Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên annuli gồm 2N-3 siêu phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận văn là giới thiệu một số kết quả nghiên cứu về phân bố giá trị cho hàm phân hình trên Annuli và chứng minh lại một số kết quả về xác định duy nhất cho hàm phân hình trên Annuli được công bố bởi các tác giả trong thời gian gần đây. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên annuli gồm 2N-3 siêu phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỒM 2N + 3 SIÊU PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỐM 2N + 3 SIÊU PHẲNG Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - 2016
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng các kết quả nêu trong luận văn, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực chính xác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn BOUNPONE PHETBOUNHEUANG i
Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường và các Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu, đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Hà Trần Phương, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh. Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Savannakhet - CHDCND Lào cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình. Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn BOUNPONE PHETBOUNHEUANG ii
Môc lôc Më ®Çu 1 Ch¬ng 1 Ph©n bè gi¸ trÞ cho ®êng cong chØnh h×nh trªn Annuli 3 1.1 Hµm ®Æc trng vµ ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt . . . . . . . . . . 3 1.1.1 KiÕn thøc c¬ së vÒ ph©n bè gi¸ trÞ cho hµm ph©n h×nh trªn Annuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Hµm ®Æc trng vµ tÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 §Þnh lý c¬ b¶n thø hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Mét sè mÖnh ®Ò chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 §Þnh lý c¬ b¶n thø hai . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ch¬ng 2 §Þnh lý duy nhÊt cho ®êng cong chØnh h×nh gåm 2n+3 siªu ph¼ng 24 2.1 Më ®Çu vÒ vÊn ®Ò duy nhÊt cho ®êng cong chØnh h×nh trªn Annuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Kh¸i niÖm vµ bæ ®Ò . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Mét sè ®Þnh lý duy nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 §Þnh lý duy nhÊt gåm 2n + 3 siªu ph¼ng . . . . . . . . . . 31 2.2.1 Mét sè mÖnh ®Ò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 §Þnh lý duy nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 KÕt luËn 42 Tµi liÖu tham kh¶o 43
1 Më ®Çu Mét øng dông quan träng cña lý thuyÕt ph©n bè gi¸ trÞ lµ nghiªn cøu sù x¸c ®Þnh cña hµm ph©n h×nh (còng nh ¸nh x¹ ph©n h×nh) th«ng qua ¶nh ngîc cña mét hay nhiÒu tËp h÷u h¹n phÇn tö. VÊn ®Ò nµy còng thu hót sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc: R. Nevanlinna, H. Fujimoto, L. Smiley, H. H. Khoai, G. Dethloff, D. D. Thai, C. C. Yang, M. Ru vµ nhiÒu nhµ to¸n häc kh¸c. N¨m 1926, R. Nevanlinna chøng minh: Hai hµm ph©n h×nh phøc kh¸c h»ng f, g tháa m·n f −1 (ai ) = g −1 (ai ), i = 1, . . . , 5, th× f ≡ g . N¨m 1982, F.Gross vµ C.C. Yang ®· chØ ra tËp hîp T = {z ∈ C|ez + z = 0} lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt (kÝ hiÖu lµ URS) cho c¸c hµm nguyªn. Chó ý, tËp T x¸c ®Þnh nh trªn chøa v« sè phÇn tö. N¨m 1994, H.Yi ®· xÐt tËp hîp SY = {z ∈ C|z n + az m + b = 0}, trong ®ã n ≥ 15, n > m ≥ 5, a, b lµ c¸c h»ng sè kh¸c kh«ng sao cho z n + az m + b = 0 kh«ng cã nghiÖm béi vµ ¤ng ®· chøng minh SY lµ URS cho A(C). N¨m 1998, G. Frank vµ M.Reinders chØ ra mét vÝ dô vÒ URS cho M(C). §èi víi ®êng cong chØnh h×nh, n¨m 1975, H. Fujimoto më réng kÕt qu¶ nµy cña Nevanlinna cho ¸nh x¹ ph©n h×nh vµo kh«ng gian x¹ ¶nh phøc, cho thÊy tån t¹i c¸c tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt kÓ c¶ béi gåm 3n + 2 siªu ph¼ng ë vÞ trÝ tæng qu¸t cho hä c¸c ¸nh x¹ ph©n h×nh phøc kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh. VÒ sau cã nhiÒu nhµ to¸n häc trong vµ ngoµi níc ph¸t triÓn c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu theo híng nµy. Trong thêi gian gÇn ®©y, cã mét sè c«ng tr×nh cña c¸c nhµ to¸n häc trong vµ ngoµi níc vÒ ph©n bè gi¸ trÞ cho c¸c hµm ph©n h×nh trªn Annuli trong C ®îc c«ng bè. N¨m 2005, A. Y. Khrystiyanyn vµ A. A. Kondratyuk ([4, 5]) chøng minh mét sè kÕt qu¶ vÒ c¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vµ quan hÖ sè khuyÕt, sau ®ã nh÷ng c«ng tr×nh nµy ®îc më réng bëi T. B. Cao, Z. S.
