Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức duy nhất và Bi-Urs kiểu (1,n) cho hàm phân hình trên trường không Acsimet

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

46
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức duy nhất và Bi-Urs kiểu (1,n) cho hàm phân hình trên trường không Acsimet trình bày các kiến thức cơ bản, kết quả về đa thức duy nhất cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet, kết quả về song tập xác định duy nhất kiểu (1,n) cho các hàm phân tích trên đường không Acsimet.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức duy nhất và Bi-Urs kiểu (1,n) cho hàm phân hình trên trường không Acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------- oOo ---------- ðặng Tuấn Hiệp ðA THỨC DUY NHẤT VÀ BI-URS KIỂU (1,N) CHO HÀM PHÂN HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET Chuyên ngành: ðại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
2 Môû ñaàu Moät trong caùc vaán ñeà quan troïng cuûa lyù thuyeát haøm giaûi tích laø nghieân cöùu caùc khoâng ñieåm vaø ñieåm kyø dò. Theo höôùng naøy, vaøo nhöõng naêm 20 cuûa theá kyû XX, R. Nevanlinna ñaõ coâng boá caùc coâng trình nghieân cöùu maø ngaøy nay ñöôïc xem laø moät trong nhöõng thaønh töïu ñeïp ñeõ vaø saâu saéc nhaát cuûa toaùn hoïc: Lyù thuyeát Nevanlinna. Noäi dung chính cuûa lyù thuyeát Nevanlinna laø hai ñònh lyù cô baûn: ñònh lyù cô baûn thöù nhaát laø moät töông töï sieâu vieät cuûa ñònh lyù cô baûn cuûa ñaïi soá, ñònh lyù cô baûn thöù hai laø môû roäng cuûa ñònh lyù Picard. Gaàn 60 naêm sau, P. Vojta ñaõ phaùt hieän ra baûn dòch cuûa lyù thuyeát Nevanlinna trong soá hoïc: ñònh lyù Roth. Phaùt hieän naøy ñaõ giuùp P. Vojta ñeà ra giaû thuyeát toång quaùt veà lyù thuyeát Nevanlinna soá hoïc maø moät trong caùc heä quaû laø ñònh lyù Fermat tieäm caän. Söï töông töï giöõa lyù thuyeát Nevanlinna vaø xaáp xyû Diophant ñaõ cho moät coâng cuï môùi ñeå nghieân cöùu caùc vaán ñeà cuûa soá hoïc: chæ caàn tìm ra töø ñieån thích hôïp, coù theå phieân dòch caùc keát quaû cuûa lyù thuyeát Nevanlinna thaønh caùc keát quaû soá hoïc. Lyù thuyeát Nevanlinna cuõng cho moät söï töông töï giöõa soá ñaïi soá vaø haøm phaân hình. Neáu xeùt treân tröôøng cô sôû laø tröôøng khoâng Acsimet, maø tröôøng caùc soá phöùc p-adic laø moät ví duï, chuùng ta coù lyù thuyeát Nevanlinna p-adic, ñöôïc xaây döïng vaø phaùt trieån bôûi Haø Huy Khoaùi, Mî Vinh Quang, Mai Vaên Tö, W. Cherry, P. C. Hu, C. C. Yang, A. Escassut, A. Boutabaa, .... Giaû thuyeát noåi tieáng cuûa W. Cherry chæ ra coù söï töông töï giöõa tröôøng soá phöùc vaø tröôøng p-adic: "Moïi keát quaû ñuùng cho ña thöùc (hoaëc haøm höõu tyû) treân C thì cuõng ñuùng cho haøm nguyeân (haøm phaân hình, töông öùng) treân Cp , tröø nhöõng keát quaû hieån nhieân sai", nghóa laø toàn taïi moät baûn dòch töø tröôøng soá phöùc C sang tröôøng khoâng Acsimet K. Ñaây laø vaán ñeà ñaõ vaø ñang nhaän ñöôïc söï quan taâm cuûa nhieàu nhaø toaùn hoïc treân theá giôùi. Naêm 1926, R. Nevanlinna ñaõ chöùng minh: haøm phaân hình treân C xaùc ñònh moät caùch duy nhaát bôûi aûnh ngöôïc, khoâng tính boäi cuûa naêm giaù trò phaân bieät. Ñònh lyù naêm ñieåm cuûa Nevanlinna suy ra raèng hai haøm nguyeân khaùc haèng chung nhau boán giaù trò höõu haïn phaûi truøng nhau (ta noùi raèng hai haøm
