Luận án tiến sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn

Chia sẻ: Huc Ninh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:136

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp lặp kết hợp với các phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài toán biên hai điểm đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm, trong đó không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo,... của hàm vế phải.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- NGÔ THỊ KIM QUY PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- NGÔ THỊ KIM QUY PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TS. Đặng Quang Á 2. PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn HÀ NỘI – 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi với sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Đặng Quang Á và PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn. Những kết quả trình bày trong luận án là mới, trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác, các kết quả thực nghiệm đã được kiểm tra bằng các chương trình do chính tôi thiết kế và kiểm thử trên môi trường Matlab, số liệu là hoàn toàn trung thực. Các kết quả được công bố chung đã được cán bộ hướng dẫn và đồng tác giả cho phép sử dụng trong luận án. Nghiên cứu sinh Ngô Thị Kim Quy i
LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các Thầy hướng dẫn, GS. TS. Đặng Quang Á và PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn. Em vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quý báu mà các Thầy đã dành cho em trong suốt quá trình thực hiện luận án. Các Thầy đã luôn quan tâm, chỉ dẫn và dìu dắt em. Chính nhờ sự động viên của các Thầy cũng như sự nghiêm khắc trong khoa học, các Thầy đã giúp em cố gắng hơn, vượt qua được những khó khăn, vất vả để hoàn thành luận án. Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp quý báu các Thầy Cô và các cán bộ nghiên cứu đã giúp em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận án. Trong thời gian qua, Viện Công nghệ thông tin, Học viện Khoa học và Công nghệ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên có những lời động viên, nhắc nhở giúp em thực hiện tốt công việc nghiên cứu của mình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh, Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học cơ bản, lãnh đạo Bộ môn Toán cùng toàn thể giáo viên trong Bộ môn, các bạn bè đồng nghiệp, gia đình và người thân đã luôn động viên khuyến khích, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn! ii
Danh sách hình vẽ 2.1 Công bội thực tế r(k) (trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải) trong Ví dụ 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Công bội thực tế r(k) (trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải) trong Ví dụ 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.4 với N = 100 . . . . . . . . . . . 54 2.4 Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.5 . . . . . . . . . . . . 56 2.6 Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.7 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.6 . . . . . . . . . . . . 58 2.8 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.8. . . . . . . . . . . . . 73 3.1 Đồ thị của ek trong Ví dụ 3.1 với N = 100. . . . . . . . . . . . 92 3.2 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.2. . . . . . . . . . . . . 94 3.3 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.3. . . . . . . . . . . . . 95 3.4 Đồ thị của ek trong Ví dụ 3.4 với N = 100. . . . . . . . . . . . 114 3.5 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.5. . . . . . . . . . . . . 115 3.6 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.6. . . . . . . . . . . . . 117 iii
Danh sách bảng 2.1 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.4 . . . . . . . . . 54 2.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.7. . . . . . . . . . 71 3.1 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.4. . . . . . . . . . 113 iv
Mục lục Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1. Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.1. Định lý điểm bất động Banach và phương pháp lặp . . . . . 13 1.1.2. Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.3. Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2. Phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Hàm Green đối với một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4. Phương pháp số giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2. Phương pháp lặp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1. Bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.1. Trường hợp các điều kiện biên dạng gối-tựa đơn giản . . . . 45 2.2.2. Trường hợp các điều kiện biên dạng ngàm-tự do . . . . . . . . 58 Chương 3. Phương pháp lặp giải bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.1. Bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 v
3.2. Bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 vi
MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của luận án Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thông qua mô hình hóa toán học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình vi phân cùng với các điều kiện biên khác nhau. Có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phân cấp bốn không đầy đủ và phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ. Phương trình vi phân cấp bốn mà trong đó hàm vế phải chứa ẩn hàm và chứa đầy đủ các đạo hàm các cấp của nó (từ cấp một đến cấp ba) được gọi là phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ. Ngược lại, phương trình được gọi là phương trình vi phân cấp bốn không đầy đủ. Bài toán biên đối với phương trình vi phân đã thu hút được sự quan tâm của các nhà khoa học nhự Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhós,.... Một số nhà toán học và cơ học Việt Nam, như Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, ... cũng nghiên cứu các phương pháp giải bài toán biên cho phương trình vi phân. Chẳng hạn, các kết quả liên quan đến phương trình vi phân thường phi tuyến cũng đã được tác giả Đặng Quang Á và cộng sự công bố trong [14], [15], [16],... Tác giả Phạm Kỳ Anh cũng đã đề xuất phương pháp lặp Seidel-Newton giải bài toán biên hai điểm x(n) + f (t, x, x0 , ..., x(n) ) = 0; x(i) (0) = x(i) (1); i = 0, ...n − 1, (0.0.1) 1
cũng như bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân thường, (xem [5]- [7]). Hướng nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn và bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến đã được một số tác giả Liên Xô cũ xét đến trong cuốn sách [45] của tác giả Samoilenko. Trong số các phương trình vi phân thì phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn được quan tâm rất nhiều trong thời gian gần đây vì nó là mô hình toán học của nhiều bài toán trong cơ học. Dưới đây chúng tôi điểm qua một số bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn. Đầu tiên, xét bài toán về dầm trên nền đàn hồi được mô tả bởi phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn dạng u(4) (x) = f (x, u(x), u00 (x)) (0.0.2) hoặc u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x)) (0.0.3) trong đó u là độ võng của dầm, 0 ≤ x ≤ L. Các điều kiện biên tại hai đầu của dầm được cho phụ thuộc vào ràng buộc của bài toán. Đã có một số kết quả nghiên cứu về định tính của các bài toán biên đối với các phương trình vi phân trên như sự tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm. Đáng chú ý phải kể đến các bài báo của Alves và cộng sự [2], Amster và cộng sự [3], Bai và cộng sự [8], Li ([25]-[27]), D. Ma và X. Yang [35], R. Ma và cộng sự [31], T. F. Ma ([32]-[34]),..., ở đó phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, phương pháp biến phân, các định lý điểm bất động được sử dụng. Trong các bài báo này, điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải f (x, u, v) hoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếu được. Để cụ thể hơn, ta xét bài toán mô tả độ võng của dầm trên nền đàn 2
hồi với hai đầu mút được gối-tựa đơn giản u(4) (x) = f (x, u(x), u00 (x)), 0 < x < 1, (0.0.4) 00 00 u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0, trong đó f : [0, 1] × R2 → R là hàm liên tục. Bài toán trên đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả vì nó có ý nghĩa quan trọng trong cơ học. Chẳng hạn, năm 1986, Aftabizadeh [1] đã thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán này với giả thiết về sự giới nội của hàm f (x, u, v) trong toàn miền [0, 1] × R2 . Tính duy nhất của nghiệm được chứng minh nếu thêm các giả thiết liên quan đến đạo hàm riêng của f theo u và v. Năm 1997, bằng phương pháp đơn điệu, khi biết trước nghiệm dưới và nghiệm trên, Ma và cộng sự [31] đã xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán. Ở đó, các tác giả thu nhận được kết quả với giả thiết hàm f (x, u, v) đơn điệu tăng theo biến u và đơn điệu giảm theo biến v trong dải được xác định bởi nghiệm dưới và nghiệm trên. Sau đó, vào năm 2004, khi nghiên cứu bài toán (0.0.4), Bai và cộng sự [8] độc lập với Ma cũng xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán bằng cách xét phương trình tương đương u(4) (x) − au00 (x) + bu(x) = f (x, u(x), u00 (x)) − au00 (x) + bu(x), (0.0.5) trong đó a, b là các hằng số dương được chọn phù hợp. Giả thiết f thỏa mãn một phía điều kiện Lipshitz theo u và v trong miền được định nghĩa phức tạp bởi các nghiệm dưới, nghiệm trên và các tham số a, b. Ý tưởng này cũng được sử dụng trong bài báo gần đây của Li [27]. Ngoài kết quả về sự tồn tại, Li còn thành công khi nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của bài toán. Cần lưu ý rằng, trong phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nói chung không dễ dàng. 3
Trong các bài báo đã nhắc đến ở trên, phương trình vi phân cấp bốn không chứa đạo hàm cấp ba. Khoảng hơn chục năm trở lại đây, phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ, cụ thể là phương trình u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)) (0.0.6) thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả (xem [10], [12], [18], [20], [28], [29], [37], [43],...). Các kết quả chính trong các bài báo trên là nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm. Các công cụ được sử dụng là lý thuyết bậc Leray–Schauder [43], định lý điểm bất động Schauder trên cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên [9], [18], [20], [37] hoặc giải tích Fourier [28]. Năm 2009, Minhós [37] nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ có dạng u(4) (x) = f (x, u, u0 , u00 , u000 ), 0 < x < 1, (0.0.7) với điều kiện biên u(0) = u0 (1) = u00 (0) = u000 (1) = 0, (0.0.8) trong đó f : [0, 1] × R4 → R là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện tăng trưởng Nagumo. Áp dụng phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm dưới và nghiệm trên, tác giả không những chỉ ra được kết quả tồn tại nghiệm mà còn đưa ra một số tính chất của nghiệm cũng như đạo hàm cấp một, cấp hai của nghiệm. Sự phụ thuộc vào đạo hàm cấp ba bị hạn chế bởi điều kiện tăng trưởng Nagumo. Trong bài báo gần đây, Pei và Chang [43] sử dụng lý thuyết Leray- Schauder chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ với giả thiết hàm f (x, u, y, v, z) thỏa mãn điều kiện Nagumo và không giảm theo u và không tăng theo v . 4
Đã có một số công trình, chẳng hạn, [19], [40], [41], trong đó các tác giả giải gần đúng một số bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ nhưng chưa thu được đánh giá sai số tổng hợp của nghiệm số thực sự nhận được. Năm 2013, Li và Liang [28] xét bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)), 0 < x < 1, (0.0.9) 00 00 u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0, trong đó f : [0, 1] × R4 → R là liên tục. Đây là bài toán mô tả độ võng của dầm trên nền đàn hồi với hai đầu được gối-tựa đơn giản. Dựa trên phương pháp giải tích Fourier và định lý điểm bất động Leray-Schauder, tác giả đã thiết lập được sự tồn tại nghiệm của bài toán nhưng dưới hạn chế về điều kiện tăng trưởng của hàm f (x, u, y, v, z) theo mỗi biến tại vô cùng. Năm 2016, Li [29] xét bài toán giá trị biên cấp bốn đầy đủ u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)), 0 < x < 1, (0.0.10) 0 00 000 u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = 0. Bài toán là mô hình của dầm côngxôn (cantilever beam) (cố định ở bên trái và tự do ở bên phải), trong đó f : [0, 1] × R4 → R là hàm liên tục. Một số điều kiện của hàm f được đặt ra đảm bảo sự tồn tại nghiệm dương của bài toán. Điều kiện đưa ra là hàm f (x, u, y, v, z) tăng trưởng trên tuyến tính (superlinear) hoặc dưới tuyến tính (sublinear) theo các biến u, y, v, z . Trong trường hợp tăng trưởng trên tuyến tính, điều kiện Nagumo hạn chế điều kiện tăng trưởng của f theo y và z . Kết quả này được chứng minh bằng việc sử dụng lý thuyết của chỉ số điểm bất động trong nón rất phức tạp. Tuy nhiên, trong tất cả các bài báo nêu trên, các tác giả cần đến một giả thiết rất quan trọng là hàm f : [0, 1] × R4 → R thỏa mãn điều kiện 5
Nagumo và một số điều kiện khác về tính đơn điệu và tăng trưởng tại vô cùng. Các bài toán về hệ phương trình vi phân cấp bốn được nghiên cứu chưa nhiều, chẳng hạn trong [4], [21], [22], [30], [50], trong đó các tác giả xét phương trình chỉ chứa các đạo hàm cấp chẵn. Bằng việc sử dụng định lý chỉ số điểm bất động trên nón, các tác giả đã thu được sự tồn tại nghiệm dương. Tuy nhiên, các kết quả đạt được là có tính lý thuyết thuần túy vì không có ví dụ nào minh họa sự tồn tại nghiệm. Năm 2012, trong [22] với các điều kiện rất phức tạp, tác giả đã thiết lập sự tồn tại nghiệm dương của hệ hai phương trình vi phân   u(4) (x) = f (x, u(x), v(x), u00 (x), v 00 (x)), 0 < x < 1,  v (4) (x) = h(x, u(x), v(x), u00 (x), v 00 (x)), 0 < x < 1, với các điều kiện biên   u(0) = u(1) = u00 (0) = u00 (1) = 0,  v(0) = v(1) = v 00 (0) = v 00 (1) = 0, trong đó f, h : [0, 1] × R+ × R+ × R− × R− → R+ là các hàm liên tục và u00 , v 00 trong f, h là các thành phần mô men uốn tương ứng với các hiệu ứng uốn. Đầu năm 2017, Minhós và Coxe [38], [39] là các tác giả đầu tiên xét hệ hai phương trình cấp bốn đầy đủ   u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x), v(x), v 0 (x), v 00 (x), v 000 (x)),  v (4) (x) = h(x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x), v(x), v 0 (x), v 00 (x), v 000 (x)), (0.0.11) với các điều kiện biên   u(0) = u0 (0) = u00 (0) = u00 (1) = 0, (0.0.12)  v(0) = v 0 (0) = v 00 (0) = v 00 (1) = 0. 6
Tác giả đã đưa ra các điều kiện đủ cho tính giải được của hệ bằng việc sử dụng phương pháp nghiệm dưới, nghiệm trên và Định lý điểm bất động Schauder. Chứng minh kết quả này rất cồng kềnh và phức tạp, trong đó đòi hỏi điều kiện Nagumo đối với các hàm f và h. Mặc dù đã có các thành tựu quan trọng đạt được trong việc nghiên cứu định tính và tìm lời giải của các bài toán biên phi tuyến, song sự phát triển của các lĩnh vực ứng dụng như cơ học, vật lý, sinh học,. . . luôn đặt ra các bài toán mới mà phương trình cũng như các điều kiện biên phức tạp hơn. Các bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và thực tiễn. Hơn nữa, trong các bài báo kể trên, các điều kiện đưa ra phức tạp và khó kiểm tra, trong đó hạn chế về điều kiện Nagumo và điều kiện tăng trưởng tại vô cùng của hàm vế phải. Với phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nói chung không dễ dàng. Mặt khác, một số bài báo chưa có ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết. Chính vì thế, việc tiếp tục nghiên cứu cả về mặt định tính và định lượng các bài toán mới cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau là rất có ý nghĩa khoa học và thực tiễn. Đó là lí do vì sao chúng tôi chọn đề tài: "Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn". 2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận án Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp lặp kết hợp với các phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài toán biên hai điểm đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm, trong đó không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo,... 7
của hàm vế phải. 3. Phương pháp và nội dung nghiên cứu Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm của một số bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ. Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp. Một số ví dụ được đưa ra, trong đó biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng, để minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và thực hiện tính toán trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụ của các phương pháp. 4. Kết quả đạt được của luận án Luận án đề xuất phương pháp nghiên cứu định tính và phương pháp lặp giải bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải. Các kết quả đạt được là: • Thiết lập được sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm của các bài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra. • Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ của phương pháp với tốc độ cấp số nhân. • Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả 8
lý thuyết, trong đó có các ví dụ mà sự tồn tại hoặc tính duy nhất nghiệm của chúng không được bảo đảm bởi các tác giả khác do không thỏa mãn các điều kiện trong các định lý của họ. • Các thực nghiệm tính toán minh họa tính hiệu quả của phương pháp lặp. Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [A1]-[A6] trong danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án. 5. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án gồm 3 chương: Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số định lý điểm bất động; phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi phân; hàm Green đối với một số bài toán và phương pháp số giải phương trình vi phân. Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong Chương 2 và Chương 3. Trong Chương 2, bằng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, chứ không phải đối với ẩn hàm, chúng tôi đã thiết lập sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất của nghiệm đối với một số bài toán cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ. Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp. Một số ví dụ, trong đó biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng, đã minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp. Tiếp tục phát triển các kỹ thuật của Chương 2, trong Chương 3, đối 9
với hệ hai phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ, chúng tôi cũng thu được các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp. Các kết quả này làm phong phú thêm và khẳng định tính hiệu quả của cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải. Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máy tính PC với CPU Intel Core i3, 4GB RAM. 10
Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo luận tại: 1. Hội nghị toàn quốc lần thứ IV về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 23- 25/12/2015. 2. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 21- 23/4/2016. 3. Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 12-13/11/2016. 4. International Conference on Advances in Information and Communi- cation Technology, Thai Nguyen, Vietnam 12-13, Dec 2016. 5. Seminar khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ thông tin, Viện Công nghệ thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. 11
Chương 1 Kiến thức bổ trợ Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu [24], [31], [36], [46], [48], [49]. 1.1. Một số định lý điểm bất động Cho ánh xạ T : A → A, trong đó A là không gian Banach. Mỗi nghiệm x của phương trình x = T x được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T . Ba định lý điểm bất động sau đây là các định lý nền tảng cơ bản được sử dụng phổ biến trong các bài toán ứng dụng. 1. Định lý điểm bất động Banach cho các toán tử co với hệ số co k . 2. Định lý điểm bất động Brouwer cho các toán tử liên tục trong không gian hữu hạn chiều. 3. Định lý điểm bất động Schauder cho các toán tử hoàn toàn liên tục trên một tập con lồi, khác rỗng và compact trong không gian Banach (vô hạn chiều). Đây là một tổng quát hóa của định lý điểm bất động Brouwer. Ngoài ra, một số định lý điểm bất động quan trọng khác được sử dụng nhiều trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phi tuyến, chẳng hạn như định lý Leray-Schauder cho các toán tử compact 12