Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Sử dụng các phương án giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề "Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng" ở lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------------------------------

HOÀNG THỊ DIỆU LINH SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG ÁN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ "TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG" Ở LỚP 10 Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN THỊ LAN PHƯƠNG

HUẾ, NĂM 2011

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa ....................................................................................................................i

Lời cam đoan....................................................................................................................ii

Lời cảm ơn ......................................................................................................................iii

MỤC LỤC........................................................................................................................ 1

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................................. 5

PHẦN MỞ ĐẦU.............................................................................................................. 6

1. Lời giới thiệu ............................................................................................................... 6

1.1 Nhu cầu nghiên cứu.......................................................................................7

1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu...........................................................................9

2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................. 10

3. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................................. 10

4. Phương pháp và công cụ nghiên cứu......................................................................... 10

4.1 Phương pháp nghiên cứu..............................................................................10

4.2 Đối tượng tham gia......................................................................................10

4.3 Công cụ nghiên cứu.....................................................................................10

5. Cấu trúc luận văn ....................................................................................................... 10

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................... 12

1. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề..................................................................... 12

1.1 Cơ sở triết học, tâm lý học và giáo dục học của dạy học PH và GQVĐ ..........12

1.2 Một số khái niệm cơ bản. .............................................................................12

1.2.1 Vấn đề.......................................................................................................... 12

1.2.2 Tình huống gợi vấn đề................................................................................ 13

1.2.3 Giải quyết vấn đề........................................................................................ 14

1.3 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề (PH và GQVĐ).............14

1.3.1 Đặc điểm của phương pháp dạy học PH và GQVĐ. ................................... 15

1.3.2 Ưu điểm và hạn chế của phương pháp dạy học PH và GQVĐ. .................. 15

1.3.3 Quá trình dạy học PH và GQVĐ................................................................. 16

1.3.4 Những hình thức và cấp độ dạy học PH và GQVĐ ................................... 17

1.3.5 Các phương án giải quyết vấn đề.................................................................. 18

2. Nội dung kiến thức của chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” ở hình

học 10............................................................................................................................. 27

2.1 Đặc điểm của chủ đề....................................................................................27

2.2 Mục tiêu chung............................................................................................28

2.3 Cấu trúc nội dung ........................................................................................28

3. Thực trạng dạy và học chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” ở trường

THPT hiện nay. .............................................................................................................. 29

3.1 Thực trạng dạy và học toán nói chung...........................................................29

3.2 Tình trạng dạy và học chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” .....31

CHƯƠNG II PHƯƠNG ÁN GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ TRONG CHỦ ĐỀ

"TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG". ....................33

1. Phương án giải quyết vấn đề trong các tình huống dạy học điển hình...................... 33

1.1 Phương án giải quyết vấn đề trong dạy định lý ..............................................33

1.1.1 Định lý cosin............................................................................................... 34

1.1.2 Định lý sin .................................................................................................. 35

1.2 Phương án giải quyết vấn đề trong dạy giải bài toán ......................................36

1.2.1 Phương án giải quyết vấn đề trong dạy giải bài toán toán học.................. 37

1.2.1.1 Giải tam giác ........................................................................................ 37

1.2.1.2 Nhận dạng tam giác............................................................................. 41

1.2.1.3 Tính giá trị các biểu thức hay chứng minh các hệ thức vectơ, hệ thức

về độ dài, về mối quan hệ giữa các yếu tố của một tam giác........................... 44

1.2.2 Phương án giải quyết vấn đề trong dạy giải bài toán có nội dung thực tiễn.....

.......................................................................................................................... 46

1.2.2.1 Ứng dụng thực tế của chủ đề.............................................................. 46

1.2.2.2 Vai trò của các ứng dụng thực tế của chủ đề này trong dạy học......... 49

2. Thiết kế kế hoạch bài học theo định hướng GQVĐ để nâng cao hiệu quả dạy và học .

................................................................................................................................... 49

2.1 Cấu trúc khung của kế hoạch dạy học theo định hướng GQVĐ............................ 49

2.2 Một số điểm lưu ý khi thiết kế kế hoạch bài học theo định hướng GQVĐ ........... 50

2.3 Một số thiết kế kế hoạch bài học có sử dụng các phương án GQVĐ .................... 50

2.3.1 Kế hoạch bài học 1: Định lý cosin..................................................................50

2.3.2 Kế hoạch bài học 2: Định lý sin .....................................................................54

...................................................................................................................59

2.3.3 Kế hoạch bài học 3: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................ 65

1 Mục đích thực nghiệm và phương pháp thực nghiệm ............................................... 65

1.1 Mục đích thực nghiệm .................................................................................65

1.2 Phương pháp thực nghiệm............................................................................65

1.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm......................................................................65

1.3.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm .................................................................... 65

1.3.2 Nội dung thực nghiệm................................................................................ 66

2 Kết quả thực nghiệm sư phạm ................................................................................... 67

2.1 Nhận xét về tiến trình dạy học......................................................................67

2.2 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm thông qua bài kiểm tra......................68

2.2.1 Kết quả bài kiểm tra .................................................................................... 68

2.2.2 Phân tích kết quả bài kiểm tra ..................................................................... 68

PHẦN KẾT LUẬN .......................................................................................................... 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................ 75

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GD & ĐT : Giáo dục và Đào tạo

GQVĐ : Giải quyết vấn đề

GV : Giáo viên

HS : Học sinh

KHBH : Kế hoạch bài học

PH : Phát hiện

PPDH : Phương pháp dạy học

THCS : Trung học cơ sở

THPT : Trung học phổ thông

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lời giới thiệu

Trước yêu cầu ngày càng cao của xã hội với sự phát triển về kinh tế, khoa học

giáo dục và công nghệ đòi hỏi con người cần phải không ngừng học tập về mọi mặt để

nâng cao tri thức. Điều đó đòi hỏi sự nghiệp giáo dục nói chung và việc dạy học bộ

môn toán nói riêng cần có những đổi mới để đáp ứng yêu cầu nâng cao chất lượng

nguồn nhân lực mà trong chiến lược phát triển kinh tế-xã hội năm 2011–2020 của Đại

hội Đảng toàn quốc lần thứ XI, đã xác định “Phát triển nhanh nguồn nhân lực, nhất là

nguồn nhân lực chất lượng cao, tập trung vào việc đổi mới căn bản và toàn diện nền

giáo dục quốc dân; gắn kết chặt chẽ phát triển nguồn nhân lực với phát triển và ứng

dụng khoa học, công nghệ”.

Những định hướng đổi mới phương pháp giáo dục được thể hiện rõ trong Điều

28 Luật giáo dục 2005 “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,

tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn

học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng

vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú

học tập cho học sinh”.

Những yêu cầu về đổi mới PPDH môn toán của Bộ GD&ĐT là: Tích cực hoá

hoạt động học tập của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, phát hiện và giải quyết vấn

đề của học sinh nhằm hình thành và phát triển ở học sinh tư duy tích cực, độc lập và

sáng tạo. Chọn lựa sử dụng những phương pháp phát huy tính tích cực chủ động của

học sinh trong học tập và phát huy khả năng tự học. Hoạt động hoá việc học tập của

học sinh bằng những dẫn dắt cho học sinh tự thân trải nghiệm chiếm lĩnh tri thức,

chống lối học thụ động. Tận dụng ưu thế của từng phương pháp dạy học, chú trọng sử

dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. Coi trọng cả cung cấp kiến

thức, rèn luyện kĩ năng lẫn vận dụng kiến thức vào thực tiễn. (theo Tài liệu phân phối

chương trình THPT môn Toán năm học 2009-2010)

Hiện nay hầu hết đội ngũ cán bộ giáo viên của các trường đều quan tâm đến

việc nghiên cứu đổi mới phương pháp dạy học và nâng cao chất lượng dạy học. Tuy

nhiên sự hiểu biết, vận dụng những lý thuyết dạy học và những phương pháp dạy học

mới trong giáo dục nói chung và trong việc giảng dạy bộ môn Toán nói riêng của đa số

GV còn tương đối hạn chế. Phương pháp dạy học được sử dụng chủ yếu vẫn theo

hướng truyền thụ tri thức cho học sinh, trong đó giáo viên vẫn đóng vai là trung tâm.

Nguyên nhân dẫn đến điều này một phần là do ở nước ta, việc phát triển nghiệp vụ sư

phạm cho các giáo viên chủ yếu thông qua các khóa bồi dưỡng thường xuyên, các đợt

tập huấn và các hội thảo. Vào mỗi dịp hè, mỗi dịp đầu năm học các khóa tập huấn cho

một số giáo viên toán được tổ chức ở cấp quốc gia, cấp tỉnh nhằm cập nhật những

thông tin về đổi mới nội dung, chương trình, phương pháp dạy học và phương pháp

đánh giá. Nhưng những chương trình phát triển nghiệp vụ sư phạm cho giáo viên chưa

thật sự mang lại hiệu quả thiết thực, người giáo viên chưa thật sự hiểu rõ và nắm bắt

được các phương pháp mới cũng như việc sử dụng chúng trong giảng dạy như thế nào.

Việc học Hình học đối với học sinh lớp 10 gặp nhiều khó khăn, chẳng hạn như:

- Học sinh lớp 10 hầu hết ở độ tuổi 16, đây là độ tuổi có những thay đổi về tâm

sinh lý. Các em thường hăng hái, nhiệt tình, lạc quan, yêu đời khi mọi chuyện xảy ra

như mong muốn, nhưng lại dễ bi quan, chán nản khi gặp thất bại. Hơn nữa, đây còn là

lứa tuổi dễ chủ quan, nông nổi và thường có những kết luận vội vàng theo cảm tính

- Khối lượng nội dung hình học ở cấp THPT mà học sinh cần lĩnh hội nhiều hơn

so với cấp THCS, đặc biệt là khối lượng kiến thức trong một tiết học; phần thời gian

dành cho những tiết luyện tập không nhiều vì vậy để hiểu được lượng kiến thức đó đòi

hỏi học sinh phải có khả năng tư duy và có thời gian tự học, tự luyện tập nhiều hơn.

Hơn nữa, mở đầu cho chương trình hình học 10 là những kiến thức về vectơ hoàn toàn

mới mẻ, trừu tượng đối với các em. Khi học sinh đã gặp phải những khó khăn ban đầu

thì thường có tâm lý chán nản, ngại khó và buông xuôi, do đó các em càng gặp nhiều

khó khăn hơn khi học các kiến thức hình học tiếp theo.

Sử dụng dạy học giải quyết vấn đề trong Hình học giúp cho học sinh có thể lĩnh hội

được tri thức mới về hình học một cách chủ động qua quá trình tự khám phá, giải quyết

vấn đề; giúp học sinh phát huy được tính tích cực trong học tập, phát triển được khả năng

tư duy của mình cũng như nắm bắt bài học một cách chắc chắn hơn. Đây là phương pháp

dạy học dựa trên quan điểm lấy học sinh làm trung tâm, tạo được môi trường học tập chủ

động và sẵn sàng chia sẽ thành công hay thất bại cho học sinh.

1.1 Nhu cầu nghiên cứu

Trong công cuộc đổi mới PPDH, phương pháp dạy học giải quyết vấn đề là một

trong những phương pháp chủ đạo được sử dụng trong nhà trường nói chung. Phương

pháp này thật sự trở thành một phương pháp dạy học hiệu quả mà nhiều nước đã và

đang sử dụng để nâng cao chất lượng dạy học toán. Ở Hoa Kỳ, phương pháp này đã

được thực nghiệm từ những năm 60 của thế kỷ XX và được triển khai ở nhiều trường

học. John Dewey, một nhà triết học và giáo dục lớn của Hoa Kỳ, đã chủ trương "Học

sinh đến trường không phải để tiếp thu những tri thức đã được ghi vào trong một

chương trình mà rồi có lẽ sẽ không bao giờ dùng đến, nhưng chính là để giải quyết các

vấn đề, giải quyết các "bài toán" của nó, những thực tế mà nó gặp hằng ngày” ([2]). Ở

Singapore, phương pháp này cũng trở thành mục tiêu chính trong chương trình toán ở

các trường học vào năm 1992 ([17]). Như vậy phương pháp giải quyết vấn đề đã được

xem là một yếu tố quan trọng trong cải cách giáo dục của nhiều nước, nhưng để có thể

sử dụng phổ biến phương pháp này một cách có hiệu quả vào thực tiễn dạy học ở các

nhà trường thì phải trải qua nhiều thử thách, thực nghiệm trong một thời gian dài, “giải

quyết vấn đề thành công đòi hỏi có những hiểu biết về kiến thức toán học, về phương

án giải quyết vấn đề, có sự tự kiểm tra hiệu quả và có những định hướng tốt để giải

quyết vấn đề” ([18]). Theo Stephen Krulik “Bằng cách học tập các phương án giải

quyết vấn đề, bắt đầu với các ứng dụng đơn giản và sau đó dần dần chuyển sang các

vấn đề khó khăn và phức tạp hơn, học sinh sẽ có cơ hội phát triển khả năng giải quyết

vấn đề của mình” ([15]).

Ở nước ta, phương pháp giải quyết vấn đề được nghiên cứu và ứng dụng nhiều từ

những năm 90 của thế kỷ 20 bởi đông đảo các nhà nghiên cứu, các nhà lý luận, các

thầy cô giáo. Nguyễn Bá Kim cho rằng “Học sinh tích cực tư duy do nảy sinh nhu cầu

tư duy, do đứng trước khó khăn về nhận thức; học sinh tự kiến tạo hoặc tham gia vào

việc kiến tạo tri thức cho mình dựa vào tri thức đã có, bổ sung và làm cho các tri thức

cũ được hoàn thiện hơn. Học sinh học tập tự giác, tích cực, vừa kiến tạo được tri thức,

vừa học được cách thức giải quyết vấn đề, lại vừa rèn luyện được những đức tính quý

báu như kiên trì, vượt khó...." ([3]). PGS. TS Vương Dương Minh đã có những phân

tích để làm rõ “tác dụng của phương pháp PH và GQVĐ đối với kết quả đọng lại ở

người học trên các mặt: kiến thức, tư duy và nhân cách. Kiến thức được hình thành

không phải bằng áp đặt mà là kết quả của quá trình hoạt động tích cực, chủ động và

sáng tạo. Do đó mà kiến thức mới liên hệ với kiến thức cũ, khó quên, nếu quên thì biết

cách tìm lại được…”. Theo TS. Nguyễn Thị Lan Phương “PPDH GQVĐ không phải là

mới, nhưng nó vẫn không được thực hiện một cách thường xuyên, liên tục và rộng

khắp trong thực tiễn giảng dạy ở Việt Nam, mặc dù vẫn được đánh giá là “Một PP có

khả năng to lớn trong việc phát huy tính tích cực trong học tập của HS” và đã đưa ra

những định hướng để cải thiện tình trạng này.

Chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng" bao gồm các kiến thức mới đối

với HS, do đó các em gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội, vận dụng kiến thức trong quá

trình học tập và thường thụ động tiếp nhận các khái niệm, các công thức từ giáo viên.

Nhiều học sinh có suy nghĩ là chỉ cần biết được công thức để làm bài tập và không có ý

thức tự học, tự tìm hiểu, cũng như không chú ý đến việc suy nghĩ “tại sao”, “bằng cách

nào” ta lại có các định lý, tính chất hay các công thức đó. Do đó nhiều học sinh có thể

ghi nhớ được công thức nhưng lại nhầm lẫn giữa các công thức, thậm chí các em không

biết phải sử dụng công thức nào khi làm bài tập. Khi đứng trước một bài toán, học sinh

không biết phải bắt đầu từ đâu và làm thế nào để giải quyết được bài toán. Hơn nữa chủ

đề này lại có vai trò quan trọng phục vụ cho các năm học tiếp theo nên cần phải có

phương pháp dạy học phù hợp để các em có thể hiểu được các kiến thức ở chủ đề này.

Do đó để giúp cho học sinh bước đầu có khả năng tự phân tích, tìm hiểu và giải

quyết một vấn đề hay một bài toán, cũng như tìm hiểu việc dạy Hình học sử dụng các

phương án giải quyết vấn đề có tác dụng như thế nào đến quá trình học tập của học sinh

phổ thông, tôi đã chọn đề tài “Sử dụng các phương án giải quyết vấn đề trong dạy

học chủ đề "Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng" ở lớp 10".

1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu

Dạy học giải quyết vấn đề là kiểu dạy học hỗ trợ hiệu quả cho việc giảng dạy toán ở

nhà trường phổ thông. Nó giúp phát triển tư duy và các ý tưởng toán của học sinh, học

sinh có thể tìm hiểu và hiểu những khía cạnh quan trọng của khái niệm hoặc ý tưởng

bằng cách khai thác tình huống có vấn đề. Tuy nhiên ở nước ta các nghiên cứu về việc

sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học để

nâng cao chất lượng dạy và học toán trong nhà trường còn ít. Một vấn đề thiết thực là

cần có nhiều nghiên cứu về việc ứng dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải

quyết vấn đề cũng như việc sử dụng các phương án giải quyết vấn đề trong dạy học

hình học được tiến hành để xem xét tác dụng của nó trong thực hành dạy học toán là

như thế nào.

2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng các phương án GQVĐ của Stephen Krulik vào dạy học chủ đề “Tích vô

hướng của hai vectơ và ứng dụng” nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về dạy học GQVĐ

- Nghiên cứu thực trạng dạy học chủ đề “tích vô hướng của hai vectơ và ứng

dụng” trong nhà trường hiện nay.

- Vận dụng các phương án giải quyết vấn đề của Stephen Krulik vào dạy học chủ

đề "Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng" ở Hình học 10.

4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về Triết học, Giáo dục học, Tâm lý

học, Lý luận dạy học môn toán, các tài liệu liên quan đến dạy học giải quyết vấn

đề, các phương án GQVĐ và tài liệu liên quan đến chương trình Hình học phổ

thông hiện hành.

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi

của đề tài.

- Nghiên cứu định tính: Mô tả, giải thích hành vi học tập của học sinh khi được

giảng dạy theo kế hoạch bài học được thiết kế trong luận văn.

- Nghiên cứu định lượng: Thu thập, tổng hợp kết quả bài kiểm tra để xem xét

hiệu quả việc sử dụng các phương án giải quyết vấn đề vào dạy học.

4.2 Đối tượng tham gia

Thành phần tham gia trong nghiên cứu này gồm: người nghiên cứu, giáo viên và tất

cả các học sinh trong một số lớp 10 mà tôi tiến hành thực nghiệm tại các trường trung

học phổ thông ở ngoại vi thành phố Huế.

4.3 Công cụ nghiên cứu

- Các tài liệu liên quan đến đề tài

- Kế hoạch bài học và phiếu học tập

- Đề kiểm tra

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày

trong ba chương:

Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.

1. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

2. Nội dung kiến thức của chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”.

3. Thực trạng dạy và học chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” ở

trường THPT hiện nay.

Chương 2. Phương án giải quyết các vấn đề trong chủ đề "Tích vô hướng của hai

vectơ và ứng dụng".

1. Phương án giải quyết vấn đề trong các tình huống dạy học điển hình

2. Thiết kế kế hoạch bài học theo định hướng GQVĐ để nâng cao hiệu quả dạy

và học

Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

1. Mục đích thực nghiệm và phương pháp thực nghiệm.

2. Kết quả thực nghiệm sư phạm.

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.1 Cơ sở triết học, tâm lý học và giáo dục học của dạy học PH và GQVĐ

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình

phát triển. Mỗi vấn đề được đưa ra đều chứa đựng mẫu thuẫn giữa những tri thức, kinh

nghiệm đã có với yêu cầu và nhiệm vụ nhận thức, đó là động lực thúc đẩy học sinh giải

quyết vấn đề đã được đưa ra. Tuỳ thuộc vào số lượng và mức độ những vấn đề được

đưa ra bởi người dạy sẽ kéo theo những thay đổi tương ứng về sự phát triển khả năng

GQVĐ của người học.

Dạy học PH và GQVĐ dựa trên nguyên tắc được các nhà tâm lý học thừa nhận

là con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng

trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục. Khi có nhu cầu hiểu biết, mở

rộng tri thức, có niềm say mê, hứng thú thì hiệu quả của quá trình nhận thức càng thể

hiện rõ hơn.

Dạy học PH và GQVĐ rèn luyện cho người học tính tích cực, tự giác học tập,

đồng thời rèn luyện khả năng hoạt động hợp tác, thảo luận, tìm tòi, sử dụng vốn kinh

nghiệm, vốn tri thức của mỗi cá nhân hay của nhóm cá nhân.

1.2 Một số khái niệm cơ bản.

Để có thể hiểu đúng về dạy học PH & GQVĐ cũng như các phương án GQVĐ, ta

sẽ bắt đầu tìm hiểu các khái niệm có liên quan.

1.2.1 Vấn đề

Vấn đề là những câu hỏi hay nhiệm vụ đặt ra mà việc giải quyết chúng chưa có

quy luật, cũng như những tri thức, kỹ năng sẵn có chưa đủ để giải quyết mà còn có khó

khăn, cản trở cần vượt qua.

Một vấn đề được đặc trưng bởi ba thành phần

• Trạng thái xuất phát: là những giả thiết, dữ kiện ban đầu của vấn đề.

• Trạng thái đích: yêu cầu về vấn đề cần được giải quyết

• Sự cản trở: là các quy luật, tri thức chưa có sẵn để giải

Ví dụ 1: Nhiệm vụ học tập đối với lớp 10 (khi chưa học định lý sin): Trong một tam

giác ABC, nếu biết số đo hai góc A, B và cạnh BC thì có thể tính được độ dài cạnh AC

hay không?

Nhiệm vụ học tập trên là một vấn đề vì vào thời điểm đó, học sinh chưa có thuật giải

nào để tính cạnh của một tam giác thường. Mặc dù chưa có thuật giải trực tiếp nhưng

học sinh có thể huy động, sử dụng vốn kiến thức đã có về hệ thức lượng trong tam giác

vuông và có khả năng đưa ra được phương pháp tính cạnh AC.

Với nhiệm vụ học tập trên ta sẽ xác định được các đặc trưng của vấn đề, đó là:

- Trạng thái xuất phát: Tam giác ABC, biết góc A, B và cạnh BC

- Khó khăn: chưa có công thức, thuật giải để tính cạnh AC

- Trạng thái đích: nếu tính được cạnh AC thì tính bằng cách nào; hoặc nếu không

tính được cạnh AC thì tại sao

Cần phân biệt hai khái niệm bài toán và vấn đề. Bài toán là những câu hỏi hay

nhiệm vụ đặt ra, yêu cầu học sinh phải giải quyết dựa vào việc liên hệ, phân tích và

tổng hợp các kiến thức đã có. Như vậy hai khái niệm bài toán và vấn đề không đồng

nhất với nhau. Điểm tương đồng là “bài toán” và “vấn đề” đều là những câu hỏi, nhiệm

vụ đặt ra cho học sinh, yêu cầu phải giải quyết dựa vào những kiến thức đã có. Tuy

nhiên đối với “vấn đề” thì chưa có sẵn kiến thức, kỹ năng, hay phương thức hành động

để giải quyết, trong khi đối với “bài toán” thì đã có sẵn để giải nó. Từ đó có thể thấy

rằng, mọi vấn đề đều là bài toán, nhưng một bài toán chưa chắc đã phải là một vấn đề.

Một bài toán có thể là vấn đề đối với học sinh ở thời điểm này nhưng không là vấn đề

ở thời điểm khác đối với học sinh đó, hay có thể là vấn đề đối với học sinh này nhưng

không phải là vấn đề đối học sinh kia.

f x ( )





Chẳng hạn, khi học sinh chưa học “dấu của tam thức bậc hai”, thì bài toán xét dấu biểu

 là một vấn đề, và nó sẽ không còn là vấn đề nữa sau khi học

thức

sinh đã học “dấu của tam thức bậc hai”.

1.2.2 Tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề là tình huống mà ở đó gợi cho người học những khó

khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết phải vượt qua và có khả năng vượt

qua nhưng không phải ngay tức thì mà cần phải có quá trình tư duy tích cực, vận dụng,

liên hệ những tri thức cũ liên quan.

Như vậy, một tình huống gợi vấn đề là tình huống thỏa mãn các điều kiện sau:

 Tồn tại một vấn đề

 Gợi nhu cầu nhận thức: Khi tiếp cận tình huống, học sinh có hứng thú

suy nghĩ, tìm hiểu và có nhu cầu giải quyết.

 Tạo niềm tin ở khả năng: Tình huống cần khơi dậy ở học sinh cảm giác

rằng tuy chưa có ngay lời giải nhưng với vốn những kiến thức, kĩ năng liên quan đã có

và sự tích cực suy nghĩ thì có khả năng giải quyết được vấn đề. Nếu tình huống đưa ra

quá xa lạ hay quá khó đối với học sinh thì họ sẽ không có hứng khởi và không có niềm

tin vào khả năng của bản thân để giải quyết tình huống, do đó khó khăn đưa ra phải vừa

sức với học sinh.

Ví dụ 2: Tình huống gợi vấn đề đối với học sinh lớp 10 khi chưa học “dấu của tam

thức bậc hai”: “Ta đã biết cách xét dấu nhị thức bậc nhất, vậy làm thế nào để xét dấu

f x ( )





 ” 3

biểu thức

Tình huống trên thỏa mãn 3 điều kiện:

- Tồn tại một vấn đề: Học sinh chưa có phương pháp để xét dấu tam thức bậc hai.

- Gợi nhu cầu nhận thức: với kiến thức xét dấu nhị thức bậc nhất đã có, liệu có

thể áp dụng trong trường hợp này được không? Suy nghĩ này làm cho học sinh

tò mò và có hứng thú để giải quyết.

- Tạo niềm tin ở khả năng: mặc dù chưa có phương pháp hàng động nhưng học

sinh thấy được đây là một biểu thức mà có thể phân tích thành tích của hai nhị

thức bậc nhất.

1.2.3 Giải quyết vấn đề

Giải quyết vấn đề là quá trình mà một cá nhân sử dụng kiến thức, kỹ năng đã có

để đáp ứng nhu cầu nhận thức của bản thân đối với tình huống vấn đề đặt ra.

Giải quyết vấn đề là hoạt động nhận thức phức tạp - chủ thể phải biết huy động,

sử dụng các kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm đã có và các thao tác trí tuệ như nhớ lại,

phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, suy diễn,... để tích cực để tìm tòi

cách giải quyết.

GQVĐ là một dãy các hoạt động, mà nếu thực hiện thành công thì sẽ có tác

dụng rất lớn trong việc kích thích học sinh, khiến các em có thái độ tích cực hơn đối

với việc nghiên cứu toán học nói chung và việc giải quyết các vấn đề tiếp theo.

1.3 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề (PH và GQVĐ)

Phương pháp là con đường, là cách thức để xuất phát từ điều kiện đã có, tiến

hành những hoạt động để đạt đến mục tiêu đã xác định.

Phương pháp dạy học là cách thức tổ chức, hoạt động và giao lưu của thầy gây

nên những hoạt động và giao lưu của trò nhằm đạt được mục tiêu dạy học ([3])

Và “Trong dạy học PH và GQVĐ, thầy giáo tạo ra những tình huống gợi vấn

đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực chủ động và sáng

tạo để GQVĐ và thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được

những mục đích học tập khác” ([3])

Như vậy theo phương pháp dạy học PH và GQVĐ, học sinh không chỉ nắm

được tri thức mới mà còn nắm được phương pháp đi đến tri thức đó. Đồng thời phát

triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo và có tiềm năng vận dụng tri thức mới vào

những tình huống mới hay có khả năng phát hiện kịp thời và giải quết các vấn đề nảy

sinh.

1.3.1 Đặc điểm của phương pháp dạy học PH và GQVĐ.

Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề và dựa trên kiến thức, kinh

nghiệm, kĩ năng vốn có của mình chủ động xây dựng kiến thức cho bản thân chứ không

phải thu nhận nó một cách thụ động dưới dạng cho sẵn.

Giáo viên là người điều khiển, tạo vấn đề và giúp học sinh thực hiện hoạt động

giải quyết vấn đề khi cần thiết. Học sinh là người được lĩnh hội cả quá trình PH &

GQVĐ.

Môi trường dạy học PH và GQVĐ là môi trường tự giác, chủ động GQVĐ theo

suy nghĩ của cá nhân hay nhóm các cá nhân. Trong môi trường đó, học sinh luôn biết

khám phá, chia sẻ thất bại và thành công, rèn luyện được tính tự tin của học sinh trong

học tập.

1.3.2 Ưu điểm và hạn chế của phương pháp dạy học PH và GQVĐ.

 Ưu điểm:

Phát triển được khả năng tìm tòi, xem xét vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau.

Trong quá trình PH và GQVĐ, học sinh sẽ huy động được kiến thức và khả năng làm

việc độc lập, khả năng hợp tác, trao đổi, thảo luận với các học sinh khác để tìm ra cách

giải quyết phù hợp nhất. Do đó những tri thức mà học sinh có được là bền vững.

Phương pháp này góp phần tích cực vào việc rèn luyện tư duy phê phán, tư duy

sáng tạo cho HS. Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh nghiệm đã có, học sinh sẽ

xem xét, đánh giá, thấy được vấn đề cần giải quyết.

Tạo điều kiện cho học sinh PH và GQVĐ đối với một số nội dung học tập, có

thể có sự giúp đỡ của GV với các mức độ khác nhau. HS được học không chỉ kết quả

mà điều quan trọng hơn là cả quá trình PH và GQVĐ.

Với những tình huống gợi vấn đề tốt tạo cho học sinh cơ hội tốt để huy động,

củng cố và mở rộng tri thức, kích thích niềm đam mê học toán của học sinh.

Phương pháp này đòi hỏi người GV phải đầu tư nhiều thời gian và công sức

trong việc suy nghĩ tìm tòi để tạo ra được nhiều tình huống gợi vấn đề và có nhiều

phương pháp hướng dẫn học sinh khám phá để PH và GQVĐ. Có thể nói rằng phương

pháp này tạo môi trường giúp GV không ngừng vươn lên, tự nâng cao trình độ và các

kỹ năng sư phạm tích cực.

 Hạn chế

Việc tổ chức tiết học hoặc một phần của tiết học theo phương pháp PH &

GQVĐ đòi hỏi phải tốn nhiều thời gian hơn so với tiết học được giảng dạy theo phương

pháp truyền thống. Do đó với phân phối chương trình đã quy định trước, việc tổ chức

thường xuyên các tiết học theo phương pháp PH và GQVĐ là điều rất khó khăn. Hơn

nữa, không phải nội dung bài học nào cũng có thể áp dụng phương pháp này.

Phương pháp này đòi hỏi HS phải tích cực, chủ động trong hoạt động lĩnh hội tri

thức, nên nhìn chung là phù hợp với HS có trình độ nhận thức nhanh. Nên nếu thực

hiện thường xuyên, liên tục trong cả tiết dạy, dễ có nguy cơ bỏ rơi một bộ phận HS

yếu, kém.

1.3.3 Quá trình dạy học PH và GQVĐ.

Quá trình dạy học PH và GQVĐ có thể thực hiện theo các bước sau, trong mỗi

bước, người thực hiện các hoạt động có thể là tự bản thân học sinh hay có sự hướng

dẫn của giáo viên.

 Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề.

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề.

- Giải thích, chính xác hoá để hiểu vấn đề đặt ra.

- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.

 Bước 2: Tìm cách giải quyết vấn đề.

- Tìm cách giải quyết vấn đề, bao gồm cả phân tích vấn đề và đề xuất,

thực hiện hướng giải quyết.

- Tiếp tục tìm cách giải quyết khác (nếu có) và lựa chọn cách giải quyết tốt

nhất.

 Bước 3: Trình bày cách giải quyết vấn đề

- Trình bày cách giải quyết vấn đề (đã lựa chọn) một cách đúng đắn.

 Bước 4: Nghiên cứu sâu cách giải quyết vấn đề.

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.

- Tìm khả năng đề xuất vấn đề mới từ vấn đề vừa được giải quyết.

1.3.4 Những hình thức và cấp độ dạy học PH và GQVĐ

Tùy thuộc vào vai trò của giáo viên và học sinh, cũng như tuỳ theo mức độ độc

lập của học sinh trong quá trình GQVĐ, người ta đã phân biệt 4 hình thức chủ yếu của

dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề sau đây.

 Người học độc lập PH và GQVĐ

Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề và không can thiệp vào quá trình giải

quyết vấn đề của học sinh. Người học độc lập phát hiện vấn đề, tìm cách giải quyết vấn

đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình này. Đây có thể được coi là mức

độ cao của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

 Người học hợp tác PH và GQVĐ:

Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề, người học hợp tác với nhau để tự PH,

GQVĐ với nhiều hình thức như làm việc theo nhóm, hay kết hợp àm việc cá nhân và

làm việc nhóm,...

 GV và HS vấn đáp PH và GQVĐ

Giáo viên cùng với học sinh trao đổi, vấn đáp nhằm PH & GQVĐ. Giáo viên sử

dụng một hệ thống câu hỏi gợi ý để hướng dẫn học sinh thực hiện các hoạt động trong

quá trình phát hiện, giải quyết vấn đề.

 Giáo viên thuyết trình PH và GQVĐ

Ở hình thức này giáo viên thực hiện tất cả các bước của quá trình PH và

GQVĐ: tạo ra tình huống gợi vấn đề, trình bày vấn đề và trình bày cả quá trình suy

nghĩ tìm kiếm cách thức giải quyết vấn đề... trong đó chứa đựng cả việc tìm tòi, dự

đoán, có lúc thành công, có khi thất bại và phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến

kết quả. Điều quan trọng là người giáo viên để cho học sinh có khoảng thời gian để

cùng tham gia vào quá trình suy nghĩ, tìm kiếm câu trả lời.

Học sinh không trực tiếp giải quyết vấn đề, nhưng theo dõi quá trình PH và

GQVĐ do giáo viên trình bày. Các em cũng trải qua những thời điểm, những cảm xúc

và thái độ khác nhau như chính các em đang thực sự tham gia vào quá trình nghiên cứu

nhưng không trực tiếp GQVĐ.

Như vậy, tri thức được trình bày không phải dưới dạng có sẵn, mà nảy sinh

trong quá trình PH và GQVĐ của giáo viên.

1.3.5 Các phương án giải quyết vấn đề.

Điều quan trọng của phương pháp dạy học PH và GQVĐ là quá trình tìm tòi được

cách giải quyết vấn đề, chứ không phải là bản thân lời giải đó. Mỗi cách giải quyết vấn đề

được gọi là một phương án giải quyết vấn đề. Như vậy, tìm tòi phương án giải quyết vấn

đề là bước thứ hai trong quy trình giải quyết vấn đề đã nêu ở mục 1.3.3

Để tìm được một phương án GQVĐ, cần nhớ lại những kiến thức, kỹ năng,

phương pháp hàng động, thuật toán đã có, làm rõ những mối liên hệ giữa trạng thái ban

đầu và trạng thái đích của vấn đề,... và đặt tất cả trong những qui tắc suy luận có lý, logic.

Stephen Krulik đã đưa ra mười phương án GQVĐ là: phân tích đi lên, tìm kiếm

một quy luật, giải quyết vấn đề theo một cách khác, giải quyết vấn đề tương tự đơn

giản hơn, xem xét những trường hợp đặc biệt, minh hoạ bằng hình vẽ, đoán và thử một

cách thông minh, xem xét tất cả các khả năng có thể xảy ra, tổ chức sắp xếp dữ liệu, và

suy luận một cách logic. Có thể thấy, đây là một công cụ, phương tiện hữu dụng để

giúp tìm được cách giải quyết nhiều vấn đề nảy sinh trong quá trình dạy toán học ở nhà

trường phổ thông.

Dưới đây sẽ trình bày mười phương án đó và nêu ví dụ minh họa cụ thể

 Phân tích đi lên.

Đây là phương án được sử dụng khá phổ biến để giải quyết các vấn đề toán học

giúp HS rèn luyện kỹ thuật giải toán chặt chẽ và hiệu quả. Phân tích đi lên là phương

pháp dùng lập luận để đi từ cái cần chứng minh dẫn tới các yếu tố đã cho trong một vấn

đề. Hay nói cách khác, trong quá trình thực hiện phương án này, HS phải trả lời các câu

hỏi theo dạng sau: “để chứng minh vấn đề này ta cần phải chứng minh được vấn đề gì”

(3)

)

(

( 2)

...

A 1

(1)     A 2 n

Sơ đồ logic của phương án phân tích đi lên có thể được khái quát như sau:

Trong mỗi bước suy luận (1), (2), (3), ...(n) đều được suy luận ra từ các bước

đã có trước nó: để có được A đúng thì phải có A1 đúng, để có A1 đúng thì phải có A2

đúng..., cuối cùng dẫn đến An đúng (đã được chứng minh là đúng, hoặc là trạng thái

ban đầu đã biết).

Ví dụ 3: Sau khi đã chứng minh được “Trong tam giác vuông luôn có



a sin

b sin

c sin

”, vấn đề nảy sinh là: “Hệ thức trên còn đúng trong tam giác

ABC bất kỳ hay không?”

sin

 B b

A b sin ; sin

 C c

sin



b sin

c sin





  2 R

a sin

b sin

c sin



   sin  

c R 2

a sin c sin

    

sin

Sử dụng phương án phân tích đi lên để tìm lời giải cho câu hỏi trên như sau:



B b  c R 2

   sin 

Bây giờ cần kiểm tra liệu có xảy ra hay không (và tương tự cho các

trường hợp còn lại).

Trong phân tích trên, học sinh sẽ chú ý đến hệ thức thể hiện mối quan hệ giữa các yếu

tố về độ dài cạnh và góc của một tam giác để tách các hệ thức, sau đó chỉ cần kiểm

chứng một đẳng thức liên quan đến bàn kính R. Tuy nhiên các em cũng có thể tách

thành các hệ thức khác nhau để thực hiện việc kiểm chứng.

 Tìm kiếm một quy luật.

Trong một số vấn đề, việc tìm kiếm được các quy luật không chỉ giúp cho học

sinh có thể giải quyết được vấn đề đặt ra mà có thể giải quyết vấn đề tổng quát hơn. Để

giải quyết vấn đề bằng phương pháp tìm kiếm quy luật, thường phải tìm một chuỗi các

dữ kiện hay số liệu ban đầu chứa đựng những tính chất hay kết quả có sự lặp đi lặp lại

tương đồng, và xem xét mối quan hệ giữa chúng với trạng thái xuất phát của vấn đề. Từ

S 



  ...

đó có thể dự đoán được kết quả cho các dữ kiện hay số liệu tiếp theo.

1 1.3

1 1  3.5 5.7

1 7.9

1 97.99

Ví dụ 4: Tính tổng

Bài toán trên là một vấn đề khi học sinh chỉ mới học phép cộng, trừ, nhân hay

chia các phân số. Với tổng S gồm nhiều hạng tử, học sinh không thể vận dụng phép

cộng thông thường bằng cách quy đồng mẫu số để tính tổng, mà cần phải tìm kiếm một

phương pháp giải quyết khác.

Tìm kiếm quy luật cho một số số liệu đầu bằng cách cộng dần các số hạng đầu











1 1.3 1 1  1.3 3.5 1 1 1 1.3 3.5 5.7 1 1 1 1 7.9 1.3 3.5 5.7

1 3 2 5 3 7 4 9

- Xem xét mối quan hệ với các số liệu của tổng S:

Xem xét mối quan hệ Kết quả của tổng các số hạng đầu (dự đoán kết quả có tính quy luật)

1 1  1.3 3.5

2  5





5 là số lớn nhất trong các thừa số ở mẫu

2 là số các số hạng của tổng và 2 (5 1) : 2



1 1  1.3 3.5

1 5.7

3  7





7 là số lớn nhất trong các thừa số ở mẫu

3 là số các số hạng của tổng và 3 (7 1) : 2



1 1 1 1.3 3.5 5.7

1 7.9

4  9





9 là số lớn nhất trong các thừa số ở mẫu

S 

4 là số các số hạng của tổng và 4 (9 1) : 2

49 99

Từ đó suy ra quy luật tính được tổng .





  ...

1 1 1 1.3 3.5 5.7

1 7.9

1 1).(2





Có thể tổng quát hóa thành bài toán mới là tính tổng:

Ví dụ 5: Dự đoán tổng số đo các góc trong của một đa giác n cạnh.

Học sinh chỉ mới biết tổng các góc trong một tam giác và tứ giác, có thể hướng dẫn tìm

ra quy luật để giải quyết được vấn đề trên như sau:

Số tam giác Tổng số đo các Số cạnh của đa Thể hiện quy luật được tạo ra. góc của đa giác. giác

0 180

3 1

0 2.180

2 4

0 3.180

5 3

0 4.180

6 4

0 5.180

7 5

0 6.180

8 6

... ... ... ...

(

n 

2).180

n n-2

 Giải quyết vấn đề theo một cách khác.

Sau khi phân tích và giải quyết vấn đề, học sinh có thể xem xét, nhìn nhận bài

toán theo một góc độ khác và có thể sẽ tìm ra một cách giải quyết vấn đề theo một

cách ngắn gọn và hiệu quả hơn những cách làm mà người học vẫn thường hay sử

S 



  ...

dụng.

1 1.3

1 1  3.5 5.7

1 7.9

1 97.99

Ví dụ 6: Tính tổng

Ngoài cách giải quyết bằng phương án tìm kiếm một quy luật, thì vấn đề còn được giải

giải quyết theo cách khác khi người học có phân tích, nhìn thấy được điểm chung của

các số hạng trong tổng là: mẫu số là tích của hai số lẻ liên tiếp và thừa số nhỏ hơn ở

mẫu của số hạng này bằng thừa số lớn hơn ở mẫu của số hạng liền trước nó. Do đó mỗi



)







(

)





)

1 1.3 1 3.5 1 5.7

1 1 3 2 1 1 1 2 3 5 1 1 1 ( 2 5 7

...





)

1 97.99

1 1 ( 2 97

1 99

S 



)



số hạng của tổng được phân tích như sau:

1 2

1 99

49 99

Khi đó

 Giải quyết vấn đề tương tự đơn giản hơn

Một vấn đề có thể được giải quyết bằng cách biến đổi, đưa nó về một vấn đề

tương tự đơn giản hơn và có thể giải quyết được. Từ đó định hướng cách giải quyết, có

thể dựa vào cách giải quyết của vấn đề tương tự đã có để xác định, điều chỉnh hướng

giải cho phù hợp.

Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 120, CD=15 và E là điểm bất kỳ

thuộc cạnh AB. Tính tổng diện tích tam giác AED và tam giác BEC.

A

E

B

E'

D

C

Hình 1.1







ADE



BCE



ADB

ABCD

1 2

Ta sẽ giải quyết bài toán tương tự đơn giản hơn, giả sử E B , khi đó

Từ đó định hướng cách giải: dựng EE’ //AD để được hai hình bình hành ADEE’ và



;





ADE



E DE '



BCE



E CE '



ADE

 S

BCE

ABCD

1 2

và BCE’E. Khi đó

 Xem xét trường hợp đặc biệt

Để tìm tòi lời giải cho một vấn đề, nhiều khi xem xét các trường hợp đặc biệt

của vấn đề đó có thể giúp tìm được phương pháp giải quyết tốt hơn. Phương án này đặc

biệt hữu ích trong trường hợp vấn đề đưa ra là một vấn đề phức tạp hay có một số yếu

tố thay đổi. Lưu ý rằng, khi xét trường hợp đặc biệt của vấn đề vẫn đảm bảo các giả

thiết đã đưa ra và không làm thay đổi bản chất của vấn đề.

Ví dụ 7: Trên các cạnh AB và CD của hình bình hành ABCD lấy các điểm M và P sao

MNPQ

ABCD

cho AM = DP; N, Q là hai điểm bất kỳ lần lượt thuộc các cạnh BC và DA. Tính tỉ số

Ví dụ trên là một vấn đề đối với học sinh khi chỉ mới học về công thức tính diện tích

M AB N BC ,



tam giác, tứ giác đặc biệt, vấn đề có các đặc trưng

P CD Q DA ,



, - Trạng thái xuất phát: Hình bình hành ABCD có

và AM=DP

ABCD

và khi các điểm M, N, P, Q bất kỳ. - Khó khăn: không tính được MNPQ

MNPQ

ABCD

- Trạng thái đích: Tính được tỉ số

M

A

B

Q

N

D

P

C



Hình 1.2

MNPQ

NAD

ABCD

1 2

và M A , dễ thấy , Xem xét trường hợp đặc biệt, khi N B

 . Từ đó định hướng cho việc chứng minh đẳng thức này

MNPQ

ABCD

1 2

nên

 Minh họa bằng hình vẽ.

Khi người học bắt gặp một vấn đề, họ có thể tiếp cận nó theo cách vẽ hình hoặc

biểu đồ và ghi chú những thông tin quan trọng. Hình vẽ hay sơ đồ giúp chúng ta có

thể "nhìn thấy" nó, hiểu nó và suy nghĩ về nó dễ dàng

hơn.

B

0x 

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị x sao cho sin

Trong trường hợp học sinh chưa học giải phương trình

C

O

A

lượng giác cơ bản thì học sinh chưa có phương pháp giải

D

đối với vấn đề trên.

Hình 1.3

Để giải quyết bài toán trên, ta sử dụng phương án minh họa bằng hình vẽ. Quan sát

0x  đạt tại điểm gốc O trên trục sin,

trên đường tròn lượng giác, học sinh sẽ thấy sin

sin

  

k k (

  )

còn giá trị x sẽ đạt tại vị trí A và C trên đường tròn lượng giác. Từ đó có

Ví dụ 9: Xác định số đường chéo của một đa giác có 10 đỉnh.

Khi học sinh chưa học tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị thì học sinh chưa có phương pháp

nào để tính số đường chéo của một đa giác, tuy nhiên học sinh có thể sử dụng hình vẽ,

quan sát và suy luận để giải quyết vấn đề trên.

Trước tiên học sinh phải hiểu đường chéo của một đa giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh

không liền kề của một đa giác đó.

A2

A1

A10

A3

A4

A9

A5

A8

A7

A6

Hình 1.4

Quan sát hình vẽ ta thấy rằng từ điểm A1 ta dựng được 7 đoạn thẳng nối với các đỉnh

70

không liền kề với nó. Từ các điểm A2, A3, ..., A10 ta cũng dựng được 7 đoạn thẳng nối

với các đỉnh không liền kề với nó. Như vậy ta có 7.10 đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất

kỳ không liền kề nhau của đa giác. Tuy nhiên với cách dựng như vậy thì một đoạn

thẳng AiAj được dựng hai lần, một xuất phát từ đỉnh Ai và một từ đỉnh Aj. Vậy số



7.10 2

. đường chéo của đa giác có 10 đỉnh là

Ví dụ 10: Chứng minh rằng diện tích của một hình bát giác đều bằng tích độ dài các

đường chéo lớn nhất và nhỏ nhất của nó.

A

B

H

N

O

C

M

G

F

D

E

Hình 1.5a

* Quan sát hình vẽ ta nhận thấy rằng đường chéo lớn nhất và nhỏ nhất của hình bát

giác đều lần lượt là GC và HF.



 GC HF GM MN NC HF .

( GM HF MN HF NC HF .

 









FGH 

BDFH 

BCD 







FGH

ABH

BDFH

BCD



Từ đó ta có

Với S là diện tích của hình bát giác đều.

* Ví dụ trên có thể giải quyết bằng việc trực tiếp thao tác trên hình vẽ.

A

H

B

H

B

P

S

M

O

N

M

O

N

G

C

R

Q

F

D

E

Hình 1.5b

 PS RS GC HF

Thông qua những thao tác trên hình vẽ, ta có diện tích hình bát giác đều bằng diện

tích hình chữ nhật PQRS hay S=

Từ đây học sinh cũng có thể tổng quát vấn đề, tính được số đường chéo của một đa

n n  .( 2

giác có n đỉnh là

 Đoán và thử một cách thông minh

Có một số tình huống mà các phương pháp đoán và thử đặc biệt hữu ích. Người

ta thường suy nghĩ về hướng giải quyết của một vấn đề bằng cách thử đoán đúng hay





sai.

  MA MB MC MD 



 0



Ví dụ 11: Trong tứ giác ABCD, có hay không điểm M sao cho .

- Phân tích, tìm tòi cách giải

  IA IB

 0





, với G là trọng tâm tam giác thì

 0





Dự đoán: với I là trung điểm của AB thì   GA GB GC GD  nên dự đoán là có điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Kiểm tra dự đoán: Nếu ABCD là các tứ giác đặc biệt như hình vuông, hình chữ nhật...

đều tồn tại điểm M. Từ đó có thể định hướng cách giải theo hai hướng trên: gọi I, J là

trung điểm của AB, CD hay gọi G là trọng tâm của tam giác ABC để tìm ra M.

 Xem xét tất cả các khả năng có thể xảy ra

Đây là phương pháp tuy hơn mất nhiều thời gian nhưng lại giúp cho người học

có thể giải quyết vấn đề một cách chắc chắn. Một khi vấn đề đặt ra chứa đựng nhiều

trường hợp phức tạp, có thể phải giải quyết từng trường hợp, coi như giải quyết các vấn

đề nhỏ hơn.

C  , xét hình dạng tam giác ABC.

Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có cos .cos .cos

Học sinh chưa có phương pháp nào để xác định hình dạng của tam giác trong trường

hợp trên, vấn đề đó sẽ được giải quyết bằng phương án xem xét tất cả các khả năng có

thể xảy ra như sau.

Tam giác ABC có thể là tam giác vuông, nhọn, cân, đều hay tù, khi đó ta sẽ giải quyết

từng trường hợp của vấn đề và so sánh với giả thiết

0A  suy ra cos .cos .cos

C  (trái 0

- Giả sử tam giác ABC vuông tại A thì cos

giả thiết)

C  (trái giả thiết), như vậy

- Giả sử tam giác ABC nhọn thì cos .cos .cos

trong trường hợp này ta cũng suy ra tam giác ABC không thể là tam giác đều.

C  (có thể cân nhưng phải là tam

- Với ABC là tam giác tù thì cos .cos .cos

(

) :



(

)

;

giác tù)

 (*). Tìm trên (E) điểm

M x y có tọa độ nguyên.

x 36

y 25

Ví dụ 13: Cho elip

Đối với học sinh lớp 10, khi học bài đường elip học sinh không có công thức hay

phương pháp để tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc elip. Bằng cách xem xét tất cả các

;

)

(

)

E  

khả năng có thể xảy ra, ta có thể giải quyết vấn đề như sau:

 . Suy ra

 hay

( M x y 0

2 y  0

2 x 0 36

2 y 0 25

Ta có .

  0;1; 4;9;16; 25

0y ta được giá trị tương ứng

2 y  0

)

(

;

. Với mỗi giá trị của 2 Vì y0 nguyên nên

M x y có tọa độ nguyên

0x , từ đó có thể lựa chọn những điểm

của

 Tổ chức, sắp xếp dữ liệu

Dữ liệu đôi khi sẽ dễ dàng phân tích hơn hay dễ nhận thấy cách giải quyết hơn



nếu được tổ chức, sắp xếp lại.

S       1 1 2 3 4 ... 96 97 98 99

Ví dụ 14: Tính tổng .

(1 99)



 (2 98)



 (3 97)



 (4 96)

  ...

 (48 52)



(49 51) 50



S   1

Có thể sắp xếp lại vị trí của các số hạng của tổng như sau

 Suy luận logic

)

(

;

(

) :



 . Tìm trên (E) điểm

M x y có tọa độ nguyên.

Có những vấn đề tìm được lời giải bằng cách sử dụng các suy luận logic. .

x 36

y 25



    

2 0

2 x 0 36

2 y 0 25

Ví dụ 15: Cho elip



  

36(1



)

2 x 0

2 x 0 36

2 y 0 25

36, 25

1 nên

 hoặc

 . 1

.(*)

x  và  0



2 0

2 y 0 25

(

Vì x0, y0 nguyên,

M x y ) ; 0

Từ đó sẽ xác định được các điểm

2 Nội dung kiến thức của chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” ở

hình học 10.

2.1 Đặc điểm của chủ đề

- Chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” được học ở lớp 10 và hoàn

toàn độc lập (theo nghĩa không tích hợp) với các chủ đề khác. Tổng thời lượng

dành cho nó là 12 tiết (không kể tiết ôn tập và kiểm tra học kì I).

- Nội dung của chương kế thừa và phát triển các kiến thức về chủ đề Vectơ đã

học ngay trước đó, đồng thời nó là cơ sở cho việc học chủ đề “Phương pháp tọa

độ trong mặt phẳng” tiếp theo.

2.2 Mục tiêu chung

 Về kiến thức

- Hiểu được định nghĩa giá trị lượng giác của góc  bất kì từ  đến 18; mối

quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau; khái niệm góc giữa hai

vectơ; định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, các tính chất của tích vô hướng,

biểu thức toạ độ của tích vô hướng.

- Hiểu định lý cosin, định lý sin, công thức về độ dài đường trung tuyến trong

một tam giác.

- Biết một số công thức tính diện tích tam giác và một số trường hợp giải tam

giác.

 Về kĩ năng

- Xác định được góc giữa hai vectơ; tích vô hướng của hai vectơ. Tính được độ

dài của vectơ và khoảng cách giữa hai điểm. Vận dụng được các tính chất của

tích vô hướng của hai vectơ vào giải bài tập.

- Áp dụng được định lý cosin, định lý sin, công thức về độ dài đường trung

tuyến, các công thức tính diện tích để giải một số bài toán có liên quan đến tam

giác.

- Biết giải tam giác trong một số trường hợp đơn giản. Biết vận dụng kiến thức

giải tam giác vào các bài toán có nội dung thực tiễn. Kết hợp với việc sử dụng

máy tính bỏ túi khi giải toán.

2.3 Cấu trúc nội dung

Chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” gồm hai mạch chính và được cấu

trúc tuyến tính theo thứ tự sau:

 Tích vô hướng

- Giá trị lượng giác của một góc bất kì (từ  đến 18). Giá trị lượng giác của

các góc đặc biệt.

- Góc giữa hai vectơ.

- Tích vô hướng của hai vectơ.

- Tính chất của tích vô hướng.

- Biểu thức toạ độ của tích vô hướng.

- Độ dài vectơ và khoảng cách giữa hai điểm.

 Các hệ thức lượng trong tam giác

- Định lí cosin.

- Độ dài đường trung tuyến trong một tam giác.

- Định lí sin.

- Công thức tính diện tích tam giác.

- Giải tam giác.

Các nội dung kiến thức được trình bày trong chủ đề này đòi hỏi mức độ tư duy, tổng

hợp và vận dụng càng tăng theo thức tự của cấu trúc trên: những nội dung đầu của

chủ đề chủ yếu là các định nghĩa, khái niệm hay tính chất mà học sinh có thể dễ

dàng hiểu và vận dụng được. Tuy nhiên càng về sau thì nội dung chương trình càng

phức tạp hơn, yêu cầu học sinh phải tư duy, liên hệ các kiến thức nhiều hơn và số

lượng các bài tập, bài toán cũng đa dạng hơn. Chẳng hạn đến nội dụng định lý cosin

thì để hiểu được định lý, cũng như con đường đi đến nội dung định lý được trình

bày trong sách giáo khoa thì học sinh phải hiểu được định nghĩa tích vô hướng của

hai vectơ, góc giữa hai vectơ và phải có khả năng phân tích, suy luận mới định

hướng được cách chứng minh. Còn đối với nội dung được trình bày cuối cùng của

chủ đề là “ứng dụng vào đo đạc”, nội dung này yêu cầu học sinh phải biết và hiểu

toàn bộ các kiến thức của chủ đề cùng với các kiến thức liên quan, đồng thời đòi hỏi

học sinh phải biết vận dụng toán học vào thực tiễn, đây là một vấn đề khó khăn đặt

ra đối với các em.

- Ứng dụng vào việc đo đạc.

3 Thực trạng dạy và học chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” ở

trường THPT hiện nay.

3.1 Thực trạng dạy và học toán nói chung

Như đã nói ở trên, chương trình giáo dục THPT đã xác định là “Phương pháp giáo

dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh;

phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả

năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác

động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Từ đó, mục tiêu

của đổi mới phương pháp dạy học là: làm cho HS nâng cao tính chủ động và hợp tác;

có sự tự nỗ lực, tự học tập và sự tự tin; nâng cao tự ý thức về năng lực của mình; có khả

năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn... Tạo cơ sở để học sinh học tiếp hoặc đi vào cuộc

sống lao động.

Đối với việc thực hiện đổi mới PPDH, thực tiễn giảng dạy môn Toán thấy rằng:

- Nhìn chung, GV đã có ý thức đổi mới phương pháp dạy học, luôn có tinh thần

tìm tòi, học hỏi và cố gắng nâng cao trình độ chuyên môn của mình.

- Các giáo viên đã tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin vào các tiết dạy như

thiết kế giáo án điện tử, sử dụng một số phần mềm Toán học (Geometer’s Sketchpad,

Cabri,...) để tăng yếu tố trực quan và phát triển tư duy của học sinh.

- Một số giáo viên đã quan tâm, tăng cường các hoạt động của học sinh trong

học tập, sử dụng phương pháp dạy học nhóm trong quá trình giảng dạy để giúp học

sinh có cơ hội trao đổi kiến thức với nhau.

Mặc dù chúng ta đã bắt đầu có những bước biến đổi tích cực trong công tác giảng

dạy, tuy nhiên cũng cần thừa nhận một số mặt tồn tại sau:

- Việc thực hiện đổi mới PPDH ở một bộ phận GV còn hình thức, chưa hiệu

quả, vẫn thiên về thuyết trình, khiến giờ dạy nặng nề, chưa hấp dẫn; HS chưa thực sự

được phát hiện, khám phá tri thức; việc hướng dẫn phương pháp tự học cho HS vẫn

chưa được nhiều GV quan tâm đúng mức; GV vẫn còn lúng túng trong việc thực

hiện đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của HS.

- Nhiều giáo viên đã quá lạm dụng việc ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy

học toán, điều đó không những không giúp học sinh phát huy được tính tích cực trong

học tập mà trái lại nó còn làm cho học sinh không chú ý vào bài học dẫn đến mất kiến

thức; vì nội dung bài học chỉ được trình chiếu nhanh bằng các slide do đó kiến thức

đọng lại ở học sinh rất ít hay học sinh chỉ chú ý đến các hình ảnh chuyển động bắt mắt

được trình chiếu nhưng ít hoặc không liên quan đến nội dụng trọng tâm của bài học...

- Cơ sở vật chất, dụng cụ dạy học của nhà trường trang bị cho giáo viên và học

sinh vẫn còn thiếu, gây ảnh hưởng đến chất lượng dạy và học, cũng như hiệu quả của

việc áp dụng các phương pháp dạy học mới.

PPDH được sử dụng trong dạy học môn Toán hiện nay có thể kể đến như: Phương

pháp giảng giải, phương pháp gợi mở - vấn đáp, phương pháp dạy học nhờ các phương

tiện trực quan, phương pháp luyện tập, phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ và

phương pháp giải quyết vấn đề. Các phương pháp này đã được các giáo viên sử dụng

và phần nào phát huy được tính chủ động của học sinh, tạo được môi trường học tập có

hiệu quả hơn cho các em, tuy nhiên vẫn tồn tại một số hạn chế sau:

Phương pháp gợi mở - vấn đáp: Câu hỏi đặt ra trong tiết dạy không có hiệu quả -

sư phạm cao dẫn đến tình trạng “Hỏi để cho có” và thường đặt câu hỏi mà học sinh chỉ

cần trả lời “có hoặc không”, “đúng hoặc sai”, trong trường hợp như thế thì tư duy của

học sinh chưa có điều kiện để phát triển.

- Hiện nay, việc sử dụng phương pháp dạy học nhờ các phương tiện trực quan

vẫn xảy ra tình trạng sử dụng tùy tiện, không hợp lý: Chẳng hạn như việc giảng dạy

giáo án điện tử ở môn Toán với mục đích giúp học sinh thấy, quan sát và dự đoán được

kiến thức toán thì một số giáo viên lại sử dụng chỉ để đỡ ghi bảng và trình chiếu lại các

kiến thức SGK, điều này càng làm cho học sinh không hiểu được nội dung bài học.

- Khi dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ thì chỉ có một số học sinh thực hiện nhiệm

vụ được giao, còn một số khác không tham gia và có tính ỷ lại hay trong tiết luyện tập

toán giáo viên cho học sinh hoạt động nhóm các bài tập trong sách giáo khoa hay các

bài tập mà các em đã chuẩn bị trước ở nhà.

- Với phương pháp giải quyết vấn đề thì đây là phương pháp chưa được sử dụng

rộng rãi ở các trường THPT, chỉ có một số giáo viên quan tâm và sử dụng phương pháp

này vào dạy học và việc sử dụng phương pháp này thường cũng chỉ dừng lại ở mức độ

đặt học sinh vào các tình huống có vấn đề chứ chưa thực sự chú trọng đến giải quyết

vấn đề và sử dụng các phương pháp giải quyết vấn đề.

3.2 Tình trạng dạy và học chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”

Trong quá trình dạy học chương “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”, các

hoạt động chủ yếu được thực hiện bởi giáo viên, giáo viên giới thiệu cho học sinh các

công thức cần thiết để có thể áp dụng vào làm bài tập; các ứng dụng thực tiễn của

chương này không được đưa ra một cách chính thức ở tiết dạy. Đối với tiết luyện tập,

học sinh được chuẩn bị sẵn các bài tập ở nhà và chỉ một số học sinh lên bảng giải bài

tập sách giáo khoa với các cách giải đã có.

Trong quá trình dạy và học hiện nay, nhiều giáo viên chưa biết và chưa hiểu rõ các

phương pháp dạy học tích cực. Việc giảng dạy vẫn còn theo giáo án cũ được soạn

giảng nhiều năm về trước và phương pháp dạy học được sử dụng vẫn dưới dạng thông

báo tri thức. Do đó học sinh rất thụ động khi tiếp thu bài học, cũng như trong việc

chiếm lĩnh các kiến thức của chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”.

Theo phân phối chương trình thì nội dung của chương này được giảng dạy vào đầu

học kì II, hay thời điểm học sinh mới kết thúc học kì I và thường bị gián đoạn chương

trình do nghỉ tết âm lịch. Có thể nói rằng, đây là một điều gây khó khăn cho giáo viên

vì ở thời điểm này học sinh thường không tập trung vào việc học mặc dù giáo viên rất

nhiệt tình giảng dạy.

Hơn nữa, việc dạy và học hiện nay mang tính chất đối phó với các kì thi còn phổ

biến, cho nên học sinh chỉ quan tâm và tập trung vào các nội dung kiến thức có khả

năng ra thi lớn nhất. Với chương “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”, nhiều

trường THPT không tiến hành kiểm tra 45 phút hay thi HKII nên việc giảng dạy và học

tập ít được chú trọng, ý thức học tập của học sinh còn thấp. Kết quả là học sinh không

biết vận dụng các kiến thức đã học vào làm bài tập, không biết cách phân tích bài toán

để đưa ra phương phương giải hợp lý, tiết dạy chưa khuyến khích được học sinh nổ lực

tìm tòi và đưa ra các cách giải quyết mới.

Chương II PHƯƠNG ÁN GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ TRONG CHỦ ĐỀ "TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG".

1. Phương án giải quyết vấn đề trong các tình huống dạy học điển hình

Sử dụng các phương án GQVĐ trong dạy học chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ

và ứng dụng” góp phần giúp học sinh dần có được cách thức phân tích, phương thức

hành động khi gặp một vấn đề cụ thể trong quá trình học tập cũng như trong cuộc sống.

Thường có bốn tình huống dạy học toán điển hình là: i) dạy định nghĩa, khái niệm,

ii) dạy định lý, tính chất, iii) dạy giải bài tập, bài toán và iv) dạy ôn tập, tổng kết. Ở chủ

đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”, các kiến thức chủ yếu là các định lý,

tính chất và các bài tập, bài toán. Vì vậy, chương II luận văn sẽ trình bày cách vận dụng

các phương án giải quyết vấn đề của Stephen Krulik vào dạy định lý và dạy giải bài

tập, bài toán.

1.1 Phương án giải quyết vấn đề trong dạy định lý

Trong dạy học định lý, cần giúp học sinh hiểu nội dung định lý và có khả năng vận

dụng chúng vào các hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề có nội dung

thực tiễn, đồng thời giúp học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh, biết

cách suy nghĩ để tìm ra cách chứng minh.

Định lý toán học thường mang một hoặc một số đặc điểm sau (theo Vương Dương

Minh, năm 2011)

- Là chân lý tổng quát, có thể áp dụng vào nhiều trường hợp riêng.

- Là sự khái quát hóa một định lý đã biết.

- Là sự tương tự với một định lý đã biết.

- Là sự đảo lại của một định lý đã biết.

- Là sự hoàn thiện một vấn đề.

- Là để hợp lý hóa một công việc.

Đó chính là cơ sở giúp người dạy tạo ra tình huống để người học phát hiện và giải

quyết vấn đề.

Theo cách truyền thống, giáo viên thường dạy học định lý toán học theo trình tự

ba bước: i) nêu nội dung định lý; ii) vẽ hình và trình bày chứng minh định lý; iii) vận

dụng định lý. Khi đó học sinh tiếp thu tri thức một cách thụ động bởi kiến thức được

thông báo dưới dạng cho sẵn nên sẽ không kích thích sự phát triển tư duy .

Để học sinh chủ động hơn trong việc chiếm lĩnh tri thức, giáo viên nên dạy định lý

theo trình tự sau: i) Tạo tình huống để học sinh phát hiện ra vấn đề (chính là định lý);

ii) chứng minh vấn đề đó là đúng; iii) Phát biểu chính xác hóa vấn đề thành định lý; iv)

vận dụng định lý.

1.1.1 Định lý cosin.

Có thể sử dụng hai phương án GQVĐ trong khi dạy học định lý cosin, đó là xem xét

trường hợp đặc biệt và suy luận logic.

 Sử dụng phương án “Xem xét trường hợp đặc biệt”

- Tạo tình huống để phát hiện định lý “Trong tam giác ABC bất kỳ có tồn tại một

đẳng thức liên hệ giữa các độ dài cạnh hay không ?”

- Tìm tòi cách trả lời câu hỏi:

BC AB AC





Xem xét trong trường hợp tam giác ABC vuông tại A, thì . Yêu



 

 BC









cầu chứng minh đẳng thức này bằng phương pháp vectơ 

  2 (AC AB) AC 2AB.AC AB   2 AC AB 



)     nên AB.AC 0 (Vì AB AC



 



 BC











  2 (AC AB) AC 2AB.AC AB 



2 AC AB 2AB.AC cos A







Như vậy, nếu tam giác ABC không vuông thì luôn có:



AC AB 2AB.AC cos A





Hay

- Phát biểu chính xác nội dung định lý.

Khi dạy học theo cách trên, học sinh không những lĩnh hội được nội dung định lý

cosin, mà còn trả lời được câu hỏi vì sao lại có định lý đó. Điều này giúp học sinh hiểu

rõ hơn và khắc sâu được nội dung định lý mà mình vừa chứng minh được

 Sử dụng phương án “suy luận logic”

- Tạo tình huống để phát hiện định lý:

Giáo viên yêu cầu nhiều nhóm học sinh vẽ tam giác ABC có độ dài cạnh BC = a, AC =

b và ACB  (gán các giá trị cụ thể cho a, b và  trong khi dạy). Sau đó tiến hành đo

đạc độ dài cạnh AB và đọc kết quả, khi đó độ dài cạnh AB mà các nhóm đo được chỉ

gần bằng nhau chứ không phải cùng chung một kết quả.

Từ đó đưa ra tình huống: Có công thức nào biểu diễn AB qua a, b và  để được một

kết quả chính xác hơn mà không phải thực hiện bằng đo đạc?

- Để giải quyết được câu hỏi trên, giáo viên có thể gợi ý “Có thể ứng dụng được

các hệ thức lượng trong tam giác vuông để có thể tính cạnh AB không?”

Tình huống trên giúp học sinh định hướng và tạo ra tam giác vuông chứa cạnh AB, cụ





thể là vẽ đường cao AH.

Khi đó ta có

 AH b

 sin ;

 HC b

cos

Trong tam giác vuông AHC có 

A

HB c HC c b 

 

cos



sin





(

. Do đó ta có Suy ra

b

 HB 2

 2

AH 2

 c b 2

 cos ) 2



sin







bc 2

cos





cos









cos

 )





bc 2

cos



C

a

H

B

(sin 2

2 

 2 b

b 

 2 c

c 

cos 2  bc  . bc  cos 2

Hình 2.1 Vậy

- Phát biểu chính xác nội dung định lý

Đó là những cách thức khác nhau để giới thiệu cho học sinh nội dung định lý cosin

giúp học sinh vừa hiểu bài, vừa có hứng thú tìm hiểu những cái mới từ những kiến thức

đã học. Trong cách giải trên ta chỉ mới xét trường hợp góc B nhọn, đối với trường hợp

góc B tù GV cho học sinh về tự nghiên cứu trình bày lại.

1.1.2 Định lý sin

- Để giúp học sinh phát hiện ra định lý sin, ta xét trường hợp đặc biệt bằng cách

A 

090

đưa ra tình huống “Tính được hay không độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại

tiếp của tam giác ABC khi biết độ dài cạnh AB=c, độ lớn góc C và  ?”



Khi đó học sinh sẽ sử dụng hệ thức lượng trong trong tam giác vuông để tính

c sin

BC 2

c 2sin

được và

Tiếp tục với tình huống “Nếu tam giác ABC biết độ dài cạnh AC=b, độ lớn góc B và

 A 

090



thì cạnh BC và bán kính đường tròn được tính như thế nào?”

a sin

b sin

c sin

Và học sinh sẽ nhận ra ( sinA 1 ) trong tam giác vuông

Vậy trong tam giác ABC bất kỳ hệ thức trên còn đúng hay không?

- Tìm tòi cách giải quyết:

Học sinh sẽ tính bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC bất kỳ thông qua tính chất bằng

nhau của hai góc cùng chắn một cung tròn và kiểm chứng được hệ thức trên vẫn đúng.

A

C'

O

B

O

C

B

Hình 2.2



Trường hợp tam giác ABC tù, học sinh kiểm chứng tương tự.

a sin

b sin

c sin

Quá trình kiểm chứng trong tam giác ABC bất kỳ

sin

 B b

A b sin ; sin

 C c

sin



b sin

c sin



 



a sin

b sin

c sin



   sin  

c R 2

a sin c sin

    

sin

bằng phương án phân tích đi lên.

sin

B CH b



sin



B b  c R 2

   sin 



khi đó học sinh chỉ cần kiểm tra , trong đó (với

c R 2

CH là đường cao của tam giác ABC), sin trong tam giác ABC’ vuông tại A

(với BC’ là đường kính của đường tròn).

1.2 Phương án giải quyết vấn đề trong dạy giải bài toán

- Đối với việc khai thác các phương án giải quyết vấn đề trong phần này, ta chú

trọng đến luyện tập cho học sinh khả năng phân tích vấn đề, lựa chọn phương án giải

quyết phù hợp cũng như khả năng mở rộng, khái quát một vấn đề hay sau khi giải

quyết xong một vấn đề, giáo viên cần “giúp đỡ người học có thói quen nhìn lại lời giải

đã tìm ra, nhìn loại toàn bộ bài toán đã xét nhằm: cải tiến lời giải, tìm lời giải khác, đề

xuất các bài toán mới” (Vương Dương Minh, 2011), từ đó giúp học sinh có thể biến

những tri thức phương pháp tổng quát thành những kinh nghiệm giải toán cho bản thân.

Trong đó người giáo viên đóng vai trò là người đồng hành, hướng dẫn, giúp đỡ học

sinh trong quá trình giải toán, chia sẻ kinh nghiệm giải toán của mình cho các em.

- Để có thể thực hiện được điều trên, giáo viên có thể dạy giải bài toán theo trình

tự: i) Tìm hiểu bài toán; ii) Phân tích, tìm tòi và định hướng cách giải; iii) Trình bày

cách giải; iv) Nghiên cứu sâu cách giải và bài toán.

1.2.1 Phương án giải quyết vấn đề trong dạy giải bài toán toán học

- Các bài toán toán học ở chủ đề này gồm những dạng cơ bản sau: tính tích vô

hướng của hai vectơ, xác định góc giữa hai vectơ, giải tam giác, nhận dạng tam giác và

tính giá trị các biểu thức hay chứng minh các hệ thức vectơ, hệ thức về độ dài, về mối

quan hệ giữa các yếu tố của một tam giác. Các dạng bài toán cơ bản chủ yếu của chủ đề

sẽ được khai thác và đưa ra dưới đây:

1.2.1.1 Giải tam giác

ˆ C 

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có cạnh a=8(cm), b=5(cm) và . Tính bán kính

đường tròn đi qua 3 đỉnh của ABC .

- Phân tích tìm tòi cách giải quyết

Trước hết học sinh phải biết rằng đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác chính là đường

tròn ngoại tiếp của tam giác đó và tiến hành phân tích đi lên, suy luận logíc để định



b sin

c sin

+giả thiết

a sin

Tính bán kính R

Tính c



c sin a



abc R 4

hướng cách giải.

Để giúp học sinh định hướng được cách phân tích, giáo viên gợi ý: “Bán kính R có thể

được tính theo phương pháp, công thức nào? Với mỗi phương pháp, công thức thì yếu

tố nào chưa biết và sẽ được tính như thế nào?”

Với cách phân tích như vậy giúp học sinh lựa chọn được phương pháp giải quyết hợp

lý cho nhiều bài toán khác nhau. Hầu hết với các bài toán giải tam giác có trong

chương trình sách giáo khoa hiện nay, học sinh đều có thể giải quyết tốt nếu thành thạo

trong các bước phân tích như trên.

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a. Trên cạnh BC lấy điểm D bất kỳ, đặt

AD=d và ADB  . Nêu cách tính diện tích tam giác ABC.



a h . a

1 2



a b . sin



pr

Với các công thức tính diện tích tam giác mà học sinh đã được học (gồm ,



p p a p b p c

)(



(

)

1 2

abc R 4

  a b c 2

, , S , với ) thì học

sinh chưa thể giải quyết ngay bài toán mà cần phải có những bước suy luận một cách

logíc để định hướng được cách giải.

A

- Phân tích tìm tòi cách giải

 Sử dụng phương án “suy luận logic”



Diện tích tam giác ABC không thể tính trực tiếp nên sẽ

C

B

H

D







AD BD .

.sin





AD CD .

.sin(180



 )



AD BC .

.sin



ABC

ABD

ACD

1 2

tính thông qua diện tích các tam giác thành phần (có chung Hình 2.3 cạnh AD đã biết và hai góc bù nhau), khi đó

 Sử dụng phương án “giải quyết vấn đề theo một cách khác” và “xem xét trường



a d .

hợp đặc biệt”.

090

- Xét trường hợp , khi đó

A'

A

1 2



AH BC .



 .sin .



sin

Với góc  bất kỳ thì diện tích tam giác được tính



ABC

1 2



B

C

Ngoài ra diện tích tam giác có thể được tính theo phương

D

pháp: Tạo một tam giác mới bằng hay có diện tích bằng tam

giác đã cho nhưng các yếu tố cần thiết đã có.

Từ C dựng CA’ song song và bằng DA như hình vẽ.



cd  sin

Khi đó

ABC

A BC '

1 2

Hình 2.4

Bài toán 3: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD bất kỳ có độ dài hai

đường chéo AC, BD lần lượt là c và d, AOB  . Tính diện tích tứ giác ABCD theo c,

d và .

- Phân tích tìm tòi cách giải quyết

090



AC BD .



AC BD .

.sin 90

Ta có thể sử dụng phương án suy luận logic hay xét trường hợp đặt biệt ( thì

ABCD

1 2

) để định hướng cách giải quyết vấn đề tương tự



cd  sin

ABCD

1 2

như bài toán 2 và tính được

Qua bài toán này, học sinh thấy rằng để mở rộng hay khái quát một bài toán đòi hỏi

người học sinh phải thấy được mối liên hệ giữa các bài toán không những về công cụ

giải mà còn nhìn thấy được cấu trúc của bài toán này là một bộ phận của bài toán khác,

kết quả của bài toán cần chứng minh suy ra từ bài toán đã biết hay trong quá trình giải

quyết bài toán 3, học sinh có thể biết nhìn nhận để có kiến thức của bài toán 2.

Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn có các cạnh AB=a,

BC=b, CD=c và DA=a. Tính diện tích tứ giác ABCD.

- Phân tích, tìm tòi cách giải quyết



(

s a s b s )(

)(



c s d )(



)

Với cách lập luận tương tự bài toán 3, diện tích tứ giác ABCD được tính thông qua

ABCD

các diện tích tam giác thành phần và đưa ra được .

Với bài toán trên, giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải thích tại sao tứ giác

ABCD đã biết độ dài các cạnh là a, b, c, d nhưng vẫn cần đến giả thiết nội tiếp trong

một đường tròn. Điều này giúp học sinh có thể hiểu sâu hơn về vấn đề: nếu chỉ biết độ

dài các cạnh thì tứ giác ABCD không được xác định duy nhất, do đó diện tích tứ giác

cũng không duy nhất và ta không xác định được công thức tính diện tích tứ giác. Do đó

khi giải bài toán học sinh sẽ chú ý sử dụng giả thiết tứ giác nội tiếp đường tròn.

Bây giờ ta sẽ sử dụng phương án đoán và thử một cách thông minh để có kết luận



(

s a s b s )(

)(



c s d )(



)

ABCD

công thức tính diện tích tứ giác ABCD là .

Giáo viên đưa ra tình huống để tạo cho học sinh nhu

cầu, hứng thú để tìm tòi cách giải quyết: “Nếu tam giác ABC

biết độ dài các cạnh là a, b, c thì diện tích tam giác là

O



p p a p b p c

)(



(

)

, vậy nếu tứ giác ABCD (nội tiếp

đường tròn) biết độ dài các cạnh là a, b, c, d thì công thức

tính diện tích là như thế nào? Hãy dự đoán và kiểm tra kết Hình 2.5 quả đã dự đoán”

Khi đó nhiều học sinh sẽ có suy nghĩ, dự đoán công thức tính diện tích tứ giác là



p p a p b p c p d )(

)(



(

)



   a b c d 2

với và xét trường hợp đặc biệt của

S 



tứ giác để kiểm tra kết quả, chẳng hạn: tứ giác ABCD là hình vuông cạnh bằng 4 thì

, tuy nhiên khi áp dụng công thức do chính các em vừa dự đoán thì



p p a p b p c p d )(

)(



(

)



32 2

. Điều đó có nghĩa là công thức mà các em dự

đoán là không chính xác.

Giáo viên tiếp tục gợi ý để học sinh có dự đoán đúng hơn: “Vậy liệu rằng ta có sử dụng

công thức Hêrông để dự đoán công thức tính diện tích tứ giác được hay không?”

Theo đó học sinh sẽ phân tích, suy luận được chỉ sử dụng công thức nếu tứ giác đó có

hình dạng gần như là một tam giác, có nghĩa là có 2 trong 4 đỉnh có vị trí rất gần nhau.

Điều đó dẫn học sinh đến việc giả sử các trường hợp sau:



 s s b s ( )(



c s d )(



)



a  , lúc đó

  b c d 2



+ với

b  , lúc đó



 s s a s ( )(



c s d )(



)

  a c d 2

+ với



 s s a s b s d (

)(



)

c  , lúc đó



  a b d 2



+ với

d  , lúc đó



 s s a s b s c (

)(



)

  a b c 2

+ với

a  thì trong công thức tính diện tích tứ giác có

s a

)

Qua cách giả sử trên, ta thấy rằng khi

a  thì thừa số



s a

  và s

chứa thừa số ( và công thức tính s có chứa a. Với trường hợp

a  ). Ta cũng suy luận tương tự cho các

  b c d 2

không chứa a (tức



cạnh b, c, d . Do đó khi tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a, b, c, d (khác 0) thì diện



(

s a s b s )(

)(



c s d )(



)

ABCD

   a b c d 2

tích của tứ giác đó là với .

Như vậy ta đã dự đoán được công thức tính diện tích tứ giác như trên, để kiểm chứng

tính đúng đắn của công thức đó ta có thể cho tứ giác ABCD là các tứ giác đặc biệt,

chẳng hạn như tứ giác ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, hình thang nội tiếp trong

một đường tròn với độ dài các cạnh cho trước.

1.2.1.2 Nhận dạng tam giác

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có a=4cm, b=3cm và c=6cm. Xác định hình dạng của

tam giác ABC.

- Phân tích tìm tòi cách giải

Sử dụng phương án xem xét các khả năng có thể xảy ra để giải quyết bài toán.

Hình dạng tam giác ABC có thể là tam giác cân, đều, vuông, nhọn hay tù. Giả thiết

của bài toán là a=4cm, b=3cm và c=6cm nên tam giác ABC không thể là tam giác cân,

đều hay tam giác vuông (học sinh tự kiểm chứng), do đó tam giác ABC chỉ có thể là

tam giác nhọn hay tam giác tù. Trong tam giác ABC cạnh c là cạnh lớn nhất nên góc C

0C  , suy ra tam giác ABC là tam giác tù.

là góc lớn nhất. Mà ta có cos

Qua đó, giáo viên có thể đặt câu hỏi giúp học sinh tìm thấy được mối liên hệ giữa hình

dạng tam giác với độ dài các cạnh: “Nếu chỉ dựa vào độ lớn 3 cạnh a, b, c và không

tính độ lớn các góc của tam giác thì ta có thể xác định được hình dạng của tam giác đó

không?”. Khi trả lời được câu hỏi, học sinh sẽ rút ra được mối liên hệ đó là:

bc 2





cos







cos

  c bc 2







cos

Định lý cosin 2  b cos

A nhọn  a2 < b2 + c2 A vuông  a2 = b2 + c2 A tù  a2 > b2 + c2

C  , xét hình dạng tam giác ABC.

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có cos .cos .cos

Đối với bài toán trên học sinh có thể phân tích bài toán và định hướng nhiều cách giải

khác nhau, có thể sử dụng phương án xem xét tất cả các khả năng có thể xảy ra.

Ngoài cách giải quyết bằng phương án xem xét các khả năng có thể xảy ra đã được

trình bày ở ví dụ 11 (mục 1.3.5). Bài toán có thể được giải quyết theo cách khác cũng

A A

B B

C C

 

 

cos cos

0; cos 0; cos

0 (1) 0 (2)

cos .cos .cos

0  

A A

B B

C C

 

 

 

cos cos

0; cos 0; cos

0; cos 0;cos

0 (3) 0 (4)

     



0;cos



0; cos

 suy ra A, B, C đều là

với phương án đó kết hợp với phương án suy luận logic.

Trường hợp (1) không thể xảy ra vì cos

góc tù (không thoả mãn điều kiện của một tam giác).

A 

090

0A  hay

Trường hợp (2), (3), (4) tương tự nhau nên ta chỉ cần xét một trường hợp, chẳng hạn

. Suy ra tam giác ABC là tam giác tù. trong trường hợp (2) có cos





Bài toán 3: Hãy nhận dạng tam giác ABC nếu các cạnh a, b, c của nó thoả mãn:





Học sinh không thể giải quyết ngay bài toán bằng tri thức đã có của mình mà đòi hỏi

học sinh có khả năng suy luận logic, biến đổi hệ thức đã cho nhằm đưa về hệ thức mà

các em đã biết

Để giúp học sinh có thể giải quyết bài toán trên, giáo viên đưa ra câu hỏi gợi ý: “Chỉ

dựa vào mối quan hệ giữa các cạnh của một tam giác, làm thế nào để xác định hình

dạng của tam giác đó?”. Với kiến thức đã có về nhận dạng tam giác theo độ dài các

cạnh như hệ thức ta vừa đưa ra ở trên, để nhận xét hình dạng tam giác học sinh sẽ tiến

hành các bước sau:

c

2 a 

2 c

2 a 

2 b

- Bước 1: So sánh độ dài các cạnh a, b, c với nhau để tìm góc lớn nhất.

2a với

2b với

2c với

- Bước 2: So sánh hay hay

a) Phân tích, tìm tòi cách giải





c

Sử dụng phương án suy luận logic

2a với

Giả thiết  a là cạnh lớn nhất  so sánh 

3a với



c



với kết hợp giả thiết  có thể so sánh  so sánh



  

3 b

Từ đó có cách giải quyết bài toán

   và a a b

c . Như vậy trong tam

và tương tự Ta có

giác ABC thoả mãn điều kiện trên có cạnh a là cạnh lớn nhất nên góc A (đối diện với

2a với

c

cạnh a) là góc lớn nhất. Ta sẽ so sánh







 b a c a .





Ta có (vì a>0). Vậy tam giác ABC là tam giác 

nhọn.

b) Với cách phân tích và cách giải tương tự câu a, học sinh có thể chứng minh được

tam giác thoả mãn hệ thức a4 = b4 + c4 là tam giác nhọn.

2a với

c



Ngoài ra bài toán cúng có thể được giải quyết theo cách khác bằng cách so sánh

b a

c a

  

  

  

  

0 ).

(a là cạnh lớn nhất của tam giác) thông qua việc so sánh tổng với



b a

  

  

  





1 (chia hai biểu thức với a







b a

c a

  

  

  

  



b a c a

     0 

c a

  

  

  

        

Giả thiết có hay , do đó













b a

c a

b a

c a

  

  

  

  

  

  

  

  

nên tam giác ABC nhọn. Suy ra 

Sau khi đã giải quyết bài toán với hai trường hợp như trên (biểu thức mà giả





thiết cho hoàn toàn tương tự nhau), học sinh sẽ tự đặt câu hỏi để khái quát bài toán:







 …hay a

“Nếu tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn điều kiện hay

  ) thì tam giác ABC là tam giác gì?”. Với

(

cách giải quyết như hai trường hợp trên, các em sẽ giải đáp được các câu hỏi do chính

bản thân minh đã đặt ra.

Một khi học sinh đã hình thành thói quen phát triển bài toán, luôn đặt câu hỏi tại sao,

làm thế nào... trong quá trình giải quyết bài toán thì học sinh sẽ có khả năng phát triển

tư duy toán, có thể phát hiện ra các bài toán mới từ một bài toán ban đầu.

ABC



A B C

Bài toán 4: Hãy xác định hình dạng của tam giác ABC có a, b, c là độ dài các cạnh của

2 c là độ dài các cạnh của

sao cho .

- Phân tích, tìm tòi cách giải

Học sinh có thể sử dụng phương án suy luận logic hay xét tất cả các khả năng có thể

xảy ra cho bài toán này.



A B C

 Sử dụng phương án suy luận logic

2 c là độ dài các cạnh của











Do nên ta có























0, cos

 , nên tam giác ABC là tam giác nhọn.

hay

0A  , cos

Suy ra cos

 Sử dụng phương án xét tất các các khả năng có thể xảy ra

Hình dạng của tam giác ABC có thể là vuông, tù, nhọn, cân, đều. Sau đó học sinh

sẽ giải quyết từng trường hợp và loại suy các trường hợp vuông, tù.

1.2.1.3 Tính giá trị các biểu thức hay chứng minh các hệ thức vectơ, hệ thức về

độ dài, về mối quan hệ giữa các yếu tố của một tam giác



tứ giác ABCD, có hay không điểm M sao cho





. Bài   MA MB MC MD  toán 1: Trong   0

- Phân tích, tìm tòi cách giải

Sử dụng phương án đoán và thử một cách thông minh

  IA IB

 0



, với G là trọng tâm tam giác ABC

   GA GB GC





thì nên dự đoán là có điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Dự đoán: với I là trung điểm của AB thì  0

Kiểm tra dự đoán: Nếu ABCD là các tứ giác đặc biệt như hình vuông, hình chữ nhật...

đều tồn tại điểm M. Từ đó có thể định hướng cách giải theo hai hướng trên: gọi I, J là

trung điểm của AB, CD hay gọi G là trọng tâm của tam giác ABC để tìm ra M.



   MA MB MC MD ME



 0



Theo cách trên, học sinh có thể suy nghĩ đặt câu hỏi cho bài toán: “Có tồn tại điểm M  hay không” và tiếp trong ngũ giác ABCDE thỏa mãn

tục cho lục giác hay cho đa giác n cạnh.

2  m n





)

Bài toán 2: Cho hình bình hành ABCD có AB=a, BC=b, BD=m và AC=n. Chứng

minh rằng

- Phân tích, tìm tòi cách giải

Sử dụng phương án xét trường hợp đặc biệt để

A

đưa về việc giải quyết bài toán tương tự đơn

B

giản hơn, từ đó định hướng cách giải cho bài

toán ban đầu

D

C

2  m a



;





2  m n





)

Xét trường hợp đặc biệt: hình bình hành ABCD Hình 2.6 là hình chữ nhật

Khi đó , suy ra







cos

A n ;







cos

 cos(



A )

 

cos

2  m n





)

Khi ABCD là hình bình bành, ta luôn có

với cos , do đó

Bài toán 3: Cho tam giác ABC có BC a , AC b , AB c và D là một điểm trên cạnh







amn

BC, đặt AD d , BD m , DC n . Chứng minh

- Phân tích, tìm tòi cách giải

Ta sẽ sử dụng phương án giải quyết vấn đề tương tự đơn giản hơn: Trường hợp AD là

đường cao của tam giác thì hệ thức trên được chứng minh như thế nào?

Khi đó học sinh sử dụng định lý pitago trong tam giác

A



2   n

mb md mn





vuông ADB và ADC như sau:

d



  



 nc md



 nd mn



2  nm ad



amn

suy ra (vì

B

m

D

n

C

m n







amn

  ) hay a

Hình 2.7

Theo cách đó, học sinh sẽ giải quyết được bài toán 3 bằng cách sử dụng định lý cosin.

Khi cho D là trung điểm của BC thì ta liên hệ với công thức đường trung tuyến đã biết.

Bài toán 4: Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O). Tìm trên đường

tròn điểm M để có tổng bình phương khoảng cách từ điểm đó đến ba đỉnh tam giác là

nhỏ nhất, lớn nhất.

Phân tích, tìm tòi cách giải

Đối với bài toán trên, ta cần suy luận biến đổi từ bình phương độ dài thành bình

phương vô hướng của vectơ và đưa về một số yếu tố cố định nào đó từ giả thiết để có

hướng giải quyết bài toán.

Với mọi điểm M thuộc đường tròn (O) và G là trọng tâm tam giác ABC ta có:

A

M2

G

O

H

M1

B

C

M





(





(

  MO OC 

)

T MA MB MC    MO OB  

26 R





)

  MO OA  ( )  )    ( MO OA OB OC    MO OG .

26 R





 OG 3



Hình 2.8



26 R



6 .

R OG

.cos



(

)



   OA OB OC      , MO OG

( vì )

 

Từ đó suy ra

 cos

 OG

 T nhỏ nhất

 cos

 1 MO         1 MO

 OG

 T lớn nhất

Với mỗi bài toán nếu ta thay đổi, thu hẹp hay mở rộng điều kiện bài toán thì kết quả thu

được sẽ như thế nào? Ví dụ trong bài toán trên, nếu ta thay đổi điều kiện của bài toán

“tam giác ABC không đều” thành “tam giác ABC đều” thì kết luận bài toán có gì thay

đổi?

Theo cách giải quyết trên, ta thấy rằng nếu tam giác ABC đều thì O chính là trọng tâm

MA MB MC





26 R

   OA OB OC



 0



của tam giác, khi đó suy ra .

Như vậy, ta đã phát hiện thêm một kiến thức mới và có thể phát biểu thành một bài

toán: “Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O, R) và một điểm M bất kỳ trên

đường tròn. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên đường tròn thì tổng bình

phương khoảng cách từ điểm đó đến ba đỉnh tam giác không thay đổi”.

1.2.2 Phương án giải quyết vấn đề trong dạy giải bài toán có nội dung thực tiễn

- Đối với các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn thì học sinh có thể làm quen và giải

quyết tốt thông qua các bước sau:

+ Chuyển các bài toán thực tiễn thành các bài toán toán học và chuyển đổi

ngôn ngữ hay các yếu tố thực tế sang các ngôn ngữ, kí hiệu toán học.

+ Giải bài toán toán học

+ Từ đó học sinh trả lời cho bài toán thực tế từ bài toán toán học đã giải

quyết.

1.2.2.1 Ứng dụng thực tế của chủ đề.

- Dạy học toán không chỉ đơn thuần là dạy học các tri thức toán học thuần túy mà

còn dạy cách vận dụng các tri thức này vào việc giải quyết các vấn đề của thực tiễn, từ

đó hình thành và phát triển ở học sinh thói quen và khả năng vận dụng toán học vào

thực tiễn.

- Những bài toán có nội dung thực tiễn có thể sử dụng trong giảng dạy ở chủ đề

này thường không khó khăn và phức tạp đối với học sinh để tìm ra cách giải quyết.

Điều quan là phải biết đọc, hiểu bài toán và vẽ hình minh họa thể hiện rõ các yếu tố

của bài toán đó.

