Luận văn Thạc sĩ Toán học: Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phân của biểu diễn chính quy của một số lớp nhớm Lie Reductive thực thấp chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ THỊ PHƯƠNG QUỲNH

BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ

PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM LIE REDUCTIVE THỰC THẤP CHIỀU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số : 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. ĐỖ NGỌC DIỆP

2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp,

luận án tiến sĩ chuyên ngành toán giải tích với tên đề tài "Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm

Lie reductive thực thấp chiều" là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các

kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận án là trung thực, khách quan và chưa từng để bảo vệ ở bất cứ học vị nào.

Tôi xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận án này đều được

chỉ rõ nguồn gốc và tuân thủ đúng quy tắc.

Tác giả

Đỗ Thị Phương Quỳnh

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài “Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm Lie reductive thực thấp

chiều”. Tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo điều kiện của tập thể

lãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên Khoa Sau Đại học, Khoa Toán, giảng viên, cán bộ các phòng, ban chức năng Trường Đại học Sư

phạm Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành về sự giúp đỡ đó.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp người thầy đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi hoàn thành luận

án này.

Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp của tôi và gia đình đã

động viên, khích lệ, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận án này.

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 02 năm 2017

Nghiên cứu sinh

Đỗ Thị Phương Quỳnh

Mục lục

Trang bìa phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết 8 Arthur-Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1. Công thức tổng Poisson cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Nhóm nhân của các số phức và biến đổi Fourier-Laplace . . . . . 11

1.3. Công thức vết Arthur-Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1. Công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2. Công thức vết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Chương 2. Nhóm hạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Nhóm nội soi của SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Biểu diễn tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Tương ứng Langlands hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 20

2.2.2. Lượng tử hóa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Công thức vết Arthur-Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1. Công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Công thức vết ổn định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 28

iii

2.4. Nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Vế hình học của công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 32

2.5.2. Vế phổ của công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33

Chương 3. Nhóm hạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Công thức tổng Poisson và nội soi cho SL(3, R) . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Biểu diễn unita bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Cảm sinh chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 40

3.1.3. Dãy phổ Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 42

3.1.5. Tích phân quỹ đạo ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 49

3.2. Công thức tổng Poisson và nội soi cho SU(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Biểu diễn unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49

3.2.2. Cảm sinh chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Dãy phổ Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 54

3.2.4. Trường hợp chỉnh hình hoặc không chỉnh hình . . . . . . . . . . . 3.2.5. Công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 55

3.2.6. Nội soi và tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Công thức tổng Poisson và nội soi cho Sp(4, R) . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Biểu diễn cảm sinh chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Cảm sinh đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 69

3.3.3. Dãy phổ Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 73

3.3.5. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Danh mục các công trình công bố của tác giả . . . . . . . . . . . . . 81

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

C N Tập số phức Tập số tự nhiên

R Tập số thực

Tập số nguyên Tập số thực dương

Z R∗ + C∗ (cid:111) là tập số phức khác không Tích nửa trực tiếp phải

(cid:110)

Tích nửa trực tiếp trái Tổng trực tiếp

Đẳng cấu G chia thương trái và phải cho K

Ma trận đường chéo Không gian các hàm bình phương khả tích

⊕ ∼= K\G/K diag(λ1, λ2, ..., λn) L2 oL2 Phần rời rạc của không gian các hàm

cont

L2 bình phương khả tích Phần liên tục của không gian các hàm

tr A bình phương khả tích Vết của ma trận A

det A Dk π1((cid:80)) Θ⊥ H(SL(2, R))

Định thức của ma trận A Biểu diễn chuỗi rời rạc Nhóm cơ bản của không gian tôpô (cid:80) Phần bù trực giao của Θ trong L2(G) Đại số Hecke trên SL(2, R) gồm các hàm lớp C ∞ 0 và K- bất biến 2 phía

Chuẩn của hàm f

||f | | ˆG

Nhóm đối ngẫu của G, gồm các lớp tương đương của các biểu diễn unita bất khả quy của G

0 (R)

Đường tròn đơn vị Lớp hàm trơn có giá compact C ∞

Bχ

Tích phân trực tiếp của các biểu diễn Biểu diễn cảm sinh từ B lên G

(cid:82) ⊕ R IndG {Γ} V ol Tập các phần tử đại diện của các lớp liên hợp Thể tích

Tích phân quỹ đạo của hàm f Nhóm Galois của mở rộng C/R Phủ phổ dụng của nhóm G

O(f ) Gal(C/R) (cid:101)G Sk(Γ)

Không gian các dạng modular trọng k của nhóm con rời rạc Γ

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Giải tích điều hòa là một ngành toán nghiên cứu biểu diễn của các hàm hay phân tích, tổng hợp các sóng cơ bản và nghiên cứu tổng quát các khái

niệm của lý thuyết chuỗi Fourier và biến đổi Fourier. Trong thế kỷ qua, giải tích điều hòa đã trở thành một lĩnh vực lớn với các ứng dụng trong

nhiều lĩnh vực đa dạng như xử lý tín hiệu, cơ học lượng tử, phân tích thủy triều và thần kinh học.

Biến đổi Fourier cổ điển trên Rn vẫn là lĩnh vực đang được nhiều nhà nghiên cứu "khai thác" đặc biệt là những vấn đề có liên quan đến biến đổi

Fourier trên đối tượng tổng quát hơn như hàm suy rộng điều hòa.

Giải tích điều hòa trừu tượng (xem [18]) bao gồm cả lý thuyết biểu diễn (xem [14], [25]), được sử dụng như một cơ sở thay thế vai trò của các hàm

mũ trong phân tích Fourier cổ điển. Nói cách khác giải tích điều hòa trừu tượng là sự mở rộng của phân tích Fourier cổ điển lên một nhóm G tùy ý.

Trong vấn đề này, có sự khác biệt lớn giữa trường hợp nhóm Aben và nhóm không Aben. Phân tích Fourier trên nhóm Aben G được xác định trong

các số hạng của các đặc trưng nhóm tương ứng. Tuy nhiên đặc trưng bội là không phù hợp để mở rộng phân tích Fourier trên nhóm không Aben.

Do đó trong trường hợp này biểu diễn nhóm (xem [24]) cho câu trả lời phù hợp (chú ý rằng đối với nhóm Aben các biểu diễn bất khả quy đều là một

chiều).

Trong giải tích điều hòa cổ điển trên R, công thức Poisson cho các hàm

+∞ (cid:88)

suy rộng là:

n=−∞

δ(x − n) = 2π e−inx,

0 (R) được viết ở dạng

+∞ (cid:88)

trong đó δ là hàm Dirac. Công thức trên đóng vai trò rất quan trọng với một hàm f ∈ C ∞

m=−∞

ˆf (m), f (m) = 2π

−π

trong đó (cid:90) π ˆf (m) = f (x)e−imxdx 1 2π

là biến đổi Fourier của f . Vế trái của công thức trên được xem là phân

tích của biểu diễn chính quy thành tổng các thành phần bất khả quy và vế phải được xem là tổng các giá trị biến đổi Fourier. Chính công thức này

⊕ (cid:88)

có thể cho một phân tích trên không gian các hàm bình phương khả tích như sau:

n∈Z

L2(R/πZ) = Cn,

C(S1; 1

với Cn = C. Mặt khác, công thức này dễ dàng được phát triển trên ngôn +, C∗. ngữ nhóm cho các nhóm sau: R, R∗ Nếu ta xét G = S1 là một nhóm Lie compact giao hoán, lý thuyết chuỗi Fourier cho một câu trả lời thỏa đáng cho nhiều vấn đề của giải tích Fourier

⊕ (cid:88)

như biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược, công thức Plancherel .... Nếu chúng ta có một hàm trên R thì chúng ta có thể lấy trung bình trên các điểm nguyên để chuyển đến một hàm trên S1. Công thức tổng Poisson cho ta mối quan hệ giữa tổng trên các điểm nguyên của các giá trị của hàm trên R với giá compact và tổng của các ảnh Fourier tương ứng của nó. Công thức này là một công cụ quan trọng cho giải tích phổ của không gian các hàm bình phương khả tích trên đường tròn đơn vị L2 2π dθ). Chính xác hơn, không gian L2(S1; C) được phân tích thành tổng trực tiếp trực giao rời rạc của vô hạn lần của C :

n; C1 n

n∈Z

C1 L2(R/2πZ) = ∼= C.

Còn trong trường hợp G là nhóm cộng R cũng có kết quả tương tự như

lý thuyết biến đổi Fourier.

+ là vi phôi với R và tích phân Fourier tương ứng được gọi là biến đổi Mellin. Công thức nghịch đảo Mellin và công thức Plancherel có dạng phân tích không gian L2(R∗ +; dx

x ) thành một tích phân trực tiếp

Nhóm nhân R∗

+) =

λdλ, C1 λ

(cid:90) (cid:76) C1 L2(R∗ ∼= C.

Nhóm nhân C∗ của các số phức khác không là đồng phôi với tích trực + và vì thế dθ), theo I.M. Gelfand, thành tổng trực tiếp của nhóm con compact S1 và nhóm con không compact R∗ dr có phân tích phổ của L2(C∗; r 1 2π tiếp rời rạc và tích phân trực tiếp liên tục.

⊕ (cid:88)

n∈Z

(cid:90) ⊕ L2(C∗/2πZ × {1}) = Cn ⊕ C1 λ.

Bài toán được đặt ra là nghiên cứu để tìm ra công thức tổng Poisson

tương tự như công thức Poisson nói trên trong khuôn khổ giải tích điều

hòa trừu tượng trên các nhóm nửa đơn hoặc reductive. Công thức Poisson trừu tượng tổng quát chưa tồn tại nên chúng tôi tiếp cận đến bài toán này trên lớp các nhóm Lie có hạng 1 là nhóm SL(2, R) hoặc phủ phổ dụng SU(1, 1) cho nên chỉ cần nghiên cứu trường hợp SL(2, R) là đủ. Các nhóm hạng 2 là SL(3, R), SU(2, 1) và Sp(4, R), trong các trường hợp này chúng tôi tính toán các tích phân quỹ đạo cụ thể.

Khi nhóm G là nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, R), tác động trên nửa mặt phẳng Poincaré H = SL(2, R)/ SO(2, R) bởi các biến đổi phân tuyến tính, chúng ta có thể chọn nhóm con Fuchsian kiểu I, Γ ⊆ SL(2, Z) sao cho thể tích hữu hạn V ol(Γ\G) < +∞ tương ứng với độ đo Haar tự nhiên trên SL(2, R). Khi đó nhóm tuyến tính đặc biệt này tồn tại duy nhất, chính xác đến liên hợp, một nhóm con Cartan H [27] là xuyến T (C) = GL1(C) = C ∗. Mặt khác L2(Γ\ SL(2, R)) được phân tích phổ cont(Γ\ SL(2, R)) và thành tổng trực giao hai phần đó là phần liên tục L2 phần rời rạc oL2(Γ\ SL(2, R)). Phần rời rạc được phân tích thành tổng trực tiếp trực giao của các biểu diễn tự đẳng cấu, tức là các biểu diễn thu được từ biểu diễn chuỗi rời rạc của G, sau đó tính vết cho một biểu diễn chuỗi

rời rạc này thì ta nhận được vế giải tích (hay vế phổ) của công thức tổng

cont(Γ\ SL(2, R)) chỉ cần biết rằng được Poisson. Còn lại phần liên tục L2 phân tích thành tích phân trực tiếp của chuỗi cơ bản và chuỗi bù (xem

[27]). Ta cũng đã biết rằng các biểu diễn tự đẳng cấu được xác định bởi đặc trưng (và đặc trưng vô cùng bé) của nó [12], và thu được ở dạng biểu diễn cảm sinh trên quỹ đạo liên hợp trong SL(2, R), sử dụng công thức tích phân quỹ đạo (xem [29],[22]) để tính vết cho một biểu diễn trên nhóm con nội soi ta sẽ thu được vế hình học của công thức tổng Poisson trên SL(2, R). Vì vậy công thức tổng Poisson là phương trình với một vế giải tích là tổng các phép chuyển của công thức chuyển quỹ đạo vết và vế hình

học là tổng các phép chuyển của các biến đổi Fourier của công thức vết (theo các biến đổi hình học của Harish Chandra) [15]. Hoàn toàn tương tự

chúng ta cũng có câu trả lời thỏa đáng cho các nhóm reductive có hạng 0 và hạng 1.

Các nhóm Lie reductive hạng 2 sẽ phức tạp hơn rất nhiều, ví dụ như: SL(3, R), GL(3, R), SU(2, 1) .... Trong các trường hợp này và các trường hợp tổng quát, nhóm con Cartan được phân tích thành tích của xuyến

cực đại và một xuyến xòe hạng r. Vẫn có công thức tổng Poisson cho các nhóm con Cartan này, nhưng chúng ta có thể chuyển công thức quỹ đạo

vết lên một nhóm lớn hơn nhóm Cartan, và được gọi là nhóm con nội soi (là thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong tâm hóa của phần tử

nửa đơn chính quy của nhóm con Cartan). Bổ đề cơ bản khẳng định rằng vế hình học của công thức tổng Poisson cũng đúng khi chuyển lên từ nhóm

con nội soi. Đây là một cách dễ để hiểu được bổ đề cơ bản, như một sự xuất hiện tự nhiên trong sự thu nhỏ của công thức vết của phần oL2(Γ\G) của biểu diễn chính quy R trong L2(Γ\G).

Trong luận án, chúng tôi sẽ trình bày trong 3 chương với kết cấu như

Chương 1: Trong chương này chúng tôi dẫn dắt từ công thức Poisson

cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg.

Chương 2: Chúng tôi trình bày các kết quả kể trên cho SL(2, R). Chương 3: Chúng tôi trình bày các kết quả kể trên cho SL(3, R), SU(2, 1)

và Sp(4, R).

2. Tổng quan

Nghiên cứu các biểu diễn tự đẳng cấu là một bài toán thú vị liên quan

đến giải tích điều hòa trừu tượng và lý thuyết biểu diễn (xem [25]), hình học, đại số, số học.

Trong số học việc dùng lý thuyết biểu diễn dẫn đến các kết quả quan trọng trong lý thuyết trường-lớp, lý thuyết số đại số. Một ví dụ quan trọng

và tiêu biểu là luật thuận-nghịch trong lý thuyết số đại số (xem [16], [27]). Các biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm Lie thấp chiều xuất hiện trong

các công trình của I.M.Gelfand, Y.Piateski-Shapiro, R. Langlands .... Việc nghiên cứu các dạng tự đẳng cấu và các hệ quả có nhiều ứng dụng trong

số học, hình học, đại số và vật lý (xem [20], [27]).

Một số nhà toán học trong nước cũng đã tiếp cận đến bài toán này. Trong công trình [5] của Đỗ Ngọc Diệp đã đưa ra việc thể hiện các biểu

diễn tự đẳng cấu thông qua lượng tử hóa hình học. Việc phân tích phổ của toán tử Laplace và của phổ rời rạc của biểu diễn chính quy của các nhóm

Lie có thể thực hiện thông qua việc xét các công thức tính tổng Poisson. Từ đó có thể cho ta một cách tiếp cận hoàn toàn mới đến bài toán. Đó

cũng chính là cách tiếp cận mà đề tài nghiên cứu được đặt ra. 3. Mục tiêu

Mục tiêu của luận án là thể hiện tường minh các biểu diễn tự đẳng cấu thông qua lượng tử hóa và áp dụng chúng vào việc phân tích phổ toán tử

Laplace và phần rời rạc của biểu diễn chính quy của các nhóm reductive

thực thấp chiều. Từ đó dùng nội soi để viết công thức Poisson cho các nhóm thấp chiều.

4. Đối tượng

Các đối tượng được nghiên cứu là các biểu diễn tự đẳng cấu và việc tìm

ra các thể hiện cụ thể trong không gian các hàm có tính chất thích hợp. Sau đó chúng sẽ được dùng vào việc phân tích biểu diễn chính quy trên không gian L2(Γ/G), đặc biệt là phần phổ rời rạc oL2(Γ/G). Chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu trong trường hợp các nhóm Lie reductive thực thấp chiều.

5. Phạm vi nghiên cứu Trong luận án nghiên cứu các nội dung chính như sau:

• Biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie thực thấp chiều cụ thể các nhóm

hạng 1: SL(2, R), nhóm hạng 2: SL(3, R), SU(2, 1), Sp(4, R).

• Nhóm con nội soi cho các nhóm reductive thấp chiều kể trên.

• Phân tích phổ rời rạc của biểu diễn chính quy, công thức vết của biểu

diễn và tổng Poisson.

6. Ý nghĩa thực tiễn của đề tài

Trong luận án thực hiện các tính toán cụ thể cho các nhóm Lie thực thấp chiều hạng 1 và hạng 2. Vì vậy, kết quả thu được của đề tài cho một

nhập môn dễ hiểu về chương trình Langlands trên các lớp nhóm đó. 7. Phương pháp nghiên cứu

Do đặc thù của việc nghiên cứu ví dụ cụ thể là phải vận dụng các lý

thuyết trừu tượng để tính toán ra kết quả cụ thể nên các phương pháp nghiên cứu chính trong luận án bao gồm:

• Biểu diễn cảm sinh (xem [17]).

• Lượng tử hóa hình học (xem [16]).

• Phân tích phổ toán tử Laplace suy rộng trên diện Riemann.

8. Các kết quả chính của luận án

• Các Định lý 2.1, ??, 2.3, 3.1.1, 3.2.1, 3.3.1 mô tả các biểu diễn tự

đẳng cấu của các nhóm reductive thực thấp chiều.

• Các Định lý 2.5, 2.6, 3.2, 3.8, 3.2.6 (a) mô tả các nhóm con nội soi,

tích phân quỹ đạo, công thức vết. Trong 3.1.4, 3.2.6, 3.3.4 cho các tính toán tích phân quỹ đạo chi tiết lần đầu thu được.

• Các Định lý 2.8, 2.9, 3.3, 3.5, 3.9, và 3.3.4 xác định công thức Poisson

trên các nhóm hạng 1 và hạng 2 mà luận án xét đến.

Các tính toán biểu diễn hình học, tích phân quỹ đạo được thực hiện chi tiết trong 3.1.4, 3.2.6, 3.3.4 là hoàn toàn mới.

9. Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:

• Seminar thường kỳ của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên các năm 2013, 2014, 2015 và

2016.

• Seminar "Giải tích toán học" của phòng Giải tích toán học, Viện

Toán học, Viện Hàn Lâm Khoa Học và Công Nghệ Việt Nam, 2014.

• Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/08/2013.

• The Tohoku Forum for Creativity Thematic Program 2016 "Modern Interactions between Algebra, Geometry and Physics", Japan, 10-

15/04/2016.

Chương 1

Từ công thức Poisson cổ điển đến

công thức vết Arthur-Selberg

Chương này mang tính chất chuẩn bị, chúng tôi dẫn giải từ công thức

Poisson cổ điển đến hiện đại bằng cách dùng công thức vết Arthur-Selberg và tích phân quỹ đạo do đó các định lý được phát biểu mà không chứng

minh.

1.1. Công thức tổng Poisson cổ điển

Cho một hàm số f khả tích tuyệt đối trên [−π; π]; khi đó hệ số của biến

đổi Fourier được xác định như sau:

(cid:90) 2π (cid:90) 1 e−inxf (x)dx = e−2πinxf (2πx)dx. cn(f ) = ˆf (n) = 1 2π

Một hàm thỏa mãn điều kiện Dini tại một điểm x ∈ [−π; π] nếu tồn tại

một lân cận U = U (x) sao cho

f (x ± t) tồn tại; 1) f (x±) := lim t→+0

2) Tích phân

(cid:90) dt (f (x − t) − f (x−)) − (f (x + t) − f (x+)) t

k=−n

hội tụ tuyệt đối. Với Sn(f ) = (cid:80)+n (cid:82) π −π f (t)e−iktdteikx, xét hàm khả tích tuyệt đối f 1 2π

trên khoảng [−π; π] thỏa mãn điều kiện Dini tại một điểm x, khi đó chúng ta có

+n (cid:88)

−π

k=−n

(cid:90) π (cid:90) π f (t)e−iktdteikx = f (t)( eik(x−t))dt Sn(f ) = 1 2π 1 2π

2 )(x−t)

−π (cid:90) π

(cid:90) π f (t) =

k=−n 1 2π 1 2π

−π (cid:90) π

2(x − t)) 2)t

f (t) = dt ei(n+ 1 2 )(x−t) − e−i(n+ 1 ei 1 2 (x−t) − e−i 1 2 (x−t) sin(n + 1 2)(x − t) sin( 1

−π

f (x − t) = dt. 1 2π sin(n + 1 sin( 1 2t)

Vì vậy chúng ta có

Sn(f ) − f (x+) + f (x−) 2 (cid:90) π = sin(n + )tdt → 0. 1 π 1 2 (f (x − t) − f (x−)) − (f (x + t) − f (x+)) 2 sin 1 2t

Tích phân này là hội tụ tuyệt đối và đều.

