Kỹ thuật công trình Động lực học: Phần 2

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:131

Thêm vào BST

Báo xấu

133
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Động lực học công trình này trình bày nội dung rất cơ bản của lý thuyết dao động công trình: Dao động hệ một bậc tự do; dao động hệ hữu hạn bậc tự do; dao động hệ vô hạn bậc tự do; trên cơ sở đó có thể vận dụng để giải quyết các bài toán động lực học công trình trong thực tế với các hệ kết cấu khác nhau như: Dầm, khung, dàn... Phần 2 sau đây trình bày nội dung chương 2 đến chương 5. Mời bạn đọc tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ thuật công trình Động lực học: Phần 2

Chương 2 DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ HỮU HẠN BẬC TỤ DO Trong thực tế tính toán kĩ thuật ta hay gặp bài toán tính hệ dao động hữu hạn bậc tự do. Để tiện lợi cho việc biểu thị các phép tính và áp dụng được công cụ máy tính điện tử, trong chương này sẽ trình bày các nội dung dưới dạng ma trận. Việc sử đụng ngôn ngữ ma trận trong cơ học đã trở nên ngày càng rộng rãi, biểu hiện ở việc áp dụng các phương pháp tính như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp ma trận chuyển tiếp và nhiểu các phương pháp gần đúng khác. §1. K H Á I N IỆM VỂ M A TRẬN CỨNG VÀ MA TRẬN MK.VĨ Xét hệ dầm hình 2 . l a tại các vị trí lị 2...n hệ chịu tác dụnR tương ứng của các lực Pị, p 2, ... pn. Chuyển vị tại vị trí k được xác định theo nguyên lí cộng tác dụng: Yk = ỗkl P| + Ôk2P2 + - + ỗkk p k + ••• + ỗkn Pp. k = 1, 2, ... n; Hình 2.1 Viết cho tất cả các vị trí ta có: 78
y, = s 11p1 + ô 12p2 + . . . + s lnpn ' y*> = Ô ?ỊpỊ H-Ỗ-^Po H"... 4- ỗ2nPn (2 -1 ) Yn “ SnlP] + Ôn2P2 +**- + ÔnnPn Ta viết phương trình (2-1) ở dạng ma trận: 'y (' 'ô n 0,2 ••• ôln' p>' y2 s 2, S 22 ■•• S2n < p2 > yn. J*nl Ôn2 •- Ô„n_ pn. Hay: Í Y |= [ F ] { p Ị Trong đó: r yi 07 yi p2 *v (2-2) II lí yn. Pn. Ô]J ô l2 ... ô ln |p j _ ^2? ••• 2i: (2-3) _ỗ nl ỗ n2 - ỗ nn_ Ị Y Ị - véc tơ chuyến vị; {p } - véc tơ tải trọng tác dụng. [FJ dược aọi là ma trận mềm. Các phần tử của ma trận dộ mềm ôkm (k = 1, 2, ... n m = 1,2, ... n) là các chuyến vị đơn vị được xác định trên hình 2.1b. Vì ôkm = Ômk nên ma trận [F] là ma trận đối xứng. Ngược lại ta có thế viết: P| = r i lYI + W i + - + r inyn p2 = r2iyi + h 2 y 2 + - + % y n p„ = rnlỴ[ + r n 2 y 2 + . Hay: {p} = [K]{Y} (2-4) *ìl >Ì2 - rln Trong đó: *21 r2n (2-5) [K] = Jnl rn2 - *nn 79
