Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

SOMKID MANYVANH

NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH

MONGE - AMPERE PHỨC SUY BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————————

SOMKID MANYVANH

NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH

MONGE - AMPERE PHỨC SUY BIẾN

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học TS. DƯƠNG QUANG HẢI

Thái Nguyên - Năm 2020

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng của tôi dưới sự hướng dẫn của TS Dương Quang Hải .Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Các kết quả chích của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của tác giả khác.

Tôi xin cảm đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đẫ được cảm ơn và các thông tin tích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồi gốc.

Tác giả

Somkid MANYVANH

Xác nhận của Khoa chuyên môn. Xác nhận của Người hướng dẫn khoa học

i

TS. Trần Nguyên An TS. Dương Quang Hải

Lời cảm ơn

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Dương Quang Hải. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tình cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Viện Toán học đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã luôn động viên, khích lệ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020 Người viết luận văn

ii

Somkid Manyvanh

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Mục lục ii

Mở đầu 1

1 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức

3 3 5

7 biến dạng (ddcϕ)n = v

13

17 suy biến 1.1 Toán tử Monge-Ampère phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic. . . . . . 1.3 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddcϕ)n = eεϕv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic . . . . . . . . .

2 Sự tồn tại nghiệm nhớt liên tục của phương trình Monge -

29

Ampère phức suy biến kiểu elliptic 2.1 Phương pháp của Preron về tính liên tục nghiệm nhớt dưới

của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic 29

32 2.2 Sự tổn tại nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp Kahler compact .

Kết luận

iii

36 37 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mở đầu

(ω + ddcϕ)n = eϕv,

Trong những năm gần đây, phương trình Monge-Ampère phức suy biến trên các đa tạp Kahler compact hữu hạn chiều được quan tâm nghiên cứu bằng cách sử dụng các công cụ của lý thuyết đa thế vị. Phương pháp nghiệm nhớt giải các phương trình Elliptic suy biến trên các đa tạp compact hoặc các đa tạp Riemann đầy đủ đã đạt được những kết quả quan trọng gần đây bởi M. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions vào những năm 1992. Một cách tự nhiên, phương pháp nghiệm nhớt này có thể được áp dụng vào để nghiên cứu các nghiệm của phương trình Monge- Ampère kiểu elliptic dạng:

trong đó ω là dạng Kahler nhẵn và v là dạng thể tích nhẵn trên đa tạp Kahler compact n chiều X. Tuy nhiên, vì yêu cầu trên các đa tạp Riemann compact hoặc đầy đủ, mọi tensor độ cong Riemann đều không âm nên phương pháp nghiệm nhớt trên của M. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions không thể áp dụng vào tìm nghiệm của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến trong các trường hợp tổng quát. Tính duy nhất nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức suy biến đã được chứng minh trong các kết quả nghiên cứu của T. Aubin [2] và ST Yau [12] vào năm 1978 và tồn tại trong hơn 30 năm nay vẫn chưa được tiếp tục nghiên cứu cách kết hợp các công cụ của lý thuyết đa thế vị và phương pháp nghiệm dưới nhớt trên.

1

Đề tài luận văn "Nghiệm nhớt của các phương trình Monge- Ampère phức suy biến" đặt ra mục đích tìm hiểu và nghiên cứu nghiệm yếu của phương trình Monge-Ampère trên các đa tạp phức. Bằng phương pháp xây dựng nghiệm nhớt, đề tài giới hạn nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Monge-Ampère phức suy biến trên các đa tạp Kahler com- pact. Từ những kết quả nghiên cứu ở trên, trong phần cuối của đề tài chúng tôi dành cho việc nghiên cứu và chứng minh lại giả thuyết Calabi về tính

liên tục đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge – Ampère phức suy biến kiểu Eliptic trên các đa tạp Kahler compact trực tiếp mà không sử dụng các kỹ thuật trong Định lý nối tiếng của Aubin-Yau về tính liên tục. Các kết quả chính của luận văn được trình bày dựa vào tài liệu tham khảo chính số [7].

Nội dung của đề tài luận văn "Nghiệm nhớt của các phương trình

Monge-Ampère phức suy biến" được chia làm 2 chương.

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết đa thế vị phức và giải tích phức như hàm đa điều hòa dưới, miền siêu lồi, miền giả lồi, miền giả lồi mạnh, toán tử Monge-Ampère, phương trình Monge - Ampère phức, ... Từ đó nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm nhớt của các phương trình Monge – Ampère phức suy biến trên các đa tạp phức liên thông hữu hạn chiều, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp phức compact. Cuối chương, luận văn nghiên cứu điều kiện của nguyên lý so sánh đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp phức compact.

2

Chương 2 áp dụng nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trong chương 1, luận văn trình bày chứng minh tính liên tục nghiệm nhớt của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic. Cuối cùng, luận văn sử dụng nguyên lý toàn cục đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic trên các đa tạp Kahler compact hữu hạn chiều để thể xây dựng lại nghiệm dưới nhớt của phương trình này và chứng minh tính liên tục của nó một cách trực tiếp mà không sử dụng các kết quả trong định lý Aubin-Yau về tính liên tục.

Chương 1

Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến

1.1 Toán tử Monge-Ampère phức

Định nghĩa 1.1.1 (Hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới). Giả sử (Ω, d) là một không gian metric, một hàm u : Ω → R ∪ {−∞} được gọi là nửa liên tục trên nếu {z ∈ Ω : u (z) < r} là một tập mở với mọi r ∈ R.

Một hàm u được gọi là nửa liên tục dưới nếu −u là nửa liên tục trên.

z→z0

Từ định nghĩa của giới hạn lim sup, chúng ta có một hàm u là nửa liên u (z) = u (z0) , trong tục trên nếu và chỉ nếu với mọi z0 ∈ Ω, ta có lim sup

{sup {u (z) : z ∈ Ω, d (z, z0) < ε}} .

u (z) = inf ε>0

lim sup z→z0

đó

Điều này có nghĩa là, với mọi α > u(z0) tồn tại ε > 0 sao cho u(z) < α với d (z, z0) < ε.

Một hàm thực là liên tục nếu và chỉ nếu nó vừa là nửa liên tục dưới, vừa

là nửa liên tục trên.

2π (cid:90)

Định nghĩa 1.1.2 (Hàm điều hòa dưới). Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : X → [−∞, +∞) gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên trên Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi ω ∈ Ω tồn tại δ > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r ≤ δ ta có

u (cid:0)ω + reit(cid:1) dt.

u (ω) ≤

1 2π

0

3

(1.1)

Chú ý rằng với định nghĩa trên thì hàm đồng nhất −∞ trên Ω được xem là hàm điều hòa dưới trên Ω. Ký hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên Ω là SH (Ω).

Mệnh đề 1.1.3. Nếu f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω thì log |f | là hàm điều hòa dưới trên Ω.

Định nghĩa 1.1.4 (Hàm đa điều hòa dưới). Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở, u : Ω → [−∞, +∞) là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω. Hàm u gọi là đa điều hòa dưới trên Ω nếu với mọi a ∈ Ω và b ∈ Cn, hàm λ (cid:55)→ u (a + λb) là điều hòa dưới hoặc bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}.

Ký hiệu PSH(Ω) là lớp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trong Ω. Và ký

hiệu PSH_ (Ω) là tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω.

Định nghĩa 1.1.5 (Tập đa cực). Tập E ⊂ Cn được gọi là tập đa cực nếu với mỗi điểm a ∈ E đều có một lân cận V của a và một hàm u ∈ PSH(V ) sao cho E ∩ V ⊂ {z ∈ V : u (z) = −∞}.

dV,

(ddcu)n = 4nn!det

(cid:21)

Định nghĩa 1.1.6. Nếu u ∈ C 2 (Ω) thì toán tử (cid:20) ∂2u ∂zj∂ ¯zk (cid:1)n dz1 ∧ d¯z1 ∧ dz2 ∧ d¯z2 ∧ ... ∧ dzn ∧ d¯zn là độ đo thể tích

ở đây dV = (cid:0) i 2 trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampère phức.

Tiếp theo, chúng ta nhắc lại nguyên lý so sánh đối với các hàm đa điều

hòa dưới bị chặn trong các tập giải tích trong Cn.

Cho u ∈ PSH(V ) là một hàm bị chặn địa phương, đa điều hòa dưới trên một tập giải tích V . Giả sử dim V = k. Khi đó, ta định nghĩa bằng quy nạp toán tử Monge-Ampère của hàm u trên phần chính quy Vr của V như sau (cid:0)ddcu(cid:1)m := ddc(cid:0)u(ddcu)m−1(cid:1),

với mọi 1 (cid:54) m (cid:54) k. Và độ đo (ddcu) được xác định trên V bởi

(ddcu(cid:1)k :=

E

E∩Vr

(cid:90) (cid:90) (cid:0)ddcu)k(cid:1),

4

với mọi tập con Borel E của V . Tiếp theo, nguyên lý so sánh sau được chứng minh bởi Bedford vào những năm 80 của thế kỷ trước

(u(z) − v(z)) (cid:62) 0. Khi đó, ta có

Định lý 1.1.7. Cho u, v là các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên V . Giả sử lim z→∂V

(ddcu(cid:1)k :=

u

u

n (cid:88)

|zi|2 C.

|z|Cn =

(cid:90) (cid:90) (cid:0)ddcv)k(cid:1).

i=1

(cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116)

Trong đề tài luận văn, chúng ta ký hiệu đơn giản chuẩn trong Cn là |z|.

Định nghĩa 1.1.8. Một tập khác rỗng U được gọi là lồi nếu với hai điểm z1 và z2, ta có vói mọi 0 ≤ λ ≤ 1 thì λz1 + (1 − λ)z2 ∈ U .

λ.log(|z1|) + (1 − λ)log(|z2|) ∈ U.

Định nghĩa 1.1.9. Một tập khác rỗng U được gọi là lồi logarith nếu với hai điểm z1 và z2 thuộc U , với mọi 0 ≤ λ ≤ 1 thì ta có

Định nghĩa 1.1.10. Cho U ⊂ Cn là một miền và cho điểm z ∈ U . Ký hiệu dU (z) là hàm khoảng cách từ điểm z đến biên ∂U . Định nghĩa miền U là một miền giả lồi nếu hàm khoảng cách dU (z) là hàm đa điều hòa dưới.

Định nghĩa 1.1.11. Cho Ω là một tập con mở C n với biên nhẵn ∂Ω. Tập Ω được gọi là giả lồi mạnh nếu

λ : U → R1 khả vi lớp C 2 có các tính chất: (i) Ω ∩ U = {z ∈ U \ λ(z) < 0}; (ii) λ là một hàm đa điều hòa dưới chặt, tức là ta có

(z)µi ¯µj ≥ L(z |µ|)2,

(1) ¯Ω tập con compact của C n; (2) Tồn tại một tập con mở U trong C n chứa ∂Ω và tồn tại một hàm

(cid:88) ∂2λ ∂zi∂ ¯zj

1.2 Phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic.

với mọi µ ∈ C n và z ∈ U , sao cho L(z) > 0.

5

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một đa tạp phức compact hữu hạn chiều và ω là một dạng Kahler nhẵn trên X. Một hàm ϕ trên X được gọi là ω- đa

ω + ddcϕ (cid:62) 0.

điều hòa dưới (hay gọi tắt là ω-psh) nếu nó là một hàm khả tích, nửa liên tục dưới thỏa mãn

Năm 1982, theo Bedford và Taylor [3] 00đã chứng minh được một số tính

chất sau của hàm ω- đa điều hòa dưới

BT .

Mệnh đề 1.2.2. Cho X là một đa tạp phức compact hữu hạn chiều và ω là một dạng Kahler nhẵn trên X. Nếu ϕ là một hàm bị chặn trên X thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon (ω + ddcϕ)n BT trên X thoản mãn tính chất sau: Nếu ϕj là dãy các hàm ω- đa điều hòa dưới địa phương, nhẵn trên X hộ tụ giảm về hàm ϕ thì dãy các độ đo nhẵn (ω + ddcϕj)n) hội tụ yếu tới độ đo Radon (ω + ddcϕ)n

Từ Mệnh đề 1.2.2 ta có định nghĩa sau

(ω + ddcϕ)n

(DM A)ω,v

BT = eϕv,

Định nghĩa 1.2.3. Cho X là một đa tạp phức compact hữu hạn chiều và ω là một dạng Kahler nhẵn trên X và ϕ là một hàm bị chặn, v là một dạng thể tích nhẵn trên X. Nếu dãy độ đo (ω + ddcϕj)n) hội tụ (địa phương) đến eϕv thì ta có đẳng thức

theo nghĩa đa thế vị. Phương trình (DM A)ω,v được gọi là phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic trên đa tạp Kahler compact X hữu hạn chiều.

Trong kết quả nghiên cứu của Bedford và Taylor [3] đã chỉ ra rằng nếu ϕ

(ω + ddcϕ)n

BT = eεv,

là hàm bị chặn thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon dương (ω + ddcϕ)n BT có tính chất sau: Nếu ϕj là dãy các hàm nhẵn, ω - đa điều hòa dưới về mặt địa phương và hội tụ giảm đến hàm ϕ. Khi đó, ta có dãy các độ đo nhẵn (ω + ddcϕj)n hội tụ yếu tới độ đo (ω + ddcϕ)n BT . Nếu dãy các độ đo (ω + ddcϕj)n hội tụ địa phương đến eϕv thì chúng ta nói rằng đẳng thức

6

xảy ra theo nghĩa đa thế vị.

1.3 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức

suy biến dạng (ddcϕ)n = v

Mục đích của phần này là tìm hiểu mối quan hệ giữa lý thuyết đa thế vị của toán tử Monge-Ampère phức được đưa ra bởi Bedford-Taylor [3] năm 1982 và khái niệm nghiệm nhớt đối với phương trình Monge-Ampère thực lần đầu tiên được định nghĩa bởi P.L. Lions năm 1990.

Cho M = M (n) là một đa tạp (liên thông) phức n chiều và v là một độ đo nửa xác định dương. Ký hiệu B là hình cầu đơn vị của Dn hoặc ảnh của B biểu diễn dưới một hệ trục tọa độ trong M .

(ddcϕ)n = v,

(DM A)v

Định nghĩa 1.3.1. Hàm nửa liên tục trên ϕ : M → R ∪ {−∞} được gọi là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère

nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

≥ vx0.

(ddcq)n x0

(1) ϕ|M (cid:54)≡ −∞. (2) Với mọi x0 ∈ M và với mọi hàm q khả vi lớp C 2 được xác định trong một lân cận của điểm x0 sao cho hàm ϕ − q đạt giá trị cực đại địa phương tại điểm x0 thì ta có

(ddcϕ)n ≥ v

Khi đó, ta nói rằng hàm ϕ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

theo nghĩa nghiệm nhớt trên M .

Nhận xét 1.3.2. Nếu v ≥ v(cid:48) thì (ddcϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt thì suy ra (ddcϕ)n ≥ v(cid:48). Đặc biệt, điều này cũng đúng nếu v(cid:48) = 0.

Mặt khác, lớp các nghiệm dưới là ổn định với việc lấy qua supremum. Cụ

thể, chúng ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.3.3. Nếu các hàm ϕ1, ϕ2 là các nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức

(ddcϕ)n = v

(1.2)

7

thì sup(ϕ1, ϕ2) cũng là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức (1.2).

Chứng minh. Từ (2) của Định nghĩa (1.3.1) và Nhận xét (1.3.2) suy ra trự tiếp kết quả của mệnh đề.

Kết quả sau đây về tính chéo hóa của một ma trận Hermit.

Mệnh đề 1.3.4. [Bổ đề 1.4, [7]] Cho Q là một ma trận Hermit sao cho mọi ma trân Hermit nửa xác định dương H ta có det (Q + H) ≥ 0. Khi đó, Q là một ma trận nửa xác định dương.

Tiếp theo, nếu hàm ϕ thỏa mãn (ddcϕ)n (cid:62) 0 theo nghĩa nghiệm nhớt nếu

và chỉ nếu ϕ là hàm đa điều hòa dưới.

Mệnh đề 1.3.5. Nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức (ddcϕ)n = 0 là các hàm đa điều hòa dưới trên M .

Chứng minh. Để chứng minh khẳng định của Mệnh đề 1.3.5 có tính chất địa phương nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử M = B. Cho ϕ là một nghiệm dưới của phương trình (ddcϕ)n = 0. Gọi x0 ∈ B sao cho ϕ(x0) (cid:54)= −∞. Gọi q ∈ C 2(B) sao cho ϕ − q đạt giá trị cực đại địa phương tại x0. Khi đó, ta có ma trận Q = ddcqx0 thỏa mãn det(Q) ≥ 0. Với mọi ma trận Hermite nửa xác định dương H, ta có det(Q + H) ≥ 0. Đặt qH := q + H(x − x0). Suy ra hàm ϕ − qH đạt giá trị cực đại địa phương tại điểm x0.

≥ 0,

wiw−j ∂2ϕ ∂zi∂ ¯zj

Theo Mệnh đề 1.3.4, ta có ma trận Hermite Q = ddcqx0 nửa xác định dương. Từ đó suy ra, với mọi ma trận Hermite xác định dương hi¯j, ta có ∆Hq(x0) := hi¯j ∂2q (x0) ≥ 0. Do đó, hàm ϕ là một nghiệm dưới nhớt của ∂zi∂¯zj phương trình Laplace ∆Hϕ = 0. Trong một hệ tọa độ phức thích hợp, toán tử vi phân hệ số không đổi này chính là các toán tử Laplace. Do đó, theo Mệnh đề 3.2.10, trang 147 của Hormander [10] áp dụng cho các hàm ϕ là ∆H− điều hòa, do đó hàm ϕ nằm trong lớp các hàm L1 loc(B) và thỏa mãn ∆Hϕ≥0 theo nghĩa phân bố. Giả sử (wi) là một véc tơ bất kỳ trong Cn. Xét một ma trận Hermite xác định dương (hij) suy biến thành một ma trận (wiw−j) có hạng 1. Theo tính liên tục của hàm ϕ ta có

8

theo nghĩa phân bố. Do đó, ta có ϕ là đa điều hòa dưới.

Ngược lại, giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới. Cố định x0 ∈ B, q ∈ C 2(B)) sao cho ϕ − q đạt cực đại địa phương tại điểm x0. Khi đó, với mỗi hình cầu đủ nhỏ B(cid:48) ⊂ B có tâm tại điểm x0 ta có

(ϕ − q)dV,

ϕ(x0) − q(x0) ≥

1 V (B(cid:48))

B(cid:48)

(cid:90)

vì vậy ta có

qdV − q(x0) ≥

ϕdV − ϕ(x0) ≥ 0.

1 V (B(cid:48))

1 V (B(cid:48))

B(cid:48)

B(cid:48)

(cid:90) (cid:90)

Cho bán kính của B(cid:48) tiến tới 0, suy ra vì q là hàm thuộc lớp C 2 nên ∆qx0 ≥ 0. Sử dụng phép thay đổi tuyến tính hệ tọa độ phức suy ra ∆Hq(x0) ≥ 0, với mọi ma trận Hermite xác định dương. Vì vậy ddcqx0 ≥ 0 và (ddcϕ)n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt.

Tiếp theo, nếu ϕ là một hàm đa điều hòa dưới và bị chặn địa phương thì đo đo Monge - Ampère (ddcϕ)n BT hoàn toàn được định nghĩa theo [3] thì BT là giới hạn duy nhất của dãy các độ đo nhẵn (ddcϕj)n, trong đó (ddcϕ)n ϕj là dãy các hàm đa điều hòa dưới nhẵn hội tụ giảm đến hàm ϕ). Kết quả sau đây chỉ rõ mối liên hệ cơ bản giữa khái niệm đa thế vị và khái niệm nghiệm nhớt nó

BT ≥ v theo nghĩa đa thế vị.

Mệnh đề 1.3.6. Cho ϕ là hàm nửa liên tục trên bị chặn địa phương trên M . Khi đó, hàm ϕ thỏa mãn (ddcϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt nếu và chỉ nếu nó là đa điều hòa dưới và độ đo Monge-Ampère của nó thỏa mãn (ddcϕ)n

Chứng minh. Trước khi chứng minh, chúng ta nhớ lại kết quả cổ điển sau đây về nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức đối với các hàm đa điều hòa dưới bị chặn (Xem [3])

BT ≤ (ddcw)n

BT thì u ≥ w trên B. Tiếp theo, giả sử ϕ ∈ P SH ∩ L∞(B) thỏa mãn (ddcϕ)n

BT ≥ v. Xét q là một hàm khả vi lớp C 2 sao cho hàm ϕ − q đạt cực đại địa phương tại điểm x0 và ϕ(x0) = q(x0). Vì hàm ϕ thỏa mãn (ddcϕ)n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm ≥ 0 và ddcqx0 ≥ 0. Mặt khác, nhớt nên theo Mệnh đề 1.3.4, ta có (ddcq)n x0

9

Bổ đề 1.3.7. Cho u, w ∈ P SH ∩ L∞(B). Khi đó, ta có nếu u ≥ w trong lân cận của ∂B và (ddcu)n

< vx0. Đặt

qε := q + ε (cid:107)x − x0(cid:107)2 .

giả sử (ddcq)n x0

≥ ϕ,

¯qε := qε − ε

r2 2 BT ≤ (ddcϕ)n

Chọn ε > 0 đủ nhỏ, ta có bất đẳng thức sau: 0 < (ddcqε )n < vx0. Vì v hàm x0 liên tục nên ta có thể chọn một hình cầu nhỏ B(cid:48) chứa x0 bán kính r > 0 sao cho

trong lân cận của ∂B(cid:48) và (ddc ¯qε)n BT . Áp dụng Nguyên lý so sánh (Mệnh đề 1.3.7) suy ra ta có ¯qε ≥ ϕ trên B(cid:48). Nhưng bất đẳng thức này không đúng tại điểm x0. Do đó, ta có (ddcq)n ≥ vx0 và ϕ nghiệm dưới x0 nhớt.

Ngược lại, giả sử ϕ là nghiệm dưới nhớt. Cố định x0 ∈ B sao cho ϕ(x0) (cid:54)= −∞ và q ∈ C 2 thỏa mãn hàm ϕ − q đạt cực đại địa phương tại x0. Khi đó, ta có ma trận Hermit Q := ddcqx0 thỏa mãn cố định thức det(Q) ≥ vx0.

Tiếp theo, áp dụng bổ để dưới đây của B. Gaveau khi xem xét phương

trình Monge-Ampère phức là phương trình Bellmann sau đây

det(Q)1/n = inf (cid:8)tr(HQ) | H ∈ H +

n và det(H) = n−n(cid:9) ,

Bổ đề 1.3.8. [8] Cho Q là ma trận Hermit xác định không âm cấp n × n. Khi đó, ta có

n tập hợp ma trận Hermite xác định dương cấp n × n

trong dó H +

n−n và

≥ v1/n(x0),

∆Hq(x0) := (hi¯j)

∂2q ∂zi∂ ¯zj

Áp dụng Mệnh đề 1.3.8 cho các ma trận xác định dương (hi¯j) với det(h) =

10

tức là ta có hàm ϕ là nghiệm dưới nhớt của phương trình tuyến tính ∆Hϕ ≥ v1/n. Phương trình này là một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng. Giả sử v1/n là hàm khả vi lớp C α với α > 0 và chọn một hàm khả vi lớp C 2 là nghiệm của của phương trình ∆Hϕ = v1/n trong lân cận của điểm x0. Khi đó, ta có hàm u = ϕ − f thỏa mãn ∆Hu ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt. Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 3.2.10, trang 147 trong [10] suy ra hàm u là hàm ∆H - đa điều hòa dưới, vì vậy ta có ∆Hϕ ≥ v1/n theo nghĩa của độ đo Radon dương.

∆Hϕε ≥ (v1/n)n. Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 1.3.8 suy ra

(ddcϕε)n ≥ ((v1/n)ε)n

Sử dụng tích chập chính quy hóa của hàm ϕ, đặt ϕε = ϕ ∗ ρε thì dễ thấy

BT nên suy ra (ddcϕ)n

BT ≥ v.

Ta có dãy hàm ˜ϕk := ϕ1/k là một dãy giảm các hàm nhẵn hội tụ đến hàm ϕ. Vì tính liên tục của (ddcϕ)n

Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp khi v > 0 và v là các hàm liên tục

v = sup {w | w ∈ C ∞, v ≥ w > 0} .

Holder. Trong trường hợp v > 0 liên tục, quan sát thấy hàm

(ddcϕ)n

BT ≥ v.

Ta có, vì mọi nghiệm dưới của phương trình (ddcϕ)n = v đều là nghiệm dưới của phương trình (ddcϕ)n = w nên v ≥ w. Do đó, suy ra

ψε(z) = ϕ(z) + ε (cid:107)z(cid:107)2

Trong trường hợp tổng quát, chúng ta thấy hàm

(ddcψε)n

BT ≥ v.

thỏa mãn (ddcψε)n ≥ v + εnλ theo nghĩa nghiệm nhớt với λ là dạng thế tích Euclid. Do đó, ta có

BT ≥ v. Vậy Mệnh đề 1.3.6 được chứng minh.

Vậy (ddcϕ)n

Tiếp theo, giả sử rằng ϕ là hàm bị chặn. Mối liên hệ nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức với nghiệm dưới đa thế vị là kết quả sau đây

Định lý 1.3.9. Giả sử v = (ddcρ)n BT đối với một hàm đa điều hòa dưới ρ bị chặn. Cho ϕ là một hàm nủa liên tục trên sao cho ϕ (cid:54)≡ −∞ trên mọi thành phần liên thông. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:

(ddc sup [ϕ, ρ − c])n

BT ≥ v.

i) Hàm ϕ thỏa mãn (ddcϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt; ii) Hàm ϕ là hàm điều hòa dưới và với mọi c > 0, ta có

11

Chứng minh. Trước tiên, giả sử hàm ϕ là một nghiệm dưới nhớt của phương trình (ddcρ)n = v. Vì hàm ρ − c cũng là một nghiệm dưới của phương trình

đó nên theo Mệnh đề 1.3.3 suy ra hàm sup(ϕ, ρ − c) cũng là một nghiệm dưới. Do đó, theo Mệnh đề 1.3.6 suy ra

BT ≥ v.

(cid:0)ddc sup(ϕ, ρ − c)(cid:1)n

Ngược lại, cố định điểm x0 ∈ M và giả sử tính chất i) của định lý trên là đúng. Khi đó, ta có nếu hàm ϕ bị chặn địa phương gần điểm x0 thì từ Mệnh đề 1.3.6 suy ra hàm ϕ cũng là một nghiệm dưới nhớt gần điểm x0.

q ≥ ϕc = sup(ϕ, ρ − c)

Giả sử hàm ϕ(x0) (cid:54)= −∞ nhưng ϕ không bị chặn địa phương gần x0. Cố định q ∈ C 2 sao cho q ≥ ϕ gần x0 và q(x0) = ϕ(x0). Khi đó, với c > 0 đủ lớn ta có

q(x0) = ϕc(x0).

và

Do đó, theo Mệnh đề 1.3.6 ta có

≥ vx0.

(ddcq)n x0

(1.3)

Cuối cùng, nếu hàm ϕ(x0) = −∞ không tồn tại hàm q thỏa mãn bất đẳng thức vi phân (1.3) nên tính chất (ii) đúng cho mọi hàm q cho bởi như trên. Vậy Định lý 1.3.9 đã cho được chứng minh.

BT , với một hàm đa điều hòa dưới bị chặt ρ nào đó.

Chú ý rằng theo S. Kolodziej năm 1998 trong [11] đã chứng minh được các tính chất phát biểu trong Định lý 1.3.9 là các tính chất mang tính địa phương và độ đo nửa xác định dương v có thể được viết một cách địa phương dưới dạng v = (ddcρ)n

Chúng ta nhận thấy, toán tử Monge-Ampère phức có thể không được định nghĩa trên toàn bộ không gian các hàm đa điều hòa dưới. Tuy nhiên, toán tử này lại được định nghĩa trên lớp các hàm đa điều hòa dưới mà toán tử Monge-Ampère phức là giới hạn liên tục bởi một dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới bị chặn và do đó nguyên lý so sánh vẫn đúng. Ta gọi tập các hàm đa điều hòa dưới như vậy là miền xác định của toán tử Monge-Ampère phức.

12

Định nghĩa 1.3.10. (Miều siêu lồi) Giả sử Ω là miền bị chặn trong CN . Ta nói rằng Ω là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm liên tục đa điều hòa dưới âm ρ : Ω → (−∞, 0) sao cho tập {z ∈ Ω : ρ (z) < c} là compact tương đối của Ω, với mỗi c < 0. Hàm ρ được gọi là hàm định nghĩa của miền Ω.

Định nghĩa 1.3.11. (Lớp năng lượng Cegrell) Cho Ω là một siêu lồi bị chặn trong Cn. Lớp năng lượng Cegrell F(Ω) được xác định bởi: Một hàm u ∈ F(Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy các hàm uj ∈ E 0(Ω) sao cho uj hội tụ giảm tới hàm u, khi j → ∞ và supj (cid:82) Ω

u(z) = 0,

E 0(Ω) := {u ∈ PSH(Ω) ∩ (cid:32)L∞(Ω) :

lim z→∂Ω

Ω

(cid:0)ddcuj (cid:1)n < +∞, trong đó (cid:90) (cid:1)n < +∞}. (cid:0)ddcuj

Tiếp theo, ta có hệ quả sau

BT ≥ v.

Hệ quả 1.3.12. Cho Ω ⊂ Cn là một miền siêu lồi. Khi đó, ta có hàm ϕ ∈ F(Ω) - lớp năng lượng Cegrell, thỏa mãn (ddcϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt nếu và chỉ nếu độ đo Monge - Ampère phức của nó (ddcϕ)n BT thỏa mãn (ddcϕ)n

1.4 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức

suy biến dạng (ddcϕ)n = eεϕv

Chứng minh. Trên lớp Cegrell F(Ω) khi n = 2, một hàm đa điều hòa dưới ϕ thuộc ε(Ω) khi và chỉ khi (cid:53)ϕ ∈ L2 loc. Khi đó, ta có nếu ϕ là một hàm đa điều hòa dưới thuộc vào miền xác định của toán tử Monge-Ampère phức, tính chất (ii) của Định lý 1.3.9 tương đương với (ddcϕ)n BT ≥ v theo nghĩa đa thế vị. Theo Định lý 1.3.9 suy ra điều phải chứng minh.

Cho M = M (n) là một đa tạp (liên thông) phức n-chiều và v là một độ đo nửa xác định dương. Trước hết, chúng ta có định nghĩa nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức suy biến như sau

(ddcϕ)n = eεϕv,

Định nghĩa 1.4.1. Cho ε > 0 là một số thực dương. Khi đó, ta nói rằng một hàm nửa liên tục trên ϕ là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge- Ampère phức suy biến dạng

(ddcq(x0))n ≥ eεq(x0)v(x0).

13

nếu hàm ϕ không dồng nhất bằng −∞ và với mọi điểm x0 ∈ M , với mọi hàm q ∈ C 2(M ) trong lân cận của điểm x0 thỏa mãn q − ϕ đạt giá trị cực đại địa phương tại điểm x0 và ϕ(x0) = q(x0) thì ta có

(ddcϕ)n

BT ≥ eϕf βn,

Bổ đề 1.4.2. ([7, Mệnh đề 1.12]) Cho u là một hàm điều hòa dưới bị chặn trong miền Ω ⊂ Cn và v = f βn một dạng thể tích liên tục với hàm trù mật liên tục f ≥ 0. Giả sử hàm ϕ thỏa mãn

(ddcϕδ)n

BT ≥ eϕδfδβn,

theo nghĩa đa thế vị trong miền Ω. Khi đó, ta có với δ > 0 đủ nhỏ, hàm chính quy hóa ϕδ := ϕ (cid:63) χδ thỏa mãn

fδ(x) := inf{|f (y)| ; |y − x| ≤ δ,

với

trong miền Ωδ. Mệnh đề 1.4.3. Cho ϕ : M → R là một hàm nửa liên tục trên, bị chặn. Khi đó, ta có (ddcϕ)n ≥ eεϕv theo nghĩa nghiệm nhớt khi và chỉ khi ϕ là đa điều hòa dưới và (ddcϕ)n ≥ eεϕv theo nghĩa đa thế vị.

Chứng minh. Nếu ϕ là một hàm liên tục sao cho eεϕv và áp dụng Mệnh đề 1.3.6 ta có ngay điều phải chứng minh. Vì vậy, để chứng minh Mệnh đề 1.4.3, ta chỉ cần xét trường hợp hàm ϕ là không liên tục. Và bài toán trở nên phức tạp hơn.

Thật vậy, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng ε = 1 và M = Ω là một miền trong Cn. Giả sử hàm ϕ là một nghiệm dưới nhớt. Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.3 thì ϕ là một hàm đa điều hòa dưới. Đặt v := f βn, trong đó f > 0 là một hàm trù mật liên tục của dạng thể tích Euclid trên Cn. Chúng ta có thể xấp xỉ hàm ϕ bởi hàm:

,

ϕ(y) −

x ∈ Ωδ,

1 2δ2 |x − y|2

ϕδ(x) := sup y

(cid:27) (cid:26)

Ωδ := {x ∈ Ω; dist(x, ∂Ω) > Aδ}

với δ > 0 đủ nhỏ và trong đó

và A > 0 là một hằng số đủ lớn sao cho A2 > 2oscΩϕ.