3 f vaø g chung nhau giaù trò a neáu f −1 (a) = g −1 (a)). Keát quaû naøy khoâng theå toát hôn, vì hai haøm ez vaø e−z chung nhau taïi 0, 1, −1. Sau ñoù, Polya chæ ra, neáu hai haøm phaân hình f vaø g chung nhau boán giaù trò phaân bieät, keå caû boäi, af + b thì g laø bieán ñoåi Mobius cuûa f , nghóa laø g = vôùi caùc haèng soá a, b, c, d cf + d thoûa maõn (c, d) 6= (0, 0). Lyù thuyeát veà taäp xaùc ñònh duy nhaát cuûa caùc haøm phaân hình ñöôïc F. Gross neâu ra moät caùch töï nhieân: Lieäu chæ xeùt nghòch aûnh cuûa moät taäp con S maø khoâng phaûi laø nghòch aûnh cuûa töøng phaàn töû, chuùng ta coù theå nhaän ñöôïc caùc keát quaû töông töï ñònh lyù naêm ñieåm Nevanlinna hay khoâng? Töùc laø coù toàn taïi hay khoâng taäp S ñeå vôùi baát kyø caùc haøm phaân hình f, g thoûa maõn f −1 (S) = g −1 (S) keùo theo f = g? Kyù hieäu W laø tröôøng soá phöùc C hoaëc tröôøng K ñoùng ñaïi soá, ñaëc soá khoâng, ñaày ñuû vôùi chuaån khoâng Acsimet, A(W) laø vaønh caùc haøm chænh hình treân W, M(W) laø tröôøng caùc haøm phaân hình treân W. Giaû söû S laø taäp con khoâng roãng cuûa c W = W ∪ {∞}, F laø moät hoï naøo ñoù caùc haøm xaùc ñònh treân W laáy giaù trò treân c W, f ∈ F . Ñaët [ Ef (S) = {(z, m) ∈ W × N|z laø khoâng ñieåm boäi m cuûa f − a}, a∈S [ Ef (S) = {z ∈ W|z laø khoâng ñieåm cuûa f − a}. a∈S Hai haøm phaân hình f, g ñöôïc goïi laø chung nhau S, tính caû boäi (töông öùng, khoâng tính boäi) neáu Ef (S) = Eg (S) (töông öùng, Ef (S) = Eg (S)). Taäp S ñöôïc goïi laø taäp xaùc ñònh duy nhaát (töông öùng, taäp xaùc ñònh duy nhaát khoâng tính boäi) cho hoï caùc haøm F , kí hieäu laø URS (töông öùng, URSIM), neáu vôùi moïi haøm f, g ∈ F thoûa maõn Ef (S) = Eg (S) (töông öùng, Ef (S) = Eg (S)) thì f = g. Giaû söû B = {a1 , a2 , . . . , an } laø taäp höõu haïn, chuùng ta goïi PB (z) = (z − a1)(z − a2 ) . . . (z − an ) laø ña thöùc lieân keát vôùi taäp hôïp B. Trong [13], C. C. Yang - P. Li ñaõ neâu khaùi nieäm sau. Ñònh nghóa. Ña thöùc P (z) ∈ W[z] ñöôïc goïi laø ña thöùc duy nhaát maïnh cho hoï caùc haøm F neáu vôùi moïi haøm f, g ∈ F vaø haèng soá c 6= 0 naøo ñoù thoûa maõn P (f ) = cP (g) thì c = 1 vaø f = g. Töông töï, ña thöùc P (z) ∈ W[z] ñöôïc goïi laø ña thöùc duy nhaát cho hoï caùc haøm F neáu vôùi moïi haøm f, g ∈ F thoûa