Ma trận [K] được gọi là ma trận cứng. Qíc phán từ cua ma trận độ cứng rkm (k = 1 .2 ..... Hì 111 = 1, 2.... n) gọi là hệ số độ cứns. là lực tương ứng ồ tọa dộ k do chuyển vị don vị tại tọa độ m gáy ra. (Xem hình 2.1c). Vì rkm = Imk nên ma trận ỊK Ị là ma trận đối xứng, Dẻ thấy rằng ma trận độ cứng là ma trận mềm nghịch dáo và neược lại: M -M " . [F] = [ K ] ' Điều này nhận được do việc nhàn trái hai vế của (2-4) với [ K Ị 1 rồi thế vào (2-2) hoặc nhân trái hai vế của (2-2) với [F] 1 rồi thế vào (2-4). §2. XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHẦN DAO ĐỘNG HỆ HỮU HẠN BẬC TỤ DO THEO PHƯƠNG PH ÁP TĨNH Xét hệ dầm có n khối lượng tập trung. Hệ chịu tác dụng cùa tải trọng động P|(t). P2(t),...Pn(t). Bỏ qua trọng lượng bản thân dầm khi dao dộng, vị trí của mỗi khối lượng được xác dịnh bằng một thông số là chuyển vị theo phương đứng. Vì vậy hệ có II bậc tự do (hình 2.2a). 3) Trước hết ta xét trường hợp bỏ x.d qua ảnh hường của lực cản. Ta sẽ mt viết phương trình cân bằng lực với b) việc sử dụng nguyên lí Đalãmbe, trong dó các lực đặt vào khối lượng bao gồm: tải trọng tác dụng, lực k.q quán tính và lực đàn hồi hình 2.2b. Hình 2.2 Phương trinh càn bằng lực đối với khối lượng thứ K: ' q+ (1 - •V 1) (2 -6 ) Trong đó: P|,q = - ITk ỹ k (t) Pk.ti = 1'kIyI + rk2 + + >■kn yn Thay các biểu thức này vào phương trình (2-6) ta được: m kỹ k(t) + (rkly, + r k2y 2 +... + rklly n ) = Pk(t) (2-7) (k = 1, 2...., n) 80
Phưưng trình (2-7) được viết cho tất cả các khối lượng của hệ như sau: m tỹ i +(r, ,y, + r ,,y 2 + ... + rlny n) = p,(t) m 2ỹ 2 + (r 2Iy, + r22y 2 +... + r2ny n ) = P2(t) (2-8) m n > 'n +ÍJ-n,y ! + r n2y 2 + ...+ rnny n ) = Pn(t). Ta viêì hệ phương 1rình (2-8) ớ dạng ma trận: m, 0 ■ 0" y. 111 1i: •• 'ìn -Vi ■p,(t) 0 m, . 0 ỹ2 loj Itị •• r2n < y2 > — < p,(t) > >+ 0 ... mn_ í . . Jnl r„2 •- 'nn. y„ Pn(t) Hay có thế viết gọn hơn: [M ]{ Ỷ (t)} + [K ]{ Y (t)} = {P(l)} (2-9) Trong đó: [KJ - ma trân độ cứng xác định Iheo (2-5); [M] - ma trận khối lượng hay ma trận quán tính ([M] là ma trận chéo): m, 0 0 " 0 m2 0 [M] = ( 2 - 10 ) 0 0 0 ... m n_ Và: ỹ |(t) V |(0 > ,( t ) y 2( ỉ ) y 2(t) Pọ(t) {Y(t)Ị=« ► , |P(t)Ị = < ( 2 - 11 ) ÍỶÍ = ‘ > yn(t) Phương trình (2-9) gọi là phương trình vi phân dao động cùa hệ 11 bậc tự do viết dưới dạna ma Irận. Khi ké đến ảnh hưởng của lực cán, phương trình (2-9) sẽ là: [M ]{Ỹ (t)Ị + [ c ] {Ỳ(t)Ị + [K ] ỊY(t)} = {P(t)Ị (2-12) Trong đó: [C] - ma trận cán. hay ma í rận tắt dần: c ll c i: ^ In C 2I c 2n [C] = (2-Ỉ3) o . c nl C n2 1 81
Các phần tử của ma trận tắt dần ckm gọi là các hệ sô ánh hưởng tắt dần, là lục tương ứng với tọa độ k do tốc độ chuyến dịch đơn vị tại tọa độ 111 gây ra. 'ỷ , ( 0 ý 2(t) {Y(,)Ị là véc tơ tốc độ chuyển dịch cùa hệ. lỶn(t)J Phương trình (2-12) chính là điểu kiện cân bằng tĩnh học cúa cả hệ: ị-Pq(t)Ị + Ị Pc(t) Ị + {Pcl(t)Ị = |P(t)i (2-14) Trong đó lực quán tính, lực cản, lực đàn hồi lần lượt là: {P„l.2( t ) - P 2(t)Ị + + - + Skn[m n ỹ n (0 + PL.n ( t ) - P n (t)] = 0 Khi xem lực cản Iheo giá thiết lưc cản trong n đàn hổi cua Xôrốkin (§4 chươníi 1), phương trình vi phân chuyển động 2-18 sẽ có dạnu: iô x m kỹ k(t) + (1 + — ỉ rkj Ỵj(t) = pk(l) ( 2- 20 ) V n J Trong đó: ô - độ suy giảm lôga. Việc tính lực cản theo giả thiết Xôrôkin sẽ lạo nên lực cản tổng hợp là đẳng thức tuyến tính với lực đàn hồi. Điều đó cho phép khả nãng tính dao dộng cưỡng bức của hệ với lực cản trong fi dàn hồi trong phạm vi lí thuyết tuyến tính. §3. XẢY DỤNG PHƯƠNG TR ÌN H VI PHẢN DAO ĐỘNG H Ệ HŨU HẠN BẬC T ự DO TỪ NGUYÊN LÍ HAM INTƠN Có thế áp dụng nguyên lí biến phân động học Hamintơn dê thiết lập phương trình vi phân dpo động của hệ hữu hạn bậc tự do thõng qua phương trình chuyển động Lagrăng - Trước hết ta sẽ xây dựng phương trình chuyển động Laurăng từ nguyên lí nàv. 82
ỉ. Phương trình ch u vến đ ộn g L agrãng Biểu thức của nguyên lí Hamintơn như đã biết ớ phần 1Ĩ1Ở đầu (M-6) Ỗ ( T - U ) dt + Ị ' 2 ỗ R d t = 0 (2-21) Trong đó: ÔT, s u là biến phán động năng và biến phân thế năng của hộ, SR là biến phân cộng phân tố «-ủa tai trọns và lực tắt dần. Đối với đa số các hệ cơ học và nhất là các hệ kết cấu xây dựng, dộng nãng của hệ có thế biểu thị qua các tọa độ tổng quát và các đạo hàm bậc nhất của chúng theo thời gian; còn thế năng của hệ chỉ biểu thị qua các tọa độ (chuyển vị) tổng quát. Biến phân ÔR có thế biểu thị qua các hàm tuyến tính đối với các biến phân của các tọa độ tổng quát: T = T (y ,. y , ..... y n; ỳ h ý , ....... ỳ n) u = U(y, , y 2 y n) ( 2 - 22 ) SR = R, ô y , + R, 5 y, +... + R n 5 y n Trong đó các hệ số R |, R n là các hàm lực tổng quát tương ứnR với các tọa độ y ỵ 3,... y n. T hế các biểu thức (2-22) vào phương trình (2-21) ta được: ỔT _ ỔT - i rTT ỔT í, ỖV| + ÒV2 + + y + -ZT-Ỗỷị +~T—ôỷ2 + ...+ [1 yõ \ l ỡy ơv, dý\ Õỷí au Ổ o y Ị H-------------- ò v Ị + U ỡ u . . . ... + ổyn ỡýp dy õy -> ỡ ỳ. + (Rj ô y ! + R : ô y 2 + ... + R n Bỵn]d l = 0 (2-23) Láy lích phân từnu phần đối với các sô hạng phụ íhuộc vào tốc độ ớ phương trình trên: í r«2
Phương trình (2-26) là phương trình chuvến động Lagrăng. Phương trình này là kết quả sử dụng trực tiếp nguyên lí biến phân động học Hamintơn, trong đó các thành phần mô tá biến phân hàm nâng ỉượng và công của lực nsoài và lực giảm chấn được biểu thị qua các tọa độ tổng quát và các đạo hàm của chúng theo thời gian. Phương trình Lagrăng được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, nó được áp dụng với tất cả các hệ tuyến tính và phi tuyến. Th í dụ 2 .1: Xây dựng phương trình vi phân dao động cúa hệ cho ỏ' hình 2.3. Hệ gồm một thanh cứng có khối lượng M, chiều dài /, thanh này được nối liền với một thanh không trọng lượng có độ dài / với đầu bị ngàm chặt. Khối lượn? chịu túc dụng của tái trọng động phân bố đều có quy luật thay đổi theo thời gian f(t). Ta xem chuyến vị theo phương đứng tại hai điểm đầu ihanh cứng(điếm 1vàđiểm 2) ỉà các tọa độ tổng quát (chuyển vị y j(t) và y2(t)). Qof, ì n ì ì ì ì ì ì 0 m m n m n m m n ị a) Động năng toàn phần cùa thanh cứng (khối lượng M) bằng lổne đong năng của chuyển vị thắng và chuyển vị quay: T = | Mỳ^(t) + | j uà 2(t) (a) Trong đó: Ỳ m ( 1) = (ỶI + ỷ 2) J0 = M • — (là mô men quán tính củí thanh cứng) 1 á (t) = (ỳ, - ỷ->). Thay các biếu thức nàv vào (a) ta được: 2 / ỷ, - ỷ v M ? . . .. = 7 1 (ý| + ỷ |> s + ý :) (b) 6 84
Ta coi các chuyển vị y I(t), y2(t) được tính từ vị trí cân bằng tĩnh ban đầu bằng không, vì th ế thế nãng chỉ được tính do năng lượng biến dạng tích lũy trong hệ. Có thể xác định ihế nãng từ ma trận cứng và các chuyển vị như sau; Lực đàn hồi: {Pj } = [ k ]{Y | r!i r,2 yi Trong đó: [k ] = ÍY} = r 21 r 22 T hế năng cú a hệ: u ÍY}7 = ị { Y } r [K]{Y} Hay: rll 1*21 rl2 1*22 Ịy|Ị= ^|iy' 2 (c) Tính biến phán ỎR: SR = ( q . f ( t )./) [ g ỵ i l Ẽ ỵ i ì = y, + ỗy2) \ 2 J 2 So sánh biểu thức này với (2-22c), ta được: R ị(t) = R 2(t) = ^ f ( t ) (d) T hế các biếu thức (b), (c), (d) vào phương trình Lagrãng (2-26) ta nhận được phương trình vi phân dao động cùa hệ: M .. , ql .. , — (2ỹ| +ỹ2)+iìiyi +r,2yi 2 - r2 6 (e) M (ỹ 1 + 2 ỹ 2)Xf rl2y, + r 21y ,2 =~ ql f(t) r/ X 0 l 2. Phương trình vi phân dao động tổng quát Đối với các hệ kết cấu đàn hổi khi dao động, động nãng và thế nãng của hệ có thể biếu thị được ở dạng toàn phương, trong đó thế năng là dạng toàn phương của chuyển vị (ứng với các tọa độ tổng quát), động năng *' iạng tòan phương của tốc độ: Ư(t> = 1 ± Ề i ’iJ y , ( t ) y J (t) L j=ỉ i=l T(t) = ^ Ẻ i > i j ỹ i ( 0 ỹj (t) £ i=l 1=1 85
Để nhận được phương trình vi phàn dao động hệ n bậc tự do dưới dạng ma trận từ phương trình Lagrãng ta biểu thị động năng và thế năng ớ trên dưới dạng mạ trận như sau: U = Ì{ y }t [k ]{ y } (2-27) T = — | Ỷ | r [K] Ịỷ Ị (2-2S) Với các hệ mà động năng có dạng toàn phương thì:
Trong đó: ỊOỊ là véc tơ không. Tương tự như ỏ' hẹ một bậc tự do, dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do cũng được xem là dao động điều hòa đưn gián. {Y(t)} = { A } s i n ( t o t + y) (2-34) Trong đó: ỊAỊ - là véc tơ biếu thị biên độ dao động của hệ; co - tần số dao động riêng; Y - Là độ lệch pha. Việc phàn tích dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do là việc xác định các điều kiện đó phương trình (2-33) cho phép hệ tổn tại dao động. Từ điều kiện đó ta sẽ tìm được các tần số dao động riêim của hộ. Lấy dạo hàm bậc hai biếu thức (2-34) ta sẽ nhận được gia tốc dao động tự do. ỊỶ (t)Ị = -c o 2 {A} sin (co t + y ) = -G)2 {Y(t)Ị (2-35) Thế các biểu thức (2-34) và (2-35) vào (2-33) ta nhận được: sin (o)t + y ) + [ k ] { a ] s ì o (cot + y ) = {oỊ Suy ra: ([K ]-o r[M ]){ Y (t)} = { 0 } hay ( [ K ] - o>2 [M ]) {à } ={0} (2-36) Đế hệ tổn lại dao dộng {A í phai khác không. Điều dó dẫn đốn: Định thức chứa các hệ số của phương trình (2-36) phải bằng không; nghĩa là: I [ K ]- c o 2 [M] I = 0 (2-37) Phương trình (2-37) dược gọi là phương trình tẩn sỏ của hệ hữu hạn bậc tự do, Khai Irịến định thức (2-37) ta sẽ nhận được phương trình đại sỏ bậc n đối với co2. Giái phựưrm trình này ta sẽ xác định được n nghiệm: (G)| , Các giá trị nuhiệm này biếu thị giá trị hình phương các tẩn số cùa n dạng dao động riêng. Véc tơ bao g ố m lã ì c a các tần so dao riè/iíỊ xếp theo thừ tự tăng dẩn (Mị < co2 < (ởy < .. < (ữn) được gọi la véctư lán sỏ dao dộng riêng (và còn gọi là phổ tán số). 0)
Có thể thấy thêm rằng: Tất cả các ma trận khối lượng vàma trận cứnạ của hệ kết cấu bất kì đều là các ma trận đối xứng và xác định dươnII, Vì vậy. tất cà các nghiệm của phương trình tần số đều là thực và dương. Phương trình tần số có thể viết được dưới dạng ma trận mềm. Muốn vậy, ta nhân trái hai vế của (2-36) với ma trận —t [FÌ ta sẽ nhận được: co [ F ] [ M ] - - U e ]Ì{ a H ° ỉ (2-39) \ 0) Trong đó: [E] là ma trận đơn vị cấp n. Phương trình tần số ứng với phương trình (2-39) sẽ là: M M - - V Ị E ] =0 (2-40) 0) Các phương trình tần số 2-37) và (2-40) được viết dưới dạng giải tích như sau: (rM -c o 2m ,) 12 2n (2-37)' =0 Và 8 .1 - - T ồ | 2i n 2 CO &2ỉm \ 0p m0 ^ ỗ :nm „ to; =0 (2-40') Snlm, ỗ n2m 2 lin n CO §5. XÁC ĐỊNH DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG HỆ HỮII HẠN BẬC T ự DO Tương ứng với các giá trị tần số dao động riêng coị (i = 1, 2,...n) ta sẽ xác định các dạng dao động riêng {A ị} (hoặc {Y,} từ phương trình (2-36) hoặc (2-39). Việc xác định các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng đóng vai trò rất quan trong trong bài toán dao động của hệ hữu han bậc lự do. 88
Đế xác định các dạng cỉao động riêng, ta đưa vào ma trận [Bị] ứng với tần số dao động riêns o jị. Dạng dao đệíig riêng ứng với tần số dao động ricng 0)j gọi là dạng dao động riênc thứ i, hay dạng chính thứ i. [B i] = ([K ]-c o f[M ]) (2-41) Hay: [ B , H [ F ] [ M ] - - U e ] (2-41)' toĩ Khi đó phương trình (2-3Ố) viết ứng với tần số co, sẽ có dạng: [B , ] f Yi < » H ° } hay [B,] {A,} (2-42) Muốn xác định các dạng dao động riêng, ta không nhất thiết phải tìm trực tiếp các giá trị hiên độ của các khối lượng, mà ta chỉ cần tìm tỉ số biên dộ của các khối lượng so với biên độ của một khối lượng nào đó. thường là so với biên độ của khối lượng thứ nhất. Tỉ số đó ta gọi là
Trừ phương trình đầu tiên của (2-45), ta ỳcii liệ in-ỉ) phương trình sau: ta s ẽ được d d ììiị dao dỏm> r ié n iỊ t h ứ ì: %Ị=- B' B! (2-46) Trong đó: (P:> (2-47) K}=< ni B °I I là ma trận ỊB‘"1 bỏ di hàng một cột một. u(lỉ b-)-» u(í} b-,. bi b i1 (I) 32 bV’ b. Bị"‘ị D (2-48) h(i) ni h(l) n? h1 ạ. I B|'|'| là CỘI Ihứ nliấl cúa ma trận |B(lt] bó di phần lửdẩii lión Uu l b2! I I I) b „11 > I I hU n)I Lúc này: ].
Ỏ dạng giải tích, hệ (n-ỉ) phương trình sau cúa hệ phương trình (2-45) để xác định dạng dao động riêna được viết như sau: r2 i + ( % —0 >2m 2 )cp2 + r 23(p? + . . . + r2n(pn = 0 r3 | + ĩn ẹ 2 + ( r „ - co2 m , ) ( p , + . . . + r3ncpn = 0 ‘ ni + 'n 2 (P: + rní
Hệ nàv có hai bậc tự do, ma trận khối lượng của hệ: m.1 0 ■ ’ 1 o' [M] = = M 0 IĨ1-, 0 1 S ll Ô I2 Ma trận mềm: ỊF j - Các chuyển vị dơn vị được xác định theo cách tính ở ỖtI Ỗ21 phần lĩnh học, ở đây chỉ được ra kết quả: 23 ỗn =5; 1536 EJ -3 / ỗp =5-,, = - 512 EJ Do đó: í 9_ 2 3 /' 23 1536 HJ 9 23 Phương trình tần số viết theo dạng: (2-40) (1-u) . Ẳ 23 =0 1536 EJ 9 (1-u) 23 1536 LI Trong đó: u =----- , , 23 M lC ) Khai triển định thức ta có phirơnc trình tẩn số: (u- ỉ r =0 Giúi phương trình này dẻ rànu nhận dược nehiệtn: 32 M u. = u, - 23 23 ứne với Uị ta có 01 ị hàng: Ị 1536 EJ EJ 0), = ~ = 6 .9 2 8 2 V 2 3 M / 3Uj M I' 92
ưha với u: ta có: 1536 EJ 768EJ EJ 0)-, = = 10,4745. - 2 3 M /’u2 \ 7MI- '“V M/- Các dạng dao động riêno được tính theo côrm thức (2-46) [ -9
Hệ này có ba bậc tự do ứng với ba chuyển vị theo phương ngang ở mỗi tầng. Ma trận độ c.ứng được xác định bằne việc cho các chuyên vị bằng đơn vị ớ mỗi tầng và xác định các phản lực đàn hồi như trên hình 2.5b. Vì các thanh ngang của khung có độ cứng bằng vô cùng nên các phần tử của ma trận cứng được xác định bằng tổng độ cứng tương ứng của các tầng, ta có: rll ri2 r\y ' 1 -1 0 “ fK] = r?1 — -1 3 -2 1070 kN/cm r32 0 -2 5 Ma irận khối lượng của hệ: m, 0 0 "l 0 o" [M] = 0 l,5m. 0 = 0 1.5 0 1.78 kN.s2/cm 0 0 2m,_ 0 0 2 Viết phương trình tần số ờ dạng ma trận cứng (2-37) Ị(1 - u ) ; -1 0 |[ k ] - c o 2 [ m ] | = 1070 = 0; -1 iI (3 —1,5u ) -2 0 : -2 (5 - 2u) Trong đó: u = 1,78 0^ 1070 Khai triển định thức ta nhận được phương trình bậc 3: u3 - r o u 2 + 7,5 - 2 = 0 Nghiệm của phương trình này: u I = 0,351; u2 =1,61; u3 = 3,54. Từ đó la có phổ tần sổ dao động riêng cùa hẹ: co, 14,5 'l' {(o} = . (ừ 2 > —< 31.1 ,0)3. 46.1 Các dạng chính dao động được xác định theo (2 46) (5 -2 u ) 2 K Ị = - [ b;,']| b, ị = (3 - l,5u)(5 - 2u) - 4 2 (3 - 1.5u) 0 Với u, = 0,351 ta có: -1 ' - ( 5 - 2 .0 . 3 5 1 ) ' 1 '4.298' '0,6 4 8 ' 1,5.0,35 0 ( 5 - 2 . 0 , 3 5 1 ) - 4 -2 ~ 6 ,6 3 1 1 2 0,302 Tương tự ta xác định đưựcỊcpĩị ứng \'ới u7, ỊcptỊ ứng với u3; 94
-0 ,6 0 2 -2 .5 8 , {Cp3 -0 ,6 7 8 2,485 M a trận các dạng chính dao động của hệ: (PII cp,2 (p|j 1 1 1 ^23 = 0,648 -0 ,6 0 2 - 2 ,5 8 M= (Pzr
Hệ này có ba bậc tự do ứng với ba chuyên vị theo phương đứng tại các khối lượng. Ma trận khối lượng của hệ: 1 0 0 m/ 0 ỉ 0 [M] = 0 0 - ? Đế xác định ma trận cứng, ta cho hệ chịu các chuvến vị đơn vị tại các khối lượng theo phương cùa bậc tự do và xác định các phàn lực dàn hồi tại các khối lượníí. Các phần tủ cùa ma trận cứng tương ứng với các trạng thái chuyên vị đơn vị trẽn hình 2.7b. Ta được: «11 rl2 r l3 "240 -138 36 ' [K]- r2l 122 '2 3 = a 138 132 -48 . r 31 hi r 33_ 36 -4 8 21 Trong đó: 27 EJ a= ỉ 3 /3 Phương trình tần sô dược viết dưới dạng ma trận cứng (2-37) như sau: (2 4 0 -u ) -138 36 | k ] - co2 [MỊ! = a -1 3 8 (1 3 2 -4 ) -4 8 =0 36 -4 8 (? l-0 .5 u ) 13rh/4o r Với: T H IT Khai triển định thức trẽn ta nhận dược phương trình. -u ' + 414u2 - 21060U + 3604 = 0 Giai phươntỉ trình này ta có các nẹhiệm sau: u, = 1,7965: 57.269; u, = 355 Do đó. véc ĩơ tán số dao dộng riéng ciia hệ sò là: 3,346 EJ {} — < 18.89 0)3 47,031 Vm/ 96
Đế xấc định các dạng dao động riênu ta sử dụng 1 thức (2-46) CỎI U (1 3 2 - u ) 48 I í