2 Deng trong [1] vµ bëi Y. Tan, Q. Zhang trong [9]. N¨m 2015, H. T. Ph¬ng vµ N. V. Th×n ([7]) ®· nghiªn cøu mét sè kÕt qu¶ vÒ ph©n bè gi¸ trÞ cho ®êng cong chØnh h×nh trªn Annuli kÕt hîp víi mét hä h÷u h¹n c¸c siªu ph¼ng. Dùa trªn nh÷ng nghiªn cøu nµy, H. T. Ph¬ng vµ T. H. Minh ([6]) và NguyÔn ViÖt Ph¬ng ([8]) ®· chøng minh mét ®Þnh lý duy nhÊt cho ®êng cong chØnh h×nh trªn Annuli. Víi mong muèn t×m hiÓu vÒ lý thuyÕt ph©n bè gi¸ trÞ vµ øng dông cña lý thuyÕt trong nghiªn cøu c¸c ®Þnh lý duy nhÊt, chóng t«i chän ®Ò tµi "TËp duy nhÊt cho ®êng cong chØnh h×nh trªn Annuli gåm 2n+3 siªu ph¼ng". Môc ®Ých chÝnh cña luËn v¨n lµ giíi thiÖu mét sè kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ ph©n bè gi¸ trÞ cho hµm ph©n h×nh trªn Annuli vµ chøng minh l¹i mét sè kÕt qu¶ vÒ x¸c ®Þnh duy nhÊt cho hµm ph©n h×nh trªn Annuli ®îc c«ng bè bëi c¸c t¸c gi¶ trong thêi gian gÇn ®©y. LuËn v¨n gåm hai ch¬ng, trong Ch¬ng 1 chóng t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc vÒ ph©n bè gi¸ trÞ cho ®êng cong chØnh h×nh trªn Annuli, c¸c kiÕn thøc ch¬ng nµy lµ c¬ së nÒn t¶ng ®Ó chøng minh ®Þnh lý chÝnh trong Ch¬ng 2. Trong Ch¬ng 2 chóng t«i tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÊn ®Ò duy nhÊt cho ®êng cong chØnh h×nh trªn ®îc c«ng bè bëi H. T. Ph¬ng, T. H. Minh trong [6] vµ NguyÔn ViÖt Ph¬ng trong [8]. Th¸i Nguyªn, th¸ng 4 n¨m 2016 T¸c gi¶
3 Ch¬ng 1 Ph©n bè gi¸ trÞ cho ®êng cong chØnh h×nh trªn Annuli Trong ch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc vÒ ph©n bè gi¸ trÞ cho ®êng cong chØnh h×nh trªn Annuli cÇn thiÕt cho viÖc chøng minh c¸c kÕt qu¶ vÒ vÊn ®Ò duy nhÊt trong Ch¬ng 2. Néi dung cña ch¬ng nµy ®îc viÕt dùa trªn c¸c bµi b¸o [7]. 1.1 Hµm ®Æc trng vµ ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt 1.1.1 KiÕn thøc c¬ së vÒ ph©n bè gi¸ trÞ cho hµm ph©n h×nh trªn Annuli Cho R0 > 1 lµ mét sè thùc d¬ng hoÆc +∞, ta kÝ hiÖu 1 ∆= z∈C: < |z| < R0 , R0 lµ mét Annuli trong C. Víi mçi sè thùc d¬ng r tháa m·n 1 < r < R0 , ta kÝ hiÖu 1 ∆1,r = z ∈ C : < |z| 6 1 , r ∆2,r = z ∈ C : 1 < |z| < r vµ 1 ∆r = z ∈ C : < |z| < r . r Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn ∆, tøc lµ f chØnh h×nh trªn ∆ trõ ra
