Luận án Tiến sĩ Toán học: Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:107

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án tập trung vào bài toán điều khiển cho một số lớp phương trình tiến hóa mờ phân thứ. Mục tiêu chính là thiết lập các hàm điều khiển để nghiệm của bài toán thỏa mãn một số tính chất cho trước thông qua việc nghiên cứu các bài toán (P1), (P2) và (P3). Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ HOÀNG THỊ PHƯƠNG THẢO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA PHÂN THỨ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ HOÀNG THỊ PHƯƠNG THẢO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA PHÂN THỨ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành : Phương trình vi phân và tích phân Mã số : 9.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Thị Kim Sơn TS. Nguyễn Như Thắng Hà Nội - 2022
MỤC LỤC Lời cam đoan 6 Danh sách ký hiệu 8 Mở đầu 10 1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án . . . . . 16 3 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Cấu trúc và kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 Sơ lược về không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) 20 1.1 Không gian các số mờ RF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) . . . . . . . . . . . 23 1.2.1 Không gian Rnsy F(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.2 Không gian Rsy F(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3 Hàm mờ tương quan tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.1 Khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.2 Đạo hàm của hàm mờ tương quan tuyến tính . . . . . . 30 1.3.3 Tích phân của hàm mờ tương quan tuyến tính . . . . . . 32 2 Tính giải được của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ 36 2.1 Đạo hàm phân thứ của các hàm mờ tương quan tuyến tính . . . 36 2.1.1 Đạo hàm phân thứ Fréchet Caputo . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2 Đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo . . . . . . . . . 42 2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3
4 2.2.2 Tính giải được của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.2 Tính giải được của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo 55 3.1 Biến đổi Laplace của các hàm mờ tương quan tuyến tính . . . . 56 3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian mờ tương quan tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Tính điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1 Công thức biểu diễn nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2 Tính điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển là duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.3 Tính điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển không duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4 Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 81 4.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 Tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 87 4.3 Xây dựng điều khiển phản hồi trạng thái cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 92 4.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Kết luận và Kiến nghị 100 1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . 101 Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án 102
5 Tài liệu tham khảo 103
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án thực sự là nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thị Kim Sơn và TS. Nguyễn Như Thắng. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực, khách quan và chưa từng được công bố trong các nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước khác. Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2022 Nghiên cứu sinh Hoàng Thị Phương Thảo 6