4 maõn P (f ) = P (g) thì f = g. Töø caùc ñònh nghóa cuûa URS vaø ña thöùc duy nhaát ta thaáy raèng coù moät moái quan heä chaët cheõ giöõa chuùng. Cho taäp S laø URS cho caùc haøm phaân hình, chuùng ta xaây döïng moät ña thöùc P (z) khoâng coù nghieäm boäi vaø nhaän S laøm taäp nghieäm. Khi ñoù ñieàu kieän Ef (S) = Eg (S) coù nghóa laø P (f ) vaø P (g) coù cuøng khoâng ñieåm vôùi cuøng boäi, ñieàu naøy yeáu hôn ñieàu kieän P (f ) = cP (g). Nghóa laø, neáu S laø URS cho caùc haøm phaân hình thì ña thöùc P lieân keát vôùi S cuõng laø ña thöùc duy nhaát maïnh cho caùc haøm phaân hình. Vì vaäy ñeå nghieân cöùu URS cho caùc haøm phaân hình ta nghieân cöùu caùc ña thöùc duy nhaát. Khi xem xeùt söï xaùc ñònh cuûa haøm phaân hình thoâng qua aûnh ngöôïc cuûa moät taäp hôïp ta gaëp raát nhieàu khoù khaên ñeå giaûm soá ñieåm cuûa taäp hôïp ñoù. Cho ñeán nay, chöa coù phöông phaùp naøo ñeå tìm URS cho caùc haøm phaân hình phöùc (töông öùng, p-adic) coù soá phaàn töû beù hôn 11 (töông öùng, 10). Vì vaäy coù moät vaán ñeà ñöôïc ñaët ra laø xem xeùt söï xaùc ñònh cuûa caùc haøm phaân hình thoâng qua aûnh ngöôïc cuûa nhieàu hôn moät taäp hôïp. Ñònh nghóa. ([3]) Giaû söû S, T laø caùc taäp con trong cW = W ∪ {∞} sao cho S ∩ T = ∅. Khi ñoù caëp (S, T ) ñöôïc goïi laø bi-URS cho F neáu vôùi hai haøm khaùc haèng soá f, g ∈ F thoûa maõn Ef (S) = Eg (S) vaø Ef (T ) = Eg (T ) thì f = g. Naêm 1996, P. Li vaø C. C. Yang ([12]) ñaõ chöùng minh raèng treân C toàn taïi bi-URS kieåu (1, n) cho haøm phaân hình coù daïng ({∞}, S) vôùi #S ≥ 15. Treân tröôøng K khoâng Acsimet, naêm 1971, W. W. Adams vaø E. G. Straus ñaõ chæ ra: vôùi moïi a 6= b ∈ K, caëp ({a}, {b}) laø bi-URS cho haøm nguyeân. Naêm 1998, A. Boutabaa vaø A. Escassut ([4]), baèng caùc öôùc löôïng phuø hôïp cho ña thöùc P (z) = z n − az m + 1, ñaõ chæ ra: vôùi moïi n ≥ 5 vaø ω ∈ K ∪ {∞}, toàn taïi bi-URS cho M(K) coù daïng ({ω}, {z1 , z2 , . . . , zn }). Tieáp theo, trong [6], caùc taùc giaû ñaõ chöùng minh khoâng toàn taïi bi-URS cho M(K) coù daïng ({ω}, {z1 , z2 , z3 }). Sau ñoù, ñeán naêm 2001, baèng caùch söû duïng caùc öôùc löôïng haøm Nevanlinna, Haø Huy Khoaùi vaø Taï Thò Hoaøi An ([9]) ñaõ chæ ra söï toàn taïi cuûa bi-URS cho M(K) coù daïng ({ω}, {z1 , z2 , z3 , z4 }). Nhö vaäy, vaán ñeà toàn taïi bi-URS cho M(K) kieåu (1, n) ñaõ ñöôïc giaûi quyeát troïn veïn vaø n = 4 laø soá toát nhaát coù theå. Gaàn ñaây, baèng caùch söû duïng coâng cuï cuûa Hình hoïc ñaïi soá, xaây döïng caùc ña thöùc lieân keát vaø xeùt tính hyperbolic cuûa caùc ñöôøng cong töông öùng,
5 Nguyeãn Troïng Hoøa ([3], [10]) ñaõ chæ ra söï toàn taïi bi-URS cho M(K) kieåu (2, n), vôùi moïi n ≥ 3 vaø khaúng ñònh n = 3 laø soá beù nhaát coù theå. Caùc keát quaû cuûa Taï Thò Hoaøi An vaø Nguyeãn Troïng Hoøa ñaït ñöôïc laø nhöõng ñoùng goùp môùi khoâng chæ ôû noäi dung maø ôû caû phöông phaùp tieáp caän khi nghieân cöùu caùc vaán ñeà töông töï. Bôûi vaäy chuùng toâi maïnh daïn choïn ñeà taøi nghieân cöùu veà ña thöùc duy nhaát vaø song taäp xaùc ñònh duy nhaát kieåu (1, n) cho haøm phaân hình treân tröôøng khoâng Acsimet. Cuï theå, chuùng toâi muoán heä thoáng laïi moät caùch chi tieát caùc chöùng minh cuûa nhöõng keát quaû maø caùc taùc giaû ñaõ chæ ra. Qua ñoù, chuùng toâi seõ coá gaéng xaây döïng caùc ví duï cuï theå ñeå minh hoïa caùc keát quaû trong moät soá tröôøng hôïp ñaëc bieät. Ñeà taøi cuûa chuùng toâi mang teân: "Ña thöùc duy nhaát vaø bi-URS kieåu (1, n) cho haøm phaân hình treân tröôøng khoâng Acsimet". Phöông phaùp cuûa chuùng toâi laø söû duïng öôùc löôïng caùc haøm Nevanlinna ñeå ñaùnh giaù taäp khoâng ñieåm cuûa moät lôùp caùc ña thöùc thoûa maõn moät soá ñieàu kieän naøo ñoù. Noäi dung cuûa luaän vaên goàm phaàn môû ñaàu, phaàn keát luaän, caùc taøi lieäu tham khaûo vaø ba chöông. Chöông 1 trình baøy caùc kieán thöùc cô baûn veà giaûi tích p-adic vaø lyù thuyeát Nevanlinna p-adic. Ñaây laø caùc kieán thöùc cô sôû cho caùc chöông sau. Chöông 2 trình baøy caùc keát quaû veà ña thöùc duy nhaát cho caùc haøm phaân hình treân tröôøng khoâng Acsimet. Chöông 3 trình baøy caùc keát quaû veà song taäp xaùc ñònh duy nhaát kieåu (1, n) cho caùc haøm phaân hình treân tröôøng khoâng Acsimet. Luaän vaên ñöôïc thöïc hieän döôùi söï höôùng daãn cuûa TS. Nguyeãn Troïng Hoøa, ngöôùi ñaõ ñaët vaán ñeà vaø daãn daét taùc giaû hoaøn thaønh coâng vieäc cuûa mình. Taùc giaû xin göûi tôùi TS. Nguyeãn Troïng Hoøa lôøi caûm ôn chaân thaønh. Taùc giaû cuõng xin göûi lôøi caûm ôn saâu saéc tôùi PGS. TS. Mî Vinh Quang ngöôøi thaày ñaàu tieân ñaõ höôùng daãn taùc giaû trong coâng vieäc nghieân cöùu caùc vaán ñeà veà lyù thuyeát Nevanlinna p-adic vaø caùc aùp duïng. Taùc giaû cuõng xin chaân thaønh bieát ôn ban chuû nhieäm khoa Toaùn-Tin, Ñaïi hoïc Sö phaïm thaønh phoá Hoà Chí Minh, ñaëc bieät laø TS. Nguyeãn Thaùi Sôn ñaõ taïo ñieàu kieän giuùp ñôõ taùc giaû hoaøn thaønh coâng vieäc cuûa mình. Taùc giaû cuõng xin göûi lôøi caûm ôn tôùi PGS.
6 TS. Buøi Töôøng Trí, TS. Traàn Huyeân, PGS. TS. Ñaäu Theá Caáp vaø PGS. TS. Leâ Hoaøn Hoùa ñaõ giaûng daïy cho taùc giaû caùc chuyeân ñeà cao hoïc. Taùc giaû cuõng xin göûi lôøi caûm ôn tôùi taäp theå caùn boä Phoøng Khoa hoïc coâng ngheä vaø Sau ñaïi hoïc, Ñaïi hoïc Sö phaïm thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi giuùp taùc giaû hoaøn thaønh coâng vieäc hoïc taäp vaø nghieân cöùu cuûa mình. Cuoái cuøng, taùc giaû xin toû loøng bieát ôn ñeán Meï, ngöôøi maø ñaõ chaáp nhaän khoù khaên vaø daønh heát tình thöông yeâu, ñoäng vieän taùc giaû hoaøn thaønh coâng vieäc hoïc taäp cuûa mình.
7 Chöông 1 Caùc kieán thöùc cô sôû Trong chöông naøy, chuùng toâi seõ trình baøy caùc kieán thöùc cô sôû veà haøm phaân hình vaø lyù thuyeát Nevanlinna treân tröôøng khoâng Acsimet. Tröôùc heát, chuùng toâi ñöa ra caùc kyù hieäu duøng trong luaän vaên. • K laø tröôøng ñoùng ñaïi soá, ñaëc soá 0 vaø ñaày ñuû vôùi chuaån khoâng Acsimet. • C laø tröôøng caùc soá phöùc. • Cp laø tröôøng caùc soá phöùc p-adic. • L laø C hoaëc K. • A(L) laø vaønh caùc haøm nguyeân treân L. • M(L) laø tröôøng caùc haøm phaân hình treân L. • W laø tröôøng ñoùng ñaïi soá, ñaëc soá 0. W laø khoâng gian xaï aûnh moät chieàu treân W. • c • F laø moät hoï caùc haøm xaùc ñònh treân W vaø laáy giaù trò treân c W.
