Kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác

Chia sẻ: Tranthi Kimuyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

130
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác

www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Gửi tặng: www.Mathvn.com Bỉm sơn. 08.05.2011 www.mathvn.com 1
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông Ví dụ như các công thức sau sin 2 x  cos2 x  1 cos 2 x  2cos 2 x  1  1  2sin 2 x sin 2 x  2 sin x cos x sin 3x  3sin x  4sin 3 x … Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay không sin 2 2 x  cos 2 2 x  1 cos 4 x  2cos 2 2 x  1  1  2sin 2 2 x sin 4 x  2 sin 2 x cos 2 x sin 9 x  3sin 3x  4sin 3 3 x …Hoàn toán đúng, vậy từ đây ta có thể khái quát và mở rộng như sau Với k  0 ta có sin 2 kx  cos 2 kx  1 cos 2kx  2 cos2 kx  1  1  2sin 2 kx sin 2kx  2sin kx cos kx sin 3kx  3sin kx  4sin 3 kx 1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào  7 1 1    4.sin   x Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình: 3  sin x 4   sin  x   2  Nhận xét: 3 7 Từ sự xuất hiện hai cung x   x mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa hai cung hai về cùng một và 2 4 cung x. Để làm được điều này ta có thể sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức về các góc đặc biệt Giải: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích www.mathvn.com 2
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 3 3 3   Ta có sin  x    sin x.cos  cos x.sin  cos x 2 2 2    7 7 7 2  cos   x   cos .sin   x     sin x  cos x   x   sin sin  4 4 4 2  Sử dụng công thức về các góc đặc biệt 3 3         sin  x  2  Ta có sin  x    sin  x    cos x 2 2 2     3          sin  x    2   sin  x    cos x Hoặc sin  x  2 2 2       7 7   2      sin x  cos x   x   sin  2   x    sin  x    sin  4 4 4 2      7     2      sin x  cos x   x   sin  2   x      sin  x    Hoặc sin  4 4  4 2     sin  x  k 2   sin x sin  x    k 2    sin x   , k   và  ,k  Chú ý:  cos  x  k 2   cos x cos  x    k 2    cos x   sin x  0   sin 2 x  0  x  k , k   Điều kiện:  cos x  0 2  1 1  Phương trình    4sin  x   sin x cos x 4   sin x  cos x  2 2 sin x.cos x  sin x  cos x      sin x  cos x  2 2 sin x.cos x  1  0  tan x  1 sin x  cos x  0   sin 2 x   2  2 2 sin x.cos x  1  0   2      x   4  k  x   4  k    2 x     k 2   x     k  , k      4 8    2 x  5  k 2  x  5  k    4 8   Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là   5  k với k    k ; x    k ; x  x 4 8 8 www.mathvn.com 3
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498   5  k ,  k     k  , x    k , x  Đs: x   4 8 8 Bài 2: (ĐH – D 2006) Giải phương trình: cos 3x  cos 2 x – cos x – 1  0 Giải: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa cùng về một cung x bằng công thức nhân ba và nhân đôi của hàm cos Phương trình  4cos3 x  3cos x  2cos2 x  1  cos x  1  0  2 cos3 x  cos 2 x  2 cos x  1  0   2cos x  1  cos2 x  1  0 1  cos x   2 2   2 cos x  1 sin x  0   sin x  0 2   x   3  k 2 ;  k       x  k 2 k    k 2 , x  k Đs: x   3 Cách 2: Nhận xét: 3x  x  x và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì thế ta nghĩ đến nhóm các hạng tử bằng cách Ta có 2 dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích  cos 3x  cos x  – 1  cos 2 x   0  2sin 2 x.sin x  2sin 2 x  0  2sin 2 x  2cos x  1  0 … tương tự như trên Chú ý: Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì không khó Công thức nhân ba cos 3x  4 cos 3 x  3cos x, sin 3 x  3sin x  4 sin 3 x Chứng minh: Dựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi Ta có cos 3x  cos  2 x  x   cos 2 x.cos x  sin 2 x.sin x   2 cos2 x  1 cos x  2cos x.sin 2 x   2 cos 2 x  1 cos x  2cos x 1  cos 2 x   4cos3 x  3cos x Tương tự cho sin 3 x Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 3cos 4 x – 8cos6 x  2 cos2 x  3  0 Giải: Nhận xét 1: Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau www.mathvn.com 4
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 cos 4 x  2cos 2 2 x  1  2  2 cos 2 x  1  1  8cos4 x  8cos 2 x  1 Cách 1: Phương trình 4cos6 x  12 cos 4 x  11cos 2 x  3  0 (pt bậc 6 chẵn) Đặt t  cos 2 x, 0  t  1 t  1   Khi đó ta có 4t  12t  11t  3  0   1 … bạn được giải tiếp được nghiệm x   k , k  , k   3 2 t  4 2  2 Nhận xét 2: Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức ha bậc và từ cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi Cách 2: Phương trình 3  1  cos 2 x   1  cos 2 x  3  cos 2 x  1  8    3  0  cos 2 x  2cos 2 x  3cos 2 x  2   0 2 2   2 2 2        cos 2 x  0 x  4  k 2 , k      cos 2 x  1  x  k Nhận xét 3: Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình tích Cách 3:  3(1  cos 4 x)  2 cos 2 x(4 cos 4 x  1)  0  6 cos 2 2 x  2 cos 2 x(2 cos 2 x  1)(2 cos 2 x  1)  0  6 cos2 2 x  2 cos2 x (2cos 2 x  1) cos 2 x  0  cos 2 x 3cos 2 x  cos 2 x (2cos2 x  1)   0    k  cos 2 x  0  x  4  2   3(2cos 2 x  1)  2 cos 4 x  cos2 x  0  cos 2 x  1  sin x  0  x  k Phương trình  2 cos 4 x  5cos 2 x  3  0   2 cos x  3 (loai )   2   Đs: x   k , k  , k   4 2 Bài 4: (ĐH – D 2008) Giải phương trình: 2sin x 1  cos 2 x   sin 2 x  1  cos x Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ tới việc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế Phương trình  4sin x.cos2 x  2sin x.cos x  1  2 cos x  2 sin x.cos x(1  2cos x)  1  2cos x www.mathvn.com 5
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  (1  2 cos x)(sin 2 x  1)  0 2  1  x   3  k 2  cos x   2    x    k sin 2 x  1  4  2   k 2 , x   k ,  k    Đs: x   3 4 Bài 5: Giải phương trình 3sin 3x  3 cos 9 x  1  4sin 3 3x Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos  3sin 3 x  4 sin 3 3 x  3 cos 9 x  1  sin 9 x  3 cos 9 x  1  2   x  18  k 9  1 1 3 1  k   sin 9 x  cos 9 x   sin  9 x       x  7  k 2 2 2 2 3 2   54 9  sin 5 x Bài 6: (ĐHM – 1997) Giải phương trình 1 5sin x Giải: Điều kiện: sin x  0 Phương trình  sin 5 x  5sin x  sin 5 x  5sin x Nhận xét: Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x… có hai hướng Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai  sin 5 x  sin x  4 sin x  2 cos 3 x sin 2 x  4 sin x  4 cos 3 x sin x cos x  4 sin x  cos 3x cos x  1 3   cos x   2 (loai ) 2  cos 4 x  cos 2 x  2  2 cos 2 x  cos 2 x  3  0    cos 2 x  1  1  cos 2 x  0  2 sin 2 x  0  sin x  0 (loai ) Vậy phương trình vô nghiệm Hướng 2: Phân tích cung 5 x  2 x  3x , áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức nhân hai, nhân ba sin  3x  2 x   5sin x  sin 3x cos 2 x  sin 2 x cos 3 x  5sin x 2   3sin x  4 sin 3 x   cos 2 x  sin 2 x   2 sin x cos x  4 cos 3 x  3cos x   5sin x  sin 2 x  cos 2 x   12sin 5 x  20 cos3 x sin 3 x  0  3sin 2 x  5cos 2 x  0 … vô nghiệm www.mathvn.com 6