(ddcϕδ)n ≥ eϕδ

fδβn, fδ(x) = inf {f (y)/ |y − x| ≤ Aδ} ,

14

Họ các hàm bán lồi ϕδ hội tụ giảm đến hàm ϕ vì δ hội tụ giảm đến 0. Hơn nữa, vì các hàm ϕδ thỏa mãn bất đẳng thức sau trong nghĩa nghiệm nhớt trên miền Ωδ

(ddcϕδ)n ≥ eϕδ

fδβn ≥ eϕfδβn,

nên theo Mệnh đề 1.1.3, ta có hàm ϕδ cũng là một hàm đa điều hòa dưới. Vì ϕδ là liên tục nên áp dụng Mệnh đề 1.3.6 suy ra

theo nghĩa đa thế vị. Vì toán tử Monge-Ampère phức là liên tục dọc theo các dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới bị chặn và vì fδ hội tụ tăng đến hàm f nên ta có (ddcϕ)n ≥ eϕv theo nghĩa đa thế vị.

Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp khác hơn. Đặt ϕ là một hàm đa điều

hòa dưới thỏa mãn bất đẳng thức

(ddc)n ≥ eϕv,

(1.4)

theo nghĩa đa thế vị trên Ω. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng hàm ϕ thỏa mãn

bất đẳng thức vi phân (1.7) trên theo nghĩa nghiệm nhớt trên Ω.

Thật vậy, nếu ϕ là hàm liên tục, ta có ngay kết quả bằng cách áp dụng Mệnh đề 1.3.6. Do đó, chúng ta chỉ xét trường hợp với ϕ không nhất thiết phải là hàm liên tục. Gọi f là hàm xấp xỉ chính quy hóa bởi tích chập ϕδ := ϕ (cid:63) χδ trên miền Ωδ. Khi đó, theo Bổ đề 1.4.2 suy ra các bất đẳng thức theo điểm trong miền Ωδ

(ddcϕδ)n ≥ eϕδfδβn, với fδ(x) := inf {f (y); |y − x| ≤ δ}

(1.5)

(ddcq(x0))n ≥ eϕ(x0)f (x0)βn.

Cho x0 ∈ Ω, q là một dạng toàn phương đa thức sao cho ϕ(x0) = q(x0) và ϕ ≤ q trong một lân cận của điểm (x0), gọi là hình cầu 2B, trong đó B := B(x0, r) (cid:98) Ω. Vì ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên miền Ω nên theo Mệnh đề 1.3.6 hàm ϕ thỏa mãn (ddcϕ)n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt trên Ω. Do đó, theo Bổ đề 1.3.4 suy ra ddcq(x0) ≥ 0. Thay thế hàm q bởi hàm q(x) + ε |x − x0|2 và lấy r > 0 đủ nhỏ. Chúng ta có thể giả sử rằng q là một hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu 2B. Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng

qε(x) := q(x) + 2ε(|x − x0|2 − r2) + εr2

Thật vậy, với mỗi ε > 0 và đặt

Quan sát rằng vì ϕ ≤ q trên hình cầu 2B, ta có

15

- Nếu x ∈ ∂B, ϕδ(x) − qε(x) = ϕδ(x) − q(x) − εr2.

- Nếu x = x0, ϕδ(x0) − qε(x0) = ϕδ(x0) − q(x0) + εr2. Vì ϕδ(x0) − q(x0) → ϕ(x0) − q(x0) = 0 khi δ → 0, nên với δ đủ nhỏ ta có hàm ϕδ(x) − qε(x) đạt giá trị cực đại trên hình cầu đóng ¯B tại các điểm bên trong xδ ∈ B và giá trị cực đại này thỏa mãn bất đẳng thức

(ϕδ(xδ) − qε(xδ)) ≥ εr2.

lim δ→0

(ϕδ − qε) = lim δ→0

max ¯B

(1.6)

ϕδ(xδ) − qε(xδ) = =

ϕδ(xδ) − q(xδ) − 2ε(|xδ − x0|2 − r2) − εr2 o(1) − 2ε |xδ − x0|2 + εr2.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng xδ → x0. Thật vậy, ta có

max ¯B(ϕδ − qε) hội tụ đến hàm −2ε |x(cid:48) (1.9), giới hạn này là ≥ εr2. Vì vậy, ta có −2ε |x(cid:48) Suy ra điều phải chứng minh.

Nếu x(cid:48) là một điểm giới hạn của dãy các điểm (xδ) trong ¯B, khi đó hàm 0 − x0|2 + εr2. Theo bất đẳng thức 0 − x0|2 ≥ 0, do đó x(cid:48) 0 = x0.

ddcϕδ(xδ) ≤ ddcqε(xδ),

Từ các tính chất trên, chúng ta có thể kết luận rằng

(ddcqε(xδ))n ≥ eϕδ(xδ)fδβn = eϕδ(xδ)−qε(xδ)eqε(xδ)fδ(xδ)βn

do đó theo bất đẳng thức (1.8) với δ > 0 đủ nhỏ ta có

(ϕ − q) = 0

(ϕδ − q) = max

¯B

max ¯B

lim sup δ→0

Vì ϕδ − qε = (ϕδ − q) + (q − qε) theo Bổ đề Dini ta có

(q − qε)

limδ→0(ϕδ(xδ) − qε(xδ)) ≥ limδ→0 min ¯B

= min

(−2ε |x − x0|2 + εr2)

¯B = −εr2.

Do đó

(ddcqε(x0))n ≥ eq(x0)−2εr2

f (x0)βn

Vì dãy {qε} hội tụ trong C 2- chuẩn đến hàm q nên suy ra

(ddcq(x0))n ≥ eϕ(x0)f (x0)βn,

Bằng cách lập luận tương tự, khi ε → 0 suy ra bất đẳng thức như đã yêu cầu

16

vì q(x0) = ϕ(x0). Vậy Mệnh đề 1.4.3 hoàn toàn được chứng minh.

1.5 Nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của các phương

trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic

(w + ddcϕ)n = eεϕv.

(DM Aε v)

v) được gọi là phương trình Monge

Cho X là một đa tạp phức liên thông n-chiều, cho ω là (1,1) - dạng vi phân thực đóng trên X và v là một dạng thể tích không âm trên X. Cho ε ∈ R+. Cho ϕ là một hàm ω - đa diều hòa dưới xác định trên các tập con compact của X. Xét phương trình Monge - Ampère phức

Định nghĩa 1.5.1. Phương trình (DM Aε - Ampère phức suy biến kiểu elliptic .

(DM Aε

v) được viết lại dưới dạng:

eεϕv − (w + ddcϕ)n = 0.

(DM Aε v)

Trong luận văn, phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic

(DM Aε

eεϕv − (w + ddcϕ)n

v)+

+ = 0.

Tiếp theo, cho x ∈ X. Nếu κ ∈ ∧1,1TxX là một (1,1) - dạng vi phân trên X, ta định nghĩa κ+ bằng κn nếu κ ≥ 0 và 0 trong trường hợp còn lại. Khi đó, để nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình (DM Aε v), chúng ta biến đối nhỏ của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic. Cụ thể, chúng ta sẽ nghiên cứu phương trình sau

ddcϕ ≥ −w,

Ký hiệu P SH(X, w) là tập hợp tất cả các hàm w-đa điều hòa dưới trên X (sau đây gọi tắt là w -đa điều hòa dưới). Khi đó, tồn tại các hàm nửa liên tục trên khả tích ϕ : X → R ∪ {−∞} sao cho

theo nghĩa dòng.

v)+

Cho ε > 0 và v > 0. Năm 1992, khi nghiên cứu về nghiệm nhớt của các phương trình đạo hàm riêng cấp 2, M. Crandall, H. Ishii và P.L. Lions trong [5] đã chứng minh được kết quả sau đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε

17

Bổ đề 1.5.2. [5] Cho Ω ⊂ là một tập con mở và z : Ω → Cn là một hệ tọa độ chỉnh hình. Gọi h là một thế vị địa phương nhẵn của w xác định trên Ω.

v được rút gọn trong tọa độ chỉnh hình thành

(DM Aε

eεuW − det(uz ¯z) = 0,

v\z)

Khi đó, phương trình DM Aε phương trình vô hướng

trong đó u = (ϕ + h) |Ω ◦z−1, z∗v = eεh|Ω◦z−1W dλ và λ là độ đo Lebesgue trên z(Ω).

v)+ được rút gọn thành phương trình vô

Mặt khác, phương trình (DM Aε

(DM Aε

eεuW − det(uz ¯z)+ = 0.

v\z)+

hướng

v)+ và (DM Aε

Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε Từ Bổ đề 1.5.2, trong [5] đã định nghĩa nghiệm dưới của phương trình v) như sau

là khai triển Taylor bậc hai tại điểm x ∈ X

F+(ϕ(2)

+ ) = F ε

+,v(ϕx) = eεϕ(x)vx − (wx + ddcϕx)n +.

Định nghĩa 1.5.3. Cho ϕ(2) x của một hàm giá trị thực ϕ khả vi lớp C 2. Đặt

ϕ − q

Một nghiệm dưới của phương trình (DM Aε v)+ là một hàm nửa liên tục ϕ : X → R ∪ {−∞} sao cho ϕ (cid:54)≡ −∞ và các tính chất sau đươc thỏa mãn: Nếu x0 ∈ X và q ∈ C 2 được xác định trong lân cận của điểm x0 sao cho ϕ(x0) = q(x0) và

đạt cực đại địa phương tại điểm x0,

x0 ) ≤ 0.

thì F+(q(2)

Tuy nhiên, trong định nghĩa trên với ε = 0 và v = 0 thì khái niệm nghiệm dưới không được xác định vì mọi hàm nửa liên tục trên đều là nghiệm dưới nhớt của phương trình (ddcϕ)n + = 0. Do đó, trong đề tài luận văn ta chỉ xét trường hợp v > 0. Tiếp theo, tương tự chúng ta có định nghĩa sau về nghiệm dưới của phương trình (DM Aε v)

là khai triển Taylor bậc hai tại điểm x ∈ X

eεϕ(x)ux − (wx + ddcϕx)n

F (ϕ(2)

x ) = F ε

v (ϕx) =

+∞

Định nghĩa 1.5.4. Cho ϕ(2) x của một hàm giá trị thực ϕ khả vi lớp C 2 . Đặt   nếu w + ddcϕx ≥ 0.

18

trường hợp còn lại. 

ϕ − q

Một nghiệm dưới của phương trình (DM Aε v) là một hàm nửa liên tục trên ϕ : X → R ∪ {−∞} sao cho ϕ (cid:54)≡ −∞ và các tính chất sau được thỏa mãn: nếu x0 ∈ X và q ∈ C 2, được xác định trong lân cận của điểm x0 sao cho ϕδ(x0) = q(x0) và

đạt cực đại địa phương tại điểm x0,

x0 ) ≤ 0.

thì F (q(2)

v) và (DM Aε

phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε Để so sánh giữa các nghiệm dưới của các phương trình Monge - Ampère v)+, chúng ta có kết quả sau

v)+, nó là các hàm w-đa điều hòa dưới.

Mệnh đề 1.5.5. [6, Bổ đề 2.5] Mọi nghiệm dưới ϕ của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε v) đều là nghiệm dưới của phương trình (DM Aε

Một hàm nửa liên tục trên, bị chặn địa phương là w-đa điều hòa dưới và BT ≥ eεϕv nếu và chỉ nếu nó là nghiệm dưới nhớt của

v). v)+ là các nghiệm

thỏa mãn (w + ddcϕ)n phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε

dưới của phương trình (DM Aε Nếu v > 0 thi các nghiệm dưới của phương trình (DM Aε v).

v) là một nghiệm trên của phương trình (DM Aε

Chứng minh. Chọn một thế vị địa phương ρ sao cho ddcρ = w và đặt ϕ(cid:48) = ϕ + ρ, v(cid:48) = eερv. Khi đó, các khẳng định trong mệnh đề là hệ quả trực tiếp của các Định nghĩa 1.5.3, Định nghĩa 1.5.4, Định lý 1.3.9 và Mệnh đề 1.4.3. Điều phải chứng minh.

x0 ) ≥ 0.

Định nghĩa 1.5.6. Nghiệm trên của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε v)+, tức là một hàm liên tục dưới ϕ : X → R ∪ {+∞} sao cho ϕ (cid:54)≡ +∞ và tính chất sau được thỏa mãn: Nếu x0 ∈ X và q ∈ C 2 là một hàm được định nghĩa trong một lân cận của điểm x0 sao cho ϕ(x0) = q(x0) và ϕ − q có cực tiểu địa phương tại x0 thì ta có F+(q(2)

Định nghĩa 1.5.7. Một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε v) nếu nó vừa là nghiệm trên và nghiệm dưới.

v) là một hàm nửa liên

Một nghiệm đa thế vị của phương trình (DM Aε

(ω + ddcϕ)n

BT = eεϕv.

19

tục trên ϕ ∈ L∞ ∩ P SH(X, ω) sao cho

Nhận xét 1.5.8. Từ Định nghĩa 1.5.7, ta có các nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic đều liên tục. Các nghiệm trên và nghiệm dưới cổ điển của phương trình (DM Aε v) là các nghiệm nhớt trên và nghiệm nhớt dưới khả vi lớp C 2.

Tiếp theo, chúng ta có khái niệm về nguyên lý so sánh địa phương đối với nghiệm dưới nhớt của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic

v) trong Ω thỏa mãn.

[u(z) − u(z)] ≤ 0.

lim sup z→∂Ω

Định nghĩa 1.5.9. 1) Định nghĩa nguyên lý so sánh địa phương đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε v) nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: Cho Ω ⊂ X là tập con mở sao cho ¯Ω là song chỉnh hình với một miền giả lồi mạnh, nhẵn, bị chặn trong Cn; Cho u (tương ứng u) là một nghiệm dưới bị chặn (tương ứng nghiệm trên bị chặn) của phương trình (DM Aε

Khi đó, ta có u ≤ u.

v) trong X. Khi đó, ta có u ≤ u.

2) Định nghĩa nguyên lý so sánh toàn cục đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε v) nếu X là compact và các điều kiện sau đây được thỏa mãn: Cho u (tương ứng u) là một nghiệm dưới bị chặn (tương ứng nghiệm trên bị chặn) của phương trình (DM Aε

v)+.

Nhận xét 1.5.10. Định nghĩa nguyên lý so sánh (toàn cục) đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu ellip- tic tương tự với (DM Aε v)+ hoàn toàn tương tự như đối với phương trình (DM Aε v) trong Định nghĩa 1.5.9. Vì phương trình (DM Aε v)+ có vô số các nghiệm dưới nên từ nguyên lý so sánh đối với phương trình (DM Aε v)+ suy ra nguyên lý so sánh đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε v). Mặt khác, bởi vì mọi hàm nửa liên tục trên đều là nghiệm dưới nên nguyên lý so sánh địa phương đối với nghiệm dưới không áp dụng được đối với các phương trình (DM Aε

20

Định nghĩa 1.5.11. Một hàm có giá trị thực u định nghĩa trong một tập mở Ω ⊂ Cn là khả vi hai tại điểm z0 ∈ Ω lần hầu khắp nơi khi và chỉ khi

với mọi điểm z0 ∈ Ω bên ngoài một tập Borel có độ đo Lebesgue 0 trong Ω, tồn tại một dạng toàn phương Qz0u trên R2n mà có dạng cực song tuyến đối xứng, ký hiệu là D2u(z0), thỏa mãn với mọi ξ ∈ R2n với |ξ| << 1, ta có

u(z0 + ξ) = u(z0) + Du(z0) · ξ + (1/2)D2u(z0) · (ξ, ξ) + ◦(|ξ|2)

(1.7)

v) nếu ε > 0 và v > 0.

Mệnh đề 1.5.12. Nguyên lý so sánh địa phương đối với nghiệm dưới nhớt chỉ được áp dụng đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử ε = 1. Gọi u là một nghiệm dưới bị chặn và u là một nghiệm trên bị chặn của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε v) trong một tập mở, giả lồi mạnh, trơn và bị chặn Ω, sao cho u ≤ u trên biên ∂Ω. Trước hết, thay thế u, u bởi u, u,bởi u − δ, u + δ tương ứng, ta có thể giả sử rằng u ≤ u trong một lân cận nhỏ cuả biên ∂Ω.

Như trong chứng minh của Mệnh đề 1.4.3, chúng ta sử dụng các tích chập cận trên đúng của u và tích chập cận dưới đúng của u. Vì các hàm u, u là bị chặn, sai khác bởi một hằng số nhỏ nên chúng ta có thể giả sử rằng với α > 0 đủ nhỏ và x ∈ Ωα, ta có

= sup

u(y) −

u(y) −

1 2α2 |y − x|2

1 2α2 |y − x|2

uα(x) := sup y∈Ω

|y−x≤α|

(cid:27) (cid:27) (cid:26) (cid:26)

và

= inf

u(y) +

u(y) +

|y−x|≤α

uα(x) := inf y∈Ωα

1 2α2 |y − x|2

1 2α2 |y − x|2

(cid:27) (cid:27) (cid:26) (cid:26)

[uα − uα]. Suy ra

Ωα. Đặt Mα := supΩα

[u − u] .

lim inf α→0+

Mα ≥ sup Ω

Do đó, với α > 0 đủ nhỏ, ta có uα(x) ≤ uα(x) trong lân cận của biên

Bằng chứng minh phản chứng, giả sử rằng supΩ [u − u] > 0. khi đó, với α > 0 đủ nhỏ, cận trên đúng Mα là dương và do đó nó đạt được tại một điểm xα ∈ Ωα.

21

Tiếp theo, hàm uα là nửa lồi và uα là nửa lõm. Đặc biệt, theo Định lý Alexandrov [1], ta có uα và uα là các hàm khả vi hai lần hầu khắp nơi trên Ωα.

Trước tiên, uα và uα là các hàm khả vi hai lần tại điểm xα. Khi đó, theo

D2uα(xα) ≤ D2uα(xα),

nguyên lý cực đại cố điểm ta có

0 ≤ ddcuα(xα) ≤ ddcuα(xα),

theo nghĩa của các dạng toàn phương trên R2. Áp dụng các bất đẳng thức này cho các véc tơ có dạng (Z, Z) và (iZ, iZ), chúng ta nhận được các bất đẳng thức tương tự đối với dạng Levi trên Cn, tức là ta có bất đẳng thức

(ddcuα)n(xα) ≤ (ddcuα)n(xα).

trong đó bất đẳng thức đầu tiên có được là do hàm uα là đa điều hòa đưới trên Ωα (vì hàm u đa điều hòa đưới trên Ωα). Từ bất đẳng thức này giữa các dạng Hermit không âm trên Cn, suy ra rằng bất đẳng thức tương tự giữa các định thức của chúng tức là chúng ta có các bất đẳng thức sau

(ddcuα)n(xα) ≤ euα(xα)f α(xα)βn,

Vì

(ddcuα)n(xα) ≥ euα(xα)fα(xα)βn,

trong đó fα tăng từng khúc tới hàm f , với v = f βn, và

trong đó f α giảm từng khúc tới hàm f . Do đó, với α đủ nhỏ

euα(xα)fα(xα) ≤ euα(xα)f α(xα).

(1.8)

log

.

[u − u] ≤ limα→0Mα ≤ 0 = lim α→0

sup Ω

f α(x0) fα(xα)

Từ bất đẳng thức này, suy ra

Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng supΩ [u − u] > 0.

uα − uα − (1/2k) |x − xα|2 ,

Khi uα, uα là các hàm không khả vi hai lần tại điểm xα với giá trị a > 0 cố định đủ nhỏ, chúng ta chỉ ra rằng rằng bất đẳng thức (1.8) vẫn còn đúng bằng cách xấp xỉ xα bởi một dãy các điểm mà tại đó các hàm uα, uα khả vi hai lần và đạt giá trị cực đại. Thật vậy, với mỗi k ∈ N∗, hàm nửa lồi

22

đạt giá trị cực đại tại điểm xα. Do đó, theo Bổ đề Jensen ([Jen], tồn tại một dãy (pk)k≥1 của các véc tơ hội tụ đến 0 trong Rn và một dãy các điểm

(yk) hội tụ đến xα trong Ωα sao cho các hàm uα và uα là hai lần khả vi tại điểm yk và, nếu chúng ta đặt

qk(x) = (1/2k) |x − xα|2 + < pk, x >,

D2uα(yk) ≤ D2uα(yk) + (1/k)In,

suy ra các hàm uα − uα − qk đạt giá trị cực đại trên Ωα tại điểm yk. Áp dụng nguyên lý cực đại cổ điển với α cố định tại mỗi điểm yk, ta nhận được

theo nghĩa các dạng toàn phương trên R2n. Vì các hàm uα là đa điều hòa dưới trên Ωα nên chúng ta cũng nhận được các bất đẳng thức tương tự giữa các dạng Levi sau đây

0 ≤ ddcuα(yk) ≤ ddcuα(yk) + (1/k)ddc |x|2 ,

(1.9)

theo nghĩa của dạng hermitian xác định dương trên Cn. Từ bất đẳng thức (1.9) suy ra bất đẳng thức giữa các định thức của chúng

(ddcuα(yk))n ≤ (ddcuα(yk) + (1/k)ddc |x|2)n.

(1.10)

D2uα(yk) ≤ (1/2α2)In,

Mặt khác, vì hàm uα − (1/2α2) |x|2 là lõm trên Ωα nên ta có

theo nghĩa các dạng toàn phương trên R2n. Do đó, ta có

ddcuα(yk) ≤ (1/2α2)ddc (cid:12)

(1.11) (cid:12)x2(cid:12) (cid:12) .

Từ các bất đẳng thức (1.9) và (1.11) và α cố định, ta có

(ddcuα(yk) + (1/k)ddc |x|2)n = (ddcuα(yk))n + O(1/k).

(1.12)

v), suy ra

Theo định nghĩa của các nghiệm dưới và nghiệm trên của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε

(ddcuα(yk))n ≥ euα(yk)fα(yk)βn, (ddcuα(yk))n ≤ euα(yk)f α(yk)βn.

(1.13)

euα(yk)fα(yk) ≤ euα(yk)f α(yk) + O(1/k),

Do đó, từ các bất đẳng thức (1.10), (1.12) và (1.13), với mọi k ≥ 1 ta có

23

mà kéo theo bất đẳng thức (1.8) khi ta cho k → +∞. Lập luận tương tự như trên suy ra điều này là mâu thuẫn. Vậy Mệnh đề 1.5.12 được chứng minh.

Tiếp theo, chúng ta thiết lập điều kiện để tồn tại nguyên lý so sánh nhớt toàn cục đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε v) và chứng minh trực tiếp mà không cần sử dụng các kết quả đã được nghiên cứu bởi T. Aubin và S.T. Yau [2], [12]. Định lý sau là kết quả chính của đề tài luận văn

v).

Định lý 1.5.13. Cho X là một đa tạp phức compact, ω là (1, 1) - dạng, thực, đóng, liên tục với thế vị địa phương lớp C 2, v > 0 là một dạng thể tích dương và cho ε > 0. Khi đó, ta có nguyên lý so sánh nhớt toàn cục đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε

√

−1

Chứng minh. Giả sử ε = 1. Đặt u∗ là một nghiệm trên bị chặn và u∗ là một nghiệm dưới bị chặn của phương trình (DM Aε v)+. Chọn C > 0 sao cho cả hai nghiệm u∗ và u∗ có L∞ - chuẩn thỏa mãn ≤ C/1000. Vì u∗ − u∗ là một hàm nửa liên tục trên đa tạp compact M . Suy ra u∗ − u∗ đạt giá trị cực đại tại một điểm nào đó ˆx1 ∈ M . Chọn hệ tọa độ phức (z1, .....zn) trong lận cận của điểm ˆx1 và đồng nhất song chỉnh hình một lân cận mở của điểm ˆx1 với hình cầu phức B(0, 4) bán kính bằng 4, ánh xạ điểm ˆx1 thành tâm 0 của hình cầu.

Sử dụng phép phân hoạch đơn vị, xây dựng một metric Riemann trên đa tạp phức M đồng nhất với metric Kahler (cid:80) 2 dzk ∧ dzk trên hình cầu k tâm 0 và bán kính bằng 3. Cho điểm (x, y) ∈ M × M , định nghĩa d(x, y) là hàm khoảng cách Riemann. Hàm d2 liên tục thuộc lớp c2 trong lân cận của đường chéo ∆ và dương (> 0) bên ngoài đường chéo ∆ ⊂ M × M .

Tiếp theo, chúng ta xây dựng một hàm không âm ϕ1 nhẵn trên M × M

2n

n (cid:88)

,

ϕ1(x, y) = χ(x, y).

bởi công thức sau

i=1

(cid:12)zi(x) − zi(y)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

ϕ2

trong đó χ là một hàm không âm, nhẵn thỏa mãn 1 ≥ χ ≥ 0, χ ≡ 1 trên hình cầu B(0, 2)2 và χ = 0 trong lân cận của biên ∂B(0, 3)2. Cuối cùng, xét hàm trơn thứ hai trên M × M thỏa mãn

(cid:12) (cid:12)B(0,1)2 < −1, ϕ2 (cid:12) (cid:12)M 2−B(0,2)2 > 3C.

24

Chọn 1 (cid:29) η > 0 sao cho −η là giá trị chung của cả ϕ2 và ϕ2 |∆.

Lấy tích chập của hàm (ξ, ξ(cid:48)) (cid:55)→ max(ξ, ξ(cid:48)) bằng một hàm ρ nủa xác định dương, nhẵn sao cho BR2(0, η) = {ρ > 0} và nhận được một hàm nhẵn maxη trên R2 sao cho:

• maxη(ξ, ξ(cid:48)) = max(ξ, ξ(cid:48))nếu |ξ − ξ(cid:48)| ≥ η. • maxη(ξ, ξ(cid:48)) > max(ξ, ξ(cid:48))nếu |ξ − ξ(cid:48)| < η. Định nghĩa hàm ϕ3 ∈ C ∞(M 2, R) bởi ϕ3 = maxη(ϕ1, ϕ2). Khi đó, ta có • ϕ3 ≥ 0, • ϕ−1(0 = ∆ ∩ {ϕ2 ≤ −η}), • ϕ3 |M 2−B(0,2)2> 3C. Định nghĩa hàm hω ∈ C 2(B(0, 4), R) là một thế vị địa phương nhẵn lên biên đối với ω và được mở rộng thành hàm nhẵn trên toàn bộ M . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử (cid:13) (cid:13) (cid:13)∞ < C/10. Đặc biệt, ddchω = ω và w∗ = u∗ + hω là một nghiệm dưới nhớt của phương trình

(ddcϕ)n = eϕW trong hình cầu B(0, 4),

(cid:13)hω

với W là dương và liên tục. Mặt khác, ta có w∗ = u∗ + hω cũng là một nghiệm trên nhớt của phương trình trên.

αd2(x, y)

w∗(x) − w∗(y) − ϕ3(x, y) −

Mα =

1 2

sup 2 (x,y)∈B(0,4)

=

w∗(xα) − w∗(yα) − ϕ3(xα, yα) −

αd2(xα, yα).

1 2

Cố định α > 0. Xét điểm (xα, yα) ∈ M 2 sao cho

Cận trên đúng sup được xác định bởi tính cực đại của các hàm nửa liên

2C + C/5 ≥ Mα ≥ w∗(ˆx)1 − w∗(ˆx)1 ≥ 0.

tục trên. Vì ∅3(ˆx1, ˆx1) = 0 nên ta có bất đẳng thức

Theo cách dây dựng, ta có điểm (xα, yα) ∈ B(0, 2)2.

αd2(xα, yα) = 0. Với mọi điểm

Để tiếp tục chứng minh định lý, chúng ta cần đến kết quả sau đây

25

Bổ đề 1.5.14. [5, Mệnh đề 3.7] Ta có lim α→∞

w∗(ˆx) − w∗(ˆx) = u∗(ˆx) − u∗(ˆx)

= max

w∗(x) − w∗(x) − ϕ3(x, x)

x∈B(0,4)

u∗(x) − u∗(x) − ϕ3(x, x)

= max x∈M 2

= u∗(ˆx1) − u∗(ˆx1) = w∗(ˆx1) − w∗(ˆx1) w∗(xα) − w∗(yα) ≥ w∗(ˆx1) − w∗(ˆx1).

lim inf α→+∞

1

giới hạn (ˆx, ˆy) của dãy (xα, yα) thỏa mãn ˆx = ˆy, ˆx ∈ ∆ ∩ {ϕ2 − η} và

Tiếp theo, sử dụng [5, Định lý 3.2] với các hàm u1 = w∗, u2 = −w∗, ϕ = 2αd2 + ϕ3. Với α (cid:29) 1, và địa phương hóa hình cầu B(0, 2) sao cho d trở thành một hàm khoảng cách Euclide. Sử dụng các công thức đạo hàm thứ nhất và thứ hai cho bình phương các hàm u1, u2, ϕ, chúng ta nhận được kết quả sau

R(Cn) sao cho

Bổ đề 1.5.15. Với mọi ε > 0, tồn tại các điểm (p∗X∗), (p∗X ∗) ∈ Cn × Sym2

(1) (p∗, X∗) ∈ J 2+w∗(xα), (2) (−p∗, −X ∗) ∈ J 2−w∗(yα), (3) Ma trận đường chéo khối với các phần tử (X∗ − X ∗) thỏa mãn:

0

−(ε−1 + (cid:107)A(cid:107))I ≤

≤ A + εA2,

X∗ 0 −X ∗

(cid:33) (cid:32)

trong đó A = D2ϕ(xα, yα), tức là

A = α

+ D2ϕ3(xα, yα)

I −I I −I

(cid:32) (cid:33)

và (cid:107)A(cid:107) là bán kính phổ của ma trận A (giá trị lớn nhất của các giá trị tuyệt đối các giá trị riêng của ma trận đối xứng A).

D2ϕ3(xα, yα) = O(d(xα, yα)2n) = o(α−n).

26

Theo cách xây dựng, ta có chuỗi Taylor của hàm ϕ3 tại điểm bất kỳ của ∆ ∩ {ϕ2 < −η} là triệt tiêu đến bậc 2n. Bẳng cách biến đổi và tính toán trực tiếp, ta có ∆ ∩ {ϕ2 < −η} là trù mật trong ∆ ∩ {ϕ2 ≤ −η} và chuỗi Taylor của hàm ϕ3 trên là triệt tiêu đến bậc 2n trên ∆ ∩ {ϕ2 ≤ −η}. Đặc biệt, ta có

Suy ra (cid:107)A(cid:107) (cid:39) α. Chọn α−1 = ε và suy ra

0

−(2α)I ≤

≤ 3α

+ o(α−n).

X∗ 0 −X ∗

I −I I −I

(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)

Từ đó suy ra các giá trị riêng của X∗, X ∗ là O(α) và các giá trị riêng của X∗, −X ∗ là o(α−n).

∗ + o(α−n) ≤ X ∗1,1 suy ra X ∗1,1 > 0 và det(X ∗1,1)/ det(X 1,1

R(Cn) và ký hiệu X 1,1 là (1; 1)- dạng. Nó là một ma trận Hermite. Rõ ràng các giá trị riêng của ma trận X 1,1 ∗ , X ∗1,1 là O(α) và các giá trị riêng của ma trận X 1,1 ∗ − X ∗1,1 là o(α−n). Vì (p∗, X∗) ∈ J 2+w∗(xα) nên từ định nghĩa về nghiệm nhớt suy ra X 1,1∗ là xác định dương và tích của n giá trị riêng của nó thỏa mãn ≥ c > 0 đều theo α. Đặc biệt, giá trị riêng nhỏ nhất của X 1,1∗ thỏa mãn ≥ cα−n+1. Từ bất đẳng thức X 1,1 ∗ ) ≥ 1 + o(α−1).

Tiếp theo, cổ định X ∈ Sym2

Cuối cùng, vì (p∗, X∗) ∈ J 2+w∗(xα) và (−p∗, −X ∗) ∈ J 2−w∗(yα), theo

≤

.

ew∗(yα)W (yα) ew∗(xα)W (xα)

det(X ∗1,1) det(X 1,1 ∗ )

định nghĩa của nghiệm nhớt, ta có

Lấy giới hạn trên khi α → +∞, ta được 1 ≤ elim sup w∗(yα)−w∗(x∗). Áp dụng Bổ đề 1.5.14 cho trường hợp w∗(ˆx) ≥ w∗(ˆx), suy ra u∗(ˆx) ≥ u∗(ˆx). Vậy Định lý 1.5.13 được chứng minh.

v)+ cũng là nghiệm dưới của phương trình (DM Aε v). Do đó, ta chỉ cần chứng minh nguyên lý so sánh nhớt toàn cục đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aε

v)+.

Vì v > 0 nên nghiệm dưới của phương trình (DM Aε

(w + ddcϕ)n

BT = eϕv,

Định nghĩa 1.5.16. Một đa tạp phức compact X được gọi là thuộc lớp Fujiki nếu trên X tồn tại duy nhất một hàm ϕ là ω - đa điều hòa dưới bị chặn địa phương thỏa mãn phương trình

theo nghĩa đa thế vị.

27

Hệ quả 1.5.17. Giả sử X là một đa tạp phức compact, ω là (1, 1) - dạng, thực, đóng, liên tục với thế vị địa phương lớp C 2, v > 0 là một dạng thể tích

X v > 0. Nếu w ≥ 0 và (cid:82)

nửa xác định dương thỏa mãn (cid:82) X w ≥ 0 thì tồn tại duy nhất một nghiệm nhớt ϕ ∈ C 0(X) của phương trình Monge - Ampère phức (DM A)w,v : (ω + ddcϕ)n = eϕv.

(w + ddcϕ)n

BT = eϕv,

Nếu X là một đa tạp phức compact thuộc lớp Fujiki thì nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A)w,v đồng nhất với một hàm w-đa điều hòa dưới ϕ trên X thỏa mãn phương trình

theo nghĩa đa thế vị.

X v > 0 và áp dụng Định lý 1.5.13.

28

Chứng minh. Sử dụng cách xây dựng nghiệm yếu của phương trình phương trình Monge - Ampère phức suy biến trong trường hợp v > 0 là một dạng thể tích nửa xác định dương thỏa mãn (cid:82)

Chương 2

Sự tồn tại nghiệm nhớt liên tục của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic

2.1 Phương pháp của Preron về tính liên tục nghiệm nhớt dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu el- liptic

Cho X là một đa tạp Kahler compact n- chiều, v > 0 là một dạng thể tích nửa xác định dương với trù mật liên tục, ε ≥ 0 và cho ω là (1, 1) - dạng đóng, thực, nhẵn có lớp đối đồng điều là nửa xác định dương và thỏa mãn {ω}n > 0.

(ω + ddcϕ)n = eεϕv,

Bằng cách kết hợp giữa phương pháp nghiệm nhớt và các kỹ thuật của lý thuyết đa thế vị để tìm nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức suy biến có dạng

với ε ≥ 0.

29

Ở đây, bằng cách chỉ sử dụng cách xây dựng cận trên đúng của các nghiệm dưới nhớt và nghiệm theo nghĩa đa thế vị, nguyên lý so sánh toàn cục của nghiệm nhớt và các kỹ thuật đa thế vị của Kolodziej [11, 6], chúng ta hoàn toàn có thể tiếp cận cách tìm nhiệm của phương trình Monge-Ampère phức suy biến trên độc lập và thay thế cho cách giải của S.T. Yau [12] về giả thuyết Calabi về tính liên tục nghiệm nhớt của phương trình Monge -

v) sau đây

(ω + ddcϕ)n = eεϕv

Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A(cid:15)

v) và phương trình (DM A1

Trong trường hợp ε = 1, khi nguyên lý so sánh nhớt toàn cục được áp dụng đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A1 v), ta chứng minh tính liên tục của nghiệm nhớt (hay là nghiệm thế vị) của phương trình (DM A1 v) bằng phương pháp của Perron. Cụ thể, chúng ta có định lý sau

ϕ = sup (cid:8)w | u ≤ w ≤ u và w là nghiệm nhớt của (DM A1

v)(cid:9)

Định lý 2.1.1. (Phương pháp của Preron) Giả sử nguyên lý so sánh nhớt toàn cục được áp dụng đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A1 v) có một nghiệm dưới bị chặn u và một nghiệm nhớt trên bị chặn u. Khi đó, ta có hàm

v). Đặc biệt, hàm ϕ là một hàm w-đa điều hòa dưới, liên tục. hơn nữa ϕ cũng là một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A1 v) theo nghĩa đa thế vị.

v) cũng là một nghiệm dưới nhớt của (DM A1

là nghiệm nhớt duy nhất của phương trình Monge - Ampère phức (DM A1

v)+.

Chứng minh. Thật vậy, theo [5, Bổ đề 4.2 ] suy ra cận trên ϕ các nghiệm nhớt của phương trình (DM A1 v) vì nó là hàm nửa liên tục dưới. Do đó, hàm ϕ là nghiệm dưới nhớt của phương trình (DM A1

Ký hiệu ϕ∗ là bao của các hàm nửa liên tục dưới ϕ. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng ϕ∗ là một nghiệm nhớt trên của phương trình (DM A1 v). Bằng phương pháp chứng minh phản chứng. Giả sử ngược lại ϕ∗ là không là nghiệm nhớt trên của phương trình (DM A1 v). Cố định x0 ∈ X và hàm q khả vi lớp C 2 sao cho ϕ∗ − q đạt giá cực tiểu địa phương bằng 0 tại điểm x0 và F+(q(2) x ) < 0. Do đó, ta có vx0 > 0.

Chúng ta có thể xây dựng một nghiệm nhớt dưới U sao cho U (x1) > ϕ(x1) với x1 ∈ X. Điều mâu thuẫn này dẫn đến hàm ϕ∗ là một nghiệm nhớt trên và theo nguyên lý so sánh nhớt ta có ϕ∗ ≥ ϕ. Vì ϕ = ϕ∗ ≥ ϕ∗ nên ϕ = ϕ∗ = ϕ∗ là một nghiệm nhớt liên tục. Và ta có điều phải chứng minh.

30

Xây dựng nghiệm dưới nhớt U như sau: Đặt (z1, .....zn) là một hệ tọa độ với tâm ở x0 cho bởi một đồng phôi địa phương với hình cầu đơn vị phức

γ,δ) < 0 với (cid:107)z(x)(cid:107) ≤ r.

và giả sử v > 0 trên hình cầu phức này. Khi đó, với γ, δ, r > 0 đủ nhỏ ta có qγ, δ = q + δ − γ (cid:107)z(cid:107)2 thỏa mãn F+(q(2)

U (x) = max(ϕ(x), qδ,γ(x)),

Chọn δ = (γr2)/8, r > 0 đủ nhỏ. Vì ϕ∗(x) − q(x) ≥ 0 với (cid:107)z(x)(cid:107) ≤ r nên ta có ϕ(x) ≥ ϕ∗(x) > qγδ(x) nếu r/2 ≤ (cid:107)z(x)(cid:107) ≤ r. Khi đó, ta định nghĩa hàm U xác định bởi:

nếu (cid:107)z(x)(cid:107) ≤ r và U (x) = ϕ(x) trong trường hợp còn lại. Suy ra, hàm U là một nghiệm dưới nhớt của phương trình (DM A1 v)+ và do đó nó cũng là một nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A1 v) vì chúng ta có thể giả sử rằng v > 0 trên phần có liên quan của X. Chọn một dãy (xn) hội tụ đến x0 sao cho ϕ(xn) → ϕ∗(x0). Khi đó, ta có qγ,δ(xn) → ϕ∗(x0) + δ. Vì vậy, với n (cid:29) 0 ta có U (xn) = qγ,δ(xn) > ϕ(xn).

Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh hàm ϕ là một nghiệm nhớt của phương v) theo nghĩa đa thế vị. Nó xuất phát

trình Monge - Ampère phức (DM A1 từ lập luận trước đó trong lý thuyết đa thế vị.

Thật vậy, vì ϕ là một nghiệm nhớt, theo Mệnh đề 1.4.3, ta có (ω + BT ≥ eεϕv. Bằng phương pháp phản chứng, chọn B ⊂ một hình cầu ddcϕ)n BT (cid:54)= eεϕv). Nghiệm của bài toán Dirichlet là một hàm mà trên đó (ωddcϕn BT (cid:54)= eεψv và ψ (cid:54)= ϕ trên đa điều hòa dưới liên tục ψ trên B với (ω + ddcψ)n ∂B. Theo nguyên lý so sánh của Bedford Taylor suy ra ψ ≥ ϕ và ψ ≥ ϕ theo giả thiết. Do đó, hàm ϕ là nghiệm dưới nhớt. Với t > 0 đủ nhỏ, ta có ϕ0 = max(ϕ, ψ − t) là một nghiệm dưới nhớt khác với ϕ0 > f trên một tập con mở. Điều này là mâu thuẫn với định nghĩa bao của hàm ϕ. Vậy Định lý 2.1.1 được chứng minh.

Nhận xét 2.1.2. Trong trường hợp khi ε = 0, tức là ta có (ω + ddcϕ)n = v trên đa tạp Kahler compact thì các nghiệm dưới và nghiệm trên của phương trình này không tồn tại và chúng ta không thể áp dụng được phương pháp chứng minh trên đây của Perron trong việc xây dựng tính liên tục của nghiệm của phương trình Monge - Ampère phức (ω + ddcϕ)n = v.

31

Định lý 2.1.3. [6] Cho X là một đa tạp phức compact thuộc lớp Fujiki. Cho v là một độ xác suất nửa xác định dương với Lp - trù mật, p > 1 và cố định ω ≥ 0 là một (1, 1) - dạng thực, nhẵn, nửa xác định dương thỏa mãn (cid:82) X ωn = 1. Khi đó, hàm ω- đa điều hòa dưới duy nhất bị chặn địa phương

X ϕ = 0 sao cho độ đo Monge - Ampère của nó

BT = v là một hàm liên tục.

2.2 Sự tổn tại nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp Kahler compact

trên X được chuẩn hóa bởi (cid:82) thỏa mãn phương trình (ω + ddcϕ)n

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu tính liên tục nghiệm nhớt dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic trên các đa tạp Kahler compact.

(∗)

∃η > 0∃ψ ∈ L∞ ∩ P SH(X, ω) : (ω + ddcψ)n ≥ ηβn.

Giả sử X là một đa tạp Kahler compact và v là một dạng thể tích nửa xác định dương, liên tục. Cổ định β là một dạng Kahler trên X. Xét điều kiện (∗) trên X như sau:

Trong [4] và [6] đã chứng minh được khi X là một đa tạp Kahler compact, ω là một (1, 1)-dạng nửa xác định dương với (cid:82) X ωn > 0 thì (X, ω) thỏa mãn điều kiện (∗). Khi đó, sử dụng nguyên lý toàn cục đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic và Định lý 2.1.1 chúng ta có thể xây dựng nghiệm nhớt của phương trình này và chứng minh tính liên tục của nó một cách trực tiếp mà không sử dụng các kết quả trong định lý Aubin-Yau về tính liên tục [2, 12].

(ω + ddcϕ)n = eϕv

Định lý 2.2.1. Giả sử X là một đa tạp Kahler compact, ω là một (1, 1)- dạng nửa xác định dương với (cid:82) X ωn > 0 và v là một độ đo xác suất nửa xác định dương, liên tục trên X. Khi đó, điều kiện (∗) được thỏa mãn và tồn tại một duy nhất hàm ω-đa điều hòa dưới ϕ là nghiệm nhớt (tương đương nghiệm đa thế vị) của phương trình Monge - Ampère phức suy biến

Chứng minh. Tính duy nhất: Nếu ω là dạng Kahler trên X thì điều kiện (∗) được thỏa mãn, hơn nữa nếu v clà một đo đo dương thì theo [6, Mệnh đề 4.3] suy ra tính duy nhất nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A1v).

32

Sự tồn tại: Trong trường hợp tổng quát, xây dựng nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A1v) bằng phương pháp

(ω + εβ + ddcuε)n = euεv.

xấp xỉ của [6]. Thật vậy, trước tiên giả sử v là một độ đo dương trên X nhưng lớp {ω} là nửa xác định dương và thỏa mãn (cid:82) X ωn > 0. Với mỗi 0 < ε ≤ 1, tồn tại duy nhất hàm ω + εβ - đa điều hòa dưới uε thỏa mãn

Vì dãy (uε) là dãy compact tương đối theo L1(X) nên supX uε là bị chặn

khi ε (cid:38) 0+. Mặt khác, ta có

=

esupX uε ≥

ωn

(cid:90)

X

(cid:82) X ωn v(X)

log

uε + log

uε − C

(ω + β)n ≥ sup X

(ewεdv) ≥ sup X

X

X

do đó supX uε bị chặn dưới, đều. Đặt wε := uε − supX uε. Vì wε một dãy hàm compact tương đối của các hàm (ω + β) - đa điều hòa dưới nên tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi 0 < ε ≤ 1 ta có (cid:82) X wωdv ≥ −C theo [9]. Từ tính lõm logarithm suy ra (cid:90) (cid:90)

Do đó, dãy hàm supX uε là bị chặn.

Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng dãy (uε) giảm khi ε hội tụ giảm đến 0+. Thật vậy, giả sử 0 < ε(cid:48) ≤ ε và cố định δ > 0. Khi đó, các hàm uε(cid:48), uε là đa điều hòa dưới. Theo nguyên lý so sánh ta có

(ω + εβ + ddcuε(cid:48))n ≤

(ω + εβ + ddcuε)n.

(uε(cid:48)≥uε+δ)

(uε(cid:48)≥uε+δ)

(cid:90) (cid:90)

(ω + εβ + ddcuε(cid:48))n ≥ (ω + ε(cid:48)β + ddcuε(cid:48))n ≥ eδ(ω + εβ + ddcuε)n.

Vì

trên tập hợp (uε(cid:48)) ≥ uε + δ có độ đo Lebesgue bằng 0. Vì δ > 0 là tùy ý suy ra uε(cid:48) ≤ uε.

(ω + ddcu)n = euv.

Đặt u = limε→0 uε là giới hạn giảm của các hàm uε. Theo cách xây dựng, thì u là một hàm ω- đa điều hòa dưới. Nó theo [6, Mệnh đề 1.2, Định lý 2.1 và Mệnh đề 3.1] suy ra u là bị chặn và là nghiệm (đa thế vị) của phương trình Monge-Ampère phức

33

Từ đó, suy ra điều kiện (∗) được thỏa mãn. Theo Hệ quả 3.2, suy ra hàm u là liên tục và là một nghiệm nhớt của phương trình Monge-Ampère phức (ω + ddcu)n = euv.

Ta còn phải chỉ ra tính xác định dương của v. Vì {ω} là nửa xác định X ωn > 0 và v là độ đo xác suất nửa xác định dương,

(ω + ddcϕε)n = eϕε [v + εβn] ,

dương và thỏa mãn (cid:82) liên tục nên phương trình Monge-Ampère phức có thể giải được

esupX ϕε ≥

trong đó ϕε là các hàm ω - đa điều hòa dưới, liên tục và 0 < ε ≤ 1. Vì

X βn

(cid:82) X ωn 1 + (cid:82)

nên ta có supX ϕε bị chặn dưới.

log

eψε

≥

ψε

ψε(v + βn) ≥ −C

Từ tính chất lõm logarit nên Mε := supX ϕε bị chặn trên. Thật vậy, đặt ψε := ϕε −Mε. Khi đó, ta có (ψε) là một dãy compact tương đối các hàm ω - đa điều hòa dưới. Do đó, tồn tại hằng số C > 0 sao cho (cid:82) X ψε(v +βn) ≥ −C. Vì (cid:19) (cid:18)(cid:90) (cid:90) (cid:90)

v + εβn (cid:82) X v + εβn

v + εβn X v + εβn ≥

(cid:82)

log

1 + ε

βn

− C.

ωn ≥ Mε + log

X

X

nên suy ra (cid:20) (cid:21) (cid:90) (cid:90)

Do đó, dãy (Mε) là bị chặn đều.

Cuối cùng, ta chứng minh rằng dãy (ϕε) là compact tương đối trong L1(X). Thật vậy, theo [6, Mệnh đề 2.6 và Mệnh đề 3.1] suy ra hàm ϕε bị chặn đều khi ε hội tụ giảm xuống tới 0.

Từ [6, Bổ đề 2.3] cùng với tính bị chặn đều của dãy (ϕε) suy ra với bất

kỳ 0 < δ << 1, ta có

Capω(ϕε − ϕε(cid:48) < −2δ) ≤

(ω + ddcϕε)n

ϕε−ϕε(cid:48)<−δ (cid:90)

≤

|ϕϕ − ϕε(cid:48)| (ω + ddcϕε)n

X

(cid:90)

≤

|ϕε − ϕε(cid:48)| (v + β)n.

C δn C δn+1 C (cid:48) δn+1

X

(cid:90)

1

n+2 .

(cid:107)ϕε − ϕε(cid:48)(cid:107)L∞ ≤ C((cid:107)ϕε − ϕε(cid:48)(cid:107)L1)

Áp dụng [6, Bổ đề 2.3] lần nữa và (ϕε) bị chặn đều nên suy ra

34

Do đó, nếu (cid:15)n là một dãy giảm dần đến 0 khi n → +∞ sao cho dãy hàm (ϕεn)n hội tụ trong L1, ϕεn là một dãy Cauchy của các hàm số liên tục, do

đó nó hội tụ đều và là nghiệm đa điều hòa dưới, liên tục duy nhất ϕ của phương trình Monge - Ampère phức (DM A1 v). Từ đó, suy ra dãy (ϕε) là dãy duy nhất hội tụ trong L1 khi ε hội tụ giảm đến 0. Do dó, dãy dãy (ϕε) hội tụ đều đến hàm ϕ.

v). Vậy Định lý 2.2.1 được chứng minh.

Theo Định lý 2.1.1 suy ra hàm ϕ cũng là một nghiệm dưới nhớt. Khi đó, theo [5, Chú ý 6.3, p. 35] suy ra ϕ cũng là một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A1

(ω + ddcϕP )n = eϕP v

Hệ quả 2.2.2. Hàm ϕP ∈ L∞ ∩ P SH(Xω) thỏa mãn

theo nghĩa đa thế vị được xây dựng trong [6, Định lý 4.1] là một nghiệm nhớt và do đó nó liên tục.

Trong trường hợp ε = 0, S. Kolodziej (1998) đã chứng minh được kết quả

sau

v(X) =

ωn,

X

Mệnh đề 2.2.3. [11] Cho X là một đa tạp compact Kahler, v = f dV0 một độ đo không âm và liên tục đối với dạng thể tích dV0 trên X và ω là một (1, 1)- dạng dóng, thực, nửa xác định dương với thể tích dương. Giả sử v được chuẩn hóa bởi (cid:90)

(ω + ddcϕ)n = v và

ϕdV0 = 0.

X

trong đó n = dimCX. Mếu ω là dạng Kahler thì tồn tại duy nhất một hàm ϕ là ω-đa điều hòa dưới liên tục thỏa mãn (cid:90)

Định lý 2.2.4. [7, Định lý 3.6] Cho X là một đa tạp compact Kahler, v là một dạng thể tích nửa xác định dương, liên tục và ω là một (1, 1)- dạng dóng, thực, nửa xác định dương, nhẵn trên X. Giả sử v được chuẩn hóa bởi

v(X) =

ωn,

X

v) là các nghiệm

(cid:90)

35

Khi đó, ta có nghiệm đa thế vị cho của phương trình (DM A0 nhớt, vì vậy nó là liên tục.

Kết luận

Luận văn "Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère

phức suy biến" đã đạt được một số kết quả sau đây:

1) Trình bày một số kiến thức cơ bản về của lý thuyết đa thế vị phức và giải tích phức như hàm đa điều hòa dưới, miền siêu lồi, miền giả lồi, miền giả lồi mạnh, toán tử Monge-Ampère, phương trình Monge - Ampère phức, ... Trình bày khái niệm nghiệm nhớt và chứng minh sự tồn tại nghiệm dưới nhớt của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến trên các đa tạp phức liên thông hữu hạn chiều (Định lý 1.3.9, Hệ quả 1.3.12, Mệnh đề 1.4.3).

2) Chứng minh sự tồn tại nghiệm nhớt của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp phức compact Mệnh đề 1.5.5). Chứng minh điều kiện nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic Mệnh đề 1.5.12, Định lý 1.5.13 và Hệ quả 1.5.17).

36

3) Áp dụng nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic để chứng minh tính liên tục nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic, bằng Phương pháp của Preron cho trường hợp ε = 1 (Định lý 2.1.1). Cuối cùng, luận văn sử dụng nguyên lý toàn cục đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic trên các đa tạp Kahler compact hữu hạn chiều (Định lý 2.1.1) để thể xây dựng lại nghiệm dưới nhớt của phương trình này và chứng minh tính liên tục của nó một cách trực tiếp mà không sử dụng các kết quả trong định lý Aubin-Yau về tính liên tục (Định lý 2.2.1).

Tài liệu tham khảo

[1] Alexandrov, A.D. (1939), "Almost everywhere existence of the second order differential of a convex function and some properties of convex functions", Leningrad. Univ. Ann. (Math. Ser.) 37, 3–35. (Russian)

[2] Aubin, T (1978), "Equation de type Monge-Ampère sur les varietes

kahleriennes compactes", Bull. Sci. Math. 102, 63–95.

[3] Bedford, E. Taylor, B.A (1982), "A new capacity for plurisubharmonic

functions", Acta Math. 149, 1–40.

[4] Berman,R., Boucksom, S., Guedj, V. Zeriahi, A. (2013), "A variational approach to complex Monge Ampère equations., Publications mathé- matiques de l’IHÉS, vol. 117, 179–245.

[5] Crandall, M., Ishii, H. , Lions, P.L. (1992), "User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations", Bull. Amer. Math. Soc. 27, 1-67.

[6] Eyssidieux, P., Guedj, V., Zeriahi (2009), "A. Singular Kahler-Einstein

metrics", J. Amer. Math. Soc. 22, 607-639.

[7] Eyssidieux, P., Guedj, V., Zeriahi (2011), "Viscosity solutions to de- generate complex Monge-Ampère equations", Communications on Pure and Applied Mathematics, 64(8).

[8] Gaveau, B. (1977), "Méthodes de controle optimal en analyse com- plexe", I. Resolution d’equations de Monge-Ampère. J. Funct. Anal. 25, 391-411.

[9] Guedj, V., Zeriahi, A. (2005), "Intrinsic capacities on compact Kahler

37

manifolds", J. Geom. Anal. , 15, no. 4, 607-639.

[10] Hormander, L. (1994), Notions of convexity, Progress in Math.,

Birkhauser.

[11] Kolodziej, S. (1998), "The complex Monge-Amp‘ere equation", Acta

Math. 180, no. 1, 69–117.

38

[12] Yau, S.T. (1978), "On the Ricci curvature of a compact Kahler manifold and the complex Monge-Ampère equation", Comm. Pure Appl. Math. 31, 339-441.