Luận văn:Công thức khai triển Taylor- Gontcharov và áp dụng

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

460
lượt xem 114
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'luận văn:công thức khai triển taylor- gontcharov và áp dụng', luận văn - báo cáo, khoa học tự nhiên phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn:Công thức khai triển Taylor- Gontcharov và áp dụng

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN TR N VĂN LONG CÔNG TH C KHAI TRI N TAYLOR - GONTCHAROV VÀ ÁP D NG LU N VĂN TH C S TOÁN H C HÀ N I, NĂM 2009
Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN TR N VĂN LONG CÔNG TH C KHAI TRI N TAYLOR - GONTCHAROV VÀ ÁP D NG Chuyên ngành : GI I TÍCH Mã s : 60 46 01 LU N VĂN TH C S TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TSKH. NGUY N VĂN M U HÀ N I - NĂM 2009
M CL C M đu 3 1 Khai tri n Taylor 6 1.1 M t s ki n th c chu n b . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 6 1.1.1 M t s tính ch t c a đa th c . . . . . . .. . . . . . . 6 1.1.2 M t s đ nh lý cơ b n c a gi i tích c đi n . . . . . . 7 1.2 Khai tri n Taylor đ i v i đa th c . . . . . . . . .. . . . . . . 8 1.3 Khai tri n Taylor v i các ph n dư khác nhau . .. . . . . . . 12 2 Công th c khai tri n Taylor - Gontcharov 18 2.1 Bài toán n i suy Newton và công th c khai tri n Taylor - Gontcharov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 Bài toán n i suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Công th c khai tri n Taylor - Gontcharov . . . . . . . 20 2.2 Khai tri n Taylor - Gontcharov v i các ph n dư khác nhau . . 24 2.2.1 Khai tri n Taylor - Gontcharov v i ph n dư d ng La- grange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Khai tri n Taylor - Gontcharov v i ph n dư d ng Cauchy 29 2.3 S h i t trong khai tri n Taylor và khai tri n Taylor- Gontcharov 31 2.4 Bài toán n i suy Newton đ i v i hàm đa th c nhi u bi n. . . 38 2.4.1 Bài toán n i suy Taylor đ i v i hàm đa th c nhi u bi n 38 2.4.2 Bài toán n i suy Newton đ i v i hàm đa th c nhi u bi n. 39 3 M t s bài toán áp d ng 43 3.1 Khai tri n Taylor c a m t s hàm sơ c p và ng d ng . . . . 43 3.1.1 Ư c lư ng và đánh giá sai s . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.2 Tính gi i h n hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Khai tri n Taylor- Gontcharov v i bài toán ư c lư ng hàm s 54 K t lu n 61 Tài li u tham kh o 62 2
M ĐU Khai tri n đa th c nói riêng và khai tri n hàm s nói chung cùng nh ng v n đ liên quan đ n nó là m t ph n quan tr ng c a đ i s và gi i tích toán h c. Cùng v i các bài toán n i suy, các bài toán v khai tri n hàm s có v trí đ c bi t trong toán h c không ch như là nh ng đ i tư ng đ nghiên c u mà còn đóng vai trò như là m t trong nh ng công c đ c l c c a các mô hình liên t c cũng như các mô hình r i r c c a gi i tích trong lý thuy t phương trình vi phân, lý thuy t x p x , lý thuy t bi