Kỹ Thuật Phân Tích Bình Phương Hoán Vị - VIF

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

129
lượt xem 37
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Kỹ Thuật Phân Tích Bình Phương Hoán Vị - VIF " mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp học hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ Thuật Phân Tích Bình Phương Hoán Vị - VIF

1 VIF DIEN DAN BAT DANG THUC VIET NAM VietNam Inequality Mathematic Forum ▼▼▼▼▼ www.vnineqmath.tk Tác Gi Bài Vi t: Admin ♦♦♦ Bài vi t này (cùng v i file ñính kèm) ñư c t o ra vì m c ñính giáo d c. Không ñư c s d ng b n ebook này dư i b t kì m i m c ñính thương m i nào, tr khi ñư c s ñ ng ý c a tác gi . M i chi ti t xin liên h : www.vnineqmath.tk Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.vnineqmath.tk
2 VIF Lời I/ Lời nói đầu. B t ñ ng th c hoán v là nh ng bài toán r t ñ p b i s phát bi u ñơn gi n nh nhàng c a chúng. Tuy nhiên, vi c gi i chúng thì ngư c l i, vi c tìm m t l i gi i cho chúng vô cùng v t v và khó khăn. Và ñ i v i nh ng bài toán có 2 ñ ng th c tr lên thì m i vi c l i càng tr nên khó khăn hơn. Sau m t th i gian h c h i kinh nghi m và tìm tòi, tôi ñã tìm ñư c m t kĩ thu t ñ ñánh giá cho nh ng b t ñ ng th c hoán v ñơn gi n. Do ñ khó c a các bài toán nên ñôi khi m t s l i gi i có ñôi chút dài, nhưng bù l i là ta có th làm ch t cho m t s bài toán (ñây là m t ñi u b t ng mà kĩ thu t này mang l i). Cũng xin nói thêm r ng: b t ñ ng th c hi n ñ i r t phong phú v i r t nhi u bài t p. Tuy nhiên v i b t ñ ng th c hoán v vòng quanh thì khác, nó r t ít nên có th coi là nh ng bài toán hi m. Vi c t o ra m t b t ñ ng th c ñúng ñã là khó mà ñ b t ñ ng th c ñó hay thì càng khó hơn, nên ñ i v i b t ñ ng th c hoán v thì ñi u ñó l i càng khó th c hi n. Vì th kĩ thu t này ch là m t công c nh nhưng l i vô cùng h u ích ñ các b n có thêm m t hư ng gi i quy t các bài toán b t ñ ng th c hoán v vòng quanh ba bi n. M c dù bài vi t ñư c hoàn thành trong lúc tôi ñang c m tr i nên r t m t, nhưng tôi v n c g ng hoàn thành bài vi t này trong m t ngày tr ng ñ i 26-3-2009 (ðoàn thanh niên C ng s n H Chí Minh). Vì th tôi s r t hoan nghênh nh ng s ñóng góp, tìm tòi sáng t o thêm cho kĩ thu t này t phía các b n. M i th c m c – ñóng góp ý ki n xin vui long lien h theo ñ a ch : E-mail: vnineq@yahoo.com ho c YM: vnineq giả Tác giả VIF Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.vnineqmath.tk
