Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:79

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án "Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ" tập trung nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz phân thứ, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình LaneEmden phân thứ. Ngoài ra, luận án cũng tập trung chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của lớp phương trình và hệ phương trình elliptic phân thứ chứa số hạng gradient.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUỲNH TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2024
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUỲNH TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS Nguyễn Như Thắng Hà Nội, 2024
LỜI CAM ĐOAN Luận án này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Như Thắng. Những kết quả được đưa vào luận án đều đã được các đồng tác giả đồng ý. Các kết quả trong luận án là mới và chưa từng được công bố trong công trình của ai khác. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm nếu có sự không trung thực trong công trình nghiên cứu này. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Quỳnh 1
LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Như Thắng. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy trong Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học và Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tác giả xin cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ và động viên trong trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Công nghiệp Hà Nội, các đồng nghiệp công tác tại Khoa Khoa học cơ bản đã luôn ủng hộ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Quỹ Đổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài trợ để tác giả có thể tập trung học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án một cách tốt nhất. Tác giả xin trân trọng cảm ơn những người bạn nghiên cứu sinh của Bộ môn Giải tích đã đồng hành, chia sẻ và giúp đỡ tác giả, đặc biệt là chị Chi, em Hiền Anh, anh Thắng .... Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người đã luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án. 2
Mục lục LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5. Cấu trúc và các kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2. Toán tử Laplace phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Một số tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Nghiệm trên của hệ Lane-Emden phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Tính chất nghiệm của phương trình Lichnerowicz phân thứ 25 2.1. Phát biểu bài toán và các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2. Kết quả về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3
2.2. Chứng minh về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1. Cận dưới đều của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2. Sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường . . . . . . . . . 30 Chương 3. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1. Phát biểu bài toán và các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2. Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.1. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình với số mũ p ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.2. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình . . . 45 Chương 4. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient . . . . . . 50 4.1. Phát biểu bài toán và các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.2. Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.3. Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4
4.2. Chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.1. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình trong trường hợp dưới tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.2. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình trong trường hợp dưới tới hạn hoặc tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.3. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình trong trường hợp dưới tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.4. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình trong trường hợp tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . . 69 5
MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN RN Không gian vectơ thực N chiều với chuẩn Euclid; |x| Chuẩn Euclide của x trong không gian RN ; BR Hình cầu tâm tại gốc tọa độ và bán kính R trong RN ; BR (x) Hình cầu tâm x và bán kính R trong RN ; C k (Ω) Không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trong Ω; Cck (Ω) Không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k có giá compact trong Ω; ∇ Toán tử gradient; ∆ Toán tử Laplace; (−∆)s Toán tử Laplace phân thứ; L p (RN ) Không gian các hàm khả tích bậc p trên RN ; p L l oc (RN ) Không gian các hàm khả tích địa phương bậc p trên RN ; ¦ © |u(x)| R Ls (RN ) = u ∈ Lloc 1 (RN ); RN (1+|x|)N +2s d x < ∞ ; S (RN ) Không gian Schwartz các hàm giảm nhanh trên RN ; C α (RN ) older cấp α, 0 < α < 1, trên Không gian các hàm liên tục H¨ RN ; 6
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu Trong những năm gần đây, các nhà toán học trên thế giới dành sự quan tâm đến các phương trình đạo hàm riêng loại elliptic và parabolic không địa phương, mà một số phương trình tiêu biểu chứa toán tử Laplace phân thứ, hay p-Laplace phân thứ,... nhờ những ứng dụng trong vật lí, sinh học, tài chính.... Tính không địa phương của phương trình có thể tới từ số hạng không gian như toán tử Laplace phân thứ, hoặc đạo hàm không địa phương theo biến thời gian (đạo hàm phân thứ, đạo hàm không địa phương,... đối với phương trình kiểu parabolic). Hơn nữa, toán tử Laplace phân thứ còn được xem như toán tử sinh của quá trình khuếch tán Lévy [4]. Ta biết rằng toán tử Laplace phân thứ (−∆)s , 0 < s < 1, được định nghĩa như một toán tử không địa phương trên không gian các hàm giảm nhanh bởi Z u(x) − u(ξ) (−∆) u(x) = cN ,s P.V. s dξ RN |x − ξ|N +2s Z u(x) − u(ξ) = cN ,s lim dξ, ϵ→0 RN \B (x) |x − ξ|N +2s ϵ ở đây cN ,s là hằng số chuẩn hoá và P.V. là giá trị chính Cauchy. Mặt khác, toán tử Laplace phân thứ còn được định nghĩa thông qua biến đổi Fourier F ((−∆)s u) (ξ) = |ξ|s F u(ξ), với F u là biến đổi Fourier của hàm u, xem [55]. Hơn nữa, ta có thể mở rộng định nghĩa của toán tử Laplace phân thứ theo nghĩa phân phối trên không gian Z |u(x)| N 1 Ls (R ) = u ∈ Lloc (R ); N dx < ∞ . R N (|x| + 1) N +2s Ngoài ra, nếu u ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ) với σ > s, thì (−∆)s u(x) xác định tại mọi x ∈ RN , xem [55]. 7
Cho đến nay, đã có nhiều kết quả về tính chất định tính cho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng chứa toán tử Laplace như sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính chính qui, tính ổn định.... Tuy nhiên, các kết quả tương tự cho các phương trình không địa phương chứa toán tử Laplace phân thứ, p-Laplace phân thứ vẫn còn rất hạn chế bởi các khó khăn khi phải làm việc với toán tử không địa phương. Khó khăn này đòi hỏi cách tiếp cận mới cho các bài toán không địa phương và các phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ trở thành một trong những chủ đề quan trọng trong chuyên ngành. Chủ đề thứ nhất được nghiên cứu trong luận án là phương trình Lichnerow- icz phân thứ vt + (−∆)s v = v −p−2 − v p trong RN × R (0.1) và phương trình elliptic tương ứng (−∆)s u = u−p−2 − u p trong RN , (0.2) ở đó p > 0 và 0 < s < 1. Nhắc lại rằng, trường hợp s = 1, (0.1) và (0.2) trở thành vt − ∆v = v −p−2 − v p trong RN × R (0.3) và phương trình elliptic tương ứng −∆u = u−p−2 − u p trong RN . (0.4) Các phương trình này được biết đến với tên gọi phương trình Lichnerowicz, xem [20, 21, 47] và các tài liệu tham khảo trong đó. Gần đây, phương trình kiểu Lichnerowicz nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước, xem [12, 52, 53] cho phương trình elliptic và [29, 70, 71] cho phương trình parabolic. Trong [52, 53], người ta chứng minh rằng nếu p > 1 thì phương trình (0.4) chỉ có nghiệm dương tầm thường u = 1. Kết quả này sau đó được chứng minh lại bởi [12] bằng cách sử dụng một kiểu nguyên lí cực trị và lí thuyết Keller- Osserman. Hơn nữa, trong [12] người ta còn chỉ ra rằng nếu 0 < p ≤ 1 thì 8
(0.4) có nghiệm dương không tầm thường. Dựa vào kết quả trong [12] cho (0.4), chúng tôi đặt câu hỏi tương tự cho trường hợp phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ. Chủ đề thứ hai trong luận án là nghiên cứu phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = u p trong RN . (0.5) và hệ Lane-Emden phân thứ   (−∆)s u = v p trong RN , (0.6)  (−∆)s v = uq trong RN ở đó p, q ∈ R và 0 < s < 1. Xét phương trình (0.5) với s = 1, tức là phương trình Lane-Emden −∆u = u p trong RN . (0.7) Trong trường hợp này, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của (0.7) đã được chứng minh trong bài báo nổi tiếng của Gidas và Spruck [44, 45]. Đối với lớp nghiệm trên dương của phương trình (0.7), định lí kiểu Liouville tối ưu cũng đã được chứng minh hoàn toàn, xem [5]. Xét hệ (0.6) với s = 1, tức là hệ Lane-Emden   −∆u = v p trong RN , (0.8)  −∆v = uq trong RN Giả thuyết Lane-Emden phát biểu rằng hệ (0.8) có nghiệm dương nếu và chỉ nếu 1 1 2 p, q > 0 và + ≤1− . p+1 q+1 N Giả thuyết này đã được chứng minh cho lớp nghiệm radial với số chiều tùy ý [54, 61, 62]. Trong trường hợp nghiệm không radial, giả thuyết Lane-Emden chỉ được chứng minh với số chiều N ≤ 4, xem [62, 64] và còn bỏ ngỏ với số chiều N ≥ 5. 9
Đối với lớp nghiệm trên dương của (0.8), định lí kiểu Liouville tối ưu cũng đã được chứng minh hoàn toàn, xem [5]. Kết quả dưới đây đã được chỉ ra trong [5]. Định lí A. ([5]) Hệ phương trình (0.8) không có nghiệm trên dương nếu và chỉ nếu (p, q) thỏa mãn một trong các điều kiện sau (i) p ≤ 0 hoặc q ≤ 0. (ii) p, q > 0 và pq ≤ 1. ¦ © 2(p+1) 2(q+1) (iii) p, q > 0, pq > 1 và max pq−1 , pq−1 ≥ N − 2. ¦ © 2(p+1) 2(q+1) Thêm vào đó, khi p, q > 0, pq > 1 và max pq−1 , pq−1 < N −2, hệ phương trình (0.8) có nghiệm trên dương dạng  − p+1  u(x) = k (1 + |x|2 pq−1 1 q+1 ,  v(x) = k (1 + |x|2 − pq−1 2 ở đó k1 và k2 là các hằng số dương đủ nhỏ. Bây giờ, chúng ta xét trường hợp phương trình Lane-Emden (0.5) và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ (0.6) với 0 < s < 1. Kết quả về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của phương trình Lane-Emden trong [44] đã được mở rộng cho phương trình Lane-Emden phân thứ trong [18, 51], ở đó N +2s số mũ tới hạn được cho bởi pc (s) = N −2s . Sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của (0.5) đã được nghiên cứu trong [38]. Cụ thể, các tác giả đã thu được kết quả sau đây về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương. Định lí B. ([38]) "Giả sử rằng 0 < s < 1 và N > 2s. (0.9) Khi đó, phương trình (0.5) không có nghiệm trên dương với điều kiện N 1
N Hơn nữa, khi p > N −2s , phương trình (0.5) có nghiệm trên dương dạng ϵ u(x) = (1 + |x|)2sk 1 N −2s với k là số thỏa mãn p−1 0 đủ nhỏ." Tương tự như trường hợp của toán tử Laplace, một câu hỏi tự nhiên là phương trình (0.5) có nghiệm trên dương hay không khi −∞ < p ≤ 1. Luận án sẽ đưa ra câu trả lời cho câu hỏi này. Liên quan đến hệ (0.6), cho đến nay cũng đã có một vài kết quả kiểu Liou- ville trong các công trình [27, 56, 58]. Ngoài ra, tính đối xứng của các thành phần đã được thiết lập trong [69]. Mặt khác, việc phân loại nghiệm trên dương cũng đã được nghiên cứu trong [11, 49]. Nhắc lại rằng, nghiệm trên dương của (0.6) là một cặp hàm dương (u, v), u, v ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ), thỏa mãn   (−∆)s u ≥ v p trong RN .  (−∆)s v ≥ uq trong RN Bằng cách mở rộng kĩ thuật của [5], các tác giả trong [49] đã thu được kết quả sau. Định lí C. "Giả sử rằng 0 < s < 1, N > 2s và p, q > 0, pq > 1. Khi đó, hệ (0.6) không có nghiệm trên dương khi 2s(p + 1) 2s(q + 1) § ª max , ≥ N − 2s.” pq − 1 pq − 1 Trong trường hợp 2s(p + 1) 2s(q + 1) § ª max , < N − 2s, pq − 1 pq − 1 nghiệm trên dương tường minh của hệ Lane-Emden phân thứ cũng đã được chỉ ra trong [49] dạng A u(x) = (1 + |x|)2sk1 và B v(x) = , (1 + |x|)2sk2 11
ở đó A, B > 0 sẽ là các hằng số thích hợp và p+1 q+1 k1 = and k2 = . pq − 1 pq − 1 Gần đây, Biswas [11] đã chứng minh rằng, hệ (0.6) không có nghiệm trên dương trong trường hợp p, q > 0 và pq ≤ 1 bằng cách sử dụng kĩ thuật xác suất. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay vẫn chưa có kết quả nào về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của (0.6) khi p ≤ 0 hoặc q ≤ 0. Do đó, dựa vào kết quả đã có cho toán tử Laplace (Định lí A), chúng tôi sẽ chứng minh rằng hệ (0.6) không có nghiệm trên dương khi p ≤ 0 hoặc q ≤ 0. Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa ra một chứng minh đơn giản về sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ (0.6) khi p > 0, q > 0 và pq ≤ 1 hoặc ¦ © 2s(p+1) 2s(q+1) p > 0, q > 0, pq > 1 và max pq−1 , pq−1 > N − 2s. Chủ đề thứ ba trong luận án là một nghiên cứu tiếp theo của chủ đề thứ hai. Xét phương trình (−∆)s u + b · ∇u = u p trong RN (0.10) và hệ   (−∆)s u + b · ∇u = v p trong RN , (0.11)  (−∆)s v + b · ∇v = uq trong RN trong đó các số mũ p và q là các số thực, (−∆)s là toán tử Laplace phân thứ với 0 < s < 1, N > 2s và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện tăng trưởng ở vô cùng C |b(x)| ≤ , với θ ≥ 0. (0.12) |x|θ Khi s = 1 và b = 0, phương trình (0.10) và hệ (0.11) lần lượt trở thành phương trình Lane-Emden và hệ Lane-Emden. Các kết quả liên quan đến phương trình và hệ phương trình này đã được nói đến ở trên. Tiếp theo chúng ta xét trường hợp 0 < s < 1 và b = 0, phương trình (0.10) và hệ (0.11) lần lượt trở thành phương trình Lane-Emden phân thứ và hệ Lane-Emden phân thứ. Một số kết quả đã có cho phương trình và hệ phương trình này cũng đã được đề cập ở trên. 12
Bây giờ chúng ta chuyển sang trường hợp khi b ̸= 0. Đầu tiên, nếu s = 1, phương trình (0.10) và hệ (0.11) trở thành −∆u + b · ∇u = u p (0.13) và   −∆u + b · ∇u = v p (0.14)  −∆v + b · ∇v = uq . Phương trình và hệ phương trình này đã được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây [1–3, 8, 9, 16, 23, 30, 31, 46, 48]. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của (0.13) trên các miền ngoài đã được thiết lập trong [8, 9, 31, 46]. Điều kiện cho sự không tồn tại nghiệm trên dương trong trường hợp này là N 1 < p ≤ N −2 . Trong trường hợp tuyến tính, tức là p = 1, sự không tồn tại nghiệm trên dương của (0.13) đã được nghiên cứu trong [1, 8, 9]. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của (0.14) trên toàn không gian đã được nghiên cứu trong [31], trong đó p và q không nhất thiết phải lớn hơn một. Với lớp nghiệm ổn định, một số định lí kiểu Liouville cho (0.14) đã được thiết lập trong [30, 48]. Trong trường hợp tổng quát, các bài toán chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient đã thu hút nhiều sự chú ý trong những năm gần đây [6, 7, 19, 36, 39, 43, 57, 68]. Trong [57], tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui tối ưu của nghiệm của bài toán chứa toán tử Lu = (−∆)s + b · ∇u + cu. Ước lượng nhân nhiệt cho toán tử (−∆)s + b · ∇ đã được đưa ra trong [17, 19]. Trong [7], sự tồn tại nghiệm trên bị chặn của phương trình (−∆)s u + |∇u|q = λ f (u) đã được chứng minh trong một số điều kiện của tham số. Theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay chưa có kết quả nào về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của (0.10) và (0.11). Trong luận án này, chúng tôi thiết lập được điều kiện cho sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình chứa số hạng gradient. 13
2. Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz phân thứ, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ. Ngoài ra, luận án cũng tập trung chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của lớp phương trình và hệ phương trình elliptic phân thứ chứa số hạng gradient. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Chúng tôi nghiên cứu trong luận án này một số phương trình và hệ phương trình elliptic phi tuyến chứa toán tử Laplace phân thứ. • Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu chính trong luận án bao gồm: Nội dung 1: Nghiên cứu cận dưới đều, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz parabolic chứa toán tử Laplace phân thứ vt + (−∆)s v = v −p−2 − v p trong RN × R và phương trình elliptic tương ứng (−∆)s u = u−p−2 − u p trong RN , ở đó p > 0 và 0 < s < 1. Nội dung 2: Nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = u p trong RN . và hệ Lane-Emden phân thứ   (−∆)s u = v p trong RN ,  (−∆)s v = uq trong RN 14
ở đó p, q ∈ R và 0 < s < 1. Nội dung 3: Nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình elliptic phân thứ (−∆)s u + b · ∇u = u p trong RN và hệ phương trình elliptic phân thứ   (−∆)s u + b · ∇u = v p trong RN ,  (−∆)s v + b · ∇v = uq trong RN trong đó các số mũ p và q là các số thực, (−∆)s là toán tử Laplace phân thứ với 0 < s < 1, N > 2s và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn một số điều kiện tăng trưởng ở vô cùng. 4. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận án như sau: • Phương pháp hàm thử. • Xây dựng hàm phụ và sử dụng nguyên lí cực trị • Phương pháp đổi biến để đưa hệ bất đẳng thức về một bất đẳng thức. • Đánh giá bất đẳng thức và ước lượng tích phân phi tuyến. 5. Cấu trúc và các kết quả của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình đã công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương như sau: • Chương 1 trình bày một số kiến thức cần dùng cho các chương sau như: các bất đẳng thức sơ cấp, toán tử Laplace phân thứ và một số tính chất cơ bản, một số bất đẳng thức liên quan đến toán tử Laplace phân thứ. 15
• Chương 2 trình bày kết quả về cận dưới đều cho nghiệm của phương trình Lichnerowicz phân thứ và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường của phương trình này. • Chương 3 trình bày sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ trong một số trường hợp của số mũ p, q. • Chương 4 trình bày một số kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình elliptic chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient. Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 03 bài báo trên các tạp chí quốc tế trong danh mục SCIE. Kết quả của luận án cũng đã được trình bày tại Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và tại Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ X năm 2023. 16
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị gồm: một số bất đẳng thức thường dùng, toán tử Laplace phân thứ và một số tính chất. Chương này được viết dựa trên tài liệu [25, 35, 55, 66, 69]. 1.1. Một số bất đẳng thức Trong mục này, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức cần dùng cho các chương sau. Bất đẳng thức Young 1 1 Cho p và q là hai số dương thỏa mãn p + q = 1. Khi đó, với mọi a > 0 và b > 0, ta có a p bq ab ≤ + . p q Bất đẳng thức H¨ older 1 1 Cho p và q là hai số dương thỏa mãn p + q = 1. Khi đó, với mọi hàm f ∈ L p (Ω) và g ∈ L q (Ω), Ω ⊂ RN , ta có   1p   1q Z Z Z | f (x)g(x)| d x ≤  | f (x) | p d x   |g(x))|q d x  . Ω Ω Ω 17
1.2. Toán tử Laplace phân thứ Cho 0 < s < 1. Toán tử Laplace phân thứ (−∆)s được định nghĩa như một toán tử không địa phương trên không gian Schwartz S (RN ) các hàm giảm nhanh bởi Z u(x) − u(ξ) (−∆)s u(x) = cN ,s P.V. dξ N |x − ξ|N +2s ZR u(x) − u(ξ) = cN ,s lim dξ, ϵ→0 RN \Bϵ (x) |x − ξ|N +2s ở đây P.V. là giá trị chính Cauchy. Hằng số chuẩn hóa cN ,s > 0 được cho bởi 4s Γ (n/2 + s) s(1 − s)4s Γ (n/2 + s) cN ,s = = . |Γ (−s)|πn/2 |Γ (2 − s)|πn/2 Đặc biệt, cN ,s → 0 khi s → 0+ và s → 1− . Chú ý rằng, khi 0 < s < 12 thì tích phân ở trên luôn hội tụ. Thật vậy, |x − ξ| Z Z Z |u(x) − u(ξ)| 1 dξ ≤ C dξ + ∥u∥ L ∞ (RN ) dξ RN |x − ξ| N +2s BR |x − ξ| N +2s BR |x − ξ|N +2s Z R Z +∞ 1 1 =C dρ + dρ < +∞. 0 |ρ|2s R |ρ|2s+1 Tiếp theo, ta có định nghĩa tương đương của toán tử Laplace phân thứ. Bổ đề 1.1. ( [25, Lemma 3.2]) Cho s ∈ (0, 1) và (−∆)s là toán tử Laplace phân thứ. Khi đó, với mọi S (RN ), ta có u(x + y) + u(x − y) − 2u(x) Z 1 (−∆) u(x) = − cN ,s s n+2s d y, ∀x ∈ Rn . 2 R N | y| Bổ đề 1.2. ([37, Lemma 2.1]) Cho ϕ ∈ Cc∞ (RN ). Khi đó, C |(−∆)s ϕ(x)| ≤ , 1 + |x|N +2s với mọi x ∈ RN . Toán tử Laplace phân thứ được mở rộng theo nghĩa phân phối trên không gian Ls (RN ), ở đó Z |u(x)| 1 Ls (RN ) = u ∈ Lloc (RN ); dx < ∞ . RN (1 + |x|)N +2s 18