Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu về số gần đúng và sai số trong dạy học Toán ở phổ thông

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:89

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu về số gần đúng và sai số trong dạy học Toán ở phổ thông bao gồm những nội dung về số gần đúng và sai số ở cấp độ tri thức bác học, số gần đúng và sai số trong sách giáo khoa ở trung học phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu về số gần đúng và sai số trong dạy học Toán ở phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Vũ Thị Thùy Trang MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Vũ Thị Thùy Trang MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga. Các thầy cô đã truyền đạt kiến thức và tận tình hướng dẫn tôi và cả lớp trong suốt quá trình học tập vừa qua. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Cô Vũ Như Thư Hương. Ngoài những kiến thức chuyên ngành, những lời chỉ dạy cần thiết, Cô đã đồng hành cùng với tôi trên chặng đường nghiên cứu luận văn của chúng tôi. Cô đã phải mất nhiều thời gian và tâm huyết để tìm ra đề tài luận văn cũng như xây dựng góp ý đề cương, giúp tôi dần hoàn thiện nghiên cứu về đề tài. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Claude Comiti, PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã hi sinh nhiều thời gian và công sức giúp đỡ lớp chúng tôi có cái nhìn rộng mở hơn về các vấn đề của didactic, cũng như việc góp ý xây dựng đề cương giúp chúng tôi hoàn thành luận văn tốt hơn. Cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn lớp Lí luận và phương pháp giảng dạy môn Toán K23, tôi rất cảm ơn Thầy Cô và các bạn đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Trong quá trình nghiên cứu dù đã rất cố gắng nhưng do kiến thức và kinh nghiệm củatôi còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý xây dựng của quý Thầy Cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! HỌC VIÊN THỰC HIỆN VŨ THỊ THÙY TRANG
DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV : giáo viên GT : giáo trình HS : học sinh MTBT : máy tính bỏ túi SBT : sách bài tập Đại số 10 SGK ĐS10 CB : sách giáo khoa Đại số 10 ban cơ bản. SGK ĐS10 NC : sách giáo khoa Đại số 10 ban nâng cao. SGV ĐS10 CB : sách giáo viên Đại số 10 ban cơ bản. SGV ĐS10 NC : sách giáo viên Đại số 10 ban nâng cao. Toán 7 : sách giáo khoa Toán lớp 7, tập 1.
DANH SÁCH CÁC BẢNG Trang Bảng 2.1. Thống kê số lượng bài tập trong SGK và SBT ........................................ 38 Bảng 3.1. Thống kê các chiến lược dự đoán trong bài tập 1 .................................... 46 Bảng 3.2. Thống kê các chiến lược dự đoán trong bài tập 2 .................................... 49 Bảng 3.3. Thống kê các chiến lược dự đoán trong bài tập 3 .................................... 51 Bảng 3.4. Thống kê số lượng các chiến lược trong bài tập 1 ................................... 53 Bảng 3.5. Thống kê số lượng các chiến lược trong bài tập 2 ................................... 56 Bảng 3.6. Thống kê số lượng các chiến lược trong bài tập 3 ................................... 59
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Danh sách các chữ viết tắt Danh sách các bảng Mục lục Trang MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi xuất phát..................................................................... 1 2. Khung lý thuyết tham chiếu ................................................................................................ 2 3. Câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu ....................................................................... 5 4. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn..................................................................... 5 Chương 1. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC HỌC ...................................................................................................................... 7 1.1. Nguồn gốc của sai số ................................................................................................. 7 1.2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối .............................................................................. 9 1.3. Chữ số có nghĩa và chữ số chắc chắn ......................................................................... 11 1.4. Cách viết số gần đúng ................................................................................................. 11 1.5. Quy tắc làm tròn số ..................................................................................................... 12 1.6. Sai số của các phép toán ............................................................................................. 13 1.7. Các kiểu nhiệm vụ ...................................................................................................... 15 Chương 2. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ........................................................................... 19 2.1. Sách giáo khoa Toán 7 – tập 1 .................................................................................... 19 2.2. Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản ................................................................................ 22 2.3. Tổ chức toán học ......................................................................................................... 25 2.4. Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao ............................................................................. 29 2.5. Tổ chức toán học ......................................................................................................... 34 Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ................................................. 40 3.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................................. 40 3.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm........................................................................... 40 3.3. Nội dung thực nghiệm ................................................................................................. 41 3.4. Phân tích tiên nghiệm .................................................................................................. 42 3.5. Phân tích hậu nghiệm .................................................................................................. 51 KẾT LUẬN......................................................................................................... 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 65 PHỤ LỤC
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi xuất phát Trong quá trình tính toán và đo đạc, các con số đạt được không phải lúc nào cũng là một số chính xác. Các số liệu trong thực tế thông thường đều là những số gần đúng, ví dụ: khoảng cách từ điểm này đến điểm kia, từ nơi này đến nơi khác; độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh là một số nguyên bất kỳ; số pi (𝜋) là cách biểu diễn của một dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn, gần bằng 3,1416. Và khi sử dụng số gần đúng, ta cần biết được sai số mắc phải là bao nhiêu, để có thể đánh giá được tính chính xác và độ tin cậy của nó. Với mỗi số gần đúng, ta sẽ có một sai số khác nhau. Và vấn đề là ta phải làm như thế nào để sai số mắc phải càng nhỏ càng tốt. Vì thế, chúng ta có thể thấy được tầm quan trọng của số gần đúng và sai số trong thực tế cuộc sống cũng như trong Toán học. Do đó, khái niệm số gần đúng và sai số được đưa vào sách giáo khoa như một đối tượng toán học cụ thể; sau đó nó trở thành công cụ trong việc giải các bài toán tính gần đúng, chẳng hạn tính gần đúng diện tích, thể tích và giải tam giác. Nó làm cơ sở, là một trong những " nền móng" cho toàn bộ chương trình Toán phổ thông và được ứng dụng rộng rãi trong các liên môn như Vật lý, Hóa học, Địa lý, … Tuy nhiên, thực tế những năm qua cho thấy đối tượng số gần đúng và sai số chưa được coi trọng đúng mức cần thiết. Các kì thi tốt nghiệp, thi vào đại học, đề thi chưa bao giờ hỏi trực tiếp đến mảng kiến thức này. Điều đó khiến cho đối tượng này dường như bị xem nhẹ. Trong thực tế, một bộ phận không nhỏ học sinh (HS) hiện nay không tránh khỏi suy nghĩ: " Phải chăng việc đưa khái niệm số gần đúng và sai số vào sách giáo khoa (SGK) chỉ để cho biết mà không có ứng dụng gì nhiều?" . Bên cạnh đó, hiện nay nhiều trường trung học phổ thông (THPT) ở Việt Nam không còn đưa nội dung về số gần đúng và sai số vào chương trình giảng dạy. Vậy nên chúng tôi tự hỏi: - Nếu giảm tải hoàn toàn nội dung về số gần đúng và sai số, thì học sinh có hiểu gì về số gần bằng với một số, những khái niệm có liên quan và cách đánh giá mức độ sai số của nó?
2 - Việc trình bày của sách giáo khoa hiện hành Đại số 10 ảnh hưởng như thế nào đến việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh? Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề dạy và học đối tượng số gần đúng và sai số trong trường phổ thông, chúng tôi quyết định chọn đề tài: " Một nghiên cứu về số gần đúng và sai số trong dạy học Toán ở phổ thông" . Trước khi đưa ra những câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi sẽ trình bày một kết quả đã đạt được của một nghiên cứu liên quan trực tiếp đến đề tài. Đó là bài báo trên tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm Tp. HCM(2012): " Số gần đúng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông" của TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung. Mục đích của tác giả trong bài báo này là làm rõ một phần thực tế dạy học đối tượng số gần đúng ở bậc phổ thông nhằm giải thích cho những ứng xử chưa đúng khi người học thực hành tính gần đúng. " Thể chế đã không tạo điều kiện để học sinh hiểu rằng độ chính xác của các phép tính gần đúng trung gian sẽ ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả cuối cùng (kết quả cần tính)…Việc đánh giá độ chính xác của kết quả cuối cùng thông qua các độ chính xác trung gian là cần thiết nhưng thường rất khó thực hiện. Nếu có thể, ta chỉ thực hiện tính toán gần đúng ở bước cuối cùng với máy tính bỏ túi (MTBT) (các tính toán gần đúng ở bậc phổ thông đều có thể thực hiện theo cách này). Nghĩa là thiết lập một quy trình hay một công thức tính toán trực tiếp kết quả và thay số vào bước cuối cùng. Quy trình này thường cho kết quả gần đúng từ màn hình MTBT với độ chính xác rất cao - tất cả các chữ số thập phân hiển thị đều là chữ số chắc chắn. " [2, tr.112]. 2. Khung lý thuyết tham chiếu Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi tập trung vào việc vận dụng lý thuyết Didactic Toán, cụ thể là: Lý thuyết nhân chủng học và Hợp đồng Didactic. Chúng tôi sử dụng Lý thuyết nhân chủng học để tìm hiểu quan hệ thể chế của đối tượng số gần đúng và sai số trong sách giáo khoa Đại số 10 và sử dụng lý thuyết Hợp đồng Didactic nhằm đưa ra các giả thuyết. Từ đó, chúng tôi có thể xây dựng thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đồng thời xây dựng tình huống phá vỡ hợp đồng.
3 a) Lý thuyết nhân chủng học  Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, trong I ?  Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ? Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O).  Tổ chức toán học: Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng là một kiểu thực thế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ, θ, Θ], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T; θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ. Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học. Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O. b) Hợp đồng Didactic: Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy–học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc không được phát biểu một cách tường minh phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy.
4 Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:  Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách : – Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức. – Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó. – Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà của tri thức đang xét không giải quyết được. – Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở học sinh.  Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách: – Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học. – Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức. – Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa. Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức vì việc sử dụng tri thức đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy. Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic. Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là
5 quá trình học sinh làm quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên. Theo Brousseau (1986), sự thương lượng này tạo ra một thứ kiểu hoạt động mà những quy tắc ổn định tạm thời, cho phép các thành viên chính, nhất là học sinh, đưa ra các quyết định trong một chừng mực an toàn nào đó, cần thiết để bảo đảm cho họ sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội. Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết vì để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những sự phá vỡ hợp đồng. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi. 3. Câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này: Q1: Theo cấp độ tri thức bác học, khái niệm số gần đúng và sai số được định nghĩa như thế nào ? Có những khái niệm nào liên quan? Đặc trưng bởi những kiểu nhiệm vụ nào? Q2: Các đối tượng tri thức này được trình bày trong sách giáo khoa Đại số 10 như thế nào? Có gì khác so với tri thức khoa học? Có những tổ chức toán học nào liên quan đến các tri thức này được đưa vào sách giáo khoa và sách bài tập ? Q3: Tồn tại những điều kiện ràng buộc nào của SGK đối với các tri thức này? Điều đó ảnh hưởng như thế nào đến việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của HS? 4. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn Để tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng tôi xác định tiến hành nghiên cứu như sau:  Trong chương 1: " Số gần đúng và sai số ở cấp độ tri thức bác học" , chúng tôi phân tích, tổng hợp một số giáo trình liên quan đến số gần đúng và sai số để
6 thu thập thông tin và để hiểu sâu hơn về đối tượng này và các khái niệm có liên quan. Cụ thể là chúng tôi tham khảo vấn đề nguồn gốc sai số trong luận văn: " Các tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10" của Phạm Thị Tú Hạnh (2012). Sau đó, chúng tôi tổng hợp các kết quả chương 1 của luận văn : " Nghiên cứu didacic sự nối khớp giữa MTBT và xấp xỉ thập phân trong phép tính số: trường hợp giải tam giác" của Nguyễn Thị Bích Hoa (2012). Và cuối cùng, chúng tôi sẽ tham khảo một số giáo trình đại học nhằm đưa ra các kiểu nhiệm vụ liên quan tới đối tượng.  Dựa vào kết quả nghiên cứu thu được ở chương trước, trong chương 2, chúng tôi tiến hành phân tích sơ lược SGK Toán 7 (tập 1) và phân tích rõ SGK hiện hành Đại số 10 cơ bản và nâng cao để tìm hiểu cách thức mà đối tượng này được đưa vào và diễn đạt ra sao. Qua đó, chúng tôi sẽ làm rõ quan hệ thể chế của nó trong SGK Việt Nam, ở hai bộ sách: SGK Đại số 10 cơ bản và nâng cao. Ngoài ra, chúng tôi muốn tìm hiểu về số gần đúng và sai số trong SGK có khác gì so với cách trình bày trong các giáo trình đại học, kiểu nhiệm vụ nào còn tồn tại.  Cuối cùng, chính từ nghiên cứu thể chế ở chương 2, chúng tôi sẽ đặt ra các giả thuyết để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu nêu trên và tiến hành xây dựng thực nghiệm ở chương 3 để kiểm chứng các giả thuyết đã nêu.
7 Chương 1. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC HỌC Mục đích của chúng tôi trong chương 1 là tìm hiểu các khái niệm số gần đúng và khái niệm sai số ở cấp độ tri thức bác học, đặc trưng tri thức luận của đối tượng này và các khái niệm có liên quan. Từ đó, chúng tôi tìm câu trả lời cho câu hỏi đã đặt ra là làm rõ hơn về đối tượng số gần đúng và sai số. Trong chương này, chúng tôi tham khảo các tài liệu sau đây: - Luận văn: " Các tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10" của Phạm Thị Tú Hạnh (2012). - Luận văn : " Nghiên cứu didacic sự nối khớp giữa MTBT và xấp xỉ thập phân trong phép tính số: trường hợp giải tam giác" của Nguyễn Thị Bích Hoa (2012). - Phương pháp số, Tôn Tích Ái (2001) - Phương pháp tính, Tạ Văn Đĩnh (1999) - Giáo trình phương pháp tính, Dương Thủy Vĩ (1999) - Giáo trình các phương pháp số, Hoàng Xuân Huấn (2004) 1.1. Nguồn gốc của sai số Theo tác giả Phạm Thị Tú Hạnh, người ta tìm thấy nguồn gốc của sai số từ thiên văn học. Vào thế kỉ 18, Copenic, Kepler và Newton đã nghiên cứu thiên văn học dựa trên lý thuyết toán học. Nhưng công việc của các nhà thiên văn lại dựa trên đo đạc, điều này không tránh khỏi các sai sót ngay cả khi họ đã có một lý thuyết tốt. “ Những sai số này sinh ra một phần do con người, một phần do các dụng cụ đo đạc không chính xác tuyệt đối. . . . Khi các nhà thiên văn thực hiện cùng một phép đo 10 lần, 100 lần, nhưng họ không bao giờ nhận được cùng một kết quả. Đặc biệt, trong các trường hợp quan sát gián tiếp, chẳng hạn như đo khối lượng của một ngôi sao thì kết quả thu được chỉ thông qua các phương trình trung gian dựa trên rất nhiều sự đo đạc các biến tự nhiên. „ [6, tr.8-9].
8 Mặc dù con người đã cố gắng cải thiện nhưng sai số vẫn tồn tại. Điều này khiến cho các nhà khoa học bắt đầu quan tâm đến sai số để có thể tìm ra những phương tiện cho phép tính toán các đo đạc cùng một hiện tượng và để hạn chế thấp nhất có thể sai số cuối cùng trên giá trị chính xác của hiện tượng. Việc nghiên cứu số gần đúng gắn liền với khái niệm sai số. Căn cứ vào nguyên nhân, có 4 loại sai số: sai số giả thiết, sai số số liệu, sai số phương pháp và sai số tính toán. 1.1.1. Sai số giả thiết Sai số này gặp phải khi ta đơn giản hóa bài toán thực tiễn để thiết lập mô hình toán học có thể giải được. “ Là loại sai số xuất hiện do việc giả định bài toán đang xét thỏa mãn một số điều kiện ban đầu nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán. Do mô hình toán học không thể biểu diễn đúng như cái vốn có của vấn đề trong thực tế. Đây là khoảng cách giữa lí thuyết và hiện thực. Sai số này là không tránh khỏi. “ [5, tr.10]. 1.1.2. Sai số số liệu Sai số số liệu hay còn gọi là sai số của số liệu ban đầu. “ Là loại sai số xuất hiện do việc đo đạc hoặc cung cấp số liệu ban đầu không chính xác. Các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm do đó có sai số. Ví dụ như việc đo chiều dài cây cầu được đề cập đến trong bài viết “ Chính xác toán học và chính xác thực nghiệm” trên trang web: http://statistics. Vn:” [5, tr.11]. 1.1.3. Sai số phương pháp Sai số phương pháp là sai số của phương pháp giải gần đúng bài toán theo mô hình được thiết lập. “ Là loại sai số do phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản hơn. Ví dụ như việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 có nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp dây cung, phương pháp Newton-Raphson, phương pháp Bairstow…Mỗi phương pháp sẽ cho nghiệm gần đúng với độ chính xác khác nhau. “ [5, tr.11]. 1.1.4. Sai số tính toán Việc tính toán bằng máy tính không tránh khỏi việc làm tròn số và các sai số tích lũy trong quá trình tính toán. Sai số tính toán là loại sai số tích lũy trong quá trình thực
9 hiện các phép toán: bao gồm sai số của bản thân các số, sai số do việc quy tròn số trong quá trình tính toán ở các bước trung gian. Trong phần tiếp theo tác giả đề cập đến sai số tuyệt đối (giới hạn), sai số tương đối (giới hạn), đây là các loại sai số mà các giáo trình đại học sử dụng để đánh giá sai số của kết quả tính toán. 1.2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối Có hai cách định nghĩa sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Mỗi cách có định nghĩa và kí hiệu khác nhau. Vì vậy, chưa có sự thống nhất về kí hiệu và định nghĩa sai số tuyệt đối, sai số tương đối trong các giáo trình. 1.2.1. Sai số tuyệt đối Khái niệm sai số tuyệt đối được trình bày trong các giáo trình theo hai quan điểm. Chúng tôi tạm gọi cách định nghĩa thứ nhất là theo quan điểm " Bất đẳng thức" như sau: " Nếu a* là giá trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần đúng của a* thì sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng a là đại lượng ∆a sao cho |𝑎∗ − 𝑎| ≤ ∆𝑎 . Vậy 𝑎 − ∆𝑎 ≤ 𝑎 ∗ ≤ 𝑎 + ∆𝑎 . Ta thường ghi: 𝑎∗ = 𝑎 ± ∆𝑎 " . [5, tr.12] Và cách định nghĩa thứ hai theo quan điểm " Đẳng thức" : gọi a là số xấp xỉ của số đúng A. " Trị tuyệt đối |𝐴 − 𝑎| gọi là sai số tuyệt đối của a" . [5, tr.13]. Theo Phương pháp tính của Tạ Văn Đĩnh lí giải: do không biết số đúng A nên không xác định được sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a. Vì vậy, cùng với sai số tuyệt đối, giáo trình này đưa vào khái niệm sai số tuyệt đối giới hạn ở trang 7: " |𝐴 − 𝑎| ≤ ∆𝑎 Số dương Δa này gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a. " [7, tr.7]. Đồng thời, nó cũng đưa ra quy ước: " Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyệt đối giới hạn là Δa thì ta quy ước viết A=a±Δa" [7, tr.7]. Ngoài ra, giáo trình còn giải thích thêm ở trang 7: " a – Δa ≤A≤ a – Δa" . Ở đây, sai số tuyệt đối giới hạn trong Phương pháp tính của Tạ Văn Đĩnh chính là sai số tuyệt đối
10 trong Phương pháp số của Hoàng Xuân Huấn. Về phương diện toán học, nếu dấu "=" trong |𝐴 − 𝑎| ≤ ∆𝑎 xảy ra thì sai số tuyệt đối giới hạn chính là sai số tuyệt đối. Trên thực tế, người ta vẫn xem Δa là sai số tuyệt đối. " Thuật ngữ " độ chính xác" được hiểu là một ước lượng của sai số tuyệt đối. Do đó, để cho tiện chúng tôi gọi chung khái niệm sai số tuyệt đối theo quan điểm bất đẳng thức (Δa) và sai số tuyệt đối giới hạn theo quan điểm đẳng thức (Δa) là " độ chính xác" . Theo đó, có thể tìm được vô số " độ chính xác" khác nhau của một số gần đúng. Cần có những ràng buộc để " độ chính xác" duy nhất. Hầu hết các giáo trình đều đề cập đến việc: trong những điều kiện cụ thể người ta chọn Δa là số dương bé nhất có thể được. " [5, tr.13]. Tuy nhiên, việc tìm " số dương bé nhất có thể được" không phải là việc dễ dàng. Ta có thể chọn dãy số 10n với n là số nguyên làm độ chính xác và khi viết a
11 1.3. Chữ số có nghĩa và chữ số chắc chắn 1.3.1. Chữ số có nghĩa Các giáo trình đều có cùng nhận định: Những chữ số có nghĩa của một số là những chữ số của số đó kể từ những chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải. 1.3.2. Chữ số chắc chắn (chữ số đáng tin) Có hai định nghĩa chữ số chắc chắn thường xuất hiện trong các giáo trình đại học. Định nghĩa 1:   a   am10m  am 110m 1  ...  a1101  a0  a1101  ...  a n10 n với 0  ai  N  10 thì 1 chữ số ak được gọi là chữ số chắc chắn nếu  a  .10 k 2 Định nghĩa 2: Chữ số ak được gọi là chữ số chắc chắn nếu∆a ≤ ω. 10k ,  là tham số cho trước: - Nếu   0,5 thì ak là chữ số chắc chắn theo nghĩa hẹp. - Nếu   1 thì ak là chữ số chắc chắn theo nghĩa rộng. 1.4. Cách viết số gần đúng Các giáo trình đại học tôn trọng 2 cách viết số gần đúng:  Cách thứ nhất là viết số gần đúng a kèm theo sai số như A=a±Δa hoặc A=a(1 ±𝛿 a) Cách viết trên thường được dùng trong tính toán hoặc phép đo.  Cách thứ hai là viết số xấp xỉ theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa là những chữ số đáng tin. Trong các bảng số thường dùng như bảng lôgarit, bảng các hàm số lượng giác,. . . người ta viết các số gần đúng theo cách thứ hai. Như vậy, ở đây việc viết số gần đúng rất nghiêm ngặt, nghĩa là, nếu viết không kèm theo độ chính xác thì phải theo quy ước mọi chữ số của số gần đúng phải là chữ số chắc chắn. Cách viết thứ hai còn được bổ sung thêm các chú ý như sau: " Ghi chú: i) Khi viết một số nguyên gần đúng, nếu không ghi độ chính xác, thì tất cả các chữ số 0 đứng bên phải chữ số khác không cuối cùng là số 0 không có nghĩa.
12 Thí dụ: Khi viết một vật cân nặng 2500 kg thì số 2500 có hai chữ số có nghĩa là 2, 5. Còn nếu viết: một vật cân nặng 2500 kg (chính xác đến hàng chục) thì số 2500 có ba chữ số có nghĩa là 2, 5, 0. ii) Khi viết số thập phân gần đúng thì ở phần thập phân ta chỉ viết các chữ số 0 có nghĩa. Thí dụ: Khi viết 1 vật cân nặng 24,30 tạ thì số này có bốn chữ số có nghĩa. " [5, tr.17] 1.5. Quy tắc làm tròn số Trước hết định nghĩa sai số quy tròn tuyệt đối = a a * . Sau đó đưa ra quy tắc: " . . . quy tròn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng, tức là 5 đơn vị ở hàng bỏ đi đầu tiên, cụ thể là, nếu chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng. " [5, tr.17]. Như vậy, sai số quy tròn là một số không lớn hơn nửa đơn vị của hàng cuối cùng được giữ lại nên kết quả của việc quy tròn số là đảm bảo mọi chữ số của số quy tròn đều là chữ số chắc chắn. Ngoài ra, giữa việc quy tròn số và cắt số thì việc quy tròn số sẽ cho kết quả có độ chính xác cao hơn. Ví dụ: a= 0,0054372 Kết quả làm tròn số đến chữ số thập phân thứ 5: 0,00544 và 0,0054372  0,00544  2,8.106 Kết quả cắt số đến chữ số thập phân thứ 5 : 0,00543 và
13 0,0054372  0,00543  7, 2.106 " Nếu một số có ít nhất là (n+1) chữ số thập phân và chữ số thập phân thứ (n+1) lớn hơn 5 thì sai số tuyệt đối của việc quy tròn số đến chữ số thứ thập phân thứ n nhỏ hơn sai số tuyệt đối của việc cắt số đến chữ số thập phân thứ n. " [5, tr.17] 1.6. Sai số của các phép toán Tùy từng giáo trình mà có hoặc không đề cập đến cách chứng minh công thức xác định sai số của hàm số khi biết sai số của các đối số, tuy nhiên, tất cả các giáo trình đều giới thiệu quy tắc xác định sai số khi thực hiện các phép toán. Theo [5], tác giả đã tóm tắt lại các quy tắc xác định sai số trong các giáo trình tham khảo như sau:  Sai số tuyệt đối (sai số tuyệt đối giới hạn) của tổng đại số bằng tổng đại số của các sai số (sai số tuyệt đối giới hạn). ∆𝑥±𝑦 = ∆𝑥 + ∆𝑦  Sai số tương đối (sai số tương đối giới hạn) của một tích hoặc một thương bằng tổng của các sai số tương đối (sai số tương đối giới hạn) của các thừa số. 𝛿𝑥.𝑦 = 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦  Đối với 𝑦 = 𝑥 𝛼 (𝛼 ∈ 𝑄, 𝑥 > 0), khi đó  y    x - Nếu α >1 (phép luỹ thừa) thì  y   x do đó độ chính xác giảm. - Nếu 0
14 x1  x2   a1  a2   1   2 10 n 1 1 1  n1 Ta có: 0  1 ,  2  nên 0  1   2 10 n  1.10 n  .10.10 n  .10   . Do đó, chữ 2 2 2 số thập phân thứ n có thể không phải là chữ số chắc nhưng đảm bảo rằng từ chữ số thập phân thứ (n -1) trở về bên trái thì mọi chữ số đều là chữ số chắc chắn. Ví dụ: √7 ≈ 2,646± 0,25. 10 và  3,142 ± 0,41. 10 , khi đó,√7 + 𝜋 ≈ 5,788 có độ -3 -3 chính xác là 0,66. 10-3 nên chữ số thập phân thứ ba không phải là chữ số chắc chắn.  Phép nhân 1 x1  a1  1.10 n , x2  a2   2 .10 n trong đó 0  1 ,  2  2 1.10 n  2 .10 n Sai số tương đối của x1, x2 là: 1  , 2  x1 x2 Sai số tương đối của tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa số, do đó, sai  2 .10 n 1.10 n số tương đối của x1. x2là: 1   2  x2  x1   .10 n 1.10 n   x1 . x2  1   2  x1.x2   2   x1.x2   2 .10 x1  1.10 x2 n n  x2 x1  Như vậy, độ chính xác của x1. x2 phụ thuộc vào giá trị của α1, α2, x1, x2.  Phép chia 1 x1  a1  1.10 n , x2  a2   2 .10 n trong đó 0  1 ,  2  2 x1 1.10 n  2 .10 n  Sai số tương đối của x là: 1  ,  2  2 x1 x2 Sai số tương đối của thương bằng tổng các sai số tương đối các thừa số, do đó, sai số x1  2 .10 n 1.10 n   tương đối của x là: 1 2   2 x2 x1 x1   2 .10 n 1.10 n  x1  2 .10 x1  1.10 x2 n n  x1 . x2  1   2       x2  x2 x1  x2 x2 2 Như vậy, độ chính xác của x1. x2 phụ thuộc vào giá trị của α1, α2, x1, x2.