Kỹ thuật cơ học kết cấu (Tập 2 - Tái bản): Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:182

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Cơ học kết cấu - Tập 2" cung cấp cho người đọc các nội dung: Phương pháp phân phối mômen, phương pháp phần tử hữu hạn, cơ sở động lực học công trình. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ thuật cơ học kết cấu (Tập 2 - Tái bản): Phần 2

C hương 7 P H Ư Ơ N G P H Á P P H Â N PHỐI M Ô M E N Phương pháp phân phối môm en là phương pháp tính đúng dần giá trị mómen uốn tại tiết diện ớ các đẩu thanh theo một chu trình tính dơn giản, dễ thực hiện và cho kết quá càng sát với kết quả tính theo phương pháp lực hay theo phương pháp chuyến vị, nếu quá trình thực hiện các chu trình tính càng được kéo dải. Trong chương này sẽ trình bày nội dung phương pháp pháp phối m ôm en theo H. Cross và phương pháp phân phối mômen theo G. Kani là những phương pháp hay được áp dụng để tính hệ thanh có nhiều nút cứng như hệ khung, hệ dẩm liên tục. 7.1. PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỔI MÔMEN THEO H. CROSS Phương pháp H. Cross được xây dựng trên cơ sở những giả thiết giống như những giá thiết của phương pháp chuyén vị. v ề thực chất có thể xem phương pháp H. Cross là một hình thức khác của phương pháp chuyển vị trong đó việc giải hệ phương trình chính lắc được thực hiộn theo phương pháp đúng dần mang ý nghĩa vật lý. Cụ thể là tính dúng dần giá trị mômen uốn tại các tiết diện ở các đẩu thanh. Khi thực hiện chì cẩn dùng các phép tính số học đom giản như cộng, trừ, nhân chia và có thể nhận được kết quả tính có độ chính xác được ấn định trước, đủ dùng trong thực tế thiết kế. M ômen uốn tại các đầu thanh dược kí hiệu bằng chữ M kèm theo hai chỉ số, chỉ số thứ nhất biểu thị vị trí của tiết diện chịu mỗmen uốn, chỉ số thứ hai kết hợp với chỉ số thứ nhất biểu thị thanh chịu môm en uốn đó. Ví dụ M V là mômen uốn tại tiết diện ở đầu B A trong thanh AB (hình 7.1). M M>0 Hình 7.1 Hình 7.2 Mômen uốn tại tiết diện dẩu thanh ờ nút (mômen uốn tại nút) được quy định là dương khi có chiều cùng với kim đổng hồ và được quy định là âm khi có chiều ngược với chiều kim đổng hồ như trên hình 7.2. 157
Lực cắt được kí hiệu là Q và cùng kèm theo hai chì số với ý nghĩa tương tự. Ví dụ Q ab là lực cắt tại tiết diện ở đẩu A trong thanh AB. Lực cắt được quy định là dương khi có chiẻu làm phần hệ chịu lực cắt có xu hướng quay theo chiều kim đồng hồ như trên hình 7.3 Qba>0 Qco< ° q >0 Q 0 Qw>0 Qoc
EI Trong đó: K AB = - dược gọi là độ cứng đơn vị cùa thanh AB có đầu đối diện AB là ngàm. - Trong thanh A C có đầu đối diện là khớp: 3EI A C MA C ^AC MAC M AC suy ra: < ac = - P (d) 3 .^ 0 4K A C Trong đó: K AC= — E I ạc được gọi là độ cứng đơn vị cùa thanh AC có đầu đối diện 3 4 Uc là khớp. - Trong thanh A D có đầu đối diện là ngàm truợt: 4 E IAD M ad AD _ M AD _ M AD suy ra: < ad P (e) EI A D 4K A D AD EI Trong đó: K AD = ■ được gọi là độ cúng đơn vị của thanh AD có đầu đối diện là — ngàm trượt dưới dạng hai liên kết thanh đật song song với trục thanh. Thay các biểu thức (c), (d), (c) vào biểu thức (a) và kể đến biéu thức (b), có: M ạb _ M ac M ad _ M ab + M ac + M ad _________ M (p 4K AB k 4K AC 4K AD 4 (K ab + K ac + K a d ) 4(K ab + K ac + K a d ) Suy ra: K AB_ Mab = - M = - Jr- B M A K AB + K ạc + K ad I K ax (A) K AC K AC Ma c = - : - M = - ■M (f) ^AB + ^AC + ^AD Ị* A X (A) KAD K ạd Mad = - - M = - M ^AB + ^AC + K ạD ỊK ax (A) 159
