Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán số học trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- LÊ PHƢƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------------------

LÊ PHƢƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

THÁI NGUYÊN - 2019

(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C KHOA H¯C

L¶ Ph(cid:247)(cid:236)ng Th£o

M¸T S¨ B(cid:128)I TO(cid:129)N S¨ H¯C

TRONG H(cid:156)NH H¯C PH(cid:143)NG

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

Th¡i Nguy¶n - 2019

(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C KHOA H¯C

L¶ Ph(cid:247)(cid:236)ng Th£o

M¸T S¨ B(cid:128)I TO(cid:129)N S¨ H¯C

TRONG H(cid:156)NH H¯C PH(cid:143)NG

Chuy¶n ng(cid:160)nh: Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p to¡n s(cid:236) c§p

M¢ sŁ: 8460113

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

Ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:247)(cid:238)ng d¤n khoa h(cid:229)c:

PGS.TS NGUY(cid:153)N VI(cid:155)T H(cid:131)I

Th¡i Nguy¶n - 2019

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

(cid:30)” ho(cid:160)n th(cid:160)nh (cid:31)(cid:247)æc lu“n v«n mºt c¡ch ho(cid:160)n ch¿nh, t(cid:230)i lu(cid:230)n nh“n (cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n v(cid:160) gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) nhi»t t…nh cıa PGS.TS. Nguy„n Vi»t H£i, Gi£ng vi¶n cao c§p Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)⁄i h(cid:229)c H£i PhÆng. T(cid:230)i xin ch¥n th(cid:160)nh b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n s¥u s›c (cid:31)‚n thƒy v(cid:160) xin gßi l(cid:237)i tri ¥n nh§t cıa t(cid:230)i (cid:31)Łi v(cid:238)i nhœng (cid:31)i•u thƒy (cid:31)¢ d(cid:160)nh cho t(cid:230)i.

T(cid:230)i xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n phÆng (cid:30)(cid:160)o t⁄o, Khoa To¡n Tin, qu(cid:254) thƒy c(cid:230) gi£ng d⁄y l(cid:238)p Cao h(cid:229)c K11 (2018 - 2020) Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)⁄i h(cid:229)c khoa h(cid:229)c - (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n (cid:31)¢ t“n t…nh truy•n (cid:31)⁄t nhœng ki‚n thøc qu(cid:254) b¡u c(cid:244)ng nh(cid:247) t⁄o (cid:31)i•u ki»n cho t(cid:230)i ho(cid:160)n th(cid:160)nh kh(cid:226)a h(cid:229)c.

T(cid:230)i xin gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n ch¥n th(cid:160)nh nh§t t(cid:238)i gia (cid:31)…nh, b⁄n b–, nhœng ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ lu(cid:230)n (cid:31)ºng vi¶n, hØ træ v(cid:160) t⁄o m(cid:229)i (cid:31)i•u ki»n cho t(cid:230)i trong suŁt qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) th(cid:252)c hi»n lu“n v«n.

Xin tr¥n tr(cid:229)ng c£m (cid:236)n!

H£i PhÆng, th¡ng ... n«m 20... Ng(cid:247)(cid:237)i vi‚t Lu“n v«n

L¶ Ph(cid:247)(cid:236)ng Th£o

Danh m(cid:246)c h…nh

1.1 Tam gi¡c Pythagore: BC 2 = AB2 + AC 2 4 . . . . . . . . . . 1.2 Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao a . . . . . . . . . . 8 . . . . 12 1.3 Tam gi¡c Heron theo s(cid:252) t«ng dƒn cıa c⁄nh l(cid:238)n nh§t 1.4 Tam gi¡c Pythagore c(cid:236) b£n v(cid:160) c¡c b¡n k‰nh r, ra, rb, rc . . . 13 1.5 T‰nh ch§t c¡c cevian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 Hai nghi»m l(cid:160) tam gi¡c vu(cid:230)ng v(cid:238)i m = 1 . . . . . . . . . . 27 2.2 Hai nghi»m l(cid:160) tam gi¡c t(cid:242) v(cid:238)i m = 2 . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n ngo⁄i ti‚p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn . . . . . . . . 31

3.1 Tø gi¡c hœu t(cid:27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Tø gi¡c hœu t(cid:27) cıa Brahmagupta . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 (cid:30)º d(cid:160)i 2 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o, chu vi, di»n t‰ch tø gi¡c . . . . . . . . 45 3.4 D(cid:252)ng tø gi¡c Brahmagupta tł tam gi¡c Heron . . . . . . . 47 3.5 Hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o AB, BC ∈ P . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (IMO 1968, #1), C¡ch gi£i thø ba . . . . . . . . . . . . . . 54 3.6

iii

Danh m(cid:246)c b£ng

1.1 Tr‰ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n . . . . . . . . . 11 1.2 H(cid:229) tam gi¡c Heron ph(cid:246) thuºc λ, v(cid:238)i 10 gi¡ tr(cid:224) λ . . . . . . 23

2.1 Ba c⁄nh l(cid:160) c§p sŁ cºng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 B(cid:160)i to¡n P 2 = nS v(cid:238)i n = 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 B(cid:160)i to¡n P 2 = nS v(cid:238)i n = 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

M(cid:246)c l(cid:246)c

Gi(cid:238)i thi»u lu“n v«n

1 Tam gi¡c Pythagore v(cid:160) tam gi¡c Heron

4 4 1.1 B(cid:160)i to¡n t…m tam gi¡c Pythagore v(cid:160) tam gi¡c Heron . . . . 4 1.1.1 C¡c bº ba Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 B(cid:160)i to¡n HG: Tam gi¡c Heron v(cid:238)i r, ra, rb, rc ∈ N . . . . . . 10 1.3 H(cid:229) c¡c tam gi¡c Heron ph(cid:246) thuºc λ . . . . . . . . . . . . . 18

2 Tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i h» thøc giœa S v(cid:160) P

24 2.1 Tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i S = m.P, m ∈ N . . . . . . . . . 24 2.1.1 Thu“t to¡n Goehl v(cid:160) thu“t to¡n Markov . . . . . . . 25 2.1.2 Hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tham sŁ nguy¶n . . . . . . . . . . . 32 2.2 Tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i P 2 = nS, n ∈ N . . . . . . . . . 35 2.2.1 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n l(cid:160) sŁ nguy¶n tŁ . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n l(cid:160) hæp sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ri¶ng: Tam gi¡c Pythagore . . . . . . . . 39

3 Mºt sŁ v§n (cid:31)• li¶n quan

41 3.1 Tø gi¡c c(cid:226) c⁄nh v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o hœu t(cid:27) . . . . . . . . . . . . 41 3.2 X¡c (cid:31)(cid:224)nh c¡c y‚u tŁ cıa tø gi¡c Brahmagupta . . . . . . . . 45 3.3 Gi(cid:238)i thi»u mºt sŁ b(cid:160)i to¡n thi Olympic . . . . . . . . . . . 50

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Gi(cid:238)i thi»u lu“n v«n

1. M(cid:246)c (cid:31)‰ch cıa (cid:31)• t(cid:160)i lu“n v«n

Nhi•u b(cid:160)i to¡n, kh¡i ni»m trong h…nh h(cid:229)c li¶n quan (cid:31)‚n sŁ h(cid:229)c. (cid:30)(cid:176)c bi»t c(cid:226) nhœng b(cid:160)i to¡n ho(cid:160)n to(cid:160)n thuºc l(cid:190)nh v(cid:252)c sŁ h(cid:229)c nh(cid:247) bº ba Pythagore, tam gi¡c Heron,...(cid:30)” gi£i quy‚t nhœng b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y th(cid:247)(cid:237)ng ph£i gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Diophantine, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Pythagore, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Pell,...v(cid:160) nhi•u ki‚n thøc s¥u v• sŁ nguy¶n tŁ n(cid:226)i ri¶ng v(cid:160) sŁ h(cid:229)c n(cid:226)i chung. (cid:30)• t(cid:160)i n(cid:160)y tr…nh b(cid:160)y nhi•u v§n (cid:31)• cıa sŁ h(cid:229)c ¡p d(cid:246)ng v(cid:160)o h…nh h(cid:229)c, mang l⁄i nhœng k‚t qu£ s¥u s›c v• b(cid:160)i to¡n h…nh h(cid:229)c gi£i b‹ng ki‚n thøc sŁ h(cid:229)c. M(cid:246)c (cid:31)‰ch cıa (cid:31)• t(cid:160)i l(cid:160):

- Tr…nh b(cid:160)y hai b(cid:160)i to¡n: t…m c¡c tam gi¡c Pythagore, t…m c¡c tam gi¡c Heron trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t. N¶u ra c¡c thu“t to¡n t…m nghi»m cıa c¡c b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t ra. C¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ri¶ng x¡c (cid:31)(cid:224)nh tam gi¡c Heron: B(cid:160)i to¡n HG t…m tam gi¡c Heron v(cid:238)i r, ra, rb, rc ∈ N, tam gi¡c c(cid:226) c¡c c⁄nh l“p th(cid:160)nh c§p sŁ cºng, l(cid:247)(cid:238)i nguy¶n c¡c tam gi¡c Heron,...

- Sß d(cid:246)ng c¡c ki‚n thøc cıa sŁ h(cid:229)c nh(cid:247): l(cid:254) thuy‚t chia h‚t, s(cid:252) ph¥n t‰ch mºt sŁ t(cid:252) nhi¶n th(cid:160)nh c¡c sŁ nguy¶n tŁ, gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Diophantine, c¡c l“p lu“n sŁ h(cid:229)c n(cid:226)i chung,...(cid:31)” nghi¶n cøu mºt sŁ tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ri¶ng quan tr(cid:229)ng cıa b(cid:160)i to¡n t…m tam gi¡c c⁄nh nguy¶n th(cid:228)a m¢n mºt trong ba (cid:31)i•u ki»n sau

- N¶u ra c¡c b(cid:160)i to¡n li¶n quan v(cid:160) c¡ch gi£i quy‚t ch(cid:243)ng: Tø gi¡c hœu t(cid:27), tø gi¡c Brahmagupta; B(cid:231)i d(cid:247)(cid:239)ng n«ng l(cid:252)c d⁄y c¡c chuy¶n (cid:31)• kh(cid:226) (cid:240) tr(cid:247)(cid:237)ng THCS v(cid:160) THPT g(cid:226)p phƒn (cid:31)(cid:160)o t⁄o h(cid:229)c sinh gi¡i m(cid:230)n H…nh h(cid:229)c.

S = mP ; P 2 = nS hay R/r = N ∈ N.

2. Nºi dung cıa (cid:31)• t(cid:160)i, nhœng v§n (cid:31)• cƒn gi£i quy‚t

D(cid:252)a v(cid:160)o c¡c t(cid:160)i li»u [2], [3], [4], [6] lu“n v«n tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ b(cid:160)i to¡n hay v• tam gi¡c nguy¶n v(cid:160) c(cid:244)ng l(cid:160) nhœng b(cid:160)i to¡n kh(cid:226) hay g(cid:176)p trong c¡c k(cid:253) thi h(cid:229)c sinh gi¡i To¡n trong n(cid:247)(cid:238)c v(cid:160) quŁc t‚. Nºi dung lu“n v«n chia l(cid:160)m 3 ch(cid:247)(cid:236)ng:

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1. Tam gi¡c Pythagore v(cid:160) tam gi¡c Heron

B(cid:160)i to¡n t…m bº ba Pythagore l(cid:160) b(cid:160)i to¡n sŁ h(cid:229)c quen thuºc, tuy nhi¶n kh(cid:230)ng th” kh(cid:230)ng nh›c l⁄i c¡c k‚t qu£ (cid:31)¢ c(cid:226) trong nhi•u c(cid:230)ng tr…nh. Vi»c l(cid:160)m n(cid:160)y c(cid:244)ng coi l(cid:160) bŒ sung c¡c ki‚n thøc c(cid:236) b£n (cid:31)ƒu ti¶n cıa b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t ra. B(cid:160)i to¡n t…m tam gi¡c Heron d¤n t(cid:238)i nhi•u tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ri¶ng th(cid:243) v(cid:224) v(cid:160) k‚t th(cid:243)c (cid:240) mºt k‚t qu£ tŒng qu¡t: H(cid:229) c¡c tam gi¡c Heron ph(cid:246) thuºc tham sŁ. Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y bao g(cid:231)m:

1.1. B(cid:160)i to¡n t…m tam gi¡c Pythagore v(cid:160) tam gi¡c Heron

1.2. B(cid:160)i to¡n HG: Tam gi¡c Heron v(cid:238)i r, ra, rb, rc ∈ N

1.3. H(cid:229) c¡c tam gi¡c Heron ph(cid:246) thuºc λ.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2. Tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i h» thøc giœa S v(cid:160) P

Nºi dung ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)• c“p (cid:31)‚n hai b(cid:160)i to¡n v• t…m tam gi¡c c⁄nh nguy¶n th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n ph(cid:246): T…m tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i S = mP v(cid:160) t…m tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i P 2 = nS. C¡c k(cid:255) thu“t sŁ h(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc v“n d(cid:246)ng gi£i c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Diophantine d⁄ng (cid:31)(cid:176)c bi»t d¤n t(cid:238)i c¡c thu“t to¡n gi£i b(cid:160)i to¡n b‹ng c¡c phƒn m•m tin h(cid:229)c. Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y bao g(cid:231)m c¡c m(cid:246)c sau:

2.1. Tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i S = mP, m ∈ N

2.2. Tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i P 2 = nS, n ∈ N.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3. Mºt sŁ v§n (cid:31)• li¶n quan

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3 x†t b(cid:160)i to¡n tam gi¡c nguy¶n m(cid:240) rºng cho tø gi¡c hœu t(cid:27) v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ti‚p c“n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) 2 ch(cid:247)(cid:236)ng 1 v(cid:160) 2. Ph†p d(cid:252)ng tø gi¡c hœu

t(cid:27) nºi ti‚p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (tø gi¡c Brahmagupta) (cid:31)(cid:247)æc gi£i quy‚t tr(cid:229)n v(cid:181)n. — (cid:31)¥y c(cid:244)ng tr…nh b(cid:160)y mºt v(cid:160)i b(cid:160)i to¡n h…nh h(cid:229)c c(cid:226) nºi dung sŁ h(cid:229)c (cid:31)¢ g(cid:176)p trong c¡c k(cid:253) thi h(cid:229)c sinh gi¡i, thi Olympic c¡c n(cid:247)(cid:238)c. Nºi dung cıa ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc chia th(cid:160)nh 3 phƒn:

3.1. Tø gi¡c c(cid:226) c⁄nh v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o hœu t(cid:27)

3.2. X¡c (cid:31)(cid:224)nh c¡c y‚u tŁ cıa tø gi¡c Brahmagupta

3.3. Gi(cid:238)i thi»u mºt sŁ b(cid:160)i to¡n thi Olympic.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Tam gi¡c Pythagore v(cid:160) tam gi¡c

Heron

1.1 B(cid:160)i to¡n t…m tam gi¡c Pythagore v(cid:160) tam gi¡c

Heron

1.1.1 C¡c bº ba Pythagore

Trong h…nh h(cid:229)c c(cid:226) mºt (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) quan tr(cid:229)ng v(cid:160) quen thuºc: (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Pythagore. Nºi dung cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) l(cid:160) "trong mºt tam gi¡c vu(cid:230)ng b…nh ph(cid:247)(cid:236)ng c⁄nh huy•n b‹ng tŒng b…nh ph(cid:247)(cid:236)ng hai c⁄nh g(cid:226)c vu(cid:230)ng", h…nh 1.1 V… v“y m(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh x2 + y2 = z2 v(cid:238)i x, y, z l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n, (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Pythagore. v(cid:160) nghi»m t(cid:252) nhi¶n (x, y, z) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng

H…nh 1.1: Tam gi¡c Pythagore: BC 2 = AB2 + AC 2

tr…nh n(cid:160)y g(cid:229)i l(cid:160) bº ba Pythagore.

Trong sŁ h(cid:229)c, t“p hæp c¡c sŁ nguy¶n tŁ c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc xem l(cid:160) mºt bº gen ho(cid:160)n ch¿nh d(cid:242)ng (cid:31)” x¥y d(cid:252)ng to(cid:160)n bº c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n. GiŁng nh(cid:247) mØi con ng(cid:247)(cid:237)i c(cid:226) nhœng (cid:31)(cid:176)c (cid:31)i”m ri¶ng bi»t do ch(cid:243)ng ta c(cid:226) nhœng bº gen kh¡c nhau, c¡c sŁ c(cid:244)ng v“y mØi con sŁ kh¡c nhau s(cid:240) hœu mºt bº gen kh¡c nhau. V… 12 = 2.2.3 = 22.3 ta c(cid:226) th” n(cid:226)i sŁ 12 c(cid:226) hai gen sŁ 2 v(cid:160) mºt gen sŁ 3, trong khi (cid:31)(cid:226) 90 = 2.3.3.5 = 2.32.5 c(cid:226) mºt gen sŁ 2, hai gen sŁ 3 v(cid:160) mºt gen sŁ 5.

Mºt c¡ch tŒng qu¡t, khi sŁ t(cid:252) nhi¶n n (cid:31)(cid:247)æc ph¥n t‰ch ra thła sŁ nguy¶n

tŁ nh(cid:247) sau

1 · pα2

2 . . . pαk

th… ta n(cid:226)i n c(cid:226) α1 gen p1, α2 gen p2, . . . , αk gen pk.

Ta nh›c l⁄i mºt t‰nh ch§t sŁ h(cid:229)c, c(cid:226) th” (cid:31)(cid:176)t t¶n l(cid:160) t‰nh "t¡ch (cid:31)(cid:247)æc":n‚u a.b = A2 (sŁ ch‰nh ph(cid:247)(cid:236)ng), a, b ∈ N th… a v(cid:160) b ph£i c(cid:226) d⁄ng a = u2 ·w, b = v2.w v(cid:238)i u, v, w ∈ N. C(cid:226) th” gi£i th‰ch nh(cid:247) sau: n‚u sŁ l(cid:247)æng gen p trong a l(cid:160) l· th… sŁ l(cid:247)æng gen p c(cid:226) trong b c(cid:244)ng s‡ l(cid:160) l·, v… v“y sŁ l(cid:247)æng gen trong a, b ph£i l(cid:160) sŁ chﬁn. B‹ng c¡ch t“p hæp c¡c lo⁄i gen l· n(cid:160)y l⁄i th(cid:160)nh sŁ w th… ta s‡ c(cid:226) a = u2w, b = v2w.

Gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Pythagore x2 + y2 = z2. B(cid:247)(cid:238)c 1. Ta c(cid:226) x2 = z2 − y2 = (z − y)(z + y). Theo t‰nh ch§t t¡ch th… z + y = u2w, z − y = v2w v(cid:160) x = uvw. V“y nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh ch‰nh l(cid:160)



n = pα1

x = uvw

y =

 

(cid:0)u2 − v2(cid:1) w 2 (cid:0)u2 + v2(cid:1) w 2 B(cid:247)(cid:238)c 2. Ta cƒn chøng minh y, z ∈ N. Th“t v“y, n‚u w = 2m + 1 th… z + y = u2(2m + 1); z − y = v2(2m + 1). Tł 2 (cid:31)ﬂng thøc suy ra 2z = (cid:0)u2 + v2(cid:1) (2m+1) v(cid:160) 2y = (cid:0)u2 − v2(cid:1) (2m+1). Nh(cid:247) v“y, (cid:0)u2 + v2(cid:1) v(cid:160) u2 − v2 (cid:31)•u chﬁn, tøc y, z l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n. CÆn n‚u w chﬁn th… hi”n nhi¶n y, z ∈ N. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp w chﬁn ta (cid:31)(cid:176)t w = 2s, nghi¶m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh l(cid:160) x = 2uvs, y = (cid:0)u2 − v2(cid:1) s, z = (cid:0)u2 + v2(cid:1) s.

z =

Khi (cid:0)u2 + v2(cid:1) v(cid:160) (cid:0)u2 − v2(cid:1) l(cid:160) c¡c sŁ chﬁn th… ta (cid:31)(cid:176)t u = v + 2k, suy ra

  

vi‚t l⁄i th(cid:160)nh

x = (v + 2k)vw = (cid:0)v2 + 2kv(cid:1) w y = (cid:0)2kv + 2k2(cid:1) w z = (cid:0)v2 + 2kv + 2k2(cid:1) w

Trong c£ hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tr¶n ta c(cid:226) nghi»m tŒng qu¡t cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Pythagore l(cid:160):

 



x = (cid:2)(x + k)2 − k2(cid:3) w, y = 2(v + k)kw, z = (cid:2)(v + k)2 + k2(cid:3) w

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Pythagore c(cid:226) v(cid:230) sŁ nghi»m ph(cid:246) thuºc 3 tham sŁ. Tuy nhi¶n v(cid:238)i n ≥ 3, Fermat khﬂng (cid:31)(cid:224)nh r‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh xn + yn = zn kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m nguy¶n kh¡c 0.

V(cid:238)i c = 1 ta c(cid:226) bº ba Pythagore x = 2ab, y = a2 − b2, z = a2 + b2 do Euclide t…m ra (kho£ng 300 n«m tr(cid:247)(cid:238)c C(cid:230)ng nguy¶n). Bº ba n(cid:160)y l(cid:160) v‰ d(cid:246) v• mºt bº ba Pythagore c(cid:236) b£n (c¡c canh t(cid:247)(cid:236)ng øng cıa ch(cid:243)ng l(cid:160) a = 2mn, b = m2 − n2, c = m2 + n2 trong (cid:31)(cid:226) m, n l(cid:160) nguy¶n tŁ c(cid:242)ng nhau, ch¿ c(cid:226) m(cid:230)t sŁ l·). Ta c(cid:226) c¡c t‰nh ch§t sau cıa bº ba Pythagore c(cid:236) b£n (a, b, c) (xem trong [1]):

(i) Hai canh g(cid:226)c vu(cid:230)ng m2−n2 v(cid:160) 2mn, c⁄nh 2mn g(cid:229)i l(cid:160) c⁄nh g(cid:226)c vu(cid:230)ng

chﬁn; c = m2 + n2 l(cid:160) c⁄nh huy•n.

l(cid:160) sŁ ch‰nh ph(cid:247)(cid:236)ng.

x = c.(2ab) y = c. (cid:0)a2 − b2(cid:1) , a, b, c ∈ N, a > b z = c. (cid:0)a2 + b2(cid:1)

(ii) Trong 3 sŁ a, b, c c(cid:226) nhi•u nh§t mºt sŁ ch‰nh ph(cid:247)(cid:236)ng. T(cid:231)n t⁄i v(cid:230) sŁ bº ba Pythagore c(cid:236) b£n m(cid:160) c⁄nh huy•n (ho(cid:176)c c⁄nh g(cid:226)c vu(cid:230)ng) l(cid:160) ch‰nh ph(cid:247)(cid:236)ng. TŒng cıa c⁄nh huy•n v(cid:160) c⁄nh g(cid:226)c vu(cid:230)ng chﬁn cıa bº ba Pythagore c(cid:236) b£n lu(cid:230)n l(cid:160) sŁ ch‰nh ph(cid:247)(cid:236)ng.

