KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D

Chia sẻ: CLB Kỹ Năng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

167
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo đề thi - kiểm tra 'kỳ kscl thi đại học năm học 2012 - 2013 lần 1 đề thi môn: toán khối d', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm). Cho hàm số y = - x 4 + 2mx 2 - 4 có đồ thị ( C m ) . ( m là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =2. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị ( C m ) nằm trên các trục tọa độ. Câu II (2,0 điểm). ( 1. Giải phương trình: sin x tan 2 x + 3 sin x - 3 tan 2 x = 3 3 . ) 3 + x 2. Giải bất phương trình: x + < 1 . 3 - x ìï 2 x 2 + 3 y - y 2 + 8 x - 1 = 0 Câu III (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: í ïî x ( x + 8 ) + y ( y + 3) - 13 = 0 Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau có độ dài bằng a. Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'D'. Câu V (1,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y , z thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: æ x2 2 ö æ y2 2 ö æ z 2 2 ö P = xç + ÷+ yç + ÷ + z ç + ÷ . è 3 yz ø è 3 zx ø è 3 xy ø II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x - y = 0 và điểm M(2;1). Lập phương trình đường thẳng ( D ) cắt trục hoành tại A, cắt đường thẳng (d) tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M. Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1) có phương trình x 2 + y 2 = 25 , điểm M(1; 2). Đường tròn (C2) có bán kính bằng 2 10 . Tìm tọa độ tâm của (C2) sao cho (C2) cắt (C1) theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất. 12 1 Câu VIII.a (1,0 điểm). Giải bất phương trình: C x3 - 3 Ax2 ³ A 2 2 x - 81. ( x Î N * ) x 2 B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm P(7;8) và hai đường thẳng ( d1 ) : 2 x + 5 y + 3 = 0, ( d 2 ) : 5 x - 2 y - 7 = 0 cắt nhau tại A. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 29 P và tạo với (d1 ),(d 2 ) một tam giác cân tại A và có diện tích bằng . 2 Câu VII.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x + y + 2 = 0 và đường tròn (C1) có phương trình: x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 = 0 . Đường tròn (C2) có tâm thuộc (d), (C2) tiếp xúc ngoài với (C1) và có bán kính gấp đôi bán kính của (C1). Viết phương trình của đường tròn (C2). x 2 + mx + 3 Câu VIII.b (1,0 điểm). Cho hàm số y = .Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại, x + 1 cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm về hai phía của đường thẳng (d): 2x+y1=0. Hết Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 20122013 LẦN 1 MÔN TOÁN KHỐI D ( Đáp án có 06 trang: từ trang 1 đến trang 6 ) Câu Đáp án Điểm I 1. Khảo sát hàm số với m = 2. 1,00 Với m = 2, hàm số trở thành: y = - x 4 + 4x 2 - 4 0,25 * TXĐ: R * Sự biến thiên của hàm số: Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: lim y = -¥; lim y = -¥ 0,25 x ®+¥ x ®-¥ Bảng biến thiên: éx = 0 + Ta có: y ' = -4 x 3 + 8 x; y ' = 0 Û ê ë x = ± 2 + Bảng biến thiên: x ¥ - 2 0 2 + ¥ y’ + 0 0 + 0 0 0 y 0,25 ¥ 4 ¥ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng -¥; - 2 và 0; 2 ( ) ( ) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 2; 0 ) và ( 2; +¥ ) Điểm cực đại của đồ thị là ( - 2; 0 ) , ( 2; 0 ) điểm cực tiểu của đồ thị B(0;4) * Đồ thị: + Đồ thị cắt trục tung tại ( 0; - 4 ) và cắt trục hoành tại điểm - 2; 0 và ( ) ( ) 2; 0 + Nhận xét: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng. 0,25 ( ) = ( x 4 +4×x 2 ) 4 f x 2 5 5 10 2 4 6 8 2. Tìm m để tất cả các cực trị của hàm số ( C m ) nằm trên các trục tọa độ. 1,00 é x = 0 0,25 Ta có: y ' = -4 x 3 + 4mx = 4 x ( - x 2 + m ) ; y ' = 0 Û ê 2 ë x = m Nếu m £ 0 thì ( C m ) chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục 0,25 tung. Nếu m > 0 thì ( C m ) có 3 điểm cực trị . Một cực tiểu nằm trên trục tung và hai 0,25 điểm cực đại có tọa độ ( - m ; m 2 - 4) , ( m ; m 2 - 4) . Để hai điểm này nằm trên trục hoành thì m 2 - 4 = 0 Û m = ± 2 . Vì m > 0 nên chọn m = 2.
