intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Kỹ thuật phân tích bình phương hoán vị chứng minh bất đẳng thức

Chia sẻ: Phan Cảnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
66
lượt xem 12
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bât ñang thc hoán v là nhng bài toán rât ñp bi s phát bieu ñơn gi n nh nhàng c a chúng. Tuy nhiên, viec gi i chúng thì ngưc li, viec tìm mot li gi i cho chúng vô cùng vât v và khó khăn. Và ñôi vi nhng bài toán có 2 ñang thc tr lên thì mi viec li càng tr nên khó khăn hơn. Sau mot thi gian hc hi kinh nghiem và tìm tòi, tôi ñã tìm ñưc mot kĩ thuat ñe ñánh giá cho nhng bât ñang thc hoán v ñơn gi n. Do ño khó c a các bài toán nên ñôi khi...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ thuật phân tích bình phương hoán vị chứng minh bất đẳng thức

  1. www.VNMATH.com 2 VIF Lời I/ Lời nói đầu. B t ñ ng th c hoán v là nh ng bài toán r t ñ p b i s phát bi u ñơn gi n nh nhàng c a chúng. Tuy nhiên, vi c gi i chúng thì ngư c l i, vi c tìm m t l i gi i cho chúng vô cùng v t v và khó khăn. Và ñ i v i nh ng bài toán có 2 ñ ng th c tr lên thì m i vi c l i càng tr nên khó khăn hơn. Sau m t th i gian h c h i kinh nghi m và tìm tòi, tôi ñã tìm ñư c m t kĩ thu t ñ ñánh giá cho nh ng b t ñ ng th c hoán v ñơn gi n. Do ñ khó c a các bài toán nên ñôi khi m t s l i gi i có ñôi chút dài, nhưng bù l i là ta có th làm ch t cho m t s bài toán (ñây là m t ñi u b t ng mà kĩ thu t này mang l i). Cũng xin nói thêm r ng: b t ñ ng th c hi n ñ i r t phong phú v i r t nhi u bài t p. Tuy nhiên v i b t ñ ng th c hoán v vòng quanh thì khác, nó r t ít nên có th coi là nh ng bài toán hi m. Vi c t o ra m t b t ñ ng th c ñúng ñã là khó mà ñ b t ñ ng th c ñó hay thì càng khó hơn, nên ñ i v i b t ñ ng th c hoán v thì ñi u ñó l i càng khó th c hi n. Vì th kĩ thu t này ch là m t công c nh nhưng l i vô cùng h u ích ñ các b n có thêm m t hư ng gi i quy t các bài toán b t ñ ng th c hoán v vòng quanh ba bi n. M c dù bài vi t ñư c hoàn thành trong lúc tôi ñang c m tr i nên r t m t, nhưng tôi v n c g ng hoàn thành bài vi t này trong m t ngày tr ng ñ i 26-3-2009 (ðoàn thanh niên C ng s n H Chí Minh). Vì th tôi s r t hoan nghênh nh ng s ñóng góp, tìm tòi sáng t o thêm cho kĩ thu t này t phía các b n. M i th c m c – ñóng góp ý ki n xin vui long lien h theo ñ a ch : E-mail: vnineq@yahoo.com ho c YM: vnineq giả Tác giả VIF Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.VNMATH.com