u di n,.... Lý thuy t khai tri n hàm s cùng các bài toán n i suy liên quan ra đ i r t s m v i các công trình c a Taylor, Lagrange, Newton... Tuy nhiên, vi c xây d ng bài toán khai tri n hàm s th a mãn nh ng yêu c u khác nhau cũng như vi c xây d ng lý thuy t hoàn thi n v khai tri n hàm s nói chung đ n nay v n đang đư c nhi u nhà toán h c ti p t c nghiên c u và phát tri n theo nhi u hư ng. Lý thuy t các bài toán v khai tri n hàm s cũng như các bài toán n i suy c đi n có liên quan ch t ch đ n các đ c trưng cơ b n c a hàm s như tính đơn đi u, tính l i lõm, tính tu n hoàn,... là nh ng m ng ki n th c quan tr ng trong chương trình gi i tích. Trong các giáo trình gi i tích đ i h c ta đã bi t bài toán n i suy Taylor Gi s hàm f xác đ nh trên t p h p Ω ⊂ R, trong đó Ω là h p c a các kho ng m trên tr c th c. Gi s f kh vi c p n t i đi m a ∈ Ω . Hãy xác đ nh các đa th c Pn (x) có b c deg Pn (x) ≤ n sao cho Pnk) (a) = f (k) (a), k = 0, 1, . . . , n. ( 3
T đó ta có khai tri n Taylor c a hàm f (x) t i đi m a 1 1 1 f (x) = f (a)+ f (a)(x−a)+ f (a)(x−a)2 +...+ f (n) (a)(x−a)n +Rn (f ; x) 1! 2! n! v i các ph n dư d ng Lagrange và Cauchy. (k ) Trong khai tri n Taylor, khi xét b đi m M (a, Pn (a)), k = 0, 1, ..., n ta th y chúng cùng n m trên đư ng th ng x = a. Khi cho a thay đ i và nh n giá tr ph thu c vào k thì ta đư c m t b đi m m i d ng Mk (xk , Pnk) (xk )), k = 0, 1, ..., n ( Khi đó, ta thu đư c bài toán n i suy Newton và d n đ n khai tri n Taylor- Gontcharov là m t m r ng t nhiên c a khai tri n Taylor. Lu n văn t p trung đi gi i quy t v n đ xây d ng công th c nghi m c a bài toán n i suy Newton, đưa ra bi u di n hàm s f (x) theo công th c khai tri n Taylor- Gontcharov và đ c bi t đưa ra các đánh giá ph n dư c a khai tri n Taylor - Gontcharov c a hàm f (x) dư i hai d ng Lagrange và Cauchy cũng như m r ng bài toán đ i v i hàm đa th c nhi u bi n. Lu n văn g m ph n m đ u và đư c chia thành ba chương Chương 1: Nh c l i các ki n th c cơ b n v đa th c và m t s đ nh lý cơ b n c a gi i tích c đi n s dùng trong lu n văn. Ti p theo tác gi trình bày bài toán n i suy Taylor, khai tri n Taylor và các đánh giá ph n dư c a khai tri n Taylor. Chương 2: Là ph n chính c a lu n văn. B t đ u b ng vi c kh o sát bài toán n i suy Newton, đưa ra công th c nghi m c a bài toán n i suy New- ton. T đó d n đ n khai tri n Taylor- Gontcharov c a hàm f (x) theo các m c n i suy x0 , x1 , ..., xn và đ c bi t đưa ra các đánh giá ư c lư ng ph n dư c a khai tri n Taylor- Gontcharov dư i d ng Lagrange và Cauchy. Ph n ti p theo, tác gi đánh giá s h i t trong khai tri n Taylor và khai tri n Taylor - Gontcharov. Cu i cùng là m r ng c a khai tri n Taylor - Gontcharov cho 4
hàm đa th c nhi u bi n. Chương 3: Đ c p đ n m t s ng d ng c a khai tri n Taylor và khai tri n Taylor - Gontcharov cũng như c a bài toán n i suy Newton trong ư c lư ng và đánh giá sai s , tìm gi i h n hàm s . Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n khoa h c c a NGND.GS. TSKH Nguy n Văn M u, trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà n i, ngư i Th y đã t n tình hư ng d n, giúp đ tác gi trong su t quá trình hoàn thành b n lu n văn này. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành và kính tr ng sâu s c đ i v i Giáo sư. Tác gi xin bày t lòng c m ơn t i các th y cô giáo, các thành viên, các anh ch đ ng nghi p trong Seminare Gi i tích trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà n i v nh ng ý ki n đóng góp quý báu, s giúp đ t n tình và s c vũ h t s c to l n trong su t th i gian qua. Tác gi xin chân thành c m ơn Ban giám hi u, phòng sau Đ i h c, khoa Toán - Cơ - Tin h c trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà n i đã t o đi u ki n thu n l i cho tác gi trong su t quá trình h c t p t i trư ng. Tác gi cũng xin chân thành c m ơn S Giáo d c - Đào t o Nam Đ nh, trư ng THPT M Tho và gia đình đã đ ng viên, t o đi u ki n thu n l i cho tác gi trong su t khóa h c. Hà n i, tháng 12 năm 2009 Tác gi Tr n Văn Long 5
CHƯƠNG 1 KHAI TRI N TAYLOR 1.1 M t s ki n th c chu n b 1.1.1 M t s tính ch t c a đa th c Các đ nh nghĩa, tính ch t trong m c này đư c trích t [2]. Đ nh nghĩa 1.1. Cho vành A là m t vành giao hoán có đơn v . Ta g i đa th c b c n bi n x là bi u th c có d ng Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 .(an = 0) trong đó các s ai ∈ A đư c g i là các h s , an g i là h s b c cao nh t và a0 g i là h s t do c a đa th c. T p h p t t c các đa th c v i h s l y trong vành A đư c ký hi u là A[x]. Khi A là m t trư ng thì vành A[x] là m t vành giao hoán có đơn v . Các vành đa th c thư ng g p là Z[x], Q[x], R[x], C[x]. Đ nh nghĩa 1.2. Cho hai đa th c P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 Q(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + ... + b1 x + b0 Ta đ nh nghĩa các phép toán sau P (x) + Q(x) = (an + bn )xn + (an−1 + bn−1 )xn−1 + ... + (a1 + b1 )x + a0 + b0 P (x) − Q(x) = (an − bn )xn + (an−1 − bn−1 )xn−1 + ... + (a1 − b1 )x + a0 − b0 P (x).Q(x) = c2n x2n + c2n−1 x2n−1 + ... + c1 x + c0 trong đó ck = a0 bk + a1 bk−1 + ... + ak b0 , k = 0, 1, ..., n. 6
Đ nh lý 1.1. Gi s A là m t trư ng, f (x), g (x) là hai đa th c khác 0 c a vành A[x]. Khi đó, t n t i duy nh t c p đa th c q (x), r(x) thu c A[x] sao cho f (x) = g (x).q (x) + r(x) v i deg(r(x)) < deg(g (x)). Khi r(x) = 0, ta nói f (x) chia h t cho g (x). N u f (a) = 0 thì ta nói a là nghi m c a f (x). Bài toán tìm các nghi m c a f (x) trong A đư c g i là gi i phương trình đ i s b c n an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 = 0(an = 0) trong A. Đ nh lý 1.2. Gi s A là m t trư ng, a ∈ A và f (x) ∈ A[x]. Khi đó, dư c a phép chia f (x) cho x − a chính là f (a). Đ nh lý 1.3. M i đa th c b c n đ u có không quá n nghi m th c. Đ nh lý 1.4. Đa th c có vô s nghi m là đa th c không. 