3 VIF sở II/ Cơ sở của kĩ thuật. S th t b t ng n u tôi nói v i các b n r ng cơ s c a kĩ thu t này là phương pháp phân tích bình phương S.O.S: là ñưa b t ñ ng th c thu n nh t ba bi n a,b,c v d ng: S a (b − c ) 2 + S b ( c − a ) 2 + S c ( a − b ) 2 ≥ 0 ð i v i b t ñ ng th c ñ i x ng ba bi n thì vi c quy v d ng chính t c S.O.S như trên là ñơn gi n giúp ta d dàng gi i quy t bài toán. Tuy nhiên, ñ i v i b t ñ ng th c hoán v vòng quanh thì cách quy trên ñôi khi không thích h p và t o ra các h s S a ; Sb ; S c r t c ng k nh và khó x lí. Trong trư ng h p ñó có m t cách khác là quy v d ng: (Tôi t m g i nó là phân tích bình phương hoán v S.O.C) S a (b − c ) 2 + Sb (c − a ) 2 + Sc ( a − b) 2 ≥ S ( a − b)(b − c )(c − a ) Cách quy trên có gì l i?: - Th nh t: ñ i v i các d ng hoán v vòng quanh thì nó t nhiên và ñơn gi n hơn cách ñưa v S.O.S chính th ng. - Th hai: ñ i v i b t ñ ng th c hoán v thì ta ch c n xét m t trong 2 kh năng sau: + M t trong ba s là l n nh t (gi s là a = max{a,b,c} ), thì ta xét 2 trư ng h p có th x y ra là a ≥ b ≥ c và a ≥ c ≥ b . + M t trong ba gi a 2 s kia (gi s là b), thì ta xét 2 trư ng h p có th x y ra là a ≥ b ≥ c và c ≥ b ≥ a . Vì v y, n u v trái và S không âm thì ta ch xét trư ng h p c ≥ b ≥ a mà b qua trư ng h p a ≥ b ≥ c . Cu i cùng cũng xin lưu ý luôn là ñ i v i các bài toán sau ñây chúng ta cũng ch xét trư ng h p c ≥ b ≥ a (khi ñó (a − b)(b − c)(c − a ) ≥ 0 ⇒ a 2b + b 2c + c 2 a ≤ ab 2 + bc 2 + ca 2 ), còn v i trư ng h p a ≥ b ≥ c thì S (a − b)(b − c)(c − a) ≤ 0 , và ta ch ph i làm theo phương pháp truy n th ng S.O.S là ch ng minh b t ñ ng th c: S a (b − c ) 2 + S b ( c − a ) 2 + S c ( a − b ) 2 ≥ 0 Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.vnineqmath.tk
4 VIF III/ Phân tích cơ s . 1. ab 2 + bc 2 + ca 2 − a 2b − b 2c − c 2 a = (a − b)(b − c)(c − a ) 2. ab2 + bc2 + ca 2 − 3abc = 1 ( ab2 + bc 2 + ca 2 − a 2b − b2c − c 2 a + ab2 + bc2 + ca 2 + a 2b + b2c + c2 a − 6abc ) 2 = 1 2 ( (a − b)(b − c)(c − a) + a(b − c)2 + b(c − a)2 + c(a − b)2 ) a − b b − c c − a −(a − b)(b − c)(c − a ) 3. + + = a + b b + c c + a (a + b)(b + c)(c + a ) a b c 1  a +b+ a−b b+c +b−c c+ a+c −a  1  a −b b−c c −a  4. + + =  + +  = 3 + + + = a+b b+c c+a 2 a+b b+c c+a  2 a+b b+c c+a  1 (a − b)(b − c)(c − a)  = 3−  2  (a + b)(b + c)(c + a)  5. ab3 + bc 3 + ca 3 − a 3b − b3c − c3a = (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a ) Bên c nh các phân tích sơ s này còn r t nhi u cách phân tích khác mà các b n có th t tìm th y trong quá trình gi i toán. Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.vnineqmath.tk
5 VIF dựng IV/ Xây dựng định lí. Chúng ta s xây d ng ñ nh lí, ñưa ra các tiêu chu n t cách phân tích S a (b − c ) 2 + Sb (c − a ) 2 + Sc ( a − b) 2 ≥ S ( a − b)(b − c )(c − a ) Chú ý: ñây ta ch xét ñ n trư ng h p c ≥ b ≥ a Như th thì (a − b)(b − c ) ≥ 0 nên S a (b − c ) 2 + S b ( c − a ) 2 + S c ( a − b ) 2 = S a (b − c ) 2 + S b ( a − b + b − c ) 2 + S c ( a − b ) 2 = = ( Sb + Sc ) (a − b)2 + ( Sa + Sb ) (b − c)2 + 2Sb (a − b)(b − c) ≥ 2 ( Sa + Sb )( Sb + Sc ) (a − b)(b − c) + 2Sb (a − b)(b − c) AM −GM Do ñó b t ñ ng th c s ñư c ch ng minh n u ta ch ng minh ñư c 2 ( Sa + Sb )( Sb + Sc ) + 2Sb − S ≥ 0 Xây d ng tương t như trên b ng cách tách a − b = c − b − (c − a ) và b − c = b − a − (c − a ) , ta cũng ñư c thêm 2 ti u chu n n a. Ti p t c xây d ng: ta có Sb ( c − a ) 2 = Sb ( c − b + b − a ) 2 ≥ 4Sb (c − b)(b − a) AM −GM và S a (b − c )2 + S c (a − b) 2 ≥ 2 S a .S c .(b − a )(c − b) Do ñó b t ñ ng th c s ñư c ch ng minh n u ta ch ng minh ñư c 4 Sb + 2 S a .S c ≥ S (c − a ) Ngoài ra ta còn có Sa (b − c)2 + Sb (c − a)2 + Sc (a − b)2 ≥ 3 3 Sa Sb Sc (b − c)2 (c − a)2 (a − b)2 Nên b t ñ ng th c s ñư c ch ng minh n u ta ch ng minh ñư c 27 S a Sb S c ≥ S 3 (a − b)(b − c )(c − a ) H th ng các k t qu trên ta có các tiêu chu n sau: 1. Sa + Sb ≥ 0, Sb + Sc ≥ 0, 2 ( Sa + Sb )( Sb + Sc ) + 2Sb − S (c − a) ≥ 0 2. Sa + Sb ≥ 0, Sa + Sc ≥ 0, 2 ( Sa + Sb )( Sa + Sc ) − 2Sa − S (c − b) ≥ 0 3. Sc + Sa ≥ 0, Sc + Sb ≥ 0, 2 ( Sc + Sa )( Sc + Sb ) − 2Sc − S (b − a) ≥ 0 4. S a ≥ 0, S c ≥ 0, 2 S a .S c + 4 Sb − S (c − a ) ≥ 0 5. S a ≥ 0, Sb ≥ 0, S c ≥ 0, 2 Sb Sc − S (c − b) ≥ 0 6. S a ≥ 0, Sb ≥ 0, Sc ≥ 0, 2 S a Sb − S (b − a ) ≥ 0 7. S a ≥ 0, Sb ≥ 0, S c ≥ 0, 27 S a Sb Sc − S 3 (a − b)(b − c)(c − a ) ≥ 0 Các tiêu chu n trên r t ti n ñ x lí nh ng bài toán có các h s S a ; Sb ; S c c ng k nh (ñ c bi t là tiêu chu n 1 r t m nh). Tuy nhiên n u ta g p nh ng bài toán r t ch t ñ n n i không th áp d ng ñư c tiêu chí nào thì có m t cách khác là ñ t c = a + x + y và b = a + x ( x, y ≥ 0) . Cách làm này giúp ta có th lo i ñi a m t cách nhanh chóng nh cách phân tích trên (b i c − a = x + y; b − a = x ). Hơn n a ta l i còn có th làm ch t cho b t ñ ng th c nh các bi n còn th a l i. Các bài toán áp d ng sau ñ làm sáng t thêm cho ñi u này. Ngoài ra, ta còn có th chia nh nhi u trư ng h p n a trong c ≥ b ≥ a ñ d dàng gi i quy t bài toán. Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.vnineqmath.tk
6 VIF V/ Áp dụng vào giải toán. dụng Có l m i kĩ thu t cũng xu t phát t m t bài toán nào ñó. Và tôi cũng v y, tôi xin b t ñ u b ng m t bài toán kh i ñ u cho kĩ thu t này m t cách tình c : Bài toán 1. Cho các s th c không âm a,b,c. Ch ng minh b t ñ ng th c a 2b + b 2 c + c 2 a a + b + c + 3abc. 2 3 3 3 ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) ab + bc 2 + ca 2 L i gi i. N u a ≥ b ≥ c thì a 2b + b 2 c + c 2 a ≥ ab 2 + bc 2 +ca 2 , nên theo b t ñ ng th c Schur thì a 2b + b 2 c + c 2 a a 3 + b3 + c 3 + 3abc. ≥ a 3 + b3 + c3 + 