Kinh Toán học Tích phân hàm vô tỉ

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Nội dung Text: Kinh Toán học Tích phân hàm vô tỉ

Kinh Toán học Tích phân hàm vô tỉ:................................ ................................ ................................ ......... 3 1 ax  b 1/ I   dx ................................ ................................ ................................ .......... 5 x cx  d 1 ax  b 2/ I   dx ................................ ................................ ................................ ....... 8 2 x cx  d dx 3/ I   3 3 ................................ ................................ ................................ ................. 9 x a dx 4/ I   3 3 ................................ ................................ ................................ ............... 10 x a dx 5/ I   4 ................................ ................................ ................................ ................ 11 4 x a dx 6/ I   4 ................................ ................................ ................................ ............... 13 4 x a dx 7/ I   6 6 ................................ ................................ ................................ ............... 13 x a dx 8/ I   6 ................................ ................................ ................................ ............... 14 6 x a dx 9/ I   8 8 ................................ ................................ ................................ ............... 14 x a dx * I ................................ ................................ ................................ ................... 15 8 1 x dx n  ¥ * ................................ ................................ ............................. 16 10/ I   1  x 2n dx 11/ I   n ................................ ................................ ................................ ............. 20 n x a dx 6/ I   ................................ ................................ ................................ ..... 21 2 ax  bx  c  mx  n  dx 7/ I   ................................ ................................ ................................ ..... 22 2 ax  bx  c dx 8/ I   ................................ ................................ ......................... 22 2  x  q  ax  bx  c dx * I ................................ ................................ ................................ .... 25 3 x  2  4x  7 x3  x  1 * I dx ................................ ................................ ................................ ... 25 2 x  2x  2 1 dx * I ................................ ................................ ................................ ... 26 1  x  nn n 1 x 0 dx * I ................................ ................................ ............................... 26 x 1  x 1  2 4 dx * I ................................ ................................ ................................ ..................... 1x x x * I   1  u 2 du   1  x 2 dx ................................ ................................ ....................... 28 0 x a * I dx ................................ ................................ ................................ ............. 29 xa ax * I dx ................................ ................................ ................................ .................. xa x 2000 .dx ................................ ................................ ................................ ................ * I 2004  x  1 1
dx * I ................................ ................................ ................................ ............. 2 ax  bx  c dx * I ................................ ................................ ................................ ........ 2   ax 2  bx  c mx  n * I dx ................................ ................................ ................................ ......... 2 ax  bx  c * I   x 2 x 2  a 2 .dx ................................ ................................ ................................ ......... n * I   x  ax  b  dx ................................ ................................ ................................ ........... x.dx * I ................................ ................................ ................................ ................. n  ax  b  x 2 .dx * I ................................ ................................ ................................ ....................  ax  b  x c .dx * I ................................ ................................ ................................ ................ b x  a m x 3dx 1 * I ................................ ................................ ................................ .............. 2 0x x 1 * I   x 2 a 2  x 2 .dx ................................ ................................ ................................ ......... a 2  x 2 .dx * I ................................ ................................ ................................ ............. 2 x * I   x 3 a 2  x 2 .dx ................................ ................................ ................................ ......... * I   x a 2  x 2 .dx ................................ ................................ ................................ ........... * I   x 5 a 2  x 2 .dx ................................ ................................ ................................ ......... dx * I ................................ ............................ Error! Bookmark not defined. 2 2 x. x  a x 2 .dx * I ................................ ................................ ................................ ............... 2   x2  a2 z * x  sin  arctan z   ................................ ................................ ............................. 2 1 z 1 * x  cos  arctan y   ................................ ................................ ............................ 2 1 y x 3 .dx * I ................................ ................................ ................................ ............... 2n x2  a  x 2m 1.dx * I m  1 ................................ ................................ ................................ .... 2n  x2  a   n 1 i n 1i  n n * Cm : a  b   a  b    a .b  ................................ ................................ .......... 43  i0  x 4 .dx * I ................................ ............................ Error! Bookmark not defined. 22 x2  a  dx * I ................................ ................................ ................................ ............. 23  x2  a  dx * I ................................ ................................ ................................ ............. 5   x2  a2 2
dx * I ................................ ................................ ................................ ............. 3   a 2  x2 dx * I ................................ ................................ ................................ ........ 2 2n 1 a2  x  dx * I ................................ ................................ ................................ ........ 2 2n 1  x2  a   x  a   b  x .dx ................................................................................................... * I dx * I ................................ ................................ ................................ .......  x  a b  x  dx * I ................................ ................................ ................................ .. 3   x  a b  x   dx * I ................................ ................................ .............................. 2n 1   x  a b  x   3 * I    x  a   b  x   .dx .............................................................................................. dx * I ................................ ................................ ................................ .......  x  a  x  b dx * I ................................ ................................ ................................ ... x 1  x 1  2 Tích phân hàm vô tỉ:  ax  b  ax  b ax  b  tn   ax  b  t n .cx  t n .d a /  R  x, n dx doi bien : t  n  cx  d  cx  d cx  d  t n .d  b  t n n  x a  c.t .d  b  x   a  c.t n  ' n'  t .d  b   a  c.t    t .d  b   a  c.t  dt  n.d.t n 1  a  c.t n    t n .d  b   n.c.t n 1  dt n n n  dx  2 2  a  c.t n   a  c.t n  n.t n 1  ad  bc  dt a.n.d.t n 1  b.n.c.t n 1  dt  n2 n2  a  c.t   a  c.t  3
t3  1 6t 2 .dt dx x  1 dx x 1 VD1: I   3 . Dat t  3  x  3 , dx  2 x  1  x  1 x 1  x  1  x  12   t 1 3 3 t 1 6t 2 .dt  t3  1  6t 3 .dt  2t 3  6t 3 .dt  t 3  1  3dt  I  t  3  1    3    . 3    3 2 2 2 t       t 1   t 1 t  1  2t  t  1 3 3 3 1 t 1 1 1 A B.t  C    A t 2  t  1   B.t  C   t  1  1   2   t 3  1  t  1 t 2  t  1 t  1 t  t  1 1 cho t  0  A   1  B.t  C   1 Cho t  1  3A  1  A  3 1 2 7 2 1   C 1 C   cho t  2  7A  2B  C  1   2B   1  B   3 3 3 3 3 d  t  1  t  2  dt 1 1 t2 3dt 3    3  2     3  t  1 3 t 2  t  1  t  1 t 1 t 1 t  t 1   d t2  t 1 3 1 2t  4 1 dt   ln t  1   2 dt   ln t  1   2 2       2 t  t 1 2 t  t 1 2 t  t 1 1 3 dt     ln t  1  ln t 2  t  1   2   2 2 t  t 1  1 d t   3 dt 3 32  2t  1  dx 1 x  2    . arctg   arctg    2     x  a2 a 2 2 t2  t 1 2  23 a 3 2   1  3   t       2   2      t 2  t  1  1 1  2t  1   2t  1    2  I   ln  t  1  ln t 2  t  1  3.arctg  ln 3.arctg      t  12 2 2 3  3   ax  b  ax  b ax  b  tn   ax  b  t n .cx  t n .d a /  R  x, dx doi bien : t  n n  cx  d  cx  d cx  d  t n .d  b  t n n  x a  c.t .d  b  x    a  c.t n ' '  t n .d  b   a  c.t n    t n .d  b   a  c.t n  n.d.t n 1  a  c.t n    t n .d  b   n.c.t n 1   dx  dt  dt 2 2  a  c.t n   a  c.t n  n.t n 1  ad  bc  dt a.n.d.t n 1  b.n.c.t n 1  dt  n2 n2  a  c.t   a  c.t  4
1 ax  b 1/ I   dx x cx  d 1 ax  b ax  b ax  b  tn   ax  b  t n .cx  t n .d a / I   .n dx doi bien : t  n x cx  d cx  d cx  d t n .d  b  t n n  x a  c.t .d  b  x   a  c.t n  ' n'  t .d  b   a  c.t    t .d  b   a  c.t  dt  n.d.t n 1  a  c.t n    t n .d  b   n.c.t n 1  dt n n n  dx  n2 n2  a  c.t   a  c.t  n.t n 1  ad  bc  dt and.t n 1  bnc.t n 1  dt  n2 n2  a  c.t   a  c.t   a  c.t n .t n.t n 1  ad  bc  dt  n.t n  ad  bc  dt I n   t .d  b   a  c.t   a  c.t n   t n .d  b  n2   t 2 dt M N  2  ad  bc     dt Cho n  2  I  2  ad  bc   2       a  c.t 2 t 2 .d  b  a  c.t 2  t .d  b   t2 M N      M t 2 .d  b  N a  c.t 2  t 2    a  c.t   t .d  b   a  c.t   t .d  b  2 2 2 2 Mb   M  0, P  0  Na  Mb  0  N   a a b M N   Md  Nc  1  M  d  bc   1  M  ad  bc   1 ad  bc ad  bc      a a     a b  I  2   dt 2     a  c.t 2  t .d  b   a a t t adt adt a1 1a dx 1 ax   c c  . .ln  . ln  ln   2 2a a  x   a  c.t 2  2 2 c 2c  a  a a a  a x  2 t t 2 c  t  c c c  c     b b t t bdt bdt b1 1b d d   . .ln   . ln   t 2 .d  b  2 d 2d  b   b b b 2 t t 2 d  t  d d d  d       t 2 dt a b  2   dt  I  2  ad  bc   2  a  c.t 2       t 2 .d  b  a  c.t 2  t .d  b     a b t t 1 a  1b c d  2  . ln   . ln 2 c 2d a b  t t   c d   1 a b  d.t  a  c.t 1 b  2  . ln . ln  2 c a  c.t 2 d b  d.t    a ax  b b ax  b   a  1 ax  b cx  d  b ln c d cx  d dx    I ln x cx  d c d a ax  b b ax  b      c cx  d d cx  d   5
'   a ax  b b ax  b   a  cx  d  b ln c d cx  d Kiem tra ket qua :  ln  c d a ax  b b ax  b      c cx  d d cx  d   ' '     a ax  b b ax  b   a  b  c cx  d d cx  d  ln   ln   c d a ax  b b ax  b         c cx  d d cx  d     ' a  a ax  b   b  b ax  b   ax  b  a ax  b  b   ln     ln      ln     ln    c  c cx  d  c cx  d   d  d cx  d  d cx  d     a  cx  d   c  ax  b  '  ax  b     cx  d 2 cx  d   ' a ax  b  ax  b ax  b    ' 2 2 a ax  b    c cx  d  cx  d  cx  d  ln      c cx  d    a ax  b  a ax  b a ax  b      c cx  d c cx  d c cx  d   ad  bc cx  d .  