Định lý 1.1 Giả sử hàm f là khả tích tuyệt đối trên [−π; π] và thỏa mãn điều kiện Dini. Khi đó chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối đến nửa tổng của hai

+∞ (cid:88)

giá trị giới hạn

−∞

. cn(f )einx = f (x+) + f (x−) 2

Đặc biệt nếu hàm là liên tục thì chúng ta có công thức nghịch đảo như khai

+∞ (cid:88)

triển Fourier

n=−∞

f (x) = cn(f )einx.

+∞ (cid:88)

Xét ϕ là hàm thuộc lớp Schwartz S(R). Ảnh Fourier của nó cũng thuộc lớp hàm Schwartz ˆϕ ∈ S(R). Khi đó tổng

k=−∞

f (x) = ϕ(x + 2πk)

hội tụ và tổng là hàm liên tục. Chúng ta có công thức hệ số Fourier của nó như sau:

(cid:90) π f (x)e−ikxdx ck(f ) =

−π 1 2π

(cid:90) 2π 1 2π +∞ (cid:88) ϕ(x + 2πk)e−ikndx =

−∞

k=−∞ 1 2π = ˆϕ(k).

(cid:90) +∞ = ϕ(x)e−ikxdx

+∞ (cid:88)

Khi đó ta có công thức tổng Poisson trên R là:

n=−∞

0 (R) trơn có giá

f (x) = ϕ(x + 2πk) = ˆϕ(n)einx. cn(f )einx =

+∞ (cid:88)

Định lý 1.2 (Tổng Poisson [1]) Với mọi hàm ϕ ∈ C ∞ compact ta có

n=−∞

m=−∞

ϕ(n) = ˆϕ(m).

+∞ (cid:88)

Công thức này tương đương với dạng phân bố như sau:

n=−∞

δ(x − n) = e−inx.

Trong đó δ là hàm Dirac và ˆϕ(m) là một biến đổi Fourier.

Công thức được hiểu rằng tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy là biểu diễn chính quy của nhóm phủ R = (cid:101)S1 → S1.

⊕ (cid:88)

Định lý 1.3 (xem [31]) Ta có phân tích sau:

n∈Z

dθ) = L2(R/2πZ, Cn, 1 2π

trong đó Cn là không gian một chiều với tác động của x ∈ R bằng phép nhân lên e2πinx.

Định lý 1.4 (xem [31])

ξdξ,

(cid:90) ⊕ C1 L2(R) =

trong đó Cξ là không gian một chiều C1 với tác động của x ∈ R lên e2πiξx.

1.2. Nhóm nhân của các số phức và biến đổi Fourier-

Laplace

+ × S1 là vi phôi với mặt phẳng thực 2 chiều R2\{0}

Nhóm nhân C∗ = R∗

bởi ánh xạ

C → C∗, z (cid:55)−→ ez.

Chúng ta nhắc lại công thức tích phân Laplace Fourier cổ điển

(cid:90) +∞ (cid:90) 2π |z|−iλe−2πni arg(z)f (z) d arg(z). ˆf (n, λ) = 1 2π d|z| |z|

Nó cũng chính là công thức tích phân Laplace Fourier

(cid:90) 2π e−2πni arg(z)f (z)d arg(z) cn(f ) = ˆf (n, 0) = 1 2π

với (cid:90) +∞ ˆf (λ) = ˆf (0, λ) = |z|−iλf (z) d|z| |z| 1 2π

trong đó công thức nghịch đảo là

+∞ (cid:88)

−∞

(cid:90) +∞ f (z) = |z|−iλ ˆf (λ)dλ. cn(f )e2πin arg(z) + 1 √ 2π

Không gian Hilbert L2(C∗) được phân tích thành một tổng của các

chuỗi rời rạc và tích phân liên tục.

Định lý 1.5 Ta có phân tích sau:

⊕ (cid:88)

λdλ,

n∈Z

(cid:90) ⊕ C1 L2(C∗/2πZ × {1}, d arg(z)) = Cn ⊕ 1 2π d|z| |z|

trong đó Cn là không gian một chiều C1 với tác động của z ∈ C∗ như phép nhân với e−2πin arg z, Cλ là không gian một chiều C1 với tác động của z ∈ C∗ như phép nhân với |z|−iλ−1.

1.3. Công thức vết Arthur-Selberg

Trong phần này chúng tôi trình bày về công thức vết Arthur-Selberg

trên một nhóm G tổng quát. Đây là mục quan trọng vì từ công thức vết

này đã giúp chúng tôi nghĩ đến cách tính được công thức vết của biểu diễn chính quy trên các nhóm Lie reductive ở 2 chương sau.

1.3.1. Công thức vết

Lấy nhóm con hữu hạn sinh kiểu Langlands Γ của G (xem [6], [21]) với số hữu hạn các nhọn. Lấy f ∈ C ∞ 0 (G) và ϕ thuộc không gian biểu diễn cảm sinh [16], trong đó tác động của biểu diễn cảm sinh IndG B χ chuỗi rời rạc được xem như một biểu diễn con của biểu diễn chính quy phải R bởi

các phép tịnh tiến phải trên biến. Toán tử R(f ) được xác định một cách tự nhiên như tích phân:

(cid:90) (cid:90) R(f )ϕ = f (y)R(y)ϕ(x)dy = f (y)ϕ(xy)dy

(cid:90) f (x−1y)ϕ(y)dy (bất biến phải của độ đo Haar dy) =

Γ\G

γ∈Γ

  (cid:90) (cid:88) f (x−1γy) =  ϕ(y)dy. 

Vì vậy, tác động này có thể được biểu diễn bởi một toán tử với hạch

Γ\G

Kf (x, y) dạng (cid:90) [R(f )ϕ](x) = Kf (x, y)ϕ(y)dy,

γ∈Γ

trong đó (cid:88) f (x−1γy). Kf (x, y) =

Vì hàm f là hàm có giá compact nên tổng này là hội tụ, và theo đó nó là hữu hạn. Cho x bất kỳ, cố định và Kf thuộc lớp L2(Γ\G × Γ\G) thì vết của một toán tử được xác định như sau:

Γ\G

(cid:90) tr R(f ) = Kf (x, x)dx.

Theo giả thiết, nhóm con rời rạc Γ là hữu hạn sinh. Ký hiệu {Γ} là tập các phần tử đại diện của các lớp liên hợp. Cho bất kỳ γ ∈ Γ ký hiệu nhóm con tâm của γ ∈ Ω ⊂ G là Ωγ, trong trường hợp đặc biệt, Gγ ⊂ G. Theo định lý Fubini cho tích phân kép, chúng ta có thể đổi thứ tự của tích phân

để có

Γ\G

(cid:90) tr R(f ) = Kf (x, x)dx

Γ\G

(cid:90) (cid:88) f (x−1γx)dx =

γ∈Γ (cid:88)

Γ\G

δ∈Γγ\Γ

γ∈{Γ} (cid:90)

(cid:90) (cid:88) f (x−1δ−1γδx)dx =

Γγ\G

(cid:88) = f (x−1γx)dx

γ∈{Γ} (cid:88)

Gγ\G

Γγ\Gγ

(cid:90) (cid:90) f (x−1u−1γux)dudx =

γ∈{Γ} (cid:88)

Gγ\G

γ∈{Γ}

(cid:90) = Vol(Γγ\Gγ)f (x−1γx)dx.

Vì vậy để tính được công thức vết chúng ta sẽ tính theo thứ tự sau:

• Xác định lớp liên hợp của các γ trong Γ: chúng ta nói γ là kiểu elliptic

(các giá trị riêng khác nhau cùng dấu), kiểu hyperbolic (không suy biến, với các giá trị riêng khác dấu), kiểu parabolic (suy biến).

• Tính thể tích Vol(Γγ\Gγ) của không gian thương của nhóm con dừng

Gγ theo nhóm con dừng rời rạc trong nó Γγ.

• Tính toán công thức tích phân quỹ đạo (xem [22]), theo định nghĩa

Gγ\G

là (cid:90) O(f ) = f (x−1γx)d ˙x.

Ý tưởng chính trong luận án là sẽ tính toán công thức tích phân quỹ

đạo trên nhóm con nội soi khi ấy tích phân trở thành các tích phân thông thường.

1.3.2. Công thức vết ổn định

Nhóm Galois (xem [22]) Gal(C/R) = Z2 của trường phức C là tác động trên biểu diễn chuỗi rời rạc bởi đặc trưng κ(σ) = ±1. Vì vậy tổng của các

∞ (cid:88)

đặc trưng có thể được viết lại như tổng trên lớp ổn định của các đặc trưng [22]

n(f ),

n=1

σ∈Z2

(cid:88) tr R(f ) = ε(σ)Θε

nếu σ là phần tử đơn vị  1  trong đó ε(σ) = −1 nếu σ là liên hợp phức. 

Kết luận chương I

Chương này là chương kiến thức chuẩn bị, chúng tôi đã dẫn dắt vấn đề từ công thức Poisson cổ điển đến công thức Poisson tổng quát, công

thức vết Arthur-Selberg và trình bày được ý tưởng chính trong luận án là sẽ tính toán công thức tích phân quỹ đạo trên nhóm nội khi đó tích phân

quỹ đạo sẽ trở thành các tích phân thông thường.

Chương 2

Nhóm hạng 1

Lý thuyết Lie cho phân loại các nhóm Lie và nhóm đại số liên thông

theo đại số Lie. Theo phân loại đó chỉ có một đại số Lie nửa đơn hạng 1(chính xác đến đẳng cấu) là sl(2, R) và tương ứng với nó là nhóm Lie liên thông SL(2, R), phủ phổ dụng tương ứng là (cid:94)SL(2, R) là mở rộng tâm của SL(2, R) bởi Z/2Z. Toàn bộ lý thuyết biểu diễn (xem [25]) và công thức tổng Poisson cho phủ phổ dụng của SL(2, R) hoàn toàn tương tự như cho SL(2, R). Vì vậy đối với nhóm hạng 1 chúng ta chỉ cần nghiên cứu trường hợp SL(2, R) là đủ.

Trong chương này, trước tiên chúng tôi sẽ làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các biểu diễn tự đẳng cấu và lượng tử hóa cũng như công thức Poisson của SL(2, R). Chúng ta biết rằng biểu diễn chuỗi rời rạc có liên quan đến tổng của các không gian riêng của toán tử Laplace và Hecke, tức là các biểu

diễn tự đẳng cấu dưới dạng biểu diễn cảm sinh với phân thớ cảm sinh trên diện Riemann.

Nhóm hạng 1 mà chúng ta nghiên cứu ở đây là nhóm SL(2, R), trong lý thuyết biểu diễn của nhóm này [20] chúng ta đã biết: mọi biểu diễn unita

k , Dn), n ∈ N, n (cid:54)= 0; 0 , D±);

(hoặc không unita) bất khả quy tương đương unita (hoặc không unita) với một trong các chuỗi sau (xem [7], [27]):

(1) Biểu diễn chuỗi liên tục cơ bản (πs, Ps); (2) Biểu diễn chuỗi rời rạc (π± (3) Giới hạn của biểu diễn chuỗi rời rạc (π± (4) Biểu diễn chuỗi bổ sung (πs, Cs), 0 < s < 1;

(5) Biểu diễn một chiều tầm thường 1; (6) Biểu diễn hữu hạn chiều không unita Vk. Có nhiều nghiên cứu về dạng tự đẳng cấu và các biểu diễn tự đẳng cấu, hầu hết mối quan hệ giữa chúng là mối quan hệ cảm sinh. Trong chương

này chúng tôi sử dụng ý tưởng của lượng tử hóa hình học(xem [5]) để nói

rõ hơn về biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie.

2.1. Nhóm nội soi của SL(2, R)

Trước tiên chúng tôi có những tóm tắt cơ bản giới thiệu về cấu trúc nhóm mà chúng ta xét đến trong chương này đó là nhóm G = SL(2, R) xác định như sau (xem [27]):

(cid:41) (cid:40) (cid:32) a b SL(2, R) = g = . a, b, c, d ∈ R, det g = 1 c d (cid:33)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Nhóm G = SL(2, R) có tâm hữu hạn đẳng cấu với Z/2Z, và có duy

nhất nhóm con compact cực đại K (với độ chính xác đến liên hợp) là

(cid:40) (cid:32) (cid:41) cos θ sin θ K = k(θ) = ± θ ∈ [0, 2π) , − sin θ cos θ (cid:33)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

nhóm con Borel

(cid:40)(cid:32) (cid:41) a b B = a, b, d ∈ R, ad = 1 . 0 d (cid:33)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Nhóm con Borel này được phân tích duy nhất thành tích nửa trực tiếp của căn lũy đơn N và một xuyến chẻ ra cực đại T ∼= R∗ + và một nhóm con compact M = {±1}. Phân tích này chính là phân tích Cartan G = BK, B = M A (cid:110) N . Dựa vào phân tích Cartan đó thì một phần tử bất kỳ của G sẽ được phân tích như sau:

(cid:33) (cid:33) (cid:32) (cid:32) (cid:33) (cid:32) ± cos θ ± sin θ a b = ∓ sin θ ± cos θ c d y1/2 y−1/2x y−1/2 0

(cid:33) (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) (cid:32)

, = ± cos θ ± sin θ ∓ sin θ ± cos θ 1 x 0 1 y1/2 0 0 y−1/2

trong đó

y = 1 c2 + d2

√ cos θ = ±y1/2d, hay θ = arccos d c2 + d2

. ±y1/2 sin θ ± y−1/2x cos θ = b hay x = ± (b + cy) d

Mặt khác ta cần biết rằng phân tích Langlands của nhóm con Borel là (xem [27]): B = M AN với A = {at = etX1|t ∈ R} và N = {nξ = eξX2|ξ ∈ R}, (cid:32) (cid:33) (cid:33) (cid:32) (cid:33)

. X0 = , X1 = , X2 = 1 2 1 2 0 1 −1 0 (cid:32) 1 0 0 −1 0 1 0 0

Đại số Lie của G = SL(2, R) là g = sl(2, R) = (cid:104)H, X, Y (cid:105)R trong đó (cid:32) (cid:33) (cid:33) (cid:32) (cid:33) 0 1 0 0 (cid:32) 1 0 H = , X = , Y = , 0 0 1 0 0 −1

thỏa mãn hệ thức giao hoán tử Cartan:

[H, X] = 2X; [H, Y ] = −2Y ; [X, Y ] = H.

Đại số Lie của A là a = (cid:104)H(cid:105)R, đại số Lie của N là n = (cid:104)X(cid:105)R. Đại số Lie của B là

b = a ⊕ n = (cid:104)H, X(cid:105)R.

Đại số con Cartan phức hóa của g là một đại số con phức

h = (cid:104)H(cid:105)C ⊂ gC = g ⊗R C,

trùng với đại số Lie của nhóm con chuẩn hóa trong gC. Nhóm con Cartan là nhóm con của G sao cho đại số Lie của nó chính là đại số con Cartan nói trên. Hệ nghiệm của (g, h) là

Σ = {±α}, α = (1, −1) ∈ Z(1, −1) ⊂ R(1, −1).

∼= R∗. Có thể chọn nghiệm dương α = (1, −1). Có một nhóm compact Cartan T = K = O(2), vectơ đối nghiệm là Hα = (1, −1) và nhóm con Cartan của B là H = Z/2Z × R∗ +

Định nghĩa 2.1 ([22]) Một nhóm con nội soi của G = SL(2, R) là thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong tâm hóa của một phần tử chính

quy nửa đơn trong G.

Mệnh đề 2.1 Nhóm con nội soi của G = SL(2, R) là chính nó hoặc SO(2).

Chứng minh: Các phần tử nửa đơn chính quy của SL(2, R) có dạng sau g = diag(λ1, λ2), λ1λ2 = 1. Nếu λ1 (cid:54)= λ2, tâm hóa của g là tâm C(G) = {±1} của nhóm SL(2, R).

Nếu λ1 = λ2 và chúng thuộc tập số thực, tâm hóa của g chính là nhóm SL(2, R). Nếu λ1 = λ2 là các số phức và có phần argument đối nhau, chúng ta có g = ± diag(eiθ, e−iθ). Trong trường hợp này thành phần liên thông (cid:50) của phần tử đồng nhất của tâm hóa là SO(2). Nhận xét: Nhóm nội soi SL(2, R) hay tâm {±1} là nhóm tầm thường

và chỉ có nhóm nội soi không tầm thường là SO(2).

2.2. Biểu diễn tự đẳng cấu

Trong mục này chúng tôi tính toán phép dựng biểu diễn tự đẳng cấu

dựa vào bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 (xem [7]) Tồn tại tương ứng một - một giữa các biểu diễn 2n−1

chiều bất khả quy của SO(3) và các biểu diễn n chiều của SO(2).

Chứng minh: Tồn tại một dãy khớp ngắn

1 −−−→ {±I} −−−→ SU(2) −−−→ SO(3) −−−→ 1.

Cho nên các biểu diễn của SO(3) thu được từ các biểu diễn của SU(2), các

biểu diễn unita bất khả quy [14] của SU(2) là các biểu diễn có trọng trội. Các đặc trưng của biểu diễn trọng 2n − 1, n = 1, 2, . . . là chiều của biểu

diễn tiêu chuẩn của SO(3) [27]

χ2n−1(k(θ)) = sin(2n − 1)θ sin θ

trong đó (cid:32) (cid:33)

k(θ) = . sin θ cos θ − sin θ cos θ

Mặt khác SO(2) = k(θ) và các biểu diễn unita bất khả quy [14] là 1 chiều (cid:50) tương ứng với các biểu diễn của SO(3).

Phân tích Iwasawa (xem [27]) AN K được biết đến như sau: mọi phần (cid:32) (cid:33)

tử g = ∈ SL(2, R) có một phân tích duy nhất ở dạng sau:

(cid:33) (cid:32) (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) a b c d (cid:33) (cid:32) cos θ − sin θ a b = , (2.1) y1/2 0 0 y−1/2 1 y−1/2x 0 1 sin θ cos θ c d

trong đó (cid:40)(cid:32) (cid:33) (cid:41) 1 x N = , x ∈ R 0 1

là căn lũy đơn của nhóm con Borel B,

(cid:40)(cid:32) (cid:33) (cid:41)

A = , y ∈ R∗ y1/2 0 0 y−1/2

là xuyến xòe trong nhóm con Cartan, và (cid:33) (cid:40)(cid:32) (cid:41)

K = , θ ∈ [0; 2π) cos θ sin θ − sin θ cos θ

là nhóm con compact cực đại.

Mỗi dạng modular f ∈ Sk(Γ) của trọng k trên mặt phẳng Poincaré H = SL(2, R)/ SO(2), chúng ta cho liên kết với dạng tự đẳng cấu ϕf ∈ Ak(SL(2, R)) (trong đó Ak(SL(2, R)) là không gian các dạng tự đẳng cấu) cho bởi (cid:33) (cid:19) (cid:18) (cid:32) a b = yk/2eikθf (x + iy), ϕf c d

trong đó x, y, θ được lấy từ phân tích Iwasawa (2.1).

, Các biểu diễn chuỗi rời rạc trên các hàm trong L2(H, µk), µk = yk dxdy y2

mà có trọng k được thể hiện bằng công thức: (cid:18) (cid:32) (cid:33) (cid:19) a b f (z) = (cz + d)−kf (z), πk c d

được ký hiệu là Dk. Các nhọn của biểu diễn tự đẳng cấu được thể hiện trong không gian oL2(Γ\ SL(2, R)) của các dạng tự đẳng cấu.

Định lý 2.1 (xem [4]) Tập của các toán tử bện của SL(2, R) từ các biểu diễn chuỗi rời rạc đến tập các biểu diễn tự đẳng cấu trong oL2(Γ\ SL(2, R)) của SL(2, R) đẳng cấu với tập Sk(Γ) của các dạng modular, tức là

HomSL(2,R)(Dk, oL2(Γ\ SL(2, R)) ∼= Sk(Γ).

Chứng minh: Thật vậy với mỗi toán tử bện A ∈ HomSL(2,R)(Dk, oL2(Γ\ SL(2, R)) chúng ta có thể xây dựng L - chuỗi [4] liên kết với một phần tử trong Sk(Γ); và đảo lại, bắt đầu từ một dạng modular f ∈ Sk(Γ) chúng ta xây dựng L- chuỗi tương ứng Lf . Tồn tại duy nhất toán tử bện A sao cho L - chuỗi của (cid:50) nó bằng Lf .

2.2.1. Tương ứng Langlands hình học

V. Drinfel’d đã đưa ra tương ứng Langlands hình học tổng quát sau

đó E. Frenkel, D. Gaitsgory và Vilonen đã chứng minh [11] tương ứng tổng quát đó và nó trở thành tương ứng Langlands hình học (GLC) cho

nhóm đại số reductive tổng quát. Sau đây chúng tôi sẽ xác định GLC trong trường hợp cụ thể là nhóm SL(2, R).