  2. www.VNMATH.com 3 VIF sở II/ Cơ sở của kĩ thuật. S th t b t ng n u tôi nói v i các b n r ng cơ s c a kĩ thu t này là phương pháp phân tích bình phương S.O.S: là ñưa b t ñ ng th c thu n nh t ba bi n a,b,c v d ng: S a (b − c ) 2 + S b ( c − a ) 2 + S c ( a − b ) 2 ≥ 0 ð i v i b t ñ ng th c ñ i x ng ba bi n thì vi c quy v d ng chính t c S.O.S như trên là ñơn gi n giúp ta d dàng gi i quy t bài toán. Tuy nhiên, ñ i v i b t ñ ng th c hoán v vòng quanh thì cách quy trên ñôi khi không thích h p và t o ra các h s S a ; Sb ; S c r t c ng k nh và khó x lí. Trong trư ng h p ñó có m t cách khác là quy v d ng: (Tôi t m g i nó là phân tích bình phương hoán v S.O.C) S a (b − c ) 2 + Sb (c − a ) 2 + Sc ( a − b) 2 ≥ S ( a − b)(b − c )(c − a ) Cách quy trên có gì l i?: - Th nh t: ñ i v i các d ng hoán v vòng quanh thì nó t nhiên và ñơn gi n hơn cách ñưa v S.O.S chính th ng. - Th hai: ñ i v i b t ñ ng th c hoán v thì ta ch c n xét m t trong 2 kh năng sau: + M t trong ba s là l n nh t (gi s là a = max{a,b,c} ), thì ta xét 2 trư ng h p có th x y ra là a ≥ b ≥ c và a ≥ c ≥ b . + M t trong ba gi a 2 s kia (gi s là b), thì ta xét 2 trư ng h p có th x y ra là a ≥ b ≥ c và c ≥ b ≥ a . Vì v y, n u v trái và S không âm thì ta ch xét trư ng h p c ≥ b ≥ a mà b qua trư ng h p a ≥ b ≥ c . Cu i cùng cũng xin lưu ý luôn là ñ i v i các bài toán sau ñây chúng ta cũng ch xét trư ng h p c ≥ b ≥ a (khi ñó (a − b)(b − c)(c − a ) ≥ 0 ⇒ a 2b + b 2c + c 2 a ≤ ab 2 + bc 2 + ca 2 ), còn v i trư ng h p a ≥ b ≥ c thì S (a − b)(b − c)(c − a) ≤ 0 , và ta ch ph i làm theo phương pháp truy n th ng S.O.S là ch ng minh b t ñ ng th c: S a (b − c ) 2 + S b ( c − a ) 2 + S c ( a − b ) 2 ≥ 0 Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.VNMATH.com
  3. www.VNMATH.com 4 VIF III/ Phân tích cơ s . 1. ab 2 + bc 2 + ca 2 − a 2b − b 2c − c 2 a = (a − b)(b − c)(c − a ) 2. ab2 + bc2 + ca 2 − 3abc = 1 ( ab2 + bc 2 + ca 2 − a 2b − b2c − c 2 a + ab2 + bc2 + ca 2 + a 2b + b2c + c2 a − 6abc ) 2 = 1 2 ( (a − b)(b − c)(c − a) + a(b − c)2 + b(c − a)2 + c(a − b)2 ) a − b b − c c − a −(a − b)(b − c )(c − a ) 3. + + = a + b b + c c + a (a + b)(b + c )(c + a ) a b c 1  a +b+ a−b b+c +b−c c+ a+c −a  1  a −b b −c c −a  4. + + =  + +  = 3 + + + = a+b b+c c+a 2 a+b b+c c+a  2 a+b b+c c+a  1 (a − b)(b − c)(c − a)  = 3−  2  (a + b)(b + c)(c + a)  5. ab3 + bc 3 + ca 3 − a 3b − b3c − c3a = (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a ) Bên c nh các phân tích sơ s này còn r t nhi u cách phân tích khác mà các b n có th t tìm th y trong quá trình gi i toán. Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.VNMATH.com
  4. www.VNMATH.com 5 VIF dựng IV/ Xây dựng định lí. Chúng ta s xây d ng ñ nh lí, ñưa ra các tiêu chu n t cách phân tích S a (b − c ) 2 + Sb (c − a ) 2 + Sc ( a − b) 2 ≥ S ( a − b)(b − c )(c − a ) Chú ý: ñây ta ch xét ñ n trư ng h p c ≥ b ≥ a Như th thì (a − b)(b − c ) ≥ 0 nên S a ( b − c ) 2 + S b ( c − a ) 2 + S c ( a − b ) 2 = S a (b − c ) 2 + S b ( a − b + b − c ) 2 + S c ( a − b ) 2 = = ( Sb + Sc ) (a − b)2 + ( Sa + Sb ) (b − c)2 + 2Sb (a − b)(b − c) ≥ 2 ( Sa + Sb )( Sb + Sc ) (a − b)(b − c) + 2Sb (a − b)(b − c) AM −GM Do ñó b t ñ ng th c s ñư c ch ng minh n u ta ch ng minh ñư c 2 ( Sa + Sb )( Sb + Sc ) + 2Sb − S ≥ 0 Xây d ng tương t như trên b ng cách tách a − b = c − b − (c − a ) và b − c = b − a − (c − a ) , ta cũng ñư c thêm 2 ti u chu n n a. Ti p t c xây d ng: ta có Sb ( c − a ) 2 = Sb ( c − b + b − a ) 2 ≥ 4Sb (c − b)(b − a) AM −GM và S a (b − c ) 2 + S c (a − b) 2 ≥ 2 S a .S c .(b − a )(c − b) Do ñó b t ñ ng th c s ñư c ch ng minh n u ta ch ng minh ñư c 4 Sb + 2 S a .S c ≥ S (c − a ) Ngoài ra ta còn có Sa (b − c)2 + Sb (c − a)2 + Sc (a − b)2 ≥ 3 3 Sa Sb Sc (b − c)2 (c − a)2 (a − b)2 Nên b t ñ ng th c s ñư c ch ng minh n u ta ch ng minh ñư c 27 S a Sb S c ≥ S 3 (a − b)(b − c )(c − a ) H th ng các k t qu trên ta có các tiêu chu n sau: 1. Sa + Sb ≥ 0, Sb + Sc ≥ 0, 2 ( Sa + Sb )( Sb + Sc ) + 2Sb − S (c − a) ≥ 0 2. Sa + Sb ≥ 0, Sa + Sc ≥ 0, 2 ( Sa + Sb )( Sa + Sc ) − 2Sa − S (c − b) ≥ 0 3. Sc + Sa ≥ 0, Sc + Sb ≥ 0, 2 ( Sc + Sa )( Sc + Sb ) − 2Sc − S (b − a) ≥ 0 4. S a ≥ 0, S c ≥ 0, 2 S a .S c + 4 Sb − S (c − a ) ≥ 0 5. S a ≥ 0, Sb ≥ 0, S c ≥ 0, 2 Sb Sc − S (c − b) ≥ 0 6. S a ≥ 0, Sb ≥ 0, Sc ≥ 0, 2 S a Sb − S (b − a ) ≥ 0 7. S a ≥ 0, Sb ≥ 0, S c ≥ 0, 27 S a Sb Sc − S 3 (a − b)(b − c)(c − a ) ≥ 0 Các tiêu chu n trên r t ti n ñ x lí nh ng bài toán có các h s S a ; Sb ; S c c ng k nh (ñ c bi t là tiêu chu n 1 r t m nh). Tuy nhiên n u ta g p nh ng bài toán r t ch t ñ n n i không th áp d ng ñư c tiêu chí nào thì có m t cách khác là ñ t c = a + x + y và b = a + x ( x, y ≥ 0) . Cách làm này giúp ta có th lo i ñi a m t cách nhanh chóng nh cách phân tích trên (b i c − a = x + y; b − a = x ). Hơn n a ta l i còn có th làm ch t cho b t ñ ng th c nh các bi n còn th a l i. Các bài toán áp d ng sau ñ làm sáng t thêm cho ñi u này. Ngoài ra, ta còn có th chia nh nhi u trư ng h p n a trong c ≥ b ≥ a ñ d dàng gi i quy t bài toán. Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.VNMATH.com
  5. www.VNMATH.com 6 VIF V/ Áp dụng vào giải toán. dụng Có l m i kĩ thu t cũng xu t phát t m t bài toán nào ñó. Và tôi cũng v y, tôi xin b t ñ u b ng m t bài toán kh i ñ u cho kĩ thu t này m t cách tình c : Bài toán 1. Cho các s th c không âm a,b,c. Ch ng minh b t ñ ng th c a 2b + b 2 c + c 2 a a + b + c + 3abc. 2 3 3 3 ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) ab + bc 2 + ca 2 L i gi i. N u a ≥ b ≥ c thì a 2b + b 2 c + c 2 a ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2 , nên theo b t ñ ng th c Schur thì a 2b + b 2 c + c 2 a a 3 + b3 + c 3 + 3abc. ≥ a 3 + b3 + c3 + 3abc ≥ ab( a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) ab 2 + bc 2 + ca 2 N u c ≥ b ≥ a thì b t ñ ng th c ñư c vi t l i như sau  a 2b + b 2 c + c 2 a  a 3 + b3 + c3 − 3abc + 3abc.  2 − 1 ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) − 6abc  ab + bc +ca 2 2  3abc(a − b)(b − c)(c − a) (a + b + c ) ( ( a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 ) − 1 ⇔ ≥ a (b − c ) 2 + b(c − a) 2 + c( a − b) 2 2 ab 2 + bc 2 +ca 2 1 1 1 3abc(a − b)(b − c)(c − a ) ⇔ (a + b − c)(a − b) 2 + (b + c − a )(b − c) 2 + (c + a − b)(c − a )2 ≥ 2 2 2 ab 2 + bc 2 + ca 2 3abc(c − a ) Theo tiêu chu n 1 thì ta ch c n ch ng minh 2 ac + c + a − b − 2 ≥0 ab + bc 2 +ca 2 Quy ñ ng, rút g n và nhóm các s h ng l i v i nhau ta ñư c b t ñ ng th c tương ñương là 2bc 2 ( ) ac − a + ab 2 (c − b) + bc 2 (c − b) + a 2c 2 + a 2b 2 + a 3c + 2ab2 ac + 2ca 2 ac + 2a 2bc ≥ 0 B t ñ ng th c trên ñúng do c ≥ b ≥ a V y ta có ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi ba bi n b ng nhua ho c m t trong 3 bi n b ng 0 và 2 bi n còn l i b ng nhau. Bài toán 2. (Nguy n Tr ng Th ) Ch ng minh r ng v i a,b,c>0 thì: a3 b3 c3 a+b+c + 2 2+ 2 ≥ 2a + b 2 2 2b + c 2c + a 2 3 L i gi i. ñ chô g n ta kí hi u ∑ là t ng cyclic (m i t ng g m 3 s h ng). B ng cách bi n ñ i tương ñương ta có a 3 − ab 2 ∑ 2a 2 + b2 ≥ 0 ⇔ ∑ (a3 − ab2 )(2b2 + c 2 )(2c 2 + a 2 ) ≥ 0 ⇔ 3∑ a 3b 2 c 2 + 2∑ a 3c 4 + 2∑ a 5b 2 + ∑ a 5c 2 ≥ 4∑ ab 4 c 2 + 2∑ ab 2 c 4 + 2∑ a 3b 4 ⇔ 2∑ ( a5b2 + a3b2c 2 − 2a 4b2c ) + ∑ ( a5c 2 + a3b2 c 2 − 2a 4bc 2 ) ≥ 2 ( ∑ a3b4 − a3c 4 ) ⇔ 2∑ a3b2 (a − c) 2 + ∑ a3c 2 (a − b)2 ≥ 2(a − b)(b − c)(c − a) ( ∑ a 2b2 + ∑ a 2bc ) Bây gi gi s a = max{a,b,c} . N u c
  6. www.VNMATH.com 7 VIF Xét 2 trư ng h p: Trư ng h p 1. Xét khi c − b ≤ a − c , ta có b 2 ( a − c ) 2 + a 3c 2 ( a − b) 2 ≥ 2a 3b 2 ( a − c )(c − b) + 4a 3c 2 ( a − c )(c − b) Vì a3b2 + 2a3c 2 ≥ a ( c 2 + bc + b2 ) nên suy rañi u ph i ch ng minh. 3 Trư ng h p 2. Xét khi c − b > a − c , tương t như trên ta có 2a 2 c 3 (c − b) 2 + a 3c 2 ( a − b) 2 ≥ 2a 2 c 3 (a − c )(c − b ) + 4a 3c 2 (a − c )(c − b ) Vì a 2c3 + 2a3c 2 − a3 ( c 2 + bc + b2 ) > a 2c 2b + a3bc − a3 ( bc + b2 ) = a3b(c − b) + a 2bc(c − a) ≥ 0 Nên ta cũng có ñi u ph i ch ng minh. V y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh xong. ð ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c. Bài toán 3. (VIF) Cho các s th c không âm a,b,c. Ch ng minh 4a 4b 4c ab 2 + bc 2 + ca 2 + abc + + + 2 ≥7 a + b b + c c + a a b + b 2 c + c 2 a + abc L i gi i. theo cách phân tích cơ s 4 thì b t ñ ng th c ñư c vi t l i thành  (a − b)(b − c)(c − a)   ab 2 + bc 2 +ca 2 + abc  23− + 2 − 1 ≥ 6  (a + b)(b + c)(c + a )   a b + b c + c a + abc  2 2 ( a − b)(b − c)(c − a ) 2(a − b)(b − c)(c − a ) ⇔ 2 − ≥0 a b + b 2 c + c 2 a + abc ( a + b)(b + c)(c + a ) (a − b)(b − c)(c − a ) (a + b)(b + c)(c + a ) − 2 ( a 2b + b 2 c + c 2 a + abc )    ≥0 ⇔ ( a b + b c + c a + abc ) (a + b)(b + c)(c + a) 2 2 2 [ (a − b)(b − c)(c − a)] 2 ⇔ ≥0 ( a b + b c + c a + abc ) (a + b)(b + c)(c + a) 2 2 2 B t ñ ng th c trên hi n nhiên ñúng. V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c. Bài toán 4. (UK TST 2005) cho các s th c dương a,b,c sao cho abc=1. Ch ng a+3 b+3 c+3 minh r ng: + + ≥3 (a + 1) (b + 1) (c + 1)2 2 2 y z x L i gi i (VIF). do abc=1 nên ñ t a = , b = , c = x y z B t ñ ng th c trên ñư c vi t l i như sau 3  x − y   y − z   z − x   2 2 3 x 2 + xy 3 y 2 + yz 3 z 2 + zx 2 + + ≥ 3 ⇔  + 1 +  + 1 +  + 1 + ( x + y) 2 ( y + z) 2 ( z + x) 2 4  x + y   y + z   z + x     1  ( x + y ) − ( x − y ) ( y + z ) − ( y − z )2 ( z + x) 2 − ( z − x) 2  2 2 2 +  + +  ≥3⇔ 4 ( x + y)2 ( y + z )2 ( z + x)2  2 2  x− y  y−z   z−x  x − y y − z z − x  3( x − y )( y − z )( z − x) 2 ⇔  +  +  ≥ −3  + + =  x+ y  y+z  z+x  x + y y + z z + x  ( x + y )( y + z )( z + x) Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.VNMATH.com
  7. www.VNMATH.com 8 VIF N u ( x − y)( y − z)( z − x) ≤ 0 thì bñt trên hi n nhiên ñúng. 2 2 2  x− y  y−z  z−x  ( x − y )( y − z )( z − x)  2 N u ( x − y)( y − z)( z − x) ≥ 0 thì   +  +  ≥ 33    x+ y  y+z  z+x AM − GM  ( x + y )( y + z )( z + x)  ( x − y )( y − z )( z − x ) nên ta ch c n ch ng minh ≤ 1 ⇔ 2 ( x 2 y + y 2 z + z 2 x ) ≥ 0 (luôn ñúng). ( x + y )( y + z )( z + x ) V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c=1. Có th nói hai bài toán trên không c n ph i s d ng ñ n m t tiêu chu n nào c . nhưng m t khác l i cho th y ñư c cái l i khi phân tích v S (a − b)(b − c)(c − a ) . Và bây gi chúng ta s th c hi n làm ch t m t s b t ñ ng th c b ng các bi n còn th a như ñã nói L i nói ñ u. Bài toán 5. Cho các s th c không âm a,b,c. Ch ng minh b t ñ ng th c 4( a + b + c )3 ≥ 27 ( ab 2 + bc 2 + ca 2 + abc ) L i gi i. N u a ≥ b ≥ c thì ab 2 + bc 2 +ca 2 + abc ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2 + abc nên 27 ( ab 2 + bc 2 + ca 2 + abc ) ≤ ( ab2 + bc 2 +ca 2 + ab2 + bc 2 +ca 2 + abc ) 27 2 ( Do ñó ta ch c n ch ng minh 27 ab2 + bc 2 +ca 2 + ab2 + bc 2 +ca 2 + abc ≤ 8(a + b + c)3 ) ⇔ 8 ( a3 + b3 + c3 ) ≥ 3 ( ab 2 + bc 2 +ca 2 + ab 2 + bc 2 +ca 2 ) + 6abc B t ñ ng th c trên hi n nhiên ñúng theo b t ñ ng th c AM-GM N u c ≥ b ≥ a thì ta vi t b t ñ ng th c l i như sau: 4∑ a 3 + 12∑ a 2b − 15∑ ab 2 − 3abc ≥ 0 ⇔ 4 ( ∑ a 3 − 3abc ) −  ∑ (ab(a + b)) − 6abc  + ( ∑ a 2b − ∑ ab 2 ) ≥ 0 3 27   2 2 ⇔ 2(a + b + c)  ∑ (a − b) 2  − ∑ ( a (b − c) 2 ) ≥ 3 27   2 (c − b)(b − a )(c − a ) 2 ⇔ (4b + 4c + a )(b − c ) 2 + (4c + 4a + b)(c − a ) 2 + (4a + 4b + c )( a − b) 2 ≥ 27(c − b)(b − a )(c − a ) ⇔ (5a + 5b + 8c)(c − b) 2 + (8a + 5b + 5c)(b − a ) 2 + 2(4a + b + 4c)(c − b)(b − a) ≥ 27(c − b)(b − a )(c − a ) ð t c = a + x + y, b = a + x . B t ñ ng th c ñư c vi t l i như sau y 2 (18a + 8 y + 13 x ) + x 2 (18a + 5 y + 10 x ) + 2(9a + 5 x + 4 y ) xy ≥ 27 xy ( x + y ) Lo i a thì ta ch c n ch ng minh y 2 (8 y + 13 x ) + x 2 (5 y + 10 x ) + 2(5 x + 4 y ) xy ≥ 27 xy ( x + y ) ⇔ 5 x 3 + 4 y 3 ≥ 6 x 2 y + 3 xy 2 Ta có 2 ( x3 + x3 + y 3 ) AM≥GM 6 x 2 y; x3 + y 3 + y 3 AM≥GM 6 xy 2 − − Do ñó ta có ñi u ph i ch ng minh Bây gi như ñã nói ph n Xây d ng ñ nh lí, ta s làm ch t b t ñ ng th c nh các bi n còn th a: Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.VNMATH.com
  8. www.VNMATH.com 9 VIF .18a ( x 2 + y 2 + xy ) ≥ 9a. .( x + y )2 = 1 3 27 a (c − a ) 2 2 AM −GM 4 2 Như v y là ta có b t ñ ng th c ch t hơn là: v i k = min{a, b, c} và t=max{a,b,c} thì 4(a + b + c)3 ≥ 27 ( ab 2 + bc 2 +ca 2 + abc ) + k (t − k )2 , 27 4 Các b n ñ ng lo cách làm ch t này ch ñúng trong m t trư ng h p mà ta ñang xét, b i trong trư ng h p ngư c l i a ≥ b ≥ c thì sau khi ñánh giá b t ñ ng th c (a − b)(b − c)(c − a ) ≤ 0 ≤ −(a − b)(b − c)(c − a ) , công vi c còn l i ch là v n ñ tương t . Bài toán 6. Cho các s th c không âm a,b,c. Ch ng minh b t ñ ng th c a 3 + b3 + c 3 + 2( a 2b + b 2 c + c 2 a ) ≥ 3( ab 2 + bc 2 + ca 2 ) L i gi i. N u a ≥ b ≥ c thì 2(a 2b + b 2 c + c 2 a ) ≥ 2(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) và a 3 + b3 + c3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2 nên b t ñ ng th c hi n nhiên ñúng. N u c ≥ b ≥ a thì b t ñ ng th c ñư c vi t l i như sau (a + b)( a − b) 2 + (b + c )(a − b ) 2 + (c + a )(a − b ) 2 ≥ 5(a − b)(b − c )(c − a ) ⇔ (2a + b + c )(b − a ) 2 + (2c + a + b)(c − b) 2 ≥ (b − a )(c − b)(3c − 7 a ) ð t c = a + x + y, b = a + x . B t ñ ng th c ñư c vi t l i như sau x 2 (4a + 2 x + y ) + y 2 (4a + 3 x + 2 y ) ≥ xy ( −4a + 3 x + 3 y ) Lo i a ñi thì ta ch c n ch ng minh x 2 (2 x + y ) + y 2 (3 x + 2 y ) ≥ xy (3 x + 3 y ) ⇔ 2 x 3 + 2 y 3 ≥ 2 x 2 y B t ñ ng th c trên ñúng do 2 x3 + y 3 AM≥GM 2 x 2 y − Cũng như bài toán trên, ta có th làm ch t bài toán và thu ñư c: 3 a 3 + b3 + c 3 + 2(a 2b + b 2 c + c 2 a ) ≥ 3(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) + k (t − k )2 2 Bài toán 6. (VIF) cho các s th c dương a,b,c. Ch ng minh a 2 + b2 + c 2 3 2 ( a b + b c + c a ) − abc 5 2 2 2 + . ≥ ab + bc + ca 2 2 ( ab 2 + bc 2 +ca 2 ) − abc 2 L i gi i. 2(a 2b + b 2 c + c 2 a ) − abc N u a ≥ b ≥ c thì ≥ 1 , nên d dàng suy ra ñi u ph i ch ng minh 2( ab 2 + bc 2 + ca 2 ) − abc N u c ≥ b ≥ a thì b t ñ ng th c ñư c vi t l i như sau (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 6(a − b)(b − c)(c − a) ≥ ab + bc + ca 2 ( ab 2 + bc 2 +ca 2 ) − abc (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a) 2 2 (c − b) + (b − a) + (c − b)(b − a)  6(c − b)(b − a) 2 2 Mà =  ≥ ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 1 c−a Nên ta ch c n ch ng minh ≥ ab + bc + ca 2 ( ab 2 + bc 2 +ca 2 ) − abc Quy ñ ng và rút g n b t ñ ng th c trên thành c(b − a )(c − a ) + 2ca 2 + 3a 2b ≥ 0 Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.VNMATH.com
  9. www.VNMATH.com 10 VIF B t ñ ng th c trên hi n nhiên ñúng. V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c. Bài toán 7. Cho các s th c không âm a,b,c. Ch ng minh b t ñ ng th c a 3 + b3 + c 3 3 ≥ abc + | (a − b)(b − c )(c − a ) | 3 4 L i gi i. th t ra ta có th ch ng minh b t ñ ng th c m nh hơn là: a 3 + b3 + c 3 ≥ abc + | ( a − b)(b − c)(c − a ) | 3 Không m t tính t ng quát gi s c ≥ b ≥ a . B t ñ ng th c trên ñư c vi t l i như sau a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3abc + 3 | ( a − b)(b − c )(c − a ) | ⇔ (a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a) 2  ≥ 6 | (a − b)(b − c)(c − a) |   Áp d ng tiêu chu n 4, ta c n ph i ch ng minh 6(a + b + c) − 6(c − a) ≥ 0 ⇔ 12a + 6b ≥ 0 B t ñ ng th c trên hi n nhiên. V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c 1 3 3 +9 Th t ra h ng s t t nh t trong bài toán trên là , t c là ta có b t ñ ng th c 3 3 −1 a 3 + b3 + c 3 1 3 3 +9 ≥ abc + | (a − b)(b − c)(c − a ) | 3 3 3 −1 Nhưng ñ gi i quy t bài toán này thì c n ph i nh ñ n công c hàm s , nên không ti n nh c ñ n ñây. Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.VNMATH.com
  10. www.VNMATH.com 11 VIF tập VI/ Bài tập áp dụng. Qua các ví d trên ñã ph n nào nói lên ñi m m nh c a kĩ thu t này, và bây gi các b n th áp d ng phương pháp này ñ gi i quy t các bài toán: Bài toán 1. Cho các s th c không âm a,b,c sao cho a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Ch ng minh ab 2 + bc 2 + ca 2 ≤ 2 + abc Bài toán 2. Cho các s th c không âm a,b,c sao cho a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh 1 (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a ) ≤ 4 Bài toán 3. Cho các s th c không âm a,b,c. ch ng minh b t ñ ng th c a b c 3abc + + + ≥2 b + c c + a a + b 2 ( ab + bc 2 +ca 2 ) 2 Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.VNMATH.com
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2