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) ab 2 + bc 2 + ca 2 N u c ≥ b ≥ a thì b t ñ ng th c ñư c vi t l i như sau  a 2b + b 2 c + c 2 a  a 3 + b3 + c3 − 3abc + 3abc.  2 − 1 ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) − 6abc  ab + bc +ca 2 2  3abc(a − b)(b − c )(c − a ) (a + b + c ) ( ( a − b) 2 + (b − c ) 2 + (c − a ) 2 ) − 1 ⇔ ≥ a (b − c ) 2 + b(c − a ) 2 + c( a − b) 2 2 ab 2 + bc 2 +ca 2 1 1 1 3abc(a − b)(b − c)(c − a ) ⇔ (a + b − c)(a − b) 2 + (b + c − a )(b − c) 2 + (c + a − b)(c − a )2 ≥ 2 2 2 ab 2 + bc 2 + ca 2 3abc(c − a ) Theo tiêu chu n 1 thì ta ch c n ch ng minh 2 ac + c + a − b − 2 ≥0 ab + bc 2 +ca 2 Quy ñ ng, rút g n và nhóm các s h ng l i v i nhau ta ñư c b t ñ ng th c tương ñương là 2bc 2 ( ) ac − a + ab 2 (c − b) + bc 2 (c − b) + a 2c 2 + a 2b 2 + a 3c + 2ab2 ac + 2ca 2 ac + 2a 2bc ≥ 0 B t ñ ng th c trên ñúng do c ≥ b ≥ a V y ta có ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi ba bi n b ng nhua ho c m t trong 3 bi n b ng 0 và 2 bi n còn l i b ng nhau. Bài toán 2. (Nguy n Tr ng Th ) Ch ng minh r ng v i a,b,c>0 thì: a3 b3 c3 a+b+c + 2 2+ 2 ≥ 2a + b 2 2 2b + c 2c + a 2 3 L i gi i. ñ chô g n ta kí hi u ∑ là t ng cyclic (m i t ng g m 3 s h ng). B ng cách bi n ñ i tương ñương ta có a 3 − ab 2 ∑ 2a 2 + b2 ≥ 0 ⇔ ∑ (a3 − ab2 )(2b2 + c 2 )(2c 2 + a 2 ) ≥ 0 ⇔ 3∑ a 3b 2 c 2 + 2∑ a 3c 4 + 2∑ a 5b 2 + ∑ a 5c 2 ≥ 4∑ ab 4 c 2 + 2∑ ab 2 c 4 + 2∑ a 3b 4 ⇔ 2∑ ( a5b2 + a3b2c 2 − 2a 4b2c ) + ∑ ( a5c 2 + a3b2 c 2 − 2a 4bc 2 ) ≥ 2 ( ∑ a3b4 − a3c 4 ) ⇔ 2∑ a3b2 (a − c)2 + ∑ a3c 2 (a − b)2 ≥ 2(a − b)(b − c)(c − a) ( ∑ a 2b2 + ∑ a 2bc ) Bây gi gi s a = max{a,b,c} . N u c
7 VIF Xét 2 trư ng h p: Trư ng h p 1. Xét khi c − b ≤ a − c , ta có b 2 ( a − c ) 2 + a 3c 2 ( a − b) 2 ≥ 2a 3b 2 ( a − c )(c − b) + 4a 3c 2 ( a − c )(c − b) Vì a3b2 + 2a3c 2 ≥ a ( c 2 + bc + b2 ) nên suy rañi u ph i ch ng minh. 3 Trư ng h p 2. Xét khi c − b > a − c , tương t như trên ta có 2a 2 c 3 (c − b) 2 + a 3c 2 ( a − b) 2 ≥ 2a 2 c 3 ( a − c )(c − b) + 4a 3c 2 ( a − c )(c − b) Vì a 2c3 + 2a3c 2 − a3 ( c 2 + bc + b2 ) > a 2c 2b + a3bc − a3 ( bc + b2 ) = a3b(c − b) + a 2bc(c − a) ≥ 0 Nên ta cũng có ñi u ph i ch ng minh. V y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh xong. ð ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c. Bài toán 3. (VIF) Cho các s th c không âm a,b,c. Ch ng minh 4a 4b 4c ab 2 + bc 2 + ca 2 + abc + + + 2 ≥7 a + b b + c c + a a b + b 2 c + c 2 a + abc L i gi i. theo cách phân tích cơ s 4 thì b t ñ ng th c ñư c vi t l i thành  (a − b)(b − c)(c − a)   ab 2 + bc 2 +ca 2 + abc  23− + 2 − 1 ≥ 6  (a + b)(b + c)(c + a )   a b + b c + c a + abc  2 2 (a − b)(b − c)(c − a ) 2(a − b)(b − c)(c − a ) ⇔ 2 − ≥0 a b + b 2 c + c 2 a + abc (a + b)(b + c)(c + a ) (a − b)(b − c)(c − a ) (a + b)(b + c)(c + a ) − 2 ( a 2b + b 2 c + c 2 a + abc )    ≥0 ⇔ ( a b + b c + c a + abc ) (a + b)(b + c)(c + a) 2 2 2 [ (a − b)(b − c)(c − a)] 2 ⇔ ≥0 ( a b + b c + c a + abc ) (a + b)(b + c)(c + a) 2 2 2 B t ñ ng th c trên hi n nhiên ñúng. V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c. Bài toán 4. (UK TST 2005) cho các s th c dương a,b,c sao cho abc=1. Ch ng a+3 b+3 c+3 minh r ng: + + ≥3 (a + 1) (b + 1) (c + 1)2 2 2 y z x L i gi i (VIF). do abc=1 nên ñ t a = , b = , c = x y z B t ñ ng th c trên ñư c vi t l i như sau 3  x − y   y − z   z − x   2 2 3 x 2 + xy 3 y 2 + yz 3 z 2 + zx 2 + + ≥ 3 ⇔  + 1 +  + 1 +  + 1 + ( x + y) 2 ( y + z) 2 ( z + x) 2 4  x + y   y + z   z + x     1  ( x + y ) − ( x − y ) ( y + z ) − ( y − z )2 ( z + x)2 − ( z − x) 2  2 2 2 +  + +  ≥3⇔ 4 ( x + y)2 ( y + z )2 ( z + x)2  2 2  x− y  y−z   z−x  x − y y − z z − x  3( x − y )( y − z )( z − x) 2 ⇔  +  +  ≥ −3  + + =  x+ y  y+z  z+x  x + y y + z z + x  ( x + y )( y + z )( z + x) Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.vnineqmath.tk
8 VIF N u ( x − y)( y − z)( z − x) ≤ 0 thì bñt trên hi n nhiên ñúng. 2 2 2  x− y  y−z  z−x  ( x − y )( y − z )( z − x)  2 N u ( x − y)( y − z)( z − x) ≥ 0 thì   +  +  ≥ 33    x+ y  y+z  z+x AM − GM  ( x + y )( y + z )( z + x)  ( x − y )( y − z )( z − x) nên ta ch c n ch ng minh ≤ 1 ⇔ 2 ( x 2 y + y 2 z + z 2 x ) ≥ 0 (luôn ñúng). ( x + y )( y + z )( z + x) V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c=1. Có th nói hai bài toán trên không c n ph i s d ng ñ n m t tiêu chu n nào c . nhưng m t khác l i cho th y ñư c cái l i khi phân tích v S (a − b)(b − c)(c − a ) . Và bây gi chúng ta s th c hi n làm ch t m t s b t ñ ng th c b ng các bi n còn th a như ñã nói L i nói ñ u. Bài toán 5. Cho các s th c không âm a,b,c. Ch ng minh b t ñ ng th c 4( a + b + c )3 ≥ 27 ( ab 2 + bc 2 + ca 2 + abc ) L i gi i. N u a ≥ b ≥ c thì ab 2 + bc 2 +ca 2 + abc ≥ ab 2 + bc 2 +ca 2 + abc nên 27 ( ab 2 + bc 2 + ca 2 + abc ) ≤ ( ab2 + bc 2 +ca 2 + ab2 + bc 2 +ca 2 + abc ) 27 2 ( Do ñó ta ch c n ch ng minh 27 ab2 + bc 2 +ca 2 + ab2 + bc 2 +ca 2 + abc ≤ 8(a + b + c)3 ) ⇔ 8 ( a3 + b3 + c3 ) ≥ 3 ( ab2 + bc 2 +ca 2 + ab2 + bc 2 +ca 2 ) + 6abc B t ñ ng th c trên hi n nhiên ñúng theo b t ñ ng th c AM-GM N u c ≥ b ≥ a thì ta vi t b t ñ ng th c l i như sau: 4∑ a 3 + 12∑ a 2b − 15∑ ab 2 − 3abc ≥ 0 ⇔ 4 ( ∑ a 3 − 3abc ) −  ∑ (ab(a + b)) − 6abc  + ( ∑ a 2b − ∑ ab 2 ) ≥ 0 3 27 2   2 ⇔ 2(a + b + c)  ∑ (a − b) 2  − ∑ ( a (b − c) 2 ) ≥ 3 27   2 (c − b)(b − a )(c − a ) 2 ⇔ (4b + 4c + a )(b − c ) 2 + (4c + 4a + b)(c − a ) 2 + (4a + 4b + c )( a − b) 2 ≥ 27(c − b)(b − a )(c − a ) ⇔ (5a + 5b + 8c)(c − b) 2 + (8a + 5b + 5c)(b − a ) 2 + 2(4a + b + 4c)(c − b)(b − a) ≥ 27(c − b)(b − a )(c − a ) ð t c = a + x + y, b = a + x . B t ñ ng th c ñư c vi t l i như sau y 2 (18a + 8 y + 13 x ) + x 2 (18a + 5 y + 10 x ) + 2(9a + 5 x + 4 y ) xy ≥ 27 xy ( x + y ) Lo i a thì ta ch c n ch ng minh y 2 (8 y + 13 x ) + x 2 (5 y + 10 x ) + 2(5 x + 4 y ) xy ≥ 27 xy ( x + y ) ⇔ 5 x 3 + 4 y 3 ≥ 6 x 2 y + 3 xy 2 Ta có 2 ( x3 + x3 + y 3 ) AM≥GM 6 x 2 y; x3 + y 3 + y 3 AM≥GM 6 xy 2 − − Do ñó ta có ñi u ph i ch ng minh Bây gi như ñã nói ph n Xây d ng ñ nh lí, ta s làm ch t b t ñ ng th c nh các bi n còn th a: Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.vnineqmath.tk
9 VIF .18a ( x 2 + y 2 + xy ) ≥ 9a. .( x + y )2 = 1 3 27 a (c − a ) 2 2 AM −GM 4 2 Như v y là ta có b t ñ ng th c ch t hơn là: v i k = min{a, b, c} và t=max{a,b,c} thì 4(a + b + c)3 ≥ 27 ( ab 2 + bc 2 +ca 2 + abc ) + k (t − k )2 , 27 4 Các b n ñ ng lo cách làm ch t này ch ñúng trong m t trư ng h p mà ta ñang xét, b i trong trư ng h p ngư c l i a ≥ b ≥ c thì sau khi ñánh giá b t ñ ng th c (a − b)(b − c)(c − a ) ≤ 0 ≤ −(a − b)(b − c)(c − a ) , công vi c còn l i ch là v n ñ tương t . Bài toán 6. Cho các s th c không âm a,b,c. Ch ng minh b t ñ ng th c a 3 + b3 + c 3 + 2( a 2b + b 2 c + c 2 a ) ≥ 3( ab 2 + bc 2 + ca 2 ) L i gi i. N u a ≥ b ≥ c thì 2(a 2b + b 2 c + c 2 a ) ≥ 2(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) và a 3 + b3 + c3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2 nên b t ñ ng th c hi n nhiên ñúng. N u c ≥ b ≥ a thì b t ñ ng th c ñư c vi t l i như sau (a + b)( a − b) 2 + (b + c )( a − b) 2 + (c + a )( a − b) 2 ≥ 5( a − b)(b − c )(c − a ) ⇔ (2a + b + c )(b − a ) 2 + (2c + a + b)(c − b) 2 ≥ (b − a )(c − b)(3c − 7 a ) ð t c = a + x + y, b = a + x . B t ñ ng th c ñư c vi t l i như sau x 2 (4a + 2 x + y ) + y 2 (4a + 3 x + 2 y ) ≥ xy ( −4a + 3 x + 3 y ) Lo i a ñi thì ta ch c n ch ng minh x 2 (2 x + y ) + y 2 (3 x + 2 y ) ≥ xy (3 x + 3 y ) ⇔ 2 x 3 + 2 y 3 ≥ 2 x 2 y B t ñ ng th c trên ñúng do 2 x3 + y 3 AM≥GM 2 x 2 y − Cũng như bài toán trên, ta có th làm ch t bài toán và thu ñư c: 3 a 3 + b3 + c 3 + 2(a 2b + b 2 c + c 2 a ) ≥ 3(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) + k (t − k )2 2 Bài toán 6. (VIF) cho các s th c dương a,b,c. Ch ng minh a 2 + b2 + c 2 3 2 ( a b + b c + c a ) − abc 5 2 2 2 + . ≥ ab + bc + ca 2 2 ( ab 2 + bc 2 +ca 2 ) − abc 2 L i gi i. 2(a 2b + b 2 c + c 2 a ) − abc N u a ≥ b ≥ c thì ≥ 1 , nên d dàng suy ra ñi u ph i ch ng minh 2( ab 2 + bc 2 + ca 2 ) − abc N u c ≥ b ≥ a thì b t ñ ng th c ñư c vi t l i như sau (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 6(a − b)(b − c)(c − a) ≥ ab + bc + ca 2 ( ab 2 + bc 2 +ca 2 ) − abc (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a) 2 2 (c − b) + (b − a) + (c − b)(b − a)  6(c − b)(b − a) 2 2 Mà =  ≥ ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 1 c−a Nên ta ch c n ch ng minh ≥ ab + bc + ca 2 ( ab 2 + bc 2 +ca 2 ) − abc Quy ñ ng và rút g n b t ñ ng th c trên thành c(b − a )(c − a ) + 2ca 2 + 3a 2b ≥ 0 Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.vnineqmath.tk
10 VIF B t ñ ng th c trên hi n nhiên ñúng. V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c. Bài toán 7. Cho các s th c không âm a,b,c. Ch ng minh b t ñ ng th c a 3 + b3 + c 3 3 ≥ abc + | (a − b)(b − c)(c − a ) | 3 4 L i gi i. th t ra ta có th ch ng minh b t ñ ng th c m nh hơn là: a 3 + b3 + c 3 ≥ abc + | (a − b)(b − c)(c − a ) | 3 Không m t tính t ng quát gi s c ≥ b ≥ a . B t ñ ng th c trên ñư c vi t l i như sau a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3abc + 3 | ( a − b)(b − c )(c − a ) | ⇔ (a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  ≥ 6 | (a − b)(b − c)(c − a) |   Áp d ng tiêu chu n 4, ta c n ph i ch ng minh 6(a + b + c) − 6(c − a) ≥ 0 ⇔ 12a + 6b ≥ 0 B t ñ ng th c trên hi n nhiên. V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c 1 3 3 +9 Th t ra h ng s t t nh t trong bài toán trên là , t c là ta có b t ñ ng th c 3 3 −1 a 3 + b3 + c 3 1 3 3 +9 ≥ abc + | (a − b)(b − c)(c − a ) | 3 3 3 −1 Nhưng ñ gi i quy t bài toán này thì c n ph i nh ñ n công c hàm s , nên không ti n nh c ñ n ñây. Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.vnineqmath.tk
11 VIF tập VI/ Bài tập áp dụng. Qua các ví d trên ñã ph n nào nói lên ñi m m nh c a kĩ thu t này, và bây gi các b n th áp d ng phương pháp này ñ gi i quy t các bài toán: Bài toán 1. Cho các s th c không âm a,b,c sao cho a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Ch ng minh ab 2 + bc 2 + ca 2 ≤ 2 + abc Bài toán 2. Cho các s th c không âm a,b,c sao cho a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh 1 (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a ) ≤ 4 Bài toán 3. Cho các s th c không âm a,b,c. ch ng minh b t ñ ng th c a b c 3abc + + + ≥2 b + c c + a a + b 2 ( ab + bc 2 +ca 2 ) 2 Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.vnineqmath.tk
12 VIF Tài liệu tham khảo: • Sáng t o b t ñ ng th c Tác gi : Ph m Kim Hùng • B t ñ ng th c Tìm tòi và Sáng t o Tác gi : Võ Qu c Bá C n • Chuyên ñ toán h c: Phương pháp chia ñ tr Tác gi : Phan Thành Vi t Các tài li u t Internet: Di n ñàn www.mathlinks.ro Di n ñàn b t ñ ng th c www.vnineqmath.tk Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.vnineqmath.tk