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìm x   0;14 nghiệm đúng phương trình: cos 3x – 4 cos 2 x  3cos x  4  0 Giải: Phương trình  4 cos3 x  3cos x  4  2 cos2 x  1  3cos x  4  0  cos 3 x  2 cos 2 x  0  cos 2 x (cos x  2)  0   cos x  0  x   k  2  Vì x   0;14 nên 0   k   14 2  3 5 7 Đs: x  ;x  ;x  ;x  2 2 2 2 sin 3x sin 5 x Bài 8: (ĐHTL – 2000) Giải phương trình  3 5 Giải: Phương trình 5sin 3x  3sin  x  4 x   5sin x  3  4sin 2 x   3  sin x cos 4 x  cos x sin 4 x   5sin x  3  4 sin 2 x   3sin x  cos 4 x  4 cos 2 x cos 2 x  sin x  0  x  k   5  3  4 sin x   3  cos 4 x  4 cos x cos 2 x  * 2 2  Phương trình  *  5 3  2 1  cos 2 x    3  2cos 2 x  2 1  cos 2 x  cos 2 x      5 1    x   2   k cos 2 x  6  12 cos 2 2 x  4 cos 2 x  5  0     x     k cos 2 x   1   3   2 Bài 9: (ĐH – D 2009) Giải phương trình: 3 cos 5 x  2 sin 3x cos 2 x  sin x  0 Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện các cung 5x, 3x, 2x, x và 3 x  2 x  5 x ta nghĩ ngay tới việc áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để đưa về cung 5x. Còn cung x thì thế nào hãy xem phần chú ý Phương trình  3 cos 5 x  sin 5 x  sin x  sin x  0 3 1  cos 5 x  sin 5 x  sin x 2 2 www.mathvn.com 7
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498     x  12  k 3   k   sin   5 x   sin x   x     k  3   6 2       k , x    k , k   Đs: x  18 3 6 2 Chú ý: - Đối với phương trình bậc nhất với sin và cos là a sin x  b cos x  c học sinh dễ dàng giải được nhưng nếu gặp phương trình a sin x  b cos x  a 'sin kx  b 'cos kx, k  0,1 thì làm thế nào, cứ bình t ĩnh nhé, ta coi như hai vế của phương trình là hai phương trình bậc nhất đối với sin và cos thì cách làm tương tự - Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau Bài 10: (ĐH – B 2009) Giải phương trình: sin x  cos x sin 2 x  3 cos 3 x  2  cos 4 x  sin 3 x  Giải: Phương trình  sin x 1  2sin2 x   cos x.sin 2x  3 cos3x  2cos 4x 1 3  sin 3 x  3 cos 3x  2cos 4 x  sin 3x  cos 3 x  cos 4 x 2 2      4 x    3 x    k 2  cos 4 x  cos  3 x   6 6      x   6  k 2 k     x    k 2  42 7  Hoặc: 1 3 1  sin x   sin 3 x  sin x   3 cos 3 x  2(cos 4 x  sin x  sin 3x ) 2 4 4 1 3 3 1  sin 3 x  sin x  3 cos 3x  2 cos 4 x  sin x  sin 3 x 2 2 2 2 1 3  sin 3 x  3 cos 3x  2cos 4 x  sin 3x  cos 3 x  cos 4 x 2 2  2k  , x    2k ,  k    Đs: x   42 7 6 sin x  sin 2 x Tương tự: (CĐ – A 2004) Giải phương trình: 3 cos x  cos 2 x HD: k 2 Điều kiện: cos x  cos 2 x  0  x  k 2  x  3 www.mathvn.com 8
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 3 1 3 1  sin x  sin 2 x  3 cos x  3 cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos x  sin x 2 2 2 2    k 2    cos 2 x    cos x    x  k 2  x    6 6 9 3   sin 4 2 x  cos 4 2 x  cos 4 4 x Bài 11: (ĐHXD – 1997) Giải phương trình:     tan   x  tan   x  4  4  Giải: Nhận xét:         Từ tổng hai cung   x     x   nên tan   x  tan   x   1 và cung 2x có thể đưa về cung 4 x 4  4 2 4  4  bằng công thức nhân đôi    cos  4  x   0    1     Điều kiện:   cos   x  .cos   x   0   cos 2 x  cos   0  cos 2 x  0 4 4 2 2 cos    x   0    4    1 Phương trình  sin 4 2 x  cos 4 2 x  cos 4 4 x  1  2 sin 2 x cos 2 2 x  cos 4 4 x  1  sin 2 4 x  cos 4 4 x 2  cos 2 4 x  1 1  1  1  cos 2 4 x   cos 4 4 x  2 cos 4 4 x  cos 2 4 x  1  0   2 sin 4 x   1  loai  2   2 sin 2 x  0 k ,k   sin 4 x  0   x  cos 2 x  0  loai  2 Chú ý: - Chắc hẳn các bạn sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét và tổng hai cung mà quy đồng và biến đổi thì…ra không - Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình lượng giác có dạng phân thức như trên nếu không khôn khéo thì rất … phức tạp. - Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau    7   (ĐHGTVT – 1999) Giải phương trình: sin 4 x  cos 4 x  cot  x   cot   x  8 3 6   www.mathvn.com 9
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  k , k  Đs: x    12 2  3 x  1   3 x     sin    Bài 12: (ĐHTL – 2001) Giải phương trình: sin   10 2  2  10 2  Giải: Nhận xét: Nhìn vào phương trình này ta ngĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng… nhưng đừng vội làm như thế 3 x  3x khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung có mối quan hệ với nhau như thế nào  và  10 2 10 2   3x   3x   9 3 x   3 x  3 x  Thật vậy sin     sin       sin     sin 3    từ đó ta đặt t   và sử  10 2  10 2   10 2   10 2  10 2  dụng công thức nhân ba là ngon lành sin t  0 1 1 sin 3t  sin t   3sin t  4sin 3 t   sin t 1  sin 2 t   0  Phương trình sin t   2 2 2 1  sin t  0 3  k 2 , k   TH 1: sin t  0  t  k  x  5  3  1  cos 2t 1   k 4 , k   TH 2: 1  sin 2 t  0  1   0  cos 2t   t    k 2  x  2 2 6 56 Chú ý: 3 x 3  3x  t - Nếu không quen với cách biến đổi trên ta có thể làm như sau t   x  2t   10 2 5 10 2 - Với cách phân tích cung như trên ta có thể làm bài toán sau   a. (BCVT – 1999) Giải phương trình: sin( 3 x  )  sin 2 x sin( x  ) 4 4  đặt t  x  4  k Đs: x    4 2   b. (ĐHQGHN – 1999) Giải phương trình: 8cos3  x    cos 3x 3   đặt t  x  3 www.mathvn.com 10
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498    x  6  k  2 Đs:  x    k , k    3   x  k    2 sin 3 ( x  c. (PVBCTT – 1998) Giải phương trình: )  2 sin x 4  đặt t  x  4   k , k   Đs: x  4  d. (QGHCM 1998) Giải phương trình: sin 3 ( x  )  2 sin x 4 Bài tập tự giải:  Bài 1: (Đề 16 III) Tìm nghiệm x  ( ;3 ) của phương trình sau 2 5 7 sin( 2 x  )  3 cos( x  )  1  2 sin x 2 2 13 5 17 Đs: x   , 2 , ,, 666 Bài 2: (ĐHYTB – 1997) Giải phương trình x   x    x 2   3x   2 cos     6 sin     2sin     2sin     5 12   5 12  5 3   5 6 5 5 5  k 5 , k    k 5 , x    k 5 , x   Đs: x  4 12 3 2. Biến đổi tích thành tích và ngược lại Bài 1: Giải phương trình : sin x  sin 2 x  sin 3x  sin 4 x  sin 5 x  sin 6 x  0 Giải: Nhận xét: Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu ) của sin (hoặc cos) ta cần để ý đến cung để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau Phương trình   sin 6 x  sin x    sin 5 x  sin 2 x    sin 4 x  sin 3x   0 www.mathvn.com 11