Như vậy, mômen M tác dụng tại nút A được phân phối vào các tiết diện ớ đẩu các thanh quy tụ tại nút với những giá trị tỉ lộ với ti số giữa độ cứng đcm vị của thanh với tổng độ cứng đơn vị của các thanh quy tụ tại nút và dược xác định theo các biểu thức ( 0 - Những mômen này được gọi là mốmen phân phối. Theo các sô' liệu cho trong bảng 6.1 chương 6 dễ dàng xác định được các giá trị mỏmen uốn tại tiết diện ờ đầu thanh đối diện và theo quy định về dấu của phương pháp H. Cross có: M ba = 2 ^ ab’ Mc a = 0 . M a c = 0 , M d a = - 1 .M ad Những mômen này được gọi là mômen truyền. Trưcmg hợp tại nút cứng A có nhiều thanh quy tụ và có mômen ngoại lực M tác dụng thì từ kết quả nhận dược trong truờng hợp xétờ trên suy ra mômen uốn trong thanh AX bất kì dược xác định theo các công thức sau: - Mômen phân phối tại tiết diộn A trong thanh AX: M a x = - Y ax -M (7-1) - Mômen truyển tại tiết diện X trong thanh AX: m xa= Pxa - ^ ax (7-2) K ax Trong đó: = • = —------ hệ sô' phân phối mômen của thanh AX; (7-3) 2 > ax (A ) Kax - độ cứng đơn vị của thanh AX; ^ K A - tổng độ cứng đơn vị của các thanh quy tụ tại nút A; X (A ) PXA - hệ số truyén mômen của thanh AX. Phụ thuộc vào độ cứng EI, chiều dài / của thanh và liên kết tại hai đẩu thanh, dộ cứng đơn vị và hệ số truyén của thanh được xác định theo bảng 7.1. Bảng 7.1 Liên kết ờ đẩu đối diện với nút cứng Đô cứng đơn vị RAX Hệ số truyền ßXA EI 1 Ngàm cứng / 2 3EI Khớp 0 4/ 1 EI Ngàm trượt -1 4 1 160
2. Cách tính hệ có nút không có chuyển vị thảng a) N ội dung Phương pháp H. Cross chọn mômen uốn tại các tiết diện đầu thanh ở nút làm ẩn sô' cần tìm. Sau khi biết được các giá trị của mômen uốn tại các đầu thanh sẽ dễ dàng xác định được nội lực tại tiết diện bất kì trong thanh. Để tìm hiểu nội dung phương pháp H. Cross, xét hê thanh có nút không có chuyển vị thẳng chịu tải trọng trên hình 7.5a. H G H G /77777 //7 77 7 b) Hình 7.5 • Giả sử tnrớc khi hệ chịu tác dụng cùa tải trọng, dùng liên kết mỏmen dặt vào các nút cúng cùa hộ dể ngăn cản chuyển vị xoay tại nút, hay nói cách khác là chốt các nút cùa hệ. Vì các nút không có chuyển vị thẳng nên các đẩu thanh quy tụ tại nút lúc này có thể xem như bị ngàm chạt. Trong hệ có các nút bị chốt chì bao gồm những thanh đơn giản hoặc có hai đầu là ngàm hoặc có một đẩu là ngàm một đẩu là khớp. Khi có tải trọng tác dụng trên hệ có các nút dã bị chốt, theo các số liệu cho trong bảng 6.2 chương 6 dẻ dàng vẽ được biểu đổ mômen uốn trong hệ này như trên hình 7.5b (như việc vẽ biểu đổ (M p) do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị). Tất nhiên đó chưa phải là biểu đổ mômen uốn cần tìm trong hộ đã cho. Trẽn hệ có các nút bị chốt, mốmen uốn tại các tiết diên ở đẩu thanh do nguyên nhân tác dụng trên hệ gây ra chẳng hạn tải trọng được gọi là mômen nút cứng và kí hiệu là M kèm theo hai chỉ số biểu thị tiết diện và thanh chịu mômen uốn đó. Ví dụ hẹ trên hình 7.5b, trong thanh AB, tiết diện tại đầu B có mômen nút cứng bằng - M BA. Trong thanh BC, tiết diện đầu B có m ôm en nút cứng bằng M bc , còn tại đầu c có mỏmen nút cứng bằng - M CB. Trong thanh BF các tiết diện B và F đều có mômen nút cứng bằng không Mgp = M fb = 0 vì thanh BF không có tải trọng tác dụng. Tại mỗi nút bị chốt, các mômen nút cứng tại các đẩu thanh quy tụ tại nút thường có giá trị và dấu khác nhau. Tổng đại số các mỏmen nút cứng tại các đầu thanh quy tụ tại nút bị chốt được gọi là mômen không cân bằng đầu tiên và kí hiệu là R°ú(. Chẳng hạn mômen không cân bằng 161
đầu tiên tại nút bị chốt i lả : r Ị’ = 5 ] M iK . Rõ ràng mômen không cân bằng tại từng nút (i) do chốt (liên kết mômen) đặt thêm vào nút đó chịu. Ví dụ trong hệ có các nút bị chốt trên hình 7.5b, mômen không cân bằng đầu tiên bằng: - Tại nút B: Rg = - M ba + Mgc + M BF = - M ba + M bc + 0 và do chốt đặt vào nút B chịu. - Tại nút C: R° = - M cb + M ck + M ce = - M cb + M ck + 0 và do chốt đật vào nút c chịu. • Thực tế hệ đã cho có các nút không bị chốt, do đó mômen không cân bằng tại nút làm cho đầu các thanh quy tụ tại nút bị xoay một góc (p nào đó và trong quá trình này mômen không cân bằng được phân phối vào đầu các thanh quy tụ tại nút giống như sự phân phối mômen xung quanh một nút cứng đã xét ờ mục 7.1. Quá trình này xảy ra liên tiếp tại các nút của hệ cho đến khi hộ có được trạng thái cân bằng biến dạng cuối cùng. • Như vậy để xác định được mômen uốn tại các đầu thanh trong hệ đã cho, cần phải thực hiện tháo chốt đã dạt thêm vào tại tất cả các nút cứng trong hệ có các nứt dã bị chốt. Tuy nhiên nếu tháo cùng một lúc tít cả các chốt thì sẽ không xác định dược các mômen uốn cán tìm vì không sử dụng đuợc kết quả phân phối mômen xung quanh một nút cứng. Để giải quyết vấn dề này, có thể thực hiện nhu sau: - Lẩn lượt tháo chốt tại từng nút, khi tháo chốt tại một nút nào dó thì vẫn giữ nguyên chốt tại các nút khác. Ví dụ tháo chốt tại nút B cùa hệ có các nút bị chốt trên hình 7.5b. Lúc này mômen khổng cân bằng Rg sẽ được phân phối vào các đẩu thanh quy tụ tại nút B. Mômen phân phối tại các tiết diện ở dâu các thanh quy tụ tại nút B và mdmen truyền tại các tiết diện ờ đầu dối diện của các thanh đuợc xác định theo công thức (7-1 ) và (7-2): Mômen phân phối Mômen truyển M ¿a - Yb a - ^ b M * b - P a b .M ¿ M¿ c = — M(iB = ß CB. Mg( M g p - “ Yb f - ^ b M pB - P pg .M g p - Sau khi đă tháo chốt tại nút B, các thanh quy tụ tại nút B bị biến dạng xoay đến vị trí cân bằng mới. Đây chưa phải là vị trí cân bằng biến dạng cẩn tìm vì các nút khác của hệ vẫn bị chốt. Chốt nút B lại và chuyển sang tháo chốt tại các nút khác k ế tiếp, chẳng hạn tháo chốt tại nút c . Lúc này chốt tại nút c chịu một mổmen không cân bằng mới bằng: RÍ; = r £ + Mj!B 162
Trong đó: = X Mcx - môm en không cân bằng đầu tiên bằng tổng đại sô' các mômen nút (C) cứng tại các đẩu thanh quy tụ tại nút c do tải trọng gây ra trong hệ có các nút bị chốt. MjỊB - mômen truyển tích luỹ được khi tháo chốt nút B. Khi tháo chốt tại nút c , tương tự như trên theo (7-1) và (7-2), có: M ôm en phân phối Mômen truyền M
Chốt tại các nút c và E cũng phải chịu mômen không cân bàng mới. - Chốt tại nút c chịu = MjịE , truyền từ nút E sang khi tháo chốt tại nút E. - Chốt tại nút E chịu Rg = M ^p, truyén từ nút F sang khi tháo chốt tại nút F. Do đó cần phải tiếp tục lần lượt tháo chốt tại các nút theo thứ tự như ở chu trình tính thứ nhất, nghĩa là thực hiện chu trình tính thứ hai. • Sau mỗi chu trình tính, mômen tích luỹ được ở các đầu thanh có giá trị nhỏ dần, vì mỗi lần tháo chốt mômen không cân bằng tại nút được phân phối với hệ sô' phân phối m ômen Y < 1, tiếp đó được truyền sang đẩu đối diện với giá trị được nhân với hệ số truyền ß < 1. Do đó mômen không cân bằng tại các nút sau mỗi chu trình tính có giá trị giảm xuống khá nhanh. • Thực hiện nhiểu chu trình tính cho đến khi mômen không cãn bằng tại tất cả các nút trên hệ có các nút bị chốt, có giá trị đủ nhỏ, không đáng kể nữa thì đừng lại. Lúc này nếu tháo chốt tại tất cả các nút cùng một lúc thì các nút vẫn ờ trạng thái cân bằng vì các mômen không cân bằng ờ các nút có giá trị đủ nhỏ để không làm các thanh bị xoay tiếp tục nữa. Hay nói cách khác là hệ đã chuyển đến trạng thái cân bầng biến dạng cuối cùng dưới tác dụng của tải trọng đặt trên hệ. • Như vậy độ chính xác của kết quà tính sẽ phụ thuộc vào giá trị các mômen không cân bằng tại các nút trong chu trình tính cuối cùng. Nếu những giá trị này càng nhỏ thì kết quà tính càng chính xác. Muốn nâng cao mức độ chính xác cùa kết quà tính thì số chu trình tính cũng được tăng lên. Kết quả tính sẽ tiệm cận đến kết quả tính chính xác theo phương pháp lực hay theo phương pháp chuyển vị tuỳ thuộc vào số chu trình tính được thực hiộn. Chính vì lẽ dó, cách tính được gọi là phương pháp đúng dẩn. • Mômen uốn tại tiết diộn ờ đầu thanh nào đó khi dã tháo chốt tại tất cả các nút cùng một lúc sẽ bằng tổng đại số các mômen nút cứng, các mômen phân phối và các mômen truyền tích luỹ được tại tiết diện ở đẩu thanh đó trong các chu trình tính. b) Thứ lự thực hiện Quá trình tính hệ có nút không có chuyển vị thẳng được trình bày thông qua ví dụ 7.1. V í dụ 7.1: Vẽ biểu đổ mômen uốn (Mp) trong khung có nút khồng có chuyển vị thẳng chịu tải trọng trên hình 7.6a theo phương pháp H. Cross. 1. K í hiệu các nút và các liên kết tựa của hệ. 2. Đạt liên kết mômen vào các nút cứng để có hệ có các nút bị chốt. 3. Sử dụng bảng 6.2 vả theo quy định vể dấu của phưomg pháp H. Cross, xác định mômen nút cứng tại các tiết diện đầu thanh tại nút do tải trọng gây ra trong hệ có các nút đã bị chốt (hình 7.6b): M 2i = - 3 Ỉ Ì = = -1 3 ,5 (k.Nm), M 12 = 0 8 8 164
_ »2 -1 ¿r2 q /2 3.6 2 M 2, = — = —— = 9; (kNm), M 32 =- 9 ; 23 12 l2 12 ' 12 M „ = M 43= 0 ; M 56 = M 6 5 = 0 ; ^ 6 2 = M 26 = 0 ; M 37 = M 73 = 0 ; M 69 = M % = 0 ; M 7-10 = M | 0 - 7 = 0 ’ Mfi7= j = ^ = 6 (kNm); M M 7fi = - • ^ - = JL® = - 6 (kNm); —- r p /2 3 6 2 M 7x = — = — = 13,5 (kNm); M R7= 0 7H 8 8 ,q =3kN/m T T T 2EI (2) 2EI @ 2EI J f P= 8kN 5 i 2E © I El _ 1 2EI _ El $ nr 2EI q=3kN/m I El El © /1777?, pnu 6m 6m L 6rr Hình 7.6 4. Xác định độ cứng đơn vị của các thanh, lúc này chốt tại các nút được xem như liên kết ngàm vì các nút của hộ không có chuyển vị thẳng: K 1 2 = K 3 4 = K 56 = K 78= ^ = 0,25EI K 2 6 = K 37 = K 69 = K 7_1o= - ^ = 0,25E I 4 2FT K67= K 23 = — = 0,3333EI 6 5. Xác định hệỊsố phân phối mômen cho từng thanh quy tụ tại nút theo công thức (7-3) SỐ phân phối mômen cho từng thanh quy tụ tại nút theo công thức (7- ~ „ V K 2, „ 0,25E1 0.25EI 0,25 _0 „ „3 • Tại nút 2: y2 21 K 2 1 + K 26 + K 23 (0,25 + 0,25 + 0 ,3333)EI 0,8333 ’ --------- * ^ 2 6 --------- = =0 3 „ ỹ „ r » - K 2 1 + K 26 + K 23 - á ^ - 0 . 3 0,8333 K 23 _ 0,3333 _ y = ----------1ẦỈ—------ = —— = 0 ,4 23 K 2 1 + K 26 + K „ 0,8333 165
Kiểm tra hộ số phân phối mômen. Từ công thức xác định hệ sô' phân phối mômen có điểu kiện kiểm tra là tổng hệ sô' phân phối mômen của các thanh quy tụ tại nút phải bằng một. Do dó: Z ĩ 2X = Y21 + Ï 26 + Ï 23 = 0 ,3 + 0 ,3 + 0 ,4 = 1,0 ( 2) • Tại nút 6: __________ K g ________ ____________ 0,25EI___________ Yồ2 " K62 + K65 + RS, + K w - (0,25 + 0,25 + 0,3333 + 0,25)EI 0,25 - = 0,23 1,0833 Ï 6 5 = y 69 ~ y (lĩ - 0'23 y K ., _ 0,3333 _ í67 K 62 + K65 + K 67 + K 69 1,0833 ’ Kiểm tra: £ y6X = yM + Yft5 + Y69 + Y67 = 0,23 + 0,23 + 0,23 + 0,31 = 1,0 6 Do tính dối xứng của hè dề dàng suy ra: Y 3 4 = y 37 = 0,3; Y 3 2 = 0 ,4 • Tại nút 7: Y„ = y7g = y 7_l0 = 0 ,2 3 Y76 = 0 -31 6. Tiến hành phân phối mômen và truyén mômen bằng cách lẩn lượt tháo chốt ờ từng nút. Có thể bắt đầu từ nút bất kì, tuy nhiên dể quá trình tính kết thúc nhanh hơn nên bắt đẩu từ nút có mômen không cân bằng đẩu tiên lớn nhất vé giá trị. Trong ví dụ đang xét nên bắt đẩu từ nút 3 có mổmen khổng cân bằng dẩu tiên lớn nhất: R? = ^ 3 2 + ^ 3 4 + ^ 3 7 = - 9 + 0 + 0 = - 9 (kNm) Đ ể tiện lợi, các chu trình phân phối và truyền mômen đuợe thực hiện dưới dạng bàng hoặc trên sơ đổ hệ. Nếu quá trình thực hiện phân phối và truyền mômen trên sơ đổ hệ thì sơ dồ này dược thành lập như sau: • Vẽ sơ đổ hệ, tại mỗi nút vẽ hai ô vuông lổng nhau. Ô vuông trong ghi kí hiộu nút, trên ô vuông ngoài ghi hệ số phân phối mômen của các thanh tương ứng quy tụ tại nút đã xác định được ở bước 5. • Trên sơ đổ vừa lập, được tại các đẩu thanh tương ứng ghi giá trị cùa mômen nút cứng dã tính được ở bước 3 rồi dùng đuờng kè song song với trục thanh để phân biệt với các mômen phân phối và mômen truyén sẽ được ghi kế tiếp sau nhu trên hình 7.7. 166
Hinh 7.7: Sơ đố phân phối và truyền mômen • Lập bảng xác định mômen không căn bằng Rị tại nút thứ i trong từng chu trình tính như trên bảng 7.2. Bảng 7.2 Chu trình Nút Mômen khống cân bìng Rị (kNm) 3 R j = - 9 + 0 + 0 = -9 ,0 7 R ị = - 6 + 0 + 1 3 ,5 + 1 ,3 5 = 8,85 I 6 RỊ; = 6 + 0 + 0 + 0 - 1,3717 = 4,6283 2 = - 13,5 + 9,0 + 1.8 - 0,5322 = - 3,2322 3 R ị = 0 ,6 4 6 4 - 1,0177 = -0,3713 7 R? = - 0,7174 + 0,0557 = - 0,6617 II 6 RỈ = 0,1025 + 0,4848 = 0,5873 2 R ị = - 0,0675 + 0,0742 = 0,0067 3 Rj = -0,0013+0,0761 =0,0748 7 R , = -0 ,0 1 1 2 - 0,0910 = -0,1022 III 6 RỈ =0,0158-0,0010 = 0,0148 2 RỈ =0,0017 - 0,0149 = -0,0132 167
Thực hiện chu trình tính I: • Tháo chốt nút 3. - Mômen không cân bằng: R j = - 9 + 0 + 0 = - 9,0 (kNm), được tính trên hàng thứ nhất trong bảng 7.2. - Mômen phân phối: M j'2 = -0 ,4 (9 ) = 3,6 (kNm) m J 4 = M ị, = -0 ,3 (-9 ) = 2,7 (kNm) - Mòmen truyền: M j '3 = —-3,6 = 1,8 (kNm) = 1 - 2 , 7 = 1,35 (kNm) Trên sơ đồ phân phối và truyền mômen của hệ irên hình 7.7 ghi những giá trị của mômen phân phối vừa xác định được vào các đầu thanh tương ứng tại nút 3. Giá trị các mômen truyền cũng được ghi vào các đầu thanh tương ứng và dùng mũi tên nối giữa mômen truyền và mômen phân phối tương ứng, đầu mũi tên hướng về phía mômen truyền. • Tháo chốt nút 7. Trên bảng 7.2 tại hàng thứ hai xác định mômen khỏng cân bằng: R ị = 8,8 5 (kNm - Mômen phân phối: m Ị‘ = 3 = m Ị l ,0 = -0 ,2 3 .8 ,8 5 = -2 ,0 3 5 5 (kNm ) = -0,31.8,85 = -2 ,7 4 3 5 (kNm) - Mỏmen truyền M j 7 = - ( - 2 ,0 3 5 5 ) = -1,0177 (kNm) MỊj'7 = -( -2 ,7 4 3 5 ) = -1,3717 (kNm) Để tránh nhẩm lản, sau mỗi lần phân phối mômen có thể kiểm tra kết quả theo điểu kiện: tổng các mômen phân phối bằng mômen không cân bằng tại nút nhưng vói dấu ngược lại. Ví dụ kiểm ira với núi 7 vừa xét: M ị '8 + m Ị '3 + m Ị l ,0 + M ị'6 = -2 ,0 3 5 5 - 2,0355 - 2,0355 - 2.7435 = - 8 ,8 5 (kNm) = - R ị Tương tự như đối với nút 3, trên sơ đồ phân phối và truyển mômen ghi những giá trị mômen vừa xác định được vào các dầu thanh tương ứng. 168
Quá trình tháo chốt tại nút 3 và nút 7 được trình bày ở trên giúp bạn đọc hiểu cách thực hiện tính toán trên sơ đổ phân phối mômen. Quá trình tháo chốt tiếp theo tại nút 6 rồi đến nút 2 được thực hiện tương tự và dược trình bày trẽn sơ đồ phân phối và truyền mômen trên hình 7.7. Trong chu trình tính II và các chu trình tính tiếp theo cũng được thực hiện tương tự nhưng mômen không cân bằng lúc này chỉ là tổng đại sô' các mômen truyển tại nút tích luỹ được khi tháo chốt tại các nút lân cận như trong bảng 7.2. Trong ví dụ đang xét, ở cuối chu trình III các mômen phân phối nhận được có giá trị đủ nhò do đó các mômen truyền cũng có giá trị rất nhỏ, có thể bò qua nên quá trình phân phối mômen có thê’ dừng lại. 7. Cộng đại sô' giá trị của mômen nút cứng, các mômen phân phối và mômen truyền tại các dầu thanh sẽ nhận được giá trị mômen uốn cẩn tìm tại các đầu thanh tương ứng. Các kết quả này đuợc đóng khung như trên hình 7.7. 8 . Theo giá trị mômen uốn tại các dầu thanh và quy định vể dấu của phương pháp H. Cross, vẽ biểu đồ môm en uốn (Mp) do tải trọng gây ra trong hệ. - Trẽn các thanh không có tải trọng biểu đổ mỏmen uốn là đường thẳng nẽn chỉ việc nối liền tung độ biểu thị giá trị môm en uốn tại tiết diện ở hai đẩu thanh. - Mômen uốn M(z) tại tiết diện bất kì có hoành độ X kể từ đầu A của thanh AB được xác định theo công thức sau: M (x) = M d( x ) - M ab • + M ba J L (7-4) ' a b a b ' Trong đó M d(x) là mổmen uốn tại tiết diện có hoành độ X trong thanh AB khi xem thanh như một dầm đcm giản có khớp ờ hai đầu chịu tải trọng phân bố. Công thức này được vận dụng để xác định giá trị mômen uốn tại tiết diện giữa nhịp thường được gọi là cách treo biểu đổ. Biểu đổ mômen uốn (Mp) trong hệ đang xét được vẽ như Hình 7.8 trẽn hình 7.8. 169
9. Kiểm tra biểu dồ mômen uốn (Mp) Điều kiện kiểm tra là tổng đại đa số các mômen uốn tại các tiết diện đầu thanh quy tụ tại nút phải bằng không. Ví dụ tại nút 2 có: £ M 2x =12,1547 + 0,3 6 6 2 -1 2 ,5 2 8 5 ( 2) (kNm) n occo ' 10 = 0,0076 « 0 ,0 ,3662 • Khi tính hộ chịu sự thay đổi nhiột độ hay chịu chuyển vị cưỡng bức cùa các liên kết tựa theo phương pháp H. Cross thì quá trình tính cũng được thực hiện tương tự song cần xác định các mômen nút cứng tương ứng vói nguyên nhân tác dụng theo cách đã được trình bày trong chương 6. V í dụ 7.2: Vẽ biểu đồ mômen uốn (Mp) trong khung có nút không có chuyển vị thảng chịu tải trọng trên hình 7.9a. Cho biết EI = const. / = 4m I / = 4m I © Hình 7.9 B ài giải: 1. Kí hiệu các nút. 2. Xác định mômen nút cúng tại các tiết diộn đẩu thanh trong hộ có các nút dã bị chốt. m 12 = m 21= 0 . M 15 = - 12kNm; M S = 0 . 1 M 24 = -8 k N m ; M 42 = 8kNm. M 3 = 32kNm; M 32= 16kNm. Mômen tập trung M = 40kNm do chốt đặt thêm vào nút 1 chịu. 170
3. Xác định độ cứng đơn vị cùa các thanh 1 Fĩ K,< = —•— = (),1875EI K ,,= — = 0,25EI 15 4 4 12 4 K 21 = i — = 0,0625EI K,4 = — = 0,25EI 23 4 4 24 4 4. Xác định hộ số phân phối mômen tại các đầu thanh quy tụ tại nút theo công thức: Ki; T ||« y= ỊK y ( i) Y K 12 0.25EI _________ - 0,25 = 0,5714 ■ • Tại nút 1 có: 12 K i2 + K,5 (0,25 + 0,1875)EI 0,4375 r„ - = 0.4285 15 K i2 + K,5 0,4375 Kiểm tra: y 12 + Y15 = 0,5714 + 0,4285 = 0,9999 * 1,0. • Tại nút 2 có: K 21 0.25EI 0,25 V,| = -------- — ---------= -------------- — ---------------- = — — — = 0,444 = 7,4 21 K 2 1 + K 23 + K 24 (0,25 + 0,0625 + 0, 25)EI 0,5625 24 y 23= — ^ — = ^ = 0 ,1 1 1 1 23 K21+ K 23+ K 24 0,5625 Kiểm tra: y2l + y 2 3 + y2 4 = 0,4444 + 0,1111 + 0,4444 = 0,9999 * 1,0. 5. Thực hiện phân phổi và truyền mồmen nhu trên bảng 7.3. Bắt dầu từ nút 1 với mômen không cân bằng lớn nhất: R ? = M + M,2 + M I5 = 4 0 + 0 - 1 2 = 28 (kNm). Theo các kết quả nhân dược 30,1021 trong hàng cuối của bảng 7.3 và quy định vể dấu của mômen uốn trong phương pháp H. Cross, biểu đổ mômen uốn (Mp) được vẽ như trên hình 7.10. 171
Bảng 7.3 Nút 5 1 2 3 4 Đáu thanh 5-1 1-5 1-2 2-1 2-4 2-3 3-2 4-2 Chu trinh tinh ÏÜ - 0,4285 0,5714 0,4444 0,4444 0,111 - - M, 0 -12,0 0,0 0,0 -8,0 32,0 16,0 8.0 © 0 -11,998 - 15,9992 -7,9996 1 © 0 -3,5552 -7,1104 -7,1104 - 1,7776 1,7776 -3.5552 © 0 1,5234 2 ,0 3 1 4 1,0157 II © 0 -0,2257 -0 ,4 5 1 4 -0,4514 - 0 ,1 1 2 8 0 ,1128 -0,2257 © 0 0,0967 0,1289 0,0645 III © 0 -0,0143 -0,0286 -0,0286 -0,0071 0,0071 -0,0143 © 0 0,0061 0,0081 0,0041 IV © ũ -0,0009 -0,0018 -0,0018 - 0,0004 0,0004 -0,0009 Mi) 0 -22,3718 -17,626 -14,5075 - 15,5922 30,1021 17,8980 4,2048 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Vẽ biểu đồ mômen uốn ưong hệ có nút không có chuyển vị thẳng chịu tải trọng cho trên hình 7.1.1. p= 18kN M = 72kNm P =,18kN
» ban đầu bằng cách đặt thêm vào các liên kết thanh để ngăn cản tất cả các chuyển vị thẳng của các nút. Hệ mới được gọi là hệ có nút khổng có chuyển vị thẳng. Xét hệ trên hình 7.1 la. Theo giả thiết bỏ qua biến dạng dọc trục trong các thanh, nút 1 và nút 2 có cùng chuyển vị thảng theo phương ngang là A|, còn nút 3 và nút 4 có cùng chuyển vị thẳng theo phương ngang là A2 (cách xác định sỏ' chuyển vị thẳng của các nút như trong phương pháp chuyển vị). Đặt liên kết thanh nầm ngang vào nút 2 và nút 4, nhận được hệ mới có nút không có chuyển vị thẳng như trên hình 7.1 lb. Để hệ mới và hệ dã cho làm việc giống nhau cần: - Trên hệ mới cho các liên kết thanh đặt thêm vào chuyển vị thẳng cưỡng bức A; tương ứng (hình 7.1 lc). Những chuyển vị này chưa biết nên được xem là các ẩn số cần tìm. Đổng thời viết diéu kiện phản lực tại các liên kết thanh dạt thêm vào trên hệ mới do các chuyển vị cưỡng bức Aj và nguyên nhãn tác dụng là tải trọng gây ra phải bằng không. Theo nguyên lí cộng tác dụng có: R k / V A í . p ^ R i a , + r i a 2 + R ip = ° (a) R 2 ( A , , A 2,p ) = ^ 2 A | + ^ 2 A 2 + ^ 2 p = 0 Hệ mới có nút không có chuyển vị thẳng và hệ đã cho làm việc giống nhau nên: (b) Trong đó: (Mp) - biéu đổ mômen uốn trong hộ có nút có chuyển vị thẳng do tải trọng gây ra; (M p) - biổu dồ mômen uốn trong hộ mới có nút không có chuyển vị thẳng do tải trọng gây ra; (Mj) - biểu đồ mômen uốn trong hệ mới có nút không có chuyển vị thẳng do chuyển vị cưỡng bức thẳng Aj tại liên kết thanh đặt thêm vào thứ i gây ra; RKp - phản lực tại liên kết thanh đạt thêm vào thứ K do tải trọng gây ra trong hệ mới có nút không có chuyển vị thẳng. 173
R ka - phản lực tại liên kết thanh đặt thêm vào thứ K do chuyển vị cưỡng bức thẳng A, tại liên kết thanh đặt thêm vào thứ i gây ra trong hệ mới có nút không có chuyển vị thẳng. Nếu chọn trước chuyển vị ô; và biểu thị chuyển vị cần tìm A| theo biểu thức: A| = 3,0, với a, là hệ số cần xác định thì theo nguyên lí cộng tác dụng có: R K j = rK a i và (M j) = ai CM5.) A , (c) Trong đó: rK - phản lực tại liên kết thanh đặt thêm vào thứ K do chuyển vị cưỡng bức j thẳng ỗ| tại liên kết thanh đặt thêm vào thứ i gây ra trong hệ mới có nút không có chuyển vị thảng; Mg - biểu đồ mômen uốn do chuyển vị cưỡng bức thẳng Sị gây ra trong hệ mới có nút không có chuyển vị thẳng. Lúc nảy điều kiện (a) kể đến biểu thức (c) sẽ có dạng: r,,a1+ rl2a2 + R lp = 0 Ị r2,a ,+ r 22a 2 + R ’p = 0 J Giải hệ phương trình (c) sẽ tìm được các hộ số a, và a2. Biểu đổ mòmen uốn (Mp) do tải trọng gây ra trong hệ đã cho xác định theo công thức (b) có kể đến biểu thức (c) sẽ có dạng: (M p) = (M g| )a, + (M 6z)a2 + (M p ) (e) Cách tìm các hệ số rKK, rK và số hạng tự do RKp cũng tương tự như trong phương pháp i chuyển vị. Nghĩa là sử dụng diều kiện cân bằng của một phẩn hệ được tách ra từ các biểu dồ mômen uốn tương ứng (M s ), (Mg ) và (M p) trong hệ mới có nút không có chuyển vị thẳng. Các biểu đổ này được vẽ theo phương pháp H. Cross như dã trình bảy trong mục 7.2. Trường hợp tổng quát khi hệ có nút có n chuyển vị thẳng thì cần thay việc tính hê bằng việc tính (n + 1) lần hộ mới có nút không có chuyển vị thẳng theo phương pháp H. Cross chịu (n + 1) nguyên nhân tác dụng riêng rẽ là tải trọng để vẽ biểu đồ (M p) và chuyển vị cưỡng bức Aj = ajSj tại liên kết thanh đặt thêm vào thứ i để vẽ biểu đồ (M s ) vói i = 1 ,2 ..... n. Đổng thời các chuyển vị cưỡng bức Aj = a|S| phải thoả mân hệ phương trình sau: r„a1+ r 12a2 + ... + rlnan + R l p = 0 r21a, + r22a 2 +... + r2na n + R 2p = 0 (7_5) rn l a l + rn 2 a 2 + - + W ln + R „ p = 0 Sau khi giải hộ phương trình (7-5) tìm được các hệ số a,, biểu đổ mômen uốn (Mp) trong hệ đã cho được vẽ theo nguyên lí cộng tác dụng: (M p) = (M 6i)a1 + (M 62)a2 +... + (M 5 )an + ( M j) (7-6) 174
b) Thứ tự thực hiện 1. K í hiệu các nút của hệ. Xem các nút cứng trong hệ bị ngàm chặt để xác định độ cứng đơn vị của các thanh. 2. Xác định các hệ sô' phân phối mômen tại các đầu thanh quy tụ tại nút. 3. Tính hệ có nút khỏng có chuyển vị thẳng chịu nguyên nhân tác dụng chẳng hạn là tải trọng theo phương pháp H. Cross như đã trình bày trong mục 7.2 để vẽ biểu đồ (Mp ). - Xem các nút cứng là đã bị chốt. Sừ dụng kết quả cho trong bảng 6.2 để xác định các mômen nút cứng tại các đẩu thanh. - Tiến hành phân phối và truyền mômen trên sơ đồ hệ hay theo bảng. - Vẽ biểu đồ (M p ). Từ điẻu kiện cân bằng của một phẩn hệ được tách ra từ biểu đổ (M p ), xác định các phản lực R Kp với 1, 2 , n. 4. Tính hệ có nút không có chuyển vị thẳng chịu từng chuyển vị cưỡng bức S| được chọn trước tại liên kết thanh đặt thêm vào thứ i theo phương pháp H. Cross để vẽ biểu đổ (Mg ) với i = 1, 2...... n. Mỗi lẩn thực hiện cần: - Xem các nút cứng là đã bị chốt. Sử dụng kết quả trong bảng 6.1 để xác định các mômen nút cứng tại các đẩu thanh. - Tiến hành phân phối và truyển mômen trên sơ đồ hệ hay theo bảng. - Vẽ biểu đổ (Mg. ) . Từ điểu kiện cân bằng của một phần hệ chưa phản lực rKi được tách ra từ biểu đổ (M g ) , xấc định các phản lực rKi. 5. Thay các giá trị R Kp và rKi đã tìm được vào hệ phương trình (7-5). Giải hệ phương trình tìm các hệ số a¡ vói i = 1, 2 , n. 6. Theo biểu thức (7-6) vẽ biểu đồ mômen uốn (Mp) cần tìm. V í dụ 7.3: Vẽ biểu đồ m ôm en uốn trong hộ khung có nút có chuyển vị thẳng chịu tải trọng trên hình 7.12. B ài giải: Các nút 1, 2, 3 của hệ có cùng một chuyển vị thẳng theo phương ngang là A| = 8 ,5 ]. Do đó hệ mới có nút không có chuyển vị thẳng như trên hình 7 .12b. Phương trình tìm hệ số a ,: Ì^a, + Rlp = 0 1. K í hiệu các nút. Xem các nút cứng 1 và 2 bị chốt, xác định độ cứng đơn vị của
Hinh 7.12 2. Xác định hệ sô' phân phối mômen tại các đầu thanh theo công thức: Ỵjj = i k EK„ r : núi 1 có: Tại ... . X .. = -------- K I2 Y,, -------------= ------------ — ------ — = 0,25 0.25EI = 0,3571 = Ylf, ; 12 K 12+K ,5 + K i6 (0,25 + 0,2 + 0 ,25)EI 0,7 16 K, Yi 5 = ^ 4 = 0,2857 K I2 + K ,5 + K ,6 0,7 Kiểm tra: yl2 + Y u + yl6 = 0,3571 + 0,2857 + 0,3571 = 0,9999 « 1,0 K, 0.25E1 0,25 Tại nút 2 có: Y,, = -------- ------------- = ----------- ---- — — = - _ = 0,4347; K2 i+ K „ + K 24 (0,25 + 0,1 25 + 0 ,2)EI 0,575 0,2 y = 0,2174; r 24 = - = 0,3478 23 0,575 0,575 Kiểm tra: Y21 +723+724 = °-4347 + °>2174 + °-3478 = °-9999 * 1.0. 3. Tính hộ có nút không có chuyển vị thẳng chịu tải trọng theo phương pháp H. Cross. Xem các nút cứng đã bị chốt, theo số liệu cho trong bảng 6.2, xác định các mômen nút cứng M|j (hình 7.13): 176