ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ VÂN ANH SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH
VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC
KHÔNG K𝑨 HLER
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ VÂN ANH SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH
VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC
KHÔNG K𝑨 HLER
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI
THÁI NGUYÊN - 2016
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài đã công bố. Tôi cũng xin cam đoan rằng
các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái nguyên, tháng 04 năm 2016
Học viên
i
Nguyễn Thị Vân Anh
M C C
Trang
Trang bìa phụ
L i cam đoan ......................................................................................................... i
Mục lục ................................................................................................................ ii
LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 3
1.1. Không gian phức ........................................................................................... 3
1.2. Đa tạp phức ................................................................................................... 4
1.3. Hàm chỉnh hình, hàm phân hình ................................................................... 6
1.4. Metric Hermit trên đa tạp phức ..................................................................... 7
1.6. Hàm đa điều hòa ............................................................................................ 7
1.7. Dòng .............................................................................................................. 8
1.8. Miền giả lồi ................................................................................................... 9
1.9. Mặt cầu .......................................................................................................... 9
Chương 2. SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI
GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER ................. 10
2.1. Ánh xạ phân hình và không gian chu trình ................................................. 10
2.1.1. Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình .............................. 10
2.1.2. Tính giải tích của và cách xây dựng ........................................... 14
2.2. Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình ..................................... 29
2.2.1. Tổng quát của lí thuyết đa thế vị .............................................................. 29
2.2.2. Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình từ một hình
Hartogs vào một không gian phức lồi đĩa ........................................... 35
KẾT UẬN ........................................................................................................ 56
ii
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 57
LỜI MỞ ĐẦU
Giải tích phức hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức là một nhánh của
toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là số
phức. Trong đó, thác triển phân hình là một trong những bài toán trung tâm của
Giải tích phức. Những năm gần đây, thác triển phân hình là vấn đề nhận được
sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Trong luận văn này, tôi nghiên cứu vấn đề sau: Giả sử, cho một tập con
mở khác rỗng , ánh xạ f thác triển trên . Vậy, giá trị cực đại nào
của ̂ sao cho f thác triển phân hình trên ̂ ?
Vấn đề này được gọi là thác triển kiểu Hartogs. Nếu ̂ với mọi f lấy
giá trị trong X và mọi gốc (khác rỗng) U thì ta nói rằng định lý thác triển kiểu
Hartogs vẫn đúng với các ánh xạ phân hình vào trong X này. Với , tức là
với các hàm chỉnh hình, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh bởi F.
Hartogs. Nếu , tức là các hàm phân hình, kết quả được chứng minh
bởi E. Levi. Từ đó, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh ít nhất hai
lần cho nhiều trư ng hợp tổng quát chứ không riêng những hàm chỉnh hình hay
hàm phân hình.
Để hệ thống lại các kết quả chính về sự thác triển của các ánh xạ phân
hình với giá trị trên những đa tạp phức không K hler, tôi trình bày trong hai
chương của luận văn:
Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ sở về không gian phức, hàm
chỉnh hình, hàm phân hình, đa tạp phức, tập giải tích, đa điều hòa dưới, phủ,
mặt cầu.
Chương 2: Trình bày lại một cách chi tiết rõ ràng các kết quả nghiên cứu
vềsự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức
1
không K hler.
Để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh, em luôn nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư
phạm - ĐH Thái Nguyên). Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
cô và xin gửi l i tri ân nhất của em đối với những điều cô đã dành cho em.
Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào tạo sau Đại học, quý
thầy cô giảng dạy lớp Cao học K22A (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư phạm
– Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện và tận tình truyền đạt những kiến thức
quý báu cho em hoàn thành khóa học.
Em xin gửi l i cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những ngư i
đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận này không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong có được những ý kiến đóng góp của các thầy cô
và các bạn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả luận văn
2
Nguyễn Thị Vân Anh
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian phức
1.1.1. Định nghĩa không gian phức
Định nghĩa 1.1: Xét không gian Oclit n chiều chẵn R2n , các điểm của nó là các
bộ có thứ tự 2n số thực . Ta đưa vào trong đó cấu trúc phức bằng cách
đặt . Ta thư ng kí hiệu nên
. Không gian mà điểm là những bộ n số phức (hữu hạn)
sẽ gọi là không gian phức n chiều và kí hiệu . Đặc biệt,
khi n = 1, ta có là mặt phẳng số phức. Có thể xem rằng, với n tùy ý,
không gian là tích n mặt phẳng phức . ⏟
1.1.2. Không gian phức chuẩn tắc
Định nghĩa 1.2: Cho E là một không gian vecto phức. Một giả chuẩn p trên E
là một ánh xạ từ E vào tập các số thực không âm thỏa mãn:
(i) p( ) p( ) p( ) với mọi a, b E.
(ii) p( ) | |p( ) với mọi , với mọi a E.
Giả chuẩn p trên E xác định một tôpô trên E (* p( ) + là một
lân cận mở của ).
Không gian vecto phức E cùng với tôpô định nghĩa như trên được gọi là
một không gian giả chuẩn tắc
Nếu p là một chuẩn trên E thì không gian phức E được gọi là không gian
phức chuẩn tắc.
Nói một cách khác, một không gian phức E là không gian phức chuẩn tắc
3
nếu p thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) và điều kiện sau:
(iii) p( ) nếu và chỉ nếu a = 0.
1.1.3. Không gian phức khả quy
Định nghĩa 1.3: Một cặp ( ) được gọi là một không gian vành phức nếu:
1. X là một không gian tôpô;
2. 𝓗 là một bó -đại số địa phương trên X .
Định nghĩa 1.4:Một không gian phức khả quy là một không gian vành phức
( ) mà có những tính chất sau:
1. X là một không gian Hausdorff;
2. Với mọi điểm có một lân cận mở ( ) và một tập giải tích
A sao cho ( | ) ( ( )).
(A nằm trong một tập mở và ( ):=(𝒪/𝓘(A)|A, trong đó 𝓘(A) là
một bó ideal của A).
1.2. Đa tạp phức
1.2.1. Định nghĩa đa tạp phức
Định nghĩa 1.5: Cho M là không gian tôpô Hausdorff.
V là một tập mở trong M và là một ánh xạ. Khi đó:
Cặp được gọi là một bản đồ địa phương của M, nếu các điều kiện sau
được thỏa mãn:
i) là tập mở trong ,
ii) là một đồng phôi.
Định nghĩa 1.6: Họ của M được gọi là một tập bản đồ giải tích
(atlas) của M nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
4
i) là một phủ mở của M,
ii) Với mọi mà ánh xạ là
ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlas trên M. Hai atlas gọi là tương đương nếu hợp của chúng
là một atlas trên M. Dễ thấy sự tương đương giữa các atlas lập thành một quan
hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên gọi là
một cấu trúc khả vi phức trên M. M cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được
gọi là một đa tạp phức n chiều.
Ví dụ: Cho là một miền. Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với
bản đồ địa phương
Định nghĩa 1.7: Cho U là một miền trong . Một tập con V của U là
một đa tạp con nếu với mọi z trong U có một lân cận và các hàm chỉnh
hình trong sao cho:
1.2.2. Tập giải tích trên đa tạp phức
Định nghĩa 1.8: Cho là một đa tạp phức (một miền trong hoặc trong ). có Một tập được gọi là tập con giải tích của nếu với mỗi điểm
một lân cận U của a và các hàm chỉnh hình trên U sao cho:
* ( ) ( ) +
Định nghĩa 1.9: Một tập A trong đa tạp phức được gọi là một tập giải tích
(địa phương) nếu M là tập các không điểm chung của một họ hữu hạn các hàm
chỉnh hình trong một lân cận của mỗi điểm của nó.
Nhận xét:
+ Mọi miền là tập giải tích trong nhưng nó là tập con giải
5
tích trong chỉ khi .
+ Mọi tập giải tích (địa phương) trên một đa tạp phức là tập con giải tích
của một lân cận của nó.
Định nghĩa 1.10: Một tập giải tích A được gọi là khả quy nếu tồn tại các tập
con giải tích sao cho:
1. ; 2.
Nếu A không khả quy thì A được gọi là bất khả quy.
Định nghĩa 1.11: Tập con giải tích bất khả quy của tập giải tích A được gọi
là thành phần bất khả quy của A nếu mọi tập con giải tích sao cho
và là khả quy.
1.3. Hàm chỉnh hình, hàm phân hình
Định nghĩa 1.12: Một hàm giá trị phức f xác định trên một tập con mở
được gọi là chỉnh hình trên nếu với mỗi điểm có một lân
cận mở U, sao cho hàm f có một khai triển thành chuỗi lũy thừa
hội tụ với mọi .
Kí hiệu 𝒪( ) là tập tất cả các hàm chỉnh hình trên D.
Định nghĩa 1.13: Một hàm phân hình trên X là một cặp thỏa mãn các
1) A là một tập con của X
2) F là một hàm chỉnh hình trên X-A
3) Với mọi điểm
tính chất sau:
, có một lân cận và các hàm chỉnh hình
g, h trên U sao cho:
a.
b. Các mầm là nguyên tố cùng nhau
6
c. với mọi .
1.4. Metric Hermit trên đa tạp phức
Định nghĩa 1.14: Cho E là một bó vecto phức trên một đa tạp (thực hoặc
phức) M. Một cấu trúc Hermit hoặc metric Hermit h trên E là một trư ng
các tích trong Hermit của các thớ của E.
Cho M là một đa tạp phức, g là một cấu trúc Hermit trên TM. g được gọi
là một metric Hermit trên M.
Một đa tạp phức M cùng với một metric Hermit g trên nó được gọi là
một đa tạp Hermit.
1.5. Phủ
Định nghĩa 1.15: Cho X, Y là các đa tạp phức, A là một tập đóng địa phương
trên X và là ánh xạ hữu hạn, riêng, liên tục. Bộ ba được
i)
gọi một phủ giải tích trên Y nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
Tồn tại một tập con giải tích (có thể là rỗng) chiều số tự nhiên k sao cho là một đa tạp phức trong X và là một phủ k-tầng song chỉnh hình đại phương (tức f là một ánh xạ song chỉnh hình địa phương mà mỗi thớ của nó gồm ii) k điểm) Tập là không đâu trù mật trong A. Một phủ giải tích thư ng được viết như là một ánh xạ . 1.6. Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.16: Giả sử D là miền trong C. Một xác định trên D được gọi là điều hòa nếu trên D. Định nghĩa 1.17: Hàm được gọi là điều hòa dưới trong miền D 7 nếu u thoả mãn hai điều kiện sau: i) U là nửa liên tục trên trong D, tức là tập là tập mở ii) với mỗi số thực s; Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm là điều hòa trong G và liên tục trong ta có: nếu trên thì trên G. Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau: Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D cần và đủ là với mỗi điểm , tồn tại sao cho với mọi . Định nghĩa 1.18: Giả sử G là một tập con mở trong . Một hàm: được gọi là đa điều hòa dưới nếu: i) là nửa liên tục trên và không đồng nhất với trên mọi thành phần liên thông của G; ii) Với mỗi và mà và với mỗi ánh xạ , hàm trên mỗi thành phần liên thông của hoặc là điều hòa dưới. (là các miền trong ) hoặc bằng Định nghĩa 1.19: Giả sử X là một không gian phức. Hàm được gọi là hàm vét cạn nếu là compact với mọi . 1.7. Dòng Định nghĩa 1.20: Mỗi phần tử thuộc không gian đối ngẫu (hay còn kí hiệu của không gian tuyến tính ( ) được gọi là một dòng r-chiều 8 (hay còn gọi là bậc bằng m-r) Định nghĩa 1.21: Cho ) là không là các dòng trên một đa tạp phức, ( ), xác định như sau: gian đối ngẫu của ( ), ( trong đó là - thành phần của dạng . . Khi đó các dòng được gọi là các dòng song chiều . 1.8. Miền giả lồi Định nghĩa 1.22: Cho M là một đa tạp phức và D là một miền con của M. D được gọi là giả lồi tại nếu có một lân cận U của y và một - hàm giá trị thực xác định trên U sao cho: i) ii) Nếu và . thì Nếu ii) là đúng với với mọi , D được gọi là giả lồi chặt tại y. D được gọi là giả lồi Levi (chặt) nếu D là compact trong M và D giả lồi (chặt) tại mọi điểm . 1.9. Mặt cầu Định nghĩa 1.23: Một mặt cầu (2-chiều) trong một đa tạp phức X là ảnh của hình cầu tiêu chuẩn qua một ánh xạ chỉnh hình từ lân cận của 9 vào X sao cho không tương ứng tới 0 trong X. Chương 2 SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER 2.1. Ánh xạ phân hình và không gian chu trình 2.1.1. Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình Trong luận văn này, ta sẽ sử dụng khái niệm và kết quả nghiên cứu từ lí thuyết không gian chu trình mà Barlet đã đưa ra (xem [3] hoặc [6]). Tất cả các không gian phức trong luận văn đều được giả thiết là chuẩn tắc, khả quy và có thể đếm được tại vô cực. Tất cả các chu trình, nếu không nói gì thêm, được giả thiết là có giá liên thông. Định nghĩa 2.1: Một k-chu trình giải tích trong một không gian phức Y là tổng , trong đó là một dãy hữu hạn địa phương các tập con giải tích (k chiều thuần túy) và là các số nguyên dương được gọi là các bội số của . là giá của Z. Đặt . Đặt Cho X là không gian phức chuẩn tắc, khả quy được trang bị metric Hermit. Cho một ánh xạ chỉnh hình . Ta sẽ bắt đầu với không gian của các chu trình gắn với . Cố định hằng số dương C và xét tập của tất cả các k-chu trình giải tích Z trong sao cho: (a) với trong đó 10 . Ở đây là đồ thị của ánh xạ hạn chế .Điều này có nghĩa, trong trư ng hợp đặc biệt, với z này, ánh xạ thác triển phân hình từ trên . (b) ( ) và giá | | của Z là liên thông. Ta đặt và chỉ ra rằng là một không gian giải tích hữu hạn chiều trong một lân cận của mỗi điểm của nó. Cho là một chu trình giải tích k chiều trong một không gian phức chuẩn tắc, khả quy Y. Trong phần này, Y là . Bằng một biểu đồ tọa độ tương thích với Z, ta sẽ hiểu một tập mở V trong Y như là | | cùng với một phép đẳng cấu j từ V vào một đa tạp con ̃ trong lân cận của . sao cho ( ̅ ) | | . Ta sẽ kí hiệu biểu đồ như vậy bởi Ảnh của chu trình Z qua phép đẳng cấu j chính là ảnh của tập giải tích cơ bản cùng với các bội. Đôi khi, theo Barlet, ta sẽ kí hiệu: và gọi bộ bốn là thang tương thích với Z. Nếu là phép chiếu tự nhiên, thì hạn chế là phủ rẽ nhánh bậc d. Số q phụ thuộc vào số chiều nhúng của Y (hoặc X trong trư ng hợp này). Thỉnh thoảng, ta sẽ bỏ qua j trong phần kí hiệu. Các phủ rẽ nhánh: xác định một cách tự nhiên một ánh xạ: trong đó, là lũy thừa đối xứng thứ d của . Điều này cho phép ta biểu diễn một chu trình với | | ( ̅ ) như đồ thị của một 11 ánh xạ chỉnh hình d giá trị. Không mất tính tổng quát, ta giả thiết rằng ánh xạ chỉnh hình được xác định trên với . Bây gi , mỗi có thể được phủ bởi một số hữu hạn các lân cận tương thích . Phủ như vậy được gọi là một phủ tương thích. Kí hiệu hợp . Lấy phủ đủ nhỏ, ta có thể giả thiết rằng: (a) Nếu , thì trên mỗi thành phần bất khả quy của giao
hoặc tồn tại một lân cận được cố định sao cho: , một điểm đa trụ của là thích sao cho biểu đồ ứng với Z và được chứa trong được cho như phép nhúng , , trong đó hoặc điều này được thực hiện cho thay vì ; (b) Nếu với , thì . Ở đây, ta kí hiệu hợp có thể được thực hiện khi chiều nhúng của là phép chiếu tự nhiên. Trư ng
nhỏ hơn hoặc bằng chiều nhúng của , và trong trư ng hợp ngược lại (xem [3], pp. 91-92). Cho là một thang trong không gian phức Y. Kí hiệu là tập giải tích Banach của mọi tập con giải tích d-tầng trên , chứa trong . Các tập con cùng với tôpô hội tụ đều trên xác định một (metric) tôpô trên không 12 gian chu trình , và tương đương với tôpô của các dòng (xem [6], [9]). để định nghĩa sự đẳng hướng của tập hợp các phần tử Ta tham khảo [3] từ đã được tham số hóa bởi tập giải tích Banach S. Không gian có thể được thay thế bởi một (nhiều) cấu trúc giải tích khác nhiều tính chất hơn. Không gian giải tích mới này sẽ được kí hiệu bằng . Tính chất chính của cấu trúc mới này là họ hằng đúng là đẳng hướng trong với bất kì đa đĩa compact tương đối . Trên thực tế, các họ đẳng hướng được tham số hóa bởi các tập giải tích Banach theo định lí phép chiếu thay đổi của Barlet cố định. Định lý (Barlet): Nếu họ là đẳng hướng thì với bất kì thang trong tương thích với , tồn tại một lân cận của . trong S sao cho là đẳng hướng trong Điều này có nghĩa,trong trư ng hợp đặc biệt, ánh xạ: là giải tích, tức là có thể thác triển tới một lân cận của mọi . Lân cận ở đây được hiểu theo nghĩa là một lân cận trong không gian phức Banach, trong đó S được xác định như một tập con giải tích. Định nghĩa2.2: Một họ Z của các chu trình giải tích trong một tập mở , được tham số hóa bởi một không gian giải tích Banach S được gọi là giải tích trong một lân cận của nếu với mọi thang E tương thích với thì tồn tại 13 một lân cận U của sao cho họ là đẳng hướng. 2.1.2 Tính giải tích của và cách xây dựng Cho và một là ánh xạ. Lấy một chu trình phủ hữu hạn thỏa mãn điều kiện (c) và (d). Đặt . Ta cần chỉ ra rằng là một không gian giải tích có số chiều hữu hạn trong một lân cận của Z. Ta xét hai trư ng hợp của : Trường hợp 1: Với như trong (d): Nếu với , thì . Ta đặt: Hợp được lấy với mọi sao cho . tương thích với Trường hợp 2: Trong tất cả các trư ng hợp khác. Ta đặt . Tất cả là những tập mở trong những tập con giải tích Banach phức và với của trư ng hợp 1, có số chiều n và trơn. Từ định lí Barlet- Mazet, ta có nếu chiều A vào một tập giải tích Banach S, thì là đơn ánh chỉnh hình từ một tập giải tích hữu hạn
cũng là một tập giải tích Banach hữu hạn chiều. Với mọi thành phần bất khả quy của , cố định một điểm trên thành phần này (chỉ số dưới biểu thị thành phần) và một đồ thị tương thích với thành phần này như trong (c): Nếu , thì trên mỗi thành phần bất khả quy của giao , một 14 điểm được cố định sao cho: hoặc tồn tại một lân cận đa trụ của sao cho đồ thị là thích ứng với Z và được chứa trong , trong đó được cho như phép nhúng . hoặc điều này được thực hiện cho thay vì . Đặt . Để thuận tiện hơn cho việc trình bày, từ đây ta sẽ đưa vào một thứ tự các phủ hữu hạn và viết . Xét các tích hữu hạn và . Trong tích thứ hai, ta chỉ lấy bội ba với . Tích này là không gian giải tích Banach và theo định lí về phép chiếu thay đổi của Barlet, với mỗi cặp , ta có hai ánh xạ chỉnh hình và . Hai ánh xạ này xác định hai ánh xạ chỉnh hình . Hạch của cặp này, tức là tập với , chứa các chu trình giải tích trong lân cận của Z. Hạch này là tập giải tích Banach, và hơn nữa, họ A là một họ giải tích trong theo định nghĩa 1.1. Bổ đề 2.1: A là hạch của cặp ánh xạ chỉnh hình . Khi đó, A có số chiều hữu hạn. Chứng minh: Lấy một phủ nhỏ hơn của Z. với của trư ng hợp 1 và của trư ng hợp 2. Ta xác định như khi thay bằng . Lặp lại phép dựng như trên, chúng và ta xây dựng được một tập giải tích Banach A’. Ta có một ánh xạ chỉnh hình xác định bởi ánh xạ hạn chế. Vi phân của ánh xạ này là 15 một toán tử compact. Ta sẽ chỉ ra rằng có ánh xạ ngược giải tích . Tính giải tích của , chính xác hơn, nó sẽ được xác định trong một số lân cận của trong . Với các thang của trư ng hợp 2 ánh xạ được xác định bởi tính đẳng hướng của họ A’ như trong [3]. Đặc biệt, này thác triển giải tích tới một lân cận trong của mỗi điểm của A’. Với các thang của trư ng hợp 1 xác định như sau: Cho là một điểm trong H’. Vì nên ta có thể định nghĩa chính xác . Điều này trực tiếp xác định như là một phần tử của
trên toàn bộ H’. Tính giải tích là hiển nhiên. Đặt . F được xác định và giải tích trong một lân cận của mỗi điểm của A’. Hơn nữa, id - là Fredholm. Vì nên A’ là một tập con giải tích trong một đa tạp phức hữu hạn chiều. Do đó, là một không gian giải tích hữu hạn chiều trong một lân cận của mỗi điểm của nó. là các tập con mở của . Chú ý rằng , tập hợp là một tập con mở của . Điều này kéo theo với mỗi thành phần bất khả quy của có duy nhất một thành phần bất khả quy K của chứa và hơn thế nữa,
các thành phần bất khả quy của là một tập con mở của K. Tổng quát, số chiều của
là rất lớn. không bị chặn và không gian Kí hiệu là hợp của các thành phần bất khả quy của mà chứa ít nhất một chu trình bất khả quy hay nói cách khác, một chu trình có dạng 16 với . Kí hiệu là họ phổ dụng. Trong phần tiếp theo, kí hiệu là không gian Barlet các k-chu trình giải tích compact trong không gian phức X chuẩn tắc, khả quy. Bổ đề 2.2: Cho là hợp của các thành phần bất khả quy của mà chứa ít nhất một chu trình bất khả quy. Khi đó: 1. Các chu trình bất khả quy tạo thành một tập con mở trù mật trong . 2. Chiều của không lớn hơn n. 3. Nếu thì tất cả các thành phần bất khả quy, compact của các chu trình trong là hữu tỉ. Để chứng minh bổ đề này, chúng ta cần bổ đề sau (bổ đề 2.3.1 trong [14]): Bổ đề 2.3: Cho là một dãy các q-đĩa phân hình trong một không gian (a) phức X. Giả sử tồn tại một K compact, và một hằng số sao cho: (b) với mọi r; với mọi r; (1) Dãy Thì tồn tại một dãy con và một tập giải tích riêng sao cho: hội tụ trên metric Hausdorff tới một tập con giải tích của (2) q chiều thuần túy; , trong đó là đồ thị của một vài ánh xạ phân hình và là một tập con giải tích q-chiều thuần túy của 17 được ánh xạ bởi phép chiếu trên A; (3) (4) Ta có trên compact trong ; (5) Với mọi ; , tồn tại một hằng số dương sao cho khối của mọi tập con giải tích compact p-chiều thuần túy của X chứa (6) Đặt trong K không ít hơn thì bằng ; , trong đó là một hợp của tất cả các thành phần bất khả quy của sao cho thì trong đó . Chứng minh bổ đề2.2: 1. rõ ràng là mở, điều này suy ra trực tiếp từ (4) và (6) của bổ đề 2.3. Kí hiệu là sự chuẩn hóa của và kí hiệu là cái kéo lùi của họ phổ dụng dưới ánh xạ chuẩn hóa . Xét ánh xạ . Chú ý rằng với mỗi chu trình có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng , trong đó mỗi là một k-chu trình giải tích compact trong với giá liên thông. Đánh dấu có tính chất sau: Có một lân cận trong V của Z trong sao cho với mọi chu trình phân tích được thành , trong đó là một chu trình compact trong một lân cận của trong không gian Barlet . Ánh xạ biến mỗi chu trình Z 18 thành một chu trình có được từ Z này bằng cách xóa tất cả các thành phần được đánh dấu. Ánh xạ là một ánh xạ giải tích. Mỗi chu trình bất khả quy rõ ràng là một điểm cố định của . Do đó, tập hợp các điểm cố định là mở trong và chứa toàn bộ . Bây gi , ta sẽ chứng minh rằng mỗi điểm cố định Z của là một giới hạn của các chu trình bất khả quy. Trong phần tiếp theo, chú ý rằng các tích và hoàn toàn xác định. Trong đó là một phép chiếu tự nhiên và là ánh xạ đánh giá tự nhiên. Cho và . Tiếp theo, là một điểm cố định của nghĩa là trong bất kì lân cận của Z, ta có thể tìm được một chu trình sao cho , trong đó là chu trình compact gần với . Quan sát thấy mỗi chu trình trong một lân cận của cùng dạng tức là trong sự phân tích của nó với , theo Bổ đề 2.3. Do có cũng là một điểm cố định của , ta có thể lặp lại quá trình này N lần để thu trù mật trong . được một chu trình bất khả quy trong một lân cận cho trước của Z. Vì vậy, ta có 2. Lấy , Z bất khả quy. Lấy một lân cận V của Z, chỉ bao gồm các chu trình bất khả quy. Thì là nội xạ và chỉnh hình. Do đó . 3. Vì mỗi chu trình từ đều là một giới hạn của các đĩa giải tích nên nếu thì tất cả các thành phần bất khả quy compact của chu trình trong là hữu tỉ (xem [15], Bổ đề 7). Định nghĩa 2.3: Ta sẽ gọi không gian là không gian chu trình liên kết với 19 một ánh xạ phân hình f. Kí hiệu . là tập con mở của gồm có Z với Bây gi ,ta sẽ phát biểu và chứng minh bổ đề chính của bài, bổ đề 2.5. Từ gi trở đi, ta sẽ hạn chế họ phổ dụng trên mà không thay đổi kí hiệu. và là phép chiếu tự nhiên. Hơn nữa, là không gian phức hữu hạn chiều. Ta có một ánh xạ đánh giá được xác định bởi sẽ sử dụng trong chứng minh của bổ đề 2.5. Ngoài ra, trong chứng minh của bổ đề, cần sử dụng bổ đề sau (bổ đề 2.4.1 từ [14]): Bổ đề 2.4: Giả sử tồn tại một lân cận U của trong V sao cho với mọi Nếu là một điểm chính quy địa phương của S thì tồn tại một lân cận của trong V sao cho f thác triển phân hình tới . Nhắc lại rằng, ta giả sử không gian phức X được trang bị metric Hecmit h. Bổ đề 2.5: Cho X là một không gian phức, một ánh xạ chỉnh hình . Giả sử: 1) Với mọi , hạn chế ; thác triển phân hình trên toàn bộ k-đĩa 2) Các khối của đồ thị của thác triển này bị chặn đều; và với mọi 3) Tồn tại K compact , chứa 20 thì f thác triển phân hình trên . Chứng minh: Kí hiệu compact k chiều trong K, là khối cực tiểu của một tập con giải tích
theo bổ đề 2.3. Kí hiệu W là tập con mở lớn nhất của sao cho f thác triển phân hình trên . Tập . Cho . Giá trị lớn nhất của W (và do đó giá trị nhỏ nhất của S) và bổ đề 2.4 cho thấy rằng là đa cực và theo định lí Josefson, S cũng đa cực. Đặc biệt, . Xét không gian giải tích với mọi . Trong đó cố định. Ở đây, thỏa mãn Từ đó, theo bổ đề 1.2, các chu trình của dạng trù mật trong , ta có với mọi . Bởi vậy, là đóng và mở trong và trùng với . Bao đóng thuộc không gian chu trình . Với bất kì , tập là compact theo sự tổng quát hóa Harvey-Shiffman của định lí của Bishop. Do đó là riêng và cũng riêng và theo định lí ánh xạ riêng Remmert, ảnh của nó là một tập giải tích thác triển tới đồ thị của f. Ta thấy rằng 21 và do đó . Định nghĩa 2.4: Một không gian phức X là lồi-đĩa k chiều nếu với bất kì K compact, tồn tại một compact sao cho với mọi ánh xạ phân hình với . ta có Chú ý: 1. Với k = 1 ta nói rằng X là lồi đĩa. 2. Nhắc lại rằng, một không gian phức X được gọi là k-lồi (theo nghĩa của Grauert) nếu có một hàm số khử là k-lồi tại tất cả các điểm ngoài tập compact K tức là dạng Levi của nó có ít nhất dimX-k+1 giá trị riêng dương. Với cách giải thích phù hợp của nguyên lí cực đại cho hàm số lồi, k-lồi bao hàm các lồi đĩa k chiều. 3. Điều kiện (3) của bổ đề 2.5 (cũng như định lí 2.6 và 2.7 dưới đây) sẽ được thỏa mãn nếu X là lồi đĩa k chiều. 2.1.3. Định lý thác triển kiểu Levi Trong chứng minh của định lí về ánh xạ phân hình vào một không gian phức lồi đĩa chứa một metric Hermit đa âm, ta sẽ nghiên cứu trư ng hợp trong đó một ánh xạ chỉnh hình thác triển từ tới không phải với mọi mà chỉ với z trong một số tập “đặc” S. Định nghĩa 2.5: Một tập con được gọi là đặc tại gốc nếu với bất kì lân cận U của không, không chứa trong một tập con giải tích riêng của U. Kí hiệu là một ánh xạ đánh giá tự nhiên từ không gian phổ 22 dụng Z trên tới X. Định nghĩa 2.6: Ta nói rằng X có chu trình hình học không bị chặn trong k chiều nếu tồn tại một đường với khi và với mọi t, trong đó K compact trong X. Trư ng hợp hai chiều, khi n = 1 là tương đối đặc biệt. Ta xét trư ng hợp riêng biệt này. Ở đây, S là đặc tại gốc nếu và chỉ nếu S chứa một dãy hội tụ tới 0. Với số chiều lớn hơn hai, trư ng hợp này trở nên phức tạp hơn; xem ví dụ 3.2 và 3.3 trong mục 3. Ta đưa ra một điều kiện trên X đủ để có kết luận của định lí 2.6. Định lí 2.6: Cho là một ánh xạ chỉnh hình vào một không gian phức X khả quy, chuẩn tắc. Giả sử với một dãy hội các điểm trong tụ tới điểm gốc, các hạn chế thác triển chỉnh hình trên . Và giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: ; là bị chặn đều. Khi đó tồn tại sao cho f thác triển như một ánh xạ phân hình trên . Chứng minh: Trường hợp n = 1: Xác định là tập hợp tất cả các giới hạn . Xét hợp của các thành phần giao . Ít nhất một trong các thành phần này, chẳng hạn như K, chứa hai điểm và sao 23 cho chiếu trên và chiếu trên với . Điều này là do S chứa một dãy hội tụ tới 0. Xét hạn chế của họ phổ dụng trên K. Đây là một không gian phức hữu hạn chiều. Nối các điểm và bởi một đĩa giải tích . Thì hợp không suy biến vì . Ở đây, được xác định trong chứng minh của bổ đề 2.2. Ánh xạ được hạn chế trên sẽ được kí hiệu là . Do đó, là riêng và và hiển nhiên ánh xạ cũng vậy. Do đó, là một tập giải tích trong với U đủ nhỏ thác triển bởi số chiều. Định lí 2.6 được chứng minh. Định lí 2.7:Cho là một ánh xạ chỉnh hình vào một không gian phức X khả quy, chuẩn tắc. Giả sử có một hằng số và K
, là đặc tại gốc. Khi đó, ta compact, sao cho với s thuộc tập con có các khẳng định sau: (a) Hạn chế thác triển phân hình trên đa đĩa và với mọi ; (b) và với mọi . Nếu X có chu trình hình học bị chặn theo k chiều thì tồn tại một lân cận U của 0 trong và một thác triển phân hình của f trên . Chứng minh: Trường hợp : Chứng minh tương tự định lí 2.6. 24 Trường hợp : Ta sẽ chứng minh qua hai bước. Bước 1: Cố định một điểm sao cho . Tồn tại một tập mở compact tương đối chứa sao cho là một đa tạp giải tích trong lân cận V của z. Xét tập con giải tích trong . Mỗi với có dạng , trong đó B là một chu trình compact trong . Do đó, các thành phần liên thông của tham số hóa liên thông và các đa tạp con đóng trong . Sự chỉnh hình của f trên và điều kiện (b) của định lí 2.7 cho thấy . Do đó, nếu có các thành phần liên thông không compact, điều này cũng chỉ ra tính không bị chặn của chu trình hình học của X. Do đó, tất cả các thành phần liên thông của là compact. Kí hiệu K là hợp của các thành phần liên thông của giao . Vì K compact và K, nên hiển nhiên tồn tại một tập mở compact tương đối chứa và một lân cận V của z sao cho là riêng. Theo định lí ánh xạ riêng Remmert’s, là một tập con giải tích của V. Bước 2: Nếu S là đặc tại z thì tồn tại một lân cận V của z sao cho f thác triển phân hình trên . Vì và S là đặc tại gốc, bước 1 cho thấy . . Điều này Vì nên tồn tại một hằng số C sao cho cho phép ta áp dụng bổ đề 2.5 và có được thác triển của f trên . 25 Do đó, định lí được chứng minh. Ta sẽ sử dụng định lí 2.7 khi k = 1. Trong trư ng hợp này, nó chấp nhận một sự làm mịn tốt. Một 1- chu trình được gọi là hữu tỉ nếu tất cả là các đư ng cong hữu tỉ, tức là, các ảnh của hình cầu Rieman 1 trong X qua ánh xạ chỉnh hình khác hằng. Xét không gian của các chu trình hữu tỉ , ta có thể xác định như trong định nghĩa thay vì không gian Barlet 2.6 khái niệm về chu trình hình học hữu tỉ bị chặn. Do đó, từ định lý 2.7 ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.8: Với k = 1 và các giả thiết của định lí 2.7 thì kết luận của định lí 2.7 luôn đúng khi X có chu trình hình học hữu tỉ bị chặn. Chứng minh: Trường hợp k = 1: Giới hạn của một dãy các đĩa giải tích mà có diện tích bị chặn là một đĩa giải tích thêm vào một chu trình hữu tỉ. Do vậy, ta chỉ cần xét không gian của các chu trình hữu tỉ trong trư ng hợp này. Phần còn lại thì rất rõ ràng. Điều này cho ta hệ quả 2.7. Bước 1 của chứng minh định lí 2.7 cho ta khẳng định sau và ta sẽ dùng ở phần tiếp sau. Hệ quả 2.9: Cho là một ánh xạ chỉnh hình vào một không gian phức X khả quy, chuẩn tắc có chu trình hình học bị chặn theo k chiều. Giả sử có một hằng số và một tập compact sao cho với s trong tập con . Khi đó, ta có các khẳng định sau: (a) Hạn chế thác triển phân hình trên đa đĩa và ; với mọi 26 (b) . và với mọi Khi đó tồn tại một lân cận V của 0 và một đa tạp con giải tích W của V sao cho và sao cho với mỗi thác triển phân hình trên với . Với lập luận tương tự như trên, ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.10: Cho là một ánh xạ phân hình, trong đó X là
một đa tạp phức compact với chu trình hình học hữu tỉ bị chặn. Cho S là một tập con của bao gồm các điểm s sao cho triển chỉnh hình trên hoàn toàn xác định và thác
. Nếu S không được chứa trong một hợp đếm được các đa tạp con đóng, giải tích địa phương riêng của thì tồn tại U mở khác rỗng, . và một thác triển phân hình của f trên Thật vậy, ta có thể dễ ràng suy ra sự tồn tại của một điểm , mà có thể đóng vai trò như điểm gốc trong định lí 2.7. 2.1.4. Chú ý về không gian với chu trình hình học bị chặn Để áp dụng định lí 2.7 trong chứng minhđịnh lí về ánh xạ phân hình từ một hình Hartogs vào một không gian phức lồi đĩa chứa một metric Hermit đa âm trên , ta phải kiểm tra tính bị chặn của chu trình hình học của đa tạp X mà có một dạng metric đa đóng. Ta sẽ làm việc này trong mệnh đề 2.11 dưới đây. Trước hết, ta có nhận xét sau: Nhận xét: Mọi đa tạp phức compact k+1 chiều thì đều có một (k,k)-dạng dương chặt với . Thật vậy, hoặc một đa tạp phức compact có một (k,k)-dạng dương chặt -đóng hoặc nó có một song chiều (k+1,k+1)-dòng T với nhưng không trùng với 0.Trong trư ng hợp này, dimX = k+1 như một dòng không là 27 gì nhưng hàm đa điều hòa dưới khác hằng không tồn tại trên X compact. Ta đưa vào lớp Gk của các không gian phức chuẩn tắc có một (k, k)-dạng dương chặt - đóng dương không suy biến. Chú ý rằng dãy {Gk} là khá vét cạn:Gk bao gồm tất cả các đa tạp phức compact k+1 chiều. Đưa vào lớp các không gian phức chuẩn tắc mà có một (k,k)-dạng dương chặt với . Ta có một Hopf bậc ba . Chú ý rằng Gk nhưng không thuộc G1. sẽ thuộc Mệnh đề 2.11. Cho và cho K là một thành phần bất khả quy của sao cho là compact tương đối trên X. Khi đó: 1) K là compact. 2) Nếu là một (k,k)-dạng - âm trên X thì const với . 3) X có chu trình hình học bị chặn theo k chiều. Chứng minh: là ánh xạ đánh giá và cho là một (k,k)-dạng dương chặt -âm trên X thì đo khối của Zs. Ta chứng minh rằng hàm số là đa điều hòa trên trên K. Lấy một đĩa giải tích , khi đó với mọi hàm tiêu chuẩn không âm trên , theo định lí của Stokes và dosong bậc, ta có Ở đây là phép chiếu tự nhiên. Do đó, với bất
kì đĩa giải tích trên K theo nghĩa của các hàm suy rộng. Do đó, v là đa điều hòa 28 trên. Chú ý rằng theo sự tổng quát hóa Harvey-Shiffman của định lí của Bishop khi . Do đó, theo nguyên lí cực tiểu const và K là compact theo định lí của Bishop. là đa điều hòa trên với bất kì (k, k)-dạng -âm. Vì K đã được chứng minh là compact, ta có được kết luận. . Viết , trong đó là các thành phần bất khả quy. Từ (1), ta có v là hằng số trong R. Cho nên nếu không hữu hạn thì R có một điểm tụ theo định lí của Bishop, trong đó mọi sj thuộc các phần tử Kj khác nhau của R. Điều này mâu thuẫn với thực tế rằng là một không gian phức. 2.2. Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình 2.2.1. Tổng quát của lí thuyết đa thế vị Kí hiệu là không gian của các -dạng song bậc (k,k) với giá compact trên một đa tạp phức . Định nghĩa 2.7: là thực nếu . Không gian đối ngẫu là không gian của các dòng song chiều (k,k) (song bậc (n-k,n-k), ). Hơn nữa, là thực nếu với mọi . 29 Định nghĩa 2.8: Một dòng được gọi là dương nếu với mọi . T là âm nếu –T là dương. Định nghĩa 2.9. 1. Một dòng dương. là đa dương nếu T dương và 2. Một dòng âm. là đa âm nếu T âm và 3. T là đa xác định nếu nó hoặc là đa dương hoặc là đa âm. 4. Một dòng T (không nhất thiết phải dương) là đa đóng nếu . Nếu K là compact đa cực đầy trong miền giả lồi chặt và T là dòng dương, đóng trên thì T có khối hữu hạn địa phương trong một lân cận của K (xem [13], bổ đề 2.1). Với một dòng T có một khối hữu hạn địa phương trong một lân cận của K, ta kí hiệu ̃ là thác triển tầm thư ng của T trên . Bổ đề 2.12: (a) Cho K là một compact đa cực đầy trong miền giả lồi chặt và T là một dòng đa xác định song bậc (1, 1) trên của khối hữu hạn địa phương trong một lân cận của K sao cho dT có độ đo thứ nguyên trong . Khi đó, . ̃ có độ đo thứ nguyên trên (b) Nếu là âm trong đó là và K là Hausdorff chiều 0 thì hàm đặc trưng của K. Chứng minh: Cho là dãy trơn p.s.f trong , trong lân cận của K, 30 , đều trên các tập compact trong . Cho là một hàm không tăng, khi khi và trên . Khi đó: . Thì ̃ ( ) . Cho Vế trái của 2.5 hội tụ tới . Số hạng thứ hai của vế phải có thể được ước lượng bởi bất đẳng thức Shwarz: Số hạng bị chặn đều từ trên theo (2.2) (2.2 trong [13]). Số hạng cũng bị chặn và hội tụ theo từng điểm tới 0. Vì vậy, theo định lí hội tụ bị chặn, . Do đó, với bất kì Bây gi ta sẽ tính . Từ (2.7) Do đó, với bất kì Cho trong lân cận của K, . Cho P là compact trong 31 chứa giá của .. Khi đó Tiếp theo Và Vì vậy Từ (2.8) và (2.9), ta có =〈 ̃ 〉 . = 〈 ̃ 〉 Sử dụng (2.7) và bổ đề 2.1 [Iv-2], ta có 〉 - . 〈 ̃ Chú ý rằng, dòng là đóng và âm trên . Vì vậy, theo bổ đề 32 2.1 trong [13], ̃ tồn tại và có độ đo thứ nguyên. Tiếp theo, ta viết Theo (2.1) trong [13], Và Ở đây . ‖ ̃ ‖ Ở đây, là từ bổ đề 2.2 [Iv-2]. Do đó, ta có Điều này chỉ ra rằng là một dòng thứ tự 0 tức là các hệ số của nó là các độ đo trong . Trên đây là chứng minh phần (a) cho các dòng song chiều (1,1) (trong đó, điều kiện trên được bỏ qua). Nếu T là song bậc (1, 1) thì xét . để ̃ có độ đo thứ nguyên trên (b) Lấy , bằng 0 trong là một dãy các hàm trơn đa điều hòa dưới trên một lân cận của K, sao cho đều trên các tập compact trong . Đặt . Lấy là một độ đo âm trong , kí hiệu là . Theo phần (a), phân 33 phối là một độ đo. Viết: trong đó, hiển nhiên . Kí hiệu độ đo là . Ta sẽ chứng minh rằng độ đo là không dương. Lấy một hình cầu B trong tâm sao cho ta có: . Vì ̃ là dương và Do vậy, với bất kì hình cầu như trên, ta có: . Tất cả điều này là trái, sử dụng theo định lí kiểu Vitali sau cho các độ đo tổng quát. Cho D là một tập mở trong và có độ đo Borel dương hữu hạn trên D. Hơn nữa, cho 𝓑 là một họ các hình cầu đóng có bán kính dương sao cho với bất kì điểm bán kính nhỏ tùy , họ 𝓑 chứa các hình cầu tâm tại ý. Ta có thể tìm một họ con đếm được của các hình cầu đôi một r i nhau trong 𝓑 sao cho: Ta biểu thị độ đo . qua hai độ đo không âm dưới dạng Cố định một tập con mở compact tương đối . Cho 𝓑 biểu thị một họ các hình cầu sao cho . Vì K có số chiều 0 nên K là một phủ kiểu Vitali. Cho . đôi một r i nhau sao cho Thì . 34 Do đó theo (2.1.3), ta có Như vậy, với bất kì tập mở compact tương đối D trong . Do vậy, độ đo là âm. 2.2.2. Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình từ một hình Hartogs vào một không gian phức lồi đĩa Ivashkovich đã chứng minh được một kết quả tổng quát về sự thác triển của một ánh xạ phân hình từ một hình Hartogs vào một không gian phức lồi đĩa chứa một dạng metric Hermit đa âm trên , trong đó A là tập con đóng (n-1)-cực đầy của có độ đo Hausdorff (2n-1)-chiều bằng 0. Trước hết, ta nhắc lại một số định nghĩa sau: Định nghĩa 2.10: Một tập con được gọi là p-cực (đầy) nếu với bất kì tồn tại một lân cận V của a và tọa độ trong V sao cho các tập là đa cực (đầy) trong không gian con với hầu hết , trong đó I chạy trên một tập hữu hạn các đa chỉ số với , sao cho tạo ra không gian các (p, p)-dạng. Ở đây, kí hiệu phép chiếu vào không gian của các biến số và . Để chứng minh về ánh xạ phân hình từ một hình Hartogs vào một không gian phức lồi đĩa chứa một dạng metric Hermit đa âm, Ivashkovich 35 đã chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 2.13: Cho K là compact trong của dạng , trong đó là compact có độ đo điều hòa 0 trong . Cho là (1, 1)-dạng trơn đa âm trên . Thì hệ số của là khả tổng địa phương trên toàn bộ . Bổ đề 2.14: Nếu dạng metric là đa đóng và với bất kì hình cầu sao cho , ảnh của tương ứng với 0 trong X thì trong theo nghĩa của hàm suy rộng. Bổ đề 2.15: Cho f là ánh xạ phân hình từ hình cầu thủng vào đa tạp phức compact X có một metric Hermit đa đóng. f thác triển phân hình trên toàn ) tương ứng tới 0 trong X với là hình cầu bán kính r trong . Kí hiệu nghịch ảnh bộ . nếu ( Chứng minh: Kí hiệu dưới f của dạng metric . Cho F là tập bất định của ánh xạ f . Kí hiệu (1) . Ta có: (2) là song chiều (1, 1)-dòng dương trên với hệ số trong ; , trong đó là một dạng khối trong , là độ đo giá trong . Từ giả thiết của bổ đề và tính phân hình của f trên , ta có với bất kì hình cầu sao cho , ảnh tương ứng tới 0 trong X. Bây gi ta có thể áp dụng bổ đề 2.14 và có được trong . Ta chứng minh rằng đồ thị của ánh xạ f có khối hữu hạn trong lân cận của 36 . Ta sẽ chứng minh rằng (*) . với đều khi . Cố định t sao cho f và như vậy là trơn trong lân trong (*) bị chặn khi vì là từ . cận của Bổ đề 2.16: Cho là một ánh xạ chỉnh hình vào một không gian phức X lồi đĩa. Giả sử với dãy các điểm , ta có các khẳng định sau: thác triển chỉnh hình trên (a) với mọi n; (b) . Thì thác triển chỉnh hình trên Hơn thế nữa nếu: (c) Với K compact trong X chứa tập Ta có với , thì thác triển chỉnh hình trên với V mở, . Chứng minh: Phát biểu đầu tiên là tiêu chuẩn. Ta sẽ chứng minh kết luận thứ hai. Đầu tiên ta chỉ ra rằng tức là dãy các đồ thị hội tụ trong metric Hausdorff tới đồ thị của giới hạn. Nếu không, sẽ có một dãy con (vẫn kí hiệu bởi ) 37 sao cho , trong đó là các đư ng cong compact (xem bổ đề 2.3). Ta có: (xem (2.3.2) từ [14]). Điều này mâu thuẫn với (2.2.2). Lấy một lân cận Stein V của , xem [17]. Thì với đủ nhỏ ta và nếu . Từ định lí có Hartogs cho hàm chỉnh hình ta thấy rằng thác triển tới một ánh xạ chỉnh hình từ tới V. Bổ đề 2.17: Nếu dạng metric trên một không gian phức X lồi đĩa là đa âm và W là lớn nhất thì là cực đầy trong . Chứng minh: Lấy một điểm . Chọn một miền lân cận compact V của trong . Kí hiệu dòng . Hàm xác định diện tích từ (2.2.1) bây gi có thể được viết là Điều kiện là âm có nghĩa là 38 trên . Bây gi , ta có thể ước lượng Laplacian của a: Bất đẳng thức (2.2.5) cố định với . Nhưng bên phải là trơn trong toàn bộ V. Cho là một nghiệm trơn của trong V. Đặt . Thì là siêu điều hòa và bị chặn dưới trong , có thể sau khi V bị rút gọn. . Kí hiệu E là tập hợp các điểm sao cho khi Chú ý rằng trong tư ng hợp này cũng tiến tới . Với bất kì điểm . sao cho ta có thể tìm một dãy Bởi vậy, theo bổ đề 2.16 thác triển trên . Cho như trong bổ đề 2.16 ở trên với K thích hợp, . Lấy K compact chứa . K tồn tại bởi tính lồi đĩa của X. Tập với . Từ bổ đề 2.16 ta thấy rằng là các tập con đóng của , và ta có . Hơn nữa, từ bổ đề 2.16 ta thấy rằng là một tập con r i rạc của , 39 . Đặt Với các hằng số dương được chọn sao cho . Thì là siêu điều hòa trong V, và khi với mọi . Đặt . Chú ý rằng là siêu điều hòa trong và khi . Xác định với . Chú ý rằng là siêu điều hòa trong V vì trong lân cận của . Đặt . Thì là siêu điều hòa trong V như giới hạn không giảm của các hàm siêu điều hòa. Sử dụng thực tế rằng là hữu hạn trên W, ta có được với bất kì và tức là là cực đầy trong . Do đó, bổ đề được chứng minh. Kí hiệu T là (1, 1)-dòng dương ( dạng trơn) trên . Theo bổ đề 2.13 ta có T có các hệ số khả tổng địa phương trên toàn bộ và từ bổ đề 2.12 ở trên, ta thấy rằng là một độ đo âm với giá suy biến chứa trong S. Ta viết . Hơn nữa, đặt và . Tất cả là các độ đo âm, là -hàm và . Ta giả thiết rằng dạng metric trên X là đa đóng. Nếu cần ta sẽ giả thiết S là compact. Bổ đề 2.18: Giả thiết rằng dạng metric là đa đóng và lấy một hình cầu sao cho . (i) Nếu tương ứng tới 0 trên X thì trên B. 40 (ii) Nếu thì thác triển phân hình trên B. Chứng minh: + Trư ng hợp : Đã được chứng minh trong bổ đề 2.15. + Với trư ng hợp là đóng, 0-chiều, ta chứng minh tương tự. Trong bổ đề 2.22 và 2.23, ta sẽ chứng minh kết luận này với các tham số. Định lí 2.19: Cho là một ánh xạ phân hình vào một không gian phức X lồi đĩa chứa được một dạng metric Hermit đa âm . Thì: (1) thác triển tới một ánh xạ phân hình , trong đó A là tập con đóng, (n-1)-cực đầy của độ đo Hausdorff (2n-1)- chiều là 0. (2) Nếu, thêm điều kiện, là đa đóng và nếu là tập con nhỏ nhất sao cho thác triển tới thì với mọi “transversal sphere” , ảnh của ( ) không tương ứng với không trong X. Chứng minh: a. Chứng minh trong trường hợp hai chiều: Cho một ánh xạ phân hình từ hình Hartogs hai chiều vào một không gian phức lồi đĩa cho trước. Vì tập vô định của là r i rạc, ta có thể giả sử sau khi rút gọn và là chỉnh hình trong lân cận của nếu cần, . Cho là một dạng metric đa âm trên X. Kí hiệu là tập con mở lớn nhất của đĩa đơn vị sao cho thác triển chỉnh hình vào . Chú ý rằng W chứa U trừ ra một tập r i rạc. Cho là tập hợp cơ bản của và kí hiệu là ánh xạ 41 vào đồ thị. Với xác định Ở đây . Kí hiệu là cận dưới đúng của diện tích của các đư ng cong compact phức chứa trong một tập compact thì (xem bổ đề 2.3). Ta biết rằng một tập đóng có độ đo điều hòa 0 trong mặt phẳng có số chiều Hausdorff 0. Đặt , trong đó W là miền lớn nhất trong sao cho ánh xạ thác triển chỉnh hình trên . Ta đã chứng minh được rằng là cực tức là độ đo điều hòa 0. Đặc biệt, là 0-chiều. Với bất kì , ta cần tìm sao cho . Bây gi , ta có thể thay đổi tọa độ hoặc và xét hình Hartogs , trong đó đủ nhỏ. Áp dụng bổ đề 2.17, ta thác triển trong đó có độ đo điều hòa 0. Do đó, ta có trên được một thác triển chỉnh hình của trên , trong đó S là tích của hai tập cực đầy trong . Do đó, bản thân S là cực đầy và có số chiều Hausdorff 0. Điều này chứng minh phần 1 của định lí 2.19 trong trư ng hợp 2 chiều. Từ bổ đề 2.18 ta suy ra kết luận 2 của định lí 2.19 trong trư ng hợp hai chiều. b. Chứng minh với số chiều cao hơn: Các metric đa âm. Ta chuyển sang chứng minh các định lí này với số chiều cao hơn. Trước hết, ta giả thiết metric dạng là đa âm. Cho . là ánh xạ. Đặt Bước 1: vào X, thác triển tới một ánh xạ chỉnh hình của trong đó được chứa trong một hợp hữu hạn địa phương của các đa tạp con 42 đóng riêng địa phương của và là 0-chiều và đa cực trong . Chứng minh bước 1: Cho . Kí hiệu là miền Hartogs 2-chiều trong đĩa đôi . Co nếu cần thiết, ta có thể giả thiết rằng chứa hữu hạn các phần tử bất khả quy. Kí hiệu là tập hợp các sao cho . Rõ ràng, được chứa trong hợp hữu hạn của các tập con giải tích địa phương đóng riêng của . Với , theo kết quả chứng minh trong trư ng hợp hai chiều, ánh xạ thác triển tới một ánh xạ chỉnh hình , trong đó . là 0-chiều và đa cực đầy trong Chú ý rằng . Lấy một điểm và một điểm . Ở đây, là phép chiếu trên biến . Lấy một miền là song chỉnh hình trên đĩa đơn vị, không chứa các điểm từ và chứa các điểm và . Ta lấy U giao . Nếu nằm trong với trong . Tìm một lân cận Stein V của đồ thị thì lấy như u là một vài điểm gần
. Cho là một điểm. Ta có và . Do đó, theo nguyên lí về tính liên tục đối với các hàm chỉnh hình, ta có một thác triển chỉnh hình của tới lân cận của trong . Thay đổi một chút độ dốc của -trục và lặp lại các lập luận như trên ta có được một thác triển chỉnh hình của trên lân cận của với mỗi . Bước 2: thác triển chỉnh hình trên , trong đó R là tập con đóng 43 của Hausdoff đối chiều 4. Chứng minh của bước 2: Xét một tập con chứa mà tức là . Đây là một hợp hữu hạn của các đa tạp con đóng địa phương của của đối chiều phức ít nhất 2. Do đó có đối chiều Hausdoff ít nhất 4. Với , sử dụng chứng minh trong trư ng hợp hai chiều, ta có thể thác triển chỉnh hình trên trừ một tập cực 0-chiều. Lặp lại lập luận từ bước 1, ta có thể thác triển chỉnh hình tới một lân cận của trong . Ở đây, là một đư ng cong phức chứa tất cả các thành phần 1-chiều của . có đối chiều Hausdoff ít nhất 4. Do vậy, chứng minh của bước 2 được hoàn thành khi đặt . Bước 3: Ta sẽ nói rõ bước này dưới dạng một bổ đề. Bổ đề 2.20: Tồn tại một tập con đóng, (n-1)-cực đầy và một thác triển chỉnh hình của trên sao cho dòng có các hệ số khả tổng địa phương trong một lân cận của A. Hơn nữa, âm, trong đó ̃ là thác triển tầm thường của T. Lấy một điểm , R là số đối chiều Hausdoff 4 trong , tìm một lân cận V của sao cho trong các tọa độ với hệ tọa độ này và với mọi . Theo mục a, các hạn chế thác ta có triển chỉnh hình trên , trong đó là các tập con đóng đa cực đầy trong của Hausdoff 0 chiều. Lập luận tương tự bước 1, thác triển chỉnh 44 hình tới một lân cận của . Xét dòng . Chú ý rằng T trơn, dương xác định trên và . Theo bổ đề 2.13, mỗi ánh xạ hạn chế . Ta sử dụng bất đẳng thức kiểu Oka cho các dòng đa âm: Có một hằng số sao cho với bất kì dòng đa âm T trong , với . Áp dụng 2.3.1 cho các thác triển tầm thư ng của , đa âm theo (b) của bổ đề 2.12 để đạt được khối bị chặn đều trên trên các tập compact trong . Trên , khối định chuẩn trùng với - định chuẩn. Lấy nhân tử thứ hai trong với các độ dốc khác nhau và sử dụng định lí của Fubini ta có được . Tất cả điều này là trái để chứng minh âm. Nó đủ để chỉ ra rằng với bất kì tập hợp L của (n-1) hàm tuyến tính với độ đo không dương; xem [10]. Hoàn thiện các hàm số này với hệ tọa độ và chú ý rằng hầu hết các tập hợp L của tập có số chiều Hausdoff 0 với mọi . Do đó, 45 là đa âm với mọi z’ như trên. Lấy một hàm không âm , ta có Ở đây, ta sử dụng định lí của Fubini cho -hàm và thực tế với các dòng từ mà trơn bên ngoài của tập A phù hợp và cuối cùng là sự đa âm của . Do đó, là đa âm. Ta có một thác triển của trên nhưng điều này hiển nhiên cho thấy một thác triển chỉnh hình trên , trong đó A có độ đo Hausdoff (2n-1)-chiều 0 và là (n-1)-cực đầy. Do vậy, phần đầu tiên của định lí 2.19 được chứng minh. Cho W là tập con mở lớn nhất của sao cho thác triển phân hình . trên W. Kí hiệu là số Lelong của dòng âm đóng . Bổ đề 2.21: Với các điều kiện ở trên, nếu thì Chứng minh: Tìm một hệ tọa độ trực chuẩn với tâm ở sao cho với mỗi thì giao là hữu hạn. Ở đây, là tập bất định của . Với , tập và . Chú ý rằng định lí hình học phẳng , xem [4], 46 với mọi . Vì trên W, ta thấy rằng Tích phân này (và giới hạn) có thể được ước lượng bằng tổng của các tích phân của dạng với đủ nhiều các hệ tọa độ trực chuẩn tâm tại . Ta sẽ chứng minh rằng giới hạn cuối cùng bằng 0. Đầu tiên chú ý rằng Bây gi , ta cần chứng minh rằng khi . Ta sẽ có được điều này trong bước 2. Bước 1. khi . Lấy phần tử bất khả quy của mà phép chiếu lên là toàn ánh. Đây là đồ thị của hạn chế . Làm tương tự với mọi . Lưu ý rằng . Khi , co tới một hợp hữu hạn của các đư ng cong – sợi của qua 0. Nói riêng, . Do là một 4-dạng trơn trong nó là thẳng mà . Bước 2. khi . Mặt khác, ta sẽ tìm một chuỗi sao cho . Lấy bất kì sao cho 47 và chú ý rằng với z’ gần tới 0. Thì Nhưng khi thì tích phân cuối cùng tiến tới 0 theo bước một (mâu thuẫn vì ). Vậy bổ đề được chứng minh. c. Chứng minh với số chiều cao hơn:Trường hợp đa đóng. Cố định một điểm và giả sử có một “transversal sphere” 3 trong 2-phẳng qua a sao cho ( 3) tương ứng với 0 trong X. Ta sẽ chứng minh rằng trong trường hợp này lân cận của a. Viết thác triển phân hình tới
này cho một vài lân cận của của điểm sao cho và với mọi ta có . Trước hết, ta chứng minh điều sau: Bổ đề 2.22: Giả sử rằng metric dạng trong X là đa đóng và với mọi , trong X. Thì: (i) theo nghĩa của hàm suy rộng. (ii) Tồn tại một (1, 0)-dòng trong W, trơn trong W\A sao cho . Chứng minh (i) Cho là độ trơn của là đa âm và theo tích chập. Thì 48 trong . Ta có rằng Tích phân đầu tiên triệt tiêu khi xét đến bậc. Do đó Quan sát thấy rằng , vì trong X nên vế phải của (2.4.2) tiến tới 0 khi . Ta có được . Lấy đủ hệ tọa độ như vậy ta thấy rằng . (ii) là một -đóng và -đóng (2,1)-dòng. Do vậy, nếu là -đóng sao cho thì là trơn trong W\A theo elliptic chính quy của . Ta có . Do đó, . Nên là một dòng d-đóng bậc 2 trong W. Xét hệ elliptic trong W sau: . Thì (2.4.4) có một nghiệm trong W. Thật vậy, cho là nghiệm bất kì của phương trình đầu tiên. Tìm một hàm suy rộng trong W với và đặt . Bây gi trơn trong W\A vì . Viết - dạng chung của một 1-dạng thực. Ta có và sao cho: 49 trong đó, là chính quy. Bây gi , thỏa mãn (ii). Bổ đề 2.23: Nếu là đa đóng thì khối bị chặn đều với và thác triển phân hình trên W. Chứng minh: Đặt , trong đó . Chú ý rằng nếu T là đa đóng thì S cũng là đa đóng. Tìm với S như trong bổ đề 2.22 tức là là một (0, 1)-dòng trên W, trơn trên W\A sao cho . Làm trơn theo tích chập ta cũng có . Thì với và ta có: Trong bất đẳng thức thứ nhất, ta sử dụng tính dương của T. Trong bất đẳng thức thứ hai,thực tế là dương và . Cuối cùng, trong , vì ở đó trơn. Điều này cho ta yêu cầu giới hạn với . Bổ đề 2.5 (với k = 2) cho ta thác triển của trên . Bổ đề và định lí 2.19 được chứng minh. Ta kết thúc với hai chú ý về cấu trúc của tập kì dị A của ánh xạ trong sự 50 có mặt của một dạng metric đa đóng. Xét hai phép chiếu tự nhiên và . Quan sát thấy rằng là riêng, . Tập . Ta sẽ chứng minh rằng mỗi là giả lõm trong và nhận một thế vị Sadullaev. Bổ đề 2.24: là đa cực đầy và hơn thế nữa, nó nhận một thế vị Sadullaev. Chứng minh: Nhắc lại rằng một thế vị Sadullaev cho một tập đa cực đầy đóng là một hàm đa điều hòa dưới trong sao cho là đa điều hòa trong và . Với xác định hàm xác định diện tích như trong (2.2.3). Chứng minh của bổ đề 2.17 cho thấy rằng là một (1, 1)-dạng trơn trong . Ta khẳng định rằng khi . Giả sử, có một chuỗi sao cho và với một vài và mọi k. Hệ quả 2.9 trong trư ng hợp này cho thấy một đư ng cong W trong lân cận của sao cho . Từ thác triển phân hình trên sao cho thực tế này, ta có được một “transversal sphere” 3 ( 3) trong X. Điều nàu mâu thuẫn với định lí 2.19. Bây gi , khi . Tìm một vài hàm trơn sao cho và đặt . Nhắc lại rằng một tập con đóng là giả lõm nếu là giả lồi. Hệ quả 2.25: là giả lõm. Chứng minh: Nó là đủ để chứng minh rằng với một ánh xạ chỉnh hình nếu thì . Cho là một thế vị Sadullaev của . Thì là đa điều hòa trong và do dó nó thác triển một cách đa điều hòa trên . Do đó 51 . 2.2.3. Trường hợp thuần hóa cấu trúc Hệ quả 2.26: Giả sử một đa tạp phức compact X nhận một (1, 1)-dạng dương ngặt mà là (1,1)-thành phần của một dạng đóng. là hình Hartogs trên U. Khi đó, mọi ánh xạ phân hình thác triển trên . Chứng minh: Giả sử dạng metric trong không gian X là (1, 1)-thành phần của 2- dạng thực đóng , tức là có một (2, 0)-dạng sao cho và . Do đó, . Vậy -đóng. Vì vậy, theo chứng minh là định lí 2.19, ánh xạ có thể được thác triển phân hình trên , trong đó A hoặc rỗng hoặc là tập giải tích đối chiều thuần túy bằng 2. và một lân cận W của Giả sử . Lấy một điểm song chỉnh hình tới sao cho là riêng. Ở đây, là hợp của A với tập các điểm bất định của . Ta chứng minh rằng trong W, trong đó trong . Từ bổ đề 2.15 ta thấy rằng điều mà ta cần chứng minh là với mọi . Thực vậy, đặt và trên . Thì vì , ta có: . Lấy một hàm giới hạn với giá trong một lân cận của . Thì 52 . Do vậy, là đa đóng trên W và vì thế theo bổ đề 2.23, ta có thể thác triển trên toàn bộ W. , xét miền: 3. Một số ví dụ về định lí kiểu Hartogs
Ví dụ 3.1: Trong 3 với các tọa độ đồng nhất { 3: }. Tác động tự nhiên của Sp(1, 1) trên 3 bảo toàn D, với mọi . Tác động này là bắc cầu trên D và Kato đã chứng minh, sử dụng kết quả của Vinberg, tồn tại một nhóm con r i rạc , tác động một cách riêng và không liên tục trên D sao cho là một đa tạp phức compact. Mặt phẳng chiếu 2 ={z3 = 0} giao với D bởi phần bù của hình cầu đơn vị đóng . Nếu 2, bởi 2\ 2: là phép chiếu tự nhiên thì hạn chế | 2 D: 2\ xác định
một ánh xạ chỉnh hình từ phần bù của hình cầu đơn vị đóng tới mà có tính kì dị tại mỗi điểm của Tuy nhiên, cũng rất khó để thấy rằng X không chứa vỏ cầu hai chiều hoặc ba chiều. Ví dụ 3.2. Tồn tại một ánh xạ chỉnh hình sao cho: (1) Với bất kì , ánh xạ hạn chế thác triển chỉnh hình trên ; (2) Với bất kì có một hằng số sao cho với mọi 53 ta có ; (3) Với mọi , bên trong hình tròn của hình khuyên chứa các điểm đơn của , ở đây . Chú ý: Không gian chu trình hữu tỉ trong ví dụ này có một phần tử bất khả quy không compact 4 chiều. Ví dụ 3.3: Tồn tại một đa tạp phức compact ba chiều và một ánh xạ phân hình sao cho: (1) Với mọi hình nón , có một hằng số sao cho ; (2) trong đó và ; (3) thác triển từ trên ; (4) Với mọi (trong đó ) bằng với một chu 1 trình hữu tỉ mà chứa n phần tử (đếm số bội); (5) của và 1} tạo thành một phần tử bất khả quy là một dây chuyền liên thông của các phần tử bất khả quy của . Chú ý: Ta thấy rằng không gian có thể chứa một chuỗi vô hạn dây chuyền liên thông của các phần tử bất khả quy compact có chu trình hình học hữu tỉ không bị chặn. Ví dụ 3.4: Tồn tại một dãy ánh xạ trơn từ hình vuông tới sao cho: (a) Độ dài của các đư ng cong và bị 54 chặn đều với mọi (b) Diện tích của quay về vô cực. Đầu tiên, ta có thể dựng một dãy các hàm dương, trơn, ngặt trên hình vuông mà: (a) Bằng 1 trong một vài lân cận được cố định của ; (b) Với mọi và ; : (c) . Xét metric Rieman trên hình vuông. Độ dài của bất kì đoạn song song với trục trong metric này là . trong đó diện tích là Bây gi , ta có thể nhúng vào ; xem [7]. Điều này cho ta ví dụ 55 mong muốn. Thông qua luận văn này, tôi đã tìm hiểu một số vấn đề về sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không K r cụ thể luận văn đã đạt được kết quả sau: Hệ thống kiến thức cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu. Phần trọng tâm của luận văn trình bày các kết quả về sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không K r. Bài toán nghiên cứu về sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không K r luôn là bài toán mở đối với những ngư i nghiên cứu. Một số vấn đề mà trong luận văn chưa trình bày và có thể tiếp tục nghiên cứu. Do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương đối phức tạp. Hơn nữa, do th i gian và khả năng có hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến 56 quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng việt [1]. Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu về lý thuyết các không gian phức hyperbolic, Nxb Đại học Sư phạm. [2]. Đỗ Đức Thái (2003), Cơ sở lý thuyết hàm hình học, Nxb Đại học Sư phạm. Tài liệu tiếng Anh [3]. D. Barlet, Espace analytique reduit des cycles analytiques complexes compacts d’un espace analytique complexe de dimension finie (Seminar Norguet IX), Lecture Notes in Math. 482 (1975), 1-157, springer-Verlag, New York. [4]. D. Barlet, Majorisation du volume des fibres génériques et la forme géomètrique du théorème d’applatissement, Lecture Notes in Math. 822 (1980), 1-17, Springer-Verlag, New York. [5]. E. M. Chirka, Complex analytic sets, Kluwer Academic Publishers (1989). [6]. A. Fujiki, Closedness of the Douady space of compact Kähler spaces, Publ. RIMS Kyoto Univ. 14 (1978), 1-52. [7]. M. Goromov, Partial Differential Relations, Ergeb. Math. Grenzgeb. 9, Springer-Verlag, New York (1986). [8]. H. Grauert, K. Fritzsche, Several complex Variables, Springer-Verlag, New York. [9]. R. Harvey and B. Shiffman, A characterization of holomorphic chaina, Ann. Of Math. 99 (1974), 553-587. [10]. L. Hörmander, Notions of Convexity, Progr. Math. 127 Birkhäuser, Boston (1994). [11]. Robert C. Gunning and Hugo Rossi, Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, INC. [12]. Shoshichi Kobayashi, Differential geometry of complex vector bundles, 57 (1987). [13]. S. Ivashkovich, Spherical shells as obstruction for the extension of holomorphic mappings, J. Geom. Anal. 2 (1992), 351-371. [14]. S. Ivashkovich, An example concerning extension and separate analyticity properties of meromorphic mappings, Amer. J. Math. 121 (1999), 97-130. [15]. S. Ivashkovich, The Hartogs phenomenon for holomorphically convex K hler manifolds, Math. USSR Izv. 29 (1987), 225-232. [16]. S. Ivashkovich, Extension properties of meromorphic mappings with values in non-K hler complex manifolds, 160 (2004), 795–837. [17]. Y-T. Siu, Every stein subvariety admits a stein neighborhood, Invent. 58 Math. 38 (1976), 89-100.1) Tồn tại K compact, sao cho
2) Diện tích của các ảnh
1) Cho
2) Với lập luận tương tự có thể chỉ ra rằng
3) Cho R là phần tử liên thông bất kì của
KẾT UẬN
![Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp chất lai chứa khung tetrahydro-β-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250807/kimphuong1001/135x160/50321754536913.jpg)