Định lý 2.2 Tồn tại một song ánh:

f : [π1(Σ), SO(3)] −→ A(SL(2, R))

với [π1(Σ), SO(3)] là tập của các lớp tương đương của biểu diễn của nhóm cơ bản π1(Σ) trên diện Riemann Σ = Γ\ SL(2, R)/ SO(2), A(SL(2, R)) là tập các lớp tương đương của biểu diễn tự đẳng cấu của SL(2, R).

Chứng minh: Định lý đã được chứng minh trong trường hợp tổng quát

cho nhóm reductive [11]. Tương ứng Langlands hình học là tương ứng một-một giữa các lớp đồng luân từ nhóm cơ bản π1(Σ) của diện Riemann Σ đến nhóm đối ngẫu Langlands LG và tập của các lớp tương đương của biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm reductive G. Trong trường hợp cụ thể là

SL(2, R) nhiều tính toán đã được đơn giản đi rất nhiều, và cũng chính là những gì chúng tôi muốn chỉ ra ở phần này.

Ý tưởng chính để chứng minh định lý được thể hiện qua hai ý chính

như sau:

Thứ nhất: Chúng ta biết rằng mỗi phần tử của SO(3) liên hợp với một phần tử nào đó của nhóm con cực đại SO(2) của SL(2, R). Vì thế tập của các đồng cấu từ π1(Σ) đến SO(3) chính là tập của các đặc trưng của nhóm con Borel của SL(2, R) (tức là nhóm con parabolic cực tiểu) tương ứng với biểu diễn chuỗi rời rạc cảm sinh.

Bổ đề 2.2 (xem [2]) Tồn tại tương ứng một-một giữa các lớp liên hợp của SO(3) và đặc trưng cảm sinh của biểu diễn chuỗi rời rạc của nhóm SL(2, R).

Thứ hai: Hơn thế nữa, điều kiện Γ-bất biến cũng giống như điều kiện mở rộng được của đặc trưng địa phương của thành phần liên thông tự

đẳng cấu lên biểu diễn của nhóm con dừng lớn hơn.

Bổ đề 2.3 (xem [2]) Mọi biểu diễn của nhóm cơ bản π1(Σ) trong SO(3) được xác định bởi một hệ các lớp liên hợp trong SO(3).

Và sử dụng thêm bổ đề sau chúng ta sẽ suy ra được điều phải chứng minh.

Bổ đề 2.4 (xem [2]) Mỗi hệ các lớp liên hợp trong Bổ đề 2.3 xác định duy nhất dạng modular trên H và do đó cũng xác định duy nhất một biểu diễn tự đẳng cấu của SL(2, R).

(cid:50)

2.2.2. Lượng tử hóa hình học

Ý tưởng của việc thể hiện các biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie

reductive thông qua phương pháp lượng tử hóa hình học đã được làm trong [5]. Trong phần này chúng tôi chỉ ra các tính toán cụ thể cho nhóm SL(2, R).

Định lý 2.3 Các biểu diễn tự đẳng cấu có thể thu được từ quy tắc lượng tử hóa trường theo tương ứng Langlands hình học.

Chứng minh: Biểu diễn chuỗi rời rạc có thể được thể hiện thông qua lượng tử hóa hình học như sau:

Thứ nhất: Không gian biểu diễn của biểu diễn chuỗi rời rạc bao gồm

∞ (cid:88)

các hàm chỉnh hình, bình phương khả tích.

n=0

f (z) = (2.2) cnzn; |cn|2 < ∞.

Bổ đề 2.5 Không gian Hardy các hàm bình phương khả tích chỉnh hình

có thể được thể hiện như không gian mũ Fock các hàm của các biểu diễn chính quy của SO(2) trong C.

∞ (cid:88)

Vì vậy mỗi chuỗi hội tụ kiểu (2.2) có thể được biểu diễn như sau:

n=0

f (z) = ; |cn|2 < ∞ n!cn zn n!

∞ (cid:77)

trong không gian véc tơ mũ

n=0

(2.3) EXP C = , C⊗n ∼= C. C ⊗n n!

Thứ hai: Bây giờ, chúng ta lý giải cách làm để thu được biểu diễn như

kết quả của phép lượng tử hóa hình học trong [5]. Ý tưởng chính của lượng

tử hóa trường như sau: Biểu diễn của đại số Lie ví dụ như đại số loop trên một diện Riemann thích hợp, sau đó sử dụng công trình của Kapustin-

Witten kết hợp với việc xây dựng các đối xứng trong của phương pháp lượng tử hóa hình học với việc xây dựng biểu diễn với trọng trội dương của đại số loop. Được biết rằng đại số Lie sl(2, R) với 3 phần tử sinh sl(2, R) = (cid:104)H, X, Y (cid:105)R, trong biểu diễn cảm sinh của chuỗi rời rạc tác động thông qua tác động của các nhóm con một tham số

(cid:32) (cid:33)

, g1(t) = exp(t(X − Y )) = sin t cos t − sin t cos t

(cid:33) (cid:32)

, g2(t) = exp(t(X + Y )) =

(cid:32) cosh t sinh t sinh t cosh t (cid:33)

. g3(t) = exp(tH) = et 0 0 e−t

n ta có

n (gk(t)) = eit ˆUk π±

Theo biểu diễn π±

và các hệ thức sau:

+ (n + 1), i ˆU3 = ˆH = 2z ∂ ∂z

− (n + 1)z, i ˆU1 = ˆX − ˆY = −(1 + z2)

− (n + 1)z. i ˆU2 = ˆX + ˆY = (1 − z2) ∂ ∂z ∂ ∂z

Trong biểu diễn này, tác động của phần tử ∆ là:

2 − ˆU 2 3 )

∆ =

= ( ˆU 2 1 − ˆU 2 ( ˆX − ˆY )2 − ( ˆX + ˆY )2 − ( ˆH)2(cid:17) (cid:16)

−1 4 −1 4 1 ( ˆH 2 + 4 ˆX ˆY ) 4

(cid:19) = −y2 . = = (z − ¯z)2 ∂2 ∂z∂ ¯z (cid:18) ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y

Tác động này có thể xem như tác động của đại số loop trên diện Riemann Σ với các giá trị trong SO(2), các phần tử của đại số loop được đưa ra

∞ (cid:88)

trong dạng chuỗi Laurent với các giá trị trong đại số Lie tương ứng trong biểu diễn

n=−∞

T (z) = cnzn, cn ∈ so(2), z ∈ Σ.

Trong trường hợp đang xét đại số Lie so(2) là một chiều và chúng ta có các hệ số cn, bằng số với n ∈ Z. Thứ ba: Chúng ta phải kết hợp với bổ đề sau để suy ra điều phải chứng

minh.

Bổ đề 2.6 Phân tích (2.3) của EXP C chỉ ra sự phân tích trọng của sl(2, R) theo trọng H, X tác động như toán tử sinh và Y tác động như toán tử triệt tiêu.

Chứng minh: Biểu diễn trọng thấp nhất của đại số loop được thực hiện

thông qua biểu diễn trọng thấp nhất của đại số Virassoro như sau. Xét phần tử sinh (cid:90) zn+1T (z)dz Ln =

cho bất kỳ phần tử

T (.) : Σ → SO(2)

từ biểu diễn của đại số loop được biểu diễn trong không gian Fock của biểu

diễn chuẩn. Các phần tử sinh này thỏa mãn hệ thức của đại số Virasoro

L0, [Lm, Ln] = (n − m)Lm+n + δn,−m n(n2 − 1) 12

(cid:50) trong đó một biểu diễn bất khả quy Z = cL0 = cI là phần tử tâm.

2.3. Công thức vết Arthur-Selberg

2.3.1. Công thức vết

Chúng ta tính công thức vết cho nhóm cụ thể là SL(2, R) theo phương pháp của Arthur-Selberg. Với H = SL(2, R)\ SO(2) là kí hiệu cho nửa mặt phẳng Poincaré phía trên:

H = {z = x + iy ∈ C|(cid:61)z = y > 0},

Γ là kí hiệu cho nhóm con Langlands rời rạc kiểu hữu hạn với số nhọn hữu hạn κ1, . . . , κh. Cho

(cid:40) (cid:32) (cid:41)

γ = b ∈ Z Γ0 = 1 b 0 1 (cid:33)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

và

Γi = {σ ∈ Γ|σκi = κi},

σi ∈ SL(2, R), i = 1, h. Biết σiΓiσ−1 i = Γ0, H = L2(Γ\G) là không gian của các hàm bình phương khả tích trên G, và biểu diễn chính quy R của G được xác định như sau:

(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) a b a b ), z ∈ H, ∈ SL(2, R). [R( )f ](z) = f ( az + b cz + d c d c d

(cid:40)(cid:32) (cid:41) 1 x Đặc biệt, đối với căn lũy đơn N = x ∈ R thì tác động của 0 1 (cid:33)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

biểu diễn chính quy lên các phần tử ma trận của nhóm này chính là tác (cid:32) (cid:33)

động tịnh tiến theo biến z đến biến z + x. Thật vậy [R( )f ](z) = 1 x 0 1 (cid:32) (cid:33)

f ( ) = f (z + x). (cid:33) (cid:32) z 1

1 x 0 1 Cho hàm bất kỳ ψ : N \H → C, theo biến y giảm đủ nhanh khi y tiến

đến 0 hoặc ∞, một chuỗi θ xác định như sau:

i σz)

σ∈Γi\Γ

(cid:88) ψ(σ−1 θi,ψ(z) =

thuộc lớp L2(N ∩ Γ\H). Ký hiệu

Θ = {θi,ψ|∀ψ, t} ⊂ L2(Γ\H)

là không gian của các chuỗi θ không đầy đủ (xem [19]).

Chúng ta biết rằng phần bù trực giao Θ⊥ của Θ trong L2(Γ\H) đẳng cấu với không gian H0 của các dạng nhọn parabolic [19], hay nói cách khác dạng tự đẳng cấu với số hạng hằng Fourier là 0 của biểu diễn tự đẳng cấu, H = Θ ⊕ H0.

Xét đại số Hecke H(SL(2, R)) gồm các toán tử Hecke đối hợp có dạng như sau. Cho F : H → C là một hàm K- bất biến tương ứng với biến đổi có dạng z (cid:55)→ γz, cho mọi γ ∈ K. Một hàm số như vậy được xác định duy

nhất bởi một hàm số trên K\G/K, gọi là hàm cầu F trên G là hàm bất biến trái và phải bởi K. Với tích chập các hàm này tạo thành đại số Hecke

gồm các toán tử Hecke tác động bởi tích chập trong biểu diễn. Các toán

tử Hecke có nhân có công thức sau:

(cid:90) (F ∗ f )(z) = F (g(cid:48)−1g)f (g(cid:48))dg(cid:48)

(cid:90) k(z, z(cid:48))f (z(cid:48))dz(cid:48) =

Γ\H

γ∈Γ

(cid:90) (cid:88) = k(z, γz(cid:48))f (z(cid:48))dz(cid:48),

Γ\H

(cid:90) K(z, z(cid:48))f (z(cid:48))dz(cid:48), =

γ∈Γ

√ trong đó f là hàm tự đẳng cấu bất kỳ f (γz) = f (z), ∀γ ∈ Γ, z = gi, z(cid:48) = g(cid:48)i, i = −1, (cid:88) K(z, z(cid:48)) = k(z, γz(cid:48)).

Ký hiệu tổng của nhân tại các nhọn là

h (cid:88)

i γz(cid:48))dx,

−∞

i=1

γi∈Γi\Γ

(cid:90) +∞ (cid:88) H(z, z(cid:48)) = Hi(z, z(cid:48)) = K(z, γin(x)γ−1

với γi là một biến đổi tuyến tính trong G sao cho γ−1 i Γiγi = Γ0. Toán tử Hecke với nhân K(z, z(cid:48)) có cùng phổ như toán tử có nhân K ∗(z, z(cid:48)) = K(z, z(cid:48)) − H(z, z(cid:48)). Nhân K ∗(z, z(cid:48)) bị chặn và miền cơ bản Γ\H có thể tích hữu hạn [19], vì vậy nhân K ∗(z, z(cid:48)) là lớp L2 trên D × D, D = Γ\H, và các toán tử Hecke là toán tử compact. Các toán tử Hecke làm cho mỗi thành phần bất khả quy của Θ⊥ bất biến và vì thế là vô hướng trên mỗi biểu diễn tự đẳng cấu. Trên mỗi thành phần bất khả quy, toán tử Laplace cũng

có một giá trị riêng cố định

(cid:19) , ∆ = −y2 . ∆f = λf, λ = s(s − 1) 4 (cid:18) ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2

Vì thế đã có thể suy ra định lý phân tích phổ cho phần rời rạc của biểu

diễn chính quy.

B χλ,ε, với χ : B −→ C ∗ là một

Định lý 2.4 (Phân tích phổ) (xem [7]) Cho không gian biểu diễn cảm sinh của IndG

biểu diễn 1 chiều bất khả quy của B ∈ G được xác định bởi:

(cid:33) (cid:19) χ = sign(a)ε|a|s, ε = 0, 1. (cid:18) (cid:32) a 0 0 a−1

Trong không gian biểu diễn cảm sinh chọn (cid:40) (cid:32) (cid:33) (cid:41)

f ∈ H|π( )f = einθf Hn = sin θ cos θ − sin θ cos θ

là các không gian một chiều và

n∈Z

(cid:77) H = Hn.

n trong không gian (cid:77)

Khi ấy phần rời rạc R|oL2(Γ\ SL(2,R)) của biểu diễn chính quy được phân tích thành tổng của các biểu diễn rời rạc π±

s+1 =

n≡ε( mod 2),n≥m

D+ Hn

s+1 =

n≡ε( mod 2),n≤−m

1 hay D−

1 như hai thành phần của biểu diễn π0,1 = IndG

−m

hay (cid:77) D− Hn,

0 (G), π±

n (ϕ) là n là lớp vết của biểu diễn và cũng là một hàm suy rộng n được xác định duy nhất bởi hạn chế của chúng

s ∈ Z, s > 0 và s + 1 ≡ ε( mod 2). Tồn tại m ∈ Z, m = s + 1, m > 0, cảm sinh từ χiλ,ε = |a|iλ(sign a)ε và biểu diễn giới hạn của chuỗi cơ bản π± 0 trong D+ B χ0,1, cảm sinh từ đặc trưng χ0,1. Nhận xét Trong không gian (cid:76) diễn hữu hạn chiều Vm được xác định. Từ đó ta có:

Hệ quả 2.1 (xem [20]) Cho ϕ là hàm bất kỳ thuộc lớp C ∞ một biểu diễn, Θ± (theo Harish-Chandra). Θ± trên nhóm con compact cực đại K = SO(2). Khi đó ta có

n )Θ±

n (ϕ),

n∈Z,n≥0,

(cid:88) tr R(ϕ) = m(π±

n ) là bội của biểu diễn bất khả qui π± n .

với m(π±

2.3.2. Công thức vết ổn định

Nhóm Galois Gal(C/R) = Z2 của trường phức C tác động trên các trọng của biểu diễn có trọng bởi đặc trưng κ(σ) = ±1. Vì vậy tổng các đặc

∞ (cid:88)

trưng có thể được viết như tổng trên các lớp ổn định của các đặc trưng.

n=1

k(π)=±1

(cid:88) tr R(f ) = k(π)Θn(f ).

Chú ý 2.2 Công thức vết ổn định (xem [22]) được xác định duy nhất bởi

hạn chế của nó trên nhóm con compact cực đại K = SO(2)

n − Θ− Θ+ n eiθ − e−iθ =

. SΘn = sin nθ sin θ

2.4. Nội soi

Ý tưởng chính để tính được phép chuyển nội soi đã được giải thích trong Labesse [22], chúng tôi sẽ làm chi tiết hơn vấn đề tính toán này trong 2

trường hợp sau:

Trường hợp 1 : γ = diag(a, a−1). Trong trường hợp này dựa vào phân tích ở dạng Iwasawa cho mỗi phần tử của nhóm G = SL(2, R), tích phân quỹ đạo được tính là:

Gγ\G

(cid:90) f (x−1γx)d ˙x Oγ(f ) =

(cid:90) f (u−1γu)du =

U (cid:90)

(cid:32) (cid:33)−1 (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)

= )dx f ( 1 x 0 1 1 x 0 1 0 a 0 a−1

(cid:33) (cid:33) (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:32) (cid:90) 1 x 1 −x )dx = f ( 0 1 1

0 a 0 a−1 (cid:33) 0 (cid:32) (cid:90) = f ( )dx = |a − a−1|−1Oγ( ˜f ), a (a − a−1)x 0 a−1

trong đó ˜f là kết quả của tích phân theo biến x. Tích phân là hội tụ tuyệt đối, hội tụ đều và vì vậy nó là một hàm trơn

+. Vì thế phép chuyển nội soi trong trường hợp này là:

của a ∈ R∗

f H(γ) = ∆(γ)Oγ(f ), ∆(γ) = |a − a−1|

(cid:32) (cid:33) là một hàm trơn trên nhóm nội soi H. cos θ sin θ . Vẫn dựa vào phân tích Trường hợp 2 : γ = kθ = − sin θ cos θ

Iwasawa của mỗi phần tử trong G để tính tích phân quỹ đạo, ta được công thức sau:

Gk(θ)\G

(cid:90) f (k−1u−1a−1k(θ)auk)dx dθ Ok(θ)(f ) = dy |y|

Gk(θ)\G

(cid:90) f (u−1a−1k(θ)au)dx = dθ dy |y|

Gk(θ)\G

(cid:33) (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:90) cos θ sin θ 1 x 1 −x dθ = f ( )dx dy |y| − sin θ cos θ a 0 0 a−1 0 1 0 1

a−1 0 a 0 (cid:32) (cid:33) (cid:90) ∞ t sin θ ˜f ( )dt, = cos θ

cos θ −t−1 sin θ ˜f là kết quả của tích phân theo biến x.

0 (G) nên kết quả là một hàm F (sin θ). Vì hàm f có giá compact, do đó tích phân trên

Vì f là một phần tử của đại số Hecke, tức là f thuộc lớp C ∞

hội tụ tại +∞. Mặt khác tại điểm khác 0, chúng ta có thể khai triển hàm F thành công thức Taylor-Lagrange cấp 1 tương ứng với λ = sin θ → 0

F (λ) = A(λ) + λB(λ),

trong đó A(λ = F (0)) và B(λ) là số hạng chỉnh lỗi theo giá trị trung

(cid:33) (cid:32)√ (cid:33) (cid:33) (cid:32) (cid:33) gian θ do đó cần phải tìm công thức cụ thể hơn tại các giá trị trung gian τ, 0 ≤ τ ≤ t. Chú ý rằng do (cid:32)√ (cid:32)

√ √ = 1 − λ2 −t−1λ tλ 1 − λ2 t1/2 0 0 t−1/2 1 − λ2 λ λ 1 − λ2 t−1/2 0 0 t1/2

nên chúng ta có

(cid:18) (cid:32)√ (cid:33) (cid:19) (cid:90) +∞ √ sign(t − 1)f B(λ) = = dt|t=τ dF (τ ) dλ d dλ 1 − λ2 −t−1λ tλ 1 − λ2

(cid:18) (cid:32)√ (cid:90) +∞ √ sign(t − 1)g = , (cid:33) (cid:19) dt t tλ 1 − λ2

1 − λ2 −t−1λ 0 (N ) và g(λ) ∼= O(−t−1λ)−1,

trong đó g ∈ C ∞ đồng thời có

B(λ) ∼= ln(|λ|−1)g(1)

là số hạng hằng và vì thế là số hạng liên tục.

(cid:18) (cid:32) (cid:33) (cid:19) (cid:90) ∞ A = F (0) = |λ|−1 f du − 2f (I2) + o(λ). 1 sign(λ)u 0 1

Do đó hàm số

G(λ) = |λ|(F (λ) + F (λ))

và

H(λ) = λ(F (λ) − F (−λ))

N (cid:88)

có phân tích Fourier là

n=0

N (cid:88)

G(λ) = (an|λ|−1 + bn)λ2n + o(λ2N )

n=0

H(λ) = hnλ2n + o(λ2N )

theo λ = sin θ.

Tóm lại, chúng ta thấy rằng trong trường hợp γ = k(θ) cũng tồn tại

một phép chuyển nội soi là hàm số liên tục f H thỏa mãn:

f H(γ) = ∆(γ)(Oγ(f ) − Owγ(f )) = ∆(k(θ))SOγ(f ),

trong đó ∆(k(θ)) = −2i sin θ, SOγ(f ) = (Oγ(f ) − Owγ(f )) [22].