(cid:18)

(cid:19)

(c − a)(c − b) 2

(iii) Di»n t‰ch

l(cid:160) sŁ t(cid:252) nhi¶n chﬁn. Trong hai sŁ a, b c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng

mºt sŁ l·; v(cid:160) c l(cid:160) sŁ l·.

(iv) Trong 3 sŁ a, b, c c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng mºt sŁ chia h‚t cho 5.

S = ab 2

(v) Trong 4 sŁ a, b, a + b, b − a c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng mºt sŁ chia h‚t cho 7; trong 4 sŁ a + c, b + c, c − a, c − b c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng mºt sŁ chia h‚t cho 8 (cho 9); trong 6 sŁ a, b, 2a + b, 2a − b, 2b + a, 2b − a c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng mºt sŁ chia h‚t cho 11.

1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron

C(cid:226) mºt sŁ c¡ch x¡c (cid:31)(cid:224)nh kh¡i ni»m "tam gi¡c Heron". Trong (cid:31)• t(cid:160)i n(cid:160)y

ta ch(cid:229)n c¡ch x¡c (cid:31)(cid:224)nh sau:

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1. Tam gi¡c Heron l(cid:160) tam gi¡c m(cid:160) (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh a, b, c v(cid:160) di»n t‰ch S cıa n(cid:226) l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n.

Tam gi¡c Heron (cid:31)(cid:247)æc k(cid:254) hi»u b(cid:240)i chœ HT. K(cid:254) hi»u HT [x, y, z; S] (cid:31)(cid:247)æc hi”u l(cid:160) tam gi¡c Heron c⁄nh x, y, z, di»n t‰ch S . HT [x, y, z; S] (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c(cid:236) b£n (hay nguy¶n thıy) n‚u (x, y, z) = 1. Trong khi t…m c¡c tam gi¡c Heron c(cid:226) th” cho k‚t qu£ c⁄nh v(cid:160) di»n t‰ch l(cid:160) sŁ hœu t(cid:27), b‹ng c¡ch nh¥n t§t c£ v(cid:238)i bºi sŁ chung nh(cid:228) nh§t cıa m¤u ta v¤n (cid:31)(cid:247)æc nghi»m t(cid:252) nhi¶n. T§t c¡c tam gi¡c Heron hœu t(cid:27), k(cid:254) hi»u l(cid:160) RT , ho(cid:160)n to(cid:160)n x¡c (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:247)æc tam gi¡c Heron (nguy¶n) v(cid:160) ng(cid:247)æc l⁄i. Vi»c t…m c¡c c(cid:230)ng thøc cho tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n b‹ng h…nh h(cid:229)c thuƒn t(cid:243)y g(cid:176)p nhi•u kh(cid:226) kh«n. Tuy nhi¶n b‹ng c¡ch sß d(cid:246)ng "l(cid:254) thuy‚t sŁ" ta kh(cid:230)ng nhœng tr¡nh (cid:31)(cid:247)æc nhœng kh(cid:226) kh«n (cid:31)(cid:226) m(cid:160) cÆn t…m (cid:31)(cid:247)æc c¡c c(cid:230)ng thøc bi”u di„n (cid:31)(cid:236)n gi£n.

Tam gi¡c Heron (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t theo t¶n cıa nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c Hy L⁄p "Heron of

Alexandria" v… n(cid:226) c(cid:226) li¶n quan (cid:31)‚n c(cid:230)ng thøc t‰nh di»n t‰ch

(cid:113)

v(cid:238)i

V(cid:238)i c¡ch x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) v“y ta ph¡t bi”u v(cid:160) chøng minh mºt sŁ t‰nh ch§t

cıa tam gi¡c Heron, c(cid:226) tham kh£o v(cid:160) h» thŁng trong [3].

T‰nh ch§t 1.1.1. B§t k… mºt tam gi¡c n(cid:160)o c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh t⁄o th(cid:160)nh mºt bº ba Pythagore (cid:31)•u l(cid:160) mºt HT [x, y, z; S].

Chøng minh. V… bº ba sŁ Pythagore l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) di»n t‰ch cıa n(cid:226) b‹ng mºt nßa t‰ch hai c⁄nh g(cid:226)c vu(cid:230)ng, trong (cid:31)(cid:226) 1 c⁄nh g(cid:226)c vu(cid:230)ng ph£i l(cid:160) sŁ chﬁn.

s(s − a)(s − b)(s − c), s = S = a + b + c 2

Mºt v‰ d(cid:246) cho mºt tam gi¡c Heron kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) tam gi¡c vu(cid:230)ng l(cid:160) tam gi¡c c(cid:226) a = 5, b = 5, c = 6 v(cid:238)i di»n t‰ch l(cid:160) 12; tam gi¡c n(cid:160)y thu (cid:31)(cid:247)æc b‹ng c¡ch gh†p hai tam gi¡c c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh l(cid:160) 3, 4, 5 d(cid:229)c theo c⁄nh c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i b‹ng 4. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p tŒng qu¡t cho c¡ch l(cid:160)m n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc minh h(cid:229)a (cid:240) h…nh 1.2: L§y mºt tam gi¡c v(cid:238)i (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh l(cid:160) mºt bº ba Pythagore a, b, c (c l(cid:160) sŁ l(cid:238)n nh§t); mºt tam gi¡c kh¡c c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh l(cid:160) mºt bº ba sŁ Pythagore a, d, e (e l(cid:160) sŁ l(cid:238)n nh§t), gh†p ch(cid:243)ng l⁄i d(cid:229)c theo c⁄nh c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i l(cid:160) a (cid:31)” (cid:31)(cid:247)æc mºt tam gi¡c c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n

c⁄nh (cid:31)¡y nh¥n v(cid:238)i chi•u cao). Mºt c¥u h(cid:228)i th(cid:243) v(cid:224) (cid:31)(cid:176)t ra l(cid:160) li»u t§t c£ c¡c

H…nh 1.2: Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao a

tam gi¡c Heron (cid:31)•u c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc t⁄o ra b‹ng c¡ch gh†p hai tam gi¡c vu(cid:230)ng (v(cid:238)i (cid:31)º d(cid:160)i c¡c c⁄nh l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n (bº ba Pythagore)) nh(cid:247) tr…nh b(cid:160)y (cid:240) tr¶n kh(cid:230)ng? C¥u tr£ l(cid:237)i l(cid:160) kh(cid:230)ng. N‚u ta l§y mºt tam gi¡c Heron v(cid:238)i (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh l(cid:160) 0, 5; 0, 5 v(cid:160) 0, 6 th… rª r(cid:160)ng n(cid:226) kh(cid:230)ng th” (cid:31)(cid:247)æc gh†p tł hai tam gi¡c v(cid:238)i (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh (cid:31)•u t(cid:252) nhi¶n. Ho(cid:176)c mºt v‰ d(cid:246) kh¡c t(cid:247)(cid:237)ng minh h(cid:236)n, l(cid:160) l§y mºt tam gi¡c v(cid:238)i (cid:31)º d(cid:160)i c¡c c⁄nh 5, 29, 30 v(cid:238)i di»n t‰ch 72, th… s‡ kh(cid:230)ng c(cid:226) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao n(cid:160)o cıa n(cid:226) l(cid:160) mºt sŁ t(cid:252) nhi¶n.

T‰nh ch§t 1.1.2. C(cid:226) th” chia mºt tam gi¡c Heron th(cid:160)nh hai tam gi¡c vu(cid:230)ng m(cid:160) (cid:31)º d(cid:160)i c¡c c⁄nh cıa ch(cid:243)ng t⁄o th(cid:160)nh nhœng bº ba Pythagore hœu

(b + d) · a (mºt nßa c, e, b + d, v(cid:160) c(cid:226) di»n t‰ch l(cid:160) mºt sŁ hœu t(cid:27): S = 1 2

t¿ (3 c⁄nh l(cid:160) c¡c sŁ hœu t(cid:27) th(cid:228)a m¢n ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Pythagore).

v“y, v… di»n t‰ch tam gi¡c l(cid:160): S =

Chøng minh. X†t h…nh 1.2 v(cid:238)i c, e, b + d v(cid:160) di»n t‰ch tam gi¡c S l(cid:160) nhœng sŁ hœu t¿. Ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” ch(cid:229)n c¡ch k(cid:254) hi»u sao cho (cid:31)º d(cid:160)i c⁄nh b + d l(cid:160) l(cid:238)n nh§t, khi (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng vu(cid:230)ng g(cid:226)c h⁄ tł (cid:31)¿nh (cid:31)Łi di»n xuŁng c⁄nh n(cid:160)y n‹m b¶n trong c⁄nh. (cid:30)” chøng minh c¡c bº ba (a, b, c) v(cid:160) (a, d, e) l(cid:160) c¡c bº ba Pythagore, ta ph£i chøng minh a, b v(cid:160) d l(cid:160) nhœng sŁ hœu t¿. Th“t 2S 1 b + d 2 l(cid:160) mºt sŁ hœu t¿, v… S v(cid:160) b + d (cid:31)•u l(cid:160) nhœng sŁ hœu t¿. Phƒn cÆn l⁄i cƒn chøng minh b v(cid:160) d hœu t¿.

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Pythagore (cid:31)Łi v(cid:238)i hai tam gi¡c vu(cid:230)ng, ta c(cid:226) a2+b2 = c2

v(cid:160) a2 + d2 = e2. Trł v‚ theo v‚ hai (cid:31)ﬂng thøc

(b + d)ad. R(cid:243)t a ta (cid:31)(cid:247)æc a =

b2 − d2 = c2 − e2

V‚ ph£i l(cid:160) hœu t¿, b(cid:240)i v… theo gi£ thi‚t c, e v(cid:160) b + d l(cid:160) nhœng sŁ hœu t¿. Do (cid:31)(cid:226), b − d l(cid:160) hœu t¿. Ta l⁄i c(cid:226) (b + d) l(cid:160) hœu t¿ theo gi£ thi‚t, suy ra (b + d) + (b − d) l(cid:160) hœu t¿. Hay 2b l(cid:160) hœu t¿. Suy ra b hœu t¿ v(cid:160) d c(cid:244)ng ph£i l(cid:160) sŁ hœu t¿.

T‰nh ch§t 1.1.3. B(cid:160)i to¡n t…m c¡c tam gi¡c Heron t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Diophantine, trong (cid:31)(cid:226), S, s l(cid:160) di»n t‰ch, chu vi tam gi¡c ABC

⇔b − d = ⇔(b − d)(b + d) = c2 − e2 c2 − e2 b + d

C(cid:230)ng thøc tŒng qu¡t c¡c tam gi¡c Heron (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc c(cid:230)ng bŁ b(cid:240)i Brah-

magupta v(cid:160) Carmichael n«m 1952 (theo Dickson 2005, p. 193), (cid:31)(cid:226) l(cid:160)

(1.1)

(1.2)

S2 = s(s − a)(s − b)(s − c)

(1.3)

a = n (cid:0)m2 + k2(cid:1) b = m (cid:0)n2 + k2(cid:1) c = (m + n) (cid:0)m.n − k2(cid:1)

(1.4)

s = m.n(m + n)

S = kmn(m + n) (cid:0)mn − k2(cid:1) (1.5) (cid:30)¥y l(cid:160) mºt ki”u trong l(cid:238)p c¡c tam gi¡c Heron v(cid:238)i m(cid:229)i m, n, k ∈ N sao cho

v(cid:160) m ≤ n ≤ 1.

Theo (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) th” li»t k¶ mºt sŁ tam gi¡c Heron s›p x‚p theo s(cid:252) t«ng

cıa c⁄nh l(cid:238)n nh§t trong tam gi¡c:

(m, n, k) = 1, m.n > k2 ≥ m2 · n (2m + n)

(3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8),

(6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13),

(9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15),

c(cid:226) di»n t‰ch lƒn l(cid:247)æt 6, 12, 12, 24, 48, 30, 60, 54, ....

V‰ d(cid:246) 1.1.1. Tr‰ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n x‚p theo di»n t‰ch t«ng dƒn, n‚u c(cid:242)ng di»n t‰ch th… x‚p theo chu vi t«ng dƒn.

N«m 1994, trong Mathmatical Notes, Vol. 55, N0 2, S. Sh. Kozhegel’dinov (Nga) (cid:31)¢ c(cid:230)ng bŁ k‚t qu£ b(cid:160)i to¡n t…m c¡c tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n v(cid:238)i 6 ki”u bi”u di„n kh¡c nhau v(cid:160) vi»c t…m tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n (cid:31)(cid:247)æc coi l(cid:160) ho(cid:160)n th(cid:160)nh. Sau (cid:31)¥y ta x†t mºt sŁ b(cid:160)i to¡n t…m tam gi¡c Heron k–m theo mºt sŁ (cid:31)i•u ki»n (cid:31)(cid:176)c bi»t.

1.2 B(cid:160)i to¡n HG: Tam gi¡c Heron v(cid:238)i r, ra, rb, rc ∈ N

Tam gi¡c Heron HT [a, b, c, S], ngo(cid:160)i t¶n g(cid:229)i tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n, cÆn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh(cid:230)ng ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc n‚u 3 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao ha, hb, hc /∈ N, tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tr¡i l⁄i tam gi¡c (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc, tøc l(cid:160) ‰t nh§t 1 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao l(cid:160) sŁ t(cid:252) nhi¶n. Ti‚p theo ta k(cid:254) hi»u t¥m c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p v(cid:160) b(cid:160)ng ti‚p lƒn l(cid:247)æt l(cid:160) I, Ia, Ib, Ic. — (cid:31)¥y ta x†t mºt b(cid:160)i to¡n t…m tam gi¡c Heron v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n ch(cid:176)t h(cid:236)n v• b¡n k‰nh r, ra, rb, rc: B(cid:160)i to¡n HG: T…m tam gi¡c Heron sao cho r, ra, rb, rc ∈ N, trong (cid:31)(cid:226)

(10, 13, 13), (10, 10, 16), ...

Di»n t‰ch TG Chu vi TG (cid:30)º d(cid:160)i b + d (cid:30)º d(cid:160)i e (cid:30)º d(cid:160)i c

108

114

120

126

108

126

132

B£ng 1.1: Tr‰ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n

H…nh 1.3: Tam gi¡c Heron theo s(cid:252) t«ng dƒn cıa c⁄nh l(cid:238)n nh§t

Gi£i (cid:31)ƒy (cid:31)ı v(cid:160) (cid:31)(cid:247)a ra thu“t to¡n t…m h‚t c¡c nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n HG l(cid:160) c(cid:230)ng vi»c kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:236)n gi£n. Ch(cid:243)ng t(cid:230)i ch¿ dłng l⁄i (cid:240) vi»c (cid:31)(cid:247)a ra k‚t lu“n t(cid:247)(cid:237)ng minh trong mºt sŁ tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c(cid:246) th”.

r, ra, rb, rc lƒn l(cid:247)æt l(cid:160) b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p v(cid:160) c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn b(cid:160)ng ti‚p cıa tam gi¡c.

(a + b + c) ∈ N v(cid:160) di»n t‰ch S = 1 2 1 2

• Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp nghi»m l(cid:160) tam gi¡c Pythagore. Gi£ sß ABC l(cid:160) tam gi¡c Pythagore c(cid:236) b£n v(cid:238)i a2 + b2 = c2. Ta th§y trong hai sŁ a, b ph£i c(cid:226) mºt sŁ l·, c c(cid:244)ng cƒn ph£i l·. Do (cid:31)(cid:226), nßa chu ab ∈ N. C¡c c⁄nh tam gi¡c vi P = Pythagore c(cid:236) b£n c(cid:226) th” bi”u di„n (cid:31)(cid:247)æc d⁄ng m2 − n2 v(cid:160) 2mn l(cid:160) hai c⁄nh g(cid:226)c vu(cid:230)ng, m2 + n2 l(cid:160) c⁄nh huy•n v(cid:238)i m, n ∈ N. G(cid:229)i r, ra, rb, rc l(cid:160) b¡n k‰nh c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p v(cid:160) b(cid:160)ng ti‚p (cid:31)Łi di»n c¡c g(cid:226)c A, B, C, t(cid:247)(cid:236)ng øng. Trong mØi bº ba Pythagore c(cid:236) b£n b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p v(cid:160) 3 b¡n k‰nh cıa ba (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn b(cid:160)ng ti‚p l(cid:160) sŁ t(cid:252) nhi¶n, h…nh 1.4. Ng(cid:247)æc l⁄i n‚u tam gi¡c vu(cid:230)ng ABC c(cid:226) b§t k(cid:253) 3 trong 4 sŁ r, ra, rb, rc l(cid:160) sŁ t(cid:252) nhi¶n th… d„ th§y ba sŁ a,b,c l(cid:160) sŁ t(cid:252) nhi¶n v…

a = r + ra = rc − rb ∈ N b = r + rb = rc − ra ∈ N

H…nh 1.4: Tam gi¡c Pythagore c(cid:236) b£n v(cid:160) c¡c b¡n k‰nh r, ra, rb, rc

n¶n ABC l(cid:160) tam gi¡c Pythagore. Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226):

M»nh (cid:31)• 1.1. M(cid:229)i tam gi¡c Pythagore c(cid:236) b£n (cid:31)•u l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n HG.

c = ra + rb = rc − r ∈ N

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

• Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp nghi»m l(cid:160) tam gi¡c c¥n V(cid:238)i tam gi¡c c¥n, chﬂng h⁄n, (a, b, c) = (5, 5, 6) th… (S, r, ra, rb, rc) =

Ta c(cid:226) k‚t qu£ tŒng qu¡t sau:

M»nh (cid:31)• 1.2. ABC l(cid:160) tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n v(cid:238)i a = b th… ra = rb ∈ N cÆn r v(cid:160) rc kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i nguy¶n.

12, , 4, 4, 6 60, , 12, 12, ; (a, b, c) = (13, 13, 10) th… (S, r, ra, rb, rc) = 10 3 15 2 3 2

n¶n

Chøng minh. Ta c(cid:226) P = a +

, P − a = s − b = , P − c = a − c 2 c 2 c 2 √

r 4 4a2 − c2, k†o theo 4a2 − c2 = m2 v(cid:238)i m ∈ N n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Do (cid:31)(cid:226), S = −c2 ≡ m2(mod4), nh(cid:247) v“y c = 2d, m = 2n v(cid:238)i d, n ∈ N n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) th(cid:228)a

= n. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), (d, n) = 1. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra: S = dn v(cid:160) ra = rb = S P − a

N‚u (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i c(cid:226) r, rc ∈ N th…

= ; r = rc = S s dn a + d dn a − d

∈ N rc − r = 2d2 n

Ta (cid:31)¢ chøng minh (cid:31)(cid:247)æc: M(cid:229)i tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n c¥n kh(cid:230)ng l(cid:160)

nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n HG.

2d2n a2 − d2 = tøc l(cid:160) n ∈ {1, 2}. V… n2 = (a + d)(a − d) n¶n kh(cid:230)ng c(cid:226) n = 1 ho(cid:176)c n = 2 (cid:31)” d ∈ N.

M»nh (cid:31)• 1.3. Khi 3 c⁄nh tam gi¡c Heron l(cid:160) c§p sŁ cºng, b(cid:160)i to¡n HG c(cid:226) duy nh§t nghi»m (a, b, c) = (3, 4, 5).

•Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp nghi»m l(cid:160) tam gi¡c c(cid:226) c⁄nh l“p th(cid:160)nh c§p sŁ cºng Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tam gi¡c Heron v(cid:238)i c¡c c⁄nh l“p th(cid:160)nh c§p sŁ cºng th(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)(cid:247)æc x†t v… k‚t qu£ c(cid:244)ng thu (cid:31)(cid:247)æc mºt l(cid:238)p c¡c tam gi¡c Heron (cid:31)(cid:176)c bi»t.

Chøng minh. Ta c(cid:226) s =

, s − a = + d, s − b = , s − c = b 2 b 2 3b 2 b 2

b 4 − d n¶n (cid:112)3 (b2 − 4d2), k†o theo b2 − 4d2 = 3m2 v(cid:238)i m ∈ N n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Do S = (cid:31)(cid:226), b2 ≡ 3m2(mod4), nh(cid:247) v“y b = 2e, m = 2n v(cid:238)i e, n ∈ N n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) th(cid:228)a

= 3n = 3n v(cid:160) rb = S s − b

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), ra = = = Gi£ sß ra, rc ∈ N. Khi (cid:31)(cid:226) do c2 − d2 = 3n2 n¶n

; rc = (e, n) = 1. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra: S = 3en v(cid:160) rb = S s − a 3en c + d S s − b S s − c 3en c − d

∈ N ra + rc = 2e2 n

6e2n c2 − d2 = l“p tøc suy ra n ∈ {1, 2}. N‚u n = 1 th… 3 = 3n2 = (e + d)(e − d) n¶n e = 2, d = 1, tøc l(cid:160) (a, b, c) = (3, 4, 5). N‚u n = 2 th… 12 = (e + d)(e − d). V… (e, d) = 1 n¶n kh(cid:230)ng th” c(cid:226) (e + d, e − d) = (6, 2). Ch¿ cÆn l⁄i kh£ n«ng (e + d, e − d) = (12, 1) ho(cid:176)c b‹ng (4, 3), kh(cid:230)ng th” cho d ∈ N.

• Hai h(cid:229) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n HG V(cid:238)i tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n (kh(cid:230)ng l(cid:160) tam gi¡c Pythagore) c(cid:226) th” c(cid:226) t§t c£ r, ra, rb, rc ∈ N. Chﬂng h⁄n (a, b, c) = (7, 15, 20) th… (S, r, ra, rb,rc) =

t‰ch (cid:31)(cid:247)æc. Ta s‡ ch¿ ra b(cid:160)i to¡n HG c(cid:226) v(cid:230) sŁ nghi»m ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc:

M»nh (cid:31)• 1.4. ( xem [1], [3]) C(cid:226) mºt h(cid:229) c¡c tam gi¡c Heron (kh(cid:230)ng l(cid:160) tam gi¡c Pythagore) c(cid:236) b£n v(cid:160) ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n HG.

Chøng minh. V(cid:238)i n > 1, l§y

= 12 n¶n n(cid:226) ph¥n (42, 2, 3, 7, 42). Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng v(cid:238)i tam gi¡c n(cid:160)y, ha = 2S a

V… b l· v(cid:160) a + b − c = 2 n¶n tam gi¡c l(cid:160) c(cid:236) b£n v(cid:238)i m(cid:229)i n > 1. C(cid:244)ng

v“y, tł c + 2 = a + b ta c(cid:226)

a = 4n2 b = 4n3 − 2n2 + 1 = (2n + 1) (cid:0)2n2 − 2n + 1(cid:1) c = 4n3 + 2n2 − 1 = (2n − 1) (cid:0)2n2 + 2n + 1(cid:1)

D§u b‹ng x£y ra khi v(cid:160) ch¿ khi n = 1. Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i n > 1 c¡c tam

gi¡c l(cid:160) nh(cid:229)n nh(cid:247) v“y kh(cid:230)ng l(cid:160) tam gi¡c Pythagore. V(cid:238)i gi£ thi‚t (cid:31)(cid:226),

c2 − a2 − b2 = 2(ab − 2c − 2) = 2(ab − 2a − 2b + 2) ≥ 0

P = 4n3 + 2n2 = 2n2(2n + 1) P − a = 4n3 − 2n2 = 2n2(2n − 1) P − b = 4n2 − 1 = (2n − 1)(2n + 1) P − c = (cid:0)4n3 + 2n2(cid:1) − (cid:0)4n3 + 2n2 − 1(cid:1) = 1

S = 2n2(2n − 1)(2n + 1)

r = = 2n − 1 S P

= 2n + 1 ra =

= 2n + 1 rb =

M»nh (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh

M»nh (cid:31)• 1.5. C(cid:226) mºt h(cid:229) c¡c tam gi¡c Heron (kh(cid:230)ng l(cid:160) tam gi¡c Pythagore) c(cid:236) b£n v(cid:160) kh(cid:230)ng ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n HG.

= 2n2(2n − 1)(2n + 1) = S rc = S P − b S P − b S P − c

Chøng minh. V(cid:238)i n > 1, gi£ sß

V… a l· v(cid:160) a + b − c = 2 n¶n tam gi¡c l(cid:160) c(cid:236) b£n v(cid:238)i m(cid:229)i n > 1. C(cid:244)ng

v“y, tł c + 2 = a + b ta c(cid:226) c2 − a2 − b2 > 0. H(cid:236)n nœa.

a = 25n2 + 5n − 5 = 5 (cid:0)5n2 + n − 1(cid:1) b = 25n3 + 20n2 − 7n + 3 = (5n + 3) (cid:0)5n2 − 4n + 1(cid:1) c = 25n3 + 20n2 − 2n − 4 = (5n − 2) (cid:0)5n2 + 6n + 2(cid:1)

D„ ki”m tra (cid:31)(cid:247)æc:

P = 25n3 + 20n2 − 2n − 3 = (5n + 3) (cid:0)5n2 + n − 1(cid:1) P − a = 25n3 − 5n2 − 7n + 2 = (5n − 2) (cid:0)5n2 + n − 1(cid:1)

= /∈ N ha = 2(5n − 2)(5n + 3) 5

= = 10n + 6 − /∈ N hb =

n¶n tam gi¡c kh(cid:230)ng ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc.

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)ƒu ti¶n, n = 2 th… (a, b, c) = (105, 169, 172). Suy ra:

= = 10n − 4 + /∈ N hc = 2S a 2(5n − 2) (cid:0)5n2 + n − 1(cid:1) 5n2 − 4n + 1 2(5n + 3) (cid:0)5n2 + n − 1(cid:1) 5n2 + 6n + 2 2S b 2S c 2 5n2 − 4n + 1 2 5n2 + 6n + 2

K‚t lu“n: Ta thu (cid:31)(cid:247)æc hai h(cid:229) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n HG: c(cid:226) v(cid:230) sŁ tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc v(cid:160) v(cid:230) sŁ tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n kh(cid:230)ng ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p c(cid:242)ng 3 b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn b(cid:160)ng ti‚p l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n.

Mºt sŁ b(cid:160)i to¡n m(cid:240):

B(cid:160)i to¡n 1.1. B(cid:160)i to¡n HG c(cid:226) th” c(cid:226) v(cid:230) sŁ nghi»m l(cid:160) c¡c tam gi¡c nh(cid:229)n hay kh(cid:230)ng? Chøng minh.

B(cid:160)i to¡n 1.2. Thu“t to¡n x¡c (cid:31)(cid:224)nh t§t c£ c¡c nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n HG?.

S = 2184, ha = 15, r = 8, ra = 13, rb = 21, rc = 2184

• L(cid:247)(cid:238)i nguy¶n c¡c tam gi¡c HG. G(cid:229)i I, Ia, Ib, Ic lƒn l(cid:247)æt l(cid:160) t¥m c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p, (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn b(cid:160)ng ti‚p trong c¡c g(cid:226)c A,B,C. D(cid:252)a v(cid:160)o k‚t qu£ (1.4) v(cid:160) (1.5) ta thß x¡c (cid:31)(cid:224)nh t(cid:229)a (cid:31)º c¡c t¥m cıa 4 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn.

a) (cid:30)Łi v(cid:238)i h(cid:229) c¡c tam gi¡c Heron ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc theo k‚t qu£ (1.4): a = 4n2, b = (2n + 1) (cid:0)2n2 − 2n + 1(cid:1) , c = (2n − 1) (cid:0)2n2 + 2n + 1(cid:1) .

Ta c(cid:226) th” ch(cid:229)n t(cid:229)a (cid:31)º C = (0, 0), A = (−2n(n − 1)(2n + 1), (2n − 1)(2n + 1); B = (cid:0)4n2, 0(cid:1)).

Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:229)a (cid:31)º c¡c t¥m (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn:

Rª r(cid:160)ng 4 t¥m c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (cid:31)•u l(cid:160) c¡c (cid:31)i”m nguy¶n. Gi¡ tr(cid:224) (cid:31)ƒu

I = (s − c, r) = (1, 2n − 1) Ia = (s − b, ra) = ((2n − 1)(2n + 1), 2n + 1) Ib = (a − s, rb) = (cid:0)−2n2(2n − 1), 2n2(cid:1) Ic = (s, r) = (cid:0)2n2(2n + 1), 2n2(2n − 1)(2n + 1)(cid:1)

n = 2 cho ta tam gi¡c ABC v(cid:160) c¡c t¥m (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn:

b) H(cid:229) c¡c tam gi¡c Heron kh(cid:230)ng ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc theo (1.5):

A = (−20, 15), B(16, 0), C(0, 0) I = (1, 3), Ia = (15, 5), Ib = (−24, 8), Ic = (40, 120)

Ta c(cid:226) th” ch(cid:229)n gŁc t(cid:229)a (cid:31)º: C = (0, 0) v(cid:160)

a = 5 (cid:0)5n2 + n − 1(cid:1) b = (5n + 3) (cid:0)5n2 − 4n + 1(cid:1) c = (5n − 2) (cid:0)5n2 + 6n + 2(cid:1)

B = (−4(5n2 + n − 1), −3(5n2 + n − 1) = (−4rb, −3rb) A = (2n(2n − 1)(5n + 3), (n − 1)(3n − 1)(5n + 3)

Khi (cid:31)(cid:226) t‰nh (cid:31)(cid:247)æc t(cid:229)a (cid:31)º c¡c t¥m (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn:

= (2n(2n − 1)ra, (n − 1)(3n − 1)ra

I = = (3n − 1, 4n + 1)

Ia = = (−4n + 1)ra, (−3n + 2)ra

Ib = = ((4n − 1)rb, (3n − 2)rb)

Ic = = ((3n − 2)rarb, (−4n + 1)rarb) aA + bB + cC a + b + c −aA + bB + cC −a + b + c aA − bB + cC a − b + c aA + bB − cC a + b − c

Rª r(cid:160)ng 4 t¥m c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (cid:31)•u l(cid:160) c¡c (cid:31)i”m nguy¶n. Gi¡ tr(cid:224) (cid:31)ƒu

n = 2 cho ta tam gi¡c ABC v(cid:160) c¡c t¥m (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn:

T(cid:226)m l⁄i, ta c(cid:226) k‚t qu£:

M»nh (cid:31)• 1.6. C(cid:226) v(cid:230) sŁ c¡c tam gi¡c HG (c(cid:236) b£n, kh(cid:230)ng l(cid:160) Pythagore) s›p x‚p tr¶n l(cid:247)(cid:238)i nguy¶n, c¡c (cid:31)i”m I, Ia, Ib, Ic c(cid:244)ng l(cid:160) c¡c (cid:31)i”m n(cid:226)t l(cid:247)(cid:238)i.

Chøng minh. M»nh (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh theo c¡c t‰nh to¡n (cid:240) tr¶n.

B(cid:160)i to¡n 1.3. C(cid:226) hay kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ c¡c tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n (cid:31)•u l(cid:160) tam gi¡c nh(cid:229)n m(cid:160) r, ra, rb, rc ∈ N?

B(cid:160)i to¡n 1.4. Chøng minh r‹ng c(cid:226) v(cid:230) sŁ c¡c tam gi¡c Heron c(cid:236) b£n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n r, ra, rb, rc /∈ N.

1.3 H(cid:229) c¡c tam gi¡c Heron ph(cid:246) thuºc λ

Cho tam gi¡c ABC, c¡c c⁄nh c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i a, b, c v(cid:160) kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta coi a ≥ c. Ta (cid:31)(cid:176)t t¶n cho (cid:31)o⁄n thﬂng nŁi tł (cid:31)¿nh tam gi¡c (cid:31)‚n (cid:31)i”m thuºc c⁄nh (cid:31)Łi di»n l(cid:160) Cevian. Chﬂng h⁄n trung tuy‚n cıa tam gi¡c l(cid:160) mºt cevian, (cid:31)o⁄n th£ng nŁi (cid:31)¿nh (cid:31)‚n ti‚p (cid:31)i”m cıa c⁄nh (cid:31)Łi di»n v(cid:238)i (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p l(cid:160) cevian Gergone.

M»nh (cid:31)• 1.7. Gi£ sß c¡c cevian AD, BE, CF (cid:31)(cid:231)ng quy t⁄i M . Khi (cid:31)(cid:226)

A = (156, 65), B = (−84, −63), C = (0, 0) I = (4, −7), Ia = (−91, −52), Ib = (147, 84), Ic = (1092, −1911)

Chøng minh. K(cid:254) hi»u S[P QR] l(cid:160) di»n t‰ch tam gi¡c P QR. V(cid:238)i ch(cid:243) (cid:254) r‹ng hai tam gi¡c c(cid:226) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao chung th… di»n t‰ch cıa ch(cid:243)ng theo thø t(cid:252), t(cid:27)

l» v(cid:238)i c¡c c⁄nh (cid:31)¡y, ta c(cid:226)

= + AM M D AE EC AF F B

AM M D

(1.6)

= = = + S[AM C] S[M DC] S[ABM ] + S[AM C] S[M BD] + S[M DC] S[ABM ] S[M BC] S[AM C] S[M BC]

(1.7)

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252)

= = = AE EC S[AM E] S[EM C] S[ABE] − S[AM E] S[EBC] − S[EM C] S[ABM ] S[M BC]

(1.8)

Tł (1.6), (1.7), (1.8) ta suy ra (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

H…nh 1.5: T‰nh ch§t c¡c cevian

M»nh (cid:31)• tr¶n c(cid:226) mºt h» qu£ quan tr(cid:229)ng d(cid:242)ng cho phƒn ti‚p theo.

H» qu£ 1.3.1. Gi£ sß AD l(cid:160) trung tuy‚n, BE l(cid:160) cevian Gergone. Kki (cid:31)(cid:226)

= AF F B S[AM C] S[M BC]

Chøng minh. H…nh 1.5, v(cid:238)i gi£ thi‚t tr¶n ta c(cid:226) AE = s − a, CE = s − c.

= AM M D 2(s − a) s − c

. Thay v(cid:160)o

Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Ceva,

= · · = 1, suy ra BD DC AF F B AF F B s − a s − c

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp mºt tam gi¡c Heron, a, b, c l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n, n¶n

CE EA h» thøc trong m»nh (cid:31)• 1.7 ta c(cid:226) h» qu£ (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

= = λ l(cid:160) mºt sŁ hœu t(cid:27). T§t nhi¶n (cid:31)i•u n(cid:160)y cÆn (cid:31)(cid:243)ng ngay 2(s − a) s − c

AM M D c£ khi ABC kh(cid:230)ng ph£i tam gi¡c c⁄nh nguy¶n, nh(cid:247)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:226) kh(cid:230)ng quan tr(cid:229)ng. V… a ≥ c, k†o theo 0 < λ ≤ 2. Sau (cid:31)¥y ta s‡ ch¿ ra v(cid:238)i mØi sŁ hœu t(cid:27) λ sinh ra mºt h(cid:229) v(cid:230) h⁄n c¡c tam gi¡c Heron.

M»nh (cid:31)• tr…nh b(cid:160)y sau (cid:31)¥y cho ph†p bi”u di„n c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c Heron theo tham sŁ hœu t(cid:27) λ. Ta s‡ kh(cid:230)ng bi‚n (cid:31)Œi c¡c c⁄nh hœu t(cid:27) v• 0 c⁄nh nguy¶n. Tuy nhi¶n khi ta cŁ (cid:31)(cid:224)nh mºt sŁ hœu t(cid:27) λ th… ta s‡ bi”u di„n a, b, c v• c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) (cid:31)£m b£o U CLN (a, b, c) = 1.

M»nh (cid:31)• 1.8. (xem [3]) H(cid:229) c¡c tam gi¡c Heron ph(cid:246) thuºc tham sŁ λ (cid:31)(cid:247)æc cho b(cid:240)i c¡c c(cid:230)ng thøc

(1.9)

  

trong (cid:31)(cid:226) m, n ∈ N, (m, n) = 1 th(cid:228)a m¢n m >

Chøng minh. Tł gi£ thi‚t v• λ ta c(cid:226)

(cid:19)

a = 2 (cid:0)m2 + λ2n2(cid:1) b = (2 + λ) (cid:0)m2 − 2λn2(cid:1) , λ ∈ Q, 0 < λ ≤ 2 c = λ (cid:0)m2 + 4n2(cid:1) √ 2λ.n.

(cid:18)b + c 2 s − c

2 − a 2 = λ =⇒ λ = = · 2 2(s − a) (s − c) (b + c − a) a + b − c

Tł (cid:31)(cid:226), λb − 2b = −λa + λc + 2c − 2a, d¤n t(cid:238)i b(λ − 2) = (λ + 2)(c − a)

N‚u λ (cid:54)= 2 th… b =

. Ta gi£i sß a − c = (2 − λ)µ. (cid:30)i•u (cid:31)(cid:226) cho

=⇒ λ(a + b + c) = 2(b + c − a)

λ + 2 λ − 2

b = (2 + λ)µ. N‚u λ = 2 ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh b = 4µ. T‰nh (cid:31)(cid:247)æc

v(cid:160) tł c(cid:230)ng thøc Heron c(cid:226) S2 = 2λµ2(c + 2µ)(c − 2µ)

(cid:30)” tr£ l⁄i (a, b, c) l(cid:160) tam gi¡c Heron ta ph£i c(cid:226) (c + 2µ)(c − 2µ) = 2λν2 Kh(cid:230)ng cƒn ph¥n bi»t trong 2 tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2λ c(cid:226) l(cid:160) b…nh ph(cid:247)(cid:236)ng mºt sŁ hœu t(cid:27) hay l(cid:160) kh(cid:230)ng. (cid:30)i•u (cid:31)(cid:226) s‡ (cid:31)(cid:247)æc gi£i th‰ch rª r(cid:160)ng h(cid:236)n khi ta c(cid:226) h» qu£ 5. Nh(cid:237) sŁ hœu t(cid:27)

ta c(cid:226) th” vi‚t

a = (2 − λ)µ + c; s = c + 2µ

m n

v(cid:160) c − λµ =

Gi£i c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n (cid:31)Łi v(cid:238)i µ v(cid:160) c

c + 2µ = (2λν) ν m n n m

v(cid:160)

µ = ν, c = ν m2 − 2λn2 (2 + λ)mn λ (cid:0)m2 + 4n2(cid:1) (2 + λ)mn

Nh(cid:247)ng 2 (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)(cid:226) k†o theo

V… µ, ν, m, n l(cid:160) c¡c sŁ d(cid:247)(cid:236)ng n¶n ta ph£i c(cid:226)

= µ m2 − 2λn2 = ν (2 + λ)mn c λ (m2 + 4n2)

Ta c(cid:226) th” b(cid:228) qua h‹ng sŁ trong (cid:31)ﬂng thøc t(cid:27) l» (cid:240) tr¶n v(cid:160) thu (cid:31)(cid:247)æc

√ m2 − 2λn2 > 0 =⇒ m > 2λ.n

Tł (cid:31)¥y suy ra

µ = m2 − 2λn2, ν = (2 + λ)mn, c = λ (cid:0)m2 + 4n2(cid:1)

a = (2 − λ)µ + c = (2 − λ) (cid:0)m2 − 2λn2(cid:1) + λ (cid:0)m2 + 4n2(cid:1)

= 2 (cid:0)m2 + λ2n2(cid:1)

Rª r(cid:160)ng di»n t‰ch S l(cid:160) sŁ hœu t(cid:27).

X†t mºt sŁ v‰ d(cid:246) ¡p d(cid:246)ng k‚t qu£ tr¶n.

V‰ d(cid:246) 1.3.1. L§y λ = 1, m = 4, n = 1

T‰nh (cid:31)(cid:247)æc (a, b, c) = (34, 42, 20). — (cid:31)¥y, U CLN (a, b, c) = 2. Ta th(cid:247)(cid:237)ng x¡c (cid:31)(cid:224)nh U CLN (a, b, c) > 1 n¶n (cid:240) (cid:31)¥y ph£i chia c¡c c⁄nh cho U CLN cıa ch(cid:243)ng, (cid:31)(cid:247)æc (a, b, c) = (17, 21, 10).

b = (2 + λ)µ = (2 + λ) (cid:0)m2 − 2λn2(cid:1) c = λ (cid:0)m2 + 4n2(cid:1) S = 2λ(2 + λ)mn (cid:0)m2 − 2λn2(cid:1)

V‰ d(cid:246) 1.3.2. λ =

(cid:18)

(cid:19)

, m = 5, n = 2 3 2

M»nh (cid:31)• 1.8 cho (a, b, c) =

. C¡c c⁄nh b, c kh(cid:230)ng l(cid:160) sŁ t(cid:252)

68, , 123 2

V‰ d(cid:246) 1.3.3. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng sŁ λ tł m»nh (cid:31)• 1.8 c(cid:226) th” kh(cid:230)ng duy nh§t.

91 2 nhi¶n, trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y, ta ph£i tr£ l⁄i c¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n b‹ng c¡ch nh¥n mØi sŁ v(cid:238)i m¤u sŁ chung cıa ch(cid:243)ng v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc (a, b, c) = (136, 91, 123).

(cid:30)i•u (cid:31)(cid:226) ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o sŁ c¡c c¡ch l§y c⁄nh a, b, c. Chﬂng h⁄n, (17, 21, 10) v(cid:238)i λ = 1, m = 4, n = 1 nh(cid:247) (cid:240) v‰ d(cid:246) tr¶n c(cid:244)ng c(cid:226) th” nh“n (cid:31)(cid:247)æc tł 6 7

Ti‚p theo ta c(cid:226) mºt sŁ tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ri¶ng quan tr(cid:229)ng (cid:31)(cid:247)æc coi l(cid:160) c¡c h»

qu£ cıa m»nh (cid:31)• 1.8 H» qu£ 1.3.2. Ta c(cid:226) tam gi¡c Pythagore (a, b, c) = (cid:0)u2 + v2, u2 − v2, 2uv(cid:1) v(cid:238)i λ =

λ = , m = 12, n = 7 ho(cid:176)c khi λ = , m = 12, n = 7. 3 7

Chøng minh. Thay λ =

, m = 2, n = 1. 2v u

(cid:31)• 1.8, nh“n (cid:31)(cid:247)æc

(cid:19)

(cid:18)



, m = 2, n = 1 v(cid:160)o c¡c c(cid:230)ng thøc trong m»nh 2v u

= 4 +

(cid:0)u2 − v2(cid:1)

(cid:0)u2 + v2(cid:1) (cid:19) 8 u2

4v2 u2 (cid:19) (cid:18) a = 2 (cid:18) b = 2 + 4 − 2 = 2v u

 

(4 + 4) = c = = 16 v 2v u

(cid:30)(cid:176)t q =

c¡c tam gi¡c Pythagore (a l(cid:160) c⁄nh huy•n) theo (1.1).

H» qu£ 1.3.3. C¡c tam gi¡c Heron c¥n (a, b, c) = (m2 + n2, 2(m2 − n2), m2 + n2), m, n ∈ N, (m, n) = 1, khi l§y λ = 2. Chøng minh. Thay λ = 2 v(cid:160)o (1.10) (cid:31)(cid:247)æc a = 2 (cid:0)m2 + 4n2(cid:1) , b = 4(m2 − 4n2), c = 2 (cid:0)m2 + 4n2(cid:1). Tam gi¡c ABC c¥n (cid:31)¿nh B.

