Luận văn: Tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dương

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

70
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vấn đề tìm các tập xác dịnh duy nhất hàm trên trờng đặc số dơng là một trong những vấn đề mới của lý thuyết số. Cho đến nay mới chỉ có rất ít công trình theo hớng nghiên cứu này. Luận văn có mục đích giới thiệu những kết quả mới nhất nhằm tìm ra những cách tiếp cận sâu hơn. Nội dung nghiên cứu bao gồm: -Trình bày bài toán đặt ra trên trờng đặc số dương, -Xây dựng một số tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dơng, -Tính toán một số ví dụ cụ thể....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dương

§¹i Häc Th¸i Nguyªn Trêng §¹i häc S ph¹m ------------------------------ NguyÔn V¨n KhuyÕn TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn trêng ®Æc sè d¬ng LuËn v¨n th¹c sÜ To¸n häc Th¸i Nguyªn - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
§¹i Häc Th¸i Nguyªn Trêng §¹i häc S ph¹m ---------------------------- NguyÔn V¨n KhuyÕn TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn trêng ®Æc sè d¬ng Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè M· sè: 60.46.05 LuËn v¨n th¹c sÜ To¸n häc Hµ Huy Kho¸i Ngêi híng dÉn khoa häc: GS.TSKH. Th¸i Nguyªn - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc Môc lôc ............................... 1 Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 KiÕn thøc c¬ së 5 1.1 Trêng ®Þnh gi¸, trêng phi Archimed. . . . . . . . . . . . . 5 1.2 TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt, ®a thøc x¸c ®Þnh duy nhÊt ..... 7 1.3 Lý thuyÕt Nevanlinna trªn trêng ®Æc sè d¬ng. . . . . . . . 8 2 TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn trêng ®Æc sè d¬ng 11 2.1 TËp kh«ng x¸c ®Þnh duy nhÊt vµ cøng affine trong trêng ®Æc sè d¬ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 §Þnh lý c¬ b¶n vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. . . . . . . . . . . . 15 2.3 Nh÷ng vÝ dô vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. . . . . . . . . . . . . 21 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tµi liÖu tham kh¶o 32 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Lêi nãi ®Çu VÊn ®Ò t×m c¸c tËp x¸c dÞnh duy nhÊt hµm trªn trêng ®Æc sè d¬ng lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò míi cña lý thuyÕt sè. Cho ®Õn nay míi chØ cã rÊt Ýt c«ng tr×nh theo híng nghiªn cøu nµy. LuËn v¨n cã môc ®Ých giíi thiÖu nh÷ng kÕt qu¶ míi nhÊt nh»m t×m ra nh÷ng c¸ch tiÕp cËn s©u h¬n. Néi dung nghiªn cøu bao gåm: -Tr×nh bµy bµi to¸n ®Æt ra trªn trêng ®Æc sè d¬ng, -X©y dùng mét sè tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn trêng ®Æc sè d¬ng, -TÝnh to¸n mét sè vÝ dô cô thÓ. Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu nh©n tö ho¸ cña hµm ph©n h×nh ( trong mÆt ph¼ng phøc ), F. Gross [7], n¨m 1976, ®· ®a ra kh¸i niÖm tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. Cung cÊp nh÷ng vÝ dô vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn phøc (kh¸c h»ng) ®· trë thµnh chñ ®Ò cña mét sè bµi b¸o gÇn ®©y. Lý thuyÕt Nevanlinna ®· trë thµnh c«ng cô chÝnh ®îc sö dông ®Ó x©y dùng nh÷ng vÝ dô ®ã. Boutabaa, Escassut vµ Haddad [5] ®· nghiªn cøu tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cho c¸c hµm nguyªn phi Archimed (trong trêng ®Æc sè 0) vµ nÕu thu hÑp ®Ó nghiªn cøu c¸c ®a thøc, th× cã mét sù biÓu thÞ ®Ñp vÒ mÆt h×nh häc cho tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt h÷u h¹n. K §Þnh lý A (Boutabaa, Escassut vµ Haddad [5]). Cho lµ trêng cã ®Æc F K. sè 0. Cho lµ hä nh÷ng ®a thøc kh¸c h»ng víi hÖ sè trªn Khi ®ã, mét F S K S tËp h÷u h¹n trong lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cho nÕu vµ chØ nÕu lµ cøng affine. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Cherry vµ Yang [6], n¨m 1999, ®· më réng ®Þnh lý nµy cho trêng hîp nh÷ng hµm nguyªn phi Archimed kh¸c h»ng mét biÕn trªn trêng ®Æc sè 0, ®Çy ®ñ t¬ng øng víi mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed. Trong suèt luËn v¨n, K sÏ lu«n lµ mét trêng ®Çy ®ñ t¬ng víi mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed. ''TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt'' lu«n cã nghÜa lµ tËp x¸c A∗ (K ) nh÷ng hµm nguyªn phi Archimed ®Þnh duy nhÊt kÓ c¶ béi cña hä kh¸c h»ng trªn K . Ta cã thÓ coi c¸c ®a thøc trªn trêng bÊt kú lµ trêng hîp ®Æc biÖt cña c¸c hµm nguyªn phi Archimed mét biÕn trªn K . Do ®ã, khi ph¸t biÓu bµi to¸n nµo cho hä c¸c hµm nguyªn phi Archimed, mÖnh ®Ò ®ã còng ®óng víi c¸c ®a thøc. Voloch ®· cho mét chøng minh thuÇn tuý ''®¹i sè - h×nh häc''cña ®Þnh lý (Boutabaa, Escassut vµ Haddad [5]) vµ lµm râ r»ng ®Þnh lý còng ®óng trong trêng ®Æc sè d¬ng cho nh÷ng tËp cã lùc lîng nguyªn tè víi n. NghÜa lµ, p ≥ 0 vµ ®Çy ®ñ K §Þnh lý B (§Þnh lý cña Voloch [3]). Cho cã ®Æc sè A∗ (K ) lµ hä nh÷ng t¬ng øng víi mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Achimed. Cho K . Cho S lµ mét tËp cã lùc lîng hµm nguyªn phi Archimed kh¸c h»ng trªn h÷u h¹n n, gi¶ sö nguyªn tè víi p nÕu p > 0. Khi ®ã, S lµ tËp x¸c ®Þnh duy ∗ nhÊt cña hä A (K ) nÕu vµ chØ nÕu S lµ cøng affine. VËy, ®iÒu g× sÏ x¶y ra khi ®Æc sè p chia hÕt lùc lîng cña mét tËp ? Trong [6], Cherry vµ Yang ®· cho mét vÝ dô vÒ mét tËp 3 phÇn tö lµ cøng affine, nhng kh«ng lµ mét tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt trong trêng ®Æc sè 3. V× kh«ng cã tËp cøng affine cã lùc lîng 2, nªn còng kh«ng cã tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cã lùc lîng 2 trong trêng ®Æc sè 2 ( hoÆc trong trêng ®Æc sè bÊt k× ). Mét sè c©u hái tiÕp theo ®îc ®Æt ra lµ: Cã hay kh«ng tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cã lùc lîngp trong trêng ®Æc sè p ? Tån t¹i hay kh«ng tËp h÷u h¹n cøng affine cã lùc lîng n mµ kh«ng lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt vµ khi n lµ mét béi, nhng kh«ng lµ luü thõa cña ®Æc sè ? Môc ®Ých chÝnh cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i c¸c kÕt qu¶ cña Boutabaa, Cherry vµ Escassut [3] mét c¸ch cã chän läc theo bè côc riªng nh»m cô thÓ ho¸ néi dung ë trªn vµ tr¶ lêi c¸c c©u hái võa nªu. Víi môc ®Ých nh vËy, 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
luËn v¨n ®îc chia lµm hai ch¬ng Ch¬ng 1. KiÕn thøc c¬ së. Trong ch¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n phôc vô cho viÖc chøng minh mét sè ®Þnh lý trong luËn v¨n ë ch¬ng 2. Ch¬ng 2. TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn trêng ®Æc sè d¬ng. Tríc hÕt, chóng t«i tr×nh bµy vÒ tËp kh«ng x¸c ®Þnh duy nhÊt cøng affine trªn trêng ®Æc sè d¬ng . TiÕp theo, chóng t«i tr×nh bµy ®Þnh lý c¬ b¶n vµ chøng minh cña nã vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cã lùc lîng ≥ 4 trong trêng ®Æc sè bÊt k×, ®©y còng chÝnh lµ träng t©m cña luËn v¨n. Cuèi cïng chóng t«i ®a ra c¸c vÝ dô vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cã lùc lîng n, víi mäi n ≥ 4, trong trêng ®Æc sè bÊt k×. Víi tËp cã lùc lîng nhá ta cßn cã thÓ sö dông c«ng cô ''®¹i sè - h×nh häc'' sÏ tr×nh bµy trong phÇn cuèi cña ch¬ng. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi thÇy gi¸o GS.TSKH. Hµ Huy Kho¸i, c¸n bé ViÖn To¸n häc - ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ quèc gia, ngêi ®· nhiÖt t×nh híng dÉn vµ chØ b¶o t«i nh÷ng kiÕn thøc, kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh hoµn thµnh luËn v¨n vµ nghiªn cøu khoa häc . T«i còng xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi nh÷ng ngêi th©n yªu trong gia ®×nh, nh÷ng ngêi b¹n th©n thiÕt ®· ®éng viªn, gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 KiÕn thøc c¬ së 1.1 Trêng ®Þnh gi¸, trêng phi Archimed. Cho p lµ mét sè nguyªn tè. Mét sè nguyªn p-adic cã thÓ §Þnh nghÜa 1.1.1. ®îc m« t¶ b»ng nhiÒu c¸ch. Mét phÐp biÓu diÔn nã lµ mét chuçi x = a0 + a1 p + a2 p2 + ..., ai ∈ Z(∗). = a0 + a1 p + a2 p2 + ... + an pn sao cho xn − xn−1 = an pn . Tæng riªng lµ xn Mét sè nguyªn p− adic còng cã thÓ ®îc ®Þnh nghÜa nh mét d·y sè nguyªn x = {x0 , x1 , ...} tho¶ m·n xn ≡ xn−1 mod pn , n = 1, 2, ... (**) Tæng vµ tÝch cña nh÷ng sè nguyªn p− adic ®îc ®Þnh nghÜa bëi phÐp nh©n ®a thøc nÕu (*) ®îc sö dông. Víi phÐp biÓu diÔn (**), ta cã x + y = {xn + yn }, xy = {xn yn }. Víi phÐp céng vµ phÐp nh©n ®Þnh nghÜa nh trªn, ta cã vµnh c¸c sè nguyªn p-adic, kÝ hiÖu : θp . Sè nguyªn p- adic x = {xn } ®îc gäi lµ mét ®¬n vÞ cña §Þnh nghÜa 1.1.2. θp (còng gäi lµ ®¬n vÞ p- adic) nÕu x0 ≡ 0 mod p. §Æc biÖt, mét sè nguyªn a lµ ®¬n vÞ p- adic nÕu a ≡ 0 mod p. Trêng c¸c th¬ng Qp cña θp ®îc gäi lµ trêng sè p- adic. Mçi α ∈ Qp cã d¹ng pm u, víi m lµ mét sè nguyªn (cã thÓ ©m) vµ u lµ mét ®¬n vÞ cña 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
θp . VËy α cã ''khai triÓn Laurent": a− r a− 1 + ... + + a0 + a1 p + ... pr p x Mét phÐp biÓu diÔn kh¸c lµ α = r , víi x lµ mét sè nguyªn p-adic vµ r ≥ 0. p C¸ch biÓu diÔn nµy thuËn lîi cho phÐp céng vµ phÐp nh©n trong Qp . p- adic trªn Qp lµ mét hµm gi¸ trÞ nguyªn §Þnh nghÜa 1.1.3. §Þnh gi¸ vp : Qp → Z ®îc ®Þnh nghÜa bëi vp (pm u) = m. Tæng qu¸t: Mét ®Þnh gi¸ v trªn trêng K lµ mét hµm gi¸ trÞ thùc §Þnh nghÜa 1.1.4. trªn K \ {0} tho¶ m·n : (a) v (xy ) = v (x) + v (y ), ∀x, y ∈ K ; (b) v (x + y ) ≥ min{v (x), v (y )}, ∀x, y ∈ K ; Quy íc, ®Æt v (0) = +∞(v (x) = +∞ ⇔ x = 0). Mét trêng K víi ®Þnh gi¸ v ®îc gäi lµ trêng ®Þnh gi¸. NÕu c lµ mét sè thùc lín h¬n 1, th× ®Þnh gi¸ v c¶m sinh mét gi¸ trÞ tuyÖt trªn K , tøc lµ ®èi |x| = c−v(x) . Khi v = vp , h»ng sè c lu«n ®îc cho lµ p vµ ta thu ®îc gi¸ trÞ tuyÖt ®èi p-adic |x|p = p−vp (x) . V× vËy, gi¸ trÞ tuyÖt ®èi p-adic cña pn lµ p−n ( xÊp xØ b»ng 0 nÕu nh n trong sè mò xÊp xØ b»ng ∞). Nãi c¸ch kh¸c, nÕu pe lµ luü thõa bËc bËc lín nhÊt cña p chia hÕt n, th× |n|p = p−e . ta ®Æt Tæng qu¸t, 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trªn trêng K lµ mét hµm gi¸ trÞ §Þnh nghÜa 1.1.5. thùc trªn trêng K | · | : K → R+ = [0, +∞) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) |x| ≥ 0, dÊu ®¼ng thøc x¶y ra nÕu vµ chØ nÕu x = 0; (ii) |xy | = |x|.|y |, ∀x, y ∈ K ; (iii) |x + y | ≤ |x| + |y |, ∀x, y ∈ K. Do (b), gi¸ trÞ tuyÖt ®èi c¶m sinh bëi mét ®Þnh gi¸ tho¶ m·n mét tÝnh chÊt m¹nh h¬n (iii) lµ (iv) |x + y | ≤ max{|x|, |y |}, ∀x, y ∈ K. Mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi tho¶ m·n (iv) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed. Mét trêng víi gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed ®îc gäi lµ trêng phi Archimed. Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®îc gäi lµ tÇm thêng , kÝ hiÖu: | · |0 , nÕu: 1 : x ∈ K \ { 0} |x|0 = 0 : x = 0. Râ rµng ®ã lµ mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed trªn K vµ K hiÓn nhiªn lµ ®Çy ®ñ t¬ng øng víi gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nµy. 1.2 TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt, ®a thøc x¸c ®Þnh duy nhÊt Cho f lµ mét ®a thøc kh¸c h»ng hoÆc lµ mét hµm nguyªn. §Þnh nghÜa 1.2.1. Cho S lµ mét tËp trong miÒn gi¸ trÞ cña f . Ta ®Þnh nghÜa {(z, m) : f (z ) = a víi sè béi m}, E (f, S ) = a∈S ta cßn hay dïng kÝ hiÖu: ES (f ) . T¹i ®©y z ch¹y trªn miÒn x¸c ®Þnh cña f vµ m lµ mét sè nguyªn d¬ng bÊt kú. Hai hµm f vµ g ®îc gäi lµ chia S 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(víi sè béi) nÕu E (f, S ) = E (g, S ). Mét tËp S ®îc gäi lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt (kÓ c¶ béi) cña mét hä hµm F , nÕu víi ∀f, g ∈ F sao cho E (f, S ) = E (g, S ) th× ta cã f ≡ g . Th«ng thêng xÐt hä c¸c hµm F : hµm nguyªn (chØnh h×nh), hµm ph©n h×nh, hµm h÷u tØ, ®a thøc. Cho f , g lµ c¸c hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng. §a thøc P (z ) §Þnh nghÜa 1.2.2. ®îc gäi lµ ®a thøc x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm ph©n h×nh nÕu tõ ®¼ng thøc PS (f ) = PS (g ) th× f ≡ g . §a thøc P (z ) ®îc gäi lµ ®a thøc x¸c ®Þnh duy nhÊt theo nghÜa réng c¸c h×nh nÕu tõ ®¼ng thøc PS (f ) = c.PS (g ), c = 0 th× f ≡ g , víi f , hµm ph©n g ph©n h×nh kh¸c h»ng. Mét tËp ®îc gäi lµ cøng affine nÕu phÐp biÕn ®æi affine §Þnh nghÜa 1.2.3. duy nhÊt b¶o toµn tËp lµ biÕn ®æi ®ång nhÊt. 1.3 Lý thuyÕt Nevanlinna trªn trêng ®Æc sè d¬ng. Tríc hÕt ta giíi thiÖu mét sè kÝ hiÖu kiÓu Nevanlinna vµ sau ®ã ph¸t biÓu ®Þnh lý Nevanlinna mµ ta sÏ ¸p dông trong viÖc chøng minh ®Þnh lý ë ®©y, K sÏ lµ mét trêng ®ãng ®¹i sè ®Çy ®ñ chÝnh cña ta ë ch¬ng sau. t¬ng øng víi mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed ®Æc sè p ≥ 0. Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh (phi Archimed) trªn K . Víi mçi z0 ∈ K kÝ hiÖu wz0 (f ) bËc triÖt tiªu cña f t¹i z0 . §ã lµ, nÕu f (z0 ) = 0, th× wz0 (f ) kÝ hiÖu sè béi cña kh«ng ®iÓm t¹i z0 , nÕu f cã mét cùc ®iÓm, th× −wz0 (f ) kÝ hiÖu bËc cña cùc ®iÓm. §Þnh nghÜa + wz0 (f ) = max{0, wz0 (f )}. Víi mçi r > 0, ta ®Þnh nghÜa hµm ®Õm cña kh«ng ®iÓm bëi r + + Z (r, f ) = wz0 (f ) log + w0 (f ) log r. |z0 | 0
NÕu p > 0, ®Æt u(f ) lµ sè nguyªn lín nhÊt sao cho ë ®©y tån t¹i mét hµm ph©n h×nh g trªn K tho¶ m·n u(f ) f = gp . p = 0, quy íc ®Æt pu(f ) = 1. TiÕp theo, ta ®Þnh nghÜa hµm ®Õm c¾t côt NÕu bëi r min{1, wz0 (f ) mod pu(f )+1 } log + Z (r, f ) = |z0 | 0
( §Þnh lý C¬ b¶n Thø hai [4]). Cho α1 , ..., αn lµ n ®iÓm ph©n §Þnh lý 1.3.3 biÖt trong K vµ cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn K . Khi ®ã n n−1 T (r, f ) ≤ Z (r, f − αi ) + N (r, f ) − log r + O(1). pu(f ) i=1 Ta sÏ chØ thùc sù cÇn ®Þnh lý trong trêng hîp f ≡ 0, trong ®ã u(f ) = 0. HÖ qña díi ®©y tõ ®Þnh lý 1.3.3 sÏ còng rÊt cã Ých. f ≡0 f K HÖ qu¶ 1.3.4. Cho lµ mét hµm gi¶i tÝch trªn sao cho vµ cho α1 , ..., αn K . Khi ®ã lµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt trong n [Z (r, f − αj ) − Z (r, f − αj )] ≤ T (r, f ) − log r + O(1). j =1 Tõ ®Þnh lý 1.3.1, Chøng minh. n Z (r, f − αj ) = nT (r, f ) + O(1), j =1 vµ tõ ®Þnh lý 1.3.3, n Z (r, f − αj ) − log r + O(1) ≥ (n − 1)T (r, f ) − log r + O(1). j =1 V× vËy, n [Z (r, f − αj ) − Z (r, f − αj )] ≤ nT (r, f )+(1 − n)T (r, f ) − log r + O(1). j =1 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 2 TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn trêng ®Æc sè d¬ng 2.1 TËp kh«ng x¸c ®Þnh duy nhÊt vµ cøng affine trong trêng ®Æc sè d¬ng. C¬ së cho mäi viÖc ta lµm trong phÇn cßn l¹i lµ mÖnh ®Ò díi ®©y. K MÖnh ®Ò 2.1.1. Cho lµ mét trêng ®ãng ®¹i sè, ®Çy ®ñ t¬ng øng víi S K mét ®Þnh gi¸ phi Archimed. Cho lµ mét tËp h÷u h¹n trong vµ cho (x − s) lµ ®a thøc bËc nhá nhÊt víi hÖ sè trong K , tËp nghiÖm P (x) = s∈S ∗ cña nã lµ S . Khi ®ã, hai hµm f vµ g trong A (K ) chia S kÓ c¶ béi nÕu vµ c ∈ K, c = 0 sao cho P (f ) = cP (g ). chØ nÕu tån t¹i h»ng sè NÕu P (f ) = cP (g ) th× P (f ) = 0 nÕu vµ chØ nÕu P (g ) = 0 Chøng minh. vµ c¶ hai hµm triÖt tiªu víi cïng sè béi. Do ®ã, f vµ g , râ rµng chia S (kÓ c¶ béi ). §¶o l¹i, f vµ g chia S kÓ c¶ béi th× P (f )/P (g ) lµ mét hµm gi¶i tÝch phi Achimed trªn K kh«ng cã kh«ng ®iÓm, do ®ã lµ h»ng sè. §iÒu nµy dÔ dµng suy ra tõ lý thuyÕt c¸c ®a gi¸c ®Þnh gi¸ (hoÆc ®a gi¸c Newton). Nã còng suy tõ ®Þnh 1.3.3. *Chó ý. NÕu mét tËp kh«ng lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cho hä c¸c ®a thøc kh¸c h»ng th× nã còng kh«ng lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cho hä c¸c hµm nguyªn phi Archimed kh¸c h»ng, nh vËy trong phÇn nµy chØ cÇn xÐt víi c¸c ®a thøc. 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Cho K lµ mét trêng ®ãng ®¹i sè ®Æc sè p > 0. Cho n lµ mét VÝ dô 2.1.2. sè nguyªn sao cho q = pn ≥ 3. §Æt P (X ) = X q + (X − 1)q−1 . f (z ) = z q−1 vµ g (z ) = (z − 1)q−1 . Khi ®ã §Æt P (f (z )) = P (g (z )). H¬n n÷a, P cã q kh«ng ®iÓm ph©n biÖt vµ tËp S nh÷ng kh«ng ®iÓm cña P cho mét vÝ dô vÒ tËp cøng affine víi q ®iÓm mµ kh«ng lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cho c¸c ®a thøc kh¸c h»ng víi hÖ sè trªn K . Tríc hÕt ta chøng tá P (f (z )) = P (g (z )). Tõ ®Þnh nghÜa Chøng minh. P (X ), dÔ dµng chøng tá P (f (z ))(z q − z ) = P (g (z ))(z q − z ), suy ra P (f (z )) = P (g (z )). ThËt vËy, P (f (z ))(z q − z ) = [z q(q−1) + (z q−1 − 1)q−1 ](z q − z ) 2 = z q − z q(q−1)+1 + z (z q−1 − 1)q 2 2 = z q − z q(q−1)+1 + z q(q−1)+1 − z = z q − z. T¬ng tù, 2 2 P (g (z ))(z q − z ) = P (g (z ))((z − 1)q − (z − 1)) = (z − 1)q − (z − 1) = z q − z. Nh vËy, P (f (z )) = P (g (z )) nh ®· kh¼ng ®Þnh. Chó ý X q+1 − 1 P (X ) = X −1 vµ do ®ã nh÷ng kh«ng ®iÓm cña P chÝnh lµ c¸c c¨n bËc (q + 1) cña ®¬n vÞ, trõ ra 1. PhÇn cßn l¹i ta chøng tá r»ng S lµ cøng affine. Chó ý s = −1. s∈S 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Gi¶ sö S bÊt biÕn bëi mét phÐp biÕn ®æi affine σ (z ) = az + b. Khi ®ã ta còng cã thÓ cã −1 = s = −a. σ (s) = qb + a s∈S s∈S Chó ý qb = 0, do ta xÐt trong trêng ®Æc sè p. Do ®ã a = 1. Cßn l¹i ta chøng tá b = 0 vµ nhí r»ng ®Õn lóc ®ã ta kh«ng ph¶i sö dông gi¶ thiÕt q ≥ 3. s ∈ S , ta biÕt s + b còng thuéc S vµ nh vËy (s + b)q+1 = 1. Cho mçi VËy, 1 = (s + b)q+1 = (s + b)(sq + bq ) = sq+1 + sq b + sbq + bq+1 . = 1, nªn b(sq + sbq−1 + bq ) = 0 vµ nÕu b = 0, ta kÕt luËn r»ng DÜ nhiªn sq +1 bq + sbq−1 + sq = 0. (1) Céng ph¬ng tr×nh nµy víi mäi s ∈ S vµ sö dông s = −1, ta cã s∈S 0 = qbq + bq−1 sq = −bq−1 + ( s)q = −bq−1 + (−1)q . s+ s∈S s∈S s∈S V× vËy, bq −1 = (−1)q = −1. Do ®ã, ta cã thÓ rót gän ph¬ng tr×nh (1) thµnh b = sq − s. (2) Ta xÐt hai trêng hîp: p ≥ 3. Céng ph¬ng tr×nh (2) víi mäi s ∈ S trõ ra -1 ®Ó kÕt Trêng hîp luËn r»ng sq − s)q − (q − 1)b = s = 0 − 0 = 0, s=( s=−1 s=−1 s=−1 s=−1 vµ nh vËy b = 0. n p = 2. ViÕt S = {ζ, ζ 2 , ..., ζ 2 }. Ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh Trêng hîp n +1−j b = ζ2 + ζ j víi mäi j, n n n +1−j ζ2 j = ζ2 ζ2 +1 chó ý do = 1. Céng c¸c ph¬ng tr×nh nµy víi j = 1, ..., 2n−1 , ta cã 2n 2n −1 b = ζ j = 1. j =1 §iÒu nµy kÐo theo n = b = 1, nhng do gi¶ thiÕt n ≥ 2, ta kÕt luËn b = 0. 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Nh ®· nãi trong phÇn giíi thiÖu, vÝ dô võa nªu lµ ®iÓn h×nh cho tËp 3 phÇn tö trong trêng ®Æc sè 3. Tøc lµ, kh«ng tån t¹i tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cã lùc lîng 3. Tríc hÕt ta cho chøng minh h×nh häc cña Voloch vµ sau ®ã ta cho chøng minh ''phøc t¹p'' mµ cã u thÕ h¬n víi c¸c vÝ dô cô thÓ. K §Þnh lý 2.1.3. Cho lµ trêng ®Æc sè 3. Khi ®ã kh«ng cã tËp x¸c ®Þnh duy K. nhÊt 3 phÇn tö cho hä nh÷ng ®a thøc kh¸c h»ng víi hÖ sè trong §Æt S = {s1 , s2 , s3 } vµ ®Æt P (x) = (x − s1 )(x − Chøng minh cña Voloch. s2 )(x − s3 ). Khi ®ã P (x) − P (y ) G(x, y ) = x−y ®Þnh nghÜa mét ®êng cong bËc 2 trªn P2 . V× P (x) − P (y ) chØ cã mét ®iÓm ®¬n ë v« tËn trong trêng ®Æc sè 3, nªn ®iÒu ®ã ®óng víi d¹ng toµn ph¬ng ®îc ®Þnh nghÜa bëi G. Do ®ã, G ®îc biÓu hiÖn b»ng tham sè bëi nh÷ng ®a thøc bËc 2. Do ®ã t×m ®îc hai ®a thøc bËc 2 kh¸c nhau f vµ g sao cho P (f ) = P (g ), mµ tÊt nhiªn f vµ g chia S . L¹i lµ, ®Æt S = {s1 , s2 , s3 } vµ ®Æt Chøng minh phøc t¹p. P (x) = (x − s1 )(x − s2 )(x − s3 ) = x3 + a2 x2 + a1 x + a0 . Ta xÐt 2 trêng hîp. a2 = 0. Trong trêng hîp nµy a1 = 0, hoÆc nÕu kh«ng, P Trêng hîp kh«ng cã nghiÖm ph©n biÖt (trong trêng ®Æc sè 3). Chän phÇn tö b ∈ K sao cho b2 + a1 = 0. Khi ®ã P (z + b) = z 3 + b3 + a1 (z + b) + a0 = P (z ) + b(b2 + a1 ) = P (z ). Do ®ã, S kh«ng lµ mét tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. a2 = 0. Trong trêng hîp nµy, ta thay x bëi x + a1 /a2 khö Trêng hîp sè h¹ng tuyÕn tÝnh cña P . BiÕn ®æi S bëi mét phÐp biÕn ®æi affine kh«ng thay ®æi dï nã cã lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt hay kh«ng, v× vËy kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng a1 = 0. Trong trêng hîp nµy, ®Æt f (z ) = a2 (z 2 − 1), vµ g (z ) = a2 (z 2 + z ). 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Khi ®ã P (f (z )) = a3 (z 6 + z 4 + z 2 ) + a0 = P (g (z )), 2 vµ S kh«ng lµ mét tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. *Chó ý. Ph¬ng ph¸p nµy sÏ lµ tèt ®Ó x©y dùng c¸c vÝ dô t¬ng tù vÝ dô 2.1.2 cho béi cña p mµ kh«ng thuÇn tuý lµ luü thõa cña p, hoÆc chøng tá kh«ng tån t¹i nh÷ng vÝ dô nh vËy. 2.2 §Þnh lý c¬ b¶n vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. Xuyªn suèt phÇn nµy, K sÏ lµ mét trêng ®ãng ®¹i sè ®Çy ®ñ t¬ng øng víi mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed vµ A∗ (K ) sÏ lµ tËp c¸c hµm nguyªn phi Archimed kh¸c h»ng trªn K . §Þnh lý c¬ b¶n cña ta ®îc cho sau ®©y: p ≥ 0. §Æt K §Þnh lý 2.2.1. Cho cã ®Æc sè P (x) = xn − axm + 1, n > m. Gi¶ thiÕt r»ng a = 0 trong K víi sao cho mm (n − m)n−m an = nn vµ d mm (n − m)n−m an = nn (1 − ζ )p (n−m) , d = 0 vµ mäi ζ ∈ K víi mäi sè nguyªn sao cho ζ n−m = (−1)n−m . m vµ n tháa m·n hoÆc c¸c ®iÒu kiÖn (A1) ®Õn (A3) hoÆc Gi¶ thiÕt thªm r»ng c¸c ®iÒu kiÖn (B1) ®Õn (B2) díi ®©y. n > m > 1, (A1) |(n, m)|p = 1, (A2) n|n|p m, (A3) kh«ng chia hÕt n − 2 ≥ m ≥ 5, (B1) 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(n, m) = 1. (B2) S P K n phÇn tö vµ lµ mét tËp Khi ®ã, tËp c¸c kh«ng ®iÓm cña trong cã A∗ (K ). x¸c ®Þnh duy nhÊt cho *Chó ý. Cho d ®ñ lín, d (1 − ζ )p = 1 − ζ, vµ nh vËy ®iÒu kiÖn d mm (n − m)n−m an = nn (1 − ζ )p (n−m) ®óng víi mäi d ≥ 0, a cÇn ®îc chän sao cho nã kh«ng tháa m·n mét sè h÷u h¹n c¸c ph¬ng tr×nh ®¹i sè. Do ®ã, trªn mét trêng v« h¹n vµ ®Æc biÖt trªn trêng ®ãng ®¹i sè, lu«n cã thÓ t×m ®îc mét sè a nh vËy. Tríc khi chøng minh ®Þnh lý 2.2.1, ta cÇn ph¸t biÓu vµ chøng minh mét sè bæ ®Ò sau. n, m, a vµ P nh trong ®Þnh lý 2.2.1. c = 1. Bæ ®Ò 2.2.2. Cho Cho Khi ®ã, P − c −1 hoÆc P − c kh«ng cã nghiÖm béi. P − c−1 vµ P − c cã mét nghiÖm béi vµ ®i ®Õn Ta gi¶ sö c¶ Chøng minh. mét sù m©u thuÉn. V× c = 1, kh«ng tån t¹i nghiÖm chung cña 2 ®a thøc . V× c¶ m vµ n ®Òu kh«ng chia hÕt cho p, ta cã thÓ lÊy ®¹o hµm cña mçi ®a thøc vµ kÕt luËn r»ng (v× hai ®a thøc cã nghiÖm kÐp), mm (n − m)n−m an = nn (1 − c)n−m = nn (1 − c−1 )n−m , vµ h¬n n÷a, n, m vµ n − m lµ nguyªn tè cïng nhau víi p. Do ®ã, (1 − c−1 )n−m = (1 − c)n−m , vµ nh vËy cn−m = (−1)n−m . Tuy nhiªn, gi¶ thiÕt mm (n − m)n−m an = nn (1 − ζ )n−m ζ ∈ K sao cho ζ n−m = (−1)n−m lo¹i trõ kh¶ n¨ng c¸c ®a thøc d¹ng víi mäi P − ζ cã c¸c kh«ng ®iÓm béi, víi gi¶ thiÕt ζ = 1. Nh vËy, ta kÕt luËn r»ng c = 1, ®iÒu nµy phñ ®Þnh gi¶ thiÕt cña ta. 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
n>m>1 Bæ ®Ò 2.2.3. Cho lµ c¸c sè nguyªn tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn h lµ mét hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng trªn (A1)-(A3) cña ®Þnh lý 2.2.1 vµ cho K . Khi ®ã, tån t¹i mét phÇn tö α ∈ K sao cho wα (hn − 1) > wα (hm − 1). + n = ps d víi d = n|n|p ≥ 2 kh«ng chia hÕt p. Do ®iÒu §Æt Chøng minh. kiÖn (A3), d kh«ng chia hÕt m. Theo ®ã, ë ®©y tån t¹i Ýt nhÊt mét c¨n bËc n cña ®¬n vÞ ζ mµ kh«ng lµ c¨n bËc m cña ®¬n vÞ. NÕu ë ®©y tån t¹i mét α sao cho h(α) = ζ , th× ngay lËp tøc ta thÊy r»ng gi¸ trÞ α nµy tháa m·n wα (hn − 1) > wα (hm − 1), + nh ®iÒu cÇn chøng minh. Ta cã thÓ gi¶ sö h bá ®i ζ . MÆt kh¸c, do h lµ hµm ph©n h×nh trªn K , nã cã thÓ bá ®i nhiÒu nhÊt mét gi¸ trÞ trong K ∪ {∞} (vÝ dô nh ®Þnh lý 1.3.3). V× vËy, nÕu h bá ®i ζ nã nhËn mäi gi¸ trÞ kh¸c. s > 0. V× |(n, m)|p = 1, ta cã (m, p) = 1 vµ do ®ã xm − 1 cã Trêng hîp m kh«ng ®iÓm ph©n biÖt. MÆt kh¸c, 1 lµ mét kh«ng ®iÓm bËc ps cña xn − 1. Cho α lµ mét ®iÓm sao cho h(α) = 1. Khi ®ã wα (hn − 1) = ps wα (hm − 1), + nh ®iÒu ta cÇn cã. s = 0. Trong trêng hîp nµy nhãm c¸c c¨n bËc n cña ®¬n Trêng hîp vÞ cã n(n ≥ 3) phÇn tö ph©n biÖt. Nhãm con thùc sù c¸c phÇn tö mµ võa lµ c¨n bËc n vµ c¨n bËc m cña ®¬n vÞ cã cÊp chia hÕt n vµ do ®ã, thªm vµo ζ , cã Ýt nhÊt mét c¨n η kh¸c sao cho η n = 1, nhng η m = 1. §Æt α lµ mét sè sao cho h(α) = η hoµn thµnh chøng minh cña mÖnh ®Ò. MÖnh ®Ò sau cña ta chøng tá r»ng ta chØ cÇn xÐt c¸c hµm f vµ g sao cho f vµ g kh«ng ®ång nhÊt 0. K, p, a, P, n vµ m nh trong ®Þnh lý 2.2.1. Cho f vµ g Bæ ®Ò 2.2.4. Cho ∗ trong A (K ) sao cho P (f ) = cP (g ). Khi ®ã, tån t¹i c¸c hµm fs vµ gs trong A∗ (K ) vµ c¸c phÇn tö as = 0 vµ cs = 0 trong K sao cho nÕu Ps (x) = xn − as xm + 1, 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
th× Ps (fs ) = cs P (gs ). as tháa m·n cïng c¸c ®iÒu kiÖn nh a ®· ph¸t biÓu trong ®Þnh H¬n n÷a, lý 2.2.1 vµ fs ≡ 0 vµ gs ≡ 0. B»ng c¸ch ®¹o hµm hai vÕ P (f ) = cP (g ), ta thÊy Chøng minh. P (f )f = cP (g )g . Do mçi ®iÒu kiÖn (A2) hoÆc (B2), ta cã |(n, m)|p = 1, v× vËy P kh«ng ®ång nhÊt 0. Nh vËy, hoÆc f vµ g ®ång nhÊt 0 hoÆc c¶ hai kh«ng ®ång nhÊt 0. NÕu c¶ hai kh«ng ®ång nhÊt 0, lÊy lu«n 2 hµm f vµ g t¸ch riªng mçi c¸i lµm hai trêng hîp vµ ta chøng minh xong. p A∗ (K ) sao cho f1 = f NÕu kh«ng, ta cã thÓ t×m thÊy hµm f1 vµ g1 trong p vµ g1 = g . Khi ®ã xÐt P1 (x) = xn − a1 x + 1, p t¹i ®ã a1 ®îc chän sao cho a1 = a. Khi ®ã [P1 (f1 )]p = P (f ) = cP (g ) = [c1 P1 (g1 )]p , p trong ®ã c1 = c. Thay f bëi f1 , g bëi g1 vµ P bëi P1 ta tiÕp tôc b»ng phÐp quy n¹p cho tíi khi c¶ hai ®¹o hµm kh«ng triÖt tiªu. TiÕp tôc qu¸ tr×nh quy n¹p nµy sau mét sè h÷u h¹n bíc sÏ dÉn tíi c¸c hµm fs vµ gs c¸c ®¹o hµm cña chóng kh«ng triÖt tiªu ®ång thêi. PhÇn cßn l¹i ta kiÓm tra r»ng mm (n − m)n−m an = nn s vµ d mm (n − m)n−m an = nn (1 − ζ )p (n−m) s cho mäi d d¬ng. Nhng, nÕu cã ®¼ng thøc ë ®©y, th× ta cã thÓ t¨ng c¶ hai s tíi luü thõa ps ( cè ®Þnh c¸c sè h¹ng nguyªn) vµ phñ ®Þnh gi¶ thiÕt a = ap s cña ta ë trªn. 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn