Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH

Trần Thị Mỹ Dung

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN

TRONG DẠY HỌC

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ở LỚP 10

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu,

người đã tận tình hướng dẫn, động viên tôi hoàn thành luận văn này.

Xin chân thành cảm ơn:

PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, TS.

Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Ái Quốc, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, PGS.

TS. Claude Comiti, PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình truyền

đạt cho chúng tôi những kiến thức Didactic quý báu.

TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp.

Ban Giám hiệu và Thầy Cô Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu, THPT Chuyên Lê

Hồng Phong, THPT Nguyễn Huệ, THTH ĐHSP, THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa,

THPT Tạ Quang Bửu, THPT Nguyễn Trãi, THPT Ngô Quyền, THPT Nguyễn Văn

Cừ, THPT Lương Thế Vinh, THPT Bùi Thị Xuân, THPT Lê Qúy Đôn TP. Hồ Chí

Minh và THPT Hoàng Lê Kha Tây Ninh đã giúp đỡ tôi hoàn thành thực nghiệm cho

luận văn này.

Ban Giám hiệu trường ĐHSP TP.HCM, Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Lãnh đạo và

chuyên viên phòng KHCN & SĐH đã giúp đỡ, tổ chức tốt lớp học cho chúng tôi.

Các thành viên của lớp cao học Didactic khóa 16 đã động viên tôi trong quá trình

nghiên cứu.

Trần Thị Mỹ Dung

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THPT : Trung học phổ thông

: Sách giáo khoa SGK

: Sách giáo khoa toán đại số 9 – tập 2 hiện hành GK9

: Sách giáo khoa toán đại số 10 cơ bản hiện hành GKCB

: Sách giáo khoa toán đại số 10 nâng cao hiện hành GKNC

: Sách bài tập toán đại số 9 – tập 2 hiện hành BT9

: Sách bài tập toán đại số 10 cơ bản hiện hành BTCB

: Sách bài tập toán đại số 10 nâng cao hiện hành BTNC

: Sách giáo viên toán đại số 9 – tập 2 hiện hành GV9

: Sách giáo viên toán đại số 10 cơ bản hiện hành GVCB

: Sách giáo viên toán đại số 10 nâng cao hiện hành GVNC

: Tổ chức toán học TCTH

: Tổ chức didactic OD

Hệ (m, n) : Hệ gồm m phương trình và n ẩn số

: Giáo viên GV

: Học sinh HS

PTTT : Phương trình tuyến tính

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài và Câu hỏi xuất phát

Trong chương trình toán ở trường phổ thông, hệ phương trình tuyến tính xuất hiện trong cả hai phạm vi đại số và hình học, trước hết với tư cách một đối tượng nghiên cứu, sau đó với tư cách một công cụ để giải quyết nhiều dạng toán khác nhau. Có những hệ thống biểu đạt khác nhau đã được sử dụng để nói về đối tượng này. Không chỉ vậy, hệ phương trình tuyến tính còn xuất hiện và giải quyết nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khoa học khác như vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế, trắc địa, tin học, … và cả trong cuộc sống thường nhật. Chính sự phong phú và đa dạng đó đã thúc đẩy chúng tôi tìm hiểu thật rõ về đối tượng tri thức này. Câu hỏi đầu tiên mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là:

Q1’: Nhìn từ góc độ tri thức toán học, có những phương pháp nào để giải hệ phương trình tuyến tính, cơ sở lý thuyết của các phương pháp ấy là gì ? Ưu, nhược điểm của mỗi phương pháp? Việc giải hệ phương trình tuyến tính giúp giải quyết những vấn đề gì?

Tìm và học được một tri thức cho bản thân mình quả thực có ý nghĩa, nhưng khai sáng tri thức cho nhiều người còn ý nghĩa hơn hàng vạn lần. Là giáo viên giảng dạy toán, điều mà chúng tôi mong muốn nhất là có một bài giảng thật hay gắn với đối tượng tri thức nhắm đến. Một bài giảng không phải là bài thuần lý thuyết mà là để sau đó, học sinh còn có thể thấy được sự cần thiết phải học tri thức ấy, phải thấy rằng biết được tri thức ấy là hé mở ra một chân trời cho nhiều ứng dụng, ích lợi cho thực tế cuộc sống. Chính vì vậy, chúng tôi muốn nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ PTTT.

Tri thức phổ thông là nền tảng cơ bản để từ đó mỗi người có thể tự mình tìm đến miền tri thức cao hơn, xa hơn. Với ý nghĩa đó, chúng tôi chọn thời điểm nghiên cứu thực hành của GV trong dạy học hệ PTTT là ở lớp 10 – lớp cuối cùng mà hệ PTTT chính thức được dạy.

Như vậy, ngoài câu hỏi Q1’, chúng tôi còn tìm kiếm những yếu tố trả lời thích

đáng cho các câu hỏi sau:

Q2’: Gắn với đối tượng hệ phương trình tuyến tính, chương trình toán phổ thông hiện hành quy định dạy những gì và dạy như thế nào? Có sự khác biệt gì so với tri thức toán học? Có những yếu tố nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng nó đã không được xây dựng?

Q3’: Trong thực tế dạy học, giáo viên đã giảng dạy tri thức ấy như thế nào? Có

sự khác biệt, tương đồng nào giữa tri thức toán học, tri thức trình bày trong sách giáo khoa (SGK) và tri thức được dạy?

Q4’: Những sự lựa chọn của chương trình, SGK phổ thông và của giáo viên đã ảnh hưởng như thế nào đến việc dạy, học, hiểu tri thức? Liệu có một sự lựa chọn nào tốt hơn hay không?

 Thế nhưng, căn cứ vào đâu để đánh giá giáo viên theo hệ câu hỏi nêu trên?

Để giải đáp bốn câu hỏi nêu trên, chúng tôi tiến hành tìm kiếm các công trình nghiên cứu đã có liên quan đến hệ PTTT. Kết quả cho thấy, có hai luận văn thạc sỹ gắn với nội dung này. Luận văn thứ nhất của tác giả Nguyễn Thị Như Hà, nghiên cứu về “Máy tính bỏ túi trong dạy – học toán. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10”. Luận văn thứ hai của Nguyễn Thùy Trang, nghiên cứu về “Algorit và tham số trong dạy – học chủ đề phương trình ở trường THPT. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn”. Trong cả hai luận văn này, chưa có một luận văn nào nghiên cứu hoạt động tác nghiệp của giáo viên. Vì lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ PTTT ở lớp 10”.

2. Khung lý thuyết tham chiếu

Đã từ lâu, thanh tra giáo dục thường dự giờ các tiết dạy của giáo viên, giám sát hoạt động của họ trên lớp học rồi đưa ra những nhận xét, đánh giá. Ở cương vị một giáo viên, chúng tôi cũng thường xuyên làm công việc này. Chúng tôi đã dựa vào đâu mà đánh giá? Thường là: giáo viên trình bày bảng ra sao? Sử dụng các phương tiện dạy học như thế nào? Có quản lý tốt học sinh trên lớp hay không? Đặc biệt, về kiến thức, có sai sót gì không và về phương pháp thì giáo viên đó đã sử dụng phương pháp gì, có phù hợp với nội dung và đối tượng dạy học hay không? Như vậy, việc đánh giá chủ yếu chỉ dựa vào hai cơ sở: về mặt pháp lý, đó là những quy định của chương trình; về mặt cá nhân, đó là kinh nghiệm của người dự giờ. Những cơ sở này dường như chưa thực sự thỏa đáng, đặc biệt là yếu tố kinh nghiệm.

Chính didactic đã cung cấp những công cụ cho phép phân tích và đánh giá hoạt động tác nghiệp của giáo viên. Trong những công cụ đó, chúng tôi giữ lại các khái niệm cơ bản của lý thuyết nhân chủng học khi tìm kiếm các yếu tố trả lời cho bốn câu hỏi trên. Các khái niệm đó là: Chuyển đổi didactic, Tổ chức toán học, Quan hệ thể chế, Tổ chức didactic, Quan hệ cá nhân.

Dưới đây chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra tính thỏa đáng cho sự lựa chọn phạm vi lý

thuyết của mình.

 CChhuuyyểểnn đđổổii ddiiddaaccttiicc

Quá trình hình thành và truyền bá một tri thức toán học gồm ba mắc xích cơ bản: hình thành tri thức trong cộng động bác học sau đó biến tri thức ấy thành tri thức cần dạy và từ tri thức cần dạy này biến đổi thành tri thức được dạy. Nghiên cứu thực hành

của GV là nghiên cứu ở khâu tri thức được dạy và GV đóng vai trò như một Noosphère, người thực hiện vai trò chuyển đổi trong mắc xích thứ ba này. Như thế, muốn hiểu xem sự chuyển đổi của GV có thỏa đáng hay không, đòi hỏi ta phải đối chiếu tri thức được GV giảng dạy với tri thức cần dạy mà chương trình, SGK quy định và tri thức toán học. Chính vì vậy, ta cần vận dụng khái niệm chuyển đổi didactic.

 TTổổ cchhứứcc ttooáánn hhọọcc

Làm thế nào để phân tích độ chênh lệch của tri thức khi nhìn từ các góc độ: tri thức toán học, tri thức cần dạy và tri thức được dạy? Chính khái niệm tổ chức toán học là một công cụ hiệu quả để mô hình hóa các tri thức toán học, tri thức cần dạy, tri thức được dạy đó dưới dạng các tổ chức toán học. Từ đó, tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá các tổ chức toán học này để chỉ ra sự chênh lệch (nếu có).

 QQuuaann hhệệ tthhểể cchhếế

Theo quan điểm chuyển đổi didactic, một nghiên cứu tri thức dưới góc độ tri thức cần dạy trong chương trình, SGK chính là một tiêu chuẩn tham chiếu để xem xét, đánh giá tính thỏa đáng của tri thức được giáo viên giảng dạy. Do đó, ta cần phải chỉ ra quan hệ của thể chế I đối với đối tượng tri thức O. Cụ thể, O chính là hệ PTTT và I là thể chế dạy học toán bậc THPT hiện hành.

Để nghiên cứu quan hệ thể chế, đòi hỏi ta phải tiếp cận từ góc độ sinh thái học. Theo cách tiếp cận này, một đối tượng tri thức O không thể tồn tại lơ lửng mà chúng phải nằm trong một thể chế I và có mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O.

 TTổổ cchhứứcc ddiiddaaccttiicc.. QQuuaann hhệệ ccáá nnhhâânn

Một nghiên cứu về thực hành giảng dạy của GV đòi hỏi tất yếu phải trả lời được: GV đã làm thế nào để truyền bá một tổ chức toán học, một tri thức toán học? Tổ chức didactic là công cụ cho phép tìm ra các yếu tố trả lời thích đáng cho câu hỏi ấy.

Chevallar đã không nghĩ rằng mọi tổ chức toán học đều được tổ chức nghiên cứu theo một cách thức duy nhất. Thế nhưng, Ông cũng nhận thấy rằng cho dù con đường nghiên cứu có khác nhau thì một số kiểu tình huống nhất thiết phải có mặt, mặc dầu dưới những hình thức rất khác nhau. Và Ông đã tìm ra được sáu thời điểm nghiên cứu. Lý thuyết này cho phép mô tả kỹ thuật cụ thể để phân tích, đánh giá và phát triển các tổ chức didactic.

Thông qua phân tích thực hành giảng dạy O của GV, chúng ta cũng sẽ phần nào xác định được GV đó đã nghĩ gì về O, hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao, … Đó chính là các yếu tố cấu thành nên mối quan hệ của cá nhân GV đó với đối tượng tri thức O.

3. Mục đích nghiên cứu của luận văn

Trong khuôn khổ của luận văn này, do điều kiện về thời gian nên chúng tôi phải gác câu hỏi Q4’ lại để tập trung vào giải quyết thỏa đáng cho ba câu hỏi Q1’, Q2’, Q3’. Và trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, ba câu hỏi này được trình bày lại như sau:

 Q1: Nhìn từ góc độ một tri thức toán học

Xét trên phương diện đối tượng, có những kỹ thuật nào để giải hệ PTTT? Mỗi kỹ thuật nẩy sinh từ nhu cầu giải quyết những kiểu bài toán nào? Đâu là các yếu tố công nghệ, lý thuyết của từng kỹ thuật? Những hệ thống biểu đạt nào được sử dụng và nó mang lại thuận lợi gì?

Xét trên phương diện công cụ, có những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt; sự mô hình hóa gắn với hệ PTTT đã mang lại những thuận lợi gì?

 Q2: Nhìn từ góc độ tri thức cần dạy ở lớp 10

Xét trên phương diện đối tượng, những kỹ thuật nào đã được khai thác để giải hệ? Có hay không các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật? Tham chiếu với tri thức toán học, kỹ thuật nào đã không có cơ hội xuất hiện? Kỹ thuật nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã không tồn tại? Tại sao? Những hệ thống biểu đạt nào đã được sử dụng và chúng có ảnh hưởng gì? Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa có được thể chế quan tâm đến hay không?

Xét trên phương diện công cụ, những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT đã được đưa vào? So với tri thức tham chiếu, những kiểu nhiệm vụ nào đã không được khai thác? Những kiểu nhiệm vụ nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã không tồn tại? Vì sao? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt được tính đến như thế nào? Vấn đề dạy học mô hình hóa được thể chế quan tâm đến như thế nào?

 Q3: Nhìn từ góc độ tri thức được dạy bởi giáo viên

Xét trên phương diện đối tượng, GV đã khai thác những kỹ thuật nào để giải hệ? Có hay không các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật? Vấn đề về các hệ thống biểu đạt, dạy học bằng mô hình hóa gắn với đối tượng hệ PTTT được GV quan tâm đến như thế nào?

Xét trên phương diện công cụ, những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT đã được GV khai thác? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt; vấn đề dạy học mô hình hóa được GV tính đến như thế nào ?

Các tổ chức didactics (OD) nào đã được GV dùng để triển khai các TCTH trên ?

 So với nghiên cứu tri thức cần dạy, đã có sự khác biệt gì hay không? Vì sao?

4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Luận văn của chúng tôi nhắm đến việc tìm ra những yếu tố trả lời thích đáng cho

ba câu hỏi nêu trên.

 Đối với câu hỏi Q1, do không có điều kiện về tư liệu cũng như về thời gian nên chúng tôi không thể dấn thân vào một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa trên các tài liệu lịch sử toán. Vì vậy, chúng tôi sẽ phân tích một số giáo trình toán dùng ở các trường đại học và một số giáo trình lịch sử tìm được nhằm chỉ ra các yếu tố trả lời cho câu hỏi này. Công cụ lý thuyết mà chúng tôi sử dụng chính là mô hình Tổ chức toán học của lý thuyết nhân chủng. Kết quả sẽ được trình bày trong chương 1 và đây cũng chính là cơ sở tham chiếu cho các nghiên cứu tiếp theo.

 Tham chiếu những kết quả thu được từ chương 1, chúng tôi sử dụng các khái niệm tổ chức toán học, phân tích sinh thái, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân để tiến hành phân tích chương trình toán trung học phổ thông và phân tích các sách giáo khoa toán lớp 10 hiện hành để trả lời cho câu hỏi Q2. Nghiên cứu này sẽ được trình bày trong chương 2.

 Nghiên cứu ở hai chương đầu cho phép chúng tôi dự đoán những gì có thể tồn tại trong lớp học, những điều kiện, ràng buộc trên hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học của học sinh, sự tiến triển và thời điểm quan trọng nhất của việc học, ... Đây là cơ sở để tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 – tiến hành phân tích thực hành của GV. Kết quả nghiên cứu sẽ được trình bày trong chương 3. Trong chương này, ngoài việc chỉ ra các TCTH thực sự được GV dạy trong lớp học, chúng tôi cũng sẽ làm rõ tổ chức didactic mà GV lựa chọn để triển khai các TCTH đó. Cụ thể, dựa vào lý thuyết sáu thời điểm nghiên cứu trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ xác định các thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà GV đã triển khai. Ngoài ra, từ quan điểm chuyển đổi didactic, chúng tôi sẽ chỉ ra sự chênh lệch (nếu có) giữa TCTH được GV dạy trong lớp học với TCTH cần phải dạy.

Q1 Tri thức toán học

Q2 Quan hệ thể chế

 Kết quả nghiên cứu ở ba chương đầu cho phép chúng tôi đưa ra những kết luận gắn với thực tế dạy học và là cơ sở để phát triển tổ chức didactic. Dựa vào những kết quả thu được từ chương 3, từ việc đánh giá các tổ chức toán học và tổ chức

Giáo Viên Q3

didactic kết hợp với những kết quả có được từ nghiên cứu hệ PTTT nhìn từ góc độ tri thức toán học, tri thức cần dạy, chúng tôi sẽ có cơ sở để phát triển tổ chức didactic.

Chương 1:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

NHÌN TỪ GÓC ĐỘ MỘT TRI THỨC TOÁN HỌC

Mở đầu

Nghiên cứu thực hiện ở chương này nhằm làm rõ những đặc trưng của hệ PTTT nhìn từ góc độ một tri thức toán học. Cụ thể, qua nghiên cứu này, chúng tôi muốn tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1:

Xét trên phương diện đối tượng, có những kỹ thuật nào để giải hệ PTTT? Mỗi kỹ thuật nảy sinh từ nhu cầu giải quyết những kiểu bài toán nào? Đâu là các yếu tố công nghệ, lý thuyết của từng kỹ thuật? Những hệ thống biểu đạt nào được sử dụng và nó mang lại thuận lợi gì?

Như đã nói trong phần mở đầu, do không có điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu gốc trên các tài liệu lịch sử toán học. Cùng với vài tài liệu lịch sử tìm được, chúng tôi sẽ tìm kiếm câu trả lời cho những câu hỏi trên trong một số giáo trình dành cho sinh viên toán các trường đại học sư phạm, tổng hợp, kỹ thuật, kinh tế.

Hệ PTTT là một đối tượng xuất hiện trong nhiều phân môn toán học: đại số tuyến tính, phương pháp tính và hình học. Chúng tôi sẽ phải xem xét giáo trình của tất cả các phân môn này. Như thế, hệ thống tư liệu tham khảo của chúng tôi gồm 4 nhóm :

 Nhóm giáo trình đại số tuyến tính: Những giáo trình sau đã được chúng tôi xem

xét :

- Nguyễn Viết Đông – Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ

(2003), Toán cao cấp, tập 2, NXB Giáo dục

- Tạ Văn Hùng – Nguyễn Phi Khứ - Hà Thanh Tâm (2000), Đại số tuyến tính,

NXB Thống Kê

- Trần Văn Hãn (1996), Đại số tuyến tính trong kỹ thuật, Tủ sách trường Đại

học Đại Cương, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp

- V.V. Voevôđin (1983), Đại số tuyến tính, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp, NXB “Mir” Hà Nội – Maxcova. Bản dịch của NXB ĐH và THCN.

 Nhóm giáo trình hình học: Phân môn Hình học chỉ có trong chương trình dành cho các trường đại học sư phạm và tổng hợp. Giáo trình mà chúng tôi đã tham khảo là:

- Nguyễn Mộng Hy (2001), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục

 Nhóm giáo trình phương pháp tính:

- Nguyễn Chí Long (2002), Phương pháp tính, NXB ĐHQG TP.HCM

- Trần Văn Trản (2007), Phương pháp số thực hành, tập 1, NXB ĐHQG Hà

Nội

- Lê Văn Hạp – Lê Đình Thịnh (2000), Phương pháp tính và các thuật toán,

NXB Giáo Dục.

 Nhóm các tài liệu lịch sử: chúng tôi đã sử dụng tư liệu được đăng tải trên hai

trang web:

- J J O'Connor and E F Robertson, “Matrices and determinants”, http://www-

groups.dcs.st- nd.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html.

of Linear Algebra and Matrix Theory”, - “A Brief History

http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html.

Kết quả nghiên cứu của chương được chúng tôi trình bày thành hai phần: hệ PTTT với tư cách một đối tượng và với tư cách một công cụ toán học. Trong phần thứ nhất, chúng tôi sẽ làm rõ những hệ thống biểu đạt được dùng để biểu diễn đối tượng hệ PTTT và đặc biệt là lợi ích của mỗi một trong chúng đối với việc nghiên cứu các kỹ thuật giải hệ phương trình. Trong phần thứ hai, chúng tôi sẽ chỉ ra tác động của hệ PTTT trong hai tổ chức toán học liên quan đến hai bài toán hình học - biểu thị tuyến tính một vectơ qua một hệ hữu hạn vectơ và nghiên cứu sự tương giao của các phẳng.

1.1. Hệ phương trình tuyến tính xét trên phương diện đối tượng

11..11..11.. HHệệ PPTTTTTT vvàà ccáácc hhệệ tthhốốnngg bbiiểểuu đđạạtt

Một hệ PTTT có thể được biểu thị ít nhất bằng ba ngôn ngữ.  Một hệ gồm m phương trình của n ẩn số x1, x2, ..., xn 

* m, n   có dạng



 



b 1 b



 



a x 11 1 a x 21 1

a x 12 2 a x 22 2

... a

 





a x m1 1

x m2 2

x mn n

... a x  1n n  ... a x  2n n  .........................................   

b K (i 1, m; j 1, n





(1.1)

) , K là trường số thực hay số phức, được gọi là hệ PTTT

với

(m phương trình, n ẩn số) trên K.

n

,1

sao cho khi thay

vào các phương trình của hệ (1.1) ta nhận được các đồng nhất thức trên Nghiệm của hệ (1.1) là một bộ n số sắp thứ tự (c1, c2¸..., cn) 

n

xj = cj K.

... a

b 1 b

a 12 a

... a

a 11 a

 Phương trình ma trận



, , Bằng cách đưa vào các kí hiệu

 A a 

 ij m x n

...

... ...

... a

a m1 m2

   2  ...   

      

    ...   

      

x 1 x

   2  ...   

      

X = (và gọi chúng lần lượt là ma trận các hệ số của ẩn, ma trận cột hệ số tự

do, ma trận cột các ẩn), người ta có thể viết hệ phương trình (1.1) ở dạng AX = B (1.2)

Cách viết này được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình (1.1).



 Phương trình vectơ

. xa ij

; ib i



1 

a 1 a

,1



Ta còn có thể viết hệ phương trình (1.1) dưới dạng .

   2  ...   

      



Nếu kí hiệu , , thì hệ (1.1) lại được viết lại dưới dạng mới :

Ax j



1 



A , A , ..., A . Giải hệ n

A , A , ..., A 2

 1

(1.3) hay . x1A1 + x2A2 + ... + xnAn = B

“Ta cũng bảo cột tự do B được biểu thị tuyến tính qua hệ n cột  A , A , ..., A của A bởi tổ hợp tuyến tính x1A1 + x2A2 + ... + xnAn . Như vậy, mỗi nghiệm của (1.1) cho ta một cách biểu thị tuyến tính B qua  (1.1) tương đương với quá trình đi tìm tất cả các cách biểu thị B qua  ” (Nguyễn Viết Đông và các tác giả, tr. 97). Vì không gian các ma trận cột cấp m  là một không gian vectơ m chiều nên phương trình (1.3) được gọi là dạng vectơ của hệ (1.1), và giải hệ cũng có nghĩa là biểu diễn một vectơ qua hệ vectơ đã cho.

Như thế, có ít nhất là ba hệ thống biểu đạt, hay còn gọi là ba ngôn ngữ để viết một hệ PTTT. Để thuận tiện trong trình bày, chúng tôi gọi chúng lần lượt là ngôn ngữ hệ, ngôn ngữ ma trận, ngôn ngữ vectơ.

Với ngôn ngữ hệ, khi giải hệ PTTT ta phải biến đổi trực tiếp trên các phương trình (có cả hệ số và biến số). Điều đó làm cho lời giải khá cồng kềnh, đặc biệt với những hệ có số phương trình và số ẩn tương đối lớn. Lịch sử đã chỉ ra rằng chính vì để khắc phục nhược điểm này mà khái niệm ma trận đã nẩy sinh từ quá trình nghiên cứu kỹ thuật giải các hệ PTTT. Có lẽ cũng vì lý do đó mà tất cả các giáo trình đại học chúng tôi đã tham khảo đều trình bày khái niệm hệ PTTT bằng ngôn ngữ ma trận.

Lúc này, việc giải một hệ PTTT tương đương với việc giải một phương trình ma trận. Ở đây, người ta chỉ thực hiện biến đổi trên ma trận số. Như chúng tôi sẽ chỉ ra trong phần dưới, khi làm rõ những tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ “giải hệ PTTT”, chính cách biểu đạt này đã mang lại nhiều lợi thế cho việc tìm các kỹ thuật giải quyết vấn đề.

Ưu thế của cách biểu đạt hệ PTTT bằng ma trận dường như không còn giữ được với ngôn ngữ vectơ. Tuy nhiên, loại ngôn ngữ thứ ba này lại cho thấy vai trò công cụ của hệ PTTT đối với bài toán “biểu thị tuyến tính một vectơ qua một hệ hữu hạn vectơ”. Vấn đề này sẽ được chúng tôi làm rõ hơn trong phần 1.2 (hệ PTTT trên phương diện công cụ) của chương.

(m,n )

11..11..22.. VVềề ccáácc kkiiểểuu nnhhiiệệmm vvụụ ccoonn ccủủaa kkiiểểuu nnhhiiệệmm vvụụ TT** ““GGiiảảii hhệệ pphhưươơnngg ttrrììnnhh ttuuyyếếnn ttíínnhh””

R DT 

(m,n)

- giải hệ PTTT không chứa tham số và Luận văn Thạc sĩ “Algorith và tham số trong dạy - học chủ đề phương trình ở trường THPT. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” của tác giả Nguyễn Thùy Trang (2005), ĐHSP Tp.HCM rất gần với vấn đề mà chúng tôi nghiên cứu trong phần này. Tác giả đã đề cập đến các tổ chức toán học (TCTH) gắn với hai kiểu nhiệm - giải hệ PTTT có chứa tham số vụ:

(m,n ) R DT 

(R, D tương ứng là chữ cái đầu tiên của hai từ résoudre, discuter trong tiếng Pháp. Ở đây hai từ này được sử dụng với nghĩa “giải” và “biện luận”). Trong bảng 1.1 và bảng 1.2 dưới đây, chúng tôi liệt kê lại những kỹ thuật mà tác giả đã chỉ ra để giải . Hệ thống ký hiệu của tác giả được chúng tôi giữ quyết các kiểu nhiệm vụ ,

nguyên. Để tránh sự dài dòng không cần thiết, chúng tôi sẽ không nêu ở đây các yếu tố công nghệ và lý thuyết mà tác giả đã làm rõ.

Kiểu nhiệm vụ K

ỹ thuật

- Kỹ thuật giải hệ Cramer

(n,n) Cr

- Kỹ thuật đưa về hệ Cramer

(m,n) Cr

Giải trực tiếp

G - Kỹ thuật Gauss

(m,n )

- Kỹ thuật Gauss - Jordan

G J

- Kỹ thuật Cholesky



Cho

Giải hệ PTTT không chứa tham số

- Kỹ thuật căn bậc hai

Rac

- Kỹ thuật trực giao



Orth

Giải gián tiếp

- Kỹ thuật lặp đơn

Ite

- Kỹ thuật Seidel

Sei

Bảng 1.1: Các kỹ thuật giải hệ PTTT không chứa tham số

Bảng 1.2: Các kỹ thuật giải hệ PTTT có chứa tham số

Kiểu nhiệm vụ K

ỹ thuật

(m,n )

- Kỹ thuật đưa về hệ Cramer

Cr

(m,n )

R DT 

- Kỹ thuật Cramer (định thức)



Cramer

G - Kỹ thuật Gauss

Giải hệ PTTT có chứa tham số

- Kỹ thuật Gauss – Jordan

G J

Tán thành với Nguyễn Thùy Trang, chúng tôi cũng phân kiểu nhiệm vụ T* - “giải

tsT

hệ PTTT” thành T- “giải hệ PTTT không có tham số” và - “giải hệ PTTT có chứa

tham số” (ts: tham số), vì đây là cách tốt nhất để có thể làm rõ tầm ảnh hưởng của các kỹ thuật gắn với T*. Cặp (m, n) tương ứng chỉ số phương trình và số ẩn của hệ. Để thuận tiện, chúng tôi sẽ nói hệ (m, n) thay cho hệ PTTT gồm m phương trình, n ẩn.

Cách gọi “kỹ thuật giải hệ Cramer” do tác giả Nguyễn Thùy Trang đề nghị có lẽ không hoàn toàn chính xác, nên chúng tôi sẽ thay bằng “kỹ thuật Cramer”. Kỹ thuật này chỉ áp dụng được cho hệ Cramer. Vả lại, thực ra thì không có sự khác biệt nào trong kỹ thuật giải giữa hệ (m, n) với m  n và hệ (n, n) nhưng không phải là hệ Cramer. Rõ ràng, sự khác biệt ấy nằm ở chỗ hệ phương trình có phải là hệ Cramer hay

không. Vì hai lý do này mà chúng tôi sẽ tách T thành hai kiểu nhiệm vụ con là CT -

Đối với kiểu nhiệm vụ

tsT thì thay cho kỹ thuật Cramer (bảng 1.2) chúng tôi sẽ nói đến “kỹ thuật định thức”. Cách gọi này bao trùm cả kỹ thuật Cramer. Nó chỉ một kỹ thuật có thể dùng để giải không chỉ hệ Cramer mà còn là mọi hệ (n, n) (có số phương trình và số ẩn bằng nhau). Như chúng tôi sẽ chỉ ra trong phần dưới, cách phân các hệ PTTT có chứa tham số thành hai dạng, tùy thuộc vào chỗ số phương trình và số ẩn có bằng nhau hay không, sẽ thuận lợi hơn cho việc nghiên cứu sách giáo khoa cũng hân tích thực hành của giáo viên sau này. như p

Sơ đồ dưới đây trình bày cách phân loại các kiểu nhiệm vụ của chúng tôi.

T*- Giải hệ PTTT

T - Giải hệ PTTT không có tham số

tsT - Giải hệ PTTT có tham số

(m,n )

( n , n )

- Giải hệ (m, n)

tsT

CT - Giải hệ Cramer không có tham số

tsT có tham số (m  n)

CT - Giải hệ không có tham số (không phải hệ Cramer)

- Giải hệ (n, n) có tham số

không phải là hệ Crame “giải hệ phương trình Cramer không chứa tham số” và CT - “giải hệ không có tham số và r”

11..11..33

.. VVềề ccáácc kkỹỹ tthhuuậậtt ggiiảảii qquuyyếếtt kkiiểểuu nnhhiiệệmm vvụụ TT

Như bảng 1.1 đã chỉ ra, Nguyễn Thùy Trang phân các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T (giải hệ PTTT không có tham số) thành 2 nhóm - nhóm kỹ thuật giải trực tiếp và nhóm kỹ thuật giải gián tiếp. Tác giả giải thích cơ sở cho sự phân nhóm các kỹ thuật là: nhóm phương pháp trực tiếp (nhóm phương pháp giải đúng) có đặc điểm chung là sau một số hữu hạn phép tính sẽ có kết quả và nhóm phương pháp gián tiếp là phương pháp giải “gần đúng” hay phương pháp lặp. Nhưng thực ra các kỹ thuật Cholesky, căn bậc hai và trực giao cũng có thể cho kết quả đúng. Hơn thế, về nguyên tắc thì kỹ thuật Gauss luôn cho nghiệm đúng, nhưng trong thực tế, nếu chuyển từ phân số sang cách viết thập phân thì nó lại có thể tạo ra sai số. Vì những lý do này chúng tôi sẽ không phân biệt các kỹ thuật thành hai nhóm như bảng 1.1. Ngoài ra, do mục đích nghiên cứu có gắn với hệ PTTT xét trên phương diện công cụ và sau đó gắn với hoạt động tác nghiệp của giáo viên, chúng tôi sẽ phân tích sâu hơn kỹ thuật Gauss. Cụ thể, để thấy được sự quan tâm đến sai số trong bản thân kỹ thuật Gauss, chúng tôi phân nó thành Gauss nguyên thủy, Gauss với phép chọn bán phần, Gauss với phép chọn toàn phần. Hơn thế, đối với từng kỹ thuật, chúng tôi cũng sẽ cố gắng chỉ rõ nguồ n gốc nẩy sinh, ưu điểm, hạn chế hay nói cách khác là đánh giá tầm ảnh hưởng của nó.

Cần phải nói thêm rằng, do số trang hạn chế của luận văn, chúng tôi sẽ không trình bày chi tiết từng kỹ thuật. Ngoài ra, vì các yếu tố công nghệ, lý thuyết của những kỹ thuật này đều là kiến thức về hệ phương trình tương đương và ma trận nên chúng tôi cũng sẽ không nhắc lại chúng ở đây. Bạn đọc có thể tìm thấy một phân tích chi tiết trong luận văn của Nguyễn Thùy Trang.

Như Nguyễn Thùy Trang đã chỉ ra, gắn với kiểu nhiệm vụ CT có 3 kỹ thuật có

thể được sử dụng: kỹ thuật đưa về hệ Cramer

, kỹ thuật Gauss – Jordan

, kỹ

Cr

G J

thuật Gauss

(m,n) G

 Kỹ thuật đưa về hệ Cramer

1.1.3.1. Các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ CT (giải hệ PTTT không có tham số và không phải là hệ Cramer)

[

BA |

]

A 

Xét hệ PTTT viết ở dạng ma trận AX = B. Gọi

là ma trận hệ số mở

rộng của hệ phương trình, có được bằng cách ghép thêm cột tự do B vào bên phải A.

Kỹ thuật này gồm các bước:

Cr

không có cấp cao nhất của A, A (định thức con cơ sở): rank(A) = r và rank ( A ) = r’

 Tính các định thức con của A, A để tìm ra định thức con D(r), D(r’) khác

 Nếu r < r’ thì hệ phương trình vô nghiệm

 Nếu r = r’ thì hệ phương trình có nghiệm

 Từ một định thức con cơ sở D(r),

chứa 1 dòng của D(r). Bỏ các phương trình không chính.

 Xác định các phương trình chính: hàng hệ số của phương trình chính

Các ẩn còn lại gọi là ẩn tự do, được chuyển sang vế phải và xem như là tham số.

Ta thu được hệ Cramer đối với r ẩn chính.



 Xác định các ẩn số chính: cột hệ số của ẩn chính chứa 1 cột của D(r).

j D

1 

X ' A ' B'



, j 1, r hoặc dùng ma  Giải hệ (r, r) bằng công thức Cramer

trận nghịch đảo

Trong lịch sử, có nhiều bài toán thực tế mà lời giải bao hàm một hệ PTTT. Kỹ thuật đưa về hệ Cramer trong một thời gian dài được sử dụng vì về nguyên tắc nó cho phép giải mọi hệ PTTT. Kỹ thuật này có điểm thuận lợi về phương diện nghiên cứu lý thuyết (công thức nghiệm đưa ra rõ ràng) nhưng lại bất tiện trên phương diện thực hành (phải tính rất nhiều định thức khi hệ phương trình có kích cỡ chỉ mới vừa đủ lớn (số phương trình hay số ẩn lớn) hay các hệ số là số lẻ). Chính vì vậy, kỹ thuật này

 Nhận xét

không được các giáo trình ứng dụng (phương pháp tính, phương pháp số) mô tả. Điều này cũng xẩy ra trong lịch sử, khi mà những câu hỏi về thiên văn và trắc địa học đã

dẫn đến các hệ phương trình với số phương trình rất lớn. Hạn chế này của

được

Cr

khắc phục dần với kỹ thuật Gauss- Jordan và Gauss.

 Kỹ thuật Gauss – Jordan G J

Ở đây người ta tìm rank(A) và rank ( A ) (bằng cách tính các định thức con) và

làm tương tự như kỹ thuật

Cr

sau khi đưa được về hệ Cramer đối với r ẩn chính, thay vì dùng công thức Cramer, kỹ thuật này sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hệ số các ẩn chính về dạng chính tắc (ma trận đơn vị cấp r). Từ đó, thu được nghiệm tổng quát của hệ đã cho theo (n - r) ẩn tự do.

. Riêng với trường hợp hệ phương trình có nghiệm,

So với kỹ thuật đưa về hệ Cramer, khi dùng kỹ thuật Gauss - Jordan ta không phải tính định thức khi hệ có nghiệm mà thay vào đó bằng việc thực hiện các phép

vẫn còn điểm bất tiện là việc

biến đổi sơ cấp trên ma trận. Tuy nhiên, kỹ thuật G J tính các định thức vẫn cần phải trải qua để xác định rank(A) và rank( A ). Do đó, kỹ thuật này vẫn gây khó khăn khi hệ phương trình có kích cỡ lớn.

 Kỹ thuật Gauss

 Nhận xét

Yếu điểm của hai kỹ thuật trên được khắc phục bởi kỹ thuật Gauss. Bằng các

đồng thời

phép biến đổi sơ cấp dòng song song với việc tính hạng A và A , kỹ thuật

G

đưa hệ đã cho về dạng đơn giản vừa cho biết hệ vô nghiệm hay không và nếu có thì cũng dễ dàng tìm được nghiệm. “Số phép tính nhân cần thực hiện theo kỹ thuật Gauss nhỏ hơn số phép tính nhân theo qui tắc Cramer là rất lớn. Cũng với hệ (30,30) và cũng bằng máy tính như trước, chúng chỉ mất có 0,54 phần tỷ giây để giải bằng phương pháp Gauss thay vì 378.080 tỷ năm bằng qui tắc Cramer.” (Trần Văn Trản, tr.181). Kỹ thuật này được mô tả như sau :

: G

của ma trận A để đưa A về dạng bậc thang dòng A ' =[A’|B’].

 Lập ma trận mở rộng A =[A|B]. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

phương trình. Cụ thể:

 Căn cứ vào hạng của A’ và hạng của A ' để kết luận về số nghiệm của hệ

 Nếu rank(A’) < rank ( A ' ) thì hệ vô nghiệm

 Nếu rank(A’) = rank ( A ' ) = n thì hệ có nghiệm duy nhất

 Nếu rank(A’) = rank ( A ' ) = r < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n – r) tham số. Trường hợp này trong dạng bậc thang dòng của A’ tồn tại định thức con

cấp r,

rD 0 , Dr được gọi là định thức con cơ sở. Tính các ẩn chính theo các tham số

(ẩn tự do) ta được nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho.

Ý tưởng cơ bản của kỹ thuật Gauss là khử dần các ẩn số. Từ trên xuống dưới, số các ẩn chính trong các phương trình sẽ giảm dần, cho đến khi phương trình cuối (không kể các phương trình ứng với những dòng bằng không bị bỏ đi) chỉ còn đúng một ẩn chính.

Tùy thuộc vào phép biến đổi sơ cấp dòng được lựa chọn để đưa ma trận mở rộng

A về dạng bậc thang dòng A ' mà ta có các kỹ thuật thuộc loại Gauss nguyên thủy

G

aii

aij

a j*

A về dạng bậc thang. Vì

Nói cách khác, các kỹ thuật này chỉ khác nhau ở khâu đưa thế, chúng tôi chỉ mô tả phép biển đổi sơ cấp mà mỗi kỹ thuật lựa chọn cho khâu này.

, Gauss với phép chọn bán phần , Gauss với phép chọn toàn phần .

G

aii



- Ở bước khử đầu tiên, lấy dòng 1 của A lần lượt nhân với đại lượng

a a

 Phép biến đổi sơ cấp trong kỹ thuật Gauss nguyên thủy :

11a0 

2, m

(giả thiết ) rồi cộng vào dòng thứ i, sẽ khử được biến x1 trong các PT thứ i (với

- …..

- Bằng cách tương tự, ở bước khử thứ k, ta lấy dòng thứ k của ma trận



)

kka  0

a a

vào dòng thứ i, ta sẽ lần lượt khử được xk trong phương trình thứ i.

Thực hiện tối đa qua m-1 bước khử, hệ phương trình đã cho được đưa về hệ

tương đương có dạng bậc thang.

(giả thiết ) rồi cộng (ma trận A sau bước biến đổi thứ k) lần lượt nhân với

 Nhận xét : “Kỹ thuật Gauss nguyên thủy có hai yếu điểm. Một là, ở bước khử nào đó, nếu phần tử trên đường chéo bằng không thì công việc bị dừng lại. Hai là, nếu phần tử trên đường chéo khác không nhưng có trị tuyệt đối nhỏ hơn các phần tử khác cùng cột thì khi chia cho nó sẽ làm tăng sai số tương đối, và do đó khuếch đại sai số làm tròn số, dẫn đến lời giải bị biến dạng mạnh.” (Trần Văn Trản, tr.182). Hai nhược điểm này có thể khắc phục dần bằng thuật toán khử kết hợp với phép chọn bán phần, phép chọn toàn phần sau.

G

phần tử đó nằm ở dòng k

Ngay từ bước 1, người ta chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất trên cột 1. Nếu thì đổi vị trí dòng đó cho dòng 1 rồi thực hiện tiếp các

k 1 

thủ tục khử ở bước khử đầu tiên như trong kỹ thuật Gauss nguyên thủy. Đến bước 2,

 Phép biến đổi sơ cấp trong kỹ thuật Gauss với phép chọn bán phần

cũng lại chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất ở cột hai (từ dòng 2 trở xuống), làm phép đổi vị trí của dòng chứa phần tử đó với dòng 2 (nếu cần thiết) và thực hiện phép khử ở bước khử thứ hai như trong kỹ thuật Gauss nguyên thủy. Cứ như vậy, ở tất cả các bước khử ta đều thực hiện phép chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất trên cột tương ứng và hoán đổi vị trí dòng trước khi tiến hành phép khử.

G

aij



Ở đây, ngay từ bước khử đầu tiên, ta không chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất trên cột 1 mà chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất trong tất cả các phần tử của toàn ma trận. Giả sử đó là phần tử apq nằm ở dòng thứ p và cột

ija (i 1, m, j 1, n)

 

thứ q. Ta gọi dòng p là dòng trội. Lần lượt ta nhân dòng này với thừa số

rồi cộng kết quả vào dòng thứ i. Bằng cách này, ta đã loại bỏ được ẩn xq ra khỏi

p 

i các phương trình của hệ, trừ phương trình thứ p. Loại dòng trội và cột q ra khỏi hệ phương trình vừa biến đổi, ta thu được hệ gồm m-1 phương trình. Tiếp tục thực hiện bước khử kế tiếp với hệ mới này. Ta chỉ cần thực hiện tối đa là (min(m,n)-1) bước khử sẽ có hệ phương trình bậc thang gồm các dòng trội ở các bước khử .

 Phép biến đổi sơ cấp trong kỹ thuật Gauss với phép chọn toàn phần

1.1.3.2. Các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ (Giải hệ Cramer không có tham

Hệ Cramer là hệ PTTT có số phương trình bằng số ẩn và ma trận các hệ số của ẩn không suy biến (ma trận có định thức khác không). Đối với các hệ phương trình này,

và Gauss G đều có thể sử dụng. Thay cho kỹ thuật

hai kỹ thuật Gauss – Jordan G J

, ở đó chỉ cần áp dụng công thức

đưa về hệ Cramer

là kỹ thuật Cramer

Cr

Cr

Cramer để tìm nghiệm. Ngoài ra, do ma trận các hệ số của ẩn không suy biến nên

người ta còn có thể giải quyết kiểu nhiệm vụ

bằng ba nhóm các kỹ thuật khác:

nhóm kỹ thuật phân rã, nhóm các kỹ thuật trực giao và nhóm kỹ thuật lặp. Chúng tôi sẽ không trình bày chi tiết các nhóm kỹ thuật này, chỉ giới thiệu ý đồ của chúng. Bạn đọc quan tâm có thể tìm hiểu qua giáo trình tham khảo (sẽ được giới thiệu tương ứng).

số)

 Nhóm kỹ thuật phân rã

...

Nhóm kỹ thuật này ra đời từ nhu cầu giải các bài toán thực tế về công nghiệp và kinh doanh. Ở đây người ta phải giải một chuỗi hệ phương trình có ma trận các hệ số của ẩn giống nhau: AX = B1, AX = B2, …, AX = Bp.

Tư tưởng chung của nhóm kỹ thuật này là phân rã ma trận A thành tích hai ma trận tam giác đặc biệt S, V. Sau đó, thay vì giải hệ phương trình ban đầu AX = B, ta chỉ việc giải hai hệ PTTT dạng tam giác đặc biệt : SY= B và VX = Y.

Việc phân tích A thành tích S.V chỉ cần thực hiện một lần nhưng lại được dùng để giải nhiều hệ PTTT có cùng ma trận các hệ số của ẩn. Đây chính là ưu điểm của kỹ thuật này so với các kỹ thuật trước đó.

Có ít nhất là ba cách phân tích ma trận A thành tích S.V như vậy. Chúng được

gọi là kỹ thuật Cholesky

, kỹ thuật phân rã LU

, kỹ thuật căn bậc hai

Cho

LU



Cho

Phân tích: A = SV, trong đó S là ma trận tam giác dưới, và V là một ma trận tam giác trên với các phần tử chéo bằng 1. Người ta đã tìm ra công thức xác định các phần tử của ma trận S và V và từ đó có công thức tìm nghiệm của hệ phương trình (tham khảo Nguyễn Chí Long, tr. 127).

 Kỹ thuật Cholesky :

Đây là trường hợp đặc biệt của kỹ thuật Cholesky khi ma trận A là ma trận đối

)



(i, j 1, n 

(tham khảo Nguyễn Chí Long, tr. 131).

xứng, nghĩa là

 Kỹ thuật căn bậc hai 

Tương tự như kỹ thuật Cholesky, nhưng phân rã A thành tích 2 ma trận L và U, trong đó L là ma trận tam giác dưới với các phần tử chéo bằng 1 và U là ma trận tam giác trên (tham khảo Trần Văn Trản, tr.190).

 Nhóm các kỹ thuật trực giao

1A

X A B

A 



(chuyển vị của ma trận A). Như vậy, nghiệm

Đối với một hệ Cramer bất kỳ AX=B, ưu điểm của kỹ thuật Cramer là có thể đưa ngay công thức nghiệm X=A-1B. Tuy nhiên, việc tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận A không đặc biệt không phải là đơn giản. Nhưng, nếu A là ma trận trực giao thì của hệ sẽ được tìm một cách dễ dàng. Kết hợp tư tưởng này với tư tưởng phân rã ma trận hệ số A (nhóm kỹ thuật phân rã), nhóm kỹ thuật trực giao tiến hành phân tích ma trận hệ số A thành tích hai ma trận đặc biệt: một ma trận là ma trận trực giao hoặc gần như là trực giao (có các cột trực giao, các hàng trực giao) và một ma trận tam giác.

 Kỹ thuật phân rã LU LU

cot

Phân tích ma trận A thành tích hai ma trận S, V, với S là ma trận có các cột trực giao, V là ma trận tam giác trên có các phần tử chéo bằng 1. Người ta đã tìm ra công thức cho phép xác định S, V và sau đó là nghiệm của hệ phương trình (tham khảo Trần Văn Trản, tr. 275)

 Kỹ thuật trực giao hóa các cột :

hang



Phân tích ma trận A thành tích hai ma trận L và S, trong đó S là ma trận có các hàng trực giao, L là ma trận tam giác dưới có các phần tử chéo bằng 1. Công thức xác định S, V và sau đó là nghiệm của hệ phương trình cũng đã được tìm thấy (tham khảo Trần Văn Trản, tr. 279)

 Kỹ thuật trực giao hóa các hàng :

 Nhóm các kỹ thuật lặp

...

Đối với những hệ có kích cỡ lớn hoặc hệ gần suy biến, việc giải bằng các kỹ thuật đã nêu không tránh khỏi những sai số do làm tròn số. Điều này làm cho hệ gần suy biến thành hệ suy biến (hệ gần suy biến là hệ mà ma trận hệ số của ẩn có định thức gần bằng không) hoặc nghiệm thu được không chính xác. Trong thực tế, người ta vẫn chấp nhận một khoảng sai số cho phép giữa nghiệm tìm được với nghiệm chính xác thực sự. Nhưng các kỹ thuật giải đã nêu không xác định được khoảng sai số đó trong quá trình giải. Nhóm kỹ thuật lặp đáp ứng được yêu cầu ấy. Kỹ thuật này còn có thể thực hiện vai trò điều chỉnh nghiệm gần đúng (có được từ việc giải bằng các phương pháp khác) về nghiệm gần đúng thuộc khoảng sai số cho phép. Bù lại, trong khi các kỹ thuật giải đã nêu trên cho phép dự đoán trước số phép toán phải thực hiện, thì kỹ thuật lặp lại không. Một qui trình lặp có thể ngưng ngay khi nghiệm gần đúng là đủ chính xác theo ý muốn. Dầu vậy, các phương pháp lặp cũng có thể bị thất bại hoặc thực thi quá chậm đối với một số bài toán.

Tư tưởng chung của nhóm kỹ thuật này là viết lại hệ phương trình dưới dạng X= f(X). Nghiệm gần đúng được tính bằng cách sử dụng nghiệm gần đúng trước đó. Nghiệm đúng có được của hệ trong trường hợp này, về phương diện lý thuyết, là kết quả của một quá trình vô hạn bước lặp. Nhưng trên thực tế, một qui trình lặp có thể ngưng ngay khi nghiệm gần đúng là đủ chính xác cho công việc thực tế (nằm trong khoảng sai số cho phép).

Về nhóm kỹ thuật lặp, bạn đọc có thể tìm thấy trong giáo trình Trần Văn Trản (tr.204-213), ở đó người ta trình bày chi tiết các kỹ thuật lặp đơn, lặp Jacobi (một trường hợp đặc biệt của kỹ thuật lặp đơn), lặp theo Seidel, lặp Gauss – Seidel (một trường hợp đặc biệt của kỹ thuật lặp theo Seidel) và các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật.

tsT (ggiiảảii hhệệ PPTTTTTT ccóó tthhaamm ssốố))

(m,n)

11..11..44.. VVềề kkỹỹ tthhuuậậtt ggiiảảii qquuyyếếtt kkiiểểuu nnhhiiệệmm vvụụ (

tsT

(Giải hệ (m, n) có tham số, trong 1.1.4.1. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ

Về mặt lý thuyết, gắn với kiểu nhiêm vụ này có ba kỹ thuật giải: đưa về hệ

Cramer

, Gauss – Jordan

Cr

G J

, Gauss G . Các giáo trình đại học không nhấn mạnh sự khác biệt trong kỹ thuật giải hệ có chứa tham số và không chứa tham số. Tuy nhiên, về mặt thực hành, việc vận dụng các kỹ thuật vào giải hệ có chứa tham số phức

đó m  n)

tạp hơn khá nhiều, đôi khi khó có thể thực hiện được vì phải biện luận quá nhiều trường hợp của tham số. Trong ba kỹ thuật nêu trên thì kỹ thuật Gauss có ưu thế hơn.

(n,n)

tsT

(m,n )

Ba kỹ thuật dùng để giải quyết kiểu nhiệm vụ

vừa nêu trên đều sử dụng

tsT

(n,n )

. Ngoài ra, việc giải quyết kiểu nhiệm vụ này đánh dấu

được cho kiểu nhiệm vụ

tsT

sự xuất hiện của kỹ thuật định thức

(n,n) D

1.1.4.2. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ (Giải hệ (n, n) có tham số)

 Kỹ thuật định thức

(n,n) D

Tính D = det A và các định thức Dj, j 1, n

(Dj: từ D, thay cột thứ j bởi cột tự do)



- Nếu D 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

, với

X (x , x ,..., x ) n

B-1



hoaëc X=A

j D



  thì kết luận hệ phương trình vô

- Nếu D = 0 và tồn tại

jD 0, 1 j

nghiệm.

 

j 1, n

thì chưa kết luận. Thay giá trị của tham số

- Nếu D = 0 và

jD 0,

(ứng với trường hợp này) vào hệ đã cho và giải theo phương pháp Gauss, hệ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

 Tóm lại, liên quan đến vấn đề giải hệ PTTT, ta có thể nhóm những kiểu

nhiệm vụ trên thành các tổ chức toán học sau:

Bảng 1.3: Các tổ chức toán học liên quan đến việc giải hệ PTTT

Kiểu nhiệm vụ K

ỹ thuật

- Kỹ thuật đưa về hệ Cramer

Cr

- Kỹ thuật Gauss - Jordan

G J

- Gauss nguyên thủy

G

aii

Nhóm kỹ thuật

- Gauss với phép chọn bán phần

G

a j*



Gauss G...

CT Giải hệ PTTT không có tham số và không phải là hệ Cramer

- Gauss với phép chọn toàn phần

G

aij

- Kỹ thuật Cramer

)n,n( Cr

- Kỹ thuật Gauss - Jordan

G J

Nhóm kỹ thuật

- Kỹ thuật Gauss nguyên thủy

G

aii

Giải hệ phương trình Cramer không có tham số



Gauss G...

- Gauss với phép chọn bán phần

G

a j*

- Gauss với phép chọn toàn phần

G

aij

Nhóm kỹ thuật

- Kỹ thuật trực giao cột

cot

trực giao

...

- Kỹ thuật trực giao hàng

hang



- Kỹ thuật Cholesky

Cho

Nhóm kỹ thuật

- Kỹ thuật phân rã LU

LU

phân rã

...

- Kỹ thuật căn bậc hai



Nhóm kỹ thuật

- Kỹ thuật lặp đơn

.don



lặp

...

- Kỹ thuật lặp theo Seidel

.Seidel



)n,m(

- Kỹ thuật đưa về hệ Cramer

Cr

Giải hệ PTTT

- Kỹ thuật Gauss - Jordan

G J

tsT có tham số có số PT và số ẩn bất kỳ

G - Kỹ thuật Gauss

D - Kỹ thuật định thức

)n,n(

- Giải hệ PTTT

- Kỹ thuật đưa về hệ Cramer

Cr

- Kỹ thuật Gauss - Jordan

tsT có tham số có số PT và số ẩn bằng nhau

G J

G - Kỹ thuật Gauss

Ứng với mỗi kiểu nhiệm vụ, ta có một tổ chức toán học bộ phận (organisation ponctuelle). Các tổ chức bộ phận (có chung một công nghệ) nhóm lại với nhau thành tổ chức địa phương (organisation locale). Nhiều tổ chức địa phương (có chung một lý thuyết) kết hợp với nhau thành một tổ chức vùng (organisation régionnale). Yếu tố công nghệ giải thích cho các kỹ thuật giải hệ PTTT nêu trên có thể chia làm ba nhóm: nhóm 1 gồm định lý Kronecker - Capelli về điều kiện có nghiệm, định lý Cramer (giải

nhóm 2 gồm định lý Kronecker - Capelli về điều kiện có nghiệm,

D

Cr ,

;) thích cho 

); nhóm 3, so với nhóm 2, định lý về hệ phương trình tương đương (giải thích cho G J 

có thêm định lý về sai số trong phép chia (giải thích cho G ) nên có a tổ chức toán học địa phương. Và trong đó, hai tổ chức toán học địa phương gắn với nhóm công nghệ 1 và 2 có cùng một yếu tố lý thuyết (lý thuyết hệ phương trình tương đương, lý thuyết ma trận) đã tạo thành một tổ chức toán học vùng.

Trong mọi lĩnh vực của cuộc sống, mọi ngành khoa học, ta đều có thể gặp những bài toán mà việc giải quyết dẫn đến một hệ PTTT. Bởi thế, không thể kể hết các kiểu nhiệm vụ mà hệ PTTT can thiệp với tư cách một công cụ. Trong phần dưới đây, chúng

1.2. Hệ PTTT xét trên phương diện công cụ

tôi sẽ chỉ đề cập đến hai kiểu nhiệm vụ thường gặp trong hình học và, như chúng tôi sẽ chỉ ra ở chương 2, cũng là hai kiểu nhiệm vụ được nghiên cứu trong chương trình môn toán ở trường phổ thông.

n



, cho m vectơ

và

= (ai1, ai2, …, ain), (i 1, m)

 ia

 Kiểu nhiệm vụ Tvt: Trong  B

 B

qua m vectơ

vectơ = (b1, b2, …, bn) . Hãy biểu thị tuyến tính

 ia

11..22..11.. TTCCTTHH ggắắnn vvớớii kkiiểểuu nnhhiiệệmm vvụụ ““bbiiểểuu tthhịị ttuuyyếếnn ttíínnhh mmộộtt vveeccttơơ qquuaa mmộộtt hhệệ hhữữuu hhạạnn ccáácc vveeccttơơ””

 Kỹ thuật

vt



ở dạng:

- Viết hệ thức

 x a + x a + ... + x a = B 1 1

 m m

 1 2

x a

... x a



 



2 21

m m1

x a

... x a

b 1 b



 



x a 1 11 x a 1 12

2 22

m m2

x a

... x a



 



x a 1 1n

2 2n

m mn

    ....   

 - Giải hệ PTTT trên. Nếu hệ có nghiệm (vô nghiệm) thì B

. Nghiệm của hệ chính là các hệ số cần tìm.

tuyến tính qua m vectơ

 ia

(không) biểu thị

 Công nghệ

vt

các phép toán trên vectơ, và công nghệ của kỹ thuật giải hệ PTTT.

 Lý thuyết vt: Lý thuyết vectơ, lý thuyết hệ PTTT.

: Khái niệm tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ, vectơ bằng nhau,

11..22..22.. TTCCTTHH lliiêênn qquuaann đđếếnn vvấấnn đđềề ttưươơnngg ggiiaaoo ggiiữữaa ccáácc pphhẳẳnngg

 Kiểu nhiệm vụ T2p : Nghiên cứu vị trí tương đối giữa p – phẳng Ap (có phương

Vp) và q- phẳng Aq (có phương Vq) có phương trình cho trước.

 Kỹ thuật 2p:

1.2.2.1. TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ “Xét vị trí tương đối của 2 cái phẳng”

Ap và q- phẳng Aq

 Bước 1: Lập hệ PTTT (*) bao gồm tất cả các phương trình của p – phẳng

p q rank(*)



  

V và số điểm chung

A . Đặt d =

phương chung



 Bước 2: Dùng kỹ thuật Gauss đưa (*) về dạng bậc thang, xác định q

 dim V qA và cũng chính là số nghiệm của (*)

s là số điểm chung

 Bước 3: Kết luận về vị trí tương đối của p – phẳng và q- phẳng:

A , A có 1 điểm chung duy nhất.

thì

 Nếu d = 0:

0 thì

A , A gọi là chéo nhau (hoàn toàn).

- và s > 0

- và s

0 ,

 Nếu d

ng có phương

- và d < p, s > 0 thì giao của chúng là một d – phẳng.

chung (chéo nhau không hoàn toàn).

- và d< p, s = 0 thì chúng không có điểm chung như

- và d = p  q, s > 0 thì Ap bị chứa trong

ới Aq

- và d = p  q, s = 0 thì Ap song song v

ới nhau

- và d = p = q, s > 0 thì Ap trùng Aq

 Công

- và d = p= q, s = 0 thì Ap và Aq song song v

g không gian afin An được biểu thị bằng một hệ PTTT với Mỗi m – phẳng tron ến x1, x2, …, xn và có hạng bằng n-m. Phương trình đó gọi là phương trình tổng

các bi quát của m – phẳng. Và ngược lại.

có ph

q p – phẳng A có phương là V và và q- phẳng A V và điểm chung

Trong không gian afin An cho ương là V . Ta giả sử p q . Căn cứ vào phương chung p V

A ta có vị trí tương đối c

hai cái phẳng đó.

ủa

uyết hệ PTTT, lý thuyết vectơ.

 L

nghệ 2p :

 Trường hợp đặc biệt:

ý thuyết HH : Lý thuyết hình học afin, lý th

Kiểu nhiệm vụ

: Xét vị tr

í tương đối của hai siêu phẳng (P):

và

b  

a x i

?2spT

n  i 1 

d  

(Q):

ic x

n  i 1

Có 2 kỹ thuậ để giải

n, áp dụng cho trường hợp đặc biệt cả 2 phẳng đều là siêu phẳng.

Kỹ thuật 2p đã nêu trê

Kỹ thuật’2p : Tính

, ...,

a c

b d

a 1 c 1

Nếu

thì (P) cắt (Q) (

)

i  



i, j 1, n

a c

...







Nếu

thì

(P) //(Q)

a c

b d

a 1 c 1

...



(Q)



Nếu

thì (P)

a c

b d

a 1 c 1

1.2.2 .2. TC

nh cho trước”

 Kiểu nhiệm vụ T2p : “Tìm giao của các phẳng có phương trì

TH gắn với kiểu nhi ệm v ụ “Tìm giao của các phẳng”

 Kỹ thuật 2p :

 Lập hệ PTTT gồm tất cả các phương trình của các phẳng

hì các phẳng giao nhau tại một điểm có tọa độ là

 Giải hệ phương trình

nghiệm của hệ

m thì các phẳng này không có điểm chung

- Nếu hệ có 1 nghiệm t

- Nếu hệ vô nghiệ

hau bởi một k – phẳng có PT là hệ sau khi thu gọn, với k = n - số PT của hệ sau khi thu gọn.

thuyế

Công nghệ và lý thuyết giải thích cho kỹ thuật này cũng chính là công nghệ và lý t của tổ chức toán học xét vị trí tương đối giữa hai phẳng {T2p, 2p, 2p, 2p}

- Nếu hệ có vô số nghiệm thì kết luận các phẳng này giao n

1.3. K

ết luận

phân tích trên đã đưa ra các yếu tố trả lời khá thích đáng cho câu hỏi

Kết quả các ề đặc trưng của hệ PTTT nhìn từ góc độ một tri thức toán học.

Q1 v

Trong phần 1.1. của chương này, chúng tôi đã chỉ ra ba hệ thống biểu đạt stre) của hệ PTTT mà chúng tôi gọi là ba ngôn ngữ biểu đạt: ngôn ngữ hệ, ngôn (regi ngữ ma trận, ngôn ngữ vectơ. Kết quả nghiên cứu của chương này cho thấy các giáo trình đại học đã khai thác tốt ba ngôn ngữ đó. Chính hệ thống biểu đạt một hệ PTTT đã tạo điều kiện thuận lợi cho sự ra đời của các kỹ thuật giải hệ. Với ngôn ngữ hệ, kỹ thuật giải hệ sơ khai chỉ là các phép biến đổi tương đương phương trình. Khi đó, chỉ cần hệ có kích cỡ hơi lớn lời giải cũng đã khá cồng kềnh. Với ngôn ngữ ma trận, việc giải hệ trở nên vô cùng sáng sủa, hàng loạt các kỹ thuật giải hệ ra đời. Kỹ thuật đưa về hệ Cramer gắn liền với định thức của ma trận, kỹ thuật Gauss gắn liền với phép biến đổi sơ cấp trên ma trận, kỹ thuật Gauss – Jordan là bước chuyển dần từ kỹ thuật đưa về hệ Cramer sang kỹ thuật Gauss (thay dần việc tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp ma trận). Kỹ thuật phân rã gắn liền với ma trận tam giác. Kỹ thuật trực giao gắn liền với ma trận trực giao. Cũng khai thác cách biểu diễn theo ma trận, kỹ thuật lặp sử dụng thêm cách viết dưới dạng đẳng thức X = f(X) thuận lợi cho việc lặp nghiệm. Như vậy, tất cả các kỹ thuật đều sử dụng công cụ, hệ thống biểu đạt ma trận. Hay ngôn ngữ ma trận là một trong những điều kiện sinh thái tốt cho sự ra đời của nhiều kỹ thuật giải hệ PTTT. Ngôn ngữ hệ và ngôn ngữ vectơ thì lại cho phép khai thác phương diện hệ PTTT - công cụ đại số trong việc giải quyết nhiều bài toán hình học. Sức mạnh của đại số, của các công cụ đại số đã được khẳng định.

toán học, ta thấy một hệ PTTT lại có Khi xét hệ PTTT với tư cách một công cụ ùng để biểu diễn cho một phẳng hoặc giao của các phẳng (trường hợp đặc biệt là thể d siêu phẳng). Chính điều đó đã mở rộng giá trị công cụ của hệ PTTT vào việc giải các bài toán liên quan đến sự tương giao của các phẳng (vốn khó hoặc không thể giải

11..33..11.. XXéétt vvềề ssựự cchhuuyyểểnn đđổổii pphhạạmm vvii vvàà hhệệ tthhốốnngg bbiiểểuu đđạạtt

quyết bằng các công cụ của hình học (trực quan) trong không gian từ 3 chiều trở lên). Thế nhưng khi không gian có số chiều không vượt quá 3 thì, một cách biện chứng, ta có thể lật ngược lại vấn đề: các phẳng, đặc biệt là các siêu phẳng, lại có thể xem như một hệ thống biểu đạt khác cho những hệ PTTT có số ẩn không vượt quá 3. Chúng tôi gọi đây là hệ thống biểu đạt hình học của hệ PTTT. Lúc này, ta lại có thêm một kỹ thuật khác để giải hệ PTTT: chuyển về xét tương giao các phẳng bằng công cụ của hình học. Ưu điểm của hình học, của các công cụ hình học có thể được khai thác khi giải hệ PTTT. Như chúng tôi đã nói, kỹ thuật này không xuất hiện trong các giáo trình đại học, bởi đối tượng nghiên cứu ở đó là những hệ PTTT có số ẩn tùy ý. Nhưng chắc là cơ hội xuất hiện kỹ thuật này trong chương trình toán học phổ thông thì không phải là ít, bởi ở đây các không gian được xét là không gian vật lý, có số chiều tối đa là 3, và các hệ PTTT cũng chỉ có không quá 3 ẩn. Đây là vùng sống mà các công cụ đại số có thể tồn tại, phát triển, khẳng định sức mạnh đối với nghiên cứu hình học, và ngược lại, các yếu tố của hình học trực quan cũng có thể thể hiện lợi thế của mình trong nghiên cứu đại số, giải tích. Sự thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt (cadre et registre) giữa đại số, giải tích, hình học luôn mang lại những lợi ích quan trọng cho việc học toán (và cả cho việc nghiên cứu toán, như Douady đã nói). Vấn đề này sẽ được chúng tôi quan tâm đến khi phân tích quan hệ thể chế với đối tượng hệ PTTT và khi quan sát thực hành của giáo viên.

Tầm ảnh hưởng của mỗi kỹ thuật 

Như chúng tôi đã phân tích ở trên, kỹ thuật đưa về hệ Cramer mang lại thuận lợi ương diện nghiên cứu lý thuyết nhưng bất tiện trên phương diện thực hành khi hệ về ph ng trình có các hệ số là số lẻ hay có kích cỡ lớn vì ở đó ta phải tính rất nhiều định phươ thức. Kỹ thuật Gauss - Jordan không đòi hỏi phải tính định thức khi hệ có nghiệm.

Tuy nhiên, điều này vẫn phải thực hiện ở bước xác định rank(A) và rank( A ). Yếu điểm của hai kỹ thuật trên được khắc phục bởi nhóm kỹ thuật Gauss. Bằng các phép

ự

biến đổi sơ cấp dòng song song với việc tính hạng A và A , nhóm kỹ thuật này cho phép đưa hệ đã cho về dạng đơn giản đồng thời cho biết hệ vô nghiệm hay không và nếu có thì cũng dễ dàng tìm được nghiệm. Nhưng trong th c hành, nó có thể dẫn tới sai số khá lớn mà ta không đánh giá được sai số đó. Nhóm kỹ thuật lặp đáp ứng được yêu cầu ấy, nghĩa là nó cho phép tìm nghiệm gần đúng với một sai số xác định. Thế nhưng, khác với các kỹ thuật trên, nó lại không cho phép dự đoán trước số phép toán phải thực hiện. Nhóm kỹ thuật phân rã cho phép giải cùng lúc nhiều hệ PTTT có cùng ma trận các hệ số của ẩn, thường gặp trong bài toán thực tế về công nghiệp và kinh doanh. Nhóm kỹ thuật trực giao được xây dựng trên cơ sở kết hợp ưu điểm của nhóm kỹ thuật phân rã và kỹ thuật Cramer, lại tận dụng thêm được tính chất đặc trưng của ma trận trực giao.

 Phân loại kỹ thuật

11..33..22.. XXéétt ttrrêênn pphhưươơnngg ddiiệệnn kkỹỹ tthhuuậậtt ggiiảảii hhệệ PPTTTTTT

Ta cũng có thể phân loại các kỹ thuật tùy theo các đặc trưng đại số, hình học, giải Chúng tôi nói một kỹ thuật thuộc vào nhóm đại số nếu nó chỉ gồm những tính tích. toán đại số, thuộc nhóm kỹ thuật giải tích hay hình học nếu nó có sử dụng kiến thức của các ngành toán học này. Tất cả những kỹ thuật giải hệ PTTT được mô tả ở trên đều có thể xếp vào nhóm đại số, trừ các kỹ thuật lặp có bản chất giải tích (vì muốn tìm được nghiệm chính xác phải qua phép lấy giới hạn). Tuy nhiên, trong thực hành, kỹ thuật lặp cũng đã được đại số hóa, bỏ qua phép lấy giới hạn và chỉ xét trong hữu hạn bước, xấp xỉ nghiệm trong khoảng sai số cho phép. Kỹ thuật hình học hoàn toàn vắng bóng. Điều này có thể giải thích được, bởi khi số phương trình hay số ẩn khá lớn thì ta phải nói đến những p-phẳng của không gian nhiều chiều, mà đối với những không gian có số chiều vượt quá ba thì rõ ràng là hệ thống biểu đạt hình học (registre géométrique) không thể phát huy ảnh hưởng.

Xét về khía cạnh sai số, tất cả các kỹ thuật được chia làm 3 nhóm: nhóm không quan tâm đến sai số, nhóm hạn chế tối đa sai số (do làm tròn số) khi tìm nghiệm, nhóm ước lượng được khoảng sai số của nghiệm gần đúng khi tìm nghiệm. Nhóm thứ nhất gồm 3 kỹ thuật: kỹ thuật đưa về hệ Cramer, kỹ thuật Gauss – Jordan và Gauss nguyên thủy. Nhóm thứ ba gồm các kỹ thuật lặp. Nhóm thứ hai gồm các kỹ thuật còn lại.

Chúng tôi đã chỉ ra những kiểu nhiệm vụ thuộc p hạm vi hình học có chịu sự tác động của hệ PTTT. Không chỉ thế, công cụ này có mặt ở khắp nơi và việc thống kê các kiểu nhiệm vụ là không thể. Chúng tôi dùng thuật ngữ “giải bài toán thực tế” để nói về tất cả những kiểu nhiệm vụ mà lời giải đòi hỏi phải có sự can thiệp của hệ PTTT. Kiểu nhiệm vụ có trong cuộc sống, trong các khoa học vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế, xã hội, v.v… Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, ta phải thực hiện việc mô hình hóa (modélisation).

ười ta có nói đến dạy học mô hình hóa và dạy học bằng Trong didactic toán, ng ình hóa. Điều này là một trong những mối quan tâm của chúng tôi khi nghiên cứu

11..33..33.. XXéétt vvềề pphhưươơnngg ddiiệệnn ccôônngg ccụụ.. SSựự mmôô hhììnnhh hhóóaa..

ngắn gọn về quá Chính vì vậy, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày ở đây một cách mô hình hóa để sử dụng công cụ toán học vào giải quyết một vấn đề của thực tiễn trình hay của các khoa học khác và sau đó là vấn đề dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa.

mô h chương trình, sách giáo khoa và thực hành giảng dạy của giáo viên.

tươn cấu trúc và chức năng.

Mô hình là một đối tượng cụ thể nào đó dùng thay thế cho một nguyên bản g xứng để có thể giải quyết một nhiệm vụ nhất định trên cơ sở sự đồng dạng về

là một mô hình biểu diễn toán học của những mặt chủ yếu của Mô hình toán học một nguyên bản theo một nhiệm vụ nào đó, trong một phạm vi giới hạn, với một độ chính xác vừa đủ và trong dạng thích hợp cho sử dụng. Cụ thể hơn mô hình toán học là các công thức để tính toán các quá trình hóa học, vật lý, sinh học, … được mô phỏng

từ hệ thống thực. (Theo http://www.hcmier.edu.vn/vie/IER-DeptGeoinfo/GeoInfo- Modeling.htm)

Quá trình mô hình hóa toán học được minh họa bằng sơ đồ sau:

Phạm vi ngoài toán học

Câu trả lời cho (bài toán có nội dung thực tiễn

Hệ thống, tình huống cần giải uyết (bài toán có nội dung thực tiễn)

(1)

(5)

ển

chuy

Bài toán phỏng thực tế

Câu trả lời

(BTPTT)

cho BTPTT

(2)

(4)

Sự chuy đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt

Sự ển đổi phạm vi và hệ ống biểu đạt

Giải

Bài toán toán học

Câu trả lời

(3)

(BTTH)

cho BTTH

Phạm vi toán học

Tham khảo sơ đồ - quy trình mô hình hóa một hệ ngoài toán học, Coulange (1997)

giải (BTPTT) bằng cách:

i tiết không quan trọng làm cho bài toán có nội dung thực tiễn Loại bỏ những ch ên dễ hiểu và dễ nắm bắt hơn. Từ đó, xác định các yếu tố, khía cạnh cốt lõi của hệ trở n thống. Rút ra những mối liên hệ, điều kiện, ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi của hệ thống.

ước (1): Tiến hành mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống, tình huống c ần B quyết (bài toán có nội dung thực tiễn) để đưa về một bài toán phỏng thực tiễn

: Chuyển từ một BTPTT thành bài toán toán học (BTTH) bằng cách sử

dụng

Bước (2) hệ thống biểu đạt, công cụ toán học.

ụ toán học để giải BTTH

ược lại từ câu trả

Bước (3): Tìm và áp dụng các công c

lời củ

Bước (4): Nhìn lại các thao tác đã làm ở bước 2 để chuyển ng a BTTH sang câu trả lời cho BTPTT.

1 để tiễn.

N hư vậy, quá trình mô hình hóa toán học đã khai thác việc sử dụng mô hình toán ết hợp với sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt. Điều đó đã tạo nên thế

học k

Bước (5): Phân tích kết quả thu được t ừ BTPTT, nhìn lại những gì đã làm ở bước chuyển từ câu trả lời của BTPTT sang câu trả lời cho bài toán có nội dung thực

mạnh của quá trình mô hình hóa toán học: giải quyết được nhiều vấn đề phức tạp, đa dạng trong nhiều phạm vi ngoài toán học.



Câu trả lời cho bài toán thực tiễn Tri thức cần giảng dạy

Vấn đề dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa đã được tác giả Lê Văn Tiến trình bày trong giáo trình “Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông” (2005). Dạy học mô hình hóa là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn. Từ đó, một quy trình dạy học tương ứng có thể là: Dạy học tri thức toán học lý thuyết Vận dụng các tri thức này vào việc giải các bài toán thực tiễn và do đó vào việc xây dựng mô hình của thực tiễn. Tuy nhiên, quy trình này làm mất đi vai trò động cơ của các bài toán thực tiễn và do đó làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học: tri thức toán học không còn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn. Quan niệm “dạy học bằng mô hình hóa” cho phép khắc phục khiếm khuyết này. Theo quan niệm này, vấn đề là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hóa. Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài toán thực tiễn. Quy trình dạy học tương ứng có thể là: Bài toán thực tiễn Xây dựng mô hình toán học Vận dụng tri thức  này vào giải các bài toán thực tiễn.

 Những kết quả đạt được ở chương này sẽ là một cơ sở tham chiếu cho phân tích thể chế ở chương 2, giúp chúng tôi xác định trong thể chế toán phổ thông hiện hành, những gì trên đây có để lại vết (đậm, mờ nhạt, …), TCTH nào không tồn tại, TCTH nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã không được thể chế xây dựng. Kết quả trên cũng hỗ trợ cho việc quan sát, phân tích thực hành giảng dạy của GV và phát triển tổ chức didactic.

Chương 2:

HHỆỆ PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH TTUUYYẾẾNN TTÍÍNNHH

NNHHÌÌNN TTỪỪ GGÓÓCC ĐĐỘỘ TTRRII TTHHỨỨCC CCẦẦNN DDẠẠYY

Mở đầu

Nghiên cứu thực hiện ở chương này nhằm làm rõ những lựa chọn của thể chế gắn với hệ PTTT nhìn từ góc độ tri thức cần dạy ở lớp 10 hiện hành. Cụ thể, chúng tôi sẽ chỉ ra các yếu tố trả lời cho câu hỏi Q2. Câu hỏi này đề cập đến các vấn đề sau:

- Những kỹ thuật nào đã được khai thác để giải hệ PTTT và các yếu tố công

nghệ, lý thuyết giải thích cho chúng.

- Những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT đã được

đưa vào.

- Tham chiếu với tri thức toán học, những gì đã không có cơ hội xuất hiện,

những gì lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã không tồn tại và lý do tại sao.

- Những hệ thống biểu đạt nào đã được sử dụng và nó có ảnh hưởng gì.

- Vấn đề dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa có được thể chế quan tâm

đến hay không.

Mỗi đối tượng tri thức không thể tồn tại độc lập trong một thể chế, mà nó được sinh ra rồi tồn tại, phát triển trong mối quan hệ với nhiều tri thức khác. Hơn thế, việc dạy học một tri thức thường được phân thành nhiều giai đoạn, và hiển nhiên các giai đoạn đó không thể hoàn toàn độc lập với nhau. Chính vì thế, việc nghiên cứu quan hệ thể chế với một tri thức cần phải được tiếp cận từ góc độ sinh thái học. Theo cách tiếp cận này, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích chương trình toán hiện hành để xác định các điều kiện và ràng buộc sinh thái gắn với đối tượng O tại thời điểm cần nghiên cứu thực hành. Phân tích này nhằm vạch rõ vị trí, vai trò của O trong I, những gì gắn với O được dạy trước và sau thời điểm đó. Từ cách tiếp cận sinh thái và tham chiếu nghiên cứu ở chương 1, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích hệ PTTT trong SGK đại số 10 (cơ bản, và nâng cao) hiện hành.

Để phục vụ cho nghiên cứu này, chúng tôi sẽ sử dụng các tài liệu tham khảo sau: chương trình toán phổ thông (2006), các sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên của các lớp 9, 10, 12 (cơ bản, nâng cao) hiện hành và một số tài liệu tham khảo khác. Để thuận tiện khi trình bày, chúng tôi quy ước một số ký hiệu sau: GK9, GV9, BT9; GKNC, GVNC, BTNC; GKCB, GVCB, BTCB lần lượt là sách giáo khoa (SGK), sách giáo viên (SGV), sách bài tập (SBT) của các lớp 9, 10 nâng cao và 10 cơ bản hiện hành.

2.1. Hệ PTTT trong chương trình toán phổ thông hiện hành

Một trong những mục tiêu của chương trình toán phổ thông hiện hành là giúp học sinh đạt được những kiến thức cơ bản về hệ phương trình bậc nhất, những kỹ năng cơ bản về giải hệ phương trình, giải toán và vận dụng kiến thức toán học trong học tập và đời sống.

2pT

Với mục tiêu đó, hệ PTTT được bố trí chủ yếu trong chương trình đại số của hai lớp 9, 10 và hình học của hai lớp 10, 12. Nó xuất hiện trước tiên với tư cách một đối tượng nghiên cứu và sau đó là công cụ giải một số bài toán đố (vết của các bài toán thực tế), bài toán biểu thị tuyến tính của vectơ (vết của Tvt) và bài toán về sự tương ). Do mục đích là nghiên cứu thực hành giảng giao của các phẳng (vết của T2p,

dạy của GV phần “hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, nên chúng tôi chọn thời điểm này làm mốc để xét các điều kiện và ràng buộc sinh thái.

cho sự xuất hiện và phát triển của Điều kiện sinh thái 2.1.1. Điều kiện sinh thái cho sự xuất hiện và phát triển của 00



Ngay từ cấp 1 và trải dài đến lớp 8, chương trình môn toán đã đưa vào các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân để giải các bài toán tìm x. Đây là cơ sở để hợp thức các phép biến đổi trong kỹ thuật cộng, thế khi giải hệ (2,2). Cũng trong đại số 8, các bài toán đố mà việc giải đòi hỏi phải lập phương trình bậc nhất một ẩn đã được đưa vào nghiên cứu. Đây là một vùng sống của sự mô hình hóa toán học và cũng chính là một nấc thang chuyển tiếp đến các bài toán được giải bằng cách lập hệ phương trình. Hệ phương trình thì bao gồm nhiều phương trình nên việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cũng sẽ được làm tương tự.

để đoán nhận số nghiệm của hệ (2,2). Đến lớp 9, hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0) cùng đồ thị của nó đã được đề cập. Trên cơ sở này, người ta trình bày các yếu tố của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c: nghiệm, tập nghiệm, minh họa hình học tập nghiệm. “Khái niệm đường thẳng xác định bởi (hay biểu diễn tập nghiệm của) phương trình ax + by = c được xây dựng dựa vào đồ thị của hàm số bậc nhất”. Cách vẽ đường thẳng ax + by = c cũng được xem xét. Những tri thức này là tiền đề để đưa vào hệ (2,2) với cả ngôn ngữ hệ lẫn ngôn ngữ hình học. Và từ đó, các kỹ thuật đại số (vết của kỹ thuật Gauss), kỹ thuật hình học để giải hệ (2,2) và việc áp dụng các kỹ thuật này để giải các bài toán về vị trí tương đối của đường thẳng có điều kiện xuất hiện. Thêm vào đó, gắn với nội dung hàm số bậc nhất, cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cũng đã được đúc kết: hai  0) song song với nhau khi và chỉ đường thẳng y = ax + b (a 0) và y = a’x + b’ (a’ khi a = a’, b b’; trùng nhau khi và chỉ khi a = a’, b = b’; cắt nhau khi a a’. Đây chính là các yếu tố nền tảng cho kỹ thuật hình học: căn cứ vào tỷ lệ các hệ số c b a a ' b ' c '

Hệ PTTT được trình bày chính thức trong GK9 nhằm mục tiêu “cung cấp phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng các ứng dụng trong việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” (GV9 tr.3). Với mục tiêu này,

kỹ thuật cộng, thế để giải hệ (2,2), kỹ thuật giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là những nội dung được chú trọng.

Và sau đó, trong phân môn hình học lớp 10, học sinh được nghiên cứu mặt phẳng tọa độ, tọa độ của vectơ. Ngôn ngữ vectơ xuất hiện trong một số bài toán về sự biểu thị tuyến tính vectơ. Còn trong phân môn đại số 10, các nội dung về hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất hai ẩn một lần nữa lại được nhắc đến (tương tự như đại số 9) trước khi O được đưa vào. Tuy nhiên, có một sự khác biệt nhỏ là có đưa thêm vào phần mệnh đề tương đương. Sự khác biệt này đã tạo tính hợp thức toán học cho các kỹ thuật cộng và thế để giải hệ PTTT.

 Như vậy, tại thời điểm nghiên cứu O, các hệ thống biểu đạt hệ PTTT như ngôn ngữ hệ, ngôn ngữ vectơ và ngôn ngữ hình học cùng các kỹ thuật giải hệ (2,2) như kỹ thuật cộng, thế và cả kỹ thuật hình học đều đã được đưa vào trước đó. Các kiểu nhiệm vụ giúp khẳng định chức năng công cụ của hệ PTTT đã phần nào được xem xét và hoàn toàn có điều kiện để phát triển và hoàn thiện.

Ràng buộc sinh thái cho sự xuất hiện và phát triển của 0 2.1.2. Ràng buộc sinh thái cho sự xuất hiện và phát triển của 0

Sau khi “hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” được dạy chính thức trong đại số lớp 10, chức năng công cụ của hệ PTTT được tiếp tục mở rộng khai thác trong hình học 10, 12. Cụ thể, trong chương “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở hình học lớp 10, “phương pháp tọa độ trong không gian” ở lớp 12, phương trình của đường thẳng và phương trình của mặt phẳng đã được định nghĩa tường minh. Ở đây, hệ PTTT được dùng để giải nhiều bài toán về sự tương giao của đường thẳng, mặt phẳng, về sự biểu thị tuyến tính của vectơ như: xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian tọa độ, xét sự tương giao giữa các đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, biểu thị tuyến tính 1 vectơ qua hệ vectơ trong không gian tọa độ. Đây là mảnh đất mà công cụ hệ PTTT có thể sống, hoạt động và phát triển.

 Trong chương trình chỉnh lý hợp nhất, hệ PTTT là công cụ chiếm ưu thế trong việc giải các bài toán liên quan đến sự tương giao giữa mặt phẳng, đường thẳng. Trong chương trình hiện hành, ưu thế đó đã giảm tuy nhiên vẫn tồn tại. Một số dạng toán hình học giải tích ở lớp 10, 12 và nhiều bài toán của vật lý, hóa học thuộc chương trình các lớp 9, 10, 11, 12 chỉ được giải bằng cách đưa về hệ (2,2), hệ (3,3). Ở đây, người ta cũng đòi hỏi học sinh phải biết giải và giải nhanh các hệ này. Và vì vậy nên trước đó, các kỹ thuật giải hệ (2, 2), (3, 3) đã phải được đưa vào nghiên cứu trong SGK. Tóm lại, chính những giá trị công cụ đã nêu là ràng buộc sinh thái khiến tri thức hệ PTTT tất yếu không thể vắng mặt và tạo điều kiện cho sự xuất hiện của máy tính bỏ túi (đưa nhanh ra nghiệm của hệ) trong chương trình toán phổ thông hiện hành.

2.2.2.2. Hệ PTTT trong các SGK toán phổ thông hiện hành

Chương trình toán cấp 3 hiện hành gồm hai chương trình nâng cao và cơ bản. Chương trình nâng cao được soạn ra để dành riêng cho ban khoa học tự nhiên. Trong chương trình này, tri thức môn toán được dạy nâng cao hơn so với chương trình cơ

bản. Chính vì vậy, chúng tôi lựa chọn phân tích SGK toán lớp 10 nâng cao trước rồi từ đó mới phân tích SGK toán lớp 10 cơ bản trên cơ sở so sánh đối chiếu với SGK 10 nâng cao. Mục tiêu khi phân tích mỗi SGK là tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi Q2.

Trong việc phân tích từng SGK, chúng tôi gần như sẽ giữ nguyên bố cục, thứ tự trình bày như ở chương 1: Hệ PTTT trên phương diện đối tượng, Hệ PTTT trên phương diện công cụ. Điều này giúp chúng tôi dễ dàng lấy kết quả ở chương 1 làm tham chiếu để phân tích quan hệ thể chế. Đồng thời, bên cạnh việc đảm bảo theo thứ tự đó, chúng tôi sẽ theo tiến trình của SGK nhằm phục vụ tốt cho việc quan sát và phân tích thực hành của giáo viên ở chương 3. Vì hệ được xét trong chương trình phổ thông thường là hệ (2,2), (3,3) nên các chỉ số này sẽ được dùng làm chỉ số trên trong ký hiệu các kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật, … Ví dụ như T(2,2) ký hiệu kiểu nhiệm vụ giải hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn không chứa tham số.

Hệ PTTT được đưa vào tường minh trong đại số 9. Do đó, muốn phân tích tốt hệ PTTT trong SGK đại số 10 thì việc nhìn lại cuộc sống của nó trong quá khứ để thấy những gì đã được xây dựng, những gì đã làm được và những gì lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã không được đưa vào là điều thật sự cần thiết. Cụ thể, chúng tôi đã tiến hành phân tích SGK đại số 9, nhưng vì đây không phải là thời điểm gắn với nghiên cứu thực hành của GV nên chúng tôi chỉ trình bày tóm tắt các kết quả đạt được.

Khái niệm hệ PTTT được đưa vào trực tiếp mà không xuất phát từ bất kỳ một động cơ nào. Cụ thể, GK9 đã không giới thiệu dù chỉ là một bài toán để thấy được nhu cầu phải nghiên cứu đối tượng này. Việc minh họa hình học tập nghiệm của hệ (2,2), các kiểu nhiệm vụ đoán nhận số nghiệm của hệ (2,2), giải hệ (2,2) và giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lần lượt được xem xét trong phần lý thuyết và bài tập. GK9 đã khai thác ngôn ngữ biểu đạt hình học trong việc xét vị trí tương đối của hai đường thẳng từ đó kết luận số nghiệm của hệ. Việc xét vị trí tương đối này được thực hiện bằng một trong hai cách: vẽ 2 đường thẳng có phương trình lần lượt là hai

a c b a ' b ' c '

của hai phương trình. Hệ phương trình trong hệ hoặc dựa vào tỉ lệ các hệ số

(2,2) cũng được giải bằng kỹ thuật hình học (vẽ hai đường thẳng) nhưng GK9 chủ yếu nhấn mạnh hai kỹ thuật mang bản chất đại số (cộng, thế). Gắn với vấn đề giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, xét tất cả các tình huống trong ví dụ, bài tập mà GK9, BT9 đưa ra cho thấy chúng có chung các đặc điểm sau: Dữ liệu bài toán vừa đủ, không thừa, không thiếu;hai ẩn số cần chọn là hai yếu tố cần tìm trong câu hỏi của bài toán; hệ phương trình được lập luôn có một nghiệm duy nhất; sau khi giải hệ, nghiệm của hệ cũng chính là nghiệm của bài toán đố (thực tế) ban đầu. Từ đó, năm bước của quá trình mô hình hóa đã không có điều kiện để thực hiện đầy đủ, đúng nghĩa.

Kết quả phân tích cũng cho thấy, có những điều mà GK9 đã không làm được mặc dù hoàn toàn có triển vọng thực hiện. GK9 đưa vào kiểu nhiệm vụ đoán nhận số nghiệm của hệ trước nhằm để hỗ trợ việc giải hệ (2,2), tức là đoán số nghiệm rồi mới giải hệ (2,2). Tuy nhiên, ý đồ đó đã không thành công. Hai kiểu nhiệm vụ ấy còn

đứng khá độc lập, chưa kết dính với nhau. Không có bất kỳ một bài tập hay tình huống nào trong GK9 và cả BT9 minh họa cho điều này. Các kỹ thuật hình học đã được khai thác dù khá mờ nhạt so với các kỹ thuật đại số và từ khi hai kỹ thuật đại số (cộng, thế) xuất hiện thì chúng đã lấn át luôn các kỹ thuật hình học. Nếu như ở chương 1, kỹ thuật Gauss với phép chọn bán phần, toàn phần đã chọn các hệ số có giá trị tuyệt đối lớn nhất khi chia nhằm giảm sai số thì trong SGK lớp 9 lại chọn các số có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất vì thuận lợi cho việc viết dưới dạng phân số và vì ở lớp 9, việc tìm nghiệm gần đúng hoàn toàn không xuất hiện. Phân tích GK9 cho thấy đã không có một tình huống nào giúp bộc lộ tường minh ưu, khuyết điểm của từng kỹ thuật. Đây cũng chính là điều mà chúng tôi nghĩ hoàn toàn có thể làm được trong GK9. Cụ thể, có thể đưa ra những ví dụ về hệ (2,2) vô nghiệm hay vô số nghiệm mà việc dùng các kỹ thuật hình học để đoán nhận số nghiệm có thể kết luận ngay được tập nghiệm, trong khi dùng kỹ thuật đại số lại gặp khó khăn; hoặc với kiểu tình huống xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (có phương trình cho trước) thuộc phạm vi hình học được giải bằng cách chuyển về bài toán đoán nhận số nghiệm của hệ (2,2) mà không cần giải hệ. Lúc đó, ưu thế của kỹ thuật hình học có thể được HS nhận ra. Hoặc có thể đưa ra một số ví dụ, bài tập yêu cầu giải hệ bằng nhiều kỹ thuật, trong đó, có những hệ phương trình chỉ thuận lợi cho việc dùng kỹ thuật này hoặc chỉ thuận lợi cho kỹ thuật kia, …sẽ giúp HS tự nhận thấy được ưu – khuyết điểm của từng kỹ thuật một cách tường minh. Việc khắc phục tính không chính xác của kỹ thuật hình học (vẽ đường thẳng) có thể được thực hiện bằng cách dùng các phần mềm toán học. Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa đã không được tính đến khi đưa vào khái niệm hệ PTTT. Mặc dù kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế bằng cách giải hệ (2,2) được nhấn mạnh nhưng vấn đề dạy học mô hình hóa gắn với hệ PTTT chưa có một vùng sống thực sự hay nói đúng hơn là còn khá hạn chế vì nhiều ràng buộc. Trong khi đó, thực tế thì lẽ ra khái niệm hệ có thể được đưa vào từ nhu cầu giải quyết bài toán thực tế, bài toán hình học, … Với cách tiếp cận này, HS sẽ thấy được động cơ, nhu cầu thực tiễn, … của việc nghiên cứu hệ PTTT. Và cũng có thể tạo ra vùng sống rộng hơn cho vấn đề dạy học mô hình hóa.

 Tuy nhiên, tất cả những điều chưa làm được ở lớp 9 cũng không thể nói đó là sự thiếu xót vì lớp 10 mới là lớp cuối cùng mà hệ PTTT được dạy chính thức. Có thể những điều đó sẽ được bổ sung trong chương trình lớp 10 hiện hành.

Hệ PTTT trong SGK toán lớp 10 nâng cao hiện hành [GKNC] 2.2.1. Hệ PTTT trong SGK toán lớp 10 nâng cao hiện hành [GKNC] 2.2.1.

Hệ PTTT được đưa vào trong chương 3 với mục tiêu:

- Về kỹ năng: Giải thành thạo hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn với hệ số bằng số; lập và tính thành thạo các định thức cấp hai D, Dx, Dy từ một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước; biết cách giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số. (Theo GVNC , tr.125)

- Về kiến thức: Nắm vững khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, tập nghiệm và ý nghĩa hình học của nó; nắm được công thức giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức cấp hai.

Nội dung này được triển khai cụ thể trong bài “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” (3 tiết), Bài đọc thêm “Giải hệ phương trình bậc nhất bằng máy tính Casio fx- 500 MS” và phần “Luyện tập” (2 tiết).

2.2.1.1. Hệ PTTT trên phương diện đối tượng

Trong cả bài “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” lẫn bài đọc thêm “Giải hệ phương trình bậc nhất bằng máy tính Casio fx- 500 MS”, GKNC đều đề cập đến các nội dung gắn với hệ (2,2) trước và sau đó là hệ (3,3).

(2,2)T

A. Hệ (2,2)

Khái niệm hệ (2,2) và kiểu nhiệm vụ xuất hiện trực tiếp mà không xuất phát

từ động cơ nào.

 Khái niệm

2 a '

2 b '





(I)

Sau khi nhắc lại kiến thức về phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm của nó thì hệ (2,2) được đưa vào dưới dạng ngôn ngữ hệ: “Cho hai phương trình bậc nhất hai 2 ). Khi đó, ta có hệ ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’ (tức là

 và 0 b ax by   a ' x b ' y 

c 

  

hai phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

… ” (GKNC, tr.87)

và tiếp theo là sự xuất hiện của ngôn ngữ hình học nhưng không có một ví dụ hay hoạt động nào gắn với nội dung này: “Giả sử (d) là đường thẳng ax + by = c và (d’) là đường thẳng a’x + b’y = c’. Khi đó

1. Hệ (I) có nghiệm duy nhất  (d) và (d’) cắt nhau;

3. Hệ (I) có vô số nghiệm  (d) và (d’) trùng nhau.”

2. Hệ (I) vô nghiệm  (d) và (d’) song song với nhau;

(2,2)T

(GKNC, tr.88)

 TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ : Giải hệ (2,2)

GKNC đưa ra các kỹ thuật thế, cộng đại số, kỹ thuật định thức và kỹ thuật sử dụng

máy tính bỏ túi.

 Kỹ thuật cộng và thế (vết của kỹ thuật Gauss ở chương 1)

“Ở lớp dưới, học sinh đã làm quen với các phương pháp cộng đại số và phương pháp thế để giải hệ (2,2). Do đó, nói chung trong bài này chỉ cần cho học sinh làm một (GVNC tr.125) vài bài tập để ôn lại hai phương pháp này (xem H1)”.

Hoạt động H1 được triển khai cụ thể trong GKNC (tr.87) như sau:

 

Giải các hệ phương trình sau:

2x 5y  x 3y 5





2x 6y   x 3y 

 2  





  

3x y 1     1 1   3 3

”

Ba hệ (2, 2) được cho ở trên bao hàm đủ ba trường hợp: có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm. Các yếu tố công nghệ, lý thuyết của kỹ thuật thế, cộng đại số đã không được nhắc lại. Xét phần bài tập trong GKNC và GVNC thì hai kỹ thuật này là một trong ba kỹ thuật được lựa chọn khi giải các bài toán được chuyển về hệ (2,2).

 Kỹ thuật định thức (vết của D ở chương 1) được đưa vào một cách tường minh, không xuất phát từ nhu cầu nào cả. Sau đó là các ví dụ minh họa việc dùng kỹ thuật này để giải hệ (2,2) có hoặc không có tham số. Cụ thể:

“ 2. Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

(1)

a) Xây dựng công thức

( ) I

(

ax by   ' a x b y 



  

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

c b '

' 



)

 a b x '

Nhân hai vế của phương trình (1) với b’, hai vế của phương trình (2) với –b rồi cb cộng các vế tương ứng, ta được 

(4)





ac ' a 'c 

Nhân hai vế của phương trình (1) với –a’, hai vế của phương trình (2) với a rồi

 ab ' a ' b y

và

D ab ' a ' b, D 



cb ' c ' b 



ac ' a 'c . 

cộng các vế tương ứng, ta được 

D.x D 

(II)

Trong (3) và (4), ta đặt

D.y D 

  

Khi đó, ta có hệ phương trình hệ quả x

x; y

Đối với hệ (II), ta xét các trường hợp sau đây:



x DD y ; D D

    

   

i. D 0, lúc này hệ (II) có nghiệm duy nhất 

Ta thấy đây cũng là nghiệm của hệ (I)

0x D 

H2: Hãy thử lại rằng (5) là một nghiệm của hệ (I) để khẳng định kết luận trên

0y D 

  

0 thì hệ (II) vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm.

 hoaëc

ii. D=0, lúc này hệ (II) trở thành



 thì hệ (II) có vô số nghiệm. Tuy nhiên muốn tìm

 Nếu

nghiệm của hệ (I), ta phải trở về hệ (I) (do (II)) chỉ là hệ phương trình hệ quả).

0 (trường

b '

D a 

b ' a ' b 

  

Theo giả thiết, hai số a và b không cùng bằng 0 nên ta có thể giả sử a

0 cũng giải tương tự). Ta có:

ac ' a 'c 0

c '



  



a ' a a ' a

ax by 



hợp b

(ax by) 



a ' a

   

Bởi vậy, hệ (I) có thể viết thành

cách giải)” Do đó, tập nghiệm của hệ (I) trùng với tập nghiệm của ax + by = c (ta đã biết (GKNC, tr.88, 89)

Vì là trọng tâm cần nhắm đến nên kỹ thuật này được xây dựng rất rõ ràng dựa trên kỹ thuật cộng đại số và một số kiến thức về phương trình hệ quả, phép biến đổi tương đương đã biết (yếu tố lý thuyết).



Đoạn trích dẫn trên cho thấy, công thức được xây dựng có thể áp dụng cho tất cả những hệ thỏa điều kiện có ít nhất một trong hai phương trình phải là phương trình bậc nhất hai ẩn (gọi tắt là điều kiện (1,2)). Nhưng kết quả tóm tắt dưới đây lại cho thấy, GKNC (tr.90) đã thể chế hóa với phạm vi sử dụng hẹp hơn - chỉ được sử dụng khi

2 b '





2   a   2 a ' 

hệ đó phải thỏa điều kiện (gọi tắt là điều kiện (2,2)).

ax by 







c '

(a '

b '

a ' x b ' y 







   

; y



“Kết quả trên có thể tóm tắt như sau:

D x D

y D

i. D 0 : Hệ có một nghiệm duy nhất (x;y), trong đó



hoaëc

ii. D = 0

0 :



Hệ vô nghiệm.

D phương trình ax + by = c”

Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của

Để thuận tiện đề cập trong các phần sau, chúng tôi gọi kết quả được tóm tắt ở trên

(2,2)

là kết quả 2.2.

'D

(2,2)

Định thức cấp hai được đưa vào như một ký hiệu thuận tiện, dễ nhớ cho việc tính D, Dx, Dy. Từ đó, GKNC minh họa việc vận dụng định thức cùng kết quả nêu trên để giải hệ (2,2) không chứa tham số và có chứa tham số. Hai hệ (2,2) không chứa tham số lần lượt được nêu trong ví dụ 1 và hoạt động H4 đã không nêu bật được sự cần thiết của kỹ thuật mới được sự xây dựng. Vì ta có thể dễ dàng giải chúng bằng các kỹ thuật cộng, thế đã có ở lớp 9. Nhưng, đến ví dụ 2 (một bài toán yêu cầu giải và biện luận hệ phương trình có chứa tham số) thì đã phần nào thấy được sự cần thiết này. Và mặc dù cả ba bài toán vừa được xét đều dùng định thức và áp dụng kết quả trên để giải, nhưng bước kiểm tra điều kiện (2,2) đã hoàn toàn không được thực hiện. Điều này có thể do mục tiêu chủ yếu cần nhắm đến là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn tức hệ đã thỏa điều kiện (2,2). Việc thể chế hóa kết quả tóm tắt ở trên cùng việc bỏ hẳn bước kiểm tra điều kiện (2,2) tất yếu sẽ dẫn tới sự ra đời kỹ thuật , ngăn cản sự xuất hiện của

D

'D

(chương 1). Kỹ thuật có nội dung như sau: Tính D, Dx, Dy

D x D D

y D

 x     y 

0 hoặc

0 thì kết luận hệ vô nghiệm

 Nếu D 0 kết luận hệ có nghiệm duy nhất

 Nếu D 0 và

D D 



kết luận hệ có vô số nghiệm (x,y) thỏa một  Nếu

(2,2)

phương trình của hệ …

'D

D

(2,2)

D D 



0

Hai kỹ thuật và khá giống nhau, chỉ có sự khác biệt nhỏ trong trường

'D

(2,2)

ta có thể kết luận ngay hệ có vô hợp . Vì khi điều này xảy ra, theo

D

(2,2)

thì chưa thể kết luận được mà còn phải thay giá trị số nghiệm, trong khi đó, theo

D'θ

'D

(2,2)



của tham số vào hệ phương trình đã cho để xét xem nó vô nghiệm hay vô số nghiệm. Như đã nói, yếu tố công nghệ . Thế nhưng, lời giải trong (kết quả 2.2) là của

D

(2, 'D

(2,2)

ví dụ 2 đã sử dụng kỹ thuật chứ không phải . Điều này cho thấy việc xây

tsT

(2,2)

dựng TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ đã có sự nhập nhằng giữa ba khâu: xây dựng

D

'D

(2,2

(2,2)

,2)



các yếu tố kỹ thuật, công nghệ cho cả và ; thể chế hóa yếu tố công nghệ

D'θ )

'D

(2 D

)

(2,2)

)



cho ; triển khai kỹ thuật giải cụ thể . Như vậy, tổ chức toán học GKNC

(2,2) D

(2, /  2) D

(2,2 T ts

D

(2,2) D

(2,2 D

 

 

 

(2,2)

. Nhưng tại muốn đề cập ở đây là ,

 T  mà không thể chế hóa một kết quả đúng với phạm vi hợp thức

D'θ

(2,2)

sao lại thể chế hóa

D'θ

D

nhưng lại triển khai

(rộng hơn) đã chứng minh được? Tại sao thể chế hóa ? Những hệ chứa tham số được xét trong GKNC có phải lúc nào cũng thỏa điều kiện (2,2) với mọi giá trị của tham số hay không?

(2,2)

Điều này sẽ được giải đáp qua nghiên cứu hệ thống bài tập trong GKNC và BTNC:

tsT

 Các bài tập gắn với



có số lượng khá nhiều (10 bài trong GKNC và 6 bài trong BTNC). Xem xét các hệ phương trình được cho trong GKNC, BTNC cho thấy: không phải tất cả những hệ chứa tham số được xét đều thỏa điều kiện (2,2) nhưng luôn

x my 1  mx 3my 



2m 3 

  

(2,2)

thỏa điều kiện (1;2). Ví dụ như phương trình thứ 2 của hệ (câu a, bài

D

'D

(2,2)

39, GKNC) có các hệ số trước x và y (m và -3m) có thể đồng thời bằng 0 khi m=0. Và mặc dù với những hệ thỏa điều kiện (1,2) thì cả đều cho kết quả đúng và

D

tsT

(2,2)

nhưng . đã được GKNC chọn để giải

D

(2,2)

Tham chiếu nghiên cứu ở chương 1 cho thấy, được xây dựng để giải và biện

'D

D

(2,2)

luận cho mọi hệ PTTT có tham số có 2 phương trình và 2 ẩn, tức phạm vi hợp thức của nó rộng hơn . Tuy nhiên, tại . Và có thể đó là lý do mà Noosphère sử dụng

D'θ

'D

(2,2)

có được cho phép sử dụng hay không? sao lại thể chế hóa và liệu

'D

(2,2)

 Xem phần hướng dẫn giải các dạng bài tập (trong GVNC, tr.131) liên quan đến hệ chứa tham số như với giá trị nào của tham số thì hệ phương trình có nghiệm, hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau) cho thấy kỹ thuật đã được sử

'D

dụng:“Hệ có vô số nghiệm, tức là D=Dx=Dy=0”, “(d1) và (d2) trùng nhau  D=Dx=Dy=0” và điều kiện (2,2) đã hoàn toàn không được xét đến. Như vậy, trong trường hợp này xem như thể chế đã chấp nhận .

(2,2)

D

'D

 Rõ ràng đã có một sự nhập nhằng giữa và , chấp nhận hay không

'D

. Liệu khi giảng dạy, GV có thay đổi gì để tránh sự nhập nhằng này chấp nhận (2,2)

'D

(2,2)

hay không? Có chấp nhận (2,2) hay không? Nếu chấp nhận (2,2) thì GV có quan tâm đến

D

'D

và hay không? Câu trả lời sẽ tìm thấy sự khác biệt về tầm ảnh hưởng của (2,2)

trong chương 3.

mt

để giải hệ (2,2) được đưa vào trong bài  Kỹ thuật sử dụng máy tính (2,2)

(2,2)

đọc thêm.

mt





Lời giới thiệu ban đầu trong GKNC (tr.94): “Máy tính Casio fx – 500MS có thể giúp ta tìm nghiệm đúng và nghiệm gần đúng (với chín chữ số thập phân) của hệ phương trình bậc nhất với các hệ số bằng số” đã nêu lên tầm ảnh hưởng của kỹ thuật đã được nêu tường minh ngay từ đầu mà không cần xây dựng: mới này. Kỹ thuật

c 1 c





a x 1 a x 2

b y 1 b y 2

  

“Để giải hệ , ta phải vào chương trình tương ứng bằng cách ấn liên

tiếp các phím MODE MODE 1 2. Sau đó, nhập từng hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 bằng cách ấn phím tương ứng với mỗi hệ số đó và phím =”. Các yếu tố công nghệ, lý thuyết hoàn toàn vắng mặt.

(2,2)



Kỹ thuật này được minh họa qua 4 ví dụ. Trong đó, các hệ phương trình được cho có các đặc trưng riêng biệt: hệ 1 (ở ví dụ 1) có hệ số và nghiệm là số nguyên; hệ 2 cho kết quả nghiệm gần đúng (chín chữ số thập phân) và chuyển được về nghiệm hữu tỉ; hệ 3 có hệ số và nghiệm là số vô tỉ, cho kết quả là nghiệm gần đúng có chín chữ số thập phân nhưng không chuyển được về nghiệm hữu tỉ; hệ 4 khi bấm máy tính thì xuất hiện dòng chữ Math error. Đối với hệ 4, GKNC chỉ kết luận: “điều đó có nghĩa là hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định. … ” tức là chưa giải được hệ. Vì thực ra, (2,2) không đưa ra được kết quả khi hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm, nhưng điều này mt đã không được GKNC phát biểu tường minh.

(2,2) mt

mt

 

 / .../ ... 

. Kỹ thuật có ưu Như vậy, TCTH được đề cập ở đây là

(2,2)

điểm là đưa ra kết quả nghiệm nhanh chóng (nghiệm đúng khi hệ Cramer có nghiệm hữu tỉ và nghiệm gần đúng khi hệ có nghiệm vô tỉ) nhưng không thấy được tiến trình giải hệ và không đưa ra được nghiệm chính xác khi hệ có nghiệm vô tỉ.

mt được cho có nghiệm vô tỉ và hệ số chứa căn thức. Đó là những tình huống giúp bộc lộ (2,2) (ngầm ẩn) phần nào ưu điểm, hạn chế của . Thể chế đã không nói gì đến việc khai mt thác ưu điểm của kỹ thuật này trong việc giải các bài toán thực tế đưa về hệ (2,2), các bài toán mà khâu giải hệ chỉ đóng vai trò trung gian và chỉ cần đưa ra kết quả nhanh chóng.

Xem xét hệ thống bài tập, GKNC có 2 bài và BTNC có 3 bài với các đặc trưng sau: gắn với việc tìm nghiệm gần đúng (có thể dùng máy tính bỏ túi), những hệ (2,2)

B. Hệ (3,3)

 Khái niệm





d 1 d





Hệ (3,3) là nội dung hoàn toàn mới đối với học sinh nhưng nó cũng được đưa vào trực tiếp mà không xuất phát từ nhu cầu, động cơ nào. Sau khi trình bày mục “1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn” và “2. Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn”, bước qua mục “3. ví dụ về giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn”, hệ (3,3) đã được trình bày ngay dưới dạng ngôn ngữ hệ: “Hệ ba phương trình bậc nhất ba





a x b y c z 1 1 1 a x b y c z 2 2 a x b y c z 3 3

    

ẩn có dạng tổng quát là trong đó các hệ số của ba ẩn x, y, z trong

mỗi phương trình của hệ không đồng thời bằng 0. Giải hệ phương trình trên là tìm tất cả các bộ ba số (x;y;z) đồng thời nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ” (GKNC, tr.92)

(3,3)T

 GKNC đã không đưa vào một ngôn ngữ biểu thị nào khác như ngôn ngữ ma trận, vectơ, hình học. Lý do có lẽ cũng dễ hiểu. Với ngôn ngữ ma trận thì do chủ trương chương trình toán phổ thông không cho đưa vào ma trận. Với ngôn ngữ vectơ thì vì không gian tọa độ, vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian tọa độ chưa được đưa vào. Với ngôn ngữ hình học, phương trình bậc nhất ba ẩn là biểu thị cho một mặt phẳng trong không gian tọa độ, nhưng vì khi học hệ (3,3) không gian tọa độ chưa được đưa vào, phương trình mặt phẳng cũng chưa được đưa vào. Việc chỉ đưa vào ngôn ngữ hệ dẫn đến việc giải hệ (3,3) cũng chỉ có thể dựa vào các phép biến đổi tương đương (vết của kỹ thuật Gauss).

: Giải hệ (3,3) không có tham số  TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ

Nhìn chung có ba kỹ thuật giải hệ (3,3) là kỹ thuật cộng, kỹ thuật thế, kỹ thuật

dùng máy tính bỏ túi.



 Kỹ thuật thế, cộng đại số được minh họa thông qua việc giải một hệ (3,3) cụ thể: từ phương trình đầu tiên của hệ, biểu diễn z theo 2 ẩn x, y rồi thay vào 2 phương trình còn lại của hệ được hệ (2,2) với hai ẩn x, y; giải hệ này để tìm x, y rồi suy ra giá trị của z, nghiệm chính là bộ ba số (x, y, z) vừa tìm được. Kỹ thuật giải hệ (3,3) đã được khái quát lên thông qua nhận định sau: “Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để quy về giải các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế giống như đối với hệ phương trình hai ẩn” (GKNC, tr.93). Như

(2,2)

(2,2) và

the

cong 

để giải hệ (3,3): dùng kỹ thuật cộng vậy, có 2 nhóm kỹ thuật



(3,3)θ

hoặc kỹ thuật thế để đưa về hệ (2,2) rồi giải hệ (2,2) bằng các kỹ thuật đã biết. Chúng

) ( 3 ,3 c o n g

_ th e

của nhóm kỹ thuật chính là nhận định tôi ký hiệu chung là . Công nghệ

vừa nêu ở trên. Và đây cũng là yếu tố công nghệ của kỹ thuật giải hệ (n,n) tổng quát.

(3,3)



(3,3) cong _ the

 

 / ... 

(n ,n )



Như vậy, TCTH cần giảng dạy ở đây là và TCTH chuẩn bị

(n ,n ) cong _ the

 

 / ... 

cho tương lai là .

Xét hệ thống bài tập thì GKNC có 2 bài tập (có kèm theo yêu cầu dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả) và BTNC có 4 bài. Tất cả các hệ (3,3) được đề nghị đều có một đặc trưng: có ít nhất một hệ số trước biến là bằng 1 hoặc -1 vì chương trình chỉ yêu cầu học sinh biết kỹ thuật này để giải được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đơn giản.

(3,3) mt

Tương tự như

, kỹ thuật này cũng được đưa vào trong bài đọc thêm (GKNC,

( 2 ,2 ) mt





d 1 d





tr. 96): « Để giải hệ phương trình

 Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi





a x 1 a x 2 a x 3

b y c z  1 1 b y c z  2 b y c z  3

    

ta phải vào chương trình tương

không được GKNC minh họa tường minh qua ví dụ. Điều này có lẽ vì nó được ứng bằng cách ấn liên tiếp các phím MODE MODE 1 3 . Sau đó, việc nhập từng hệ số a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2,d2, a3, b3, c3, d3 cũng giống như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ». Các yếu tố công nghệ, lý thuyết của nó cũng hoàn toàn vắng mặt. (3,3) mt

(2,2) mt

(3,3)



xem như là tương tự với và dễ dàng tự nắm được.

(3,3) mt

 

 / ... / ... 

(2,2)



(3,3)T

cũng cho những kết luận tương tự Xét phần bài tập gắn với

(2,2) mt

(3,3) mt

 / .../ ...





như với trong đó có vai trò . GKNC có 2 bài gắn với

(3,3) cong _ th

kiểm tra kết quả sau khi giải hệ (3,3) bằng và 2 bài trong BTNC yêu cầu là

(3,3)T



“dùng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm gần đúng …” với đặc điểm là các hệ số và nghiệm của hệ (3,3) là các số vô tỉ. Như vậy, TCTH được đề cập ở đây

(3,3) mt

 

 / .../ ... 

là

2.2.1.2. Hệ PTTT trên phương diện công cụ

Chỉ xuất hiện trong phần bài tập gắn với các kiểu nhiệm vụ sau:

 Giải bài toán thực tế

(2,2) thucteT

(3,3)

: Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ (2,2)

thucteT

: Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ (3,3)

(2,2)

 Xét sự tương giao giữa các phẳng, siêu phẳng

2dtT

: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Tdquy : Xét sự đồng quy của các đường thẳng

A. TCTH liên quan đến vấn đề xét sự tương giao của các phẳng, siêu phẳng

(2,2) 2dtT

 Kiểu nhiệm vụ “Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng”

Vì GKNC có trình bày mối tương quan giữa số nghiệm của hệ (2,2) và vị trí tương đối của hai đường thẳng nên kiểu nhiệm vụ này có cơ hội xuất hiện. Xét hệ thống bài tập, thấy GKNC có 1 bài và BTNC có 1 bài. Kiểu nhiệm vụ này (kí hiệu là ) được mô tả cụ thể như sau: Cho 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình là : a1x + b1y = c1; a2x + b2y = c2. Hãy xét vị trí tương đối của chúng. Mặc dù kiểu nhiệm vụ này hoàn toàn có thể được giải quyết bằng một kỹ thuật đã được xây dựng ở lớp 9 (căn

a b c a ' b ' c '

), nhưng nó đã không được sử dụng. Thay vào đó là kỹ cứ vào tỉ lệ các hệ số

(2,2) 2dt



thuật với nội dung như sau:

c 1 c

a x b y  1 a x b y 



  

 Lập hệ (I)

(2,2) D'

 Dùng để xác định m thỏa điều kiện tương ứng :

 (d1) //(d2)  D = 0 và Dx  0 (hoặc Dy  0) ….

 (d1) và (d2) cắt nhau  D  0 …

 (d1) và (d2) trùng nhau  D = Dx = Dy = 0 …

Sự lựa chọn này có lẽ vì mục tiêu GKNC nhắm đến là dùng định thức để giải các bài toán có liên quan đến các hệ phương trình có chứa tham số, để ngầm thấy được ưu (2,2) điểm của kỹ thuật định thức. Công nghệ giải thích cho kỹ thuật này chính là mối 2dtθ

tương quan giữa số giao điểm của hai đường thẳng và số nghiệm của hệ (2,2).

 Kiểu nhiệm Tdquy: Xét sự đồng quy của các đường thẳng

Kiểu nhiệm vụ này chỉ xuất hiện trong 1 bài tập trong BTNC. Và nó được giải bằng kỹ thuật dquy . dquy khai thác mối liên hệ tương đương: các đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi hệ gồm các phương trình của các đường thẳng đó có nghiệm duy nhất .

 Việc nghiên cứu GK9 và BT9 cho thấy, những bài toán gắn với sự đồng quy, tương giao của các đường thẳng, điểm thuộc đường thẳng chỉ xuất hiện trong phần bài tập làm thêm BT9. Điều này chứng tỏ, kiểu nhiệm vụ này không bắt buộc giáo viên phải dạy cũng như học sinh phải học. Trong lớp 10 nâng cao, GKNC chỉ khai thác hệ (2,2) để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, hệ (3,2) để giải bài toán về sự đồng quy của 3 đường thẳng. Với số lượng bài tập quá ít (1 bài trong GKNC và 2 bài trong BTNC), ta có thể nói rằng: ngôn ngữ hình học và giá trị công cụ của hệ PTTT trong việc giải các bài toán hình học dường như không được chú trọng.

B. TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế

Kiểu nhiệm vụ Tthucte xuất hiện 3 lần trong phần bài tập của GKNC, và 3 lần trong BTNC. Với 6 bài toán thực tế này, học sinh sẽ phải chuyển từ bài toán ban đầu về các hệ (2,2) hoặc (2,3) hoặc (3,3) rồi giải hệ. Ta thấy, kiểu nhiệm vụ này chỉ được đề cập trong phần bài tập và cũng chỉ với số lượng khá ít. Điều này chứng tỏ nó có vai trò khá mờ nhạt. Xét về khía cạnh dạy học mô hình hóa, so với GK9, dường như ở đây cũng không có gì tiến triển, ngoài việc có 2 bài toán phỏng thực tế đưa về việc giải hệ, trong đó, có 1 bài dẫn đến việc giải hệ (2,2) có chứa tham số và 1 bài (trong BTNC) đưa về việc giải hệ (2,3) và trong lời giải của 2 bài toán này, có sự khác biệt giữa tập nghiệm của hệ và tập nghiệm của bài toán thực tế ban đầu.

2.2.1.3. Kết luận SGK 10 nâng cao:

 Các kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật có mặt trong GKNC và BTNC cùng số lượng bài

tập được thống kê vào bảng sau:

Bảng 2.1: Thống kê số lượng bài tập trong GKNC và BTNC

SGK GK10NC SBT Phạm vi Tổng

Lý thuyết

Kỹ thuật

BT10NC

Bài tập

Ví dụ - hoạt động

Kiểu nhiệm vụ



(2;2) cong

(2;2)

the

(2,2)

D

(2,2)

3 0 0 3 3 0 0 T(2;2) 8 2 4 2

mt

(2,2)

Kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi 6 4 0 2

D

tsT

đại số 15 1 10 4



(3,3) cong the

(3,3)T

(3,3)

mt

8 2 4 2 4 0 2



(2;2) thucte

2 3 0 1



(3;3) thucte

1 2 0 1 Tthucte



(2;3) thucte

(2,2)

Kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi thực tế 0 1 0 1

2dt

2dtT

1 2 0 1

0 0 1 1 Tdquy dquy2 Kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi hình học

12 20 19 51 Tổng

Kết quả cho thấy, các kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi đại số đóng vai trò trọng tâm. Hệ có số phương trình và số ẩn khác nhau chỉ xuất hiện ít ỏi trong BTNC. Kỹ thuật định thức giữ vị trí độc tôn trong việc giải các bài toán có tham số. Chức năng công cụ của hệ PTTT trong việc giải các bài toán thực tế không được quan tâm nhiều. Những bài toán thuộc phạm vi hình học quá mờ nhạt, gần như không xuất hiện nên dường như không thể hiện được vai trò của mình. GKNC chỉ kế thừa kỹ thuật cộng và thế từ GK9 để giải hệ (2;2), các yếu tố khác đã gần như không được kế thừa và phát triển.

Như vậy, tri thức cần ôn lại gồm các TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ giải hệ (2,2) bằng kỹ thuật cộng, thế; kiểu nhiệm vụ giải bài toán bằng cách lập hệ (2,2), xét vị trí tương đối của các đường thẳng. Tri thức cần dạy mới cũng khá đa dạng: các TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ giải và biện luận hệ (2,2) bằng định thức, giải hệ (2,2) bằng kỹ thuật sử dụng máy tính, giải hệ (3,3) bằng kỹ thuật cộng - thế hay kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi, giải bài toán bằng cách lập hệ (3,3), dùng kỹ thuật định thức để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (phương trình có tham số). Và trọng tâm được đặt vào vấn đề giải và biện luận hệ (2,2) bằng định thức. Các TCTH được xét đều là vết của các TCTH đã được chỉ ra ở chương 1.

 Kết quả phân tích cũng đã phúc đáp khá thích đáng cho câu hỏi Q2 mà mục

tiêu ban đầu đặt ra.

Xét về sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt

Ngoài việc đưa vào ngôn ngữ hệ, ngôn ngữ hình học (mối tương quan giữa vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng và số nghiệm của hệ (2,2)) như GK9, GKNC có đưa thêm vào khái niệm hệ (3,3) dưới ngôn ngữ hệ. Ngôn ngữ này giúp khai thác vết của kỹ thuật Gauss để giải hệ (3,3). Ngôn ngữ hình học giúp tận dụng hệ (2,2) làm công cụ giải các bài toán hình học (xét vị trí tương đối của hai đường thẳng) tuy nhiên còn khá mờ nhạt. Ngôn ngữ ma trận không được đưa vào, định thức cấp hai được đưa vào như “một ký hiệu thuận tiện” trong việc dùng định thức để giải và biện luận hệ (2,2) và các bài toán có tham số. Ngôn ngữ vectơ hoàn toàn vắng mặt.

Xét trên phương diện kỹ thuật giải hệ PTTT

Các kỹ thuật đại số chiếm ưu thế, các kỹ thuật hình học bị xem nhẹ. Việc dùng các kỹ thuật hình học để đoán nhận số nghiệm, giải hệ (2,2) hoặc tìm nghiệm gần đúng không hề được nhắc đến trong GKNC. Kỹ thuật cộng, thế là vết của kỹ thuật Gauss; kỹ thuật định thức trong GKNC là vết của kỹ thuật định thức ở chương 1.

Các kỹ thuật giải hệ đều không quan tâm đến sai số khi tính toán. Việc tìm nghiệm gần đúng, nghiệm của các hệ phức tạp chỉ gắn liền với máy tính bỏ túi. Điều này khẳng định một bước chuyển: tăng cường dạy kĩ năng áp dụng khoa học kỹ thuật trong dạy học.

Các kỹ thuật được đưa vào tường minh để giải hệ mà không đề cập đến ưu khuyết điểm của từng kỹ thuật trong mối tương quan với các kỹ thuật khác, nhu cầu phải bổ

sung thêm kỹ thuật mới. Chỉ có yếu tố công nghệ - lý thuyết của kỹ thuật định thức là được quan tâm.

Xét về phương diện công cụ. Dạy học mô hình hóa và bằng mô hình

hóa

Phương diện công cụ của hệ PTTT hầu như không được đề cập trong phần lý thuyết, chỉ xuất hiện mờ nhạt qua một số ít bài toán đố thực tế, bài toán về sự tương giao của các đường thẳng. Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa đã không được quan tâm. Không có bài toán thực tế, bài toán hình học nào đóng vai trò động cơ cho sự xuất hiện của hệ (2,2), (3,3). Các kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật mới xuất hiện là yêu cầu của toán học chứ không có lý do tồn tại nào. Vấn đề dạy học mô hình hóa có được quan tâm. Nhưng, thực tế cho thấy nó bị xem nhẹ và không là mục tiêu nhắm đến. Tất cả các tình huống mà bài tập đưa ra đều có chung một số ràng buộc: dữ liệu bài toán vừa đủ không thừa, không thiếu; các ẩn số cần chọn là các yếu tố cần tìm trong câu hỏi của bài toán; việc giải hệ không ưu tiên sử dụng kỹ thuật máy tính để cho kết quả nhanh mặc dù đa số là hệ không chứa tham số; sau khi giải hệ, nghiệm của hệ thường là nghiệm của bài toán đố ban đầu; bài toán đố luôn có nghiệm. Như vậy, việc dạy học mô hình hóa hệ PTTT chưa được tạo một vùng sống thực sự.



 Từ góc độ sinh thái học, tham chiếu kết quả vừa nghiên cứu với tri thức toán học, chúng tôi có một số đề xuất về các TCTH có thể tồn tại: Triển khai một cách

(2,2) T ts

(2,2) D

(2,2) T ts

(2,2) D'

 

 

  nhằng liên quan đến ( 2 , 2 )

để tránh sự nhập nhất quán hoặc

  ( 2,2) D '

D

và ; tạo ra các tình huống giúp học sinh nhận ra tường

minh tầm ảnh hưởng, vùng sống (ưu, khuyết điểm) của từng kỹ thuật giải hệ (2,2) như giải hoặc giải và biện luận hệ phương trình bằng nhiều kỹ thuật, tận dụng kỹ thuật dùng máy tính bỏ túi trong các bài toán thực tế; cần bổ sung các bài toán về sự biểu thị tuyến tính vectơ; xây dựng các tình huống, bài toán thực tế để tạo vùng sống phong phú hơn cho vấn đề dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa; …

hiện hành [GK 2.2.2.. Hệ PTTT trong SGK toán 10 cơ bản hiện hành [GKCB] 2.2.2 Hệ PTTT trong SGK toán 10 cơ bản CB]

Trong chương trình đại số lớp 10 cơ bản, hệ PTTT được trình bày trong chương 3: Phương trình và hệ phương trình. Theo GVCB (tr.65), nội dung này được trình bày trong GKCB với“Mục tiêu: Cung cấp cho HS một số kiến thức cơ bản về cách giải hệ ba phương trình”, “Nội dung: Hệ thống lại hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày trong toán 9 và bổ sung thêm cho hoàn chỉnh một số vấn đề sau: cách giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn dựa trên các ví dụ; cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính bỏ túi (trong hướng dẫn cách giải ở phần bài tập SGK)”, “Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn theo phương pháp Gau-xơ, giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất, sử dụng máy tính bỏ túi để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn.”

Với mục tiêu đó, nội dung này được trình bày trong bài “Hệ phương trình bậc

nhất nhiều ẩn” (2 tiết) và bài đọc thêm.

Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích trên cơ sở so sánh, đối chiếu với GKNC, GK9,

chương 1.

2.2.2.1. Hệ PTTT trên phương diện đối tượng

A. Khái niệm

GKCB cũng đưa vào khái niệm hệ (2,2) và hệ (3,3) như GKNC. Tuy nhiên, GKCB

không đưa vào ngôn ngữ hình học của hệ (2,2) – giao của hai đường thẳng.

B. TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ giải hệ PTTT

(2,2)T

Cũng có các kiểu nhiệm vụ cơ bản là giải hệ (2,2) và hệ (3,3).

 Kiểu nhiệm vụ : Giải hệ (2,2)

(3,3)T

GKCB cũng ôn lại các kỹ thuật thế, cộng đại số và đưa ra kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi tương tự GKNC. Sự khác biệt cơ bản là GKCB không trình bày kỹ thuật định thức.

(3,3)

: Giải hệ (3,3) không chứa tham số  Kiểu nhiệm vụ

mt

(3,3) Δ

Nhìn chung, cũng khá tương tự như GKNC, GKCB đưa vào 2 kỹ thuật giải: kỹ . Sự khác biệt là ở kỹ , kỹ thuật sử dụng máy tính thuật đưa về hệ tam giác

(3,3) Δ

(3,3) dạng tam giác và một hệ có các hệ số đều khác không):

x 3y 2z





x 2y 2z





4y 3z 



. Kỹ thuật này được xây dựng thông qua việc giải hai ví dụ cụ thể (một hệ thuật

1 2 2   4   



  3 2 2z 3, 

     

   2x 3y 5z   4x 7y z  

Mặc dù, GKCB chỉ đề cập đến 1 cách khử duy nhất nhưng GVCB (tr.76) đã nói rõ: “Các hệ phương trình khác đều biến đổi được về dạng tam giác bằng phương pháp khử dần số ẩn. Ta có thể khử ẩn x ở phương trình thứ hai rồi khử ẩn x và y ở phương trình thứ ba. Tất nhiên không nhất thiết lúc nào cũng phải đưa về dạng tam giác theo cách đó, mà cũng có thể khử z ở phương trình thứ hai, rồi khử y, z ở phương trình thứ ba, … Tuy nhiên dù khử theo cách nào cũng là khử dần số ẩn để đưa về dạng tam giác.” .

(3,3) Δ

Như vậy, kỹ thuật để giải hệ (3;3) trong GKCB cũng gồm 2 công đoạn: dùng

kỹ thuật cộng đại số đưa hệ (3,3) về dạng tam giác, dùng kỹ thuật thế để giải hệ tam giác. Đây chính là kỹ thuật Gauss. GVCB (tr.76) giải thích sự lựa chọn này của GKCB như sau: “Đối với hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, nếu hướng dẫn cho học sinh rút một ẩn theo hai ẩn còn lại thì không cung cấp cho học sinh một phương pháp giải rõ

ràng. Vì vậy, SGK giới thiệu ngay hệ phương trình dạng tam giác và nêu cách giải

(3,3) Δ

chúng”. So với GKNC, chỉ là một trong các kỹ thuật đã có trong GKNC. Các yếu tố

công nghệ, lý thuyết gần như không được đề cập mà chỉ nêu: “Việc giải hệ phương trình dạng này rất đơn giản”, “Mọi hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn đều biến đổi được về dạng tam giác, bằng phương pháp khử dần ẩn số” (GKCB, tr.66). Sự không quan tâm đến yếu tố công nghệ, lý thuyết của GKCB cũng có thể hiểu là vì bản chất của nó cũng tương tự đối với hệ (2;2) và các kỹ thuật thế, cộng đại số đã được học ở lớp 9.

(3;3)

Xét hệ thống bài tập, GKCB có 4 bài, BTCB có 4 bài. Tất cả các hệ được xét đều có ít nhất một hệ số trước biến bằng 1 cho thấy thể chế chỉ yêu cầu học sinh biết vận dụng kỹ thuật này để giải những hệ (3,3) đơn giản. Như vậy, TCTH cần giảng dạy

(3,3) Δ 

 

 / .../ ... 

2.2.2.2. Hệ PTTT trên phương diện công cụ

Có các kiểu nhiệm vụ cơ bản là giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ (2,2), hệ (3,3) và chỉ xuất hiện trong phần bài tập. Hoàn toàn vắng bóng các kiểu nhiệm vụ liên quan đến vectơ, sự tương giao của các phẳng, siêu phẳng.

 TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế

thucteT

Khác với GKNC, đây là một trong những mục tiêu quan trọng cần đạt: “Biết giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất một cách thành thạo.” (GVCB, tr.75). Tuy nhiên, thực tế xem xét hệ thống bài tập được cho trong GKCB và BTCB cho thấy, vấn đề dạy học mô hình hóa cũng không được chú trọng nhiều hơn, ngoài số lượng bài (2,2) tập nhiều hơn nhưng không đáng kể: có 3 bài trong GKCB, 2 bài trong BTCB;

(3,3) thucteT

có 2 bài trong GKCB, 2 bài trong BTCB.

2.2.2.3. Kết luận chung từ việc phân tích GKCB, GKNC

 Các kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật có mặt trong GKCB, BTCB với số lượng bài tập

tương ứng được thống kê lại vào bảng sau:

Bảng 2.2: Thống kê số lượng bài tập trong GKCB và BTCB

SGK: GKCB

Tổng Phạm vi

Lý thuyết

Kỹ thuật SBT BT10CB

Bài tập

Kiểu nhiệm vụ

Ví dụ -Hoạt động



(2;2) cong

(2;2)

the

Kiểu nhiệm vụ 1 8 17 8 thuộc phạm vi T(2;2) 0 0 8

(2,2)

mt

(2,2)

đại số 1 2 1 4



(2;2) cong

tsT

4 0 0 4

(3,3)



(3,3)T

(3,3)

9 2 4 3

mt

4 1 2 1



(2;2) thucte

5 0 3 2 Kiểu nhiệm vụ



(3;3) thucte

4 0 2 2 Tthucte thuộ i



(2;3) thucte

c phạm v thực tế 1 1 0 0

(3,3)T

6 21 21 48 Tổng

v ật

Như vậy, đã không có sự hiện diện của bất kì một kiểu nhiệm vụ hay kỹ thuật nào thuộc phạm vi hình học. Các kiểu nhiệm vụ T(2,2) , Tthucte nằm trong mục tiêu ban , đầu đã nêu nên có số lượng bài tập ngang nhau và nhiều hơn so ới các kiểu nhiệm vụ khác. Kỹ thuậ t cộng và thế đóng vai trò gần như độc tôn, kỹ thu định thức hoàn toàn vắng mặt. Và nhìn chung, các TCTH được xây dựng trong GKCB đều được xây dựng trong GKNC.

 So sánh đối chiếu với GKNC, đưa ra kết luận chung

ậ ,

Hệ PTTT được tiếp cận theo tiến trình đối tượng - công cụ. Vai trò đối tượng được chú trọng trong khi chức năng công cụ của nó chỉ được thể hiện mờ nhạt và không đầy đủ thông qua một s ít bài t p. Với cùng một điều kiện sinh thái (tri thứ c c lớp 10) tri thức O được xây dựng, tồn tại, phát triển được xây dựng trong các SGK tr trong ương đồng và khác biệt. ố ướ hai môi trường sống GKNC và GKCB với những điểm t

Xét về sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt

đạt còn lại đã không được đề cập. Ngôn ngữ biểu đạt hệ được khai thác chủ yếu vì tính đơn giản, dễ hiểu và kích cỡ của hệ PTTT cần xét còn khá nhỏ. Đơn giản, dễ hiểu nhưng ngôn ngữ này lại có tính khái quát cao, và nhờ vậy mà nhiều bài toán có dạng khác hoặc thuộc lĩnh vực khác (bài toán thực tế) đã được chuyển về hệ PTTT. Ngôn ngữ hình học không chỉ giúp đưa ra được kỹ thuật giải hệ mà còn tạo điều kiện để khai thác, sử dụng công cụ đại số (hệ c quan (xét sự tương giao giữa các đường thẳng). PTTT) khi giải các bài toán hình học trự Tuy nhiên, ưu điểm này ít được hoặc không được các SGK khai thác. Hai ngôn ngữ biểu

Xét trên phương diện kỹ thuật giải hệ PTTT

Các kỹ thuật được sử dụng chủ yếu là các kỹ thuật đại số. Kỹ thuật cộng và thế (vết của kỹ thuật Gauss) luôn được lựa chọn vì ngôn ngữ hệ đã có từ trước và cũng dễ dàng đưa vào. Kỹ thuật định thức cũng là một sự lựa chọn bổ sung hợp lý, giúp giải các hệ phương trình phức tạp, có tham số. Tuy nhiên, nó cũng bị hạn chế vì ngôn ngữ ma trận không được phép đưa vào. Việc dùng máy tính bỏ túi để giải hệ lần đầu tiên được tận dụng vì tính hiệu quả của nó. Kỹ thuật này giữ vị trí độc tôn khi tính nghiệm gần đúng của hệ. Tuy nhiên, phạm vi hợp thức củ nó đ không đư ợc nêu ra tường ã a

. Hệ (2,2) có thể giải bằng cách khai thác ngôn ngữ biểu đạt hình học (vẽ hai

minh đường thẳng, …) nhưng tuyệt nhiên không được GKNC, GKCB đề cập.

(2,2)

ở khâu xây d

'D

định thức đã dẫn đến sự xuất hiện đồng thời, không rõ ràng của cả 2 kỹ t và . Kết quả phân tích đã cho thấy, không có một tình huống nào giúp bộc lộ tường minh ưu - khuyết điểm của từng kỹ thuật. Việc lựa chọn một kỹ thuật tốt để giải một hệ (2,2) cụ thể luôn được SGK ấn định: “bằng định thức, giải các hệ phương trình sau”, “tính nghiệm gần đúng của các hệ phương trình sau (có thể dùng máy tính bỏ túi), “giải các hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi”, … Nói cách khác, học sinh không bao giờ phải phân tích đặc điểm của bài cần giải để lựa chọn một kỹ thuật tối ưu. So với GKCB, GKNC có đưa vào một kỹ thuật mới - kỹ thuật định thức. Tuy nhiên, lý do xuất hiện của kỹ thuật này đã không được nêu ra tường minh. Thêm vào đó là sự nhập nhằng ựng, thể chế hóa những yếu tố công nghệ và triển khai kỹ thuật huật (2,2) D

Xét về phương diện công cụ. Dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa

Chức năng công cụ của hệ PTTT ít được chú trọng. Kiểu nhiệm vụ xét sự tương giao của các phẳng chỉ xuất hiện mờ nhạt trong GKNC. Vấn đề biểu thị tuyến tính của vectơ hoàn toàn không được nhắc đến trong cả GKCB và GKNC. Như vậy, việc khai thác sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt nhằm tạo khớp nối giữa bài toán đại số và hình học ít được tận dụng trong cả GKNC lẫn GKCB . Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa hoàn toàn không được quan tâm. Hệ PTTT được đưa vào trực tiếp, không xuất phát từ một nhu cầu hay động cơ nào. Vấn đề dạy học mô hình hóa dù được đề cập thông qua các bài toán thực tế nhưng nó chưa thực sự được chú trọng khai thác. Dù là một trong những mục tiêu nhắm đến của GKCB nhưng nó vẫn còn mang nặng hình thức và vẫn chịu những ràng buộc như trong GKNC. Tham chiếu với năm tính bước của quá trình mô hình hóa một bài toán thực tế, ta t hấy:

Bước 1: Những bài toán thực tế được đưa ra chỉ là những bài toán toán học hoặc

phỏng thực tế nên bước 1 không có điều kiện xuất hiện.

phỏng thực tế sang bài toán toán học (hệ) chỉ Bước 2: Việc chuyển từ bài toán tính hình thức: chọn ẩn dựa vào yếu tố cần tìm, khai thác các mối liên hệ (tìm

mang các hệ số) sau đó lập hệ phương trình.

iệc giải bài toán toán học (hệ PTTT) được chú trọng đến cả chi tiết Bước 3: V rình giải hệ lẫn kết quả. Trong khi chỉ cần kết quả đúng để cung cấp cho bài toán

tiến t phỏng thực tế.

ả của bài toán toán học sang bài toán phỏng thực đa phần là trùng nhau. Bài toán phỏng Bước 4: Khâu chuyển từ kết qu ường chỉ mang tính hình thức: kết quả

ực tế bao giờ cũng có nghiệm. tế th th

Bước 5: Không có điều kiện xuất hiện.

 Kết quả có được từ nghiên cứu thể chế, nghiên cứu tri thức toán học chính là cơ sở c ho chúng tôi đi vào phần trọng tâm của luận văn: Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong giảng dạy phần “hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10 hiện hành.

Chương 3:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

NHÌN TỪ GÓC ĐỘ TRI THỨC ĐƯỢC DẠY Ở LỚP 10

Mở đầu

Chúng tôi tóm lược lại dưới đây những kết luận chủ yếu được rút ra từ việc

 Việc đưa vào khai thác các tình huống nhằm bộc lộ ưu điểm, hạn chế của các

nghiên cứu quan hệ thể chế:

 Chức năng công cụ của hệ PTTT thể hiện một cách mờ nhạt trong các SGK đại

kỹ thuật giải hệ PTTT đã không được thực hiện một cách tường minh. (KL1)

số 10. (KL2)

* Vấn đề dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa gắn với hệ PTTT chưa được quan tâm đúng mức cũng như chưa được tạo một vùng sống thực sự. (KL21)

* Việc tạo khớp nối giữa bài toán đại số và hình học dường như ít được quan

tâm. (KL22)

Vấn đề bây giờ là xem xem những đặc trưng trên của quan hệ thể chế sẽ biến đổi như thế nào qua hoạt động giảng dạy của GV. Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi sẽ tiến hành hai nghiên cứu:

1. Quan sát và phân tích thực hành giảng dạy phần“Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10 của GV.

2. Thực nghiệm thăm dò ý kiến của một số GV về thực tế giảng dạy phần“Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10.

Nghiên cứu 1 sẽ đưa ra một kết luận thực tế, chính xác nhưng chỉ đúng với duy nhất một GV. Nghiên cứu 2 sẽ kiểm chứng kết quả ấy trên một bình diện rộng với 89 GV. Điều này sẽ làm tăng tính thuyết phục và ích lợi của nghiên cứu.

 Phần thứ nhất: PHÂN TÍCH THỰC HÀNH GIẢNG DẠY PHẦN “HỆ

Kết quả nghiên cứu của chương này sẽ được trình bày thành hai phần:

 Phần thứ hai: MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN” Ở LỚP 10 CỦA GIÁO VIÊN

3.1. Phần thứ nhất: PHÂN TÍCH THỰC HÀNH GIẢNG DẠY PHẦN “HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN” Ở LỚP 10 CỦA GIÁO VIÊN

Kết quả nghiên cứu ở chương 2 cho thấy, tất cả các TCTH được xây dựng trong GKCB đều được xây dựng trong GKNC, chỉ có điểm đặc biệt là với GKCB thì kỹ năng giải các bài toán thực tế là một trong những mục tiêu nhắm đến khi dạy học phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” (theo GVCB). Do đó, với lớp 10 cơ bản, chúng tôi chỉ quan sát các tiết dạy bài tập nhằm phân tích xem vấn đề dạy học mô hình hóa được GV thực hiện như thế nào khi dạy HS giải các bài toán thực tế. Nhưng ý đồ này đã không thực hiện được vì khi dự giờ, GV đã không dạy các bài toán loại này trên lớp mà chủ yếu xoáy vào thời điểm làm việc với các kỹ thuật giải hệ (2,2) và (3,3). Còn với lớp 10 nâng cao, chúng tôi sẽ quan sát, phân tích các tiết dạy cả lý thuyết và bài tập gắn với phần nội dung này nhằm xác định các yếu tố sau:

Xét trên phương diện đối tượng, GV đã khai thác những kỹ thuật nào để giải hệ PTTT? Có hay không các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật? Vấn đề về các hệ thống biểu đạt, dạy học bằng mô hình hóa gắn với đối tượng hệ PTTT được GV quan tâm đến như thế nào?

Các tổ chức didactic (OD) nào đã được GV dùng để triển khai các TCTH trên?

So với nghiên cứu tri thức cần dạy, đã có sự khác biệt gì hay không? Vì sao?

Phân tích tổ chức toán học và tổ chức didactic theo quan điểm động, đi theo tiến trình của giờ dạy, nhằm chỉ ra tiến trình xây dựng các tổ chức toán học và tổ chức didactic cho phép thực hiện sự xây dựng đó. Quan điểm tĩnh nhằm tổng hợp lại những tổ chức toán học đã được thiết lập cũng như một số yếu tố của tổ chức didactic cho phép thiết lập nên các tổ chức toán học ấy. GV được quan sát đã giảng dạy phần nội dung cần nghiên cứu trong thời gian 2 tiết (90 phút) cho phần lý thuyết và 60 phút cho phần bài tập. Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các giờ dạy này theo cả hai quan điểm trên.

Tổ chức toán học và tổ chức didactic: Một quan điểm động 3.1.1. Tổ chức toán học và tổ chức didactic: Một quan điểm động 3.1.1.

3.1.1.1. Phân tích hai tiết dạy lý thuyết

GV bắt đầu bằng việc ôn lại về phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm và biểu diễn

1. GV ghi lên bảng: Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

0. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

hình học tập nghiệm của nó:

2. GV nhìn SGK một lúc rồi nói: Trong SGK, chúng ta không có mục 0, ở đây đầu tiên chúng

ta nghiên cứu mục 0 là phương trình bậc nhất 2 ẩn, chúng ta nhắc lại.

3. GV vừa giảng vừa ghi nội dung chính lên bảng: Phương trình bậc nhất 2 ẩn là phương trình có dạng ax + by = c. Trong đó, a2+ b2  0. Phương trình này có 2 ẩn x, y; 2 hệ số a, b không đồng thời bằng không và a, b, c là các hệ số thực. Ví dụ: phương trình 2x + y = 3 là phương trình bậc nhất 2 ẩn. Em nào cho Thầy biết 1 nghiệm của phương trình này? Linh.

4. Linh: x=2; y =-1 (2; -1)

5. GV: Em nào cho Thầy 1 nghiệm khác? Lộc.

6. Lộc: x= 1, y=1

7. GV: Rồi còn em nào nữa? Nam

8. Nam: x=3, y= -3

9. GV: Như vậy, 1 nghiệm của phương trình 2 ẩn sẽ gồm 1 cặp x với y. Người ta thấy rằng, 1 phương trình bậc nhất 2 ẩn có rất nhiều nghiệm, 1 nghiệm của nó là 1 cặp số. Nếu biểu diễn 1 cặp số này lên mặt phẳng tọa độ thì được 1 điểm. Mà nó có rất nhiều nghiệm nên sẽ có rất nhiều điểm và tất cả các điểm đó tạo thành 1 đường thẳng. Nghiệm của phương trình này là 1 đường thẳng và đường thẳng đó người ta gọi là đường thẳng ax + by = c. Như vậy, từ đây về sau ta nói phương trình này là 1 đường thẳng ax + by = c.

Phương trình bậc nhất hai ẩn đã được GV nhắc lại, tạo điều kiện sinh thái cho

10. Ta bắt đầu phần thứ nhất: 1.Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn

11. GV: Minh, em đọc cho Thầy định nghĩa trong SGK. HS đọc định nghĩa trong SGK. Ở đó, người ta đưa vào các khái niệm hệ (2,2), nghiệm, giải thích thế nào là giải hệ phương trình.

ax by 







12. GV ghi lên bảng:

(I)

c ' (a '

b '

a ' x b ' y 







   

13. GV: Vậy, các em vừa tìm hiểu định nghĩa hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. Và đối với hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, chúng ta sẽ cũng có các khái niệm về hệ phương trình tương đương, hệ phương trình hệ quả. Các em đã hiểu thế nào về 2 phương trình tương đương và thế nào là phương trình hệ quả thì đối với hệ phương trình, các em cũng có các khái niệm tương ứng.

việc đưa vào khái niệm hệ (2,2):

Như vậy, HS đã gặp lại lần đầu tiên hệ (2,2), một trường hợp đặc biệt của hệ PTTT. Hệ (2,2) được định nghĩa tường minh bằng ngôn ngữ hệ. Sự gặp lại này không xuất phát từ bất kỳ nhu cầu giải quyết kiểu bài toán nào, không có một lý do tồn tại nào. Điều này cho thấy, vấn đề dạy học bằng mô hình hóa đã không được GV quan tâm.

Tiếp theo là sự nêu lại lần đầu tiên kiểu nhiệm vụ giải hệ (2,2) và các kỹ thuật

ax by 







14. Em nào cho Thầy biết thế nào là giải hệ

? Nam

(I)

c ' (a '

b '

a ' x b ' y 







   

15. Nam: Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

giải mà HS đã được học ở lớp 9 (kỹ thuật cộng, thế):

16. GV: Chúng ta có hoạt động 1 trong SGK, các em làm hoạt động này. Trước khi làm, Thầy hỏi các em, ở cấp 2 đối với hệ này, các em giải như thế nào? Hoạt động 1 yêu cầu giải 3 hệ (2,2) không có chứa tham số. Trong đó, 1 hệ có nghiệm duy nhất, 1 hệ vô nghiệm và 1 hệ có vô số nghiệm.

17. HS: Dạ thưa Thầy, có thể giải bằng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế.

18. GV: Uhm, vậy các em vận dụng những gì đã được học ở cấp 2 để làm hoạt động 1.

19. HS tự giải vào tập, đa số các em có sử dụng máy tính để tính toán cộng, trừ, nhân, chia.

20. GV gọi đại diện 3 nhóm: nhóm 8, nhóm 5, nhóm 6

21. 3 HS lên bảng trình bày (trên bảng phụ) như sau:

HS1 (Nhóm 8)

HS2 (Nhóm 5)

HS3 (Nhóm 6)

2x 5y 1     x 3y 5   



2x 6y  x 3y 

2  2  







  

3x y 1     3x y 1   





 

3x y 1     1 1   3 3

11y      x 3y 5 



2x 6y  2x 6y 

 4  

4x 0y  2x 6y 

2   4  



  

2x 5y 1     2x 6y    y 1    x 3 5   

y 1    x 2  

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (x,y)

trình vô

Vaäy heä phöông trình coù nghieäm laø

Vậy, hệ phương nghiệm S=

x=2   y=1 

22. GV xem bài làm của 3 HS, khẳng định: Câu b đúng rồi, vô nghiệm phải không em, tập nghiệm bằng rỗng nếu ta gọi S là tập nghiệm.

23. GV nhìn vào câu c và giảng: Còn câu c, khi mà ta nhân 3 cho phương trình thứ 2 thì ta được 2 phương trình giống nhau. Vì 2 phương trình này giống nhau nên ta chỉ giữ lại 1 thôi, đúng không? Điều đó có nghĩa là nghiệm của hệ phương trình cũng chính là nghiệm của phương trình này luôn. 1

24. GV ghi thêm lên bảng:

3x y 1

   . Mà nghiệm của phương trình này là … ?

3x y 1   3x y 1  

  

phương trình 3x – y = 1, nghiệm của nó là? Hương

25. Hương: Giá trị của x thuộc R và y = 3x-1

26. GV nhìn lên bảng rồi quay xuống gọi tiếp: Nam

27. Nam: x thuộc R và y = 3x-1

1 Những chi tiết mà chúng tôi tô đen là phần nội dung mà GV ghi bảng, HS phải ghi vào tập và ghi nhớ.

Hoạt động 1 được đưa vào nhằm tạo điều kiện cho HS ôn lại các kỹ thuật giải hệ (2,2) đã được học ở lớp 9. Đây chính là thời điểm làm việc với kỹ thuật cộng, thế. Nó diễn ra dưới hình thức HS làm việc cá nhân, sau đó lên bảng trình bày. Thời điểm thể chế hóa kỹ thuật giải hệ (2,2) là lúc GV sửa bài làm của HS. Có một sự trùng hợp ngẫu nhiên là tất cả ba HS đại diện cho ba nhóm lên bảng giải đều đã sử dụng kỹ thuật cộng, mặc dù các hệ (2,2) được cho không gây khó khăn gì khi sử dụng kỹ thuật thế. Chính vì vậy, cuối cùng, GV phải nhắc đến “Các em dùng phương pháp thế cũng được.”

28. GV: Vậy cũng giống như bạn Hương, GV cười và nói: À ý Thầy hỏi là phương trình này có rất nhiều nghiệm, đúng không? Và như Thầy nói lúc đầu, nghiệm của phương trình này là gì? Nó là đường thẳng, đường thẳng y = 3x-1.

Ở đây, GV muốn nhắc lại phần minh họa hình học tập nghiệm của phương trình



29. GV quay lên bảng phụ vừa ghi

vừa nói: Nhưng mà nếu viết thành 1 cặp điểm,

x  y 3x 1 



  

ta cho x tùy ý thì y = 3x-1. Như vậy, những nghiệm của nó sẽ có dạng là (ghi vào bảng phụ)   . Với mỗi x thuộc R, ta sẽ có 1 cặp điểm. Sẽ có rất nhiều nghiệm. Sẽ có



 (x;3x 1) / x 



dạng thành phần thứ nhất là x, thành phần thứ 2 là 3x-1. Mấy em nhớ nhé khi gặp dạng này, em giữ lại cho x tùy ý và em tính y. Còn em kết luận như vậy (bài giải câu c) là không đạt vì đề bài yêu cầu giải hệ phương trình tức là tìm tất cả các nghiệm, là coi nghiệm có dạng gì chứ không phải hỏi là hệ này có bao nhiêu nghiệm. Em trả lời hệ có vô số nghiệm là đúng rồi nhưng còn phải chỉ ra nghiệm của nó luôn. Bài này, các em dùng phương pháp thế để giải cũng được.

bậc nhất hai ẩn nhưng do đã diễn đạt vắn tắt nên có phần không chính xác.

30. GV (chỉ sang bảng chính): Các em theo dõi này, phương trình ax by c

 có tập nghiệm là



có tập nghiệm là đường thẳng d’. Như vậy, nghiệm

đường thẳng d; phương trình a ' x b ' y

c '





của hệ này chính là giao điểm của 2 đường thẳng d và d’. Nếu như đường thẳng d và d’ có 1 giao điểm (cắt nhau) thì theo các em, hệ này có mấy nghiệm?

31. HS: 1

32. GV: Nếu d và d’ song song thì …?

33. HS : Vô nghiệm vì song song thì không có giao điểm

34. GV: Nếu d và d’ trùng nhau thì …?

35. HS: Vô số nghiệm

36. Các em nhìn vào SGK, hình 3.2 có minh họa 3 vị trí cắt nhau, song song và trùng nhau của 2 đường thẳng (d) và (d’) cùng phần tóm tắt bằng lời. Đó là ý nghĩa hình học của hệ (2,2).

Ngay từ đầu bài giảng và khi sửa câu c) trong hoạt động 1 ở trên, GV đã nhắc lại phần minh họa hình học tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn để từ đó, đưa vào phần ý nghĩa hình học của hệ (2,2):

Như vậy, trong phần này, ngôn ngữ hình học đã được đưa vào. Nhưng cũng như

(2,2)

SGK, GV đã không xét một ví dụ nào để minh họa cụ thể cho ý nghĩa hình học này.

tsT

37. GV ghi: 2. Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Xây dựng công thức

38. GV: Chúng ta sẽ xây dựng và các em theo dõi. Cách giải hệ tổng quát ban đầu. Thầy làm như sau: Nhân phương trình đầu cho b’, nhân phương trình thứ 2 cho –b rồi cộng lại. Ta được

cb '

ab ' x bb ' y 

. Cộng vế với vế, ta được:





b 'c bc ' 



 ab ' a 'b x

bc '

 a ' bx bb ' y 



 

  

Ta đã nhân cho b’ và –b để làm mất y, bây giờ ta làm mất x bằng cách nhân phương trình thứ nhất cho a’, phương trình thứ 2 cho –a, rồi cộng lại. Ta được (a’b – ab’) y = a’c – ac’ , tiếp tục

Kiểu nhiệm vụ lần đầu tiên được giới thiệu:

b 'c bc ' 





 ab ' a 'b x (ab' - a'b) y = ac' - a'c

nhân (-1) vào 2 vế ta được (ab’ – a’b) y = ac’ – a’c . Nối kết 2 phương trình thành hệ (I)      

(2,2)T

(2,2)

Đối chiếu với GK9, ta thấy nếu như trước đây kỹ thuật cộng đại số chỉ được hình thành qua những trường hợp cụ thể với các phương trình có hệ số bằng số, thì ở đây nó đã được xây dựng cho trường hợp hệ phương trình tổng quát (các hệ số a, b, a’, b’ là tuỳ ý (có thể bằng 0)). Vì thế, hệ phương trình mới chỉ là hệ quả của hệ ban đầu. Tiếc và rằng, nguyên nhân dẫn đến hệ (II) là hệ quả của hệ (I) và cả sự khác biệt giữa

tsT

Dx D 

(II)

39. GV: Các em thấy ab’ – a’b giống nhau ở hai phương trình không? Nên đặt D = ab’ – a’b, .. Từ hệ (I) dẫn tới hệ (II). Hệ (II) là hệ quả

Dx = b’c – bc’, Dy= ac’ – a’c. Ta có

Dy D 

  



và

40. Lộc: Dạ được ạ,

xD D

của hệ (I). Nếu D 0 thì ta có tìm được nghiệm của hệ hay không? Lộc yD D

D.x D 

41. GV ghi lên bảng phụ: Trường hợp 1: D 0

(II)

D.y D 

DD y x ; D D

  

  

   

42. GV: Là nghiệm của hệ (II) thì có chắc là nghiệm của hệ (I) không?

43. Vài HS trả lời không, đa số HS im lặng.

44. GV: Các em phải thử lại.

45. GV: Có em nào xong chưa? Nam



46. Nam:

Thay x

, y

(2)



(1) (3)

ax by c  a ' x b ' y c '  

D x D

y D

  

Thay (2) vào (1), ta được:





cb'-c'b ab'-a'b  

ac ' a 'c  ab ' a ' b  

acb ' ac ' b abc ' a ' bc 



acb ' a ' bc 

acb ' a ' bc

acb ' a ' bc (D )

 





Thay (2) vào (3). Tương tự, ta được: ac’b’ – a’c’b = ab’c’ – a’c’b (đúng)

47. GV: Như vậy,khi thế vào, các em sẽ thấy cặp

là nghiệm của hệ phương trình (I).

DD y x ; D D

  

 

GV tóm tắt lại: Trường hợp 1: D 0 hệ (I) có nghiệm (x;y) duy nhất

D x D D

y D

 x     y 

48. GV: Chúng ta đã xét xong trường hợp 1: D 0 . Bây giờ chúng ta xét trường hợp 2: D=0. Trở lại hệ (II)

0.x D 

(II)

49. GV ghi vào phần bảng phụ: Trường hợp 2: D=0

0.y D 

   

50. GV: Nếu

0 thì phương trình 0x = Dx thế nào?

đã không được GV làm rõ.

51. HS: Vô nghiệm

52. GV: Vậy hệ thế nào?

53. HS: Vô nghiệm

54. GV nhắc lại: Một hệ phương trình có 1 phương trình vô nghiệm thì sẽ vô nghiệm. Tương tự,

nếu

0 thì hệ thế nào?

55. HS: Hệ vô nghiệm

56. GV tóm tắt lại và ghi tiếp vào bảng chính:

Trường hợp 2: D=0

Trường hợp 2a: Nếu

hoặc

xD  0

yD  thì hệ (I) vô nghiệm

Trường hợp 2b: Dx = Dy = 0



. Hệ (II) có vô số nghiệm. Vậy hệ (I) cũng có vô số

57. GV: Trường hợp 2b:

(II)



   

nghiệm. Đúng không?

58. HS trả lời: Không kết luận được vì (II) chỉ là hệ quả của hệ (I)

59. GV: Đúng rồi. Vậy trường hợp này ta chưa kết luận được.

60. GV vừa giảng vừa ghi vào bảng phụ: Giả sử a

0

ab ' a ' b 0

b '

 

  

D=0

a ' b a

ac ' a 'c 0

c '

 

  

Dy = 0

a 'c a

Vì

nên ta luôn chia cho a

0

ax by c





ax by c





Thế b’ và c’ vào hệ (I), ta được

 aa ' x a ' by a 'c





a ' ax by

a 'c





ax by  

c 

   

a ' x





   

a 'b a

a 'c a

   

61. GV: Các em thấy trong 2 phương trình này, phương trình thứ hai là hệ quả của phương trình thứ nhất. Như vậy nếu phương trình thứ nhất đúng thì phương trình thứ 2 đúng. Vậy ta chỉ giữ lại một phương trình: ax + by = c. Vậy tập nghiệm của hệ là nghiệm của phương trình này, cho x tùy ý rồi tính y hoặc cho y tùy ý rồi tính x.

62. GV ghi vào bảng chính:

Trường hợp 2b: Dx = Dy = 0. Hệ (I) có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (I) cũng chính là tập nghiệm của phương trình ax + by = c

Như vậy, GV đã dùng kỹ thuật cộng (nhân b’, -b, a’, -a, cộng lại, làm mất x, làm mất y …) kết hợp với việc đưa vào các ký hiệu D, Dx, Dy để tạo bước chuyển từ việc sử dụng kỹ thuật cộng đại số đã có sang việc xây dựng các yếu tố công nghệ, lý thuyết của kỹ thuật mới – dùng định thức.

Thời điểm xây dựng công nghệ, lý thuyết - “xây dựng công thức”- đã diễn ra dưới hình thức hợp tác giữa GV và HS, tuy nhiên GV đóng vai trò chủ đạo còn HS chỉ thực hiện một số hoạt động tính toán, biến đổi theo yêu cầu của GV. Đã có sự lồng

D'θ

63. GV: Bảng tóm tắt này có trong SGK. Em nào đứng lên đọc dùm Thầy? Quang

0D  , D=0, Dx, Dy

64. Quang đọc: “…. ” . Nội dung phần tóm tắt này chính là các trường hợp mà GV vừa ghi lên bảng chính.

65. Sau đó, GV đưa vào ký hiệu, cách tính định thức cấp hai. Từ đó đưa vào các định thức D, Dx, Dy cùng cách tính và cách nhớ.

66. GV ghi tiếp lên bảng: a) Giải và biện luận

67. GV: Thực chất ở đây ta đã giải được rồi nhưng người ta đưa thêm một kiến thức nữa đó là định thức

68. HS tự lên xóa bảng, GV yêu cầu HS: Các em giữ lại bảng ghi các D, Dx, Dy

ghép giữa thời điểm xây dựng các yếu tố công nghệ, lý thuyết với thời điểm thể chế hóa (phần GV ghi vào bảng chính và phần GV yêu cầu HS đọc lại). Công nghệ được thể chế hóa vẫn là . Nội dung được GV xây dựng giống như trong GKNC.

Trong phần tiếp theo, từ dòng 69 đến 75 trong biên bản dự giờ tiết dạy (phụ lục 1),

ab '



 a 'b ;

a '

b '

;



' a 'c . Sau đó, GV cùng HS đưa ra cách nhớ để



cb ' c ' b 

a '

c '

c c '

b b '

GV giới thiệu kí hiệu, cách tính các định thức cấp 2:

tính các định thức này.

D'θ

Yếu tố công nghệ đã được thể chế hóa. Các yếu tố của kỹ thuật dùng định

76. GV yêu cầu HS xem ví dụ 1 và làm hoạt động 4 trong SGK.

77. GV: Muốn giải hệ phương trình, người ta tính D, Dx, Dy . Vậy ngoài phương pháp cộng, thế, ta có thêm một cách nữa là dùng định thức.

2x 3y 13



78. GV gọi 1 em HS lên bảng. HS trình bày như sau:

. Ta có:

 7x 4y 



  



8 ( 21) 29



  



2 7

3 4

13.4 ( 6) 58



    



13 2

3  4

D 58  D 29

2 13

4 13.7



 

   



3 

y D

87  29

Vậy hệ có nghiệm (2;-3)

79. GV hỏi các HS ở dưới lớp: nghiệm (2;-3) đúng không?

80. HS: Không có HS nào phản đối

81. GV: cho qua

thức thực ra đã được xây dựng cùng lúc với các yếu tố công nghệ, lý thuyết. Tuy nhiên, kỹ thuật này chưa được triển khai dưới dạng thuật toán. Trong phần tiếp theo, kỹ thuật này sẽ được triển khai để giải quyết các nhiệm vụ cụ thể.

(2,2)

Kiểu nhiệm vụ này khá quen thuộc T(2,2) và hệ được cho vẫn là hệ trong SGK. Như đã phân tích, hệ này đơn giản và không làm nổi bật được ưu điểm của kỹ thuật mới (dùng định thức) so với hai kỹ thuật cũ. Như vậy, sự xuất hiện của kỹ thuật mới có vẻ chỉ là một sự thêm vào “kho kỹ thuật” mà không thấy được ý nghĩa của nó là gì: “ngoài phương pháp cộng, thế, ta có thêm một cách nữa là dùng định thức”. Thời điểm này diễn ra dưới hình thức: GV yêu cầu HS giải, HS làm việc cá nhân, GV đề nghị một HS lên bảng sửa, GV và các HS khác thể chế hóa. Có một hợp đồng sư phạm tồn tại trong lớp học: khi “Không có HS nào phản đối” thì “GV cho qua”.

ts

Tiếp theo là một ví dụ về giải hệ (2,2) có chứa tham số ( ). Ở đây, GV không



82. GV: Ngoài SGK, thầy đưa thêm 1 ví dụ. Ví dụ: Giải và biện luận hệ : x my

1 mx y 1  

  

Giải:

Bởi vì hệ có chứa tham số nên ta phải giải và biện luận. Đầu tiên, các em cũng tính D, Dx, Dy:

2 1 m , D

1 m , D



 



 



 1 m . Các em có tính được như vậy không?

1 m m 1

1 m 1 1

1 1 m 1

Các HS đồng tình với kết quả này.

83. GV: Bây giờ chúng ta biện luận. Ở đây, ta có 2 trường hợp là D=0 và D 0 . Ta xét D 0 trước rồi xét D=0.



. Hệ (I) có nghiệm duy nhất

Trường hợp 1: D 0



m 1   



1 m D  2 D 1 m  D 1 m  2 D 1 m 

      

Ra tới đây, vì mẫu 1 – m2 có thể phân tích thành 1-m và 1+m , ta đơn giản cho 1 – m. Vậy x =

(GV ghi bổ sung vào kết quả trên)

1 1 m

(GV ghi bổ sung vào kết quả trên)

Với Dy, ta cũng đơn giản như vậy: y=

1 1 m 

84. GV: Xong trường hợp 1, ta qua trường hợp 2:

D 0 m

1    

Có tới 2 giá trị của m làm cho D=0. Vậy ta thế lần lượt từng giá trị vào hệ

Trường Hợp 2a: m = 1

Muốn biết như thế nào thì em thế trực tiếp vào hệ. Thế m = 1 vào hệ (I). Hệ (I)

x y 1   x y 1  

   

Ta thấy 2 phương trình giống nhau, ta chỉ giữ lại 1. GV ghi tiếp:

x y 1   

85. GV: Vậy hệ này thế nào?

86. HS: Vô số nghiệm x cho tùy ý, y = 1 – x

x 

87. GV ghi bổ sung vào bảng :

 y 1 x  

  

yêu cầu HS tự giải mà chủ yếu là hoạt động của GV.

88. GV ghi tiếp: Trường hợp 2: m=-1

Thế m = -1 vào hệ (I) lúc này hệ trở thành

(I)

x y 1   x y 1   

   

Phương trình trên giữ nguyên, phương trình dưới nhân với -1

x y 1   x y 1   

  

Các em thấy, ở trên x – y = 1 và ở dưới x – y = -1. Vậy em thấy hệ này như thế nào ?

89. HS : Hệ vô nghiệm

90. GV ghi vào bảng :  hệ vô nghiệm

91. GV vừa nói vừa ghi vào bảng phần kết luận sau:

Kết luận :

(x; y)

Nếu

thì hệ (I) có nghiệm duy nhất

1 

; 1 m 1 m

1 

   

  

 y 1 x  

Nếu m = 1 thì hệ (I) có vô số nghiệm x   

Nếu m = -1 thì hệ (I) vô nghiệm

92. GV: Vậy để giải và biện luận hệ chứa tham số, các em tính D, Dx, Dy; sau đó, xét 2 trường hợp D 0 và D=0. Khi D = 0 thì m bằng giá trị nào? Nếu có 2 giá trị thì thế lần lượt từng giá trị vào hệ ban đầu, nếu 1 giá trị thì thế thẳng vào rồi giải hệ ban đầu cụ thể.

Và kỹ thuật giải được GV thể chế hóa như sau:

(như việc áp dụng công nghệ

- Kết quả 2.2- mà

Nhìn lại ví dụ được xét, hệ (2,2) có chứa tham số mà GV đưa ra trong ví dụ đơn giản hơn hệ mà SGK yêu cầu. Cũng thực hiện bước tính các định thức nhưng kỹ thuật

D'θ

(2,2) D'

(như trong chương 1 hay ví dụ trong

SGK và GV đã thể chế hóa) cũng không phải là

(2,2) D

SGK) mà là

mà GV sử dụng không phải là

(2,2) D''

. GV cũng không giải thích tường minh lý do của sự lựa chọn này.

(2,2) D

,2) (2 D' '

So với thì có sự khác biệt trong trường hợp D = 0: với D = 0 suy ra được giá

trị của m rồi thay từng giá trị này vào hệ ban đầu sau đó giải hệ phương trình (số) cụ

(2,2) D''

(2,2)

và thể chứ không phải thay vào Dx, Dy. Về tầm ảnh hưởng thì hai kỹ thuật



ts

(2,2) D

(2,2) D''

được GV thể là như nhau. Như vậy, trong lớp học, đối với , kỹ thuật

chế hóa, triển khai sử dụng còn kỹ thuật có thể tồn tại do lời giải trong ví dụ của

(2,2) D (2,2) D'

(2,2

)

cũng có thể hiện hữu do việc GV đã thể

ts



. SGK (đã không hề bị GV phản bác) và chế hóa kết quả 2.2 và tất cả các ví dụ đều không kiểm tra điều kiện (2,2) khi giải

Như vậy, rõ ràng vẫn còn sự nhập nhằng gắn với các kỹ thuật dùng định thức. Chúng tôi nhắc lại ở đây sự tương đồng và khác biệt của 3 kỹ thuật này: giống nhau ở bước tính D, Dx, Dy ; xét D 0 …; xét D= 0 suy ra giá trị của tham số m và khác nhau ở các bước sau:

(2,2) D

(2,2) D'

(2,2) D''

Thay m vào Dx, Dy



* Nếu Dx hoặc Dy 0 kết luận hệ vô nghiệm

* Nếu Dx = Dy = 0 thì

Kết luận hệ vô số nghiệm thỏa 1 phương trình của hệ

Thay giá trị của tham số vào hệ rồi giải hệ cụ thể

93. GV: Mục số 3 là giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. GV vừa nói vừa ghi bảng:

3. Ví dụ về giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn





a x b y c z d  1 1 a x b y c z d 





a x b y c z d 





    

Các hệ số a1, b1, c1; a2, b2, c2; a3, b3, c3 trong các phương trình không được đồng thời bằng không

Về nghiệm, hệ phương trình tương đương, hệ phương trình hệ quả cũng giống như hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. Các em đã nắm được dạng của nó rồi chứ?

Tiếp theo là thời điểm GV tạo ra sự gặp gỡ lần đầu tiên cho HS với hệ (3,3):

94. GV: Người ta giải bằng phương pháp thế, từ phương trình đầu tiên người ta rút z theo x với y. Mấy em thấy cụ thể là rút z = 2 – x – y rồi thế vào 2 phương trình còn lại. Từ 3 ẩn, ta thế còn lại hai ẩn đó là nguyên tắc chung khi giải hệ 3 ẩn. Từ 3 ẩn còn 2 mà hệ 2 ẩn thì các em đã biết cách giải rồi.

Hệ (3,3) đã được đưa vào trực tiếp dưới dạng ngôn ngữ hệ. Mặc dù là lần đầu tiên xuất hiện nhưng động cơ đưa vào khái niệm này đã không được giới thiệu, không một bài toán nào dẫn tới nhu cầu giải hệ (3,3) được đề cập trước khi đưa vào khái niệm, cũng như trước khi đưa vào kiểu nhiệm vụ T(3,3). Điều này khẳng định GV không quan tâm đến vấn đề dạy học bằng mô hình hóa. Kỹ thuật giải hệ (3,3) được giới thiệu qua việc giải một hệ (3,3) cụ thể trong ví dụ 3, GKNC. Các thời điểm này diễn ra rất nhanh:

95. GV: Các em làm hoạt động 5. Sau khi dùng kỹ thuật thế để khử z trong hai phương trình của hệ (3,3) ở ví dụ 3 thì ta được một hệ (2,2) theo 2 ẩn x,y. Hoạt động 5 yêu cầu giải hệ (2,2) này.

96. HS: Mỗi em tự giải

97. GV: Em nào làm xong rồi thì đọc dùm Thầy kết quả? Thầy chỉ định một em HS.

98. HS: x = 1, y = 3, z = -1

99. GV khẳng định lại kết quả rồi cảm ơn HS.

Yếu tố công nghệ được nêu ra trực tiếp qua khẳng định sau: “Từ 3 ẩn, ta thế còn lại hai ẩn đó là nguyên tắc chung khi giải hệ 3 ẩn. Từ 3 ẩn còn 2 mà hệ 2 ẩn thì các em đã biết cách giải rồi.”. Thời điểm làm việc với kỹ thuật được diễn ra dưới dạng hoạt động, HS làm việc cá nhân sau đó GV thể chế hóa:

(2,2)

D' '

100. GV: Hôm nay, các em đã được học thêm một cách mới để giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. Để giải được theo cách này, các em phải nắm vững cách tính D, Dx, Dy. Một em nhắc lại cho Thầy cách tính D, Dx, Dy.

101. HS: D = ab’ - a’b ; Dx = cb’ - c’b ; Dy= ac’ –a’c

102. GV: Các em tính định thức bằng cột nào, cột nào để dễ nhớ? D bằng cột thứ nhất (hệ số của x), cột thứ hai (hệ số của y); Dx ….. ; Dy … . Em nào nhắc lại cách nhớ D, Dx, Dy? Long

103. Long: Từ định thức D, muốn tính Dx ta bỏ cột hệ số của x đi và thay bằng cột c; Dy thì bỏ cột hệ số của y đi và thay bằng cột c.

Buổi học kết thúc bằng thời điểm đánh giá kỹ thuật định thức :

104. GV: Các em về nhà làm hoạt động 6 xem như là bài tập về nhà. Các em nghỉ. Hoạt động 6 yêu cầu giải một hệ (3,3).

3.1.1.2. Phân tích các tiết dạy bài tập

(2,2)

(3,3)

, T

60 phút được dành cho việc sửa chữa các bài tập trong SGK. Lúc đầu, GV dự trù sửa bài tập chỉ trong 1 tiết nhưng sau đó đã phải kéo dài đến 60 phút. Những bài tập chủ yếu được GV sửa là bài 31, 32, 33, 34, 35, 38, 39. Sau đó, GV chuyển sang dạy bài mới kế tiếp. GV cũng cho biết, “HS phải tự giác làm bài tập ở nhà ngay sau khi học lý thuyết”. Diễn biến của tiết học nhìn chung là GV gọi HS lên bảng sửa bài, GV vấn đáp các HS và hoàn chỉnh bài giải. Đây là thời điểm làm việc với các kỹ thuật xen lẫn với thể chế hóa và đánh giá. Những bài tập được xét thuộc các kiểu nhiệm vụ sau:

(2,2) , T ts

(2,2) thucte

(3,3) thucte

 Kiểu nhiệm vụ T(2,2) xuất hiện trong bài tập 31, 32 và trong đa số các bài tập còn lại vì lời giải của chúng có bước giải quyết kiểu nhiệm vụ này. Bài 31 gắn với kiểu nhiệm vụ T(2,2) gồm có hai câu a và b. Kỹ thuật được đề bài chỉ định sẵn là kỹ thuật định thức. Hệ 31a) được cho đơn giản, các kỹ thuật cộng hay thế vẫn giải được hệ này một cách dễ dàng. Tuy nhiên, HS đã dùng kỹ thuật định thức như yêu cầu của đề bài “bằng định thức, …” để đưa ra lời giải cho bài toán. Trong phần giải đáp, GV đưa ra ý kiến là “Các em có thể thử lại bằng cách bấm máy tính.”, “Trong thực hành khi gặp hệ này, các em không cần tính D, Dx, Dy để làm gì đâu, các em cứ bấm máy thoải mái vì các em còn sử dụng khi học các môn vật lý, hóa học nữa.”. Điều này cho thấy quan điểm của GV trong việc khai thác ưu điểm và phạm vi hợp thức của kỹ thuật sử dụng máy tính: thử lại nghiệm, giải các hệ trong các bài toán lý, hóa, … Hệ 31b) phức tạp hơn, có hệ số chứa căn thức và có nghiệm vô tỉ. Thông qua lời giảng: “Bài này các em bấm máy sẽ ra nghiệm rất lẻ. Nhưng nếu dùng định thức thì sẽ cho kết quả chính xác”, GV đã nêu ra ưu điểm của kỹ thuật định thức và hạn chế của kỹ thuật sử dụng máy tính. Chỉ tiếc rằng, GV đã không đề cập đến kỹ thuật cộng, thế và kỹ thuật hình học (vẽ 2 đường thẳng, …) mặc dù hai tình huống này cũng có thể khẳng định được ưu, khuyết điểm của các kỹ thuật này so với kỹ thuật sử dụng máy tính, kỹ thuật định thức. Tiếp theo là bài 32, một bài gắn với kiểu nhiệm vụ giải hệ phương trình mà có thể chuyển về hệ (2,2) bằng

(2,2)

cách đặt ẩn phụ. Kỹ thuật được sử dụng để giải hệ (2,2) của cả hai câu 32a và 32b đều là kỹ thuật cộng.

tsT

(2,2)

 Kiểu nhiệm vụ gắn với các bài tập 33, 39. Bài 33 cũng gồm hai hệ

D '

nhưng đã phương trình. Nhìn vào lời giải của hệ 33a), HS đã sử dụng kỹ thuật

(2,2)

không đúng khi kết luận “Nếu m = -1  D= 0, Dx = 0, Dy = 0 thì hệ phương trình có vô số nghiệm” mà không đưa ra tập nghiệm cụ thể. GV đã nhận xét “ở đây, đúng là tôi đồng ý với em là hệ có vô số nghiệm nhưng tôi chưa thấy mặt mũi của nó ra sao?” tức là GV đã

(2,2)

. Như vậy, lẽ ra GV chỉ cần bổ sung thêm tập nghiệm. Tuy nhiên sau chấp nhận D'

suy ra hệ cụ thể không còn tham số”. Dường như, GV cũng đã đồng nhất

: “Ta thế thẳng vào hệ phương trình, đó, lời giải thích của GV lại nghiêng về D , D''

(2,2) D''

và

(2,2) D thể này, sao?”. Phân tích trong chương 2 và phần lý thuyết mà GV đã dạy cho thấy có

khi phát biểu: “Các em xem lại ví dụ SGK và ví ụ tôi xét thì với những trường hợp cụ

(2,2) D

(2,2) D'

(2,2) D''

, , trong trường hợp D sự nhập nhằng giữa các kỹ thuật dùng định thức

= 0. Và sự nhập nhằng này đã được thể hiện qua cách ứng xử của GV và HS trong bài

(2,2) D'

trùng với

). Mặc dù HS không dùng kỹ

xảy ra trường hợp D=Dx=Dy=0 nên

(2,2) D

(2,2) D'

để giải và biện luận hệ (2,2) (do không tập trên. Sang câu 33b), HS dùng kỹ thuật

(2,2) D''

thuật , nhưng GV vẫn “nhận xét đúng”. Sự khác biệt của bài này so vớ i các bài

và GV đồng ý với lời giải này. tiên 39a). Kỹ thuật được HS sử dụng là khác cùng loại là tham số ở đây là a chứ không phải m. Bài 39 chỉ được sửa câu đầu (2,2) D''

 Kiểu nhiệm vụ T(3,3) có mặt trong bài 34. Bài này chỉ gồm 1 hệ (3,3) và có kèm theo yêu cầu “có thể dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả”. Lời hướng dẫn của GV (trước khi HS giải): “Thực chất, hệ 3 ẩn được giải bằng phép thế để đưa 3 biến về hai biến rồi dùng định thức giải. Dùng máy tính bấm thử lại kết quả.” cho thấy GV ưu tiên dùng kỹ thu ật thế để đưa hệ (3,3) về hệ (2,2), dùng kỹ thuật định thức khi giải hệ (2,2) và máy tính bỏ túi có chức năng kiểm tra kết quả. Nhưng khi lời giải của HS



6   13

x 2y  2x y 



x 4  y 5 

  

   GV vẫn chấp nhận cho HS sử dụng máy tính bỏ túi đưa ra nghiệm chính xác của hệ (2,2).

đưa ra ngay kết quả, GV vẫn nhận xét là đúng. Điều này chứng tỏ

thucteT

 Kiểu nhiệm vụ xuất hiện trong 2 bài 35 và 38. Cụ thể, bài 35 gắn với

(2,2) thucteT

(3,3) thucteT này, không yêu cầu HS làm trên bảng: “Ví dụ dòng điện đi qua đó mắc song song, đúng không? R2 và R3 mắc song song vậy là dòng điện lấy cộng lại hả? I2 + I3 ra I1 phải không? Sách có hướng dẫn nên các em tự làm, không phải sửa lên bảng. Thực ra là với hệ ba ẩn này, đầu tiên các em giải bằng cách thế để giảm biến xuống, từ 3 biến giảm xuống còn 2 biến rồi dùng định thức giải rồi sau đó bấm máy để thử lại kết quả.”. Cách hướng dẫn trên cho thấy, GV đã chú trọng đến kỹ thuật

và bài 38 gắn với . Với bài 35, GV chỉ hướng dẫn bằng lời lời giải của bài

ải và hoàn chỉnh lại. Mặc dù GV đã chỉnh sửa lại lời giải của bài toán trên nhưng cũng không rèn luyện được gì cho HS khi đây là lần xuất hiện duy nhất của kiểu nhiệm vụ này. Điều này chứng tỏ, đối với GV, đây không phải là mục tiêu cần nhắm đến.

GV kết thúc bài dạy với lời dặn: “Các em tự làm những bài tập còn lạ

i” và bây giờ chúng ta chuyển sang bài mới. Khi trao đổi với GV thì GV nói: “phần hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn dạy như vậy là xong, dành thời gian cho các phần khác.”

33..11..22.. TTổổ cchhứứcc ttooáánn hhọọcc vvàà ttổổ cchhứứcc ddiiddaaccttiicc:: MMộộtt qquuaann đđiiểểmm ttĩĩnnhh

Phần trên chúng tôi đã phân tích tổ chức toán học, tổ chức didactic trên quan ôi tổng hợp các TCTH đã được GV đó chúng tôi sẽ dùng lý thuyết sáu thời điểm để mô tả để triển khai các TCTH đó: các thời điểm nghiên cứu

ã được thực hiện và thực hiện như thế nào. điểm động. Phần này, từ quan điểm tĩnh chúng t xây dựng trong các tiết học, sau tổ chức didactic được GV dùng nào đ

3.1.2.1. Tổ chức toán học

(2,2)

Nhìn chung, có 2 tổ chức toán học được xây dự

tsT

(2,2)

(3,3)

ng gắn liền với hai kiểu nhiệm vụ: ệm vụ con của nhi (3,3) (2,2) , . , T T- giải hệ PTTT và Tthucte - giải bài toán thực tế. Trong đó, T là kiểu Tthucte. Kiểu nhiệm vụ T chia ra thành các trường hợp cụ thể sau : T

thucteT

gồm có hai trường hợp cụ thể là . Các kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật

thucteT u. Tr

và ong kỹ thuật giải của Tthucte có chuyển về

n hệ khăng khít với nha

Tthucte gi v ải có mối qua iệc g i quy iả ết kiểu nhiệm vụ T, T(3,3) có chuyển về T(2,2) để giải.

(2,2)



các TCTH chính mà GV muốn xây dựng trong ti ết h c nà ọ y là

(2,2) D ''

tsT

(2,2) D''

(2,2)

/ /…/…]. Sự hiện của là sự khác biệt so với TCTH cần dạ hư y. N xuất [

tsT

(2,2) D

(2,2) D''

(2,2) D'

ắn với vậy, g có sự tồn tại đồng thời của cả ba kỹ thuật , , . Mặc

(2,2) D''

(2,2) D'

nhưng GV cũng đã không phủ nhận việc sử dụng và dù GV chỉ thể chế hóa

(2,2) D không phân biệt được và cũng không hiểu được sự khác biệt giữa các kỹ thuật này. So

S thì dường nh hận hai kỹ thu y, H ật ấ ư ; cụ thể, khi sửa bài tập GV vẫn chấp n

dạy, ở đây đã thiếu vắng hẳn các TCTH gắn với kiểu nhi ệm vụ liên

o của với tri thức cần quan đến sự tương gia các đường thẳng.

hức toán họ c xây d g 3.1: T Bản m tắt c ó ác tổ c c đượ ựng



Ôn lại

(2,2) cong

(2,2)

Ôn lại

the

Công nghệ Ghi chú th Kỹ ật thu Lý uyết iểu K nhiệm vụ

(2,2)

Tự HS biết

mt

Trọng tâm

T(2,2)

(2,2) D''

D'θ - Kết quả 2.2

(2,2)

TCTH vùng

tsT



T

(3,3)



,2 the _( 2 )

“Từ 3 ẩn, ta thế còn lại ai ẩn … mà hệ 2 ẩn h đã biết cách giải...” thì

(3,3)

Tự HS biết

mt

(2,2)



thucteT

(2,2) thucte

Ôn lại trong phần bài tập

T(3,3)

Tthucte

(3,3)



thucteT

thucte

Mờ nhạt trong phần bài tập

3.1.2.2. Tổ chức didactic

ax by 







(I)

 Sau khi GV ghi lên bảng

 Thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên

2 c ' (a '

2 b '

a ' x b ' y 







   

, kiểu nhiệm vụ T(2,2)

(2,2)

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ

được gặp lại lần đầu tiên khi GV hỏi “Em nào cho Thầy biết thế nào là giải hệ phương trình này?”. Tại thời điểm ấy, HS xem hệ (I) như là hệ không có tham số và nhớ lại các kỹ thuật giải hệ (2,2) đã được học ở lớp 9.

hoàn toàn mới lạ đối với HS và

(2,2)

ải và biện luận hệ hai phương trình

i điểm gặp gỡ lần đầu tiên với

tsT c. Thờ c: “2. gi

bậc nhất hai ẩn

Xây dựng công thức

37. GV: Chúng ta sẽ xây dựng và mấy em theo dõi. Cách giải 2 cái này (hệ tổng quát ban đầu)”

là trọng tâm m kiểu nhiệm vụ là lúc G V ghi lên bảng mụ à GV muốn xây dựng trong tiết họ tsT

Lúc này, GV vẫn ghi là hệ (I) nhưng nó được xem là hệ có chứa tham số vì lúc đó các hệ số a, b, a’, b’ là số tùy ý (có thể bằng không) nhưng sự khác biệt này chưa được GV phát biểu tường minh cho HS biết. Do đó, có thể đến ví dụ (sau hoạt động 4) thì vì đó là HS mới thật sự tiếp cận với kiểu nhiệm vụ này. Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện yêu cầu của bài học ghi trong SGK chứ không xuất phát từ một nhu cầu nào của thực tế hay ràng buộc sinh thái nào (yêu cầu của tri thức, chương trình sau đó), …

 Mặc dù là lần đầu tiên xuất hiện trong chương trình nhưng sự gặp gỡ ban đầu diễn ra không có gì đặc biệt. Khi đưa vào khái niệm hệ (3,3), ới thiệu luôn kỹ thuật giải hệ : “94.[….] Người ta giải bằng phương pháp

nhiệm vụ T(3,3)

(2,2)



với kiểu GV gi thế,….”

Kiểu nhiệm vụ

thucteT

được gặp lại lần đầu tiên khá mờ nhạt, lần gặp đầu tiên

 Kiểu nhiệm vụ

này cũng là lần xuất hiện duy nhất trong tiết dạy, khi HS tiếp cận với bài tập 38 trong SGK.

(3,3)Tthucte

tuy là lần đầu tiên xuất hiện nhưng vì tính chất tương tự

(2,2)T thucte

với nên cũng chỉ được gặp gỡ một lần duy nhất, khi HS tiếp cận với bài t ập 35.

 Thời điểm xây dựng kỹ thuật chỉ thực sự xảy ra đối với kỹ thuật định thức

 Thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ và xây dựng kỹ thuật

(2,2) D'' quát và khi GV yêu cầu HS xem các ví dụ 1, làm hoạt động 4 và ví dụ 2. Kỹ thuật mà

. Thời điểm này diễn ra ngay từ lúc bắt đầu xây dựng công thức để giải hệ tổng

(2,2) D'

y dựng lúc đầu, giống với SGK (yếu tố công nghệ để triển khai kỹ thuật ); GV xâ 



(2,2) D''

; kỹ thuật trong lời gi ụ ật được xây dựng trong ví dụ 2 mà GV giải là kỹ thu ải ví d



(2,2) D

2 mà SGK trình bày và GV yêu cầu HS xem lại là ế ở chương 1). GV đ ( ã thể ch

(2,2) D

(2,2) D''

(2,2) D'

,2)

nhưng cũng không phủ nhận ng không giải thích vì sao l i , và cũ ạ hóa   

D

(2,2) D'

mà không phải là (2,2) hay . Như vậy, đã có sự xuất hiện của cả ba sử dụng

(2,2) D

(2 D'' (2,2) D''

(2,2) D'

, và . Thời điểm này diễn ra chủ yếu dưới hình thức GV giải, kỹ thuật

(3,3)

 Đối với kiểu nhiệm vụ T

HS theo dõi và làm theo yêu cầu của GV. Riêng hoạt động 4 (gi ải một hệ (2,2) không có tham số bằng định thức) đã diễn ra dưới một hình thức khác: HS làm việc cá nhân rồi một em lên bảng làm, GV cùng tập thể HS góp ý, chỉnh sửa.

_

the

(2,2)

và kỹ thuật giải vì có tính chất tương tự

(3,3)

 Đối với kiểu nhiệm vụ

như ở hệ (2,2) nên GV đã nêu ra cho HS mà không tiến hành xây dựng.



thucteT

(3,3) thucte

và kỹ thuật giải , HS nghiên cứu khi tìm lời

 Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi để giải hệ (2,2), hệ (3,3) hoà

giải đáp cho bài tập 35 trong GKNC mà GV yêu cầu. Vì tính chất tương tự như trường hợp hệ (2,2) nên nó k hông được GV quan tâm xây dựng.

n toàn không

được GV xây dựng.

 Thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết

(2,2) D'

. Đó cũng chính Thời điểm này chỉ thực sự xảy ra đối với kỹ thuật định thức

là lúc GV và HS cùng hợp tác xây dựng công thức: “c) Xây dựng công thức […..]”. Trong đó, GV hoàn toàn giữ vai trò chủ chốt, HS chỉ trả lời câu hỏi và thực hiện một số yêu c ầu nhỏ của GV. Đối với các kỹ thuật khác, thời điểm này dường như không diễn ra.

(2,2)

 Thời điểm làm việc với kỹ thuật

the

cong

kỹ thuật Thời điểm này được GV chú trọng với tất cả các kỹ thuật đã được đề cập. Đối với , thời điểm này diễn ra trong phần lý thuyết khi HS được yêu cầu và

(3,3) thucte

(2,2)

(3,3)



làm hoạt động 1 và khi giải một số bài tập có đưa về việc giải hệ (2,2). Riêng kỹ thuật , thời điểm này gần như không diễn ra trong tiết dạy. Còn đối với tất cả các kỹ 

mt

the



thuật khác, thời điểm này đều diễn ra trong phần bài tập: nhóm kỹ thuật dùng định thức - bài 31 (a,b), 33(a,b), 39, 38; - bài 34, 35; : bài 35, 34; - bài 31a;

(2,2) thucte cùng

- bài 38. Hình thức là HS tự nhà, GV g i HS lên bảng s a, GV và các HS làm ở ử ọ

hoàn chỉnh.

tr vai ò độ Trong thời điểm này, GV đã khai thác các hệ (2,2) có chứa căn thức và có nghiệm vô tỉ để nêu ra được ưu điểm của kỹ thuật định thức so với kỹ thuật máy tính: kỹ thuật định thức có thể đưa ra nghiệm chính xác với hệ có nghiệm vô tỉ mà kỹ thuật máy tính không làm được. GV cũng đã nêu ta ưu điểm của kỹ thuật máy tính: đưa nhanh kết quả cho các bài toán khi học vật lý, hóa học và có vai trò đặc biệt - kiểm tra kết quả nghiệm. Trong các bài toán mà lời giải có bước giải hệ (2,2), GV thường ức (thông qua lời hướng dẫn) vì đây là kỹ ưu tiên cho việc sử dụng kỹ thuật địn c , kỹ thuật định thức luôn đóng thuật mà HS mới được học. Đối với h th (2,2) tsT

(2,2) D

(2,2) D''

hưng có sự tồn tại đồng thời của b , , tôn. N a kỹ thuật gần giống nhau

(2,2) D'

đã không được GV giải thích r ràng. õ

 Thời điểm thể chế hóa

Thời điểm này xuất hiện rải rác trong suốt các tiết học và GV luôn đóng vai trò chủ chốt. Mọi vấn đề cần thể chế hóa đều được GV thực hiện bằng cả lời nói, chữ viết trên bảng chính và đôi khi GV yêu cầu HS lặp lại. Gắn với việc thể chế hóa bằng lời nói thì các kỹ thuật giải được GV lặp lại nhiều lần trong phần lý thuyết và bài tập.

 Thời điểm đánh giá

Thời điểm này xuất hiện rải rác trong các tiết dạy, chủ yếu là những lời đánh giá của GV và HS về TCTH (chủ yếu là kỹ thuật giải). GV và HS đánh giá về các câu trả lời của HS. GV đánh giá về các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ. Việc đánh giá ư được thực hiện bằng lời nói. này hầu nh

Để giải được th Thầy

cách tính D, Dx, Dy? ”

ưng nếu tính bằng định

“31b.2 GV: Bài này mấy em bấm máy sẽ ra nghiệm rất là lẻ. Nh hì sẽ

ra”

thức t

“31a.2 GV: … Trong thực hành khi g

ặp hệ này, mấy em không cần tính D, Dx, Dy để làm

gì đâu, mấy em cứ bấm máy thoải mái vì

mấy em còn học lý, hóa nữa.”

“99. GV: Hôm nay, mấy em mới học được thêm một cách để giải hệ phương trình 2 ẩn. eo cách này, mấy em phải nắm vững cách tính D, Dx, Dy. Một em nhắc lại cho

…

33.1.3. Đánh giá tổ chức toán .1.3. Đánh giá tổ chức toán hhọọcc

3.1.3.1. Đánh giá các kiểu nhiệm vụ

(2,2)

 Tiêu chuẩn xác định

tsT

Các kiểu nhiệm vụ T(2,2),

(2,2) thucteT

(3,3) thucteT

(2,2)

, , T(3,3) được nêu ra rõ ràng, có cả ví dụ minh họa trong phần lý thuyết và các bài tập để rèn luyện. T(2,2) xuất hiện trong 4 hoạt động, ví dụ trong phần lý thuyết, 4 câu trong phần bài tập. Các hệ phương trình được cho khá đa dạng: có hệ số nguyên, hệ số có chứa căn thức, hệ có nghiệm hữu tỉ, hệ có nghiệm vô tỉ. Đây cũng là kiểu nhiệm vụ con của T(3,3), nên dường như xuất hiện

tsT

(1,2)

khắp nơi trong các tiết dạy. được đưa ra tường minh trong 1 ví dụ và 3 câu trong

(2,2)

m trong t u kiện iề ầm phần bài tập, trong đó, có những hệ phương trình mà tham số là m, có hệ có tham số là a; có hệ khi biện luận xảy ra 2 trường hợp (có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm), có hệ xảy ra 3 trường hợp (nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm), thiếu vắng hệ mà khi biện luận chỉ xảy ra 1 khả năng với mọi giá trị của tham số; tất cả ảnh hưởng của cả ba kỹ tức nằ những hệ đã cho đều thỏa đ



thucteT

(2,2) D

(2,2) D'

(2,2) D''

,3) chỉ

thuật , và (ở lớp 9) và không ương t . Có l vì tính chất t ẽ ự như

,2) (2T thucte

(3T thucte

ện mộ được chú trọng nên hai kiểu nhiệm vụ , t lần duy nhất trong xuất hi

1 bài tập mà GKNC đề nghị.

ại  Tiêu chuẩn về lý do tồn t

Lý do tồn tại của các kiểu nhiệm vụ hoàn toàn không được nêu ra tường minh

trong các tiết dạy.

(3,3) thucteT

(2,2) thucteT

(2,2)

 Tiêu chuẩn thỏa đáng

Các kiểu nhiệm vụ đã xuất hiện là thực sự cần thiết cho HS trong tương lai: cần thiết trong đời sống thực tế và cả chương trình học sau này; T(2,2), và và T(3,3) cần cho chương trình học sau này. Tuy nhiên, sự cần thiết này HS hoàn

tsT toàn chưa được biết đến và GV c vụ về sự tương giao của các phẳng, sự biểu thị tuyến tính c sẽ gặp trong nhu cầu học sau này.

ũng không đề cập khi dạy. Thiếu vắng các kiểu nhiệm ủa vectơ mà HS chắc chắn

3.1.3.2. Đánh giá kỹ thuật

 Kỹ thuật có được xây dựng hay không

ây dựng  Kỹ thuật định thức được xây dựng nhưng chưa rõ ràng: ban đầu GV x

(2,2) D'

(như SGK) sau đó yêu cầu HS đọc ví dụ yếu tố công nghệ để triển khai kỹ thuật

(2,2) D

(2,2) D''

SGK (sử dụng ) đến khi minh họa trong ví dụ thì GV lại sử dụng .

 Kỹ thuật giải h

ệ (3,3) chỉ được phác thảo vì nó như là sự tương tự từ kỹ thuật thế đã dùng để giải hệ (2,2). Các kỹ thuật còn lại gần như không được xây dựng. Kỹ thuật giải bài toán thực tế, kỹ thuậ t sử dụng máy tính được xem như HS tự biết và GV không hướng dẫn gì.

 Dễ sử dụng, dễ hiểu

Gắn với các kỹ thuật đã nêu thì tính dễ sử dụng và tính dễ hiểu dường như luôn đi

liền với nhau.

 Kỹ

thuật định thức để giải hệ (2,2), kỹ thuật thế để giải hệ (3,3) dễ sử dụng. Kỹ thuật định thức để giải và biện luận hệ hơi khó sử dụng hơn tuy nhiên cũng còn khá đơn giản. Sự không đơn giản chính do sự tồn tại của cả ba kỹ thuật gần giống nhau

(2,2) D'

(2,2) D''

, , đã không được GV giải thích rõ ràng. Trong ba kỹ thuật thì dễ

(2,2) (2,2) D D'' hiểu, dễ sử biết) và có tầm ảnh hưởng rộng, tránh được sai lầm khi hệ không thỏa điều kiện (1,2).

dụng (ít dùng kiến thức mới Dx, Dy mà chủ yếu là quy về giải hệ cụ thể đã

)

 Kỹ thuật sử dụng máy tính, HS sử dụng thành thạo khi giải hệ (2,2), hệ (3,3 mặc dù không được GV dạy. Điều này khẳng định tính dễ hiểu và dễ sử dụng của nó.

dựng

 Kỹ thuật giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ do không được xây á ít nên HS còn khá bỡ ngỡ. tường minh và số mẫu gắn với kiểu nhiệm vụ này qu

 Tầm ảnh hưởng, khả năng vận hành

Khi giải bài tập, GV có nói đến ưu điểm của các kỹ thuật: kỹ thuật định thức có thể đưa ra nghiệm chính xác của hệ (2,2) có nghiệm lẻ mà kỹ thuật sử dụng máy tính không làm được, kỹ thuật dùng máy tính bỏ túi có thể dùng để đưa nghiệm trực tiếp khi thực hành giải bài toán của vật lý, hóa, kiểm tra nghiệm của hệ (3,3). Tầm ảnh hưởng của kỹ thuật sử dụng máy tính là những hệ Cramer, tuy nhiên, điều này đã không được đề cập tường minh dù dưới bất kì hình thức nào. Về mặt toán học thì kỹ

(2,2) D

(2,2) D''

và có tầm ảnh hưởng rộng: tất cả các hệ gồm 2 phương thuật định thức

(2,2) D' g đã không được GV đề cập.

có tầm ảnh hưởng hẹp hơn (chỉ những hệ thỏa điều kiện (1,2)) trình và 2 ẩn còn

nhưn

n cho HS tự

Nhìn chung, GV đã ít nói ra tường minh và cũng không tạo điều kiệ nhận ra được tầm ảnh hưởng, ưu điểm và nhược điểm của từng kỹ thuật.

 Sự tiến triển

(2,2) D

(2,2) D''

và có khả năng tiến triển: dùng cho hệ bất kì.  Kỹ thuật định thức

Nếu hệ có kích cỡ lớn thì chỉ cần bổ sung vào cách tính định thức cấp cao.

 Kỹ thuật thế để giải hệ (3,3) có thể áp dụng cho hệ (n,n) bất kì. Tuy nhiên,

việc thế đối với hệ có kích cỡ lớn sẽ khá rờm rà.

(2,2)

(3,3)

 Kỹ thuật giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ có thể khái quát lên cho bài toán thực tế tổng quát. Tuy nhiên nó đã không được xây dựng và vận hành tốt, cũng không được quan tâm. Điều này cũng sẽ ảnh hưởng nhiều đến khả năng tiến triển của nó.

mt

, có thể được ứng dụng nhiều nhưng  Kỹ thuật sử dụng máy tính

không mở rộng được.

3.1.3.3. Đánh giá công nghệ

Ngoài yếu tố công nghệ của kỹ thuật định thức đã được thể chế hóa và chứng minh rất rõ ràng thì các yếu tố công nghệ, lý thuyết của tất cả các kỹ thuật khác hầu như không được nêu.

Kết luận 3.1.4. Kết luận 3.1.4.

Phân tích thực hành giảng dạy của GV khẳng định rằng: những kết luận rút ra từ nghiên cứu quan hệ thể chế ở chương 2 nhìn chung vẫn còn đúng qua hoạt động giảng dạy của GV. GV đã theo đúng ý đồ của Noosphère khi xoáy trọng tâm vào việc xây dựng TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ giải và biện luận hệ (2,2) và dùng kỹ thuật định thức để giải. Tuy nhiên, vẫn còn tồn tại một số vấn đề như sau:

 Thiếu vắng những tình huống giúp HS tự nhận ra được tầm ảnh hưởng (ưu - khuyết điểm, lý do tồn tại) của từng kỹ thuật. Bên cạnh đó là việc tồn tại 3 kỹ thuật

(2,2) D

(2,2) D''

(2,2) D'

, , đã không được GV giải thích rõ ràng. Việc GV xem gần giống nhau

như là HS có trách nhiệm tự biết kỹ thuật sử dụng máy tính kết hợp với kết quả phân tích SGK ở chương 2 khiến chúng tôi lo ngại: khi gặp những hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm thì HS sẽ ứng xử thế nào.

 Lý do tồn tại của các kiểu nhiệm vụ giải hệ (2,2), (3,3), …, (n,n) hoàn toàn không được nhắc đến. Điều này cho thấy GV không quan tâm đến vấn đề dạy học bằng mô hình hóa và phần nào không quan tâm đến chức năng công cụ của hệ.

 GV đã không quan tâm khai thác sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt để tạo sự khớp nối giữa đại số và hình học khi dạy học đối tượng này. Cụ thể đã thiếu vắng các kiểu nhiệm vụ về sự tương giao của các phẳng, sự biểu thị tuyến tính của vectơ mà HS có thể gặp trong nhu cầu học sau này.

 Đi tìm giải pháp cho các vấn đề nêu trên là cơ sở để xây dựng, phát triển tổ

 TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế ít được quan tâm, vấn đề dạy học mô hình hóa chưa được GV khai thác đúng mức: tình huống đưa ra chưa đa dạng và điển hình, kỹ thuật giải bài toán thực tế không được chú trọng xây dựng.

chức didactic trong dạy học phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10.

3.2. Phần thứ hai: MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Mục tiêu thực nghiệm 3.2.1. Mục tiêu thực nghiệm 3.2.1.

Như đã nêu ở đầu chương, việc nghiên cứu quan hệ thể chế ở chương 2 đã đưa ra một số kết luận gắn với tri thức cần dạy và chúng tôi cần tìm hiểu những kết luận trên sẽ biến đổi như thế nào qua lăng kính giảng dạy của GV. Để trả lời câu hỏi này, một trong hai nghiên cứu mà chúng tôi tiến hành là Thực nghiệm thăm dò ý kiến của GV dạy toán bậc THPT về các vấn đề liên quan đến thực tế giảng dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10 dưới hình thức phát phiếu.

Giới thiệu cách xây dựng và phân tích bộ câu hỏi điều tra GV 3.2.2. Giới thiệu cách xây dựng và phân tích bộ câu hỏi điều tra GV 3.2.2.

Cơ sở chủ yếu để tiến hành xây dựng các bài toán thực nghiệm là từ các kết quả thu được qua nghiên cứu quan hệ thể chế ở chương 2. Việc phân tích thực tế các tiết dạy của một GV lớp 10 nâng cao trong phần thứ nhất của chương này và nghiên cứu tri thức toán học ở chương 1 cũng giúp chúng tôi có thêm một số bổ sung cần thiết.

Bộ câu hỏi của chúng tôi gồm có 7 câu được chia nhóm theo mục tiêu của nội dung cần thăm dò ý kiến. Nhóm KL1 gồm các câu hỏi 1, 2, 3, 4, 7; nhóm KL2 gồm các câu hỏi 1, 2, 5, 6, 7. Câu 1, 2, 7 phục vụ cho cả KL1 và KL2. Trong nhóm KL2, chúng tôi còn quan tâm đến hai nhóm nhỏ là KL21 và KL22 : KL21 gồm ba câu hỏi 1, 2, 5 và 7; KL22 gồm chủ yếu là câu hỏi 6.

 Câu 1:

Có ý kiến cho rằng nên loại bỏ chủ đề “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ra khỏi chương trình toán bậc trung học phổ thông. Thầy Cô có đồng tình với ý kiến đó không? Vì sao?

Cách xây dựng

 Trong phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, cả GKNC và GKCB đều chú trọng đến các kỹ thuật giải hệ PTTT (hệ (2,2), (3,3)), không quan tâm nhiều đến chức năng công cụ của đối tượng này. Thêm vào đó, sự xuất hiện của kỹ thuật máy tính với ưu điểm cho kết quả nhanh dễ dẫn đến đến sự nghi ngờ một viễn cảnh mà việc dạy các kỹ thuật giải khác trở nên không cần thiết. Tất cả những điều trên cho thấy: khó có thể thấy được vai trò của đối tượng này trong chương trình. Chính vì vậy, chúng tôi đưa ra một câu hỏi khá tổng quát nhằm tìm hiểu quan niệm của GV về vai trò của hệ PTTT trong tổng quan chương trình toán trung học phổ thông.

 Câu 2:

Khi giảng dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô đã thực hiện theo quy trình nào trong các quy trình sau? Xin vui lòng cho biết lý do của sự chọn lựa đó?

Nếu đã thực hiện theo quy trình khác thì xin Thầy Cô vui lòng cho biết quy

trình đó gồm có những bước nào. Và cũng xin nêu rõ lý do của sự chọn lựa.

- Nêu một bài toán đố hay bài toán hình học để làm xuất hiện nhu cầu giải hệ phương trình

- Nêu định nghĩa

- Nghiên cứu phương pháp giải

- Bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình

- Bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình, trong đó, có chú trọng đến việc giải các bài toán đố (có nội dung thực tế) hay các bài toán hình học

a) Quy trình 1 b) Quy trình 2 c) Quy trình 3

Cách xây dựng

 Phân tích SGK cho thấy, hệ PTTT (hệ (2,2), hệ (3,3)) được tiếp cận trực tiếp không xuất phát từ một nhu cầu hay động cơ nào; chức năng công cụ thể hiện khá mờ nhạt. Chính vì vậy, chúng tôi muốn tìm hiểu xem trong thực tế giảng dạy, GV có quan tâm đến vấn đề dạy học mô hình hóa, dạy học bằng mô hình hóa hay chỉ quan tâm đến kỹ thuật giải hệ PTTT. Chính vì vậy, chúng tôi đưa ra câu hỏi 2 về quy trình dạy học phần tri thức này: Quy trình 1 chỉ chú trọng đến kỹ thuật giải, Quy trình 2 gắn với vấn đề dạy học mô hình hóa và Quy trình 3 có quan tâm đến vấn đề dạy học bằng mô hình hóa. Hai quy trình 2, 3 cũng cho thấy sự quan tâm đến chức năng công cụ của hệ PTTT.

Để đi sâu nghiên cứu mức độ quan tâm, khai thác các kỹ thuật giải hay chức năng

công cụ của hệ PTTT, chúng tôi tiến hành xây dựng các câu hỏi 3, 4, 5, 6 và 7.

3.2.2.1. Nhóm KL1 nhằm mục tiêu tìm hiểu xem GV có chú trọng việc đưa vào các tình huống giúp HS tự nhận ra ưu điểm, hạn chế của các kỹ thuật giải hệ PTTT hay không.

x my 1



 Câu 3:

 mx 3my 



2m 3 

  

a) Xét bài toán sau: « Giải và biện luận hệ phương trình »

Dưới đây là lời giải của hai học sinh lớp 10 :



 

2 3m m ; 



 

2 3m m ; 

m 1 m 3m 

m 3m 

2 2m ;



 



2 2m ;



 



2m 3 



2m 3 





2m 3 m  



m 3



2m 3 m  



m 3 

1 1 m 2m 3



m 2m 3



Lời giải 1 Lời giải 2

TH1:

D 0

  

3m m 0 m 0 và m 3  

  



D 0

  

  3m m 0 m 0 và m 3

  



Hệ phương trình có nghiệm duy nhất



D x D D



D x D D

1  m

y D

6m 2m   2 3m m   m 3  3m m 



Hệ phương trình có nghiệm duy nhất      y  



y D

1  m

6m 2m   2 3m m   m 3  3m m 



     y  

TH2: D = 0  m=0 hay m= -3

TH2a: m= 0. Thế m =0 vào hệ, ta được

TH2a: m= 0. Thế m =0 vào Dy

3 0

  . Vậy hệ vô nghiệm

(vô nghiệm)



x 1   0x 0y 3  

TH2b: m= -3. Thế m = -3 vào hệ, ta được

TH2b: m=-3. Thế m = -3 vào Dx, Dy, ta  . Hệ có vô số nghiệm có

D D 



D 0 y



thỏa

x 3y 1

 





x 3y 1   3x 9y 



 

  



x 1  3

x    y 



x - 3y = 1

x 1  3

x    y 

Kết luận:

hệ phương trình có nghiệm

m 0   m 3   

hệ phương trình có nghiệm

3  

m 0   m 

duy nhất

(x; y)



1 m

 2;  

  

(x; y)



1 m

 2;  

  

* m=0, hệ phương trình vô nghiệm

* m=-3, hệ phương trình có vô số



nghiệm



nghiệm

x 1  3

x    y 

x 1  3

x    y 

a1) Trong giảng dạy, Thầy Cô có đưa dạng bài tập này cho học sinh không? Vì sao?

a2) Nếu có đưa vào thì Thầy Cô hướng dẫn học sinh giải theo lời giải nào? Vì sao?

Lời giải 1

Lời giải 2

Cả hai lời giải 1 và 2

Lời giải khác



mx 2my 3  4mx 9my 11  

  

b) Cho bài toán: “Giải và biện luận hệ phương trình ”

Trong giảng dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô có đề cập đến những hệ phương trình thuộc dạng trên không?Vì sao?

Cách xây dựng:

(2,2) D

(2,2)

và  Kết quả phân tích GKNC cho thấy có sự nhập nhằng giữa hai kỹ thuật

tsT mặc dù công nghệ

(2,2) D

(2,2) D'

. Trong đó, là mục tiêu nhắm đến của GKNC gắn với

(2,2) D'

được nghiên cứu ở phần I) lại xuất hiện một kỹ thuật gần giống như vậy là

được thể chế hóa là của . Trong thực tế giảng dạy của GV1 (GV lớp 10 nâng cao

(2,2) D''

. Kết

(2,2) D

(2,2) D'

(2,2) D''

Thay m vào Dx, Dy



* Nếu Dx hoặc Dy 0 kết luận hệ vô nghiệm

* Nếu Dx = Dy = 0 thì

quả so sánh ba kỹ thuật này cho thấy, chúng giống nhau ở bước tính D, Dx, Dy ; xét D  0 …; xét D= 0 suy ra giá trị của tham số m và khác nhau ở các bước sau:

kết luận hệ vô số nghiệm thỏa 1 phương trình của hệ

Thay giá trị của tham số vào hệ rồi giải hệ cụ thể

(2,2) D'

Hạn chế của là ở tầm ảnh hưởng. Tầm ảnh hưởng của hẹp và không được

thể chế hóa một cách tường minh. Do đó, nếu áp dụng đúng thì phải có thêm bước kiểu tra điều kiện (1,2) nhưng điều này thật sự là không dễ đối với HS. Nhưng, nếu không kiểm tra điều kiện (1,2) thì HS sẽ mắc sai lầm khi hệ nằm ngoài tầm ảnh hưởng.

(2, D

Kỹ thuật giúp khắc phục được điều này nhưng lại không đồng bộ khi có trường

hợp chỉ cần dựa vào Dx, Dy là kết luận được ngay nghiệm, có trường hợp phải thêm

i kết luận được. Khi phân tích thực hành của GV1 thì kỹ bước thay tham số vào hệ

vì nó giúp khắc p thuật được GV1 chọn là hục được cả hai điều trên. Và theo GV mớ (2,2) D''

này, nó giúp HS dễ hiểu và tránh được sai lầm.

 Kết quả phân tích GKCB cho thấy việc không đưa vào kỹ thuật định thức dẫn với các kỹ thuật đã

đến hệ chứa tham số hoàn toàn vắng mặt trong GKCB. Tuy nhiên, n có thể giải được những hệ chứa tham số có dạng đặc biệt. có vẫ

o các cơ sở trên, chúng tôi tiến hành xây dựng câu 3 nhằm tìm hiểu các

Dựa và ề sau: vấn đ

(2,2)

chứ tham số h khô ay a ng? ?1. GV có đưa vào giảng dạy hệ có



(2,2) the

(2,2) cong

(2,2) D

(2,2) D''

?2. Kỹ thuật được GV lựa chọn là , , , ? hay D'

V tâ m đến tầm ảnh hưởng củ và sự khác biệt của các kỹ a (2,2) D'

(2,2) D

(2,2) D''

 Tình huống được đưa ra ở câu a (a1, a2): Hệ được cho nằm trong tầm ảnh

, , hay không? thuật ?3. G có quan (2,2) D'

(2,2) D

(2,2) D''

(2,2) D'

, , và vẫn có thể giải được bằng kỹ thuật hưởng của cả ba kỹ thuật

(2,2) D

(2,2) D''

(2,2) D'

thế. Hai HS lớp 10 đã đưa ra hai lời giải ứng với và . Vì kỹ thuật chỉ

(2,2) D'

và được SGK minh họa trong ví dụ nên nếu GV có có sự khác biệt nhỏ so với

quan tâm đến sự hạn chế về tầm ảnh hưởng của và chọn kỹ thuật này thì sẽ chọn

(2,2) D' lựa lời giải khác và lưu ý trong phần giải thích vì sao a sẽ giúp trả lời cho ?1., ?2. và một phần của ?3. .

 Hệ được chọn ở câu b nằm ngoài tầm ảnh hưởng của kỹ thuật

. Các kỹ thuật khác cũng vậy. Câu

(2,2) D'

. Câu b sẽ

giúp trả lời cho ?3. Ngoài ra, hệ này có dạng đặc biệt nên có thể giải bằng cách đặt nhân tử chung và có thể giải dễ dàng bằng kỹ thuật giải đã biết đối với hệ (2,2) (không chứa tham số). Việc GV có đưa vào hay không và kỹ thuật nào được sử dụng sẽ phần nào cho thấy sự quan tâm của GV đến việc khai thác tầm ảnh hưởng, ưu khuyết điểm của các kỹ thuật.

 C âu 4 :

Xét bài tập sau:

biết.

Nếu chỉ yêu cầu trình bày một cách giải thì em chọn cách nào? Vì sao?







“ Đối với mỗi hệ phương trình dưới đây, hãy giải bằng tất cả các cách mà em

(a 2)x (a 4)y  (a 1)x (3a 2)y 

 

 1  

  

 



 3 1 y 1  3 1 x 3y 5 

 4x     

2) ” 1)

a) Khi dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô

có yêu cầu học sinh giải n hững bài tập thuộc dạng trên không?

b) Theo Th

ầy Cô, có cần thiết cho học sinh làm các bài tập có dạng như

trên hay không? Vì sao?

Cách xây dựng

 Những hệ (2,2) có hệ số chứa căn thức và cho ra nghiệm vô tỉ chỉ xuất hiện trong các SGK, SBT dưới dạng yêu cầu tường minh như giải hệ phương trình bằng định thức, tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình … cho phép sử dụng máy tính bỏ túi. Như vậy, vấn đề lựa chọn một kỹ thuật tối ưu để giải một hệ (2,2) cụ thể đã được thể chế ấn định sẵn, HS dường như chỉ là một robot làm theo. Đây là cơ sở để chúng tôi xây dựng hệ 1.

 Hệ phương trình 1 được chọn có các đặc điểm sau: kỹ thuật cộng hay kỹ thuật thế cũng cho ra được lời giải nhưng gặp nhiều khó khăn với tính toán căn thức, biến hăn hơn; kỹ thuật sử dụng số; kỹ thuật hình học (vẽ đường thẳng) càng gặp nhiều khó k máy tính cho ra kết quả nhanh nhất nhưng chỉ là nghiệm gần đúng; chỉ kỹ thuật định thức là tối ưu theo nghĩa cho nghiệm đúng và tính toán dễ.

 Hệ phương trình 2 được chọn vẫn sử dụng được các kỹ thuật cộng và thế để tham số trước các ẩn x, y trong cả hai giải. Nhưng với đặc điểm có chứa đầy đủ phương trình và các hệ số khác nhau sẽ gây khó khăn cho kỹ thuật cộng, kỹ thuật thế và bộc lộ thế mạnh của kỹ thuật định thức.

 Chúng tôi cố tình xây dựng yêu cầu của bài toán: “giải bằng tất cả các cách mà em biết, …” để HS sẽ phải nghĩ đến nhiều cách, ngoài kỹ thuật định thức còn có kỹ thuật khác nữa như cộng, thế, máy tính, ….; “Nếu chỉ yêu cầu trình bày một cách giải thì em chọn cách nào? Vì sao?” tạo điều kiện cho HS tự nhận thấy cách nào sẽ tối ưu hơn, cách nào còn hạn chế. Đây là một dạng toán (cách đặt câu hỏi) khác lạ và không hề có mặt trong SGK cũng như SBT nào. Do đó, chúng tôi đưa ra hai thang câu hỏi c tế dạy học GV đã có đưa vào bài toán cho GV: câu hỏi a nhằm tìm hiểu xem trong thự ng? câu hỏi b nhằm tìm hiểu xem GV có nhận thấy việc đưa vào bài dạng này hay khô toán dạng

 Những hệ chứa tham số hơi phức tạp chỉ xuất hiện trong GKNC, BTNC gắn liền với việc sử dụng một kỹ thuật duy nhất - kỹ thuật định thức. Đấy là thế mạnh của kỹ thu ật này. Tuy nhiên, thế mạnh ấy được Noosphères phát hiện mà không có một tình huống nào giúp HS tường minh nhận ra. Đây là cơ sở giúp chúng tôi xây dựng hệ 2.

này là cần thiết cho HS hay không?

 Câu 7:

Khi dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô có hép học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để trực tiếp đưa ra nghiệm bao giờ cho p

của hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, 3 ẩn hay không? Nếu có thì trong trường hợp nào? Vì sao?

Cách xâ y dựng

 Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi có ưu điểm là cho ra kết quả nhanh chóng. Trong SGK, việc sử dụng máy tính bỏ túi gắn liền với các bài toán có một sự cho phép tường minh.

 Dựa vào các cơ sở trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi này nhằm tìm hiểu xem GV đã khai thác ưu điểm của kỹ thuật này đến mức độ nào. Và gắn với việc GV cho tận dụng phép hay không cho phép sử dụng máy tính để đưa ra nghiệm trực tiếp trong các bài toán mà hệ đóng vai trò công cụ cũng sẽ phần nào phản ánh thực tế giảng dạy của GV gắn với vấn đề dạy học mô hình hóa: GV có chú trọng đến chi tiết tiến trình giải hệ hay không.

 Trong các bài toán đố, bài toán hình học, … liên quan đến việc giải hệ phương trình thì khâu giải hệ phương trình chỉ cần đưa ra được kết quả nghiệm một cách nhanh chóng, từ đó đưa ra đáp án của bài toán ban đầu. Như vậy, các bài toán loại này là một “vùng đất” mà kỹ thuật sử dụng máy tính có thể sống, phát triển. Tuy nhiên, chương trình, SGK đã không đề cập gì đến vấn đề này. Trong một số lời giải tìm thấy trong BTNC, BTCB, bước giải hệ được thực hiện bằng các kỹ thuật“thủ công”.

.2. Nhóm KL2 nhằm mục tiêu tìm hiểu xem chức năng công cụ của hệ PTTT rình bậc

3.2.2 được GV khai thác như thế nào trong thực tế giảng dạy phần “Hệ phương t nhất nhiều ẩn” ở lớp 10. Kèm theo là hai mục tiêu sau:

ấn đề dạy học mô hình hóa, dạy học bằng mô hình hóa gắn với hệ PTTT KL21: V

có được GV quan tâm đúng mức và tạo vùng sống thực sự cho nó hay không.

hay k KL22: Việc tạo khớp nối giữa bài toán đại số và hình học có được GV quan tâm hông.

 Câu 5:

Khi dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô có cho học sinh xét các bài toán đố (có nội dung thực tế) mà lời giải dẫn đến một hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn hay không? Nếu có thì khoảng bao nhiêu bài? Thầy Cô đưa vào những bài toán nào?

Cách xây dựng

 Vai trò công cụ của hệ PTTT tro

ng việc giải bài toán đố (thực tế) khá mờ nhạt trong phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” của SGK toán lớp 10. Do đó, chúng tôi cần tìm hiểu xem trong thực tế giảng dạy, GV có khai thác giá trị công cụ này hay không? Và quan tâm như thế nào đến vấn đề dạy học mô hình hóa? Để biết được các thông tin đó, chúng tôi đưa ra câu hỏi 5.

Với chọn lựa có hay không cùng số lượng và nội dung của các bài toán từ câu trả lời sẽ phần nào cho thấy được mức độ quan tâm của GV đến chức năng công cụ của hệ, vấn đề dạy học mô hình hóa hệ PTTT. Dựa vào các bài toán cụ thể được đưa ra, chúng tôi sẽ xem xét các vấn đề như: bài toán được cho là bài toán phỏng thực tế hay ài toán (phỏng) thực tế ban đầu về hệ PTTT có là bài toán thực tế; bước chuyển từ b được chú trọng đế n không, yếu tố biến có xuất hiện tường minh trong câu hỏi của bài toán ban đầu hay không; bước chuyển từ kết quả hệ sang bài toán thực tế ban đầu có ý nghĩa thự c sự hay chỉ mang tính hình thức, có những bài toán thực tế mà khi giải khôn g có nghiệm nào hay không, …

6:  Câu

Khi dạy phầ

n “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô có đưa vào các bài toán thuộc phân môn hình học mà lời giải dẫn đến một hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn hay không? Nếu có thì đó là những dạng toán nào?

Cách xây dựng

 Va

i trò công cụ của hệ PTTT trong việc giải các bài toán hình học giải tích, hình học vectơ thể hiện trong phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” của SGK lớp 10 rất mờ nhạt. Liệu trong thực tế giảng dạy GV có quan tâm đến khía cạnh công cụ này hay không? Và quan tâm đến mức độ nào? Để biết được điều đó, chúng tôi đưa ra câu hỏi 6.

mà HS sẽ gặp trong tương lai hay không, … Căn cứ vào chọn lựa có hay không và các dạng toán được GV đưa vào giảng dạy, chúng tôi sẽ biết được GV có quan tâm, tận dụng sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống iữa đại số và hình học biểu đạt để khai thác chức năng công cụ của hệ, tạo khớp nối g khi dạy hệ PTTT bậc nhất nhiều ẩn hay không và nếu có thì quan tâm đến mức độ nào. Chẳng hạn như: có xuất hiện hay không các bài toán vectơ tọa độ, hình học phẳng; có giới thiệu qua chức năng công cụ của hệ PTTT gắn với các bài toán hình học trong không gian tọa độ

ân tích những câu trả lời thu được 3.2.3. Ph 3.2.3. Phân tích những câu trả lời thu được

Chúng tôi tổng hợp kết quả thu được trên mẫu trả lời của 89 giáo viên từ 12

trường THPT.

3.2.3.1. Tầm ảnh hưởng của kỹ thuật giải hệ phương trình

Kết quả thu được từ câu 1 và câu 2 cho thấy, k hi được nhắc đến hệ PTTT thì có

 16/89 GV đã đề

khoảng 20% GV đã quan tâm nhiều đến yếu tố kỹ thuật giải. Cụ thể như sau:

 Trong câu 2 có 18/89 GV đã chọn dạy theo quy trình 1, quy trình mà chỉ chú

cập ngay đến kỹ thuật giải khi trả lời câu 1. Trong số 16 GV này, có 12 GV đã trả lời “không đồng tình” việc loại bỏ phần tri thức này ra khỏi chương trình vì HS cần thiết phải biết kỹ thuật giải.

trọng đến kỹ thuật giải.

Như vậy, kỹ thuật giải là vấn đề được một bộ phận GV đặc biệt chú trọng khi ến đối tượng hệ PTTT. Tuy nhiên, để hiểu rõ việc khai thác các tình huống nhắc đ nhằm làm nổi bậ t tầm ảnh hưởng của các kỹ thuật đã được GV tính đến như thế nào trong thực tế giảng dạy, đòi hỏi phải xem xét phần trả lời của GV cho các câu hỏi 3, 4 và 7.

 Câu 3

 Trong số 76 GV chọn “có” thì 39/76 (51,32%) GV đã chọn lời giải 1, 18

Với câu a, có 76 (85,39%) GV chọn “có” và 13 (14,61%) GV chọn “không” đưa vào giảng dạy các bài toán giải và biện luận hệ (2,2) có chứa tham số. Các GV đã chọn “không” vì lý do sách giáo khoa cơ bản đã không có dạng này (GV67).

/76 8/76 (23,68%) GV đưa vào cả hai lời giải, 1/76 (1,32%) điểm của lời giải 1, hạn chế của lời giải 2 đã được

 Nhóm chọn lời giải 1:

(23,68%) GV chọn lời giải 2, 1 GV đưa vào lời giải khác. Ưu khẳng định rõ qua kết quả thống kê các chọn lựa củ a GV và phần giải thích lý do:

GV40: Lời giải 2 phức tạp và đôi lúc không đúng

GV42: Cách giải tự nhiên, HS dễ chấp nhận, ít mắc sai lầm

c trường hợp D=Dx=Dy=0 nhưng hệ vẫn vô nghiệm

GV55: Lời giải này tránh đượ

GV56: HS thấy rõ sự vô nghiệm, có nghiệm tùy ý của hệ phương trình, còn thay vào D, Dx, Dy không hiểu thực ra D, Dx, Dy là gì

 Nhóm chọn lời giải 2:

GV80: Giống trình tự cần làm của lý thuyết

ình sách giáo khoa, ti

uy tr

GV87: Theo q

ết kiệm thời gian

ận ra hệ trong câu b nằm ngoài phạm vi hợp Trong số này, có 13 GV đã không nh

(2,2) D'

(ứng với lời giải 2). thức của kỹ thuật

 Nhóm chọn cả hai lời giải 1 và

các bài toán tìm m thỏa

GV26: Lời giải 1 đơn giản, rõ ràng, lời giải 2 thích hợp cho điều kiện

GV50: Mỗi cách có ưu điểm riêng

GV52: Tránh sai lầm khi a, b, a', b' đồng thời bằng không

cách giả

, biết n

ọc

i nào

hiều cách giúp h

GV62: Tùy trường hợp mà lựa chọn sử dụng sinh hiểu sâu



GV86: Ưu tiên lời giải 1 hơn vì HS hay nhầm

với

;



  

  



với



xD yD

  

  

Trong đó, có 5GV đã giải thích việc chọn đưa vào câu b nhằm lưu ý tường minh

cho HS về tầm ảnh hưởng của 2 kỹ thuật (lời giải 1 và 2):

GV45: Lời giải 2 không còn đúng trong trường hợp này

GV62: Chú ý các hệ số đồng thời bằng 0

 GV chọn lời giải khác là GV53 với lời giải như sau: “Xét trường hợp m=0 thế vào hệ …, xét m 0 hệ thỏa là hệ (2,2) nên sử dụng thuật toán trong sách giáo khoa” tức là kiểm tra điều kiện (2,2) trước khi sử dụng lời giải 2.

 Trong 13 GV không đưa vào câu a vì chương trình cơ bản không yêu cầu, có

1 GV (GV39) vẫn đưa vào câu b:

Câu a: Mình thường dạy HS ở những lớp có nhiều cá nhân yếu và trung bình yếu nên nếu có tham số cũng phải dễ thấy kết quả hơn nhiều, dễ giảng hơn

Câu b: Không khó lắm đối với HS lại dễ ra đề và tập cho học sinh cẩn thận khi giải toán

Với câu trả lời này, có thể GV39 đã hướng dẫn HS dùng phép đặt nhân tử chung kết hợp với kỹ thuật cộng, thế để giải. Lời giải này minh họa cho việc khai thác các kỹ thuật cộng, thế để giải một số hệ (2,2) đặc biệt, có tham số.

 Như vậy, GV đã có những chọn lựa khác nhau v

(2,2)

ề kỹ thuật để giải quyết

tsT

(2,2)

, vẫn có một bộ phận giáo viên sử dụ

)

nhưng hoàn toàn không quan tâm đến phạm vi hợp thức của nó. Hầu như không

được đại đa số GV chọn và đây c kiểu nhiệm vụ ũng là giải . Kỹ thuật D''

có GV nào hướng dẫn HS dùng kỹ thuật

, cộng, thế, …

(2,2) D

pháp để khắc phục sự hạn chế của D' (2,2 D'

đã không trả lời.

 2 (2,25%) GV đã không quan tâm đến dạng toán này nên

 Câu 4: Đa số các GV cho rằng dạng toán này là không cần thiết.

50 (

 ọc sinh trung bình khá trở lên, giúp học sinh đúc kết đ ài tập” (GV39) và 46 GV cho rằng không cần thiết với các lý do đưa

với h giải b 56,18%) GV đã không đưa vào. Trong đó, có 4 GV thấy là cần thiết: “Đối ược kinh nghiệm qua việc ra như sau:

GV6: Học sinh tự biết tìm ra cách giải tốt nhất cho mỗi bài toán

GV24: Mất nhiều thời gian không cần thiết, học sinh chỉ cần nắm được thuật toán

GV28: Có nhiều tình huống và học sinh có thể lập luận sai

GV45: GV chỉ quan tâm đến kết quả, còn làm cách nào không quan

trọng

lời gi

 37 (41,57%) GV lựa chọn có đưa vào và thấy c ải thích của các GV này cho thấy, việc khai thá

ần thiết. Tuy nhiên, xem xét c tất cả các khía cạnh có thể về

được các GV được lý do tại sao đưa vào và 27 GV còn lại

ạnh nào đó:

tầm nhận chỉ n ảnh hưởng của các kỹ thuật giải thông qua dạng toán trên chưa ra: có đến 10 GV đã không nêu ra êu chung chung hoặc chỉ khai thác trên một khía c

GV2: Giúp học sinh nắm rõ kỹ thuật dùng D, Dx, Dy

GV30: Giúp rèn luyện tư duy cho học sinh khá giỏi

GV46: Để học sinh thuộc được công thức và không dùng được máy tính

GV55: Ôn tập kiến thức c

ho học sinh

GV62: Rèn l

uyện kỹ năng tính toán, suy luận

 Kết quả thống kê đã khẳng định rằng, đại

đa số GV không chú trọng khai thác các tình huống để HS nhận ra tường minh tầm ảnh hưởng, ưu điểm và hạn chế của các kỹ thuật giải hệ (2,2) (kỹ thuật định thức, dùng máy tính bỏ túi, cộng, thế, …) khi dạy học đối tượng này.

 9 (10,11%) GV đã không đưa ra câu trả lời.

 4 (4,5%) GV không cho phép sử dụng với lý do

 Câu 7:

“để học sinh tự giải sẽ tốt huật (làm cho HS i

ơn”. Như vậy, các GV này chỉ nhìn thấy khía cạnh hạn chế của kỹ t

ết cách giải hệ nếu không có máy tính) mà không nhìn thấy khía cạnh ích lợ

 76 (85,39%) GV cho p ụng và số lượng GV tương ứng

hép sử dụng. Các trường hợp được GV cho phép sử được thống kê như sau:

h không bi ủa nó. c

ham số: 15 GV

1. Tất cả những hệ phương trình không có t

chỉ là bước trung gian: 14 GV

2. Các bài toán mà việc giải hệ phương trình

3. Kiểm tra nghiệm: 7 GV

4. Tính nhanh: 1 GV

duy nhất: 1 GV

5. Hệ (Cramer) có nghiệm

u tỉ: 5 GV

6. Hệ phương trình có nghiệm hữ

7. Hệ phương trình có hệ số hữu tỉ: 8 GV

c tạp: 1 GV

8. Hệ phương trình phứ

: 5 GV

9. Bài toán thực tế

10. Tìm nghiệm gần đúng: 1 GV

11. Đề bài yêu cầu sử dụng máy tính: 1 GV

12. Trắc nghiệm: 1 GV

13. Hệ 3 ẩn: 1 GV

Với số lượng 76/89 (= 85,39%) GV cho phép sử dụng máy tính, 15/89 (= giải tất cả các hệ phương trình không có chứa tham 16,85%) GV cho phép sử dụng để số đã chứng tỏ chức năng giải hệ của máy tính bỏ túi đã được đại đa số GV khai thác và tận dụng. Tuy nhiên, GV chưa thực sự quan tâm sâu sắc đến phạm vi hợp thức, ưu điểm và hạn chế của kỹ thuật.

không quan tâm

* 15 GV cho sử dụng cho tất cả các hệ không chứa tham số mà ả phạm vi hợp thức của nó.

đến c

* 61 GV khai thác ưu điểm của kỹ thuật này trên một số khía cạnh khác nhau nhưng nhìn chung là chưa triệt để và toàn diện. Chẳng hạn như để tính nhanh hoặc tìm nghiệm gần đúng, hoặc giải các bài toán trắc nghiệm, hoặc kiểm tra nghiệm, hoặc hệ có nghiệm hữu tỉ, hoặc bài toán mà việc giải hệ là khâu trung gian, …

* Kỹ thuật này chỉ cho kết quả (nghiệm đúng hoặc gần đúng) đối với hệ Cramer, nhưng điều này chỉ được 1 GV đề cập. Huống chi thể chế phổ thông h iện hành đã ràng việc tìm nghiệm của một hệ phương trình (nếu không yêu cầu dùng máy tính bỏ buộc túi hoặc tìm nghiệm gần đúng) thì kết quả phải là nghiệm đúng. Điều này chỉ được 7 GV quan tâm.

Kết quả câu 1 chứng tỏ, đa số GV quan tâm đến chức năng công cụ của hệ PTTT. Cụ thể, có 45 (50,56%) GV khi được nhắc đến “hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” thì đề cập ngay đến chức năng công cụ của nó. Trong số đó, có 44 GV xem năng này chính là nguyên nhân dẫn đến việc không thể loại bỏ phần “hệ phương chức trình bậc nhất nhiều ẩn” ra khỏi chương trình toán hiện hành. Qua thống kê chi tiết, số lượng GV có đề cập đến chức năng công cụ tương ứng như sau: 16 GV - công cụ giải ài toán toán học nói chung (GV không kể ra), 7 GV - giải quyết các bài toán hình các b học, 33 GV - giải quyết các bài toán thực tế (bài toán đố, vật lý, hóa học).

Vấn đề là GV khai thác chức năng cộng cụ của hệ PTTT khi dạy học phần này như thế nào? Lời giải đáp sẽ được tìm thấy qua phân tích các số liệu thu được từ phần trả lời của câu 2, 5 và 6.

Kết quả thu được t

3.2.3.2. Khai thác chức năng công cụ của hệ phương trình

ừ câu 2 cho thấy, đa số GV quan tâm đến chức năng công cụ của hệ, vấn đề dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa. Các quy trình 2, 3 được lựa chọn nhiều: có 18/89 (20,23%) GV chọn quy trình 1; 20 (22,47%) GV chọn quy trình y trình 3. Sau đây là một số lý do điển hình được tìm thấy

2 và 51 (57,3%) GV chọn qu trong phần giải thích sự chọn lựa của các GV:

 Quy trình 1:

n biết dạng, cách giải hệ còn bài toán dẫn về hệ sẽ gặp trong dịp khác

GV 31: HS chỉ cầ

GV 45: Giống sách giáo khoa

GV74: Chỉ cần học sinh nắm được kỹ năng

giải hệ để tìm nghiệm

GV87: Thời gian hạn chế

 Quy trình 2:

GV7: Phù hợp về th

ời gian, chú trọng được kỹ năng

GV73: Phù hợp với trình độ của học sinh

GV69: Tạo hứng thú, nhu cầu cho học sinh

GV81: Vì bài này chú trọng kỹ năng, không đặt nặng lý thuyết

 Quy trình 3:

GV30: Học sinh thấy được ứng dụng thực tiễn của bài học nên sẽ thích học hơn.

GV22: Học sinh thấy được bản chất, ứng dụng của hệ

GV80: Rèn cho học sinh kỹ năng tự đưa ra vấn đề và tìm cách giải quyết

GV43: Thấy được sự cần thiết phải dạy

 Nhìn chung, đại đa số GV đều thấy được ưu điểm của quy trình 3 và mong muốn dạy học theo quy trình này. Tuy nhiên, khi tổng hợp phần trả lời của câu 5 và 6, có đến 4 GV chọn quy trình 2, 5 GV chọn quy trình 3 nhưng đều không đưa vào cả bài toán hình học lẫn bài toán thực tế (toán đố) và đa số các GV còn lại chỉ đưa vào số lượng rất ít các bài toán mà hệ PTTT đóng vai trò công cụ. Với số lượng rất ít như thế thì trên thực tế, GV khó có thể triển khai dạy tốt theo quy trình 3. Như vậy, về vấn đề dạy học bằng mô hình hóa, dường nh ư có sự chênh lệch giữa thực tế triển khai khi GV dạy học và việc GV chọn lựa quy trình 3 khi trả lời câu hỏi. Điề u này có thể giải thích bởi 2 lý do. Thứ nhất, có thể do các điều kiện về thờ i gian, trình độ học sinh, … đã dẫn đến một số GV không thể thực hiện sự lựa chọn nà y. Thứ hai, có thể do bản thân câu hỏi mà chúng tôi đặt ra, đã gợi lên cho GV quy tr ình đó và GV lựa chọn nhưng trong thực tế, chưa hẳn GV đã triển khai.

 3 (3,37%) GV đã không đưa ra câu trả lời.

không” đưa vào

 24 (26,97%) GV chọn “

 62 (69,66%) GV chọn “có”. Trong đó, 17 GV chỉ đưa vào 1 bài, 10 GV đưa vào 2 bài, các GV chỉ đưa vào tối đa là 3 bài. Đa số GV đưa vào các bài toán về tìm cạnh của tam giác hoặc bài tập trong SGK, 1 GV đưa vào bài “trăm trâu trăm cỏ”, 1 GV đ ưa vào bài “vừa gà vừa chó”. GV29 có ghi chú: “bài nhẹ chỉ cần thấy được sự cần thiết của hệ phương trình”.

 Câu 5: Đa số GV đã đưa vào bài toán thực tế khi dạy.

 Kết quả cho thấy, mặc dù đại đa số GV đã đưa vào dạy bài toán thực tế nhưng dường như việc khai thác nó chưa thực sự được quan tâm đúng mức. So với kết quả phân tích ở chương 2 thì có vẻ mứ c độ quan tâm ở đây có phần còn mờ nhạt hơn.

Kết hợp với phần trả lời của câu 7, có 55/8

9 (61,8%) GV đưa vào giảng dạy các iếp đưa ra nghiệm của u này cho thấy, đa số GV nhận thức đúng về vai trò của bước giải bài toán toán

bài toán đố thực tế và cho phép HS sử dụng máy tính để trực t ệ h . Điề học trong quy trình dạy học mô hình hóa.

 Câu 6: Kết quả thu được cho thấy, đa số GV không quan tâm khai thác chức

 2 (2,25%) GV không đưa ra câu trả lời.

vào các bài toán hình học.

 56 (62,92%) GV không đưa

 31 (34,83%) GV có đưa vào các bài toán hình học nhưng trong đó chỉ có 17 GV đưa vào các bài toán về sự tương giao của các đường thẳng, có 2 GV đưa vào bài toán biểu thị tuyến tính của vectơ, phần còn lại đưa vào các bài toán về tính cạnh của tam giác, hình chữ nhật, đường tròn ngoại tiếp tam giác, những bài toán cần đặt ẩn x, y để giải, có 9 GV không nêu ra được các dạng toán mà mình đưa vào.

năng công cụ của hệ PTTT trong việc giải các bài toán thuộc phạm vi hình học.

3.2.4. Kết luận từ thực nghiệm 3.2.4. Kết luận từ thực nghiệm

 Việc lựa chọn một kỹ thuật tối ưu để giải một bài toán cụ thể luôn được ấn định trước, HS không được tạo điều kiện để có thể tường minh (tự) nhận ra. Đa số

các GV đã khai thác ưu điểm của

và không dùng

để tránh sự hạn chế về

(2,2) D''

(2,2) D'

này. GV đã không khai thác hệ chứa tham số để HS

tầm ảnh hưởng của kỹ thuật

(2,2) D'

ằ

h y r ng, các kỹ thuật cộng, thế vẫn có thể giải được một số hệ chứa tham số đặc biệt t ấ và gặp khó khăn với những hệ không đặc biệt. Điều này càng chứng tỏ sự xuất hiện của hệ (2,2) có tham số kéo theo sự xuất hiện của kỹ thuật định thức. Việc khai thác các tình huống để bộc lộ ưu điểm của các kỹ thuật ít được GV quan tâm. Và gần như không bao giờ, GV tạo điều kiện cho HS thấy được sự hạn chế của kỹ thuật. GV không nhận ra rằng chính yếu điểm của kỹ thuật này là điều kiện sinh thái để kỹ thuật khác ra đời, tồn tại, phát triển.

 Nhìn chung, các GV đều ý thức được rằng việc khai thác phương diện công cụ sẽ kích thích nhu cầu học tập tri thức của HS. Gắn liền với nó là sự quan tâm đến vấn đề dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa. Tuy nhiên, để triển khai, thực hiện tốt những điều đó trong thực tế giảng dạy không phải là dễ dàng đối với đại đa số GV. Cụ thể các bài toán thực tế gắn với hệ chỉ được đưa vào với số lượng ít và mang tính hình thức, các bài toán hình học thì gần như là không xuất hiện hoặc chỉ xuất hiện rất mờ nhạt.

3.3. KẾT LUẬN

Kết quả đạt được từ các phân tích trên đã trả lời khá thích đáng cho câu hỏi Q3 về

đặc trưng của hệ PTTT nhìn từ góc độ một tri thức được dạy.

Xét về sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt  Xét về sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt

Ngôn ngữ hệ được GV sử dụng để khai thác các kỹ thuật giải. Ngôn ngữ ma trận không có mặt, định thức cấp hai chỉ xuất hiện như một ký hiệu hình thức. Ngôn ngữ vectơ chỉ có thể xuất hiện trong bài dạy của 2 GV khi giải bài tập về sự biểu thị tuyến tính của vectơ. Hệ thống biểu đạt hình học của hệ PTTT xuất hiện trong các bài tập về sự tương giao của các đường thẳng nhưng rất mờ nhạt và chỉ được một số rất ít GV đưa vào. Như vậy, lợi ích của việc thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt giữa đại số, hình học gắn với hệ PTTT chưa thực sự được GV quan tâm khai thác.

GV chỉ khai thác các kỹ thuật đại số; các kỹ thuật hình học hoàn toàn biến mất.

Với kiểu nhiệm vụ giải và biện luận hệ (2,2), sự ra đời của kỹ thuật

khác với các

(2,2) D''

(theo SGK, nghiên cứu ở chương 1) đã khẳng định sự quan tâm của

kỹ thuật



(2,2) D

(2,2) D'

đa số GV đến tầm ảnh hưởng của kỹ thuật này. Việc các kỹ thuật cộng, thế không được sử dụng khi giải những hệ chứa tham số chứng tỏ sự xuất hiện của hệ (2,2) chứa tham số kéo theo sự xuất hiện của kỹ thuật định thức.

 Xét trên phương diện kỹ thuật giải Xét trên phương diện kỹ thuật giải

Tuy nhiên, lý do tồn tại, ưu điểm, hạn chế của từng kỹ thuật trong mối tương quan với các kỹ thuật khác trong cùng một môi trường sống đã được rất ít GV làm rõ. Đại đa số GV đều cho rằng đó là nhiệm vụ của HS, là HS phải tự biết, là do những ràng buộc về thời gian, trình độ của HS nên GV không thể thực hiện được.

Xét  Xét về phương diện công cụ. Dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa về phương diện công cụ. Dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa

Phương diện công cụ của hệ PTTT không được khai thác hoặc được khai thác rất mờ nhạt. Hệ PTTT – công cụ để giải quyết các bài toán hình học gần như không được quan tâm khai thác. Vấn đề dạy học mô hình hóa và bằng mô hình được GV quan tâm, tuy nhiên việc thực hiện chỉ mang tính hình thức. Các bài toán thực tế nếu được đưa vào thì với số lượng ít và nội dung chỉ là những bài toán phỏng thực tế hoặc bài toán toán học: bài toán đố đơn giản, bài toán vui dân gian hoặc bài toán toán học mà lời giải có bước đặt ẩn để chuyển về hệ (2,2) hoặc hệ (3,3). Với những bài toán được cho, đa số các GV đã tận dụng ưu điểm của máy tính bỏ túi trong khâu giải hệ còn khâu chuyển từ bài toán đố sang hệ là HS tự tìm hiểu. Như vậy, so với những gì được xây dựng trong SGK thì trên thực tế GV thực hiện có phần còn đơn điệu hơn.

KẾT LUẬN

Kết quả nghiên cứu ở chương 1 đã đưa ra một bức tranh toàn cảnh về hệ PTTT

nhìn từ góc độ một tri thức toán học: Hệ PTTT đa dạng về kỹ thuật giải và phong phú

về giá trị công cụ. Sự ra đời của đa dạng các kỹ thuật giải với tầm ảnh hưởng khác

nhau xuất phát từ nhu cầu giải quyết những bài toán khác nhau, từ việc khai thác sự

chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt cùng quá trình mô hình hóa. Sự tồn tại và

phát triển lâu dài của hệ PTTT là nhờ vào tiềm năng công cụ to lớn của nó không chỉ

trong nội tại toán học mà còn trong rất nhiều lĩnh vực khoa học khác và cả thực tiễn

cuộc sống. Từ cái nhìn toàn cảnh về một tri thức toán học (ở chương 1), nghiên cứu ở

chương 2 cho thấy cuộc sống của hệ PTTT trong một môi trường (thể chế) cụ thể - tri

thức cần dạy ở lớp 10 phổ thông hiện hành, những chuyển đổi didactic từ góc độ tri

thức toán học sang tri thức cần dạy. Nghiên cứu ở chương 3 lại cho thấy cuộc sống của

hệ PTTT trong một môi trường cụ thể khác do GV tạo ra - tri thức được dạy ở lớp 10

phổ thông hiện hành, những chuyển đổi didactic gắn với hệ PTTT nhìn từ góc độ tri

thức cần dạy sang tri thức được dạy. Cụ thể là:

 Trong chương 1, chúng tôi đã chỉ ra bốn hệ thống biểu đạt hệ PTTT mà

chúng tôi gọi là bốn ngôn ngữ biểu đạt: ngôn ngữ hệ, ngôn ngữ ma trận, ngôn ngữ

vectơ và ngôn ngữ hình học. Kết quả nghiên cứu của chương này cho thấy các giáo

trình đại học đã khai thác tốt bốn ngôn ngữ. Đặc biệt, ngôn ngữ ma trận đã giúp các

nhà toán học thiết lập nên hàng loạt kỹ thuật giải hệ PTTT. Ngôn ngữ hệ, ngôn ngữ

vectơ và ngôn ngữ hình học thì lại cho phép khai thác hệ PTTT - công cụ đại số trong

việc giải quyết nhiều bài toán hình học, nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác. Sức

mạnh của đại số, của các công cụ đại số đã được khẳng định. Tuy nhiên, vai trò của

công cụ hình học trong việc giải quyết bài toán đại số gắn với hệ PTTT hoàn toàn

không được nhắc đến vì đối tượng nghiên cứu ở đó là những hệ PTTT có số ẩn tùy ý.

Kết quả cũng đã cho thấy, ở trong phạm vi vĩ mô hơn thì chính sự mô hình hóa toán

học đã giúp khẳng định rằng: hệ PTTT là công cụ hiệu quả để giải quyết nhiều vấn đề

và trong rất nhiều lĩnh vực.

 Nghiên cứu ở chương 2 đã chỉ ra, trong chương trình hiện hành, có ba hệ

thống biểu đạt hệ PTTT được sử dụng: ngôn ngữ hệ được sử dụng để đưa ra kỹ thuật

giải hệ (vết của kỹ thuật Gauss), ngôn ngữ vectơ và ngôn ngữ hình học được đưa ra để

giải quyết một số bài toán về biểu thị tuyến tính của vectơ, bài toán về sự tương giao

của các đường thẳng, mặt phẳng. Đặc biệt, ở lớp 9, ngôn ngữ hình học còn giúp đưa ra

kỹ thuật hình học để đoán nhận số nghiệm của hệ, giải hệ (2,2) - điều mà vốn dĩ đã

không được khai thác ở chương 1. Tuy nhiên, chỉ có ngôn ngữ hệ, công cụ đại số là

chiếm ưu thế, các ngôn ngữ biểu đạt còn lại hoặc không xuất hiện hoặc chỉ xuất hiện

rất mờ nhạt. Kết quả cũng cho thấy: phương diện kỹ thuật được chú trọng nhưng việc

đưa vào khai thác các tình huống nhằm bộc lộ ưu điểm, hạn chế của các kỹ thuật giải

hệ PTTT đã không được thực hiện một cách tường minh; chức năng công cụ của hệ

PTTT thể hiện một cách mờ nhạt trong các SGK đại số 10, vấn đề dạy học mô hình

hóa và bằng mô hình hóa gắn với hệ PTTT chưa được quan tâm đúng mức cũng như

chưa được tạo một vùng sống thực sự, việc tạo khớp nối giữa bài toán đại số và hình

học dường như ít được quan tâm.

 Kết quả từ nghiên cứu hệ PTTT nhìn từ góc độ tri thức cần dạy ở chương

2 vẫn còn đúng qua thực tế giảng dạy của đa số GV- nghiên cứu ở chương 3- Hệ PTTT

nhìn từ góc độ tri thức được dạy ở lớp 10. Kết quả cũng cho thấy, cá nhân GV có thể

, lựa chọn quy trình

lựa chọn giống như những gì mà SGK viết nhưng cũng có thể có những lựa chọn riêng

(2,2) D''

dạy học bằng mô hình hóa, …). Và cũng từ kết quả thực nghiệm đối với GV, chúng tôi

của mình khi giảng dạy một đối tượng tri thức (ví dụ: kỹ thuật

thấy rằng, dường như đa số GV ngày nay đã quan tâm đến chức năng công cụ, đều

muốn dạy học hệ PTTT gắn với chức năng công cụ của nó, gắn với quy trình dạy học

mô hình hóa và bằng mô hình hóa; tuy nhiên, vì một số ràng buộc nào đó (thời gian, …)

nên đã không mạnh dạng thực hiện hoặc chỉ thực hiện một cách hình thức. Chính điều

này đã làm nảy sinh trong tôi mong muốn tìm kiếm lời giải đáp cho câu hỏi: GV đã

gặp phải những khó khăn gì khi triển khai dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa

hệ PTTT?

Kết quả nghiên cứu ở chương 1 sẽ tạo cơ sở để có những lựa chọn riêng, thích

hợp với việc dạy học hệ PTTT trong những thể chế và nhắm đến những mục tiêu cụ

thể khác nhau. Kết hợp với kết quả nghiên cứu ở chương 2 và 3 (hệ PTTT nhìn từ góc

độ tri thức cần dạy và được dạy) sẽ tạo cơ sở cho những ý tưởng có ý nghĩa cho việc

biên soạn SGK và thực tế dạy học hệ PTTT. Cụ thể:

 Đưa ra tình huống giúp HS tự nhận ra được tầm ảnh hưởng, ưu khuyết

điểm của từng kỹ thuật.

 Kết hợp với ứng dụng công nghệ thông tin, dùng các phần mềm toán học

giúp minh họa và tận dụng được kỹ thuật hình học (vẽ đường thẳng) - khai thác yếu tố

của hình học trực quan nhưng vẫn giải được chính xác hệ (2,2).

(không đưa vào các phép toán trên ma trận).

 Đưa ngôn ngữ ma trận (như một bảng gồm các hệ số) vào giảng dạy,

Thực ra các phép toán trên ma trận có thể là phức tạp đối với học sinh nhưng

ngôn ngữ ma trận thì không khó mà nó chỉ mang lại sự thuận lợi cho việc giải hệ. Như

nghiên cứu ở chương 1, với các kỹ thuật giải sơ khai chưa có ma trận – bảng các số-

thì việc biến đổi tương đương hệ rất phức tạp theo kiểu vừa phải biến đổi trên cả số và

biến, việc đưa ra ma trận giúp giải hệ PTTT nhanh chóng vì chỉ cần thao tác trên các

số. Điều này vẫn có thể tận dụng để giải nhanh khi hệ có số ẩn lớn. Đây là điều hoàn

toàn có thể khái quát lên từ kỹ thuật cộng, thế (vết của kỹ thuật Gauss) đã được dạy ở

phổ thông. Điển hình chương trình lớp 10 cơ bản đã đưa vào kỹ thuật Gauss để giải hệ

(3,3), việc đưa thêm vào ma trận - bảng các số- sẽ là một ngôn ngữ biểu đạt giúp giải

được các hệ PTTT tổng quát vừa nhanh chóng vừa không làm mất đi bản chất của các

phép biến đổi tương đương hệ phương trình.

 Xây dựng một bức tranh toàn cảnh về giá trị ứng dụng của hệ PTTT.

 Dạy học hệ PTTT theo quy trình dạy học mô hình hóa và bằng mô hình

hóa.

….

Chính những điều này sẽ giúp chúng tôi đạt được tham vọng ban đầu, tham vọng

mà đã thôi thúc chúng tôi đến với nghiên cứu này: “Điều mà chúng tôi mong muốn

nhất là có một bài giảng thật hay gắn với đối tượng tri thức nhắm đến. Một bài giảng

không phải là bài thuần lý thuyết mà là để sau đó, học sinh còn có thể thấy được sự

cần thiết phải học tri thức ấy, phải thấy rằng biết được tri thức ấy là hé mở ra một

chân trời cho nhiều ứng dụng, ích lợi cho thực tế cuộc sống.”.

Mặc dù tham vọng ấy đã chưa thực hiện được một cách trọn vẹn nhưng chúng tôi

đã có những cơ sở để biến tham vọng đó thành hiện thực. Hơn thế nữa, với những kiến

thức có được sau khóa học, sau nghiên cứu này, chúng tôi đã và sẽ có thể có những

bước tiến xa và nhanh hơn, đạt được những kết quả nghiên cứu ngày càng tốt hơn và

có những đóng góp có ích cho lĩnh vực giáo dục.

.…….  ……..

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2006), Sách giáo khoa toán đại số 9, NXB Giáo dục.

2. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2006), Sách giáo viên toán đại số 9, NXB Giáo dục.

3. Nguyễn Huy Đoan (2006), Bài tập toán đại số 10 nâng cao, NXB Giáo Dục.

4. Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (2003),

Toán cao cấp - tập 2, NXB Giáo dục.

5. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Sách giáo khoa toán đại số 10 cơ bản, NXB Giáo

dục.

6. Trần Văn Hạo, Đoàn Quỳnh (2006), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương

trình, SGK lớp 10 trung học phổ thông môn toán, NXB Giáo dục.

7. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Sách giáo viên toán đại số 10 cơ bản, NXB Giáo

dục.

8. Nguyễn Thị Như Hà (2004), Máy tính bỏ túi trong dạy – học toán. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10, Luận văn thạc sỹ lý luận và phương pháp dạy học toán, ĐHSP.TPHCM.

9. Trần Văn Hãn (1996), Đại số tuyến tính trong kỹ thuật, Tủ sách trường Đại học Đại

Cương, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp.

10. Lê Văn Hạp – Lê Đình Thịnh (2000), Phương pháp tính và các thuật toán, NXB

Giáo Dục.

11. Tạ Văn Hùng, Nguyễn Phi Khứ, Hà Thanh Tâm (2000), Đại số tuyến tính, NXB

Thống Kê.

12. Nguyễn Mộng Hy (2001), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục.

13. Nguyễn Chí Long (2002), Phương pháp tính, NXB ĐHQG TP.HCM.

14. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Sách giáo khoa toán đại số 10 nâng cao,

NXB Giáo dục.

15. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Sách giáo viên toán đại số 10 nâng cao,

NXB Giáo dục.

16. Nguyễn Quý Thảo, Nguyễn Hữu Châu (2006), Chương trình giáo dục phổ thông

môn toán, NXB Giáo dục.

17. Tôn Thân (2006), Bài tập đại số 9, NXB Giáo dục.

18. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông, NXB Đại

học Quốc gia TPHCM.

19. Vũ Tuấn (2007), Bài tập toán đại số 10 cơ bản, NXB Giáo Dục.

20. Nguyễn Thùy Trang (2006), Algorit và tham số trong dạy – học chủ đề phương trình ở trường THPT. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn, Luận văn thạc sỹ lý luận và phương pháp dạy học toán, ĐHSP.TPHCM.

21. Trần Văn Trản (2007), Phương pháp số thực hành - tập 1, NXB ĐHQG Hà Nội.

22. V.V. Voevôđin (1983), Đại số tuyến tính, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp,

NXB “Mir” Hà Nội – Maxcova. Bản dịch của NXB ĐH và THCN.

Dịch sang tiếng Việt

23. Lalina Coulange (1997), Đề cương luận văn “Nghiên cứu sự mô hình hóa trong lớp toán đệ nhị (lớp đầu của PTTH ở Pháp)”, lớp cao học didactic, ĐHSP TPHCM.

Tiếng Anh

groups.dcs.st-nd.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html.

24. J J O'Connor and E F Robertson, Matrices and determinants, http://www-

Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory, 25. A

http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Biên bản quan sát lớp học 10 nâng cao

Phụ lục 2: Bộ câu hỏi điều tra giáo viên

Phụ lục 3: Một số câu trả lời của giáo viên

PHỤ LỤC 1 BIÊN BẢN QUAN SÁT CÁC TIẾT DẠY LỚP 10 NÂNG CAO

BIÊN BẢN QUAN SÁT CÁC TIẾT DẠY LỚP 10 NÂNG CAO

Phần lý thuyết

1. GV ghi lên bảng:

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

0. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

2. GV nhìn SGK một lúc rồi nói: Trong SGK, chúng ta không có mục 0, ở đây đầu tiên chúng ta nghiên cứu mục 0 là phương trình bậc nhất 2 ẩn, chúng ta nhắc lại.

3. GV vừa giảng vừa ghi nội dung chính lên bảng: Phương trình bậc nhất 2 ẩn là phương trình có dạng ax + by = c. Trong đó (a2+ b2  0). Phương trình này có 2 ẩn x, y; trong đó, 2 hệ số a, b không đồng thời bằng không và a, b, c là các hệ số thực. Ví dụ: phương trình 2x + y = 3 là phương trình bậc nhất 2 ẩn. Em nào cho Thầy biết 1 nghiệm của phương trình này? Linh.

4. Linh: x=2; y =-1 (2; -1)

5. GV: Em nào cho Thầy 1 nghiệm khác? Lộc.

6. Lộc: x= 1, y=1

7. GV: Rồi còn em nào nữa? Nam

8. Nam: x=3, y= -3

9. GV: Như vậy, 1 nghiệm của phương trình 2 ẩn sẽ gồm 1 cặp x với y. Người ta thấy rằng, 1 phương trình bậc nhất 2 ẩn có rất nhiều nghiệm, 1 nghiệm của nó là 1 cặp số. Ta đem 1 cặp số này biểu diễn lên mặt phẳng tọa độ thì được 1 điểm. Mà nó có rất nhiều nghiệm nên sẽ có rất nhiều điểm và tất cả các điểm đó tạo thành 1 đường thẳng. Nghiệm của phương trình này là 1 đường thẳng và đường thẳng đó người ta gọi là đường thẳng ax + by = c. Như vậy, từ đây về sau ta nói phương trình này là 1 đường thẳng ax + by = c.

10. Ta bắt đầu phần thứ nhất: 1.Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn

ax by 







11. GV: Minh, em đọc cho Thầy định nghĩa trong SGK. HS đọc định nghĩa trong SGK. Ở đó, người ta đưa vào các khái niệm hệ, nghiệm, giải thích thế nào là giải hệ phương trình.

(I)

c ' (a '

b '

a ' x b ' y 







   

12. GV ghi lên bảng:

ax by 







(I)

c ' (a '

b '

a ' x b ' y 







   

13. GV: Vậy các em vừa tìm hiểu định nghĩa hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. Và đối với hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, chúng ta sẽ cũng có các khái niệm về hệ phương trình tương đương, hệ phương trình hệ quả. Các em đã hiểu thế nào về 2 phương trình tương đương và thế nào là phương trình hệ quả thì đối với hệ các em cũng có các khái niệm tương ứng.

14. Em nào cho Thầy biết thế nào là giải hệ ? Nam

15. Nam: Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

16. GV: Chúng ta có hoạt động 1 trong SGK, các em làm hoạt động này. Trước khi

làm, Thầy hỏi các em, ở cấp 2 đối với hệ này, các em giải như thế nào?

Hoạt động 1 yêu cầu giải 3 hệ (2,2) không có chứa tham số. Trong đó, 1 hệ có

nghiệm duy nhất, 1 hệ vô nghiệm và 1 hệ vô số nghiệm.

17. HS: Dạ thưa Thầy, có thể giải bằng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp

thế

18. GV: Uhm, vậy các em vận dụng những gì đã được học ở cấp 2 để làm hoạt động 1.

19. HS tự giải vào tập, đa số các em có sử dụng máy tính để tính toán cộng, trừ, nhân,

chia.

20. GV gọi đại diện 3 nhóm: nhóm 8, nhóm 5, nhóm 6

21. 3 HS lên bảng trình bày (trên bảng phụ) như sau:



2x 5y 1     x 3y 5   

2x 6y  x 3y 

2 2  







 





11y      x 3y 5 

3x y 1     3x y 1   

3x y 1     1 1   3 3



2x 6y  2x 6y 

  

4x 0y  2x 6y 

2   4  

     



2x 5y 1     2x 6y    y 1    x 3 5   

y 1    x 2  

    Heä PT voâ nghieäm S=

Vaäy heä pt coù voâ soá caëp nghieäm (x,y)

Vaäy heä phöông trình coù nghieäm laø

x=2   y=1 

HS1 (Nhóm 8) HS2 (Nhóm 5) HS3 (Nhóm 6)

22. GV xem bài làm của 3 HS, khẳng định: Câu b đúng rồi, vô nghiệm phải không em,

tập nghiệm bằng rỗng nếu ta gọi S là tập nghiệm.

3x y 1  

3x y 1

  

   . Mà nghiệm của phương trình này là

24. GV ghi thêm lên bảng:

… ? phương trình 3x – y = 1, nghiệm của nó là? Hương

25. Hương: có 1 cái x thuộc R và y = 3x-1

26. GV nhìn lên bảng rồi quay xuống gọi tiếp: Nam

27. Nam: x thuộc R và y = 3x-1



x  y 3x 1 



  

29. GV quay lên bảng vừa ghi



x;3x 1) / x 

 (

  

vừa nói: Nhưng mà nếu viết thành 1 cặp điểm, ta cho x tùy ý thì y = 3x-1. Như vậy, những nghiệm của nó sẽ có dạng là



 có tập

(ghi vào bảng phụ) . Với mỗi x thuộc R, ta sẽ có 1 cặp điểm. Sẽ có rất nhiều nghiệm. Sẽ có dạng thành phần thứ nhất là x, thành phần thứ 2 là 3x- 1. Mấy em nhớ nhé khi gặp dạng này, em giữ lại cho x tùy ý và em tính y. Còn em kết luận như vậy (bài giải câu c) là không đạt vì đề bài yêu cầu giải hệ phương trình tức là tìm tất cả các nghiệm, là coi nghiệm có dạng gì chứ không phải hỏi là hệ này có bao nhiêu nghiệm. Em trả lời hệ có vô số nghiệm là đúng rồi nhưng còn phải chỉ ra nghiệm của nó luôn. Mấy em dùng phương pháp thế cũng được.

c '





30. GV (chỉ sang bảng chính): Các em theo dõi này, phương trình ax by c

nghiệm là đường thẳng d; phương trình a ' x b ' y có tập nghiệm là đường thẳng d’. Như vậy, nghiệm của hệ này chính là giao điểm của 2 đường thẳng d và d’. Nếu như đường thẳng d và d’ có 1 giao điểm (cắt nhau) thì theo các em, hệ này có mấy nghiệm?

31. HS: 1

32. GV: Nếu d và d’ song song thì …?

33. HS : Vô nghiệm vì song song thì không có giao điểm

34. GV: Nếu d và d’ trùng nhau thì …?

35. HS: Vô số nghiệm

37. GV ghi: 2. Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Xây dựng công thức

cb '

ab ' x bb ' y 

38. GV: Chúng ta sẽ xây dựng và các em theo dõi. Cách giải hệ tổng quát ban đầu. Thầy làm như sau: Nhân phương trình đầu cho b’, nhân phương trình thứ 2 cho –

bc '

 a ' bx bb ' y 



 

  

. Cộng vế với vế, ta được: b rồi cộng lại. Ta được





b 'c bc ' 



 ab ' a 'b x





b 'c bc ' 



Ta đã nhân cho b’ và –b để làm mất y, bây giờ ta làm mất x bằng cách nhân phương trình thứ nhất cho a’, phương trình thứ 2 cho –a, rồi cộng lại. Ta được (a’b – ab’) y = a’c – ac’ , tiếp tục nhân (-1) vào 2 vế ta được (ab’ – a’b) y = ac’

   ab ' a ' b x   (ab' - a'b) y = ac' - a'c 



(II)

– a’c . Nối kết 2 phương trình thành hệ (I)



Dx   Dy 

 thì ta có tìm được nghiệm của hệ

39. GV: Các em thấy ab’ – a’b giống nhau ở hai phương trình không? Nên đặt D = .. Từ hệ (I) dẫn tới hệ ab’ – a’b, Dx = b’c – bc’, Dy= ac’ – a’c. Ta có

(II). Hệ (II) là hệ quả của hệ (I). Nếu D 0



yD D

xD D

không? Lộc

Dx D 

(II)

Dy D 

DD y x ; D D

   

  

  

40. Lộc: Dạ được ạ, và

41. GV ghi lên bảng: Trường hợp 1: D 0

42. GV: Là nghiệm của hệ (II) thì có chắc là nghiệm của hệ (I) không?

43. Vài HS trả lời không, đa số HS im lặng.

44. GV: Các em phải thử lại.

Thay x

, y

(2)



45. GV: Có em nào xong chưa? Nam

c '

(1) (3)

ax by   a ' x b ' y 



D x D

y D

  

46. Nam: .





' a bc

' 

 (

acb )

' a bc ' a bc D

cb'-c'b ab'-a'b ' acb   ' acb  

' ' ac a c  ' ' a b ab  ' ' ac b abc   ' ' acb a bc  

Thay (2) vào (1), ta được:

Thay (2) vào (3). Tương tự, ta được: ac’b’ – a’c’b = ab’c’ – a’c’b (đúng)

DD y x ; D D

  

 

47. GV: Như vậy,khi thế vào, các em sẽ thấy cặp là nghiệm của hệ phương

xD D yD D

 x     y 

trình (I). GV tóm tắt lại: TH1: D 0 hệ (I) có nghiệm (x;y) duy nhất

48. GV: Chúng ta đã xét xong trường hợp 1: D 0 . Bây giờ chúng ta xét trường hợp 2:

0x D 

(II)

0y D 

   

D=0. Trở lại hệ (II)

49. GV ghi vào phần bảng 2: TH2: D=0

0 thì phương trình 0x = Dx thế nào?

50. GV: Nếu

51. HS: Vô nghiệm

52. GV: Vậy hệ thế nào?

53. HS: Vô nghiệm

0

54. GV nhắc lại: Một hệ phương trình có 1 phương trình vô nghiệm thì sẽ vô nghiệm.

Tương tự, nếu thì hệ thế nào?

55. HS: Hệ vô nghiệm

56. GV: tóm tắt ghi tiếp vào bảng chính 1:

Trường hợp 2: D=0

xD0  hoặc

yD0  thì hệ (I) vô nghiệm

Trường hợp 2a: Nếu



Trường hợp 2b: Dx = Dy = 0

(

)



   

. Hệ (II) có vô số nghiệm. Vậy hệ (I) cũng có vô 57. GV: Trường hợp 2b:

số nghiệm. Đúng không?

58. HS trả lời: Không kết luận được vì (II) chỉ là hệ quả của hệ (I)

0

59. GV: Đúng rồi. Vậy trường hợp này ta chưa kết luận được.

a b '

ab  

  

60. GV vừa giảng vừa ghi vào bảng phụ: Giả sử a

' a b a

a c '

ac  

  

D=0

a c ' a

0

Dy = 0





Vì nên ta luôn chia cho a

ax by  '

 '

a c '

aa x a by 



a ax by

a c '





ax by  

c 

   

a x '





   

a b ' a

a c ' a

   

Thế b’ và c’ vào hệ (I), ta được

62. GV ghi vào bảng chính:

Trường hợp 2b : Dx = Dy = 0. Hệ (I) có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (I) cũng chính là tập nghiệm của phương trình ax + by = c

63. GV nói bảng tóm tắt này có trong SGK. Một em đứng lên đọc lại bảng tóm tắt

này. Quang đứng dậy đọc dùm Thầy.

0D  ,

64. Quang đọc: “…. ” . Nội dung phần tóm tắt này chính là các trường hợp

D=0, Dx, Dy mà GV vừa ghi lên bảng.

65. Sau đó, GV đưa vào ký hiệu, cách tính định thức cấp hai. Từ đó đưa vào các định

thức D, Dx, Dy cùng cách tính và cách nhớ.

66. GV ghi tiếp lên bảng: a) Giải và biện luận

67. GV: Thực chất ở đây ta đã giải được rồi nhưng người ta đưa thêm một kiến thức

nữa đó là định thức

68. HS tự lên xóa bảng, GV yêu cầu HS: Các em giữ lại bảng ghi các D, Dx, Dy

69. GV yêu cầu HS ngồi tại chỗ mỗi em làm hoạt động 3 trong SGK

70. GV: Các em làm xong chưa? Gọi Vũ

71. Vũ: Trong định thức D, cột thứ nhất gồm các hệ số của x; cột thứ hai gồm các hệ số của y. Trong định thức Dx, cột thứ nhất gồm có c và c’; cột thứ hai gồm các hệ số của y. Trong định thức Dy, cột thứ nhất gồm có hệ số của x; cột thứ hai gồm có c và c’.

72. GV: Từ đó các em hãy rút ra cách nhớ? Hương

73. Hương: D gồm các hệ số của x và y; còn Dx thì thay cột hệ số của x bằng c và c’;

còn Dy thì mình thay cột hệ số của y bằng c và c’.

74. GV: à đúng rồi và GV nhắc lại, D thì dễ thuộc rồi cứ lấy hệ số của x và y vô thành 2 cột. Dx thì từ định thức D giữ cột hệ số của y, em bỏ cột x đi và thay bằng c, c’. Tương tự, muốn tính Dy từ định thức D bỏ cột y đi thay bằng cột c,c’. Em nào nhắc lại dùm thầy cách nhớ D, Dx, Dy?

75. 1 HS nhắc lại y như vậy

76. GV yêu cầu HS xem ví dụ trên và làm hoạt động 4.

77. GV: Muốn giải hệ phương trình, người ta tính D, Dx, Dy . Vậy ngoài phương pháp





cộng, thế, ta có thêm một cách nữa là dùng định thức.

2x 3y 13 7x 4y 2





  



8 ( 21)



  



2 7

3 4

13.4 ( 6) 58



    



D x

13 2

3  4

D x D

58 29

2 13

4 13.7



 

   



3 

87  29

y D

. Ta có: 78. GV gọi 1 em HS lên bảng. HS trình bày như sau:

Vậy hệ có nghiệm (2;-3)

79. GV hỏi các HS ở dưới lớp: nghiệm (2;-3) đúng không?

80. HS: Không có HS nào phản đối

 mx y

81. GV: cho qua

  

82. GV: Ngoài SGK, thầy đưa thêm 1 ví dụ. Ví dụ: Giải và biện luận hệ : x my 1  1  

Giải:

2 1 m , D

1 m , D

1 m



 



 



  . Các em có

Bởi vì hệ có chứa tham số nên ta phải giải và biện luận. Đầu tiên, các em cũng

1 m 1 1

1 1 m 1

1 m m 1

tính D, Dx, Dy:

tính được như vậy không?

83. GV: Bây giờ chúng ta biện luận. Ở đây, ta có 2 trường hợp là D=0 và D 0 . Ta



D 0

m 1   

xét D 0 trước rồi xét D=0.



1 m D  2 D 1 m  D 1 m  2 D 1 m 

     y  

Trường hợp 1: . Hệ (I) có nghiệm duy nhất

1+m , ta đơn giản cho 1 – m. Vậy x = (GV ghi bổ sung vào kết quả trên) Ra tới đây, chúng ta có thể đơn giản vì mẫu 1 – m2 có thể phân tích thành 1-m và 1 1 m

1 1 m 

D 0 m

(GV ghi bổ sung vào kết quả trên) Với Dy, ta cũng đơn giản như vậy: y=

    1

84. GV: Xong trường hợp 1, ta qua trường hợp 2:

Có tới 2 giá trị của m làm cho D=0. Vậy ta thế lần lượt từng giá trị vô

Trường Hợp 2a: m = 1

x y 1   x y 1  

   

x y 1

  

Muốn biết như thế nào thì em thế trực tiếp vô hệ. Thế m = 1 vào hệ (I). Hệ (I)

Ta thấy 2 phương trình giống nhau, ta chỉ giữ lại 1. GV ghi tiếp:

85. GV: Vậy hệ này thế nào?



x 

y 1 x  

  

86. HS: Vô số nghiệm x cho tùy ý, y = 1 – x

87. GV ghi bổ sung vào bảng :

(I)

88. GV ghi tiếp: Trường hợp 2: m=-1

x y 1   x y 1   

   

Thế m = -1 vào hệ (I) lúc này hệ trở thành

x y 1   x y 1   

  

Phương trình trên giữ nguyên, phương trình dưới nhân với -1 

Các em thấy, ở trên x – y = 1 và ở dưới x – y = -1. Vậy em thấy hệ này như thế nào ?

89. HS : Hệ vô nghiệm

90. GV ghi vào bảng :  hệ vô nghiệm

91. GV vừa nói vừa ghi vào bảng phần kết luận sau:

(x; y)

1 

Kết luận :

; 1 m 1 m

1 

   

  

 y 1 x  

Nếu thì hệ (I) có nghiệm duy nhất

Nếu m = 1 thì hệ (I) có vô số nghiệm x   

Nếu m = -1 thì hệ (I) vô nghiệm

92. GV: Vậy để giải và biện luận hệ chứa tham số, các em tính D, Dx, D; sau đó, xét 2 trường hợp: D 0 và D=0. Khi D = 0 thì m bằng giá trị nào? Nếu có 2 giá trị thì





a x b y c z d  1 1 a x b y c z d 





a x b y c z d 





    

thế lần lượt từng giá trị vào hệ ban đầu, nếu 1 giá trị thì thế thẳng vào rồi giải hệ ban đầu cụ thể.

Các hệ số a, b, c trong các phương trình không được đồng thời bằng không

93. GV: Người ta giải bằng phương pháp thế, từ phương trình đầu tiên người ta rút z theo x với y. Mấy em thấy cụ thể là rút z = 2 – x – y rồi thế vào 2 phương trình còn lại. Từ 3 ẩn, ta thế còn lại hai ẩn đó là nguyên tắc chung khi giải hệ 3 ẩn. Từ 3 ẩn còn 2 mà hệ 2 ẩn thì các em đã biết cách giải rồi.

94. GV: Các em làm hoạt động 5. Sau khi dùng kỹ thuật thế để khử z trong hai phương trình của hệ (3,3) ở ví dụ 3 thì được một hệ (2,2) theo 2 ẩn x,y. Hoạt động 5 yêu cầu giải hệ (2,2) này.

95. HS: Mỗi em tự giải

96. GV: Em nào làm xong rồi thì đọc dùm Thầy kết quả? Thầy chỉ định một em HS.

97. HS: x = 1, y = 3, z = -1

98. GV khẳng định lại kết quả rồi cảm ơn HS.

99. GV: Hôm nay, các em đã được học thêm một cách mới để giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. Để giải được theo cách này, các em phải nắm vững cách tính D, Dx, Dy. Một em nhắc lại cho Thầy cách tính D, Dx, Dy.

100. HS: D = ab’ - a’b ; Dx = cb’ - c’b ; Dy= ac’ –a’c

101. GV: Các em tính định thức bằng cột nào, cột nào để dễ nhớ? D bằng cột thứ nhất (hệ số của x), cột thứ hai (hệ số của y); Dx ….. ; Dy … . Em nào nhắc lại cách nhớ D, Dx, Dy? Long

102. Long: Từ định thức D, muốn tính Dx ta bỏ cột hệ số của x đi và thay bằng cột c;

Dy thì bỏ cột hệ số của y đi và thay bằng cột c.

103. GV: Các em về nhà làm hoạt động 6 xem như là bài tập về nhà. Các em nghỉ.

Hoạt động 6 yêu cầu giải một hệ (3,3).

Phần bài tập

Lời giải của HS Hoạt động chỉnh sửa

Bài 31

 

  



31a.2. GV: Câu này dễ! Các em so sánh đáp số với bạn. Các em có thể thử lại bằng cách bấm máy tính. 31a.1. Câu a: 5x 4y 3  7x 9y 8 

17



 

45 28 





Ta có :

Trong thực hành khi gặp hệ này, các em không cần tính D, Dx, Dy để làm gì đâu, các em cứ bấm máy thoải mái vì các em còn sử dụng khi học các môn vật lý, hóa học nữa.



27 32 5



 

  







D x D

5 17

5 17 

31a.3. HS: im lặng

40 21 19



  





 

y D

19 17

19 17 

31a.4. GV sửa tiếp sang câu b





 

) Vậy hệ có nghiệm duy nhất (19; 19 17

2 2x





   

31b.1. Câu b:



  4 3

1 

2 2

1 



3    



31b.2. GV: Bài này các em bấm máy sẽ ra nghiệm rất là lẻ. Nhưng nếu dùng định thức thì sẽ cho kết quả chính xác. Ta có:

D x D

3  1 

Các em so kết quả D, Dx, Dy ba kết quả này đúng là được rồi. Đúng hết phải không?



2 2



y  



 

y D

2 2 1 

2 2 0

31b.3. HS không phản ứng gì

3; 2 2 



31b.4. GV: Em được 10 điểm

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 



x my 0  mx y m 1  



  

1 m 

33a.1. Bài 33a:

1 m



  



2 m 1

m 1



33a.2. HS lúc đầu tính sai D = - 1 – m2, tính đúng Dx, Dy. Khi biện luận HS cảm giác có vẻ sai nhưng không biết sai ở chỗ nào.





0  m 1 



33a.3. GV yêu cầu HS xem lại các định thức





1 0 m m 1



D 0

1m 

33a.4. HS chỉnh sửa và làm xong.

thì hệ phương 



0

* Nếu trình có nghiệm duy nhất 33a.5. GV: Bài này bạn đã tính D, Dx, Dy một hồi lâu mới được! Các em thấy bạn tính D, Dx, Dy đúng chưa?



m(m 1) (m 1)(m 1) m 1  

m 

chứ không

2 D m m  D (m 1)(m 1)   D



m 1  D (m 1)(m 1) m 1 

1 



D 0   

      y  

  tức là m 1 và m

1 , giải 1  em

Trường hợp đầu tiên xét D phải D=0

xD  0

thì hệ * Nếu m=1  D=0, 33a.6. GV: sửa lại thích m nào ghi “hay” là sai. phương trình vô nghiệm 33a.7. GV nhận xét :

xD  phương trình vô nghiệm là đúng.

m = 1 thì bạn thấy D = 0, thì hệ * Nếu m = -1 D=0, Dx = 0, Dy = 0 thì  hệ phương trình có vô số nghiệm

m   1

Kết luận:



* Với

1  m 1

m  , m 1

thì hệ phương trình có y  nghiệm duy nhất m = -1  D=0, Dx = 0, Dy = 0 thì hệ phương trình có vô số nghiệm. Trả lời vậy đúng không?Không. Bài này yêu cầu

* Với m=1 thì hệ phương trình vô nghiệm



  \ 0

giải và biện luận mà giải là phải chỉ ra tập nghiệm của nó. Nếu nó có vô số nghiệm thì thế nào? GV chỉ lại trường

5 2

  x   y  

. Ở đây, đúng là tôi đồng ý hợp * Với m = -1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm

với em là hệ có vô số nghiệm nhưng tôi chưa thấy mặt mũi của nó ra sao?

Mấy em xem lại ví dụ SGK và ví dụ tôi xét thì với những trường hợp cụ thể này, sao? Ta thế thẳng vào hệ phương trình suy ra hệ cụ thể không còn tham số. Hệ có thể là vô nghiệm hay vô số nghiệm mà vô số nghiệm thì phải chỉ ra tập nghiệm của nó. Em làm như vậy chưa được.

GV: My làm bài này, về chép phạt 20 lần công thức tính định thức. Chép đi để nhớ. Trừ em 1 điểm.

GV nhận xét: Bài này phần lớn là làm được chỉ có em My này làm không được.

GV hướng dẫn bằng lời: Bài 35:

Ví dụ dòng điện đi qua đó mắc song song, đúng không? R2 và R3 mắc song song vậy là dòng điện lấy cộng lại hả? I2 + I3 ra I1 phải không?

Hình 3.3 cho 1 mạch điện kín. Biết R1=0,25Ω, R2=0,36Ω, R3=0,45Ω và U=0,6V. Gọi I1 là cường độ dòng điện của mạch chính, I2 và I3 là cường độ dòng điện của hai mạch rẽ. Tính I1, I2 và I3 (chính xác đến hàng phần trăm) Hướng dẫn. I1, I2 và I3 là nghiệm của hệ phương trình

2ax 3y 5

Sách có hướng dẫn nên các em tự làm, không phải sửa lên bảng. Thực ra là với hệ ba ẩn này, đầu tiên các em giải bằng cách thế để giảm biến xuống, từ 3 biến giảm xuống còn 2 biến rồi dùng định thức giải rồi sau đó bấm máy để thử lại kết quả.

  (a 1)x y

 



  

5(a 1)

5a 5

  

 » dài dòng : đặt

  

33b.2. GV : nhận xét đúng 33b.1. Bài 33b:

HS làm bước này « 0 5(a 1)  nhân tử rồi phân phối ra rồi lại đặt nhân tử chung”

2a 3(a 1)

2a 3a 3

a 3



 



     



(a 3 )

2a 

5 0 5



  

 a 1  5 3 0 1

0 5(a 1)

5a 5



 

  

  

5(a 1) 

5 2a a 1 0



a 3 0

GV: phải chỉnh sửa dấu “  ” thành “  ”



* D 0 3        

5 (a 3)  



5(a 1)  a 3 

a   

Hệ có 1 nghiệm duy nhất ,

*D=0

0 

xD nghiệm

hệ phương trình vô

;



5 (a 3) 

a  3  hệ phương trình có nghiệm   

 5 (a 1)  3 a  



Kết luận:

a= -3 Hệ phương trình vô nghiệm

(1) (2)

(3)

 



x y z 11      34.2. 2x y z 5      3x 2y z 

34.1. Bài 34:



34.3. Trước khi HS làm GV có gợi ý: Thực chất, hệ 3 ẩn được giải bằng phép thế để đưa 3 biến về hai biến rồi dùng định thức giải. Dùng máy tính bấm thử lại kết quả. z = 11 – x - y. Thay z = 11 – x – y



(1) vào (2), (3) ta được 34.4. HS hoàn tất bài giải. GV nhận xét đúng (2) 2x – y + (11 – x – y) = 5

 2x – y + 11 – x – y = 5 6 (4)



x – 2y = -



(3) 3x + 2y + (11 – x – y ) = 24

 3x+2y+11 – x – y = 24 13 (5)



6 x 2y    2x y 13  

x 4  y 5 

2x + y =

  

Từ (4) và (5) ta có hệ phương trình   

Thay x = 4, y = 5 vào (1) ta được z = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy

4 5

x   y    z

nhất là



x my 1  mx 3my 



2m 3 

  

39.1. Bài 39:

39.2. GV xem qua bài làm của HS và bổ  sau sung dấu bằng sau D, Dx, Dy; x   x 1   y  3

 

3m m 

m 3m 



 

6m 2 

 . x 1  3

x    y 

2m 3 





2m 3 m  



m 3 

m 2m 3



kết luận vô số nghiệm; dấu tương đương

D 0

  

3m m 0 m 0, m 3     



39.3. GV khẳng định: Bài 39 biện luận vậy được rồi. Em lưu ý sau D, Dx, Dy thiếu dấu bằng. TH1: thì



D x D D



y D

1  m

6m 2m   2 3m m   m 3  3m m 



hệ phương trình có nghiệm duy nhất

TH2: D=0 m=0, m=-3 



x 1   0x 0y 3  

TH2a: m= 0. Thế m = 0 vào hệ phương (vô nghiệm) trình

TH2b: m=-3.

x 3y 1

 





  3x 9y 



3  

  

 x 1  3

x    y 

Thế m = -3 vào hệ phương trình

Kết luận:

m 0   m 3    nhất

(x; y)



1 m

 2;  

  

* hệ phương trình có nghiệm duy

* m=0, hệ phương trình vô nghiệm

* m=-3, hệ phương trình có vô số nghiệm

38.1. Bài 38:

38.2. GV : Bạn gọi x là chiều rộng, y là chiều dài nên sau đó bạn phải chia thành 2 trường hợp. Nếu bạn đặt khéo léo hơn 1 tí : chọn x, y là hai kích thước

 p

thì không phải chia ra 2 trường hợp Nửa thu vi 2p 2

Gọi x là chiều rộng (x>0)

Gọi y là chiều dài (y>0)

x y

 

(x 3)(y 2)





xy 246 

  

p x y   xy 2x 3y 6  

 

xy 246 

   

Ta có : 38.3. GV : Em làm theo kiểu này cũng chưa đủ vì em đâu biết được cái nào là chiều dài cái nào là chiều rộng vì em chưa chắc kết quả em tìm được là x < y ? TH1 : 38.4. GV sửa lại từ lời giải của HS :

x y

 

240

2x 3y 



   

Gọi x, y là hai kích thước (x>0, y>0) : x + y = p



1 2

1 3

diện tích tăng 246 tức là xy+ 246 chứ không phải 246 xy.



3p 240 

p 240

1 3



240 2p 

Nhiều em nhầm như vậy.

240

38.5. GV ghi lời giải hoàn chỉnh lên bảng:



Gọi x, y là hai kích thước (x>0, y>0) Vì 1 0 (đúng)



3p 240 

(p 80) 

D x D D



240 2p 

p 120 





y D

x y (x 3)(y 2)

  





xy 246 

  



x y

Ta có :





3p 240  240 2p 

  

 

xy 246 

  2x 3y 



  

x y



Vậy với 80

  xy 2x 3y 6   1 2

   1 3

(x 2)(y 3)

  





xy 246 

  



3p 240 

240

p x y   xy 3x 2y 6  

 

xy 246 

   



240 2p 

x y

 

240



TH2 :

   3x 2y   1



1  

3 2



3p 240 

(p 80) 



2p 240 



D x D D

240



240 2p 

p 120 





y D



240 3p 

240

Vì 1  0 (đúng)



Biện luận:

80)



240 2p 



Vì 1 0 (đúng) * x là chiều rộng, y là chiều dài

D x D D



3p 240 

p 120 





y D

* x là chiều dài, y là chiều rộng x>y  3p-240>240-2p

 5p>480  p>96

Vậy chiều rộng là 240 – 2p

Chiều dài là 3p – 240 với 0

Kết luận:

* Nếu 80

* Nếu 96

PHỤ LỤC 2 BỘ CÂU HỎI ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN

PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN

Kính chào Quý Thầy Cô! Chúng tôi đang tiến hành một nghiên cứu nhỏ liên quan đến việc giảng dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10. Để hoàn thành nó, chúng tôi rất cần sự đóng góp ý kiến của Quý Thầy Cô.

Xin Quý Thầy Cô vui lòng trả lời các câu hỏi sau bằng cách đánh dấu chéo vào ô

nội dung muốn chọn và ghi chi tiết vào phần “………………”

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đồng tình

 Trả lời:

Không đồng tình

Câu 1: Có ý kiến cho rằng nên loại bỏ chủ đề “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ra khỏi chương trình toán bậc trung học phổ thông. Thầy Cô có đồng tình với ý kiến đó không? Vì sao?

Lý do:

Nếu đã thực hiện theo quy trình khác thì xin Thầy Cô vui lòng cho biết quy trình đó

........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... Câu 2: Khi giảng dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô đã thực hiện theo quy trình nào trong các quy trình sau? Xin vui lòng cho biết lý do của sự chọn lựa đó? gồm có những bước nào. Và cũng xin nêu rõ lý do của sự chọn lựa.

a) Quy trình 1

b) Quy trình 2

c) Quy trình 3

- Nêu một bài toán đố hay bài toán hình học để làm xuất hiện nhu cầu giải hệ phương trình - Nêu định nghĩa - Nghiên cứu phương pháp giải - Bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình, trong đó, có chú

- Nêu định nghĩa - Nghiên cứu phương pháp giải - Bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình, trong đó, có chú trọng đến việc giải các

- Nêu định nghĩa - Nghiên cứu phương pháp giải - Bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình

bài toán đố (có nội dung thực tế) hay các bài toán hình học

trọng đến việc giải các bài toán đố (có nội dung thực tế) hay các bài toán hình học

Quy trình 1

Quy trình 2

Quy trình 3

 Trả lời:

Lý do: ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

Quy trình khác

Gồm các bước: .................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

Lý do của sự lựa chọn:..................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... Câu 3:

x my 1



 mx 3my 



2m 3 

  

Dưới đây là lời giải của hai học sinh lớp 10 :

a) Xét bài toán sau: « Giải và biện luận hệ phương trình

Lời giải 1

Lời giải 2



 

2 3m m ; 

 

2 3m m ; 



m 3m 

2 2m ;



 



2 2m ;



 



2m 3 



2m 3 



m 3



2m 3 m  



2m 3 m  



m 3 

1 1 m 2m 3



1 1 m 2m 3



TH1:

D 0

  

3m m 0 m 0 và m 3  

  



D 0

  

  3m m 0 m 0 và m 3

  



Hệ PT có nghiệm duy nhất



D x D D



y D

1  m

6m 2m   2 3m m   m 3  3m m 



     y  

1  m

6m 2m   2 3m m   m 3  3m m 



     y  

y D TH2: D = 0  m=0 hay m= -3

TH2: D = 0

m=0 hay m= -3



TH2a: m= 0. Thế m `=0 vào hệ, ta được

3 0

TH2a: m= 0. Thế m =0 vào Dy   . Vậy hệ vô nghiệm yD

(vô nghiệm)



x 1   0x 0y 3   TH2b: m= -3. Thế m = -3 vào hệ, ta được

TH2b: m=-3. Thế m = -3 vào Dx, Dy, ta có  . Hệ có vô số nghiệm thỏa D D 



D 0 y



x 3y 1

 





x 3y 1   3x 9y 



 



  

x - 3y = 1

x 1  3

x    y 

x 1  3

x    y 

Kết luận:

hệ PT có nghiệm duy nhất

3  

m 0   m 

3  

m 0   m 

(x; y)



(x; y)



1 m

 2;  

1 m

  

 2;  

  

* m=0, hệ PT vô nghiệm



* m=-3, hệ PT có vô số nghiệm

x 1  3

x    y 

x 1  3

x    y 

a1) Trong giảng dạy, Thầy Cô có đưa dạng bài tập này cho học sinh không? Vì sao?

Có

 Trả lời :

Không

Lý do: ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... a2) Nếu có đưa vào thì Thầy Cô hướng dẫn học sinh giải theo lời giải nào? Vì sao?

Lời giải 1

 Trả lời :

Lời giải 2

Cả hai lời giải 1 và 2

Lời giải khác

Lý do: ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................



”

mx 2my 3 4mx 9my 11

 



  

Trong giảng dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô có đề

cập đến những hệ phương trình thuộc dạng trên không? Vì sao?

 Trả lời:

Có

Không

b) Cho bài toán: “Giải và biện luận hệ phương trình

Lý do: ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... Câu 4: Xét bài tập sau:

“ Đối với mỗi hệ phương trình dưới đây, hãy giải bằng tất cả các cách mà em biết. Nếu chỉ yêu cầu trình bày một cách giải thì em chọn cách nào? Vì sao?







”

(a 2)x (a 4)y  (a 1)x (3a 2)y 

 

 1  

  

 



 3 1 y 1  3 1 x 3y 5 

 4x     

a) Khi dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô có yêu cầu học sinh giải những bài tập thuộc dạng trên không?

Có

Không

 Trả lời:

b) Theo Thầy Cô, có cần thiết cho học sinh làm các bài tập có dạng như trên hay không? Vì sao?

Có

 Trả lời:

Không

Lý do: ...........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... Câu 5: Khi dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô có cho học sinh xét các bài toán đố (có nội dung thực tế) mà lời giải dẫn đến một hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn hay không? Nếu có thì khoảng bao nhiêu bài? Và đó là những bài toán nào?

 Trả lời:

Không

Có với số lượng bài là …….. bài

Các bài toán mà Thầy Cô đưa vào là

........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... Câu 6: Khi dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô có đưa vào các bài toán thuộc phân môn hình học mà lời giải dẫn đến một hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn không? Nếu có thì đó là những dạng toán nào?

Không

 Trả lời:

Có

Các dạng toán mà Thầy Cô đưa vào là

........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... Câu 7: Khi dạy phần “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, Thầy Cô có bao giờ cho phép học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để trực tiếp đưa ra nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, 3 ẩn hay không? Nếu có thì trong trường hợp nào? Vì sao?

 Trả lời:

........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của Quý Thầy Cô!