Ó d c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt A, M, N sao cho hai tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M v N vu«ng gãc víi nhau. C©u II (2®iÓm)  x 2 + 1 + y( x + y ) = 4 y (x, y ∈ R ) 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:  2 ( x + 1)( x + y − 2) = y sin 3 x. sin 3 x + cos 3 x cos 3 x 1 =− 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: π  π  8 tan x −  tan x +  6  3  1 C©u III (1 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ x ln( x 2 + x + 1)dx 0 C©u IV (1 ®iÓm) Cho h×nh l¨ng trô ABC.A’B’C’ cã ®¸y l tam gi¸c ®Òu c¹nh a, h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A’ lªn mÆt ph¼ng (ABC) trïng víi t©m O cña tam gi¸c ABC. Mét mÆt ph¼ng (P) chøa BC v a2 3 vu«ng gãc víi AA’, c¾t l¨ng trô theo mét thiÕt diÖn cã diÖn tÝch b»ng . TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng 8 trô ABC.A’B’C’. C©u V (1 ®iÓm) Cho a, b, c l ba sè thùc d−¬ng tháa m n abc = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu 1 1 1 thøc P = 2 +2 +2 a + 2 b + 3 b + 2c + 3 c + 2 a 2 + 3 2 2 PhÇn tù chän ThÝ sinh chØ ®−îc l m mét trong hai phÇn: PhÇn 1 hoÆc PhÇn 2 PhÇn 1 C©u VI.a (2 ®iÓm) 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ trôc täa ®é Oxy cho parabol (P): y = x 2 − 2 x v elip x2 + y 2 = 1 . Chøng minh r»ng (P) giao (E) t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. (E): 9 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua 4 ®iÓm ®ã. 2. Trong kh«ng gian víi hÖ trôc täa ®é Oxyz cho mÆt cÇu (S) cã ph−¬ng tr×nh x + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 = 0 v mÆt ph¼ng (α) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z + 17 = 0. ViÕt 2 ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (β) song song víi (α) v c¾t (S) theo giao tuyÕn l ®−êng trßn cã chu vi b»ng 6π. n  1 2 C©u VII.a(1®iÓm) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña  x + ,   4  2 x 2 n+1 n 6560 22 1 23 2 biÕt r»ng n l sè nguyªn d−¬ng tháa m n: 2Cn + 0 Cn + Cn + L + Cn = k ( Cn l sè tæ n +1 n +1 2 3 hîp chËp k cña n phÇn tö) 1
PhÇn 2 C©u VI.b (2 ®iÓm) 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ trôc täa ®é Oxy cho hai ®−êng th¼ng d1: x + y + 5 = 0, d2: x + 2y - 7= 0 v tam gi¸c ABC cã A(2 ; 3), träng t©m l ®iÓm G(2; 0), ®iÓm B thuéc d1 v ®iÓm C thuéc d2 . ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. 2. Trong kh«ng gian víi hÖ trôc täa ®é Oxyz cho tam gi¸c ABC víi A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) v mÆt ph¼ng (P): x – y – z – 3 = 0. Gäi M l mét ®iÓm thay ®æi trªn mÆt ph¼ng (P). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc MA 2 + MB 2 + MC 2 e x − y + e x + y = 2( x + 1) (x, y ∈ R ) C©u VII.b (1 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  x + y e = x − y + 1 ----------------***HÕt***---------------- ThÝ sinh dù thi khèi B v D kh«ng ph¶i l m c©u V. Chó ý: ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông t i liÖu. C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä v tªn thÝ sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sè b¸o danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Tr−êng thpt ®«ng s¬n i K× thi KSCL tr−íc tuyÓn sinh n¨m 2009(lÇn 1) H−íng dÉn chÊm m«n to¸n - §iÓm to n b i kh«ng l m trßn. - Häc sinh l m c¸c kh¸c nÕu ®óng vÉn ®−îc ®iÓm tèi ®a. - NÕu häc sinh l m c¶ hai phÇn trong ph n tù chän th× kh«ng tÝnh ®iÓm phÇn tù chän. - ThÝ sinh dù thi khèi B, D kh«ng ph¶i l m c©u V; thang ®iÓm d nh cho c©u I.1 v c©u III l 1,5 ®iÓm. C©u Néi dung §iÓm Kh¶o s¸t h m sè y = x − 3 x + 4 3 2 I.1 1,00 1. TËp x¸c ®Þnh: R 2. Sù biÕn thiªn: 0,25 a) Giíi h¹n: lim y = lim ( x 3 − 3x 2 + 4) = −∞, lim y = lim ( x 3 − 3x 2 + 4) = +∞ x → −∞ x → −∞ x → +∞ x → +∞ b) B¶ng biÕn thiªn: y' = 3x2 - 6x, y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2 B¶ng biÕn thiªn: -∞ +∞ x 0 2 y' + 0 - 0 + +∞ 4 0,50 y -∞ 0 - H m sè ®ång biÕn trªn (- ∞ ; 0) v (2; + ∞ ), nghÞch biÕn trªn (0; 2) - H m sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 0, yC§ = 4, ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 2, yCT = 0. 3. §å thÞ: §å thÞ giao víi trôc tung t¹i (0; 4), giao víi trôc ho nh t¹i (-1; 0),(2; 0). NhËn ®iÓm uèn I(1; 2) l m t©m ®èi xøng y 4 0,25 2 x 2 -1 O 1 T×m m ®Ó hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc ..... I.2 1,00 d cã ph−¬ng tr×nh y = m(x – 3) + 4. Ho nh ®é giao ®iÓm cña d v (C) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 0,50 x = 3 x 3 − 3x 2 + 4 = m(x − 3) + 4 ⇔ (x − 3)(x 2 − m) = 0 ⇔  2 x − m = 0 Theo b i ra ta cã ®iÒu kiÖn m > 0 v y' ( m ).y' (− m ) = −1 0,25 18 ± 3 35 ⇒ (3m − 6 m )(3m + 6 m ) = −1 ⇔ 9m 2 − 36m + 1 = 0 ⇔ m = 0,25 (tháa m n) 9 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè 1,00 II.1 Ta thÊy y = 0 kh«ng ph¶i l nghiÖm cña hÖ 0,25 x2 + 1 +x+y−2 = 2  y HÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi  2 0,25  x + 1 (x + y − 2) = 1 y  3
u + v = 2 x2 + 1 §Æt u = , v = x + y − 2 Ta cã hÖ ⇔ u = v =1 0,25  uv = 1 y x2 + 1 =1  Suy ra  y . Gi¶i hÖ trªn ta ®−îc nghiÖm cña hpt ® cho l (1; 2), (-2; 5) 0,25 x + y − 2 = 1  Gi¶i ph−¬ng tr×nh l−¬ng gi¸c 1,00 II.2 π  π  π  π  §iÒu kiÖn: sin  x −  sin x +  cos x −  cos x +  ≠ 0 6  3  6  3  0,25 π  π π π    Ta cã tan x −  tan x +  = tan x −  cot  − x  = −1 6  3 6 6    1 Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi ⇔ sin 3 x. sin 3x + cos 3 x cos 3x = 8 0,25 1 − cos 2x cos 2x − cos 4x 1 + cos 2x cos 2x + cos 4x 1 ⇔ ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 8 1 1 1 ⇔ 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = ⇔ cos 3 2 x = ⇔ cos 2 x = 0,25 2 8 2 π  x = 6 + kπ (lo¹i) π ⇔ , (k ∈ Z) . VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = − + kπ , (k ∈ Z) 0,25 π 6 x = − + kπ   6 TÝnh tÝch ph©n 1,00 III 2x + 1  u = ln( x 2 + x + 1) du = 2 dx ⇒ x + x +1 §Æt  dv = xdx v = x 2 / 2  0,25 1 1 2 3 2 1 2x + x x ln(x 2 + x + 1) − ∫ 2 I= dx 2 0 x + x +1 2 0 1 1 1 2x + 1 1 1 1 3 dx = ln 3 − ∫ (2 x − 1)dx + ∫ 2 dx − ∫ 2 4 0 x + x +1 4 0 x + x +1 2 20 0,25 ( ) 1 1 1 3 3 3 1 1 = ln 3 − x 2 − x + ln( x 2 + x + 1) − I 1 = ln 3 − I 1 2 2 4 4 4 4 0 0 1  π π dx 1 3 * TÝnh I1: I 1 = ∫ . §Æt x + = tan t, t ∈  − ,  2 2 2  2 2 2 1  3   0 x+  +   2  2   0,25   π/3 π/3 2 3 (1 + tan 2 t )dt 2 3 3π ∫/ 6 1 + tan 2 t = 3 t = 9 Suy ra I 1 = 3π π/ 6 3π 3 VËy I = ln 3 − 0,25 4 12 4
TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô 1,00 IV C’ A’ B’ H A C O M B Gäi M l trung ®iÓm cña BC, gäi H l h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn AA’, Khi 0,25 ®ã (P) ≡ (BCH). Do gãc A ' AM nhän nªn H n»m gi÷a AA’. ThiÕt diÖn cña l¨ng trô c¾t bëi (P) l tam gi¸c BCH. a3 2 a3 Do tam gi¸c ABC ®Òu c¹nh a nªn AM = , AO = AM = 2 3 3 0,25 2 2 a3 1 a3 a3 Theo b i ra S BCH = ⇒ HM.BC = ⇒ HM = 8 2 8 4 3a 2 3a 2 3a AH = AM 2 − HM 2 = − = 4 16 4 A' O HM = 0,25 Do hai tam gi¸c A’AO v MAH ®ång d¹ng nªn AO AH AO.HM a 3 a 3 4 a suy ra A' O = = = AH 3 4 3a 3 a3 3 1 1aa 3 ThÓ tÝch khèi l¨ng trô: V = A' O.S ABC = A' O.AM.BC = a= 0,25 2 23 2 12 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ... 1,00 V 1 1 1 1 =2 ≤ +b2 ≥ 2ab, b2 + 1 ≥ 2b ⇒ 2 Ta cã a a + 2b + 3 a + b + b + 1 + 2 2 ab + b + 1 2 2 2 2 0,50 1 1 1 1 1 1 ≤ ≤ ,2 T−¬ng tù 2 b + 2c + 3 2 bc + c + 1 c + 2a + 3 2 ca + a + 1 2 2 1  = 1  1 + ab + b  = 1 1 1 1 P≤    + + 0,25 2  ab + b + 1 bc + c + 1 ca + a + 1  2  ab + b + 1 b + 1 + ab 1 + ab + b  2 1 1 P= khi a = b = c = 1. VËy P ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng khi a = b = c = 1. 0,25 2 2 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua giao ®iÓm cña(E) v (P) 1,00 VIa.1 Ho nh ®é giao ®iÓm cña (E) v (P) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x2 0,25 + (x 2 − 2x) 2 = 1 ⇔ 9x 4 − 36 x 3 + 37x 2 − 9 = 0 (*) 9 XÐt f ( x) = 9 x 4 − 36 x 3 + 37x 2 − 9 , f(x) liªn tôc trªn R cã f(-1)f(0) < 0, 0,25 f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt, do ®ã (E) c¾t (P) t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt y = x 2 − 2 x  To¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (E) v (P) tháa m n hÖ  x 2 0,25 2  +y =1  9 5
8x 2 − 16 x = 8y ⇒ 9 x 2 + 9 y 2 − 16 x − 8y − 9 = 0 (**) ⇔ 2 2 x + 9 y = 9 8 4 161 (**) l ph−¬ng tr×nh cña ®−êng trßn cã t©m I =  ;  , b¸n kÝnh R = Do 0,25 9 9 9 ®ã 4 giao ®iÓm cña (E) v (P) cïng n»m trªn ®−êng trßn cã ph−¬ng tr×nh (**) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (β ).... 1,00 VIa.2 Do (β) // (α) nªn (β) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z + D = 0 (D ≠ 17) 0,25 MÆt cÇu (S) cã t©m I(1; -2; 3), b¸n kÝnh R = 5 §−êng trßn cã chu vi 6π nªn cã b¸n kÝnh r = 3. 0,25 Kho¶ng c¸ch tõ I tíi (β) l h = R 2 − r 2 = 5 2 − 3 2 = 4 2. 1 + 2( − 2 ) − 3 + D  D = −7 = 4 ⇔ − 5 + D = 12 ⇔  Do ®ã 0,25 D = 17 (lo¹i) 2 2 2 2 + 2 + (−1) VËy (β) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z - 7 = 0 0,25 T×m hÖ sè cña x2... VII.a 1,00 2 2 ( ) Ta cã I = ∫ (1 + x) n dx = ∫ C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + L + C n x n dx n n n n 0 0 2   1 1 1 0,25 C n x n +1  =  C 0 x + C1 x2 + C 2 x3 + L + n n n n n +1 2 3  0 2 n +1 n 22 1 23 2 suy ra I = 2C 0 + Cn + Cn +L+ C n (1) n n +1 2 3 3 n +1 − 1 1 2 (1 + x) n +1 = MÆt kh¸c I = (2) n +1 n +1 0 2 n +1 n 3 n +1 − 1 22 1 23 2 Tõ (1) v (2) ta cã = 2C 0 + Cn + Cn +L+ Cn = 0,25 n n +1 n +1 2 3 n +1 3 − 1 6560 ⇔ 3 n +1 = 6561 ⇒ n = 7 = Theo b i ra th× n +1 n +1 7 k 14 −3 k ()  1 7−k  1  7 7 1k Ta cã khai triÓn  x + 4  = ∑ C 7 x  4  = ∑ k C7 x 4 k 0,25     02  2 x 2 x  0 14 − 3k =2⇔k=2 Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa m n 4 0,25 1 21 VËy hÖ sè cÇn t×m l 2 C 2 = 7 4 2 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn .... 1,00 VIb.1 Do B ∈ d1 nªn B = (m; - m – 5), C ∈ d2 nªn C = (7 – 2n; n) 0,25 2 + m + 7 − 2n = 3.2 m− 2n = −3 m = −1 ⇔ ⇔ Do G l träng t©m tam gi¸c ABC nªn  0,25 3 − m − 5 + n = 3.0 − m+ n = 2 n = 1 Suy ra B = (-1; -4), C= (5; 1) Gi¶ sö ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã ph−¬ng tr×nh x 2 + y 2 + 2ax + 2 by + c = 0 . Do A, B, C ∈ (C) nªn ta cã hÖ 4 + 9 + 4 a + 6 b + c = 0 a = −83 / 54 0,25   1 + 16 − 2a − 8b + c = 0 ⇔ b = 17 / 18 25 + 1 + 10a + 2 b + c = 0 c = −338 / 27   83 17 338 VËy (C) cã ph−¬ng tr×nh x 2 + y 2 − x+ y− =0 0,25 27 9 27 6
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ... 1,00 VIb.2 7 8  Gäi G l träng t©m cña tam gi¸c ABC, suy ra G =  ; ;3  3 3  ( )( )( ) 0,25 2 2 2 Ta cã F = MA 2 + MB 2 + MC 2 = MG + GA + MG + GB + MG + GC = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + 2MG(GA + GB + GC) = 3MG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 F nhá nhÊt ⇔ MG2 nhá nhÊt ⇔ M l h×nh chiÕu cña G lªn (P) 0,25 7/3− 8/3−3−3 19 ⇔ MG = d(G, ( P )) = = 0,25 1+1+1 33 56 32 104 64 GA 2 + GB 2 + GC 2 = + + = 9 9 9 3 0,25 2  19  64 553 + = VËy F nhá nhÊt b»ng 3. khi M l h×nh chiÕu cña G lªn (P)   3 9 3 3  Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh mò 1,00 VIIb e x − y + e x + y = 2( x + 1) e x − y = x + y + 1 ⇔  x+y  x+y e = x − y + 1 e = x − y + 1 0,25 e v = u + 1 e v = u + 1 (1) ⇔ u §Æt u = x + y , v = x - y ta cã hÖ  u v e = v + 1 e − e = v − u (2 ) - NÕu u > v th× (2) cã vÕ tr¸i d−¬ng, vÕ ph¶i ©m nªn (2) v« nghiÖm 0,25 - T−¬ng tù nÕu u < v th× (2) v« nghiÖm, nªn (2) ⇔ u = v ThÕ v o (1) ta cã eu = u+1 (3) . XÐt f(u) = eu - u- 1 , f'(u) = eu - 1 B¶ng biÕn thiªn: -∞ +∞ u 0 f'(u) - 0 + 0,25 f(u) 0 Theo b¶ng biÕn thiªn ta cã f(u) = 0 ⇔ u = 0 . x + y = 0 x = 0 Do ®ã (3) cã 1 nghiÖm u = 0 ⇒ v = 0 ⇒  ⇔ 0,25 x − y = 0 y = 0 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ® cho cã mét nghiÖm (0; 0) 7