H» qu£ 1.3.4. M(cid:230) t£ trong m»nh (cid:31)• 1.8 l(cid:160) t“p hæp (cid:31)ƒy (cid:31)ı c¡c tam gi¡c Heron.

Chøng minh. (cid:30)(cid:226) l(cid:160) v… cevian Gergone BE ph£i c›t trung tuy‚n AD t⁄i mºt (cid:31)i”m duy nh§t. Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i t§t c£ tam gi¡c Heron sŁ λ th(cid:228)a m¢n 0 < λ ≤ 2. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta cŁ (cid:31)(cid:224)nh λ l(cid:160) mºt sŁ hœu t(cid:27). Khi (cid:31)(cid:226) m»nh (cid:31)• 1.8 cho h(cid:229) c¡c tam gi¡c Heron ph(cid:246) thuºc λ m(cid:160) mØi tam gi¡c trong h(cid:229) c(cid:226) BE c›t AD theo t(cid:27) sŁ (cid:31)(cid:243)ng t(cid:27) sŁ λ. Sau (cid:31)(cid:226) ta cho λ bi‚n (cid:31)Œi tr¶n to(cid:160)n (cid:31)o⁄n 0 < λ ≤ 2. th… (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£ mong muŁn.

8 u2 2v u 16uv u2 u2 ta (cid:31)(cid:247)æc (a, b, c) = (cid:0)q (cid:0)u2 + v2(cid:1) , q (cid:0)u2 − v2(cid:1) , 2quv(cid:1) (cid:31)(cid:226) l(cid:160)

2(m2 + n2)

3(m2 − 2n2)

m2 + 4n2

6mn(m2 − 2n2)

6m2

4m2 + n2

5(m2 − n2)

m2 + 4n2

10mn(m2 − n2)

10m2

1/2

2(9m2 + n2)

7(3m2 − 2n2)

3(m2 + 4n2)

42mn(3m2 − 2n2)

42m2

1/3

9m2 + 4n2

4(3m2 − 4n2)

3(m2 + 4n2)

24mn(3m2 − 4n2)

24m2

2/3

16m2 + n2

9(2m2 − n2)

2(m2 + 4n2)

36mn(2m2 − n2)

36m2

1/4

44m2

16m2 + 6n2

11(2m2 − 3n2)

6(m2 + 4n2)

132mn(2m2 − 3n2)

3/4

2(25m2 + n2)

11(5m2 − 2n2)

5(m2 + 4n2)

110m2

110mn(5m2 − 2n2)

1/5

25m2 + 4n2

6(5m2 − 4n2)

5(m2 + 4n2)

60m2

60mn(5m2 − 4n2)

2/5

2(25m2 + 9n2)

13(5m2 − 6n2)

15(m2 + 4n2)

130m2

390mn(5m2 − 6n2)

3/5

25m2 + 16n2

7(5m2 − 8n2)

10(m2 + 4n2)

70m2

140mn(5m2 − 8n2)

4/5

B£ng 1.2: H(cid:229) tam gi¡c Heron ph(cid:246) thuºc λ, v(cid:238)i 10 gi¡ tr(cid:224) λ

H» qu£ 1.3.5. (B(cid:160)i to¡n Hoppe) Tam gi¡c Heron c(cid:226) c⁄nh t⁄o th(cid:160)nh c§p

sŁ cºng khi l§y λ =

Chøng minh. Thay λ =



(cid:32)

(cid:19)2

(cid:0)m2 + 36n2(cid:1)

m2 6n2 .

n2 = a = 2 m2 +

(cid:18)

(cid:0)2m2 + 24n2(cid:1)

(cid:0)m2 + 4n2(cid:1) =

(cid:0)12n2 + 3m2(cid:1)

m2 18n2 (cid:19) m2 6n2 v(cid:160)o (1.10) (cid:31)(cid:247)æc (cid:33) (cid:18) m2 6n2 (cid:19) (cid:18) 2 + b = = m2 − 2 m2 6n2 m2 18η2

 

c = m2 6n2

B£ng 1.2 l(cid:160) c¡c tam gi¡c Heron ph(cid:246) thuºc λ. Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y hai b(cid:160)i to¡n v• tam gi¡c Pythagore v(cid:160) tam gi¡c Heron. Rª r(cid:160)ng (cid:31)¥y l(cid:160) c¡c b(cid:160)i to¡n sŁ h(cid:229)c trong h…nh h(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc gi£i quy‚t nh(cid:237) c¡c ki‚n thøc v• sŁ h(cid:229)c c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n. K‚t qu£ nŒi b“t l(cid:160) thu (cid:31)(cid:247)æc h(cid:229) tam gi¡c Heron ph(cid:246) thuºc tham sŁ λ c(cid:226) t‰nh ch§t tŒng qu¡t. C(cid:244)ng v¤n (cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng (cid:31)(cid:226) ch(cid:247)(cid:236)ng sau ta s‡ n(cid:226)i v• tam gi¡c c⁄nh nguy¶n c(cid:226) th¶m c¡c r(cid:160)ng buºc (cid:31)” t…m ra nhœng c(cid:230)ng thøc v(cid:160) thu“t to¡n (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng.

m2 6n2 n2 m2 18n2 Ta thu (cid:31)(cid:247)æc tam gi¡c Heron (a, b, c) = (cid:0)36n2 + m2, 24n2 + 2m2, 12n2 + 3m2(cid:1), m, n ∈ N, (m, n) = 1, c¡c c⁄nh l“p th(cid:160)nh mºt c§p sŁ cºng.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

Tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i h» thøc

giœa S v(cid:160) P

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y d(cid:160)nh (cid:31)” tr…nh b(cid:160)y c¡c thu“t to¡n t…m tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n (a, b, c) g›n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n chﬂng h⁄n di»n t‰ch S b‹ng bºi nguy¶n cıa chu vi P ho(cid:176)c b…nh ph(cid:247)(cid:236)ng cıa chu vi b‹ng bºi nguy¶n cıa di»n t‰ch S,...C¡c thu“t to¡n (cid:31)(cid:247)æc x¥y d(cid:252)ng nh(cid:237) c¡c k(cid:255) thu“t hay d(cid:242)ng trong sŁ h(cid:229)c khi gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Diophantine. Nºi dung ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y tham kh£o trong [1], [2] v(cid:238)i s(cid:252) tŒng hæp v(cid:160) tr…nh b(cid:160)y chi ti‚t h(cid:236)n.

2.1 Tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i S = m.P, m ∈ N

B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t ra l(cid:160) h¢y t…m t§t c£ c¡c tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n m(cid:160) di»n t‰ch S l(cid:160) bºi nguy¶n cıa chu vi P cıa n(cid:226). Tho⁄t ti¶n b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:247)æc Goehl gi(cid:238)i thi»u v(cid:160) ngay l“p tøc (cid:31)(cid:247)æc nhi•u ng(cid:247)(cid:237)i ch(cid:243) (cid:254). L(cid:254) do l(cid:160) l(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n ho(cid:160)n to(cid:160)n (cid:31)(cid:236)n gi£n trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tam gi¡c vu(cid:230)ng, cÆn trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t th… qu¡ phøc t⁄p: trong suŁt 20 n«m b(cid:160)i to¡n kh(cid:230)ng c(cid:226) l(cid:237)i gi£i. N(cid:226) c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)æc ng(cid:247)(cid:237)i ta l(cid:247)u t¥m v… v(cid:238)i mØi m ch¿ c(cid:226) hœu h⁄n c¡c tam gi¡c c(cid:226) t‰nh ch§t S = m.P , chﬂng h⁄n v(cid:238)i m = 1 (di»n t‰ch b‹ng chu vi) ch¿ c(cid:226) 5 tam gi¡c (a, b, c) = (6, 8, 10); (5, 12, 13); (6, 25, 29); (7, 15, 20); (9, 10, 17) l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n.

2.1.1 Thu“t to¡n Goehl v(cid:160) thu“t to¡n Markov

A. S(cid:236) l(cid:247)æc thu“t to¡n Goehl (a) Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tam gi¡c vu(cid:230)ng. L(cid:237)i gi£i cıa Goehl trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c tam gi¡c vu(cid:230)ng nh(cid:247) sau: Gi£ sß a, b l(cid:160) hai c⁄nh tam gi¡c vu(cid:230)ng cÆn a2 + b2 l(cid:160) c⁄nh huy•n. Khi di»n t‰ch b‹ng bºi nguy¶n cıa chu vi c = (S = m.P ) th… ta c(cid:226) (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc

√

8m2 = (a − 4m)(b − 4m) v(cid:238)i c = a + b − m

(cid:30)(cid:231)ng nh§t thøc (cid:31)(cid:226) cho ph†p x¡c (cid:31)(cid:224)nh a,b,c sau khi ph¥n t‰ch v‚ tr¡i d⁄ng 8m2 = d1.d2 v(cid:160) thay d1, d2 t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) a − 4m, b − 4m. H⁄n ch‚ d1 l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n kh(cid:230)ng v(cid:247)æt qu¡ 2m v(cid:238)i gi£ sß a < b. Ta khﬂng (cid:31)(cid:224)nh k‚t qu£ cıa Goehl l(cid:160)

M»nh (cid:31)• 2.1. V(cid:238)i sŁ m ∈ N cho tr(cid:247)(cid:238)c, nghi»m tam gi¡c vu(cid:230)ng (a, b, c) cıa b(cid:160)i to¡n S = m.P (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:237) c¡c h» thøc

√ √ 8m2 = 2

(2.1)

8m2 = (a − 4m)(b − 4m)

(2.2)

MØi ph¥n t‰ch

(2.3)

c = a + b − 4m

(2.4)

sinh ra nghi»m tam gi¡c c(cid:226) c¡c c⁄nh

(2.5)

  

2| 8m2 = d1 · d2 √ d1 ≤ |2m

C(cid:226) th” tŒng qu¡t h(cid:226)a k‚t qu£ cıa Goehl, ch§p nh“n c£ nghi»m hœu t(cid:27).

K‚t qu£ tŒng qu¡t v• l(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n l(cid:160)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1. (Goehl). V(cid:238)i sŁ m cho tr(cid:247)(cid:238)c, t§t c£ c¡c nghi»m (a, b, c) cıa b(cid:160)i to¡n S = m.P (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) sau:

a = d1 + 4m b = d2 + 4m c = d1 + d2 + 4m

√ 3u];

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:21)

(cid:19)

(cid:21)

• T…m t§t c£ c¡c (cid:247)(cid:238)c u cıa 2m; • V(cid:238)i mØi u t…m t§t c£ sŁ v nguy¶n tŁ v(cid:238)i u sao cho 1 ≥ v ≥ [ • V(cid:238)i mØi c(cid:176)p (u, v) c(cid:226) ph¥n t‰ch sau

(cid:20) v

(2.6)

4m2 (cid:0)u2 + v2(cid:1) = a − v − 2mu · b − v − 2mu 2m u 2m u

(cid:105)

(cid:104) 2m

v(cid:160) c(cid:226) h» thøc c = a + b − • MØi ph¥n t‰ch 4m2 (cid:0)u2 + v2(cid:1) = δ1 · δ2, v(cid:238)i δ1 ≤

c¡c nh¥n tß δ1, δ2 th(cid:228)a v| (δ1 + 2mu) v(cid:160) u| (δ2 + 2mu) (cid:31)(cid:247)æc x†t, sinh ra mºt nghi»m tam gi¡c (a, b, c) b(cid:240)i c(cid:230)ng thøc



4mv u √ u2 + v2

(2.7)

+ a =

b = + δ1 + 2mu δ2 + 2mu δ2 + 2mu v 2mv u 2mv u

 

H(cid:236)n nœa, v(cid:238)i mØi u cŁ (cid:31)(cid:224)nh ta khﬂng (cid:31)(cid:224)nh c(cid:226) v t(cid:247)(cid:236)ng øng m(cid:160) (1) khi v < u, c¡c nghi»m tam gi¡c nh“n (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160) t(cid:242);

c = δ1 + δ2 + 4mu v

(cid:0)v2 − u2(cid:1) (cid:104)

(cid:105) ,

ii. khi u < v ≤ [

c¡c nghi»m tam gi¡c nh“n (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160) nh(cid:229)n;

iii. khi u = v = 1, nghi»m tam gi¡c nh“n (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160) vu(cid:230)ng.

M»nh (cid:31)• 2.1 l(cid:160) tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1. Khi u = v = 1 th…

k‚t qu£ (cid:31)(cid:236)n gi£n: C(cid:230)ng thøc (2.7) tr(cid:240) th(cid:160)nh c(cid:230)ng thøc (2.5).

(b) Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tam gi¡c t(cid:242)y (cid:254). X†t tam gi¡c ABC t(cid:242)y (cid:254) c(cid:226) c¡c c⁄nh

l(cid:160) a, b, c v(cid:160) c lu(cid:230)n l(cid:160) c⁄nh l(cid:238)n nh§t (cid:31)(cid:247)æc chøng minh trong [1].

Ta x†t v‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a thu“t to¡n:

V‰ d(cid:246) 2.1.1. Cho m = 1, d(cid:242)ng thu“t to¡n n(cid:226)i tr¶n t…m t§t c£ c¡c tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n (a, b, c)

√ √ 2m u2 + v2 3u] v(cid:160) th¶m mºt h⁄n ch‚ 2m v

L(cid:237)i gi£i. V… m = 1 n¶n u ∈ {2, 1}. V(cid:238)i mØi u ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh v t(cid:247)(cid:236)ng øng: (A) u = 2 =⇒ 1 ≤ v ≤ [2 (B) u = 1 =⇒ v = 1 A1. V(cid:238)i u = 2, v = 1 th… 4m2 (cid:0)u2 + v2(cid:1) = 20 = 4.5 = 2.10 = 1.20

√ =⇒ v ∈ {1, 2, 3} 3]

(9, 10, 17)

(a, b, c) = (6, 25, 29)

   A2. V(cid:238)i u = 2, v = 2 thi 4m2 (cid:0)u2 + v2(cid:1) = 32 = 4.8 = 2.16 = 1.32

(cid:40)

(7, 15, 20)

(5, 12, 13) (a, b, c) = (6, 8, 10)

kh(cid:230)ng thu th¶m (cid:31)(cid:247)æc nghi»m m(cid:238)i.

A3. V(cid:238)i u = 2, v = 3 th… 4m2 (cid:0)u2 + v2(cid:1) = 52 = 4.13 = 2.26 = 1.52 ta

T(cid:226)m l⁄i, b(cid:160)i to¡n t…m c¡c tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n v(cid:238)i S = P c(cid:226) 5 nghi»m (9, 10, 17); (6, 25, 29); (7, 15, 20), (5, 12, 13); (6, 8, 10).

H…nh 2.1: Hai nghi»m l(cid:160) tam gi¡c vu(cid:230)ng v(cid:238)i m = 1

V‰ d(cid:246) 2.1.2. Cho m = 2, d(cid:242)ng thu“t to¡n n(cid:226)i tr¶n t…m t§t c£ c¡c tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n (a, b, c)

L(cid:237)i gi£i. V… m = 2, 2m = 4 n¶n u ∈ {4, 2, 1}. V(cid:238)i mØi u ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh v:

B. V(cid:238)i u = v = 1 ta c(cid:226) hai tam gi¡c vu(cid:230)ng (a, b, c) = (5, 12, 13); (6, 8, 10).

• u = 4 =⇒ v = 1, 3, 5 • u = 2 =⇒ v = 1, 3 • u = 1 =⇒ v = 1

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp u = 4, v = 5 b(cid:224) lo⁄i v… ta c(cid:226) δ = 656 = 24·41,

v(cid:160) δ1 ch¿ c(cid:226) th” l(cid:160) 24 = 16 m(cid:160) v = 5 kh(cid:230)ng l(cid:160) (cid:247)(cid:238)c cıa δ1 + 2mu = 32

C¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp kh¡c cho k‚t qu£ (cid:240) b£ng 2.1 v(cid:238)i ch(cid:243) (cid:254) k(cid:254) hi»u δ =

9 ≤ δ1 ≤ 25

4m2(u2 + v2): Nh(cid:247) v“y v(cid:238)i m = 2 ta thu (cid:31)(cid:247)æc 18 tam gi¡c (a, b, c).

4 3 tam gi¡c t(cid:242)

δ1 δ1 ≤ 16

2 1 tam gi¡c t(cid:242)

δ1 ≤ 20

2 3 tam gi¡c nh(cid:229)n 1 1 tam gi¡c vu(cid:230)ng δ1 ≤ 5

δ1 ≤ 8

stt u v Ki”u tam gi¡c 4 1 tam gi¡c t(cid:242) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

B. Thu“t to¡n Markov. a. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t: ∆ABC l(cid:160) tam gi¡c vu(cid:230)ng, (cid:31)i•u ki»n S = mP

tr(cid:240) th(cid:160)nh

(a, b, c) (18, 289, 305) (19, 153, 170) (21, 85, 104) (25, 51, 74) (33, 34, 65) (9, 75, 85) (10, 35, 39) (11, 25, 30) (15, 15, 24) (11, 90, 97) (12, 50, 58) (14, 30, 40) (15, 26, 37) (18, 20, 34) (13, 14, 15) (9, 40, 41) (10, 24, 26) (12, 16, 20) δ δ1 · δ2 272 1.272 2.136 4.68 8.34 16.17 400 2.200 5.80 8.50 20.20 1.80 2.40 4.20 5.16 8.10 10 ≤ δ1 ≤ 14 208 13.16 1.32 2.16 4.8

(2.8)

(cid:30)i•u ki»n n(cid:160)y t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i ab − 2m(a + b) = 2mc. B…nh ph(cid:247)(cid:236)ng c£

hai v‚, v(cid:238)i ch(cid:243) (cid:254) c2 = a2 + b2 ta (cid:31)(cid:247)æc

a · b = m(a + b + c) 1 2

H…nh 2.2: Hai nghi»m l(cid:160) tam gi¡c t(cid:242) v(cid:238)i m = 2

a2b2 + 4m2(a + b)2 − 4mab(a + b) = 4m2 (cid:0)a2 + b2(cid:1)

Tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh cuŁi ta th§y c¡c nh¥n tß cıa 8m2 cho t§t c£ c¡c tam

gi¡c vu(cid:230)ng c⁄nh t(cid:252) nhi¶n th(cid:228)a m¢n (2.8) v(cid:238)i sŁ nguy¶n m cho tr(cid:247)(cid:238)c.

(cid:40)

V‰ d(cid:246) 2.1.3. Cho m = 1, tøc S = P , th… 8m2 = 8 = 2.4 = 1.8 = a − 4 = 2

⇐⇒a2b2 + 8m2ab − 4mab(a + b) = 0 ⇐⇒ab + 8m2 − 4m(a + b) = 0 ⇐⇒(a − 4m)(b − 4m) = 8m2

V(cid:238)i gi£ thi‚t a ≥ b ≥ c, ta t…m (cid:31)(cid:247)æc 2 tam gi¡c vu(cid:230)ng (a, b, c) l(cid:160)

a − 4 = 1 ; (a − 4)(b − 4). Ta c(cid:226) c¡c h» b − 4 = 4 b − 4 = 8

(6, 8, 10); (5, 12, 13).

V‰ d(cid:246) 2.1.4. Cho m = 2 th… 8m2 = 32 = 1.32 = 2.16 = 4.8 = (a − 8)(b − 8). Ta c(cid:226) c¡c h»

(cid:40)

V(cid:238)i gi£ thi‚t a ≥ b ≥ c, ta c(cid:226) c¡c nghi»m l(cid:160) tam gi¡c vu(cid:230)ng (a, b, c) sau

a − 8 = 1 la − 8 = 2 la − 8 = 4 ; b − 8 = 32 b − 8 = 16 b − 8 = 8

b. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t: ∆ABC l(cid:160) tam gi¡c t(cid:242)y (cid:254), gi£ thi‚t a ≥

(9, 40, 41); (10, 24, 26); (12, 16, 20).

b ≥ c, (cid:31)i•u ki»n S = mP c(cid:226) th” vi‚t th(cid:160)nh (θ = (cid:92)ACB -g(cid:226)c l(cid:238)n nh§t):

(2.9)

t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i a.b sin θ − 2m(a + b) = 2mc. B…nh ph(cid:247)(cid:236)ng c£ 2 v‚ v(cid:160) ch(cid:243) (cid:254) r‹ng c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ th… ta (cid:31)(cid:247)æc a2b2 sin2 θ + 4m2(a + b)2 − 4mab(a + b) sin θ = 4m2 (cid:0)a2 + b2 − 2ab cos θ(cid:1)

v(cid:160) c(cid:226) th” r(cid:243)t g(cid:229)n th(cid:160)nh

a.b sin θ = m(a + b + c) 1 2

ab sin2 θ + 8m2 − 4m(a + b) sin θ = −8m2ab cos θ

(2.10)

T§t nhi¶n, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.10) s‡ thu v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.8) khi A = 900. (cid:30)” x¡c (cid:31)(cid:224)nh gi¡ tr(cid:224) g(cid:226)c θ ta d(cid:242)ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p v(cid:238)i c¡c (cid:31)o⁄n ti‚p tuy‚n t‰nh tł A, B, C l(cid:160) α, β, γ (h…nh 2.3) Ta c(cid:226) a = α + β; b = α + γ; c = β + γ v(cid:160) v… a ≤ b ≤ c n¶n α ≤ β ≤ γ. Tł c(cid:230)ng thøc Heron,

(cid:113)

⇐⇒(a sin θ − 4m)(b sin θ − 4m) = 8m2(1 − cos θ)

trong (cid:31)(cid:226), P = 2s = 2(α + β + γ). (cid:30)i•u ki»n S = mP t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i (cid:112)(α + β + γ)α · β · γ = m · 2(α + β + γ). R(cid:243)t g(cid:229)n (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)(cid:226) ta (cid:31)(cid:247)æc

s(s − a)(s − b)(s − c) = P (P − 2a)(P − 2b)(P − 2c) S = 1 4

(2.11)

Ta ch(cid:243) (cid:254) ngay r‹ng tam gi¡c (cid:31)•u kh(cid:230)ng l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n v… n‚u α = β = γ th… (2.11) tr(cid:240) th(cid:160)nh α3 = 4m2.3α ⇐⇒ α2 = 12m2, do (cid:31)(cid:226) α kh(cid:230)ng nguy¶n v(cid:160) ABC kh(cid:230)ng l(cid:160) tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n.

α · β · γ = 4m2(α + β + γ)

H…nh 2.3: Tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n ngo⁄i ti‚p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn

C(cid:226) mºt nh“n x†t c(cid:226) ‰ch: N‚u c(cid:226) tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n th(cid:228)a m¢n S = mP th… b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p r = 2m. Th“t v“y, di»n t‰ch tam gi¡c ABC b‹ng tŒng di»n t‰ch 6 tam gi¡c vu(cid:230)ng n¶n

do (cid:31)(cid:226), r = 2m. Tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.11) suy ra α2βγ = α · r2(α + β + γ)

v(cid:160) c(cid:226) ph¥n t‰ch sau

(cid:0)αβ − r2(cid:1) (cid:0)αγ − r2(cid:1) = r2 (cid:0)α2 + r2(cid:1)

(2.12)

K‚t qu£ n(cid:160)y c(cid:244)ng suy ra (cid:31)(cid:247)æc tł (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc v• g(cid:226)c (cid:240) (2.10). Th“t

v“y, ta bi”u di„n sin θ, cos θ qua α, r :

S = (rα + rβ + rγ + rα + rβ + rγ) = r(α + β + γ) = = mP rP 2 1 2

v(cid:160) cos

n¶n sin θ = 2 sin

V… sin

√ √ = = · θ 2 θ 2 r α2 + r2 α α2 + r2

v(cid:160) tan θ =

cos = = θ 2 2rα α2 + r2 v(cid:160) k(cid:254) hi»u nh(cid:247) tr¶n h…nh v‡ ta c(cid:226) tan θ 2 r α θ 2

= 2rα α2 − r2 .

θ 2 tan 2 1 − tan2 θ 2

V‰ d(cid:246) 2.1.5. H¢y t…m t§t c£ c¡c tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n m(cid:160) di»n t‰ch b‹ng chu vi.

L(cid:237)i gi£i. V(cid:238)i m = 1 th… r = 2, do (cid:31)(cid:226), (cid:31)i•u ki»n cıa α l(cid:160) 1 ≤ α ≤ 2 suy ra α ∈ {1, 2, 3}.

√ 3,

•α = 1, tan θ = = − , θ = 126, 86989760 v(cid:160) (β − 4)(γ − 4) = 4 1 − 4 4 3

4(1 + 4) = 20. Ta c(cid:226) s(cid:252) ph¥n t‰ch (β − 4)(γ − 4) = 4.5 = 2.10 = 1.20 n¶n

(9, 10, 17) (1, 8, 9)

  

=⇒ (a, b, c) = (α, β, γ) = (7, 15, 20) (1, 6, 14)

(6, 25, 29) (1, 5, 24)

   2.2 4 − 4

Ta c(cid:226) s(cid:252) ph¥n t‰ch (3β − 4)(3γ − 4)) = 4.13 = 2.26 = 1.52 Ta c(cid:226) 3 h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(cid:40)

•α = 2, tan θ = = ∞ =⇒ θ = 900 v(cid:160) (β − 2)(γ − 2) = 4 + 4 = 8.

Ch¿ c(cid:226) h» thø hai c(cid:226) nghi»m t(cid:252) nhi¶n (α, β, γ) = (2, 2, 10) nh(cid:247)ng b(cid:224) lo⁄i v… cƒn c(cid:226) α < β. Nh(cid:247) v“y, v(cid:238)i S = P ta c(cid:226) 5 tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n: (9, 10, 17); (7, 15, 20); (6, 25, 29); (6, 8, 10); (5, 12, 13).

2.1.2 Hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tham sŁ nguy¶n

B(cid:160)i to¡n t…m tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n (a,b,c) v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n S = mP (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc gi£i ho(cid:160)n to(cid:160)n v(cid:238)i c¡c thu“t to¡n c(cid:246) th”. Tuy nhi¶n trong nhi•u tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ta cƒn gi£i b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n ch(cid:176)t h(cid:236)n, thu“t to¡n c(cid:246) th” h(cid:236)n. — (cid:31)¥y ta x†t 2 tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ri¶ng cıa b(cid:160)i to¡n.

l3β − 4 = 2 l3β − 4 = 1 3β − 4 = 4 ; ; 3γ − 4 = 26 3γ − 4 = 52 3γ − 4 = 13

• Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 3 c⁄nh l(cid:160) mºt c§p sŁ cºng. Mºt tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t l(cid:160) tam gi¡c c(cid:226) 3 c⁄nh t(cid:252) nhi¶n l“p th(cid:160)nh c§p sŁ cºng. Gi£ sß c¡c c⁄nh (cid:31)o⁄n ti‚p tuy‚n l(cid:160) α = β − δ v(cid:160) γ = β + δ. C¡c c⁄nh tam gi¡c th(cid:160)nh a = α + β = 2β − δ, b = α + γ = 2β, c = β + γ = 2β + δ. B§y gi(cid:237) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh 2.11 tr(cid:240) th(cid:160)nh:

(β − δ) · β · (β + γ)4m2(β − δ + β + β + δ) ⇐⇒ (β − δ)(β + δ) = 12m2

m δ

145

B£ng 2.1: Ba c⁄nh l(cid:160) c§p sŁ cºng

Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) thu“t to¡n gi£i b(cid:160)i to¡n "T…m tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n

V‰ d(cid:246) 2.1.6. T…m tam gi¡c c⁄nh t(cid:252) nhi¶n c(cid:226) di»n t‰ch b‹ng chu vi v(cid:160) 3 c⁄nh l“p th(cid:160)nh c§p sŁ cºng

L(cid:237)i gi£i. V… m = 1 n¶n 12m2 = 12 = 12.1 = 6.2 = 4.3, ch¿ c(cid:226) c¡ch ph¥n t‰ch thø hai ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æcβ = 4, δ = 2. Suy ra a = 6, b = 8, c = 10.

Khi m = 1, 2, 3, 4 ta c(cid:226) k‚t qu£ sau, b£ng 2.2 = N ∈ N∗.

(a, b, c) sao cho S = mP v(cid:160) 3 c⁄nh l(cid:160) mºt c§p sŁ cºng" nh(cid:247) sau: B1 V(cid:238)i m ∈ N (cid:31)¢ cho, ph¥n t‰ch 12m2 th(cid:160)nh c¡c t‰ch m1.m2, B2 V(cid:238)i mØi t‰ch m1.m2 = (β − δ)(β + δ) t…m nghi¶m nguy¶n β, δ. B3 V(cid:238)i mØi c(cid:176)p (β, δ) suy ra a = 2β − δ, b = 2β, c = 2β + δ.

Nh(cid:247) th(cid:230)ng th(cid:247)(cid:237)ng ta k(cid:254) hi»u b¡n k‰nh c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p v(cid:160) ngo⁄i ti‚p tam gi¡c ABC l(cid:160) r v(cid:160) R. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng r v(cid:160) R kh(cid:230)ng l(cid:160) sŁ nguy¶n nh(cid:247)ng

• Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp R r

R r = N v¤n c(cid:226) th” nguy¶n. N‚u ta k(cid:254) hi»u kho£ng c¡ch giœa 2 t¥m t(cid:27) sŁ (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (cid:31)(cid:226) l(cid:160) d th… ta c(cid:226) h» thøc Euler d2 = R2 − 2Rr = R(R − 2r)

do (cid:31)(cid:226) N =

tam gi¡c l(cid:160) (cid:31)•u.

Ta c(cid:226) c(cid:230)ng thøc c(cid:236) b£n

≥ 2. D„ chøng minh (cid:31)(cid:247)æc d = 0 l(cid:160) (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” R r

(2.13)

R = ; r = abc 4S S s

v(cid:238)i S -di»n t‰ch tam gi¡c, s =

. Nh(cid:247) v“y, ta c(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

a + b + c 2

(2.14)

B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:247)a v• h¢y t…m a, b, c ∈ N sao cho

= N = R r abcs 4S2 = 2abc (a + b − c)(a + c − b)(b + c − a)

(2.15)

v(cid:238)i N l(cid:160) sŁ t(cid:252) nhi¶n cho tr(cid:247)(cid:238)c. B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc MacLeod nghi¶n cøu v(cid:160) (cid:230)ng nh“n th§y quan h» "nguy¶n" n(cid:160)y hi‚m g(cid:176)p v(cid:160) (cid:230)ng ch¿ n¶u mºt v(cid:160)i tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c(cid:226) nghi»m.

Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tam gi¡c vu(cid:230)ng. Mºt bº ba sŁ Pythagore g(cid:231)m ba sŁ t(cid:252) nhi¶n a, b, c, sao cho a2 + b2 = c2. Khi (cid:31)(cid:226) ta vi‚t bº ba (cid:31)(cid:226) l(cid:160) (a, b, c), chﬂng h⁄n bº ba quen thuºc l(cid:160) (3, 4, 5). N‚u (a,b,c) l(cid:160) bº ba sŁ Pythagore, th… bº ba (ka, kb, kc) v(cid:238)i k ∈ N b§t k(cid:253) c(cid:244)ng l(cid:160) Pythagore. — (cid:31)¥y ta ch¿ cƒn x†t c¡c tam gi¡c Pythagore nguy¶n thıy. Khi (cid:31)(cid:226) tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh 2.15:

= N 2abc (a + b − c)(a + c − b)(b + c − a)

(2.16)

R(cid:243)t g(cid:229)n ta (cid:31)(cid:247)æc

N = 4mn (cid:0)m2 − n2(cid:1) (cid:0)m2 + n2(cid:1) (2n(m − n))(2n(m + n)(2m(m − n))

(2.17)

Tł (cid:31)¥y suy ra n ph£i l(cid:160) (cid:247)(cid:238)c cıa m, tøc l(cid:160) n = 1, (2.17) th(cid:160)nh 2(m + 1)N = m2 + 1, v‚ trai l(cid:160) sŁ chﬁn, v‚ ph£i l(cid:160) sŁ l·. (cid:30)i•u v(cid:230) l(cid:254) (cid:31)(cid:226) chøng t(cid:228) kh(cid:230)ng c(cid:226) tam gi¡c vu(cid:230)ng m(cid:160) N l(cid:160) sŁ t(cid:252) nhi¶n.

2n(m + n)N = m2 + n2

Ta x†t tam gi¡c c¥n. Gi£ sß b = c, (2.17) tr(cid:240) th(cid:160)nh

. Nh(cid:247) v“y N = 2 v(cid:160) I = 0. Ta thu (cid:31)(cid:247)æc tam gi¡c

= 2b2 a(2b − a)

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 3 c⁄nh t⁄o th(cid:160)nh c§p sŁ cºng. (cid:30)(cid:176)t a = b + d, c = b − d th…

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.17) tr(cid:240) th(cid:160)nh

N ⇐= N a2 − 2N ab + 2b2 = 0. Tam thøc b“c 2 n(cid:160)y c(cid:226) nghi»m a = N b ± (cid:112)(N − 1)2 − 1 N ABC (cid:31)•u a = b = c.

N = 2b (cid:0)b2 − d2(cid:1) b2 − 4d2 ⇐⇒ b2 d2 = 2(2N − 1) N − 2

Nh(cid:247) v“y, 2(2N −1)(N −2) = J 2 v(cid:238)i J ∈ N n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:226) c(cid:226) th” vi‚t th(cid:160)nh (4N −5)2−(2J)2 = (4N −5+2J)(4N −5−2J) = 9 = 9.1 = 3.3. Nghi»m c¡c h» t⁄o th(cid:160)nh

(cid:40)

(cid:18)

(cid:19)

4N − 5 + 2J = 9 4N − 5 + 2J = 3 ; 4N − 5 − 2J = 1 4N − 5 − 2J = 3

t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160)

ch¿ c(cid:226) nghi»m thø hai ch§p nh¥n (cid:31)(cid:247)æc J = 0, N = 2, nh(cid:247)ng nghi»m (a, b, c) l⁄i l(cid:160) tam gi¡c (cid:31)•u. Nh(cid:247) v“y b(cid:160)i to¡n t…m tam gi¡c ABC v(cid:238)i P = mS, t(cid:27)

sŁ

t(cid:252) nhi¶n ch¿ c(cid:226) nghi»m tƒm th(cid:247)(cid:237)ng l(cid:160) tam gi¡c (cid:31)•u c⁄nh t(cid:252) nhi¶n.

bi»t: 3 c⁄nh l(cid:160) c§p sŁ cºng v(cid:160) t(cid:27) sŁ

t(cid:252) nhi¶n l(cid:160) hai b(cid:160)i to¡n nh(cid:228) nh(cid:247)ng

J = 2, N = ; (J = 0, N = 2) Nghi»m thø nh§t b(cid:224) lo⁄i, 5 2

c(cid:226) c¡ch gi£i quy‚t kh¡ (cid:31)ºc (cid:31)¡o.

2.2 Tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i P 2 = nS, n ∈ N

B(cid:160)i to¡n x†t trong phƒn n(cid:160)y l(cid:160) t…m t§t c£ c¡c tam gi¡c ABC c(cid:226) a, b, c ∈ N th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n P 2 = nS v(cid:238)i n ∈ N n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). V• m(cid:176)t (cid:31)⁄i sŁ, h» thøc P 2 = nS "c¥n xøng" h(cid:236)n h» thøc S = mP . D„ th§y vi»c t…m tam gi¡c ABC trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i vi»c gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

R r T(cid:226)m l⁄i b(cid:160)i to¡n P = mS (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc gi£i tr(cid:229)n v(cid:181)n trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t v(cid:238)i 2 thu“t to¡n cıa Goehl v(cid:160) cıa Markov. Hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ri¶ng (cid:31)(cid:176)c R r

(2.18)

v(cid:238)i ch(cid:243) (cid:254) r‹ng P = a + b + c, s =

ta c(cid:226)

16(a + b + c)2 = n2(a + b − c)(a + c − b)(b + c − a)

(cid:113)

P 2

(2.19)

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra S <

. Nh(cid:247) v“y trong b(cid:160)i to¡n P 2 = nS ta ph£i c(cid:226)

S = P (P − 2a)(P − 2b)(P − 2c) 1 4

P 2 4

n > 4. H(cid:236)n nœa, c(cid:226) th” bi‚n (cid:31)Œi c(cid:230)ng thøc (2.19):

16S2 = P (P − 2a)(P − 2b)(P − 2c) ⇐⇒16S2 = P (b + c − a)(a + c − b)(a + b − c) ⇐⇒16S2P 3 = P 4(b + c − a)(a + c − b)(a + b − c)

⇐⇒ P 4 S2 = 16 (a + b + c)3 (b + c − a)(a + c − b)(a + b − c)

Kh(cid:230)ng m§t t‰nh ch§t tŒng qu¡t, ta coi a = 1. L(cid:243)c n(cid:160)y t(cid:27) sŁ trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n (cid:31)⁄t c(cid:252)c ti”u khi b = 1, c = 1. (cid:30)i•u n(cid:160)y d„ th§y do t‰nh (cid:31)Łi xøng nh(cid:247)ng c(cid:226) th” chøng minh b‹ng (cid:31)⁄o h(cid:160)m ([4]). Nh(cid:247) v“y, √ P 4 S2 ≥ 432 v(cid:160) do (cid:31)(cid:226), P 2 ≥ 12 x†t gi¡ tr(cid:224) n ≥ 21. Mºt v‰ d(cid:246) (cid:31)¢ c(cid:226) tł l¥u: tam gi¡c Pythagore (3, 4, 5) c(cid:226) P 2 = 144, S = 6 n¶n n = 24.

B¥y gi(cid:237) (cid:31)” th§y t‰nh (cid:31)Łi xøng cıa b(cid:160)i to¡n ta (cid:31)(cid:176)t

3.S v(cid:238)i m(cid:229)i tam gi¡c. Do (cid:31)(cid:226) ta ch¿ cƒn

v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc

2α = a + b − c; 2β = a + c − b; 2γ = b + c − a

T(cid:226)m l⁄i ta cƒn gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Diophantine 16(α + β + γ)3 = n2αβγ v(cid:238)i n ≥ 21 l(cid:160) sŁ t(cid:252) nhi¶n cho tr(cid:247)(cid:238)c. (cid:30)¥y l(cid:160) b(cid:160)i to¡n kh(cid:226), n«m 2009 Allan Macleod (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra c¡ch gi£i quy‚t n(cid:226) v(cid:160) (cid:31)«ng trong b(cid:160)i b¡o On Integer Relations Between the Area and Perimeter of Heron Triangles, Forum Geometricorum, Volume 9(2009). Tuy nhi¶n c¡ch l(cid:160)m phøc t⁄p v(cid:160) kh(cid:230)ng s(cid:236) c§p. Ta s‡ (cid:31)• c“p (cid:31)‚n b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i c¡ch l(cid:160)m kh¡c nh(cid:237) mºt sŁ k(cid:255) thu“t trong sŁ h(cid:229)c, ngo(cid:160)i ra s‡ minh h(cid:229)a 2 tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c(cid:246) th” n = 31 v(cid:160) n = 42 = 1.42 = 7.6 = 7.3.2.

2.2.1 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n l(cid:160) sŁ nguy¶n tŁ

V(cid:238)i n l(cid:160) sŁ nguy¶n tŁ, v… (α + β + γ) chia h‚t cho n n¶n ta c(cid:226) th” (cid:31)(cid:176)t (α + β + γ) = nw v(cid:238)i w ∈ N n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). L(cid:243)c n(cid:160)y (2.20) tr(cid:240) th(cid:160)nh 16nw3 = αβγ. (cid:30)ﬂng thøc n(cid:160)y chøng t(cid:228) 1 trong c¡c sŁ α, β, γ ph£i chia h‚t

16(α + β + γ)3 = n2αβγ (2.20) Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng c¡c sŁ α, β, γ ∈ N l(cid:160) (cid:31)º d(cid:160)i c¡c (cid:31)o⁄n thﬂng ti‚p tuy‚n x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p tam gi¡c.

0, γ1 = γ3

0. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), β1 = β3

cho n. Gi£ sß (cid:31)(cid:226) l(cid:160) γ, v“y t(cid:231)n t⁄i γ ∈ N sao cho γ = γ(cid:48).n v(cid:160) 16w3 = αβγ(cid:48) 1 , β = 2jβ1, γ(cid:48) = 2kγ1 v(cid:238)i i + j + k = 4. Khi (cid:31)(cid:226) . Ta c(cid:226) th” vi‚t α = 2α 16w3 = αβγ(cid:48) = 2i+j+kα1β1γ1, suy ra w3 = α1β1γ1. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng c(cid:226) th” gi£ sß c¡c sŁ α1, β1, γ1 kh(cid:230)ng c(cid:226) thła sŁ chung v… n‚u tr¡i l⁄i, c(cid:226) th” gi£n (cid:247)(cid:238)c thła sŁ chung (cid:31)(cid:226) (cid:240) c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c t(cid:247)(cid:236)ng øng (cid:31)” (cid:31)(cid:247)æc tam gi¡c c(cid:226) v(cid:238)i tam gi¡c ban (cid:31)ƒu. Do (cid:31)(cid:226),w = w(cid:48)α0 v(cid:238)i w(cid:48) n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) v(cid:160) mºt c(cid:242)ng t(cid:27) sŁ nh¥n tß duy nh§t cıa α1 sao cho α1 = α3 0 v(cid:160) w = α0β0γ0. CuŁi c(cid:242)ng ta c(cid:226) th” t…m (cid:31)(cid:247)æc c¡c c⁄nh tam gi¡c tł c¡c (cid:31)ﬂng thøc α = 2iα3

0 v(cid:160) γ = 2knγ3 0

0; β = 2jβ3 Tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.20), ta c(cid:226)

P 2 S

t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i 24(α+β +γ)3 = 2i+j+kα3

0 · n · 2k · γ3 0 0, tøc l(cid:160) α+β +γ =

0 · 2j · β3 0, n3 ·γ3

0..β3

16(α + β + γ)3 = n2 · αβγ = n2 · 2i · α3

(cid:2)2iα3

0 = nα0 · β0 · γ0

Tł (2.21) suy ra 2iα3

(cid:3) + 2k · n · γ3 (2.21) 0 = nv v(cid:238)i v ∈ N n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Tł (cid:31)(cid:226) c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)a

0 + 2jβ3 0 0 + 2jβ3

ra thu“t to¡n t…m (a, b, c) nh(cid:247) sau:

B1. V(cid:238)i tłng bº (i, j, k) ∈ N3 th(cid:228)a i + j + k = 4 ta gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

nghi»m nguy¶n thø nh§t:

'n l(cid:160)α3

0 = nv

0, v

B2. V(cid:238)i mØi bº (cid:0)α3

0 + 2jβ3 0, β3 0, v(cid:1) ta gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh nghi»m nguy¶n thø hai

n · α0 · β0 · γ0, l⁄i t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i

'n l(cid:160) γ0

2iα3 0, β3

0 − α0β0γ0 + v = 0, 0γ = 2k · mγ3 0.

B3. T‰nh α = 2iα3 B4. T‰nh a = α + β, b = α + γ, c = β + γ.

V‰ d(cid:246) 2.2.1. n = 31.

L(cid:237)i gi£i. Ta l“p (cid:31)(cid:247)æc b£ng 2.2

Ch(cid:243) (cid:254). • Mºt sŁ bº (i, j, k) d¤n (cid:31)‚n ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh nghi»m nguy¶n v(cid:230) nghi»m,

chﬂng h⁄n: bº (2, 2, 0), (0, 2, 2), ...

2kγ3 0β = 2jβ3

• C¡ch l(cid:160)m cıa MacLeod ch¿ t…m (cid:31)(cid:247)æc mºt nghi»m, nghi»m thø (2):

(a, b, c) = (62, 39, 85), thi‚u 4 nghi»m v(cid:238)i n = 31.

