ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHAN VĂN QUYNH
DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ
THEO PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THÁI NGUYÊN - 2019
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHAN VĂN QUYNH
DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ
THEO PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA
Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 8.14.01.11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Danh Nam
THÁI NGUYÊN - 2019
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019
Tác giả luận văn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Phan Văn Quynh
LỜI CẢM ƠN
Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự
cố gắng lỗ lực của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý Thầy Cô, cũng
như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên
cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ.
Trước hết, Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Nguyễn Danh Nam,
người Thầy hướng dẫn khoa học đã hết lòng giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn
thành luận văn này.
Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu cùng toàn thể quý
Thầy cô trong khoa Toán, Bộ phận sau đại học - Phòng Đào tạo - trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng
như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu
và cho đến khi thực hiện đề tài luận văn.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và các anh chị đồng
nghiệp đã luôn khích lệ, động viên và giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên
cứu khoa học.
Tuy có nhiều cố gắng, nhưng trong đề tài nghiên cứu khoa học này không tránh
khỏi những thiếu sót. Em kính mong Quý thầy cô, các chuyên gia, những người quan
tâm đến đề tài, đồng nghiệp, gia đình và bạn bè tiếp tục có những ý kiến đóng góp,
giúp đỡ để đề tài được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Phan Văn Quynh
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................ iii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ..................................................................... iv
DANH MỤC BẢNG BIỂU .................................................................................... v
DANH MỤC BIỂU ĐỒ, SƠ ĐỒ ........................................................................... vi
DANH MỤC CÁC HÌNH .................................................................................... vii
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 4
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu ................................................................. 4
4. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 4
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 4
6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 5
7. Đóng góp của luận văn .................................................................................... 5
8. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... 6
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1.1. Mối quan hệ giữa toán học với thực tiễn ...................................................... 7
1.1.1. Toán học nảy sinh từ thực tiễn và quay trở lại phục vụ thực tiễn ............. 7
1.1.2. Toán học là khoa học công cụ đối với nhiều lĩnh vực khoa học khác ...... 8
1.2. Mô hình và phương pháp mô hình hóa ......................................................... 9
1.2.1. Một số khái niệm ....................................................................................... 9
1.2.2. Phương pháp mô hình hóa ....................................................................... 13
1.2.3. Quy trình mô hình hóa ............................................................................. 13
1.2.4. Vai trò của phương pháp mô hình hóa và năng lực mô hình hóa trong
dạy học Toán ......................................................................................... 17
1.2.5. Vận dụng PP MHH trong DH giải bài toán bằng cách lập PT, HPT ở
trường THCS ......................................................................................... 20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 7
1.3. Thực trạng vận dụng PP mô hình hóa trong dạy học chủ đề giải bài
toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS ..... 23
1.3.1. Nội dung chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình ở trường THCS ............................................................................. 23
1.3.2. Tình hình DH nội dung “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” ở THCS ...... 27
1.3.3. Tình hình vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học giải bài
toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS ..... 29
1.4. Kết luận chương 1....................................................................................... 35
Chương 2: THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH
HÓA TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG
2.1. Định hướng và nguyên tắc thiết kế hoạt động mô hình hóa ....................... 37
2.1.1. Định hướng .............................................................................................. 37
2.1.2. Nguyên tắc ............................................................................................... 37
2.2. Thiết kế hoạt động mô hình hóa ................................................................. 39
2.2.1. Chủ đề 1: Phương trình bậc nhất một ẩn ................................................. 39
2.2.2. Chủ đề 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ....................................... 40
2.2.3. Chủ đề 3: Phương trình bậc hai một ẩn ................................................... 42
2.3. Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học giải bài toán bằng
cách lập phương trình – hệ phương trình ở trường THCS ...................... 44
2.3.1. Biện pháp 1: Sử dụng PP MHH để gợi động cơ mở đầu ........................ 44
2.3.2. Biện pháp 2: Sử dụng PP MHH trong DH kiến thức mới ....................... 48
2.3.3. Biện pháp 3: Sử dụng PP MHH trong DH vận dụng kiến thức .............. 56
2.4. Kết luận chương 2....................................................................................... 62
TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ......................................................................... 37
3.2. Nội dung thực nghiệm ................................................................................ 65
3.2.1. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 65
3.3. Kết quả thực nghiệm ................................................................................... 66
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 64
3.3.1. Phân tích định tính ................................................................................... 66
3.3.2. Phân tích định lượng ................................................................................ 67
3.3.3. Kiểm định giả thuyết thống kê ................................................................ 69
3.4. Kết luận chương 3....................................................................................... 71
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 73
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
PHỤ LỤC ...............................................................................................................
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết đầy đủ Viết tắt
CĐSP Cao đẳng sư phạm
ĐC Đối chứng
DH Dạy học
ĐHSP Đại học Sư phạm
ĐK Điều kiện
GĐC Gợi động cơ
GQVĐ Giải quyết vấn đề
GV Giáo viên
HPT Hệ phương trình
HS Học sinh
KN Kỹ năng
MHH Mô hình hóa
MHHTH Mô hình hóa toán học
NXB Nhà xuất bản
PP Phương pháp
PPDH Phương pháp dạy học
PT Phương trình
SGK Sách giáo khoa
TH Toán học
THCS Trung học cơ sở
THPT Trung học phổ thông
TN Thực nghiệm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
TT Thực tiễn
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng
Bảng 2.1. Bảng tổng hợp thời gian - vận tốc - quãng đường của Ca nô và Ô tô .... 39
Bảng 3.1. Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực
nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) ............................................ 67
Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra 45
phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) ...................... 67
Bảng 3.3. Bảng phân bố tần suất điểm kiểm tra 45 phút ............................... 67
Bảng 3.4. Bảng phân bố (ghép lớp) tần suất điểm kiểm tra 45 phút ............. 68
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
DANH MỤC BIỂU ĐỒ, SƠ ĐỒ
Sơ đồ 1.1
Quan hệ giữa 4 giai đoạn của MHH toán học ........................... 14
Biểu đồ 1.1. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng
cường liên hệ môn Toán THCS với thực tiễn ........................... 30
Biểu đồ 1.2. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu những
ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến
thức môn toán ở trường THCS .................................................... 30
Biểu đồ 1.3. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế các
hoạt động giúp HS THCS hiểu những ứng dụng của Toán
học trong thực tiễn ..................................................................... 30
Biểu đồ 1.4. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên sử dụng công
nghệ thông tin giúp HS THCS hiểu những mô hình của
toán học trong thực tiễn ............................................................. 30
Biểu đồ 1.5. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế bài tập,
bài kiểm tra theo hướng vận dụng MHHTH để giải quyết bài
toán nảy sinh từ thực tiễn ............................................................ 31
Biểu đồ 1.6. Tỷ lệ GV đánh giá về tầm quan trọng của MHHTH trong
dạy học Toán ở trường THCS ................................................... 31
Biểu đồ 1.7. Tỷ lệ GV đánh giá về tác dụng rèn luyện kỹ năng cho HS
THCS của hoạt động mô hình hóa toán học ............................. 31
Biểu đồ 1.8. Tỷ lệ GV đánh giá về những chủ đề môn toán THCS có thể
sử dụng PP MHH trong thiết kế các hoạt động dạy học ........... 31
Biểu đồ 1.12. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng cường
liên hệ toán học với thực tiễn trong học Toán ở THCS. ........... 34
Biểu đồ 1.13. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu
những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ
với môn toán ở trường THCS. .................................................. 34
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Biểu đồ 1.14. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ thường xuyên được tiếp xúc
với các bài tập, bài kiểm tra có yêu cầu vận dụng mô hình
hóa toán học .............................................................................. 34
Biểu đồ 1.15. Tỷ lệ HS đánh giá nội dung môn Toán THCS gần gũi nhất với
thực tế ......................................................................................... 34
Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần số điểm bài kiểm tra 45 phút .................... 68
Biểu đồ 3.2. Biểu đồ phân bố tần số (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút ......... 68
Biểu đồ 3.3. Biểu đồ cột phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút ........... 68
Biểu đồ 3.4. Biểu đồ hình quạt tần suất (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút .... 69
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1 ............................................................................................................. 17
Hình 1.2 ............................................................................................................. 22
Hình 2.1 ............................................................................................................. 40
Hình 2.2 ............................................................................................................. 41
Hình 2.3 ............................................................................................................. 42
Hình 2.4 ............................................................................................................. 44
Hình 2.5 ............................................................................................................. 48
Hình 2.6 ............................................................................................................. 50
Hình 2.7 ............................................................................................................. 51
Hình 2.8 ............................................................................................................. 51
Hình 2.9 ............................................................................................................. 52
Hình 2.10 ........................................................................................................... 57
Hình 2.11 ........................................................................................................... 59
Hình 2.12 ........................................................................................................... 60
Hình 2.13 ........................................................................................................... 61
Hình 2.14 ........................................................................................................... 62
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bối cảnh phát triển và hội nhập quốc tế đặt ra những yêu cầu mới cho giáo dục.
Ở Việt Nam, sự phát triển kinh tế - xã hội trong bối cảnh hội nhập quốc tế với những
ảnh hưởng của xã hội tri thức và toàn cầu hóa tạo ra những cơ hội nhưng đồng thời
đặt ra những yêu cầu mới đối với giáo dục trong việc đào tạo đội ngũ lao động. Đào
tạo nguồn nhân lực có trình độ cao đáp ứng nhu cầu phát triển kinh tế tri thức đang là
thách thức không chỉ của ngành giáo dục mà còn là của toàn Đảng, toàn dân.
Nghị quyết 29 (2013) của Đảng Cộng sản Việt Nam đã đề ra định hướng đổi
mới chương trình giáo dục phổ thông nhằm phát triển năng lực và phẩm chất, hài hòa
đức, trí, thể, mỹ của học sinh. Cụ thể là: "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao
dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ
chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực người
học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với
giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”, [5].
Trong Luật Giáo dục (2005) đã quy định: "Mục tiêu của giáo dục phổ thông là
giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ
năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành
nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm
công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động,
tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”, [18].
Trong nghị quyết 88/2014/QH13, Quốc hội nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa
Việt Nam đã xác định mục tiêu đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông là
“nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ
thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền
giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về
phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của
mỗi HS”, [19].
Triển khai nghị quyết 29 của Đảng, Chính phủ đã cụ thể hóa nguyên tắc xây
dựng chương trình và SGK mới cần “bảo đảm tính tiếp nối, liên thông giữa các cấp
học, các lớp học, giữa các môn học, chuyên đề học tập và hoạt động trải nghiệm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
sáng tạo” [3].
Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là chìa khóa trong rất nhiều hoạt động của
con người. Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa các sự vật hiện tượng trong thực
tiễn trên những bình diện khác nhau và có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục
tiêu chung của giáo dục phổ thông. Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có
ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng
như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, toán học trở nên thiết yếu đối với
mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn
minh hơn.Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần
phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kĩ năng và ý thức vận dụng
những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả
thiết thực. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn đóng vai trò quan trọng trong quá
trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học cho học sinh (HS). Để làm sáng tỏ
mối liên hệ này, HS cần hiểu và vận dụng những kiến thức toán học đã học để giải
thích, dự đoán, kiểm chứng và mô hình hóa các vấn đề trong cuộc sống.
Xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong DH Toán ở trường phổ thông đóng
vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực cho HS. Liên hệ
thực tiễn giúp HS học tập toán một cách tích cực, chủ động và có ý nghĩa hơn. Để
thực hiện được mục tiêu đó, giáo viên (GV) dạy toán cần có năng lực vận dụng
những khái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế và mô tả các mô hình toán
học trong cuộc sống. Khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tiễn
được coi là cơ sở của việc "toán học hóa các tình huống thực tiễn”. Thuật ngữ "toán
học hóa" có nghĩa là sử dụng ngôn ngữ toán học chuyển các vấn đề trong cuộc sống
hàng ngày về dạng biểu diễn toán học. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là
tổng hợp của năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lực
chuyển đổi thông tin giữa thực tế cuộc sống, toán học và năng lực thiết lập mô hình
toán học của tình huống thực tiễn.
Để toán học hóa thực tiễn, người ta cần đến NL MHH - một NL có vai trò quan
trọng trong giáo dục. NL MHH đã được PISA chọn là một trong tám năng lực đặc
trưng của toán học (theo [6]). Ở Việt Nam, NL MHH được đưa vào mục tiêu chương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
trình giáo dục phổ thông mới như một thành phần quan trọng của NL toán học [2,
tr.6]. Với ý nghĩa này, Đỗ Đức Thái và các tác giả [20, tr.3] đã cụ thể hóa NL MHH
thành những tiêu chí chỉ báo đối với HS trong môn Toán để GV có thể tác động cũng
như đo lường được trong quá trình DH Toán.
Trong DH toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể là hình vẽ,
bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo
trên máy tính điện tử. Mô hình hóa trong DH toán là PP giúp HS tìm hiểu, khám phá
các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ
của các phần mềm DH. Sử dụng PP này trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được
tính tích cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi "Môn Toán có ứng
dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực
tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho
HS. Quá trình mô hình hóa các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa thực
tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học. Do vậy, nó đòi hỏi HS cần
vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh,
khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học
toán của HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập
môn Toán. Những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK,
cũng như trong thực tế DH Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường
xuyên. Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập
trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví dụ, bài
tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số THCS để HS học và
rèn luyện còn rất ít. Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế DH Toán ở trường
phổ thông, GV không thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của
toán học vào thực tiễn. Ở Việt Nam, chưa có nhiều nghiên cứu vận dụng PP mô hình
hóa trong DH toán. Chương trình SGK và các PPDH hiện nay vẫn chưa giúp HS hiểu
rõ về những ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Vì vậy, kết quả của đề tài có thể
tạo ra một diễn đàn trao đổi về khả năng giảng dạy toán học ứng dụng cũng như làm
rõ mạch kiến thức về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn trong chương trình môn
Toán ở trường phổ thông.
Từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Dạy
học giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường
THCS theo phương pháp mô hình hóa”.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
2. Mục đích nghiên cứu
Vận dụng PP mô hình hóa trong DH giải bài toán bằng cách lập phương trình,
hệ phương trình giúp HS rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải
quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn, góp phần nâng cao hiệu quả DH môn
Toán ở trường THCS.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Quá trình DH môn Toán ở trường THCS.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Việc vận dụng PP mô hình hóa trong DH giải bài toán bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình.
3.3. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung DH giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình trong
môn Toán THCS.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu thiết kế được hệ thống các tình huống và bài tập có nội dung thực tiễn, vận
dụng PP mô hình hóa để tổ chức các hoạt động học tập thì sẽ hiện thực hóa phương pháp
mô hình hóa trong dạy học môn Toán, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề
thực tiễn cho HS, thực hiện định hướng đổi mới PPDH môn Toán tập trung vào phát
triển năng lực cho HS ở trường THCS.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu đặc điểm và cách thức vận dụng PP MHH vận dụng trong DH
chủ đề: "Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT cho HS lớp 8, 9 trường THCS”.
5.2. Nghiên cứu đặc điểm của nội dung chương trình SGK môn toán lớp 8, 9
theo định hướng phát triển năng lực cho HS.
5.3. Xây dựng được một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn vận dụng PP
mô hình hóa để sử dụng trong DH chủ đề: "Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT
cho học sinh lớp 8, 9 trường THCS”.
5.4. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá
tính khả thi, hiệu quả của việc vận dụng PP mô hình hóa trong DH chủ đề: "Giải bài
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
toán bằng cách lập PT, HPT cho học sinh lớp 8, 9 trường THCS”.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu trong và ngoài nước về các vấn đề liên quan đến
đề tài của luận văn.
6.2. Phương pháp điều tra, quan sát
Quan sát, điều tra thực trạng về việc vận dụng PP mô hình hóa trong DH với các
hình thức: sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, quan sát, nhật kí ghi chép, phỏng vấn trực
tiếp GV ở trường THCS.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THCS để kiểm nghiệm tính khả thi
và hiệu quả của nội dung nghiên cứu được đề xuất.
6.4. Phương pháp sử dụng thống kê toán học
Dùng trong xử lí số liệu điều tra thực trạng và kết quả thực nghiệm.
7. Đóng góp của luận văn
7.1. Những đóng góp về mặt lý luận
Góp phần làm rõ thêm cách thức vận dụng PP MHH trong DH Toán, thể hiện qua:
- Cách thức thiết kế và sử dụng một số tình huống MHH trong DH giải bài toán
bằng cách lập phương trình, hệ phương trình;
- Cách thức vận dụng PP MHH khi gợi động cơ, trong dạy kiến thức mới, trong
vận dụng kiến thức đối với nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình.
7.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn
- Cụ thể hóa việc vận dụng PP MHH vào DH nội dung giải bài toán bằng cách
lập phương trình, hệ phương trình, góp phần nâng cao hiệu quả DH môn Toán ở
THCS, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của môn Toán THCS.
- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS lớp 8, 9
trường THCS trong quá trình sử dụng PP MHH vào DH nội dung giải bài toán bằng
cách lập PT, HPT.
- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu rộng và sâu hơn về những vấn đề có
liên quan đến dạy học Toán gắn với thực tiễn, vận dụng phương pháp mô hình hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
toán học đối với các chủ đề nội dung khác của môn Toán, ...
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần "Mở đầu”,"Kết luận" và "Tài liệu tham khảo”, nội dung chính của
luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1 - Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2 - Thiết kế và tổ chức một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học
chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Chương 3 - Thực nghiệm sư phạm
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Mối quan hệ giữa toán học với thực tiễn
1.1.1. Toán học nảy sinh từ thực tiễn và quay trở lại phục vụ thực tiễn
Ăng – ghen đã chỉ rõ đối tượng của toán học thuần túy là những quan hệ về số
lượng và hình dạng không gian của thế giới thực (theo Nguyễn Bá Kim [12], 2015).
Những nghiên cứu về lịch sử toán học khẳng định: Nhu cầu thực tiễn làm nảy
sinh toán học, và cũng là môi trường để vận dụng các kiến thức và PP toán học. Xuất
phát từ nhu cầu thực tiễn cuộc sống đấu tranh để tồn tại và phát triển, con người đã
phát hiện các yếu tố toán học mà ban đầu là các con số, phép tính, hình, ... để hình
thành và phát triển khoa học toán học (tham khảo [26]).
Bản chất thực tiễn của toán học được thể hiện rõ ràng ở cách hiểu “Toán học là
khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và logic trong thế giới
khách quan hay Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có
thể trang bị cho một hệ tiên đề” ([22])
Nhìn nhận từ góc độ DH môn Toán, Nguyễn Bá Kim ([12]) đã chỉ ra tính thực
tiễn sâu sắc và tính trừu tượng cao độ là một trong hai đặc điểm chính của toán học.
Toán học càng trừu tượng thì kiến thức và PP toán học càng tổng quát, nên phạm vi
ứng dụng trong thực tiễn càng rộng lớn.
Theo Trần Kiều [11]: các ứng dụng toán học có thể chia làm hai loại: những ứng
dụng trong nội bộ môn toán và ứng dụng trong các lĩnh vực ngoài toán học.
Điều cần lưu ý là: Theo thời gian, càng về gần đây thì khoảng cách giữa lý
thuyết toán học và ứng dụng thực tế của toán học càng rút ngắn lại, đồng thời ứng
dụng của toán học trong thực tiễn ngày càng phong phú hơn (tham khảo [26]).
Trong [37, tr.59], khi tiếp cận vấn đề DH Toán gắn với thực tiễn, trên cơ sở
phân tích mối liên hệ hai chiều giữa toán học và thực tiễn, Nguyễn Anh Tuấn đã làm
rõ vai trò, chỉ ra cơ hội, yêu cầu và khả năng thực hiện giáo dục toán học gắn với
thực tiễn.
Theo khảo cứu một số công trình nghiên cứu trên thế giới của Hà Xuân Thành
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
trong [21]: Ở những nước có nền giáo dục tốt trên thế giới đều chú trọng DH liên hệ
chặt chẽ với thực tiễn. Điều đó thể hiện không chỉ ở PPDH mà ngay từ việc đưa vào
SGK nhiều bài tập có nội dung thực tiễn (gồm cả những bài tập lấy dữ liệu từ thực tế
và bài tập sử dụng tình huống giả định; cả những bài tập kết nối môn Toán với các
môn học khác trong nhà trường.
Cũng theo khảo cứu một số công trình nghiên cứu ở Việt Nam của Nguyễn Anh
Tuấn trong [37, tr.59-60]: Các tác giả Bùi Huy Ngọc (2003), Nguyễn Ngọc Anh
(2004), Phan Thị Tình (2013), Nguyễn Thị Tân An (2014), … với nhiều góc độ tiếp
cận và mục đích khác nhau, nhưng đều tập trung xây dựng một số biện pháp thực
hiện giáo dục toán học gắn với thực tiễn trong dạy học những nội dung cụ thể ở các
cấp, bậc học; thông qua biện pháp bổ sung, sử dụng những ví dụ thực tiễn, khai thác
lịch sử toán học, tập luyện năng lực mô hình hóa toán học, gắn toán học với thực tiễn
đào tạo nghề ở trường đại học, ...
Ở những công trình kể trên, các tác giả đều cụ thể hóa, làm rõ hơn mối quan hệ
chặt chẽ và nhiều mặt giữa toán học và thực tiễn, khẳng định sự cần thiết khai thác tốt
sự gắn bó mật thiết giữa toán học và thực tiễn trong DH Toán.
1.1.2. Toán học là khoa học công cụ đối với nhiều lĩnh vực khoa học khác
Để giải quyết thực tiễn con người cần đến nhiều khoa học. Với đặc thù của
mình, toán học đóng vai trò một khoa học công cụ - giúp cho loài người “phương
tiện” hữu hiệu để nghiên cứu và giải quyết những vấn đề ở những khoa học khác - mà
thực chất cuối cùng là phục vụ nhu cầu thực tiễn đời sống xã hội.
Bất kì ai trong cuộc sống của mình và cộng đồng đều cần sử dụng kiến thức và
PP toán học để giải quyết những vấn đề do thực tiễn đặt ra. Vì vậy, họ có nhu cầu học
môn toán; sử dụng toán như công cụ trong lao động, học tập môn học khác, trong
nghiên cứu khoa học, ...
Đồng thời, những kiến thức và PP toán học đã có cũng lại là “công cụ” để con
người sử dụng khi tiếp tục nghiên cứu, phát triển toán học.
Theo Nguyễn Bá Kim [12], “Do tính trừu tượng cao độ mà Toán học có tính
thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng vào rất nhiều ngành khoa học: Vật lí học, Hoá
học, Ngôn ngữ học, Thiên văn học, Địa lí, Sinh học, Tâm lí học v.v... và trở thành một
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
công cụ có hiệu lực của các ngành đó”.
Như vậy, ứng dụng của toán học rất đa dạng, phong phú trong thực tiễn. Điều
đó khẳng định vai trò to lớn của toán học đối với cuộc sống con người.
1.2. Mô hình và phương pháp mô hình hóa
1.2.1. Một số khái niệm
1.2.1.1. Mô hình
a) Một số quan niệm và biểu đạt khác nhau về mô hình:
- Theo [24, tr.107]: Khách thể T là mô hình của khách thể X đối với một hệ
thống H các đặc trưng nào đó, nếu T được xây dựng hoặc chọn để bắt chước X theo
những đặc trưng đó.
- Còn theo Blum, Ferry (2009) trong [32, 45-58] thì mô hình là một “vật” hay “hệ
thống” làm đại diện hoặc là vật thay thế cho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm.
- Theo Jonathan Borwein, Keith Devlin (2009), [34, tr.347] thì diễn đạt mô hình
là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản
ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu.
Như vậy, mô hình được mô tả như một "vật" dùng thay thế mà qua đó ta có thể
thấy được các đặc điểm đặc trưng của sự vật (hoặc hệ thống sự vật) thực tế. Tức là
mô hình xem như là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc) nhằm một
mục đích nào đó. Cũng cần lưu ý rằng: Mô hình có thể ở dạng đồ vật cụ thể, nhưng
cũng có thể ở dạng hình ảnh, sơ đồ, ... thậm chí được biểu đạt một cách trừu tượng
hơn thông qua sự mô tả ... (chẳng hạn mô hình kinh tế, mô hình tài chính, mô hình
chính trị, ...)
Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng
mà không cần đến (toàn bộ) sự vật thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ
của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó.
b) Đặc trưng của mô hình:
- Mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (chọn tính
chất nào là cơ bản là do con người), tức là mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với
vật gốc (thể hiện được những tính chất và mối quan hệ chủ yếu).
- Mô hình là sản phẩm của quá trình trừu tượng hóa những đối tượng cụ thể nên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
mang tính khái quát, lí tưởng (thậm chí có cả những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn!);
- Mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một số mặt nào đó của vật gốc
nên không thể thay thế hoàn toàn vật gốc.
- Mô hình không phải là bất biến do nó phản ánh thực tiễn luôn vận động và
biến đổi.
1.2.1.2. Mô hình hóa trong toán học
a) Mô hình toán học
Trong toán học, một mô hình toán học (hiểu theo nghĩa rộng) là mô hình trừu
tượng ở đó người ta sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả một hệ thống nào đó trong
hiện thực khách quan (tham khảo [14]).
Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình toán học khác các mô hình trong các
khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ
nào đó chính xác để diễn tả đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra
quan hệ số lượng khác (dẫn theo Nguyễn Danh Nam [14]).
Mô hình toán học (nghĩa rộng) được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự
nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (như Vật lý, Sinh học, Kĩ thuật điện tử, ...) đồng thời
trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế học, Xã hội học, Khoa học chính trị, ...).
Tiếp cận mô hình theo nghĩa hẹp, Berinderjeet Kaur (2010) trong [29, tr.56] cho
rằng: Mô hình toán học còn có thể là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương
trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng, ...
Xem xét từ phạm vi dạy học Toán, chúng tôi thấy:
Bên cạnh cách hiểu mô hình toán học như trên, cụm từ “mô hình toán học” hay
còn gọi đơn giản là “mô hình” đôi khi được GV dùng theo nghĩa hẹp: chỉ đơn giản là
một mô hình vật chất dưới dạng đồ dùng DH Toán cụ thể hoặc phần mềm toán học
(trừu tượng) để phản ánh những đối tượng toán học cụ thể như mặt phẳng, đường
thẳng, đồ thị hàm số, khối đa diện, ... Khi đó, cái cụ thể thể hiện ở mô hình này sẽ phản
ánh một phần những yếu tố của loại mô hình toán học trừu tượng, tổng quát kể trên.
Để phân biệt với đồ dùng DH (trong đó có cả mô hình thu gọn, ...) ở môn học
khác, GV cũng cần chú ý rằng: Trong toán học, với đặc thù trừu tượng cao độ của khoa
học này, cho dù có ở dạng đồ vật cụ thể, sử dụng ngôn ngữ toán học hay là mô hình ảo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
trên máy vi tính ... để mô tả về đối tượng toán học thì mô hình thực chất cũng chỉ mang
tính tượng trưng. Bởi lẽ, mọi đối tượng trong toán học mà mô hình phản ánh cũng đã là
trừu tượng hoàn toàn, kể cả con số, hình, đồ thị, ... đều không phải là những đối tượng
có thật trong thực tế; trong khi ở Vật lý, Hóa học, Sinh học, ... thì mô hình (kể cả thu
gọn) hầu hết lại phản ánh sự vật, hiện tượng có thật trong cuộc sống.
b) Mô hình hóa
Theo nghĩa tiếng Việt, MHH được hiểu là hoạt động chuyển về dạng “mô hình”.
Đối với mô hình toán học thì đó là việc chuyển từ sự vật, hiện tượng ở tình huống
thực tế thành dạng mô hình toán học, diễn đạt thông qua ngôn ngữ, ký hiệu trừu
tượng của toán học.
Chẳng hạn: Trong sản xuất (hoặc kinh doanh) mặt hàng áo, quần, giày, người ta
thường quan tâm đến các con số trung bình tiêu hao nguyên liệu, năng suất và sản
lượng, lợi nhuận, ... trong một khoảng thời gian nhất định (tháng, quý, năm).
Trong thực tế, nhiều khi người ta lại không quan tâm đến kích cỡ của áo, quần,
giày, thậm chí không tính trung bình các con số này ... mà với mục đích tăng trưởng
lợi nhuận trong sản xuất, kinh doanh thì cứ loại nào bán được nhiều nhất sẽ đầu tư
sản xuất nhiều (hoặc nhập hàng về nhiều) ... Câu hỏi đặt ra là loại (kích cỡ) nào cần
nhiều nhất?
Điều đó được toán học phản ánh thông qua mô hình dãy số liệu, bảng thống kê,
các tham số thống kê như “trung bình cộng”, “mode”, “tần số”, “tần suất”, ...
c) Mô hình hóa toán học
Mô hình hóa toán học (tham khảo [1]) là thuật ngữ được sử dụng để chỉ hoạt
động quan trọng trong quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán
học. Trong DH toán, theo Trần Vui [28], mô hình hóa thường được sử dụng theo hai
mục đích:
- Mô hình hóa để học toán: Mô hình hóa là một phương tiện hỗ trợ việc học các
khái niệm và quá trình học toán của HS, chẳng hạn như tạo động cơ giúp hình thành
và hiểu một khái niệm hoặc minh họa các nội dung toán học trừu tượng, phức tạp.
- Học toán để mô hình hóa: Mô hình hóa là một mục đích của việc học toán,
nhằm trang bị cho HS các NL để có thể sử dụng toán trong nhiều ngữ cảnh và tình
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
huống bên ngoài lớp học.
Từ những công trình nghiên cứu có liên quan, trong luận văn này, chúng tôi tiếp
cận MHHTH với mục đích: coi đây là một hoạt động của HS cần thiết để hỗ trợ quá
trình học giải bài toán bằng cách lập PT, HPT ở trường THCS.
d) Toán học hóa
Theo Trần Vui ([28]), thuật ngữ “toán học hóa” được sử dụng với nghĩa: sử
dụng ngôn ngữ toán học chuyển các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày về dạng biểu
diễn toán học. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là tổng hợp của năng lực
thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lực chuyển đổi thông tin
giữa thực tế cuộc sống, toán học và năng lực thiết lập mô hình toán học của tình
huống thực tiễn.
e) Năng lực mô hình hóa (modeling)
NL MHH đã được PISA chọn là một trong tám năng lực đặc trưng của toán học
(theo [6]), bao gồm: tư duy và lập luận; tranh luận về các nội dung toán học; giao tiếp
toán học; mô hình hóa; đặt và giải quyết vấn đề; biểu diễn; sử dụng kí hiệu, thuật ngữ
chuyên môn, phép toán hình thức; sử dụng phương tiện và công cụ tính toán.
Trong DH toán, mô hình hóa được quan niệm là:
Mô hình hóa trong DH toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình
huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học như hình vẽ, bảng biểu,
hàm số, đồ thị, phương trình, kí hiệu, sơ đồ, công thức,… [36, trang 26-32].
NL MHH được đưa vào mục tiêu chương trình giáo dục phổ thông mới như một
thành phần quan trọng của NL toán học [2, tr.6].
Để có thể đo lường được, Đỗ Đức Thái và các tác giả [20, tr.3] đã cụ thể hóa
NL MHH thành những tiêu chí chỉ báo đối với HS THCS trong học Toán thông qua
việc các em thực hiện được các hành động:
- Sử dụng các mô hình toán học (công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ...)
để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế không quá phức tạp;
- Giải quyết được các vấn đề toán học trong các mô hình được thiết lập;
- Thể hiện được lời giải bài toán trong ngữ cảnh thực tế và làm quen với việc
kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải, bước đầu biết điều chỉnh mô hình nếu cách
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
giải quyết không phù hợp.
1.2.2. Phương pháp mô hình hóa
DH bằng mô hình hóa hay PP mô hình hóa trong DH là quá trình giúp học sinh
xây dựng mô hình từ tình huống để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
Theo Nguyễn Danh Nam [16], MHH là PP xây dựng và cải tiến một mô hình
toán học nhằm diễn đạt và mô tả các bài toán thực tiễn, đã được các nhà nghiên cứu
trên thế giới quan tâm như Smith & Wood, 2001; Vasco, 1999; Martinez -Luacles,
2005; Carrejo & Marshall, 2007.
Từ những công trình nghiên cứu có liên quan, trong DH Toán, chúng tôi hiểu
PP mô hình hóa là con đường, cách thức để chuyển một tình huống thực tiễn trở
thành dạng mô hình toán học và phát biểu dưới dạng một bài toán. Thông qua đó,
GV giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và
ngôn ngữ toán học. Nhờ sử dụng PP MHH, GV có thể giúp HS tự trả lời câu hỏi
“Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các
hiện tượng thực tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ, gây hứng
thú học toán cho HS, góp phần thực hiện mục tiêu phát triển NL HS, đặc biệt là NL
vận dụng toán học vào thực tiễn.
1.2.3. Quy trình mô hình hóa
Quá trình MHHTH không chỉ cần đến nguyên tắc mà còn cần được thực hiện
theo một quy trình. Mặc dù quá trình MHHTH không dễ quy trình hóa, những vẫn
cần thiết chỉ ra các bước thực hiện theo một lộ trình nhất định.
Theo Nguyễn Danh Nam trong [16]), có 4 giai đoạn cần thực hiện trong quá
trình chung MHHTH (tham khảo Swetz và Hartzler, 1991):
“1. Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố
có tác động đến vấn đề đó.
2. Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngôn ngữ toán học, từ
đó phác họa mô hình toán học tương ứng.
3. Áp dụng các PP và công cụ toán học phù hợp để MHH bài toán và phân tích
mô hình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
4. Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận.”
Theo đó, có thể mô tả, hình dung quá trình MHHTH thông qua sơ đồ “khép kín”
- tức là thể hiện được thực tiễn vừa là nguồn gốc, động lực vừa là môi trường ứng
Quan sát, hiểu và xây dựng mô hình
Tình huống thực tiễn
Mô hình toán học
Phân tích
Áp dụng
Hiểu và thông dịch
Kết luận, Thông báo
Kết luận toán học
dụng của toán học như sau:
Sơ đồ 1.1. Quan hệ giữa 4 giai đoạn của MHH toán học
Tham khảo tài liệu [16], chúng tôi thống nhất với quy trình 7 bước thực hiện
MHHTH trong DH môn toán do tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) đề xuất:
1. Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn
đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế.
2. Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra.
3. Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán
học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó.
4. Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán.
5. Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán học trong
hoàn cảnh thực tế.
6. Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lý và
tối ưu của mô hình đã xây dựng.
7. Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô
hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn.
Ở đề tài này, chúng tôi vận dụng vào phạm vi và đối tượng GV và HS THCS, và
giới hạn trong nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình,
trên cơ sở tham khảo [7], chúng tôi cụ thể hóa các hoạt động thực hiện MHHTH theo
sáu bước như sau:
Bước 1: Xuất phát từ việc tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
PP toán học - ở đây là công cụ PT, HPT.
Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Chọn một tình huống thực tiễn có liên quan đến yêu cầu tìm, tính toán một vài
đại lượng nào đó (chính là dẫn đến nhu cầu ẩn số của PT, HPT);
- Tìm hiểu các mối liên hệ giữa những dữ kiện đã cho và phải tìm (ứng với loại
PT, HPT);
- Xác định sự phù hợp về mức độ khó khăn đối với HS THCS khi dùng công cụ
PT, HPT (được học - ở đây chỉ hạn chế trong phương trình bậc nhất, phương trình
bậc hai, hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn);
Bước 2: Xây dựng giả thuyết - mô phỏng tình huống và cấu trúc đường lối giải quyết;
Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Mô tả chi tiết tình huống để xác định câu hỏi đặt ra là gì? Đưa ra các giả thiết
phù hợp.
- Nhận ra yếu tố cố định, các đại lượng không đổi và đại lượng biến đổi trong
tình huống để biểu diễn các mối quan hệ giữa chúng.
- Thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình huống, những dữ
liệu này sẽ gợi ý loại mô hình toán phù hợp với tình huống.
- Chuyển từ tình huống ban đầu về dạng tình huống thực tiễn có dữ kiện và yêu
cầu và cấu trúc rõ ràng bằng cách biểu đạt lại làm cho tình huống trở nên rõ ràng hơn,
gần gũi với cấu trúc của một bài toán (cái đã cho - điều phải tìm).
- GV gợi ý mối liên kết giữa tình huống thực tế và toán học; dự kiến những kiến
thức, kĩ năng toán học và giúp HS tái hiện, chuẩn bị sử dụng để thiết lập mô hình toán
học và giải bài toán.
Bước 3: Xây dựng bài toán toán học;
Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Rút gọn, đơn giản hóa tình huống bằng cách lược bỏ những chi tiết không bản
chất, cụ thể hóa câu hỏi, vấn đề đặt ra.
- Từ mô hình đã rút gọn - có cấu trúc giả thiết - kết luận, HS nhận dạng loại bài
toán toán học tương thích.
- Biểu đạt theo cấu trúc và hình thức của loại bài toán đó bằng cách dùng tư duy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
và ngôn ngữ, ký hiệu toán học để phát biểu bài toán đã xác định.
Bước 4: Giải bài toán bằng công cụ toán học;
Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Ở bước này, GV hướng dẫn HS sử dụng kiến thức và kỹ năng toán học tương
ứng để giải bài toán theo PP quen thuộc.
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời
cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu;
Để thấy rõ ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế, GV hướng
dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Tìm hiểu lời giải theo cả hai mặt: mặt cú pháp (theo quy tắc, PP hình thức
lôgic), mặt ngữ nghĩa (nghĩa của từng kiến thức, bước biến đổi tính toán và lập luận
trong quá trình giải bài toán)
- Đối chiếu với câu hỏi và cách thức giải quyết đời thường để thấy rõ ý nghĩa
của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế.
Bước 6: Kiểm nghiệm đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào
giải các bài toán thực tiễn khác.
Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Đối chiếu mô hình vừa xây dựng với những tình huống thực tế và áp dụng thử
để thấy được ưu, nhược điểm, tìm cách chỉnh sửa và rút ra kết luận cần thiết.
Ví dụ 1.1: Tình huống thực tế dẫn đến phương trình bậc nhất.
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn
Hai bạn An và Bình đi từ Giao Thuỷ đến Nam Định trên quãng đường 50km. An
đi bằng xe đạp điện với vận tốc trung bình 20 km/h từ lúc 7g sáng, sau đó vào lúc 8g
sáng Bình đi bằng xe xe máy với vận tốc trung bình 40 km/h.
Vậy có thể đặt ra những câu hỏi: Sau bao nhiêu lâu hai bạn gặp nhau trên
đường? Địa điểm gặp nhau cách Nam Định bao nhiêu km?
Bước 2: Xây dựng giả thuyết - mô phỏng tình huống và cấu trúc đường lối giải quyết;
GV hướng dẫn HS đơn giản hóa bằng cách lược bỏ: tên người cụ thể chỉ để
lại A và B; Giao Thuỷ và Nam Định chỉ để lại khoảng cách 50km; Phương tiện xe
đạp điện và xe máy chỉ để lại 2 vận tốc 20 và 40; Thời gian chỉ còn lại 2 thời
điểm 7g00 và 8g00. Tức là chỉ mới quan tâm đến mô hình và bài toán “chuyển động
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
cùng chiều với vận tốc khác nhau” theo nghĩa vật lý.
Bước 3: Xây dựng bài toán thuần túy toán học
Bằng cách tiếp tục đơn giản hóa dữ kiện: tốc độ 20 từ lúc 7g; tốc độ 40 từ lúc
8g; thời điểm cách nhau 1 giờ. Như vậy, khoảng cách giữa A và B là 20 km. Từ đó,
HS xác định được giả thiết - kết luận của bài toán; cấu trúc bài toán giải bằng cách
lập phương trình: đặt ẩn x - lượng thời gian cần thiết để họ gặp nhau, đưa về phương
trình 40x = 20x + 20. Rút gọn được: 2x = x+1.
Bước 4: Giải bài toán bằng công cụ toán học
Sử dụng PP toán học (ở đây là giải phương trình bậc nhất): 2x = x+1
Vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2x và y = x+1 trên
cùng một hệ tọa độ (1.1).
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú
pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình
huống thực tiễn ban đầu
Đối chiếu với tình huống thực tế mô hình bài
toán vật lý để trả lời câu hỏi cho tình huống ban đầu:
Hình 1.1
Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp
tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.
HS đánh giá được ưu điểm của công cụ PT, HPT khi giải quyết bài toán thực tế
dưới dạng chuyển động trong vật lý.
Điều chỉnh: Trong trường hợp thay đổi vận tốc? Chiều chuyển động hay loại
chuyển động không đều ... thì PP giải quyết và kết quả như thế nào?
HS biết chuyển bài toán thành dạng chuyển động ngược chiều, thay đổi dữ kiện
về thời điểm, vận tốc, ... và hơn thế là dạng bài toán về năng suất lao động, sản phẩm
và thời gian. Mặt khác cũng có thể thay đổi công cụ toán học từ phương trình bậc
nhất sang phương trình bậc hai hoặc hệ phương trình, ...
1.2.4. Vai trò của phương pháp mô hình hóa và năng lực mô hình hóa trong dạy
học Toán
1.2.4.1. Năng lực mô hình hóa là một năng lực quan trọng trong giáo dục toán học
Trong tám năng lực được PISA lựa chọn, mô hình hóa là năng lực được nhiều
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
quốc gia trên thế giới đề cập đến từ hai thập niên trước và giữ vị trí ngày càng quan
trọng trong chương trình môn Toán phổ thông của nhiều nước như Hoa Kì, Đức,
Pháp, Anh, Trung Quốc, Singapore,… [1, trang 55-63].
Ở Việt Nam, trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán [2, tr.6] mới ban
hành (kèm theo thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT), cùng với kiến thức toán học, phẩm
chất và NL chung, yêu cầu phát triển NL toán học cho HS trong DH môn Toán bao gồm
5 thành phần cốt lõi cần hình thành và phát triển qua môn Toán, trong đó có NL MHH:
1. NL tư duy và lập luận toán học;
2. NL mô hình hoá toán học;
3. NL giải quyết vấn đề toán học;
4. NL giao tiếp toán học;
5. NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán.
Điều đó cho thấy vai trò của NL MHH trong DH môn Toán ở trường phổ thông.
1.2.4.2. Vai trò của phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán
Từ đặc thù của các hoạt động trong quá trình mô hình hóa, mà thông qua PP mô
hình hóa, học sinh nhận biết được ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc
sống; phát triển khả năng phân tích, suy luận, lập luận và giải quyết vấn đề toán học
trong những tình huống, hoàn cảnh khác nhau; phát triển tư duy phê phán và khả
năng liên hệ kiến thức toán học với các môn học khác.
Trong DH toán, PP MHH giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh
từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các PPDH khác,
trong đó có phần mềm DH.
Tham khảo Nguyễn Danh Nam [16], chúng tôi thấy PP MHH có những tác
dụng chính sau đây:
a) Do GV làm rõ hơn mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong sách giáo
khoa dưới góc nhìn của toán học nên PP MHH giúp HS tăng cường vận dụng và
thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát
hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của
HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn
toán (Mason & Davis, 1991; Niss, 1989).
b) Giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, PP toán học
phù hợp nên giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Lesh &
Zawojewski, 2007 khẳng định rằng MHH toán học giúp HS phát triển sự thông hiểu
các khái niệm và quá trình toán học. Quá trình MHH giúp HS hệ thống hóa các khái
niệm, ý tưởng toán học; nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng
đó. Do vậy, GV nên phát triển các loại bài tập gắn với hoạt động MHH như: các bài tập
ở dạng điều tra số liệu, khảo sát thực tế các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn, phân tích
các tin tức trên báo chí, số liệu trong sách giáo khoa hoặc trên mạng internet.
c) Giúp HS phát triển các kỹ năng toán học, đồng thời hỗ trợ GV tổ chức DH
theo PP phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn.
d) Giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và
làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn.
e) Giúp HS nâng cao năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề thực tiễn.
g) Phát triển NL hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự tin cho HS
thông qua hợp tác nhóm, sử dụng các công cụ phần mềm để MHH và GQVĐ thực tiễn.
h) Tạo cơ hội và tăng cường tính liên môn, tích hợp trong học tập các môn học khác.
Theo Nguyễn Danh Nam ([14]), khi DH Toán, GV có thể sử dụng PP MHH để
hỗ trợ:
Tạo tình huống có vấn đề trong DH toán;
Làm sáng tỏ một số yếu tố toán học trong thực tiễn;
Giúp HS hiểu được ý nghĩa của các số liệu thông kê từ thực tiễn.
Vận dụng quan điểm này, Phan Thị Thu Hiền (2015, [9]), đã xem xét làm rõ
thêm việc sử dụng PP MHH để hỗ trợ phát triển các kĩ năng toán học, cụ thể hóa
trong DH Đại số 10.
Từ những kết quả nghiên cứu đã có, trong phạm vi luận văn này, chúng tôi thấy
vai trò của PP MHH có tác dụng hỗ trợ quá trình DH Toán gắn bó hơn với thực tiễn,
giúp HS tiếp cận kiến thức toán học theo cách tích cực, gây hứng thú học tập, tăng
cường tính liên môn và tính tích hợp, đặc biệt là góp phần trực tiếp phát triển NL
MHH và NL GQVĐ thực tiễn. Từ góc nhìn này, chúng tôi tập trung vào khai thác
những thế mạnh - tác dụng sau của PP MHH trong DH Toán THCS:
+ Tác dụng 1: Giúp HS học toán một cách hứng thú, tích cực; từ đó hình thành
thói quen và khả năng vận dụng môn toán vào việc học các môn học khác, vào thực tế
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
cuộc sống (tác dụng này là cơ sở để chúng tôi xây dựng BP gợi động cơ ở chương 2).
+ Tác dụng 2: Rèn luyện các kỹ năng toán học, trong đó có kỹ năng sử dụng
ngôn ngữ, ký hiệu toán học; kỹ năng phân tích - tổng hợp; kỹ năng tính toán và suy
luận toán học; kỹ năng thực hành liên môn và tích hợp với môn học khác và thực tiễn
(tác dụng này là cơ sở để chúng tôi xây dựng các BP dạy hình thành kiến thức mới và
vận dụng kiến thức ở chương 2).
+ Tác dụng 3: Góp phần phát triển NL MHHTH, NL GQVĐ, năng lực vận dụng
toán học vào thực tiễn (tác dụng này là cơ sở để chúng tôi xây dựng các BP dạy vận
dụng kiến thức vào thực tiễn ở chương 2).
1.2.5. Vận dụng PP MHH trong DH giải bài toán bằng cách lập PT, HPT ở trường THCS
Trên cơ sở quy trình MHHTH 6 bước đã xác định ở trên (mục 1.2.3), vận dụng
vào DH giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS,
chúng tôi vận dụng PP MHH theo 6 bước cụ thể như sau:
- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn
đề, xác định cái phải tìm (ẩn số), cái đã cho (dữ kiện giả thiết) trong phạm vi của bài
toán thực tế.
- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa những dữ kiện đã cho với ẩn số.
- Bước 3: Xây dựng bài toán giải phương trình ... bằng cách lựa chọn và sử
dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống thực tế để lập phương trình đối với ẩn số
đã chọn.
- Bước 4: Sử dụng các quy tắc giải PT, HPT thích hợp để giải PT, HPT đã lập.
- Bước 5: Hiểu ý nghĩa của kết quả bài toán, chuyển đổi về ngôn ngữ thực tế để
trả lời câu hỏi của tình huống ban đầu.
- Bước 6: Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình và quá trình các bước giải
(ưu điểm và hạn chế) đã xây dựng và thực hiện
Cụ thể:
HS thiết lập một mô hình dưới dạng sơ đồ các bước giải bài toán:
Thâm nhập tình huống thực tiễn ở bài toán đã cho diễn đạt vấn đề thực tiễn
trên bằng ngôn ngữ toán học: ký hiệu, biểu thức, đẳng thức, ... thiết lập phương
trình, … sử dụng quy tắc giải phương trình ... để tìm nghiệm hiểu ý nghĩa
nghiệm của phương trình đối với bài toán thực tiễn để chuyển đổi thành câu trả lời
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
cần có.