8 1.1 Tröôøng khoâng Acsimet Caùc khaùi nieäm vaø keát quaû ñöôïc nhaéc ñeán trong phaàn naøy ñöôïc trình baøy moät caùch chi tieát trong [8]. Chuaån khoâng Acsimet Ñònh nghóa 1.1. Moät chuaån treân tröôøng W laø aùnh xaï |.| : W → R+ = [0, ∞), thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau: (1) |x| = 0 ⇔ x = 0, (2) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ W, (3) |x + y| ≤ |x| + |y|; ∀x, y ∈ W. Neáu thay (3) bôûi ñieàu kieän maïnh hôn: (30 ) |x + y| ≤ max{|x|, |y|} thì ta thu ñöôïc chuaån khoâng Acsimet. Moãi chuaån |.| treân tröôøng W caûm sinh moät haøm khoaûng caùch d xaùc ñònh bôûi d(x, y) = |x − y| vôùi moïi x, y ∈ W, vaø do ñoù chuaån naøy caûm sinh moät toâpoâ treân W. Tröôøng vôùi chuaån khoâng Acsimet ñöôïc goïi laø tröôøng khoâng Acsimet, kyù hieäu K. Hai chuaån treân moät tröôøng W goïi laø töông ñöông neáu noù cuøng caûm sinh moät toâpoâ treân W. Cho r laø soá thöïc döông vaø ñieåm x ∈ W. Kyù hieäu ñóa môû, ñóa ñoùng taâm x baùn kính r theo thöù töï bôûi: D(x, r) = {y ∈ W|d(x, y) < r}, D(x, r) = {y ∈ W|d(x, y) ≤ r}. Ñóa D = D(0, 1) ñöôïc goïi laø ñóa ñôn vò. Vôùi haèng soá c > 1, haøm vc : W → R ∪ {∞}, ( − log c |x| neáu x 6= 0, vc (x) = +∞ neáu x = 0. ñöôïc goïi laø haøm coäng töông öùng cuûa chuaån |.|.
9 Meänh ñeà 1.1. Moät chuaån treân tröôøng W laø khoâng Acsimet neáu vaø chæ neáu haøm coäng v töông öùng cuûa noù thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau: (1) v(x) = +∞ ⇔ x = 0, (2) v(xy) = v(x)v(y); ∀x, y ∈ W, (3) v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}; ∀x, y ∈ W. Khoâng gian p-adic (Xem [8], [2]) Moät ví duï cuûa chuaån khoâng Acsimet laø chuaån p-adic, ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: Cho p laø soá nguyeân toá. Vôùi moãi soá nguyeân a 6= 0, ta coù theå vieát a = pv a0 , p khoâng chia heát a0 . Soá töï nhieân v ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát bôûi a vaø p, cho neân ta nhaän ñöôïc haøm vp : Z∗ → Z+ , vp (a) = v. Coù theå môû roäng haøm vp leân tröôøng caùc soá höõu tyû: vôùi moïi x = a/b ∈ Q, ñaët ( vp (a) − vp (b) neáu x 6= 0, vp (x) = +∞ neáu x = 0. Khi ñoù, chuùng ta coù chuaån p-adic töông öùng, kyù hieäu |.|p treân Q, xaùc ñònh bôûi: ( p−vp (x) neáu x 6= 0, |x|p = 0 neáu x = 0. Ñònh lyù 1.1 (Ostrowski [8]). Moïi chuaån khoâng taàm thöôøng treân Q ñeàu töông ñöông vôùi chuaån p-adic hoaëc chuaån giaù trò tuyeät ñoái thoâng thöôøng. Nhö vaäy chæ coù hai höôùng môû roäng tröôøng caùc soá höõu tyû Q. Môû roäng theo chuaån giaù trò tuyeät ñoái thoâng thöôøng ta ñöôïc tröôøng caùc soá thöïc R. Môû roäng theo chuaån p-adic ta ñöôïc tröôøng caùc soá p-adic, kyù hieäu laø Qp . Goïi Qp laø bao ñoùng ñaïi soá cuûa Qp . Tuy ñoùng ñaïi soá nhöng Qp khoâng ñaày ñuû theo toâpoâ khoâng Acsimet. Kyù hieäu C = Q c laø tröôøng môû roäng p p ñaày ñuû cuûa Qp theo toâpoâ khoâng Acsimet, vaø ñöôïc goïi laø tröôøng caùc soá phöùc p-adic. Meänh ñeà 1.2. Cp laø tröôøng ñoùng ñaïi soá vaø ñaày ñuû theo chuaån khoâng Acsimet. Cp laø khoâng gian khaû ly nhöng khoâng compact ñòa phöông.