Bài toán 1: Trong một tiết mục xiếc đu dây. Hai nghệ sĩ xiếc đu trên 2 sợi dây (không

giãn) có chiều dài lần lượt là 4,5m và 3,5m. Chiều dài khi hai nghệ sĩ đu trên dây tính

từ đầu gối đều bằng 1,5m. Trong trường hợp hai nghệ sĩ đó

bắt được tay nhau thì sẽ tạo được góc có số đo bao nhiêu,

biết hai sợi dây đu cố định cách nhau 8m (xem hình vẽ bên)

- Phân tích, tìm hướng giải

Chuyển sang bài toán toán học:

Hình 2.9a + Vẽ hình minh hoạ: Khi hai nghệ sĩ bắt được tay

8m

nhau thì tạo nên 1 tam giác (hình 2.6b)

A

+ Chuyển tất cả các giả thiết bài toán trong thực

3,5m

4,5m

6m

5m

tiễn sang ngôn ngữ, kí hiệu toán: AC=6m,

C

1,5m

BC=5cm (tính cả chiều cao người nghệ sĩ), yêu cầu

1,5m

Hình 2.9b của bài toán là tính độ lớn ACB

Khi đó ta đã đưa bài toán về giải tam giác: tìm độ lớn của góc trong tam giác

Mặc dù đây là một bài toán có cách giải quyết khá đơn giản nhưng cũng là một ví dụ

bước đầu cho học sinh làm quen với các ứng dụng thực tiễn của chủ đề này.

Bài toán 2: Hai bạn A và B học chung một lớp, vị

trí nhà bạn A, bạn B và trường học được cho như

Nha A

hình vẽ. Biết nhà bạn B cách điểm giao nhau là 4km

Truong

và cách trường học 9km; nhà bạn A cách điểm giao

nhau 6km. Đường đi từ điểm giao nhau đến nhà bạn A và bạn B tạo với nhau góc 600 (h.vẽ). Nhà bạn A

600

Nha B

Diem giao nh au

cách nhà bạn B bao nhiêu km và cách trường học

bao nhiêu km? Hình 2.10a

- Phân tích, tìm hướng giải

Chuyển sang bài toán toán học:

A

+ Vẽ hình minh hoạ (hình 2.6b)

+ Chuyển tất cả các giả thiết của bài toán trong

600

thực tiễn sang ngôn ngữ, kí hiệu toán: BO=4km,

O

B

C

BC=9km và AO=6km, yêu cầu của bài toán là tính Hình 2.10b độ dài cạnh AB và AC.

Khi đó ta đã đưa bài toán về việc ứng dụng định lý cosin để tính độ dài cạnh của tam

giác.

Bài toán 3: Một sân bóng thiếu niên có kích thước là 25m x 42m, khoảng cách giữa hai

cột cầu môn là 3m (cách đều hai đường biên dọc). Một quả bóng được đặt ở điểm cách

biên dọc 3m và biên ngang 6m. Hỏi góc sút (góc từ điểm sút nhìn hai chân cột cầu

môn) bằng bao nhiêu độ, biết bóng và cầu môn ở cùng một nửa sân.

- Phân tích, tìm hướng giải

Chuyển sang bài toán toán học:

+ Vẽ hình minh hoạ: xác định đúng biên ngang, biên dọc (hình 2.6b)

+ Chuyển tất cả các giả thiết của bài toán trong thực tiễn sang ngôn ngữ, kí hiệu

toán: AK=3m, AH=6m và BC=3m, yêu cầu của bài toán là tính độ lớn ACB

Học sinh sẽ tiến hành phân tích đi lên để giải quyết bài

toán sau khi đã vẽ được hình minh hoạ và chuyển sang bài

toán toán học.

Độ lớn góc A được tính thông qua cosA hay sinA 

sử dụng định lý cosin hoặc định lý sin trong tam giác

25m











157

ABC  tìm các yếu tố chưa biết của tam giác ABC

; . Hình 2.11 Bài tập 4: Cho ba bánh răng có tâm A, B, C được sắp xếp như

hình vẽ có bán kính lần lượt là 1,6cm, 1cm và 2cm; góc

1,4 cm

A

 045 BAC 

. Tính khoảng cách giữa tâm bánh răng A với bánh

450

răng C và độ lớn góc  (giả sử độ lớn các răng cưa của bánh

B 1cm

răng là không đáng kể).

2 cm

C

- Phân tích, tìm hướng giải

Chuyển bài toán thực tế về bài toán toán học để đưa về giải tam

giác ABC, những yếu tố nào của tam giác tam giác đã biết, Hình 2.12

những yếu tố nào chưa biết và cách tính là như thế nào?

Bài toán 5: Một chiếc thuyền buồm đi song song với bờ

biển và nhìn ngọn hải đăng dưới một góc 300 so với

hướng đi của con thuyền. Sau khi thuyền đi xa hơn được

3,5km, góc đã tăng lên đến 55°. Tại thời điểm đó,

khoảng cách từ con thuyền đến ngọn hải đăng là bao

Hình 2.13 nhiêu?

- Phân tích, tìm hướng giải

Giả sử ở vị trí A thuyền nhìn ngọn hải đăng dưới một góc 300, sau khi đi xa hơn được

3,5 km thuyền có vị trí B và ngọn hải đăng được đặt ở vị trí C. Khi đó ta đưa bài toán

về việc giải tam giác ABC.

1.2.2.2 Vai trò của các ứng dụng thực tế của chủ đề này trong dạy học.

- Sử dụng các ứng dụng thực tế của chủ đề vào dạy học giúp học sinh thấy được ý

nghĩa thực tiễn của toán học:

o Có nhiều tri thức toán học được nảy sinh từ thực tiễn.

o Là công cụ hay phương tiện để giải quyết các vấn đề của thực tiễn.

- Việc cho học sinh thấy được ứng dụng thực tế của các nội dung bài học có trong

chương trình sẽ tạo được hứng thú học tập, tìm hiểu, đào sâu và mở rộng kiến

thức của các em. Đồng thời giúp học sinh phát triển tư duy toán học và hơn nữa

học sinh có thể tìm tòi được các ứng dụng thực tế mới gần gũi với chính các em.

Điều đó sẽ làm cho nội dung bài học có tính thuyết phục và giúp nâng cao hiệu

quả của việc dạy và học toán.

- Giúp học sinh phát triển khả năng sáng tạo, tự tin ở năng lực của mình, hứng thú

với học tập và chiếm lĩnh tri thức khoa học.

2. Thiết kế kế hoạch bài học theo định hướng GQVĐ để nâng cao hiệu quả

dạy và học

2.1 Cấu trúc khung của kế hoạch dạy học theo định hướng GQVĐ

Một bản kế hoạch dạy học theo định hướng GQVĐ phải bao gồm tối thiểu các tiểu

mục sau đây:

- Mục tiêu: là các yêu cầu về kiến thức, kĩ năng, tư duy và thái độ,. Việc xác định

mục tiêu của mỗi bài học phải căn cứ vào chuẩn kiến thức - kĩ năng, của chương trình

giáo dục

- Phương pháp, phương tiện: Giáo viên có thể phối hợp phương pháp GQVĐ với

phương pháp gợi mở-vấn đáp, phương pháp trực quan, ...để có thể giúp học sinh phát

huy được khả năng GQVĐ của mình,. Trên cơ sở đó, xác định các phương tiện dạy học

hợp lý cho giáo viên như, giáo án (giáo án điện tử), phiếu học tập, bảng phụ, một số đồ

dùng dạy học cần thiết;..

- Tiến trình bài học:

+ Hình thức dạy học: Tùy thuộc vào nội dung dạy học cụ thể, và trình độ nhận

thức của học sinh từng lớp mà lựa chọn hình thức dạy học phù hợp trong các hình thức

đã nêu ở mục 1.3.4 chương I.

+ Quá trình dạy học: dạy học theo định hướng GQVĐ được thực hiện qua 4

bước đã được trình bày ở chương I: Phát hiện và thâm nhập vấn đề, tìm cách giải quyết

vấn đề, trình bày cách giải quyết vấn đề và nghiên cứu sâu cách giải quyết vấn đề.

Trong đó đặc biệt chú ý đến hoạt động phân tích, sử dụng các phương án để giải quyết

vấn đề.

2.2 Một số điểm lưu ý khi thiết kế kế hoạch bài học theo định hướng GQVĐ

- Những nội dung nào có thể sử dụng các phương án GQVĐ thì cần được khai

thác một cách hợp lý: những nội dung đó có thể là một khái niệm, một tính chất,

một định lý hay một bài tập.

- Trong các hoạt động hướng dẫn HS tìm cách giải quyết vấn đề hoặc tìm lời giải

bài tập cần chú trọng về tri thức phương pháp và các bước phân tích, giúp các

em tích luỹ thêm về kiến thức, kinh nghiệm và hình thành khả năng tự giải

quyết vấn đề.

- Phải tạo cơ hội cho học sinh hoạt động, thảo luận và tương tác với nhau. Đồng

thời GV phải tôn trọng các ý kiến, cách phân tích của học sinh cho dù nó không

đi đến kết quả cần tìm.

- Có thể sử dụng phương tiện dạy học như là một công cụ hữu ích để khai thác sử

dụng các phương án GQVĐ, giúp GV tổ chức và điều khiển hoạt động nhận

thức của HS, từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.

- Trong quá trình dạy khái niệm, định nghĩa hay dạy định lý, tính chất, giáo viên

nên tạo ra các tình huống có vấn đề để giúp học sinh chủ động phát hiện, tìm

cách giải quyết và đi đến nội dung cần học.

2.3 Một số thiết kế kế hoạch bài học có sử dụng các phương án GQVĐ

2.3.1 Kế hoạch bài học 1: Định lý cosin

I. Mục tiêu

1. Về kiến thức

- Hiểu định lý cosin trong một tam giác.

- Biết một số trường hợp giải tam giác.

2. Về kĩ năng

- Áp dụng được định lý cosin để giải một số bài toán có liên quan đến tam giác.

- Biết vận dụng định lý vào các bài toán có nội dung thực tiễn.

3. Về tư duy

- Phát triển tư duy logic, tính có hệ thống.

4. Về thái độ

- Tự giác, tích cực và chủ động trong học tập.

- Cẩn thận, chính xác giải toán.

II. Chuẩn bị phương tiện dạy học:

- Giáo viên: Chuẩn bị giáo án, bảng phụ và phiếu học tập

- Học sinh: Đã học tích vô hướng của hai vectơ

III. Phương pháp dạy học

- Sử dụng phương pháp GQVĐ, hoạt động nhóm và phương pháp gợi mở, vấn đáp.

IV. Tiến trình dạy học

- Chia lớp thành 4 nhóm để thực hiện các nhiệm vụ được giao từ giáo viên.

- Giáo viên hợp tác với học sinh để giải quyết các vấn đề được đặt ra.

- Sử dụng hình thức người học hợp tác PH và GQVĐ như sau:

Hoạt động 1: Phát hiện định lý cosin

A thì độ dài cạnh BC có tính được hay không?” để học sinh bắt đầu hình thành suy

GV đưa ra vấn đề: “Nếu tam giác ABC biết độ dài cạnh AB=c, AC=b và độ lớn góc

nghĩ, tìm tòi cách giải quyết vấn đề.

Hoạt động 2: Tìm cách giải quyết vấn đề

Để giải quyết được vấn đề trên, ta sẽ sử dụng phương án xem xét trường hợp đặc biệt,

đó là xét tam giác ABC là tam giác vuông hoặc tam giác cân.

Giao nhiệm vụ cho 4 nhóm: nhóm 1, 3 làm tình huống 1, nhóm 2, 4 làm tình huống 2

A 

090

Tình huống 1: “Tính được hay không độ dài cạnh BC của tam giác ABC khi biết độ dài

cạnh AB=c, AC=b và  ? Chỉ ra hệ thức và chứng minh bằng công cụ vectơ nếu

có”

A 

120

Tình huống 2: “Tính được hay không độ dài cạnh BC của tam giác ABC cân tại A khi

biết độ dài cạnh AB=c và  ?”

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

- Học sinh hoạt động nhóm Yêu cầu học sinh hoạt động nhóm để giải

- Nhóm 1, 3: (tình huống 1) quyết được tình huống đưa ra.





H1: Mối quan hệ giữa bình phương độ .



 AC 2AB.AC AB







BC AB AC    2 (AC AB)  BC    2  2

 AC AB AC AB





    nên AB.AC 0

dài với vectơ là gì? (tình huống 1)

BAH

BAC



) (Vì AB AC - Với kiến thức đã có, để tính độ dài cạnh - Nhóm 2, 4: (Tình huống 2) Tạo tam giác của tam giác ta liên hệ đến công thức nào vuông bằng cách dựng đường cao AH. và phải làm gì để có thể sử dụng nó? (tình

1 2

Khi đó   0  60 huống 2)



.sin 60



Suy ra H2: Sau khi đã thảo luận, kết luận của hai - Học sinh kết luận là tính được cạnh BC nhóm là gì? trong cả hai trường hợp.

Tình huống 3: Trong trường hợp tam giác ABC là tam giác vuông hoặc cân, có độ dài

cạnh AB=c, AC=b và độ lớn A thì ta có thể tính được độ dài cạnh BC. “Vậy nếu ABC

là tam giác bất kỳ biết độ dài cạnh AB=c, AC=b và độ lớn A thì có thể tính được độ

dài cạnh BC không” (cả 4 nhóm cùng thực hiện)

Với tình huống trên, mỗi nhóm có thể phân tích và giải quyết theo định hướng của

mình. Chẳng hạn:

- Các nhóm giải quyết tình huống 1: có thể kiểm tra theo các đẳng thức vectơ.

- Các nhóm giải quyết tình huống 2: có thể kiểm tra bằng cách dựng đường cao,

tuy nhiên, các em phải suy luận, có biến đổi so với tình huống 1 (đường cao không xuất

phát từ đỉnh A mà từ một trong 2 đỉnh còn lại).

Hoạt động 3: Trình bày cách giải quyết vấn đề

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

090  

  . AB AC



H3: Trong tam giác ABC bất kỳ, có Nhóm1, 3:  A

thể tính cạnh BC qua AB=c, AC=b và



 



 2 BC











   2 (AC AB) AC 2AB.AC AB  2

2  2

góc A hay không? Nếu được thì cách





AC AB 2AB.AC cos A  Suy ra

AC AB 2AB.AC cos A







tính là như thế nào?

H4: Với giả thiết cho tam giác ABC Nhóm 2, 4: Không thể dựng đường cao từ A,

bất kỳ thì sẽ có gì thay đổi trong quá mà dựng đường cao BH.





BH c



sin ; A

A H c



cos

 HC AC HA b c

 



cos

trình giải so với khi tam giác ABC Khi đó vuông hay cân? Trong tam giác vuông BHA có

. Suy ra



sin



A )

 2

 2

 A b c ( 2

cos 2

BH 2 c sin

bc 2

cos



cos



A b 





cos







)  A b

2 bc

2 c (sin 2 2

Do đó







bc 2

cos

Kết quả học sinh vừa có được chính là







bc 2

cos

nội dung đinh lý cosin Vậy .

Nội dung định lý: Trong tam giác ABC bất kỳ

H5: Hãy phát biểu nội dung định lý với BC=a, AC=b, AB=c ta có







bc 2

cos

cosin trong tam giác ABC có AB=c,

cos













cos

AC=b và BC=a.

Hoạt động 4: Nghiên cứu sâu cách giải quyết vấn đề

Sau khi đã biết nội dung định lý cosin, giáo viên phát phiếu học tập để học sinh củng

cố nội dung định lý, biết vận dụng định lý vào giải tam giác và thấy được ứng dụng

trong thực tiễn.

Phiếu học tập số 1

Để tính khoảng cách từ A đến B (không đo trực tiếp được vì phải qua đầm lầy) người ta

ACB 

xác định một điểm C mà từ đó có thể nhìn thấy điểm A và B. Người ta dùng máy đo được

khoảng cách BC=160m, CA=210m và  050 . Hãy tính khoảng cách từ A đến B.

Học sinh nên vẽ hình để xem xét vị trí giữa các cạnh và góc của tam giác

2 AB AC BC 2AC.BD. cos C









210 - 2.160.210.cos 50

 160 

26504, 7

AB 

162,8

Giải Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có

Suy ra m

Khai thác một số khía cạnh, tính chất khác của tam giác được suy ra từ định lý.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Theo định lý cosin, một tam giác nếu

biết độ dài hai cạnh b, c và góc A xen

giữa chúng thì ta tính được cạnh a.

- Trả lời câu hỏi gợi ý 6: Tính được góc A H6: Vậy nếu một tam giác biết độ dài 3





2 2 

cos

cạnh là a, b, c thì ta có tính được độ lớn Theo định lý cosin có

cos



  c bc 2

góc A không? Suy ra

- Trả lời câu hỏi gợi ý 7: H7: Xác định công thức cho các góc

cos



; cos



  c ac 2

  b ab 2

còn lại

- Trả lời câu hỏi gợi ý 8:

* Sử dụng định lý cosin: H8: Khi bài toán yêu cầu tính các yếu tố

- Giả thiết cho độ dài 2 cạnh và một góc xen của tam giác, với điều kiện nào của giả

giữa chúng (để tính độ dài cạnh còn lại) thiết bài toán cho phép sử dụng định lý

- Cho độ dài 3 cạnh a, b, c (tính độ lớn các góc). cosin?

2.3.2 Kế hoạch bài học 2: Định lý sin

I. Mục tiêu

1. Kiến thức

- Hiểu định lý sin, công thức về tính diện tích tam giác được suy ra từ định lý sin.

- Biết một số trường hợp giải tam giác.

1. Kỹ năng

- Áp dụng được định lý sin để giải một số bài toán có liên quan đến tam giác.

- Biết giải tam giác trong một số trường hợp đơn giản. Biết vận dụng kiến thức

giải tam giác vào các bài toán có nội dung thực tiễn.

2. Tư duy

- Phát triển tư duy logic, tính có hệ thống.

3. Thái độ

- Tự giác, tích cực và chủ động trong học tập.

- Cẩn thận, chính xác trong tính toán.

II. Chuẩn bị phương tiện dạy học:

- Giáo viên: Chuẩn bị giáo án, bảng phụ và phiếu học tập

- Học sinh: đã học tích vô hướng của hai vectơ

III. Phương pháp thực hiện

- Sử dụng phương pháp GQVĐ, hoạt động nhóm và phương pháp gợi mở, vấn

đáp.

IV. Tiến trình dạy học

- Chia lớp thành 4 nhóm để thực hiện các nhiệm vụ được giao từ giáo viên.

- Giáo viên hợp tác với học sinh để giải quyết các vấn đề được đặt ra.

Hoạt động 1: Phát hiện định lý sin

Đưa ra vấn đề: “Nếu tam giác ABC biết độ dài cạnh AB=c, độ lớn góc C và A thì độ

dài cạnh BC có tính được hay không?” để học sinh bắt đầu hình thành suy nghĩ, tìm tòi

cách giải quyết vấn đề.

Hoạt động 2: Tìm cách giải quyết vấn đề

Để giải quyết được vấn đề trên, ta sẽ sử dụng phương án xem xét trường hợp đặc biệt:

tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

Khi đó giáo viên sẽ giao nhiệm vụ cho 4 nhóm: nhóm 1,3 làm tình huống1, nhóm 2, 4

làm tình huống2

A 

090

Tình huống 1: “Tính được hay không độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại

tiếp của tam giác ABC khi biết độ dài cạnh AB=c, độ lớn góc C và  ?”

A 

090

Tình huống 2: “Tính được hay không độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại

tiếp của tam giác ABC khi biết độ dài cạnh AC=b, độ lớn góc B và  ?”

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

- Học sinh hoạt động nhóm (nhóm 1,3 làm Yêu cầu học sinh hoạt động nhóm để giải

tình huống1, nhóm 2, 4 làm tình huống2) quyết được tình huống đưa ra.

- Trả lời câu hỏi 1: Tâm đường tròn là H1: Xác định tâm của đường tròn ngoại



trung điểm cạnh BC. tiếp tam giác vuông?

c sin

- Nhóm 1, 3: và bán kính



BC 2

c 2sin

đường tròn ngoại tiếp tam giác là



b sin

- Nhóm 2, 4: và bán kính



đường tròn ngoại tiếp tam giác là - Yêu cầu cả hai nhóm treo kết quả lên

BC 2

b 2sin

bảng

- Trả lời câu hỏi 2: học sinh rút ra nhận xét

 R BC



b sin

c sin

H2: So sánh kết quả, có nhận xét gì về

mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong

Theo đó, học sinh sẽ liên hệ ngay với tam giác ABC vuông tại A.

a sin

và kiểm tra được a= BC, sinA=1.



a sin

b sin

c sin



Cuối cùng là đưa ra mối qua hệ

a sin

b sin

c sin

Tình huống 3: “Như vậy trong tam giác ABC vuông có , vậy

trong tam giác ABC bất kỳ hệ thức trên còn đúng hay không (với R là bán kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC)?” (cả 4 nhóm cùng thực hiện)

Giáo viên hướng dẫn với tam giác ABC nhọn, trường hợp tam giác ABC tù thì học sinh

tự kiểm chứng như là bài tập về nhà.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Học sinh sẽ kiểm chứng từng hệ thức,



c sin



(với trong đó có kiểm chứng 2

c R 2

. c=AB) hay sin

A

C'

O

C

B

c R 2

H3: Kiểm chứng từng vế xem hệ thức trên Khi đó học sinh kiểm tra tỉ số so với

có đúng không? sinC



C sin '

c R 2

- Một số gợi ý cho học sinh khi cần thiết. Quan sát hình vẽ có , từ đó so





sin

 ?

c sin

+ 2 . sánh và đi đến kiến thức đã có  ' C C

- Các hệ thức còn lại kiểm chứng tương + Dựng đường kính sao cho có thể tính được

c R 2

tự. tỉ số - Kết quả của tình huống đó là trong tam



a sin

b sin

c sin

giác ABC bất kỳ ta cũng có hệ thức

- Kết quả đó chính là nội dung định lý sin

trong tam giác.

- Trả lời câu hỏi 4: Trong tam giác ABC H4: Phát biểu thành lời định lý trên

bất kỳ, tỉ số giữa các cạnh và sin góc đối (để học sinh thấy được vị trí của cạnh và góc)

diện tương ứng bằng nhau và cùng bằng 2

lần bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

giác.

Hoạt động 3: Nghiên cứu sâu cách giải quyết vấn đề

Giáo viên phát phiếu học tập để học sinh củng cố nội dung định lý, biết vận dụng định

lý, sử dụng từng đẳng thức có trong định lý vào giải tam giác và thấy được ứng dụng

trong thực tiễn.

Phiếu học tập số 1

A 

060

B 

080

Cho tam giác ABC có a=6cm,  và  . Tính độ dài cạnh b, c

GV: Ta có thể sử dụng công thức nào để tính cạnh của tam giác? Với giải thiết bài toán

như thế nào thì cho phép ta sử dụng định lý cosin?

HS: Giả thiết cho độ dài 2 cạnh và góc xen giữa hoặc biết độ dài 3 cạnh.

Như vậy, học sinh sẽ vận dụng từng đẳng thức trong định lý sin để tính độ dài cạnh.



180



(

   A B

)



Giải Ta có  C



b  



6,82

a sin

b sin

a sin sin

B A

6sin 80 0 sin 60



  c



4, 45

a sin

c sin

a sin sin

C A

6sin 40 0 sin 60

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có

GV: Như vậy với điều kiện nào của giả thiết bài toán cho phép sử dụng định lý sin?

HS: Sử dụng định lý sin

- Biết độ dài hai cạnh và một góc đối diện với một cạnh, ví dụ biết a, b, A.

- Biết độ dài một cạnh và 2 góc, ví dụ biết c, A, B

Phiếu học tập số 2

Một chiếc thuyền buồm đi song song với bờ biển và nhìn ngọn hải đăng dưới một góc 300 so với hướng đi

của con thuyền. Sau khi thuyền đi xa hơn được 3,5km,

góc đã tăng lên đến 55°. Tại thời điểm đó, khoảng cách

Phân tích

từ con thuyền đến ngọn hải đăng là bao nhiêu?

Giả sử ở vị trí A thuyền nhìn ngọn hải đăng dưới một góc 300, sau khi đi xa hơn được

3,5 km thuyền có vị trí B và ngọn hải đăng được đặt ở vị trí C. Khi đó ta đưa bài toán

về việc giải tam giác ABC.

Với các yếu tố đã cho của bài toán, ta sẽ áp dụng công thức của định lý nào?

Giải

C

C 





  BC





4,14

BC A sin

AB C sin

.sin C

sin

3,5.sin 30 0 sin 25

. Khi đó Trong tam giác ABC có 

Vậy tại thời điểm đó, khoảng cách từ con thuyền đến

550

300 A

B

BC 

4,14

km. ngọn hải đăng là

3,5km

Củng cố toàn bài

- Nhắc lại nội dung định lý sin, liên hệ với các kiến thức khác trong bài học

- Định lý sin được sử dụng để tính độ dài cạnh hay độ lớn các góc của tam giác.

2.3.3 Kế hoạch bài học 3: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

(có hướng dẫn học sinh sử dụng phương án GQVĐ và giải bài tập)

I.Mục tiêu

1. Kiến thức

- Hiểu tích vô hướng của hai véctơ, hiểu định lý sin, định lý cosin, các công thức

tính diện tích tam giác.

2. Kĩ năng

- Vận dụng định lý sin, cosin và các hệ quả có liên quan đến tam giác vào giải

toán.

- Biết vận dụng kiến thức giải tam giác vào các bài toán có nội dung gắn liền với

thực tiễn.

3. Tư duy

- Phân tích được bài toán bằng các phương án giải quyết vấn đề

- Phát triển tư duy logic, tính có hệ thống.

4. Về thái độ

- Tự giác, tích cực học tập.

- Cẩn thận, chính xác.

II. Chuẩn bị phương tiện dạy học:

- Giáo viên: Chuẩn bị giáo án, bảng phụ và phiếu học tập

- Học sinh: đã học tích vô hướng của hai vectơ và các hệ thức lượng trong tam giác.

III. Phương pháp thực hiện

- Sử dụng phương pháp GQVĐ và phương pháp gợi mở, vấn đáp.

IV.Tiến trình bài dạy:

- Học sinh đã học các nội dung của chương tích vô hướng của hai vectơ và ứng

dụng, bây giờ sẽ làm các bài tập cho phần này.

- GV phân lớp thành 8 nhóm, phát phiếu học tập cho tất cả các nhóm (có 2 nhóm

sẽ làm chung một vấn đề). Giáo viên đánh số thứ tự nhóm trùng với bài toán mà nhóm

đó làm (ví dụ nhóm 1, 4 làm phiếu học tập số 1...)

- Cho các nhóm thời gian 8’ để làm các bài toán, trong đó 3’ đầu các học sinh làm

việc cá nhân trình bày suy nghĩ và hướng giải quyết vào giấy, 5’ còn lại dành thời gian

cho việc thảo luận vào trình bày vào bảng phụ.

- Yêu cầu đại diện nhóm lên treo bảng phụ (mỗi lần 2 nhóm có cùng vấn đề) và

đứng tại vị trí trình bày cách phân tích của mình, cả lớp theo dõi thảo luận và nhận xét.

Cuối cùng là giáo viên hướng dẫn, hợp tác với học sinh về các phương án GQVĐ

(trong khoảng thời gian còn lại).

Cho tam giác ABC có a=4cm, b=3cm và c=6cm. Nhận xét về hình dạng của tam giác ABC.

Phiếu học tập số 1

- Tìm cách giải quyết vấn đề và trình bày cách giải quyết vấn đề

- Sử dụng phương án xem xét tất cả các khả năng có thể xảy ra

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

- Sau khi nhận phiếu học tập, các học sinh Quan sát học sinh phân tích, thảo luận và

tự phân tích, sau đó thảo luận nhóm trong gợi ý khi thấy cần thiết

8’ phút.

- Trả lời câu hỏi gợi ý 1: Hình dạng của H1: Tam giác ABC có thể có hình dạng

tam giác ABC có thể là tam giác tù, vuông, nào?

nhọn, cân hay tam giác đều

- Trả lời câu hỏi gợi ý 2: So sánh độ dài các H2: Làm thế nào để xác định được tam

cạnh của tam giác ABC thấy rằng tam giác giác ABC là tam giác tù, vuông, nhọn,

ABC không thể là tam giác vuông, cân hay cân hay đều?

đều mà chỉ có thể là tam giác nhọn hay tù.

Do đó ta tính độ lớn các góc để kết luận

hình dạng tam giác

cos



  

 A

  c bc 2

29 36



  

 B

cos

  c ac 2

43 48

   

 C



117

cos

  b ab 2

11 24

Sau khi theo dõi học sinh trình bày có sự

trao đổi giữa các nhóm, giáo viên cùng

Suy ra tam giác ABC là tam giác tù

học sinh hoàn chỉnh lời giải.

Cho học sinh biết rằng cách được dùng

trên được gọi là phương pháp liệt kê các

trường hợp có thể xảy ra của bài toán.

- Nghiên cứu sâu cách giải quyết vấn đề

Từ bài toán đó, giáo viên giúp học sinh có phương pháp để có thể giải quyết nhanh các

bài toán có nội dung tương tự:

“Nếu chỉ dựa vào độ lớn 3 cạnh a, b, c và không tính cosin các góc của tam

giác thì ta có thể xác định được hình dạng của tam giác đó không?”

“Xác định các bước giải quyết bài toán xác định hình dạng của tam giác khi

biết độ dài 3 cạnh.”

Khi đó học sinh sẽ xác định các bước giải quyết bài toán nhận dạng tam giác khi biết

độ dài 3 cạnh:

- So sánh độ dài các cạnh a, b, c để xác định xem có phải là tam giác vuông, cân, đều

hay không, đồng thời xác định được cạnh lớn nhất.





c

- Giả sử a là cạnh lớn nhất, ta xét dấu tổng hay so sánh tổng với

Phiếu học tập số 2

Một sân bóng thiếu niên có kích thước là 25m x 42m, khoảng cách giữa hai cột cầu

môn là 3m (cách đều hai đường biên dọc). Một quả bóng được đặt ở điểm cách biên

dọc 3m và biên ngang 6m. Hỏi góc sút (góc từ điểm sút nhìn hai chân cột cầu môn)

bằng bao nhiêu độ, biết bóng và cầu môn ở cùng một nửa sân.

- Tìm cách giải quyết vấn đề và trình bày cách giải quyết vấn đề

- Sử dụng phương án suy luận logic

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

- Sau khi nhận phiếu học tập, các học sinh Quan sát học sinh phân tích, thảo luận và

tự phân tích, sau đó thảo luận nhóm trong gợi ý khi thấy cần thiết, có thể sử dụng

10 phút. phân tích đi lên

- Trả lời câu hỏi gợi ý 1: Vẽ hình minh họa H1: Để giải được bài toán trên, trước tiên

cho bài toán. ta cần phải làm gì?

- Yêu cầu học sinh xác định rõ biên

ngang, biên dọc của sân bóng khi vẽ

25m

hình.

thực hiện giải tam giác ABC để tìm ra độ

- Trả lời câu hỏi gợi ý 2: Góc sút là BAC ,



(25 3) : 2 11,





HB MB HB





 8

Suy ra











157

Vậy

cos



 2

AC  AB AC .

62 5 157

H2: Bằng cách nào ta có thể tính được độ lớn của góc sút. lớn góc sút?

Hay  08 16 ' BAC 

Lưu ý học sinh phải kết luận cho bài toán

* Học sinh cũng có thể tính BAC như sau:

thực tế.

   BAC HAC HAB





Sau khi trao đổi giữa các nhóm, giáo

viên cùng với học sinh hoàn chỉnh lời

Giáo viên cần cho học sinh nêu các bước cần thiết để giải một bài toán có nội dung

giải.

thực tế:

o Chuyển các bài toán thực tế thành các bài toán toán học và chuyển đổi ngôn

ngữ hay các yếu tố thực tế sang các ngôn ngữ, kí hiệu toán học.

o Vẽ hình minh họa, ghi rõ các yếu tố lên hình vẽ.

o Giải bài toán toán học

o Từ đó học sinh trả lời cho bài toán thực tế từ bài toán toán học đã giải quyết.

Cho tam giác ABC có cạnh BC=a, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho AD=d và ADB  .

Nêu cách tính diện tích tam giác ABC.

Phiếu học tập số 3

- Tìm cách giải quyết vấn đề và trình bày cách giải quyết vấn đề

- Sử dụng phương án giải quyết vấn đề theo một cách khác

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Quan sát học sinh phân tích, thảo luận và - Sau khi nhận phiếu học tập, các học sinh

gợi ý khi thấy cần thiết tự phân tích, sau đó thảo luận nhóm trong

10 phút.

H1: Công thức tính diện tích tam giác đã - Trả lời câu hỏi gợi ý 1: Học sinh có thể

học? liệt kê các công thức đó.

H2: Giả thiết đã cho được dùng để tính - Trả lời câu hỏi gợi ý 2:

A

yếu tố nào trong công thức tính diện tích



mà các em sử dụng?

C

B

H

D



AH BC .

Ta có

ABCS

1 2

Mặt khác trong tam giác vuông AHD ta có

Sau khi theo dõi học sinh trình bày có sự

AH AD 

.sin



trao đổi giữa các nhóm, giáo viên cùng



BC AD .

sin





sin

Suy ra



ABCS

1 2

học sinh hoàn chỉnh lời giải

Sau khi giải sau bài toán, giáo viên bước đầu hình thành cho học sinh thói quen nhìn

nhận lại bài toán, tìm kiếm lời giải khác cho một bài toán. Ngoài phương pháp giải nêu

trên, học sinh có thể giải theo các phương pháp khác như:

Tính diện tích tam giác ABC thông qua diện tích của các tam giác thành phần

.sin

.sin(180







. AD BD





. AD CD



) 

ABC

ABD

ACD

1 2



AD BD .

.sin





AD CD .

.sin





 .sin .(

 BD CD

)



AD BC .

.sin

1 2

Hay là diện tích được tính theo phương pháp: Tạo một tam



A'

A

giác mới bằng hay có diện tích bằng tam giác đã cho nhưng

các yếu tố cần thiết đã có.

Từ C dựng CA’ song song và bằng DA như hình vẽ.



B

C

Khi đó



cd  sin

ABC

A BC '

D

1 2

Phiếu học tập số 4

2  m n





)

Cho hình bình hành ABCD có AB=a, BC=b, BD=m và AC=n. Chứng minh rằng

Sử dụng phương án xét trường hợp đặc biệt để đưa về việc giải quyết bài toán tương tự

đơn giản hơn, từ đó định hướng cách giải cho bài toán ban đầu

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Sau khi nhận phiếu học tập, các học sinh tự

phân tích, sau đó thảo luận nhóm trong 10’

- Trả lời câu hỏi gợi ý 1: Khi ABCD là hình H1: Trong trường hợp hình bình hành





;





ABCD là hình chữ nhật thì đẳng thức được chữ nhật, có suy ra

2  m n





)

chứng minh như thế nào?





cos

A n ;







cos

H2: Vậy trong trường hợp ABCD là hình - Trả lời câu hỏi gợi ý 2: Khi ABCD là hình bình hành thì cách chứng minh sẽ như thế bình bành, ta luôn có nào?

2 m a 

Quan sát học sinh phân tích, thảo luận và

 cos(



A )

 

cos

gợi ý khi thấy cần thiết với cos .

2  m n





)

Sau khi theo dõi học sinh trình bày có sự Do đó trao đổi giữa các nhóm, giáo viên cùng học

sinh hoàn chỉnh lời giải.

Như vậy học sinh đã giải quyết bài toán ban đầu khi dựa vào cách giải quyết cho bài

toán đơn giản hơn, chỉ cần điều chỉnh cho phù hợp với bài toán ban đầu.

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

1 Mục đích thực nghiệm và phương pháp thực nghiệm

1.1 Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích:

Quan sát xem xét cách phân tích của học sinh khi giải quyết các vấn đề và cách

ứng dụng giải tam giác vào thực tế như thế nào. Đồng thời tôi mong muốn sau tiết dạy

học sinh bắt đầu biết cách phân tích vấn đề và biết sử dụng một số phương án GQVĐ

để giải quyết vấn đề mà các em bắt gặp.

Kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả khi sử dụng các phương án giải

quyết vấn đề vào dạy học.

1.2 Phương pháp thực nghiệm

Tôi tiến hành thực nghiệm trên 6 lớp 10 khác nhau với tổng số học sinh là 225

học sinh, được chia thành các cặp lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC). Các

cặp lớp thực nghiệm và lớp đối chứng được chọn có chất lượng học tập môn toán và

điều kiện tổ chức dạy học là tương đương đều nhau.

Trong quá trình thực nghiệm sư phạm tôi quan sát và ghi chép một số đặc điểm

- Bầu không khí lớp học, tính tích cực của học sinh trong qua trình học tập

(thông qua thái độ học tập, tinh thần hăng say phát biểu ý kiến và những phản

hồi của học sinh sau mỗi giờ học)

- Kỹ năng phân tích bài toán, vận dụng kiến thức về giải tam giác để giải quyết

các bài toán thực tế.

- Khả năng tham gia hoạt động nhóm, trao đổi ý kiến giữa các học sinh

1.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm.

1.3.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm

1) Thời gian thực nghiệm sư phạm được tiến hành từ 15/04/2011 đến 15/05/2011.

2) Quy mô thực nghiệm

Thực nghiệm tại các lớp thuộc một số trường trung học phổ thông (THPT) sau

+ Lớp 10/1 và 10/2 – THPT Trần Văn Kỷ

+ Lớp 10B2 và 10B10 – THPT Phong Điền

+ Lớp 10A8 và 10A10 – THPT Nguyễn Đình Chiểu

1.3.2 Nội dung thực nghiệm

Nội dung chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” trong chương trình

hình học 10 ở các trườg THPT được giảng dạy vào cuối học kỳ I và đầu học kỳ II. Vì

thế, tôi thực nghiệm giảng dạy 1 tiết bài tập tự chọn về việc vận dụng hệ thức lượng

trong tam giác vào giải bài tập sử dụng các phương án giải quyết vấn đề. Sau đó tôi cho

học sinh làm bài kiểm tra 45 phút để xem xét kết quả của các em.

Giáo án được sử dụng để giảng dạy là KHBH3 của chương 2

Đề kiểm tra 45 phút có nội dung sau:

Câu 1:(2đ) Có một thửa ruộng hình tứ giác ABCD có AB=7m, BC=5m, CD=14m,

DA=13m và đường chéo DB=11m. Tính diện tích thửa ruộng đó.

AB  ,

CAD 

Câu 2:(2,5đ) Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác góc A,

 045 , ACB   060

. Tính độ dài cạnh BC, chiều cao BH của tam giác ABD.

Câu 3:(2,5đ) Để đo chiều cao của một cột thu phát sóng,

một người quan sát lần lượt đứng ở hai vị trí A và B cách

nhau 27m và hướng máy ngắm vào đỉnh của cột thu phát

sóng. Người ta đo được tại vị trí A, B lần lượt các góc có số

500

350

đo 500 và 350 tạo bởi đường ngắm và đường thẳng AB. Tính

A

B

chiều cao của cột thu phát sóng (xem như chiều cao người không đáng kể)

Câu 4:(2đ) Hai bạn A và B học chung một lớp, vị trí nhà

Nha A

bạn A, bạn B và trường học được cho như hình vẽ. Biết

Truong

nhà bạn B cách điểm giao nhau là 3km và cách trường

học 7km; nhà bạn A cách điểm giao nhau 5km. Đường

600

Nha B

Diem giao nhau

đi từ điểm giao nhau đến nhà bạn A và bạn B tạo với nhau góc 600 (h.vẽ). Hỏi nhà bạn A cách nhà bạn B và

cách trường học bao nhiêu km?

Câu 5:(1đ) Đưa ra cách đo độ dốc của một ngọn đồi được minh họa như hình vẽ.

2 Kết quả thực nghiệm sư phạm

2.1 Nhận xét về tiến trình dạy học

Qua quá trình giảng dạy, quan sát giờ học của các lớp thực nghiệm được tiến hành

theo tiến trình đã được xây dựng và thông qua sự góp ý của đồng nghiệp, tôi rút ra các

nhận xét sau:

Một số hạn chế khi thực nghiệm:

- Giáo viên vẫn còn nôn nóng khi cho học sinh hoạt động nhóm và chưa thể tạo

điều kiện cho tất cả các học sinh có ý kiến được phát biểu.

- Học sinh không thực sự có tâm lý thoải mái trong học tập khi có nhiều giáo viên

đến dự giờ lớp học.

- Một số học sinh chưa mạnh dạn trao đổi, đóng góp ý kiến cho nhóm và chưa tự

tin phát biểu ý kiến trước lớp vì lo sợ phần trả lời của mình không chính xác.

- Học sinh hầu như chỉ chú trọng giải các bài tập trong sách giáo khoa với quy

trình giải đã có và không quen với việc giải các bài toán không có quy luật hay thuật

giải sẵn.

Tuy vậy, chúng tôi vẫn thu được những kết quả tốt

- Những bài toán liên hệ thực tế và các hoạt động nhóm được đưa vào ở tiết dạy

đã phát huy được tính năng động và hứng thú học tập của học sinh. Các em rất sôi nổi

tham gia giải quyết các bài toán.

- Học sinh có cơ hội để trình bày suy nghĩ, cách phân tích bài toán của chính

nhóm mình cho dù cách làm đó chưa chính xác hay chưa đi đến kết quả cuối cùng.

Điều này đã giúp cho học sinh nắm rõ hơn các phương pháp khi giáo viên gợi ý và

trình bày.

- Giáo viên đã giúp cho học sinh có những tri thức phương pháp khi giải toán và

bước đầu giúp cho các em làm quen với các phương án giải quyết vấn đề được đưa ra

trong giáo án.

Ví dụ: Sau khi nhận xét được hình dạng tam giác ABC, giáo viên yêu cầu học sinh

nghiên cứu sâu cách giải và đặt câu hỏi:“Nếu chỉ dựa vào độ lớn 3 cạnh a, b, c của

một tam giác bất kỳ và không cần tính cosin các góc của tam giác thì ta có thể xác định

được hình dạng của tam giác đó không?”. Lúc đó học sinh đã phát biểu: “Nếu





thì tam giác ABC vuông”, mặc dù đó chưa phải là câu trả lời đầy đủ nhưng

các em cũng đã hình thành được cách xác định hình dạng tam giác và từ đó học sinh đã

hoàn chỉnh được câu trả lời cho các trường hợp còn lại khi giáo viên tiếp tục với câu

hỏi: “Vậy trong trường hợp tam giác ABC không vuông thì mối quan hệ giữa các cạnh

là như thế nào?”

- Giáo viên có thể nắm rõ hơn khả năng phân tích bài toán và khả năng hiểu bài

của học sinh thông qua các ý kiến tranh luận, phát biểu của các em.

Ví dụ: Ở nhóm làm phiếu học tập số 4, các em đã giải quyết được bài toán với cách suy

luận như sau: yêu cầu bài toán là chứng minh hệ thức liên quan đến bình phương độ dài

nên định hướng dùng hệ thức lượng trong tam giác (có thể là định lý cosin). Hơn nữa

giả thiết cho AB=a, BC=b, AC=n là độ dài các cạnh trong tam giác ABC và

 BD m



(với BO là đường trung tuyến của tam giác), điều đó dẫn đến việc sử

dụng công thức đường trung tuyến của tam giác để chứng minh.

2.2 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm thông qua bài kiểm tra

2.2.1 Kết quả bài kiểm tra

Bảng 1. Thống kê số liệu thực nghiệm

Tổng Số học sinh đạt được điểm Đối tượng học Lớp ĐTB số HS sinh 9 10 3 4 5 6 7 8 1 2

Khá-Giỏi ĐC (10/2) 0 3 3 4 7 6 5 7 1 41 6.05 5

(10/1-10/2) TN (10/1) 0 0 4 4 6 7 8 5 3 45 6.62 8

TB – Khá 5 5 6 7 4 2 0 33 5.00 1 ĐC (10B2) 1 2

5 3 4 6 3 4 0 28 5.57 2 (10B2-10B10) TN (10B10) 0 1

TB – Khá 7 9 6 4 5 4 0 40 5.03 2 ĐC (10A8) 1 2

4 5 5 6 7 6 0 38 5.63 2 (10A8-10A10) TN (10A10) 0 3

8 Tổng 2 7 15 18 19 17 14 13 ĐC 1 114 5.39

số HS 0 4 13 12 15 19 18 15 12 TN 3 111 6.02

2.2.2 Phân tích kết quả bài kiểm tra

* Phân tích định tính

Đối với lớp đối chứng: Khả năng phân tích, vận dụng kiến thức để giải quyết vấn

đề của học sinh còn hạn chế.

Đối với lớp thực nghiệm: So với lớp đối chứng, lớp thực nghiệm được luyện tập

thêm một số phương án đã được trình bày trong luận văn nên HS có thể phân tích và

giải quyết bài toán nhanh chóng và hiệu quả hơn.

Cùng một vấn đề được đưa ra nhưng học sinh có thể giải quyết theo nhiều cách

khác nhau, chẳng hạn ở câu 1: “Có một thửa ruộng hình tứ giác ABCD có AB=7m,

BC=5m, CD=14m, DA=13m và đường chéo DB=11m. Tính diện tích thửa ruộng đó.”,

thì học sinh đã có ba cách giải quyết khác nhau:

Học sinh 1 Học sinh 2 Học sinh 3

Ta thấy rằng cả ba cách giải quyết trên đều có điểm chung ở cách suy luận dẫn đến lời

giải đó là diện tích tứ giác ABCD không thể tính trực tiếp mà phải thông qua tính diện

, còn sự khác nhau thể hiện ở bước tính tích các tam giác thành phần ABD và BCD

diện tích các tam giác.

Như vậy mỗi một học sinh đều có khả năng phân tích, suy luận khác nhau để giải quyết

vấn đề. Do đó nếu người giáo viên có thể giúp học sinh vượt khỏi giới hạn kiến thức sẵn

có của mình, không ngại khó khăn trước những vấn đề mới và sẵn sàng chia sẻ, trao đổi,

thảo luận, học hỏi thêm kiến thức thì các em có cơ hội phát triển nhiều hơn và có thể tự

bản thân các em phát hiện ra nhiều vấn đề mới đối với các em.

Một số học sinh có kết quả bài kiểm tra không cao một phần do khả năng phân tích và

giải các bài toán chưa có sẵn thuật giải còn hạn chế, một phần là do học sinh còn gặp

phải một số sai lầm trong quá trình làm bài kiểm tra như sau:

- Đưa ra kết luận không đầy đủ: trong nhiều bài kiểm tra, học sinh đã không kết

luận hay có cố gắng kết luận cho bài toán nhưng kết luận đó chưa phải là yêu cầu cuối

cùng của bài toán.

- Sai lầm về khái niệm toán và công thức toán: sai lầm này có thể do học sinh

không hiểu kiến thức từ lớp dưới hay không hiểu bản chất các công thức, cụ thể là các

em có sự nhầm lần trong công thức định lý sin, diện tích tam giác hay đã hiểu sai khái

niệm đường phân giác trong tam giác dẫn đến cách vẽ hình và cách giải sai.

- Sai lầm trong tính toán cũng khiến nhiều học sinh đi đến kết quả không chính xác.

- Học sinh rất ngại khi giải các bài toán có nội dung thực tế, thậm chí nhiều

không sinh bỏ qua những bài toán có nội dung thực tế cho dù cách giải bài toán đó là

đơn giản.

* Phân tích định lượng

Bảng 1. Thống kê số liệu thực nghiệm

Tổng Số học sinh đạt được điểm Nhóm ĐTB số HS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8 ĐC 2 7 15 18 19 17 14 13 1 114 5.39

TN 0 4 13 12 15 19 18 15 12 3 111 6.02

Bảng 2. Bảng phân phối tần suất

Số % học sinh đạt điểm Nhóm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đối chứng 1.75 6.14 13.16 15.79 16.67 14.91 12.28 11.40 7.02 0.88

Thực nghiệm 0.00 3.61 11.71 10.81 13.51 17.12 16.22 13.51 10.81 2.70

Biểu đồ 1. Biểu đồ phân phối tần suất của hai nhóm

20

15 ĐC

10 TN

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Đồ thị 1. Đồ thị phân phối tần suất của hai nhóm

20

15 TN

10 ĐC

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Bảng 3. Bảng phân phối tần suất lũy tích

iX trở xuống

Số % bài kiểm tra đạt điểm Số bài Nhóm KT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TN 111 0.00 3.61 15.32 26.13 39.64 56.76 72.98 86.49 97.30 100

ĐC 114 1.75 7.89 21.05 36.84 53.51 68.42 80.70 92.1 99.12 100

Biểu đồ 2. Biểu đồ phân bố tần suất tích luỹ của hai nhóm

120

100

80

60 ĐC TN

40

20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đồ thị 2. Đồ thị phân bố tần suất tích lũy của hai nhóm

12 0

10 0

8 0

TN

6 0

ĐC

4 0

2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

- Giá trị trung bình cộng: là tham số đặc trưng cho sự tập trung của số liệu, được

i Xn n

tính theo công thức: .

Dựa vào các thông số tính toán ở trên, ta có thể rút ra được những nhận xét sau:

- Điểm trung bình X của lớp TN cao hơn lớp ĐC.

- Đường lũy tích ứng với lớp TN nằm bên phải, phía dưới đường tích lũy ứng với

lớp ĐC.

Qua đó cho thấy rằng kết quả học tập của lớp TN thu được cao hơn kết quả học tập của

lớp ĐC.

Kiểm định giả thuyết thống kê:

DCX .

TNX cao hơn nhóm đối chứng

Từ kết quả tính toán cho thấy: điểm trung bình cộng của nhóm thực nghiệm

Tuy nhiên việc sử dụng các phương án giải quyết vấn đề vào dạy học đạt hiệu

quả tốt hơn không hay chỉ là sự ngẫu nhiên? Để kiểm chứng sự khác nhau giữa hai

điểm trung bình này có ý nghĩa hay không, tôi sẽ tiến hành kiểm định giả thuyết thống

DCX

kê như sau.

TNX và

DCX

là không có ý nghĩa. Giả thuyết H0: sự khác nhau giữa

TNX lớn hơn

một cách có ý nghĩa. Giả thuyết H1: điểm trung bình





 1

n TN

2 DC

Để kiểm định giả thuyết, ta đi xác định đại lượng kiểm định t theo công thức:







 

 n

 2

2 S TN 

n DC 

 1 n TN

n TN n TN

. n DC  n DC

với

 

2,09



và t = 2,26. Với phương sai tính theo



 

i 

. công thức: Kết quả tính toán thu được:  Xn i n



0,05

Tra bảng phân phối Student với mức ý nghĩa và bậc tự do

1,96





  2

223

 

. , ta có: t

t

Như vậy, rõ ràng: t . Do đó, ta có thể kết luận: bác bỏ giả thuyết H0, chấp

nhận giả thuyết H1, vậy điểm trung bình của nhóm thực nghiệm lớn hơn điểm trung



0,05

bình của nhóm đối chứng với mức ý nghĩa .

PHẦN KẾT LUẬN

Quá trình nghiên cứu đề tài “Sử dụng cách phương án giải quyết vấn đề vào dạy học

chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” ở hình học 10” đã đạt được một số kết

quả sau:

1. Về mặt lý luận

- Trình bày những khái niệm cơ bản về phương pháp dạy học giải quyết vấn đề

cùng những đặc điểm, ưu điểm và hạn chế của phương pháp này, đồng thời luận văn đã

phân tích, minh họa làm rõ mười phương án giải quyết vấn đề. Qua đó có thể nói

PPDH GQVĐ là phương pháp phù hợp với những định hướng, yêu cầu đổi mới PPDH

hiện nay và tạo được môi trường học tập tích cực cho học sinh.

- Những phân tích về thực trạng dạy và học môn Toán nói chung và dạy học chủ đề

“Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” nói riêng cho thấy, những phương pháp

dạy học tích cực, trong đó có PPDH giải quyết vấn đề đã được sử dụng trong dạy học

nhưng chưa mang lại hiệu quả cao, ngoài nguyên nhân do yếu tố khách quan thì chủ

yếu vẫn là do yếu tố chủ quan của người dạy và người học. Do đó để phần nào khắc

phục được tình trạng này thì mỗi một giáo viên cần quan tâm hơn đến phương pháp dạy

học phát huy tính chủ động, sáng tạo và phát triển được tư duy toán của học sinh để có

những tiết dạy sôi nổi, có chất lượng. Vì vậy việc tìm hiểu, sử dụng các phương án

GQVĐ vào dạy học (qua chủ để”Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng) là cần

thiết.

2. Về mặt thực tiễn

- Các phương án giải quyết vấn đề của Stephen Krulik đã được khai thác sử dụng

vào các tình huống dạy học điển hình của môn Toán đó là dạy học định lý, tính chất và

dạy học giải bài tập, bài toán trong chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”.

Ngoài ra, một số kế hoạch bài học cũng đã được thiết kế dựa vào việc sử dụng các

phương án GQVĐ nhằm giúp học sinh có thể tự mình phát hiện ra nội dung bài học và

biết cách phân tích để định hướng giải cho các vấn đề. Trên cơ sở đó, tuỳ thuộc vào nội

dung và đối tượng học sinh mà giáo viên có thể sử dụng các phương án GQVĐ và có

những tình huống gợi vấn đề khác nhau vào dạy học nhưng cùng hướng đến việc khai

thác được vai trò trung tâm của người học, nâng cao tính tích cực học tập của học sinh.

- Quá trình thực nghiệm sư phạm được thực hiện tại 3 trường PHPT ở huyện Phong

Điền, Thừa Thiên Huế cùng với việc phân tích kết quả thực nghiệm được trình bày

trong luận văn phần nào minh họa được tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Văn Cường (2010), Một số vấn đề chung về đổi mới phương pháp dạy

học ở trường THPT, Dự án phát triển giáo dục THPT, Bộ GD&ĐT.

2. Trần Đình Diệu (2008), “Phương pháp giải quyết vấn đề trong giáo dục hiện

đại”, Báo Tia sáng, số 17.

3. Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư

phạm.

4. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên (2008),

Hình học 10 Cơ bản, NXB Giáo dục.

5. Vương Dương Minh (2011), Phát hiện và giải quyết vấn đề - Phương pháp chủ

đạo trong nhà trường, Kỷ yếu Hội thảo quốc gia về giảng dạy toán học ở nhà

trường phổ thông, NXB Giáo dục.

6. Nguyễn Thị Lan Phương (2000), “Một phương án dạy Toán theo kiểu GQVĐ ở

THPT”, Tạp chí Thông tin Khoa học giáo dục, số 82.

7. Nguyễn Thị Lan Phương (2011), Phương pháp dạy học Toán ở trường trung học:

Thực trạng và định hướng nghiên cứu, phát triển, Kỷ yếu Hội thảo quốc gia về

giảng dạy toán học ở nhà trường phổ thông, NXB Giáo dục.

8. Nguyễn Thị Lan Phương (2004), “Vận dụng lý thuyết tình huống trong dạy học

GQVĐ”, Tạp chí Khoa học Giáo dục, số 102.

9. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị (2008), Hình học

10 Nâng cao, NXB Giáo dục.

10. Đào Tam, Trần Chung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn

Toán ở trường THPT, NXB Đại học Sư phạm.

11. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT, Trường

Đại học Sư phạm TPHCM.

12. Nguyễn Văn Tuấn (2009), Lý luận dạy học, Tài liệu bài giảng trường Đại học Sư

phạm Kỹ thuật TPHCM.

13. Trần Vui (2010), Tiếp cận những xu hướng mới nhằm phát triển nghiên cứu giáo

dục Toán ở Việt Nam, Giáo trình dành cho học viên cao học ngành lý luận và

phương pháp dạy học Toán, Đại học Sư Phạm, Đại học Huế.

14. Trần Vui (2009), Những xu hướng nghiên cứu giáo dục Toán, Giáo trình dành

cho học viên cao học ngành lý luận và phương pháp dạy học Toán, Đại học Sư

Phạm, Đại học Huế.

Tiếng Anh

15. Alfred S. Posamentier Stephen KruliK (1998), Problem-solving strategies for

efficient and elegant solutions, Corwin press.

16. Alfred S. Posamentier Stephen KruliK (2009), Problem-solving in Mathematics,

Corwin press, Inc.

17. Berinderjeet KAUR (2009), Mathematical problem solving in Singapore schools,

YEAP Ban Har

18. The National Council of Teachers of Mathematics (2009), Principles and

Standards for School Mathematics.

19. Titu Andreescu, Zuming Feng (2004), 103 trigonometry problems, Birkhäuser

Boston.

20. William Briggs (2005), Ants, bikes, and clocks: problem solving for

undergraduates, Society for Industrial and Applied Mathematics.