Luận án tiến sĩ Kỹ thuật: Nghiên cứu xây dựng thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung cho một lớp đối tượng phi tuyến

Chia sẻ: Trần Văn Yan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:107

Thêm vào BST

Báo xấu

46
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án là đề xuất các thuật toán thiết kế bộ điều khiển dự báo phi tập trung, nhằm giảm khối lượng tính toán của bộ điều khiển, cũng như đảm bảo tính ổn định của hệ trong điều kiện có nhiễu tác động, cho hệ phi tuyến gồm các quá trình con có tương tác với nhau.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Kỹ thuật: Nghiên cứu xây dựng thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung cho một lớp đối tượng phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI PHẠM VĂN HÙNG NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG THUẬT TOÁN ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHI TẬP TRUNG CHO MỘT LỚP ĐỐI TƯỢNG PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA HÀ NỘI – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Phạm Văn Hùng NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG THUẬT TOÁN ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHI TẬP TRUNG CHO MỘT LỚP ĐỐI TƯỢNG PHI TUYẾN Ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa Mã số: 9520216 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HOÀNG MINH SƠN HÀ NỘI – 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận án là trung thực, khách quan và chưa từng được tác giả khác công bố. Hà Nội, Ngày 13 tháng 04 năm 2018 Người hướng dẫn khoa học Tác giả luận án PGS. TS Hoàng Minh Sơn Phạm Văn Hùng
MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC TỪ VIẾT TẮT i DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU VÀ HÌNH VẼ ii MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHI TẬP TRUNG 5 1.1 Điều khiển dự báo dựa trên mô hình trạng thái 5 1.1.1 Bài toán điều khiển dự báo tuyến tính và phi tuyến 5 1.1.2 Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo 7 1.2 Tổng quan về thuật toán và tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phi tập trung 14 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 21 CHƯƠNG 2: ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHI TẬP TRUNG DỰA TRÊN MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH 23 2.1 Bộ điều khiển dự báo phi tập trung dựa trên mô hình tuyến tính 23 2.2 Điều khiển phi tập trung dựa trên mô hình tuyến tính hệ phản ứng/tách và hệ nồi hơi-tuabin 34 2.2.1 Điều khiển dự báo phi tập trung hệ phản ứng/tách 34 2.2.2 Điều khiển dự báo phi tập trung dựa trên mô hình tuyến tính hệ nồi hơi- tuabin 40 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 46 CHƯƠNG 3: ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHI TẬP TRUNG HỆ PHI TUYẾN 47 3.1 Điều khiển dự báo phi tập trung sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn 47 3.1.1 Mô hình trạng thái tuyến tính hóa từng đoạn LTI 49 3.1.2 Thiết kế bộ điều khiển 50 3.1.3 Thuật toán điều khiển 52 3.1.4 Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phi tập trung hệ phi tuyến 55 3.1.5 Điều khiển ổn định hệ nồi hơi – tuabin 56 3.1.6 Thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám 62 3.2 Điều khiển dự báo phi tập trung dựa trên mô hình phi tuyến giả LPV 78
3.2.1 Mô hình nội suy đầu ra LPV 79 3.2.2 Thiết kế bộ điều khiển 81 3.2.3 Điều khiển phi tập trung hệ nồi hơi-tuabin dựa trên mô hình LPV 83 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 88 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 90 Kết luận 90 Kiến nghị 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 98
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC TỪ VIẾT TẮT Danh mục các ký hiệu xk Độ lớn của vector xk xk Chuẩn vô cùng của vector xk col ( x1, x 2 ,..., xn ) Vector cột có các phần tử là các vector x1, x 2,..., xn Ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo chính là diag (A1, A2 ,..., An ) các ma trận vuông cùng kích cỡ A1, A2,..., An 0m´n Ma trận không m hàng, n cột In Ma trận đơn vị cỡ n (n hàng, n cột) (.) T Chuyển vị của ( .) ¶f Đạo hàm Jacobi của f theo x ¶x hof Hàm hợp của h và f , tức là h ( f (.) ) Lớp các hàm thực a : ¡ ³0 ® ¡ ³0 liên tục và đơn điệu tăng K và a ( 0 ) = 0 K∞ Lớp các hàm thực a (t ) Î K và không bị chặn Lớp các hàm thực d : ¡ ³0 ® ¡ ³0 đơn điệu giảm và L lim d (t ) = 0 t ®¥ Lớp các hàm thực liên tục b (r , s) : ¡ ³0 ´ ¡ ³0 ® ¡ ³0 với KL b (,× s) Î K và b (r , ×) Î L Danh mục các từ viết tắt DMPC Decentralized model predictive control ISS Input-to-state stability LMI Linear matrix inequality LTI Linear time-invariant LPV Linear parameter-varying MPC Model predictive control NMPC Nonlinear model predictive control i
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU VÀ HÌNH VẼ Danh mục bảng biểu Bảng 2-1 Các biến quá trình của hệ phản ứng/tách ....................................... 35 Bảng 2-2 Bảng thông số vận hành hệ phản ứng/tách [71] ............................... 36 Bảng 2-3 Điểm làm việc của hệ thống nồi hơi-tuabin [4] ................................ 41 Bảng 3-1 So sánh một số chỉ tiêu kỹ thuật sử thuật toán DMPCd và DLMPC điều khiển hệ nồi hơi - tuabin ............................................................................... 60 Bảng 3-2 So sánh một số chỉ tiêu kỹ thuật sử thuật toán DMPC2d, DMPCd và DLMPC điều khiển hệ nồi hơi - tuabin ........................................................... 67 Bảng 3-3 So sánh một số chỉ tiêu kỹ thuật sử thuật toán DMPC2d, DMPCd, DLMPC và MPC_LTI điều khiển hệ nồi hơi - tuabin ...................................... 73 Bảng 3-4 So sánh một số chỉ tiêu kỹ thuật sử thuật toán DMPC2d, DMPCd, DLMPC, MPC_LTI và NMPC điều khiển hệ nồi hơi – tuabin ......................... 78 Bảng 3-5 So sánh một số chỉ tiêu kỹ thuật sử thuật toán DMPC_LTI và DMPC- LPV điều khiển hệ nồi hơi - tuabin ................................................................ 88 Danh mục hình vẽ Hnh 1-1 Minh họa MPC ở thời điểm tk ......................................................... 7 Hnh 1-2 Minh họa cấu trúc điều khiển phi tập trung với các bộ điều khiển cục bộ độc lập........................................................................................................ 15 Hnh 1-3 Minh họa cấu trúc điều khiển phi tập trung với các bộ điều khiển cục bộ có trao đổi thông tin với nhau ....................................................................... 16 Hnh 1-4 Minh họa cấu trúc DMPC gồm 2 bộ điều khiển dự báo cục bộ thực hiện tính toán tối ưu tuần tự sử dụng thông tin từ các bộ điều khiển dự báo khác [13] 19 Hnh 1-5 Minh họa cấu trúc DMPC gồm 2 bộ điều khiển dự báo cục bộ thực hiện tính toán tối ưu song song sử dụng thông tin từ các bộ điều khiển dự báo khác [13] .................................................................................................................. 20 Hnh 2-1 Minh họa các tương tác giữa quá trình i = 1,2,..., M và quá trình j ¹ i trong hệ điều khiển dự báo phi tập trung dựa trên mô hình tuyến tính ............... 23 Hnh 2-2 Một quá trình phản ứng/tách tiêu biểu [70] ..................................... 34 Hnh 2-3 Đáp ứng hệ thống phản ứng/tách khi nhiễu thay đổi ......................... 38 Hnh 2-4 Đáp ứng hệ phản ứng/tách khi thay đổi giá trị ràng buộc.................. 39 Hnh 2-5 Đáp ứng hệ phản ứng/tách khi thay đổi trọng số hàm mục tiêu ......... 39 Hnh 2-6 Sơ đồ minh họa hệ nồi hơi-tuabin [5]. ............................................. 40 Hnh 2-7 Các biến vào/ra của mô hình nồi hơi-tuabin [6]............................... 41 Hnh 2-8 Đáp ứng hệ thống nồi hơi với thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung dự trên mô hình tuyến tính tại điểm làm việc 90% .......................................... 44 ii
Hnh 2-9 Đáp ứng hệ thống tuabin với thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung dựa trên mô hình tuyến tính tại điểm làm việc 90% ......................................... 44 Hnh 2-10 Tín hiệu điều khiển hệ nồi hơi – tuabin với thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung dựa trên mô hình tuyến tính tại điểm làm việc 90% ............... 45 Hnh 3-1 Minh họa các tương tác giữa quá trình i = 1,2,..., M và quá trình j ¹ i trong hệ phi tuyến sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn ................... 47 Hnh 3-2 Đáp ứng đầu ra hệ nồi hơi với thuật toán DMPCd sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn có dự báo nhiễu ...................................................... 58 Hnh 3-3 Đáp ứng đầu ra hệ tuabin với thuật toán DMPCd sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn có dự báo nhiễu ...................................................... 58 Hnh 3-4 Tín hiệu điều khiển hệ nồi hơi và tuabin với thuật toán DMPCd sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn có dự báo nhiễu ................................... 59 Hnh 3-5 So sánh đáp ứng đầu ra hệ nồi hơi-tuabin với thuật toán DMPCd sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn có dự báo nhiễu và thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung dựa trên mô hình tuyến tính (DLMPC) ................................ 59 Hnh 3-6 Đáp ứng đầu ra hệ nồi hơi với thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn khi có nhiễu đầu ra (OD: đường chấm gạch) bằng 5% giá trị đặt ......................................................................................................... 61 Hnh 3-7 Đáp ứng đầu ra hệ tuabin với thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn khi có nhiễu đầu ra bằng 5% giá trị đặt ..................... 61 Hnh 3-8 Minh họa tư tưởng xây dựng mô hình dự báo chứa thành phần tích phân .................................................................................................................. 63 Hnh 3-9 Đáp ứng đầu ra hệ nồi hơi với thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám..................................................... 66 Hnh 3-10 Đáp ứng đầu ra hệ tuabin với thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám..................................................... 66 Hnh 3-11 Tín hiệu điều khiển hệ nồi hơi và tuabin với thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám ................................. 67 Hnh 3-12 Đáp ứng đầu ra hệ nồi hơi với thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám khi nhiễu đầu ra bằng 5% giá trị đặt 68 Hnh 3-13 Đáp ứng đầu ra hệ tuabin với thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám khi nhiễu đầu ra bằng 5% giá trị đặt 68 Hnh 3-14 Tín hiệu điều khiển hệ nồi hơi và tuabin với thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám khi có nhiễu đầu ra bằng 5% giá trị đặt .............................................................................................. 69 Hnh 3-15 Đáp ứng đầu ra hệ nồi hơi với huật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám khi nhiễu đầu ra bằng 20% giá trị đặt .................................................................................................................. 69 Hnh 3-16 Đáp ứng đầu ra hệ tuabin với thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám khi có nhiễu đầu ra bằng 20% giá trị đặt .................................................................................................................. 70 iii
Hnh 3-17 Tín hiệu điều khiển hệ nồi hơi và tuabin với thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám khi có nhiễu đầu ra bằng 20% giá trị đặt ............................................................................................ 70 Hnh 3-18 Đáp ứng đầu ra hệ nồi hơi sử dụng thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám khi có nhiễu đầu ra biến đổi chậm .................................................................................................................. 71 Hnh 3-19 Đáp ứng đầu ra hệ tuabin với thuật toán DMPC sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn cho bài toán bám khi có nhiễu đầu ra biến đổi chậm ... 71 Hnh 3-20 So sánh đáp ứng đầu ra nồi hơi theo thuật toán điều khiển phi tập trung sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn có dự báo nhiễu, không dự báo nhiễu và thuật toán điều khiển tập trung LTI .......................................................... 72 Hnh 3-21 So sánh đáp ứng đầu ra tuabin theo thuật toán điều khiển phi tập trung sử dụng mô hình LTI tuyến tính hóa từng đoạn có dự báo nhiễu, không dự báo nhiễu và thuật toán điều khiển tập trung LTI .......................................................... 73 Hnh 3-22 Đáp ứng hệ thống nồi hơi – tuabin với bộ điều khiển dự báo tập trung hệ phi tuyến khi Pf = 2Q ............................................................................. 76 Hnh 3-23 Đáp ứng hệ thống nồi hơi – tuabin với bộ điều khiển dự báo tập trung hệ phi tuyến khi Pf = 20Q ............................................................................ 77 Hnh 3-24 Đáp ứng hệ thống nồi hơi – tuabin với bộ điều khiển dự báo tập trung hệ phi tuyến khi Pf = 50Q ............................................................................ 77 Hnh 3-25 Minh họa các tương tác giữa quá trình i = 1,2,..., M và quá trình l ¹ i trong hệ điều khiển dự báo phi tập trung hệ phi tuyến dựa trên mô hình LPV .... 80 Hnh 3-26 Đáp ứng đầu ra của nồi hơi với thuật toán điều khiển phi tập trung dựa trên mô hình LPV ....................................................................................... 85 Hnh 3-27 Đáp ứng đầu ra của tuabin với thuật toán điều khiển phi tập trung dựa trên mô hình LPV ....................................................................................... 85 Hnh 3-28 Tín hiệu điều khiển của nồi hơi và tuabin với thuật toán điều khiển phi tập trung dựa trên mô hình LPV ................................................................... 86 Hnh 3-29 So sánh đáp ứng đầu ra của nồi hơi sử dụng bộ điều khiển phi tập trung dựa trên mô hình LPV (DMPC-LPV: đường gạch đứt) và dựa trên mô hình tuyến tính LTI (DMPC-LTI: đường nét liền) ........................................................... 86 Hnh 3-30 So sánh đáp ứng đầu ra của tuabin sử dụng bộ điều khiển phi tập trung dựa trên mô hình LPV và dựa trên mô hình tuyến tính LTI ............................. 87 Hnh 3-31 Tín hiệu điều khiển hệ nồi hơi và tuabin sử dụng bộ điều khiển phi tập trung dựa trên mô hình LPV và dựa trên mô hình tuyến tính LTI .................... 87 iv
MỞ ĐẦU Tính cấp thiết của đề tài Điều khiển dự báo với khả năng điều khiển các hệ thống nhiều vào/nhiều ra, có động học từ đơn giản đến phức tạp trong điều kiện ràng buộc về tín hiệu điều khiển và ràng buộc đầu ra, cho đến nay đã có nhiều công trình nghiên cứu trên nhiều phương diện cũng như có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực công nghiệp [7, 21, 25, 47, 48, 52]. Tuy nhiên, khi số lượng các biến vào/ra tăng lên, kéo theo những khó khăn trong giải bài toán tối ưu và ảnh hưởng tới tính năng thời gian thực của hệ thống bởi khối lượng tính toán tăng theo cấp số mũ, vấn đề điều khiển tin cậy và bền vững, cũng như giới hạn về truyền thông [13, 22, 31, 35, 55, 56, 64]. Điều khiển dự báo phi tập trung (decentralized model predictive control, DMPC) hứa hẹn khắc phục được hạn chế trên của điều khiển dự báo tập trung cho các quá trình lớn. Đặc biệt với các quá trình mà bản thân cấu trúc của nó gồm các quá trình con có nhiễu và có tương tác với nhau dưới dạng tương tác trạng thái hay tương tác vào/ra, thì điều khiển dự báo phi tập trung sẽ giúp giảm sự phức tạp, mức độ tương tác giữa các hệ con bởi nhiễu và trễ của các quá trình con có thể xử lý riêng mà không ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình con khác, từ đó giúp giảm chi phí thiết kế và đưa vào vận hành. Hệ điều khiển dự báo phi tập trung gồm nhiều bộ điều khiển dự báo cục bộ được thiết kế để điều khiển các quá trình con của hệ. Các bộ điều khiển dự báo cục bộ này có thể điều khiển độc lập hoặc có sự trao đổi thông tin với nhau để điều khiển hệ thống. Trong đó, hệ điều khiển dự báo phi tập trung gồm các bộ điều khiển cục bộ độc lập thường được thiết kế với giả thiết tương tác giữa các quá trình con là yếu, đồng thời coi các tương tác này là nhiễu có thể bù được và đảm bảo tính ổn định của hệ sử dụng các kết quả về ổn định của điều khiển dự báo tập trung [3, 9, 39, 46, 49, 63]. Tuy nhiên, chất lượng của hệ điều khiển dự báo phi tập trung mà giữa các bộ điều khiển không có sự trao đổi thông tin với nhau nhiều khi bị hạn chế bởi thiếu các thông tin hữu ích về tương tác giữa các quá trình con [14]. Cho đến nay đã có nhiều nghiên cứu về hệ điều khiển dự báo phi tập trung gồm các bộ điều khiển dự báo có trao đổi thông tin với nhau [8, 22, 29, 31, 35, 55, 56, 65, 69] nhưng chủ yếu tập trung vào phát triển thuật toán dựa trên mô hình tuyến tính. Vấn đề điều khiển dự báo phi tập trung hệ phi tuyến xét đến ảnh hưởng của nhiễu, cũng như phát triển các thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung cho các hệ thống gồm nhiều hệ con có tương tác với nhau, nhằm giảm khối lượng tính toán và đảm 1
bảo tính ổn định của toàn hệ đòi hỏi những nghiên cứu bổ sung. Đây là những động lực chính cho việc lựa chọn đề tài nghiêu cứu của tác giả. Mục tiêu của luận án Mục tiêu của luận án là đề xuất các thuật toán thiết kế bộ điều khiển dự báo phi tập trung, nhằm giảm khối lượng tính toán của bộ điều khiển, cũng như đảm bảo tính ổn định của hệ trong điều kiện có nhiễu tác động, cho hệ phi tuyến gồm các quá trình con có tương tác với nhau. Để thực hiện được mục tiêu này, luận án phải giải quyết được các vấn đề chính sau: · Đưa ra thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung dựa trên mô hình tuyến tính có nhiễu, đồng thời đảm bảo tính ổn định của các hệ con và toàn hệ để làm tiền đề cho nghiên cứu và phát triển thuật toán điều khiển phi tập trung hệ phi tuyến. · Đưa ra thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung hệ phi tuyến, nhằm giảm khối tính toán của bộ điều khiển, cho hệ thống gồm nhiều quá trình con có tương tác, cũng như sử dụng các kết quả về ổn định của điều khiển dự báo tập trung để đảm bảo ổn định của hệ điều khiển dự báo phi tập trung phi tuyến. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án Đối tượng nghiên cứu chung của luận án là thiết kế bộ điều khiển dự báo phi tập cho các hệ thống phi tuyến gồm nhiều quá trình con có tương tác với nhau và được mô tả bởi mô hình không liên tục có nhiễu trong không gian trạng thái. Nhiễu của các quá trình con được giả thiết là bị chặn gồm nhiễu riêng của quá trình con đó, nhiễu này có thể đo được hoặc là nhiễu bất định do sai lệch mô hình và nhiễu đo được do các tương tác từ các hệ con khác gây ra. Ngoài tương tác giữa các hệ con ở dạng tương tác trạng thái và tương tác đầu vào thì ở đây luận án còn đề cập tới cả trường hợp tương tác giữa các hệ con ở dạng tương tác đầu ra (như các quá trình nối tiếp và hồi tiếp). Hệ điều khiển dự báo phi tập trung phi tuyến bao gồm nhiều bộ điều khiển dự báo cho các quá trình con, với thuật toán điều khiển có thể được cài đặt trên cùng một máy tính hay trên nhiều máy tính khác nhau. Các bộ điều khiển cục bộ này có thể không trao đổi thông tin hoặc có trao đổi thông tin với nhau để dự báo nhiễu do tương tác từ các hệ con khác, nhưng không xét tới các vấn đề liên quan đến truyền thông giữa các bộ điều khiển cục bộ như cấu trúc mạng hay trễ truyền thông. 2
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Ngày nay với sự phát triển của công nghiệp, quy mô các hệ thống ngày càng lớn (ví dụ như các quá trình hóa học, hệ thống phân phối điện năng, hệ thống điều khiển nhiệt độ toà nhà, hệ thống giao thông đa phương tiện), liên kết hay tương tác giữa các hệ thống ngày càng phức tạp gây ra những khó khăn trong việc đảm bảo chất lượng điều khiển và đảm bảo ổn định của hệ thống. Hơn nữa, các quá trình trong thực tế hầu hết đều mang đặc tính phi tuyến, do vậy thiết kế bộ điều khiển dự báo phi tập trung phi tuyến cho các quá trình này đồng thời duy trì ổn định của cả hệ thống là một vấn đề cấp bách. Điều khiển dự báo dựa trên mô hình tuyến tính cục bộ chỉ có thể đảm bảo ổn định hệ thống xung quanh điểm làm việc chứ không phải toàn miền làm việc của hệ thống và thường chỉ áp dụng với các hệ thống mà động học của nó không phi tuyến quá mạnh và không thường xuyên thay đổi điểm làm việc. Giải quyết được vấn đề điều khiển dự báo phi tập trung hệ phi tuyến trên, ta không những có thể đảm bảo được tính ổn định và chất lượng điều khiển của hệ thống mà còn giảm được khối lượng tính toán cho các bộ điều khiển, cũng như đảm bảo tính năng thời gian thực của hệ thống qua đó tăng tính khả thi khi áp dụng phương pháp này trong công nghiệp. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được các mục tiêu đề ra, phương pháp nghiên cứu của luận án đặt ra như sau: · Phân tích các tài liệu khoa học, các công trình nghiên cứu mới nhất về điều khiển dự báo phi tập trung cũng như tính ổn định của hệ thống điều khiển phi tập trung dựa trên mô hình tuyến tính và phi tuyến để đánh giá ưu nhược điểm của từng phương pháp. Trên cơ sở đó, định hướng phương pháp thiết kế bộ điều khiển và phương pháp đánh giá tính ổn định thích hợp với đối tượng nghiên cứu. · Nghiên cứu và xây dựng các thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung cho một lớp hệ phi tuyến, gồm nhiều quá trình con có tương tác với nhau được mô tả bởi mô hình không liên tục có nhiễu trong không gian trạng thái, nhằm giảm khối lượng tính toán và đảm bảo tính ổn định của các hệ con và toàn hệ thống. Đồng thời áp dụng kiểm chứng các kết quả thông qua mô phỏng trên phần mềm Matlab. 3
Bố cục của luận án Luận án được trình bày trong 3 chương với nội dung chính được tóm tắt như sau: Chương 1 (Tổng quan về hệ điều khiển dự báo phi tập trung): Phân tích các kết quả hiện có về thuật toán và tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phi tập trung trên cơ sở tính ổn định của hệ điều khiển dự báo tập trung. Chương 2 (Điều khiển dự báo phi tập trung dựa trên mô hình tuyến tính): Xây dựng thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung cho hệ gồm nhiều quá trình con, được mô tả dưới dạng mô hình trạng thái tuyến tính không liên tục, có tương tác trạng thái hoặc tương tác đầu vào với nhau, có xét đến ảnh hưởng của nhiễu và tương tác đầu ra. Sử dụng các kết quả đảm bảo tính ổn định của hệ điều khiển dự báo ở chương 1 để đảm bảo tính ổn định ISS của các hệ con và toàn hệ thống. Ngoài ra, bộ điều khiển dự báo có sử dụng thông tin dự báo từ các bộ điều khiển khác để dự báo nhiễu và cải thiện chất lượng điều khiển, áp dụng vào điều khiển dự báo phi tập trung dựa trên mô hình tuyến tính quá trình phản ứng/tách và hệ nồi hơi - tuabin. Chương 3 (Điều khiển dự báo phi tập trung hệ phi tuyến): Xây dựng thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung cho hệ gồm nhiều hệ con tương tác giống như chương 2 nhưng được mô tả dưới dạng mô hình phi tuyến. Mô hình dự báo được sử dụng ở đây là mô hình tuyến tính dừng (linear timer-invariant, LTI) tuyến tính hóa từng đoạn và mô hình phi tuyến giả LPV (Linear parameter-varying). Mục đích của việc chuyển mô hình dự báo phi tuyến về dạng tuyến tính trong từng chu kỳ trích mẫu và dạng giả LPV, là để giảm khối lượng tính toán online cho các bộ điều khiển và sử dụng được các kết quả hiện có trong việc thiết kế bộ điều khiển và đảm bảo tính ổn định của lý thuyết điều khiển dự báo tuyến tính, mà vẫn xem xét tới các yếu tố phi tuyến của mô hình. Ngoài ra, tính ổn định ISS của các bộ điều khiển cục bộ và toàn hệ thống cũng được xem xét và chứng minh. Kết luận và kiến nghị: trình bày các kết quả đạt được, đóng góp chính của luận án và hướng phát triển của luận án. 4
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHI TẬP TRUNG Chương này trình bày tổng quan về hệ điều khiển dự báo với cấu trúc điều khiển phi tập trung. Hệ điều khiển dự báo phi tập trung ở đây bao gồm nhiều bộ điều khiển dự báo cục bộ, các bộ điều khiển cục bộ này có thể điều khiển độc lập hoặc có trao đổi thông tin với nhau để điều khiển hệ thống. Ngoài ra, vấn đề ổn định của hệ điều khiển dự báo tập trung cũng được đề cập để làm tiền đề cho nghiên cứu và phát triển thuật toán điều khiển dự báo phi tập trung đảm bảo tính ổn định ISS của hệ gồm nhiều hệ con có tương tác với nhau ở các chương tiếp theo. 1.1 Điều khiển dự báo dựa trên mô hình trạng thái 1.1.1 Bài toán điều khiển dự báo tuyến tính và phi tuyến Điều khiển dự báo trên cơ sở cấu trúc điều khiển tập trung được nghiên cứu và áp dụng trong lĩnh vực điều khiển quá trình từ cuối những năm 1970, đầu tiên phải kể đến những đóng góp của Richalet, Rault, Testud và Papon [54] và Cutler và Ramaker [15]. Với khả năng giải quyết các bài toán nhiều vào/ nhiều ra, có ràng buộc và có động học phức tạp (tương tác mạnh, có trễ ...), cho đến nay đã có rất nhiều công trình được công bố và được ứng dụng thành công trong các lĩnh công nghiệp [7, 21, 25, 47, 48, 52]. Ý tưởng cơ bản của điều khiển dự báo là sử dụng một mô hình quá trình để dự báo quỹ đạo trạng thái hay đầu ra của hệ trong tương lai và tối ưu hóa hàm mục tiêu để tìm tín hiệu điều khiển hệ thống, với hai bài toán cơ bản là điều khiển ổn định và bài toán điều khiển bám. Trong thực tế, hầu hết các quá trình là phi tuyến và để điều khiển dự báo các hệ phi tuyến này ta có thể sử dụng mô hình phi tuyến dưới dạng mạng neural, hệ mờ, mô hình trạng thái hoặc mô hình tuyến tính dưới dạng mô hình đáp ứng xung, đáp ứng bậc thang, mô hình đa thức, mô hình trạng thái. Để thuận lợi cho việc mô tả hệ dưới cả dạng mô hình tuyến tính và phi tuyến, cũng như phát triển thuật toán cho hệ nhiều vào/nhiều ra và phân tích tính ổn định của hệ khi sử dụng bộ điều khiển dự báo, trong phần này mô hình được luận án sử dụng để nghiên cứu là mô hình tuyến tính và phi tuyến dừng không liên tục trong miền không gian trạng thái có dạng sau: ìx k +1 = Ax k + Buk í (1.1) î yk = Cx k + Duk và ìxk +1 = f (xk , uk ) í (1.2) î yk = g(xk , uk ) 5
Trong đó xk là vector biến trạng thái, uk là vector biến điều khiển thỏa mãn các điều kiện ràng buộc: xk Î X Ì ¡n , uk ÎU Ì ¡m và y k Î ¡ q là đầu ra, x k +1 là trạng thái kế tiếp của thời điểm hiện tại ứng với ( x k , uk ) và A Î ¡ n´n , B Î ¡ n´p ,C Î ¡q ´n , D Î ¡q ´p là các ma trận trạng thái, còn f : X ´ U ® X , g : X ´ U ® ¡q là hàm liên tục thỏa mãn f ( 0, 0 ) = 0 . Xuất phát từ trạng thái hiện tại xk và dãy tín hiệu điều khiển uk , uk +1,..., uk +N -1 với tầm dự báo N ³ 2 dựa trên mô hình (1.1) và (1.2) ta có thể xây dựng quỹ đạo trạng thái dự báo xk +1, xk +2 ,..., xk +N và đầu ra dự báo yk , yk +1,..., yk +N -1 . Bằng phương pháp này ta có được dự báo cho trạng thái của hệ x k + j và đầu ra y k + j tại thời điểm tk + j trong tương lai ( j = 1,2,..., N ). Tuy nhiên quỹ đạo trạng thái dự báo thu được này phụ thuộc vào việc chọn dãy tín hiệu điều khiển uk , uk +1,..., uk +N -1 . Bài toán đặt ra ở đây là sử dụng điều khiển tối ưu để xây dựng dãy uk , uk +1,..., uk +N -1 sao cho dãy xk +1, xk +2 ,..., xk +N tiến tới 0 đối với bài toán điều khiển ổn định và dãy yk , yk +1,..., yk +N -1 tiến tới giá trị đặt r với bài toán điều khiển bám. Để thực hiện điều này thông thường có thể sử dụng một trong các hàm mục tiêu sau: N -1 J (xk , uk ) := å l(x k =0 k+j , uk + j ) + Vf ( xk +N ) ® min (1.3) N -1 å (r - y ) Q (r - yk + j ) + uTk + j RukT+ j ® min T J (xk , uk ) := k+j (1.4) k =0 N -1 å (r - y ) Q (r - yk + j ) + DuTk + j RDuTk + j ® min T J (xk , uk ) := k +j (1.5) k =0 thông thường hàm chi phí l(xk , uk ) và hàm phạt Vf (x k ) có dạng toàn phương sau: l(xk ,uk ) = ( xk ) Qxk + (uk ) Ruk và Vf (xk ) = ( xk ) Pf xk T T T trong đó Q, R, Pf là các ma trận đối xứng xác định dương. Bài toán tối ưu (1.3) với hàm mục tiêu dạng hàm phạt trạng thái cuối thường được sử dụng cho bài toán điều khiển ổn định, còn bài toán tối ưu (1.4) - (1.5) với hàm mục tiêu dạng toàn phương của sai lệch điều khiển và của tín hiệu điều khiển, thường được sử dụng cho bài toán điều khiển bám. Giả sử các bài toán tối ưu hàm mục tiêu trên có lời giải và giải tối ưu thu được dãy tín hiệu tối ưu uk*, uk*+1,..., uk*+N -1 thì ta có thể sử dụng phần tử đầu tiên của dãy tín hiệu điều khiển tối ưu MPC (xk ) := uk* để điều khiển hệ thống. Ở các thời điểm tk +1,tk +2 ... tiếp theo, ta sẽ lặp lại quá trình trên với các giá trị phản hồi trạng thái xk +1, xk +2 .. mới để thu được tín hiệu điều khiển mong muốn. Nói cách khác, giá trị điều khiển thu được bằng cách tối ưu hóa online theo nguyên lý lặp như minh họa ở Hnh 1-1. Điều khiển dự báo dựa trên mô hình tuyến tính (1.1), có ưu điểm là trạng thái x k + j và đầu ra y k + j của hệ tại thời điểm tk + j có thể biểu diễn một cách tường 6
minh qua giá trị trạng thái xk hiện tại và dãy tín hiệu điều khiển uk , uk +1,..., uk +N -1 Do vậy bài toán tối ưu (1.3), (1.4) và (1.5) hoàn toàn có thể giải bằng thuật toán QP (Quadratic Programming), nhờ đó khối lượng và thời gian tính toán có thể giảm đi khi so sánh với trường hợp điều khiển dự báo dựa trên mô hình phi tuyến (1.2). Ngoài ra, việc áp dụng điều khiển dự báo tuyến tính cũng rất thuận lợi bởi cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về thuật toán và tính ổn định của hệ điều khiển dự báo. Tuy nhiên, điều khiển dự báo dựa trên mô hình tuyến tính chỉ giúp hệ đảm bảo ổn định xung quanh một điểm làm việc chứ không phải toàn miền làm việc của hệ thống và thường chỉ áp dụng với các hệ thống mà động học của nó không phi tuyến quá mạnh và không thường xuyên thay đổi điểm làm việc. Vì vậy, việc thiết kế bộ điều khiển nhằm đảm bảo hệ thống vận hành trơn tru và an toàn trong trường hợp này cần tới những phương pháp điều khiển dự báo phi tuyến. Quá khứ Hiện tại Cửa sổ dự báo r Đầu ra tại các thời điểm Đầu ra dự báo yk, yk+1,... trước Quỹ đạo trạng thái tối ưu x*k Quỹ đạo trạng thái tại các thời điểm trước Trạng thái hiện tại xk Giá trị điều khiển tối ưu u*k Giá trị điều khiển tại các thời điểm trước Dãy tín hiệu điều khiển tối ưu u*k,u*k+1,... Thời gian tk tk+1 tk+N Hnh 1-1 Minh họa MPC ở thời điểm tk 1.1.2 Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo Một trong các vấn đề quan trọng của điều khiển dự báo, bên cạnh vấn đề về mô hình dự báo và vấn đề giải bài toán tối ưu online với các điều kiện ràng buộc, là vấn đề liên quan đến việc đảm bảo tính ổn định của hệ thống điều khiển. Trong tài liệu [32, 53, 57] tính ổn định tiệm cận của hệ điều khiển dự báo được đảm bảo trong trường hợp tầm dự báo là vô hạn, bởi khi đó giá trị hàm mục tiêu dạng toàn phương là hàm giảm dần theo thời gian. Tuy nhiên, phương pháp này sẽ gặp khó khăn khi giải quyết bài toán có xét đến ràng buộc về tín hiệu điều khiển. Cũng trong tài liệu [53], vấn đề ổn định của hệ điều khiển dự báo trong trường hợp mô hình hệ hở là không ổn định, cũng được giải quyết bằng cách giả thiết thêm điều kiện trạng thái cuối bằng 0. Vấn đề đảm bảo tính ổn định của hệ kín với bộ điều khiển dự báo 7
sử dụng ràng buộc trạng thái cuối bằng 0 nhưng cho bài toán tầm dự báo là hữu hạn có thể tìm thấy trong các tài liệu khác như [33, 34, 37, 67]. Với giả thiết trạng thái cuối bằng 0 thì việc chứng minh hàm giá trị tối ưu của hàm mục tiêu chính là hàm Lyapunov của hệ thống được chỉ ra bằng cách sử dụng dãy tín hiệu điều khiển trung gian ở thời điểm trích mẫu thứ k + 1 bằng chính dãy tín hiệu điều khiển tối ưu tại thời điểm k và tín hiệu điều khiển cuối bằng 0. Tuy nhiên, việc tín hiệu điều khiển tối ưu phải đưa trạng thái hệ thống về gốc tọa độ xk +N = 0 trong N bước( N tầm dự báo điều khiển) đòi hỏi tầm dự báo lớn và bị hạn chế bởi các ràng buộc về tín hiệu điều khiển và ràng buộc trạng thái của hệ thống. Để khắc phục hạn chế này, phương pháp kết hợp ràng buộc trạng thái cuối và hàm phạt trạng thái cuối được phát triển nhằm đảm bảo tính ổn định của hệ điều khiển dự báo tập trung cho hệ tuyến tính và phi tuyến, mô hình liên tục và không liên tục [10, 19, 20, 40]. Phương pháp này thậm chí đã được phát triển thành công cụ sử dụng rộng rãi cho phân tích tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phi tuyến sử dụng hàm Lyapunov, được trình bày bởi Mayne, Rawling [44, 52]. Ở đó, điều kiện đảm bảo ổn định hệ thống dưới dạng bất phương trình của trạng thái cuối và hàm phạt trạng thái cuối được đưa vào giải bài toán tối ưu phi tuyến online với vai trò là điều kiện ràng buộc. Bên cạnh sử dụng khái niệm ổn định tiệm cận, thì tính ổn định của hệ điều khiển dự báo cũng được phát triển dựa trên khái niệm ổn định hàm mũ với tốc độ ổn định nhanh hơn. Tính ổn định hàm mũ của hệ điều khiển dự báo được thiết lập ở [59] cho hệ phi tuyến với mô hình không liên tục bằng cách sử dụng hàm Lyapunov và giả thiết luật điều khiển là liên tục Lipschitz. Cũng trong tài liệu này, tính ổn định tiệm cận của hệ điều khiển dự báo khi hệ thống có nhiễu được đảm bảo với điều kiện nhiễu bị chặn và tiệm cận về 0. Tính ổn định hàm mũ không sử dụng giả thiết liên tục Lipschitz của luật điều khiển được đề xuất trong tài liệu [12] cho hệ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra với mô hình tuyến tính bằng cách sử dụng hàm Lyapunov. Ổn định tiệm cận hàm mũ cho hệ phi tuyến với hàm mục tiêu sử dụng hàm phạt trạng thái cuối được phát triển ở [25, 52]. Thông thường, trong trường hợp hệ thống không có ràng buộc mà tồn tại hàm Lyapunov đảm bảo tính chất giảm dần về gốc và nhiễu tác động vào hệ thống đủ nhỏ thì tính ổn định của hệ thống kín vẫn được đảm bảo [59]. Tuy nhiên, trong thực tế các hệ thống thường bị ràng buộc về tín hiệu điều khiển do vậy vấn đề đảm bảo tính ổn định bền vững của hệ điều khiển dự báo khi hệ thống có chứa thành phần bất định như bị tác động của nhiễu hay có sai lệch mô hình rất cần được nghiên cứu và giải quyết [44]. Vấn đề ổn định bền vững của hệ điều khiển dự báo được đề cập đầu tiên ở [54], trong tài liệu này tác giả sử dụng mô hình dự báo là mô hình đáp ứng xung và phân tích tính ổn định xét ở khía cạnh có sai lệch mô hình, đưa ra điều kiện đối với tỉ lệ giữa giá trị đầu ra đáp ứng xung của quá trình và giá trị đầu ra của mô hình để đảm bảo hệ thống ổn định bền vững. Tính ổn định bền vững cho hệ điều khiển dự báo dựa trên mô hình đáp ứng xung cũng được nghiên cứu trong [18]. Bên cạnh đó, cũng có rất nhiều công trình nghiên cứu tính 8
ổn định của hệ điều khiển dự báo dựa trên mô hình mô tả trong miền không gian trạng thái. Tính ổn định bền vững của hệ điều khiển dự báo sử dụng mô hình trạng thái liên tục và không liên tục với hàm mục tiêu dạng min-max có ràng buộc trạng thái cuối được nghiên cứu ở [17, 45]. Ngoài ra, một phương pháp điều khiển dự báo bền vững được sử dụng khá phổ biến hiện nay là phương pháp “tube-based methods”. Phương pháp này đầu tiên áp dụng cho hệ tuyến tính ràng buộc có nhiễu [24, 50, 51]. Mục đích của việc xây dựng “tube” là để giữ cho quỹ đạo của hệ thống khi có nhiễu gần với quỹ đạo trạng thái của hệ thống khi không có nhiễu. Bộ điều khiển “tube-based controller” gồm một bộ điều khiển ổn định tiệm cận hoặc ổn định hàm mũ cho hệ không có nhiễu và một bộ điều khiển phụ có nhiệm vụ đưa quỹ đạo của hệ khi có nhiễu nằm trong lân cận của quỹ đạo của hệ khi chưa có nhiễu. Phương pháp “tube-based methods” cho hệ phi tuyến và hệ LPV được đề cập trong tài liệu [26, 42, 43]. Có thể nhận thấy khi hệ thống có nhiễu thì khả năng hệ đạt được chất lượng ổn định tiệm cận hoặc ổn định tiệm cận đều tại gốc là rất khó [2]. Bởi vậy thay vì đảm bảo tính ổn định của hệ thống theo hai chất lượng đó, Sontag [61] đưa ra một khái niệm ổn định mở rộng khác là ổn định vào trạng thái ISS, nghĩa là quỹ đạo trạng thái của hệ thống sẽ bị chặn khi các đầu vào của nó bị chặn và tiệm cận tới 0 khi các biến vào tiệm cận tới 0. Ổn định ISS là một công cụ quan trọng để phân tính ảnh hưởng của độ lớn tín hiệu vào hoặc nhiễu đối với quỹ đạo trạng thái của hệ thống. Tính ổn định ISS dựa trên hàm Lyapunov cho hệ thống mô tả bởi mô hình không liên tục được trình bày trong [30]. Tính ổn định được sử dụng trong điều khiển dự báo dựa trên mô hình không liên tục có nhiễu được nghiên cứu ở tài liệu [36, 41] . Trong đó [41] xét bài toán ràng buộc về tín hiệu điều khiển và trạng thái, sử dụng hàm mục tiêu với hàm phạt trạng thái cuối, đưa ra giả thiết đối với nhiễu (trong trường hợp này đóng vai trò là sai lệch mô hình) để đảm bảo tính ổn định ISS của hệ thống. Trong khi tài liệu [36] nghiên cứu điều khiển dự báo với hàm mục tiêu min-max cho lớp bài toán có nhiễu bị chặn. Vấn đề thiết lập vùng ổn định ISS cho hệ thống phi tuyến không liên tục có nhiễu sử dụng hàm Lyapunov thích hợp được đề cập ở tài liệu [38]. Kết quả được áp dụng để nghiêu cứu tính ổn định bền vững của thuật toán điều khiển dự báo với cả hàm mục tiêu dạng có hàm phạt trạng thái cuối và dạng min-max mà không cần phải giả thiết về tính liên tục của hàm Lyapunov và luật điều khiển dự báo. Cũng sử dụng thuật toán điều khiển dự báo với thuật toán dựa trên hàm mục tiêu dạng có hàm phạt trạng thái cuối, tài liệu [52] chứng minh tính ổn định ISS của hệ phi tuyến không liên tục với ràng buộc về tín hiệu điều khiển, biến trạng thái và nhiễu dựa trên giả thiết hệ thống khi chưa xét đến nhiễu ổn định tiệm cận theo nghĩa tồn tại hàm Lyapunov thỏa mãn tính Lipschitz. Từ các phân tích trên, có thể thấy vấn đề ổn định của hệ điều khiển dự báo tập trung được nghiên cứu trong rất nhiều tài liệu, tập trung chủ yếu vào tính ổn định tiệm cận, hàm mũ sử dụng hàm Lyapunov và ổn định ISS. Trong đó ổn định ISS là một công cụ rất thích hợp để phân tích tính ổn định của hệ điều khiển dự 9
báo tuyến tính và phi tuyến khi xét đến ảnh hưởng của nhiễu. Để làm cơ sở cho việc đánh giá và thiết kế bộ điều khiển đảm bảo tính ổn định, sau đây luận án sẽ trình bày lại một số khái niệm về ổn định, ổn định tiệm cận Lyapunov cũng như ổn định ISS của hệ điều khiển dự báo tập trung dựa trên tài liệu [52]. Xét hệ (1.2) trong trường hợp không bị kích thích xk +1 = f (xk ), f (0) = 0, "k > 0 (1.6) Định nghĩa 1.1 (Ổn định Lyapunov): Điểm cân bằng x = 0 của hệ (1.6) là · Ổn định (theo nghĩa Lyapunov) của hệ nếu với mỗi e > 0 tồn tại d > 0 sao cho: x 0 < d Þ x k < e , "k > 0 · Ổn định tiệm cận trong tập X Ì ¡n nếu nó ổn định và lim xk = 0, "x0 Î X k ®¥ Ổn định tiệm cận toàn cục nếu nó ổn định tiệm cận và X = ¡ . n · · Ổn định hàm mũ nếu nó ổn định và $a > 0, g Î ( 0,1) sao cho: x 0 < d Þ x k £ a x 0 g k , "k > 0 Định lý 1.1 Xét hệ (1.6) với điểm cân bằng tại gốc. Tập X Ì ¡ là tập đóng và bị n chặn chứa gốc. Nếu tồn tại hàm Lyapunov V : ¡n ® ¡ liên tục tại gốc thỏa mãn: V ( 0 ) = 0,V ( x k ) > 0 "x k Î X \ {0} V ( x k +1 ) - V ( x k ) < 0 "x k Î X \ {0} Thì x = 0 là điểm ổn định tiệm cận của hệ (1.6) trong miền X . Định lý 1.2 (Ổn định tiệm cận toàn cục). Xét hệ (1.6) với điểm cân bằng x = 0 Hàm V : ¡n ® ¡ là hàm liên tục tại gốc thỏa mãn: xk ® ¥ Þ V ( xk ) ® ¥ V ( 0 ) = 0,V ( x k ) > 0 "x k ¹ 0 V ( x k +1 ) - V ( x k ) < 0 "x k ¹ 0 Thì x = 0 là điểm ổn định tiệm cận toàn cục của hệ. Định nghĩa 1.2 Hàm a : ¡ ³0 ® ¡ ³0 được gọi là thuộc lớp K nếu nó liên tục, đơn điệu tăng và a ( 0 ) = 0 . Nếu có thêm a (t ) ® ¥ khi t ® ¥ thì hàm được gọi là thuộc lớp K∞. Định nghĩa 1.3: Hàm d : ¡ ³0 ® ¡ ³0 được gọi là thuộc lớp L nếu nó liên tục, đơn điệu giảm và lim d (t ) = 0 . t ®¥ Định nghĩa 1.4: Hàm b : ¡ ³0 ´ ¡ ³0 ® ¡ ³0 được gọi là thuộc lớp KL nếu nó thuộc lớp K đối với biến thứ nhất và thuộc lớp L đối với biến thứ 2. Định nghĩa 1.5 (Hàm Lyapunov): Hàm V : ¡n ® ¡ ³0 được gọi là hàm Lyapunov của hệ x k +1 = f ( xk ) nếu tồn tại hàm a1, a2 ÎK ¥ và a 3 Î K xác định dương sao cho với mọi x k Î ¡ n ta có: 10
a 1 ( xk ) £ V ( xk ) £ a 2 ( xk ) (1.7) V ( xk +1 ) - V ( xk ) £ a 3 (x ) k Định lý 1.3 Hệ x k +1 = f ( xk ) cân bằng tại gốc, ổn định tiệm cận tại 0 với miền hấp dẫn X nếu tồn tại hàm Lyapunov V thỏa mãn (1.7) với mọi x k Î X . Định lý 1.4 (Ổn định hàm mũ). Xét hệ x k +1 = f ( x k ) với f ( 0 ) = 0, f ( X ) Î X chứa gốc tọa độ. Giả sử tồn tại hàm Lyapunov V : X ® ¡ và các hệ số dương a1, a2 , a3 thỏa mãn: £ V (xk ) £ a2 xk s s a1 x k (1.8) V ( x k +1 ) - V ( x k ) £ -a 3 x k s thì hệ ổn định hàm mũ tại gốc trong tập X . Trên cơ sở các định nghĩa và định lý ổn định trên tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phi tuyến có thể được dẫn giải theo tài liệu [44, 52] như trình bày dưới đây. Xét hệ phi tuyến: x k +1 = f ( xk , uk ) "k ³ 0 (1.9) trong đó f là hàm liên tục thỏa mãn f ( 0, 0 ) = 0 (0 là điểm cân bằng của hệ). Với điều kiện ràng buộc uk ÎU , xk Î X , "k ³ 0 . Định nghĩa: u @ {uk , uk +1,..., uk +N -1 } là dãy tín hiệu điều khiển với tầm dự báo N. x @ {xk , xk +1,..., xk +N } là dãy quỹ đạo trạng thái thu được từ (1.9) ứng với dãy tín hiệu điều khiển u và trạng thái hiện tại xk . Xét bài toán tối ưu hàm mục tiêu: N -1 VN ( x k , u ) = å l (x j =0 k+j , uk + j ) + V f ( x k + N ) (1.10) với điều kiện ràng buộc của trạng thái cuối: xk +N Î X f Ì X , ràng buộc dãy tín hiệu điều khiển u Î UN . UN ( xk ) là tập các dãy u = {uk , uk +1,..., uk +N -1 } thỏa mãn các điều kiện ràng buộc về điều khiển và trạng thái. Giải bài toán tối ưu: VN* ( xk ) := minVN ( xk , u ) (1.11) uÎUN { thu được dãy tín hiệu điều khiển tối ưu u* ( xk ) = uk* ( xk ) , uk*+1 ( xk ) ,..., uk*+N -1 ( xk ) } { và dãy quỹ đạo trạng thái tương ứng x* ( xk ) = xk*, xk*+1,..., xk*+N . Trong đó x k* = x k } và phần tử đầu tiên của dãy tín hiệu điều khiển tối ưu được sử dụng để điều khiển, với luật điều khiển được định nghĩa MPC N ( x k ) := uk* ( xk ) . Giá trị hàm mục tiêu tối ( ) ưu VN ( xk ) = VN xk , u ( xk ) . Nghiệm bài toán (1.11) tồn tại nếu N hữu hạn và có 2 * * giả thiết sau: Giả thiết 1.1 Tập X , X f là kín và U là compact chứa gốc tọa độ. 11