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 7 x  3x  5x x 7x 3x  cos 2  cos 2   cos 2   0  4sin 2 cos 2  2 cos x  1  0  2sin 2    k 2  7x  x  7 sin 2  0    k 2 cos 3 x  0  x    ;k  Z   2 3 3   2 cos x  1  0  x   2  k 2    3   23 2 Bài 2: Giải phương trình : cos 3x cos 3 x  sin 3 x sin 3 x  8 Giải: Nhận xét: Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn, chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng 23 2 1 1 Phương trình  cos 2 x  cos 4 x  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x  cos 4 x   2 2 8 23 2 23 2  cos 4 x  cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x    cos 4 x  cos 2 2 x  4 4  k 2  4 cos 4 x  2 1  cos 4 x   2  3 2  cos 4 x  k  Z   x  2 16 2 Cách khác: Sử dụng công thức nhân ba 1 3 3 3 13  cos 3x cos 3 x  sin 3 x sin 3 x  cos 3 x  cos 3 x  cos x   sin x  sin x  sin 3 x    cos 4 x 4 4 4 4 44  Bài tập tự giải: Bài 1: (HVQHQT – 2000) Giải phương trình: cos x  cos 3 x  2 cos 5 x  0    x  2  k 1  17 với cos 1,2  Đs:   x   1,2  k 8   2 Bài 2: (ĐHNT 1997) Giải phương trình: 9 sin x  6 cos x – 3sin 2 x  cos 2 x  8  Đs: x   k 2 2 Bài 3: (ĐHNTHCM – 2000) Giải phương trình: 1  sin x  cos 3x  cos x  sin 2 x  cos 2 x www.mathvn.com 12
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498   x  k   Đs:  x    k 2  3   7  x    k  , x   k  6 6  Bài 4: (ĐHYN – 2000) Giải phương trình: sin 4 x  tan x  x  k 1  3 Đs:  với cos     x    k 2  2 Bài 5: (ĐHYHN – 1996) Giải phương trình:  cos x – sin x  cos x sin x  cos x cos 2 x    x  2  k Đs:   x    k   4 Bài 6: (ĐHHH – 2000) Giải phương trình:  2sin x  1  3cos 4 x  2 sin x – 4   4 cos 2 x  3    x   6  k 2  7 Đs:  x   k 2  6   x  k  2  Bài 7: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình: cos3 x – sin 3 x  sin x – cos x  Đs: x   k  4 Bài 8: (ĐTTS – 1996) Giải phương trình: cos3 x  sin 3 x  sin x – cos x  Đs: x   k  2 Bài 9: (ĐHCSND – 2000) Giải phương trình: cos3 x  sin 3 x  sin 2 x  sin x  cos x k Đs: x  2 Bài 10: (HVQY – 2000) Giải phương trình: cos2 x  sin 3 x  cos x  0  x    k 2 1 Đs:  với cos   1   x     k 2 2  4 Bài 11: (HVNHHN – 2000) Giải phương trình: cos3 x  cos2 x  2sin x – 2  0 www.mathvn.com 13
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498    x  2  k 2   Đs:  x    k 2  2  x  k 2    Bài 12: (HVNHHCM – 2000) Giải phương trình: sin x  sin 2 x  cos 3 x  0  x    k 2 1 Đs:  với cos   1   x     k 2 2  4 Bài 13: (DDHBCVTHCM – 1997) Giải phương trình: cos2 x – 4sin x cos x  0   x   k 1 Đs:  với tan   2  4  x    k Bài 14: (HVKTQS – 1999) Giải phương trình: 2sin 3 x – sin x  2 cos3 x – cos x  cos 2 x    x   4  k 2   k Đs:  x    4 2  x    k 2    Bài 15: (ĐHSP I – 2000) Giải phương trình: 4cos3 x  3 2 sin 2 x  8cos x    x  2  k   Đs:  x   k 2  4   x  3  k   4  3. Sử dụng công thức hạ bậc Khi giải phương trình lượng giác gặp bậc của sin và cos là bậc nhất ta thường giảm bậc bằng cách sử dụng các công thức hạ bậc… từ đó đưa về các phương trình cơ bản 3 Bài 1: (ĐHAG – 2000) Giải phương trình sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3 x  2 Giải: Nhận xét: www.mathvn.com 14