α0

β0

174

1456

7677

γ0

500

19652

195112

128

2197

2916

42857

3348

10633

45198

2697

22568

237987

155

3848

30258

240310

159

5545

13549

88073

Nghi»m (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

B£ng 2.2: B(cid:160)i to¡n P 2 = nS v(cid:238)i n = 31

2.2.2 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n l(cid:160) hæp sŁ

0; γ = 2kn3γ3

Ph¥n t‰ch n th(cid:160)nh nh¥n tß: n = n1.n2.n3. L“p lu“n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 0; β = 2jn2β3 n nguy¶n tŁ d¤n t(cid:238)i: α = 2in1α3 0 v(cid:238)i i + j + k = 4. T§t c£ c¡c tam gi¡c MacLeod (cid:31)•u c(cid:226) d⁄ng n(cid:160)y. (cid:30)” (cid:31)(cid:247)a ra thu“t to¡n trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t, ta d(cid:242)ng thı thu“t nh(cid:247) sau: V(cid:238)i c¡ch ch(cid:229)n α, β, γ d⁄ng nh(cid:247) tr¶n, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.20) tr(cid:240) th(cid:160)nh

0 + 2jn2β3

0 + 2kn3γ3

0 = n1n2n3α0β0γ0

(2.22) 0) chia h‚t cho n3 n¶n c(cid:226) v ∈ N sao

0 + 2jn2β3

Tł (2.22) th§y r‹ng (2in1α3 cho:

(2.23)

2in1α3

0 + 2jn2β3

0 = n3 · v

Tł (cid:31)(cid:226) c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)a ra thu“t to¡n t…m (a, b, c) nh(cid:247) sau: B1. V(cid:238)i tłng bº (i, j, k) ∈ N3 th(cid:228)a i + j + k = 4 ta gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

0 = n3 · v,

0, β3

0, v

nghi»m nguy¶n 2in1α3 B2. V(cid:238)i mØi bº (cid:0)α3

0 + 2jn2β3 0, β3 2kγ3

'n l(cid:160) α3 0, v(cid:1) ta gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh nghi»m nguy¶n thø hai 0 − m1m2α0β0γ0 + v = 0

2in1α3

0β = 2jn2β3

0γ = 2k · n3γ3 0

B3. T‰nh α = 2in1α3 B4. T‰nh a = α + β, b = α + γ, c = β + γ

2.2.3 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ri¶ng: Tam gi¡c Pythagore

Gi£ sß (a, b, c) l(cid:160) bº ba Pythagore: a, b, c ∈ N, c2 = a2 + b2. B(cid:160)i to¡n (cid:240) (cid:31)¥y l(cid:160) t…m t§t c£ c¡c bº ba Pythagore sao cho P 2 = nS, ngh(cid:190)a l(cid:160) (cid:31)Æi h(cid:228)i

2(a + b + c)2 ab

n = . Kh(cid:230)ng m§t t‰nh ch§t tŒng qu¡t ta ch¿ cƒn t…m c¡c bº ba (a, b, c) nguy¶n tŁ l(cid:160) (cid:31)ı. Ta (cid:31)¢ bi‚t lu(cid:230)n t(cid:231)n t⁄i hai sŁ p, q ∈ N+, (p, q) = 1, kh(cid:230)ng c(cid:242)ng t‰nh ch§t chﬁn l·, sao cho

a = p2 − q2, b = 2pq, c = p2 + q2

Khi (cid:31)(cid:226), n =

v(cid:238)i t =

. Vi‚t l⁄i (cid:31)ﬂnrg thøc th(cid:160)nh

= 4p(p + q) q(p − q) 4t(t + 1) t − 1 p q

(2.24)

v(cid:160) nh“n (cid:31)(cid:247)æc nghi»m l(cid:160)

4t2 − (n − 4)t + n = 0

Ta vi‚t d2 = (n − 12)2 − 128 ⇐⇒ (n − 12 − d)(n − 12 + d) = 128 = 27.

Suy ra

(cid:40)

v(cid:238)i k = 1, 2, 3

= t = (n − 4) ± (cid:112)(n − 4)2 − 16n 8 (n − 4) ± (cid:112)(n − 12)2 − 128 8

Ta c(cid:226) c¡c tam gi¡c Pythagore nguy¶n thıy:

n − 12 − d = 2k, n − 12 − d = 27−k

(a, b, c) = (9, 40, 41); n = 45, S = 180, P = 90

(a, b, c) = (5, 12, 13); n = 30, S = 30, P = 30

Rª r(cid:160)ng sß d(cid:246)ng thı thu“t cıa sŁ h(cid:229)c, x†t sŁ m l(cid:160) sŁ nguy¶n tŁ v(cid:160) hæp sŁ, ta (cid:31)¢ (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£ mong muŁn v(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:247)æc gi£i kh(cid:230)ng qu¡ phøc t⁄p. H(cid:236)n nœa v(cid:238)i thu“t to¡n n(cid:160)y b‹ng s(cid:252) hØ træ cıa m¡y t‰nh ta t…m (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)ƒy (cid:31)ı c¡c nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n P 2 = nS.

(a, b, c) = (3, 4, 5); n = 24, S = 6, P = 12

227

109

α0

487

121

β0

195

17460

12114132

477700

3406970

129

γ0

1331

159014

23394166

389344

1295029

6859

207646

231002606

446631

10629366

18144

15309

45080469

3439

164086

8190

366660

254396772 7

835975

11924395

19475

174323

68474635

423735

2942115

25003

222955

276083075 20

481022

12276452

Nghi»m (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

B£ng 2.3: B(cid:160)i to¡n P 2 = nS v(cid:238)i n = 42

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3

Mºt sŁ v§n (cid:31)• li¶n quan

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3 d(cid:160)nh cho vi»c tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ v§n (cid:31)• li¶n quan (cid:31)‚n tø gi¡c nguy¶n: Tø gi¡c hœu t(cid:27), tø gi¡c Brahmagupa v(cid:160) c¡c b(cid:160)i to¡n h…nh h(cid:229)c trong c¡c k(cid:253) thi Olympic (cid:31)(cid:247)æc gi£i b‹ng sŁ h(cid:229)c. Nºi dung tham kh£o trong c¡c t(cid:160)i li»u [5] v(cid:160) [6] v(cid:238)i s(cid:252) s›p x‚p, bŒ sung v(cid:160) chi ti‚t h(cid:226)a. C¡c b(cid:160)i to¡n øng d(cid:246)ng sŁ h(cid:229)c v(cid:160)o h…nh h(cid:229)c l(cid:160) nhœng b(cid:160)i to¡n kh(cid:226), ch(cid:243)ng t(cid:230)i cŁ g›ng gi£i b‹ng nhi•u c¡ch nh(cid:247)ng (cid:247)u ti¶n c¡ch gi£i b‹ng sŁ h(cid:229)c ho(cid:176)c ¡p d(cid:246)ng ki‚n thøc sŁ h(cid:229)c.

3.1 Tø gi¡c c(cid:226) c⁄nh v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o hœu t(cid:27)

Brahmagupta (597-668) l(cid:160) nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c (cid:135)n (cid:31)º lØi l⁄c nh§t (cid:240) th‚ k(cid:27) thø VII. ˘ng (cid:31)¢ sŁng v(cid:160) l(cid:160)m vi»c t⁄i trung t¥m thi¶n v«n h(cid:229)c Ujjain (cid:240) Trung (cid:135)n ((cid:135)n (cid:31)º). N«m 628 (cid:230)ng vi‚t cuŁn Brahma-sphuta-siddhanta, mºt c(cid:230)ng tr…nh nghi¶n cøu v• thi¶n v«n h(cid:229)c g(cid:231)m 21 ch(cid:247)(cid:236)ng, trong (cid:31)(cid:226) ch(cid:247)(cid:236)ng 12 d(cid:160)nh cho sŁ h(cid:229)c v(cid:160) h…nh h(cid:229)c; ch(cid:247)(cid:236)ng 18 b(cid:160)n v• (cid:31)⁄i sŁ v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh v(cid:230) (cid:31)(cid:224)nh.

T⁄i Hy l⁄p h…nh h(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc ph¡t tri”n nh(cid:247) mºt khoa h(cid:229)c suy di„n, c¡c k‚t qu£ ch‰nh (cid:31)•u ph¡t tri”n tł c¡c ti¶n (cid:31)•. Nh(cid:247)ng t⁄i (cid:135)n (cid:31)º, h…nh h(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n cøu pha l¤n y‚u tŁ sŁ h(cid:229)c tł r§t s(cid:238)m, chﬂng h⁄n, b(cid:160)i to¡n d(cid:252)ng tam gi¡c vu(cid:230)ng v(cid:238)i c¡c c⁄nh l(cid:160) sŁ hœu t(cid:27) v(cid:160) nhi•u gi£ thuy‚t kh¡c l(cid:160) nhœng b(cid:160)i to¡n thu h(cid:243)t s(cid:252) ch(cid:243) (cid:254) tł th(cid:237)i k(cid:253) Sulva (cid:240) (cid:135)n (cid:31)º. Trong khung c£nh (cid:31)(cid:226), Brahmagupta (cid:31)¢ nghi¶n cøu b(cid:160)i to¡n v• s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) c¡ch d(cid:252)ng c¡c tø gi¡c (nºi ti‚p) m(cid:160) c¡c c⁄nh v(cid:160) c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o l(cid:160) sŁ hœu t(cid:27).

— (cid:31)¥y ta quy (cid:247)(cid:238)c tam gi¡c ABC hœu t(cid:27) n‚u c¡c c⁄nh BC, CA, AB c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i hœu t(cid:27). M(cid:229)i tam gi¡c hœu t(cid:27) m(cid:160) di»n t‰ch c(cid:244)ng hœu t(cid:27) (cid:31)•u nh“n (cid:31)(cid:247)æc 2 tam gi¡c vu(cid:230)ng hœu t(cid:27) ABP v(cid:160) BP C trong (cid:31)(cid:226) BP l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao cıa tam gi¡c hœu t(cid:27) ABC.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.1. Mºt tø gi¡c ABCD (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) hœu t(cid:27) n‚u c¡c c⁄nh AB, BC, CD, DA v(cid:160) hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (cid:31)•u l(cid:160) sŁ hœu t(cid:27). N‚u tø gi¡c hœu t(cid:27) nºi ti‚p mºt (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn th… n(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) tø gi¡c Brahmagupta.

Brahmagupta (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra 2 c¡ch d(cid:252)ng tø gi¡c nºi ti‚p hœu t(cid:27). Trong c¡ch thø nh§t, 2 tam gi¡c vu(cid:230)ng hœu t(cid:27) AP B v(cid:160) BP C g›n d(cid:229)c theo BP th(cid:160)nh tam gi¡c ABC hœu t(cid:27) v(cid:226)i di»n t‰ch hœu t(cid:27). Sau (cid:31)(cid:226) k†o d(cid:160)i BP c›t (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn ngo⁄i ti‚p (cid:240) D t⁄o th(cid:160)nh tø gi¡c nºi ti‚p ABCD. Rª r(cid:160)ng ∆AP D (cid:118) ∆BP C, suy ra P D hœu t(cid:27), h…nh 3.1a). Trong c¡ch thø hai, mºt (cid:31)o⁄n thﬂng AC (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n v(cid:160) 2 tam gi¡c hœu t(cid:27) ABC v(cid:160) ADC (cid:31)(cid:247)æc d(cid:252)ng v(cid:226)i c¡c g(cid:226)c vu(cid:230)ng t⁄i B v(cid:160) D. Tø gi¡c nh“n (cid:31)(cid:247)æc c(cid:244)ng l(cid:160) tø gi¡c Brahmagupta, h…nh 3.1b). Kummer (cid:31)¢ c£i ti‚n c¡ch l(cid:160)m cıa Brahmagupta:

H…nh 3.1: Tø gi¡c hœu t(cid:27)

Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t l§y tam gi¡c hœu t(cid:27) ABC. Gi£ sß E l(cid:160) (cid:31)i”m tr¶n AC sao cho tam gi¡c ABE l(cid:160) hœu t(cid:27), k†o d(cid:160)i BE g(cid:176)p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (ABC) (cid:240) D. Khi (cid:31)(cid:226) ABCD l(cid:160) tø gi¡c nºi ti‚p hœu t(cid:27). Th(cid:252)c ra t§t c£ c¡c tø gi¡c nºi ti‚p hœu t(cid:27) (cid:31)•u nh“n (cid:31)(cid:247)æc b‹ng c¡ch n(cid:160)y (h…nh 3.1c).

Gi£ sß ABE l(cid:160) mºt tam gi¡c, k(cid:254) hi»u (cid:98)E = ω, (cid:98)A = u, AB = a, BE = β, = y tł

= x, AE = α. G(cid:229)i c = cos ω th… a2 = α2 + β2 − 2αβc. (cid:30)(cid:176)t a β α β

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n c(cid:226) x2 − y2 + 2cy − 1 = 0. Nh(cid:247) v“y, v(cid:238)i sŁ th(cid:252)c c cho tr(cid:247)(cid:238)c, |c| < 1 , m(cid:229)i (cid:31)i”m (x, y) tr¶n c(cid:230) n‰c

v(cid:238)i x, y (cid:31)•u d(cid:247)(cid:236)ng, x¡c (cid:31)(cid:224)nh mºt tam gi¡c. C(cid:230) n‰c n(cid:160)y l(cid:160) mºt hypebol (X − Y + c)(X + Y − c) − 1 − c2 = k2 v(cid:238)i k = sin ω. G(cid:229)i ξ (cid:54)= 0 l(cid:160) mºt sŁ th(cid:252)c, ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh x, y b(cid:240)i c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh x + y − c = ξ v(cid:160)

X 2 − Y 2 + 2cY − 1 = 0

v(cid:160)

. Khi (cid:31)(cid:226), (x, y) l(cid:160) (cid:31)i”m tr¶n hypebol. V… x =

x − y + c = k2 ξ ξ2 + k2 2ξ

, n‚u c (cid:54)= 0 l(cid:160) hœu t(cid:27) v(cid:160) n‚u ξ (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n

l(cid:160) hœu t(cid:27) sao cho x > 0, y > 0 th… ξ x¡c (cid:31)(cid:224)nh mºt tam gi¡c ABE m(cid:160) t(cid:27) sŁ c¡c c⁄nh l(cid:160) sŁ hœu t(cid:27). Ng(cid:247)æc l⁄i, m(cid:229)i tam gi¡c m(cid:160) t(cid:27) sŁ c¡c c⁄nh hœu t(cid:27) l(cid:160) c¡c tam gi¡c hœu t(cid:27), (cid:31)•u nh“n (cid:31)(cid:247)æc theo c¡ch nh(cid:247) v“y.

N‚u c l(cid:160) hœu t(cid:27) th… k2 = 1 − c2 c(cid:244)ng l(cid:160) hœu t(cid:27). Khi k c(cid:244)ng hœu t(cid:27) th… h» thøc tr¶n (cid:31)(cid:247)a ph†p d(cid:252)ng Brahmagupta cıa tam gi¡c hœu t(cid:27) (v(cid:238)i di»n t‰ch hœu t(cid:27)) v• vi»c d(cid:252)ng mºt trong hai tam gi¡c vu(cid:230)ng hœu t(cid:27). B¥y gi(cid:237), b(cid:160)i to¡n d(cid:252)ng tø gi¡c hœu t(cid:27) c(cid:226) th” (cid:31)(cid:176)t ra nh(cid:247) sau: X¡c (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:247)æc c¡c tam gi¡c hœu t(cid:27) ABE, BEC, CED theo c¡ch sao cho tam gi¡c AED c(cid:244)ng hœu t(cid:27), h…nh 3.2.

- Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t, gi£ sß c (cid:54)= 0 l(cid:160) sŁ hœu t(cid:27) sao cho |c| < 1 v(cid:160) β l(cid:160) sŁ hœu t(cid:27) d(cid:247)(cid:236)ng b§t k(cid:253). ξ > 0 c(cid:244)ng l(cid:160) sŁ hœu t(cid:27) b§t k(cid:253) sao cho (ξ + c)2 − 1 > 0, d(cid:252)ng tam gi¡c ABE c(cid:226) AB = a, BE = β, AE = α v(cid:238)i

y = = ξ2 − k2 + 2cξ 2ξ (ξ + c)2 − 1 2ξ

v(cid:160)

- B¥y gi(cid:237) gi£ sß r‹ng BEC l(cid:160) tam gi¡c hœu t(cid:27) v(cid:238)i EC = γ, BC = b, η =

, (cid:240) (cid:31)¥y c(cid:48) = −c l(cid:160) cosin cıa g(cid:226)c (cid:92)BEC th(cid:228)a η =

= = , c = cos E a β ξ2 − c2 + 1 2ξ α β (ξ + c)2 − 1 2ξ

b + γ + cβ β

b + γ − c(cid:48)β β Ta c(cid:226)

v(cid:160)

(cid:19)

= = b β η2 − c2 + 1 2η γ β (η − c)2 − 1 2η

V… α

n¶n ta c(cid:226)

(Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng c v(cid:160) c¡c tham sŁ ξ, η x¡c (cid:31)(cid:224)nh mºt tam gi¡c sai kh¡c mºt ph†p (cid:31)(cid:231)ng d⁄ng). (cid:18) γ β

(cid:18)α β

= γ

α (cid:2)(η − c)2 − 1(cid:3) ξ − γ (cid:2)(ξ + c)2 − 1(cid:3) η = 0.

H…nh 3.2: Tø gi¡c hœu t(cid:27) cıa Brahmagupta

Nh(cid:247) v“y, (ξ, η) l(cid:160) mºt (cid:31)i”m hœu t(cid:27) tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong b“c 3

(3.1)

- Gi£ sß r‹ng (ξ, η) l(cid:160) nghi»m hœu t(cid:27) cıa (3.1) th… ta c(cid:226) 2 tam gi¡c hœu t(cid:27) ABE v(cid:160) BEC . (cid:30)” c(cid:226) tø gi¡c hœu t(cid:27) ta cƒn c¡c tam gi¡c AED v(cid:160) CED l(cid:160) hœu t(cid:27), h…nh ??

- Gi£ sß AD = l, DC = m, ED = δ . Tam gi¡c AED (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh

b(cid:240)i tham sŁ hœu t(cid:27) x =

v(cid:238)i

αX (cid:2)(Y − c)2 − 1(cid:3) − γY (cid:2)(X + c)2 − 1(cid:3) = 0

v(cid:160)

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), v(cid:238)i tam gi¡c CED l§y y =

ta c(cid:226)

= = l + δ + cα α (x − c)2 − 1 2x δ α l α x2 − c2 + 1 2x

m + δ − cγ 2x

v(cid:160)

Khi (cid:31)(cid:226), (x, y) s‡ l(cid:160) (cid:31)i”m hœu t(cid:27) tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng b“c ba

= = δ γ (y + c)2 − 1 2y m γ y2 − c2 + 1 2y

(3.2)

αY (cid:2)(X − c)2 − 1(cid:3) − γX (cid:2)(Y + c)2 − 1(cid:3) = 0

Ng(cid:247)æc l⁄i n‚u (x, y) l(cid:160) (cid:31)i”m hœu t(cid:27) tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong b“c ba (3.2) sao cho

c¡c sŁ hœu t(cid:27)

v(cid:160)

l(cid:160) sŁ d(cid:247)(cid:236)ng th… ta c(cid:226) c¡c tam gi¡c hœu t(cid:27) AED v(cid:160)

CED . Nh(cid:247) v“y, n‚u (ξ, η) l(cid:160) (cid:31)i”m hœu t(cid:27) tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng b“c ba (3.1) k†o theo ABC l(cid:160) tam gi¡c hœu t(cid:27), th… m(cid:229)i (cid:31)i”m hœu t(cid:27) tr¶n (3.2) cho tam gi¡c hœu t(cid:27) ACD , s‡ x¡c (cid:31)(cid:224)nh mºt tø gi¡c hœu t(cid:27) ABCD.

3.2 X¡c (cid:31)(cid:224)nh c¡c y‚u tŁ cıa tø gi¡c Brahmagupta

Nºi dung phƒn n(cid:160)y tr…nh b(cid:160)y c¡ch d(cid:252)ng tø gi¡c Brahmagupta d(cid:252)a v(cid:160)o

g(cid:226)c Heron, tam gi¡c Heron. Ta h¢y nh›c l⁄i mºt sŁ ki‚n thøc li¶n quan.

Sau (cid:31)¥y ta s‡ bŒ sung th¶m mºt sŁ ki‚n thøc v• g(cid:226)c Heron.

H…nh 3.3: (cid:30)º d(cid:160)i 2 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o, chu vi, di»n t‰ch tø gi¡c

H…nh 3.3 ch¿ ra mºt cung AB cıa (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn b¡n k‰nh R. Gi£ sß C v(cid:160) C (cid:48) l(cid:160) 2 (cid:31)i”m tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn n‹m v• 2 ph‰a cıa AB. Ta c(cid:226): (cid:92)ACB +(cid:92)AC (cid:48)B = π v(cid:160) AB = 2R sin θ K(cid:254) hi»u S, s l(cid:160) di»n t‰ch v(cid:160) nßa chu vi tø gi¡c ABCD. ta c(cid:226)

(cid:115)

δ α δ γ

(3.3)

e = (ac + bd)(ad + bc) ab + cd

(cid:115)

(3.4)

f = (ac + bd)(ab + cd) ad + bc

(3.5)

(cid:113)

s = (a + b + c + d) 1 2

(3.6)

N‚u d = 0 tø gi¡c tr(cid:240) th(cid:160)nh tam gi¡c v(cid:160) c(cid:230)ng thøc (3.6) th(cid:160)nh c(cid:230)ng thøc Heron nŒi ti‚ng. C¡c c(cid:230)ng thøc (3.3), (3.4), (3.6) l(cid:160) nhœng c(cid:230)ng thøc (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cıa tø gi¡c nºi ti‚p c(cid:244)ng nh(cid:247) c(cid:230)ng thøc Ptolemy (cid:31)Łi v(cid:238)i tø gi¡c nºi ti‚p.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.2. Mºt g(cid:226)c (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) g(cid:226)c Heron n‚u sin v(cid:160) c(cid:230) sin cıa n(cid:226) l(cid:160) c¡c sŁ hœu t(cid:27).

S = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d)

V… sin θ =

n¶n g(cid:226)c θ l(cid:160) hœu t(cid:27)

khi v(cid:160) ch¿ khi tan

l(cid:160) sŁ hœu t(cid:27). Rª r(cid:160)ng tŒng v(cid:160) hi»u c¡c g(cid:226)c Heron l(cid:160)

cos θ = 1 − t2 1 + t2 v(cid:238)i t = tan θ 2

g(cid:226)c Heron. N‚u trong tam gi¡c ABC ta (cid:31)(cid:176)t

2t 1 + t2 , θ 2

th… s‡ c(cid:226) t(cid:27) l» thøc

t1 = tan , t2 = tan , t3 = tan A 2 C 2 B 2

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra tam gi¡c l(cid:160) hœu t(cid:27) khi v(cid:160) ch¿ khi c¡c g(cid:226)c cıa n(cid:226) l(cid:160) g(cid:226)c Heron. Ph†p d(cid:252)ng tø gi¡c Brahmagupta. V… c¡c g(cid:226)c (cid:31)Łi di»n trong tø gi¡c nºi . Tø gi¡c nºi ti‚p

ti‚p b(cid:242) nhau n¶n ta c(cid:226) th” gi£ sß (cid:98)A, (cid:98)B ≤

v(cid:160) (cid:98)C, (cid:98)D ≥

a : b : c = t1 (t2 + t3) : t2 (t3 + t1) : t3 (t1 + t2)

π 2 π 2

π 2

ABCD l(cid:160) h…nh chœ nh“t khi v(cid:160) ch¿ khi (cid:98)A = (cid:98)B = n(cid:226) l(cid:160) h…nh thang khi v(cid:160) ch¿ khi (cid:98)A = (cid:98)B. Gi£ sß (cid:92)CAD = (cid:92)CBD = θ. Tø gi¡c nºi ti‚p ABCD l(cid:160) tø gi¡c hœu t(cid:27) khi v(cid:160) ch¿ khi c¡c g(cid:226)c (cid:98)A, (cid:98)B, θ l(cid:160) c¡c g(cid:226)c Heron.

V… ∆EAB ∼ ∆ECD n¶n

N‚u ABCD l(cid:160) mºt tø gi¡c Brahmagupta m(cid:160) c¡c c⁄nh AD v(cid:160) BC kh(cid:230)ng song song, k(cid:254) hi»u E = AD ∩BC. Tr¶n h…nh ??, gi£ sß EC = α, ED = β. EB ED

= = = λ (chﬂng h⁄n). Ngh(cid:190)a l(cid:160) AB CD

= λ = = EA EC β + d α a c α + b β

hay

(cid:19)

(3.7)

(cid:18)α β

H(cid:236)n nœa, theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sin

a = λc, b = λβ − α, d = λα − β, λ > max , β α

e = 2R sin B = 2R sin D = · α R ρ

(3.8)

trong (cid:31)(cid:226) ρ l(cid:160) b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c ECD. Theo (cid:31)(cid:224)nh

H…nh 3.4: D(cid:252)ng tø gi¡c Brahmagupta tł tam gi¡c Heron

l(cid:254) Ptolemy, ac + bd = ef v(cid:160)

f = 2R sin A = 2R sin C = · β R ρ

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc vi‚t l⁄i nh(cid:247) sau

(cid:19)2

R2 ρ2 · α · β = c2λ + (βλ − α)(αλ − β)

(cid:18)R ρ

= λ2 − λ + 1 α2 + β2 − c2 αβ

= λ2 − 2λ cos E + 1 = (λ − cos E)2 + sin2 E

hay

(cid:19)

(cid:18)R ρ

(cid:19) (cid:18)R ρ

L(cid:247)u (cid:254) r‹ng sin E, cos E l(cid:160) hœu t(cid:27) v… E l(cid:160) g(cid:226)c Heron. Theo thø t(cid:252) ta

thu (cid:31)(cid:247)æc c¡c gi¡ tr(cid:224) hœu t(cid:27) cıa R v(cid:160) λ, ta (cid:31)(cid:176)t

− λ + cos E + λ − cos E = sin2 E.

− λ − cos E = t sin E

v(cid:238)i sŁ hœu t(cid:27) t n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

+ λ + cos E = sin E t R ρ R ρ

(cid:19)

R = sin E t + = t + c 4 1 t 1 t

(cid:18)1 t

Tł c¡c bi”u thøc bi”u di„n R v(cid:160) λ rª r(cid:160)ng t = tan

λ = sin E − 1 − cos E ρ 2 1 2

(cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c g(cid:226)c Heron C v(cid:160) D th…

N‚u (cid:31)(cid:176)t t1 = tan

θ 2

, t2 = tan C 2 D 2

v(cid:160) sin E =

1) (1 + t2 2)

B‹ng c¡ch ch(cid:229)n c = t (cid:0)1 + t2

(t1 + t2)2 − (1 − t1t2)2 2 (t1 + t2) (1 − t1t2) cos E = (1 + t2

(cid:1)

1) (1 + t2 2) (cid:1) (cid:0)1 + t2 2 (cid:1)2

(1 + t2 (cid:1), th… tł (3.8) ta c(cid:226)

1 (cid:1) (cid:0)1 + t2 (cid:0)1 + t2 tt1 2 1 (t1 + t2) (1 − t1t2)

(cid:1)2 (cid:0)1 + t2 (cid:0)1 + t2 tt2 2 1 (t1 + t2) (1 − t1t2)

v(cid:160) tł (3.7) ta c(cid:226) c⁄nh v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o, di»n t‰ch cıa tø gi¡c nºi ti‚p:

(cid:1) (t2 − t) (1 + tt2) (cid:1) (cid:0)1 + t2 (cid:1) 2 (cid:1) (t1 − t) (1 + tt1)

(cid:1)

(cid:0)1 + t2(cid:1) (cid:0)1 + t2 2 (cid:0)1 + t2(cid:1) (cid:0)1 + t2 1

, β = α =

(cid:2)2t (1 − t1t2) − (t1 + t2) (cid:0)1 − t2(cid:1)(cid:3) (cid:2)2 (t1 + t2) t + (1 − t1t2) (cid:0)1 − t2(cid:1)(cid:3)

a = (t (t1 + t2) + (1 − t1t2)) (t1 + t2 − t (1 − t1t2)) b = (cid:0)1 + t2 1 c = t (cid:0)1 + t2 1 d = (cid:0)1 + t2 2 e = t1 f = t2 S = t1t2

(cid:1) (cid:0)1 + t2(cid:1)

(cid:0)1 + t2 1

v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn ngo⁄i ti‚p tø gi¡c (cid:1) (cid:0)1 + t2 2 2

v(cid:160) t =

v(cid:238)i m, n, p, q, u, v ∈ N (cid:160)o

B‹ng c¡ch thay t1 =

2R =

c¡c (cid:31)ﬂng thøc tr¶n ta thu (cid:31)(cid:247)æc tø gi¡c Brahmagupta. M(cid:229)i tø gi¡c Brah- magupta (cid:31)•u (cid:31)(cid:247)æc d(cid:252)ng theo c¡ch n(cid:160)y.

V‰ d(cid:246) 3.2.1. (D(cid:252)ng tø gi¡c Brahmagupta tł tam gi¡c Heron)

Tł tam gi¡c Heron ECD v(cid:238)i c : α : β = 14 : 15 : 13. — (cid:31)¥y t1 =

). B‹ng c¡ch (cid:31)(cid:176)t t =

t‰nh (cid:31)(cid:247)æc c¡c c⁄nh tø gi¡c

(v(cid:160) t3 =

, t2 = n m q p v u

, t2 = 1 2 4 7 v u 2 3 Brahmagupta

a = (7u − 4v)(7u + 4v), b = 13(u − 2v)(2u + v), c = 65uv,

f = 26 (cid:0)u2 + v2(cid:1)

N‚u l§y u = 3, v = 1 th… (cid:31)(cid:247)æc

d = 5(2u − 3v)(3u + 2v) e = 30 (cid:0)u2 + v2(cid:1) , S = 24 (cid:0)2u2 + 7uv − 2v2(cid:1) (cid:0)7u2 − 8uv − 7v2(cid:1)

V(cid:238)i u = 11, v = 3 ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc tø gi¡c m(cid:160) c⁄nh v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (cid:31)•u l(cid:160) bºi cıa 65. R(cid:243)t g(cid:229)n l⁄i ta (cid:31)(cid:247)æc

(a, b, c, d, e, f, S) = (323, 91, 195, 165, 300, 260, 28416)

Tø gi¡c nºi ti‚p trong (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh 65.

V‰ d(cid:246) 3.2.2. N‚u l§y ECD l(cid:160) tam gi¡c vu(cid:230)ng v(cid:238)i c⁄nh CD : EC : ED = (cid:0)m2 + n2(cid:1) : 2mn : (cid:0)m2 − n2(cid:1) ta (cid:31)(cid:247)æc

(a, b, c, d, e, f, S) = (65, 39, 33, 25, 52, 60, 1344)

a = (cid:0)m2 + n2(cid:1) (cid:0)u2 − v2(cid:1) b = ((m − n)u − (m + n)v)((m + n)u + (m − n)v) c = 2 (cid:0)m2 + n2(cid:1) uv d = 2(nu − mv)(mu + nv) e = 2mn (cid:0)u2 + v2(cid:1) f = (cid:0)m2 − n2(cid:1) (cid:0)u2 + v2(cid:1) S = mn (cid:0)m2 − n2(cid:1) (cid:0)u2 + 2uv − v2(cid:1) (cid:0)u2 − 2uv − v2(cid:1)

√

— (cid:31)¥y

. Ta c(cid:226) 2 tø gi¡c Brahmagupta tł c¡ch d(cid:252)ng n(cid:160)y:

, > u v

b c e f S

V‰ d(cid:246) 3.2.3. N‚u g(cid:226)c θ (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n sao cho A + B − θ =

th… c⁄nh BC

m + n m m − n n n/m v/u a 1/2 1/2

l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh cıa tø gi¡c ABCD. Khi (cid:31)(cid:226),

2R d 1/4 75 13 40 36 68 51 966 85 1/5 60 16 25 33 52 39 714 65 π 2

v(cid:160) t =

ta thu (cid:31)(cid:247)æc tø gi¡c

t = tan = = θ 2 1 − t3 1 + t3 t1 + t2 − 1 + t1t2 t1 + t2 + 1 − t1t2

(cid:30)(cid:176)t t1 =

, t2 = q p (m + n)q − (m − n)p (m + n)p − (m − n)q n m Brahmagupta:

Sau (cid:31)¥y l(cid:160) hai tø gi¡c c(cid:246) th”

a = (cid:0)m2 + n2(cid:1) (cid:0)p2 + q2(cid:1) b = (cid:0)m2 − n2(cid:1) (cid:0)p2 + q2(cid:1) c = ((m + n)p − (m − n)q)((m + n)q − (m − n)p) d = (cid:0)m2 − n2(cid:1) (cid:0)p2 − q2(cid:1) e = 2mn (cid:0)p2 + q2(cid:1) f = 2pq (cid:0)m2 + n2(cid:1)

t a d f s e c b t2

25 7

3.3 Gi(cid:238)i thi»u mºt sŁ b(cid:160)i to¡n thi Olympic

Mºt sŁ b(cid:160)i thi Olympic sau (cid:31)¥y (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng b(cid:160)i to¡n sŁ

h(cid:229)c v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc gi£i nh(cid:237) c¡c k(cid:255) thu“t cıa sŁ h(cid:229)c.

V‰ d(cid:246) 3.3.1. (IMO 1955-1956, b(cid:160)i 3) Cho a, b, c l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n th(cid:228)a m¢n a2 + b2 = c2 . Chøng minh r‹ng:

a. C(cid:226) ‰t nh§t 1 trong 2 sŁ a,b chia h‚t cho 3; b. C(cid:226) ‰t nh§t 1 trong 2 sŁ a,b chia h‚t cho 4; c. C(cid:226) ‰t nh§t 1 trong 3 sŁ a,b,c chia h‚t cho 5.

t1 2/3 1/3 3/11 65 25 33 39 60 52 1344 15 15 24 20 192 3/4 1/2 1/3

Chøng minh. a. N‚u c£ a v(cid:160) b kh(cid:230)ng chia h‚t cho 3 th… d(cid:247) cıa a2 + b2 khi chia cho 3 s‡ l(cid:160) 2. (cid:30)i•u (cid:31)(cid:226) l(cid:160) kh(cid:230)ng th” v… a2 + b2 b‹ng c2 v(cid:238)i c ∈ N.

b. N‚u (a, b, c) = 1. Khi (cid:31)(cid:226) a, b c(cid:244)ng nguy¶n tŁ c(cid:242)ng nhau. Th“t v“y n‚u p l(cid:160) (cid:247)(cid:238)c nguy¶n tŁ n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) cıa a, b th… v… a2 + b2 = c2 suy ra p c(cid:244)ng l(cid:160) (cid:247)(cid:238)c cıa c2 v(cid:160) cıa c. Tr¡i v(cid:238)i gi£ thi‚t (a, b, c) = 1. C¡c sŁ a, b kh(cid:230)ng th” c(cid:242)ng chﬁn, ch(cid:243)ng c(cid:244)ng kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i l·. Th“t v“y, n‚u a = 2k + 1, b = 2l + 1 sŁ a2 + b2 = 4(k2 + l2) + 4(k + l) + 2, rª r(cid:160)ng c(cid:226) d(cid:247) 2 khi chia cho 4, trong khi (cid:31)(cid:226), c2 khi chia cho 4 ch¿ c(cid:226) d(cid:247) l(cid:160) 0 ho(cid:176)c 1.

Do (cid:31)(cid:226), mºt trong 2 sŁ a, b l(cid:160) chﬁn, sŁ kia l(cid:160) l· ( c l(cid:160) sŁ l·). Kh(cid:230)ng m§t

t‰nh ch§t tŒng qu¡t, coi a -chﬁn, b -l·. Tł c(cid:230)ng thøc thøc Pythagore ta

(cid:17)2

= · . c + b 2 c − b 2

V… b v(cid:160) c l· n¶n

(cid:16)a 2 c − b 2

, c + b 2

N‚u (a, b, c) = d > 1, tøc l(cid:160) t(cid:231)n t⁄i a1, b1, c1 ∈ N, (a1, b1, c1) = 1 sao 1 m(cid:160) theo tr¶n mºt

1 = c2

1 + b2

cho a = da1, b = db1, c = dc1. Ta r(cid:243)t ra a2 trong 2 sŁ, chﬂng h⁄n a1 chia h‚t cho 4, tøc l(cid:160) a chia h‚t cho 4.

c. SŁ kh(cid:230)ng chia h‚t cho 5 c(cid:226) d⁄ng 5k ± 1 ho(cid:176)c 5k ± 2. Tł (cid:31)(cid:226) th§y ngay b…nh ph(cid:247)(cid:236)ng 1 sŁ khi chia cho 5 cho d(cid:247) l(cid:160) 1 ho(cid:176)c 4. N‚u a v(cid:160) b (cid:31)•u kh(cid:230)ng chia h‚t cho 5 th… d(cid:247) cıa a2 + b2 khi chia cho 5 l(cid:160) +1 = 2, (1 + 4) − 5 = 0, (4 + 4) − 5 = 3. M(cid:176)t kh¡c, v… a2 + b2 = c2 khi chia cho 5 ch¿ c(cid:226) d(cid:247) l(cid:160) 0,1,4 . Nh(cid:247) v“y, a2 + b2 = c2 khi chia cho 5 ch¿ c(cid:226) d(cid:247) b‹ng 0, tøc c l(cid:160) bºi cıa 5. T(cid:226)m l⁄i c(cid:226) ‰t nh§t 1 sŁ trong 3 sŁ a, b, c l(cid:160) bºi cıa 5.

V‰ d(cid:246) 3.3.2. (IMO 1970-1971, b(cid:160)i 4) Chøng minh r‹ng n‚u c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n x, y, z th(cid:228)a m¢n xn + yn = zn th… min(x, y) ≥ n.

Chøng minh. Gi£ sß c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n x, y, z, n th(cid:228)a m¢n xn + yn = zn.

Kh(cid:230)ng m§t t‰nh ch§t tŒng qu¡t, ta coi x ≤ y. V… zn = xn + yn > yn

n¶n z > y v(cid:160) do (cid:31)(cid:226), z ≥ y + 1. Theo nh(cid:224) thøc Newton

∈ N, tŒng hai sŁ n(cid:160)y b‹ng sŁ l· c n¶n mºt trong ch(cid:243)ng ph£i l·, sŁ kia ph£i chﬁn. Suy ra t‰ch cıa ch(cid:243)ng b‹ng (a/2)2 l(cid:160) sŁ chﬁn, tøc a/2 chﬁn hay a chia h‚t cho 4.

(3.9)

1 yn−1 + . . . + 1 ≥ yn + nyn−1

So s¡nh (3.9) v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)ƒu d¤n (cid:31)‚n xn ≥ nyn−1, nh(cid:247)ng v… x ≤ y n¶n xn ≥ nxn−1 hay x ≥ n. Nh(cid:247) v“y, min(x, y) = x ≥ n

zn ≥ (y + 1)n = yn + C n

V‰ d(cid:246) 3.3.3. (IMO 1973-1974, b(cid:160)i 6) Mºt n- gi¡c n(cid:231)i (cid:31)(cid:247)æc chia th(cid:160)nh c¡c tam gi¡c b(cid:240)i c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o cıa n(cid:226) th(cid:228)a m¢n: (a) MØi (cid:31)¿nh tam gi¡c c(cid:226) mºt sŁ chﬁn c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o v(cid:160) (b) kh(cid:230)ng c(cid:226) 2 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o n(cid:160)o g(cid:176)p nhau (cid:240) (cid:31)i”m trong. Chøng minh r‹ng n chia h‚t cho 3.

Chøng minh. Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t ta c(cid:226) nh“n x†t sau: N‚u trong n- gi¡c l(cid:231)i A1A2...An k· (cid:31)(cid:247)æc mºt sŁ n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o v(cid:160) tł mØi (cid:31)¿nh A1A2...An−1 (cid:31)•u c(cid:226) sŁ chﬁn c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o th… tł (cid:31)¿nh An c(cid:244)ng c(cid:226) sŁ chﬁn c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o.

(cid:30)” gi£i b(cid:160)i to¡n ta quy n⁄p theo n ≥ 3. Khi n = 3, k‚t lu“n hi”n nhi¶n. Gi£ sß n > 3 v(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ t(cid:252) nhi¶n r th(cid:228)a m¢n

Khi (cid:31)(cid:226) n‚u mºt t“p hæp c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o cıa r− gi¡c chia n(cid:226) th(cid:160)nh c¡c tam gi¡c v(cid:160) th(cid:228)a c¡c (cid:31)i•u ki»n (a) v(cid:160) (b) th… r chia h‚t cho 3. G(cid:229)i P l(cid:160) t“p hæp c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o cıa n- gi¡c m(cid:160) chia n(cid:226) th(cid:160)nh c¡c tam gi¡c th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n (a) v(cid:160) (b). Gi£ sß tł (cid:31)¿nh A n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) cıa n- gi¡c c(cid:226) ‰t nh§t 2 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o thuºc P. Ta ch(cid:229)n 2 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o AB, AC xu§t ph¡t tł A, thuºc P sao cho: phƒn trong g(cid:226)c (cid:92)A1AB chøa mºt sŁ chﬁn c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (cid:31)i tł A, thuºc P, cÆn phƒn trong cıa g(cid:226)c (cid:92)BAC kh(cid:230)ng c(cid:226) mºt (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o n(cid:160)o, (cid:31)i tł A thuºc t“p hæp P (h…nh ??). Khi (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o BC thuºc t“p hæp P. X†t (cid:31)a gi¡c AA1...B , tł mØi (cid:31)¿nh cıa n(cid:226) s‡ c(cid:226) mºt sŁ chﬁn c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o thuºc P. Theo nh“n x†t tr¶n tł (cid:31)¿nh B c(cid:244)ng s‡ c(cid:226) mºt sŁ chﬁn c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o thuºc P.

H…nh 3.5: Hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o AB, BC ∈ P

3 ≤ r ≤ n.

(cid:30)i•u t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) x£y ra (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c (cid:31)a gi¡c BB1...C v(cid:160) CC1...A. V(cid:160) mØi (cid:31)a gi¡c AA1...B, BB1...C, CC1...A sŁ c⁄nh (cid:31)•u nh(cid:228) h(cid:236)n n n¶n theo gi£ thi‚t quy n⁄p sŁ c⁄nh mØi (cid:31)a gi¡c chia h‚t cho 3. TŒng sŁ c⁄nh cıa 3 (cid:31)a gi¡c (cid:31)(cid:226) l(cid:160) n + 3 v(cid:160) c(cid:226) th¶m 3 c⁄nh AB, BC, CA. SŁ n + 3 chia h‚t cho 3, suy ra n chia h‚t cho 3. Suy ra (cid:31)i•u ph£i chøng minh

V‰ d(cid:246) 3.3.4. (IMO 1968, b(cid:160)i 1) Chøng minh r‹ng c(cid:226) mºt v(cid:160) ch¿ mºt tam gi¡c c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i c¡c c⁄nh l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n li¶n ti‚p v(cid:160) c(cid:226) mºt g(cid:226)c g§p (cid:31)(cid:230)i g(cid:226)c kh¡c.

Chøng minh. Ta tr…nh b(cid:160)y theo 3 c¡ch:

C¡ch 1. Gi£ sß ∆ABC c(cid:226) BC = a, AC = b, AB = c,(cid:92)ABC = α v(cid:160)

(cid:92)BAC = 2α. Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sin

Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:230) sin:

= =⇒ = 2 cos α = =⇒ cos α = b sin α a sin 2α sin 2α sin α a b a 2b

V… a, b, c ∈ N n¶n b|a2c.

- N‚u b (cid:240) giœa a v(cid:160) c th… b nguy¶n tŁ v(cid:238)i a, v(cid:238)i c v(cid:160) b kh(cid:230)ng th” l(cid:160) (cid:247)(cid:238)c cıa a2c. Do (cid:31)(cid:226) b ho(cid:176)c l(cid:160) sŁ nh(cid:228) nh§t ho(cid:176)c l(cid:160) sŁ l(cid:238)n nh§t trong 3 sŁ t(cid:252) nhi¶n li¶n ti‚p.

- N‚u b nh(cid:228) nh§t th… b|b + 2 ho(cid:176)c b|(b + 2)2 t(cid:252)y theo a = b + 2 hay c = b+2. N‚u x£y ra a = b+2, b|b+2 th… b = 1 (d¤n (cid:31)‚n tam gi¡c suy bi‚n) ho(cid:176)c b = 2 d¤n (cid:31)‚n b · (cid:0)a2 + c2 − b2(cid:1) = 2 (cid:0)42 + +32 − 22(cid:1) = 42 = a2c, m¥u thu¤n v(cid:238)i a = 3, c = 4, b = 2. V“y b kh(cid:230)ng chia h‚t b + 2. Nh(cid:247) th‚ b|(b + 2)2 (khi c = b + 2). Tł (cid:31)¥y, b|(b + 2)2 − b2 − 4b = 4, tøc b = 1, 2, 4.

= =⇒ a2c = b (cid:0)a2 + c2 − b2(cid:1) cos α = a2 + c2 − b2 2ac a 2b

• b = 1, c = 3, a = 2 (cid:86) tam gi¡c suy bi‚n; • b = 2, c = 4, a = 3 ⇒ 2.(9 + 16 − 4) = 42 = a2.c = 36, v(cid:230) l(cid:254)!; • b = 4, c = 6, a = 5 (cid:86) th(cid:228)a m¢n gi£ thi‚t. V“y tam gi¡c duy nh§t th(cid:228)a m¢n (cid:31)• b(cid:160)i l(cid:160) tam gi¡c (4, 5, 6). C¡ch 2. Tam gi¡c ABC c(cid:226) A = 2B ⇒ C = 180◦ − 3B, v“y sin C = sin 3B. Ta c(cid:226) sin2 A = sin2 2B = 2 sin B cos B sin 2B = sin B(sin B + sin 3B) = sin B(sin B + sin C). (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sin, ta c(cid:226) a2 = b(b + c).

N‚u b l(cid:160) c⁄nh nh(cid:228) nh§t th… (b+2)2 = b2+b(b+1), suy ra (b−4)(b−1) = 0. Ch¿ c(cid:226) b = 4, c = 5, a = 6 th(cid:228)a m¢n. C¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp kh¡c (cid:31)•u d¤n (cid:31)‚n tam gi¡c suy bi‚n ho(cid:176)c m¥u thu¤n. C¡ch 3. (kh(cid:230)ng d(cid:242)ng l(cid:247)æng gi¡c). Gi£

H…nh 3.6: (IMO 1968, #1), C¡ch gi£i thø ba

sß 3 c⁄nh l(cid:160) a, b, c v(cid:160) C = 2B. K†o d(cid:160)i AC (cid:31)‚n D sao cho CD = BC = a. (cid:92)ACB = (cid:92)ABC. Tł (cid:31)(cid:226), 2 tam gi¡c ABC v(cid:160) ADB (cid:31)(cid:231)ng Khi (cid:31)(cid:226), (cid:92)CDB = d⁄ng. R(cid:243)t ra (cid:31)ﬂng thøc c2 = b(a + b), l“p lu“n nh(cid:247) c¡ch 2.

V‰ d(cid:246) 3.3.5. (IMO 2009, b(cid:160)i 5) T…m h(cid:160)m sŁ f tł t“p sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)‚n t“p sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i a, b nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng t(cid:231)n t⁄i tam gi¡c kh(cid:230)ng suy bi‚n c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i c¡c c⁄nh l(cid:160): a, f (a) v(cid:160) f (b + f (a) − 1).

Chøng minh. (cid:30)¥y l(cid:160) b(cid:160)i to¡n kh(cid:226) vła thuºc chuy¶n (cid:31)• sŁ h(cid:229)c vła thuºc chuy¶n (cid:31)• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh h(cid:160)m. c(cid:226) nhi•u c¡ch l“p lu“n trong l(cid:237)i gi£i, trong c¡ch 1 ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y l(cid:237)i gi£i chi ti‚t.

C¡ch 1. Gi£ sß f th(cid:228)a m¢n (cid:31)• b(cid:160)i. Ta chøng minh f (1) = 1. Th“t v“y, gi£ sß K = f (1) − 1 > 0, g(cid:229)i m l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t cıa f v(cid:160) b l(cid:160) sŁ b§t k(cid:253) sao cho f (b) = m. V… [1, m = f (b) v(cid:160) f (b + f (1) − 1) = f (b + k)] t⁄o th(cid:160)nh mºt tam gi¡c n¶n ph£i c(cid:226) f (b + k) < 1 + f (b). T‰nh nh(cid:228) nh§t cıa m k†o theo f (b + k) = m v(cid:160) b‹ng quy n⁄p ta c(cid:226) f (n + nk) = m, ∀n ∈ N. L⁄i t(cid:231)n t⁄i tam gi¡c v(cid:238)i c⁄nh [b + nk, f (1), f (m)] n¶n ph£i c(cid:226) b + nK < f (1) + f (m) v(cid:238)i mØi n. m¥u thu¤n n(cid:160)y k†o theo f (1) = 1.

1 2

Ba sŁ [a, 1 = f (1), f (f (a))] l(cid:160) c⁄nh tam gi¡c v(cid:238)i m(cid:229)i a. Do (cid:31)(cid:226), a − 1 <

Ti‚p theo ta c(cid:226) f (a), f (b), f (b + a − 1) l(cid:160) 3 c⁄nh tam gi¡c v(cid:238)i m(cid:229)i a, b ∈ N+ . (cid:30)(cid:176)t z = f (2), rª r(cid:160)ng z > 1. V… [f (z), f (z), f (2z − 1)] t⁄o th(cid:160)nh tam gi¡c n¶n ph£i c(cid:226)

f (f (a)) < a + 1 n¶n f (f (a)) = a v(cid:160) f l(cid:160) mºt song ¡nh.

Nh(cid:247) v“y, f (2z − 1) ∈ 1, 2, 3. V… f l(cid:160) song ¡nh v(cid:160) f (1) = 1, f (2) = 2 n¶n f (2z − 1) = 3. Ta s‡ chøng minh f (k) = (k − 1)z − k + 2 v(cid:238)i m(cid:229)i k ∈ N.

M»nh (cid:31)• (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i k = 1, 2, gi£ sß n(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ 1, 2, .., k. V… [f ((k − 1)z − k + 1), f (z), f (kz − k + 1)] t⁄o th(cid:160)nh tam gi¡c n¶n ph£i c(cid:226) f (kz − k + 1) ≥ k + 1. H(cid:160)m f (cid:31)(cid:236)n ¡nh n¶n f (kz − k + 1) (cid:54)= i trł khi kz − k + 1 = (i − 1)z − i + 2, tøc k + 1 = i. V“y f (kz − k + 1) = k + 1 ho(cid:176)c f (k + 1) = kz − k + 1 v(cid:160) ph†p quy n⁄p ho(cid:160)n th(cid:160)nh. Th¶m v(cid:160)o (cid:31)(cid:226), f l(cid:160) h(cid:160)m t«ng: n‚u z > 2 th… 2 = f (z) > f (2) = z, v(cid:230) l(cid:254). V“y z = 2 v(cid:160) f (k) = 2(k − 1) − k + 2 = k.

CuŁi c(cid:252)ng f (x) = x, ∀x ∈ N+, c(cid:226) 3 (cid:31)º d(cid:160)i x, y = f (y) v(cid:160) z = f (y) + f (x) − 1 = x + y − 1 t⁄o th(cid:160)nh mºt tam gi¡c th(cid:228)a m¢n (cid:31)• b(cid:160)i. Th“t v“y, V… x ≥ 1, y ≥ 1 n¶n ph£i c(cid:226) z ≥ max x, y = |x − y| v(cid:160) z < x + y. V“y tam gi¡c v(cid:238)i 3 (cid:31)º d(cid:160)i n(cid:226)i tr¶n th(cid:252)c s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i, kh(cid:230)ng suy bi‚n. Ngh(cid:190)a l(cid:160) c(cid:226) duy nh§t h(cid:160)m (cid:31)(cid:231)ng nh§t tr¶n N+ l(cid:160) nghi»m.

C¡ch 2. Nghi»m l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)(cid:231)ng nh§t f (x) = x v(cid:238)i x ∈ N+. (cid:30)” chøng

minh c¡c kh£ n«ng kh¡c kh(cid:230)ng nghi»m ta chia l(cid:160)m 5 b(cid:247)(cid:238)c sau:

f (2z − 1) < f (z) + f (z) = 2f (f (z)) = 4

Ta x†t b(cid:160)i to¡n thi Olympic quŁc t‚ 2016 (IMO. 2016, b(cid:160)i 3). Theo nh(cid:247) t“p th” (cid:31)ºi tuy”n Vi»t nam nh“n x†t: (cid:31)¥y l(cid:160) mºt b(cid:160)i to¡n kh(cid:226) nh§t trong (cid:31)• thi 2016, do Nga (cid:31)• ngh(cid:224). B(cid:160)i to¡n (cid:31)• c“p (cid:31)‚n mºt (cid:31)a gi¡c nguy¶n, c¡c (cid:31)¿nh n‹m tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn v(cid:160) c(cid:226) t‰nh ch§t (cid:31)(cid:176)c bi»t. (cid:30)” gi£i n(cid:226), ki‚n thøc d(cid:242)ng (cid:31)‚n kh(cid:230)ng cƒn cao xa nh(cid:247)ng t(cid:247) duy ph£i r§t s¡ng t⁄o.

B1 Ta c(cid:226) f (1) = 1. B2 V(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ N+, ta c(cid:226) f (f (z)) = z. Ch¿ vi»c (cid:31)(cid:176)t x = z, y = 1. B3 V(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ N, z ≥ 1, ta c(cid:226) f (z) ≤ z. B4 Theo B2, B3 c(cid:226) z = f (f (z)) ≥ f (z) ≥ z v(cid:160) f (z) = z v(cid:238)i ∀z ∈ N+.

V‰ d(cid:246) 3.3.6. (IMO-2016, b(cid:160)i 3) Cho P = A1A2...Ak l(cid:160) mºt (cid:31)a gi¡c l(cid:231)i trong m(cid:176)t phﬂng. C¡c (cid:31)¿nh c(cid:226) t(cid:229)a (cid:31)º nguy¶n v(cid:160) n‹m tr¶n mºt (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn. Mºt sŁ t(cid:252) nhi¶n n l· th(cid:228)a m¢n b…nh ph(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)º d(cid:160)i mØi c⁄nh cıa P (cid:31)•u chia h‚t cho n. G(cid:229)i S l(cid:160) di»n t‰ch cıa P , chøng minh 2S l(cid:160) sŁ t(cid:252) nhi¶n chia h‚t cho n.

Chøng minh. Ta ch¿ n¶u (cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng gi£i quy‚t nh(cid:247) sau:

Coi P l(cid:160) (cid:31)a gi¡c kh(cid:230)ng c(cid:226) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o n(cid:160)o m(cid:160) b…nh ph(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)º d(cid:160)i chia

h‚t cho n

(cid:12)pk(cid:12) + Ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh vp(x) = max (cid:8)k ∈ Z (cid:12) (cid:12) x(cid:9) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ Q. Nh›c l⁄i √ √ c di»n t‰ch S = S(ABC) b, a,

r‹ng m(cid:229)i tam gi¡c ABC v(cid:238)i c¡c c⁄nh v(cid:160) b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn ngo⁄i ti‚p R, ta c(cid:226):

√

V(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)a gi¡c nguy¶n F , (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Pick cho ta

abc = 4(2S)2R2 (i); 4(2S)2 = 2ab + 2bc + 2ca − a2 − b2 − c2 (ii)

l(cid:160) sŁ nguy¶n.

v(cid:238)i n v(cid:160) m l(cid:160) sŁ c¡c (cid:31)i”m nguy¶n (cid:240) trong v(cid:160) tr¶n c⁄nh (cid:31)a gi¡c F . Do (cid:31)(cid:226), 2S(F ) = 2n + m − 2 ∈ Z+, (cid:31)(cid:176)c bi»t 2S(P ) ∈ Z+. Ta c(cid:226) Ai l(cid:160) c¡c (cid:31)i”m nguy¶n n¶n AiAj

Ta ch¿ cƒn chøng minh b(cid:160)i to¡n (cid:31)Łi v(cid:238)i tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n l(cid:160) l(cid:244)y thła cıa v(cid:160) muŁn chøng

mºt sŁ nguy¶n tŁ l· p. (cid:30)(cid:176)t n = pm v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) c(cid:226) pm|AiAj minh pm|2S(P ).

S(F ) = n + − 1 m 2

a. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp k = 3. Gi£ sß cho pm|a, b, c. Theo c(cid:230)ng thøc (ii),

√ √ √ a = A1A2, b = A2A3, c = A3A1 sao

M(cid:229)i sŁ h⁄ng b¶n ph£i chia h‚t cho p2m, do (cid:31)(cid:226), p2m|4(2S), k†o theo p2m|2S.

b. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp k ≥ 4. Ta ph£i quy n⁄p theo k.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3 gi(cid:238)i thi»u b(cid:160)i to¡n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) b(cid:160)i to¡n v• tam gi¡c c⁄nh nguy¶n, (cid:31)(cid:226) l(cid:160) b(cid:160)i to¡n v• tø gi¡c hœu t(cid:27) v(cid:160) tø gi¡c Brahmagupta. K‚t qu£ c(cid:244)ng thu (cid:31)(cid:247)æc l(cid:237)i gi£i ho(cid:160)n ch¿nh (cid:31)” x¡c (cid:31)(cid:224)nh c¡c y‚u tŁ cıa tø gi¡c Brahmagupta. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sŁ h(cid:229)c mºt lƒn nœa mang l⁄i k‚t qu£ tŁt.

4(2S)2 = 2ab + 2bc + 2ca − a2 − b2 − c2.

K‚t lu“n cıa lu“n v«n

Lu“n v«n tr…nh b(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc c¡c k‚t qu£ sau 1. Gi(cid:238)i thi»u b(cid:160)i to¡n tam gi¡c Pythagore v(cid:160) tam gi¡c Heron v(cid:160) c¡c k‚t qu£ cıa b(cid:160)i to¡n. Ri¶ng b(cid:160)i to¡n tam gi¡c Heron x†t chi ti‚t hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c(cid:226) (cid:31)i•u ki»n bŒ sung: Tam gi¡c Heron v(cid:238)i c¡c b¡n k‰nh nºi ti‚p v(cid:160) b¡n k‰nh b(cid:160)ng ti‚p l(cid:160) c¡c sŁ t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) b(cid:160)i to¡n kh£o s¡t h(cid:229) tam gi¡c Heron ph(cid:246) thuºc tham sŁ.

2. Hai b(cid:160)i to¡n ti‚p theo l(cid:160) tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n S = mP

v(cid:160) P 2 = nS: n¶u ra c¡c thu“t to¡n v(cid:160) c¡c v‰ d(cid:246) gi£i 2 b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y.

Nºi dung ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y tham kh£o v(cid:160) h» thŁng c¡c k‚t qu£ gƒn (cid:31)¥y trong c¡c b(cid:160)i b¡o [2], [4] v(cid:160) [6]. C¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y (cid:31)•u (cid:31)(cid:247)æc gi£i b‹ng ki‚n thøc sŁ h(cid:229)c s(cid:236) c§p.

3. Tr…nh b(cid:160)y l(cid:237)i gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) li¶n quan (cid:31)‚n tø gi¡c: Tø gi¡c hœu t(cid:27) v(cid:160) tø gi¡c hœu t(cid:27) nºi ti‚p (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn. (cid:30)¥y c(cid:244)ng l(cid:160) d(cid:224)p tr…nh b(cid:160)y c¡c b(cid:160)i to¡n thi Olympic To¡n quŁc t‚ c(cid:226) v“n d(cid:246)ng ki‚n thøc v• sŁ h(cid:229)c. Nh(cid:247) v“y lu“n v«n tr…nh b(cid:160)y tr(cid:229)n v(cid:181)n 5 b(cid:160)i to¡n c(cid:226) y‚u tŁ sŁ h(cid:229)c trong h…nh h(cid:229)c.

Ch(cid:243)ng t(cid:230)i nh“n th§y c(cid:226) c¡c h(cid:247)(cid:238)ng nghi¶n cøu ti‚p theo: - X†t b(cid:160)i to¡n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) (cid:31)Łi v(cid:238)i (cid:31)a gi¡c v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn. - M(cid:240) rºng c¡c k‚t qu£ tł tam gi¡c sang tø di»n, tł h…nh h(cid:229)c phﬂng sang

h…nh h(cid:229)c kh(cid:230)ng gian.

M(cid:176)c d(cid:242) (cid:31)¢ r§t cŁ g›ng nh(cid:247)ng lu“n v«n kh(cid:230)ng tr¡nh kh(cid:228)i nhœng h⁄n ch‚, khi‚m khuy‚t. T¡c gi£ r§t mong s(cid:252) g(cid:226)p (cid:254), bŒ sung cıa c¡c thƒy c(cid:230) gi¡o v(cid:160) cıa c¡c (cid:31)(cid:231)ng nghi»p nh‹m l(cid:160)m cho k‚t qu£ nghi¶n cøu ho(cid:160)n ch¿nh v(cid:160) c(cid:226) ‰ch h(cid:236)n. Xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n.

T(cid:160)i li»u tham kh£o

[1] Cruz, J.A.D, Goehl, J. F. (2017), Two Interesting Integer Parameters

of Integer -sided Triangles, Forum Geom. 17, 411 -417.

[2] Goehl, J. F. (2012), Finding Integer -Sided Triangles With P 2 = mA,

Forum Geom. 12, 211 -213.

[3] Marrows, B. J.(2001), Pythagorean and Heronian triangles, Autralian

Benior Mathematics Journal 21.

[4] Macleod, A. J.(2009), On Integer Relations Between the Area and

Perimeter of Heron Triangles Forum Geom. 9, 41 -46.

[5] Nagarajan, K. R., Sridharan, R. (2006), On Brahmagupta’s and Kum-

mer’s quadrilaterals, Elem. Math. 45 -57.

[6] Zhou, L. (2018), Primitive Heronian Triangles With Integer Inradius

and Exradius, Forum Geom. 18, 71 -77.

[7] Yiu, P. (2001), Heronian triangles are lattice triangles, Amer. Math.

Monthly,108, 261 -263.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán số học trong hình học phẳng

Nội dung luận văn trình bày phương pháp tìm các tam giác Pythagore, tìm các tam giác Heron trong trường hợp tổng quát. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung luận văn này.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- LÊ PHƢƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------------------

LÊ PHƢƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

THÁI NGUYÊN - 2019

Danh m(cid:246)c h…nh

Danh m(cid:246)c b£ng

M(cid:246)c l(cid:246)c

Gi(cid:238)i thi»u lu“n v«n

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Tam gi¡c Pythagore v(cid:160) tam gi¡c

Heron

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

Tam gi¡c c⁄nh nguy¶n v(cid:238)i h» thøc

giœa S v(cid:160) P

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3

Mºt sŁ v§n (cid:31)• li¶n quan

K‚t lu“n cıa lu“n v«n

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Chế tạo và nghiên cứu tính chất điện, từ của vật liệu multiferroic Ba₀.₇Ca₀.₃TiO₃/ NiFe₂O₄

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu vật liệu biến hóa dạng chuỗi một chiều chế tạo từ kim loại đồng trên đế FR-4 hoạt động tại tần số MHz ứng dụng trong truyền năng lượng không dây

Luận văn Thạc sĩ: Đánh giá khả năng tác động tới môi trường biển của việc xả nước thải từ sự cố nhà máy điện hạt nhân Fukushima sử dụng công cụ ERICA

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng mô hình đầu dò nơtron và gamma sử dụng nhấp nháy EJ-276 ghép nối với mảng nhân quang silicon

Luận văn Thạc sĩ: Đánh giá khả năng ảnh hưởng của bức xạ ion hóa đến sức khỏe cư dân khu vực mỏ đất hiếm Đông Pao, xã Bản Hon, huyện Tam Đường, tỉnh Lai Châu

Luận văn Thạc sĩ: Sử dụng phương pháp nhiễu xạ neutron khảo sát cấu trúc tinh thể và pha trật tự từ trong vật liệu Pr2FeCrO6

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu phân lập, xác định cấu trúc và hoạt tính ức chế NO của các hợp chất thứ cấp từ chủng vi nấm biển Aspergillus sp. CL251

Luận văn Thạc sĩ: Phân tích một số hợp chất bisphenol thôi nhiễm từ bao bì nhựa lên một số mẫu thực phẩm nền tinh bột

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và đánh giá hoạt tính kháng khuẩn, kháng nấm của loài hoa mộc (Osmanthus fragrans (Thunb.) Lour.) ở Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và đánh giá tác dụng kháng viêm của loài côi Turpinia montana (Blume) Kurz

Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đặc trưng tính chất vật liệu composite có cấu trúc nano chitosan–cyclodextrin/TiO₂–Ag

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu chế tạo và khảo sát một số tính chất của màng phủ trên cơ sở nhựa epoxy gốc nước và khung cơ kim - ZIF

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuất napthoquinone chứa nguyên tố flo bằng phản ứng đa thành phần

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu điều chế vật liệu Bioglass và tổ hợp lai với polymer ALG-F127 định hướng ứng dụng trong điều trị nội nha

Luận văn Thạc sĩ: Khảo sát thành phần hóa học và hoạt tính ức chế enzyme α-glucosidase trên một số hợp chất phân lập từ thịt quả bình bát nước (Annona glabra L.).

Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp chất lai chứa khung tetrahydro-β-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuất của benzazole

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu chiết tách lignin từ vỏ sầu riêng Ri6 (Durio zibethinus Murr.) và tổng hợp vật liệu biocomposite định hướng ứng dụng trong bảo quản sau thu hoạch

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hạt nano bạc phủ acid hyaluronic mang doxorubicin định hướng ứng dụng trong điều trị ung thư

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và hoạt tính kháng viêm của loài rau dừa nước (Ludwigia adscendens)

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng