LUẬN VĂN: Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

516
lượt xem 97
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một số kết quả cơ bản về bài toán nội suy Taylor, khai triển Taylor. Đánh giá phần dư và sự hội tụ của khai triển Taylor. - Đưa ra công thức nghiệm của bài toán nội suy Newton, biểu diễn hàm số f(x) theo khai triển Taylor – Gontcharov. - Đặc biệt, đưa ra các đánh giá phần dư của khai triển Taylor và khai triển Taylor – Gontcharov dưới hai dạng Lagrange và Cauchy. - Đánh giá sự hội tụ của khai triển Taylor – Gontcharov. - Mở rộng bài toán nội suy Newton cho hàm đa...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LUẬN VĂN: Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………….. LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor
1 Mo. d` u ’ ¯ˆa ` ` ´ ’ ´ ¯. ´.’ Trong qua trı tı toan, nhiˆu khi ta cˆn phai xac d inh gia tri cua mˆt ham sˆ f (x) ´ `nh ´nh ´ e a o` o . ’m tuy ´ cho tru.´.c, trong khi d´ d iˆu kiˆn chı m´.i cho biˆ t mˆt sˆ gia tri ¯o ¯ ` ´ .´ ’o tai mˆt d iˆ o ¯e `y o e e e oo´. . . . .i rac) cua ham sˆ va cua d ao ham ham sˆ dˆ n cˆ p nao d´ cua no tai mˆt sˆ d iˆ m .´’ ´ ´ ´ ´ ` ¯o ’ ´ . ’ o ` ’ ¯. (r` . o ` ` ` o ¯e a o o ¯e x1 , x2, · · · , xk cho tru.´.c. o .i nh˜.ng tru.`.ng ho.p nhu. vˆy, ngu.`.i ta thu.`.ng tı cach xˆy du.ng mˆt ham sˆ P (x)´ V´ o u o a o o `m ´ a o` o . . . . .n gian ho.n, thu.`.ng la cac d a th´.c d ai sˆ , thoa ma n cac d iˆu kiˆn d˜ cho. Ngoai ˜ ´ ¯` ´ ’ ’ dang d o ¯ o `´ ¯ u ¯. o e e ¯a ` . . .ng gia tri x ∈ R ma x khˆng trung v´.i x1 , x2, · · · , xk , thı P (x) ≈ f (x) (xˆ p xı ´’ ra, tai nh˜ u ´. ` o ` o ` a . theo mˆt d ˆ chı o ¯o ´nh xac nao d´ ). ´ ` ¯o . . .o.c xˆy du.ng theo cach v`.a mˆ ta trˆn d u.o.c goi la ham nˆi suy cua ´ o’ e¯. ’ Ham sˆ P (x) d u . a ` o ¯ ´ u .`` o . . .`.ng d u.o.c goi la cac nut nˆi suy va bai toan xˆy du.ng ’ f (x); cac d iˆ m x1 , x2, · · · , xk thu o ´ ¯e ¯. . `´ ´ o `` ´ a . . ham P (x) nhu. vˆy d u.o.c goi la Bai toan nˆi suy. ` a¯. `` ´ o . . . ’. dung ham (d a th´.c) nˆi suy P (x), ta dˆ dang tı ´nh d u.o.c gia tri tu.o.ng d ˆ i chı ˜` ´ ´nh Su . ` ¯ u o e ¯. ´. ¯o . xac cua ham sˆ f (x) tai x ∈ R tuy ´ cho tru.´.c. T`. d´ , ta co thˆ tı ’ ´ ` ¯u ´’ ` o `y o u ¯o ´ e ´nh gˆn d´ ng gia tri a ´. . ’ a no trˆn R. d ao ham va tı phˆn cu ´ e ¯. ` ` ´ch a Cac bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n ra d `.i t`. rˆ t s´.m va d´ ng vai tro rˆ t quan trong trong ’’ ´ ´ ´`´ o o ¯e ¯o u a o ` ¯o `a . . .c tˆ . Do d´ , viˆc nghiˆn c´.u cac bai toan nˆi suy la rˆ t co ´ nghı a. ˜ .´ ´ thu e ¯o e eu´`´ o ` a ´y . . ˙ . cac tru.`.ng phˆ thˆng, ly thuyˆ t vˆ vˆ n d` nay khˆng d u.o.c d` cˆp, nhu.ng nh˜.ng ’´ ’o e ` a ¯ˆ ` ´e´ e O o o ´ o ¯ . ¯ˆ a e. u .ng dung so. cˆ p cua no cu ng ”ˆ n hiˆn” khˆng ´t, ch˘ng han trong cac phu.o.ng trı ’ ´˜ ’ ´ ’ u ´ a a e oı a ´ `nh . . . .`.ng ho˘c phu.o.ng trı m˘t bˆc hai, trong cac d ˘ng th´.c dang phˆn th´.c va d ˘c biˆt’ du o ¯ a `nh a a ´ ¯a u. a u ` ¯a e . .. . . .ng dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va khai triˆ n Taylor dˆ giai mˆt sˆ bai toan ’ ’ ´ ¯e ’ o o ` ´ la viˆc u ` e´ o uo ` e . . . . kho trong cac d` thi hoc sinh gioi cac cˆ p. ´ ’´a ´ ´ ¯ˆ e . Vı vˆy, viˆc hı thanh mˆt chuyˆn d` chon loc nh˜.ng vˆ n d` co. ban nhˆ t vˆ cac bai ´e a `´ ` ´e ’ `a e `nh ` o e ¯ˆ . . e u a ¯ˆ . . . .´.i goc d ˆ toan phˆ thˆng, d ˘c biˆt la nh˜.ng u.ng dung cua no trong qua ’ ’´ toan nˆi suy, du o ´ ¯o ´ ´ o oo ¯a e` u ´ ´ . . . . . .n n˜.a, chuyˆn d` nay cu ng co thˆ ’ e ¯ˆ ` ˜ .´ ´`a ` ´a ´ ’ trı `nh giai mˆt sˆ dang toan kho la rˆ t cˆn thiˆ t. Ho oo. ´ e u e ´e .ng n˘m d` u cua bˆc ’ ’ `´ ’ lam tai liˆu tham khao cho cac giao viˆn gioi va cac sinh viˆn nh˜ ` `e ´ ´ e e u a ¯ˆ a a . . d ai hoc. ¯. . Y tu.o.ng muˆ n thu.c hiˆn luˆn v˘n nay hı a a ` `nh thanh tru.´.c khi cuˆ n sach chuyˆn khao ´ ´ ´ ’ ’ o e ` o o´ e . . . [2] ra d `.i. Dˆy v`.a la mˆt thuˆn lo.i v`.a la mˆt kho kh˘n cho nˆ lu.c tı kiˆ m nh˜.ng ¯o - a u ` o ˜ ´ a.u`o ´ a o . `m e u . . . .i cho luˆn v˘n cua tac gia, vı cuˆ n sach trˆn la mˆt tai liˆu rˆ t quı gia, trong khi ´ ´ ’´ ’`o´ ne m´ ´t o aa e`o`ea ´´ . . . ` u nhu. chu.a co mˆt tai liˆu toan so. cˆ p nao d` cˆp dˆ n vˆ n d` nay mˆt cach tron ´ ` ¯ˆ a ¯e ´ a ¯ˆ ` ´e d´ hˆ ¯o a ´o`e ´ a e. o´ . . . . ` cˆp sˆu vˆ ly thuyˆ t ma cˆ g˘ng tı kiˆ m nh˜.ng ´ `´ ´ ´a ´ ve n. Do d´ , luˆn v˘n khˆng qua dˆ a a e ¯o aa o ´ ¯e . e `o `m e u . . .ng dung cua no vao viˆc giai va sang tac cac bai tˆp o. phˆ thˆng, d ˘c biˆt la nh˜.ng u.ng ’o ’ ´` ’ `´ ´´ `a’ u ´ e o ¯a e` u ´ . . . . .
2 dung thu.`.ng g˘p cua cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va khai triˆ n Taylor. ’ a’o o uo ` e . . . . d` u, ba chu.o.ng nˆi dung, kˆ t ´ ` ` ´ ’´ ’a Ban tom t˘t luˆn v˘n day 24 trang, gˆm cac phˆn Mo ¯ˆ a aa` o ´ a o e . . ’ luˆn va Tai liˆu tham khao. a ``e . . Chu.o.ng 1: Cac bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n. ’’ ´`´ o o ¯e . Nˆi dung chu.o.ng nay trı bay mˆt cach co. ban nhˆ t vˆ cac bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n, ’’ a `´ ` ´ o ´e ’ o ` `nh ` o´ o ¯e . . . d´ la Bai toan nˆi suy Lagrange, Bai toan nˆi suy Taylor, Bai toan nˆi suy Newton va ¯o ` ` ´ o `´ o `´ o ` . . . Bai toan nˆi suy Hermite. `´ o . Chu.o.ng 2: Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c nˆi suy. .´ ’o o o´ u o . . - ˆy la mˆt trong nh˜.ng nˆi dung trong tˆm cua luˆn v˘n. V´.i tˆm quan trong o. o` ’ ’ Da ` o u o a aa a . . . . . .c nˆi suy Lagrange va nh˜.ng u.ng dung cua no d u.o.c d` cˆp thanh ’ ’ ´ ¯ . ¯ˆ a phˆ thˆng, cˆng th´ o oo o u `u ´ e. ` . . .o.ng nay v´.i nh˜.ng phu.o.ng phap giai toan kha d a dang va ` ’ mˆt phˆn riˆng trong chu o a e ` o u ´ ´ ´¯ ` . . .o.ng bai tˆp d` xuˆ t kha phong phu. Nhiˆu d ˘ng th´.c du.´.i dang phˆn th´.c ’ .´ ´ ` ¯a mˆt sˆ lu . oo ` a ¯ˆ a e ´ ´ e u o. a u . . cˆng th´.c nˆi suy Lagrange d˜ d u.o.c luˆn v˘n phat hiˆn. Nhiˆu bai ` ´ ` co nguˆn gˆ c t` o ´ oou uo ¯a ¯ . aa ´ e e` . . . .o.c giai b˘ ng cach ´ p dung cˆng toan thi chon hoc sinh gioi quˆ c gia va quˆ c tˆ d˜ d u . ` ´ ´´ ’ ’a ´ o ` o e ¯a ¯ ´a o . . . .c nˆi suy nay. Phˆn con lai cua chu.o.ng trı bay mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c ``.’ .´ ’´o th´ o u. ` a `nh ` o o´ u . .o.c gi´.i thiˆu o. phˆn cuˆ i chu.o.ng. . ¯. ˜ ¯ .´ e’ ` ´ nˆi suy con lai. Mˆt sˆ bai tˆp danh cho ban d oc cu ng d u . o `. oo`a ` o a o . . . ´. Chu.o.ng 3: U ng dung cˆng th´.c nˆi suy dˆ u.´.c lu.o.ng va xˆ p xı ham sˆ . ’ ´ ´ `a ’` o u o ¯e o o . . . Chu.o.ng nay tach riˆng mˆt u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy dˆ u.´.c lu.o.ng va xˆ p ’ ´ ’´o `´ e o´ uo ¯e o `a . . . . xı ham sˆ . Mˆt sˆ dang toan kho o. phˆ thˆng liˆn quan dˆ n vˆ n d` nay d˜ d u.o.c d` ’ ´ .´ ´ a ¯ˆ ` ¯a ¯ . ¯ˆ ´ ’` ´’ o oo. ´ oo e ¯e e e .ng bai trong cac d` thi chon hoc sinh gioi quˆ c gia va quˆ c tˆ . Mˆt ´ ´e´ ’ cˆp, trong d´ co nh˜ a ¯o ´ u ` ´ ¯ˆ e o `o o . . . . ˜ d u.o.c d ˘ng tai trong cac ky yˆ u hˆi nghi chuyˆn nganh, ch˘ng ’ o` ´a’ ´o ’ ’e sˆ phˆn cua luˆn v˘n d a ¯ . ¯a a a¯ ´ e ` a . . . han [1]. . Luˆn v˘n d u.o.c hoan thanh nh`. su. hu.´.ng dˆn khoa hoc va nhiˆt tı ˜ e˜ ´ ’ a a ¯. ` ` o. o a .` e `nh cua Tiˆ n sy . . .`.i Thˆy rˆ t nghiˆm kh˘c va tˆn tˆm trong cˆng viˆc, truyˆn d at -` ´ ´ `a a´ ` ¯. Trinh Dao Chiˆ n - Ngu oe e a `a a o e e . . . .c quı bau cu ng nhu. kinh nghiˆm nghiˆn c´.u khoa hoc trong suˆ t th`.i gian ´´ ˜ ` ´ ´ nhiˆu kiˆ n th´ e e u e eu o o . . .u d` tai. Chı .n chˆn thanh va sˆu s˘c ´ ´ ’ o ’` nghiˆn c´ ¯ˆ ` eu e ´nh vı vˆy ma tac gia luˆn to long biˆ t o `a `´ e a ` `a a . .i Thˆy giao hu.´.ng dˆn - Tiˆ n sy Trinh Dao Chiˆ n. e ˜ . -` ˜ ´ ` ´ ´ d ˆ i v´ ¯o o a ´ o a e .o.c bay to long biˆ t o.n chˆn thanh dˆ n: Ban Giam Hiˆu, ´ ´ ’ ` ’` Nhˆn d ˆy, tac gia xin d u . a ¯a ´ ¯ e a ` ¯e ´ e . .`.ng Dai hoc Qui Nho.n, cung quı Phong d ao tao Dai hoc va sau Dai hoc, Khoa toan cua tru o - . . ` ¯` . - . . ` -. . ’ ´ ` ´ .´.ng dˆn khoa hoc cho l´.p cao hoc toan khoa 8. thˆy cˆ giao d˜ tham gia giang day va hu o ˜ ` o ´ ¯a ’ a .` a o ´ ´ . . UBND tı nh, So. giao duc va d ao tao tı nh Gia Lai, Ban Giam Hiˆu tru.`.ng THPT Ia Grai ’ ’´ . ` ¯` . ’ ´ e o . ˜ cho tac gia co. hˆi hoc tˆp, cung v´.i quı thˆy cˆ giao cua nha tru.`.ng d˜ d ˆng viˆn, se ` o´ ’ ’ ’ da ¯ ´ o.a ` o ´a ` o ¯a ¯o e . . . chia cˆng viˆc va tao moi d iˆu kiˆn thuˆn lo.i dˆ tac gia nghiˆn c´.u va hoan thanh luˆn ’ . ¯` ’ o e `. e e a . ¯e ´ eu`` ` a . . . . v˘n nay. a` Trong qua trı hoan thanh luˆn v˘n, tac gia con nhˆn d u.o.c su. quan tˆm d ˆng viˆn ’` ´ `nh ` ` aa´ a¯. . a ¯o e . . . .p cao hoc khoa VII, VIII, XIX cua cua cac ban d` ng nghiˆp, cac anh chi em trong cac l´ ’´ ’ . ¯ˆ o e ´ ´o ´ . . . .`.ng Dai hoc Qui Nho.n. Tac gia xin chˆn thanh cam o.n tˆ t ca nh˜.ng su. quan tˆm -. . ´ ’ ’ a’ tru o ´ a ` u a . d ˆng viˆn d´ . ¯o e ¯o .
3 -e ` ’ Dˆ hoan thanh luˆn v˘n nay, tac gia d˜ tˆp trung rˆ t cao d ˆ trong hoc tˆp va nghiˆn ´ ’ ¯a a ` aa`´ a ¯o a` e . . . . .u khoa hoc, cu ng nhu. rˆ t cˆ n thˆn trong nhˆn chˆ ban. Trong d´ ´t nhiˆu han chˆ ´’ ˜ ´ ` ´ e’ c´ u aa a a ¯o ı e e . . . vˆ th`.i gian cu ng nhu. trı d ˆ hiˆ u biˆ t nˆn trong qua trı thu.c hiˆn khˆng thˆ tranh ’ ’ ˜ `o ´ e `nh ¯o e ee ´ `nh . e o e´ . . khoi nh˜.ng thiˆ u sot, tac gia rˆ t mong nhˆn d u.o.c su. chı bao cua quı thˆy cˆ va nh˜.ng ´ ´ ´ ` o` u ’ ’a a¯. . ’ ’ ’ u e´´ a . ’ a ban d oc dˆ luˆn v˘n d u.o.c hoan thiˆn ho.n. ’ a a¯. gop ´ cu . ¯ . ¯e . ´y ` e . Quy Nho.n, thang 03 n˘m 2008 ´ a ’ Tac gia ´
4 Chu.o.ng 1 C´c b`i to´n nˆi suy cˆ’ d e’n ˙ ˙ a a a o o ¯iˆ . Trong chu.o.ng nay, luˆn v˘n d` cˆp mˆt sˆ bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n se su. dung o. ’’ o ¯e ˜ ’ . .´ ’ ` a a ¯ˆ a e. oo` ´ o . . .o.ng sau, d´ la: Bai toan nˆi suy Lagrange, Bai toan nˆi suy Taylor, Bai toan nˆi cac chu ´ ¯o ` ` ´ o ´ o `´ o . . . .i giai cho cac bai toan nay la cac d a th´.c ’ suy Newton va Bai toan nˆi suy Hermite. L` `` ´ o o ´`´ ` `´ ¯ u . nˆi suy tu.o.ng u.ng ma ch´.ng minh chi tiˆ t d˜ d u.o.c trı bay trong [2] ´ o ´ `u e ¯a ¯ . `nh ` . 1.1 B`i to´n nˆi suy Lagrange a a o . 1.1.1 Bai toa n nˆi suy Lagrange ` ´ o . Cho cac sˆ thu.c xi , ai, v´.i xi = xj , v´.i moi i = j, i, j = 1, 2, · · · , N . Ha y xac d. nh ˜ ´ ¯i ´ ´o. o o . d a th´.c L(x) co bˆc degL(x) ≤ N − 1 va thoa cac d iˆu kiˆn ` ’ ´ ¯` ¯ u ´a e e . . L(xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N . Da th´.c nˆi suy Lagrange - 1.1.2 u o . Ky hiˆu ´e . N x − xj Li (x) = ; i = 1, 2, · · · , N. xi − x j j =1,j =i Khi d´ , d a th´.c ¯o ¯ u N L(x) = ai Li (x) i=1 la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d iˆu kiˆn cua bai toan nˆi suy Lagrange va ta goi d a th´.c ˜ ¯` ´ ’ e’`´o `¯ u a e ` .¯ u . . .c nˆi suy Lagrange. nay la d a th´ o ` `¯ u.
5 1.2 B`i to´n nˆi suy Taylor a a o . 1.2.1 Bai toa n nˆi suy Taylor ` ´ o . Cho cac sˆ thu.c x0 , ai, v´.i i = 0, 1, · · · , N − 1. Ha y xac d. nh d a th´.c T (x) co bˆc ˜ ´ ¯i ´ ´o. o ¯ u ´a . ˜ ´ ¯` `’ degT (x) ≤ N − 1 va thoa ma n cac d iˆu kiˆn e e. T i (x0) = ai , ∀i = 0, 1, · · · , N − 1. Da th´.c nˆi suy Taylor - 1.2.2 u o . Da th´.c - u N −1 ai (x − x0 )i T (x) = i! i=0 la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d iˆu kiˆn cua bai toan nˆi suy Taylor va goi d a th´.c nay ˜ ¯` ´ ’ e’`´ `¯ u a e o `.¯ u` . . la d a th´.c nˆi suy Taylor. `¯ uo . 1.3 Bai toa n nˆi suy Newton ` ´ o . 1.3.1 Bai toa n nˆi suy Newton ` ´ o . Cho cac sˆ thu.c xi , ai , v´.i i = 1, 2, · · · , N . Ha y xac d. nh d a th´.c N (x) co bˆc ˜ ´ ¯i ´. ´o o ¯ u ´a . ˜ n cac d iˆu kiˆn degN (x) ≤ N − 1 va thoa ma ´ ¯ ` `’ e e . i −1 N (xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N. Da th´.c nˆi suy Newton - 1.3.2 u o . Ky hiˆu ´e . x t t1 ti−2 Ri (x1 , x2, · · · , xi, x) = ··· dti−1 ...dt2.dt1.dt; i = 1, 2, · · · , N. x1 x2 x3 xi khi d´ , d a th´.c ¯o ¯ u N ai Ri−1 (x1, x2, ..., xi−1, x) N (x) = i=1 = a1 + a2 R(x1, x) + a3 R2 (x1, x2, x) + · · · + aN RN −1(x1 , · · · , xN −1, x) la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d iˆu kiˆn cua bai toan nˆi suy Newton va ta goi d a th´.c ˜ ¯` ´ ’ e’`´ `¯ u a e o ` .¯ u . . nay la d a th´.c nˆi suy Newton ` `¯ uo .
6 Nhˆn xe t 1.1. V´.i xi = x0 , v´.i moi i = 1, 2, · · · , N , thı a ´ o o ` . . Ri (x0 , x1, · · · , xi−1, x) = Ri x0, · · · , x0, x ` lˆn a i x t t1 ti−2 = ··· dti−1 ...dt2.dt1 .dt x0 x0 x0 x0 (x − x0 )i ; v´.i i = 1, 2, · · · , N = o i! Khi d´ ¯o N ai R i x 0 , · · · , x 0 , x = N (x) = i=1 ` i lˆn a = a0 + a1 R(x0, x) + a2 R2 (x0, x0, x) + · · · + aN −1 RN −1 x0 , · · · , x0, x ` N −1 lˆn a 2 N −1 (x − x0) (x − x0) = a0 + a1 (x − x0) + a2 + · · · + aN − 1 2 (N − 1)! N −1 (x − x0)i = ai ≡ T (x). i! i=0 Vˆy, v´.i xi = x0 , ; ∀i = 1, 2, · · · , N , thı d a th´.c nˆi suy Newton chı ´nh la d a th´.c nˆi a o `¯ u o `¯ u o . . . suy Taylor. 1.4 Bai toa n nˆi suy Hermite ` ´ o . 1.4.1 Bai toa n nˆi suy Hermite ` ´ o . Cho cac sˆ thu.c xi , aki , i = 1, 2, · · · , n; k = 0, 1, · · · , pi − 1 va xi = xj , v´.i moi i = j , ´ ´o. ` o . .c H(x) co bˆc degH (x) ≤ N − 1 va ˜ ´ ¯i ¯ trong d´ p1 + p2 + · · · + pn = N . Ha y xac d. nh d a th´ ¯o u ´a ` . ˜ ´ ¯` ’ thoa ma n cac d iˆu kiˆn e e . H (k)(xi ) = aki , ∀i = 1, 2, · · · , n; ∀k = 0, 1, · · · , pi − 1 Da th´.c nˆi suy Hermite - 1.4.2 u o . Ky hiˆu ´e . n (x − xj )pj ; W (x) = j =1 n W (x) (x − xj )pj ; i = 1, 2, · · · , n Wi (x) = = (x − xi )pi j =1,j =i
7 Goi d oan khai triˆ n Taylor dˆ n cˆ p th´. pi − 1 − k, v´.i k = 0, 1, · · · , l; l = 0, 1, · · · , pi − 1, ’ ´´ .¯. e ¯e a u o 1 ´ ’` tai x = xi cua ham sˆ o (i = 1, 2, · · · , n) la ` . Wi (x) (pi −1−k ) (l) pi − 1− k (x − xi )l 1 1 T = . Wi (x) Wi (x) l! l=0 (x=xi ) (x=xi ) khi d´ , d a th´.c ¯o ¯ u (pi −1−k ) n pi − 1 (x − xi )k 1 H (x) = aki Wi (x)T . k! Wi (x) i=1 k =0 (x=xi ) la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d iˆu kiˆn cua bai toan nˆi suy Hermite va ta goi d a th´.c ˜ ¯` ´ ’ e’`´ `¯ u a e o ` .¯ u . . .c nˆi suy Hermite. nay la d a th´ o ` `¯ u. Nhˆn xe t 1.2. a ´ . V´.i n = 1, thı i = 1 va p1 = N . Khi d´ , ta co o ` ` ¯o ´ W (x) = (x − x1 )N ; W (x) W1(x) = = 1. (x − x1 )N ’ Do d´ , d oan khai triˆ n ¯o ¯ . e (N −1−k ) 1 (N −1−k ) T =T 1 = 1. W1(x) (x=x1 ) (x=x1 ) Khi d´ , ta co ¯o ´ N −1 (x − x1 )k H (x) = ak 1 ≡ T (x). k! k =0 Vˆy, v´.i n = 1, thı d a th´.c nˆi suy Hermite chı ´nh la d a th´.c nˆi suy Taylor. a o `¯ uo `¯ uo . . . Nhˆn xe t 1.3. a ´ . V´.i k = 0, thı pi = 1, v´.i moi i = 1, 2, · · · , n. Khi d´ o ` o ¯o . p1 + p2 + · · · + pn = N, hay n = N . Do d´ , ta co ¯o ´ N W (x) = (x − xj ); j =1 N Wi (x) = (x − xj ), i = 1, 2, · · · , N. j =1,j =i
8 ’ khi d´ , d oan khai triˆ n Taylor ¯o ¯ . e 0 1 1 1 T = = , i = 1, 2, · · · , N. Wi (x) Wi (xi ) N (xi − xj ) (x=xi ) j =1,j =i Vˆy, ta co a ´ . N N x − xj H (x) = a0 i ≡ L(x). xi − x j i=1 j =1,j =i Vˆy, v´.i k = 0, thı d a th´.c nˆi suy Hermite chı la d a th´.c nˆi suy Lagrange. Trong a o `¯ uo ´nh ` ¯ uo . . . .`.ng ho.p tˆ ng quat, viˆc biˆ u diˆn d a th´.c Hermite kha ph´.c tap. Du.´.i d ˆy la mˆt ’ ’ ˜¯ tru o o ´ e e e u ´ u. o ¯a ` o . . . .`.ng ho.p riˆng d o.n gian khac cua d a th´.c nˆi suy Hermite, khi hˆ d iˆu kiˆn chı e ¯` ’ ’¯ ’ vai tru o ` e¯ ´ uo e e . . . . .a d ao ham bˆc nhˆ t. ´ ch´ ¯ . ` u a a . Nhˆn xe t 1.4. a ´ . Nˆ u pi = 2, v´.i moi i = 1, 2, · · · , n, thı khi d´ k = 0 ho˘c k = 1. ´ e o ` ¯o a . . .i k = 0, ta co + V´ o ´ (pi−1−k ) (1) 1 (x − xi )l 1 1 1 (l) T =T = Wi (x) Wi (x) Wi (x) l! (x=xi ) l=0 (x=xi ) (x=xi ) 1 W (xi ) −i = (x − xi ) Wi (xi ) Wi2 (xi ) 1 W (xi ) (x − xi ) , v´.i i = 1, 2, · · · , n. 1− i = o Wi (xi ) Wi (xi) + V´.i k = 1, ta co o ´ (pi−1−k ) (0) 0 (x − xi )l 1 1 1 (l) T =T = Wi (x) Wi (x) Wi (x) l! (x=xi ) l=0 (x=xi ) (x=xi ) 1 W (xi) 1 −i = (x − xi ) = . Wi (xi ) Wi2 (xi) Wi (xi) Khi d´ , ta co ¯o ´ (pi −1−k ) n 1 (x − xi )k 1 H (x) = aki Wi (x)T k! Wi (x) i=1 k =0 (x=xi ) (1) (0) n 1 1 = a0i Wi (x)T +a1i (x − xi )Wi(x)T Wi (x) Wi (x) i=1 (x=xi ) (x=xi ) n 1 W (xi ) 1 1− i = Wi (x) a0i (x − xi ) +a1i (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi) Wi(xi ) i=1 n Wi (x) W (xi ) a0 i 1 − i = (x − xi ) +a1i (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi ) i=1 n Wi (x) W (xi ) a0 i − a0 i i = − a1i (x − xi ) . Wi (xi ) Wi (xi ) i=1
9 Ngoai ra, trong phˆn bai toan nˆi suy Lagrange, ta d˜ biˆ t r˘ ng ´` ` ` a`´ o ¯a e a . n x − xj Li (x) = ; i = 1, 2, · · · , n xi − x j j =1,j =i  va ` 1, khi i = j Li (xj ) = 0, khi i = j. Do d´ ¯o Li (xi) ≡ 1, ∀i = 1, n. Vˆy a . n (x − xj )2 Wi (x) = L2 (x); i = 1, n. = i (xi − xj )2 Wi (xi) j =1,j =i Dao ham theo x hai vˆ cua d ˘ng th´.c trˆn, ta d u.o.c -. ` ’ ´ e ’ ¯a u e ¯. Wi (x) = 2Li(x)Li (x) = 2Li(xi ). Wi (xi) Do d´ , d a th´.c nˆi suy Hermite trong tru.`.ng ho.p nay co dang ¯o ¯ uo o `´. . . n L2(x) a0i − 2a0i Li (xi) − a1i (x − xi ) . H (x) = i i=1 Du.´.i d ˆy la mˆt vai minh hoa cho viˆc vˆn dung cac cˆng th´.c nˆi suy (do tac gia sang ’´ o ¯a ` o ` ea ´o uo ´ . . .. . . tac) ´ Bai toa n 1.1. Cho d a th´.c P (x) bˆc 4, thoa ma n cac d iˆu kiˆn sau: ˜ ´ ¯` ’ ` ´ ¯ u a e e . . P (−1) = 3a + 1 (a > 0) ; P (0) = 0; P (3)(−2) = −48; P (1) = 4(3 + a); P (4)(2008) = 24. Ch´.ng minh r˘ ng: ` u a Q(x) = P (x) + P (x) + P (x) + P (3)(x) + P (4) (x) > 0. ∀x ∈ R. Bai toa n 1.2. Cho d a th´.c P (x) bˆc n, thoa ma n: ˜ ’ ` ´ ¯ u a . P (2007) < 0; −P (2007) ≤ 0, P (2007) ≤ 0, · · · , (−1)nP (n) ≤ 0; P (2008) > 0, P (2008) ≥ 0, P (2008) ≥ 0, · · · , P (n)(2008) ≥ 0. Ch´.ng minh r˘ ng cac nghiˆm thu.c cua P (x) thuˆc (2007; 2008). ` ’ u a ´ e o . . .
10 Chu.o.ng 2 Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c ´ ˙ ’o o o´ u . . nˆi suy o . Chu.o.ng nay trı `nh bay mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy, trong d´ d` cˆp .´ ’´o ` ` o o´ uo ¯o ¯ˆ a e. . . .n d ˆ i v´.i cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, cˆng th´.c co nhiˆu u.ng dung dˆ giai mˆt ’ ´ `´ ¯e ’ sˆu ho ¯o o o a uo o u´ e o . . . . hˆ phˆ thˆng chuyˆn toan. ’ ´ ´’ . sˆ bai toan kho o e o o o` ´ e ´ Vˆ n d` u.ng dung cˆng th´.c nˆi suy trong u.´.c lu.o.ng va xˆ p xı ham sˆ la hai nˆi dung ´e ´ ’` ´ a ¯ˆ ´ o uo o `a o` o . . . . quan trong va tu.o.ng d ˆ i kho, v´.i nh˜.ng ky thuˆt ch´.ng minh kha ph´.c tap, d u.o.c trı ˜ ´ ` ¯o ´o u a u ´ u . ¯. `nh . . bay o. chu.o.ng sau. `’ Mˆt sˆ u.ng dung cu a cˆng th´.c nˆi suy Lagrange ´ ˙ ’o 2.1 o o´ u o . . . Cˆng th´.c nˆi suy Lagrange 2.1.1 o u o . -. ˜ ´ ´ ´ Dinh nghı a 2.1. Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt va n sˆ a1 , a2, · · · , an tuy ´ . Thˆ o a e` o `y e . .c P (x) v´.i bˆc khˆng vu.o.t qua n − 1, thoa ma n˜ `` . ´ o¯ ’ thı tˆn tai duy nhˆ t mˆt d a th´ o a u oa o ´ . . . P (xj ) = aj ; ∀j = 1, 2, · · · , n. (2.1) Da th´.c co dang - u´. n n x − xi aj (2.2) xj − x i j =1 i=1,ı=j Da th´.c (2.2) d u.o.c goi la d a th´.c nˆi suy Lagrange ho˘c cˆng th´.c nˆi suy Lagrange. - u ¯. . `¯ uo ao uo . . . .o.c goi la cac nut nˆi suy. ´ Cac sˆ x1 , x2, · · · , xn d u . ´o ¯ . `´ ´ o . ( ) T`. cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, ta co uo uo ´ . Dinh nghı a 2.2. Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt. Thˆ thı moi d a th´.c P (x) v´.i bˆc -. ˜ ´ ´ o a e e ` .¯ u oa . . khˆng vu.o.t qua n − 1 d` u co thˆ viˆ t du.´.i dang ´ o ´ ¯ˆ ´ e e e o. . n n x − xi P (x) = P (xj ) . (2.3) xj − x i j =1 i=1,i=j
11 ´ ˜ `nh hoc) Nhˆn xe t 2.1. (Y nghı a hı a ´ . . Da th´.c (2.3) va (2.4) kha quen thuˆc trong chu.o.ng trı toan phˆ thˆng. Ta thu. d i - ’ ’¯ u ` ´ o `nh ´ oo . ˜a hı ’ ng han (2.4). ’ tı ´ nghı `nh hoc cua chung, ch˘ `m y ´ a . . . r˘ ng, trˆn m˘t ph˘ng toa d ˆ Oxy cho 3 d iˆ m A(x1; y1 ), B (x2; y2), C (x2; y2), v´.i ’ ` ’ ’’ Gia su a e a a . ¯o ¯e o . . .ng d ˆi mˆt. x1 , x2.x3 khac nhau t` ´ u ¯o o . Thˆ thı theo (2.1) va (2.2) tˆn tai duy nhˆ t mˆt d u.`.ng cong y = P (x), trong d´ la ´ `. ´ e `, ` o a o ¯o ¯o ` . .c v´.i degP (x) ≤ 2, thoa ma n ˜ ’ d a th´ o ¯ u P (x1 ) = y1 (nghı a la d u.`.ng cong qua d iˆ m A); ’ ˜ `¯ o ¯e P (x2 ) = y2 (nghı a la d u.`.ng cong qua d iˆ m B); ’ ˜ `¯ o ¯e P (x3 ) = y3 (nghı a la d u.`.ng cong qua d iˆ m C). ’ ˜ `¯ o ¯e Ho.n n˜.a, d u.`.ng cong con co phu.o.ng trı cu thˆ la y = P (x), tron d´ P (x) co dang ’ u ¯o `´ `nh . e ` ` ¯o ´. .´ (2.4) va cac hˆ sˆ aj chı `´ eo ´nh la yj , j = 1, 2, 3. ` .i degP (x) = 2, d` thi y = P (x) la parabol d i qua 3 d iˆ m A, B, C. ’ + V´ o ¯ˆ . o ` ¯ ¯e + V´.i degP (x) = 1, d` thi y = P (x) la d u.`.ng th˘ng d i qua 3 d iˆ m A, B, C, khˆng ’ ’ o ¯ˆ . o `¯ o a ¯ ¯e o .o.ng v´.i truc hoanh. cung phu ` o ` . .i degP (x) = 0, d` thi y = P (x) la d u.`.ng th˘ng d i qua 3 d iˆ m A, B, C, cung ’ ’ + V´ o ¯ˆ . o `¯o a ¯ ¯e ` .o.ng v´.i truc hoanh. phu o ` . .c nˆi suy Lagrange chı ´nh la ”cac gˆ c” cua mˆt sˆ phu.o.ng trı d u.`.ng cong ´ .´ ’ Cˆng th´ o o u. `´o oo `nh ¯ o .`.ng th˘ng) d i qua cac d iˆ m cho tru.´.c trong m˘t ph˘ng toa d ˆ. ’ ’ ’ (ho˘c d u o a¯ a ¯ ´ ¯e o a a . ¯o . . . Nhˆn xe t 2.2. a ´ . V´.i d a th´.c P (x) co degP (x) ≤ n − 1 cho tru.´.c, cac sˆ aj trong (2.2) d u.o.c thay bo.i ´ ’ o¯ u ´ o ´o ¯. .i j = 1, 2, · · · , n. P (xj ), v´ o Bˆy gi`. ta thu. d i tı mˆt u.ng dung cua (2.5). ’ ¯ `m o ´ ’ a o . . . x , x , · · · , x la n sˆ thu.c phˆn biˆt, n ≥ 2. Xe d a th´.c ´. ’’ Gia su 1 2 n` o a e ´t ¯ u . n P (x) = xn − (x − xi ). (2.4) i=1 T`. d´ , ´ p dung (2.5), ta co u ¯o a ´ . n n xnj = xj . (2.5) n i=1,i=j (xj − xi ) j =1 j =1 Bˆy gi`., ta ha y tı mˆt u.ng dung cua (2.15) dˆ tao ra nh˜.ng d ˘ng th´.c m´.i. ’ ˜ `m o ´ ’ ’ a o ¯e . u ¯a u o . . . lai v´.i d a th´.c P (x) = a xn + a n −1 ’ Tro . o ¯ u n −1 x + .. + a1 x + a0 , an = 0, n ≥ 2, co n ´ n .c phˆn biˆt x1 , x2, ..., xn. nghiˆm thu e a e . . . .i n gia tri phˆn biˆt x , x , ..., x , ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange d ˆ i v´.i d a ´ V´o ´.a e12 na o uo ¯o o ¯ . . . th´.c f (x) = x , k n − 1, ta co k u ´ n k xk ωj (x) x= j j =1
12 Ta co ´ n n n xk xk ω (x) i=1,i=j (x − xi ) j j xk = = an . (x − xj )ω (xj ) P (xj ) j =1 j =1 Biˆ u th´.c cuˆ i cung la mˆt d a th´.c co hˆ sˆ cua xn−1 la ’ ´ .´ u ´ eo ’ e u o` ` o¯ ` . n xk j an . P (xj ) j =1 So sanh cac hˆ sˆ cua d a th´.c xk , ta d u.o.c cac d ˘ng th´.c sau: ’ .´ ´ eo ’ ¯ ´ u ¯ . ´ ¯a u n xk j = 0, ∀k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 2}; (2.6) P (xj ) j =1 n xk 1 , v´.i k = n − 1. j = o (2.7) P (xj ) an j =1 Mˆt sˆ u.ng dung ´ 2.1.2 o o´ . . ` ` ’ Phˆn trong tˆm cua phˆn nay tˆp trung vao viˆc ´ p dung mˆt cach kha linh hoat a a a`a ` ea o´ ´ . . . . . . .c nˆi suy Lagrange dˆ giai mˆt sˆ bai toan kho, trong d´ co cac d` thi chon hoc ’’ ´` ´ cˆng th´ o o u. ¯e oo ´ ¯o ´ ´ ¯ˆ e . . . .´.c, khu vu.c va quˆ c tˆ . ´´ ’ sinh gioi trong nu o .`oe Bai toa n 2.1. Xac d. nh d a th´.c bˆc hai nhˆn gia tri b˘ ng 3; 1; 7, tai x b˘ ng −1; 0; 3 ` ` ` ´ ´ ¯i ¯ ua a ´.a a . . . .o.ng u.ng. tu ´ Bai toa n 2.2. Cho a1 , a2, ..., an la n sˆ khac nhau. Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u d a th´.c f (x) ` ´ ´ ` ´ ` o´ u a e¯ u .n ho.n n − 2, thı co bˆc khˆng l´ ´a o o `: . f (a1) f (an ) T= + ... + = 0. (a1 − a2 )(a1 − a3)...(a1 − an ) (an − a1 )(an − a2 )...(an − an−1 ) Bai toa n 2.3. Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u d a th´.c bˆc hai nhˆn gia tri nguyˆn tai ba gia tri ` ´ ` ´ u a e¯ ua a ´. e. ´. . . .c nhˆn gia tri nguyˆn tai moi x nguyˆn. ´’ ´´ nguyˆn liˆn tiˆ p cua biˆ n sˆ x, thı d a th´ ee e eo `¯ u a ´. e. e . . ´ `` Bai toa n 2.4. ` ´ Cho a1 , a2, ..., an la n sˆ khac nhau. Goi Ai (i = 1, 2, ..., n) la phˆn ` o´ a . . trong phe chia d a th´.c f (x) cho x − a . Ha y tı phˆn du. r(x) trong phe chia f (x) ˜ `m ` du ´p ¯ u a ´p i cho (x − a1 )(x − a2)...(x − an ). ´ `nh Du.o.ng, 2001) a´ Bai toa n 2.5. (Vˆ d .ch Chˆu A Tha i Bı ` ´ o ¯i Trong m˘t ph˘ ng v´.i hˆ truc toa d ˆ vuˆng goc, mˆt d iˆ m d u.o.c goi la d iˆ m hˆn ho.p ’ ’ ’ ˜ a a o e . . ¯o o ´ o ¯e ¯ . . `¯e o . . . . . ’m d´ la sˆ h˜.u tı , thanh phˆn kia la sˆ vˆ ´ ` . ¯o ’ ¯ e ´ ` ´ nˆ u mˆt trong hai thanh phˆn toa d ˆ cua d iˆ ¯o ` o u ’ e o ` a ` a `oo . . .c co hˆ sˆ thu.c sao cho d` thi cua mˆi d a th´.c d´ khˆng ch´.a ˜¯ ´ .´ ’ `m a ’ ´ ¯ ¯ˆ . ’ tı . Tı tˆ t ca cac d a th´ ´ e o . u o o u ¯o o u ’m hˆn ho.p nao ca. ˜ ´ `’ bˆ t ky d iˆ a `¯e o . Bai toa n 2.6. Tı tˆ t ca cac c˘p d a th´.c P (x) va Q(x) co bˆc ba v´.i cac hˆ sˆ thu.c ´ .´ `m a ’ ´ a ¯ ` ´ u ` ´a o ´ eo . . . ˜ ¯` ’ thoa ma n 4 d iˆu kiˆn: e e . a) Ca hai d a th´.c nhˆn gia tri 0 ho˘c 1 tai cac d iˆ m x = 1, 2, 3, 4; ’ ’ ¯ u a ´. a . ´ ¯e . .
13 ´ b) Nˆ u P (1) = 0 ho˘c P (2) = 1, thı Q(1) = Q(3) = 1; e a ` . ´ c) Nˆ u P (2) = 0 ho˘c P (4) = 0, thı Q(2) = Q(4) = 0; e a ` . ´ d) Nˆ u P (3) = 1 ho˘c P (4) = 1, thı Q(1) = 0. e a ` . ˜ Bai toa n 2.7. (Vˆ d .ch My - 1975) ` ´ o ¯i 1 Da th´.c P (x) bˆc n thoa ma n cac d ˘ ng th´.c P (k) = , v´.i k = 0, 1, 2, ..., n. - ˜ ´ ¯a ’ ’ u a u o . k Cn+1 Tı P (n + 1). ´nh Bai toa n 2.8. Gia su. d a th´.c c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn co gia tri h˜.u tı khi x h˜.u tı . ’ ’¯ ´´.u ’ u’ ` ´ u .ng minh r˘ ng, tˆ t ca cac hˆ sˆ c0, c1, c2, ..., cn la nh˜.ng sˆ h˜.u tı . ` ´ .´ ´ a ’´ eo ou ’ Ch´ u a `u Bai toa n 2.9. Cho p la mˆt sˆ nguyˆn tˆ va P (x) ∈ Z [x] la d a th´.c bˆc s thoa ma n cac ˜´ .´ ´ ’ ` ´ `oo e o` `¯ ua . ¯` d iˆu kiˆn e e . 1) P (0) = 0, P (1) = 1. 2) P (n) ho˘c chia hˆ t cho p ho˘c co sˆ du. b˘ ng 1, v´.i moi n ∈ Z + . ` ´ ´ a e a ´o a o . . . .ng minh r˘ ng: s ≥ p − 1. ` Ch´ u a Bai toa n 2.10. Tı tˆ t ca cac d a th´.c P (x) co bˆc nho ho.n n (n ≥ 2) va thoa ma n ’˜ ´ `m a ’ ´ ¯ ’ ` ´ u ´a ` . ¯` d iˆu kiˆn e e . n (−1)n−k−1 Cn P (k) = 0. k k =0 Bai toa n 2.11. Cho sˆ tu. nhiˆn s va da y cac d a th´.c Pn (x) co bˆc khˆng vu.o.t s. Gia `˜ ´¯ ´ ’ ` ´ o. e u ´a o . . e` ’ ˜ ¯` ´a ´ thiˆ t r˘ ng ham sˆ g (x) xac d. nh trong (0; 1) va thoa ma n d iˆu kiˆn ` o ´ ¯i ` e e . 1 | g (x) − Pn (x) |< ; ∀x ∈ (0; 1); n = 1, 2, ... n Ch´.ng minh r˘ ng khi d´ tˆn tai d a th´.c Q(x) bˆc khˆng vu.o.t s trung v´.i g (x) trong ` ¯o ` u a o .¯ u a o ` o . . (0; 1). Bai toa n 2.12. Cho n sˆ nguyˆn du.o.ng d ˆi mˆt khac nhau x1 , x2, ..., xn. Goi pj = ´ ` ´ o e ¯o o ´ . . P (xj ), trong d´ ¯o n P (x) = (x − xj ). j =1 Ch´.ng minh r˘ ng da y (uk ) xac d. nh theo cˆng th´.c ` ˜ u a ´ ¯i o u n xk i uk = pi i=1 `o˜o ´ la mˆt da y sˆ nguyˆn. e . Bai toa n 2.13. 1) Cho d a th´.c f (x) co bˆc n v´.i cac hˆ sˆ thu.c va hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t .´ .´. ´ ` ´ ¯ u ´a o ´ eo . `eoa a . ` ng a. Gia su. f (x) co n nghiˆm phˆn biˆt x1, x2, ..., xn khac 0. Ch´.ng minh r˘ ng ` ’’ b˘ a ´ e a e ´ u a . . n n (−1)n−1 1 1 = . x2 f ax1 x2...xn xk (xk ) k =1 k k =1
14 2) Co tˆn tai hay khˆng mˆt d a th´.c f (x) bˆc n le v´.i hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t a = 1 ´` . .´. ´ ’o eoa o o o¯ u a a . . ’˜ ma f (x) co n nghiˆm phˆn biˆt x1 , x2, ..., xn khac 0 thoa ma n ` ´ e a e ´ . . 1 1 1 1 + + ... + + = 0? x1 f (x1) x2 f (x2) xn f (xn ) x1 x2 ...xn Mˆt sˆ u.ng dung cu a c´c cˆng th´.c nˆi suy kh´c ´ ˙ ’ao 2.2 o o´ u o a . . . Cˆng th´.c nˆi suy Taylor 2.2.1 o u o . Cˆng th´.c nˆi suy Taylor cho ta cˆng th´.c d o.n gian va cu ng rˆ t tˆ ng quat dˆ xac ´’ ’ ’ `˜ o uo o u¯ ao ´ ¯e ´ . ´nh cua ham sˆ . Do d´ , dˆ tı gi´.i han, ngu.`.i ta thu.`.ng dung cˆng th´.c ’ ` ´ ’` d inh phˆn chı ¯. a o ¯o ¯e `m o . o o ` o u .i mˆt cˆ p nao d´ . Du.´.i d ˆy la mˆt sˆ vı du minh hoa. ’ . ´ ` ¯o .´ khai triˆ n Taylor t´ o a e o o ¯a ` o o ´ . . Bai toa n 2.14. Tı gi´.i han ` ´ ´nh o . √ sin(sin x) − x 3 1 − x2 lim . x5 x→0 Bai toa n 2.15. Tı gi´.i han ` ´ ´nh o . 3 lim (cos(x.ex) − ln(1 − x) − x)cot x . x→0 Mˆt u.ng dung kha quan trong cua cˆng th´.c nˆi suy Taylor la viˆc xˆ p xı ham sˆ . Vˆ n . ´ ’` ´a ´ ’o o´ ´ uo `ea o . . . . .o.c trı . chu.o.ng sau. ¯ˆ ` ˜ ¯ d` nay se d u . `’ e `nh bay o Cˆng th´.c nˆi suy Newton 2.2.2 o u o . Bai toa n 2.16. Cho 3 bˆ sˆ thu.c (x1; a1), (x2; a2), (x3; a3). Tı d a th´.c N (x) v´.i .´. ` ´ oo `m ¯ u o ˜ ¯` `’ degN (x) ≤ 2 va thoa ma n d iˆu kiˆn e e . N (x1) = a1, N (x2 ) = a2 , N (x3 ) = a3 Bai toa n 2.17. Cho (n + 1) c˘p sˆ (xj , yj ) (j = 0, . . ., n). V´.i i = k ta d. nh nghı a ˜ ´ ` ´ ao o ¯i . y i − yk ([xi , xk ] d u.o.c goi la sai phˆn tach bˆc nhˆ t); ´ [x i , x k ] = ¯. .` a´ a a . xi − x k [xi+p, . . . , xi+1 ] − [xi+p−1 , . . . , xi] [xi+p , xi+p−1 , . . . , xi+1, xi] = xi + p − x i ([xi+p , xi+p−1, . . . , xi+1, xi ] d u.o.c goi la sai phˆn tach bˆc p). ¯. .` a´ a . ’˜ ´ y (x) la ham kha vi liˆn tuc dˆ n bˆc n thoa ma n ´a ’ Cho x0 < x1 < . . . < xn va cho ham sˆ ` ` o `` e . ¯e . d iˆu kiˆn y (xj ) = yj (j = 0, 1, . . ., n). Ch´.ng minh r˘ ng ` ¯` e e u a . y (n) (x∗) [x n , x n − 1 , . . . , x 0 ] = , n! v´.i x∗ la mˆt d iˆ m nao d´ trong (x0, xn ). ’ o ` o ¯e ` ¯o .
15 Bai toa n 2.18. Ch´.ng minh r˘ ng d a th´.c `¯ ` ´ u a u Pn (x) = y0 + [x1, x0](x − x0 ) + [x2, x1, x0](x − x0)(x − x1 ) (2.8) + . . . + [xn , xn−1 , . . . , x0](x − x0)(x − x1 ) . . . (x − xn ) thoa ma n cac hˆ th´.c ’˜´eu . Pn (xj ) = yj ∀j ∈ {0, . . ., n}. Nhˆn xe t 2.3. Cˆng th´.c (2.8) cu ng chı´nh la mˆt cach viˆ t khac cua d a th´.c nˆi suy ˜ ´ ’¯ a ´ o u `o´ e ´ u o . . . .o.c trı Newton d˜ d u . `´`´ ¯a ¯ `nh bay trong phˆn cac bai toan nˆi suy. ` a o . Cˆng th´.c nˆi suy Hermite 2.2.3 o u o . Nhˆn xe t 2.4. Trong bai toan nˆi suy Hermite, nˆ u n = 2 thı i = 1 ho˘c i = 2. Gia su. ´ ’’ a´ `´ o e ` a . . . ´ p1 = 1 va p2 = 3. Thˆ thı p1 + p2 = 4 = N . ` e` Khi d´¯o ´ + Nˆ u i = 1, thı k = 0, 1, . . . , P1 − 1. Vˆy k = 0. e ` a . ´ + Nˆ u i = 2, thı k = 0, 1, . . . , P2 − 1. Vˆy k = 0, k = 1, k = 2. e ` a . Bˆy gi`., gia su. ’’ a o a01 = 1, a02 = a12 = a22 = 0. Ta co bai tˆp sau ´`a . Bai toa n 2.19. Cho hai sˆ thu.c x1 = x2. Ha y xac d. nh d a th´.c H (x) co bˆc degH (x) ≤ 3 ˜ ´ ¯i ¯ ´ ` ´ o. u ´a . ˜ n cac d iˆu kiˆn va thoa ma ´ ¯ ` `’ e e . H (x1) = 1, H (x2) = H (x2) = H (x2 ) = 0. Mˆt cach tˆ ng quat, ta co bai toan du.´.i d ˆy v´.i cach giai gˆn gu i v´.i chu.o.ng trı phˆ ’ ’ ’` ˜o o´ o ´ ´` ´ o ¯a o ´ a `nh o . thˆng. o Bai toa n 2.20. Cho hai sˆ phˆn biˆt x0 va x1 . Tı tˆ t ca cac d a th´.c P (x) v´.i ´ ´ `m a ’ ´ ¯ ` ´ o a e ` u o . ∗ ˜ ´ ¯` ’ degP (x) ≤ n (n ∈ N ) thoa ma n cac d iˆu kiˆn e e . P (x0 ) = 1 P ( k)(x1) = 0, k ∈ {0, 1, . . ., n − 1}. Nhˆn xe t 2.5. Trong bai toan nˆi suy Hermite, nˆ u n = 2 thı i = 1 ho˘c i = 2. Gia su. ´ ’’ a´ `´ o e ` a . . . ´ p1 = 2 va p2 = 3. Thˆ thı p1 + p2 = 5 = N . Khi d´ ` e` ¯o ´ + Nˆ u i = 1, thı k = 0, 1, . . . , P1 − 1. Vˆy k = 0, k = 1. e ` a . ´ + Nˆ u i = 2, thı k = 0, 1, . . . , P2 − 1. Vˆy k = 0, k = 1, k = 2. e ` a . Bˆy gi`., gia su. ’’ a o a01 = a11 = 1, a02 = a12 = a22 = 0. Ta d u.o.c bai tˆp sau ¯. ` a .
16 Bai toa n 2.21. Cho hai sˆ thu.c x1 = x2. Ha y xac d. nh d a th´.c H (x) co bˆc degH (x) ≤ 4 ˜ ´ ¯i ¯ ´ ` ´ o. u ´a . ˜ ´ ¯` `’ va thoa ma n cac d iˆu kiˆn e e .  H (x ) = H (x ) = 1 1 1 H (x ) = H (x ) = H (x ) = 0. 2 2 2 Mˆt cach tˆ ng quat, ta cu ng co bai toan du.´.i d ˆy, v´.i cach giai gˆn gu i v´.i chu.o.ng trı ’ ˜ ’` ˜o o´ o ´ ´` ´ o ¯a o´ a `nh . ’ toan phˆ thˆng. ´ oo Bai toa n 2.22. Cho hai sˆ phˆn biˆt x0 va x1 . Tı tˆ t ca cac d a th´.c P (x) v´.i ´ ´ `m a ’ ´ ¯ ` ´ o a e ` u o . degP (x) ≤ n + 1 (n ∈ N∗ ) thoa ma n cac d iˆu kiˆn ˜ ´ ¯` ’ e e . P (x0) = 1, P (x0 ) = 1, P ( k)(x1) = 0, k ∈ {0, 1, . . ., n − 1}. 2.3 Bai tˆp `a . Luˆn v˘n d˜ d` xuˆ t 10 bai tˆp do tac gia sang tac ho˘c su.u tˆm. e´ ` ’´ a a ¯a ¯ˆ a `a ´ ´ a a . . .
17 Chu.o.ng 3 ´. U ng dung cˆng th´.c nˆi suy d e’˙ o u o ¯ˆ . . u.´.c lu.o.ng v` xˆp xı h`m sˆ ´ ´ ˙a ’ o aa o . Mˆt trong nh˜.ng u.ng dung quan trong cua cac cˆng th´.c nˆi suy la u.´.c lu.o.ng va xˆ p ´ ’´o o u´ uo `o `a . . . . . .ng tru.`.ng ho.p o -a ` o o ´ ´ ’` xı ham sˆ . Dˆy la mˆt nˆi dung quan trong trong ly thuyˆ t ham. Nh˜ ´ e` u o . . . . . thanh nh˜.ng bai toan kho o. phˆ thˆng va thu.`.ng xuˆ t hiˆn ’ nho cua vˆ n d` nay d˜ tro ` ´e ´ ’ ’ a ¯ˆ ` ¯a ’ ´’ u `´ oo ` o a e . ´ ´´ ’ trong cac ky thi hoc sinh gioi quˆ c gia va quˆ c tˆ , ´` o `oe . Trong pham vi cua chu.o.ng trı`nh phˆ thˆng chuyˆn toan, chu.o.ng nay se d` cˆp dˆ n ’ ` ˜ ¯ˆ a ¯e ´ ’ oo e ´ e. . cac u.ng dung nˆu trˆn ´´ e e . . U ´.c lu.o.ng h`m sˆ ´ 3.1 o a o . . U ´.c lu.o.ng h`m sˆ theo c´c n´t nˆi suy Lagrange ´ 3.1.1 o a o auo . . Bai toa n 3.1. Cho tam th´.c bˆc hai f (x) = ax2 + bx + c thoa ma n d iˆu kiˆn: ˜ ¯` ’ ` ´ ua e e . . | f (x) | 1, khi | x | 1. ` ng v´.i moi M ≥ 1, ta co: Chung minh r˘ ´ a o ´ . 2 | f (x) | 2M − 1, khi | x | M . Bai toa n 3.2. Cho d a th´.c P (x) bˆc khˆng vu.o.t qua 2n va thoa ma n d iˆu kiˆn ’ ˜ ¯` ` ´ ¯ u a o ´ ` e e . . . | P (k) | 1; ∀k ∈ {−n, −n + 1, ..., n − 1, n}. Ch´.ng minh r˘ ng ` u a 4n ; ∀x ∈ {−n; n}. | P (x) | Bai toa n 3.3. Cho d a th´.c f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e thoa ma n d iˆu kiˆn | f (x) | 1 ˜ ¯` ’ ` ´ ¯ u e e . .ng minh r˘ ng v´.i moi M > 1 cho tru.´.c ta d` u co ` khi | x | 1. Ch´ u a o o ¯ˆ ´ e . 32 4 32 2 | f (x) | M − M + 1, khi | x | M . 3 3 . cho tru.´.c cac sˆ nguyˆn x < x < ... < x . Ch´.ng minh r˘ ng ` ´ ’’ Bai toa n 3.4. Gia su ` ´ o´o e u a 0 1 n .a cac gia tri cua d a th´.c xn + a xn−1 + ... + a tai cac d iˆ m x , x , ..., x luˆn tı ’ ´.’¯ gi˜ ´ u u ´ ¯e o `m n. 1 01 n n! d u.o.c mˆt sˆ ma gia tri tuyˆt d ˆ i cua no khˆng be ho.n n . .´ .´ e ¯o ’ ´ o ¯. oo`´. ´ 2
18 Bai toa n 3.5. Cho d a th´.c P (x) bˆc ’ ˜ ¯` ` ´ ¯ u a 2n thoa ma n d iˆu kiˆn e e . . |P (k)| 1, k = −n, −(n − 1), . . ., 0, 1, . . ., n. Ch´.ng minh r˘ ng ` u a 2n ∀x ∈ [−n, n]. |P (x)| . U ´.c lu.o.ng h`m sˆ theo c´c n´t nˆi suy Chebyshev ´ 3.1.2 o a o a uo . . 3.1.2.1 Da th´.c Chebyshev - u Dinh nghı a 3.1. Cac d a th´.c Tn (x) (n ∈ N) d u.o.c xac d. nh nhu. sau -. ˜ ´¯ u ¯ . ´ ¯i   T (x) = 1; T (x) = x, 0 1  T (x) = 2xT (x) − T (x) ∀n > 1 n+1 n n −1 d u.o.c goi la cac d a th´.c Chebyshev (loai 1). ¯. . `´ ¯ u . Dinh nghı a 3.2. Cac d a th´.c Un (x) (n ∈ N) xac d. nh nhu. sau -. ˜ ´¯ u ´ ¯i   U (x) = 0; U (x) = 1, 0 1 U (x) = 2xU (x) − U (x) ∀n > 1 n+1 n n −1 d u.o.c goi la cac d a th´.c Chebyshev (loai 2). ¯. . `´ ¯ u . ´nh chˆ t cua ca c d th´.c Tn (x) ´ ’ ´ ¯a u 3.1.2.2 Tı a ´nh chˆ t 3.1. Tn (x) = cos(n arccos x) v´.i moi x ∈ [−1, 1] ´ Tı a o . ˜ ´nh chˆ t 3.2. Tn (x) ∈ Z[x] bˆc n co hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t b˘ ng 2n−1 va la ham ch˘n khi a` ´ .´. ´a Tı a a ´eoa `` ` a . ˜ `` ’ ’ n ch˘n; la ham le khi n le. a ´ Tı ´nh chˆ t 3.3. Tn (x) co d´ ng n nghiˆm phˆn biˆt trˆn [-1, 1 ] la a ´ ¯u e a ee ` . . 2k + 1 xk = cos π (k = 0, 1, . . ., n − 1). 2n kπ ´ Tı ´nh chˆ t 3.4. |Tn(x)| a , k ∈ Z. 1 ∀x ∈ [−1, 1] va |Tn (x)| = 1 khi x = cos ` n ´nh chˆ t 3.5. Da th´.c T ∗(x) = 21−n Tn (x) la d a th´.c bˆc n v´.i hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t - ´ .´. ´ Tı a u `¯ ua o eoa a . .i 0 trˆn [−1, 1] la nho nhˆ t trong tˆ t ca cac d a th´.c bˆc n v´.i ` ´ ´ ’ a ’´¯ b˘ ng 1 va co d ˆ lˆch so v´ a ` ´ ¯o e o e ` a ua o .. . ´` .´. hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t b˘ ng 1. eoa aa ´nh chˆ t cua d th´.c Un (x) ´ ’ ¯a u 3.1.2.3 Tı a sin(n arccos x) . ´ √ Tı ´nh chˆ t 3.6. Un (x) = a v´ i moi x ∈ (−1, 1). o . 1 − x2
19 1 sin nt , cos t = x, d a th´.c bˆc n − 1 co hˆ sˆ bˆc cao ´ .´. Tı ´nh chˆ t 3.7. Un (x) = Tn (x) = a ¯ ua ´eoa . n sin t ˜ ˜ nhˆ t b˘ ng 2n−1 va la ham ch˘n khi n le; la ham le khi n ch˘n. a` ´a ’`` ’ `` ` a a ´ Tı ´nh chˆ t 3.8. Tn (x) co d´ ng n nghiˆm phˆn biˆt trˆn [-1, 1 ] la a ´ ¯u e a ee ` . . 2k + 1 xk = cos π (k = 0, 1, . . ., n − 1). 2n n2 ∀x ∈ [−1, 1]. ´ Tı ´nh chˆ t 3.9. |Un (x)| a n ∀x ∈ [−1, 1] va |Tn (x)| ` Du.´.i d ˆy la mˆt sˆ bai toan ´ p dung. .´ o ¯a ` o o ` ´ a . Bai toa n 3.6. Cho d a th´.c Pn−1 (x) bˆc n − 1 v´.i hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t a0 , thoa ma n ˜ .´. ´ ’ ` ´ ¯ u a o eoa a . ¯` d iˆu kiˆn e e . 1 − x2 |Pn−1 (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1]. Ch´.ng minh r˘ ng ` u a 2n − 1 . |a0 | Bai toa n 3.7. Cho d a th´.c Pn−1 (x) bˆc n − 1 v´.i hˆ sˆ bˆc cao nhˆ t a0 , thoa ma n ˜ .´. ´ ’ ` ´ ¯ u a o eoa a . ¯` d iˆu kiˆn e e . 1 − x2 |Pn−1 (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1]. Ch´.ng minh r˘ ng khi d´ ` u a ¯o |Pn−1 (x)| n, ∀x ∈ [−1, 1]. Bai toa n 3.8. Cho d a th´.c lu.o.ng giac ` ´ ¯ u ´ . P (t) = a1 sin t + a2 sin 2t + . . . + an sin(nt) ’ ˜ ¯` thoa ma n d iˆu kiˆn e e . 1 ∀t ∈ R \ {. . . , −2π, −π, 0, π, 2π, . . .}. |P (t)| Ch´.ng minh r˘ ng ` u a P (t) n ∀t ∈ R \ {. . . , −2π, −π, 0, π, 2π, . . .}. sin t Bai toa n 3.9. Cho d a th´.c lu.o.ng giac ` ´ ¯ u ´ . n P (x) = (aj cos jx + bj sin jx) j =0 thoa ma n d iˆu kiˆn |P (x)| 1 v´.i moi x ∈ R. ’ ˜ ¯` e e o . . .ng minh r˘ ng |P (x)| n v´.i moi x ∈ R. ` Ch´u a o .