Vậy m Î ( -¥;0] È {2 } là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 1. Giải phương trình lượng giác 1,00 p p II Đk. cos 2x ¹ 0 Û x ¹ + m , m Î Z. 4 2 Ta có: sin x tan 2 x + 3(sin x - 3 tan 2 x ) = 3 3 0,25 Û (sin x tan 2 x + 3 sin x ) - (3 tan 2 x + 3 3) = 0 Û sin x (tan 2 x + 3) - 3(tan 2 x + 3) = 0 Û (tan 2 x + 3)(sin x - 3) = 0 0,25 -p -p k p Û tan 2 x = - 3 Û 2 x = + kp Û x = + ( k Î Z ). (thỏa mãn) 0,25 3 6 2 p p Vậy pt có một họ nghiệm : x = - + k , k Î Z . 0,25 6 2 2. Giải bất phương trình 1,00 + Đk: x ³ 0; x ¹ 3. 0,25 3 + x Bất phương trình Û x < 1 - 3 - x ì -2x 0,25 ï 3 - x > 0 ï -2x ï 4x 2 Û x< Û í x < 3- x ï (3 - x) 2 ïx ³ 0 ï î ì x Î (3; +¥ ) Û í 2 0,25 î x - 10x + 9 < 0 ì x Î (3; +¥ ) 0,25 Ûí Û x Î (3;9) (Thỏa mãn điều kiện) î x Î (1;9) Vậy tập nghiệm của bpt là : (3;9) Giải hệ phương trình... 1,00 + Điều kiện: x 2 + 3 y ³ 0, y 2 + 8 x ³ 0 III 0,25 Đặt u = x 2 + 3 y , v = y 2 + 8 x ( u , v ³ 0 ) ì 2u - v = 1 ìv = 2u - 1 ìv = 2u - 1 + Ta được: í 2 Ûí 2 2 2 Ûí 2 2 îu + v = 13 îu + v = 13 î u + (2u - 1) = 13 0,25 ìv = 2u - 1 ìv = 2u - 1 ï ìu = 2 ï éu = 2 Û í 2 Û íê Ûí î5u - 4u - 12 = 0 ï êu = -6 (loai ) îv = 3 ïî ë 5 ì 4 - x 2 y = ìï x 2 + 3 y = 2 ìï x 2 + 3 y = 4 ïï 3 + Khi đó í Û í 2 Ûí 2 2 0,25 îï y 2 + 8 x = 3 ïî y + 8 x = 9 ïæ 4 - x ö + 8 x = 9 ïçè 3 ÷ø î
ì 4 - x 2 ï y = Ûí 3 ï x 4 - 8 x 2 + 72 x - 65 = 0 î ì 4 - x 2 é ì x = 1 ì 4 - x 2 ï y = êí ï y = ï 3 î y = 1 Ûí 3 Ûí Ûê ê ì x = -5 0,25 ï( x - 1)( x + 5)( x 2 - 4 x + 13) = 0 ï é x = 1 êí î ê ïî ë x = -5 êë î y = -7 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình là: S = {(1;1),( -5; - 7) } Tính thể tích …. 1,00 IV B C 0,25 A D M K N B' C' I A' D' + Gọi M,N lần lượt là 2 tâm của 2 hình vuông ABB'A'; ADD'A' 1 Þ MN = B' D ' Þ B' D ' = 2a Þ A 'B' = a 2 2 ( ) 2 V ABCDA ' B ' C ' D ' = AA '. S A ' B ' C ' D ' = a 2 a 2 = 2 2 a 3 (đvtt) 0,25 + Gọi I là giao của B'D' và A'C' Trong (AA'C') kẻ IK ^ AC ' ; K Î AC ' AA' ^ B ' D ' ü 0,25 Vì ý Þ ( AA ' C ) ^ B ' D ' Þ IK ^ B ' D ' A ' C ' ^ B ' D ' þ Vậy: d ( AC ' , B ' D ' ) = IK D C' IK đồng dạng với D C 'AA ' . IK C 'I AA '.C 'I a 2.a a Þ = Þ IK = = = 0,25 AA ' C ' A C 'A a 2. 