10 1.2 Haøm phaân hình p-adic Ñònh nghóa 1.2. Moät chuoãi luõy thöøa ∞ X f (z) = anz n ; an ∈ K, n=0 hoäi tuï treân ñóa D(0, ρ) ñöôïc goïi laø haøm chænh hình p-adic treân ñóa aáy. Haøm chænh hình p-adic treân toaøn K ñöôïc goïi laø haøm nguyeân p-adic. Giaû söû f vaø g laø caùc haøm chænh hình p-adic khoâng coù khoâng ñieåm chung treân moät ñóa. Khi ñoù haøm f ϕ= , g ñöôïc goïi laø haøm phaân hình p-adic treân ñóa ñoù. Neáu f vaø g laø caùc haøm nguyeân p-adic thì ϕ laø haøm phaân hình p-adic treân K, coøn goïi laø haøm phaân hình p-adic. Sau naøy, neáu khoâng caàn phaân bieät, chuùng ta goïi chung haøm phaân hình treân K vaø haøm phaân hình treân C laø haøm phaân hình. Cho f laø haøm chænh hình p-adic khaùc haèng soá treân ñóa D(0, ρ). Vôùi moãi 0 < r < ρ, ta ñònh nghóa haïng töû toái ñaïi: µ(r, f ) = max{|an |r n}, n≥0 töông öùng laø chæ soá taâm: ν(r, f ) = max{n : |an |r n = µ(r, f )}. n≥0 Chuùng ta quy öôùc µ(0, f ) = lim+ µ(r, f ); ν(0, f ) = lim+ ν(r, f ). r→0 r→0 Boå ñeà 1.1. Chæ soá taâm ν(r, f ) taêng leân khi r → ρ vaø thoûa maõn coâng thöùc Z r ν(t, f ) − ν(0, f ) log µ(r, f ) = log |aν(0,f)| + dt + ν(0, f ) log r. 0 t Boå ñeà 1.2 (Ñònh lyù chuaån bò Weierstrass). Cho f laø haøm chænh hình treân ñóa D(0, ρ). Khi ñoù, coù toàn taïi moät ña thöùc monic P coù baäc laø ν(r, f ) vaø moät haøm chænh hình p-adic g treân D(0, r) sao cho f = gP . Hôn nöõa, g khoâng coù khoâng ñieåm trong D(0, r) vaø P coù ñuùng ν(r, f ) khoâng ñieåm keå caû boäi treân D(0, r).
11 g Cho haøm phaân hình f treân D(0, ρ), thì khi ñoù f = , vôùi g, h laø hai h haøm chænh hình p-adic khoâng coù khoâng ñieåm chung treân D(0, ρ). Ta ñònh nghóa µ(r, g) µ(r, f ) = . µ(r, h) Boå ñeà 1.3. Giaû söû f laø haøm phaân hình treân D(0, ρ), khi ñoù 1 µ(r, f 0 ) ≤ µ(r, f ). r Boå ñeà 1.4. Vôùi moãi 0 < r < ρ vaø f, g laø caùc haøm phaân hình treân ñóa D(0, ρ) ta coù: (1) µ(r, f ) = 0 ⇔ f ≡ 0, (2) µ(r, f g) = µ(r, f )µ(r, g), (3) µ(r, f + g) ≤ max{µ(r, f ), µ(r, g)}. 1.3 Lyù thuyeát Nevanlinna p-adic Moät trong nhöõng vaán ñeà quan troïng nhaát cuûa lyù thuyeát haøm giaûi tích laø nghieân cöùu caùc khoâng ñieåm vaø cöïc ñieåm. Coâng trình quan troïng ñaàu tieân trong höôùng naøy laø keát quaû cuûa Hadamard noùi raèng, neáu f (z) laø haøm chænh hình trong maët phaúng phöùc thì ta coù baát ñaúng thöùc sau ñaây: ``Soá caùc khoâng ñieåm cuûa f (z) trong hình troøn Dr ≤ log max |f (z)| + O(1)''. Baát ñaúng thöùc |z|≤r treân cho ta moät moái lieân heä giöõa caáp taêng cuûa haøm chænh hình vôùi soá khoâng ñieåm cuûa noù. Coù theå thaáy roõ yù nghóa cuûa ñònh lyù Hadamard khi xem noù nhö laø moät söï töông töï sieâu vieät cuûa ñònh lyù cô baûn cuûa ñaïi soá noùi raèng, soá nghieäm cuûa moät ña thöùc treân tröôøng ñoùng ñaïi soá ñuùng baèng soá baäc cuûa ña thöùc. Tuy nhieân ñònh lyù Hadamard coù hai thieáu soùt: 1. Thöù nhaát, toàn taïi caùc haøm giaûi tích, chaúng haïn f (z) = ez coù caáp taêng raát lôùn, nhöng khoâng coù khoâng ñieåm naøo caû. Khi ñoù, ñònh lyù Hadamard khoâng cho moät öôùc löôïng döôùi cuûa caáp taêng. 2. Thöù hai, khi f (z) laø haøm phaân hình, veá phaûi cuûa baát ñaúng thöùc Hadamard coù theå trôû thaønh voâ haïn, vaø nhö vaäy ta khoâng thu ñöôïc caän treân cuûa soá caùc khoâng ñieåm cuûa haøm f (z).
12 Lyù thuyeát Nevanlinna ra ñôøi nhaèm khaéc phuïc nhöõng thieáu soùt naøy. Sau ñaây laø caùc khaùi nieäm vaø keát quaû chính cuûa lyù thuyeát naøy. Cho f laø haøm chænh hình treân D(0, ρ). Vôùi moãi t ≥ 0, ta ñaët n(t, f1 ) laø soá caùc khoâng ñieåm keå caû boäi cuûa f trong D(0, t). Vôùi moãi 0 < r < ρ, ta ñònh nghóa haøm ñeám caùc khoâng ñieåm cuûa f bôûi coâng thöùc Z r 1 n(t, f1 ) − n(0, f1 ) 1 N r, = dt + n 0, log r. f 0 t f Töø boå ñeà 1.2 cho ta 1 n r, = ν(r, f ). f Do ñoù, keát hôïp vôùi boå ñeà 1.1 ta thu ñöôïc coâng thöùc Poision-Jensen cho caùc haøm chænh hình: 1 N r, = log µ(r, f ) − log |an(0, f1 ) |. (1.1) f Töông töï, chuùng ta cuõng ñaët n¯ (t, f1 ) laø soá caùc khoâng ñieåm phaân bieät cuûa f trong D(0, t) vaø ñònh nghóa Z rn ¯ t, 1 − n ¯ 0, 1 1 f f 1 N r, = dt + n ¯ 0, log r. f 0 t f g Cho f laø haøm phaân hình treân D(0, ρ), khi ñoù f = , vôùi g, h laø hai haøm h chænh hình khoâng coù khoâng ñieåm chung treân D(0, ρ). Ta ñònh nghóa n(t, f ) vaø haøm ñeám caùc cöïc ñieåm N (r, f ) cuûa f nhö sau: 1 1 n(t, f ) = n t, ; N (r, f ) = N r, . h h AÙp duïng coâng thöùc (1.1) cho caùc haøm g vaø h, chuùng ta nhaän ñöôïc coâng thöùc Poision-Jensen cho caùc haøm phaân hình: 1 N r, − N (r, f ) = log µ(r, f ) − Cf , (1.2) f trong ñoù Cf laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo f . Meänh ñeà 1.3. Vôùi moïi haøm phaân hình f ta coù Z r n(t, f ) − n(0, f ) N (r, f ) = dt + n(0, f ) log r. 0 t
13 Ñònh nghóa 1.3 (Haøm xaáp xæ). Cho f laø haøm phaân hình treân D(0, ρ). Ta goïi haøm m(r, f ) = log + µ(r, f ) = max{0, log µ(r, f )} laø haøm xaáp xæ cuûa f . Nhaän xeùt. Haøm xaáp xæ m(r, f ) ño ñoä lôùn cuûa taäp hôïp maø taïi ñoù haøm f nhaän giaù trò gaàn vôùi ∞ trong hình troøn baùn kính r. Ñònh nghóa 1.4 (Haøm ñaëc tröng). Cho f laø haøm phaân hình treân D(0, ρ). Ta goïi haøm T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) laø haøm ñaëc tröng cuûa f . Meänh ñeà 1.4. Haøm ñaëc tröng T (r, f ) laø haøm taêng theo bieán r vaø hôn nöõa neáu f laø haøm phaân hình treân K thì ta coù lim T (r, f ) = ∞. r→∞ Ñònh lyù 1.2 (Ñònh lyù cô baûn thöù nhaát). Giaû söû r laø moät soá thöïc döông, f laø haøm phaân hình treân K vaø a ∈ K baát kyø. Khi ñoù 1 T r, = T (r, f ) + O(1). f −a Ñònh lyù 1.3 (Ñònh lyù cô baûn thöù hai). Giaû söû r laø moät soá thöïc döông, f laø haøm phaân hình khaùc haèng soá trong K vaø a1 , a2, . . . , aq ∈ K(q ≥ 1) laø caùc soá phaân bieät. Khi ñoù Xq 1 (q − 1)T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N r, − NRam (r, f ) − log r + O(1) f − ai i=1 Xq 1 1 ¯ ≤ N (r, f ) + ¯ N r, − N0 r, 0 − log r + O(1), f − ai f i=1 trong ñoù NRam (r, f ) = N (r, 1/f 0 ) + 2N (r, f ) − N (r, f 0 ) laø haïng töû reõ nhaùnh vaø N0(r, 1/f 0 ) laø haøm ñeám caùc khoâng ñieåm cuûa f 0 khi f khoâng nhaän caùc giaù trò a1 , a2 , . . . , aq . Ñònh nghóa 1.5. Cho