Cuối cùng, HS xem xét lại mô hình (hoặc chấp nhận mô hình), diễn đạt lại bài
toán ban đầu (hoặc thông báo kết quả) và tìm hiều những hạn chế và khó khăn có thể
gặp phải khi áp dụng mô hình vào giải bài toán tương tự.
Ví dụ 1.2:
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP thuộc PT, HPT.
Tình huống: Một ôtô đi từ Hà Nội đến Thanh Hoá với vận tốc 40km/h. Sau 2
giờ nghỉ lại ở Thanh Hoá, ôtô lại từ Thanh Hoá về Hà Nội với vận tốc 30 km/h. Tổng
thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ). Tính quãng đường Hà
Nội - Thanh Hoá.
Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết;
Lược bỏ những chi tiết không bản chất toán học để đưa về dạng toán lập và
giải phương trình bậc nhất
Sau khi đọc xong toàn bộ bài toán, học sinh xác định các đại lượng của bài toán
như sau:
+ Đại lượng bài toán yêu cầu cần tìm được cho biết trong câu "Tính quãng
đường Hà Nội - Thanh Hoá"
+ Các đại lượng thời gian và vận tốc được bài toán cho biết trong câu: "Sau 2
giờ nghỉ lại ở Thanh Hoá", "Tổng thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút", "với vận
tốc 40 km/h", "với vận tốc 30 km/h".
+ Mối liên hệ giữa các đại lượng là công thức S = v.t.
+ Căn cứ vào công thức, ta nhận thấy bài toán có các đại lượng trung gian là:
"Thời gian đi Hà Nội - Thanh Hoá", "Thời gian đi Thanh Hoá - Hà Nội", "thời gian
thực đi từ Hà Nội đến Thanh Hoá và từ Thanh Hóa về Hà Nội".
+ Phân tích câu "Tổng thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian
nghỉ)". Tính thêm đại lượng "thời gian thực đi từ Hà Nội đến Thanh Hoá và từ Thanh
Hóa về Hà Nội" là 8 giờ 45 phút.
Bước 3: Xây dựng bài toán
Qua cách phân tích trên học sinh tìm được các đại lượng của bài toán là Tổng
thời gian thực đi (cả đi lẫn về) là 8 giờ 45 phút, "vận tốc khi đi là 40 km/h", "vận tốc
khi về là 30 km/h". Làm sáng tỏ vấn đề bài toán đặt ra: Biết "Tổng thời gian đi và về",
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
tỉ số của "thời gian đi" và "thời gian về" có thể tính được dựa vào tỉ số hai vận tốc (Vì
biết số liệu của hai đại lượng vận tốc nên ta tính được tỉ số này). Đây là dạng toán số
học quen thuộc ở tiểu học “Tìm hai đại lượng khi biết tổng số và tỉ số”. Nhờ vậy HS
THCS chuyển sang xây dựng bài toán giải hệ phương trình như sau:
Dùng PP giải bài toán bằng cách lập PT, HPT bậc nhất một ẩn
- Chọn ẩn: gọi thời gian xe chạy lúc đi là x và thời gian xe chạy lúc về là y.
- Điều kiện của ẩn: x, y >0.
Theo phân tích đề bài ở trên, ta có hệ phương trình:
40x = 30y
(2)
x+y = 8,75 (giờ) (1)
Bài toán 1: Giải hệ phương trình
Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT bậc nhất một ẩn
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta dùng một trong hai PP cộng (thế).
Chẳng hạn: Từ (2) hay thế x = 0,75y vào phương trình (1), ta có:
1,75y = 8,75 y = 5 (thỏa mãn điều kiện). Từ đó x = 3,75 (thỏa mãn
điều kiện).
Hệ phương trình có một nghiệm (3,75; 5).
GV sử dụng đồ thị để minh họa nghiệm của hệ phương trình trên như sau:
x. Từ hệ phương trình, ta có thể xây dựng hai hàm số: y1 = 8,75 - x và y2 =
Sau đó vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ tọa độ, gợi ý HS nhận xét tọa độ của giao điểm
của hai đồ thị và so sánh với nghiệm của hệ tìm được
bằng cách giải theo PP đại số ở trên. (Hình 1.2)
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú
pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình
huống thực tiễn ban đầu;
- Mặt cú pháp: Quy tắc giải phương trình bậc nhất
- Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chưa biết thỏa mãn
một đẳng thức dựa trên tính chất của các phép tính.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Hình 1.2
- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời: Vì thời gian lúc về là 5 (giờ) nên
quãng đường là S = 30 5 = 150 (km).
Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài
toán thực tiễn khác
- Mô hình bài toán chuyển động, đưa về lập và giải phương trình bậc nhất.
- Vận dụng tương tự: Có thể áp dụng mô hình này để giải quyết bài toán lao
động với năng suất khác nhau:
Bài toán 2: Trong vòng 10 ngày, một tổ sản xuất cần phải phải thực hiện xong
một kế hoạch lao động. Lúc đầu tổ sản xuất làm việc với năng suất 30 sản
phẩm/ngày. Khi đã thực hiện được một nửa số sản phẩm, người ta nhận thấy cần
tăng năng suất lao động để hoàn thành kế hoạch kịp tiến độ. Do vậy tổ sản xuất đã
áp dụng sáng kiến và làm được 35 sản phẩm/ngày. Tính tổng sản phẩm theo kế hoạch
dự kiến của tổ sản xuất đó.
Bài toán 3:
Hai nhóm đi phượt bằng xe máy từ Thành phố Nam Định đến rừng Cúc Phương.
Tốc độ lúc đi trung bình là 50 km/h; Tốc độ lúc quay về trung bình là 60 km/h. Khi đi
đoàn nghỉ dọc đường 30 phút. Tổng thời gian cả đi lẫn về là 4 giờ 54 phút (kể cả thời
gian nghỉ). Tính quãng đường từ Thành phố Nam Định đến rừng Cúc Phương?
1.3. Thực trạng vận dụng pp mô hình hóa trong dạy học chủ đề giải bài toán
bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS
1.3.1. Nội dung chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
ở trường THCS
a) Phân phối chương trình
Bài 1. Mở đầu về phương trình
(1 tiết)
Bài 2. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải
(1 tiết)
Bài 3. Phương trình đưa về dạng ax + b = 0
(1 tiết)
Luyện tập
(1 tiết)
Bài 4. Phương trình tích.
(1 tiết)
Luyện tập.
(1 tiết)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Toán 8: Chương III - Phương trình bậc nhất một ẩn
(2 tiết)
Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
(1 tiết)
Luyện tập.
(1 tiết)
Bài 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
(1 tiết)
Bài 7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp)
(2 tiết)
Luyện tập
(2 tiết)
Ôn tập chương III
(1 tiết)
Kiểm tra.
Toán 9
(1 tiết)
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số
(1 tiết)
2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
(1 tiết)
3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
(2 tiết)
Chương III. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
(2 tiết)
4. Luyện tập
(2 tiết)
5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
6. Luyện tập
(4 tiết)
Chương IV - Hàm số y = ax2 (a 0). Phương trình bậc hai một ẩn.
(6 tiết)
1. Hàm số y = ax2 (a 0). Tính chất, Đồ thị và luyện tập
(2 tiết)
2. Phương trình bậc hai một ẩn số. Luyện tập
(2 tiết)
3.Định lý Vi ét và ứng dụng. Luyện tập
(2 tiết)
4. Phương trình quy về phương trình bậc bai. Luyện tập.
5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai. Luyện tập.
Như vậy, nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
được đưa vào ở lớp 8 và 9 cùng với khái niệm, tính chất và PP giải phương trình (bậc
nhất và bậc hai), hệ phương trình (bậc nhất hai ẩn) - xem như một PP toán học để giải
những bài toán có tính thực tiễn (hầu hết cũng chỉ dưới dạng giả định) bằng công cụ
PT, HPT (trong phạm vi những loại PT, HPT đã học).
Có thể thấy, đây là một nội dung không có nhiều thời lượng trong phân phối
chương trình SGK Toán 8, 9, nhưng ứng dụng khá phong phú, bởi lẽ trong thực tế
cuộc sống rất nhiều các đại lượng có mối quan hệ biến đổi phụ thuộc lẫn nhau thông
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
qua một hệ thức giữa chúng, trong đó có những đại lượng đã biết giá trị, và những đại
lượng cần tìm giá trị sao cho thỏa mãn được hệ thức (mà trong toán học gọi là PT,
HPT). Mặt khác, một số dạng toán như vậy đã được đưa vào môn toán ở tiểu học, và
HS đã học cách giải theo PP số học. Đây là điều kiện thuận lợi để các em làm quen
với dạng bài tập có tính thực tế, và học cách giải mới ngắn gọn, đơn giản hơn ...
Vì vậy, cơ hội để vận dụng PP MHH trong DH nội dung này là thuận lợi, mặc
dù thời gian trực tiếp trên lớp không nhiều, như GV có thể vận dụng các hình thức
khác để tăng cường hoạt động MHHTH cho HS thông qua các tiết tự chọn, giờ ngoại
khóa, tiết ôn tập, phụ đạo,... đồng thời cũng có thể lồng ghép với nhiệm vụ và hoạt
động tự học của các em.
b) Kiến thức lý thuyết và dạng bài tập
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1: Chọn ẩn số, đơn vị và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Bước 2: Lập phương trình với ẩn đã chọn
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 3: Giải PT bậc nhất, HPT bậc nhất, PT bậc hai đã lập
Bước 4: Chọn nghiệm thích hợp và trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của
phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thoả mãn,
trả lời bài toán ban đầu.
Bước 5: (tuỳ theo điều kiện: nội dung bài toán, đối tượng HS): Khái quát hóa
bài toán (mức độ thấp là đề xuất bài toán tương tự)
Một số dạng toán cơ bản (chủ yếu lấy từ những dạng bài toán số học đã học ở
tiểu học)
Tìm hai đại lượng khi biết tổng và tỉ.
Tìm hai đại lượng khi biết tổng và hiệu.
Tìm hai đại lượng khi biết tích và hiệu.
Tìm hai đại lượng khi biết tích và tổng.
Tìm hai đại lượng khi biết tỉ số ban đầu và tỉ số sau khi có sự thay đổi của hai
đại lượng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Bài toán về chuyển động.
Bài toán về năng suất.
Bài tập tổng hợp (phối hợp các dạng toán trên).
c) Đặc điểm nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Nhiều bài toán có liên hệ hoặc gắn với thực tế.
- Phạm vi của các bài toán rộng, đòi hỏi người học phải hiểu biết nhiều kiến
thức trong các môn học khác như: Vật lí, Hoá học, Sinh học…
- Sử dụng đến nhiều kiến thức toán học như: giải phương trình, tính %, tính tần
suất, tính nồng độ ...
d) Mục tiêu và yêu cầu DH chủ đề
Về kiến thức:
- Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình được đưa về dạng a x + b = 0;
- Phương trình tích;
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu;
- Phương trình bậc hai và quy về bậc hai;
- Giải bài toán bằng cách lập PT bậc nhất, HPT bậc nhất, PT bậc hai.
Về kỹ năng
1 - Kỹ năng phân tích bài toán, chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
2 - Kỹ năng biểu thị các đại lượng khác theo ẩn đã chọn. Từ đó lập phương trình
biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
3 - Kỹ năng giải PT, HPT: dựa trên các PP giải PT bậc nhất, PT bậc hai, HPT,
phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích, phương trình đưa về dạng bậc nhất,
bậc hai.
4 - Kỹ năng đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện của của ẩn để kết luận đúng
nghiệm của bài toán.
5 - Kỹ năng khái quát hóa bài toán (mức độ thấp là đề xuất bài toán tương tự)
Trong đó, NL MHHTH thể hiện qua các KN 1,2,4,5.
e) Chú ý DH
- Đặc điểm của các dạng phương trình và cách giải đã tạo nên vị trí rất quan
trọng trong nội dung chương trình môn toán trong nhà trường phổ thông, giúp HS
nhận thức dược về kiến thức, kỹ năng giải, định hướng về suy luận, phát triển tư duy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
sáng tạo, khả năng phân tích tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa ...
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một trọng tâm của đại số 8, 9. Có
thể gặp lại ở đây nhiều bài toán ở Tiểu học, chỉ khác là giải bằng PP đại số thay vì PP
số học. Nó đòi hỏi khả năng phân tích và trừu tượng hóa các sự kiện cho trong bài
toán thành các biểu thức và phương trình. Nó cũng đòi hỏi kỹ năng giải phương trình
và lựa chọn nghiệm thích hợp.
- Các bài toán trong chủ đề này chủ yếu là toán bậc nhất và toán bậc hai, nghĩa
là các bài toán thực tiễn (giả định) dẫn đến phương trình bậc nhất, bậc hai. Tuy nhiên,
để kiểm tra được kỹ năng giải phương trình tích (kỹ năng phân tích đa thức thành
nhân tử) cũng có thể cho thêm một số rất hạn chế những bài toán đòi hỏi giải phương
trình bậc hai không quá phức tạp.
1.3.2. Tình hình DH nội dung “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” ở THCS
a) Thuận lợi
- Do xã hội phát triển về khoa học kỹ thuật tạo điều kiện tốt về cơ sở vật chất
nên HS được học tập trong môi trường có nhiều thuận lợi, HS có cơ hội học hỏi kinh
nghiệm, giao lưu với bạn bè về nhiều mặt thông qua các phương tiện truyền thông.
- HS được học tập dưới sự chỉ dẫn tận tình và tâm huyết của đội ngũ GV đã
được đào tạo một cách chính quy, bài bản.
- Nội dung DH phần giải bài toán bằng cách lập phương trình được đưa vào
chương trình với một hệ thống kiến thức phù hợp với trình độ của HS. Mặt khác,
những kiến thức, PP giải loại toán này đã được chuẩn bị từ bậc tiểu học, thông qua
cách tiếp cận giải bằng các PP số học. Đến THCS, khi kiến thức, kỹ năng và tư duy
toán học của HS đã tích luỹ, rèn luyện tương đối đầy đủ, đồng thời các em cũng hiểu
biết và “va chạm” với thực tế cuộc sống nhiều hơn. Điều đó đặt ra nhu cầu giải quyết
những vấn đề thực tiễn, khiến cho HS cần đến công cụ toán học. Có thể nói, giải bài
toán bằng cách lập phương trình là một môi trường rất tốt để HS tập luyện thói quen
và NL vận dụng môn toán trong thực tế cuộc sống.
b) Khó khăn
- Xã hội phát triển, HS được tự do tiếp xúc, trao đổi với xã hội xung quanh, dẫn
đến những tiêu cực như học sinh chán học, bỏ học, ỷ lại, chưa có ý thức tự học.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Trong quá trình học toán, còn khá nhiều HS vận dụng công thức, quy tắc, PP một
cách thụ động để giải những dạng bài tập quen thuộc theo lối mòn, thiếu sự sáng tạo,
chưa linh hoạt.
- Trong các giờ dạy GV đã có ý thức vận dụng PPDH gợi mở để DH nội dung
giải bài toán bằng cách lập phương trình.Tuy nhiên, GV còn lúng túng trong việc:
+ Xác định các hoạt động tương ứng với từng kỹ năng giải bài toán bằng cách
lập phương trình, hệ phương trình;
+ Xây dựng hệ thống các câu hỏi gợi mở, dẫn dắt HS tiến hành từng hoạt động;
+ Giải thích, chỉ dẫn và tập luyện cho HS sử dụng và chuyển đổi đúng đắn ngôn
ngữ, ký hiệu.
Có thể kể đến một số nguyên nhân:
+ GV ngại nghiên cứu để đưa ra hệ thống câu hỏi dẫn dắt HS đi tìm lời giải
trong việc giải bài tập bằng cách lập phương trình, chưa đưa ra hệ thống bài tập cho
HS để vận dụng làm. Thậm chí, có một số không ít GV còn gặp khó khăn trong khả
năng của bản thân khi cần vận dụng môn toán vào giải quyết vấn đề thực tế, thiếu
hoặc quên những hiểu biết cần thiết ở những môn học khác, không thấy được những
biểu hiện và ứng dụng đa dạng của toán học trong cuộc sống. Vì vậy, khi cần dạy cho
HS vận dụng toán học vào thực tiễn thì họ ngại ngần, lúng túng, nhiều GV chỉ dạy
Toán một cách hàn lâm, bám vào nội dung có sẵn trong SGK, ...
+ GV chưa hiểu rõ và đầy đủ, chi tiết từng kỹ năng thành phần cần rèn luyện
cho HS trong DH dạng toán này.
+ Do thời gian tiết học bị hạn chế, khối lượng kiến thức khá nhiều.
Chương trình toán THCS hiện nay có phần nặng hơn so với chương trình cũ,
sách giáo khoa mới đòi hỏi học sinh phải tự tư duy để phát hiện ra bản chất của vấn
đề, có kỹ năng phân tích cụ thể nhất định. Dẫn tới một số học sinh nhận thức chậm
không thể tiếp thu được nên đã hạn chế cho việc học tập của các em.
- Đối với HS khi học nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, mặc dù
nọi dung kiến thức không phải quá khó nhưng thời gian được thực hành, vận dụng
chưa nhiều nên khi đứng trước một bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình
có liên quan đến thực tế thì các em thường tỏ ra lúng túng không xác định được
phương hướng để giải bài toán. Mặt khác kỹ năng giải Toán và tính toán cơ bản của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
một số HS còn rất yếu.
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình ở lớp 8, 9 đặc biệt là những bài toán
khó, phức tạp HS yếu về kỹ năng phân tích bài toán đối với từng dạng tình huống
thực tiễn nên không hiểu những dữ kiện ẩn chứa trong vỏ ngôn ngữ thực tế ở đề bài,
dẫn đến HS không tìm ra các mối liên hệ giữa chúng, nhiều khi không lập được
phương trình, hệ phương trình ... Thậm chí giải sai PT, HPT ... hoặc khi chuyển đổi
về dạng ngôn ngữ thông thường để trả lời thì gặp sai lầm.
1.3.3. Tình hình vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học giải bài toán
bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS
1.3.3.1. Cơ hội vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học toán THCS
Theo các kết quả nghiên cứu ở tài liệu [35, tr.54-66] và [36, tr.26-32], trong
chương trình sách giáo khoa toán của Việt Nam có tương đối ít các bài toán về mô
hình hóa. Bài toán có thể được xây dựng từ vấn đề thực tiễn hoặc từ các vấn đề thuộc
các môn học khác như Sinh học, Hóa học hay Vật lý. Sau đó, các công cụ và ngôn
ngữ toán học được sử dụng để thiết lập các mô hình. Thực chất đó là là quá trình toán
học hóa trong DH. Bài toán sau đó được giải bằng kiến thức toán học. Cuối cùng lời
giải được biểu đạt trong ngữ cảnh thực tế ban đầu.
1.3.3.2. Tổ chức khảo sát
- Đối tượng 24 GV Toán và 210 HS các lớp 8, 9 thuộc ba trường THCS của
huyện Giao Thuỷ, Nam Định: THCS Bình Hòa; Giao Lạc và THCS Giao Hương.
- Mục đích khảo sát:
Nhận thức của GV và HS về:
+ Sự cần thiết dạy và học Toán gắn với thực tiễn;
+ Quan niệm - cấu trúc và biểu hiện của MHHTH;
+ Vai trò tác dụng của PP mô hình hóa toán học;
+ Mức độ thường xuyên tìm hiểu và vận dụng môn toán THCS vào thực tiễn -
nói riêng là việc sử dụng PP mô hình hóa toán học và việc thiết kế câu hỏi bài tập
vận dụng MHH;
+ Những thuận lợi, khó khăn và dự kiến cách khắc phục khi GV vận dụng PP
MHHTH;
- Phương pháp khảo sát: Sử dụng phiếu hỏi (phiếu dành cho GV ở phụ lục 1a),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
(phiếu dành cho HS ở phụ lục 1b).
1.3.3.3 Phân tích kết quả khảo sát
Thống kê kết quả từ các phiếu điều tra đối với 24 GV Toán THCS và phiếu hỏi
đối với 240 HS lớp 8,9 (ở phụ lục 1), chúng tôi thu được các kết quả sau:
a) Kết quả khảo sát đối với GV
Biểu đồ 1.1. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng cường
liên hệ môn Toán THCS với thực tiễn
Biểu đồ 1.2. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng dụng
của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức môn toán ở trường THCS
Biểu đồ 1.3. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế các hoạt động
giúp HS THCS hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn
Biểu đồ 1.4. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên sử dụng công nghệ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
thông tin giúp HS THCS hiểu những mô hình của toán học trong thực tiễn
Biểu đồ 1.5. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế bài tập, bài kiểm tra
theo hướng vận dụng MHHTH để giải quyết bài toán nảy sinh từ thực tiễn
Biểu đồ 1.6. Tỷ lệ GV đánh giá về tầm quan trọng của MHHTH
trong dạy học Toán ở trường THCS
Biểu đồ 1.7. Tỷ lệ GV đánh giá về tác dụng rèn luyện kỹ năng cho HS THCS
của hoạt động mô hình hóa toán học
Biểu đồ 1.8. Tỷ lệ GV đánh giá về những chủ đề môn toán THCS
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
có thể sử dụng PP MHH trong thiết kế các hoạt động dạy học
Biểu đồ 1.9. Tỷ lệ GV đánh giá về những hiểu biết cần thiết của GV
để vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học
Biểu đồ 1.10. Tỷ lệ GV đánh giá, nhận thức về thành phần
của năng lực mô hình hóa trong môn toán
Biểu đồ 1.11. Tỷ lệ GV đánh giá về sự cần thiết phát triển năng lực
mô hình hóa trong dạy học toán ở THCS
b) Nhận xét đối với GV
Căn cứ vào các câu trả lời ở phiếu điều tra dành cho GV (các câu hỏi từ 12 đến
16); cùng với thông tin thu được từ quan sát, dự giờ, phỏng vấn GV, chúng tôi rút ra
một số nhận xét như sau về những vấn đề liên quan đến GV:
+ Về nội dung môn toán (thể hiện ở chương trình SGK): Toán học vốn là khoa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
học trừu tượng cao nên việc gắn với thực tiễn không hề đơn giản, đòi hỏi GV phải có
hiểu biết sâu rộng nhiều lĩnh vực, và không phải bất cứ kiến thức toán học nào cũng
có thể xây dựng được tình huống bài toán gắn với thực tiễn (ở tầm và phạm vi mà HS
THCS có thể hiểu được). Trong khi đó: nội dung môn toán trong chương trình SGK
hiện nay còn tương đối nặng nề (nhiều tri thức toán học khó); đồng thời trình bày còn
khá hàn lâm và viết cô đọng, thậm chí chưa thực sự đồng bộ gắn kết với các môn học
khác. Điều đó khiến cho việc lựa chọn, xây dựng, lồng ghép tình huống thực tiễn vào
môn toán càng trở nên khó khăn, ...
+ Về lựa chọn nội dung chủ đề phù hợp với PP MHH: Đa số (75%) GV lựa
chọn (ở câu hỏi 8) được những chủ đề gần gũi, thuận lợi để MHHTH như:
- Hàm số và đồ thị; Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất;
- Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình;
- Thống kê;
- Hình học (phẳng và không gian)
Về PPDH toán của GV: Một số GV còn thiếu sự trao dồi kiển thức về
chuyên môn nên chưa có PPDH phù hợp với nội dung kiến thức, thường vẫn sử
dụng những PPDH truyền thống như thuyết trình, giảng giải, vấn đáp giản đơn ...
mà thiếu sự tìm hiểu, vận dụng những mô hình, cách thức DH mới: ít sử dụng
vấn đáp gợi mở, tạo tình huống có vấn đề, ...
Về nhận thức và kỹ năng sử dụng PP MHH của GV Toán THCS:
- Có không ít GV chưa nắm được, hoặc không hiểu rõ cách thức thực hiện
PP MHH ... nên gặp khó khăn, lúng túng khi muốn vận dụng. Điều đó dẫn đến
động cơ cũng như khả năng áp dụng PP MHH hạn chế: bản thân GV không nắm
được PP, ngại thay đổi, thiếu kỹ năng thực hành vận dụng PP MHH ... hoặc sử
dụng không hiệu quả.
- GV đánh giá về những khó khăn khi vận dụng PP mô hình hóa:
Nhiều GV cũng muốn sử dụng PP MHH, tuy nhiên họ đều cho biết là khó khăn
lớn nhất là Toán học là kết quả của quá trình trừu tượng hóa nhiều lần và nhiều tầng
từ thực tiễn. Mặt khác, do yêu cầu sư phạm, môn Toán trong chương trình SGK Toán
THCS chỉ trình bày rất cô đọng và hạn chế cả về nội dung kiến thức và phương pháp
toán học. Vì vậy, việc tìm được một bài toán thực tế để đưa vào MHH đối với HS
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
THCS là không hề dễ dàng.
Đa số các GV cũng thừa nhận cả GV và HS cũng cần bổ sung thêm những kiến
thức ở ngoài môn Toán THCS mới có thể vận dụng được PP MHH. Ngoài ra cũng
cần đầu tư thêm phương tiện, cơ sở vật chất để phục vụ dạy học Toán, nói riêng là áp
dụng MHH toán học.
c) Kết quả khảo sát đối với HS
Biểu đồ 1.12. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng cường
liên hệ toán học với thực tiễn trong học Toán ở THCS.
Biểu đồ 1.13. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng
dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với môn toán ở trường THCS.
Biểu đồ 1.14. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ thường xuyên được tiếp xúc với
các bài tập, bài kiểm tra có yêu cầu vận dụng mô hình hóa toán học
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Biểu đồ 1.15. Tỷ lệ HS đánh giá nội dung môn Toán THCS gần gũi nhất với thực tế
d) Nhận xét đối với HS
Căn cứ vào các câu trả lời ở phiếu hỏi dành cho HS; cùng với thông tin thu được
từ quan sát, dự giờ, phỏng vấn HS, chúng tôi rút ra một số nhận xét như sau:
Về nội dung môn toán gắn với thực tiễn, chủ yếu (65%) ý kiến của HS (thể
hiện ở câu hỏi 7) cho rằng chủ đề thống kê là gần gũi nhất, sau đó đến hình học
và tiếp theo là phương trình, hệ phương trình và hàm số.
Về PP học tập của HS: HS chưa chủ động tích cực, tự giác do lâu nay quen
học thụ động: nghe và ghi chép, làm theo mẫu, ...
- Về phía HS cũng gặp một số khó khăn trước yêu cầu học toán gắn với
thực tiễn (câu hỏi 5 và câu hỏi 6):
+ Hạn chế về vốn tri thức hiểu biết tổng hợp và năng lực ngôn ngữ nên
không hiểu tình huống thực tiễn;
+ Hạn chế cả về kiến thức thực tế và toán học nên lúng túng khi cần mô
hình hóa toán học;
+ Một số em còn gặp khó khăn ngay cả việc giải các PT, HPT sau khi đã
MHHTH được.
+ Việc chuyển từ tình huống thực tế sang mô hình toán học các em còn gặp
phải khó khăn cả về ngôn ngữ toán học.
Về nhận thức và kỹ năng MHH của HS THCS:
Hầu hết HS đều không rõ thế nào là MHH, mặc dù đã có những khi được
học giải bài toán có nội dung thực tiễn. Về kỹ năng MHH của HS còn yếu: các
em lúng túng khi cần chuyển tình huống thực tiễn về mô hình toán học và phát
hiện được công cụ toán học để giải quyết.
1.4. Kết luận chương 1
Chương 1 đã trình bày những kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn, bao gồm:
Hệ thống hóa được một số vấn đề về cơ sở lý luận của đề tài:
- Cụ thể hóa một số khái niệm: mô hình toán học, mô hình hóa, mô hình hóa
toán học, toán học hóa, năng lực mô hình hóa, phương pháp mô hình hóa.
- Tìm hiểu mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
- Vai trò của PP MHH trong trong DH Toán;
- Cụ thể hóa quy trình vận dụng PP MHH trong DH Toán.
Tìm hiểu thực trạng DH nội dung giải bài toán bằng cách lập PT, HPT:
- Kết quả dạy và học chủ đề, trong đó có yêu cầu gắn môn Toán với thực tiễn;
- Tình hình sử dụng PP MHH trong DH chủ đề này (những khó khăn và nguyên nhân).
Những kết quả nghiên cứu về lý luận và thực tiễn ở chương 1 cho thấy:
- PP MHH có nhiều ưu điểm trong DH toán nhằm thực hiện đổi mới giáo dục tập
trung vào phát triển năng lực HS. Đặc biệt là năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn.
- Nội dung “giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” được đưa vào môn toán
THCS với nội dung và thời lượng không nhiều. Tuy nhiên đây là một nội dung toán
học có nhiều cơ hội để GV và HS liên hệ với thực tiễn, tạo điều kiện khá tốt để vận
dụng PP MHH. Thực trạng dạy và học chủ đề này hiện nay ở trường THCS cho thấy
vẫn còn những khó khăn, bất cập hạn chế về nhiều phía ... Những kết quả nghiên cứu
lý luận và thực tiễn này giúp chúng tôi rút ra kết luận: cần thiết và có cơ hội vận dụng
PP MHH để thực hiện đổi mới PPDH, góp phần phát triển năng lực vận dụng thực
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
tiễn của HS, nâng cao chất lượng DH nội dung này ở trường THCS.
CHƯƠNG 2
THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG
MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2.1. Định hướng và nguyên tắc thiết kế hoạt động mô hình hóa
2.1.1. Định hướng
Để thiết kế hoạt động MHHTH, chúng tôi tiến hành theo định hướng:
1 - Lựa chọn, sưu tầm, tìm hiểu và khai thác một số tình huống thực tiễn có ngữ
cảnh gắn với bài toán giải bằng cách lập PT, HPT trong SGK, sách bài tập, tài liệu
tham khảo và các nguồn tài liệu trên mạng;
2 - Xây dựng mô hình toán học (sử dụng mô hình theo Nguyễn Danh Nam [14])
- ở đây là dạng bài toán giải bằng cách lập PT, HPT.
3 - Dựa trên 6 nguyên tắc và 7 bước thiết kế hoạt động MHH (tham khảo [14]).
2.1.2. Nguyên tắc
Trong PP MHH, một khâu mang tính quyết định là thiết kế hoạt động MHHTH.
Theo Lesh & Doerr, 2003 (dẫn theo [14, trang 120-121]), thiết kế hoạt động
MHH dựa trên 6 nguyên tắc:
Nguyên tắc 1: Nguyên tắc xây dựng mô hình;
Nguyên tắc 2: Nguyên tắc thực tế;
Nguyên tắc 3: Nguyên tắc tự đánh giá;
Nguyên tắc 4: Nguyên tắc xây dựng tài liệu;
Nguyên tắc 5: Nguyên tắc chia sẻ, khái quát hóa;
Nguyên tắc 6: Nguyên tắc hiệu quả, đơn giản.
Vận dụng trong thực tế DH Toán THCS ở Việt Nam, chúng tôi tập trung vào 3
nguyên tắc sau đây khi thiết kế hoạt động MHHTH:
Nguyên tắc 1: Các hoạt động MHH vừa phải đảm bảo tính khoa học, chính
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
xác, chặt chẽ của toán học nhưng cũng cần bám sát nội dung chương trình SGK và
nhất là khả năng ứng dụng vào thực tiễn của kiến thức và phương pháp mà HS được
học trong môn toán ở THCS.
Nguyên tắc 2: Các hoạt động MHH phải chú trọng rèn luyện thói quen và kỹ
năng giải quyết vấn đề thực tế cho HS.
Nguyên tắc 3: Các hoạt động MHH phải có tính khả thi và tính vừa sức (cả về
vốn kiến thức và khả năng nhận thức) với đối tượng HS đồng thời phù hợp với
phương tiện, điều kiện dạy và học môn toán ở THCS.
Các hoạt động và bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến
khó, từ đơn giản đến phức tạp. Việc HS tự mình giải quyết được một bài toán có ý
nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm
cho HS mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình tổ chức hoạt động tiếp
theo. Do đó, trong khi thiết kế các hoạt động và hệ thống bài tập MHH, GV cần chú ý
đến các các cấp độ sau đây:
- Cấp độ 0: HS không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay viết bất
cứ cái gì cụ thể về vấn đề.
- Cấp độ 1: HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và đơn giản
tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào.
- Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật qua cấu trúc
và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học.
- Cấp độ 3: HS có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch nó
thành vấn đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong thế
giới toán học.
- Cấp độ 4: HS có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn, làm việc
với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể.
- Cấp độ 5: HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệm lời
giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho.
Tùy từng đối tượng HS mà GV giao nhiệm vụ ở những cấp độ phù hợp, vừa
sức, đảm bảo đúng trình độ của HS nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt động MHH vấn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
đề thực tiễn trong dạy học môn Toán.
2.2. Thiết kế hoạt động mô hình hóa
2.2.1. Chủ đề 1: Phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ 2.1:
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP thuộc PT, HPT.
Tình huống: Giao thông (đường bộ, đường thuỷ, ...) với các phương tiện khác
nhau, vận tốc khác nhau, quãng đường cũng có thể khác nhau, ...
Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết;
Lược bỏ những chi tiết không bản chất toán học để đưa về dạng toán giải PT, HPT
Bài có hai phương tiện tham gia chuyển động là Ca nô và Ô tô. Hướng dẫn học
sinh lập bảng gồm các dòng, các cột như trên hình vẽ. Cần tìm vận tốc của chúng. Vì
thế có thể chọn vận tốc của ca nô hay ô tô làm ẩn x (x>0). Từ đó điền các ô thời gian,
quãng đường theo số liệu đã biết và công thức nêu trên. Vì bài toán đã cho thời gian
nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường.
Công thức lập phương trình: Sôtô -Scanô = 10
Bảng 2.1. Bảng tổng hợp thời gian - vận tốc - quãng đường của Ca nô và Ô tô
t(h) v(km/h) S(km)
3h20'= h Ca nô x
Ô tô 2 x+17 2(x+17)
Bước 3: Xây dựng bài toán
Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ AB là 10km, từ A đến B ca nô đi
hết 2 giờ 20 phút, còn ô tô đi hết 2 (giờ). Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17 km
mỗi giờ. Tính vận tốc của ca nô và ô tô?
Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT bậc nhất
Dùng PP giải bài toán bằng cách lập PT, HPT
Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0). Vận tốc của ô tô là: x+17 (km/h).
Quãng đường ca nô đi là: (km).
Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17) (km).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình:
2(x+17) - =10. Giải phương trình ta được x = 18 (thỏa mãn ĐK).
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời
cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu;
- Mặt cú pháp: Quy tắc giải phương trình bậc nhất
- Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chưa biết thỏa mãn một đẳng thức dựa trên tính chất của
các phép tính.
- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời
Vậy vận tốc ca nô là 18 (km/h) và vận tốc ô
tô là 18 + 17 = 35 (km/h). (Hình 2.1.)
Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp
tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác
- Mô hình bài toán chuyển động, đưa về lập
và giải phương trình bậc nhất.
Hình 2.1
- Vận dụng tương tự:
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33km với vận tốc xác định. Khi đi từ
B đến A, người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29km, nhưng với vận tốc
lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h.Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời
gian về là 1h30'?
2.2.2. Chủ đề 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 2.2:
Tìm vận tốc và chiều dài của một đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua
văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m
và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi
sân ga là 25 giây.
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP về hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn.
Tình huống: Chuyển động của tàu hỏa khi vào và ra khỏi ga.
Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết;
Xem xét mối quan hệ giữa quãng đường - thời gian - vận tốc của chuyển động;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
xác định đường lối đưa về mô hình toán học phương trình, hệ phương trình.
Bước 3: Xây dựng bài toán
Gọi x (m/s) là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga (x>0), gọi y (m) là chiều dài
của đoàn tàu (y>0).
Tàu chạy ngang ga mất 7 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng
đường y(m) mất 7 giây. Ta có phương trình: y = 7x (1)
Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi
sân ga mất 25 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) mất
25 giây. Ta có phương trình: y + 378 = 25x (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được hệ phương trình
Như vậy, chúng ta đã chuyển được về bài toán:
(bài toán 1)
Giải hệ phương trình
Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập HPT bậc nhất hai ẩn
Giải hệ phương trình bằng PP thế, ta có: x=21 ; y= 147 (thỏa mãn ĐK)
(Hình 2.2)
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả
2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho
câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu;
- Mặt cú pháp: Quy tắc giải HPT bậc
nhất hai ẩn
- Mặt ngữ nghĩa: Tìm 2 số chưa biết
thỏa mãn hai đẳng thức dựa trên tính chất
của các phép tính.
Hình 2.2
- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để
trả lời
Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21m/s, Chiều dài của đoàn tàu là: 147m
Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài
toán thực tiễn khác
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
- Mô hình bài toán chuyển động, đưa về lập và giải phương trình bậc nhất.
- Vận dụng tương tự: Có thể thay thế tàu hỏa bởi ô tô, tàu thuỷ hoặc phương tiện
giao thông khác và giữ nguyên các dữ kiện con số; hoặc chuyển sang dạng bài toán
về diện tích của vật hình chữ nhật (cũng có mối quan hệ S = ab tương tự với S = vt).
Bài toán 2:
Tìm vận tốc và chiều dài của một chiếc tàu thuỷ biết con tàu ấy chạy ngang qua
bến Ninh Kiều (Cầu Thơ) tính từ mũi tàu đến đuôi tàu mất 7 giây. Cho biết bến tàu
dài 378m và thời gian kể từ khi mũi tàu bắt đầu vào bến cho đến khi đuôi tàu rời khỏi
bến là 25 giây.
Bài toán 3:
Một xe công - ten - nơ chạy ngang qua một trạm soát vé tự động (không dừng)
mất 2 giây. Cho biết chiều dài toàn bộ của trạm 30 m và thời gian kể từ khi đầu xe
bắt đầu đi vào trạm cho đến khi đuôi xe rời khỏi trạm là 3 giây. Tìm vận tốc và chiều
dài của xe công - ten - nơ?
2.2.3. Chủ đề 3: Phương trình bậc hai một ẩn
Ví dụ 2.3: Tình huống thực tế dẫn đến lập và giải phương trình bậc hai
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP thuộc
phương trình bậc hai.
Tình huống: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 4 m
và diện tích bằng 320 m2. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất (Toán 9, tiết 54)
Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết; (Hình 2.3)
x+4
Bước 3: Xây dựng bài toán
- Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là x (m), x >
x
0 thì chiều dài sẽ là (x + 4)
4
- Diện tích mảnh vườn là 320 m2 nên ta có phương trình:
x(x + 4) = 320 x2 + 4x - 320 = 0
Hình 2.3
- Ta có bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn x2 + 4x - 320 = 0 (bài toán 1).
Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai
' = 22 + 320 =324 => ' = 18
x1 = -2 - 18 = -16 (loại vì không thoả mãn ĐK)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
x2 = -2 + 18 = 16.
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời
cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu;
- Mặt cú pháp: Quy tắc giải phương trình bậc hai
- Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chưa biết thỏa mãn đẳng thức dựa trên tính chất của
các phép tính.
- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời.
Chiều rộng mảnh vườn là 16m; khi đó chiều dài là 16+4 = 20 (m)
Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài
toán thực tiễn khác
- Mô hình bài toán diện tích hình chữ nhật, đưa về lập và giải phương trình bậc hai.
- Vận dụng tương tự: Có thể xây dựng bài toán tương tự về chuyển động, năng
suất lao động, nhiệt lượng tỏa ra trong dây dẫn tỷ lệ với bình phương dòng điện chạy
qua trong Vật lý, ....
Bài toán 2: (Dạng tình huống công việc làm chung - làm riêng)
Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm
chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong
10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó?
Ví dụ 2.4:
Tình huống thực tiễn ở môn học khác làm xuất hiện nhu cầu dẫn đến phương
trình bậc hai: MHH để hình thành PT bậc hai trong môn Toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP thuộc
phương trình bậc hai.
Tình huống: Trong cuộc sống, một dây dẫn có dòng điện chạy qua sẽ sinh ra
nhiệt lượng, người ta đo đạc được nhiệt lượng đó tỷ lệ với điện trở, thời gian và
cường độ dòng điện. Vậy làm như thế nào để tính được nhiệt lượng? tính được cường
độ dòng điện? ...
Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết;
Tình huống trên được nghiên cứu trong Vật lý, và người ta biết nhiệt lượng
(Jun) toả ra ở một dây dẫn có điện trở cố định R (ôm) trong thời gian t (giây) phụ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
thuộc vào cường độ dòng điện I (ampe) theo công thức: Q = 0,24 I2Rt. Hãy tính xem
khi người ta cần đến một nhiệt lượng 216 jun trong thời gian 1 giây đối với một điện
trở R = 100 ôm thì cần đến dòng điện I là bao nhiêu ampe?
Bước 3: Xây dựng bài toán
- Gọi x (x>0) là cường độ dòng điện cần tìm, khi đó ta thay thế các giá trị đã
biết vào công thức Vật lý Q = 0,24 I2Rt thu được: 216 = 0,24 x2 100 1
- Ta có bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn 24x2
= 216 hay x2 = 9
Bước 4: Giải bài toán bằng quy tắc giải PT bậc hai
Dùng quy tắc giải phương trình bậc hai, ta tìm được 2
nghiệm x = 3 (Hình 2.4)
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp
và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn
ban đầu;
Hình 2.4
- Mặt cú pháp: Bài toán giải phương trình bậc hai, 2
nghiệm là 3, đối chiếu với điều kiện ta có một nghiệm x = 3;
- Mặt ngữ nghĩa: Tìm hai số có bình phương bằng 9.
- Ý nghĩa thực tế: chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời: cần cường độ dòng
điện I = 3 (Ampe) để thỏa mãn yêu cầu tình huống ban đầu.
Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài
toán thực tiễn khác
- Mô hình bài toán Vật lý về quan hệ giữa nhiệt lượng - điện trở - cường độ
dòng điện và thời gian.
- Vận dụng thực tế: Có thể thiết kế bài tập tương tự dẫn đến phương trình bậc hai.
2.3. Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học giải bài toán bằng cách
lập phương trình – hệ phương trình ở trường THCS
2.3.1. Biện pháp 1: Sử dụng PP MHH để gợi động cơ mở đầu
2.3.1.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp
GĐC học tập là một thành tố cơ sở của PPDH. Qua tham khảo tác giả Nguyễn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Bá Kim [12], (2015):
“GĐC là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động và của đối
tượng hoạt động. GĐC nhằm làm cho những mục tiêu sư phạm biến thành những
mục tiêu của cá nhân HS, chứ không phải chỉ là sự vào bài, đặt vấn đề một cách hình
thức ... GĐC không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri thức nào
đó (thường là một bài học), mà phải xuyên suốt quá trình DH” [12, tr. 131 – 132].
Trong môn Toán có ba giai đoạn GĐC đó là: GĐC mở đầu, GĐC trung gian,
GĐC kết thúc.
GĐC mở đầu là GĐC cho bước đặt vấn đề vào một vấn đề mới. Như vậy trong
DH Toán GV có thể và cần thiết GĐC mở đầu khi đặt vấn đề tìm hiểu một chương,
một bài, một mục, một khái niệm, một định lí, hay một qui tắc, một PP TH mới.
Theo Nguyễn Bá Kim: “Thông thường khi bắt đầu một nội dung lớn, chẳng hạn
một phân môn hay một chương, ta nên cố gắng GĐC xuất phát từ thực tế. Còn đối
với từng bài hay từng phần của bài thì cần tính tới khả năng GĐC từ nội bộ TH” [12,
tr. 134].
Như vậy, tác dụng của GĐC trong DH Toán là tác động đến tình cảm, đem lại
niềm vui, kích thích hứng thú học tập cho HS, đảm bảo thu hút HS vào quá trình học
tập và duy trì tính tích cực trong quá trình nhận thức học tập môn Toán.
Các cách gợi động cơ trong môn Toán và quan điểm vận dụng
GĐC theo hướng gắn TH với TT là dùng TT để GĐC, như đã trình bày ở mục
1.1.2 TT ở đây có ba loại: TT từ nội bộ TH, TT từ khoa học khác, TT từ đời sống.
Chúng tôi vận dụng lí luận vào GĐC mở đầu gắn TH với TT như sau:
+) GĐC từ nhu cầu trong nội bộ TH: lấy chính nhu cầu có thật của TH ra để làm
TT nảy sinh kiến thức, ở đây là chúng ta sử dụng kiến thức cũ để đặt vấn đề cho kiến
thức mới xem nhu cầu đó là một TT dẫn đến việc cần có kiến thức, PP TH mới.
+) GĐC từ nhu cầu ở khoa học khác: từ nhu cầu kiến thức của các khoa học
khác cần phải sử dụng kiến thức và PP toán học.
+) GĐC từ nhu cầu thực tế đời sống: từ thực tế đời sống có nhiều tình huống
cần phải sử dụng đến công cụ TH mới giải quyết được.
2.3.1.2. Cách thức thực hiện biện pháp
Ở đề tài này, trong DH giải bài toán bằng cách lập PT, HPT chúng tôi quan tâm
đến sử dụng PP MHH để thực hiện GĐC bằng việc sử dụng những tình huống TH
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
gắn với TT. Để thực hiện điều đó chúng tôi có sử dụng những cách sau:
a) Gợi động cơ từ nhu cầu thực tế phát triển của chính toán học
Theo [12], GĐC xuất phát từ nội bộ TH có các cách: đáp ứng nhu cầu xóa bỏ sự
hạn chế; hướng tới sự tiện lợi, hợp lí hóa công việc; chính xác hóa một khái niệm;
hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống; lật ngược vấn đề; xét tương tự; khái quát hóa;
tìm sự liên hệ và phụ thuộc; tìm sai lầm, phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa sai
lầm. Thường những cách trên dùng để GĐC mở đầu. Ngoài ra còn có GĐC xuất phát
từ thực tế được sử dụng ở cả ba khâu GĐC.
Ví dụ 2.5: Gợi động cơ mở đầu (hoặc kết thúc) khi dạy hàm số bậc nhất
GV mô tả một tình huống quan sát thực tế khi chúng ta đi tàu hỏa: Tại sao khi đi
tàu hỏa, hành khách thường nghe thấy những âm thanh tiếng động phát ra một cách
đều đặn? Nhưng khi đi bằng ô tô thì tại sao chúng ta không thấy loại âm thanh giống
như vậy?
GV dùng câu hỏi dẫn dắt để HS phát hiện được: Đường tàu hỏa được tạo ra
bằng cách ghép nối giữa các thanh ray. Vấn đề là tại sao cần phải để hở một khoảng
cách nhất định giữa hai thanh ray? Phân tích dẫn đến kiến thức liên môn Vật lý “sự
giãn nở vì nhiệt độ thay đổi” ... Từ đó đặt câu hỏi “Cần phải để hở một khoảng cách
tối thiểu bao nhiêu và tối đa là bao nhiêu?”, dẫn đến nhu cầu xét giá trị của biểu thức
ax+b, trong đó a là hệ số giãn nở vì nhiệt, b là chiều dài ban đầu của thanh ray, x là
khoảng biến thiên nhiệt độ ...
Để trả lời câu hỏi trên, chúng ta cần đến một kiến thức mới của toán học - đó là
hàm số bậc nhất.
+) GĐC bằng cách qui lạ về quen:
GV yêu cầu HS liên hệ giữa giả thiết của bài toán với tri thức đã học, liên hệ tri
thức cần giải quyết với những tri thức cũ tương tự bằng cách có thể đặt ra những câu
hỏi: Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi
khác? Khi HS đã nhớ lại được bài toán liên quan mà các em đã có lần giải rồi, GV đặt
câu hỏi tiếp: có thể sử dụng bài toán đó được không? Hãy sử dụng PP giải bài toán đó?
Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng được bài toán đó không?
Ví dụ 2.6:
Khi dạy giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, xuất phát
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
từ bối cảnh HS đã biết một tình huống quen thuộc là các bước giải bài toán bằng cách
lập phương trình bậc nhất một ẩn, GV gợi ý để đưa tình huống mới bài toán và các
bước giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn về bối cảnh quen thuộc như
đối với phương trình bậc nhất một ẩn:
Phương trình bậc nhất một ẩn Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 1: Chọn ẩn số, đơn vị và đặt điều Bước 1: Chọn hai ẩn số, đơn vị và đặt
kiện thích hợp cho ẩn số. điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
Bước 2: Lập một phương trình với ẩn đã Bước 2: Lập các phương trình với hai ẩn
chọn: đã chọn:
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo
ẩn và các đại lượng đã biết. hai ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình một ẩn biểu thị mối - Lập hệ gồm hai phương trình hai ẩn
quan hệ giữa các đại lượng. biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 3: Giải PT bậc nhất một ẩn theo Bước 3: Giải HPT bậc nhất hai ẩn theo
quy tắc đã học. PP đã học (PP cộng; PP thế).
Bước 4: Chọn nghiệm thích hợp và trả Bước 4: Chọn nghiệm thích hợp và trả
lời với chú ý: Mỗi nghiệm của PT là chỉ lời với chú ý: Mỗi nghiệm của HPT là
là một số x0 nào đó thỏa mãn PT. một cặp số (x0;y0) thỏa mãn HPT.
b) GĐC xuất phát từ môn học khác
Ví dụ 2.7:
Từ tình huống môn Hóa học (Chương 3 - Hóa học 8): Phương trình phản ứng
và tính số mol theo phương trình phản ứng, GV Toán có thể gợi động cơ như sau:
+ Gợi động cơ mở đầu khi dạy khái niệm phương trình: Từ tình huống phản ứng
Hóa học giữa một Axit tác dụng với một Bazo tạo ra muối C và nước (D), sau khi
viết được H2SO4 + NaOH Na2SO4 + H2O. GV đặt vấn đề làm như thế nào để cân
bằng được phương trình phản ứng? Vì khối lượng các chất tham gia phản ứng và khối
lượng các chất thu được sau phản ứng là bằng nhau, nên đối chiếu với hóa trị của các
chất có mặt trong phản ứng ... ta cần xác định được các hệ số đối với H2SO4; NaOH;
Na2SO4; H2O để cân bằng về mặt hóa trị ... Từ đó cần đến công cụ phương trình ... và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
tìm được H2SO4 + 2NaOH = Na2SO4 + 2H2O.
+ Gợi động cơ mở đầu khi dạy tỷ lệ thức; hoặc đại lượng tỷ lệ thuận; hoặc PT:
Theo phương trình phản ứng thì ta có mối quan hệ tỷ lệ thuận giữa số mol của
. Bài toán
Chất A với số mol của Chất C thu được ... Từ đó dẫn đến nhu cầu tìm đại lượng thứ
tư khi biết 3 đại lượng trong mối liên hệ theo tỷ số bằng nhau: a/c = a1/c1
này cần đến công cụ giải bằng cách lập phương trình ...
c) GĐC xuất phát từ thực tế đời sống
Ví dụ 2.8:
GV đưa ra tình huống thực tế về quá trình xây dựng cổng trường THCS Giao
Lạc huyện Giao Thuỷ, Nam Định. Cổng có hình dạng một parabol (Hình 2.5)
Giả sử lập một hệ tọa độ Oxy (Hình 2.5)
sao cho đỉnh O của parabol trùng với gốc tọa
độ, và parabol có phương trình là y = - x2.
Người ta tính rằng: Cổng Parabol cần có thiết
kế sao cho điểm cao nhất cách mặt đất 2,5 m; và
nhà trường có thể chuyển được một kiện thiết bị
Hình 2.5
có dạng một khối hộp chữ nhật kích thước 2m
2m 1,5 m vào trong trường. Khi đó khoảng cách nằm ngang dọc theo mặt đất giữa
hai cạnh của cổng cần để bao nhiêu mét?
Ở đây có thể dùng hàm số y = - x2 để tính toán: Ta có OH = 2,5m nên điểm H
(0;-2,5). Thay y = - 2,5 vào y = - x2 thì tìm được x = 1,6.
Từ hình vẽ 2.4, ta có khoảng cách MN cần lớn hơn 3,2 m.
2.3.2. Biện pháp 2: Sử dụng PP MHH trong DH kiến thức mới
2.3.2.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp
Khi hình thành kiến thức mới, để hiểu rõ và có hứng thú học tập cũng như thấy
được lợi ích tác dụng của kiến thức toán học, HS cần biết đến nguồn gốc của kiến
thức đó trong thực tiễn. Vì vậy PP MHH sẽ giúp cho GV và HS xây dựng kiến thức
mới bằng cách tìm hiểu nhu cầu, hoàn cảnh thực tế dẫn đến kiến thức - “gần giống
với hoàn cảnh, con đường, cách thức” mà loài người đã tìm đến, thu được kiến thức
đó trong lịch sử. Sau đó GV tổ chức HS khái quát hóa để có kiến thức, quy luật toán
học (điều đó cũng tương tự như quá trình loài người hình thành kiến thức toán học
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
đó trong lịch sử).
2.3.2.2. Cách thức thực hiện biện pháp
Việc sử dụng PP MHH hỗ trợ hình thành kiến thức mới cần được tiến hành
đồng bộ với những PPDH (cả truyền thống và không truyền thống) thường được
dùng trong môn Toán. Điểm lưu ý ở đây chỉ là: PP MHH lồng ghép vào đặt trong sự
kết hợp các PPDH, với mục đích, tác dụng cụ thể là “giúp HS được tiếp cận với kiến
thức không phải là ở dạng có sẵn, mà tìm tòi phát hiện kiến thức mới trong những
tình huống có nội dung, nguồn gốc từ thực tiễn. Khi đó, GV phối hợp sử dụng các
PPDH với PP MHH để thiết kế, khai thác những tình huống thực tiễn, tổ chức hướng
dẫn HS học kiến thức mới theo con đường khám phá, GQVĐ.
Minh họa thông qua hình thành phương trình bậc nhất và PP giải
Ví dụ 2.9: Tình huống thực tiễn về chuyển động với các vận tốc khác nhau.
a) Tình huống thực tiễn:
Một ôtô dự định đi quãng đường AB dài 60km trong một thời gian nhất định.
Trên nửa quãng đường đầu, do đường xấu nên mỗi giờ ôtô chỉ đi được với vận tốc ít
hơn dự định là 6km. Để đến B đúng dự định, trên nửa quãng đường còn lại, ôtô cần
phải đi với vận tốc cao hơn dự định 10km mỗi giờ. Tìm thời gian dự kiến ban đầu để
ôtô đi hết quãng đường.
b) Mô hình hóa toán học:
Nếu ta đặt ẩn là cái cần tìm (thời gian dự định) thì phương trình lập được rất
cồng kềnh. Ta thay đổi bằng cách đặt ẩn phụ là vận tốc dự định. Khi đó việc phiên
dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số dễ dàng hơn. Tìm được vận tốc dự định ta có ngay
thời gian vì đã biết quãng đường. Vậy ở bài toán này ta tiến hành MHHTH như sau:
- Vận tốc dự định của ôtô là x (x>0). Khi đó lượng thời gian dự định đi sẽ là
( . Vận tốc thực ở nửa quãng đường đầu sẽ là (x-6) và thời gian đi là
- Vận tốc cần đi ở nửa quãng đường sau là (x+10) và thời gian cần đi nửa quãng
đường sau là . Như vậy, để đến được B đúng thời điểm dự kiến thì phải có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
(1)
c) Sử dụng công cụ toán học giải
bài toán:
Phương trình (1) là ở dạng phương
trình chứa ẩn ở mẫu. Ta biến đổi đưa về
dạng phương trình bậc nhất 3x-90 = 0 và
tìm được x=30. (Hình 2.6)
d) Đối chiếu với tình huống ban
đầu để trả lời:
Vì quãng đường là 60 km mà vận tốc
Hình 2.6
dự kiến là 30 (km/h) nên suy ra thời gian
dự định là 60/30 = 2 giờ. Như vậy, ban đầu người ta dự định mất khoảng thời gian 2
giờ để vượt qua quãng đường AB.
Ví dụ 2.10:
a) Tình huống thực tiễn:
GV đưa ra tình huống: Ở một khu du lịch có dự kiến trang bị hệ thống cáp treo
để chở khách tham quan. Qua khảo sát thì có thể lắp đặt được 36 cabin gồm 2 loại
cabin: loại chở được 2 người và loại chở được 4 người. Thời gian để mỗi cabin di
chuyển hết một vòng là 1 giờ. Để mỗi giờ công ty du lịch chở được tối đa 100 khách
thì phải lắp mỗi loại cabin bao nhiêu chiếc? (Hình 2.7)
b) Mô hình hóa toán học:
GV vấn đáp HS để phân tích tình huống và tiến hành MHHTH như sau:
- Nếu ta xem x là số cabin chở được 2 người thì là số ca bin chở được 4
người. Chú ý: x phải là số nguyên không âm (x0).
- Số người do 36 cabin chở được là
Khi đó, chúng ta có bài toán: Tìm x sao cho = 100 (thực chất là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
giải phương trình bậc nhất).
c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Hình 2.8
Hình 2.7
Đây là dạng toán giải phương trình. Biến đổi phương trình, ta có: 2x = 144 -
100 = 44, tức là x = 22 (thỏa mãn điều kiện thực tế đặt ra ban đầu ở tình huống).
Chú ý: Thực chất, bài toán này chính là một dạng biểu đạt khác đi của bài toán
cổ “Gà, Chó” ... Ở đây GV cũng có thể đưa về dạng bài toán giải hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn (x - số cabin chở 2 người; x - số cabin chở 4 người):
x+y = 36 (1) và 2x+4y = 100 (2)
Nhờ vậy, GV dùng được hình ảnh đồ thị để giải thích bản chất của kết quả tìm
được (Hình 2.8).
d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Và nhờ vậy, ta có thể trả lời được câu hỏi ban đầu: Cần lắp đặt 22 cabin loại chở
được 2 người và 36-22 = 14 cabin loại chở được 2 người. Nhờ công cụ toán học, ta
tính được số cabin của từng loại và lượng người chở được (ở đây là 100) ăn khớp với
số lượng cabin, nhờ thế mà khai thác được tối đa năng suất của mỗi cabin, không
thừa, cũng không thiếu.
e) Hình thành kiến thức mới:
Sau khi phân tích và giải được bài toán, GV gợi ý HS so sánh, đối chiếu với bài
toán “Gà, chó” giải bằng PP số học đã học ở tiểu học để thấy ta có thể giải bài toán
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
theo cách trên một cách đơn giản, ngắn gọn hơn.
GV tóm tắt lại quá trình giải và giúp HS rút ra khái niệm về phương trình bậc
nhất một ẩn cùng với cách giải loại phương trình mới này.
Minh họa thông qua hình thành kiến thức về phương trình bậc hai và PP giải
Ví dụ 2.11: Tình huống thực tiễn về năng suất, thời gian và tổng sản phẩm
Một xí nghiệp lắp máy dự định sản suất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Do thi đua xí nghiệp đó đã tăng năng suất thêm 1 sản phẩm mỗi ngày và do đó
đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày. Tính năng suất dự định ban đầu của
xí nghiệp đó.
Trước hết ta có thể hướng dẫn học sinh kí hiệu x là năng suất dự kiến của xí
nghiệp (ở đây điều kiện x là số nguyên dương). Bằng cách gọi ra mối liên hệ “năng
suất dự kiến cộng thêm 1 bằng năng suất thực tế, ta có thể biểu thị năng suất thực tế
qua năng xuất dự kiến là x+1. Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối liên hệ “Tổng
sản lượng bằng năng suất nhân với thời gian sản xuất", các em biểu thị được thời gian
dự kiến là và thời gian sản xuất sẽ thực tế là
.
Bằng cách gợi ý mối liên hệ “Thời gian dự
kiến bớt đi 6 ngày bằng thời gian sản xuất thực
tế”, ta có thể giúp học sinh đi đến lập phương
trình: - 6 =
Biến đổi về dạng phương trình bậc hai, ta
sử dụng quy tắc giải đối với phương trình:
Hình 2.9
6x2+6x-120=0 và tìm được 2 nghiệm x = 4 và x = -5. Đối chiếu với điều kiện x
nguyên dương, và thử lại: (120/4) - 6 = (120/5) đúng. Ta có câu trả lời: Năng suất dự
kiến của xí nghiệp là 4 sản phẩm trong một ngày. (Hình 2.9)
Ví dụ 2.12: Tình huống thực tiễn về chuyển động với các phương án khác nhau
a) Tình huống thực tiễn:
Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90km rồi ngược về 36km. Biết thời gian xuôi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc
khi ngược dòng là 6km/h. Hỏi vận tốc thực tế của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược
dòng là bao nhiêu km/h?
b) Mô hình hóa toán học:
Đề bài có các phần khá rõ và mỗi phần đều có thể phiên dịch sang ngôn ngữ đại
số dễ dàng như sau:
Vận tộc ca nô lúc ngược dòng x (x km/h, x > 0)
Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng x+6
Thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngược (2) dòng 2 giờ
Biến đổi phương trình (2) về phương trình: x2-21x+108=0,
c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Đây là loại phương trình bậc hai. Giải phương trình này theo quy tắc, ta có:
x1=9; x2= 12
d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Cả hai khả năng x = 9 và x = 12 đều thoả mãn điều kiện bài toán ban đầu.
Như vậy, ta có hai phương án trả lời như sau:
a) Trường hợp 1: Vận tốc lúc ngược dòng là 9km/h và xuôi dòng là
9+6=15km/h
b) Trường hợp 2: Vận tốc lúc ngược dòng là 12km/h và xuôi dòng là
12+6=18km/h.
e) Khai thác, mở rộng bài toán:
+ Thay “ thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2giờ” bằng “
tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng là 10 giờ”. Còn các phần khác của bài
toán thì giữ nguyên.
+ Thay “Hỏi vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng?” bằng “Hỏi
thời gian của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng?” các khác thì vẫn giữ nguyên.
+ Phát triển bài toán (dành cho học sinh là HS từ khá trở lên):
Một chiếc xuồng nhỏ chở những người du lịch phải hoàn thành một cuộc đi chơi
dọc trên sông từ địa điểm A đến B và ngược trở lại mà không vượt quá 3 giờ. Chiếc
xuồng đó phải có vận tốc riêng như thế nào, nếu vận tốc của nước sông là 5km/h,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Khoảng cách từ A đến B là 28 km và xuồng dừng lại ở điểm B trong 40 phút.
GV gợi ý để HS lập được bất PT như sau:
- Gọi vận tốc riêng của xuồng là: x(km/h). Khi đó xuồng sẽ chạy xuôi dòng với
vận tốc là (x+5) km/h và xuồng sẽ chạy ngược dòng với vận tốc là (x-5) km/h.
- Do vậy, thời gian dành cho toàn bộ cuộc hành trình (kể cả thời gian dừng lại ở
điểm B) sẽ là: t =( ) giờ.
- Theo yêu cầu đề ra là tổng thời gian không vượt quá 3 (giờ), cho nên:
- Ta có bất phương trình (x+5)(x-5)(x2-24x+25) 0
- Biết rằng vận tốc của xuồng lớn hơn vận tốc của nước, nghĩa là: x>5. Khi đó các
số (x+5), (x-5) đều dương. Sử dụng các phép biến đổi tương đương ta chuyển về bất PT
bậc hai: x2-24x-25 . Để tìm được vận tốc riêng của xuồng thì ta phải giải bất PT trên.
- Giải bất PT bậc hai trên theo quy tắc, ta tìm được x25 hoặc x-1. Do điều kiện
x>5 nên ta suy ra x25. Tức là để thời gian hành trình không quá 3 giờ thì vận tốc riêng
tối thiểu của xuồng phải là 25 km/h.
Ví dụ 2.13: Tình huống liên môn
a) Tình huống thực tiễn: (Từ tình huống về khối lượng riêng trong môn Vật lý
6 và tỷ khối và số mol trong Hoá học 8)
Người ta hoà lẫn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lỏng khác có khối lượng
riêng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3.
Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
b) Mô hình hóa toán học:
Chú ý rằng bài tập đề cập đến vấn đề liên quan đến kiến thức vật lý, cụ thể ta
phải chú ý công thức liên quan đến khối lượng riêng. Khi đó ta có thể phiên dịch bài
toán sang ngôn ngữ đại số như sau:
Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (x đo bằng kg/m3, x>200) thì
khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai sẽ là (x-200).
Hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Sau khi đổi đơn vị g sang kg, dùng
kiến thức Vật lý, ta có hệ thức: (1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Về mặt toán học, đây là một phương trình bậc hai ẩn x (điều kiện x >200).
c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Từ (1) biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai rút gọn:
1,4x2-1260x+112000 = 0
Giải phương trình bậc hai ta có nghiệm x1= 800, x2 = 100 (loại).
d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Suy ra khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 800kg/m3, và khối lượng riêng
của chất lỏng thứ hai là 600kg/m3.
e) Khai thác bài toán:
Thay đổi điều kiện ta có bài toán tương tự, chẳng hạn thay câu a được một hỗn
hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3 “bằng” được một hỗn hợp có thể tích 0,2 lít, các
phần còn lại giữ nguyên, … hoặc chỉ đơn giản là chuyển các số liệu trong đề bài toán
200g/lít; ...
trên sang đơn vị đo lường khác trong vật lý: 8g 0,008 kg; 200kg/m3
Minh họa thông qua hình thành khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
và PP giải
Ví dụ 2.14: Tình huống thực tiễn về tài chính
a) Tình huống thực tiễn: GV tăng cường khai thác các ví dụ thuộc lĩnh vực
thống kê tài chính, ngân hàng, chi tiêu, … (gần gũi với thực tế xung quanh HS)
Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế
gía trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại
hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng
cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền
cho mỗi loại hàng?
b) Mô hình hóa toán học:
Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x (triệu) đồng cho loại
hàng thứ nhất; y (triệu) đồng cho loại hàng thứ hai.
- Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT 10%) là
(triệu) đồng, cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế VAT 8%) là (triệu) đồng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
- Ta có phương trình: 1,1x+1,08y=2,17 (1)
- Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả
là hay 1,09x+1,09y = 2,18 (2)
- Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình:
c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Ở đây HS nhận dạng bài toán giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, sau đó dùng
những PP đã biết (cộng hoặc thế) để giải hệ, tìm được một nghiệm (x=0,5; y=1,5).
d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại
hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai.
2.3.3. Biện pháp 3: Sử dụng PP MHH trong DH vận dụng kiến thức
2.3.3.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp
Trong DH vận dụng kiến thức, PP MHH tỏ ra đặc biệt hữu hiệu, bởi lẽ kiến thức
toán học ở dạng lý thuyết không dễ dàng vận dụng được vào thực tiễn, cho dù chỉ là
“giả định”. Vì vậy, nhiều ưu điểm của PP MHH, GV có thể khai thác PP này trong tổ
chức những HĐ giúp HS vận dụng được kiến thức mới, không chỉ trong giải bài tập
toán thuần túy, mà còn rèn luyện những kỹ năng quan trọng để vận dụng toán học vào
giải quyết những vấn đề gặp phải khi học các môn học khác, trả lời các câu hỏi từ
thực tế cuộc sống đặt ra ...
2.3.3.2. Cách thức thực hiện biện pháp
a) Quy trình sử dụng PP MHH tổ chức HS vận dụng kiến thức lý thuyết về
giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:
Bước 1: MHH những tình huống, câu hỏi và bài toán (có nội dung thực tiễn)
gặp phải để đưa về dạng bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
Bước 2: Đối chiếu quy tắc, PP giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình với những tình huống, câu hỏi và bài toán gặp phải để lựa chọn và sử
dụng công cụ toán học phù hợp giải bài toán.
Bước 3: Đối chiếu với câu hỏi ở tình huống ban đầu để chuyển kết quả bài toán
(dưới dạng các nghiệm của PT, HPT) và trả lời câu hỏi thực tiễn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Bước 4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán
b) Vận dụng quy trình để DH giải bài toán tìm 2 đại lượng khi biết các mối
quan hệ giữa chúng
Ví dụ 2.15: Một chi tiết máy có hình một tam giác vuông, tìm độ dài hai cạnh
ngắn của nó biết rằng người ta đo được tổng độ dài là 14 (dm), và độ dài của cạnh
huyền 10 (dm).
Bước 1: Mô hình hóa toán học
Áp dụng MHH toán học đối với bài toán đã cho:
Vẽ hình (Hình 2.10) để chuyển về bài toán tìm các cạnh của tam giác vuông.
Khi đó HS sử dụng tính chất tam giác vuông và
nhận ra bài toán số học “khá quen thuộc” “Tìm hai
số biết tổng của chúng và tổng các bình phương
của chúng”.
Từ đó các em thu gọn và phát biểu dưới một
trong hai dạng:
Hình 2.10
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn;
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn;
Bước 2: Lựa chọn công cụ và giải bài toán
Cách 1: Sử dụng công cụ hệ phương trình 2 ẩn.
- Thiết lập hệ phương trình:
+ Nếu ta đặt độ dài của các cạnh cần tìm là x (x>0) và y (y>0) thì ta có x+y = 14;
+ Mặt khác, theo định lý Pitago, ta có x2+y2 = 102.
+ Từ đó ta có hệ phương trình
- Giải hệ phương trình bằng PP cộng hoặc thế, tìm được một nghiệm (6;8) thỏa
mãn điều kiện (x,y>0).
Cách 2: Sử dụng công cụ phương trình bậc hai.
- Nếu ta đặt độ dài của một cạnh cần tìm là x (x>0) thì cạnh thứ hai sẽ là (14-x);
- Mặt khác, theo định lý Pitago, ta có x2+(14-x)2 = 102.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
- Từ đó ta có phương trình bậc hai x2+(14-x)2=100.
- Giải phương trình bậc hai này theo quy tắc, ta tìm được 2 nghiệm x = 6, x = 8
(thỏa mãn điều kiện đối với ẩn x).
Bước 3: Căn cứ vào tình huống ở bài toán ban đầu. HS kết luận và trả lời:
Chi tiết máy hình tam giác vuông đã cho có độ dài các cạnh là 6 (dm), 8 (dm) và
10 (dm).
Bước 4: Vận dụng MHH toán học để khai thác, phát triển bài toán.
Đây là loại toán bậc hai, để tạo những bài toán tương tự, ta có thể thay đổi dữ
kiện và tình huống, chẳng hạn:
1. Tìm 2 số biết hiệu hai số và tổng các bình phương của chúng;
2. Tìm 2 số biết tổng (hiệu) hai số và tổng (hiệu) các nghịch đảo của hai số;
3 - Mở rộng tìm ba số thỏa mãn …
4 - Đưa vào bài toán hình học đối với hình chữ nhật (chứa các tam giác vuông
với cạnh là các cạnh và đường chéo của hình chữ nhật, ...).
b) Vận dụng quy trình để DH giải bài toán về chuyển động
Ví dụ 2.16: Hai người đi xe đạp trên hai con đường vuông góc với nhau, cùng
một thời điểm xuất phát và hướng tới một ngã tư. Vận tốc của bạn An là 12km/h, của
bạn Bình là 10 km/h. Hiện tại bạn An cách cách ngã tư là 40 km, còn bạn Bình cách
ngã tư là 30 km. Hỏi sau bao nhiêu lâu thì hai người còn cách nhau 20 km (tính theo
đường chim bay)?
Bước 1: Mô hình hóa toán học
Áp dụng MHH toán học đối với bài toán đã cho:
HS vẽ sơ đồ (Hình 2.11) biểu thị tình huống chuyển động dưới dạng mô hình
tam giác vuông ABC đỉnh A, trong đó cạnh AB thể hiện khoảng cách 40 km, cạnh
AC thể hiện khoảng cách 30 km. Bạn An đang ở vị trí của điểm B, bạn Bình đang ở
vị trí của điểm C. Khoảng cách ban đầu giữa họ cũng như trong suốt quá trình chuyển
động chính là là độ dài cạnh huyền BC (trong thay đổi là B'C').
Từ đó các em lược bỏ những chi tiết không quan trọng, thu gọn, sử dụng ngôn
ngữ và ký hiệu toán học để phát biểu dưới dạng toán giải bài toán bằng cách lập
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
phương trình bậc hai một ẩn như sau:
C
Tình huống này đòi hỏi tìm lượng thời
gian t (giờ), điều này gợi chúng ta nghĩ đến gọi
thời gian cần tìm là t, khi đó các khoảng cách
C'
giữa An và Bình so với điểm gặp nhau tại ngã tư
A
B
lần lượt là: (40 - 12t) km và (30 - 10t) km.
B' Hình 2.11
Chú ý rằng: Thời gian để An đến ngã tư là
40/12 = 3 giờ 20 phút; Thời gian để Bình đến ngã tư là 30/10 = 3 giờ, nên thời gian 0
< t 3.
Theo định lý Pitago, ta có: (40-12t)2+(30-10t)2=(BC)2.
Vì vậy, để thỏa mãn yêu cầu khoảng cách giữa họ là 20 (km) thì ta cần tìm t
trong mối quan hệ (40-12t)2+(30-10t)2=(20)2. Nói cách khác, về mặt toán học ta cần
phải giải phương trình bậc hai ẩn t sau: (40-12t)2+(30-10t)2=400.
Bước 2: Lựa chọn công cụ và giải bài toán
Đến đây, GV hướng dẫn HS sử dụng quy tắc giải phương trình bậc hai để tìm
nghiệm. Sau khi đối chiếu với điều kiện 0 < t 3, ta thu được một nghiệm
t 1,935, thỏa mãn điều kiện đối với ẩn t.
Bước 3: Căn cứ vào tình huống ở bài toán ban đầu. HS kết luận và trả lời cho
câu hỏi ban đầu: Hai bạn sẽ ở vị trí cách nhau 20 (km) sau khi họ đã đi được gần 2
giờ ( 1,935 giờ).
Bước 4: Vận dụng MHH toán học để khai thác, phát triển bài toán.
Đây là loại toán bậc hai, để tạo những bài toán tương tự, ta có thể thay đổi dữ
kiện và tình huống, chẳng hạn:
+ Chỉ thay đổi các số liệu trong bài toán trên, các yếu tố thực tế khác về cơ bản
vẫn giữ nguyên: Hai người đi ô tô trên hai con đường vuông góc với nhau, cùng xuất
phát một thời điểm và đi về phía một ngã tư là giao lộ của hai con đường đó. Vận tốc
của người thứ nhất là 50 km/h, của người thứ hai là 60 km/h. Hiện tại người thứ nhất
cách cách ngã tư là 80 km, còn người thứ hai cách ngã tư là 60 km. Hỏi sau bao nhiêu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
lâu thì hai người còn cách nhau 40 km (tính theo đường chim bay)?
+ Thay đổi một số yếu tố khác ở bài toán
trên: chẳng hạn đưa vào tình huống đối với
tam giác vuông nhưng sử dụng hệ thức lượng
đối với đường cao thuộc cạnh huyền, hình
chiếu của các cạnh góc vuông ... (Hình 2.12).
d) Vận dụng quy trình để DH giải bài
Hình 2.12
toán về năng suất
Ví dụ 2.17:
GV đưa ra tình huống: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha
lúa giống cũ. Thu hoạch tất cả được 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1
ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng
lúa giống cũ là một tấn.
GV gợi ý để HS thực hiện các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
như sau:
Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn), điều kiện (x > 0);
Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống cũ là y (tấn), điều kiện (y > 0).
Ta có hệ phương
Dùng quy tắc giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn trên, ta tìm được x=5; y=4.
Trả lời: Năng suất của lúa giống mới là 5 tấn/1 ha.
Năng suất của lúa giống cũ là 4 tấn/1 ha.
Bài toán 2:
a) Tình huống thực tiễn:
GV đưa ra tình huống: Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lô hàng,
theo đó mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật,
phân xưởng đã may được 120 áo mỗi ngày. Do đó, phân xưởng không những đã hoàn
thành kế hoạch trước thời hạn 9 ngày mà còn may thêm được 60 áo. Hỏi theo kế
hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu chiếc áo?
b) Mô hình hóa toán học:
GV hướng dẫn HS phân tích bài toán: Trong tình huống trên có những đại lượng
nào? Quan hệ của chúng ra sao? Lập mô hình toán học đối với tình huống để biểu diễn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
mối quan hệ giữa các đại lượng đó?
Trong bài toán trên ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày (đã biết).
- Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Mối quan hệ giữa chúng: Số các đại
lượng số áo may trong một ngày số ngày may = Tổng số áo may
- MHHTH: Để toán học hóa các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng ta chọn
ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. Ta chọn x là số ngày may theo kế hoạch, khi
đó tổng số áo may là 90x, nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên số ngày may là x-9 và tổng
số áo may là: 120(x-9).
Từ thông tin đã cho ở đề bài, ta có quan hệ giữa
tổng số áo đã may được và số áo may theo kế hoạch
được biểu thị bởi PT bậc nhất: 120(x-9) = 90x+60.
c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Rút gọn về 12(x-9) = 9x+6 và giải phương trình
trên bằng quy tắc giải phương trình bậc nhất, ta tìm
được x=38. (Hình 2.13)
d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Vậy kế hoạch may áo ban đầu của xưởng may
Hình 2.13
là trong 38 ngày.
e) Khai thác bài toán:
Có thể đưa ra và giải cho các bài toán tương tự về tăng trưởng kinh tế, tăng
hàng hoá xuất khẩu, … Chẳng hạn:
Tình huống thực tiễn:
Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm
nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với
năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn
vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Mô hình hóa toán học:
Gọi x (tấn) và y (tấn) là số tấn thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm
ngoái (ĐK: x>0, y>0). Theo điều kiện đầu bài ta có:
Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất thu hoạch được 720 tấn thóc, nghĩa là:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
x+y=720 (1)
Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức15%, nghĩa là đơn vị thứ nhất thu hoạch
được: x+ (tấn)
Khi đó, đơn vị thứ hai thu hoạch được: y+ (tấn)
Cả hai thu hoạch được 819 tấn, có nghĩa là:
(2)
Ta có hệ phương trình:
Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Dùng PP giải hệ phương trình bậc nhất 2
ẩn, ta tìm được nghiệm: (x=420; y=300)
Hình 2.14
(Hình 2.14)
Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Vậy năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được 420 tấn thóc,đơn vị thứ hai thu
thu hoạch được 300 tấn thóc.
Năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được 483 tấn thóc, đơn vị thứ hai thu hoạch
được 336 tấn thóc.
2.4. Kết luận chương 2
PP MHH là một trong những cách thức thực hiện DH toán gắn với thực tiễn,
trực tiếp góp phần phát triển cho HS NL MHHTH và NL GQVĐ trong cuộc sống.
Đây là một trong những hướng đổi mới PPDH Toán, làm cho môn toán trở nên gần
gũi, thiết thực với người học.
Sau khi những cơ sở lý luận và thực tiễn của PP MHH trong DH toán THCS, ở
chương này, chúng tôi đã thiết kế một số hoạt động MHHTH đối với nội dung giải
bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở lớp 8, 9 trường THCS và xây
dựng một số biện pháp vận dụng PP MHH trong DH.
Để xây dựng giải pháp, chúng tôi xác định 3 nguyên tắc thiết kế hoạt động
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
MHH và ba định hướng xây dựng biện pháp vận dụng PP MHH trong DH chủ đề đã
chọn. Trên cơ sở đó. chúng tôi đã xây dựng được ba biện pháp vận dụng PP MHH
trong DH chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình cho HS lớp 8, 9 ở trường
THCS. Để minh họa và gợi ý GV sử dụng các biện pháp, chúng tôi đã thiết kế một số
tình huống DH nội dung “giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
cho HS các lớp 8,9 trường THCS bằng phương pháp mô hình hóa.
Chương 3
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích và kế hoạch thực nghiệm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm nghiệm giả thuyết khoa học, tính
khả thi và tính hiệu quả của một số biện pháp đã xây dựng thông qua vận dụng PP MHH
vào DH nội dung “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”.
3.1.2. Kế hoạch thực nghiệm
Tác giả tìm hiểu tình hình dạy và học toán lớp 8, 9 ở một số trường THCS của
huyện Giao Thủy, tỉnh Nam Định. Trên cơ sở đó, xác định lựa chọn các trường, lớp
HS và các GV tham gia thực nghiệm.
Thực nghiệm được tiến hành đối với các lớp 8 và 9 tại hai trường THCS Bình
Hòa và Giao Lạc, thuộc huyện Giao Thuỷ, tỉnh Nam Định.
Tác giả cùng với GV Toán ở các trường tham gia thực nghiệm tiến hành: Lựa
chọn, xác định GV và HS tham gia thực nghiệm, sinh hoạt chuyên môn trao đổi về
nội dung và cách thức thực nghiệm, thiết kế và biên soạn tài liệu và giáo án thực
nghiệm, ... Trong đó có một bài thu hoạch khảo sát nhận thức của GV về mô hình
hóa toán học và các vấn đề liên quan đến DH Toán 9 gắn với thực tiễn.
Chúng tôi lựa chọn GV tham gia giảng dạy trong các cặp lớp thực nghiệm và
đối chứng có trình độ chuyên môn nghiệp vụ tương đương nhau.
- Học sinh ở các lớp được lựa chọn tham gia thực nghiệm và đối chứng ở hai
trường THCS Bình Hòa và Giao Lạc, thuộc huyện Giao Thuỷ, tỉnh Nam Định.
Cụ thể:
Trường THCS Bình Hòa:
+ Lớp thực nghiệm 9A (30 HS) do cô giáo Vũ Thị Hằng giảng dạy.
+ Lớp đối chứng 9B (30 HS) do cô giáo Trần Thị Nhiễn giảng dạy.
Trường THCS Giao Lạc:
+ Lớp thực nghiệm 8C (30 HS) do cô giáo Nguyễn Thị Quy giảng dạy.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
+ Lớp đối chứng 8B (30 HS) do cô giáo Trần Thị Tiến giảng dạy.
- Kế hoạch thực nghiệm:
Chúng tôi tổ chức sinh hoạt chuyên môn với các GV tham gia, cùng với GV dạy
thực nghiệm thiết kế giáo án, thực hành DH và rút kinh nghiệm theo hình thức nghiên
cứu bài học.
Tổ chức dạy thực nghiệm và đối chứng theo quy trình. Ở lớp thực nghiệm, GV
tiến hành:
+ Giới thiệu về mô hình hóa toán học cho HS;
+ Tổ chức HS thực hiện các hoạt động theo kịch bản DH bằng PP MHH đã
thiết kế; tập trung vào việc cho HS giải một số bài bài toán có nội dung thực tiễn, tập
dượt xử lý một số tình huống thực tế bằng PP MHH toán học.
+ Theo dõi quan sát HS về khả năng thực hiện các hoạt động MHH;
+ Kiểm tra khả năng MHH thông qua phiếu hỏi, bài kiểm tra viết.
Tác giả cùng với các GV Toán tham gia thực nghiệm tiến hành kiểm tra đánh
giá và xử lý kết quả thực nghiệm.
3.2. Nội dung thực nghiệm
3.2.1. Nội dung thực nghiệm
Sử dụng PP MHHTH thực hiện DH sáu tiết trong chủ đề Giải bài toán bằng cách
lập phương trình, hệ phương trình thuộc phân môn Đại số lớp 8, 9 trường THCS:
+ Toán 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình và luyện tập;
+ Toán 9: Giải bài toán bằng cách lập PT bậc hai một ẩn và luyện tập.
Cụ thể là 2 tiết lý thuyết và 4 tiết luyện tập:
1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình (Toán 8)
2. Luyện tập giải bài toán bằng cách lập PT, HPT (Toán 8)
3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn (Toán 9)
4. Luyện tập giải bài toán bằng cách lập PT bậc hai một ẩn (Toán 9)
Nội dung và cách thức thiết kế một số giáo án thực nghiệm trình bày ở phụ lục
số 03.
3.2.2. Nội dung kiểm tra đánh giá
Sau khi triển khai dạy thực nghiệm theo kế hoạch đề ra, chúng tôi tiến hành
kiểm tra, đo lường kết quả và nhận xét đánh giá tính hiệu quả và tính khả thi của các
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
biện pháp đề xuất. Cụ thể là:
- Trong quá trình thực nghiệm, tác giả cùng với các GV Toán tham gia tiến hành
quan sát, phỏng vấn, ghi chép những biểu hiện của HS, trao đổi ý kiến rút kinh
nghiệm, ... về diễn biến hứng thú, nhận thức, kỹ năng MHH của HS các lớp thực
nghiệm và đối chứng.
- Cuối đợt thực nghiệm chúng tôi đã đánh giá kết quả thực nghiệm ở cả các lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng thông qua 01 bài kiểm tra 45 phút với dụng ý đo lường
NL MHH của HS.
Nội dung bài kiểm tra: (phụ lục 2)
3.3. Kết quả thực nghiệm
3.3.1. Phân tích định tính
Dự giờ quan sát GV và HS trong quá trình thực nghiệm, nhận xét trong quá
trình chấm bài kiểm tra, chúng tôi thấy:
- Đối tượng HS giỏi: các em ở lớp thực nghiệm đã giải được trọn vẹn hầu hết
các bài tập, biết cách chuyển từ tình huống thực tiễn sang dạng mô hình toán học rất
tốt. Còn ở lớp đối chứng thì tỷ lệ giải được đủ và hoàn thiện thấp hơn.
- Đối tượng HS khá: các em ở lớp thực nghiệm đã giải được trọn vẹn 3/4 bài
tập, biết cách chuyển từ tình huống thực tiễn sang dạng mô hình toán học khá tốt.
Còn ở lớp đối chứng thì tỷ lệ giải được đủ và hoàn thiện thấp hơn (50-60%).
- Đối tượng HS trung bình: các em ở lớp thực nghiệm đã giải được tương đối
chặt chẽ 2-3 bài tập, biết cách chuyển từ tình huống thực tiễn sang dạng mô hình toán
học. Còn ở lớp đối chứng thì tỷ lệ giải được 2 bài chỉ đạt 50 % đồng thời lập luận tính
toán cũng còn sai sót.
- Đánh giá biểu hiện về năng lực mô hình hóa của HS:
Thông qua quan sát, chấm bài kiểm tra của HS, chúng tôi nhận thấy NL MHH
của HS ở lớp thực nghiệm tiến bộ hơn đáng kể so với HS ở lớp đối chứng, biểu hiện
ở: Các em thực hiện được đa số các kỹ năng MHH như biết rút gọn để đơn giản tình
huống ban đầu Làm rõ mục tiêu và nhìn thấy vấn đề Xác định được các biến,
tham số, hằng số Thiết lập được bài toán Lựa chọn mô hình, công cụ toán học
và biểu diễn bằng ngôn ngữ, ký hiệu toán học giải được bài toán và liên hệ lại vấn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
đề trong thực tiễn.
+ Mặt khác, qua dự giờ, phỏng vấn GV về tác động và hiệu quả của các biện
pháp đã sử dụng, đa số các GV tham gia đều nhận thấy các BP là khả thi và bước đầu
có ảnh hưởng tốt tới những thành phần và biểu hiện của NL MHH trong môn Toán.
Như vậy, đối chiếu với những tiêu chí biểu hiện của NL MHH (xác định theo
chương trình giáo dục phổ thông mới về môn Toán) trong [20], HS đã biết sử dụng
những mô hình toán học được học để giải quyết được các vấn đề toán học trong các
mô hình được thiết lập; đồng thời biểu đạt được lời giải bài toán theo ngữ cảnh thực
tế và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải, bước đầu biết điều
chỉnh mô hình khi nhận thấy cách giải quyết không phù hợp.
3.3.2. Phân tích định lượng
Bảng 3.1. Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp
thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC)
Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng
Số
Điểm
Lớp
HS
TB
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TN
30
0
0
0
1
2
3
4
8
6
4
2
7,0
ĐC
30
0
0
0
2
3
6
8
6
3
2
0
6,0
Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra 45 phút
lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC)
Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng
Số
Lớp
HS
0-4
5-6
7-10
3
7
20
TN
30
5
14
11
ĐC
30
Bảng 3.3. Bảng phân bố tần suất điểm kiểm tra 45 phút
Tỷ lệ điểm số của bài kiểm tra
Số
Lớp
HS
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TN
30
0% 0% 0% 3,3% 6,6%
9,9%
13,2% 26,5% 19,9% 13,2% 6.6%
ĐC
30
9,9%
6,6%
0%
0% 0% 0% 6,6% 9,9% 19,9% 26,5% 19,9%
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Bảng 3.4. Bảng phân bố (ghép lớp) tần suất điểm kiểm tra 45 phút
Tỷ lệ điểm số của bài kiểm tra
Số
Lớp
HS
0-4
5-6
7-10
TN
30
9,9%
23,1%
67%
ĐC
30
16,7%
46,6%
36,7%
Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần số điểm bài kiểm tra 45 phút
Biểu đồ 3.2. Biểu đồ phân bố tần số (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Biểu đồ 3.3. Biểu đồ cột phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút
Lớp thực nghiệm
Lớp đối chứng
Biểu đồ 3.4. Biểu đồ hình quạt tần suất (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút
3.3.3. Kiểm định giả thuyết thống kê
Kết quả bài kiểm tra ở bảng 3.1 cho thấy điểm trung bình cộng của lớp thực
nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. Vấn đề đặt ra là sự khác nhau đó (trên các
mẫu) có ý nghĩa không? Có phải thực sự do tác động của các BP DH hay chỉ do ngẫu
nhiên mà có? Nếu ta áp dụng rộng rãi giải pháp mới thì nói chung kết quả có tốt hơn
hiện nay hay không?
Để giải quyết vấn đề trên, chúng tôi nêu giả thuyết thống kê H0: “Sự khác nhau
về điểm trung bình cộng chỉ là ngẫu nhiên, các BP DH không có ảnh hưởng gì đến
kết quả học tập”. Coi mẫu đã chọn là có tính đại diện, chúng tôi tính phương sai và
độ lệch chuẩn để kiểm định giả thuyết thống kê H0.
Kiểm định giả thuyết thống kê:
Các tham số thống kê của lớp TN: n=30; ; độ lệch chuẩn s1 = 1,76
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
Các tham số thống kê của lớp DC: n=30; ; độ lệch chuẩn s2 = 1,58
+) Kiểm định phương sai (độ phân tán của điểm học sinh)
Giả thuyết H0: Độ phân tán điểm khác nhau không có ý nghĩa thống kê (coi độ
phân tán là như nhau).
Đối thuyết H1: Độ phân tán khác nhau có ý nghĩa thống kê.
Tính test thống kê F có
Tra bảng phân phối Fisher ta có
Vậy chấp nhận H0 tức độ phân tán điểm là như nhau.
+) Kiểm định số trung bình
Giả thuyết H0: Điểm trung bình hai lớp khác nhau không có ý nghĩa thống kê
(coi là như nhau).
Đối thuyết H1: Điểm trung bình hai lớp khác nhau có ý nghĩa thống kê.
Do ở trên ta thấy độ phân tán điểm là như nhau nên tính:
Tính test
Tra bảng phân phối Student với độ tự do d = 58 ta có .
Vậy chấp nhận H1; bác bỏ H0 tức là điểm trung bình hai lớp khác
nhau có ý nghĩa thống kê.
Như vậy, tác động của các BP DH là có tác dụng: Kết quả của HS ở lớp thực
nghiệm cao hơn kết quả của HS ở lớp đối chứng không phải là ngẫu nhiên, mà do ảnh
hưởng tác động của các BP DH. Điều đó cho phép chúng tôi rút ra kết luận: Các HĐ
MHH và các BP DH đã thiết kế và sử dụng đến bước đầu phát huy tác dụng, thu được
kết quả tương đối tốt trong thực nghiệm DH “giải bài toán bằng cách lập phương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
trình, hệ phương trình”.
3.4. Kết luận chương 3
Để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đã đề xuất, chúng tôi tiến
hành thực nghiệm sư phạm tại hai trường THCS thuộc huyện Giao Thuỷ - Nam Định.
Các kết quả định tính và định lượng thu được giúp chúng tôi rút ra nhận xét:
- Sau thực nghiệm, kết quả hoạt động MHHTH của HS ở các lớp thực nghiệm
tăng lên rõ rệt. Đa số HS đã thực hiện được một số hoạt động MHH ở những tình
huống thực tiễn do GV thiết kế và đưa ra trong DH giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình ở các lớp 8, 9.
- Các biện pháp đề xuất bước đầu có tính khả thi và hiệu quả nhất định, có thể
đưa vào vận dụng trong dạy học chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình, góp phần phát triển năng lực MHHTH cho HS.
Kết quả thực nghiệm cho thấy: Phương án đã xây dựng ở chương 2 bước đầu có
tính khả thi và có tác dụng tốt trong thực tế DH giải bài toán bằng cách lập phương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
trình, hệ phương trình ở trường THCS.
KẾT LUẬN
PP MHH có vai trò quan trọng trong việc phát triển NL cho HS qua môn Toán,
đáp ứng yêu cầu thực hiện chương trình giáo dục phổ thông mới, làm cho nội dung
giáo dục không bị bó hẹp trong sách vở, mà gắn liền với đời sống thực tiễn xã hội, là
con đường gắn lý thuyết với thực tiễn, tạo nên sự thống nhất giữa nhận thức với hành
động, góp phần phát triển phẩm chất, tư tưởng, ý chí, kĩ năng sống, hình thành những
năng lực cần có của con người trong xã hội hiện đại, là con đường để phát triển toàn
diện nhân cách HS.
Qua quá trình thực hiện đề tài, đối chiếu với mục đích nghiên cứu và phạm vi
nghiên cứu của đề tài chúng tôi đã đạt được những kết quả sau:
1. Hệ thống hóa cơ sở lý luận về PP MHH sử dụng trong DH Toán.
2. Đánh giá thực trạng về DH chủ đề nội dung giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình ở trường THCS về tình hình sử dụng PP MHH nhằm
phát triển NL MHH và GQVĐ thực tiễn cho HS. Tìm ra được những khó khăn, hạn
chế và nguyên nhân cả về GV và HS khi xem xét từ yêu cầu vận dụng PP MHH trong
DH chủ đề này.
3. Đề xuất quy trình vận dụng PP MHH trong DH Toán - áp dụng cho nội dung
giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở THCS.
4. Đề xuất ba biện pháp sư phạm để vận dụng PP MHH trong DH giải bài toán
bằng cách lập phương trình, hệ phương trình; minh họa thông qua những ví dụ minh
họa việc thiết kế và sử dụng tình huống MHH toán học đối với chủ đề đã chọn.
5. Tổ chức thực nghiệm sư phạm theo định hướng và các biện pháp đề xuất với
đối tượng GV và HS lớp 8, lớp 9 ở hai trường THCS cho thấy kết quả khả quan,
chứng tỏ giải pháp đề ra có thể thực hiện được trong bước đầu mang lại hiệu quả tốt,
đạt được những mục đích nghiên cứu của đề tài.
Tuy nhiên, do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, tài liệu cụ thể về vấn đề
này còn ít, điều kiện cơ sở vật chất, kinh phí ở trường phổ thông còn có những hạn
chế, chưa đáp ứng được yêu cầu nên đề tài không thể tránh khỏi những hạn chế
như: các phương án thiết kế sản phẩm chưa nhiều, kết quả thực hành của HS cũng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
còn những hạn chế, chưa có điều kiện thực nghiệm trên nhiều đối tượng khác nhau.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga (2011), Mô hình hóa toán học các hiện tượng biến
thiên trong DH nhờ hình học động dự án nghiên cứu Mira. Tạp chí Khoa học,
Trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh, trang 55-63, 85.
2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (Ban
hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT, ngày 26 tháng 12 năm 2018 của
Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo), Hà Nội.
3. Chính phủ nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2014), Nghị quyết số 44/NQ-
CP (9/6/2014).
4. Nguyễn Thị Hồng Cúc (2011), DH mô hình hóa hàm số thông qua bài toán tính diện
tích trong môi trường tích hợp phần mềm Cabri II Plus. Luận văn Thạc sỹ Didactic
Toán, Trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh.
5. Đảng Cộng sản Việt Nam (2013), Nghị quyết số 29-NQ/TW (04/11/2013).
6. Đỗ Tiến Đạt (2011), Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA – Môn toán,
NXB Giáo dục.
7. Phạm Việt Hà (2016), Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực
tiễn cho học sinh THCS thông qua DH nội dung PT, HPT, Luận văn Thạc sỹ PPDH
Toán, Trường ĐHSP - Đại học Thái Nguyên.
8. Nguyễn Hữu Hải (2014), Hướng dẫn học sinh trung học xây dựng mô hình toán học
của một số tình huống thực tiễn, Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục, Trường
ĐHSP Hà Nội.
9. Phan Thị Thu Hiền (2015), Vận dụng PP mô hình hóa trong DH Đại số lớp 10 ở
trường Trung học phổ thông, Luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP - Đại
học Thái Nguyên.
10. Nguyễn Thanh Hòa (2014), Rèn luyện kỹ năng giải bài toán bằng cách lập
phương trình cho HS lớp 8 trường THCS, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường
ĐHSP Hà Nội.
11. Trần Kiều (1988), Nội dung và phương pháp dạy thống kê mô tả trong chương trình
toán cải cách ở trường phổ thông cơ sở Việt Nam, Luận án Phó tiến sĩ Khoa học Sư
phạm - Tâm lý, Viện Khoa học Giáo dục.
12. Nguyễn Bá Kim (2017). PPDH môn Toán. NXB ĐHSP.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
13. Cai Việt Long (2012), DH Toán ở trường trung học phổ thông theo định hướng phát
triển năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn, Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo
dục, Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội.
14. Nguyễn Danh Nam (2013). Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường
phổ thông. Kỷ yếu Hội thảo khoa học “Cán bộ trẻ các trường đại học sư phạm toàn
quốc”, NXB Đà Nẵng, tr.512-516.
15. Nguyễn Danh Nam, Đào Thị Liễu (2013), Bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình
huống thực tiễn cho học sinh thông qua DH chủ đề xác suất - thống kê, Tạp chí Giáo
dục, số đặc biệt 08/2013, tr.104-106.
16. Nguyễn Danh Nam (2016). PP MHH trong DH môn Toán ở trường phổ thông, Sách
chuyên khảo, NXB Đại học Thái Nguyên.
17. Lê Thị Thanh Phương (2008), Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực
tiễn vào dạy môn Toán Đại số nâng cao 10 - THPT. Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo
dục, Trường ĐHSP – Đại học Thái Nguyên.
18. Quốc hội nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005, bổ sung năm 2009, theo
văn bản 44/2009/QH12), Luật Giáo dục.
19. Quốc hội nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2014), Nghị quyết
88/2014/QH13 (28/11/ 2014).
20. Đỗ Đức Thái, Đỗ Tiến Đạt và các thành viên Ban phát triển chương trình môn Toán
(2017), Xác định năng lực toán học trong Chương trình giáo dục phổ thông
mới, Tạp chí Khoa học Giáo dục, số 146-11/2017, trang 1-7.
21. Hà Xuân Thành (2017), Thiết kế các tình huống thực tiễn trong DH môn Toán trung
học phổ thông nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề của học sinh, luận án tiến
sỹ Giáo dục học, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam.
22. Nguyễn Cảnh Toàn, Hoàng Kỳ, Nguyễn Mạnh Quý, Trần Diên Hiển, Vũ Việt Yên
(2001), Từ điển thuật ngữ toán học, Nxb Từ điển bách khoa, Hà Nội.
23. Trần Trung (2011), Vận dụng mô hình hóa vào DH môn Toán ở trường phổ thông,
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Hà Nội, số 06, tr.104-108.
24. Trần Trung (chủ biên), Nguyễn Văn Hồng, Nguyễn Danh Nam, Đặng Xuân Cương
(2011), Ứng dụng Công nghệ thông tin vào DH môn Toán ở trường phổ thông, NXB
Giáo dục Việt Nam.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
25. Ngô Anh Tuấn (2005), Hướng dẫn học sinh THCS tự học trong DH nội dung giải
bài toán bằng cách lập phương trình, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP -
Đại học Thái Nguyên.
26. Nguyễn Anh Tuấn (2012), Giáo trình Lôgic toán và lịch sử Toán, NXB ĐHSP, Hà Nội.
27. Viện Ngôn ngữ học - Trung tâm Từ điển học (2001), Từ điển Tiếng Việt, NXB Đà Nẵng.
28. Trần Vui (2009), Sử dụng toán học hóa để nâng cao hiểu biết định lượng cho HS
trung học phổ thông. Tạp chí Khoa học Giáo dục, số 43, tr.23-26.
Tiếng Anh
29. Berinderjeet Kaur, Jaguthsing Dindyal (2010), Mathematical applications and
modelling. World Scientific Publishing.
30. Blum, Niss (1991), Applied mathematical problem solving, modeling, applications
and links to other subjects, Educational Studies in Mathematics, 22 (1), 36-38.
31. Blum, Galbraith, Henn & Niss (2007), Modelling and applications in mathematics
education, The 14th ICMI Study. Springer.
32. Blum, Ferry (2009). Mathematical Modelling: Can it be taught and learnt? Journal
of Mathematical Modelling and Application. 1(1), 45-58
33. Jensen, T. H. (2007), Assessing mathematical modelling competency. In C.
Haines, P. Galbraith, W. Blum and S. Khan (Eds.): Mathematical Modelling
Education, Engineering and Economics (ICTMA12), 141-148, Horwood.
34. Jonathan Borwein, Keith Devlin (2009). Experimentelle Mathematik. Spektrum
Akademischer Verlag, Heidelberg, 347.
35. Houston, K., & Neill, N. (2003). Investigating students’ modeling skills. In Q. Ye,
W. Blum, S. K. Houston, & Q. Jiang (Eds.): Mathematical modelling in education
and culture (ICTMA 10), 54-66, Horwood.
36. Danh Nam Nguyen, Trung Tran (2013), Recommendations for mathematics
curriculum development in Vietnam. Proceedings of the 6th International Conference
on Educational Reform, 26-32.
education associated with practicality”, VIETNAM JOURNAL OF EDUCATION.
Volume 5 (December-2018), 59-63.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn
37. Anh Tuan Nguyen (2018), “Scientific basis and some measures to implement math
PHỤ LỤC
PHỤ LỤC 1a: PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN
Câu hỏi 1: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng
cường liên hệ toán học với thực tiễn trong dạy học môn Toán THCS.
Không cần thiết Cần thiết Rất cần thiết
Câu hỏi 2: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc tìm
hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức toán học ở
trường THCS.
Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên
Câu hỏi 3: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc thiết
kế các hoạt động giúp HS THCS hiểu những ứng dụng của Toán học trong giải quyết
các tình huống nảy sinh từ thực tiễn.
Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên
Câu hỏi 4: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc sử
dụng công nghệ thông tin giúp HS THCS hiểu những mô hình của toán học trong
thực tiễn.
Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên
Câu hỏi 5: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc thiết
kế các bài tập, bài kiểm tra dành cho HS THCS theo hướng vận dụng mô hình toán
học để giải quyết các bài toán nảy sinh từ thực tiễn.
Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên
Câu hỏi 6: Các thầy (cô) hãy đánh giá về tầm quan trọng của mô hình hóa
toán học trong dạy học Toán ở trường THCS?
Không quan trọng Quan trọng Rất quan trọng
Câu hỏi 7: Theo các thầy (cô), hoạt động mô hình hóa giúp phát triển ở HS
THCS những kĩ năng nào sau đây?
Giải quyết vấn đề Làm việc theo nhóm
Thực hiện dự án Vận dụng toán học trong thực tiễn
Sử dụng ngôn ngữ toán học Vận dụng công nghệ thông tin
Các kĩ năng khác: ........................................
Câu hỏi 8: Theo các thầy (cô), trong môn toán THCS, những chủ đề nào dưới
đây có thể sử dụng phương pháp mô hình hóa trong thiết kế các hoạt động dạy học?
Hàm số Phương trình, bất phương trình
Đa thức, phân thức Hệ phương trình, hệ bất phương trình
Thống kê Hình học
Diện tích, thể tích Hệ thức lượng trong tam giác
Bất đẳng thức Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Các chủ đề khác: ................................
Câu hỏi 9: Theo các thầy (cô), GV dạy toán THCS cần có những hiểu biết gì
để có thể vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học?
Kiến thức khoa học toán học Kiến thức về các vấn đề thực tiễn
Kiến thức toán học phổ thông Vận dụng toán học trong thực tiễn
Phương pháp dạy học Công nghệ thông tin
Thiết kế mô hình toán học Tổ chức hoạt động ngoại khóa
Kiến thức khác: ...................................
Câu hỏi 10: Theo các thầy (cô), năng lực mô hình hóa gồm có những thành tố
nào dưới đây?
Phân tích tình huống thực tiễn Đơn giản hóa giả thuyết
Xác định biến, tham số bài toán Xây dựng bài toán
Lựa chọn mô hình toán học Thiết lập mô hình
Liên hệ mô hình với thực tiễn Cải tiến mô hình
Những thành tố khác: ................................
Câu hỏi 11: Theo các thầy (cô), có cần thiết tổ chức bồi dưỡng năng lực vận
dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học cho GV toán THCS?
Không cần thiết Cần thiết Rất cần thiết
Câu hỏi 12: Các thầy (cô) cho biết những khó khăn và thách thức gặp phải
trong quá trình tổ chức hoạt động mô hình hóa trong dạy học toán ở trường THCS?
Câu hỏi 13: Theo các thầy (cô), làm thế nào để có thể vận dụng phương pháp
mô hình hóa trong giờ học môn Toán THCS?
Câu hỏi 14: Các thầy (cô) thường làm gì để giúp HS THCS giải quyết các bài
toán mang tính thực tiễn được trình bày trong SGK môn Toán?
Câu hỏi 15: Các thầy (cô) hãy liệt kê một số mô hình toán học có thể sử dụng
trong dạy học Toán ở trường THCS?
Câu hỏi 16: Để tạo điều kiện thực hiện phương pháp mô hình hóa trong dạy
học toán, các thầy (cô) có đề xuất thay đổi nội dung gì trong chương trình SGK môn
Toán THCS hiện hành?
Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy (cô)!
PHỤ LỤC 1b: PHIẾU HỎI HỌC SINH
Câu hỏi 1: Em hãy cho biết về mức độ cần thiết của việc tăng cường liên hệ
toán học với thực tiễn trong học Toán ở THCS.
Không cần thiết Cần thiết Rất cần thiết
Câu hỏi 2: Em hãy cho biết mức độ thường xuyên của bản thân về việc tìm
hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức môn toán
được học ở trường THCS.
Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên
Câu hỏi 3: Em hãy cho biết trong học toán ở THCS mức độ thường xuyên
được tiếp xúc với các bài tập, bài kiểm tra có vận dụng mô hình toán học để giải
quyết tình huống nảy sinh từ thực tiễn.
Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên
Câu hỏi 4: Em đánh giá như thế nào về tầm quan trọng của mô hình hóa toán
học trong dạy học Toán ở trường THCS?
Không quan trọng Quan trọng Rất quan trọng
Câu hỏi 5: Em hãy cho biết khi học toán ở trường THCS gắn với thực tiễn sẽ
gặp phải những khó khăn nào?
Câu hỏi 6: Em hãy cho biết những khó khăn gặp phải khi chuyển từ tình
huống thực tiễn sang mô hình toán học?
Câu hỏi 7: Theo Em, trong môn Toán ở trường THCS, những nội dung nào
gần gũi với thực tế để có thể vận dụng toán học?
Cảm ơn các em đã tham gia trả lời các câu hỏi!
PHỤ LỤC 2: ĐỀ KIỂM TRA
Đề kiểm tra số 1 và đáp án (sau thực nghiệm)
Câu 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất
Quảng đường AB dài 156 km. Một người đi xe máy tử A, một người đi xe đạp
từ B. Hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ gặp nhau. Biết rằng vận tốc của
người đi xe máy nhanh hơn vận tốc của người đi xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc của
mỗi xe?
Dụng ý sư phạm
Đánh giá các KN thực hiện các HĐ MHH toán học của HS trong quá trình giải
bài tập:
1. Rút gọn để đơn giản tình huống ban đầu
2. Làm rõ mục tiêu và nhìn thấy vấn đề
3. Xác định được các biến, tham số, hằng số
4. Thiết lập được bài toán và lựa chọn mô hình, công cụ toán học và biểu diễn
bằng ngôn ngữ, ký hiệu toán học
5. Giải được bài toán và liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn.
Tóm tắt lời giải
Gọi vận tốc của xe đạp là x (km/h), ĐK: x > 0, ta có: vận tốc của xe máy là
x + 28 (km/h). Khi đó: Trong 3 giờ thì
+ Xe đạp đi được quãng đường 3x (km),
+ Xe máy đi được quãng đường 3(x + 28) (km).
Theo đề bài ta có phương trình: 3x + 3(x + 28) = 156
Giải PT tìm được nghiệm x = 12 (thỏa mãn ĐK)
Trả lời: Vận tốc của xe đạp là 12 km/h và vận tốc của xe máy là 12 + 28 = 40 (km/h)
Câu 2: Giải bài tập toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) và một dung dịch
khác chứa 55% axit nitơric .Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại
2 để được 100lít dung dịch 50% axit nitơric?
Dụng ý sư phạm
Đánh giá các KN thực hiện các HĐ MHH toán học của HS trong quá trình giải
bài tập:
1. Rút gọn để đơn giản tình huống ban đầu
2. Làm rõ mục tiêu và nhìn thấy vấn đề
3. Xác định được các biến, tham số, hằng số
4. Thiết lập được bài toán và lựa chọn mô hình, công cụ toán học và biểu diễn
bằng ngôn ngữ, ký hiệu toán học
5. Giải được bài toán và liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn.
Tóm tắt lời giải
+/ Gọi x,y theo thứ tự là số lít dung dịch loại 1 và 2 (Đơn vị: Lít, x,y>0)
Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch loại 1 là và loại 2 là
+/ Ta có hệ phương trình: +/ Giải hệ này ta được: x=20 ;y=80
Câu 3: Giải bài tập toán bằng cách lập phương trình bậc hai
Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km. Cùng một lúc, một xe
máy khởi hành từ Quy Nhơn đi Bồng Sơn và một xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn đi
Quy Nhơn. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến Bồng Sơn.
Biết vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường đi và vận tốc của xe máy
kém vận tốc xe ô tô là 20 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.
Dụng ý sư phạm
Đánh giá các KN thực hiện các HĐ MHH toán học của HS trong quá trình giải
bài tập:
1. Rút gọn để đơn giản tình huống ban đầu
2. Làm rõ mục tiêu và nhìn thấy vấn đề
3. Xác định được các biến, tham số, hằng số
4. Thiết lập được bài toán và lựa chọn mô hình, công cụ toán học và biểu diễn
bằng ngôn ngữ, ký hiệu toán học
5. Giải được bài toán và liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn.
Tóm tắt lời giải
Đổi
Đặt địa điểm:
- Quy Nhơn là điểm A; Vị trí hai xe gặp nhau là điểm C; Bồng Sơn là điểm B
Gọi vận tốc của xe máy là . ĐK: .
Suy ra:
Vận tốc của ô tô là .
Quãng đường BC là:
Quãng đường AC là:
Thời gian xe máy đi từ A đến C là:
Thời gian ô tô máy đi từ B đến C là:
Vì hai xe khởi hành cùng lúc, nên ta có phương trình:
Giải phương trình:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: (thỏa mãn ĐK)
(không thỏa mãn ĐK)
Vậy vận tốc của xe máy là .
Vận tốc của ô tô là .
Đề kiểm tra số 2 (sau thực nghiệm)
Câu 1:
Một xưởng sản xuất giày lập kế hoạch thực hiện một đơn đặt hàng, theo đó để
đảm bảo kế hoạch sản xuất của tháng, cứ mỗi tuần lễ xưởng phải làm được 120 đôi
giày. Do vận hành dây chuyền máy móc mới, xưởng đã làm được 150 đôi giày mỗi
tuần. Nhờ vậy, xưởng không những đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 7 ngày mà
còn gia công thêm được 30 đôi giày so với dự kiến. Hỏi theo kế hoạch xưởng sản
xuất giày phải làm được bao nhiêu đôi giày?
Dụng ý sư phạm
HS phát hiện được dạng bài toán có tình huống và dữ kiện tương tự như một
bài toán đã học (Bài toán 2 trong ví dụ 2.17). Từ đó các em tập luyện KN tương tự
hóa, KN sử dụng ngôn ngữ ký hiệu để nhận diện và biểu đạt bài toán, ... đồng thời
kiểm tra được những KN thực hiện các HĐ MHH toán học khi giải bài tập.
Tóm tắt lời giải
a) Mô hình hóa toán học:
GV hướng dẫn HS phân tích bài toán: Trong tình huống trên có những đại lượng
nào? Quan hệ của chúng ra sao? Lập mô hình toán học đối với tình huống để biểu diễn
mối quan hệ giữa các đại lượng đó?
Trong bài toán trên ta gặp các đại lượng: Số đôi giầy làm được trong một tuần
lễ (đã biết là 120).
- Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Mối quan hệ giữa chúng: Số các đại lượng
số giầy làm được trong một tuần lễ số tuần lễ = Tổng số giầy làm được (cần tìm)
- MHHTH: Để toán học hóa các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng ta chọn ẩn là
một trong các đại lượng chưa biết. Ta chọn x là số đôi giầy dự kiến làm theo kế
hoạch, khi đó tổng số thời gian cần làm là x/120, nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên số
đôi giày làm được trong thực tế là: x+30
Từ thông tin đã cho ở đề bài, ta có quan hệ giữa tổng số đôi giày đã làm được
và số đôi giày theo kế hoạch biểu thị bởi phương trình: x + 30 = (x/120 -1).150
b) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Biến đổi rút gọn phương trình và dùng
quy tắc giải phương trình bậc nhất, ta tìm được
nghiệm x= 720. (Hình 1p)
c) Đối chiếu với tình huống ban đầu để
trả lời:
Vậy theo kế hoạch, số giầy dự kiến của
xưởng là 720 (đôi giày)
d) Khai thác bài toán:
Có thể đưa ra và giải cho các bài toán
Hình 1p
tương tự về tăng trưởng kinh tế, tăng hàng hoá
xuất khẩu, … Chẳng hạn:
Một xưởng may quần áo lập kế hoạch để thực hiện một đơn đặt hàng, theo đó
để đảm bảo kế hoạch sản xuất của tháng, cứ mỗi tuần lễ xưởng phải may xong 120
chiếc áo. Do mới nhập và vận hành một dây chuyền máy may mới, xưởng đã may
được 150 chiếc áo mỗi tuần. Nhờ vậy, xưởng không những đã hoàn thành kế hoạch
sớm 7 ngày mà còn may thêm được 30 chiếc áo so với kế hoạch. Hỏi theo kế hoạch
xưởng may đó cần may được bao nhiêu chiếc áo dành cho đơn hàng?
Câu 2:
Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm
nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với
năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn
vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Dụng ý sư phạm
HS phát hiện được dạng bài toán có tình huống và dữ kiện tương tự như một
bài toán đã học (Bài toán 1 trong ví dụ 2.17). Từ đó các em tập luyện KN tương tự
hóa, KN sử dụng ngôn ngữ ký hiệu để nhận diện và biểu đạt bài toán, ... đồng thời
kiểm tra được những KN thực hiện các HĐ MHH toán học khi giải bài tập.
Tóm tắt lời giải
a) Mô hình hóa toán học:
Gọi x (tấn) và y (tấn) là số tấn thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm
ngoái (ĐK: x>0, y>0). Theo điều kiện đầu bài ta có:
Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất thu hoạch được 720 tấn thóc, nghĩa là:
x+y=720 (1)
Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức15%, nghĩa là đơn vị thứ nhất thu
hoạch được: x+ (tấn)
Khi đó, đơn vị thứ hai thu hoạch được: y+ (tấn)
Cả hai thu hoạch được 819 tấn, có nghĩa là: (2)
Nhờ vậy, ta thu được bài toán thuần túy toán học là giải hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn:
b) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Rút gọn đưa về hệ phương trình đơn giản hơn và dùng một
trong hai PP (PP cộng, PP thế) để giải hệ, ta tìm
được một nghiệm (x = 420; y = 300). (Hình 2p)
c) Đối chiếu với tình huống ban đầu để
trả lời:
Do yêu cầu của tình huống ban đầu là: Hỏi
mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn
thóc? Nên HS cần chú ý để đưa ra câu trả lời đúng:
Năm trước, đơn vị thứ nhất sản xuất được
420 (tấn thóc) và đơn vị thứ hai sản xuất được
300 (tấn thóc).
Hình 2p
Năm nay, đơn vị thứ nhất sản xuất được
1,15 420 = 483 (tấn thóc) và đơn vị thứ hai sản xuất được 1,12 300 = 336 (tấn
thóc).
d) Khai thác bài toán:
Có thể đưa ra và giải cho các bài toán tương tự về sản xuất mặt hàng khác,
hoặc chỉ cần thay đổi các con số ... Chẳng hạn:
Tháng trước hai xưởng sản xuất hàng thủ công mỹ nghệ làm được 720 lọ gốm.
Do cải tiến kỹ thuật, tháng này xưởng thứ nhất tăng năng suất được thêm 15%,
xưởng thứ nhất tăng năng suất được thêm 12% so với tháng trước. Nhờ vậy cả hai
xưởng đã làm được được 819 lọ gốm. Hỏi tháng này mỗi xưởng làm được bao nhiêu
lọ gốm?
Câu 3:
Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế
gía trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại
hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng
cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu
tiền cho mỗi loại hàng?
Dụng ý sư phạm
HS phát hiện được dạng bài toán có tình huống và dữ kiện tương tự như một
bài toán đã học (dạng bài toán tài chính hoặc tìm hai đại lượng ... đưa về lập và giải
phương trình bậc hai hoặc hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như ở bài toán 1 trong ví
dụ 2.14). Từ đó các em tập luyện KN tương tự hóa, KN sử dụng ngôn ngữ ký hiệu để
nhận diện và biểu đạt bài toán, ... đồng thời kiểm tra được những KN thực hiện các
HĐ MHH toán học khi giải bài tập.
Câu 4:
Người ta hoà lẫn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lỏng khác có khối lượng
riêng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3.
Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Dụng ý sư phạm
HS phát hiện được dạng bài toán có tình huống và dữ kiện tương tự như một
bài toán đã học (Dạng bài toán đưa về lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
như ở các bài toán 2 và 3 trong ví dụ 2.2). Từ đó các em tập luyện KN tương tự hóa,
KN sử dụng ngôn ngữ ký hiệu để nhận diện và biểu đạt bài toán, ... đồng thời kiểm
tra được những KN thực hiện các HĐ MHH toán học khi giải bài tập.
PHỤ LỤC 3: GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM
Giáo án 1 - Bài Hàm số bậc nhất
(Sử dụng PP MHH trong gợi động cơ, hình thành và vận dụng kiến thức mới)
I - Mục tiêu:
1. Kiến thức
1.1. Hình thành những mô hình thực tế dẫn đến khái niệm hàm số bậc nhất.
1.2. Định nghĩa hàm số bậc nhất, tập xác định, tính chất của hàm số bậc nhất.
1.3. Ý nghĩa của hàm số bậc nhất.
2. Kỹ năng
2.1. Nhận biết được những mô hình thực tế dẫn đến khái niệm hàm số bậc nhất.
2.2. Nhận biết được hàm số bậc nhất, xác định được các hệ số a,b tương ứng.
2.3. Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc nhất.
2.4. Áp dụng được kiến thức về hàm số bậc nhất trong các bài tập thực tiễn.
3. Thái độ
- HS thể hiện được sự hứng thú, mong muốn tìm hiểu ý nghĩa của hàm số bậc nhất.
- HS thể hiện được sự hợp tác đối với GV, đối với những HS khác trong các HĐ học
tập.
4. Định hướng phát triển năng lực
- Có cơ hội phát triển năng lực GQVĐ thực tiễn.
- Có cơ hội phát triển năng lực MHH toán học thông qua việc chuyển vấn đề thực tiễn
thành vấn đề toán học liên quan đến hàm số bậc nhất.
- Có cơ hội phát triển năng lực giao tiếp toán học thông qua HĐ nhóm, tương tác với
GV.
5. Định hướng phát triển phẩm chất
- Sự nhạy bén, linh hoạt trong tư duy.
- Tính chính xác, tính kiên trì.
II. Phương pháp, kỹ thuật, hình thức, thiết bị DH
- Phương pháp và kỹ thuật DH: HĐ nhóm, vấn đáp, thuyết trình.
- Hình thức tổ chức DH: cá nhân, nhóm.
- Phương tiện thiết bị DH: Máy tính và máy chiếu, loa, bảng, phần mềm Geogebra.