3 3 a Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’D’ bằng . 3 Tìm GTNN của biểu thức…. 1,00 V 3 æ x + y + z ö 3 3 x + y + z 2 2 2 Ta có: P = çç ÷÷ + 2 è 3 ø xyz 2 2 2 2 2 0,25 Áp dụng bđt: a + b ³ 2 ab , "a , b Þ x + y + z ³ xy + yz + zx . Đẳng thức xảy ra khi x = y = z. 3 3 3 x + y + z xy + yz + zx æ x 3 2 ö æ y 3 2 ö æ z 3 2 ö Þ P ³ + 2 Þ P ³ çç + ÷+ç + ÷+ç + ÷ 3 xyz è 3 x ÷ø çè 3 y ÷ø çè 3 z ÷ø
t 3 2 + Xét hàm số f ( t ) = + với t > 0 ; 0,25 3 t 2 t 4 - 2 f ' ( t ) = t 2 - 2 = 2 ; f ' ( t ) = 0 Û t = 4 2 t t + BBT t 0 4 2 +¥ - 0 + 0,25 f / ( t ) +¥ +¥ f ( t ) 8 34 2 0,25 Vậy P ³ 4 4 8 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 4 2 . Hay P min = 4 4 8 Chương trình chuẩn VI a. Viết phương trình đường thẳng…. 1,00 uuur uuur A Î Ox Þ A(a; 0), B Î d Þ B(b; b ) , M (2;1) Þ MA = ( a - 2; -1), MB = (b - 2; b - 1) . Tam giác ABM vuông cân tại M nên: 0,25 uuuur uuur ïì MA.MB = 0 ïì( a - 2)(b - 2) - (b - 1) = 0 í Ûí 2 2 2 îï MA = MB îï (a - 2) + 1 = (b - 2) + (b - 1) Nhận xét b=2 không thỏa mãn hệ phương trình này. ì b - 1 ì b - 1 ï a - 2 = ï a - 2 = ï b - 2 0,25 Ta có : í b - 2 Ûí 2 ï(a - 2) 2 + 1 = (b - 2)2 + (b - 1) 2 ïæ b - 1 ö + 1 = (b - 2)2 + (b - 1) 2 î ïî çè b - 2 ÷ø ì b - 1 é ìa = 2 ï a - 2 = êí ï b - 2 îb = 1 Ûí Ûê ê ï é (b - 2)2 + (b - 1)2 ù . é 1 - 1ù = 0 ê ìa = 4 ïî ë ê û (b - 2) 2 ú í ë û ê îb = 3 ë ì a = 2 Với í đường thẳng D qua A,B có phương trình x + y - 2 = 0 î b = 1 0,25 ì a = 4 Với í đường thẳng D qua A,B có phương trình 3 x + y - 12 = 0 0,25 î b = 3 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x + y - 2 = 0 và 3 x + y - 12 = 0 . VII a. Tìm tọa độ tâm đường tròn… 1,00 (C1) A (C2) O M I B +(C1) có tâm O(0;0), bán kính R=5 OM (1 ; - 2 ) Þ OM = 5 Þ OM < R Þ M nằm trong đường tròn (C1) 0,25 + Giả sử (C2) cắt (C1) tại A và B. Gọi H là trung điểm đoạn AB. AB = 2 AH = 2 OA 2 - OH 2 = 2 25 - OH 2 . Mà OH lớn nhất khi H trùng với M.
Vậy AB nhỏ nhất khi M là trung điểm của AB. AB qua M và vuông góc với OM. + Phương trình của AB: x – 2y – 5 = 0. Tọa độ của A,B là nghiệm hệ: 0,25 ì x - 2 y - 5 = 0 í 2 2 . Giải hệ được hai nghiệm(5;0);(3;4). î x + y = 25 + Giả sử A(5;0); B(3;4). Phương trình của OM: 2x + y = 0. 0,25 Gọi I là tâm của (C2); Do I Î OM Þ I ( t ; -2 t ) . 2 2 Mà IA = 2 10 => ( 5 - t ) + 4 t = 40 .Giải ra: t = 1 hoặc t = 3. 0,25 t = -1 Þ I(- 1, 2) ; t = 3 Þ I ( 3 , -6 ) Vậy tâm của (C2) có tọa độ (1 ; 2) hoặc (3, 6). a. Tìm nghiệm của BPT…. 1,00 VIII + Đk : x Î N ; x ³ 3 0,25 12 x ! 3 . x ! 1 ( 2 x )! bpt Û . - ³ . - 81 x 3 ! ( x - 3 )! ( x - 2 )! 2 ( 2 x - 2 )! Û 2 ( x - 2 )( x - 1 ) - 3 ( x - 1 ) x ³ x ( 2 x - 1 ) - 81 0,25 - 17 Û 3 x 2 + 2 x - 85 £ 0 Û £ x £ 5 0,25 3 + Kết hợp điều kiện ta được x Î {3; 4 ; 5 }. 0,25 Vậy tập nghiệm của pt là {3 ; 4 ; 5 } Chương trình nâng cao b. Viết phương trình…. 1,00 VI d2 d1 A 0,25 d B P H C Ta có A = d1 Ç d 2 Þ tọa độ của A là nghiệm của hệ ì2 x + 5 y + 3 = 0 ì x = 1 í Ûí Þ A (1; -1 ) î5 x - 2 y - 7 = 0 î y = -1 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 , d 2 là ( D1 ) : 7 x + 3 y - 4 = 0, ( D 2 ) : 3 x - 7 y - 10 = 0 . Vì d tạo với d1 , d 2 một tam giác cân tại A nên é d ^ D1 é3 x - 7 y + C 1 = 0 0,25 ê d ^ D Þ ê 7 x + 3 y + C = 0 . Mặt khác P(-7;8) Î (d ) nên C1 = 77, C2 = 25 . ë 2 ë 2 éd :3x - 7 y + 77 = 0 Suy ra: ê ë d :7x + 3y + 25 = 0 Gọi B = d1 Ç d , C = d 2 Ç d . Thấy (d1 ) ^ (d 2 ) Þ tam giác ABC vuông cân tại A 1 1 29 nên: S DABC = AB. AC = AB 2 = Þ AB = 29 và BC = AB 2 = 58 2 2 2 29 0,25 2 2 S DABC 58 Suy ra: AH = = 2 = BC 58 2
3.1 - 7(-1) + 77 87 58 Với d : 3x - 7 y + 77 = 0 , ta có d ( A; d ) = = ¹ AH = (loại) 32 + (- 7) 2 58 2 7.1 + 3( -1) + 25 29 58 0,25 Với d : 7 x + 3 y + 25 = 0 ta có d ( A; d ) = = = = AH (t/mãn). 2 7 + 3 2 58 2 Vậy d : 7 x + 3 y + 25 = 0 b. Viết phương trình … 1,00 (C1) có tâm I(2 ;1); bán kính R1 = 1.Vậy (C2) có bán kính R2 = 2 0,25 VII Gọi J là tâm của (C2). Do J Î d Þ J (t ;-t - 2 ) (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) nên IJ = R1 + R2 = 3 hay IJ 2 = 9. 0,25 2 ét = 2 Û ( t - 2 ) 2 + (- t - 1 ) = 9 Û t 2 - t - 2 = 0 Û ê 0,25 ët = -1 + t = -1 Þ J (- 1 ; -1 ) Þ ( C 2 ) : ( x + 1 ) + ( y + 1 ) = 4 2 2 + t = 2 Þ J (2 ; -4 ) Þ ( C 2 ) : ( x - 2 ) + ( y + 4 ) = 4 2 2 0,25 Vậy có 2 đường tròn (C 2 ) thỏa mãn là: ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 4 và ( x - 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 4 b. Tìm m để… 1,00 VIII 2 x + 2 x + m - 3 0,25 Ta có y ' = 2 ( x + 1 ) Hàm số có CĐ, CT khi pt y'=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Û x 2 + 2 x + m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác – 1 ì D ' = 4 - m > 0 Ûí Û m < 4 î m - 4 ¹ 0 Giả sử đồ thị có điểm CĐ,CT là A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y 2 ) . Khi đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm CĐ,CT là y = 2x+m. Suy ra y1 = 2 x1 + m; y2 = 2 x2 + m . 0,25 Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d) khi ( 2 x1 + y1 - 1)( 2 x2 + y2 - 1) < 0 Û ( 4 x1 + m - 1)( 4 x2 + m - 1) < 0 0,25 2 Û 16 x1 x2 + 4 ( m - 1)( x1 + x2 ) + ( m - 1)