f laø haøm phaân hình treân K vaø a ∈ K ∪ {∞}. Ta ñaët 1 1 m r, f−a N r, f−a δf (a) = lim inf = 1 − lim sup , r→∞ T (r, f ) r→∞ T (r, f ) ¯ N r, f−a 1 NRam (r, f ) Θf (a) = 1 − lim sup , θf = lim inf . r→∞ T (r, f ) r→∞ T (r, f ) Ñònh lyù 1.4 (Quan heä soá khuyeát). Giaû söû f laø haøm phaân hình treân K. Khi ñoù, taäp hôïp caùc phaàn töû a ∈ K ∪ {∞} sao cho Θ(a) 6= 0 laø ñeám ñöôïc vaø hôn nöõa, X X X δf (a) ≤ Θf (a) ≤ δf (a) + θf ≤ 2. a∈K∪{∞} a∈K∪{∞} a∈K∪{∞}
14 Boå ñeà 1.5. Giaû söû q ∈ N∗ , a ∈ K vaø f ∈ M(K) sao cho moïi khoâng ñieåm cuûa 1 f − a ñeàu coù boäi lôùn hôn hoaëc baèng q. Khi ñoù Θf (a) ≥ 1 − . q 1 1 1 Chöùng minh. Töø giaû thieát cuûa boå ñeà, ta coù n¯ r, ≤ n r, . f − a q f − a ¯ N r, f−a 1 1 ¯ 1 1 N r, f−a N r, f−a 1 Suy ra ≤ . Do ñoù lim sup ≤ . T (r, f ) q T (r, f ) r→∞ T (r, f ) q 1 Vì vaäy Θf (a) ≥ 1 − . q Ñònh lyù 1.5. Vôùi moïi > 0 baát kyø, luoân toàn taïi f ∈ M(K) sao cho X Θf (a) ≥ 2 − . a∈K∪{∞} Chöùng minh. Vôùi moïi p, q ∈ N∗ ta ñaët g = up , h = v q , trong ñoù u, v laø caùc g haøm nguyeân khoâng coù khoâng ñieåm chung. Laáy f = ∈ M(K). Theo coâng h thöùc (1.2) vaø boå ñeà 1.4 ta coù T (r, f ) = max{T (r, g), T (r, h)} + O(1). AÙp duïng boå ñeà 1.5 ta thu ñöôïc ¯ N r, f 1 ¯ N r, 1g Θf (0) = 1 − lim sup = 1 − lim sup r→∞ T (r, f ) r→∞ T (r, f ) ¯ N r, 1g 1 ≥ 1 − lim sup = Θg (0) ≥ 1 − , r→∞ T (r, g) p N¯ (r, f ) N¯ r, 1 h Θf (∞) = 1 − lim sup = 1 − lim sup r→∞ T (r, f ) r→∞ T (r, f ) N¯ r, 1 1 h ≥ 1 − lim sup = Θh (0) ≥ 1 − . r→∞ T (r, h) q Do ñoù X 1 1 Θf (a) ≥ Θf (0) + Θf (∞) ≥ 2 − − . p q a∈K∪{∞} 1 1 Choïn p, q ñuû lôùn sao cho + ≤ , khi ñoù ta seõ coù haøm phaân hình f thoûa X p q maõn Θf (a) ≥ 2 − . a∈K∪{∞}
15 X Ñònh lyù 1.6. Toàn taïi f ∈ M(K) sao cho Θf (a) = 2. a∈K∪{∞} ∞ z i ∞ Y Y z Chöùng minh. Laáy f (z) = 1 − i , g(z) = 1 − i , trong ñoù b ∈ K b b i=1 i=1 sao cho |b| > 1. Theo heä quaû 1.25 trong [8], ta ñöôïc f, g ∈ A(K), vaøhôn nöõa N¯ r, 1 = N r, 1 . Ta coù T (r, f ) = T r, 1 + O(1) = N r, 1 + O(1). f g f f Do ñoù ¯ N r, f 1 N r, 1g Θf (0) = 1 − lim sup = 1 − lim sup . r→∞ T (r, f ) r→∞ N r, f1 1 1 Vôùi moïi k ∈ N∗ vaø r ñuû lôùn, ta seõ thaáy N r, ≥ N r, k + O(log r). f g N r, 1g 1 1 1 Suy ra N r, ≥ kN r, + O(log r). Do ñoù lim sup ≤ . f g r→∞ N r, 1 k f 1 Vì vaäy Θf (0) ≥ 1 − , ∀k ∈ N∗ . Cho k → ∞, ta phaûi coù Θf (0) = 1. k Hôn nöõa, do f ∈ A(K) Xneân Θf (∞) = δf (∞) = 1. Toùm laïi, ta coù 2 ≥ Θf (a) ≥ Θf (∞) + Θf (0) = 2. a∈K∪{∞} X Do ñoù Θf (a) = 2. a∈K∪{∞} X Ñònh lyù 1.7. Toàn taïi f ∈ M(K) sao cho δf (a) + θf = 2. a∈K∪{∞} Chöùng minh. Laáy g laø haøm chænh hình sieâu vieät treân K, töùc laø g ∈ A(K) − 1 K[z]. Khi ñoù, vôùi r ñuû lôùn, ta coù µ(r, g 0 ) = µ(r, g). Suy ra r T (r, g 0 ) = m(r, g 0 ) = log µ(r, g) − log r = m(r, g) + O(log r) = T (r, g) + O(log r). 1 Xeùt haøm phaân hình f = . Heä thöùc Wronskian cuûa f laø g
1 g
W =