1.1.2 M t s đ nh lý cơ b n c a gi i tích c đi n Sau đây, ta nh c l i m t s đ nh lý cơ b n s dùng trong các ph n sau. Các đ nh lý này đư c trích t [3]. Đ nh lý 1.5 (Rolle). Gi s f : [a, b] → R liên t c trên đo n [a; b] và có đ o hàm trên kho ng (a, b) . N u f (a) = f (b) thì t n t i ít nh t m t đi m c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0. Đ nh lý 1.6 (Lagrange). N u hàm s f liên t c trên đo n [a; b] và có đ o hàm trên kho ng (a, b) thì t n t i ít nh t m t đi m c ∈ (a; b) sao cho f (b) − f (a) = f (c)(b − a). Đ nh lý 1.7 (Đ nh lý v giá tr trung bình c a tích phân). N u hàm s f kh tích trên đo n [a; b] và m ≤ f (x) ≤ M v i ∀x ∈ [a; b] thì t n t i m t s µ ∈ [m; M ] sao cho b f (x)dx = µ(b − a). a 7
H qu 1.1. N u f là hàm s liên t c trên đo n [a; b] thì t n t i ít nh t m t đi m c ∈ (a; b) sao cho b f (x)dx = f (c)(b − a). a Đ nh lý 1.8 (Đ nh lý v giá tr trung bình m r ng c a tích phân). Gi s hai hàm s f và g kh tích trên đo n [a; b] và th a mãn: a) m ≤ f (x) ≤ M v i ∀x ∈ [a; b] b) g (x) không đ i d u trên [a; b]. Khi đó, t n t i ít nh t m t s th c µ ∈ [m; M ] sao cho b b f (x).g (x)dx = µ g (x)dx. a a H qu 1.2. Gi s f là hàm s liên t c trên [a; b] và g là hàm s kh tích trên đo n [a; b]. N u g (x) không đ i d u trên [a; b] thì t n t i ít nh t m t s th c c ∈ [a; b] sao cho b b f (x).g (x)dx = f (c) g (x)dx. a a Đ nh lý 1.9 (Bolzano - Cauchy). Gi s f là m t hàm s liên t c trên đo n [a; b] và α là m t s n m gi a f (a) và f (b). Khi đó, t n t i ít nh t m t đi m c ∈ [a, b] sao cho f (c) = α. Nói m t cách khác, f l y m i giá tr trung gian gi a f (a) và f (b). 1.2 Khai tri n Taylor đ i v i đa th c Các đ nh lý, đ nh nghĩa và bài toán trong m c này ch y u đư c trích t [1]. Ta thư ng th y trong các sách giáo khoa hi n hành, d ng chính t c c a m t đa th c đ i s P (x) b c n, n ∈ N∗ , (thư ng đư c ký hi u deg(P (x)) = n) có d ng: P (x) = p0 xn + p1 xn−1 + ... + pn , p0 = 0. 8
Đa th c d ng chính t c là đa th c đư c vi t theo th t gi m d n c a lũy th a.Tuy nhiên, khi kh o sát các đa th c, ngư i ta thư ng quan tâm đ n c m t l p các đa th c b c không quá m t s nguyên dương n cho trư c nào đó. Vì th , v sau, ngư i ta thư ng s d ng cách vi t đa th c P (x) dư i d ng tăng d n c a b c lũy th a P (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bn xn . (1.1) Nh n xét r ng đa th c (1.1) có tính ch t P (k) (0) = k !bk , k = 0, 1, . . . , n và P (k) (0) = 0, k = n + 1, n + 2, . . . Vì th đa th c (1.1) thư ng đư c vi t dư i d ng công th c (đ ng nh t th c) Taylor a1 a2 an x + x2 + · · · + xn . P (x) = a0 + (1.2) 1! 2! n! V i cách vi t (1.2) ta thu đư c công th c tính h s ak (k = 0, 1, . . . , n) c a đa th c P (x), đó chính là giá tr c a đ o hàm c p k c a đa th c t i x = 0: ak = P (k) (0), k = 0, 1, . . . , n. T đây ta thu đư c đ ng nh t th c Taylor t i x = 0 P (2) (0) 2 P (n) (0) n P (0) x + ··· + P (x) = P (0)+ x+ x. (1.3) 1! 2! n! Ví d 1.1. Vi t bi u th c 5 2 Q(x) = (x2 − 2x − 2) + (2x3 + 3x2 − x − 1) . dư i d ng (chính t c) công th c Taylor t i a1 a2 a10 10 x + x2 + · · · + Q(x) = a0 + x. 1! 2! 10! Tính giá tr c a a8 ? 9
Theo công th c (1.3) thì ta có ngay h th c a8 = Q(8) (0) D ng (1.2) cho ta m i liên h tr c ti p gi a các h s c a m t đa th c chính t c v i các giá tr đ o hàm c a đa th c đó t i x = 0. Trong trư ng h p t ng quát, công th c Taylor t i x = x0 có d ng: P (2) (x0 ) P (n) (x0 ) P (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n . (x − x0 ) + P (x) = P (x0 )+ 1! 2! n! (1.4) Ví d 1.2. Vi t bi u th c: Q(x) = (x − 1)(x − 2)...(x − 9) dư i d ng (chính t c) công th c Taylor t i đi m x = 10: a1 a2 a9 (x − 10)x + (x − 10)2 + · · · + (x − 10)9 . Q(x) = a0 + 1! 2! 9! Tính giá tr c a a7 ? Công th c (1.4) cho ta h th c a7 = Q(7) (10). Trong trư ng h p đa th c b c tùy ý, ta có các k t qu hoàn toàn tương t . Ví d 1.3. Ch ng minh r ng n u đa th c P (x) th a mãn đi u ki n deg P (x) ≤ n và P (k) (α) = qk , ∀k ∈ {0, 1, . . . , n}, trong đó α, qk là các s cho trư c; P (0) (x) ≡ P (x) thì P (x) có d ng: n qk (x − α)k . P (x) = k! k =0 Đ ng th c trên đư c ch ng minh b ng cách l y đ o hàm liên ti p hai v và s d ng gi thi t v các giá tr ban đ u P (k) (α) = qk , ∀k ∈ {0, 1, . . . , n}.. Vi c ch ng minh tính duy nh t đư c suy ra t tính ch t c a các đa th c (khác 0) b c không vư t quá n là nó có không quá n nghi m (k c b i). Bây gi , ta chuy n sang bài toán n i suy Taylor. Bài toán 1.1 (Bài toán n i suy Taylor). Cho x0 , ak ∈ R v i k = 0, 1, . . . , N − 1. Hãy xác đ nh đa th c T(x) có b c không quá N − 1 và th a mãn các đi u 10
ki n: T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, . . . , N − 1. (1.5) Gi i. Trư c h t, d th y r ng đa th c N −1 αk (x − x0 )k . T (x) = k =0 có b c deg T (x) ≤ N − 1. Ti p theo, ta c n xác đ nh các h s αk ∈ R sao cho T (x) th a mãn đi u ki n T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, . . . , N − 1. L n lư t l y đ o hàm T (x) đ n c p th k, k = 0, 1, . . . , N − 1 t i x = x0 và s d ng gi thi t T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, . . . , N − 1. Ta suy ra ak , ∀k = 0, 1, . . . , N − 1. αk = k! Thay giá tr c a αk vào bi u th c c a T (x), ta thu đư c N −1 ak (x − x0 )k . T (x) = (1.6) k! k =0 V i m i k = 0,1,. . . ,N-1, ta có N −1 aj (x − x0 )j −k . (k ) T (x) = ak + (j − k )! j =k +1 Do v y đa th c T (x) th a mãn đi u ki n T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, . . . , N − 1. Cu i cùng, ta ch ng minh r ng đa th c T (x) nh n đư c t (1.6) là đa th c duy nh t th a mãn đi u ki n c a bài toán n i suy Taylor . Th t v y, n u có đa th c T∗ (x), có b c deg T∗ (x) ≤ N − 1 cũng th a mãn đi u ki n c a bài toán (1.5) thì khi đó, đa th c P (x) = T (x) − T∗ (x) 11
cũng có b c deg P (x) ≤ N − 1 và đ ng th i th a mãn đi u ki n P (k) (x0 ) = 0, ∀k = 0, 1, . . . , N − 1. T c là, đa th c P (x) là đa th c có b c không quá N − 1 mà l i nh n x0 làm nghi m v i b i không nh thua N , nên P (x) ≡ 0, và do đó T (x) = T∗ (x). Đ nh nghĩa 1.3. Đa th c N −1 ak (x − x0 )k T (x) = k! k =0 đư c g i là đa th c n i suy Taylor. Nh n xét 1.1. Chú ý r ng đa th c n i suy Taylor T (x) đư c xác đ nh t (1.6) chính là khai tri n Taylor đ n c p th N − 1 c a hàm s T (x) t i đi m x = x0 . 1.3 Khai tri n Taylor v i các ph n dư khác nhau Các đ nh lý, đ nh nghĩa và bài toán trong m c này ch y u đư c trích t [1]. Ta đã xét công th c khai tri n Taylor đ i v i đa th c. Ti p theo, trong m c này, ta s xác l p công th c Taylor v i các ph n dư khác nhau. Ta nh c l i, khi hàm f kh vi t i đi m x = a thì theo đ nh nghĩa, ta có f (a + h) − f (a) = f (a)h + o(h). N u đ t a + h = x thì h = x − a và f (x) − f (a) = f (a)(x − a) + o(x − a). Nói m t cách khác, t n t i hàm tuy n tính P1 (x) = f (a) + f (a)(x − a) sao cho f (x) = P1 (x) + o(x − a) trong đó P1 (a) = f (a), P1 (a) = f (a). Ta phát bi u m t s bài toán sau đây. 12
Bài toán 1.2. Gi s hàm f xác đ nh trên t p h p Ω ⊂ R, trong đó Ω là h p c a các kho ng m trên tr c th c. Gi s f kh vi c p n t i đi m a ∈ Ω . Hãy xác đ nh các đa th c Pn (x) có b c deg Pn (x) ≤ n sao cho Pnk) (a) = f (k) (a), k = 0, 1, . . . , n. ( Gi s P (x) là đa th c (b c n) tùy ý. Ta vi t n ak (x − a)k . P (x) = k! k =0 Khi đó aµ P (µ) (a) = µ ! = aµ . µ! N u bây gi ta đ t aµ = f (µ) (a), µ = 0, 1, . . . , n. thì f (µ) (a) = P (µ) (a). Như v y bài toán đã đư c gi i xong. Ti p theo, ta xét bài toán ư c lư ng hi u f (x) − Pn (x). Đ nh nghĩa 1.4. Đa th c n f (k) (x0 ) (x − a)k Tn (f ; x) = k! k =0 đư c g i là đa th c Taylor b c n v i tâm a c a hàm f , kh vi c p n t i đi m a. Ta đ t 1 (n) f (a)(x−a)n +Rn (f ; x). f (x) = Tn (f ; x)+Rn (f ; x) = f (a)+f (a)(x−a)+...+ n! (1.7) Công th c (1.7) đư c g i là công th c Taylor (d ng đ y đ ) c a hàm f (x). N u a = 0 thì (1.7) đư c g i là công th c Maclaurin. Bi u th c Rn (f ; x) đư c g i là ph n dư c a công th c Taylor. V i nh ng đi u ki n khác nhau đ t ra đ i v i hàm f, ph n dư s đư c bi u di n b i các công th c khác nhau. L i gi i c a bài toán ư c lư ng hi u f (x) − Pn (x) cũng chính là ư c lư ng các bi u th c ph n dư này. 13
B đ 1.1. N u hàm ϕ có đ o hàm đ n c p n t i đi m a và ϕ(a) = ϕ (a) = ... = ϕ(n) (a) = 0, thì ϕ(x) = o((x − a)n ) khi x → a, t c là ϕ(x) → 0(x → a). (x − a)n Ch ng minh. Ta ch ng minh b ng phương pháp qui n p. V i n = 1 ta có ϕ(a) = ϕ (a) và ϕ(x) − ϕ(a) ϕ(x) → ϕ (a) = 0(x → a) = x−a x−a t c là ϕ(x) = o((x − a)). Gi s b đ đúng v i n nào đó, t c là v i đi u ki n ϕ(a) = ϕ (a) = ... = ϕ(n) (a) = 0, thì ϕ(x) = o((x − a)n ). Ta c n ch ng minh r ng v i ϕ(n+1) (a) = o thì ϕ(x) = o((x − a)(n+1) ), x → a. Ta xét hàm ψ (x) = ϕ (x). Ta có ψ (a) = ψ (a) = ... = ψ (n) (a) = 0. và do đó ψ (x) = o((x − a)n ), t c là ψ (x) ϕ (x) → 0(x → a). = n (x − a)n (x − a) Theo đ nh lý Lagrange, ta có n ϕ(x) − ϕ(a) ϕ (ξ )(x − a) ξ−a ϕ(x) ϕ (ξ ) = = = . (x − a)n+1 (x − a)n+1 (x − a)n+1 (ξ − a)n x−a trong đó, ξ n m xen gi a a và x. T đó ta thu đư c ξ−a ϕ (ξ ) → 0(x → a), 0 < < 1. (ξ − a)n x−a Như v y, ϕ(x) = o((x − a))(n+1) khi x → a và b đ đư c ch ng minh. 14
Đ nh lý 1.10 (Taylor). Gi s f : U(a, δ ) → R là hàm kh vi liên t c đ n c p n − 1 trong δ - lân c n U(a, δ ) c a đi m a và có đ o hàm h u h n c p n t i đi m a. Khi đó, hàm f có th bi u di n dư i d ng n f (k) (a) (x − a)k + o((x − a)n ) f (x) = (1.8) k! k =0 khi x → a, trong đó 0! = 1, f (0) (a) = f (a). Công th c (1.8) đư c g i là công th c Taylor d ng đ a phương v i ph n dư Peano. Ch ng minh. Đ t n f (k) (a) (x − a)k , ψ (x) = (x − a)n . ϕ(x) = f (x) − (1.9) k! k =0 T (1.9) ta d dàng th y r ng ϕ(a) = ϕ (a) = ... = ϕ(n) (a) = 0. Do đó theo b đ 1.1, ta thu đư c ϕ(x) = 0(ψ (x)), x → a và h th c (1.9) đư c ch ng minh. Công th c (1.8) ch cho ta dáng đi u c a f (x) − Tn (f ; x) v i nh ng giá tr x đ g n a. Đ có th s d ng đa th c Tn (f ; x) làm công c x p x hàm f (x) c n ph i đưa ra nh ng d ng khác đ i v i ph n dư Rn (f ; x). N u hàm f có thêm nh ng h n ch ch t hơn so v i đ nh lý (2.1) thì ta thu đư c đ nh lý Taylor toàn c c sau đây. Đ nh lý 1.11 (Taylor). Gi s f : (a, b) → R kh vi liên t c c p n trên kho ng (a, b) và có đ o hàm c p n + 1 t i m i đi m c a kho ng (a, b) có th tr ra đi m x0 ∈ (a, b). Khi đó, gi a đi m x0 và đi m x ∈ (a, b) b t kỳ, t n t i đi m ξ , sao cho n f (k) (x0 ) (x − x0 )k + Rn+1 (f ; x) f (x) = (1.10) k! k =0 trong đó p x − x0 1 (x − ξ )(n+1) f (n+1) (ξ ), p ∈ R, p > 0. Rn+1 (f ; x) = (1.11) x−ξ n!p 15
Công th c (1.10) đư c g i là công th c Taylor đ i v i hàm f v i ph n dư Rn+1 dư i d ng Schlomilch-Roche. Ch ng minh. Không gi m tính t ng quát, ta xét x > x0 . Xét hàm s n f (k) (t) (x − t)p (x − t)k − h(t) = f (x) − λ, x0 ≤ t ≤ x, (1.12) k! n!p k =0 trong đó p ∈ R, p > 0, λ là tham s . Hàm h(t) liên t c trên đo n [x0 , x], h(x) = 0 và đ o hàm h (t) t n t i ∀t ∈ (x0 ; x). Ta ch n s λ sao cho n f (k) (x0 ) (x − x0 )p k h(x0 ) = f (x) − (x − x0 ) − λ = 0. (1.13) k! n!p k =0 V i cách ch n đó, hàm h(t) th a mãn m i đi u ki n c a đ nh lý Rolle trên đo n [x0 , x]. Do đó, t n t i ξ ∈ [x0 , x], sao cho (x − ξ )p−1 f (n+1) (ξ ) n h (ξ ) = − (x − ξ ) + λ = 0. (1.14) n! n! Th t v y, t h th c (1.11), ta có f (n) (t) f (t) f (t) f (t) (x − t)n−1 h (t) = −f (t) + − (x − t) + 2(x − t) − ... + 1! 1! 2! n! (x − t)p−1 (n+1) f (t) n − (x − t) + λ. (1.15) n! n! v ph i c a (1.15) tr hai s h ng cu i D dàng th y r ng m i s h ng cùng đ u kh nhau h t. T đó b ng cách thay t = ξ ta thu đư c (1.14). T (1.14) ta có λ = f (n+1) (ξ )(x − ξ )n−p+1 . (1.16) Thay λ t (1.16) vào (1.11) ta thu đư c đi u ph i ch ng minh. B ng cách ch n các giá tr p > 0 hoàn toàn xác đ nh, ta thu đư c nh ng trư ng h p riêng đ i v i ph n dư Rn+1 (f ; x). Ta xét nh ng trư ng h p quan tr ng nh t khi p = n + 1 và p = 1. Khi p = n + 1 thì t (1.11) ta thu đư c ph n dư c a công th c Taylor dư i d ng Lagrange f (n+1) (ξ ) (x − x0 )n+1 , ξ = x0 + θ(x − x0 ), 0 < θ < 1. (1.17) Rn+1 (f ; x) = (n + 1)! 16
Khi p = 1 thì t (1.11) ta thu đư c ph n dư c a công th c Taylor dư i d ng Cauchy f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) (x − x0 )n+1 (1 − θ)n , 0 < θ < 1 (1.18) Rn+1 (f ; x) = n! trong đó ξ = x0 + θ(x − x0 ). Nh n xét 1.2. Công th c Maclaurin v i các ph n dư (1.17) và (1.18) có d ng tương ng f (n+1) (θx) n+1 Rn+1 (f ; x) = (n+1)! x , 0 < θ < 1 (d ng Lagrange). f (n+1) (θx) − θ)n xn+1 , 0 < θ < 1 (d ng Cauchy). Rn+1 (f ; x) = (n+1)! (1 17
CHƯƠNG 2 CÔNG TH C KHAI TRI N TAYLOR - GONTCHAROV 2.1 Bài toán n i suy Newton và công th c khai tri n Taylor - Gontcharov 2.1.1 Bài toán n i suy Newton Trư c h t ta nh c l i bài toán n i suy Taylor m c trư c Bài toán 2.1 (N i suy Taylor). Cho x0 , ak ∈ R v i k = 0, 1, . . . , N − 1. Hãy xác đ nh đa th c T(x) có b c không quá N − 1 và th a mãn các đi u ki n: T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, . . . , N − 1. (2.1) Nh n xét r ng khi xét b đi m M (x0 , T (k) (x0 ))(k = 0, 1, . . . , N − 1), ta th y chúng cùng n m trên m t đư ng th ng x = x0 . Khi ta cho x0 thay đ i và nh n giá tr tùy ý ph thu c vào k thì ta đư c m t b đi m m i d ng Mk (xk , T (k) (xk )), k = 0, 1, . . . , N − 1, s trùng v i b đi m ban đ u khi các xk trùng nhau. Khi đó ta thu đư c bài toán n i suy Newton. Ta phát bi u bài toán đó dư i d ng sau đây. Bài toán 2.2 (Bài toán n i suy Newton). (Xem [1]). Cho xi , ai ∈ R, v i i = 0, 1, . . . , n. Hãy xác đ nh đa th c N (x) có b c không quá n(deg N (x) ≤ n) và th a mãn các đi u ki n: N (i) (xi ) = ai , ∀i = 0, 1, . . . , n. (2.2) 18
Đ gi i bài toán này, trư c h t ta xét m t s trư ng h p riêng c a nó. V i m i i = 2, 3, . . . , n, ta ký hi u ti−1 x t1 Ri (x0 , x1 , . . . , xi−1 , x) = ... dti dti−1 ...dt1 . x0 x1 xi−1 i) N u n = 0 ( ng v i i = 0) thì ta có deg N (x) = 0 và N (x0 ) = a0 , và do đó N (x) = a0 . ii) N u n = 1 ( ng v i i = 0, 1), thì ta có N (x) = α0 + α1 x . N (i) (xi ) = ai , (i = 0, 1) T đó suy ra N (x) = a0 + a1 (x − x0 ) hay N (x) = a0 + a1 R(x0 , x). iii) N u n = 2 ( ng v i i = 0, 1, 2), thì ta có N (x) = α0 + α1 x + α2 x2 . N (i) (xi ) = ai , (i = 0, 1, 2). T đó suy ra α2 = a2  2   α1 = a1 − a2 x1 . α = a − (a − a x )x − a2 x2 .  0 0 1 21 0 20 Do đó (x − x1 )2 (x0 − x1 )2 N (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 − . 2 2 T đó: N (x) = a0 + a1 R(x0 , x) + a2 R2 (x0 , x1 , x). iv) M t cách tương t , trong trư ng h p t ng quát, v i i = 0, 1, . . . , n, ta ch ng minh đư c N (x) = a0 + a1 R(x0 , x) + · · · + an Rn (x0 , x1 , . . . , xn−1 , x) (2.3) là đa th c duy nh t th a mãn đi u ki n c a bài toán n i suy Newton (2.2) và ta g i đa th c này là đa th c n i suy Newton. 19