ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

--------------------------------

Chu Quang Tùng

MÔ HÌNH HIỆN TƢỢNG LUẬN

CHO TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà nội – 2012

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

---------------------------------

Chu Quang Tùng

MÔ HÌNH HIỆN TƢỢNG LUẬN

CHO TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN NHƢ XUÂN

Hà nội - 2012

2

1

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU.......................................................................................................................

CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB.

5

1.1. Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác..................................................

7

1.2. Pha eikonal trong gần đúng eikonal....................................................................

1.3. Công thức West và Yennie..................................................................................

10

CHƢƠNG 2 : TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ

HÌNH EIKONAL.

2.1. Một số cách tiếp cận tán xạ nucleon trong mô hình phi eikonal.........................

12

2.2. Biên độ tán xạ các nucleon trong mô hình eikonal..............................................

16

2.3. Giá trị trung bình của các tham số va chạm........................................................

23

CHƢƠNG 3 : CÁC DỮ LIỆU THỰC NGHIỆM VỀ THAM SỐ VA CHẠM

TRONG MÔ HÌNH TÁN XẠ PROTON – PROTON.

3.1. Mô hình tán xạ đàn hồi pp và các đặc trưng của nó...........................................

25

3.2. Dữ liệu về tham số va chạm cho quá trình tán xạ pp ở 53GeV...........................

27

33

KẾT LUẬN..................................................................................................................

34

TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................

39

PHỤ LỤC A. HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON......................................

PHỤ LỤC B. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH

41

SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ.................................................

B.1. Phương pháp khai triển theo sóng riêng phần.....................................................

41

B.2. Phương pháp hàm Green.....................................................................................

49

B.3. Phương pháp chuẩn cổ điển................................................................................

55

B.4. Mối liên hệ giữa biên độ tán xạ sóng riêng phần về biên độ tán xạ eikonal.......

57

B.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal.......

57

B.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần.......

58

B.5 Sơ đồ mối liên hệ giữa các phương pháp của bài toán tán xạ..............................

59

3

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình Trang

Hình 2.1 ........................................................................................ 14

Hình 2.2 ........................................................................................ 14

Hình 3.1 ......................................................................................... 29

Hình 3.2 ......................................................................................... 30

Hình B.1 ......................................................................................... 42

Hình B.2 ......................................................................................... 50

Hình B.3 ........................................................................................ 59

DANH MỤC BẢNG

Bảng Trang

Bảng 2.1 ......................................................................................... 19

Bảng 3.1 ......................................................................................... 31

4

Bảng 3.2 ......................................................................................... 32

MỞ ĐẦU

Tán xạ đàn hồi năng lượng cao của các nucleon được thực hiện nhờ

tương tác mạnh của các hadron, nhưng trong trường hợp các hadron tích điện

cần phải xét tương tác Coulomb giữa các hạt va chạm [16]. Sử dụng phép

gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử, Bethe đã thu được công thức

cho tán xạ thế với góc tán xạ nhỏ của proton lên hạt nhân, trong đó có tính

đến sự giao thoa của các biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hạt nhân

[45]. Biên độ tán xạ đàn hồi được ký hiệu bằng và có thể biểu diễn một

cách hình thức dưới dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau [45]:

. (0.1)

trong đó s là bình phương năng lượng trong hệ khối tâm (cms), t là bình

phương xung lượng truyền 4 chiều, - biên độ tán xạ hoàn toàn

Coulomb được xác định trong điện động lực học lượng tử (QED), -

biên độ tán xạ hoàn toàn hadron (liên quan tới tương tác mạnh),

là hằng số cấu trúc, là pha tương đối - sự lệch pha được dẫn ra bằng

tương tác Coulomb tầm xa.

Sử dụng mô hình tán xạ thế, Bethe đã có kết quả cụ thể cho pha [16]

. (0.2)

trong đó là xung lượng truyền của hạt tán xạ, còn là tham số đặc trưng

cho kích thước của hạt nhân.

Công thức của Bethe (0.2) có ý nghĩa quan trọng đối với lý thuyết và

thực nghiệm. Về lý thuyết phần thực của biên độ tán xạ kể trên cho phép ta

kiểm tra hệ thức tán sắc [34], hay dáng điệu tiệm cận khả dĩ của tiết diện tán

xạ toàn phần [15], hay việc kiểm nghiệm các mô hình lý thuyết khác nhau cho

tương tác mạnh. Việc đánh giá phần thực của biên độ tán xạ hạt nhân phía

5

trước ở vùng năng lượng thấp so với các số liệu thực nghiệm đã được thực

hiện cho vùng có . Còn ở vùng sự tương thích giữa

lý thuyết và thực nghiệm còn chưa được nghiên cứu đầy đủ.

Mô hình eikonal là một công cụ mạnh thích hợp cho việc xem xét quá

trình tán xạ đàn hồi của các hadron năng lượng cao. Với cách tiếp cận theo

mô hình này cho phép chúng ta có thể đưa ra các giá trị về tham số va chạm

(ví dụ như phạm vi tác dụng của lực Coulomb và lực tương tác mạnh ở các

khoảng cách khác nhau), một đặc trưng vật lý quan trọng của quá trình tương

tác.

Việc giải thích đầy đủ quá trình tán xạ các nucleon trong hạt nhân đòi

hỏi không những tư duy logic mà còn cần cả tư duy hiện tượng luận dựa trên

các kết quả thực nghiệm. Hiện tượng luận trong khoa học là cách lập luận

xuất phát từ thực nghiệm, và kết quả được thực tế chấp nhận, chứ không

theo cách tư duy logic trong toán học. Hàm delta Dirac là một ví dụ, nó là

hàm suy rộng, xuất phát từ thực tiễn, chứ nó không hẳn được định nghĩa như

những hàm số thông thường. Hàm delta Dirac phải mất bẩy năm mới được

giới học thuật thừa nhận!

Mục đích của bản luận văn thạc sỹ khoa học là nghiên cứu quá trình tán

xạ đàn hồi của các nucleon tích điện trong mô hình eikonal ở mọi giá trị t theo

những mô hình hiện tượng luận đã được thừa nhận. Sự ảnh hưởng của hai

tương tác là tương tác mạnh giữa các hadron và tương tác Coulomb đến biên

độ tán xạ và pha tán xạ được rút ra dựa trên các số liệu thực nghiệm.

Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, các phụ lục và kết luận.

Chƣơng 1: Mô hình eikonal và Giao thoa Coulomb.

Xuất phát từ mô hình eikonal cho tán xạ năng lượng cao, chúng tôi xây

dựng biên độ tán xạ tổng quát cho hai loại tương tác – tương tác Coulomb và

tương tác nucleon, trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ trong gần

6

đúng Born. Trong mục 1.1 chúng tôi trình bầy vắn tắt việc tính biên độ tán xạ

cho hai loại tương tác trong gần đúng Born. Việc tính sự lệch pha cho biên độ

tán xạ Coulomb trong mô hình eikonal được dẫn ra ở mục 1.2 Công thức cho

lệch pha trong gần đúng eikonal thu được ở đây phù hợp với kết quả mà West

và Yennie thu được trong lý thuyết trường lượng tử bằng việc tính các giản đồ

Feynman cho bài toán này. Lưu ý ở đây có kể thêm hệ số dạng điện từ của

nucleon nhưng bỏ qua spin của nucleon. Mục 1.3 dành cho việc mở rộng công

thức về sự lệch pha của biên độ tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân từ tán xạ

với xung lượng truyền nhỏ ra vùng xung lượng truyền lớn dựa trên các số liệu

thực nghiệm.

Chƣơng 2: Tán xạ các nucleon năng lượng cao trong mô hình

eikonal.

Chương 2 dành cho mô tả sự ảnh hưởng qua lại của hai loại tương tác

Coulomb và tương tác đàn hồi hadron trong va chạm giữa các nucleon. Trong

mục 2.1 một số phương án mở rộng biểu thức hàm pha West và Yennie từ

vùng xung lượng truyền nhỏ (khi cả hai loại tương tác Coulomb và tương tác

mạnh cùng tham gia và sự giao thoa giữa chúng) cho vùng xung lượng truyền

lớn (vùng mà tương tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào các số liệu thực nghiêm.

Ở đây đã chỉ ra những hạn chế và sự không chuẩn xác nếu chúng ta mở rộng

công thức West và Yennie một cách đơn giản. Để khắc phục những bất cập

này trong mục 2.2 trong mô hình eikonal hiện tượng luận dựa vào hệ thức

giữa biên độ tán xạ và pha eikonal qua phép biến đổi Fourier – Bessel. Mục

2.3 dành cho việc tính các giá trị trung bình các tham số va chạm trong mô

hình này.

Chƣơng 3: Các dữ liệu thực nghiệm về tham số va chạm cho tán xạ

proton – proton trong mô hình eikonal hiện tượng luận.

Các giả thuyết về độ lệch quỹ đạo để đưa ra công thức đơn giản của

7

West và Yennie sẽ được phân tích dựa trên biên độ tán xạ eikonal đầy đủ.

Trong mục 3.1 các đặc trưng cho tán xạ proton-proton được giới thiệu vắn tắt.

Mục 3.2 mô hình eikonal hiện tượng luận được áp dụng để phân tích các dữ

liệu tán xạ đàn hồi pp ở năng lượng 53 GeV.

Trong phần kết luận ta hệ thống hóa những kết quả thu được và thảo luận

việc mở rộng những nghiên cứu tiếp theo cho bài toán tương tự trong lý

thuyết trường lượng tử.

Phần phụ lục A sẽ đưa cách tính hệ số dạng điện từ của tán xạ các

nucleon.

Phần phụ lục B, ta trình bầy cách thu nhận biểu thức Eikonal cho biên độ

tán xạ từ các cách giải khác nhau phương trình Schrodinger trong cơ học

lượng tử.

và metric Feynman

Trong luận văn này, hệ đơn vị nguyên tử được sử dụng. Các véctơ phản biến là tọa độ

,

thì các véctơ tọa độ hiệp biến trong đó

8

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.

CHƢƠNG 1:

MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB

Trong chương này ta xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ

năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha

eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born. Trong mục 1.1, ta tính biên độ tán

xạ tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi

sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal khi ta vận dụng gần đúng

eikonal cho tương tác Coulomb được trình bầy ở mục 1.2. Trong mục 1.3,

xây dựng công thức West và Yennie (WY) dạng tổng quát cho hàm pha tán

xạ dựa trên kỹ thuật giản đồ Feynman (trao đổi một photon).

1.1. Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tƣơng tác.

Mô hình eikonal được thuận tiện sử dụng khi xem xét tán xạ của các hạt

với góc tán xạ nhỏ dựa trên phép gần đúng, coi quĩ đạo của các hạt tán xạ là

thẳng (còn gọi là gần đúng quĩ đạo thẳng). Trong quĩ đạo này thì pha của quá

trình tán xạ sẽ chứa toàn bộ thông tin về quá trình tán xạ.

. (1.1)

Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao tổng quát, với

ý nghĩa, nó không dựa vào cơ chế tương tác cụ thể nào. Tất cả động lực học

của quá trình trong mô hình eikonal được xác định, nếu cho trước dạng cụ thể

của pha . Pha này phụ thuộc vào tham số va chạm b và năng lượng của

khối tâm. Ở năng lượng siêu cao thì pha được xác định bởi biểu thức:

9

. (1.2)

Ở đây chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc vào s của biên độ tán xạ Born.

Khi đó, biên độ tán xạ eikonal ở vùng năng lượng lớn là:

. (1.3)

Chúng ta giả thiết rằng sẽ có 2 pha eikonal, và , tương ứng với 2

quá trình tán xạ: tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân, vì thế biên độ tán xạ đầy

đủ sẽ là:

. (1.4)

Nếu bỏ qua lực hạt nhân thì biên độ tán xạ Coulomb sẽ có dạng:

. (1.5)

Còn nếu bỏ qua lực tương tác Coulomb thì chúng ta sẽ có biên độ tán xạ

các hadron trong hạt nhân:

. (1.6)

Kết hợp các biểu thức trên, chúng ta viết lại biểu thức của biên độ tán xạ

(1.4) dưới dạng

(1.7)

.

Biểu thức (1.7) là biểu thức tổng quát hóa của biên độ tán xạ eikonal của

tán xạ các nuclon trong hạt nhân khi có sự giao thoa cả 2 loại, tương tác

10

Coulomb và tương tác hạt nhân.

1.2. Pha eikonal trong gần đúng eikonal.

Để có thể áp dụng biểu thức (1.7) này cho các bài toán về sau chúng ta

cần lấy gần đúng eikonal biên độ tán xạ Coulomb. Từ biểu thức (1.2), chúng

ta đưa vào khối một photon khối lượng nhỏ để khử phân kỳ hồng ngoại:

(1.8)

.

các số hạng dạng có thể được bỏ qua vì khối lượng photon đưa vào sẽ

tiến tới không. Như vậy:

(1.9)

.

Sử dụng công thức tích phân sau [16]:

. ( 1.10)

Chúng ta có biểu thức của biên độ tán xạ Coulomb trong gần đúng bậc

11

nhất của hằng số tương tác :

. (1.11)

.

với . (1.12)

Do tính kì dị của tại vì thế có thể viết lại biểu thức (1.7) như

sau:

(1.13)

Trong mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân thứ 2, chúng ta đã cho

. Tóm lại chúng ta có thể viết:

Nhân cả hai vế phương trình với ta có:

12

(1.14)

Trong biểu thức này, chúng ta chỉ lấy cận trên của tích phân là Q để

nhằm khử các phân kỳ xuất hiện khi lấy riêng rẽ từng tích phân ở vùng xung lượng q2 lớn. Sau khi lấy tổng hai tích phân này và lấy giới hạn sẽ thu

được biểu thức hữu hạn. Tổng của hai số hạng đầu tiên trong biểu thức (1.14)

là:

. (1.15)

Từ đó biểu thức (1.14) sẽ là:

.

(1.16)

chú ý rằng:

. (1.17)

Biểu thức dưới dấu tích phân trong (1.16) không có kì dị tại q = q’. So

sánh biểu thức (1.16) và (0.1), chúng ta suy ra được pha eikonal bằng:

(1.18)

Kết quả này phù hợp với kết quả thu được của West và Yennie bằng

13

phương pháp giản đồ Feynman mà chúng ta sẽ đề cập ở phần tiếp theo.

1.3. Công thức West và Yennie.

Dạng tổng quát của hàm pha trong phương trình (0.1) đã được

West và Yennie xây dựng dựa trên kỹ thuật giản đồ Feynman (trao đổi một

photon). Trong trường hợp các hạt tích điện biểu thức của hàm pha này có

dạng:

, (1.19)

Việc giản ước pha tán xạ này liên quan đến cả độ lớn (module) và pha

của biên độ tán xạ đàn hồi hadron xác định bởi công thức:

(1.20)

Khi xây dựng công thức (1.19), West và Yennie không có các số liệu

thực nghiệm về tiết diện tán xạ vi phân ở vùng |t| lớn mà chỉ dựa trên hai

giả thuyết chính sau:

- Sự phụ thuộc của độ lớn biên độ đàn hồi hadron vào t được biểu

diễn như là một hàm mũ của các biến động lực học theo t.

- Cả phần thực và phần ảo của biên độ tán xạ đàn hồi hadron đều phụ

thuộc vào t theo cùng một dạng hàm mũ của các biến động lực học của t.

Vì thế tỉ số của hai phần này là hằng số.

Cùng với hai giả thiết này và sử dụng một vài phép gần đúng khác (xem

tài liệu tham khảo [15,45-46]), về mặt nguyên tắc chúng ta có thể thu được

công thức (1.19) và (1.20) áp dụng cho vùng tương tác và giao thoa Coulomb.

Tất nhiên, chúng ta không thể chắc chắn ý nghĩa thực tế của các tham số thu

được bằng cách khớp các số liệu thực nghiệm bởi vì rằng có thể chúng phụ

thuộc mạnh vào giá trị |t| khi nó lớn. Tuy nhiên công thức (1.19), (1.20) hoàn

toàn có thể được sử dụng để khớp các số liệu thực nghiệm xác định tiết diện

14

tán xạ vi phân trong mọi thí nghiệm tán xạ đàn hồi hadron ở vùng |t| nhỏ mà

không cần để ý đến sự phụ thuộc của biên độ tán xạ đàn hồi vào t ở vùng |t|

lớn.

Ba đại lượng và (ở các giá trị năng lượng tương ứng) được thiết

lập dựa trên công thức (1.19), (1.20) cùng với các số liệu thực nghiệm ở vùng

giá trị nhỏ của |t| (trong vùng tương tác Coulomb, giao thoa và một phần nhỏ

kế tiếp của vùng tương tác hadron). Khi |t| lớn (ở vùng tương tác hadron) sự

ảnh hưởng của tán xạ Coulomb thường bị bỏ qua hoàn toàn và quá trình tán

xạ đàn hồi được mô tả bởi biên độ tán xạ hiện tượng luận hadron ,

biên độ này thường phụ thuộc một cách tương đối phức tạp vào t hơn so với

công thức (1.20). Như vậy, tiết diện tán xạ vi phân ở các vùng khác nhau

được biểu diễn bởi hai công thức khác nhau (dựa trên các giả thuyết không

15

tương thích) điều này chứng tỏ một sự thiếu hụt quan trọng của lý thuyết.

CHƢƠNG 2:

TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ

HÌNH EIKONAL

Biên độ tán xạ đầy đủ của các nucleon đã được xác định bởi Locher [34]

và West và Yennie [15] (bỏ qua sự ảnh hưởng của spin các hạt vào biên độ

tán xạ) được suy ra nhờ giả thiết rằng t phụ thuộc vào biên độ tán xạ đàn hồi

hadron và sử dụng một số phép tính gần đúng ở năng lượng cao. Về mặt lý

thuyết các biểu thức này có vẻ hợp logic toán học và khi West và Yennie đưa

ra các công thức đó thì hoàn toàn không có số liệu nào về cấu trúc nhiễu xạ

trong tán xạ đàn hồi của các nucleon. Tuy nhiên hiện nay câu hỏi nảy sinh là

các số liệu thực nghiệm đưa ra là không phù hợp với các công thức đó.

Trong mục 2.1 một số phương án mở rộng biểu thức hàm pha West và

Yennie từ vùng xung lượng truyền nhỏ (khi cả hai loại tương tác Coulomb và

tương tác mạnh cùng tham gia và sự giao thoa giữa chúng) cho vùng xung

lượng truyền lớn (vùng mà tương tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào các số liệu

thực nghiêm. Ở đây đã chỉ ra những hạn chế và sự không chuẩn xác nếu

chúng ta mở rộng công thức West và Yennie [15] một cách đơn giản. Để khắc

phục những bất cập này trong mục 2.2 trong mô hình eikonal hiện tượng luận

dựa vào hệ thức giữa biên độ tán xạ và pha eikonal qua phép biến đổi Fourier

– Bessel. Mục 2.3 dành cho việc tính các giá trị trung bình các tham số va

chạm trong mô hình này.

2.1. Một số cách tiếp cận tán xạ nucleon trong các mô hình phi eikonal.

Trong một số bài báo [20,10], biên độ tán xạ đầy đủ thu được

16

nhờ công thức chứa các pha chuẩn West và Yennie (WY) và biên độ tán xạ

đàn hồi hadron được xây dựng dựa trên cơ sở của một số ý

tưởng hiện tượng luận chưa chuẩn từ hai công thức (1.19) và (1.20).

Ban đầu biên độ tán xạ hadron thu được từ (1.20) có vẻ đúng nếu chỉ

theo công thức (1.19). Tuy nhiên điều này lại là không thể vì rằng nếu pha

là thực với mọi giá trị của t như đã giả thiết trong [16] thì phần ảo

của biểu thức (1.19) phải bằng không:

(2.1)

Theo công thức (1.20) thì:

,

do đó: .

Như vậy, để biểu thức (2.1) xảy ra thì:

Điều kiện này biểu diễn tính kì dị phi tuyến của phương trình tích phân

Cauchy loại 1 của các hàm số không liên tục có tham số. Rõ ràng rằng, phương

trình này có một nghiệm tầm thường:

(2.3)

Một câu hỏi nảy sinh là liệu phương trình này có nghiệm duy nhất hay không. Và

câu trả lời đã có. Theo [47] thì phương trình (2.3) đã được chứng minh bằng giải

tích rằng nó có nghiệm duy nhất điều đó có nghĩa rằng pha tán xạ hadron

không phụ thuộc vào t và giới hạn bởi điều kiện:

17

(2.2)

(2.4)

Điều này có nghĩa rằng hệ số pha tương đối

chỉ có thể là thực khi

pha của biên độ tán xạ hadron là không phụ thuộc vào t trong toàn bộ vùng các

biến động học các giá trị của |t| [47]. Cũng có nghĩa là đại lượng

là hằng số

trong toàn bộ khoảng xác định của t. Như vậy nếu

phụ thuộc vào t thì pha

phải là đại lượng phức.

Điều này cũng được củng cố khi thực hiện phép tính số xác định phần ảo của

pha

trong tích phân (2.1) bằng cách chọn đại lượng

hoặc pha tán

xạ đàn hồi hadron

phụ thuộc vào t.

Hình 2.1: Hai sự phụ thuộc khác nhau của

vào t:

pha tán xạ hadron

Hình 2.2: Phần ảo khác không của pha tương đối WY ứng với phép tính số pha tán xạ hadron ở hình 2.1

 Đướng thứ nhất (chấm gạch) dẫn đến bức tranh tán xạ trung tâm của tán xạ đàn hồi pp với năng lượng 53 GeV.  Đường thứ hai (nét liền) đưa ra bức tranh tán xạ ngoài

Hình 2.1, vẽ đồ thị sự phụ thuộc vào t của pha biên độ tán xạ đàn hồi

hadron trong hai trường hợp khác nhau (tán xạ trung tâm (central) và tán xạ

ngoài (peripheral)) khi trong quá trình tán xạ pp ở mức năng lượng 53GeV

18

(xem [48]).

Ở đường thứ nhất, đầu tiên pha tán xạ thay đổi rất nhanh (tiến đến /2)

khi – t ~ 1,4 GeV dẫn đến bức tranh tán xạ trung tâm của quá trình tán xạ đàn

hồi các hadron trong không gian các tham số va chạm. Tương ứng với nó là

sự phụ thuộc của phần ảo pha tán xạ vào t được vẽ ở hình 2 (đường nét đứt).

Tại vùng |t| nhỏ, phần ảo của pha tán xạ WY là khác không và do đó pha tán

xạ WY là số phức.

Ở đường thứ 2, tán xạ ngoại vi (peripheral scattering) đàn hồi các

hadron, sự phụ thuộc vào t của pha tán xạ đàn hồi hadron bị giới hạn

bởi điều kiện rộng hơn , phần ảo tương ứng của pha này được vẽ

ở hình 2.2 (đường nét liền). Phần ảo trong trường hợp này dao động quanh giá

trị không ở các giá trị |t| nhỏ. Trong trường hợp này pha tương đối WY cũng

là phức.

Tuy nhiên mô hình hiện tượng luận cho tán xạ đàn hồi các nucleon năng

lượng cao dựa theo các số liệu thực nghiệm tạm thời đã chỉ ra một cách thuyết

phục rằng đại lượng là phụ thuộc vào t. Vì thế, chúng ta có thể kết luận

rằng tích phân trong biểu thức (2.1) chưa đủ để mô tả quá trình tán xạ đàn hồi

của các hadron.

Mặc cho thực tế này thì một số tác giả vẫn thử mở rộng biểu thức của

biên độ tán xạ đầy đủ WY cho các vùng của t lớn hơn với bất kỳ biên độ tán

xạ đàn hồi hadron nào phụ thuộc vào t (có nghĩa là cả và

pha đều phụ thuộc vào t), sau đó đưa ra một số bổ chính hiệu chỉnh

cho pha tán xạ WY. Điều này có thể làm được, [7], khi sự hiệu chỉnh dẫn đến

dạng tích phân Gauss của thừa số dạng (form factor) điện từ và của biên độ

tán xạ hadron. Như vậy, thực tế là chỉ có sự lệch dạng của lũy thừa các biến

phụ thuộc vào t là đáng quan tâm. Tuy nhiên, trong luận văn này cũng không

19

đề cập đến sự phụ thuộc của đại lượng vào t.

Một cách tiếp cận khác được sử dụng trong tài liệu [36]. Ở đây hai giả

thuyết được đưa ra rất tự nhiên nhưng lại rất chi tiết. Đầu tiên, sử dụng công

thức biểu diễn tham số va chạm cho biên độ tán xạ, nó không có giá trị ở năng

lượng hữu hạn nhưng lại có nghĩa ở năng lượng vô hạn. Tiếp theo, sử dụng sự

phụ thuộc vào t của thừa số dạng lưỡng cực biểu diễn sự đóng góp riêng của

các điện tích nucleon để khai triển thành 3 số hạng: hai số hạng là các số hạng

gần đúng Born của pha tương đối đến bậc 2 và số hạng còn lại là bổ chính

pha WY, các số hạng này chứa các biểu thức biên độ tán xạ phức hadron ở

dạng tổng quát phức thu được bằng cách khai triển biểu thức tổng quát. Kết

quả của việc tính số hạng bổ chính của pha tương đối thực WY là phức. Như

vậy, pha tương đối trở thành phức và nó mất đi ý nghĩa vật lý.

Như vậy, cả hai cách tiếp cận trên gần như không thể là công cụ thích

hợp để mô tả sự ảnh hưởng chung của tán xạ Coulomb và hadron mà biểu

hiện tổng quát sự phụ thuộc của độ lớn và pha của biên độ tán xạ đàn hồi vào

xung lương truyền t. Điều này đòi hỏi cần phải đưa ra một mô hình mới phù

hợp hơn để mô tả quá trình tán xạ này đó chính là mô hình eikonal. Trong

phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh mô hình eikonal là thích hợp và là

lợi thế hơn so với các tiếp cận của West và Yennie để mô tả quá trình tán xạ

đàn hồi các nucleon.

2.2. Biên độ tán xạ các nucleon trong mô hình eikonal.

Trong bài báo của Adachi và các cộng sự [42] đã chỉ ra rằng biên độ tán

xạ đàn hồi có thể được liên hệ với biên độ tán xạ đàn hồi eikonal

nhờ phép biến đổi Fourier Besel sau:

, (2.5)

với là không gian Euclide các tham số va chạm hai chiều. Nếu công

20

thức này được áp dụng cho năng lượng hữu hạn thì một bài toán xuất hiện là

biên độ tán xạ chỉ được xác định ở vùng hữu hạn của t. Về mặt toán

học, khi sử dụng biến đổi Fourier - Besel (FB) thì sẽ tồn tại biến đổi FB

ngược. Điều đó dẫn đến các giá trị của biên đội tán xạ rơi vào vùng không có

ý nghĩa vật lý, nơi mà biên độ tán xạ đàn hồi các hadron là không xác định

[42]. Vấn đề này đã được giải quyết nhờ Islam[29, 30] dựa trên tính liên tục

giải tích của biên độ tán xạ đàn hồi các hadron từ vùng của t không có

ý nghĩa vật lý đến vùng có ý nghĩa vật lý. Khi đó biên độ tán xạ đàn hồi

hadron trong không gian các tham số va chạm sẽ gồm hai số hạng:

(2.6)

Biểu thức tương tự cho biên độ tán xạ không đàn hồi trong

không gian các tham số va chạm cũng được xác định theo [23]. Do tính đơn

trị của của phương trình trong không gian các tham số va chạm có thể viết

gần đúng [42, 29]

(2.7)

và tiết diện tán xạ toàn phần bằng tổng tiết diện tán xạ đàn hồi và không đàn

hồi theo biểu thức:

(2.8)

Các hàm và biểu diễn hai dữ liệu chính của các tham số va

chạm (tán xạ toàn phần và tán xạ đàn hồi) và mô tả cường độ va chạm giữa

21

hai hạt trong sự phụ thuộc nhau của các tham số va chạm.

Biên độ tán xạ đàn hồi eikonal đầy đủ có thể được biểu diễn

như là tổng của hai biên độ tán xạ eikonal Coulomb và tán xạ eikonal

hadron ở cùng một giá trị của tham số va chạm:

(2.9)

và các biên độ eikonal riêng rẽ có thể được xác định như là tích phân của các

thế tương tác tương ứng [30].

Như vậy, biên độ tán xạ eikonal đầy đủ có thể được viết dưới dạng

.(2.10)

Phương trình này chứa các tích phân chập, khác hẳn so với phương trình thu được bởi Locher [34] và West và Yennie [15]1. Tiến hành biến đổi thu

được biểu thức cuối cùng của biên độ tán xạ phụ thuộc vào các giá trị bất kỳ

của s và t, đồng thời chỉ chứa các số hạng tuyến tính của hằng số cấu trúc :

, (2.11)

với:

, (2.12)

1 Biên độ tán xạ đầy đủ của các nucleon được viết dưới dạng

. (2.10a)

Số hạng đầu tiên trong biểu thức này tương ứng với biên độ tán xạ Coulomb (dấu cộng ứng với tán xạ của hai

hạt tích điện cùng dấu, còn dấu trừ là tán xạ của hai hạt tích điện trái dấu), số hạng thứ hai tương ứng với

biên độ tán xạ các hadron. Hai thừa số dạng (form factor) f1(t) và f2(t) mô tả cấu trúc điện từ của các nucleon

(thường ở dạng lưỡng cực) là:

(2.10b)

22

và . (2.13)

Thay thế các đại lượng B và độc lập với t bằng các đại lượng phụ

thuộc vào t được xác định bởi biểu thức:

, (2.14)

và: (2.15)

Tiết diện tán xạ vi phân toàn phần được suy ra nhờ định lý quang cho bởi

biểu thức:

. (2.16)

Các hệ số dạng và phản ánh cấu trúc điện từ của các nucleon

va chạm và tạo nên một phần biên độ của tán xạ Coulomb từ lúc bắt đầu

tương tác. Do tích phân theo các biến động học được lấy trong vùng xác định

của t ở phương trình (2.12) nên sự tham số hóa thực tế mô tả cấu trúc điện từ

của proton trong vùng lớn nhất có thể của t. Đó là lý do vì sao thay cho việc

sử dụng hệ số dạng lưỡng cực như đã làm trong phương trình ở phần chú thích 1 (công thức (2.10b)) thì chúng ta có thể sử dụng một công thức thích

hợp hơn [11,12]:

. (2.17)

với các giá trị của tham số gk và k được lấy từ [12], giá trị tái chuẩn hóa của

nó được cho trong bảng 1.

k 1 2 3 4

0,0301 0,8018 -1,0882 0,2642 gk

0,1375 0,5848 1,7164 6,0042 k

Dạng của các hệ số dạng cho phép tính toán giải tích tích phân trong

23

(2.13):

. (2.18)

trong đó khi thì:

.

(2.19)

Khi j = k thì

, (2.20)

, (2.21) với:

và

. (2.22)

Biểu diễn sự ảnh hưởng của tán xạ Coulomb trong va chạm đàn hồi các

proton là bài toán khá phức tạp. Cấu trúc điện từ của proton thường được xác

định quá trình tán xạ đàn hồi electron – proton. Tiết diện tán xạ vi phân của

nó được cho bởi công thức Rosenbluth [32] (trong trao đổi một photon):

,

, (2.23)

24

. (2.24)

Ở đây là tiết diện tán xạ đàn hồi giữa một electron Dirac và một

proton tích điện khối lượng m (cả hai hạt đều coi là hạt điểm) với năng lượng

tới E0 và góc tán xạ  (trong gần đúng Born) . Công thức chứa hệ số dạng

điện và hệ số dạng từ đã được đưa ra bởi Sachs [38]. Nên nhớ

.

rằng cả hai hệ số dạng đều chỉ phụ thuộc vào bình phương xung lượng truyền

Sự phụ thuộc vào t của hệ số dạng điện đã được mô tả gần đúng theo

kinh nghiệm bằng cách đưa ra một lưỡng cực để fit phương trình (2.10b):

(2.25)

trong khi đó số hạng dạng từ có dạng đầy đủ là:

(2.26)

với µ là mô men từ của proton. Theo tài liệu [11, 12] số liệu về tán xạ đàn hồi

electron- proton ở một vài mức năng lượng đã được phân tích nhờ công thức

tiết diện tán xạ vi phân Rosenbluth với hai hệ số dạng đều phụ thuộc vào t và

được tham số hóa theo công thức Borkowski (2.17). Cách tốt nhất khi sử dụng

4 lưỡng cực để fit 3 tham số đã chỉ ra rằng các hệ số dạng điện và từ của

proton có giá trị khác nhau và có sự sai khác so với phương trình (2.26) (xem

bảng 4 tài liệu [12]). Kết quả của việc fit các số liệu thực nghiệm đã chỉ ra

rằng tiết diện tán xạ vi phân đàn hồi được mô tả theo hệ số dạng điện

Borkowski là lớn hơn nhiều so với mô tả bằng hệ số dạng lưỡng cực. Thực tế

thì kết luận này củng cố các kết luận tương tự của các tài liệu [16,19] với độ

sai lệch của tỉ số là đáng kể so với 1. Đặc biệt trong vùng

25

GeV2. Như vậy sử dụng cách tham số hóa Borkowski (2.17) là

hợp lý đã đưa ra được hệ số dạng từ quá trình tán xạ đàn hồi ep, từ đó suy ra

hệ số dạng của quá trình tán xạ đàn hồi pp.

Khi biên độ tán xạ Coulomb trong công thức (1.13) là xác định thì biên

độ tán xạ đầy đủ chỉ còn phụ thuộc vào biên độ tán xạ hadron . Trong

cách tiếp cận khác của WY, phương trình (2.11) cho xác định được biên độ

tán xạ đầy đủ với bất kỳ biên độ tán xạ đàn hồi hadron nào

phụ thuộc vào t trong vùng xác định của t. Sự khác nhau giữa hai cách tiếp

cận này đã được mô tả đầy đủ trong tài liệu [47, 48]. Một phần sự khác nhau

này được minh họa trong trường hợp tán xạ đàn hồi pp ở năng lượng 53 GeV

sẽ xét ở mục sau.

Như vậy, cách tiếp cận được đưa ra có thể được sử dụng theo hai cách bù

trừ nhau:

Thứ nhất chúng ta có thể kiểm tra lại những dự đoán trong các mô hình

tán xạ đàn hồi hadron khác nhau để đưa ra biểu thức của biên độ tán xạ

hadron . Sử dụng công thức (2.11) chúng ta có thể tính toán biên độ

tán xạ đầy đủ mà nó có thể được so sánh với số liệu thực nghiệm

bởi công thức xác định tiết diện tán xạ vi phân nhờ công thức đưa ra bởi

Bethe [16]

. (2.27)

Thứ hai, chúng ta có thể lý giải lại về mặt hiện tượng sự phụ thuộc vào t

của biên độ tán xạ đàn hồi các hadron ở giá trị s xác định và mọi giá

trị đo được của t bằng cách fit lại số liệu thực nghiêm về tiết diện tán xạ vi

phân theo công thức (2.27) và (2.11). Điều cốt yếu ở đây là sự phù hợp của

26

phép tham số hóa biên độ tán xạ hadron .

2.3. Giá trị trung bình của các tham số va chạm.

Cách tiếp cận eikonal mang đến khả năng xác định giá trị trung bình của

các tham số va chạm cho mỗi loại tương tác khác nhau. Các đại lượng này có

thể đặc trưng cho một dải các lực ứng với tán xạ đàn hồi, không đàn hồi và

toàn phần. Nếu điều kiện unita và định lý quang được sử dụng tính giá trị

trung bình bình phương của các tham số va chạm cho mỗi loại tương tác khác

nhau một cách trực tiếp từ sự phụ thuộc vào t của biên độ tán xạ đàn hồi

hadron .

Giá trị trung bình bình phương của các tham số tán xạ đàn hồi có thể

được xác định nhờ công thức [14,54-56]

(2.28)

trong đó độ lớn của biên độ tán xạ đàn hồi hadron xác định bởi số hang thứ

nhất còn ảnh hưởng của pha được xác đinh theo số hạng thứ hai. Chú ý rằng

cả hai số hạng này đều dương.

Giá trị trung bình bình phương toàn phần (cho tất cả các quá trình va

chạm) có thể được xác định theo công thức của định lý quang [50]:

, (2.29)

với hệ số nhiễu xạ đã được xác định trong phương trình (2.14).

Theo tính chất unita của phương trình lấy trung bình của giá trị trung

bình bình phương sẽ được liên hệ với giá trị trung bình bình phương đàn hồi

bởi biểu thức:

27

. (2.30)

Tất cả các công thức đưa ra ở trên tạo nên hệ thống các công thức mà nó

sẽ được sử dụng để thu được các dự đoán cho các cách tiếp cận hiện tượng

28

luận khác nhau khi nghiên cứu quá trình tán xạ của các nucleon này.

CHƢƠNG 3:

CÁC DỮ LIỆU THỰC NGHIỆM VỀ THAM SỐ VA CHẠM CHO TÁN

XẠ PROTON – PROTON TRONG MÔ HÌNH HIỆN TƢỢNG LUẬN

Các giả thuyết về độ lệch quỹ đạo để đưa ra công thức đơn giản của

West và Yennie sẽ được phân tích dựa trên biên độ tán xạ eikonal đầy đủ.

Trong mục 3.1 các đặc trưng cho tán xạ proton-proton được giới thiệu vắn tắt.

Mục 3.2 mô hình eikonal hiện tượng luận được áp dụng để phân tích các dữ

liệu tán xạ đàn hồi pp ở năng lượng 53 GeV.

3.1. Tán xạ đàn hồi pp và các đặc trƣng của nó.

Trong nhiều năm trước đây, rất nhiều mô hình hiện tượng luận mô tả va

chạm năng lượng cao của các nucleon đã được xây dựng với độ phức tạp khác

nhau. Phần nhiều trong số đều sử dụng cách tiếp cận eikonal đơn giản ví dụ

như mô hình của Bourelly, Soffer và Wu [8]. Trong các mô hình khác các

nucleon lại được giả định gồm có một nhân trung tâm và xung quanh là các

mây meson [31 ] hoặc là một chuỗi các tương tác của các parton và sự mô tả

va chạm các hadron theo phương pháp tán xạ Glauber [41, 21]. Sự đóng góp

của 3 pomeron đã được xem xét trong tài liệu [52, 53]. Một lớp các cách tiếp

cận khác lại bắt đầu từ cấu trúc nucleon và đồng nhất các parton là các quark

và gluon, sự tán xạ hadron được mô tả như là tổng các trao đổi pomeron hoặc

gluon [4] hoặc là tán xạ bán phần của quark và gluon [7,22,27,28]. Một số

cách khác lại thử mô tả quá trình tán xạ nhiễu xạ nucleon – nucleon năng

lượng cao trong khuôn khổ lý thuyết QCD không nhiễu loạn và sử dụng mô

29

hình chân không ngẫu nhiên [17,33].

Tất cả các mô hình được xem xét trên đây đều được đặc trưng bởi một số

tính chất được tổng quát hóa như sau:

1. Tất cả các phần ảo của biên độ tán xạ đàn hồi hadron đều được lấy ở

phần ngoài của dải khá rộng của xung lượng truyền xung quanh tán

xạ trước và nó sẽ biến mất ở vùng cực tiểu nhiễu loạn. Việc đưa ra

vùng ngoài của tán xạ phải thỏa mãn định lý về tiệm cận năng lượng.

Tuy nhiên trong thực tế thì năng lượng tiệm cận ở rất gần vùng tán xạ

trước.

2. Phần thực của biên độ tán xạ đàn hồi các hadron thường là giảm từ

giá trị dương khi t=0 đến giá trị âm khi |t| nhỏ và đưa tiết diện tán xạ

vi phân vào vùng cực tiểu nhiễu xạ.

3. Sử dụng biểu diễn eikonal hoặc tham số va chạm sẽ làm cho biên độ

tán xạ trở nên hữu hạn ở năng lượng vô hạn. Chỉ trong trương hợp

này các vùng vật lý của biến t là không bị giới hạn ở dưới, tức là

, để thỏa mãn đòi hỏi của phép biến đổi FB. Tuy nhiên, ở

năng lượng hữu hạn, trong các vùng vật lý của biến t lại bị giới hạn

dưới để đảm bảo sự đúng đắn toán học của phép biến đổi FB cũng

như trong vùng không có ý nghĩa vật lý của t. Trong trường hợp này

ảnh của phép biến đổi Fourier Bessel cho biên độ tán xạ dao động ở

các giá trị tham số va chạm cao [42,29,30].

4. Giả thiết động lực học chung: Sự đóng góp vào biên độ tán xạ của vật

chất hadron là gần giống với đóng góp của hadron tích điện ở bên

trong.

5. Biên độ tán xạ đàn hồi đã được tính bằng giải tích, đơn trị và thoả

mãn tính đối xứng và điều kiên biên Froissart–Martin [24, 40].

6. Trong các mô hình QCD các tính chất của biên độ tán xạ nucleon đều

30

dựa trên mức độ hadron để suy ra một cách đơn giản biên độ của các

mức quark. Sự phụ thụộc của năng lượng, các tham số va chạm đều

được hệ số hóa.

7. Ảnh hưởng của cả tán xạ Coulomb và tán xạ đàn hồi hadron không

được phản ánh đúng trong một số tài liệu. Biên độ tán xạ đàn hồi đầy

đủ đã được West và Yennie thay thế bằng biên độ tán xạ mới không

thỏa mãn đầy đủ các các giả thiết đã đưa ra ở trên.

Tất cả các mô hình đã đề cập đều giúp chúng ta nghiên cứu sự phụ thuộc

năng lượng vào các tiết diện tán xạ vi phân trong từng quá trình tán xạ cụ thể.

3.2. Dữ liệu về tham số va chạm cho quá trình tán xạ pp ở 53 GeV.

Dựa trên các kết quả phân tích số liệu của tán xạ đàn hồi pp ở năng

lương 53GeV tại ISR (Intersecting Storage Rings, a particle collider at

CERN) [18] và dựa vào cách tiếp cận eikonal, mục này đưa ra các kết quả dữ

liệu và tính số các tham số va chạm.

Sử dụng các công thức (2.11), (2.13) cho biên độ tán xạ đàn hồi đầy đủ

suy ra tiết diện tán xạ vi phân theo công thức

(3.1)

Độ lớn và pha của biên độ tán xạ này được tham số hóa theo phương trình

(2.2) để mô tả quá trình tán xạ đàn hồi pp trung tâm cũng như tán xạ ngoài.

Trong khi sự phụ thuộc của độ lớn biên độ vào là hoàn toàn rõ ràng được xác

định từ các dữ liệu thực nghiệm thì pha của biên độ chỉ bị ràng buộc một

phần. Cả hai quá trình tán xạ có thể được lựa chọn (trung tâm và ngoài) đều

đã được trình bày trong tài liệu [18]. Sự phụ thuộc của pha biên độ tán xạ

hadron đã được chỉ ra trong hình 2.1.

Một khi mà biên độ tán xạ đàn hồi các hadron được xác định thì

31

nó có thể suy ra được các dữ liệu tương ứng về các tham số va chạm cũng như

các sai số thống kê nhờ phép biến đổi Fourrier - Bessel. Nó cũng cho phép

chúng ta xác định được giá trị trung bình bình phương (RMS) của tham số va

chạm của tán xạ toàn phần, tán xạ đàn hồi và tán xạ không đàn hồi theo các

công thức (2.27) – (2.30) cho tán xạ đàn hồi của pp khối tâm cũng như tán xạ

ngoài. Dạng đồ thị tương ứng với tính chất của tán xạ ngoài được mô tả trong

hình 3, tất cả các giá trị trung bình của tham số va chạm được liệt kê trong

bảng 2.1. Trong bức tranh va chạm khối tâm các giá trị RMS của tán xạ đàn

hồi nhỏ hơn khá nhiều so với tán xạ không đàn hồi. Kết quả này phù hợp với

các kết quả của Miettinen [18]. Điều đó có nghĩa rằng các proton va chạm đối

đầu nhau là khá rõ ràng. Trong trường hợp va chạm ngoại vi, biểu diễn theo

số hạng thứ hai của biểu thức (1.29), cũng đưa ra những đóng góp đáng kể

vào các giá trị RMS của tán xạ đàn hồi. Một vài dữ liệu tương ứng với trường

hợp ngoại vi biểu hiện bởi sự thăng giáng cao hơn ở các giá trị tham số va

chạm cao hơn b. Tuy nhiên, những thăng giáng này có thể được bỏ qua theo

tài liệu [28]. Điều này có thể được giải thích ngắn gọn như sau: Chúng ta phải

xây dựng dữ liệu về tán xạ pp (tán xạ không âm) tương ứng với các giá trị

RMS được suy ra theo các biểu thức (2.27) – (2.29). Phương pháp là cộng

thêm vào 2 vế biểu thức (2.7) một hàm số thực c(s,b). Các đặc trưng động học

đối tương ứng với biên độ tán xạ đàn hồi hadron sẽ được đưa vào nếu hàm

32

c(s,b) trong biểu thức (3.3) dưới đây có đầy đủ các tính chất cộng tính.

Hình 3.1: Dữ liệu thăng giáng ngoại vi của tán xạ pp ở năng lương 53 GeV

Biểu thức (2.9) có thể biểu diễn dưới dạng

(3.2)

với

(3.3)

là các hàm số không âm với mọi b và K(s,b) là hàm tương quan nó rất nhỏ khi

so sánh với các hàm khác trong biểu thức trên. Hàm phải bán xác định

dương (và là hàm đơn điệu giảm) tại mọi giá trị của b. Hàm thăng giáng c(s,b)

được sử dụng để bỏ đi các thăng giáng từ các dữ kiện của tán xạ toàn phần và

33

tán xạ đàn hồi. Hàm dữ liệu tán xạ ngoại vi sẽ được giữ không đổi.

Tích phân lấy theo các tiết diện tán xạ không đàn hồi được bảo toàn nếu như

hàm số c(s,b) thỏa mãn đầy đủ hai điều kiện

. (3.4)

Hình 3.2: Dữ liệu tán xạ ngoại vi pp xác định dương ở 53 GeV

Hai điều kiện này biểu diễn các điều kiện lấy tích phân giới hạn dạng của

hàm c(s,b). Theo cách tiếp cận của Is’Lam [15] hàm số này có thể đồng nhất

với hàm số cũng thỏa mãn điều kiện (2.4) . Tuy nhiên, trong cách

tiếp cận chuẩn thì hàm c(s,b) có thể hầu như không xác định được bằng giải

34

tích. Cách tốt nhất để hiện tại chỉ ra bằng phương pháp số và được minh họa

trong phần tiếp theo. Có thể cho rằng dữ liệu tán xạ toàn phần để cải biến điều

kiện Unita (2.2) cần phải được gần đúng bằng hàm dạng Gauss với các giá trị

có thể được đặc trưng bằng các tích phân theo tiết diện tán xạ và bằng các giá

trị RMS được đưa ra trong bảng 2.1. Dữ liệu tán xạ đàn hồi là không đổi. Với

những giả thiết này, dạng của hàm dữ liệu có thể được xác định (bỏ qua sự

phụ thuộc vào s) như sau . Sử dụng công thức tích phân 3461

của tài liệu [10] thì tiết diện tán xạ toàn phần và giá trị trung bình bình

phương toàn phần có thể được tính bằng giải tích như sau:

, (3.5)

các giá trị của hằng số a và  có thể được xác định từ các giá trị thiết lập từ

thực nghiệm. Trong trường hợp tán xạ ngoại vi của tán xạ đàn hồi pp ở năng

lượng 53GeV, các giá trị đó là: a = 0,234,  = 0,946. Còn sự phụ thuộc của b

vào hàm phụ trợ c(s,b) được xác định nhờ phương trình đầu tiên của (3.3) với

hàm số được xác định từ phân tích thực nghiệm. Phương trình thứ

hai của biểu thức (3.3) xác định cho ta dạng của hàm dữ liệu của tán xạ không

đàn hồi.

Tán xạ đàn

hồi

[fm] Độ lớn [fm] Pha [fm] Tổng [fm] [fm]

Ngoại vi 1,033 0,676 1,671 1,803 0,772

Trung tâm 1,028 0,679 ~ 0 0,679 1,087

Bảng 3.1: Trung bình bình phương các tham số va chạm pp ở 53 GeV

35

Đại lượng Giá trị đầu Giá trị mới

[mb] 42,864 42,872

[mb] 7,479 7,479

[fm] 1,0 1,028

[fm] 1,803 1,803

[fm] 0,772 0,772

[fm2] - 0,029

[fm4] - 0,097

Bảng 3.2: Giá trị của tích phân theo tiết diện tán xạ vi phân và các giá trị

RMS của tán xạ toàn phần, đàn hồi và không đàn hồi.

Biết được dạng của hàm dữ liệu của tán xạ toàn phần và tán xạ không

đàn hồi cùng với sự phụ thuộc của giá trị b vào hàm phụ trợ c(s,b) thì các giá

trị của tích phân theo tiết diện tán xạ và tất cả các giá trị trung bình bình

phương có thể được kiểm tra trực tiếp bằng số như theo bảng 3.2. Các giá trị

mới thực tế hoàn toàn có thể so sánh với các số liệu nguồn. Mặc dù các giá trị

tích phân của hàm c(s,b) chỉ hơi khác không như đã chỉ ra ở bảng 3.2. Dữ liệu

cải biến được biểu thị theo đồ thị hình 4. Dữ liệu tán xạ toàn phần và không

đàn hồi mới là tán xạ trung tâm trong khi đó dữ liệu tán xạ đàn hồi là không

36

đổi và là tán xạ ngoại vi.

KẾT LUẬN

Trong Bản luận văn thạc sỹ khoa học này chúng tôi nghiên cứu tương

tác của các nucleon tích điện trong mô hình eikonal hiện tượng luận ở mọi

giá trị xung lượng truyền t. Sự ảnh hưởng của hai tương tác là tương tác

mạnh giữa các hadron và tương tác Coulomb đến biên độ tán xạ đàn hồi các

nucleon và pha tán xạ của nó được phân tích dựa trên các kết quả thực

nghiệm. Các kết quả thu được chính của luận văn gồm có:

1/ Đã phân tích được các số liệu về tán xạ đàn hồi các nucleon trong vùng

xung lượng truyền nhỏ |t| nhờ công thức giao thoa đơn giản của West và

Yennie, có tính đến giao thoa các tương tác Coulomb và tương tác mạnh.

2/ Đã chứng minh rằng ở năng lượng cao và xung lượng truyền lớn, sự ảnh

hưởng của tương tác Coulomb vào tán xạ của các nucleon đã bị bỏ qua theo

công thức của West và Yennie.

3/ Dựa vào các số liệu thực nghiệm mô hình eikonal hiện tượng luận đã

được đề xuất cho biên độ tán xạ đàn hồi các nucleon ở vùng năng lượng cao

và xung lượng truyền lớn

4/ Vận dụng mô hình eikonal hiện tượng luận cho tán xạ proton-proton .

Dựa vào các số liệu thức nghiệm về tán xạ pp ở 53 GeV đã chỉ ra rằng quá

trình tán xạ ngoại vi của proton-proton là tán xạ đàn hồi.

Các kết quả thu được có thể mở rộng cho việc tính số để so sánh với các

số liệu thực nghiệm thu được từ LHC (Large Hadron Collider). Mục tiêu này

sẽ được phát triển tiếp cho các quá trình nghiên cứu kể thêm spin của hạt tán

37

xạ sau này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Xuân Hãn. (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà Nội.

Nội.

2. Nguyễn Xuân Hãn. (1996), Cở sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà

NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, trg 468.

3. Đặng Quang Khang (dịch), A. X. Đavudov. (1974), Cơ học lượng tử, tập II,

Tiếng Anh

4. A. Donnachie and P.V. Landshoff. (1995), "Exclusive Vector-Meson

Production At Hera", Phys. lett. B, 348(1-2), pp. 213-218

5. A. Martin. (1997), “A theorem on the real part of the high-energy

scattering amplitude near the forward direction”, Phys. Lett. B 404, pp.

137.

6. B. Margolis. (1988), et al., “Forward scattering amplitudes in semi-hard

QCD”, Phys. Lett. B 213, pp. 221.

Phys. Lett. B 497, pp. 44.

7. B.Z. Kopeliovich, A.V. Tarasov. (2001), “The Coulomb phase revisited”,

Bourrely, J. Soffer, T.T. Wu. (1992), Mod. Phys. Lett. A 7,pp. 457

(Erratum);C. Bourrely, J. Soffer, T.T. Wu. (1993), “ Comparison of

8. C. Bourrely, J. Soffer, T.T. Wu. (1991) , Mod. Phys. Lett. A 6,pp 2973; C.

theoretical predictions from the impact picture with the recent UA4

data”, Phys. Lett. B 315, pp. 195.

9. D. Bernard. (1987) , et al., “The real part of the proton-antiproton elastic scattering amplitude at the centre of mass energy of 546 GeV”, Phys.

Lett. B 198, pp. 583;

10. D. Haim, U. Maor. (1992) , “Multi-component fits to high energy pp and p̄ p

38

scattering”, Phys. Lett. B 278, pp. 469.

11. F. Borkowski. (1974) , et al., “Electromagnetic form factors of the proton at

low four-momentum transfer”, Nucl. Phys. A 222, pp. 269.

12. F. Borkowski. (1975) , et al., “Electromagnetic form factors of the peoton at

low four-momentum transfer (II)”, Nucl. Phys. B 93, pp. 461.

13. F.S. Heney, J. Pumplin. (1976) , “Measuring the geometrical size of

multiparticle processes”, Nucl. Phys. B 117, pp. 235.

14. G.B. West, D.R. Yennie. (1966), “Related discussions for high energy

hadron-hadron scattering are given by J. Rix, R.M. Thaler”, Phys. Rev.

152, pp. 1357 .

15. G. Hohler. (1976) , et al., “Analysis of electromagnetic nucleon form

factors”, Nucl. Phys. B 114, pp. 505.

16. H. A. Bethe. (1958), “Scattering and Polarization of Protons by Nuclei”,

Annals of Physics 3, pp. 190-240

17. H.G. Dosch, E. Ferreira, A. Kramer. (1994) , “Non-Perturbative QCD

pp. 1992.

Treatment of High-Energy Hadron-Hadron Scattering”, Phys. Rev. D 50,

Rencontre de Moriond, Meribel les Allues, vol. 1, Orsay.

18. H.G. Miettinen, in: J. Tran Thanh Van (Ed.). (1974) , Proceedings of the IXth

19. J. Arrington, W. Melnitchouk, J.A. Tjon. (2007), “Global analysis of proton

Rev. C 76, pp. 035205.

elastic form factor data with two-photon exchange corrections”, Phys.

20. J. Pumplin. (1992) , “Analysis of elastic scattering at low momentum

transfer”, Phys. Lett. B 276, pp. 517.

21. J. Pumplin. (1992) , “Constituent quarks and total cross sections at

LHC/SSC ”, Phys. Lett. B 289, pp. 449

22. L. Durand, H. Pi. (1989), “Relativistic description of quark-antiquark bound

39

states. Spin-independent treatment”, Phys. Rev. D 40, pp. 1436.

23. L. Van Hove. (1964) , “High-Energy Collisions of Strongly Interacting

Particles”, Rev. Mod. Phys. 36, pp. 655.

24. M. Froissart. (1961) , “Asymptotic Behavior and Subtractions in the

Mandelstam Representation”, Phys. Rev. 123, pp. 1053.

25. M.K. Carter, P.D.B. Collins. (1986), M. Whalley, “Compilation of

nucleon–nucleon and nucleon–antinucleon elastic scattering data”,

Rutheford Lab. preprint, RAL-86-002.

26. M.M. Block, R.N. Cahn. (1985), “High-energy pp̅ and pp forward elastic

scattering and total cross sections”, Rev. Mod. Phys. 57, pp. 563.

27. M.M. Block, E.M. Gregores, F. Halzen, G. Pancheri. (1998) , “Measurements

Rev. D 58, pp. 017503.

of the rising photon-photon total cross section at the CERN LEP”, Phys.

28. M.M. Block, E.M. Gregores, F. Halzen, G. Pancheri. (1999) , “Photon-proton

and photon-photon scattering from nucleon-nucleon forward

amplitudes”, Phys. Rev. D 60, pp. 0504024.

Theoretical Physics”, vol. 10B, Gordon and Breach, pp. 97.

29. M.M. Islam, in: A.O. Barut, W.E. Brittin (Eds.). (1968), “Lectures in

30. M.M. Islam. (1976) , “Impact parameter representation from the Watson-

Sommerfeld transform”, Nucl. Phys. B 104, pp. 511.

31. M.M. Islam, R.J. Luddy, A.V. Prokudin. (2005) , “pp elastic scattering at

LHC in near forward direction”, Phys. Lett. B 605, pp. 115.

32. M.N. Rosenbluth. (1950) , “High Energy Elastic Scattering of Electrons on

Protons”, Phys. Rev. 79, pp. 615.

33. M. Ruete, H.G. Dosch, O. Nachtmann. (1999) , “Odd CP contributions to

diffractive processes”, Phys. Rev. D 59, pp. 014018.

34. M.P. Locher. (1967) , “ Relativistic treatment of structure in the Coulomb

40

interference problem”, Nucl. Phys. B 2, pp. 525.

Integration and High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic

Moments in Quantum Field Theory”, arXiv:0368084[hep-th] .

35. Nguyen Xuan Han, Le Hai Yen and Nguyen Nhu Xuan. (2011), “Functionl

36. O.V. Selyugin.(1999) , “Coulomb-hadron phase factor and spin phenomena

in a wide region of transfer momenta”, Phys. Rev. D 60, pp. 074028.

Z. Phys. C 15, pp. 253.

37. R. Cahn. (1982) , “Coulombic-Hadronic Interference in an Eikonal Model”,

38. R.G. Sachs. (1962) , “High-Energy Behavior of Nucleon Electromagnetic

Form Factors”, Phys. Rev. 126, pp. 2256.

39. R. Hofstadter. (1958), et al., “Electromagnetic Structure of the Proton and

Neutron”, Rev. Mod. Phys. 30, pp 482.

40. R.J. Eden. (1971) , “Theorems on High Energy Collisions of Elementary

Particles”, Rev. Mod. Phys. 43, pp. 15.

41. R.J. Glauber, J. Velasco. (1984) , “Multiple diffraction theory of p-

p scattering at 546 GeV ”, Phys. Lett. B 147, pp. 380.

42. T. Adachi, T. Kotani. (1966) , “Analytic Property of Impact Parameter

Amplitude”, Progr. Theor. Phys. 35, pp 463; “An Impact Parameter

Formalism. II”, Progr. Theor. Phys. 35, pp. 485.

43. T. Adachi, T. Kotani. (1968) , “An Impact Parameter Representation of the

Scattering Problem”, Progr. Theor. Phys. 39, pp. 785.

44. V. Franco. (1973), “Coulomb-Nuclear Interference”, Phys. Rev. D 7, pp. 215.

45. V. Kundrát, M. Lokajíˇcek. (1989), “Critical comments on the standard

description of elastic hadron scattering”, Phys. Lett. B 232, pp. 263.

46. V. Kundrát, M. Lokajíˇcek.(2005), “interference between Coulomb and

B 611, pp. 102.

41

hadronic scattering in elastic high-energy nucleon collisions ”, Phys. Lett.

47. V. Kundrát, M. Lokajíˇcek, I. Vrkoˇc. (2007) , “Limited validity of West and

B 656, pp. 182.

Yennie interference formula for elastic scattering of hadrons”, Phys. Lett.

Phys. C 63, pp 619.

48. V. Kundrát, M. Lokajíˇcek. (1994) ,see also CERN-Th.6952/93 preprint, Z.

1334.

49. V. Kundrát, M. Lokajíˇcek Jr., M. Lokajíˇcek. (1981), Czech. J. Phys. B 31, pp.

50. V. Kundrát, M. Lokajíˇcek. (2002) , “Impact parameter structure derived

from elastic collisions”, Phys. Lett. B 544, pp. 132.

V. Kundrát, P. Závada (Eds.) , Proceedings of the IXth Blois Workshop on

Elastic and Diffractive Scattering, Pruhonice near Prague, Czech Republic,

June 9–15, ISBN 80-238-8243-0.

51. V. Kundrát, M. Lokajíˇcek, D. Krupa. (2001), Nucleon high-energy profiles, in:

Phys. J. C 23, pp. 135.

52. V.A. Petrov, A.V. Prokudin. (2002) , “The first three pomerons...”, Eur.

53. V.A. Petrov, E. Predazzi, A.V. Prokudin. (2003) , “Coulomb interference in

42

high-energy ppand pˉp scattering”, Eur. Phys. J. C 28, pp. 525.

PHỤ LỤC A.

HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON

Tán xạ đàn hồi và tán xạ không đàn hồi của electron lên các hadron-

proton và neutron - cho ta những thông tin đặc biệt quý giá về cấu trúc

nucleon được mô tả bằng giản đồ Feymann. Biểu thức của biên độ tán xạ có dạng

hadron. Trong gần đúng bậc nhất theo tương tác điện từ, tán xạ electron lên

(A.1)

, ở đây , - các spinor Dirac đầu và cuối của nucleon, còn

là các spinor Dirac đầu và cuối tương ứng của electron,

đỉnh mô tả tương tác của nucleon với photon ở tất cả các bậc theo tương tác

. mạnh, Ta tham số hóa đỉnh tương tác này

Lưu ý, một mặt là ma trận, còn mặt khác là vector. Nếu là ma

trân, nó nhất thiết phải là tổ hợp tuyến tính của 16 ma trận Dirac.

(A.2)

trong đó - ma trận đơn vị. Nếu là véctơ , nó phải được hình

thành từ các véctơ và các ma trận (A.2) . Như vậy, là

tổ hợp của các đại lượng

(A.3)

Các hệ số của các đại lượng này là các hàm số vô hướng của các xung lượng

, có nghĩa là hàm số . Sự bảo toàn chẵn lẻ trong các tương tác

điện từ và tương tác yếu sẽ loại bỏ các tổ hợp cùng ma trận (

- giả vô hướng , giả véc tơ ). Còn số hạng

43

cùng với sẽ triệt tiêu do bất biến chuẩn.

. (A.4)

Cuối cùng,

.

. (A.5)

Như vậy, kết quả cuối cùng ta có

. (A.6)

trong đó khối lượng của nucleon, - moment từ dị thường của nucleon

(trong đơn vị magneton hạt nhân). Các hàm vô hướng của xung

lượng truyền được gọi là các hệ số dạng . Lưu ý,

Thay cho các hệ số dạng thường dùng các hệ số dạng ,

.

.

Ưu việt của các hệ số dạng , ở chỗ xác định sự phân bố

44

điện tích, còn là moment từ .

PHỤ LỤC B.

CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER

TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

Xét chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm tán xạ . Giả thiết

là trường đối xứng không phụ thuộc vào góc . Khi đó trong cơ học

lượng tử, quá trình tán xạ của hạt có thể được mô tả bởi nghiệm của phương

trình Schrodinger:

.

B1. Phƣơng pháp khai triển theo sóng riêng phần.

Phương trình Schrodinger:

. (B.1.1)

Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào ở gốc tọa độ 0, chọn

hướng của các dòng hạt tới dọc theo trục Oz. Ta thấy rằng ở xa tâm tán xạ hạt

không không chịu tác dụng nên nó chuyển động tự do nên chuyển động của

nó được mô tả bởi sóng phẳng như sau :

(B.1.2)

Ở gần tâm tán xạ hạt sẽ bị tán xạ. Hàm thế mô tả tương tác của hạt với

tâm lực có thể giả thiết rằng hàm này chỉ khác không trong một miền không

gian hữu hạn nào đó mà ta gọi là miền tác dụng lực . Khi đó hàm sóng

bị thay đổi và chuyển động của các hạt tán xạ phải được mô tả bởi một hàm

cầu phân kỳ:

(B.1.3)

Biên độ sóng phân kì f(,) trong công thức (B.1.3) được gọi là biên độ

45

tán xạ.

Hàm sóng toàn phần mô tả chuyển động của hạt tới và hạt tán xạ ở khoảng

cách lớn (r>a) đối với tâm tán xạ bằng tổng của sóng tới và sóng tán xạ

: (B.1.4)

Với là nghiệm của phương trình Schrodinger (B.1.1) ở trên.

, Trong biểu thức (B.1.4), số hạng thứ nhất được viết trong to ̣a độ Đề các

mô tả chuyển động của hạt tới, còn số hạng thứ hai trong toạ độ cầu mô tả

chuyển động của hạt tán xạ trong toạ độ cầu. Ta có thể biểu diễn bằng hình vẽ

sau:

Hình B.1

Các sóng phẳng tới Các sóng cầu tán xạ

Mặt khác, nghiệm của phương trình Schrodinger (B.1.1) trong trường hợp

đối xứng trục (đối với z) không phụ thuộc góc có thể viết dưới dạng:

, (B.1.5)

ở đây, là hệ số không đổi được xác định bởi các điều kiện biên và điều kiện

chuẩn hoá. là đa thức Legendre được xác định bởi công thức:

. (B.1.6)

Ta đi giải phương trình Schrodinger để tìm ra phương trình xuyên tâm của

như sau :

46

Từ phương trình (B.1.1) ta có :

(B.1.7)

Thay biểu thức (B.1.5) vào phương trình (B.1.7), ta có:

(B.1.8)

Trong đó .

Và

Giải phương trình dưới dạng tách biến :

. (B.1.9)

Thay (B.1.9) vào (B.1.8), ta được hệ phương trình sau :

Với điều kiện

. (B.1.20)

Quay về phương trình với R ta thu được phương trình xuyên tâm của

dạng:

47

. (B.1.21)

Trong toán học ta biết rằng 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình trên

là những hàm cầu Bessel và , có dạng:

(B.1.22)

ở đây ta đặt z =kr. Nếu xét trong tiệm cận gần đúng khi tương ứng với

nghĩa là ta chỉ xét các chuyển động vô hạn, ta có:

(B.1.23)

Khi đó nghiệm của phương trình (B.1.21) được viết bằng tổng 2 nghiệm riêng

độc lập tuyến tính của phương trình (B.1.23).

(B.1.24)

Ở đây và là các hằng số thỏa mãn :

; (B.1.25)

và là độ dịch chuyển pha.

Thay (B.1.25) vào (B.1.24) ta có:

Hay (B.1.25)

Thay (B.1.10) vào (B.1.5), khi đó nghiệm của phương trình schrodinger

48

(B.1.1) được viết lại:

(B.1.26)

Các hệ số phải chọn như thế nào để hàm sóng có dạng:

(B.1.27)

Đến đây, ta nhận thấy rằng để cân bằng (B.1.26) và (B.1.27) thì hàm sóng của

phương trình (B.1.26) phải được biểu diễn bởi 2 tổng và

Với số hạng thứ nhất, ta sẽ khai triển hàm sóng phẳng theo các sóng cầu

ở khoảng cách lớn bằng cách sử dụng các đa thức Legendre:

, (B.1.28)

Trong đó các hệ số khai triển,đó là các hàm mà ta cần tìm dạng của nó.

Để đơn giản, ta đặt x = cos(), thay vào (B.1.28) ta có:

. (B.1.29)

Nhân cả 2 phương trình trên với và lấy tích phân theo x trong khoảng từ

-1 đến (n +1) (tương ứng với  biến thiên từ  đến 0)

. (B.1.30)

Sử dụng tính chất của các đa thức Legendre: .

Vế trái (B.1.14) được viết:

49

Lấy tổng theo ,khi ta được:

Thay vào (B.1.30), đổi ta thu được công thức sau:

. (B.1.31)

Lấy tích phân từng phần biểu thức trên, áp dụng các tính chất của hàm

Legendre và , ta được:

(B.1.32)

Ta nhận thấy, nếu tiếp tục tiến hành tính giá trị biểu thức (B.1.32) bằng cách

tích phân từng phần số hạng thứ 2, thứ 3, thứ 4,…,thứ l, ta sẽ thu được số

hạng tương tự với số hạng thứ nhất trong (B.1.32), còn dưới mẫu sẽ là

, , ,..., . Do đó nếu xét r lớn, ta có thể giới hạn biểu thức

của ở số hạng bậc 1:

(B.1.33)

, Thay

50

Thay vào biểu thức (B.1.33) ta thu được kết quả như sau:

(B.1.34)

Số hạng có thể được biểu diễn dưới như sau:

và

Thay vào (B.1.34), ta được:

Hay . (B.1.35)

Thay biểu thức (B.1.35) vào biểu thức (B.1.28) ta có:

. (B.1.36)

Tiếp theo, đối với số hạng thứ 2 trong biểu thức (B.1.27), ta khai triển hệ số

51

theo các đa thức Legendre dạng:

. (B.1.37)

Thay các biểu thức (B.1.36) và (B.1.37) vào biểu thức (B.1.27) ta được:

(B.1.38)

Mặt khác, như đã phân tích ở trên, hàm này có thể được biểu diễn dưới dạng

(B.1.11). Do đó ta cần cân bằng hai biểu thức (B.1.26) và (B.1.38) với nhau,

cần chú ý rằng ta có thể biểu diễn và thay

bằng . Kết quả ta được:

. (B.1.39)

Giản ước, cân bằng các hệ số của và , ta có:

(B.1.40) ,

(B.1.41) .

Từ hệ thức (B.1.41) dễ dàng tìm được:

(B.1.42)

Thay (B.1.42) vào biểu thức (B.1.40) ta tìm được như sau:

(B.1.43)

Cuối cùng, thay (B.1.43) vào biểu thức (B.1.37) ta nhận được biên độ tán xạ

theo sóng riêng phần

52

. (B.1.44)

B.2. Phƣơng pháp hàm Green

Như đã đề cập ở mục 1.1, quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô

tả bởi phương trình Schrodinger:

, (B.2.1)

Phương trình vi phân (B.2.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích phân:

ở đây chúng ta đã sử dụng các ký hiệu và .

, (B.2.2)

trong đó hàm thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do:

, (B.2.3)

và hàm Green là nghiệm của phương trình:

. (B.2.4)

Các điều kiện biên của hàm và được xác định từ điều kiện biên

của hàm . Phương trình tích phân (B.2.2) được gọi là phương trình

Lippman-Schwinger. Các nghiệm của phương trình (B.2.3) và (B.2.4) là:

, (B.2.5)

, (B.2.6)

trong (B.2.6) chú ý rằng A+B =1. Sử dụng phương trình (B.2.5) và (B.2.6),

thì nghiệm của phương trình Lippman-Schwinger (B.47) được viết lại dạng:

. (B.2.7)

Theo các điều kiện biên thì hàm sóng phải bao gồm hai thành phần:

53

thành phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và

thành phần còn lại là sóng cầu tán xạ. Vì thế B0 = B = 0 và (B.2.7) viết lại

dưới dạng: . (B.2.8)

Như chúng ta đã phân tích trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền

tiệm cận của hàm sóng trên. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem

xét, thế U(r) được xác định trong một thể tích hữu hạn của không gian và các

máy đo (detectors) các hiệu ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ

đó, chúng ta có thể kết luận rằng và do đó suy ra gần đúng sau:

. (B.2.9)

Từ (B.2.9), chúng ta có thể viết lại biểu thức (B.2.8) dạng:

. (B.2.10)

, (B.2.11) Đặt Ao = 1, suy ra:

với , (B.2.12)

được hiểu như là biên độ tán xạ của hạt trong trường thế V(r), ở đây .

Bức tranh minh hoạ cho các biến đổi phức tạp trên được chỉ rõ trong hình 1:

Hình B.2: Minh hoạ rõ ràng những

biến đổi phức tạp sử dụng trong các

tính toán trên. Chú ý rằng , và

là các cực toạ độ cầu và là cực toạ

54

độ trụ.

Thông thường, trong thực tế có thể coi như là một hàm của , và

do đó có thể viết . Để ý rằng, mặc dù các thông tin liên quan

được chứa đựng trong miền tiệm cận của nhưng các đóng góp tới

trong phương trình (B.2.12) lại đến từ miền mà thế năng ở đó khác tới

không.

Với các điều kiện cần thiết là và . Trong miền giới

hạn đó, biên độ tán xạ được viết dưới dạng :

(B.2.13)

ở đây:

(B.2.14)

Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại các công thức đã chỉ ra ở trên cho biên độ tán xạ:

Và từ phương trình Schrodinger (B.1.3):

Ta đặt: và chọn dọc theo hướng z. Khi đó phương trình trên

viết lại dạng:

. (B.2.15)

ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu . Chúng ta có thể viết nghiệm của

phương trình (B.2.15) dạng:

(B.2.16)

55

thoả mãn phương trình:

. (B.2.17)

Và hàm thoả mãn:

(B.2.18)

Nghiệm của các phương trình (B.2.17) và (B.2.18) là:

. (B.2.19)

Với các điều kiện biên là . Và

(B.2.20)

Thay (B.2.19) và (B.2.20) vào (B.2.16), ta thu được:

. (B.2.21)

Phương trình trên cũng có thể viết lại dạng sau:

(B.2.22)

ở đây biểu thức của tác động lên một hàm g(z) bất kỳ cho bởi:

56

. (B.2.23)

Thay chuỗi của trong (B.2.23) vào dạng của hàm và

cuối cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng:

(B.2.24)

ở đây:

(B.2.25)

(B.2.26)

(B.2.27)

chúng ta đã thay cho biểu thức gọn hơn. Biểu thức mũ

của các hàm e có thể được tính như sau với chú ý các vectơ sử dụng được

minh hoạ trong hình 1 ở trên.

(B.2.28)

Ta quan tâm tới hàm trong khai triển trên. Từ (B.2.19), (B.2.25) và

57

(B.2.26) ta có thể viết:

(B.2.29)

ở đây ta đang xét trường hợp khi mômen xung lượng vào lớn và góc tán xạ là

nhỏ. Khi đó ta có thể áp dụng gần đúng sau:

.

Xét ở gần đúng bậc nhất theo ta nhận được biểu thức:

(B.2.30)

Bây giờ ta viết lại (B.2.29) như sau:

. (B.2.31)

Chúng ta cần chú ý rằng phép xấp xỉ (B.2.30) cho phép chúng ta đưa ra ngoài

tích phân theo z trong (B.2.31) bằng cách thay thế bởi tích phân mới

. Sau khi tính các tích phân, ta được:

. (B.2.32)

ở đây . (B.2.33)

Như đã đề cập ở trên, hàm thế là đối xứng qua trục z, không phụ thuộc vào

góc và hơn nữa ta có thể bỏ trong tích phân trên. Do vậy, biên độ tán xạ

bậc không sử dụng phương pháp hàm Green được viết lại dạng:

. (B.2.34)

58

ở đây chúng ta đã sử dụng đồng nhất thức:

. (B.2.35)

B.3. Phƣơng pháp chuẩn cổ điển

Cũng xuất phát từ phương trình Schrodinger (B.1), nghiệm của phương trình

có dạng :

. (B.3.1)

Thế vào phương trình Schrodinger ta được :

Trong giới hạn cổ điển thì và thay ta có:

(B.3.2)

Tích phân biểu thức

(B.3.3)

Từ đó suy ra hàm sóng có dạng:

(B.3.4)

Và biên độ tán xạ được viết:

(B.3.5)

Đưa vào hệ tọa độ trụ ta có: . Hơn nữa

(B.3.6)

59

có thể được bỏ qua khi góc lệch nhỏ. Khi và

Xét sự tán xạ trong mặt phẳng xz, ta có:

(B.3.7)

(vì và do nhỏ nên )

Vậy biểu thức f(k’.k) sau khi được đơn giản hóa là:

(B.3.8)

Sử dụng tính chất của hàm Bessel ta có:

(B.3.9)

Đối với thành phần sau của f(k’,k) ta có thể đặt khi V(x) được định

xứ nên không có đóng góp bên ngoài –L

(B.3.10)

Thay (B.2.31) và (B.2.32) vào (B.2.30) ta được:

(B.3.11)

Với

60

Biên độ tán xạ tính theo chuẩn cổ điển là:

B.4. Mối liên hệ giữa biên độ tán xạ theo sóng riêng phần và biên độ tán

xạ eikonal.

Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng biểu thức tán xạ trong phép gần

đúng eikonal có quan hệ với biên độ tán xạ sóng riêng phần trong giới hạn của

tán xạ năng lượng cao và ngược lại.

B.4.1. Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng

eikonal.

Như đã tính toán ở trên, biên độ tán xạ thu được bằng phương pháp

sóng riêng phần có dạng:

(B.4.1)

Với bài toán tán xạ năng lượng cao, coi là lớn thì chúng ta có

thể thay cho việc lấy tổng theo l bằng tích phân theo l.

(B.4.2)

Tiếp theo, đặt suy ra , ở đây b gọi là thông số va

chạm. Với k – lớn, - nhỏ và có giới hạn, khi đó đa thức Legendre trở

thành hàm Bessel bậc không:

(B.4.3)

Hơn nữa chúng ta có thể viết: , (B.4.4)

như là hàm eikonal trong miền giới hạn tương tác. Và do đó, biểu thức của

biên độ tán xạ thu được dưới dạng:

(B.4.5)

61

Khi góc nhỏ thì ,ta có:

Thay biểu thức trên vào công thức (B.4.5), nhận được:

(B.4.6)

Một lần nữa, biên độ tán xạ eikonal bậc không lại thu được.

B.4.2. Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng

phần

Biên độ sóng eikonal được viết như sau:

(B.4.7)

Đặt suy ra và (B.4.8)

Ta có .

Khi góc nhỏ thì , lúc này ta có:

(B.4.9)

Với k – lớn, - nhỏ và có giới hạn, khi đó đa thức Legendre trở thành

hàm Bessel bậc không:

(B.4.10)

Hơn nữa chúng ta có thể viết:

(B.4.11)

62

Thay (B.4.8), (B.4.10). (B.4.11) vào (B.4.7) ta được:

(B.4.12)

Với bài toán tán xạ năng lượng cao, coi là lớn thì chúng ta có thể

thay cho việc lấy tích phân theo bằng l tổng theo l khi đó (B.4.12) trở thành:

(B.4.13)

Ta lại thu được biên độ của sóng riêng phần.

B.5. Sơ đồ mối liên hệ giữa các phƣơng pháp của bài toán tán xạ

Phƣơng trình Schrodinger

Phương pháp Sóng riêng phần

Phương pháp Hàm Green

Phương pháp Chuẩn cổ điển

Hàm sóng

Hàm sóng

Hàm sóng

Hai sóng dạng:

Hai sóng dạng:

Một sóng dạng:

phẳng tới

phẳng tới:

và cầu phân kỳ

và cầu phân kỳ

Biên độ tán xạ

Biên độ tán xạ

Biên độ tán xạ

63

Hình B.3