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 6x  2x Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và tổng hai cung  4 x mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng 2 công thức biến đổi tổng thành tích sau đó nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích  cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  0  cos 4 x(2cos 2 x  1)  0 cos 4 x  0  k    x    k 1x  cos 2 x   8 4 3  2 Bài 2: (ĐH – B 2002) Giải phương trình: sin 2 3 x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin, cos mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và kết hợp với công thức biến đổi tổng thành tích đưa về phương trình tích 1  cos6 x 1  cos8x 1  cos10 1  cos12 x Phương trình     2 2 2 2   cos12 x  cos10 x    cos 8 x  cos 6 x   0  2 cos11x.cos x  2 cos 7 x.cos x  0  cos x  cos11x  cos 7 x   0  cos x.sin 9 x.sin 2 x  0  sin 9 x.sin 2 x  0   x  k 9 9 x  k sin 9 x  0   ,k      2 x  k x  k  sin 2 x  0   2   ; x  k , k   Đs: x  k 9 2 Chú ý: Có thể nhóm  cos12 x  cos8 x    cos10 x  cos 6 x   0 x  x Bài 3: (ĐH – D 2003) Giải phương trình: sin 2    tan 2 x  cos 2  0 2 4 2 Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích Điều kiện: cos x  0   2   1  cos  x  2   tan x 1  cos x   Phương trình    0 2 2  1  sin x  tan 2 x  1  cos x  0  1  sin x  sin 2 x  cos 2 x  cos 3 x  0 www.mathvn.com 15
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  (sin x  cos x )(1  sin x cos x  cos x  sin x )  0 sin x  cos x  0  1  sin x cos x  cos x  sin x  0   k ; k   Khi sin x  cos x  0  tan x  1  x  4 Khi 1  sin x cos x  cos x  sin x  0 1  t2 Đặt t  cos x  sin x  sin x cos x  2 2 Ta được t  2t  1  0  t  1   2 3   cos  x     cos 4 2 4     x  2  k 2  3  k 2   x   4 4  x    k 2 So với điều kiện ta chỉ nhận x    k 2 Cách 2:    sin 2 x 1 1   (1  cos x)  (1  sin x) sin 2 x  (1  cos x) cos 2 x  1  cos  x    2 2 2   cos x 2     x  2  k 2 sin x  1   (1  sin x)(1  cos x)(sin x  cos x)  0  cos x  1   x    k 2    tan x  1    x    k 4   Kết hợp với điều kiện ta được x    k 2  x    k 4  Chú ý: Vì cos x  0  sin x  1 nên ta loại ngay được x   k 2 2  Đs: x    k 2 , x    k  ,  k    4 Bài 4: (ĐH – A 2005) Giải phương trình: cos2 3 x.cos 2 x – cos2 x  0 Giải: Cách 1: 1  cos 6 x 1  cos 2 x Phương trình  .cos 2 x  0 2 2 1  cos 6 x.cos 2 x  1  0   cos8 x  cos 4 x   1  0 2 2  2 cos 4 x  1  cos 4 x  2  0 www.mathvn.com 16
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 cos 4 x  1  2 cos 2 4 x  cos 4 x  3  0   cos 4 x   3  1 loai   2   4 x  k 2  x  k  k    2 Cách 2:    cos 6 x cos 2 x  1  0  4cos3 2 x  3cos 2 x .cos 2 x  1  0  4 cos 4 2 x  3cos2 2 x  1  0 k k   Đs: x  2 Cách 3:  cos 6 x cos 2 x  1  cos 2 x  1  cos 6 x  1   cos 2 x  1  cos 6 x  1 Khi cos 2 x  1 thì cos 6 x  4cos3 2 x  3cos 2 x =1 Khi cos 2 x  1 thì cos 6 x  4 cos3 2 x  3cos 2 x  1  Vậy hệ trên tương đương sin 2 x  0 cho ta nghiệm x  k 2 Chú ý: Một số kết quả thu được 1  sin x, cos x  1 sin a  1  cos b  1 sin a.cos b  1   sin a  1  cos b  1 sin a  1  sin b  1 sin a.sin b  1   sin a  1  sin b  1 cos a  1  cos b  1 cos a.cos b  1   cos a  1  cos b  1 Tương tự cho trường hợp vế phải là 1 sin a  1  cos b  1 sin a.cos b  1   sin a  1  cos b  1 sin a  1  sin b  1 sin a.sin b  1   sin a  1  sin b  1 cos a  1  cos b  1 cos a.cos b  1   cos a  1  cos b  1 www.mathvn.com 17