LỜI CẢM ƠN Luận án “Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính” được thực hiện tại Bộ môn Toán Giải tích, Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư Phạm Hà Nội. Lời cảm ơn đầu tiên, tác giả xin dành gửi đến PGS. TS Nguyễn Thị Kim Sơn và TS. Nguyễn Như Thắng. Thầy cô đã tận tình giúp đỡ tác giả từ những ngày đầu chập chững bước vào con đường nghiên cứu khoa học. Sự chỉ dẫn tận tình, sự khích lệ về mặt tinh thần và lòng tin của thầy cô là động lực để tác giả vượt qua khó khăn hoàn thành luận án. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Toán giải tích đã luôn chỉ dẫn, giúp đỡ và cho tác giả nhiều lời khuyên quý giá trong những ngày tháng khi còn là sinh viên đến khi làm nghiên cứu sinh như hiện tại. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ, các đồng nghiệp công tác tại trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ đã cho tác giả có cơ hội để được học tập, nghiên cứu và sáng tạo trên con đường học thuật. Tác giả xin dành cho gia đình, bạn bè những lời yêu thương vì đã luôn đồng hành trong tác giả trong những thời điểm quan trọng nhất, chia sẻ khó khăn và cho tác giả thêm niềm tin để hoàn thành luận án. 7
DANH SÁCH KÍ HIỆU Kí hiệu Nội dung Số trang FDEs Phương trình vi phân mờ 11 RF Không gian các số mờ 20 RF(A) Không gian mờ tương quan tuyến tính 23 Rnsy F Không gian các số mờ không đối xứng 20 Rsy F Không gian các số mờ đối xứng trừ tập R 20 Rnsy F(A) Không gian mờ tương quan tuyến tính với A ∈ Rnsy F 23 Rsy F(A) Không gian mờ tương quan tuyến tính với A ∈ Rsy F 23 p I0+ q(t) Tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0; 1] của 35 hàm thực q(t) RL p ˆ F I0+ f (t) Tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0; 1] của 35 ˆ hàm mờ tương quan tuyến tính f (t) RL p ˆ LC I0+ f (t) Tích phân tương quan tuyến tính Riemann-Liouville bậc 40 ˆ p ∈ (0; 1] của hàm mờ tương quan tuyến tính f (t) p D0+ q(t) Đạo hàm Caputo phân thứ p ∈ (0; 1] của hàm thực q(t) 40 C p ˆ FD + f (t) 0 Đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p ∈ (0; 1] của hàm 37 ˆ f (t) C p ˆ LC D0+ f (t) Đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0; 1] 40. ˆ của hàm mờ tương quan tuyến tính f (t) C(J, X) Họ ánh xạ liên tục đi từ J vào X với X là Rnsy , Rsy F(A) F(A) 44 L1 (J, Rnsy ) F(A) Họ các toán tử khả tích từ J vào Rnsy F(A) 57 dψA (B, C) Khoảng cách giữa hai số mờ tương quan tuyến tính 23 B, C ∈ Rnsy F(A) ρ(β, γ) sup dψA (β(s), γ(s)) với β, γ ∈ Y , trong đó Y là 46 s∈I C(I, Rnsy ), C(I, Rsy ) F(A) F(A) dm (β, γ) sup{sm dψA (β(s), γ(s))} β, γ ∈ Y , trong đó Y là 46 s∈I C(I, Rnsy ), C(I, Rsy ) F(A) F(A) 8
9 ∥u∥A Chuẩn trong không gian Rnsy F(A) 23 dψA (B, C) ˆ Khoảng cách giữa hai số mờ tương quan tuyến tính 26 B, C ∈ Rsy F(A) ∥u∥A ˆ Chuẩn trong không gian Rsy F(A) 26 ∞ p−1 −x Γ(p) Γ(p) = 0 x e dx với p ∈ (0; 1) 35 J Tập con của R 26 I I = [0, b] với b > 0 45 I I = [0, ∞) 79 I0 I 0 ⊆ I với 0 ∈ I 0 79 IdA Ánh xạ đồng nhất trên không gian Rsy F(A) 66
MỞ ĐẦU 1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lý do chọn đề tài Nhiều quá trình diễn ra trong tự nhiên và kĩ thuật chứa đựng các đại lượng không chắc chắn. Chúng ta có thể kể đến như lượng nhiên liệu đầu vào của máy móc, các quá trình kĩ thuật như xử lý ảnh, điều chỉnh đầu vào của các máy điện tử. Do đó, khi thực hiện mô hình hóa các quá trình này, các đại lượng không chắc chắn giữ vị trí quan trọng. Một số lý thuyết không chắc chắn đã được nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn có thể kể đến là lý thuyết mờ, lý thuyết giá trị tập và gần đây là lý thuyết neutrosophic. Giải tích mờ được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kĩ thuật điều khiển, xử lý hình ảnh và tín hiệu, kĩ thuật y sinh... Giải tích mờ bắt đầu từ những khái niệm đầu tiên về tập mờ, được đưa ra bởi Zadeh [70] vào năm 1960. Mặc dù vậy, phải đến những năm 1970, người ta mới áp dụng lý thuyết tập mờ vào các ứng dụng trong cuộc sống. Sau hơn 60 năm phát triển, lý thuyết mờ đã giữ vị trí quan trọng trong khoa học và thực tiễn đời sống. Các phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa các hiện tượng vật lý và kỹ thuật, chẳng hạn như các vấn đề trong cơ học chất rắn và chất lỏng, độ nhớt, sinh học, vật lý và nhiều lĩnh vực khác. Nói chung, các tham số, biến và dữ kiện ban đầu trong một mô hình thường được coi là xác định. Tuy nhiên, trong nhiều quá trình thực tế, ở một vài trường hợp, chúng ta nhận được các dữ liệu mơ hồ, không chính xác hoặc không đầy đủ về các biến và tham số có sẵn. Điều này có thể do sai sót trong dữ liệu đo lường, quan sát hoặc thí nghiệm; áp dụng các điều kiện hoạt động khác nhau; hoặc các lỗi do bảo trì gây ra. Để khắc phục sự không chắc chắn hoặc thiếu chính xác, người ta thường sử dụng môi trường số mờ trong các tham số, biến và trạng thái đầu tiên thay cho những dữ liệu chính xác (cố định), bằng cách chuyển phương trình trong không gian thực sang phương trình mờ. Phương trình vi phân mờ được áp dụng trong các bài toán mô hình hóa khác nhau như hàng không vũ 10
11 trụ, tài chính, sản xuất, công nghiệp, giao thông...[10, 23, 24]. Theo Vorobiev và Seikkala [67], thuật ngữ "phương trình vi phân mờ" lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1978. Hiện tại, có ít nhất ba phương pháp để tìm nghiệm của FDEs. Phương pháp thứ nhất được phát triển bởi Oberguggenberger và Pittschmann [44] với ứng dụng của nguyên lý mở rộng Zadeh. Phương pháp thứ hai là giải một họ các bao hàm vi phân xuất phát từ phương trình vi phân mờ theo tập mức α với sự trợ giúp của định lý biểu diễn cho các tập mờ [13, 21]. Phương pháp thứ ba là sử dụng các loại đạo hàm mờ. Khái niệm đạo hàm Hukuhara (đạo hàm H) của một hàm mờ đã được Puri và Ralescu đưa ra vào năm 1983 [49] dựa trên khái niệm hiệu Hukuhara (hiệu H). Đạo hàm H là sự tổng quát hóa của đạo hàm Hukuhara của các toán tử nhận giá trị tập. Tuy nhiên, tồn tại một số vấn đề với đạo hàm H. Thứ nhất là hiệu H của hai số mờ không phải lúc nào cũng tồn tại. Thứ hai, đường kính tập mức của nghiệm nhận được khi sử dụng đạo hàm H là không giảm. Các vấn đề được đặt ra khi làm việc với đạo hàm H vẫn còn là câu hỏi lớn cho đến năm 2005, khi đạo hàm Hukuhara suy rộng được khởi xướng bởi Bede và Gal [7]. Tính khả vi suy rộng mạnh (đạo hàm SGH) cho phép phương trình vi phân có hai loại nghiệm. Loại thứ nhất có đường kính tập mức không giảm, loại còn lại có đường kính tập mức không tăng. Kéo theo đó, có nhiều chủ đề mới xuất hiện giữa hai loại nghiệm, ví dụ như việc lựa chọn và nghiên cứu điểm nhảy (switching point). Năm 2010, khái niệm về hiệu Hukuhara suy rộng của hai số mờ đã được đề xuất bởi Stefanini [61]. Sau đó, đạo hàm Hukuhara suy rộng (đạo hàm gH) của các hàm có giá trị mờ đã được giới thiệu bởi Bede và Stefanini [8]. Mặc dù hiệu Hukuhara suy rộng có ít điểm hạn chế hơn hiệu Hukuhara nhưng vẫn chưa khắc phục được thực tế là hiệu Hukuhara suy rộng của hai số mờ không phải lúc nào cũng tồn tại. Bên cạnh đó, vấn đề của điểm nhảy vẫn không biến mất đối với hiệu gH. Để vượt qua khó khăn này, gần đây, Esmi cùng các cộng sự [17] đã giới thiệu khái niệm hiệu của hai số mờ trong không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) (với A là số mờ không đối xứng). Đến năm 2022, Shen [64] đã đưa đưa ra khái niệm hiệu LC cho các số mờ trong không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) (với A là số mờ bất kì). Dựa trên hiệu của hai số mờ trong không gian mờ tương quan tuyến tính, các tác giả đã đưa ra khái niệm đạo hàm Fréchet và đạo hàm tương quan tuyến tính (đạo hàm LC).
12 Không gian mờ tương quan tuyến tính được xây dựng bằng cách cố định một số mờ A bất kì. Sử dụng một ánh xạ phụ thuộc tuyến tính ψA : R2 → RF(A) , ta nhận được các toán tử có dạng qA + r trong đó (q, r) ∈ R2 . Điều thú vị là RF(A) có thể được nhúng vào RF như một không gian con tuyến tính khi A là số mờ không đối xứng. Điều này không còn đúng khi A là số mờ đối xứng. Như vậy, cấu trúc đại số của không gian RF(A) phụ thuộc vào tính đối xứng của số mờ A. Đối với trường hợp A là số mờ không đối xứng, toán tử ψA được giới thiệu trong [17] là song ánh từ không gian Euclide hai chiều sang không gian mờ tương quan tuyến tính. Do đó, phép hiệu có thể bắt nguồn tự nhiên từ phép cộng và phép −1 nhân vô hướng thông qua ánh xạ ψA . Điều này dẫn đến hiệu hai số mờ luôn tồn tại. Từ đó, Esmi đã đưa ra khái niệm khả vi Fréchet cho một hàm mờ tương quan tuyến tính. Điểm đặc biệt của không gian RF(A) trong trường hợp A là số mờ không đối xứng cũng cho phép ta có thể chuyển đổi một cách tương ứng một phương trình trong không gian các số mờ về một hệ phương trình tương ứng trong không gian các số thực. Khó khăn lớn nhất gặp phải khi làm việc với không gian RF(A) xảy ra trong trường hợp A là số mờ đối xứng. Khi đó, ánh xạ ψA không phải là một song ánh. Do đó, không thể định nghĩa hiệu của hai −1 số mờ theo ánh xạ ψA như trong trường hợp A là số mờ không đối xứng. Để vượt qua trở ngại này, Shen [65] đã đưa ra hiệu LC trong không gian mờ tương quan tuyến tính. Điều đáng nói là hiệu LC có thể áp dụng trong không gian RF(A) trong trường hợp A là số mờ bất kì và luôn tồn tại hiệu LC mờ tương quan tuyến tính. Dựa trên hiệu LC, đạo hàm LC cũng được đề xuất cho hàm mờ trong RF(A) . Đạo hàm LC thích hợp cho các hàm có giá trị mờ tương quan tuyến tính với A là số mờ bất kì. Vào năm 2010, phương trình vi phân mờ phân thứ (FFDEs) trình bày lần đầu tiên bởi Agarwal và cộng sự trong tài liệu [2]. Ở đó, các định nghĩa về đạo hàm phân thứ cho các hàm số mờ đã được đề cập. Đạo hàm mờ phân thứ Riemann-Liouville theo hiệu H và chứng minh duy nhất nghiệm của một lớp FFDEs có trễ được nghiên cứu trong [25]. Năm 2011, đạo hàm phân thứ mờ Riemann-Liouville theo đạo hàm Seikkala đã được đề xuất trong [5]. Cùng với đó, một số nghiên cứu về FFDEs với các điều kiện ban đầu mờ theo đạo hàm này đã được đề cập trong [5, 6]. Trong năm 2012, phương trình vi phân phân thứ mờ theo khái niệm đạo hàm Caputo kết hợp với đạo hàm SGH đã được nghiên
13 cứu với hai loại biểu diễn khác nhau [39, 52]. Trong [52], tác giả cho thấy rằng một FFDEs của bậc β ∈ (0; 1), trong một số điều kiện, có thể có hai loại nghiệm tương ứng với dạng thứ nhất và dạng thứ hai của đạo hàm dạng Caputo theo hiệu gH. FFDEs theo khái niệm đạo hàm phân thứ Caputo-Fabrizio kết hợp với đạo hàm SGH (đạo hàm Caputo Fabrizio SGH) đã được nghiên cứu vào năm 2018 trong [1]. Gần đây, khái niệm mới về đạo hàm phân thứ granular có ứng dụng cho FFDEs đã được Najariyan và Zhao [42] thiết lập. Đạo hàm phân thứ mờ granular dựa trên các hàm liên thuộc và hiệu granular có một số ưu điểm so với các đạo hàm trước đó vì nó có thể được tính toán trực tiếp thông qua phép biến đổi ngược của các tập mức, xem [40, 42]. Một ứng dụng mở rộng của đạo hàm phân thứ granular cho phương trình vi phân tuyến tính bậc hai đã được xây dựng trong [57, 58]. Đạo hàm bậc nguyên cho các hàm mờ tương quan tuyến tính đã được Esmi [17] và Shen [64] nghiên cứu. Tuy nhiên, các loại đạo hàm phân thứ cho hàm mờ tương quan tuyến tính chưa được đề cập đến. Điều này thúc đẩy chúng tôi nghiên cứu sâu hơn về các loại đạo hàm phân thứ cho hàm mờ tương quan tuyến tính và ứng dụng khái niệm này trên một số lớp FFDEs. Cụ thể, chúng tôi giới thiệu hai loại đạo hàm phân thứ cho hàm mờ tương quan tuyến tính, đó là đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo. Một số tính chất quan trọng của hai loại đạo hàm phân thứ này cũng đã được chúng tôi đề cập. Bằng việc kết hợp giữa đạo hàm Fréchet Caputo, đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo và các tính chất của không gian mờ tương quan tuyến tính, chúng tôi nghiên cứu tính giải được và các điều kiện để có nghiệm duy nhất cho hai bài toán sau. Bài toán đầu tiên được nghiên cứu có dạng  C Dp+ x(t) = f (t, x(t)), ˆ ˆ F 0 ˆ t ∈ I = [0, b], x(0) ˆ =x , ˆ 0 p trong đó C D0+ x(·) là đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ bậc p ∈ (0, 1] của hàm F ˆ ˆ ˆ ˆ x(·), x0 ∈ RF(A) với A là số mờ không đối xứng và f : I × C I, RF(A) → RF(A)
14 là hàm liên tục. Bài toán thứ hai có dạng  C Dp+ x(t) = g (t, x(t)), ˆ ˆ ˆ LC 0 t ∈ I = [0, b], x(0) ˆ = x0 , ˆ p trong đó C D0+ x(t) là đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0, 1] của LC ˆ hàm x(.), x0 ∈ RF(A) với A là số mờ không đối xứng và g : I × C I, RF(A) → ˆ ˆ ˆ RF(A) . Các kết quả về tính giải được của các bài toán này được trình bày trong chương 2 của luận án. Tính điều khiển được của một hệ thống luôn dành được nhiều chú ý của các nhà toán học. Khả năng này được biết đến nhiều từ hệ thống lý thuyết toán học của Kalman năm 1960 như là tính đạt được của các trạng thái đầu và cuối. Trong [22, 27], các khái niệm cơ bản và quan trọng có liên quan đến lý thuyết điều khiển trong không gian hữu hạn chiều đã được đề cập. Shukla và cộng sự [53] đã nghiên cứu bài toán điều khiển gần đúng và đầy đủ của hệ thống điều khiển có trễ nửa tuyến tính thông qua việc đưa về lý thuyết điểm bất động của một toán tử. Klamka [27] đã đưa ra một số yếu tố có khả năng tác động trực tiếp đến tính điều khiển được trong thời gian ngẫu nhiên cho hệ động lực mờ. Điều khiển logic mờ là nhánh phát triển mới của điều khiển tự động kể từ khi giới thiệu các tập mờ bởi Zadeh [70] vào năm 1965. Mô hình mới về điều khiển tự động, điều khiển mờ, đã xuất hiện kể từ khi tập mờ được Zadeh giới thiệu vào năm 1965. Mamdani và các cộng sự [38] là những người đầu tiên xử lý điều khiển bằng kỹ thuật mờ. Điều này đã cho thấy một hướng đi mới trong việc phát triển lý thuyết logic mờ và tính ứng dụng của logic mờ trong các hệ động lực đơn giản. Khái niệm về tính điều khiển có thể được tách thành tính điều khiển hoàn toàn và tính điều khiển gần đúng. Khái niệm về tính điều khiển hoàn toàn là hệ động lực có thể được điều khiển chính xác từ trạng thái này sang trạng thái khác trong khi khái niệm tính điều khiển gần đúng có nghĩa là hệ động lực có thể được điều khiển đến một vùng lân cận nhỏ của trạng thái cuối cùng sau một khoảng thời gian hữu hạn. Mặc dù vấn đề về tính điều khiển hoàn toàn của các hệ thống động lực đã được nghiên cứu trước đó, nhưng vẫn còn nhiều câu hỏi bỏ ngỏ. Năm 2010, Kwun và Park đã trình bày tính điều khiển được của phương trình vi tích phân mờ nửa tuyến tính (xem [34]). Bài toán điều khiển với điều kiện biên không địa phương áp dụng cho phương trình vi phân và
15 tích phân mờ đã được Park và các cộng sự nghiên cứu [33]. Trong tài liệu [42], Najariyan đã đưa ra khái niệm về tính điều khiển gần đúng cho bài toán không địa phương đối với các phương trình vi phân mờ bậc phân thứ. Trong công trình gần đây, Jeong và các cộng sự [26] nghiên cứu về tính điều khiển chính xác cho các lớp phương trình vi phân mờ bằng cách sử dụng các nghiệm cực trị. Điều khiển được hoàn toàn cho một lớp phương trình tiến hóa mờ phân thứ sử dụng đạo hàm gH đã được đề cập trong [59]. Những kết quả điều khiển phụ thuộc vào sự tồn tại hay không của đạo hàm gH và chia thành hai trường hợp tương ứng với đạo hàm gH loại 1 và loại 2. Từ đó, những hạn chế hiện hữu của đạo hàm gH cũng ảnh hưởng tới các kết quả của bài toán điều khiển. Với cách tiếp cận trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính, trong luận án này, chúng tôi quan tâm nghiên cứu đến bài toán điều khiển cho một số lớp phương trình tiến hóa mờ phân thứ sử dụng một số loại đạo hàm mờ như đạo hàm Fréchet Caputo và đạo hàm tương quan tuyến tính. Bằng việc áp dụng tính chất nửa nhóm liên tục mạnh cùng với phép biến đổi Laplace trong không gian mờ tương quan tuyến tính, chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được hoàn toàn cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo. Cụ thể, chúng tôi xem xét bài toán  C Dp+ x(t) = B x(t) ⊕A f (t, x(t)) ⊕A Eu(t), ˆ ˆ F 0 ˆ t ∈ I = [0, b]. x(0) = x . ˆ ˆ 0 ˆ Khi ngoại lực f thỏa mãn điều kiện Lipschitz, chúng tôi đưa ra điều kiện để bài toán có thể điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển là duy nhất. Trường ˆ hợp thứ hai nới lỏng điều kiện của ngoại lực f , chúng tôi nhận được điều kiện để đảm bảo bài toán là điều khiển được hoàn toàn với điều khiển không duy nhất. Các nội dung này được trình bày trong chương 3 của luận án. Mặc dù có rất nhiều tài liệu được công bố về các hệ động lực mờ, số lượng công trình được thực hiện trong việc phân tích các tính năng vốn có của hệ thống động lực học được mô hình bằng phương trình vi phân mờ còn khá hạn chế. Tính ổn định, khả năng điều khiển, khả năng quan sát có thể được coi là một số đặc điểm vốn có của hệ động lực. Trong [14], tính ổn định Lyapunov và tính tuần hoàn của tập nghiệm mờ đã được P. Diamod nghiên cứu bằng cách sử dụng bao hàm thức vi phân. Tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng cho
16 phương trình tiến hóa mờ theo đạo hàm Hukuhara có chứa nhiễu được nghiên cứu trong [54]. Trong [19], sử dụng tổng quát hóa của định lý Kharitonov, tính ổn định của hệ động lực mờ tuyến tính đã được nghiên cứu. Trong [72], tác giả đã trình bày tính ổn định theo khái niệm đạo hàm Hukuhara tổng quát. Gần đây, Najariyan [43] đã nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân mờ theo đạo hàm granular. Hiện nay số lượng nghiên cứu về bài toán ổn định hóa cho một phương trình tiến hóa mờ phân thứ vẫn còn hạn chế. Khó khăn thường gặp phải là do thiếu các công cụ giải tích mờ tương ứng. Trong luận án này, chúng tôi tìm hiểu tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng và xây dựng biến điều khiển u(t) cho bài toán  C Dp+ x(t) = a ⊙A x(t) ⊕A f (t, x(t)) ⊕A u(t) ˆ ˆ LC 0 ˆ ˆ t ∈ I = [0, ∞), x(0) = x ˆ ˆ 0 C p trong đó LC D0+ x(t) ˆ là đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo phân thứ p ∈ ˆ (0, 1) của trạng thái x(·) : I → RF(A) và f : I × C(I, RF(A) ) → RF(A) là hàm mờ ˆ tương quan tuyến tính. Trong trường hợp A là số mờ không đối xứng, chúng tôi nhận được kết quả tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của hệ dựa trên một số điều kiện của vế phải và các hệ số thỏa mãn một số tính chất cho trước. Đối với trường hợp A là số mờ đối xứng, vì không có song ánh từ RF(A) vào R2 , thay vì làm việc với trạng thái x(t), chúng tôi làm việc với biểu diễn chuẩn tắc ˆ của x(t) và các lớp tương đương trên RF(A) . Dựa trên tính đơn điệu của "phần ˆ thực" của x(t), chúng tôi xây dựng các bất đẳng thức của hệ số để đảm bảo tính ˆ ổn định tiệm cận của điểm cân bằng. Các nội dung này được trình bày trong chương 4 của luận án. 2. Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án 2.1. Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu phương trình tiến hóa mờ phân thứ gồm bài toán tồn tại nghiệm, bài toán điều khiển được và bài toán ổn định hóa. Chúng tôi thiết lập các điều kiện cho biến điều khiển để bài toán nêu ra là điều khiển được hoàn toàn hoặc bài toán có nghiệm thỏa mãn một số tính chất cho trước.
17 2.2. Đối tượng nghiên cứu (i) Không gian mờ tương quan tuyến tính. (ii) Hàm mờ tương quan tuyến tính. (iii) Phương trình tiến hóa mờ phân thứ trong không gian mờ tương quan tuyến tính. 2.3. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của luận án bao gồm bốn nội dung chính: Nội dung 1: Giải tích phân thứ trong không gian mờ tương quan tuyến tính. Đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo của các hàm mờ tương quan tuyến tính (định nghĩa và các tính chất của hai loại đạo hàm này). Nội dung 2: Các điều kiện để đảm bảo cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ trên không gian mờ tương quan tuyến tính có nghiệm (duy nhất). Nội dung 3: Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo trong không gian mờ tương quan tuyến tính. Nội dung 4: Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo. 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phép toán và tính chất trong giải tích thực, giải tích hàm, lý thuyết điểm bất động (nguyên lý ánh xạ co, định lý điểm bất động Arzelà-Ascoli, định lý điểm bất động Krasnoselskii,...) Sử dụng lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, phép biến đổi Laplace, hàm Mittag-Leffler. Lý thuyết giải tích mờ, giải tích mờ phân thứ. Sử dụng các kiến thức về bài toán điều khiển, bài toán về ổn định.
18 4 Cấu trúc và kết quả của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và tài liệu tham khảo, luận án được chia thành 4 chương cụ thể: Chương 1. Sơ lược về không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) : Trong chương này, chúng tôi nêu ra các khái niệm cơ bản về tập mờ, các phép toán trên tập mờ và giải tích mờ. Sau đó, chúng tôi trình bày các kiến thức quan trọng về không gian mờ tương quan tuyến tính như cách xây dựng không gian, đạo hàm, tích phân của các hàm mờ tương quan tuyến tính. Các kiến thức này chủ yếu được trích dẫn từ các bài báo [17, 47, 63]. Một số tính chất giải tích xây dựng cho không gian Rnsy và Rsy là kết quả F(A) F(A) trong công trình số 1 và số 3 trong danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án. Chương 2. Tính giải được của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ: Trong chương này, chúng tôi xây dựng các khái niệm mới về đạo hàm phân thứ Fréchet Caputo và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo của hàm mờ tương quan tuyến tính. Các tính chất của hai loại đạo hàm này cũng được trình bày chi tiết. Từ đó, chúng tôi xem xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo và phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo. Chúng tôi đã đưa ra các định lý về sự tồn tại nghiệm và các điều kiện để bài toán có một nghiệm duy nhất hoặc có ít nhất một nghiệm. Nội dung chương 2 được trích từ công trình số 1 trong trong danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án. Chương 3. Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo : Trong chương này, chúng tôi xem xét tính điều khiển được hoàn toàn cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo trong không gian mờ tương quan tuyến tính. Các điều kiện để phương trình tiến hóa mờ phân thứ có thể điều khiển được hoàn toàn được xem xét trong cả hai trường hợp biến điều khiển duy nhất hoặc không duy nhất.
19 Chương 4. Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo: Trong chương này, chúng tôi trình bày tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo. Trong trường hợp điểm cân bằng không ổn định tiệm cận, chúng tôi xây dựng một biến điều khiển phản hồi trạng thái để đảm bảo điểm cân bằng là ổn định tiệm cận. 5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án Kết quả của luận án là một hướng đi mới của giải tích mờ, bổ sung thêm các kiến thức về giải tích mờ, đặc biệt là trong lý thuyết điều khiển mờ. Các kết quả chính của luận án được công bố trong hai bài báo đăng trên tạp chí Fuzzy sets and Systems (năm 2021, 2022) và trong một chương sách chuyên khảo Advances in Fuzzy Integral and Differential Equations (năm 2011), chi tiết các công trình có trong mục “Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án”. Nội dung này đã được trình bày tại các Xê-mi-na và hội thảo khoa học trong nước như sau: 1. Xê-mi-na của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 2. Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2021. 3. Hội thảo “Một số chủ đề thời sự trong Toán học và ứng dụng” tại Trường Đại học Khoa học tự nhiên, 2021. 4. Hội thảo “Tối ưu và Tính toán khoa học” lần thứ 20 tại Ba Vì ngày 21- 23/4/2022.
Chương 1 SƠ LƯỢC VỀ KHÔNG GIAN MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH RF(A) Trong chương này, không gian mờ RF được trình bày trong mục 1.1. Nội dung này trích dẫn từ cuốn sách chuyên khảo [7] của Bede và [35] của Lakshmikantham và Mohapatra. Để chuẩn bị cơ sở toán học cho các chương sau, lý thuyết về không gian mờ tương quan tuyến tính bao gồm cách xây dựng, các phép toán của các số mờ tương quan tuyến tính, các metric đã được trình bày trong mục 1.2. Ngoài ra, các phép tính tích phân, đạo hàm bậc nguyên của các hàm mờ tương quan tuyến tính bao gồm định nghĩa và các tính chất cũng được thể hiện trong Mục 1.3. Đây là nền tảng quan trọng để chúng tôi mở rộng nghiên cứu sang giải tích phân thứ và hệ động lực phân thứ trên không gian này ở các chương tiếp theo. Các kiến thức này được lấy chủ yếu trong các bài báo [17, 64, 65]. 1.1 Không gian các số mờ RF Định nghĩa 1.1. [7] Cho hàm u liên tục trong đoạn [0; 1]. u : R → [0; 1]. Tập mờ A trong không gian nền R được định nghĩa thông qua hàm thuộc u(t). u(t) thể hiện mức độ phụ thuộc của phần tử t ∈ R đối với tập A. Ta kí hiệu F(R) là tập hợp tất cả các tập con mờ của R. Định nghĩa 1.2. [7] Cho tập mờ u trong R. Tập mức α của u được kí hiệu bời [u]α và được xây dựng như sau:  {x ∈ R : u(x) ≥ α} nếu α ∈ (0, 1], α [u] = {x ∈ R : u(x) > 0} nếu α = 0. 20