cx  d 2 2 ax  b  ad  bc  cx  d   a ax  b  a ax  b 2 2  cx  d  ax  b     c cx  d c cx  d   a  cx  d   c  ax  b  '  ax  b     cx  d 2 cx  d   '  a ax  b  ax  b ax  b    ' 2 2 a ax  b    c cx  d  cx  d  cx  d ln       c cx  d    a ax  b  a ax  b a ax  b      c cx  d c cx  d c cx  d   ad  bc cx  d  . 2  cx  d    ad  bc  cx  d 2 ax  b   a ax  b  a ax  b 2 2  cx  d  ax  b     c cx  d c cx  d   ' ' a ax  b     a ax  b    ln      ln    c cx  d     c cx  d         ad  bc  cx  d  1 1    2 ax  b   a ax  b   ax  b   a 2  cx  d   c  cx  d   c  cx  d         a ax  b   ax  b   a       ad  bc  cx  d   c cx  d   c cx  d    2 ax  b    a ax  b  2  cx  d         c cx  d          ad  bc  cx  d a 1   .2 c  a  cx  d   c  ax  b   2 2  cx  d  ax  b   c  cx  d    6
     ad  bc     ad  bc  cx  d . a . c  cx  d   cx  d a  1 ac  .  cx  d 2 2 ax  b c   ad  bc    cx  d  ax  b c ad  bc cx  d. ax  b   c  cx  d     '   a ax  b  a  a c cx  d  ln   c a ax  b cx  d. ax  b     c cx  d   a  cx  d   c  ax  b  '  ax  b     cx  d 2  cx  d  ' b ax  b  ax  b ax  b    ' 2 2 b ax  b    d cx  d  cx  d  cx  d  ln      d cx  d    b ax  b  b ax  b b ax  b      d cx  d d cx  d d cx  d   ad  bc cx  d . 2  cx  d   ad  bc  cx  d 2 ax  b   b ax  b  b ax  b 2 2  cx  d   ax  b    d cx  d d cx  d   '   ad  bc  cx  d b ax  b   ln      d cx  d   b ax  b   2 2  cx  d  ax  b    d cx  d   ' ' b ax  b     b ax  b   ln     ln      d cx  d     d cx  d         ad  bc  cx  d  1 1    2 ax  b   b ax  b   ax  b   b 2  cx  d   d  cx  d   d  cx  d         b ax  b   ax  b   b       ad  bc  d cx  d   d cx  d   cx  d    2 ax  b    b ax  b  2  cx  d         d cx  d         ad  bc  cx  d b 1   .2 d  b  cx  d   d  ax  b   2 2  cx  d  ax  b   d  cx  d    '     b ax  b   ad  bc  cx  d b   b  1 bd cx  d d cx  d    ln     cx  d  ax  b d  x  bc  ad    cx  d  .x ax  b 2 d b ax  b      d  cx  d   d cx  d     b  cx  d.x ax  b ' '     a ax  b b ax  b   a  b  a b c cx  d d cx  d  ln   ln     cx  d  ax  b  cx  d  .x ax  b c d a ax  b b ax  b        c cx  d d cx  d     ax  b ax  b   x cx  d ax  b x cx  d 7
1 ax  b 2/ I   dx 2 cx  d x 1 ax  b ax  b ax  b  t2  a/I 2. dx doi bien : t  cx  d cx  d cx  d x t 2 .d  b 2.t  ad  bc  dt x  dx    22 2   a  c.t a  c.t 22  a  c.t  .t 2.t  ad  bc  dt  2  ad  bc  t 2dt I  2 22 2  t .d  b   a  c.t   t .d  b  2 2 t2 M.t  N P.t  Q     M.t  N  t 2 .d  b  P.t  Q  t 2    t .d  b     t .d  b  2 2 t 2 .d  b 2 2  Md.t 3  Nd.t 2  Mb.t  Nb  P.t  Q  t 2  Md  0, Nd  1 M  0, P  0     P  Mb  0  1 b N  , Q  Nb  Q  Nb  0   d d    t 2 dt dt b.dt  2  ad  bc      I  2  ad  bc       d t 2 .d  b 2 2  t .d  b    2 d t 2 .d  b     b t dt 1 dt 1 1 1d b  d.t d   2. ln 2 ln  2   2 d t 2 .d  b d  b  d b b d2b b  d.t 2 t 2   t  d d  d     b.dt b dt b  Dat a    2 d2  2 2 d   2 d t .d  b  b  t2      d    b  b dt t 1 ax  2 2 2  M 2  3 ln   22 d  2a x  a 2 4a ax    d 2 t a     b  t  2 2  b 1 b  t 1 b d .t 1 b  d.t .ln d  2   2.  . .ln     3 3 2 b 2 b d 2b t  b  d  d  b  d 2 t  b b  d.t  4 b  t   4     d d d  d d      b  d.t  t d     ln   2  2 t  b 4d b b  d.t      2  1   ax  dx x x 1   2 2 I1     2 2    3 ln      2 2 2 2 ax   2a x  a   2a x  a   2a 4a x2  a2     8
  dt b.dt  I  2  ad  bc         d t 2 .d  b 2   2  d t .d  b      d.t  b  d.t   1d b t d  2  ad  bc   2   ln  ln   2 d 2 b b  d.t   d.t  2 t  b 4d b b       1  ln b  d.t  1 t   2  ad  bc       4 bd  2 t 2  b   3 b  d.t  2 bd    ax  b  ax  b b  d.   cx  d  1  1   1 ax  b cx  d  dx  2  ad  bc   ln I 2.   4 bd  2  ax  b  b   cx  d 3 x ax  b  2 bd  b  d.     cx  d  cx  d  1 x 1 * I .dx x x 1 2' 2' 1  t  1  t   1  t  1  t 2  dt 2 2 1 x 1 x 1 1 t .dx dat t 2  * I x , dx  2 22 x x 1 x 1 1  t  1 t 2t 1  t 2   2t 1  t 2  4t 2 .dt 4t.dt  dt  I 1  t 2  1  t 2  22 22 1 t  1 t  4t 2 a b     a 1  t 2  b 1  t 2  4t 2 dat        1 t2 1 t2 1 t2 1 t2  a  b  0, b  a  4  b  2, a  2 4t 2 .dt 2 2 t 1 I    ln  2arc tan t  C 1  t 2  1  t 2  1  t 2  1  t 2  t 1 x 1 1  x 1   x 1  1 x 1 x 1  x 1 x 1 I .dx  ln  2arc tan    ln  2arc tan  C x x 1  x 1   x 1  x 1 x 1  x 1 1 x 1 dx 3/ I   x3  a3 dx dx 1 m px  q 1/ I     2    x  a   x 2  ax  a 2    x3  a3  x  a  x  ax  a 2  x  a  x 2  ax  a 2    m x 2  ax  a 2   px  q   x  a   1  x 2  m  p   am.x  ma 2  ap.x  q.x  aq  1 1 a2 1 2  2 2  Sai  : Cho x  a  3a m  1  m  2 Cho x  0  m a  q  a   1  q  2  1   3 3a 3a 7 2a Cho x  2a  7a 2 m   2ap  q  a  1   2a 2 p   1  7  6a 2 p  2a  3  6a 2 p  2a  4 3 3 1  x 2  m  p   x  am  ap  q   ma 2  aq  1  m  p  0  m  p  2   am  ap  q  0  2am  q  0  q  2am   3a  1 1 2 ma  aq  1  ma 2  2ma 2  1  m  2 , p  m   2   3a 3a 9
x 2   1 dx  a 3a 2 3a dx dx I  2  2  x  a   x 2  ax  a 2    x  ax  a 2 x a 3a  x  2a  1  2x  a  3a  dx ln x  a ln x  a 1   dx         3a 2 3a 2 3a 2 6a 2 x 2  ax  a 2 x 2  ax  a 2  x 2  ax  a 2 ' dx     3a  x  2a  ln x  a ln x  a 1 1 dx  2     2 2 dx  2 3a  x  ax  a 2  6a   x 2  ax  a 2   x  ax  a 2   3a 2 3a 2     a  dx   ln x  a 1 1 2  ln x 2  ax  a 2     3a 2 6a 2 2 2a  2 a 3 a  x         2  2     2ln x  a  ln x 2  ax  a 2 12 a 2     . .arctg   x   . 2 a 3 6a 2 2a a 3   2 ln x  a  ln x 2  ax  a 2 1  2x  a    .arctg   6a 2 a2 3 a3 2 x  a dx 1 1  2x  a   I   3 3  2 ln 2  2 .arctg   x  ax  a 2 a 3 x a 6a a3  dx 4/ I   x3  a3 dx dx 1 m px  q 1/ I   3 3    2    x  a   x 2  ax  a 2     x  a  x  ax  a 2  x  a  x 2  ax  a 2 x a    m x 2  ax  a 2   px  q   x  a   1  x 2  m  p   am.x  ma 2  ap.x  q.x  aq  1 1 1  x 2  m  p   x  am  ap  q   ma 2  aq  1  m  p  0  m  p  2    am  ap  q  0  2am  q  0  q  2am  3a  1 1 2 ma  aq  1  ma 2  2ma 2  1  m  2 , p  m   2   3a 3a x 2   1 dx  a 3a 2 3a dx dx I  2  2  x  a   x 2  ax  a 2    x  ax  a 2 xa 3a  x  2a  1  2x  a  3a  dx ln x  a ln x  a 1   dx   2 2   x  ax  a    2 2 3a 22 2 x  ax  a 2 3a 3a 6a  x 2  ax  a 2 ' dx     3a ln x  a 1 dx  2    2 6a   x 2  ax  a 2   x  ax  a 2   3a 2     a  d x   ln x  a 1 1 2  ln x 2  ax  a 2     3a 2 6a 2 2 2a  a 3  2 a  x         2  2     10
2ln x  a  ln x 2  ax  a 2 12 a 2     . .arctg   x   . 2 a 3 6a 2 2a a 3   2 ln x  a  ln x 2  ax  a 2 1  2x  a    .arctg   6a 2 a2 3 a 3 2 x  a dx 1 1  2x  a    3 3  2 ln 2  2 .arctg   x  ax  a 2 a 3 x a 6a a3 2 x  a dx 1 1  2x  a  *  3 3  2 ln 2  2 .arctg   x  ax  a 2 a 3 x a 6a a3 2 x  a dx 1 1  2x  a  *  3 3  2 ln 2  2 .arctg   2 x a 6a x  ax  a a3 a3 2  x   a    1 .arctg  2x   a   dx dx 1 *  3 3  3  ln 2    a  3   2 x   a  x  a 2  a 2 3 3 6  a  x a x  a   2 x  a 1 1  2x  a    2 ln 2  2 .  arctg   x  ax  a 2 a 3  6a  a 3  d  x  1 dx dx * I 3    x  1  x  12  3  x  1  3  x  1  x 2  x  1 x -1 1  t 2  3t  3    t 2  3t   t  3  dt  dt 1  dt  2  dt      2  t  3t  3 3    t 2  3t  3 3 t t  3t  3  t t  1  dt 1 d  t  3t  3  3 2  1  dt 1  2t  3 dt 3 dt dt     2         3  t 2 t  3t  3 2 t 2  3t  3  3  t 2 t 2  3t  3 2 3 3 2  t 2  4 t2 1 x 2  2x  1 1 1 1 2t  3  2x  1   ln 2  3arctg  c  ln 2  arctg c  3  2 t  3t  3 6 3 x  x 1 3 3 d  x  1 dx dx * I3 =    x 3 +1  x  1  x 2  x  1  x  1  x  12  3  x  1  3 1  t 2  3t  3   t 2  3t   t  3 dt  dt 1  dt  2  dt      2  t  3t  3 3    t 2  3t  3 3 t t  3t  3  t t  1  dt 1 d  t  3t  3 3 2  1  dt 1  2t  3 dt 3 dt dt     2  2     2    2 3 3  t 2 t  3t  3 2 t  3t  3  3  t 2 t  3t  3 2  t3  2  4 t2 1 x 2  2x  1 1 1 1 2t  3  2x  1   ln 2  3arctg  c  ln 2  arctg c  3  2 t  3t  3 6 3 x  x 1 3 3 dx 5/ I   x4  a4 dx dx 1 Ax  B C D 2/ I  4  2      x2  a2  x  a  x  a  x2  a2  x  a4 x  a x  a x  a2 x  ax  a    Ax  B   x 2  a 2   C  x  a   x 2  a 2   D  x  a   x 2  a 2   1 1 Dk : x  a 1 1 ko the cho x  a  D.2a.2a 2  1  D , cho x  a  C  2a  .2a 2  1  C   3  sai vi x  a  4a 3 4a  D 1 Ax  B C D 4  Ax  B C   4   f x 2   1 x  a       4 4 x  a x  a x  a x  a  2 2 2  x a x a x a   11
   lim 4x 3.D  qui tac L 'Hopital   4a 3.D  1  D  D x4  a4 1  lim f  x   lim 4a 3 x  a x a x a x a    lim 4x 3.C  4a 3.C  1  C   C x4  a4 1 lim f  x   lim 4a 3 x  a x  a x  a x  a  Ax  B   x 4  a 4   Ax  B  .4x 3  lim  Ax  B  .2x 2 lim f  x   lim  lim  x2  a2  2x x i.a x i.a x i.a x i.a  Ax  B   x 4  a 4   Ax  B  .4x 3 2  Ai.a  B   1 lim f  x   lim  2a  lim x  2 2 2x a x  i.a x  i.a x  i.a 1  lim  Ax  B  .2x 2  2a 2  Ai.a  B   1  A  0, B   2a 2 x  i.a 1  Ax 3  Bx 2  a 2 Ax  a 2 B  C  x 3  ax 2  a 2 x  a 3   D  x 3  ax 2  a 2 x  a 3   1    x 3  A  C  D   x 2  B  aC  aD   x a 2 A  a 2 C  a 2 D  a 2 B  a 3C  a 3D  1  a 2  C  D  A   0  A  C  D     A  C  D  0  A  C  D  0  2  C  D   0  C  D, A  0    B  aC  aD  0       a 2  C  D  A   0 B  aC  aD  0  B  a  C  D  , C  D  B  2aC    a 2 B  aC  aD  1  a 2 2aC  aC  aC  1 2      a   B  aC  aD   1    a  0   1   4a 3C  1  C   3    4a  1 1 1  A  0, C   , D 3, B 2 4a 3 4a 2a 1 d x  a 1 dx  a dx dx 1 dx I 4  2  2 2  3  3     4 4a  x  a  4a  x  a  2 2 x  a x  ax  a x a 2a x a x ln x  a  ln x  a 11 1 x a 1 x   2 . .arctg   3 ln  .arctg  C 3 x  a 2a 3 a a a 2a 4a 4a a xb a x  b2 dx dx 1  12 21  22 I 4 4  2         x  a 2 x2  a2 x2  a 2 x2  a2 x  a2 x a x a       a1x  b1  x 2  a 2   a 2 x  b 2  x 2  a 2  1     x 3  a1  a 2   x 2  b1  b 2   x a1a 2  a 2 a 2  b1a 2  b 2 a 2  1 1 1    a1  a 2  0,  b1  b 2   0  b1   b2 , b1a 2  b 2 a 2  1  2b1a 2  1  b1  , b2   2 2a 2 2a dx 1 a.du arctgu 1 x dx 1 ax I1   2  2 2   C  arctg  C I2   2  ln x  a2 a u 1 x  a 2 2a a  x a a a 1 dx 1 dx 1 ax 1 x I 2 2 2  2 2  3 ln  3 arctg  C 2a x  a 2 4a a  x 2a a 2a x  a  Ax  B  dx dx , đưa tam thức bậc 2 về dạng tổng hoặc hiệu bình phương  2 2 ax  bx  c ax  bx  c 12
dx 6/ I   x4  a4 1  x2  a2    x2  a2  1  x2  a2 x2  a2  dx I 4  2 dx  2   4 dx   4 dx  4 4 2a  x  1  x a 2a x 1 x 1 a2 a2       2   2 a a 1 2 1 2 d x   d x 1  1   x x x dx  x dx    2      2 4 4 22 2 2   2a  x 2  a a  2a  2   xa a   2 x2  2   2 2   x    2  x x   x  x   x2  a2 x2  x 2  a 2 11  1  2 arctg  ln 2 C 2 2 x  x 2  a2 2a  2 x2  dx 7/ I   x6  a6 dx dx I 6 6  3 3    x  a x3  a 3 x a a1x 2  b1x  c1 a 2 x 2  b2 x  c2 1   x x  x   x3  a3  3 3 3 3 3 3 a a a   a1x 2  b1x  c1   x 3  a 3    a 2 x 2  b 2 x  c2   x 3  a 3   1  x 5  a1  a 2   x 4  b1  b 2   x 3  c1  c 2   x 2  a1a 3  a 2 a 3   x  b1a 3  b2 a 3   c1a 3  c2 a 3  1 1 1  a1  a 2  b1  b 2  0, c1  c2 , c1a 3  c2 a 3  1  2c1a 3  1  c1  , c2   3 2a 3 2a dx 1 dx 1 dx I   3 3 3         2a 3 x 3  a 3 2a x3  a3 x3  a3 x a 2 x  a dx 1 1  2x  a   2 ln 2  2 .arctg  3 3  x  ax  a 2 a 3 x a 6a a3 2 x  a dx 1 1  2x  a   2 ln 2  2 .arctg  3 3  x  ax  a 2 a 3 x a 6a a3 2 2 x  a x  a dx 1 1  2x  a  1 I 6 6  ln 2  5 .arctg   ln 2  12a 5 x  ax  a 2 2a 3  a 3  12a 5 x  ax  a 2 x a   x  a  2 x 2  ax  a 2    1 1  2x  a  1  2x  a   2x  a      5 .arctg   ln arctg   arctg       a 3  12a   x  a  2 x 2  ax  a 2 5  2a 5   2a 3 3 a3  a 3   13
dx 8/ I   x6  a6 1  x4  a 4    x4  a 4  1  x 4  x 2  a 4   x 2   x 2  a 2   x 2  a 2  dx dx I6 =  6  dx    x2  a2  x4  x2  a4  6 6 6 2 2 x +a x a 1  a 2  dx      x 2  a 2  dx  1  dx d  x3  x 2 dx  1  dx  x2  1   2  6  4   2    4 2 6 2 2 3 x3 2  a3 2  x 2  a 2   1 2 x a x x a  2 x a  x a   x2        x 3  x 2 3a .arctg  arctg      d xa   xa  3   x 3  a  a   11 x1 1   x   arctg  3 arctan       x  ln 2 a a   3 2  2 6a 3 2 3 xa  3 a 3a  a       x   x x    x 3  x 3a 2 .arctg  arctg    x2  x 3  a a  a   1     ln 2 C 6a 3 2 3 x x 3a dx 9/ I   x8  a8 dx dx I 8 8  4 4    x  a x4  a4 x a a1x 3  b1x 2  c1x  d1 a 2 x 3  b2 x 2  c2 x  d 2 1   x x  x   x4  a4  4 4 4 4 4 4 a a a       a1x 3  b1x 2  c1x  d1 x 4  a 4  a 2 x 3  b 2 x 2  c 2 x  d 2 x 4  a 4  1  x 7  a1  a 2   x 6  b1  b 2   x 5  c1  c 2   x 4  d1  d 2   x 3  a1a 4  a 2 a 4   x 2  b1a 4  b 2 a 4   x  c1a 4  c 2a 4    d1a 4  d 2 a 4   1  a1  a 2  b1  b 2  c1  c2  0,  d1  d 2   0  d1  d 2 1 1   d1a 4  d 2 a 4  1  2d1a 4  1  d1  , d2   4 a4 a dx dx 1 dx 1 dx I  4  4 4  4 4        x8  a 8 x  a 4 x4  a4 x  a4 a x  a4 a dx 1 x a 1 x I1    3 ln  3 .arctg  C x 4  a 4 4a x  a 2a a x2  a2 x2  x 2  a2 1  dx 1 1 I2   4  2 arctg  ln 2 C 4 2 2 x  x 2  a2 x a 2a  2 x2  dx 1 dx 1 dx I 8 8  4   4 4     x4  a4 a x  a4 x a a x2  a2 x2  x 2  a 2 1 x a 1 x 1 1  7 ln  7 .arctg  .arctg  .ln 2 C 6 6 2 x  a 2a a 2 2a 4a x2 4 2a x x 2a 14
dx * I 1  x8   1  2.x 2  x 4  1  2.x 2  x 4 dx I  dx  8 2 2 4 2 4 1 x 2 2.x . 1  2.x  x  1  2.x  x  1  2.x 2  x 4 1  2.x 2  x 4  dx   dx  2 2 4 2 4 2 2 4 2 4 2 2.x . 1  2.x  x  1  2.x  x  2 2.x . 1  2.x  x  1  2.x  x  dx dx    Ja  Jb 2 2 4 2 2 4 2 2.x . 1  2.x  x  2 2.x . 1  2.x  x  1  2.x 2  x 4   2.x 2  x 4 dx   Ja   dx  2 2 4 2 2 4 2 2.x . 1  2.x  x  2 2.x . 1  2.x  x  x2 dx dx    dx  4  2 2 2 4 2. 1  2.x  x  2 2. 1  2.x  x  2 2.x   x2  2 1 1 1 1   . dx    .K a 3 2 4 3 2.x 2 2 1  2.x  x 2.x 2 2 1 2  2      2 2 x 1   . x  1  x 1 x2  2 x2 11 2 2 Ka   dx   dx   dx  2 4 2 4 2 4 1  2.x  x 1  2.x  x 1  2.x  x 1 2  2 1 2  2 1 2  2 1 2  2           2 x 1   . x  1   . x  1  x 1   . x  1  2 2 2 2   dx      dx  2 4 2 4 1  2.x  x 1  2.x  x x2 1 x2 1 1 2  1 2    . dx    . dx  2 4 2 4  2  1  2.x  x  2  1  2.x  x 1 1 1 1 1 2  1 2  x2 x2   . 1 dx    . 1 dx  2 2  x2   x2  2 2 x2 x2 1 1   dx  dx    1 2  1 2  x x   =  . dx    . dx 2 2  2  1  x   2  x  1     2 2   2 2    x x   1  2.x 2  x 4   2.x 2  x 4 dx   Jb   dx  2 2 4 2 2 4 2 2.x . 1  2.x  x  2 2.x . 1  2.x  x  x2 dx dx    dx  4  2 2 2 4 2. 1  2.x  x  2 2. 1  2.x  x  2 2.x   x2  2 1 1 1 1   . dx    .K b 3 2 4 3 2.x 2 2 1  2.x  x 2.x 2 2 15
1 2  2      2 2 x 1   . x  1  x 1 x2  2 x2 1 1  2 2 Kb   dx   dx   dx  2 4 2 4 2 4 1  2.x  x 1  2.x  x 1  2.x  x 1 2  2 1 2  2 1 2  2 1 2  2           2 x 1   . x 1   . x  1  x 1   . x  1  2 2 2 2 dx     dx  2 4 2 4 1  2.x  x 1  2.x  x x2 1 x2 1 1 2  1 2    . dx    . dx 2  1  2.x 2  x 4 2  1  2.x 2  x 4   1 1 1 1 1 2  1 2  x2 x2   . 1 dx    . 1 dx 2 2  x2  2  x2  2 x2 x2 1 1   d x   d x   1 2  1 2  x x   = . dx    . dx  2 2  2   1  x  2 2  2  x  1  2 2         x x   dx n  ¥ * 10/ I   1  x 2n wn  z z  r.ei w  p.ei  p n .ein  r.ei  p n  r va n    k2  k  Z    2k  i  n r.e  n  , Vay can bac n cua z là n so phuc : w k  k  0, 1, 2, 3...n  1 With n r là can thuc duong duy nhat   2k 1     2k 1    2k  i i i     2n   2n   2n  1  x 2n  0  x  2n 1  2n e i  e e e 2k   2k   2k   2k   x k  cos  i.sin x k  cos  i.sin 2n 2n 2n 2n n 2n    x  xk  x  xk  With k :1..n  thay k tu 1 den n   1  x k 1 n A Bk  1  k  Ta tim bieu thuc phan tich duoi dang sau :  1  x 2n k 1  x  x k x  x k  x 2n  1 x 2n  1  n  1   Ak .  Bk .  x  xk x  xk  k 1  De tinh A k và Bk voi k :1..n, ta cho x  x k và x  x k , khi do : x 2n  1 0    2n.x 2n 1 ' lim dang , dùng LHospital   k x xk x  x k 0   x 2n  1  do x k là ngiem cua x 2n  1 lim 0 x xk x  x k 1 1  Ak  , Bk  voi k :1..n 2n 1 2n 1 2n  x k  2n.x k Thế các hệ số vừa tìm được vào dạng phân tích, ta có: 16
Bk  n  A k  x  x k   Bk  x  x k   n A 1 k       x  xk x  xk   2n x  x k x  x k  k 1  1 x k 1    x  A k  Bk    A k .x k  Bk .x k  n  2k   x 2  2x.cos k 1 1 17 2n
  x  xk 1 1 k x      2n 1 2n 1 2n 1 2n 1  2n.x k   2n.x k  2n  x k  2n  x k  n 1      1  x 2n k 1 2k   x 2  2x.cos 1 2n  2k  1  2n  1  1  2k  1  x  .cos  2k  1  n .cos  x.cos 1 n n 2n n 2n  2k   2k    k 1  2 x 2  2x.cos k 1 1 n.  x  2x.cos  1 2n 2n   ei1 .ei2   cos 1  i sin 1   cos 2  i sin 2    cos 1 cos 2  sin 1 sin 2   i  sin 1 cos 2  cos 1 sin 2   cos  1  2   isin  1  2   ei 1 2   z1.z 2  r1.r2 .ei 1 2  z1 r1 ei1 .e i2 r1 ei1 .e i2 r1 i 1 2  1 1  z 1  e i  . i i  .  .e i0 z 2 r1 e r1 r1 z r 2 .e 2 e i n n  n n in  ein   cos   i sin    cos n  i sin n z  r .e Neu r  1  e   2n  1  2k       2n  1  2k     2n 1 xk  cos    i.sin   2n 2n      1  2n   2k      1  2n   2k     1  2n 1  x k1 2n  cos   i.sin    2n 2n xk       2n  1  2k       2n  1  2k      cos   i.sin    2n 2n       2n  1  2k       2n  1  2k     2n 1 xk  cos   i.sin    2n 2n      1  2n   2k      1  2n   2k     1 1 2n   xk  cos   i.sin    2n 1 2n 2n     xk   2n  1  2k       2n  1  2k      cos   i.sin    2n 2n       2n  1  2k     1 1  2n 1  2n 1  2 cos   2n xk   xk 1 1 1   2n  1  2k      2n  2k     2k       2n 1  2n 1   cos   cos     x  2 k 2n 2n 2n     xk   2k     2k     2k     cos  2k    .cos   sin  2k    .sin    cos      2n   2n   2n   cos  2k     1, sin  2k     0   2k   2k     2k    i.  cos   i.sin   2n    xk e  2n   2n      2n 1 2k   x 2n 1   2n  1  2k       2n  1  2k     i. k  cos    i.sin  2n    2n 2n e      2k  2k  i. i.     2n   2n   i  2k  e .e 1 1 1     i 2k  e   2n 1 2k     2 n 1 2k  2k   2n  2k   2k  i. i. i  i e  2n     2n 2n 2n  2n        e .e e e  cos   1  2k     i.sin  1  2k     cos  2k     i.sin  2k     1  0 i. e .ei.   cos   i.sin    cos   i.sin    cos 2   i 2 .sin 2   cos 2   sin 2   1 18
 2k   2k     2k    i.  cos    i.sin   2n   xk e  2n   2n      2n 1 2k   2n 1   2n  1  2k       2n  1  2k     xk  i.  cos    i.sin  2n    2n 2n    e   2n 1 2k    2k  i.  2k  2n 1 2k    2n  2k   i.   2n i  i  2n      i  2k  e .e 2n 2n 2n      e e e   2n 1 2k     2n 1 2k   i. i.   2n   2n   e .e   2n 1 2k     2n 1 2k   i. i.   2n   2n    cos  2k     i.sin  2k     1 e .e 1 1  xk xk  xk xk  1  1  2    2n 1   1   x 2n 1 2n 1 2n 1 2  xk  xk    xk  k   n  Do tổng xích ma   f  x;k   này hữu hạn nên ta có thể đem dấu nguyên hàm   dx  vào trong dấu  k 1  xích ma và được:      2k  1   2k  1   x.cos 1  x.cos 1 n  n  dx 2n 2n     dx     dx   I 2n  k 1 n. x 2  2x.cos  2k     1   2k       1 x k 1  n.  x 2  2x.cos    1         2n     2n          2k     2k     2k     cos 2   cos2   x.cos  1     n  2n   2n   2n  dx      2k      k 1   n.  x 2  2x.cos    1    2n       2k     2k     cos  2x  2cos    n  2n  .  2n  dx       2k    2n x 2  2x.cos  k 1   1   2n    2  2k    sin    dx  2n  .   2 n  2k     2k      sin 2  x  cos    2n  2n     '  2k      2k    2 x  2 x.cos    1  dx 2x  2cos     2k     2n    2n  dx    ln x 2  2x.cos  I1    1   2k     2k     2n  x 2  2x.cos  x 2  2x.cos  1 1    2n   2n  2k     x  cos   dx 1 2n  .arctg  I2    2  2k     2k    2k    2  2k     sin  sin     x  cos   sin   2n  2n    2n   2n    2k     cos   n dx  2n  .ln x 2  2x.cos  2k     1  I      2n 2n  2n  1 x k 1     2k    2k      sin 2  x  cos    2n   1  2n  .  .arctg   2k     2k     n sin  sin     2n   2n   19
dx 11/ I   xn  an 2  2k  i   dx n   x n  a n  0  x  n a n .1  a.n e 2 i  a.e I xn  an  2k  i  2k 2k   n  a.e  x k  a  cos  i.sin  n n  n n With k :1..n  thay k tu 1 den n   1  x    x  x k  k 1 wn  z z  r.ei w  p.ei  p n .ein  r.e  p n  r va n    k2  k  Z  i  2k  i   n n r.e  Vay can bac n cua z là n so phuc : w k  , k  0, 1, 2, 3...n  1 With n r là can thuc duong duy nhat xn  an  n n A  1 k Ta tim bieu thuc phan tich duoi dang sau : n     1   A k . x  x  n k 1  x  x k  x a k 1  k De tinh A k và Bk voi k :1..n, ta cho x  x k khi do : xn  a n 0 1    n.x n 1 ' lim dang , dùng LHospital   Ak  voi k :1..n  k n.x n 1 x xk x  x k 0   k The cac he so vua tim dc vào dang phan tích, ta có : n  n A k 1 1   2k   2k         n 1 x k  a  cos   i.sin     n  x  x k  k 1  n.x k  x  x k   n n n x a    k 1      1  n   2k    1  n   2k    1  x k1 n  a1 n  cos    i.sin    x k n 1 n n        n  1  2k     n  1  2k     a1 n  cos   i.sin    n n      2k  n  1   n2k 2k  cos   cos     n n n    2k   2k   2k   cos  2k   1, sin  2k   0   cos  2k  .cos   sin  2k  .sin   cos     n n n  2k  n  1   n2k 2k   2k   2k   2k   sin  2k  .cos   cos  2k  .sin  sin   sin     sin       n n n n n n   1   2k   2k    a1 n cos    i.sin     n  x k n 1  n    2k     2k  1 n  a cos    i.sin    n   n   n 1 1 n    n    n 1  n.x  x  x   k1    n   2k   2k     x a k 1  k k n  x  a cos   i.sin    n     n         2 k   2k   cos   i.sin   n  a1 n n   n  dx      dx  n  n k 1     2k   2k     x a x  a  cos   i.sin      n    n    a1 n n   2k   2k     2k   2k     cos   i.sin  .ln x  a  cos   i.sin       n   n  n k 1   n   n   20