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498   Bài 5: (ĐHL – 1995) Giải phương trình cos 4 x  sin 4  x    1 4  Giải: Phương trình 2      1  cos  2 x  2   2  1  cos 2 x     1   2 2           (1  cos 2 x )2  (1  sin 2 x ) 2  1  cos 2 x  sin 2 x  1  2 cos  2 x    1 2     1   x   k   x    k , k    cos  2 x     2 2 4  2 x  2  3 cos x  2 sin 2   2 4  1 Bài 6: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 2 cos x  1 Giải: 1 Điều kiện: cos x  2 Phương trình 1     3   (2  3 ) cos x  1  cos x    2 cos x  1   3 cos x  sin x  0  2 sin x  cos x   0 2  2  2        x  3  k       2 sin  x    0  x   k    x   (2n  1) 3 3 cos x  1 3   2   Đs: x   k  , k   3 Bài 7: (QGHN – 1998) Giải phương trình sin 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x Giải: 1  cos 2 x 1  cos 4 x 1  cos 6 x Phương trình     cos 2 x  cos 4 x  1  cos 6 x  0 2 2 2  2 cos 3 x cos x  2 cos 2 3x  0  2 cos 3x(cos x  cos 3 x)  0  4 cos 3 x cos 2 x cos x  0    x k  6 3     x   k ,k    4 2   x    k  2  www.mathvn.com 18
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  x 3(1  sin x ) Bài 8: (ĐHKT – 1999) Giải phương trình 3 tan 3 x  tan x   8cos 2 x    0 2 cos x  4 2 Giải: Phương trình  3 tan 3 x  tan x  3(1  sin x) 1  tan 2 x   4 1  sin x   0  3 tan 3 x  tan x  3 1  sin x  tan 2 x  1  sin x   0 3tan 2 x 1  sin x  tan x   1  sin x  tan x   0  1  sin x  tan x   3 tan 2 x  1  0  1  k , k   TH 1: tan x    x 6 3 TH 2: 1  sin x  tan x  0  sin x  cos x  sin x cos x  0 (pt đối xứng với sin và cos)  2 1    k 2 , k   với cos   Giải phương trình này ta được x  2 4 Bài 9: ĐH – B 2007) Giải phương trình: 2sin 2 2 x  sin 7 x  1  sin x Giải: Nhận xét: 7x  x Từ sự xuất hiện các cung x, 2x, 7x và  2.2 x chính vì thế ta định hướng hạ bậc chẵn và áp dụng công 2 thức biến đổi tổng thành tích Phương trình  sin 7 x  sin x  1  2sin 2 2 x   0  2 cos 4 x.sin 3x  cos 4 x  0 cos 4 x  0  cos 4 x  2 sin 3 x  1  0   1 sin 3 x   2      4 x  2  k x  8  k 4   3x    k 2   x    k 2 , k      6 18 3   3x  5  k 2  x  5  k 2   6 18 3    2 5 2 , k   Đs: x   k ;x  k 18 3 18 3 www.mathvn.com 19
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Bài tập tự giải:   9 Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trình: sin4x + sin 4 ( x  )  sin 4 ( x  )  4 4 8  2  6 Đs: x    k , k   với cos   2 2 Bài 2: (ĐHQGHN – 1998) Giải phương trình: sin 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x  k  x  6  3 ,k  Đs:   x    k   4 2  17  Bài 3: (Đề 48 II) Giải phương trình: sin 2 2 x – cos 2 8 x  sin   10 x  2   k   x  20  10 ,k  Đs:   x    k  6 3  Bài 4: (ĐHD – 1999) Giải phương trình: sin 2 4 x – cos 2 6 x  sin 10, 5  10 x   k   x  20  10 ,k  Đs:    x   k   2 Bài 5: (TCKT – 2001) sin 2 x  sin 2 3 x  3cos 2 2 x  0   5 1  k  , x    k với k  , cos   Đs: x   2 3 2  5x 9x Bài 6: (ĐHTDTT – 2001) Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2 sin 2 (  )  2 cos 2 42 2  k   x  12  6   Đs:  x   k  , k    4   x     k  8 2  17 Bài 7: (ĐHNTHCM – 1995) Giải phương trình: sin 8 x  cos8 x  cos 2 2 x 16  k ,k  Đs: x   8 4 17 Bài 8: (KTMM – 1999) Giải phương trình: sin 8 x  cos8 x  32 www.mathvn.com 20