4 mét sè c¸c ®iÓm bÊt thêng cùc ®iÓm, ta nh¾c l¹i Z2π 1 1 1 m r, = log+ dθ, f −a 2π |f (reiθ ) − a| 0 Z2π 1 m(r, f ) = m(r, ∞) = log+ |f (reiθ )|dθ, 2π 0 trong ®ã log+ x = max{0, log x}, a ∈ C vµ r ∈ (R0−1 ; R0 ). Víi mét sè thùc r ∈ (1, R0 ), ta kÝ hiÖu 1 1 1 1 m0 r, = m r, +m , , f −a f −a r f −a m0 (r, f ) = m(r, f ) + m(r−1 , f ). 1 Khi ®ã hµm m0 r, ®îc gäi lµ hµm xÊp xØ hay hµm bï cña f t¹i f −a a ∈ C. 1 KÝ hiÖu n1 t, lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm cña f − a trong {z ∈ C : f− a 1 t < |z| 6 1} vµ n2 t, lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm cña f − a trong {z ∈ f −a C : 1 < |z| < t}; n1 (t, ∞) lµ sè c¸c cùc ®iÓm trong {z ∈ C : t < |z| 6 1} vµ n2 (t, ∞) lµ sè c¸c cùc ®iÓm trong {z ∈ C : 1 < |z| < t} cña f. Víi mçi r (1 < r < R0 ), ta ®Æt Z1 1 n1 (t, f −a ) 1 N1 r, = dt, f −a t 1/r Zr 1 n2 (t, f −a ) 1 N2 r, = dt, f −a t 1 vµ Z1 n1 (t, ∞) N1 (r, f ) = N1 (r, ∞) = dt, t 1/r Zr n2 (t, ∞) N2 (r, f ) = N2 (r, ∞) = dt. t 1
5 KÝ hiÖu 1 1 1 N0 r, = N1 r, + N2 r, f −a f −a f −a N0 (r, f ) = N1 (r, f ) + N2 (r, f ). N0 (r, f )®îc gäi lµ hµm ®Õm t¹i c¸c cùc ®iÓm cña f kÓ c¶ béi, hµm Hµm 1 N0 r, ®îc gäi lµ ®Õm t¹i c¸c kh«ng ®iÓm kÓ c¶ béi cña f − a. f −a Hµm ®Æc trng Nevanlinna T0 (r, f ) cña f ®Þnh nghÜa bëi T0 (r, f ) = m0 (r, f ) − 2m(1, f ) + N0 (r, f ). Trong luËn v¨n nµy, kÝ hiÖu “k” trong mét bÊt ®¼ng thøc nghÜa lµ víi R0 = +∞, bÊt ®¼ng thøc ®óng víi mäi r ∈ (1, +∞) n»m ngoµi mét tËp ∆0r R λ−1 tháa m·n ∆0r r dr < +∞, vµ víi R0 < +∞, bÊt ®¼ng thøc ®óng ®èi víi 1 r ∈ (1, R0 ) n»m ngoµi mét tËp ∆0r tháa m·n ∆0 R dr < +∞, r (R − r)λ+1 0 trong ®ã λ > 0. MÖnh ®Ò sau ®©y lµ mét d¹ng cña ®Þnh lý Jensen cho hµm ph©n h×nh trªn Annuli. MÖnh ®Ò 1.1 ([4]). Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng trªn ∆. Khi ®ã víi mçi r ∈ (1, R0 ), ta cã Z2π Z2π 1 1 1 N0 r, − N0 (r, f ) = log |f (reiθ )|dθ + log |f (r−1 eiθ )|dθ f 2π 2π 0 0 Z2π 1 − log |f (eiθ )|dθ. π 0 MÖnh ®Ò 1.2 ([4]). Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn ∆. Khi ®ã víi mçi r ∈ (1, R0 ), ta cã Z2π 1 1 T0 (r, f ) = N0 r, . 2π f − eiθ 0
6 MÖnh ®Ò 1.3 ([4]). Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn ∆. Khi ®ã víi mçi r ∈ (1, R0 ), ta cã T0 (r, f ) = T0 (r, 1/f ), T0 (r, f ) = T0 (r, f (1/z)). MÖnh ®Ò sau ®©y thêng ®îc gäi lµ §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho hµm ph©n h×nh trªn Annuli: MÖnh ®Ò 1.4 ([4]). Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn ∆. Khi ®ã víi mçi r ∈ (1, R0 ), ta cã 1 T0 (r, ) = T0 (r, f ) + O(1) f −c ®óng víi mäi h»ng sè c ∈ C. Chøng minh. Tõ MÖnh ®Ò 1.3 ta dÔ dµng suy ra T0 (r, f − a) = T0 (r, f ) + O(1) víi mäi hµm ph©n h×nh f vµ trªn ∆ vµ víi mäi a ∈ C. Gièng nh trong trêng hîp lý thuyÕt Nevanlinna cæ ®iÓn ta còng cã | log+ |f − a| − log+ |f || 6 log+ |a| + log 2. Ngoµi ra ta dÔ dµng thÊy r»ng Sö dông c«ng thøc Jensen ta sÏ cã kÕt luËn cña mÖnh ®Ò. MÖnh ®Ò 1.5 ([4]). Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn ∆. Khi ®ã víi mçi r ∈ (1, R0 ) T0 (r, f1 + f2 ) 6 T0 (r, f1 ) + T0 (r, f2 ) + O(1), f1 T0 (r, ) 6 T0 (r, f1 ) + T0 (r, f2 ) + O(1). f2
7 MÖnh ®Ò 1.6 . ([5]) Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn ∆ vµ λ > 0. Khi ®ã, víi mçi r ∈ (1, R0 ). (i) nÕu R0 = +∞, f0 k m0 (r, ) = O(log r + log T0 (r, f )). f (ii) nÕu R0 < +∞, f0 1 k m0 (r, ) = O(log + log T0 (r, f )). f R0 − r MÖnh ®Ò 1.7 ([5], Bæ ®Ò ®¹o hµm logarit). Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn ∆ vµ λ > 0. Khi ®ã: i) trêng hîp R0 = ∞, 0 m0 r, f /f = O(log(rT0 (r, f ))) víi mçi r ∈ (1, R0 ), ngo¹i trõ mét tËp ∆r tháa m·n: Z rλ−1 dr < +∞. ∆r ii) trêng hîp R0 < +∞, T0 (r, f ) m0 r, f 0 /f = O log R0 − r víi mçi r ∈ (1, R0 ), ngo¹i trõ mét tËp ∆0r tháa m·n: Z dr) < +∞. (R0 − r)λ−1 ∆0r MÖnh ®Ò 1.8 ([5], §Þnh lý c¬ b¶n thø hai). Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn ∆, a1 , a2 , . . . , ap lµ c¸c sè phøc ph©n biÖt vµ λ > 0. Khi ®ã: p X 1 (1) m0 (r, f ) + m0 r, 6 2T0 (r, f ) − N0 (r, f ) + S(r, f ) ν=1 f − aν
8 trong ®ã (1) N0 (r, f ) = N0 (r, 1/f 0 ) + 2N0 (r, f ) − N0 (r, f 0 ), vµ i) trêng hîp R0 = ∞, s(r, f ) = O(log(rT0 (r, f ))) víi mçi r ∈ (1, R0 ), ngo¹i trõ mét tËp ∆r tháa m·n: Z rλ−1 dr < +∞; ∆r ii) trêng hîp R0 < +∞, T0 (r, f ) s(r, f ) = O log R0 − r víi mçi r ∈ (1, R0 ), ngo¹i trõ mét tËp ∆0r tháa m·n: Z dr) < +∞. (R0 − r)λ−1 ∆0r Víi hµm ph©n h×nh f trªn ®Üa thñng ∆, ta kÝ hiÖu c¸c sè khuyÕt m0 (r, 1/f − a) δ0 (a) = lim inf r−→∞ T0 (r, f ) vµ m0 (r, f ) δ0 (∞) = lim inf . r−→∞ T0 (r, f ) MÖnh ®Ò 1.9 ([5], Quan hÖ sè khuyÕt). Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn ∆, aν , ν = 1, . . . , q lµ c¸c sè phøc ph©n biÖt, cã thÓ gåm c¶ ∞. Khi ®ã q X δ0 (aν ) 6 2. ν=1
9 1.1.2 Hµm ®Æc trng vµ tÝnh chÊt Trong phÇn nµy ta tr×nh bÇy kh¸i niÖm c¸c hµm ®Æc trng cho ®êng cong chØnh h×nh ®îc ®a ra bëi Ph¬ng - Th×n ([7]). KÝ hiÖu Pn (C) lµ kh«ng gian x¹ ¶nh n chiÒu trªn trêng sè phøc C. §Þnh nghÜa 1.10. Mét ¸nh x¹ chØnh h×nh tõ ∆ vµo Pn (C), hay cßn gäi lµ ®êng cong chØnh h×nh, trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pn (C) ®îc ®Þnh nghÜa lµ ¸nh x¹ f = (f0 : · · · : fn ) : ∆ −→ Pn (C) z 7−→ (f0 (z) : · · · : fn (z)), trong ®ã fj , 0 6 j 6 n, lµ c¸c hµm nguyªn trªn ∆. NÕu fj , j = 0, . . . , n, lµ c¸c ®a thøc th× f ®îc gäi lµ ®êng cong ®¹i sè. Trong trêng hîp nµy ta gäi (f0 , f1 , . . . , fn ) lµ mét biÓu diÔn tèi gi¶n cña f. §Þnh nghÜa 1.11. §êng cong chØnh h×nh f : ∆ −→ Pn (C) ®îc gäi lµ suy biÕn tuyÕn tÝnh nÕu ¶nh cña f chøa trong mét ®a t¹p tuyÕn tÝnh thùc sù nµo ®ã cña kh«ng gian x¹ ¶nh Pn (C). Cho f = (f0 : · · · : fn ) : ∆ −→ Pn (C) lµ mét ®êng cong chØnh h×nh, trong ®ã f0 , . . . , f n lµ c¸c hµm chØnh h×nh kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung trong ∆. Víi 1 < r < R0 , hµm ®Æc trng Tf (r) cña f ®îc ®Þnh nghÜa bëi Z2π Z2π 1 1 Tf (r) = log kf (reiθ )kdθ + log kf (r−1 eiθ )kdθ, 2π 2π 0 0 trong ®ã kf (z)k = max{|f0 (z)|, . . . , |fn (z)|}. Kh¸i niÖm nµy lµ ®éc lËp víi mäi c¸ch chän biÓu diÔn tèi gi¶n cña f , sai kh¸c mét h»ng sè. Cho H lµ mét siªu ph¼ng trong Pn (C), tøc lµ H = {(z0 : z1 : · · · : zn ) : L(z0 , . . . , zn ) = 0}, trong ®ã n X L(z0 , . . . , zn ) = aj zj j=0
10 lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh H , trong ®ã aj ∈ C, j = 0, . . . , n, lµ c¸c h»ng sè. Vect¬ kh¸c kh«ng a = (a0 , . . . , an ) ®îc gäi lµ vect¬ liªn kÕt víi H . Ta viÕt n X (H, f ) = (a, f ) = aj f j . j=0 Cho 1 < r < R0 . Gi¶ sö (a, f ) 6≡ 0, hµm xÊp xØ cña f liªn kÕt víi H ®îc x¸c ®Þnh nh sau Z2π Z2π 1 kf (reiθ )k 1 kf (r−1 eiθ )k mf (r, H) = log dθ + log dθ, 2π |(a, f )(reiθ )| 2π |(a, f )(r−1 eiθ )| 0 0 kh¸i niÖm nµy lµ ®éc lËp víi mäi c¸ch chän biÓu diÔn tèi gi¶n cña f, sai kh¸c mét h»ng sè. Cho 1 < r < R0 , ta tiÕp tôc gi¶ thiÕt (a, f ) 6≡ 0, kÝ hiÖu n1,f (r, H) lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm cña (a, f ) trong ∆1,r , kÓ c¶ béi vµ n2,f (r, H) lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm (a, f ) trong ∆2,r kÓ c¶ béi. §Æt Z1 n1,f (t, H) N1,f (r, H) = N1,f (r, L) = dt; t r−1 Zr n2,f (t, H) N2,f (r, H) = N2,f (r, L) = dt. t 1 Hµm ®Õm (kÓ c¶ béi) cña hµm f liªn kÕt víi siªu ph¼ng H ®Þnh nghÜa bëi Nf (r, H) = N1,f (r, H) + N2,f (r, H). Víi mét sè nguyªn d¬ng δ, kÝ hiÖu nδ1,f (r, H) vµ nδ2,f (r, H) lÇn lît lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm cña (a, f ) trong ∆1,r vµ trong ∆2,r t¬ng øng, trong ®ã mçi kh«ng ®iÓm cã béi lín h¬n δ ®îc ®Õm δ lÇn. §Æt Z1 δ δ nδ1,f (t, H) N1,f (r, H) = N1,f (r, L) = dt; t r−1
11 Zr δ δ nδ2,f (t, H) N2,f (r, H) = N2,f (r, L) = dt. t 1 Hµm ®Õm béi c¾t côt bëi δ cña hµm f ®Þnh nghÜa bëi Nfδ (r, H) = N1,f δ δ (r, H) + N2,f (r, H). Víi k lµ mét sè nguyªn d¬ng, kÝ hiÖu n1,f (r, H, 6 k) vµ n2,f (r, H, 6 k) lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm cã béi 6 k cña (f, H) lÇn lît trong ∆1,r vµ ∆2,r , kÓ c¶ béi. Ta còng kÝ hiÖu n1,f (r, H, > k) vµ n2,f (r, H, > k) lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm cã béi lín h¬n k cña (f, H) lÇn lît trong ∆1,r vµ ∆2,r , kÓ c¶ béi. KÝ hiÖu Z1 n1,f (r, H, 6 k) N1,f,6k (r, H) = N1,f,6k (r, a) = dt; t r−1 Zr n2,f (r, H, 6 k) N2,f,6k (r, H) = N2,f,6k (r, a) = dt; t 1 Nf,6k (r, H) = N1,f,6k (r, H) + N2,f,6k (r, H); Z1 n1,f (r, H, > k) N1,f,>k (r, H) = N1,f,>k (r, a) = dt; t r−1 Zr n2,f (r, H, > k) N2,f,>k (r, H) = N2,f,>k (r, a) = dt; t 1 Nf,>k (r, H) = N1,f,>k (r, H) + N2,f,>k (r, H). MÖnh ®Ò 1.12 . ([6]) Cho f = (f0 : · · · : fn ) : ∆ −→ Pn (C) lµ mét ®êng cong chØnh h×nh, trong ®ã f0 , . . . , f n lµ c¸c hµm chØnh h×nh kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung trong ∆ vµ H lµ mét siªu ph¼ng trong Pn (C). Khi ®ã víi mçi sè thùc d¬ng r > 0, víi c¸c sè nguyªn d¬ng k, δ ta cã 1) Nf (r, H) = Nf,6k (r, H) + Nf,>k (r, H); 2) Nfδ (r, H) = Nf,6k δ δ (r, H) + Nf,>k (r, H);
12 3) Nfδ (r, H) 6 Nf (r, H); 4) Nf1 (r, H) 6 Nfδ (r, H) 6 δNf1 (r, H); 1 δ 1 5) Nf,6k (r, H) 6 Nf,6k (r, H) 6 δNf,6k (r, H); 1 δ 1 6) Nf,>k (r, H) 6 Nf,>k (r, H) 6 δNf,>k (r, H). 1.1.3 §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt §Þnh lý 1.13 . ([7]) Cho H lµ mét siªu ph¼ng trong Pn (C) vµ f = (f0 : · · · : fn ) : ∆ −→ Pn (C) lµ mét ®êng cong chØnh h×nh mµ ¶nh kh«ng chøa trong H . Khi ®ã, víi mçi 1 < r < R0 ta cã Tf (r) = mf (r, H) + Nf (r, H) + O(1). Chøng minh. Theo ®Þnh nghÜa c¸c hµm Tf (r), Nf (r, H), mf (r, H) vµ tõ MÖnh ®Ò 1.1 ta cã Nf (r, H) + mf (r, H) = Z2π Z2π 1 kf (reiθ )k 1 kf (r−1 eiθ )k = log dθ + log dθ 2π |(a, f )(reiθ )| 2π |(a, f )(r−1 eiθ )| 0 0 Z2π Z2π 1 1 + log |(a, f )(reiθ )|dθ + log |(a, f )(r−1 eiθ )|dθ + O(1). 2π 2π 0 0 Do ®ã Nf (r, H) + mf (r, H) Z2π Z2π 1 kf (reiθ )k 1 kf (r−1 eiθ )k = log dθ + log dθ 2π |(a, f )(reiθ )| 2π |(a, f )(r−1 eiθ )| 0 0 Z2π Z2π 1 1 + log |(a, f )(reiθ )|dθ + log |(a, f )(r−1 eiθ )|dθ + O(1) 2π 2π 0 0
13 Z2π Z2π 1 1 = log kf (reiθ )kdθ + log kf (r−1 eiθ )kdθ + O(1). 2π 2π 0 0 §iÒu nµy kÐo theo Nf (r, H) + mf (r, H) = Tf (r) + O(1). §Þnh lý ®îc chøng minh. 1.2 §Þnh lý c¬ b¶n thø hai 1.2.1 Mét sè mÖnh ®Ò chuÈn bÞ Cho f = (f0 : · · · : fn ) : ∆ −→ Pn (C) lµ mét ®êng cong chØnh h×nh, ®Þnh thøc Wronskian cña f ®îc ®Þnh nghÜa bëi