III. Chuẩn bị
1. Chuẩn bị của GV
- phiếu học tập, bản trình chiếu bằng Power Point, bảng phụ, bút viết bảng.
2. Chuẩn bị của HS
- Vở ghi, bút.
Thời
IV. Tiến trình dạy học
Hoạt động của HS - GV
Nội dung bài dạy
gian
Hoạt động 1 - Khởi động
Mục tiêu: Hình thành những mô hình thực tế dẫn đến khái niệm hàm số bậc
nhất
Phương pháp: Hoạt động nhóm
Hình thức: Nhóm 4-5 HS
Ví dụ 1: một xí nghiệp sản
Thời
xuất giầy với năng suất lao Nhiệm vụ: HS thảo luận nhóm và trả lời câu động là 30 đôi/giờ. Hãy điền hỏi. các dữ liệu vào bảng sau đây: Đáp án:
gian
1 2 3 4 5 6 7 8
Thời
Ví dụ 1:
t giờ
gian
1
2
3
4
5
6
7
8
Số
t giờ
sản
Số
phẩm
sản
y đôi
30 60 90 120 150 180 210 240
phẩm
10ph
y đôi
Ví dụ 2: Một xe ô tô khởi hành
từ A, sau khi đi được 8km, xe Ví dụ 2: đi với vận tốc 40 km/h. a) 88 (km) a) Tính quãng đường đi được b) 128 (km) sau 2 giờ với vận tốc đó. c) y = 40x+8 (km) b) Tính quãng đường đi được
sau 2 giờ với vận tốc đó.
c) Tính quãng đường y đi
được sau x giờ với vận tốc đó.
HĐ 1 góp phần giúp HS phát triển NL MHH toán học (thông qua việc từ những mô
hình thực tế hình thành khái niệm hàm số bậc nhất), NL giao tiếp (trình bày cách làm
trước lớp)
HĐ 2. Hình thành định nghĩa hàm số bậc nhất
Mục tiêu:
- Định nghĩa hàm số bậc nhất 15ph - Xác định các hệ số a,b trong công thức của hàm số bậc nhất.
Phương pháp: Thuyết trình, vấn đáp.
Hình thức: HĐ cá nhân, nhóm đôi.
1. Hình thành định nghĩa hàm số bậc nhất
- Theo ví dụ 1, có bảng sau: (sử dụng bảng
phụ)
gian
1
2
3
4
5
6
7
8
t giờ
Số
sản
30 60 90 120 150 180 210 240
Thời
phẩm
y đôi
5ph
+ GV: Với mỗi giá trị thời gian thì có bao
nhiêu sản phẩm hoàn thành được tương ứng?
HS: Ứng với mỗi giá trị thời gian t chỉ có một
giá trị tương ứng của y.
+ GV: Quy tắc tính giá trị y theo giá trị t là
gì?
HS: Giá trị y bằng 30 lần giá trị t.
+ GV: Biểu diễn quy tắc trên bằng công thức
toán học.
HS: y = 30t
Tương tự ở ví dụ 2:
+ GV: Với mỗi giá trị thời gian x thì có bao
nhiêu giá trị quãng đường y?
1. Định nghĩa hàm số bậc HS: Ứng với mỗi giá trị thời gian x chỉ có
nhất: một giá trị quãng đường y.
Hàm số bậc nhất là hàm số + GV: Quy tắc tính giá trị y theo giá trị x là 5ph được cho bởi công thức y = gì?
ax+b, trong đó a,b là các số HS: Giá trị y bằng 40 lần giá trị x cộng với 8.
+ GV: Biểu diễn quy tắc trên bằng công thức cho trước và a 0.
toán học. HS: y = 40x+8
GV: Hàm số có dạng như trên gọi là hàm số
bậc nhất.
2. Xác định các hệ số a,b trong công thức
của hàm số bậc nhất Bài 1: Trong các hàm số sau,
Hình thức: Nhóm đôi hàm số nào là hàm số bậc
Nhiệm vụ: HS hoàn thiện phiếu học tập. nhất, nếu là hàm số bậc nhất,
GV mời một nhóm lên trình bày, HS bên hãy chỉ rõ các hệ số a,b.
dưới đổi phiếu để đánh giá chéo.
Là hàm số bậc nhất
a = -5, b = 1 a) y = 1-5x GV: Em hãy nhận xét về thứ tự của a và b 5ph
trong hàm số trên?
Là hàm số bậc nhất
a = -0,5, b = 0 b) y = -0,5x GV: Em hãy nhận xét về giá trị của b trong
hàm số trên?
Không là hàm số bậc nhất
GV: Em hãy giải thích vì sao hàm số đó c) y = 2x2+1
không phải là hàm số bậc nhất?
HĐ 2 góp phần giúp phát triển NL MHH toán học (thông qua việc hình thành khái
niệm hàm số bậc nhất), NL giao tiếp (trình bày cách làm trước lớp)
HĐ 3. Áp dụng giải bài tập thực tiễn
Mục tiêu: Áp dụng được kiến thức về hàm số bậc nhất trong các bài tập thực tiễn. 25ph Phương pháp: HĐ nhóm
Hình thức: Nhóm đôi / nhóm 4-5 HS
Ví dụ 3: Nam và Tuấn đang có
một chuyến du lịch tại ngọn núi
Fansipan - Việt Nam. Hướng
dẫn viên nói với hai bạn: Ở
1. Áp dụng giải ví dụ 3: chân núi, khoảng cách so với
Nhiệm vụ: Thảo luận, hoàn thiện phiếu học mực nước biển là 600m, và ở
tập. trên đỉnh núi là 3143m. Để
Thời gian: 5 phút chiêm ngưỡng hết cảnh đẹp của
Hình thức: Nhóm đôi. khu vực, hai bạn quyết định đi
GV chỉ định một nhóm lên giải thích cách cáp treo từ chân núi lên đỉnh
làm, các nhóm bên dưới đổi kết quả và chấm núi. Sau 7 phút, Nam nói với
chéo nhau. Tuấn: “Chúng ta đang ở hơn
Đáp án: 2km so với mực nước biển rồi
a) Sau 7 phút (420 giây) thì cáp treo đang ở đấy!”. Tuấn không đồng ý và
độ cao: nói: “Không đúng, chúng ta đã
600 + 3,5 420 = 2070 (m) đi qua vị trí cao hơn mực nước
Còn sau 6 phút (360 giây) thì cáp treo đang biển 2km từ một phút trước
ở độ cao: rồi”. Biết rằng vận tốc của cáp
treo là 3,5m/s. 600 + 3,5 360 = 1860 (m)
a) Hãy xây dựng một lập luận Vì thế, Nam nói đúng, Tuấn nói sai.
để bảo vệ khẳng định của Nam. b) y = 3,5t + 600
b) Hãy tính khoảng cách y của
cáp treo so với mực nước biển
sau những thời gian 2 phút; 10
phút 30 giây, t (giây)
không tốt đối với
những người nhạy
2. Áp dụng giải ví dụ 4: Ví dụ 4: Bụi mịn, hay bụi PM Nhiệm vụ: Thảo luận, hoàn thiện phiếu học 2.5 là những hạt bụi li ti trong tập. không khí có kích thước 2,5 Thời gian: 7 phút micron trở xuống (nhỏ hơn Hình thức: Nhóm 4-5 HS. khoảng 30 lần so với sợi tóc Hết thời gian thảo luận nhóm, GV gọi nhóm người). Loại bụi này hình thành hoàn thiện xong đầu tiên lên trình bày cách từ các chất như Carbon, Sulfur, làm của nhóm. Nitrogen và các hợp chất kim GV chữa và tổng kết lại các cách để đảm loại khác, lơ lửng trong không bảo sức khỏe với tình trạng ô nhễm không khí. Bụi PM 2.5 có khả năng khí ngày một gia tăng len sâu vào phổi và đi trực tiếp Đáp án: vào máu có khả năng gây ra a) y = 79 + 11t hàng loạt bệnh về ung thư, hô b) hấp. Chỉ số bụi PM 2.5 vào lúc Khoảng Chỉ số Kết luận 6 giờ sáng tại Hà Nội là 79 thời gian AQI. Nồng độ này tăng trung 6h - 8h 79 - 101 Mức độ trung bình bình khoảng 11 AQI mỗi giờ và 8h - 13h 101 - 156 chỉ giảm sau 6 giờ tối.
cảm
a) Gọi y là nồng độ bụi PM 2.5
không tốt cho sức
khỏe. Chạm mức rất
không tốt
sau t giờ. hãy biểu diễn mối 13h - 156 - 211 quan hệ giữa y và t. 18h b) Cho bảng chỉ số chất lượng
không khí, cụ thể là mức độ bụi
Chỉ số chất
Mức độ an
PM 2.5 như sau: Lời khuyên:
lượng không
toàn
- Luôn đeo khẩu trang có khả năng lọc bụi
khí (AQI)
PM 2.5 khi ra đường - các loại khẩu trang Y
301-500
Nguy hiểm
tế thông thường gần như không có tác dụng.
201-300
Rất không tốt
- Nên đeo thêm kính bảo hộ vì bụi PM 2.5
cho sức khỏe
cũng có tác động rất mạnh tới mắt.
- Hạn chế tối đa tham gia giao thông vào các
151-200
không tốt cho
sức khỏe
giờ cao điểm vì đây là thời điểm bụi PM 2.5
101-150
không tốt đối
cao nhất.
với những
- Luyện tập nâng cao sức khỏe và khám sức
nhóm người
khỏe thường xuyên, đặc biệt là bệnh về
nhạy cảm
51-100
Trung bình
0-50
Tốt
đường hô hấp và tuần hoàn.
Em hãy lập một bảng với thời
gian cụ thể để thể hiện mức độ
an toàn của PM 2.5 tại Hà Nội
trong khoảng thời gian từ 6 giờ
sáng đến 18 giờ cùng ngày (sai
số 6 AQI).
Hãy đưa ra lời khuyên để đảm
bảo sức khỏe cho người dân và
giảm thiểu lượng ô nhiễm
không khí tại Hà Nội.
HĐ 4 góp phần giúp HS có thể phát triển NL GQVĐ (HS áp dụng kiến thức về hàm
số bậc nhất trong thực tiễn), NL giao tiếp toán học (trình bày trước lớp cách giải của
bài toán thực tiễn)
HĐ 5. Hướng dẫn tự học ở nhà
Mục tiêu:
2.1. Nhận biết được những mô hình thực tế dẫn đến khái niệm hàm số bậc nhất.
2.2. Nhận biết được hàm số bậc nhất, xác định được các hệ số a,b tương ứng. 10ph 2.3. Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc nhất.
2.4. Áp dụng được kiến thức về hàm số bậc nhất trong các bài tập thực tiễn. Phương pháp: Thuyết trình, vấn đáp. Hình thức: Cá nhân.
1. HS ôn tập nội dung bài học và trả lời các
câu hỏi sau: 3ph - Nêu dạng tổng quát của hàm số bậc nhất.
- Nêu tính chất của hàm số bậc nhất.
7ph 2. Thực hành giải bài tập
Bài 2: Bài 2: Trong các hàm số sau,
a) Là hàm số bậc nhất với b = 3 và a = - 0,5 hàm số nào là hàm số bậc
b) Là hàm số bậc nhất với b = 0 và a = - 1,5 nhất? Hãy xác định các hệ số
c) Không phải là hàm số bậc nhất a,b.
a) y = 3 - 0,5x d) Là hàm số bậc nhất với a = ( -1) và b =
b) y = - 1,5x 1
c) y = 5 - 2x2 e) Là hàm số bậc nhất với b = - - và
d) y = ( -1)x + 1 a = 1
e) y + = x -
Bài 3: Bác Hùng đi thăm
người thân từ nhà bằng xe taxi
trên quãng đường x (km), (x
25). Vì bác chỉ vào thăm hỏi
trong 30 phút nên nhắn chú lái Bài 3:
xe chờ bác trong khoảng thời a) y = 9000x+39004+15000+(9000x+39004)
gian này. Sau đó chú lái xe 0,2
chở bác Hùng về tận nhà. y = 10.800 x + 61804,8 (đồng)
a) Gọi y là số tiền bác Hùng b) Thay x = 30km vào biểu thức 10.800 x +
phải trả. Hãy biểu diễn y theo 61804,8 (đồng) ta tìm được số tiền bác Hùng
x (km) với điều kiện như trên. phải trả là: 10.800 30 + 61804,8 (đồng) = b) Nếu bác Hùng đi 30 km và 385804,8 đ mang 300.000 đồng thì bác có Vậy bác Hùng không đủ tiền trả xe taxi với đủ tiền trả taxi không? 300000 đồng. Dưới đây là bảng giá xe taxi
Giá mở
km tiếp
Từ km
cửa
đến 20
21 trở đi
6000/km 11000/km 9000/km
G7 mà bác Hùng đi:
Giáo án 2 - Luyện tập giải bài toán bằng cách lập
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
(Sử dụng PP MHH trong vận dụng kiến thức)
I - Mục tiêu:
1. Kiến thức
1.1. Củng cố những mô hình bài toán thực tế dẫn đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
1.2. Ý nghĩa của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
2. Kỹ năng
2.1. Nhận biết được những mô hình thực tế dẫn đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
2.2. Thể hiện được quy tắc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2.3. Áp dụng được kiến thức về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất
trong các bài tập thực tiễn.
3. Thái độ
- HS thể hiện được sự hứng thú, mong muốn tìm hiểu ý nghĩa của hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn.
- HS thể hiện được sự hợp tác đối với GV, đối với những HS khác trong các
HĐ học tập.
4. Định hướng phát triển năng lực
- Có cơ hội phát triển năng lực GQVĐ thực tiễn.
- Có cơ hội phát triển năng lực MHH toán học thông qua việc chuyển vấn đề
thực tiễn thành vấn đề toán học liên quan đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Có cơ hội phát triển năng lực giao tiếp toán học thông qua HĐ nhóm, tương
tác với GV.
5. Định hướng phát triển phẩm chất
- Sự nhạy bén, linh hoạt trong tư duy.
- Tính chính xác, tính kiên trì.
II. Phương pháp, kỹ thuật, hình thức, thiết bị DH
- Phương pháp và kỹ thuật DH: HĐ nhóm, vấn đáp, thuyết trình.
- Hình thức tổ chức DH: cá nhân, nhóm.
- Phương tiện thiết bị DH: Máy tính và máy chiếu, loa, bảng, phần mềm Geogebra.
III. Chuẩn bị
1. Chuẩn bị của GV
- Phiếu học tập, bản trình chiếu bằng Power Point, bảng phụ, bút viết bảng.
2. Chuẩn bị của HS
- Vở ghi, bút.
Thời
IV. Tiến trình dạy học
Hoạt động của HS - GV
Nội dung bài dạy
gian
Hoạt động 1 - Khởi động
Mục tiêu: Hình thành những tình huống, mô hình thực tế dẫn đến hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn
Phương pháp: Hoạt động nhóm
Hình thức: Nhóm 4-5 HS
Nhiệm vụ: HS thảo luận nhóm và trả lời câu hỏi.
Tình huống bài toán cổ “Gà-
Đáp án:
Chó”:
Khó khăn: Sau khi giả thiết rằng tất cả đều là gà,
“Vừa gà vừa chó, có ba sáu
ta thấy thiếu 44 cái chân. Tuy nhiên lập luận như
con; Bó lại cho tròn, đếm đủ
thế nào cho thật sự “thuyết phục” để dẫn đến được
trăm chân. Hỏi có bao nhiêu gà,
việc lấy 44 chia cho 2 được 22 con chó thì rất khó
bao nhiêu chó?”
khăn, ...
- GV cho HS thảo luận về cách
10ph
Trong khi đó, nếu giải bằng cách đưa về bài toán
giải bằng phương pháp giả thiết
giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì rất thuận
tạm trong Số học và thấy được
lợi như sau:
những khó khăn trong quá trình
1 - Toán học hóa tình huống: Tìm số gà, số chó
lập luận.
khi biết tổng số con là 36 và tổng số chân là 100?
- Từ đó hướng dẫn HS vận
Trong đó 36 là kết quả của việc cộng số gà với số
dụng bài toán giải bằng cách lập
chó; 100 là kết quả của việc nhân số gà với 2
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
(chân) rồi cộng với số chó nhân với 4 (chân).
+ Quy trình 4 bước: phân tích
2 - Phát biểu bài toán dưới dạng toán học: Chọn
đề bài (giả thiết-kết luận; dạng
và đặt ẩn x ... y ... rồi thiết lập hệ phương trình để
toán) chọn ẩn, biểu diễn các
tìm x và y:
mối quan hệ giữa ẩn, các đại
x+y = 36
2x+4y = 100
lượng đã biết, ... lập hệ phương
3 - Sử dụng công cụ toán học để giải:
trình
(x+y=36; 2x+4y=100)
Dùng PP giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để
giải hệ phương trình (x = ; y = )
giải ra nghiệm (x = 22; y = 14).
trả lời kết quả.
4 - Chuyển đổi kết quả để trả lời câu hỏi yêu cầu
+ HĐ ngôn ngữ: chuyển đổi
đặt ra ban đầu:
giữa ngôn ngữ thông thường (gà
Trả lời câu hỏi đặt ra ban đầu: Số con gà là 22 và
2 chân, chó 4 chân) và ngôn
số con chó là 14.
ngữ, kí hiệu toán học (diễn đạt
mối quan hệ ở trên bằng ngôn
ngữ hệ phương trình).
HĐ 1 góp phần giúp HS phát triển NL MHH toán học (thông qua việc từ những mô hình
thực tế chuyển về mô hình bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn), NL
giao tiếp (trình bày cách làm trước lớp)
15ph HĐ 2. Vận dụng các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn
Nhiệm vụ: HS thảo luận nhóm và trả lời câu hỏi.
Tình huống bài toán 2: Tìm vận
Đáp án:
tốc và chiều dài của một đoàn
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có
tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy
chứa kiến thức và PP về hệ phương trình bậc nhất
ngang qua văn phòng ga từ đầu
máy đến hết toa cuối cùng mất
hai ẩn.
Tình huống: Chuyển động của tàu hỏa khi vào và
7 giây. Cho biết sân ga dài
378m và thời gian kể từ khi đầu
ra khỏi ga.
Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường
máy bắt đầu vào sân ga cho đến
lối giải quyết;
khi toa cuối cùng rời khỏi sân
Xem xét mối quan hệ giữa quãng đường - thời
ga là 25 giây.
gian - vận tốc của chuyển động; xác định đường
lối đưa về mô hình toán học phương trình, hệ
phương trình.
Bước 3: Xây dựng bài toán
Gọi x (m/s) là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga
(x>0), gọi y (m) là chiều dài của đoàn tàu (y>0).
Tàu chạy ngang ga mất 7 giây nghĩa là với vận tốc
x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) mất 7 giây. Ta
có phương trình: y = 7x
(1)
Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến
khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây
nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường
y+378(m) mất 25 giây. Ta có phương trình: y +
378 = 25x
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được hệ phương trình
Như vậy, chúng ta đã chuyển được về bài toán:
Giải hệ phương trình
Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập HPT bậc
nhất hai ẩn
Giải hệ phương trình bằng PP thế, ta có: x=21 ; y=
147 (thỏa mãn ĐK)
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú
pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình
huống thực tiễn ban đầu;
- Mặt cú pháp: Quy tắc giải HPT bậc nhất hai ẩn
- Mặt ngữ nghĩa: Tìm 2 số chưa biết thỏa mãn hai
đẳng thức dựa trên tính chất của các phép tính.
- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời
Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21m/s, Chiều dài của
đoàn tàu là: 147m
HĐ 2 góp phần giúp phát triển NL MHH toán học (thông qua việc vận dụng hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn), NL giao tiếp (trình bày cách làm trước lớp)
10ph
HĐ 3. Áp dụng giải bài tập thực tiễn
Mục tiêu: Áp dụng được kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bài
tập thực tiễn.
Phương pháp: HĐ nhóm
Hình thức: Nhóm đôi / nhóm 4-5 HS
Hình thức: Nhóm đôi
GV yêu cầu HS xem lại quá
Nhiệm vụ: HS hoàn thiện phiếu học tập.
trình giải bài toán ở tình huống
GV mời một nhóm lên trình bày, HS bên dưới đổi
2, sau đó phân chia thành các
phiếu để đánh giá chéo.
bước giải bài toán có nội dung
Đáp án: Quá trình gồm có 4 bước thực hiện
thực tiễn bằng cách lập hệ
1 - Chuyển tình huống về mô hình có hai đại
phương trình bậc nhất hai ẩn.
lượng cần tìm và phát biểu bài toán.
2 - Chọn ẩn và đặt hệ phương trình bậc nhất hai ẩn;
3 - Giải hệ phương trình bằng PP cộng, PP thế;
4 - Chuyển về ngôn ngữ thông thường để trả lời.
2. Áp dụng giải bài toán 3:
Tình huống bài toán 3:
Nhiệm vụ: Thảo luận, hoàn thiện phiếu học tập.
Một xe công - ten - nơ chạy
Thời gian: 7 phút
ngang qua một trạm soát vé tự
Hình thức: Nhóm 4-5 HS.
động (không dừng) mất 2 giây.
Hết thời gian thảo luận nhóm, GV gọi nhóm hoàn
Cho biết chiều dài toàn bộ của
thiện xong đầu tiên lên trình bày cách làm của nhóm.
trạm 30 m và thời gian kể từ khi
GV chữa và tổng kết lại các bước giải bài toán có
đầu xe bắt đầu đi vào trạm cho
nội dung thực tiễn bằng cách lập hệ phương trình
đến khi đuôi xe rời khỏi trạm là
bậc nhất hai ẩn (GV treo bảng phụ quy trình 4
3 giây. Tìm vận tốc và chiều dài
bước nêu trên).
của xe công - ten - nơ?
Đáp án: Giải tương tự như đối với bài toán ở tình
huống 2.
Kết quả: Vận tốc của xe là 15m/s và chiều dài xe
là 15m.
HĐ 3 góp phần giúp HS có thể phát triển NL GQVĐ (HS áp dụng kiến thức về bài toán giải
bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong thực tiễn), NL giao tiếp toán học (trình
bày trước lớp cách giải của bài toán thực tiễn)
10ph
HĐ 4. Hướng dẫn tự học ở nhà
Mục tiêu:
2.1. Nhận biết được những mô hình thực tế dẫn đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
2.2. Thể hiện được quy tắc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2.3. Áp dụng được kiến thức về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất
trong các bài tập thực tiễn.
Phương pháp: Thuyết trình, vấn đáp.
Hình thức: Cá nhân.
3ph 1. HS ôn tập nội dung bài học và trả lời câu hỏi
GV yêu cầu HS xem lại bài
sau:
học; đặt 2 câu hỏi;
- Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập hệ
HS thảo luận cả lớp;
phương trình bậc nhất hai ẩn.
GV gọi HS xung phong trả lời.
- Khi giải quyết tình huống thực tiễn bằng cách lập
Những HS khác nhận xét.
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chúng ta có thể
gặp những khó khăn gì?
7ph 2. Giao bài tập ở nhà và hướng dẫn
Hướng dẫn:
Bài tập 1: Một mảnh vườn hình
Đưa về mô hình bài toán giải bằng cách lập hệ
chữ nhật có chiều rộng bé hơn
phương trình bậc nhất hai ẩn.
chiều dài 4 m và diện tích bằng
Kết quả: Chiều rộng mảnh vườn là 16m; chiều dài
320 m2. Tính chiều dài và chiều
là 20 (m)
rộng mảnh đất.
Hướng dẫn:
Bài tập 2:
Đưa về mô hình bài toán giải bằng cách lập hệ
Một ô tô đi từ A đến B với một
phương trình bậc nhất hai ẩn.
vận tốc xác định và trong một
Kết quả:
thời gian đã định. Nếu vận tốc ô
Vận tốc của ô tô dự định là 50km/h và thời gian
tô giảm bớt 10km mỗi giờ thì
dự kiến đi là 3 giờ.
thời gian cần đi đường sẽ tăng
thêm 45 phút. Còn nếu vận tốc
ô tô tăng thêm 10km mỗi giờ thì
thời gian để đi hết quãng đường
giảm bớt được 30 phút. Tính
vận tốc và thời gian dự định
ban đầu của ô tô.