Định lý 2.5 (xem [22]) Tồn tại một hàm số ε : Π → {±1} sao cho trong nhóm Grothendieck của vành biểu diễn chuỗi rời rạc có

π∈Π

(cid:88) ε(π)π, σG =

ánh xạ σ (cid:55)→ σG là ánh xạ đối ngẫu của biến đổi hình học, nếu cho bất kì f trong G = SL(2, R) thì tồn tại duy nhất f H trên nhóm con nội soi H của SL(2, R) nên ta có hệ thức sau:

tr σG(f ) = tr σ(f H),

trong đó Π là L-gói của phép biểu diễn của G = SL(2, R).

∼= D(R, H, G), chúng ta có phép lập

Chứng minh: Có một song ánh Πµ cặp

(cid:104)., .(cid:105) : Πµ × K(R, H, G) → C.

Dựa vào song ánh chúng ta có:

π∈ΠΣ

(cid:88) (cid:104)s, π(cid:105) tr π(f ). tr Σν(f H) =

(cid:50)

Tính các trường hợp có thể có của các nhóm con nội soi H = SO(2)

hay SL(2, R). Cho mỗi nhóm, có một phép nhúng

η : LH (cid:44)→ LG.

Cho ϕ : DWR → LG là tham số Langlands, tức là một đồng cấu từ nhóm Weil-Deligne DWR = WR (cid:110) R∗ + vào nhóm đối ngẫu Langlands, Sϕ là tập của các lớp liên hợp của tham số Langlands. Cho bất kỳ s ∈ Sϕ, ˇHs = Cent(s, ˇG)◦ thành phần liên thông của nhóm con tâm của s ∈ Sϕ chúng ta có ˇHs liên hợp với H. Theo D. Shelstad cặp

(cid:104)s, π(cid:105) : Sϕ × Π(ϕ) → C

ε(π) = c(s)(cid:104)s, π(cid:105).

Vì thế, mối quan hệ

π∈Π

σ∈Σs

(cid:88) (cid:88) tr σ(f H) = ε(π) tr π(f )

có thể được định nghĩa lại như sau:

s∈Π

(cid:88) (cid:104)s, π(cid:105) tr π(f ) (cid:101)Σs(f H) :=

và

σ∈(cid:101)Σs

tr σ(f H). (cid:101)Σs(f H) := c(s)−1 (cid:88)

Từ những chứng minh trên chúng ta đi đến kết quả cuối cùng chính là công thức vết của biểu diễn:

Định lý 2.6 (xem [22])Cho π(f ) là một biểu diễn chuỗi rời rạc trên nhóm SL(2, R), khi đó

s∈Sϕ

(cid:88) tr π(f ) = (cid:104)s, π(cid:105) ˜Σs( ˇf H). 1 #Sϕ

2.5. Công thức tổng Poisson

Trong mô tả của Langlands về công thức tính vết, vết của thu hẹp của một biểu diễn chính quy trên phần parabolic nhọn là trùng với vế phổ và

vế hình học, xem trong Labesse [22].

γ∈Γ∩H

(cid:88) (cid:88) m(π) ˆf (π) = ˆf (γ). aG γ

Chúng ta cùng làm chi tiết hơn cho SL(2, R).

2.5.1. Vế hình học của công thức vết

Định lý 2.7 Công thức vết cho biểu diễn chính quy của SL(2, R) trong không gian các dạng nhọn được phân tích thành tổng của các vết của các

biểu diễn tự đẳng cấu với bội hữu hạn được chuyển thành công thức tổng Poisson cải biên

H\G

γ∈Γ∩H

(cid:90) (cid:88) (cid:88) ε(γ)vol(Γ ∩ H) f (x−1γx)dx, ε(γ)Oγ(f ) =

trong đó Oγ(f ) là tích phân quỹ đạo, vol(Γ ∩ H) là thể tích của Γ ∩ H.

Chứng minh:

Dễ thấy rằng hạn chế của toán tử ∆ trên nhóm con Cartan H là elliptic

và vì thế bài toán Cauchy cho các biến có nghiệm duy nhất. Nghiệm là

công thức vết cho phần nhọn parabolic của biểu diễn chính quy,

γ∈Γ∩H

(cid:88) (2.4) ε(γ)Oγ(f ). tr R(f )|oL2(Γ\G) =

Từ vế còn lại chúng ta có

H\G

γ∈Γ∩H

(cid:90) (cid:88) ε(γ) Vol(Γ ∩ H) f (x−1γx)dx tr R(f )|oL2(Γ\G) =

γ∈Γ∩H

(cid:88) = ε(γ) Vol(Γ ∩ H)SOγ(f H),

(cid:50) trong đó SOγ(f ) = (Oγ(f ) − Owγ(f )).

2.5.2. Vế phổ của công thức vết

Theo kết quả đã biết, (xem [13], Chương 1)

Định lý 2.8 (Gelfand-Graev-Piateski-Shapiro) Cho hàm bất kỳ f ∈ 0 (SL(2, R)) có giá compact, toán tử R(f )|oL2(Γ\ SL(2,R)) là lớp vết và mỗi C ∞ thành phần bất khả quy của bội hữu hạn

π∈A(SL(2,R))

(cid:88) m(π)π(f ), R(f )|oL2(Γ\ SL(2,R)) =

trong đó m(π) = dimCHomSL(2,R)(Dk, oL2(Γ\ SL(2, R)).

2.5.3. Công thức tổng Poisson

Kết hợp các công thức cho vế phổ và vế hình học ta đi đến công thức

Poisson.

Định lý 2.9 Vết tr R(f ) của thu hẹp của biểu diễn chính quy trên phần parabolic nhọn oL2(G) được tính bởi công thức sau:

π∈tr A(G)

γ∈Γ∩ ˜H ε(γ)=±1

(cid:88) (cid:88) m(π)π(f ) = tr ε(γ)vol(Γ ∩ ˜H)Oγ(f )

γ∈Γ∩H

(cid:88) = vol(Γ ∩ H)SOγ(f H)

Chứng minh:

Chứng minh định lý này được kết hợp từ các định lý trước: Định lý 2.7

và Định lý 2.8. Vì

γ∈Γ∩H

(cid:88) ε(γ)Oγ(f ) tr R(f )|oL2(Γ\G) =

γ∈Γ∩H

và (cid:88) ε(γ) Vol(Γ ∩ H)SOγ(f H), tr R(f )|oL2(Γ\G) =

kết hợp với định lý trên

π∈A(SL(2,R))

(cid:88) m(π)π(f ). tr R(f )|oL2(Γ\ SL(2,R)) = tr

Cho 3 vế phải của 3 biểu thức trên bằng nhau ta được điều phải chứng (cid:50) minh.

Kết luận chương 2

Trong chương này chúng tôi đã thu được các kết quả chính sau đây:

• Thực hiện cụ thể chi tiết việc mô tả các biểu diễn tự đẳng cấu của

SL(2, R).

• Mô tả chi tiết các nhóm con nội soi.

• Tính toán các tích phân quỹ đạo và từ đó dẫn đến công thức Poisson

tổng quát cho SL(2, R)(Định lý 2.9).

Chương 3

Nhóm hạng 2

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu cách sử dụng lý thuyết nội

soi và tính toán công thức tổng Poisson cho một số nhóm hạng 2 như: SL(3, R); SU(2, 1); Sp(4, R) tương tự như những tính toán mà chúng ta đã thu được ở chương trước.

3.1. Công thức tổng Poisson và nội soi cho SL(3, R)

Trước tiên chúng tôi giới thiệu cấu trúc nhóm và biểu diễn unita bất

khả quy của SL(3, R).

3.1.1. Biểu diễn unita bất khả quy

Nhóm SL(3, R) được xác định như sau :

SL(3, R) = {X ∈ GL(3, R)| det X = 1}.

Ký hiệu sl(3, R) là đại số Lie của SL(3, R), θ là đối hợp Cartan của nhóm G = SL(3, R) và được xác định như sau θ(X) = tX −1. Đối hợp Cartan tương ứng của đại số Lie của nó là sl(3, R) cũng được ký hiệu là θ ∈ Aut(sl(3, R)), θ(X) = −tX, X ∈ sl(3, R).

Nhóm con compact cực đại K của G là nhóm trực giao K = SO(3), đại số Lie k của nó gồm các ma trận có giá trị riêng của đối hợp Cartan bằng 1

k = {X|θ(X) = −tX = X}.

Nhóm con Borel của SL(3, R) là nhóm con parabolic cực tiểu

(cid:32) (cid:26) (cid:27) ∗ p = m ∈ U (2) . P0 = B = (cid:33) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) m 0 detm−1

Đại số Lie của B gồm toàn bộ các ma trận có giá trị riêng −1 của đối hợp Cartan,

b = {X ∈ g|θ(X) = −X}.

Có hai nhóm con Borel, một nhóm là nhóm con Borel chẻ ra [28] và một nhóm là nhóm Borel không chẻ ra. Nhóm Borel chẻ ra

 

    Bs = ti ∈ R+, t1t2t3 = 1     (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)   t1 ∗ ∗ 0 t2 ∗ 0 0 t3

cùng với nhóm con Aben cực đại A = diag(t1, t2, t3) và căn lũy đơn là

  1 ∗ ∗     U = .       0 1 ∗ 0 0 1

Nhóm con Borel compact của Bs là

 

    ±1 0 0 0 ±1 0 Ks = Bs ∩ K = ∼= Z2 = Z/2Z,       0 0 1

Bs = Z2AU . Trong trường hợp nhóm con Borel không chẻ ra

 

1t2 = 1

    ti ∈ R+, t2 Bn =     (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)   0 0 t1 cos θ t1 sin θ ∗ −t1 sin θ t1 cos θ ∗ t2

có một nhóm con Aben chẻ ra cực đại A = diag(t1, t1, t2) và căn lũy đơn

  1 0 ∗     . U =       0 1 ∗ 0 0 1

Nhóm con compact cực đại của Bn là

  ± cos θ ± sin θ 0     θ ∈ [0, 2π) Kn = K ∩ Bn =   (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)    ∓ sin θ ± cos θ 0  1 0 0

và Bn = KnAU.

Trong trường hợp nhóm con Borel chẻ ra. Nhóm SL(3, R) có phân tích Cartan dạng G = BsK, nhóm Bs được +)2,

phân tích B = M AU, M = {±1}, của xuyến chẻ ra cực đại A = (R∗ đại số Lie của A là

  0     H = a = λi ∈ R, λ1 + λ2 + λ3 = 0     (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)   λ1 0 0 λ2 0 0 0 λ3

và căn lũy đơn U = Radu B ∼= Heis3 sinh bởi các ma trận

      0 0 0 0 0 1 0 1 0

X = 0 0 0   , Y =     , Z =       , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

thỏa mãn quan hệ giao hoán Heisenberg [X, Y ] = Z

b = u ⊕ a ⊕ m

trong đó u = Lie Heis3 = (cid:104)X, Y, Z(cid:105), a = (cid:104)H1 = diag(1, −1, 0), H2 = diag(1, 0, −1)(cid:105), m = 0.

Trong trường hợp nhóm con Borel không chẻ ra Nhóm SL(3, R) có phân tích Cartan dạng G = BnK. Nhóm con Borel Bn với phân tích B = M AU của xuyến chẻ ra cực đại A, đại số Lie của nó là   0     H = a = λi ∈ R, 2λ1 + λ2 = 0     (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)   λ1 0 0 λ1 0 0 0 λ2

và căn lũy đơn U = Radu B ∼= Heis3 sinh bởi các ma trận

      0 1 0 0 0 1 0 0 0

X =   , Y =     , Z =       , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

thỏa mãn quan hệ giao hoán Heisenberg [X, Y ] = Z

b = u ⊕ a ⊕ m,

trong đó u = Lie Heis3 = (cid:104)X, Y, Z(cid:105), a = (cid:104)H1 = diag(1, 1, −2)(cid:105),

  (cid:42) (cid:43)

m ∩ b = T = . 1 0 0 −1 0 0     0 0 0

  iλ 0 0 √     . −1 Tâm C(k) = λ ∈ R, i = 0 iλ 0     (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)   0 0 −2iλ

Tồn tại một nhóm con Cartan compact h chứa các ma trận chéo

h = {diag(ih1, ih2, ih3)|h1, h2, h3 ∈ R, h1 + h2 + h3 = 0} ⊂ k.

Hệ nghiệm liên kết của nhóm này là

∆(gC, kC) = {αkl = αk − αl|αk(hl) = δkl},

ta có thể hiểu là

, 0, · · · , 0) ∈ h∗, 1 (cid:54) k (cid:54)= l (cid:54) 3.

αkl = (0, · · · , 0, 1 (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) k , 0 · · · , 0, −1 (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) l

Mặt khác hệ nghiệm con của các nghiệm compact là ∆c = {±α12} hệ nghiệm không compact là ∆n = {±β, ±2β} trong đó β là không compact sao cho   (cid:19) (cid:18) = λ. β λ 0 0 λ 0 0     0 0 −2λ

Hệ nghiệm đối ngẫu của nhóm này là

∆(gC, kC)∗ = {Hkl = Ekk − Ell}

sao cho Ekl là ma trận mà phần tử ở vị trí (k,l) là 1 hay ta có thể viết thành:

∆(gC, kC)∗ = {Hkl = Ekk − Ell}

Ekl = là ma trận mà phần tử ở vị trí (k,l) là 1.

B(πk (cid:78) χ± λ )

k = πk ⊗ χ± σ± λ .

Định lý 3.1 Biểu diễn chuỗi rời rạc của SL(3, R) thu được bởi IndG là cảm sinh từ B lên G từ tích tensor của biểu diễn bất khả quy πk, với trọng trội k của chuẩn hóa Mk = K ∩ M của phần tử nửa đơn của A trong nhóm con compact cực đại K, và một đặc trưng χ± (uak) = aiλ(sign a)(cid:15), (cid:15) = 0, 1 λ0 của phần chẻ ra A của B,

Theo phương pháp quỹ đạo, để thu được biểu diễn cảm sinh từ nhóm con

Borel B của G, trước tiên chúng tôi mô tả quỹ đạo đối liên hợp của B trong b∗.

Bổ đề 3.1 [8] (Mô tả quỹ đạo của b∗ trong trường hợp không chẻ ra). Không gian b∗ được chia thành hợp rời của của các quỹ đạo đối phụ hợp sau : a. Hai nửa không gian Ω± chứa các phiếm hàm dạng F = tT ∗ + xX ∗ + yY ∗ + zZ ∗

Ω+ = {(t, x, y, z) ∈ R4|z > 0}, Ω− = {(t, x, y, z) ∈ R4|z < 0}.

b. Một họ của các trụ với đáy hyperbolic

Ωa = {(t, x, y, z) ∈ R3 × {0}|xy = α}, α > 0.

c. Bốn nửa mặt phẳng tương ứng với trường hợp xy = 0 nhưng x (cid:54)= y

Ωx>0 = {(t, x, 0, 0) ∈ R4|x > 0},

Ωx<0 = {(t, x, 0, 0) ∈ R4|x < 0}, Ωy>0 = {(t, 0, y, 0) ∈ R4|y > 0}, Ωy<0 = {(t, 0, y, 0) ∈ R4|y < 0}.

d. Gốc tọa độ

Ω = {(0, 0, 0, 0)}.

Bổ đề này được chứng minh bằng tính toán trực tiếp tác động đối phụ

hợp. Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quỹ đạo (xem [16]), xét các hàm tuyến tính và ±Z ∗ ∈ Ω± ⊂ g∗ và quỹ đạo đối liên hợp tương ứng Ω± = G.(±Z ∗).

Bổ đề 3.2 Đại số con l = C(X ± iY ) ⊕ CZ ⊂ uC là các phân cực dương tại ±Z ∗ ∈ Ω±.

Bổ đề này cũng được kiểm chứng trực tiếp bằng tính toán sơ cấp.

3.1.2. Cảm sinh chỉnh hình

Để sử dụng được phương pháp quỹ đạo và cảm sinh chỉnh hình (xem [26]), chúng ta phải chọn một phiếm hàm khả tích λ, lấy quỹ đạo tương

ứng sau đó chọn phân cực.

c ∪ ∆+

n = {αkl, 1 ≤ k (cid:54)= l ≤ 3, β, 2β} = {α12, α32, α31}, ρ = α32, và các không gian nghiệm là gαkl C = CEkl.gβ = RX ⊕ RY và g2β = RZ. Ta chọn

Như mô tả ở trên, hệ nghiệm dương ∆+ = ∆+

α∈∆+ n

(cid:77) gα = gα32 ⊕ gα31 = CE31 ⊕ CE32 p+ =

α∈∆− n

và (cid:77) gα = gα23 ⊕ gα13 = CE13 ⊕ CE23. p− =

Ký hiệu F ⊂ (ih)∗ là tập các hàm tuyến tính λ trên hC sao cho (λ + ρ)(Hα) nguyên với bất kỳ nghiệm α ∈ ∆ trong đó Hα là đối nghiệm tương ứng của α và ρ là nửa tổng của các nghiệm dương. Mặt khác ta có tập

c } =

F(cid:48) = {λ ∈ F|λ(Hα) (cid:54)= 0, ∀α ∈ ∆},

    λ ∈ F(cid:48)

0 = {λ ∈ F(cid:48)|λ(Hα) > 0, ∀α ∈ ∆+ F(cid:48) λ(H12) ∈ N+vàλ(H31) ∈ N+ (trường hợp chỉnh hình) λ(H12) ∈ N+vàλ(H23) ∈ N+(trường hợp không chỉnh hình) λ(H12) ∈ N+vàλ(H13) ∈ N+, λ(H12) > λ(H13) trường hợp khác

  (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Sau đó để chọn được một phân cực ta chọn đại số con phức

e = p+ ⊕ kC,

sao cho

e + e = gC, e ∩ e = kC

và vì vậy chúng ta có một phân cực dương.

Khi nhóm Weyl WK = (cid:104)sα12(cid:105) được tạo bởi các phản xạ đơn sα12 với bất kỳ λ ∈ ih, −sα12λ − α32 = −sα12(λ + α31). Vì thế nếu Vλ là K− molule V ∗ λ của trọng trội λ + α31 thì K− module đối gradient của nó có trọng trội λ + α31.

Mặt khác vì G = BK = B1K, đối đồng điều tương ứng của (g, K)− module với các hệ số trong biểu diễn Vλ có thể được giảm đến một biểu diễn của B hay B1 = AU ⊂ B với đại số Lie b1 = (cid:104)S = E13 + E31, X, Y, Z(cid:105) .

3.1.3. Dãy phổ Hochschild-Serre

Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát p không phải là đại số con, vì vậy chúng tôi phải thay đổi nó bằng cách lấy đại số con h+ = C(Y + iX) ⊕ C(S − iZ/2):

e = p+ ⊕ kC = h+ ⊕ kC.

Vì vậy với

e ∩ b1 = h+, e ∩ b = h+ ⊕ mC,

thì chúng ta có thể xây dựng một dãy phổ Hochschild-Serre theo cách chọn

này.

λ của kC là biểu diễn tầm thường trên p+ mở rộng thành một biểu diễn ξ của e = p+ ⊕ kC. Tác động của h+ trong V λ+α31 là ξ + 1 2 tr adb1. Ký hiệu H± là các không gian biểu diễn T± của B Ω± và ký hiệu H∞ ± là các không gian con các véc tơ trơn. Vì dimC(pC) = 2 nên chúng ta có ∧q(h+) = 0, cho mọi q ≥ 3. Như vậy hoàn toàn có thể xác định được toán tử đối biên Hochschild-Serre như sau:

Xét một trọng trội λ + α31 và biểu diễn V ∗

± → ∧q+1(h+)∗ ⊗ V λ+α31 ⊗ H∞ ±

λ,q. Như vậy r+s=q H r(e1; H s(M ; V λ+α31 ⊗ ± )) hội tụ đến H q(B; b1, Vλ). Khi có sự hội tụ này thì ta mới có định lý

(δ±)λ,q : ∧q(h+)∗ ⊗ V λ+α31 ⊗ H∞

và bởi công thức toán tử liên hợp đối ngẫu của chúng là (δ±)∗ ta xác định được dãy phổ Hochschild-Serre (cid:76) H∞ về công thức vết của biểu diễn như sau.

N (cid:88)

Định lý 3.2 Vết của các biểu diễn chuỗi rời rạc trong trường hợp suy biến là tổng hữu hạn của các hệ thức vết, tức là nếu

0 (P/U ), hi ∈ C ∞

0 (M A)

i=1

f = fihi, fi ∈ C ∞

và dãy phổ Hochschild-Serre là hội tụ, có thể viết như sau

p+q=n

(cid:77) H p(M A; H q(U ; V )) =⇒ H n(P ; V )

N (cid:88)

thì

n (f ) =

k (hi)|H p(M A;C) tr χ±

k |H q(U ;V ).

i=1

tr π± tr σ±

3.1.4. Nội soi

Trong phần này chúng tôi sẽ xây dựng tường minh công thức vết Arthur- Selberg trên nhóm SL(3, R) theo cách hoàn toàn tương tự như cách mà chúng tôi đã xây dựng công thức vết trên nhóm SL(2, R). Ta xét 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: γ = diag(a1, a2, a3),

Gγ\G

(cid:90) a1a2a3 = 1 và a1, a2, a3 đôi một khác nhau. Trong trường hợp này vì phân tích Iwasawa nên tích phân quỹ đạo được tính như sau: (cid:90) f (u−1γu)du f (x−1γx)dx = Oγ(f ) =

U −1 

     1 x z 1 x z (cid:18) (cid:19) (cid:90) = dxdydz f 0 1 y 0 1 y             0 0 1

 a1 0 0 0 a2 0 0 0 a3   0 0 1    1 −x yx − z 1 x z (cid:18) (cid:19) (cid:90) = f dxdydz           1 0 −y 1

 0  0  a1 0 0 0 a2 0 0 a3 0  0 1 y 0 0 1     (cid:18) (cid:19) (cid:90) = f dxdydz a1 −x yx − z 0 −y 1 1 x z 0 1 y             0 0 1 0 0 1 a1 0 0 0 a2 0 0 a3 0

      (cid:18) (cid:90) = f 1 −x yx − z 0 −y 1 1 x z 0 1 y            )dxdydz 0 0 1 a1 0 0 0 a2 0 0 a3 0

 0 0 1  (cid:90) f = a1 (a1 − a2) (a1 − a3)z − (a2 − a3)xy 0     dxdydz a2 0 0 (a2 − a3)y a3

 (cid:90) f = |a1 − a2|−1|a2 − a3|−1|a1 − a3|−1   dx(cid:48)dy(cid:48)dz(cid:48)   

a1 x(cid:48) z(cid:48) 0 a2 y(cid:48) 0 a3 0

= |a1 − a2|−1|a2 − a3|−1|a1 − a3|−1f H.

+)2. Ta có thể viết:

Tích phân trên là hội tụ tuyệt đối và đều vì vậy cũng là hàm trơn của a ∈ (R∗

1(cid:54)i

(cid:89) f H(γ) = ∆(γ)−1Oγ(f ), ∆(γ) = |ai − aj|

là hàm trơn trên nhóm nội soi H.   (cid:32) (cid:33)

Trường hợp 2: γ = = sin θ 0 cos θ − sin θ cos θ 0   kθ 0 0 1 0

0 Chúng ta lại có x = mauk ,a = diag(a1, a2, a3),   . 1 a1a2a3 = 1 và

Gk(θ)\G

(cid:90) f (k−1u−1a−1m−1k(θ)mauk)dmdudadk Ok(θ)(f ) =

Gk(θ)\G

(cid:90) f (u−1a−1m−1k(θ)mau)dmduda =

Gk(θ)\G

    (cid:18) (cid:90) f = −y 1 a−1 1 0       1 −x yx − z  0  0 0 1 0 a−1 2 0 0 0 0 a−1 3

      cos θ sin θ 0 1 x z (cid:19) dudadk(θ)             × − sin θ cos θ 0 1 0 0 0 1 y 0 0 1 a1 0 0 0 a2 0 0 a3 0

1 sin θ 0 0 cos θ

Gk(θ)\G

    a2a−1 (cid:18) (cid:90) = f 1 −x yx − z 0 −y 1       0 0 1 cos θ a−1 2 a1 sin θ 0   1 0

  1 x z (cid:19) dudadk(θ) 0 1 y     0 0 1

2 (cid:89)

i=1

  (cid:18) (cid:90) +∞ f | = c |ti − t−1   dti ti cos θ −t−1 1 sin θ 0 t1 sin θ 0  ) 0 cos θ 1 0

  (cid:19) (cid:18) (cid:90) +∞ dt, = sign(t − 1) ˜f   cos θ −t−1 1 sin θ 0 t1 sin θ 0  0 cos θ  1 0

trong đó c là hằng số và ˜f là một hàm trơn. Khi f là một phần tử của đại số Hecke, tức f ∈ C ∞ 0 (G) và hàm f là hàm có giá compact K- bất biến hai phía thì tích phân hội tụ tại +∞. Mặt khác tại một điểm khác 0 chúng ta khai triển hàm F thành dạng Taylor-Lagrange cấp 1 tương ứng

với λ = sin θ (cid:55)−→ 0. Với F (sin θ) = F (λ) = A(λ) + λB(λ) có A(λ) = F (0) và

√   (cid:18) (cid:19)(cid:19) (cid:18) (cid:90) +∞ √ B(λ) = = sign(t−1)f dt(cid:12) (cid:12)t=τ     dF (τ ) dλ d dλ 1 − λ2 −t−1λ 0 tλ 0 1 − λ2 0 1 0

0 (N ).

√   (cid:18) (cid:90) +∞ √ = sign(t − 1)g , =     dF (τ ) dλ d dλ (cid:19) dt t 1 − λ2 −t−1λ 0 0 tλ 1 − λ2 0 1 0

trong đó g ∈ C ∞ Do đó hàm số

G(λ) = |λ|(F (λ) + F (λ)),

H(λ) = λ(F (λ) − F (−λ))

N (cid:88)

có phân tích Fourier là:

n=0

N (cid:88)

G(λ) = (an|λ|−1 + bn)λ2n + o(λ2N )

n=0

H(λ) = (an|λ|−1 + bn)λ2n + o(λ2N ).

Tóm lại, với trường hợp γ = k(θ) cũng tồn tại một hàm liên tục f H sao

cho

f H(γ) = ∆(γ)(Oγ(f ) − Owγ)(f ) = ∆(k(θ))SOγ(f ),

trong đó ∆(k(θ)) = −2i sin θ.

Với các tính toán trên ta đã cho một kết quả tương tự như trong [22].

Định lý 3.3 Tồn tại một hàm ε : Π → {±1} trong nhóm Grothendieck

các biểu diễn chuỗi rời rạc sao cho,

π∈Π

(cid:88) ε(π)π, σG =

ánh xạ σ (cid:55)→ σG là ánh xạ đối ngẫu của biến đổi hình học, tức là nếu cho bất kỳ f trên G = SL(3, R) thì tồn tại duy nhất f H trên H là nhóm con nội soi của SL(3, R) khi ấy ta có

tr σG(f ) = tr σ(f H).

∼= D(R, H, G) xem trong [22], Chứng minh. Tồn tại một song ánh Πµ

chúng ta có một phép lập cặp

(cid:104)., .(cid:105) : Πµ × K(R, H, G) → C,

π∈ΠΣ

trong đó K(R, H, G) là đối ngẫu Pontryagin của E(R, H, G). Vì vậy chúng ta có (cid:88) (cid:104)s, π(cid:105) tr π(f ). tr Σν(f H) =

(cid:50) Tính các trường hợp có thể có của các nhóm con nội soi H = S1×S1×{±1}

hay SL(2, R) × {±1}. Cho mỗi nhóm nội soi đều có một phép nhúng tự nhiên

η : LH (cid:44)→ LG,

với G = SL(3, R).

Cho ϕ : DWR → LG là tham số Langlands, tức một đồng cấu từ nhóm Weil-Deligne DWR = WR (cid:110) R∗ + đến nhóm đối ngẫu Langlands và Sϕ là thành phần liên thông với tập các lớp liên hợp của tham số Langlands của ánh xạ đồng nhất. Cho bất kỳ s ∈ Sϕ, ˇHs = Cent(s, ˇG)◦ là thành phần liên thông của nhóm con tâm hóa của s ∈ Sϕ. Khi đó chúng ta có ˇHs là liên hợp với H. Theo D. Shelstad có phép lập cặp

(cid:104)s, π(cid:105) : Sϕ × Π(ϕ) → C

ε(π) = c(s)(cid:104)s, π(cid:105).

π∈Π

σ∈Σs

Vì vậy, hệ thức (cid:88) (cid:88) tr σ(f H) = ε(π) tr π(f )

có thể được viết như sau

s∈Π

(cid:88) (cid:104)s, π(cid:105) tr π(f ) (cid:101)Σs(f H) =

và

σ∈(cid:101)Σs

tr σ(f H). (cid:101)Σs(f H) = c(s)−1 (cid:88)

Từ toàn bộ các lập luận trên cho ta định lý sau đây tương tự với một kết

quả trong [22].

Định lý 3.4 Cho π là biểu diễn chuỗi rời rạc trên nhóm SL(3, R) khi đó ta có công thức tính vết của biểu diễn như sau

s∈Sϕ

(cid:88) tr π(f ) = (cid:104)s, π(cid:105)(cid:101)Σs( ˇf H). 1 #Sϕ

Trong mô tả Langlands về công thức vết, vết của thu hẹp của biểu diễn chính quy trên phần nhọn parabolic là trùng với vế phổ và vế hình học.

γ∈Γ∩H

(cid:88) (cid:88) m(π) ˆf (π) = ˆf (γ) aG γ

Chúng tôi cũng làm chi tiết vấn đề này.

3.1.5. Tích phân quỹ đạo ổn định

Nhóm Weyl phức đẳng cấu với S3 trong khi đó nhóm Weyl thực đẳng cấu với S2 . Tập của các lớp liên hợp trong một lớp liên hợp elliptic ổn định chính quy mạnh là song ánh với tập điểm S3/S2 có thể được xem như một tập điểm con của nhóm E(R, T, G) = (Z2)2. Chúng ta sẽ ký hiệu đối ngẫu Pontryagin của nhóm trên là K(R, T, G) .

Xét κ (cid:54)= 1 trong K(R, T, G) sao cho κ(H13) = −1. Như vậy κ là duy

nhất: trong thực tế nhất thiết phải có κ(H12) = κ(H13) = −1.

Nhóm nội soi H kết hợp với κ là đẳng cấu với SL(3, R) và có thể được

nhúng trong G như các ma trận có dạng

  ua

iub 0 −iuc ud 0   0 0   , 1

(cid:32) (cid:33) a b w = , ad − bc = 1vàu = ±1. c d

Cho fµ là giả hệ số (xem [22]) cho biểu diễn chuỗi rời rạc πµ khi đó

κ-tích phân quỹ đạo của phần tử chính quy γ trong T (R) được cho bởi

γ (fµ) =

Gγ\G (cid:88)

(cid:90) Oκ κ(x)fµ(x−1γx)d ˙x

µ (γ−1 w )

sign(w)=1 (cid:88)

κ(w)ΘG =

sign(w)=1

= κ(w)Θwµ(γ−1).

Vì vậy sẽ có một song ánh tự nhiên giữa lớp kề trái và lớp kề phải. Phép chuyển nội soi. Nhân tử chuyển ∆(γ, γH) của phép chuyển nội soi được xác định bởi

H )−1

∆(γ, γH) = (−1)q(G)+q(H)χG,H(γ)∆B(γ1).∆BH (γ−1

trong đó đặc trưng χG,H được xác định như sau: Cho ξ là đặc trưng thì χG,H(γ−1) = eγρ−ρH +ξ xác định một đặc trưng của H tương ứng với h. Với cách chọn như vậy chúng tôi có κ(w) = −1 và

wµ(γ) = −

H )ΘG

H − γw0wµ+ξ γwµ+ξ γρH ∆BH (γH)

. ∆(γ−1, γ−1

Vì vậy

wµ(γ−1) = κ(w)−1SOH

ν (γ−1

H ),

∆(γ, γH)ΘG

trong đó ν = wµ + ξ chạy trên L- gói (xem [22]) tương ứng của biểu diễn

chuỗi rời rạc cho nhóm nội soi H. Vì vậy chúng ta có công thức sau

γ (fµ) =

ν (γ−1

H ),

ν=wµ+ξ sign(w)=1

(cid:88) SOH ∆(γ, γH)Oκ

γ (fµ) =

ν=wµ+ξ sign(w)=1

hay (cid:88) ∆(γ, γH)Oκ SOγH (gν),

trong đó gν là giả hệ số cho bất kỳ một biểu diễn chuỗi rời rạc của nhóm nội soi H trong L- gói của µ.

Với bất kỳ

ν=wµ+ρ sign(w)=1

(cid:88) f H = a(w, ν)gν, a(w1, w2µ) = κ(w2)κ(w2w1)−1,

chúng ta có công thức

(cid:88) (cid:88) tr (f H) = a(w, ν)trπw,µ(f ).

3.1.6. Công thức tổng Poisson

Tổng hợp các kết quả tính toán trên, chúng ta đi đến kết quả chính của

mục này là công thức Poisson cho nhóm SL(3, R).

Định lý 3.5

(cid:81)

π∈(cid:81)

(cid:88) (cid:88) (cid:88) m(π)SΘπ(f ) = ∆(γ, γH)SO(fµ), tr R(f )oL2(Γ\ SL(3,R)) =

π∈(cid:81)

trong đó (cid:88) SΘπ(f ) = κ(π)Θπ(f )

là tổng của các đặc trưng Harish-Chandra của các chuỗi rời rạc chạy trên

lớp liên hợp ổn định của π và

λ∈(cid:81)

(cid:88) SO(fµ) = κ(πλ)O(fλ)

là tổng của các tích phân quỹ đạo có trọng là đặc trưng κ : Πµ → {±1}.

3.2. Công thức tổng Poisson và nội soi cho SU(2, 1)

Trước tiên chúng ta giới thiệu về cấu trúc và biểu diễn unita của nhóm

SU(2, 1).

3.2.1. Biểu diễn unita

Trong mục này chúng tôi trình bày lý thuyết biểu diễn của SU(2, 1)

bằng phương pháp quỹ đạo (xem [9]).

G = SU(2, 1) = {X ∈ GL(3, C)|tXI2,1X = I2,1},

trong đó I2,1 là ma trận của dạng toàn phương

u ∈ C3 Q(u) = |u1|2 + |u2|2 − |u3|2;

tức là   1 0 0

I2,1 =     . 0 0 1 0 0 −1

Ký hiệu su(2, 1) là đại số Lie của nhóm Lie SU(2, 1), θ là đối hợp Cartan của nhóm G = SU(2, 1). Đối hợp Cartan tương ứng cho đại số Lie su(2, 1) cũng được ký hiệu là θ ∈ Aut(su(2, 1)); θ2 = Id,

θ(X) = −tX, X ∈ su(2, 1).

Nhóm con compact cực đại K của G

(cid:40)(cid:32) (cid:41) 0 K = x ∈ U (2) (cid:33) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) x 0 det x−1

là nhóm Lie con của G, có đại số lie k gồm các ma trận với giá trị riêng là +1 (cid:40)(cid:32) (cid:41) A 0 k = A ∈ u(2) . (cid:33) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 − tr A

Nhóm con Borel của SU(2, 1) là

(cid:40) (cid:32) (cid:41) ∗ p = m ∈ U (2) , P0 = B = (cid:33) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) m 0 det m−1

mà đại số Lie của nó gồm các ma trận với giá trị riêng −1

(cid:26) (cid:27) b = X ∈ g θ(X) = −X . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Nhóm SU(2, 1) có phân tích Cartan dạng G = BK. Nhóm con Borel B được phân tích thành tích nửa trực tiếp B = M A (cid:110) U của một xuyến cực đại A, đại số Lie của nó là :

  0 0 λ     a = H = λ ∈ R .     (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)   0 0 0 λ 0 0

Và nhóm U tạo bởi các ma trận

      0 −1 0 0 −1 0 2 0 −2

X = 0 0 0   , Y =     , Z =     ,  1  0 −1 0 −1 0 −1 1 0 0 −1 0 2 0 −2

thỏa mãn hệ thức giao hoán Heisenberg [X, Y ] = Z, [X, Z] = [Y, Z] = 0. Mặt khác chúng ta có

3 diag(1, −2, 1)(cid:105) và hệ thức giao

b = m ⊕ a ⊕ u,

trong đó u = (cid:104)X, Y, Z(cid:105), a = (cid:104)H(cid:105), m = (cid:104) 1 hoán điều hòa là:

[T, X] = Y, [T, Y ] = −X, [T, Z] = 0.

Tâm C(k) của đại số Lie của nhóm SU(2, 1) là

  iλ 0 0 √     . −1 C(k) = λ ∈ R, i = 0     (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)   0 iλ 0 0 −2iλ

Có một đại số con Cartan compact h chứa các ma trận đường chéo

h = {diag(ih1, ih2, ih3)|h1, h2, h3 ∈ R, h1 + h2 + h3 = 0} ⊂ k.

Có hệ nghiệm liên kết của đại số Lie của nhóm này là

∆(gC, kC) = {αkl = αk − αl|αk(hl) = δkl}

trong đó

, 0, · · · , 0) ∈ h∗, 1 (cid:54) k (cid:54)= l (cid:54) 3.

αkl = (0, · · · , 0, 1 (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) k , 0 · · · , 0, −1 (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) l

Hệ nghiệm con gồm các nghiệm compact là ∆c = {±α12}, hệ nghiệm không compact là ∆n = {±β, ±2β} trong đó β là nghiệm không compact sao cho

  (cid:19) (cid:18) = λ. β 0 0 λ 0 0 0     λ 0 0

Hệ nghiệm đối ngẫu là

∆(gC, kC)∗ = {Hkl = Ekk − Ell},

trong đó Ekl là ma trận với phần tử 1 ở vị trí {kl} và phần tử 0 ở các vị trí còn lại.

Mệnh đề 3.1 Không gian b∗ được chia thành hợp rời của các quỹ đạo đối phụ hợp B:

a. Hai nửa không gian Ω± chứa các phiếm hàm dạng F = tT ∗ + xX ∗ +

yY ∗ + zZ ∗ với

Ω+ = {(t, x, y, z) ∈ R4|z > 0},

Ω− = {(t, x, y, z) ∈ R4|z < 0}.

b. Một họ của các trụ với đáy hyperbolic

Ωα = {(t, x, y, 0) ∈ R3 × {0}|xy = α}, α > 0.

c. Bốn nửa mặt phẳng tương ứng với trường hợp xy = 0 nhưng x (cid:54)= y

Ωx>0 = {(t, x, 0, 0) ∈ R4|x > 0},

Ωx<0 = {(t, x, 0, 0) ∈ R4|x < 0},

Ωy>0 = {(t, 0, y, 0) ∈ R4|y > 0},

Ωy<0 = {(t, 0, y, 0) ∈ R4|y < 0}.

d. Gốc tọa độ

Ω = {(0, 0, 0, 0)}.

Xét các hàm tuyến tính ±Z ∗ ∈ Ω± ⊂ g∗ và các quỹ đạo đối liên hợp Ω± = G.(±Z ∗) thì mệnh đề sẽ được chứng minh bằng tính toán trực tiếp.

Mệnh đề 3.2 Đại số con l = C(X ± iY ) ⊕ CZ ⊂ uC là các phân cực dương tại ±Z ∗ ∈ Ω±.

Mệnh đề chứng minh được nhờ tính toán tính toán trực tiếp. Nhận xét: Tác động đối liên hợp của K trong g∗ làm cho tập b∗ bất biến.

3.2.2. Cảm sinh chỉnh hình

Cũng với cách làm tương tự như cảm sinh chỉnh hình trên nhóm SL(3, R), chúng ta sử dụng phương pháp quỹ đạo và cảm sinh chỉnh hình nên cần

chọn phiếm hàm nguyên λ và lấy quỹ đạo tương ứng.

Trước tiên chúng ta cũng có hệ nghiệm dương và các không gian nghiệm

tương ứng là

c ∪ ∆+

n = {αkl, 1 ≤ k (cid:54)= l ≤ 3, β, 2β} = {α12, α32, α31}, ρ = α32,

C = CEkl. gβ = RX ⊕ RY và g2β = RZ.

∆+ = ∆+

α∈∆+ n

các không gian nghiệm là gαkl Ta xét (cid:77) p+ = gα = gα32 ⊕ gα31 = CE31 ⊕ CE32

α∈∆− n

và (cid:77) p− = gα = gα23 ⊕ gα13 = CE13 ⊕ CE23.

Ký hiệu F ⊂ (ih)∗ tập các phiếm hàm tuyến tính λ trên hC sao cho (λ+ρ)(Hα) là nguyên với bất kỳ nghiệm α ∈ ∆, trong đó Hα là đối nghiệm tương ứng với nghiệm α và ρ là nửa tổng của các nghiệm dương. Ký hiệu

c } =

F(cid:48) = {λ ∈ F|λ(Hα) (cid:54)= 0, ∀α ∈ ∆},

    λ ∈ F(cid:48)

0 = {λ ∈ F(cid:48)|λ(Hα) > 0, ∀α ∈ ∆+ F(cid:48) λ(H12) ∈ N+vàλ(H31) ∈ N+ (trường hợp chỉnh hình) λ(H12) ∈ N+vàλ(H23) ∈ N+(trường hợp không chỉnh hình) hay λ(H12) ∈ N+vàλ(H13) ∈ N+, λ(H12) > λ(H13) trường hợp khác

  (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Chọn một đại số con phức

e = p+ ⊕ kC,

sao cho

e + e = gC, e ∩ e = kC

khi đó chúng ta chắc chắn có một phân cực dương.

λ có trọng trội λ + α31.

Nhóm Weyl WK = (cid:104)sα12(cid:105) được tạo bởi các phản xạ ứng với các nghiệm đơn sα12 thỏa mãn với bất kỳ λ ∈ (ih)∗, −sα12λ − α32 = −sα12(λ + α31). Vì vậy nếu Vλ là một K-module của trọng thấp nhất λ + ρ thì K-module đối gradient của nó V ∗

Vì G = BK = B1K nên đối đồng điều tương ứng của (g, K)-module với hệ số trong biểu diễn Vλ có thể được thu về đến một biểu diễn của B hoặc B1 = U A ⊂ B với đại số Lie b1 = (cid:104)S = E13 + E31, X, Y, Z(cid:105).

Mệnh đề 3.3 Cho (g, K)-module πλ với các hệ số trong biểu diễn Vλ, khi đó

H qλ(G, K; e, Vλ) = H qλ(B, M ; e ∩ b, Vλ) = H qλ(B1; e ∩ b1, Vλ)

3.2.3. Dãy phổ Hochschild-Serre

Ta biết rằng nếu xét trong trường hợp tổng quát thì p không cần là một đại số con, cũng hoàn toàn tương tự như cách xây dựng dãy phổ Hochschild-Serre của nhóm SL(3, R) chúng ta lấy một đại số con h+ = C(Y + iX) ⊕ C(S − iZ/2) thỏa mãn:

e = p+ ⊕ kC = h+ ⊕ kC,

vì vậy chúng ta có:

e ∩ b1 = h+, e ∩ b = h+ ⊕ mC.

Chúng ta có thể xây dựng một dãy phổ Hochschild-Serre (xem [23]) theo cách chọn trọng trội λ+α31 và biểu diễn V ∗ λ của kC là biểu diễn tầm thường trên p+ mở rộng thành một biểu diễn ξ của e = p+ ⊕ kC. ξ + 1 2 tr adb1 là tác động của h+ trong V λ+α31. Ký hiệu H± là không gian biểu diễn T± của B Ω± và ký hiệu H∞ ± là không gian con của không gian các véc tơ trơn. Vì dimC(pC) = 2 nên chúng ta có ∧q(h+) = 0 với mọi q ≥ 3. Với các điều kiện trên dễ dàng để xác định được toán tử đối biên Hochschild-Serre

± → ∧q+1(h+)∗ ⊗ V λ+α31 ⊗ H∞ ±

λ,q. Ta có sự hội

(δ±)λ,q : ∧q(h+)∗ ⊗ V λ+α31 ⊗ H∞

và công thức toán tử liên hợp đối ngẫu của chúng là (δ±)∗ tụ của dãy phổ Hochschild-Serre như sau:

± )) =⇒ H q(B; b1, Vλ).

r+s=q

(cid:77) H r(e1; H s(M ; V λ+α31 ⊗ H∞

3.2.4. Trường hợp chỉnh hình hoặc không chỉnh hình

λ,± là phần giao (ker(δ±)λ,q) ∩ ker(δ±)λ,q)∗ ta có định lý sau:

Ký hiệu Hq

λ,−)T+⊕dim(Hqλ

λ,+)T−

Định lý 3.6 (xem [23]) a. πλ|B1 = πqλ(e)|B1 = dim(Hqλ

m∈Z[dim(Hqλ

λ,−)qλ σm

λ,+)qλ σm

b. πλ|B = πqλ(e)|B = (cid:80) Tm,+ ⊕ dim(Hqλ Tm,−].

3.2.5. Công thức vết

Đối với trường hợp cho G = SU(2, 1) là nhóm compact địa phương, Γ là nhóm con rời rạc của G và R là biểu diễn chính quy của G trên L2(Γ\G), f ∈ C ∞ 0 (SU(2, 1)) là một hàm trơn có giá compact. Nếu ϕ là một hàm trong không gian biểu diễn thì tác động của biểu diễn cảm sinh IndG B χ là hạn chế của biểu diễn chính quy phải R trên không gian cảm sinh của biểu diễn cảm sinh.

G (cid:90)

(cid:90) (cid:90) f (x−1y)ϕ(y)dy f (y)ϕ(xy)dg = R(f )ϕ =

Γ\G

γ∈Γ

(cid:88) ( f (x−1γy))ϕ(y)dy =

Ta cũng có công thức tính vết tương tự các nhóm trước như sau:

Γ\G

(cid:90) tr R(f ) = Kf (x, x)dx

Γ\G

(cid:90) (cid:88) ( f (x−1γx))ϕ(y)dx =

γ∈Γ (cid:88)

δ∈Γγ\Γ

Γγ\G γ∈{Γ} (cid:90)

(cid:90) (cid:88) = f (x−1δ−1γδx)dx

Γγ\G

(cid:88) = f (x−1γx)dx

γ∈{Γ} (cid:88)

Gγ\G

Γγ\Gγ

(cid:90) (cid:90) = f (x−1u−1γux)dudx

γ∈{Γ} (cid:88)

Gγ\G

γ∈{Γ}

(cid:90) f (x−1γx)dx. = V ol(Γγ\Gγ)

Vì vậy để tính công thức vết chúng ta cần:

- Phân loại các lớp liên hợp cho mọi γ ∈ Γ: có thể phân loại thành kiểu

elliptic, kiểu hyperbolic, kiểu parabolic.

- Tính toán thể tích của thương của lớp ổn định và quỹ đạo liên hợp.

- Tính toán tích phân quỹ đạo trên nhóm con nội soi tương ứng của

nhóm SU(2, 1).

Gγ\G

(cid:90) f (x−1γx)dx. Oγ(f ) =

3.2.6. Nội soi và tổng Poisson

Mục đích chính của mục này là tính toán tích phân quỹ đạo trên nhóm

con nội soi của nhóm SU(2, 1)

Gγ\G

(cid:90) f (x−1γx)dx. Oγ(f ) =

1a3 = 1.

Để tính được tích phân này cụ thể chúng ta cần:

+ Phân loại các trường hợp có thể của γ: toàn bộ các giá trị riêng là phân biệt thỏa mãn điều kiện a1a2a3 = 1 (đây là trường hợp đơn giản nhất), và trường hợp hai giá trị riêng trùng nhau a1 = a2 và a2 + Biến đổi tích phân trên nhóm con nội soi tương ứng.

a. Tích phân quỹ đạo Chúng ta tính toán tích phân quỹ đạo trong 2 trường hợp cụ thể như sau: + Trường hợp 1: γ = diag(a1, a2, a3), a1a2a3 = 1 với ai đôi một khác

nhau. Do phân tích Iwasawa, tích phân quỹ đạo được tính như sau:

Gγ\G

(cid:90) f (x−1γx)dx Oγ(f ) =

(cid:90) f (u−1γu)dx =

−1 

     1 x z (cid:18) (cid:19) (cid:90) = f dxdydz 1 x z 0 1 y             0 0 1

 a1 0 0 0 a2 0 0 0 a3   0 1 y 0 0 1    (cid:18) (cid:19) (cid:90) = f dxdydz 1 −x yx − z 0 −y 1 1 x z 0 1 y             0 0 1 0 0 1 0 a1 0 0 a2 0 0 a3 0

  (cid:90) a1 (a1 − a2) (a1 − a3)z − (a2 − a3)xy 0 Oγ(f ) =     dxdydz 0 a2 0 (a2 − a3)y a3

  (cid:19)(cid:48) (cid:18) (cid:90) dy(cid:48)dz(cid:48) f = |a1 − a2|−1|a2 − a3|−1|a1 − a3|−1    

a1 x(cid:48) z(cid:48) 0 a2 y(cid:48) 0 a3 0

= |a1 − a2|−1|a2 − a3|−1|a1 − a3|−1Oγ( ˜f )

Tích phân trên là hội tụ đều và tuyệt đối và cũng là một hàm trơn. Vậy ta có thể viết

1(cid:54)i

(cid:89) f H(γ) = ∆(γ)Oγ(f ), ∆(γ) = |ai − aj|

  là hàm trơn trên nhóm nội soi H. (cid:33) (cid:32)

+ Trường hợp 2:γ = = sin θ 0 cos θ − sin θ cos θ 0   kθ 0 0 1 0 0   1

Chúng ta lại có x = mauk và

Gk(θ)\G

(cid:90) f (k−1u−1a−1m−1k(θ)mauk)dmdudadk Ok(θ)(f ) =

Gk(θ)\G

(cid:90) = f (u−1a−1m−1k(θ)mau)dmduda

Gk(θ)\G

    1 −x yx − z 0 (cid:18) (cid:90) = f        0  0 1 0 −y 1 a−1 1 0 0 0 a−1 2 0 0 a−1 3

      cos θ sin θ 0 1 x z (cid:19) duda             × − sin θ cos θ 0 1 0 0 0 1 y 0 0 1 a1 0 0 0 a2 0 0 a3 0

i=1

  (cid:18) (cid:90) +∞ (cid:19) 3 (cid:89) | = ˜f t1 sin θ 0 0 cos θ |ti − t−1   dti t1 cos θ −t−1 1 sin θ 0 0   1

  (cid:18) (cid:19) (cid:90) +∞ sign(t − 1) ˜f dt =   cos θ −t−1 1 sin θ 0 t1 sin θ 0  0 cos θ  1 0

= F (sin θ).

Theo khai triển thành dạng Taylor-Lagrange thì F (sin θ) = F (λ) = A(λ)+

λB(λ) có A(λ) = F (0) và

dF (τ ) dλ B(λ) = √  (cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:18) (cid:90) +∞ √ dt = sign(t − 1)f (cid:12) (cid:12)t=τ .   d dλ 1 − λ2 −t−1λ 0  0 tλ  1 − λ2 0  1 0

Do đó hàm số

G(λ) = |λ|(F (λ) + F (λ)),

H(λ) = λ(F (λ) − F (−λ))

N (cid:88)

có phân tích Fourier

n=0

G(λ) = (an|λ|−1 + bn)λ2n + o(λ2N ).

Tóm lại, với trường hợp γ = k(θ) cũng tồn tại một hàm liên tục f H sao

cho

f H(γ) = ∆(γ)(Oγ(f ) − Owγ)(f )) = ∆(k(θ))SOγ(f ),

trong đó ∆(k(θ)) = −2i sin θ. b. Tích phân quỹ đạo ổn định

Cũng hoàn toàn tương tự với phần tính tích phân quỹ đạo trong SL(3, R), chúng ta cũng có nhóm Weyl phức đẳng cấu với S3 trong khi đó nhóm Weyl thực đẳng cấu với S2 (xem [17]). Tập của lớp liên hợp trong lớp liên hợp elliptic ổn định chính quy mạnh là song ánh với tập điểm S3/S2 mà

thậm chí còn được xét như một tập điểm con cuả nhóm E(R, T, G) = (Z2)2 Chúng ta sẽ ký hiệu K(R, T, G) là đối ngẫu Pontryagin.

Xét κ (cid:54)= 1 trong K(R, T, G) sao cho κ(H13) = 1. Thực tế κ là duy nhất:

Thật vậy cần phải có κ(H12) = κ(H13) = −1.

Nhóm nội soi H liên kết với κ là đẳng cấu với S(U (1, 1)×U (1)). Nghiệm

dương của h trong H (với một sắp xếp tương ứng) là α23 = ρ.

Tuy nhiên nhóm nội soi H có thể được nhúng trong G với phép nhúng

khác một chút so với phép nhúng đã thực hiện trong trường hợp tính tích phân quỹ đạo của SL(3, R) như sau:

  ua iub 0 (cid:32) (cid:33)

g(u, v, w) = ,     , w = a b c d −iuc ud 0 v 0 0

ad − bc = 1 và |u| = |v| = 1, uv = 1.

Tức là xét H1 = (SU(1, 1) × U(1)) × SL(2).

Cho fµ là giả hệ số của biểu diễn chuỗi rời rạc πµ khi đó κ-tích phân

quỹ đạo của phần tử chính quy γ trong T (R) được cho bởi

γ (fµ) =

(cid:90) Oκ (3.1) κ(x)fµ(x−1γx)d ˙x

Gγ\G (cid:88)

µ (γ−1

w ) =

sign(w)=1

(cid:88) κ(w)ΘG (3.2) = κ(w)Θwµ(γ−1),

Điều này có được là do có một song ánh tự nhiên giữa lớp kề trái và lớp kề phải.

c. Phép chuyển nội soi

Nhân tử chuyển ∆(γ, γH) được cho bởi

H )−1

∆(γ, γH) = (−1)q(G)+q(H)χG,H(γ)∆B(γ−1).∆BH (γ−1

với mọi đặc trưng xác định như sau χG,H. Cho ξ là một đặc trưng của phủ hai lá H1 của H, khi đó χG,H(γ−1) = eγρ−ρH +ξ xác định một đặc trưng của H, tương ứng với h, bởi đặc trưng đó là tầm thường trên thớ của phủ.

Chúng ta có thể chọn sign(w) = 1 và w (cid:54)= 1, vì vậy chúng ta có κ(w) =

−1 và

wµ(γ) = −

H )ΘG

H − γw0wµ+ξ γwµ+ξ γρH ∆BH (γH)

∆(γ−1, γ−1

nên

wµ(γ−1) = κ(w)−1SOH

ν (γ−1

H ),

∆(γ, γH)ΘG

trong đó ν = wµ + ξ chạy trên L-gói tương ứng của biểu diễn chuỗi rời rạc

của nhóm nội soi H. Do đó chúng ta có công thức sau

γ (fµ) =

ν (γ−1 H )

ν=wµ+ξ sign(w)=1

(cid:88) SOH ∆(γ, γH)Oκ

γ (fµ) =

ν=wµ+ξ sign(w)=1

hay (cid:88) ∆(γ, γH)Oκ SOγH (gν),

trong đó gν là giả hệ số cho bất kỳ biểu diễn chuỗi rời rạc của nhóm con nội soi H trong L- gói của µ.

Cho

ν=wµ+ρ sign(w)=1

(cid:88) f H = a(w, ν)gν, a(w1, w2µ) = κ(w2)κ(w2w1)−1

nên chúng ta có công thức

(cid:88) tr Σν(f H) = a(w, ν) tr πwµ(f ).

d. Tổng Poisson và nội soi

Từ tính toán trên ta có một kết quả tương tự như trong [22].

Định lý 3.7 Tồn tại một hàm ε : Π → {±1} sao cho trong nhóm Grothendieck (là nhóm sinh từ nửa nhóm các biểu diễn tự đẳng cấu và K đồng cấu nhóm

với một nhóm Aben) của biểu diễn chuỗi rời rạc,

π∈Π

(cid:88) ε(π)π, σG =

ánh xạ σ (cid:55)→ σG là ánh xạ đối ngẫu của biến đổi hình học, cho bất kỳ hàm f trên G = SU(2, 1), tồn tại duy nhất f H trên H sao cho

tr σG(f ) = tr σ(f H),

trong đó Π là L-gói của phép biểu diễn của SU(2, 1).

Chứng minh: Với cách chứng minh hoàn toàn tương tự như cách chứng minh trong Định ∼= D(R, H, G) nên chúng ta có lý 3.3, vì tồn tại một song ánh tự nhiên Πµ phép lập cặp sau:

(cid:104)., .(cid:105) : Πµ × K(R, H, G) → C.

Vì vậy chúng ta có hệ thức sau:

π∈ΠΣ

(cid:88) (cid:104)s, π(cid:105) tr π(f ). tr Σν(f H) =

Dựa vào những lý luận trong 3.2.6 thì ta được điều phải chứng minh. (cid:50) Xét các trường hợp có thể có của nhóm nội soi của SU(2, 1) là H = S1 × S1 × {±1} hay SL(2, R) × {±1}. Với mỗi nhóm nội soi này đều tồn tại một phép nhúng tương tự như phép nhúng mà ta đã làm cho nhóm SL(3, R)

η : LH (cid:44)→ LG.

Cho ϕ : DWR → LG là tham số Langlands, tức một đồng cấu từ nhóm Weil-Deligne DWR = WR (cid:110) R∗ + vào nhóm đối ngẫu Langlands, Sϕ là tập của các lớp liên hợp của tham số Langlands liên thông với ánh xạ đồng nhất. Cho bất kỳ s ∈ Sϕ, ˇHs = Cent(s, ˇG)◦ thành phần liên thông của phần tử đơn vị của nhóm con tâm hóa của s ∈ Sϕ chúng ta có ˇHs liên hợp với H. Theo D. Shelstad cặp

(cid:104)s, π(cid:105) : Sϕ × Π(ϕ) → C

ε(π) = c(s)(cid:104)s, π(cid:105).

Vì vậy, ta cũng thu được hệ thức sau:

π∈Π

σ∈Σs

(cid:88) (cid:88) tr σ(f H) = ε(π) tr π(f )

có thể được viết như sau

s∈Π

(cid:88) (cid:104)s, π(cid:105) tr π(f ) (cid:101)Σs(f H) =

và

σ∈(cid:101)Σs

tr σ(f H). (cid:101)Σs(f H) = c(s)−1 (cid:88)

Chúng ta đi đến kết quả cuối cùng tương tự với một kết quả trong [22]

cho nhóm SU(2, 1).

Định lý 3.8 Cho π(f ) là biểu diễn chuỗi rời rạc của nhóm SU(2, 1) khi ấy ta có công thức vết được xác định như sau:

s∈Sϕ

(cid:88) tr π(f ) = (cid:104)s, π(cid:105)(cid:101)Σs( ˇf ). 1 #Sϕ

Tổng hợp các tính toán trên ta đi đến kết quả chính của mục này là công

thức tổng Poisson cho nhóm SU(2, 1).

Định lý 3.9

Πµ

π∈Πµ

Πµ

(cid:88) (cid:88) (cid:88) m(π)SΘπ(f ) = ∆(γ, γH)SO(fµ), tr R(f )oL2(Γ\ SU(2,1)) =

π∈Π

trong đó (cid:88) SΘπ(f ) = κ(π)Θπ(f )

là tổng của các đặc trưng của các đặc trưng Harish-Chandra của chuỗi rời

rạc chạy trên lớp liên hợp ổn định của π và

λ∈Πµ

(cid:88) SO(fµ) = κ(πλ)O(fλ)

là tổng theo các đặc trưng κ : Πµ → {±1}.

Chú ý : Nhân tử chuyển ∆(γ, γH) được cho bởi công thức sau:

H )−1

∆(γ, γH) = 1q(G)+q(H)χG,H(γ)∆B(γ1).∆BH (γ−1

γ(fµ) =

ν=wµ+xi

với đặc trưng χG,H được xác định như sau: (cid:88) ∆(γ, γH)Ok SOγH(gν),

trong đó gν là giả hệ số cho bất kỳ một biểu diễn chuỗi rời rạc của nhóm nội soi H.

3.3. Công thức tổng Poisson và nội soi cho Sp(4, R)

Trước tiên chúng ta sẽ giới thiệu về cấu trúc của Sp(4, R) [10].

(cid:40)(cid:32) (cid:41) A B Sp(4, R) = A, B, C, D ∈ M2(R) (cid:33) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) C D

với (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) A B = 0 J4 + J4 A B C D C D

trong đó J4 là ma trận dạng phản xứng

ω(u, v) = + , u, v ∈ R4, u1 u2 v1 v2 u3 u4 v3 v4 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

tức là:   0 1 0 0

, ω(u, v) =t uJ4v. −1 0 0 0 0 0       0    1  0 0 −1 0

Ký hiệu sp(4, R) là đại số Lie của nhóm Lie Sp(4, R), θ đối hợp Cartan của nhóm G = Sp(4, R). Đối hợp Cartan tương ứng cho đại số Lie sp(4, R) cũng được ký hiệu bởi θ ∈ Aut(sp(4, R)),

θ(X) = −tX, X ∈ sp(4, R).

Vì thế, đại số Lie sp(4, R) có thể được mô tả như sau

(cid:40)(cid:32) (cid:41)

sp(4, R) = . A, B, C, D ∈ M2(R), tA = −D,t B = B,t C = C (cid:33) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) A B C D

(cid:41) (cid:40)(cid:32) (cid:9) K = ∼= U (2) = (cid:8)U = A + iB|t ¯U U = I2 A, B ∈ M2(R) Nhóm con compact cực đại K của G là (cid:33) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) A B −B A

tA = −A,

tB = B

(cid:40)(cid:32) (cid:41) A B k = Lie K = . là nhóm con của G, đại số Lie k,chứa các ma trận với giá trị riêng +1 (cid:33) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −B A

Nhóm con Borel của Sp(4, R) là nhóm con parabolic cực tiểu

2 , t−1 P0 = B = AU, A = {diag(t1, t2, t−1 1 )|t1, t2 > 0}   

   0 0

. U = n(x1, x2, x3, x4) = 1 0 x1 x2 0 1 x2 x3 0 0 0 1 0 1                    0 0 0 1 1 x4  0 0 1    0 0 0  0 0 −x4 1

Đại số Lie của B chứa các ma trận với giá trị riêng là -1.

b = u + a = {X ∈ g|θ(X) = −X}

    ∗ ∗ ∗ ∗

p = = (cid:104)H1, H2, E2e1, Ee1+e2, E2e2, Ee1−e2(cid:105), 0 ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ 0               0 0 ∗ ∗

trong đó    0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 H1 = , H2 =

               0 0 0 0 0 0 0 0 −1

    0  0    0 0 −1 0  0 0 0 

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 , Ee1+e2 = E2e1 = 0 0 0 0 0 0 0 0                     0 0 0 0 0 0 0 0

   0 0 0 0 0 0 0

, Ee1−e2 = E2e2 = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0            1  0    0       0 0 −1 0 0 0 0 −1

Một nhóm con parabolic khác là nhóm con Jacobi

1 , 1)|t1 > 0} ∼= R∗ +,

PJ = MJ AJ UJ , AJ = {diag(1, t1, t−1

trong đó

UJ = {n(x1, x2, 0, x4)|x1, x2, 0, x4 ∈ R} ∼= Heis(3, R), MJ = SL(2, R)×{±1}.

Nhóm parabolic này có đại số Lie là:

    ∗ ∗ ∗ ∗

0 ∗ ∗ ∗ , pJ = u ⊕ aJ ⊕ mJ =

              0 ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ∗

trong đó

aJ = (cid:104)H1(cid:105), mJ = (cid:104)H2, T2, E2e2(cid:105) ∼= sl(2, R), uJ = (cid:104)E2e1, Ee1+e2, Ee1−e2(cid:105) ∼= Heis(3, R). Nhóm Sp(4, R) có phân tích Cartan là tích nửa trực tiếp G = B (cid:111) K ký hiệu đơn giản bởi BK.

Đại số Lie phức

β(cid:54)=0

(cid:88) gC = sp(4, C) = h ⊕ gβ = h ⊕ p+ ⊕ p−

β>0

β<0

(cid:77) (cid:77) p+ = gβ, p− = gβ,

trong đó gβ = (cid:104)Xβ(cid:105) là không gian nghiệm tương ứng của các nghiệm β.

Có hệ nghiệm liên kết của đại số Lie của nhóm Sp(4, R) là

(cid:88) = {±(2, 0), ±(0, 2), ±(1, 1), ±(1, −1)}.

Tập các nghiệm dương compact là ∆c = {(1, −1)} và tập các nghiệm dương không compact là ∆n = {(2, 0), (1, 1), (0, 2)}. Chúng ta có các véc tơ nghiệm là

   

1 0 0 0 0 1 0 0 0 ±i , X±(0,2) = X±(2,0) =

               0 0 0 0 0 0 ±i 0 0 1

 0 ±i 0  0 0 0    ±i 0 −1 0  0 0    0 1 0 ±i 0 ±i 1 0

0 ±i X±(1,1) = , X±(1,−1) = −1 0 ±i 0 ±i 0 0 1 1 0 ±i 0 0 −1                     ±i 0 −1 0 ±i 0 −1 0

xem [3] để biết chi tiết hơn. Các véc tơ cơ sở là    

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 Z = , H (cid:48) = −i

                    0 0 0 −1 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0

   

1 0 −1 0 −i 0 −i 0 0 −1 1 0 0 i X = . , ¯X = 1 2 1 2                i  0     0 i i 0 0 −1 1 0 0 −i −i 0 1 0 −1 0

Có thể kiểm tra lại rằng

kC = (cid:104)Z, H (cid:48), X, ¯X(cid:105)C, hC = (cid:104)Z, H (cid:48)(cid:105)C,

trong đó h = (cid:104)H1, H2(cid:105)R, với hệ thức giao hoán

[Z, kC] = 0,

[H (cid:48), X] = 2X, (cid:2)H (cid:48), ¯X(cid:3) = −2X, (cid:2)X, ¯X(cid:3) = H (cid:48).

Tâm của kC là C(kC) = (cid:104)Z(cid:105)C và kC/C(kC) = (cid:10)H (cid:48), X, ¯X(cid:11) = sl(2, C).

pC = (cid:104)Z, H (cid:48), X(2,0), X(0,2), X(1,1), X(1,−1)(cid:105)C.

Từ đó ta thu được hệ thức liên hệ giữa các vectơ thực và cơ sở phức

của đại số như sau:

    .

  X±(2,0) = ∓iH1 + H1 ± 2iE2e1, X±(1,1) = ±2 ¯X + 2Ee1−e2 ± 2iEe1+e2, X±(0,2) = ±H (cid:48) + H1 ± 2iE2e2

Hoán vị véc tơ cơ sở thứ 3 và thứ 4, nhóm con Cartan H là

   

. H = exp h = r(θ1)r(θ2) =

              sin θ1 0 cos θ1 0 cos θ1 0 − sin θ1 0 0 cos θ2 0 − sin θ2 0 sin θ2 0 cos θ2

Đặc trưng tự nhiên của nhóm con Cartan compact được thể hiện như sau

r(θ1)r(θ2) (cid:55)→ exp (m1θ1 + m2θ2) .

Mệnh đề 3.1 Có hai nhóm nội soi không tầm thường là:

a. Trong trường hợp elliptic S1 × S1 × {±1},

b. Trong trường hợp là parabolic SL(2, R) × {±1}.

Chứng minh: Trong trường hợp tổng quát, chúng ta chọn diag(λ1, λ2, −λ1, −λ2) như một phần tử elliptic chính quy của đại số con Cartan. Khi đó lấy nhóm con chuẩn Cent(λ, g)0, λ = (λ1, λ2, −λ1, −λ2), có hai trường hợp:

a. λ1 (cid:54)= λ2. Trong trường hợp này thành phần liên thông của phần tử

   đồng nhất trong nhóm con chuẩn là S1 × S1 × {±1}, có dạng 

S1 × S1 × {±1} = ± .

              cos θ1 0 − sin θ1 0 sin θ1 0 cos θ1 0 0 cos θ2 0 − sin θ2 0 sin θ2 0 cos θ2

b. λ1 = λ2. Trong trường hợp này thành phần liên thông của tâm hóa

là SL(2, R) × {±1}, có dạng là   

1 0 0 0 0 a b 0 SL(2, R) × {±1} = ± ad − bc = 1 .

         0 c d 0 0 0 0 1 (cid:12)  (cid:12) (cid:12)  (cid:12)  (cid:12) (cid:12)  (cid:12)  (cid:12)  (cid:12) (cid:12)

(cid:50)

3.3.1. Biểu diễn cảm sinh chỉnh hình

Biểu diễn chuỗi rời rạc của Sp(4, R) thu được bằng cảm sinh từ biểu diễn chuỗi rời rạc của hai nhóm nội soi. Theo phương pháp quỹ đạo, chúng ta chọn phiếm hàm khả tích nguyên λ, lấy quỹ đạo tương ứng và sau đó

chọn phân cực và sử dụng cảm sinh chỉnh hình.

c ∪ ∆+

Như mô tả ở trên, hệ nghiệm dương ∆+ = ∆+

n = {(1, −1)} ∪ {(2, 0), (1, 1), (0, −2)}, ρ = 1 α∈∆+ α = (2, −1), chỉ có hai nghiệm đơn: 2 một nghiệm compact (1, −1), và một nghiệm không compact (0, −2). Đối nghiệm tương ứng : H1 = H1,−1 và H2 = H0,−2 cho ta một cơ sở của đại số con Cartan.

k = Coh-IndSL(2,R)(cid:110)Heis(3,R) π−

(cid:80)

Biểu diễn chuỗi rời rạc của Sp(4, R) đã được nhiều tác giả nghiên cứu như I. Piateskii-Shapiro, R. Berndt, R. Berndt-W. Schmidt ....Và biểu diễn chuỗi rời rạc ấy được phân tích thành hai chuỗi biểu diễn sau:σ+ k = m,k (m, k ∈ N) và biểu diễn chuỗi rời rạc thu được nhờ IndSL(2,R)(cid:110)Heis(3,R) π+ m,k (m, k ∈ N) (xem cảm sinh chỉnh hình như σ− [3]).

k của chuỗi rời rạc. Các đặc trưng tương ứng với trường hợp này là χ = (k, −k) và đặc k của Sp(4, R). K-kiểu nhỏ nhất trưng được thu gọn thành chuỗi rời rạc σ+ của σ+

k là τΛ và là (k, −k),

SL(2,R)(cid:110)Heis(3,R) π+

k = IndG σ+

m,k,

Chúng ta sử dụng cảm sinh chỉnh hình để mô tả một phần σ+

m,k = πm π+

k−1/2 SW và biểu diễn π+

SW ⊗ π+ là tích tensor của biểu diễn the Shale-Weil πm k−1/2 với trọng trội Λ = (λ, λ(cid:48)), λ ≥ λ(cid:48) và là số nguyên. Ký hiệu trọng trội là (cid:96) = λ + λ(cid:48) và trọng thấp nhất là N = λ − λ(cid:48), chúng ta có

trong đó

τΛ(eiϕE2) = ei(cid:96)ϕEN +1,

(cid:32) (cid:33)

N (t(ψ)) = diag(e−iN ψ, eiN ψ), t(ψ) :=

τΛ(t(ψ)) = τ ◦ eiψ 0 0 e−iψ

τ ◦ Λ là tác động tự nhiên của g = t(ψ) trên một đa thức thuần nhất cấp N ,

(cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:19) = P g−1 τ ◦ N (g)P (cid:18) (cid:18)u v (cid:18)u v

và vì vậy

(cid:18) (cid:32) (cid:33) (cid:19) (cid:16) = diag ei(λ(cid:48)θ+λθ), . . . , ei(λ(cid:48)θ+λθ)(cid:17) . τΛ eiθ 0 0 e−iθ

3.3.2. Cảm sinh đối đồng điều

Trong phần này chúng ta sử dụng đối đồng điều (xem [3]) để mô tả phần k . Chúng ta xét phép nhúng SU(1, 1) (cid:44)→

khác của biểu diễn chuỗi rời rạc σ− Sp(4, C) (cid:32) (cid:33)

A = X + iY (cid:55)→ , X −SY SY SXS

(cid:33) (cid:32) 1 0 trong đó S = . Phép nhúng tương ứng của đại số Lie là 0 −1

j : su(1, 1) = (cid:104)U1, U2, U3, U4(cid:105) → sp(4, R),

 

(cid:18) (cid:32) (cid:33) (cid:19) i 0 0 = iZ = G − F = , j(U1) = j 0 0      0 0 −1 0  0 0 0    0  0 1 0 0 0 0 0



(cid:18) (cid:32) (cid:33) (cid:19) 0 0 0 0 0 0 0 1 = iZ (cid:48) = R − R(cid:48) = , j(U2) = j 0 i 0     

  0  0    0 0 0  0 −1 0 0 

(cid:18) (cid:32) (cid:33) (cid:19) 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 , j(U3) = j = P+ + P− = 1 0           0 −1 0

 0 0 0 0 −1 

(cid:18) (cid:32) (cid:33) (cid:19) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 i . j(U4) = j = −i(P+ − P−) = −i 0           0 1 0 0 1 0 0 0

Đại số Lie l là nhóm con tâm của

j(U1) + j(U2) = i(Z + Z (cid:48)) = iH (cid:48)

và là θ ổn định, vì vậy L là nhóm con dừng của phần tử này trong g.

Xét nhóm con parabolic Q ⊂ Sp(4, C), mà đại số Lie của nó là

q = l + u = (cid:104)Z, Z (cid:48), P±(cid:105) + (cid:104)X+, N+, P0−(cid:105).

Trong đó nhóm con Levi liên kết là

L = {g ∈ G| Ad(g)q ⊂ q},

l = Lie L và lC = l ⊗ C ∼= su(1, 1) = sl(2, C).

Đại số Lie q là một phân cực trong phương pháp quỹ đạo.

Nhóm unita U (2) có thể được nhúng trong nhóm con compact cực đại

K của nhóm Sp(4, R) bằng ánh xạ

j(cid:48) : U(2) → K ⊂ Sp(4, R)

(cid:32) (cid:33) X −Y A = X + iY ∈ U(2) (cid:55)→ . Y X

ánh xạ tương ứng cho phép nhúng đại số là

(cid:40)(cid:32) (cid:33)(cid:41) α β + iγ j(cid:48) : u(2) = = (cid:104)V1, V2, V3, V4(cid:105), −β + iγ iδ

(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) i 0 i 0 V1 = U1 + U2 = , V2 = U1 − U2 = 0 i 0 −i

 

(cid:18) (cid:32) (cid:33) (cid:19) i 0 0 , = iZ = G − F = j(cid:48)(U1) = j(U1) = j(cid:48) 0 0 1 0 0      0 0 −1 0  0 0 0    0  0 0

0 0  

(cid:18) (cid:32) (cid:33) (cid:19) 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 , = −iZ (cid:48) = R(cid:48) − R = j(cid:48)(U2) = −j(U2) = j(cid:48) 0 i           0 0 0 0 1 0

0 0  

(cid:33) (cid:19) (cid:18) (cid:32) 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 1 , = N+ + N− = P (cid:48) − P = j(cid:48)(V3) = j(cid:48) −1 0           0 0 1 0 0 0 0 −1

  0 0 0 0

(cid:18) (cid:32) (cid:33) (cid:19) . j(cid:48)(V4) = j(cid:48) = −i(N+ − N−) = Q(cid:48) − Q = 0 i i 0 −1 0 −1 0 0 0 0 1           1 0 0 0

Ký hiệu T là nhóm con Cartan compact, t là đại số Lie của T , khi đó dễ thấy

t = l ∩ k = u(1, 1) ∩ u(2)

và

tC = t ⊗ C = (cid:104)Z, Z (cid:48)(cid:105) = h.

Vì T = L ∩ K chúng ta có hai phân thớ

K/T (cid:26) Y = G/T (cid:16) X = H = G/K và L/T (cid:26) Y (cid:16) D = G/L

với các thớ tương ứng là

K/T ∼= U (2)/(U (1) × U (1)) ∼= SU (2)/U (1) ∼= P1(C)

và

L/T ∼= U (1, 1)/(U (1) × U (1)) ∼= D2(đĩa mở).

Theo cảm sinh đối đồng điều, xét đối đồng điều Dolbeault của một dạng phức trơn (0,p) với các giá trị trong phân thớ đường thẳng Lχ và các giá trị hệ số trong Cχ của Lχ

Ap(D; Lχ) = {C ∞(G) ⊗ Cχ ⊗ ∧pu}.

Định lý 3.10 Đặt s = dimC K/(K ∩ L) = 1 là chiều của đa tạp con compact cực đại của D và χ là một đặc trưng của T , sao cho

(cid:104)χ + ρ, β(cid:105) > 0, ∀β ∈ ∆(u)

khi đó

H p(D; Lχ) = 0, ∀p (cid:54)= s.

Trong điều kiện phân bố của Định lý 3.10, Zierau đã mô tả biến đổi

P : H s(D; Lχ) → C ∞(G/K, Eχ(cid:48))

là nội xạ, trong đó Eχ(cid:48) là phân thớ trên G/K liên kết với K-biểu diễn Eχ(cid:48) của thớ. Theo định lý Borel-Weil-Bott cho H s(K/(K ∩ L); ˇL ˇχ), trong đó ˇL ˇχ kéo ngược của phép nhúng chìm đẳng cấu K/(K ∩ L) (cid:44)→ G/L, chúng ta có mệnh đề triệt tiêu. Trong trường hợp này, vì K-kiểu cực tiểu τΛ của σ− k là λ = (k − 1, 1 − k), k ≥ 3, λ = λ − (2, −2) = (k − 3, 3 − k) và χ = λ + 2ρ(u) = λ + (3, −3) = (k, −k) nên ta có

s = 1, χ = (k, −k), χ(cid:48) = (k − 1, 1 − k).

Chi tiết chứng minh định lý xem trong [3].

3.3.3. Dãy phổ Hochschild-Serre

Với cách xây dựng dãy phổ Hochschild-Serre hoàn toàn tương tự như cách xây dựng dãy phổ Hochschild-Serre trong nhóm SL(3, R), SU(2, 1), chúng ta cũng cần thay đổi cách lấy đại số con như sau: h+ = C(Y + iX) ⊕ C(S − iZ/2):

e = p+ ⊕ kC = h+ ⊕ kC,

vì vậy, chúng ta có

e ∩ b1 = h+, e ∩ b = h+ ⊕ mC.

Sau đó để xây dựng một dãy phổ Hochschild-Serre chúng ta cũng xét một trọng trội λ + α31 của biểu diễn V ∗ λ của kC, là một biểu diễn tầm thường trên p+ mở rộng thành một biểu diễn ξ của e = p+ ⊕ kC. Tác động của h+ trong V λ+α31 là ξ + 1 2 tr adb1. Ký hiệu H± là không gian của biểu diễn T± của B Ω± ở trên và ký hiệu H∞ ± là không gian con gồm các vec tơ trơn. Vì dimC(pC) = 2 nên chúng ta có ∧q(h+) = 0 với mọi q ≥ 3. Cũng với các điều kiện đó việc xác định toán tử đối biên Hochschild-Serre sẽ dễ dàng

± → ∧q+1(h+)∗ ⊗ V λ+α31 ⊗ H∞ ±

λ,q. Khi đó dãy phổ ± ))

r+s=q H r(e1; H s(M ; V λ+α31 ⊗ H∞

(δ±)λ,q : ∧q(h+)∗ ⊗ V λ+α31 ⊗ H∞

và công thức toán tử liên hợp đối ngẫu của chúng là (δ±)∗ Hochschild-Serre trong nhóm này là (cid:76) cũng hội tụ đến H q(B; b1, Vλ).

3.3.4. Nội soi

2 ). Trong trường hợp này, vì phân tích Iwasawa,

1 , a−1

Để tính được công thức vết của biểu diễn chuỗi rời rạc, trước tiên chúng ta cần tính tích phân quỹ đạo trên nhóm con nội soi của nhóm Sp(4, R). a. Tích phân quỹ đạo Ta xét tích phân quỹ đạo trên 2 trường hợp có thể có của nhóm con nội

soi. Trường hợp 1: γ = diag(a1, a2, a−1 tích phân quỹ đạo là :

Gγ\G

(cid:90) (cid:90) f (u−1γu)du f (x−1γx)dx = Oγ(f ) =

−1 

    

(cid:18) (cid:19) (cid:90) 1 x −y z y 0 1 0 0 0 1 x −y z y 0 1 0 = f dsdxdydz

                              0 0 0 0 1 0 x 1 1 0 x 1

= |a1 − a−1 a1 0 0 0 a2 0 0 a−1 0 1 0 0 0 1 |−1|a2 − a−1 0 0 0 a−1 0 0 2 2 |−1Oγ(f ).

+. Vì vậy hàm

Tích phân trên là hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối và vì vậy là một hàm trơn của a ∈ R∗

1 ||a2 − a−1 2 |

f H(γ) = ∆(γ)−1Oγ(f ), ∆(γ) = |a1 − a−1

là hàm trơn trên nhóm nội soi H = (R∗)2.

Trường hợp 2:  

. Chúng ta lại có phân γ = kθ1kθ2 =

          cos θ1 0 − sin θ1 0 0 cos θ2 0 − sin θ2 0 sin θ2 0 cos θ2

sin θ1 0 cos θ1 0 tích Iwasawa cho một phần tử thuộc nhóm là x = mauk nên tích phân

quỹ đạo sẽ được tính như sau:

Gk(θ)\G

(cid:90) f (k−1u−1a−1m−1k(θ)mauk)dmdudadk Ok(θ)(f ) =

Gk(θ)\G

(cid:18) (cid:19) (cid:90) = f u−1a−1m−1k(θ)mau dmduda

−1 

   1 x −y z 0 0

Gk(θ)\G

(cid:18) (cid:90) f = 0 1 0 0 0 1 y x 0 a−1 2 0 a−1 1 0 0                     0 0 0 1 0 0 0 a1 0 0 a2

 0 

          cos θ1 0 − sin θ1 0 sin θ1 0 cos θ1 0 0 sin θ2 0 cos θ2

  0 cos θ2 0 − sin θ2   0 0 1 x −y z

(cid:19) × dudadk(θ1)dk(θ2) a1 0 0 a2 0 0 1 0 0 0 1 y x                     0 0 0 0 1 0 0 a−1 2

 0 0 a−1 1 0 0 

i=1

(cid:18) (cid:90) ∞ (cid:90) ∞ (cid:19) 2 (cid:89) | = f |ti−t−1 dti ti           cos θ1 0 −t−1 1 sin θ1 0 t1 sin θ1 0 cos θ1 0 0 t2 sin θ2 0 cos θ2 0 cos θ2 0 −t−1 2 sin θ2

(cid:90) +∞ (cid:90) +∞ = sign(t1 − 1) sign(t2 − 1)

 

(cid:19) (cid:18) dt. f

          cos θ1 0 −t−1 1 sin θ1 0 t1 sin θ1 0 cos θ1 0 0 t2 sin θ2 0 cos θ2 0 cos θ2 0 −t−1 2 sin θ2

Khi f là một phần tử của đại số Hecke, tức là f thuộc lớp C ∞ 0 (G) thì tích phân trên là hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối. Vì vậy kết quả của tích phân

là một hàm số F (sin θ). Vì hàm f có giá compact, nên tích phân đó là hội

tụ tại +∞. Tại các điểm khác 0, chúng ta khai triển hàm F thành dạng Taylor-Lagrange cấp 1 tương ứng với λ = sin θ → 0 là:

F (λ) = A(λ) + λB(λ),

trong A(λ) = F (0) và B(λ) là một số hạng chỉnh lỗi F (cid:48)(τ ) tại một vài giá

trị trung gian τ, 0 ≤ τ ≤ t. Chú ý rằng:

0 √

√

 0  0 tλ   1 − λ2 0   1 0 0

  0 0 0 0 √ 0 √ = 1 0 t−1/2 0 0       1 0  1 − λ2 0   0 −t−1λ   0  0 1  1 − λ2 0   0 −t−1λ   0 0  0  0 tλ   1 − λ2 0   1 0  1 0  0 t1/2    0 0  0 0  0  0   t−1/2 0   1 0 0 0  0 0   t1/2 0   1 0

nên chúng ta có

  1 0 √ (cid:90) +∞ √ = sign(t − 1)f ( )dt B(λ) = dF (τ ) dλ d dλ           0 1 − λ2 0 0 −t−1λ 0 0  0  0 tλ   1 − λ2 0   1 0 (cid:12)  (cid:12) (cid:12)  (cid:12)  (cid:12)  (cid:12)  (cid:12) (cid:12)  (cid:12) (cid:12)t=τ  1 0 √ (cid:18) (cid:90) +∞ √ , = sign(t − 1)g (cid:19) dt t      0 1 − λ2 0 0 −t−1λ 0 0  0  0 tλ   1 − λ2 0   1 0

c(N ) và g(λ) ∼= O(−t−1λ)−1. B và B(λ) ∼= ln(|λ|−1)g(1).

trong đó g ∈ C ∞

 0 1 0

(cid:18) (cid:19) (cid:90) ∞ f A = F (0) = |λ|−1 du − 2f (I3) + o(λ). 1       0  0 1 sign(λ)u 0    0 0 0  1 0 0 0

Do đó các hàm

G(λ) = |λ|(F (λ) + F (λ)),

H(λ) = λ(F (λ) − F (−λ))

N (cid:88)

có phân tích Fourier là:

n=0

G(λ) = (an|λ|−1 + bn)λ2n + o(λ2N )

N (cid:88)

n=0

H(λ) = hnλ2n + o(λ2N ).

Tóm lại, chúng ta thấy trong trường hợp này γ = k(θ), tồn tại một hàm liên tục f H sao cho

f H(γ) = ∆(γ)(Oγ(f ) − Owγ(f )) = ∆(k(θ))SOγ(f ),

trong đó ∆(k(θ)) = 4i sin θ1 sin θ2. b. Tích phân quỹ đạo ổn định Chúng ta nhắc lại rằng tích phân quỹ

đạo được định nghĩa như sau

Gγ\G

(cid:90) f (x−1γx)d ˙x. Oγ(f ) =

Và cũng có những tính toán hoàn toàn tương tự như hai nhóm SL(3, R) và SU(2, 1), với fµ là giả hệ số (xem [22]) của biểu diễn chuỗi rời rạc πµ thì κ- tích phân quỹ đạo của các phần tử chính quy γ trong T (R) cũng được

tính như công thức (3.2) bởi vì có một song ánh tự nhiên giữa các lớp kề trái và các lớp kề phải.

3.3.5. Công thức tổng Poisson

Để tính được công thức tổng Poisson trên nhóm Sp(4, R) trước tiên ta

cần tính phép chuyển nội soi. a. Phép chuyển nội soi

Với cách làm hoàn toàn tương tự các nhóm trước ta cũng có nhân tử chuyển ∆(γ, γH) giữa nhóm con nội soi H và nhóm Sp(4, R) được cho bởi hệ thức

H )−1

∆(γ, γH) = (−1)q(G)+q(H)χG,H(γ)∆B(γ−1).∆BH (γ−1

với mọi đặc trưng χG,H được xác định như sau. Cho ξ là đặc trưng của h1 của h, khi đó χG,H(γ−1) = eγρ−ρH +ξ xác định một đặc trưng của H, tương ứng với h. Khi sign(w) = 1 và w (cid:54)= 1, chúng ta có κ(w) = −1 và

wµ(γ) = −

H )ΘG

H − γw0wµ+ξ γwµ+ξ γρH ∆BH γH

∆(γ−1, γ−1

do đó

wµ(γ−1) = κ(w)−1SOH

ν (γ−1

H ),

∆(γ, γH)ΘG

trong đó ν = wµ + ξ chạy trên L- gói tương ứng của biểu diễn chuỗi rời rạc cho nhóm nội soi H. Vì vậy chúng ta có công thức sau

γ (fµ) =

ν (γ−1 H )

ν=wµ+ξ sign(w)=1

(cid:88) SOH ∆(γ, γH)Oκ

γ (fµ) =

ν=wµ+ξ sign(w)=1

hay (cid:88) ∆(γ, γH)Oκ SOγH (gν),

trong đó gν là giả hệ số của một biểu diễn chuỗi rời rạc bất kỳ của nhóm con nội soi H trong L gói của µ.

Cho

ν=wµ+ρ sign(w)=1

(cid:88) f H = a(w, ν)gν, a(w1, w2µ) = κ(w2)κ(w2w1)−1,

khi đó chúng ta có công thức

(cid:88) tr Σν(f H) = a(w, ν) tr πwµ(f ).

Dựa vào các tính toán phía trước phần này chúng ta sẽ thu được công

thức tổng Poisson của nhóm này.

b. Tổng poisson và nội soi

Định lý 3.11 Tồn tại một song ánh ε : Π → {±1} sao cho trong nhóm

Grothendieck của biểu diễn chuỗi rời rạc có:

π∈Π

(cid:88) ε(π)π, σG =

ánh xạ σ (cid:55)→ σG là ánh xạ đối ngẫu của biến đổi hình học, tức là nếu cho bất kỳ f trên G = Sp(4, R) thì tồn tại duy nhất f H trên nhóm con nội soi H của Sp(4, R) sao cho ta được hệ thức sau:

tr σG(f ) = tr σ(f H).

(cid:50) Chứng minh: Chứng minh định lý này hoàn toàn giống chứng minh Định lý 3.7

Cũng tương tự như các nhóm trước mà chúng ta đã xét, trong nhóm Sp(4, R) này chúng ta cũng tính các trường hợp có thể có của nhóm con nội soi của nó là H = S1 × S1 × {±1} hay SL(2, R) × {±1}. Cho tương ứng với mỗi nhóm con nội soi một phép nhúng

η : LH (cid:44)→ LG.

Cho ϕ : DWR → LG là tham số Langlands, tức một đồng cấu từ nhóm Weil-Deligne DWR = WR (cid:110) R∗ + nhóm đối ngẫu Langlands đến LG, Sϕ là tập của các lớp liên hợp của các tham số Langlands liên thông với ánh xạ đồng nhất. Cho bất kỳ s ∈ Sϕ, ˇHs = Cent(s, ˇG)◦ thành phần liên thông của tâm hóa của s ∈ Sϕ chúng ta có ˇHs là liên hợp với H. Theo Shelstad phép lập cặp

(cid:104)s, π(cid:105) : Sϕ × Π(ϕ) → C

ε(π) = c(s)(cid:104)s, π(cid:105).

Vì vậy ta cũng có hệ thức vết sau:

π∈Π

σ∈Σs

(cid:88) (cid:88) tr σ(f H) = ε(π) tr π(f )

có thể được viết như sau

s∈Π

(cid:88) (cid:104)s, π(cid:105) tr π(f ) (cid:101)Σs(f H) =

và

σ∈(cid:101)Σs

tr σ(f H). (cid:101)Σs(f H) = c(s)−1 (cid:88)

Cuối cùng chúng ta có kết quả chính cho nhóm Sp(4, R) là công thức vết và công thức tổng poisson được thể hiện qua 2 định lý sau:

Định lý 3.12 Cho π(f ) là biểu diễn chuỗi rời rạc của nhóm Sp(4, R) khi đó ta có công thức vết của nó được xác định như sau

s∈Sϕ

(cid:88) tr π(f ) = (cid:104)s, π(cid:105)(cid:101)Σs( ˇf ). 1 #Sϕ

Định lý 3.13 Cho R(f ) là biểu diễn chuỗi rời rạc của nhóm Sp(4, R) khi đó ta có công thức tổng Poisson cho nhóm này như sau

Πµ

π∈Πµ

Πµ

(cid:88) (cid:88) (cid:88) m(π)SΘπ(f ) = ∆(γ, γH)SO(fµ), tr R(f )oL2(Γ\ Sp(4,R)) =

π∈Π

trong đó (cid:88) SΘπ(f ) = κ(π)Θπ(f )

là tổng các đặc trưng của các chuỗi rời rạc chạy trên lớp liên hợp ổn định

λ∈Πµ

của π và (cid:88) SO(fµ) = κ(πλ)O(fλ)

là tổng của các tích phân quỹ đạo có trọng là các đặc trưng κ : Πµ → {±1}.

Kết luận chương 3

Trong chương này chúng tôi đã đạt được các kết quả như sau:

• Mô tả được biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm SL(3, R), SU(2, 1),

Sp(4, R).

• Mô tả chi tiết các nhóm con nội soi và tính các phép chuyển cho từng

nhóm hạng 2 đang xét.

• Tính toán các tích phân quỹ đạo trên các nhóm con nội soi của mỗi nhóm và từ đó dẫn đến công thức Poisson trong từng nhóm hạng 2.

Kết luận và kiến nghị

Kết luận

Trong luận án này chúng tôi đã đề cập đến một số vấn đề cơ bản

1. Vấn đề đầu tiên mà chúng tôi nghiên cứu là nhóm Lie thực thấp chiều SL(2, R), SL(3, R), SU(2, 1), Sp(4, R) và các đại số Lie của chúng sau đó chúng tôi chỉ ra các biểu diễn của nhóm Lie.

2. Thông qua biểu diễn cảm sinh, lượng tử hóa trên một trường chúng

tôi nghiên cứu đến công thức vết của biểu diễn tự đẳng cấu, và tính toán công thức vết trên nhóm con nội soi của các nhóm Lie đó.

3. Từ công thức vết Arthur-Selberg chúng tôi tìm ra hệ thức thể hiện

được công thức tổng Poisson trên mỗi nhóm Lie.

Kết quả chính đạt được trong luận án bao gồm

1. Công thức tường minh về tích phân quỹ đạo trên các nhóm con nội

soi của nhóm Lie SL(2, R), SL(3, R), SU(2, 1), Sp(4, R).

2. Công thức tính vết tường minh của các biểu diễn chuỗi rời rạc của

các nhóm Lie trên.

3. Định lý về công thức tổng Poisson cho mỗi nhóm Lie kể trên.

Kiến nghị một số phương hướng nghiên cứu tiếp theo

Chúng tôi đề nghị một số phương hướng nghiên cứu tiếp theo của luận án

như sau:

1. Tính công thức tích phân quỹ đạo trên nhóm nội soi của nhóm

SO(3, 1), từ đó đưa ra công thức tính vết cho biểu diễn của nhóm Lie để dẫn đến định lí về tổng Poisson cho nhóm này.

2. Với cách nghiên cứu hoàn toàn tương tự ta có thể tính toán công thức

vết, tổng Poisson tường minh cho các nhóm có hạng cao hơn 2.

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ

1. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2015), " Automorphic repre- sentations of SL(2, R) and quantization of fields", American research Journal of Mathematics, Vol 1 - No 2, p 25- 37.

2. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2015), "Poisson summation

and endoscopy for SU(2, 1)", East-West J of Mathematics, Vol 17, No 2, p 101 - 116.

3. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2016), "Poisson summation and endoscopy for Sp(4, R)", SEAMS Bull. Math, vol 40, p.837-856.

Tài liệu tham khảo

[1] Andrey Terras. (1999), Fourier analysis on finite groups and appi-

cations, United States of American, Publisher and Princeton Univ, Cambrige University.

[2] Baily W. (1973), Introductory Lectures on Automorphic forms,

Iwanami Shoten, Publisher and Princeton Univ. Press, pp 262 - 277.

[3] Berndt R. (2001), Cohomological induction on Sp(4, R) and Maass

lift, http//www.math.uni.hamburg.de/home/bernt/cohomps.

[4] Borel A. (2008), Automorphic forms on SL(2, R), Cambrige Univ. Press, Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Cape Town, Sin-

gapore, Sao Paulo.

[5] Do Ngoc Diep (2009), "A Quantization Procedure of fields based on

Geometric Langlands Correspondence", Intl. J. Math. Mathl. Sci, 14 pages, doi: 10.1155/2009/749631.

[6] D.N. Diep, (1987), "On the Langlands type discrete group the Borel-

Serre compactification", ActaMath. Vietnam, Vo12, No 1, pp 41 - 54.

[7] Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (April 2015), "Automorphic representations of SL(2, R) and quantization of fields", American Re- search Journal of Mathematics, Vo1, No 2, pp 25 - 37.

[8] Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (Jul 2014), "Poisson summation

and endoscopy for SL(3, R)", arXiv: 1407.6912v1.

[9] Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2015), "Poisson summation and endoscopy for SU(2, 1)", East - West Journal of Mathematics, Vol

17, No 2, p.125 - 140.

[10] Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2016), "Poisson summation and endoscopy for Sp(4, R)", SEAMS Bull. Math, Vol 40, p.837-856.

[11] Frenkel E., Gaitsgory D., Kazhdan D. and Vilonen K. (1998), Geomet- ric realization of Whittaker functions and the Langlands Conjecture,

J. Amer. Math, Soc, pp 451 - 484.

[12] Fulton W., Harris J. (1991), Representation Theory, Spring-Verlag,

London Paris.

[13] Gelfand I. M., Graev M. A., Piateski-Shapiro Y. (1969), Representa- tion Theory and Automorphic Functions, Nauka Press, Moscow, Gen-

eralized Functions Series, Vol 6.

[14] Gelfand I.M., Raikov D.A. (1943), "Irreducible unitary representation

of locally compact groups", Mat. Sb, Vol 13, No 55, pp 301 - 316.

[15] Harish-Chandra (1954), "The Plancharel

formula for complex semisimple lie group", Trans. Amer. Math. Soc, vol 76, No 3, pp 458

- 528. SU (2, 1)", Research Instittute for Mathematical Sciences, Vol

1002, pp 199 - 212.

[16] Kirillov A. (1975), Elements of Theory of Representation , Springer

Ver-lag, Berlin-Heidelberg.

[17] Kirillov Jr A.(1994), An Introduction to Lie group and Lie Algebras,

Cambridge.

[18] Key S.H. (1994), Notes on Abstract Harmonic Analysis, Rim-Garc

Lecture Ser, No 20, Seoul National University.

[19] Kubota T. (1973), Elementary theory of Eisentein Series.Tokyo 112,

Japan.

[20] Lang S. (1975), SL(2, R), Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg

Tokyo,Addiso-Wesley.

[21] LangLands R.P (1966), Eisentein serries, in Algebic group and dis- continuos subgoups, Summer research Istitude, Univ. Calorado 1965,

proc. Symp. Pure Math. 9 AMS Providencen.

[22] Labesse J.P. (2006), Itroduction to Endoscopy, Snowbird Lectures, June .www.institut.math.jussieu.fr/projets/fa/bpFiles/Labesse.pdf

[23] Liu G. (2013), Restriction of the discrete series of SU(2, 1) to a Borel

subgroup (French), J. Lie Theory 23, 1161 - 1189.

[24] Mackey G. W. (1963), "Infinite-dimensional group representation",

Bull. Amer. Math. Soc, Vol 69, No 5, pp 628 - 686.

[25] Mackey G. M. (1976), The Theory of Unitary Group representations,

University of Chicago Press.

[26] Rosenberg J. (1985), "Harmonically Induced Representations of solv-

able Lie groups", Journal of Functional Analysis, Vol 62, pp 8 - 37.

[27] Sugiura M. (1989), Harmonic analysis and theory of unitary represen-

tation, John Wiley and Sons, Kodanska Ldt , Tokyo.

[28] Shelstad D. (1979), "Characters and inner forms of a quasi-split group

over R", composition Math, Vol 39, pp 11 - 45.

[29] Shelstad D. (1979), "Orbital integrals and family of groups attached

to a real reductive group", Ann. Sci. E. N. S., Vol 12, pp 1 - 31.

[30] Stephen Gelbart. (2009), "Langlandspicture of automorphic forms and

L-functions", lecture series at Shandong University.

[31] Zorich Vladimir A. (1938), Mathematical Analysis II, Spinger- Verlag

Berlin, Germany.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phân của biểu diễn chính quy của một số lớp nhớm Lie Reductive thực thấp chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ THỊ PHƯƠNG QUỲNH

BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ

PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM LIE REDUCTIVE THỰC THẤP CHIỀU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số : 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. ĐỖ NGỌC DIỆP

2016

Mục lục

Mở đầu

Chương 1

Từ công thức Poisson cổ điển đến

công thức vết Arthur-Selberg

1.1. Công thức tổng Poisson cổ điển

1.2. Nhóm nhân của các số phức và biến đổi Fourier-

Laplace

1.3. Công thức vết Arthur-Selberg

Chương 2

Nhóm hạng 1

2.1. Nhóm nội soi của SL(2, R)

2.2. Biểu diễn tự đẳng cấu

2.3. Công thức vết Arthur-Selberg

2.4. Nội soi

2.5. Công thức tổng Poisson

Chương 3

Nhóm hạng 2

3.1. Công thức tổng Poisson và nội soi cho SL(3, R)

3.2. Công thức tổng Poisson và nội soi cho SU(2, 1)

3.3. Công thức tổng Poisson và nội soi cho Sp(4, R)

Tài liệu tham khảo

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Quản lý hoạt động phát triển nhận thức cho trẻ mẫu giáo ở các trường mầm non, huyện Hoàng Su Phì, tỉnh Hà Giang

Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích: Tích phân bất định (indefinte integral)

Luyện thi đại học chất lượng cao - Chuyên đề: Tích phân

Bài giảng Giải tích II - TS. Bùi Xuân Diệu

Luận văn Thạc sĩ tóm tắt: Pháp luật về điều kiện đầu tư kinh doanh trong lĩnh vực giáo dục, đào tạo ở Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Sự nghiệp nghiên cứu phê bình văn học của Hoài Thanh

Luận văn Thạc sĩ: Tiểu thuyết của Đỗ Phấn từ góc nhìn sinh thái

Luận văn Thạc sĩ: Giải pháp ứng phó với nhập cư ở Liên minh Châu Âu

Luận văn Thạc sĩ: Diễn ngôn về giới nữ trong văn xuôi nữ Việt Nam đương đại (khảo sát sáng tác của Dạ Ngân, Y Ban, Lý Lan, Nguyễn Thị Thu Huệ)

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng mức phát thải tham chiếu rừng khu vực huyện Bảo Lâm tỉnh Lâm Đồng

Luận văn Thạc sĩ: Đặc điểm nhân vật chính trong ba tác phẩm của Franz Kafka: Lâu đài, Vụ án, Hóa thân

Kháo luận tốt nghiệp: Vận dụng lí thuyết học tập trải nghiệm vào dạy học Thống kê - Xác suất ở lớp Hai

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng hệ thống điều khiển và thu nhận dữ liệu cho Robot dịch vụ

Luận văn Thạc sĩ: Thế giới nhân vật trong truyện ngắn Lê Minh Khuê sau năm 1975

Luận văn Thạc sĩ: Tác động của cấu trúc vốn đến hiệu quả hoạt động của các ngân hàng thương mại cổ phần niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Kiểm soát rủi ro tín dụng bán lẻ tại Ngân hàng Thương mại Cổ phần Đầu tư và Phát triển Việt Nam chi nhánh Thủ Thiêm

Luận văn Thạc sĩ: Các yếu tố ảnh hưởng đến hiệu quả kinh doanh của ngân hàng thương mại cổ phần niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hành vi sử dụng dịch vụ ngân hàng điện tử tại Ngân hàng Thương mại Cổ phần Ngoại thương Việt Nam – Chi nhánh Thủ Đức

Luận văn Thạc sĩ: Các yếu tố tác đồng đến nợ xấu tại Ngân hàng Nông nghiệp và Phát triển Nông thôn - Chi nhánh Tiền Giang

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách