Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số biểu diễn Cuspidal của nhóm Gl2 trên trường p − adic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Thu Hà

MỘT SỐ BIỂU DIỄN CUSPIDAL CỦA NHÓM GL2 TRÊN TRƯỜNG P − ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Thu Hà

MỘT SỐ BIỂU DIỄN CUSPIDAL CỦA NHÓM GL2 TRÊN TRƯỜNG P − ADIC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số:

8460101.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. ĐỖ VIỆT CƯỜNG

Hà Nội - Năm 2019

Mục lục

1 Giới thiệu 3

2 Định giá và trường địa phương 6

3 Các (cid:96)- nhóm 15

4 Lý thuyết biểu diễn của các (cid:96)-nhóm 25

5 Độ đo Haar 35

43 6 Một vài tính chất của nhóm GLr

7 Biểu diễn hạn chế và biểu diễn cảm sinh 57

8 Biểu diễn cảm sinh parabolic và môđun Jacquet 62

66 9 Các biểu diễn của nhóm GL2 Fp p q

82 10 Các biểu diễn cuspidal độ sâu 0 của GL2 Qp p q

Lời cảm ơn

Để hoàn thành quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này, lời đầu tiên tác

giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến TS. Đỗ Việt Cường, cán bộ khoa Toán - Cơ -

Tin Học – trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội. Thầy đã

trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu để tác giả hoàn

thiện luận văn này. Ngoài ra tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa

Toán-Cơ-Tin Học đã tạo điều kiện và đóng góp những ý kiến quý báu để tác giả hoàn

thành khóa học và bản luận văn này.

Cuối cùng tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người

thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình

học tập và hoàn thành luận văn.

1 Giới thiệu

Lý thuyết biểu diễn của các nhóm p-adic là một hướng nghiên cứu hiện đang được

rất nhiều nhà toán học quan tâm. Một trong những lý do thúc đẩy việc nghiên cứu các

biểu diễn của các nhóm p-adic xuất phát từ chương trình Langlands. Người ta muốn

xây dựng một mối liên hệ giữa các dạng tự đẳng cấu và các biểu diễn của các nhóm

adelic mà các biểu diễn của các nhóm p-adic đóng vai trò như các thành phần địa

phương của chúng.

Một trong những điều đặc biệt quan trọng và mới của các nhóm p-adics (so với các

nhóm thực) đó là sự tồn tại của các biểu diễn cuspidal. Chúng ta sẽ thấy rằng các biểu

diễn cuspidal có vai trò như những “viên gạch” dùng để xây dựng tất cả các biểu diễn

bất khả quy chấp nhận được của các nhóm p-adic. Bushnell và Kutzko trong quyển

(với F p q sách của mình [BK93] đã xây dựng hết tất cả các biểu diễn cuspidal của GLr F là một trường p-adic). Các biểu diễn cuspidal được xây dựng cảm sinh từ biểu diễn

hữu hạn chiều (đặc biệt nào đó) của các nhóm con mở compact. Mục tiêu của bài

viết này là mô tả lại cách xây dựng đó cho trường hợp đơn giản nhất. Các biểu diễn

(được xem Qp được xây dựng từ các biểu diễn cuspidal của GL2 q p Fp p q thông qua phép chiếu (cid:16) q Zp p GL2 ). Những biểu diễn này được gọi là biểu diễn cuspidal Fp p q GL2 . cuspidal GL2 như là một biểu diễn của nhóm con mở compact K0 : Zp chính tắc GL2 p độ sâu 0 của GL2 q (cid:209) Qp p q Các kết quả trong luận văn đều là những kết quả đã biết, đóng góp của tác giả là

tổng hợp, trình bày lại các kết quả này và chi tiết hóa chúng sao cho dễ tiếp cận và

logic nhất có thể. Để luận văn có độ dài vừa phải, tác giả sử dụng một cách tự do các

kết quả của lý thuyết biểu diễn của các nhóm hữu hạn (như lý thuyết đặc trưng, ...)

mà không cần phải nhắc lại.

Luận văn được trình bày như sau:

• Mục 2: Chúng ta nhắc lại các khái niệm về định giá và trường địa phương. Trong

mục này chúng ta định nghĩa thế nào là một trường p- adic và các tính chất của

nó. Đồng thời ta cũng có được cách biểu diễn một phần tử của trường p-adic.

F • Mục 3: Chúng ta nhắc lại các khái niệm về (cid:96)- nhóm tổng quát. Các nhóm GLr p q mà chúng ta quan tâm chính là các (cid:96)-nhóm.

là các nhóm tôpô nên ta cũng cần nghiên cứu những • Mục 4: Do các nhóm GLr F p q biểu diễn nhóm tương thích với cấu trúc tôpô đó. Trong mục này chúng ta nêu

ra các định nghĩa của biểu diễn trơn, biểu diễn bất khả quy, biểu diễn chấp nhận

được, cũng như bổ đề Schur, ... trong một ngữ cảnh mới (so với khái niệm biểu

diễn của nhóm hữu hạn).

• Mục 5: Được dùng để định nghĩa độ đo Haar, một độ đo đặc biệt của không

gian compact địa phương. Khái niệm về nhóm đơn modular cũng như đặc trưng

modular cũng được đề cập trong mục này.

F • Mục 6: Được dùng để nghiên cứu kĩ hơn về nhóm GLr . Trong mục này chúng q p ta sẽ nhắc đến các phân tích phổ biến của nhóm này như: phân tích Bruhat,

phân tích Iwasawa, phân tích Cartan. Đồng thời trong mục này ta cũng nói rõ

hơn về tôpô của nó.

• Mục 7: Được dùng để nhắc tới các khái niệm về biều diễn cảm sinh và hạn chế

của một biểu diễn trơn. Trong mục này chúng ta đưa ra khái niệm biểu diễn cảm

sinh và biểu diễn cảm sinh compact (được chuẩn hóa). Được chuẩn hóa ở đây

được hiểu là nhân thêm căn bậc hai của đặc trưng modular. Lý do của việc chuẩn

hóa này là do ta muốn biểu diễn cảm sinh của một biểu diễn unita cũng là một

biểu diễn unita (do đối tượng chính của chúng ta không liên quan đến khái niệm

biểu diễn unita nên khái niệm này sẽ không được đề cập trong nội dung của luận

văn).

• Mục 8: Một trong những cách xây dựng biểu diễn của các nhóm p-adic đó là cảm

sinh từ những biểu diễn của nhóm con đơn giản hơn như các nhóm xuyến, hay

các nhóm con parabolic. Mục này được dành cho việc định nghĩa các biểu diễn

cảm sinh parabolic. Những biểu diễn không thể nhận được như một biểu diễn

con của một biểu diễn cảm sinh từ một nhóm con parabolic thì được gọi là một

biểu diễn cuspidal. Chúng được đặc trưng bằng việc có môđun Jacquet là không

gian 0.

• Mục 9: Trong mục này chúng ta mô tả tất cả các biểu diễn bất khả quy của nhóm

GL2 Fp p . q

sẽ được trình bày • Mục 10: Biểu diễn bất khả quy cuspidal độ sâu 0 của GL2 Qp p q trong mục này.

BẢNG THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU

Q Trường số hữu tỷ

Trường số thực

Trường hữu hạn gồm p phần tử

Trường p-adic

Nhóm tuyến tính tổng quát các ma trận cỡ r r (cid:2) F p R Fp Qp GLr q Đơn modular Unimodular

Xuyến Torus

Phiếm hàm Functional

Hoàn toàn không liên thông Totally disconnected

Phần tử đơn trị hóa Uniformizer

Phụ hợp Adjoint

Môđun Jacquet Jacquet module

Nâng lên Lifting

2 Định giá và trường địa phương

Tài liệu tham khảo cho phần này là mục 2 của bài giảng về các biểu diễn của

các nhóm p-adic reductive của Murnaghan [FM09]. Cho F là một trường không tầm

thường (nghĩa là F 0). (cid:24)

Định nghĩa 2.1. Một định giá trên F là một ánh xạ : F R¥0 thỏa mãn tính | (cid:4) | (cid:209) chất với mọi x, y F ta có: P

(1) x 0 x 0, | (cid:16) (cid:244) (cid:16) |

(2) x.y x y , . | | | | (cid:16) | |

(3) x y x y . (cid:0) | ⁄ | | (cid:0) | | |

Ví dụ 2.2. 1. Giá trị tuyệt đối thông thường trên R là một định giá.

2 và 1

1 với mọi x P 2. Nếu F là một trường hữu hạn, trên F có duy nhất một định giá đó là định giá tầm thường. Trường F hữu hạn nên có số phần tử là pn với p là một số nguyên tố và n là một số nguyên dương nào đó. Do đó xpn F (cid:2). Điều này dẫn đến . Mặt khác ta lại có (cid:16) 1 (do 1.1 0), x | | (cid:16) | (cid:16) | | | 1 | (cid:16) 1 | (cid:16) | 1 | 1 | | là số thực dương và là căn của của đơn vị. Hay nói cách khác (cid:24) 1. x nên x | | (cid:16) | |

3. Cho p là một số nguyên tố. Với mỗi số hữu tỉ x P pe a x b, p a, b Q(cid:2), ta có thể viết x duy nhất dưới . Ta định nghĩa 1 a, b q | | q (cid:16) p q (cid:16) p q (cid:16) b p (cid:24) (cid:16) dạng x p(cid:1)e (và Z, b P 0). Khi đó, 0; a, p p p là một định giá trên Q. Thật vậy: (cid:16) 0 | | (cid:16) | (cid:4) |

(1) Từ định nghĩa ta có x 0. 0 (cid:16)

(2) Xét x và y (cid:244) ta có: pe a b x | | (cid:16) pe1 a1 b1 (cid:16)

p (cid:16) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7)

p (cid:16) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) ¡

pe a b (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) pe(cid:0)e1 a.a1 b.b1 (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (3) Không mất tính tổng quát, giả sử e e1, khi đó:

p |

p, khi đó

p ⁄ (cid:10)(cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) |

Định giá này được gọi là định giá p-adic.

1 và

2 trên F được gọi là tương đương với nhau

1 =

| (cid:4) | nếu Định nghĩa 2.3. Hai định giá | (cid:4) | c 2, trong đó c là số thực dương nào đó. | (cid:4) | | (cid:4) |

Ví dụ 2.5. 1. Giá trị tuyệt đối thông thường trên trường số thực R là một định giá

không rời rạc.

Q(cid:2) 2. Ta có log a a Z là một nhóm con rời rạc của nhóm R, . Định t p| | q| P u (cid:20) p (cid:0)q giá p-adic trên trường số hữu tỉ Q là một định giá rời rạc.

Định nghĩa 2.6. Một định giá được gọi là không acsimet nếu nó (tương đương | (cid:4) | với) một định giá thỏa mãn tính chất:

x , y . x y max |u | | | ⁄ (cid:0) |

t| 1. Giá trị tuyệt đối thông thường trên R là định giá acsimet. Ví dụ 2.7.

2. Định giá p-adic trên Q là định giá không acsimet.

Bổ đề 2.8. Các điều kiện sau là tương đương:

(1) là không acsimet. | (cid:4) |

(2) x 1 với mọi x thuộc vành con của F sinh bởi 1. | ⁄ |

(3) x bị chặn với mọi x thuộc vành con của F sinh bởi 1. | |

2 và 1

• 1.1 0 nên 1. Khi đó, do (cid:24) 1 | (cid:16) | Chứng minh. 2 | 1 nên 1 | (cid:16) | | 1. . Do 2 1 q q æ p p 2 1 1 | (cid:16) | (cid:16) | q (cid:16) |p(cid:1) 1 | (cid:16) | 1 | (cid:16) | (cid:1) 1 | | (cid:1) Xét x là một phần tử của vành con của F sinh bởi 1 khi đó x chỉ có thể có một

trong hai dạng sau:

– Hoặc x 1 1 1. Khi đó ta có: (cid:16) (cid:0) (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0)

1 1 max , 1. x | | (cid:16) | (cid:0) (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0) 1 | ⁄ , 1 | , 1 | | t| (cid:4) (cid:4) (cid:4) 1 |u (cid:16) |

– Hoặc x 1 q (cid:0) p(cid:1) (cid:16) p(cid:1) 1 q (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0) p(cid:1) . Khi đó ta có: 1 q

x max , 1. 1 q (cid:0) p(cid:1) | (cid:16) |p(cid:1) 1 q (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0) p(cid:1) 1 q| ⁄ | , 1 | t| (cid:1) (cid:4) (cid:4) (cid:4) | (cid:1) 1 |u (cid:16)

• . Hiển nhiên. 3 2 q q æ p p

. Giả sử x c với mọi x thuộc vành con của F sinh bởi 1. Bằng cách • 1 3 q q æ p | ⁄ | p đồng nhất các phần tử thuộc vành con của F sinh bởi 1 với các số nguyên ta có:

n.xk.yn(cid:1)k

n q

k(cid:16)0 ‚ n

x y x y C k | (cid:0) | (cid:16) |p (cid:0)

n.xk.yn(cid:1)k

C k (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) ⁄

k(cid:16)0 ‚ n

k(cid:16)0 | ‚ n

(cid:7) n (cid:7) | (cid:16) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) k(cid:16)0 ‚ c. xk.yn(cid:1)k c. xk . ⁄ (cid:7) (cid:7) ⁄ yn(cid:1)k | | |

1 n .

c. , y c n max x ⁄ (cid:7) (cid:7) x | t| | |uq (cid:16) p (cid:0) 1 qp , | y | t| |uq (cid:7) (cid:7) max k(cid:16)0p ‚ Suy ra

1 n . max

lnpn(cid:0)1q n

1 n

1 n . p

2 1 q 1 q

x , y (2.1) y x c | | | ⁄ | t| 1 n n p (cid:0) , ta sẽ chứng minh lim 1 q 1 n . |u 1. Cho n 1 q (cid:0) 1 n . e Thật vậy, n (cid:0) c n(cid:209)(cid:0)8p n lim n(cid:209)(cid:0)8p (cid:0) (cid:16) 1 q (cid:0) (cid:209) (cid:0)8 c lim n(cid:209)(cid:0)8p n p 1 q 1 q (cid:16) lim n(cid:209)(cid:0)8 1 Xét f . q (cid:16) ?n, ta có f 1 n n p q (cid:16) 1 (cid:1) 2?n (cid:16) n ln p 1 q (cid:1) (cid:0) q (cid:16) (cid:0) ?n (cid:1)p (cid:0) n 2?n (cid:0) p n p Suy ra

f 1 0 n 0 f n f 0 . ?n ln p 1 q n (cid:0) n 1 ?n n p q (cid:160) @ ¥ æ p q ⁄ 0 q (cid:16) p æ n ln p 1 q (cid:160) (cid:0) æ (cid:160)

lnpn(cid:0)1q n

1 khi n nên . 1 q n ln (cid:0) p n 1 n n Lại có ln p

Suy ra , cho n e 1 1 q ¡ ta có lim n(cid:209)(cid:0)8 (cid:160) (cid:16) 1 n (cid:160) Khi đó (2.1) 1 (cid:0) q ¡ n ln (cid:0) p n x y (cid:209) (cid:0)8 1 ?n max x (cid:209) (cid:0)8 hay y , không acsimet. æ | (cid:0) | ⁄ t| | | |u | (cid:4) |

Một tôpô trên F cảm sinh bởi định giá có cơ sở là các tập mở có dạng: | (cid:4) |

b F b a a F, (cid:15) U R(cid:0). P || (cid:1) | (cid:160) (cid:15) u P P a, (cid:15) p q (cid:16) t

Ví dụ 2.9. Cho F là một trường hữu hạn. Tôpô cảm sinh từ định giá tầm thường trên

F chính là tôpô rời rạc.

1 và

2 là tương đương nhau trên F thì tôpô cảm

Bổ đề 2.10. Nếu hai định giá | (cid:4) | | (cid:4) | sinh bởi chúng là một.

Chứng minh. Với định giá

1 |

1, ta có tôpô cảm sinh có cơ sở là tập mở có dạng: | (cid:4) | a (cid:15) u p a, (cid:15)1

2 suy ra D c a b 2 (cid:160)

R(cid:0) b F b a F, (cid:15) P P a, (cid:15) p R(cid:0) U1 q (cid:16) t Với định giá (cid:15)1 a b a (cid:1) || (cid:160) 2, ta có: U2 p || P (cid:160) P q | (cid:4) | Theo giả thiết, q (cid:16) t c F, (cid:15)1 c 2. | (cid:4) | P a, (cid:15) F P q b F 1 P | (cid:1) R(cid:0) sao cho b b u p 1 | (cid:4) | a (cid:16) | (cid:4) | (cid:15) 1 c 2 (cid:20) | (cid:4) | F b q (cid:16) t P (cid:15) u (cid:16) (cid:1) P p | (cid:1) (cid:160) Khi đó U1 || || cũng là tập mở trong tôpô cảm sinh bởi định giá . Điều này cho thấy U1 | 2. Tương tự ta cũng có U2 là tập ) | (cid:4) | mở trong tôpô cảm sinh bởi định giá ! 1. Vì vậy hai tôpô cảm sinh là một. | (cid:4) |

Một trường F được trang bị một định giá cùng với tôpô cảm sinh từ định giá đó

lập thành một không gian metric. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu các dãy

Cauchy của nó có hội tụ không? Ví dụ sau sẽ chỉ ra rằng không phải mọi dãy Cauchy

trên một trường định giá đều hội tụ.

n(cid:0)1 (cid:0)

Q, . xác định bởi a1 an | | u P p q t 2. Lấy số nguyên an sao cho 0 1 1 b.5n thỏa mãn a2 0 mod 5n. Chọn số nguyên b sao cho an(cid:0)1 (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:0) 1, ta luôn có thể chọn được (cid:16) an x2 x p (cid:0) n ta có an Ví dụ 2.11. Xét dãy a2 n (cid:0) mod 5n(cid:0)1 (sử dụng bổ đề Hensel cho đa thức f b.5n nên an(cid:0)1 (cid:16) (cid:17) (cid:0) q (cid:16) an mod 5n suy ra với m n N sao cho m ¡ N , ta có: 0, tồn tại N(cid:15) (cid:17) ¡ P @ ¡ ¥ là dãy Cauchy. (cid:15) suy ra 5(cid:1)N(cid:15) an mod 5n. Khi đó, với mọi (cid:15) an an u |5 ⁄ (cid:1) t Q, khi đó cho n L2 0 (cid:209) (cid:0)8 P | (cid:0) ta có: 1, như vậy không có tồn tại L trên Q thỏa mãn, khi đó dãy 1 |5 (cid:16) Cauchy an u (cid:16) (cid:1) t số nguyên b). Do an(cid:0)1 am am | (cid:160) Mặt khác, giả sử dãy an có giới hạn là L suy ra L2 nhưng không hội tụ trong Q với định giá 5-adic.

Định nghĩa 2.12. Một trường K với định giá được gọi là làm đầy của trường F } (cid:4) } với định giá nếu: | (cid:4) |

1. F K, (cid:128)

2. , } (cid:4) } (cid:16) | (cid:4) |

3. K là đầy đủ với định giá (hay nói một cách khác là mọi dãy Cauchy trong } (cid:4) } K tương ứng với tôpô cảm sinh từ định giá đều hội tụ ), } (cid:4) }

4. K là bao đóng của F với tôpô cảm sinh từ . } (cid:4) }

Ghi chú: Điều kiện thứ 4 trong định nghĩa trên là cần thiết vì với định giá acsimet thông thường (giá trị tuyệt đối) trên Q, ta có trường R (cùng với định giá giá trị tuyệt đối) và C (cùng với định giá lấy mô đun) đều thỏa mãn cả 3 tính chất đầu của định nghĩa. Tuy nhiên chỉ có R mới là trường làm đầy của Q theo định giá thông thường.

p được gọi là một trường p-adic và được ký hiệu là Qp.

Định nghĩa 2.13. Cho trường số hữu tỉ Q và p là số nguyên tố. Làm đầy của Q theo định giá p-adic | (cid:4) |

Định nghĩa 2.14. Một trường F được gọi là trường địa phương nếu:

• trên F được trang bị một định giá không tầm thường và

• F là compact địa phương (ở đây được hiểu là mỗi một điểm của F đều có

một lân cận compact, đối với không gian Hausdorff thì điều kiện này cũng tương

đương với mọi lân cận của một điểm bất kì của F đều chứa một lân cận compact

của điểm đó) và đầy đủ tương ứng với tôpô cảm sinh từ định giá đó.

Để kết thúc phần này, chúng ta sẽ chứng minh rằng Qp là một trường

địa phương không acsimet.

Kể từ bây giờ ta xét F là một trường được trang bị một định giá không tầm | (cid:4) | , O cùng với phép toán cộng và nhân thường, không acsimet. Đặt O : a F a (cid:16) t || P 1 u | ⁄ cảm sinh từ F lập thành một vành con của F .

Chứng minh O là một vành con của F . Với x, y O ta có: P

0 1 0 O O 0 | (cid:16) (cid:13) | ⁄ æ P . (cid:24) H æ

x.y x . y 1.1 1 xy O. (cid:13) | | (cid:16) | | | | ⁄ ⁄ æ P

x y max x , y 1 y O. x (cid:13) | (cid:0) | ⁄ t| | | |u ⁄ æ (cid:0) P

x 1.x x . x O. x 1 (cid:13) | (cid:1) | (cid:16) | (cid:1) | (cid:16) | (cid:1) | (cid:16) | | ⁄ æ (cid:1) P 1 | |

Định nghĩa 2.15. Vành O : được gọi là vành định giá nguyên. a F |a| (cid:16) t P | 1 u ⁄

Iđêan P : a F |a| O là iđêan cực đại của O. (cid:16) t P | 1 u (cid:128) (cid:160) Chứng minh P là một iđêan của O. Với x, y P ta có: P

0 1 0 P P 0 | (cid:16) (cid:13) | (cid:160) æ P . (cid:24) H æ

x y max x , y 1 y P. x (cid:13) | (cid:0) | ⁄ t| | | |u (cid:160) æ (cid:0) P

x x 1.x x . x O. 1 (cid:13) | (cid:1) | (cid:16) | (cid:1) | (cid:16) | (cid:1) | (cid:16) | | (cid:160) æ (cid:1) P 1 | |

Với a O, ta có: a.x a . x x 1 ax P. | | (cid:16) | | | | ⁄ | | (cid:160) æ P (cid:13) P

Chứng minh P là iđêan cực đại. Giả sử M là iđêan của O sao cho P M O. (cid:136) (cid:128) Khi đó a M sao cho a P. Do a P nên a 1. Mặt khác ta lại có a M O D R | | P (cid:128) P 1. Vì thế nên a a | R 1. Điều này dẫn đến | ¥ a(cid:1)1 1. Hay nói một cách khác a là | | ⁄ | | (cid:16) | | (cid:16) phần tử khả nghịch trong O. Ta vừa chứng minh rằng M O hay P là iđêan cực đại (cid:16) của O.

Định nghĩa 2.16. Trường k : O P được gọi là trường các lớp thặng dư của F . { (cid:16)

Đặt F là làm đầy của trường F với định giá , O là vành định giá nguyên của F | (cid:4) | và P là iđêan cực đại của O.

x x Ví dụ 2.17. Qp là làm đầy của trường Q với định giá p-adic. Vành định giá nguyên của nó là Zp : và iđêan cực đại của Zp là pZp. Qp (cid:16) t P || | ⁄ 1 u

Bổ đề 2.18. Ánh xạ tự nhiên:

O O P { (cid:209) P { P a a P (cid:0) (cid:0) (cid:222)(cid:209)

là một song ánh.

Chứng minh. + Ánh xạ được định nghĩa tốt: Giả sử a P = b P suy ra a b P (cid:0) (cid:1) P suy ra a b P (do P là làm đầy của P) (cid:0) b P. P a P æ (cid:0) (cid:16) (cid:1) + Đơn ánh: Giả sử a P b P suy ra a (cid:0) a b P b 1. Mà a, b O F , P (cid:1) |F (cid:160) P (cid:128) suy ra a b (cid:16) (cid:0) 1 do đó a (cid:0) b P hay a b (cid:1) P æ | P. (cid:1) | | (cid:1) (cid:0) P (cid:160) +Toàn ánh: Với α O (cid:16) F bất kì, luôn tồn tại a (cid:0) F sao cho α a P. 1 α a (cid:1) P æ Ta lại có a (cid:128) α α P α (cid:1) | 1 nên a |F (cid:160) O. max a α P a |F (cid:16) |p | (cid:1) q (cid:0) |F , |F u ⁄ (cid:1) t| P |

Bổ đề 2.19. Định giá |F ⁄ là rời rạc khi và chỉ khi P là iđêan chính. | (cid:4) |

Chứng minh. + Điều kiện cần: Với

Do log là rời rạc, ta sẽ chứng minh P là iđêan chính. F (cid:2) là nhóm con rời rạc của nhóm cộng tính | (cid:4) | a | . | (cid:16) t P log |q| 0 u a a r F (cid:2) với r 0 cố định nào đó |q ⁄ ⁄ p| t | ¡ là rời rạc nên S : a p| R (với tôpô thông thường). Do đó P chỉ có hữu hạn phần tử. Bằng cách chọn r đủ lớn và do u không tầm thường, ta nhận . | | được tập hợp 0 log a F (cid:2) r a khác rỗng và hữu hạn phần tử. Tập vừa nhận t (cid:160) p| |q ⁄ | P u log được có phần tử nhỏ nhất. Do đó 0 a a F (cid:2) cũng có phần tử nhỏ nhất. Gọi (cid:160) p| |q| t 0 là phần tử nhỏ nhất đó. Xét s P S, tồn tại n u Z sao cho nx x n s ¡ P ⁄ p (cid:160) (cid:0) P khác ta lại có 0 s nx (cid:1) P (cid:160) nhỏ nhất của phần tử x ta có s x. Mặt 1 q S (do S là nhóm con của nhóm cộng tính R), nên theo tính Zx. x. Điều này suy ra s nx n (cid:16) p (cid:0) x. Vậy S 1 q (cid:16) (cid:1) ¥

với c, x là các hằng số lớn 0 u Y t Điều này dẫn đến tập giá trị của định giá có dạng cZx hơn 0.

(cid:1)1

Áp dụng điều trên ta có tập a : a P có phần tử lớn nhất. Gọi (cid:36) P là phần t| | P u P tử có định giá lớn nhất đó.

P bất kì, ta có: (cid:36)(cid:1)1b (cid:36)(cid:1)1 . b . b 1 (cid:36)(cid:1)1b O. Đặt P | b | | | (cid:16) | | ⁄ | | | | ⁄ P | Với b (cid:36)(cid:1)1b, khi đó với b P bất kì, ta luôn viết b æ (cid:36).c hay P là iđêan chính sinh bởi c P (cid:16) (cid:16) (cid:36).

+ Điều kiện đủ: Có P là iđêan chính, ta sẽ chứng minh là rời rạc. | (cid:4) | Giả sử P (cid:36) F bất kì, ta có: , với a q P (cid:16) p

(cid:1)1.

(cid:1)1

1, tương tự ta có thể suy ra a(cid:1)1 (cid:36) a (cid:36) a 1 P a(cid:1)1 | | (cid:160) | | æ | | ¡ | | (cid:13) | | ¡ æ | | (cid:160)

Định nghĩa 2.20. Nếu là rời rạc, khi đó phần tử (cid:36) thỏa mãn P (cid:36) được gọi | (cid:4) | (cid:16) p q là phần tử đơn trị hóa.

i(cid:16)0 ‚

Bổ đề 2.21. Cho F là một trường được trang bị một định giá không acsimet và là | (cid:4) | đầy đủ với tôpô cảm sinh từ định giá đó. Cho là một dãy các phần tử của an, n 0 u F . Khi đó chuỗi ¥ 0 an t ai hội tụ khi và chỉ khi lim n(cid:209)8 (cid:16)

i(cid:16)0 ‚

Chứng minh. Đặt sn ai. (cid:16)

+ Điều kiện cần: Giả sử chuỗi s. Ta sn ai hội tụ, suy ra tồn tại giới hạn lim n(cid:209)(cid:0)8 (cid:16)

i(cid:16)0 ‚ s (cid:1) an

0 s có an sn an sn(cid:1)1 lim n(cid:209)(cid:0)8 (cid:16) (cid:1) æ (cid:16) 0. Với M N ta có: (cid:16) + Điều kiện đủ: Giả sử lim n(cid:209)(cid:0)8 ¡ (cid:16)

i(cid:16)0 ‚

Suy ra sn là dãy Cauchy, mà F là đầy đủ nên dãy sn hội tụ. Hay nói một cách khác, | (cid:16) (cid:7) i(cid:16)0 (cid:7) ‚ (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7)

i(cid:16)0 ‚

chuỗi ai hội tụ.

Bổ đề 2.22. Cho F là một trường được trang bị một định giá rời rạc không acsimet | (cid:4) | và là đầy đủ với tôpô cảm sinh từ định giá đó. Cho (cid:36) là một phần tử đơn trị hóa của

(cid:0)8

F . Gọi A O là tập chứa các phần tử đại diện của các lớp tương đương của O P { (cid:128) (mỗi lớp ta lấy ra một phần tử đại diện bất kì). Khi đó, với mọi a O, a luôn có thể P viết được dưới dạng

n(cid:16)0 ‚

a A. an.(cid:36)n, an (cid:16) P

Hơn nữa, mọi chuỗi có dạng như trên đều hội tụ đến một phần tử a O. P

Chứng minh. Lấy a A sao cho a P (cid:36) . O, khi đó tồn tại duy nhất a0 a0 P q (cid:16) p P (cid:1) Suy ra O : a P a0 b1 (cid:16) a0 (cid:0) P. Suy ra P O b1(cid:36) hay a a1 b1(cid:36). b2 O : b1 a1 b2(cid:36) b1 a1 b2(cid:36). (cid:1) P D P (cid:1) (cid:16) æ (cid:16) (cid:0) æ D P P D Do b1 Khi đó a (cid:1) a1 a1(cid:36) a0 (cid:0) (cid:16) O sao cho a a0 a1(cid:36) aN (cid:36)N (cid:16) A : b1 b2(cid:36)2. (cid:0) Giả sử ta có a0, a1, . . . , aN P P (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0) (cid:0) P. A và bN (cid:0)1 O, nên tồn tại duy nhất aN (cid:0)1 aN (cid:0)1 (cid:1) P P O thỏa mãn bN (cid:0)1 P aN (cid:0)1 (cid:16) (cid:0) A sao cho bN (cid:0)1 bN (cid:0)2(cid:36). bN (cid:0)1(cid:36)N (cid:0)1. Do bN (cid:0)1 Điều này suy ra tồn tại bN (cid:0)2 (cid:1) (cid:16) P A sao cho Bằng quy nạp, ta định nghĩa được một dãy duy nhất các ai P

n(cid:16)0 ‚

(cid:36)N (cid:0)1 . an(cid:36)n bN (cid:0)1(cid:36)N (cid:0)1 ⁄ ⁄ (cid:1)

(cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) Hay nói cách khác (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) a (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7)

n(cid:16)0 ‚

a ... a0 a1(cid:36) a2(cid:36)2 an(cid:36)n. (cid:16) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:16)

Khẳng định thứ hai là hệ quả trực tiếp của bổ đề 2.21.

Bổ đề 2.23. Cho F là đầy đủ tương ứng với định giá rời rạc (không yêu cầu phải | (cid:4) | là không acsimet) sao cho O P là một trường hữu hạn. Khi đó O là một tập compact. {

Chứng minh. O cùng với tôpô cảm sinh từ định giá của F là một không gian metric.

Trong không gian metric, compact và compact dãy là như nhau. Lấy O, ta sẽ t aj chỉ ra nó chứa một dãy con hội tụ. Theo bổ đề (2.22), với mỗi j, tồn tại A ujPN P ajn t unPN P

n(cid:16)o ‚

ajn(cid:36)n. Vì A hữu hạn nên tồn tại b0 A sao cho b0 xuất hiện ở vị trí sao cho aj P

A sao cho b1 xuất hiện ở vị trí aj1 vô hạn lần của những aj (cid:16) aj0 vô hạn lần, tồn tại b1

n(cid:16)0 ‚

P b0. Tiếp tục quá trình trên, ta có b có aj0 bn(cid:36)n là giới hạn của một dãy con (cid:16)

của (cid:16) . aj u t

Bổ đề 2.24. Cho F là một trường với định giá không tầm thường . Khi đó F là | (cid:4) | compact địa phương nếu và chỉ nếu mọi hình cầu đóng trong F đều compact.

Chứng minh. Hình cầu đóng trong F là các tập con có dạng B x F x a r a, r p q (cid:16) t P || (cid:1) | ⁄ u với a F, r 0. P ¡ Rõ ràng nếu mọi hình cầu đóng trong F đều compact thì F là trường compact địa

phương. Ngược lại, giả sử F là compact địa phương. Khi đó 0 có một lân cận compact,

n(cid:15)

suy ra tồn tại (cid:15) 0 đủ nhỏ để quả cầu đóng B là compact (chọn (cid:15) đủ nhỏ để ¡ 0, (cid:15) q p hình cầu đóng tâm 0 bán kính (cid:15) được chứa trong lân cận compact của 0). Vì là | (cid:4) | F sao cho c 1. Với mọi n 1, hình cầu đóng P | không tầm thường nên tồn tại c cnB B | ¡ cũng compact. Hơn nữa vì c 1 nên ¥ n(cid:15) c khi n 0, p c | | q (cid:16) 0, (cid:15) q p | | ¡ | | suy ra mọi hình cầu đóng tâm 0 đều compact. Bằng phép tịnh tiến x (cid:209) 8 x y với y , (cid:209) 8 F (cid:222)(cid:209) (cid:0) P ta có mọi hình cầu đóng trong F đều compact.

là định giá không acsimet trên trường F . Khi đó, F là compact Hệ quả 2.25. Cho

nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: | (cid:4) | địa phương với định giá | (cid:4) |

(1) Trường F là đầy đủ.

(2) Định giá là rời rạc. | (cid:4) |

(3) Trường thặng dư là hữu hạn.

Chứng minh. + Điều kiện cần: Giả sử F compact địa phương.

• Xét là một dãy Cauchy bất kì trên F . Khi đó tồn tại N đủ lớn để với mọi

xn t u N ta có n 1, tức là ta có thể giả sử nằm trong hình cầu đóng xn xN xn | (cid:1) t u compact, suy ra có một dãy B xn ¥ | ⁄ . Theo Bổ đề (2.24) ta có B xN , 1 q p xN , 1 q p t u con hội tụ. Hơn nữa vì là dãy Cauchy suy ra nó hội tụ. Khi đó F đầy đủ. xn t u

• Giả sử phản chứng rằng

sao cho 1

n 1 (cid:1) { 1 mà 1 không rời rạc, khi đó với mọi n ta luôn tồn tại xn | (cid:4) | 1 (do tính không rời rạc ta luôn có thể tìm được xn mà 1, ta chỉ cần lấy phần tử nghịch 1 | (cid:160) xn xn (cid:160) | n 1 { | (cid:24) n, nếu 1 { xn | | ¡ (cid:160) | | (cid:160) (cid:1)

, do đó ta 0, 1 q p xn | (cid:0) đảo của nó). Ta được một dãy các xn nằm trong tập compact B có thể trích ra được một dãy con xik hội tụ đến x0 khi k tiến đến vô cùng.

P ¥ | Với mọi N0 Chọn k N tồn tại N1 sao cho với mọi k 1 ik. Khi đó ta có N1 ta có x0 ¥ 1 { (cid:1) xik (cid:1) x0 (cid:1) | | (cid:16) | x0 | ⁄ xik (cid:0) 1 N0. { xik| ⁄ , max 1. x0 | (cid:1) t| N1 sao cho 1 N0 { (cid:160) xik|u (cid:16) | xik| xik| (cid:160)

Mặt khác ta lại có 1 1, nên theo nguyên lý kẹp 1 (mâu xik| (cid:160) x0 | | (cid:16) thuẫn). Vậy định giá ik 1 { (cid:160) | là rời rạc. (cid:1) . | |

• Vành định giá nguyên O của F là hình cầu đóng B , nên theo bổ đề 2.24 nó 0, 1 q p phải là một tập compact. Do P B với phép toán cộng là một nhóm con 0, 1 q p (cid:16) mở của O, nên x P lập thành một phủ mở của O khi cho x chạy trên tập các (cid:0) phần tử đại diện của O P (mỗi lớp tương đương lấy một phần tử đại diện bất { kì). Do đó ta có thể trích ra một phủ con hữu hạn (do O là một tập compact).

Mặt khác ta lại có O là hợp rời của các tập mở x P với x chạy trên tập các (cid:0) phần tử đại diện của O P. Điều này suy ra O P phải là tập hữu hạn. (Ta cũng { { có thể xem mệnh đề này là hệ quả trực tiếp của mệnh đề 3.7 ở dưới).

+ Điều kiện đủ: Giả sử F thỏa mãn (1), (2), (3), theo bổ đề (2.23) suy ra O là tập

compact. Theo bổ đề 2.19, ta có P là một iđêan chính. Gọi (cid:36) là phần tử sinh của P.

Khi đó x (cid:36)nO lập thành một cơ sở gồm toàn các tập compact của x F . Do đó F (cid:0) P là một không gian compact địa phương

Hệ quả 2.26. Trường Qp là một trường địa phương không acsimet.

3 Các (cid:96)- nhóm

Tài liệu tham khảo cho phần này là bài giảng về các nhóm tôpô của Ryan Vinroot

[RV18].

Định nghĩa 3.1. Cho G là một không gian tôpô, G được gọi là một nhóm tôpô nếu

nó được trang bị phép toán hai ngôi “ ” thỏa mãn tính chất: (cid:4)

1. G, là một nhóm. p (cid:4)q

2. Ánh xạ m : G G G : x.y là một ánh xạ liên tục. (cid:2) (cid:209) q (cid:222)(cid:209)

3. Ánh xạ i : G G : g x, y p g(cid:1)1 là một ánh xạ liên tục. (cid:209)

Ví dụ 3.2. 1. Nhóm là một nhóm tôpô với tôpô cảm sinh từ định giá p-adic. (cid:222)(cid:209) Qp, p (cid:0)q

2. Nhóm là một nhóm tôpô với tôpô cảm sinh từ tôpô của Qp . Q(cid:2) p , p (cid:2)q

p (ở đây ta đồng nhất không gian Mr

p ).

3. Nhóm các ma trận vuông cấp n, , Mr p Qp p q (cid:0)q tích trên Qr2 là một nhóm tôpô với tôpô là tôpô với không gian Qr2 Qp p q

4. Nhóm các ma trận vuông cấp n khả nghịch là một nhóm tôpô với , GLr p Qp p q (cid:2)q tôpô cảm sinh từ tôpô của Mr Qp p . q

Ta có tính chất hiển nhiên sau đây:

Bổ đề 3.3. Cho G là một nhóm tôpô. Khi đó:

(1) Ánh xạ: g g(cid:1)1 là một phép đồng phôi từ G vào chính nó. (cid:222)(cid:209)

G, các ánh xạ g g, g g g là các phép (2) Cố định g0 g0 g0 và g g0 g(cid:1)1 0 P (cid:222)(cid:209) (cid:4) (cid:222)(cid:209) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:222)(cid:209) đồng phôi từ G vào chính nó.

Cho S, T là hai tập con khác rỗng của G. Ta kí hiệu ST và S(cid:1)1 cho các tập tương

ứng sau:

ST : s S, t , và S(cid:1)1 : s(cid:1)1 s S . T st | P (cid:16) t (cid:16) t | P u P u S. Tập S được gọi là đối xứng nếu S(cid:1)1 (cid:16)

0 U g0 cũng mở (tương ứng đóng, compact) trong G.

G, tập U mở (tương ứng đóng, compact) trong G thì các tập P Hệ quả 3.4. Với g0 U (cid:1)1, g0U , U g0, g(cid:1)1

Bổ đề 3.5. Cho G là một nhóm tôpô. Mọi lân cận mở U của 1 đều chứa một lân cận

mở, đối xứng V của 1 sao cho V V U .

(cid:128) Chứng minh. Xét ánh xạ nhân m : U U G. Do m là ánh xạ liên tục nên m(cid:1)1 U (cid:2) (cid:209) p là một tập mở và chứa

V1 V2 và V1V2 V2, khi đó V3V3 q P (cid:128) (cid:2) (cid:128) q . Do đó tồn tại hai tập mở V1 và V2 của U sao cho 1, 1 p q U và V3 là một lân cận U . Đặt V3 X . Tập V là một tập mở chứa 1, đối xứng và 1, 1 p mở của 1. Cuối cùng, đặt V V3 V1 (cid:16) V (cid:1)1 3 X (cid:16) thỏa mãn tính chất V V U . (cid:128)

Bổ đề 3.6. Mọi nhóm con mở H của nhóm tôpô G thì cũng là tập đóng.

gPG{H § gH là tập mở trong G. Do đó H

Chứng minh. Ta có: G gH. Theo hệ quả (3.4), do H mở suy ra gH mở trong (cid:16)

gPG{H §

gPG{H,gH(cid:24)H §

G G gH là tập đóng trong æ (cid:16) (cid:1)

Cho H là một nhóm con của nhóm tôpô G (ở đây chúng ta không yêu cầu H là

một nhóm con chuẩn tắc), và xét p : G G { H. H phép chiếu chính tắc từ G lên G { (cid:209)

H là tôpô mạnh nhất để p là ánh xạ Chúng ta định nghĩa một tôpô thương trên G {

H nếu tồn tại chiếu liên tục. Nói một cách chính xác hơn, V là một tập mở trên G { một tập mở U trên G thỏa mãn tính chất p V . Từ định nghĩa, ta có thể dễ dàng U p q (cid:16) thấy rằng p là ánh xạ mở (biến một tập mở thành tập mở).

Mệnh đề 3.7. Cho H là một nhóm con của nhóm tôpô G. Khi đó ta có:

1. Nếu H compact, thì p là một ánh xạ đóng (ánh xạ biến một tập đóng thành tập

đóng).

H là không gian Hausdorff khi và chỉ khi H là một tập đóng. 2. G {

H cũng compact địa phương. Nếu, ta yêu cầu 3. Nếu G compact địa phương, thì G { thêm rằng, H là một tập đóng, thì H cũng là một tập compact địa phương.

4. Nếu G là không gian Hausdorff và H là nhóm con compact địa phương của G,

thì H là một tập đóng.

H với tôpô thương là một nhóm tôpô. 5. Nếu H là nhóm con chuẩn tắc, thì G {

H là tập rời rạc. Nếu G là nhóm compact, thì 6. H là một tập mở khi và chỉ khi G { H là tập hữu hạn. khi đó H là một tập mở khi và chỉ khi G {

Chứng minh. 1. Xét S là một tập đóng trên G. Đặt V p

SH p(cid:1)1 V p(cid:1)1 V c p(cid:1)1 (cid:16) p(cid:1)1 G p(cid:1)1 (cid:16) p q (cid:16) H G { p (cid:1) q (cid:16) H G { p q (cid:1) , ta có S q p V c p q (cid:16) V c p . q (cid:1)

Do đó p ánh xạ đóng khi và chỉ khi V cũng là đóng khi S chạy trên họ các tập đóng của G. Điều này tương đương với V c (ở đây V c được hiểu là phần bù của V

trong G H) là một tập mở. Theo định nghĩa của tôpô thương thì điều đó tương { đương với p(cid:1)1 là một tập mở trong G. Sử dụng đẳng thức trên thì p(cid:1)1 V c là V c p q p q một tập mở trong G khi và chỉ khi SH là một tập đóng trên G. Do đó để chứng

minh p là một ánh xạ đóng ta chỉ cần chứng minh rằng S là tập con đóng của

G, thì SH cũng là một tập con đóng của G.

c q

c, khi đó ta có S q

Nếu SH G, khẳng định trên là hiển nhiên. Bây giờ, ta giả sử rằng (cid:16) SH p SH SH . Lấy x xH (cid:1)1 (cid:1) (cid:24) H (cid:16) H P p X

. Do V VxH (cid:1)1 (cid:16) H X (cid:16) (cid:16) . Chúng ta muốn chứng G minh rằng tồn tại một lân cận Vx của x được chứa trong SH c, hay nói một cách Vxx(cid:1)1 là lân khác là tồn tại một lân cận mở Vx sao cho S cận mở của 1 và xH (cid:1)1 là một tập compact, nên ta chỉ cần chứng minh khẳng

định sau:

“Cho S và T tương ứng là tập con đóng và tập con compact của G thỏa mãn

S T . Khi đó tồn tại một lân cận mở V của 1 sao cho S V T .” (cid:16) H X

(cid:16) H T , khi đó tồn tại một lân cận mở Wt của 1 thỏa mãn tính chất WtWt P X Lấy t (cid:128) Sct(cid:1)1 (dễ dàng thấy rằng Sct(cid:1)1 là một lân cận mở của 1). Thật vậy, do m là ánh xạ

tPJ Wt một lân cận mở của 1. Với t1

liên tục nên m(cid:1)1 là tập con mở của G G và chứa Sct(cid:1)1 p q (cid:2) 1, 1 q p . Theo định nghĩa m(cid:1)1 , V2 (cid:128) Sct(cid:1)1 p q (cid:2) Sct(cid:1)1. của tôpô tích, tồn tại hai lân cận mở V1, V2 của 1 sao cho V1 hay V1V2 Sct(cid:1)1. Chọn Wt V2, khi đó WtWt V1 (cid:16) (cid:128) (cid:128) X Hơn thế nữa, do T tập compact, nên tồn tại một tập hữu hạn J của t P mãn tính chất T (cid:128) T thỏa tPJ Wtt (cho t chạy trong T ta thu được một phủ mở gồm T (cid:148) P (cid:16) các Wtt của T ). Bây giờ ta đặt V J sao cho t1 bất kì, luôn tồn tại t Wtt. Ta có (cid:147) P P

V t1 Sc, T. Wtt1 WtWtt (cid:128) (cid:128) t1 @ P (cid:128)

Vậy V T Sc. Nói một cách khác, ta có S V T X . (cid:16) H (cid:128)

c là một tập mở.

c. Do đó

2. Giả sử rằng X là một không gian Hausdorff. Khi đó bất kì tập con gồm có 1 c. Do X điểm nào của X cũng là một tập đóng. Thật vậy, lấy x X, và y x P P t u Uy, hay nói một R x là Hausdorff nên tồn tại một lân cận mở Uy của y sao cho x x cách khác Uy u t H, ta được H su (cid:16) H. là tập đóng trong G { G { u (cid:128) t Áp dụng khẳng định trên cho X Ta lại có p(cid:1)1 H tr H. Từ định nghĩa của tôpô thương, ta suy ra rằng H phải ptr suq (cid:16)

H là Hausdorff thì H là là một tập con đóng của G. Ta vừa chứng minh rằng G { một nhóm con đóng của G.

Bây giờ ta sẽ chứng minh điều ngược lại cũng đúng. Giả sử H là một tập con

đóng của G. Trước hết chúng ta sẽ chứng minh khẳng định sau đây:

“Cho X là một không gian tôpô, và đặt ∆ x, x x X X X. Khi đó X (cid:16) tp q| P u (cid:128) (cid:2) là Hausdorff khi và chỉ khi ∆ là một tập con đóng của X X với tôpô tích.” (cid:2) Giả sử ∆ là tập con đóng của X X. Lấy x y X, khi đó ∆c và ∆c (cid:2) (cid:24) P x, y p q P là một tập mở. Theo định nghĩa của tôpô tích, tồn tại một lân cận mở U của x

và một lân cận mở V của y sao cho U V ∆c. Do đó U V (cid:2) . (cid:16) H X (cid:128) Giả sử X là một không gian Hausdorff. Lấy x, y ∆c, khi đó ta có x y. p q P V sao cho U V Do X là Hausdorff, khi đó tồn tại x (cid:16) H X P (cid:24) U và y . Do đó . Điều này suy ra ∆c là một tập con mở ∆c là một lân cận mở của U V P x, y p (cid:128) q X, hay X là một tập con đóng. (cid:2) của X (cid:2) gH, gH là (cid:16) tp qu

Sử dụng khẳng định này, chúng ta chỉ cần kiểm tra rằng ∆G{H H một tập đóng trong G { H. Ta xét ánh xạ tự nhiên sau đây (ta bỏ qua việc G { (cid:2) kiểm tra xem ánh xạ có được định nghĩa tốt) f : g, g1 H H gH, g1H p q (cid:222)(cid:209) p qp (cid:2) q

H H G (cid:2) H vào G { G p q{p (cid:2) . Ánh xạ f là một đồng phôi với các q g, g1 gH ∆G{H f p p qq (cid:16) tp q| từ G H (cid:2) { tôpô cảm sinh tự nhiên tương ứng. Ta xét tập p(cid:1)1 g1H g(cid:1)1g1 g, g1 H (p ở đây được hiểu là phép chiếu tự nhiên từ G (cid:16) G u (cid:2) u (cid:16) tp G G H q| H vào q{p (cid:2) (cid:2) G vào G được định nghĩa bởi P ). Nó là nghịch ảnh của tập H thông qua ánh xạ liên tục q g(cid:1)1g1. Do H là tập đóng, nên g, g1 p q (cid:222)(cid:209) cũng là tập đóng. Sử dụng f là một đồng phôi cùng với định nghĩa p từ G p(cid:1)1 (cid:2) ∆G{H f p p qq của tôpô thương, ta nhận được ∆G{H là một tập đóng.

3. Do p là ánh xạ mở liên tục, nên khẳng định đầu tiên của mệnh đề là hiển nhiên.

Khẳng định thứ hai là trường hợp đặc biệt của mệnh đề “một tập con đóng của

một không gian compact địa phương thì cũng là không gian compact địa phương

với tôpô cảm sinh”.

4. Nhắc lại rằng H là một không gian compact địa phương khi và chỉ khi mọi điểm

h H đều có một lân cận compact (hay nói một cách khác, với mỗi h, tồn tại P một tập mở U và một tập compact K của H sao cho h K U ). Ta sẽ chứng P (cid:128) minh rằng H H. Lấy x H, do H là một nhóm con của G, nên để chứng P (cid:16) H, ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại một phần tử h minh rằng x H sao cho P P hx H. Bây giờ chúng ta sẽ đi xây dựng phần tử đó. P Do H là compact địa phương, nên tồn tại một lân cận compact U H của 1. G (cid:128) là một không gian Hausdorff, nên H cũng là một không gian Hausdorff với tôpô

cảm sinh. Hơn thế nữa, một tập vừa Hausdorff vừa compact thì cũng là một tập

đóng . Do đó U là một tập con đóng của H. Theo định nghĩa của tôpô cảm sinh,

ta có tồn tại một tập con đóng V của G sao cho V H U . Do U là một lân X (cid:16) cận của 1 trong H, nên V cũng là một lân cận của 1 trong G. Từ chứng minh

của phát biểu (1), với mọi lân cận V của 1, luôn tồn tại một lân cận W của 1 sao

cho W.W V . Tập U là một tập compact trong H, nên nó cũng là tập compact (cid:128) trong G (do H là một tập đóng). Do đó U cũng là một tập đóng trong G.

H (tương đương với x(cid:1)1 P P H W x(cid:1)1 . Lấy h P X (cid:24) H X

(do x X H (cid:24) H W x(cid:1)1.xW xW X W 1, hh1 P W.W V và (cid:16) (cid:128) P H. Do đó, hh1 W 1 H V q (cid:16) X p X X P P Ta có W x(cid:1)1 là một lân cận mở của x(cid:1)1. Do x H), nên W x(cid:1)1 H. Giả sử W 1 là một lân cận mở của hx. Ta có h(cid:1)1W 1 và xW là hai lân cận mở của x, nên giao của chúng cũng là một lân cận mở của x. Điều này dẫn đến h(cid:1)1W 1 H). Lấy h1 là phần tử bất kì của giao này. Ta có hh1 P hh1 W 1 U . Chúng ta vừa chứng minh rằng với mọi lân cận mở W 1 của hx, giao của W 1 và U là khác rỗng. Hay nói một cách

khác hx U U H. P (cid:16) (cid:128)

H là một nhóm. Bây giờ chúng ta 5. Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G, thì G { x(cid:1)1 là các ánh xạ liên tục tương ứng sẽ kiểm tra rằng m : xy và ι : x x, y p q (cid:222)(cid:209) (cid:222)(cid:209) với tôpô thương. Ở đây x được hiểu là x mod H.

gx. Do với mọi g1 G ta có Ký hiệu Lg là phép nhân bên trái với g, Lg x p q (cid:16) P

p g1 gg1 gg1 p g1 và g1 g1(cid:1)1 p g1 , Lg p (cid:5) qp q (cid:16) (cid:16) Lppgq (cid:5) (cid:16) p qp q p p (cid:5) ι qp q (cid:16) ι (cid:16) p (cid:5) q qp

nên các lược đồ sau là giao hoán:

(cid:47) (cid:47) (cid:47) (cid:47) G G G G .

Lppgq (cid:47)

(cid:47) G H {

(cid:47) G {

(cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:47) H H G { H ι G {

Do p là một ánh xạ mở, và hai ánh xạ Lg và ι liên tục, nên Lppgq và ι cũng phải liên tục.

H cũng là tập mở với tôpô thương. 6. H là tập mở kéo theo các tập 1 điểm của G {

H là một không gian rời H là một không gian rời rạc. Ngược lại, nếu G Do đó G { { H cũng là một tâp mở. Đặc biệt, tập H là rạc, khi đó mọi tập 1 điểm của G { t u

H. Điều này suy ra rằng H là một tập mở của G (theo định nghĩa tập mở của G { H cũng là tập compact (do ánh của tôpô thương). Nếu G là tập compact, thì G { xạ chiếu là ánh xạ liên tục). Để chứng minh phát biểu thứ hai, chúng ta sử dụng

tính chất rằng một tập compact của một không gian rời rạc là một tập hữu hạn.

Định nghĩa 3.8. Một không gian tôpô được gọi là hoàn toàn không liên thông nếu

với mọi x y X, tồn tại hai lân cận mở U , V (tương ứng) của x và y thỏa mãn (cid:24) P và U U V V X X (cid:16) H Y (cid:16)

Bổ đề 3.9. Những thành phần liên thông của một không gian tôpô hoàn toàn không

liên thông chỉ có duy nhất một phần tử.

Chứng minh. Cho X là không gian tôpô hoàn toàn không liên thông. Gọi X 1 là một thành phần liên thông của X. Giả sử X 1 có nhiều hơn 1 phần tử. Lấy x X. X 1 y (cid:24) P (cid:128) Do X hoàn toàn không liên thông nên tồn tại hai lân cận mở U, V (tương ứng) của

x, y sao cho U V và U V X. X (cid:16) H Y (cid:16)

Có X 1 X X 1 U V X 1 V X 1 U X 1 V (cid:128) æ (cid:128) p Y q æ (cid:16) p Y q X (cid:16) p q Y p X V U X X 1, V X 1 . Mặt q X 1 là các tập mở nên U X (cid:16) H X X . Khi đó X 1 không liên thông (mâu thuẫn). khác do U, V là các tập mở của X và U của X 1 và X 1 X 1 V q X p X q (cid:16) H U p X

Bổ đề 3.10. Không gian tôpô X hoàn toàn không liên thông thì X là một không gian

Hausdoff.

Ví dụ 3.11. pZ với tôpô rời rạc là một không gian hoàn toàn • Trường Fp : Z { (cid:16) không liên thông.

p (với p là một số nguyên tố) là một không gian hoàn toàn không liên thông. Để chứng minh điều này, ta sẽ

. • Trường Qp với tôpô cảm sinh từ định giá p-adic | |

p, ta nhận thỏa mãn

x là một tập Qp P q (cid:16) t || | b (cid:15) u a (cid:24) P | chứng minh rằng “mọi hình cầu mở B đóng của Qp”. Khi đó với mọi a được hai lân cận mở (tương ứng) của a và b là B (cid:160) b (cid:160) | B x a a, (cid:15) p (cid:1) Qp, ta chọn (cid:15) sao cho (cid:15) và Qp a, (cid:15) q p (cid:1) (cid:1) a, (cid:15) q p các tính chất trong định nghĩa của không gian hoàn toàn không liên thông.

p | x, δ p

p (cid:160) a

p. Từ định (cid:15). Do đó

B a, (cid:15) x x a . Lấy x là một phần tử bất kì của q (cid:16) t Qp || P (cid:15), xét y (cid:15) u ¥ , khi đó (cid:1) B y x δ x a (cid:1) p . Chọn δ a, (cid:15) q p (cid:160) (cid:1) P q | | | Xét Qp Qp B nghĩa của định giá p-adic ta có a y (cid:1) a (cid:160) | x (cid:1) x x | (cid:1) (cid:1) (cid:1) B B là một lân cận mở của x trong Qp (cid:1) | ¥ | (cid:16) | (cid:0) . Hay nói cách khác Qp a, (cid:15) q p a, (cid:15) q p (cid:1) y | (cid:16) | B z x, δ p q là tập mở.

Bổ đề 3.12. Cho X, Y là hai không gian tôpô hoàn toàn không liên thông. Khi đó

X Y cũng là một không gian tôpô hoàn toàn không liên thông. (cid:2)

Chứng minh. Lấy X Y sao cho x1, y1 x2, y2 q P (cid:2) x1, y1 p . q q (cid:24) p p Trường hợp 1: x1 x2, y2 , p q y2. x2, y1 (cid:24) (cid:24) Với x1 (cid:24) x2, do X hoàn toàn không liên thông nên tồn tại U1, U2 mở lần lượt chứa y2, do Y hoàn toàn X. Tương tự, với y1 và U1 U2 (cid:16) H X (cid:16) Y (cid:24) V2 (cid:16) H X Y . U2 x1, x2 sao cho U1 không liên thông nên tồn tại hai tập mở V1, V2 lần lượt chứa y1, y2 sao cho V1 và V1 Y Y V2 (cid:16) Khi đó X U1 U1 V1 V1 (cid:2) (cid:16) p Y qYp (cid:2) Y q(cid:2)p ; V V2 (cid:2) ta có: qYp U, . V 2 q V Đặt U V1 U2 V2 q (cid:16) p V1 U2 x1, y1 U2 (cid:2) x2, y2 V2 U2 U1 q Y p qYp V 2 q (cid:2) q P p p (cid:2) V U1 U1 (cid:2) và U q V V1 (cid:2) U2 (cid:2) q Y p Y suy ra X q P Y hoàn toàn không liên thông. (cid:16) p X (cid:16) p hơn nữa U (cid:2) X (cid:16) H Y (cid:2) y2 (Với trường hợp x1 x2, y1 y2 ta chứng (cid:16) x2, y1 (cid:16) (cid:24) (cid:16) (cid:24) Trường hợp 2: Giả sử x1 minh tương tự)

Với x1 x2, do X hoàn toàn không liên thông nên tồn tại U1, U2 mở lần lượt chứa (cid:24) X. Khi đó: x1, x2 sao cho U1 U2 và U1 U2 X (cid:16) H Y (cid:16)

X Y Y Y Y . Ta có: Y , Y , U2 U2 (cid:16) p Y q(cid:2) (cid:16) p (cid:2) q q P (cid:2) p (cid:2) hơn nữa U1 Y U2 Y qYp và Y x1, y1 Y U1 X x2, y2 q P Y . Khi đó X (cid:2) Y là U2 (cid:2) U1 p U2 U1 U1 p q (cid:16) H p (cid:2) q Y p (cid:2) q (cid:16) (cid:2) q X p (cid:2) (cid:2) (cid:2) hoàn toàn không liên thông.

Hệ quả 3.13. Cho F là một không gian tôpô liên thông không toàn phần. Khi đó

F cũng là một không gian tôpô hoàn toàn không liên thông với tôpô tích (ta đồng q là hai không gian với không gian tôpô F r2). Đặc biệt Mr Fp và Mr F p q p q Qp p q Mr p nhất Mr tôpô hoàn toàn không liên thông.

Bổ đề 3.14. Cho Y X. Nếu X là một không gian tôpô hoàn toàn không liên thông (cid:128) thì Y cũng là một không gian hoàn toàn không liên thông với tôpô cảm sinh từ X.

X, mà X là không y2. Do Y Y sao cho y1 X nên y1, y2 P (cid:24) (cid:128) P

X. Ta có X Y (cid:16) H Y X Y , hơn nữa U1 (cid:16) p Y q X Y Chứng minh. Lấy y1, y2 gian tôpô hoàn toàn không liên thông nên tồn tại hai tập mở U1, U2 của X lần lượt chứa y1, y2 sao cho U1 Y hay U2 Y Y , y2 Y Y Y và U1 U1 U2 U2 (cid:16) U2 U1 q (cid:16) H U1 p qXp X X X X P P U2 X . Với y1 q Y suy ra Y là không gian tôpô hoàn toàn không liên thông. U2 X Y X Y và qYp U2 (cid:16) p U1 p X qYp X q (cid:16)

(tương ứng GLr Mr q (cid:128) q (cid:128) q Qp p Qp p Fp p Fp p

) là một q Qp p q Hệ quả 3.15. Không gian GLr Mr không gian tôpô hoàn toàn không liên thông với tôpô cảm sinh từ tôpô của Mr (tương ứng của Mr Fp ). q p

Qp với tôpô tích nhận được từ định giá p-adic của Qp p q Bổ đề 3.16. Không gian Mr là một không gian compact địa phương.

Z. Thật vậy, xét br (cid:16) P

r2 cũng là một không gian compact.

Chứng minh. Theo bổ đề (2.23), ta có Zp là một tập compact. Ta sẽ chứng minh rằng pkZp là các tập compact với mọi k pkar là một dãy bất kì trong pkZp. Khi đó ar là một dãy trong Zp, nên ta có thể trích ra được một dãy con air hội tụ đến a pkZp. Zp. Điều này dẫn đến dãy con bir cũng sẽ hội tụ đến pka P P Theo định lý Tychonoff, tích của các không gian compact là một không gian compact

q (cid:16) p p nên ta có pkMr Các tập A q với k là một số nguyên bất kì lập thành một cở sở lân cận pkZp Zp p (cid:0) q Zp pkMr gồm các tập compact của ma trận A là một không gian Mr . Do đó Mr Zp p q P Zp p q compact địa phương.

Bổ đề 3.17. Cho Y X và A là tập compact với tôpô của X. Giả sử A Y , khi đó (cid:128) (cid:128) A compact với tôpô của Y (tôpô cảm sinh ra từ tôpô của X).

Chứng minh. Xét Ui t uiPI là một phủ mở của A (theo tôpô cảm sinh từ tôpô của Y ). A. Cũng Vi

Y . Theo định nghĩa của tôpô cảm sinh, tồn tại Vi mở trong Y sao cho Ui (cid:16) lại theo định nghĩa của tôpô cảm sinh, tồn tại Wi mở trong X sao cho Vi X Wi (cid:16) X Ta có:

iPI ⁄

iPI p ⁄

iPI ⁄

iPI p ⁄

iPI ⁄

A A Y A A A. Ui Vi Vi Wi Wi Wi (cid:16) X (cid:16) X qX X q (cid:16) (cid:3) (cid:11)X (cid:16) (cid:3) Y (cid:11)X (cid:16) (cid:3) (cid:11)X

iPI ⁄

Do A A, Ui Wi uiPI là một phủ mở của A, nên từ đẳng thức trên ta có t (cid:129) (cid:11) X (cid:3)

A. Ta nhận được một phủ mở của A (theo tôpô cảm sinh từ X). hay A Wi X q (cid:129)

iPI p ⁄ n

Sử dụng A là một tâp compact với tôpô cảm sinh từ X, tồn tại i1, . . . , in sao cho

j(cid:16)1 ⁄

j(cid:16)1p ⁄ Ta vừa chứng minh rằng mọi phủ mở theo tôpô cảm sinh từ Y đều có thể trích ra

A A Uij . (cid:128) Wij X q (cid:16)

được một phủ con hữu hạn. Hay nói một cách khác A cũng là một tập compact với

tôpô cảm sinh từ tôpô của Y .

cũng là một không gian compact địa phương với q Hệ quả 3.18. Không gian GLr p Qp tôpô cảm sinh từ tôpô của Mr p

1 (ở đây 1 được hiểu là ma trận đơn vị). Qp . q pjMr Chứng minh. Kí hiệu Kj : Zp p q (cid:16) (cid:0)

với mọi j Sử dụng chứng minh của bổ đề 3.16 và bổ đề 3.17, ta có Kj là các tập compact N(cid:0). Chúng lập thành một hệ cơ sở các lân cận compact của ma trận đơn P vị.

Định nghĩa 3.19. Một nhóm tôpô G được gọi là một (cid:96)-nhóm nếu nó compact địa

phương và hoàn toàn không liên thông.

là hai (cid:96)-nhóm. Ví dụ 3.20. Nhóm GLr và GLr Fp p q Qp p q

Để kết thúc phần này chúng ta sẽ chứng minh định lý quan trọng sau đây mô tả

một đặc điểm của các (cid:96)-nhóm.

Định lý 3.21. Cho G là một (cid:96)-nhóm. Khi đó mọi lân cận của phần tử đơn vị 1 đều

chứa một nhóm con mở và compact của G.

q Qp p đều chứa Kj (với j đủ 1). Hơn thế ¥ Ví dụ 3.22. Mọi lân cận của ma trận đơn vị 1 trong GLr lớn nào đó). Ta đã thấy ở trên Kj là một lân cận compact của 1 (với j nữa nó còn là một nhóm con mở của GLr Qp p . Thật vậy: q

• Do 1 Kj nên Kj P

pjA và 1 1 pjA pjB (cid:0) (cid:0) 1 qp (cid:0) q (cid:16) • Lấy 1 pj 1 (cid:0) A AB . (cid:24) H pjB là hai ma trận bất kì thuộc Kj. Ta có p Kj. Do đó Kj là đóng với phép cộng. B (cid:0) p (cid:0) (cid:0) q P

• Sử dụng công thức tính định thức tổng quát, định thức của ma trận 1 (cid:0)

(cid:0) pjy với y (cid:0) P

1 pjA có pjx với (1 và x là hai phần tử thuộc Zp ; là một phần tử khả nghịch dạng 1 trên vành Zp. Hơn nữa phần tử nghịch đảo của nó có dạng 1 Zp. Sử dụng công thức tính ma trận nghịch đảo, ta tìm được ma trận nghịch đảo của pjA cũng là phần tử của Kj. Do đó Kj đóng với phép lấy nghịch đảo. (cid:0)

B 0, p1(cid:1)j p q (cid:16)

• Ta có pjZp Zp Mr q p của Mr . Vì thế Kj Kj là một tập con mở trong GLr Qp p GLr Qp là một tập mở trong Mr Qp p X (cid:16) q là hình cầu mở trong Qp, nên nó là tập mở. Do đó . Điều này kéo theo Kj là một tập con mở q Qp p . q p q

Chúng ta thừa nhận mà không chứng minh định lý sau (chứng minh chi tiết của

nó có thể tìm thấy trong [RV18]).

Định lý 3.23. Một không gian tôpô X là compact địa phương và hoàn toàn không liên

thông khi và chỉ khi mọi lân cận của một điểm x X bất kì đều chứa một lân cận mở P và compact của nó.

Hệ quả 3.24. Nhóm tôpô G là một (cid:96)-nhóm khi và chỉ khi mọi lân cận của 1 đều chứa

một nhóm con mở và compact.

Chứng minh. Hệ quả trực tiếp của định lý 3.21 và 3.23.

Bổ đề 3.25. Cho G là một nhóm tôpô, K là một tập con compact của G và L là một

tập con đóng của G. Khi đó KL và LK là các tập con đóng của G.

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng LK là một tập con đóng của G (với KL ta

làm tương tự). Nếu LK G, điều này là hiển nhiên, nên ta chỉ cần xét trường hợp (cid:16) LK LK. Có nghĩa là L . Lấy y G yK (cid:1)1 (cid:16) H (cid:24) H (cid:1) (cid:1) X P . Do K là tập compact nên G yK (cid:1)1 cũng là tập compact. Theo mệnh đề trong chứng minh ý (1) của mệnh đề 3.7,

ta có tồn tại một lân cận mở V của 1 sao cho L V yK (cid:1)1 , hay F K V y . X (cid:16) H X (cid:16) H Do đó V y là một lân cận mở của y được chứa trong G LK. (cid:1)

Chứng minh cho định lý 3.21. Do G là một nhóm compact địa phương và hoàn toàn

không liên thông, nên theo định lý 3.23 ta có mỗi lân cận của 1 đều chứa một lân cận mở V 2. và compact V của 1. Chúng ta kí hiệu V n V V n(cid:1)1 với n 2. Đặt L G V ¥ (cid:16) p (cid:1) q X (cid:16)

Do V là một tập mở, nên G (cid:1) V là một tập đóng. Do G là Hausdorff, V là một tập compact nên V cũng là một tập đóng. Sử dụng bổ đề 3.25, ta có V 2 cũng là một tập

đóng. Kết hợp các điều này ta có L là giao của hai tập đóng nên nó cũng là một tập

đóng.

L Ta có V (cid:16) H X

với V là một tập compact và F là một tập đóng, nên theo mênh đề trong chứng minh ý (1) của mệnh đề 3.7, tồn tại một lân cận mở V 1 của 1 sao cho V 1V L . (cid:16) H X Do V X đối xứng W của 1 sao cho W W V 1 là một lân cận mở của 1, nên theo bổ đề 3.5, tồn tại một lân cận mở V 1. Hơn W nên W V 1. Do 1 W W V V (cid:128) X P (cid:128) (cid:128) X nữa W V V 1V nên W V L (cid:128) . (cid:16) H X Ta vừa chứng minh rằng tồn tại một lân cận mở đối xứng W của 1 sao cho W V (cid:128) và W V L

X Do W . (cid:16) H V , nên W V V 2. Vì L G V V 2 và W V L , nên ta phải có (cid:128) (cid:16) p (cid:1) q X X (cid:16) H (cid:128) V . Điều này suy ra W V (cid:128)

W n(cid:0)1V W n W nV. (cid:16) W V p q (cid:128)

Bằng quy nạp theo n ta có W nV V với mọi n 0. Do W là tập đối xứng, (cid:24) W nV V với mọi n (cid:128) Z. Đặc biệt, do 1 V ta có (cid:128) P P

nPZ ⁄

H W n V. (cid:16) (cid:128)

Từ định nghĩa của H, ta thấy nó là một tập khác rỗng (chứa 1), đóng với phép nhân (do chứa tất cả các W n) và đóng với phép lấy nghịch đảo (do W là tập đối xứng). Do W là tập mở nên W n cũng là tập mở và do đó H cũng là tập mở. Áp dụng bổ đề

3.6, ta có H cũng là một tập đóng.

Do H V , V là tập compact và H là tập đóng nên H cũng là một tập compact. (cid:128) Vì thế H là một nhóm con mở compact của G.

4 Lý thuyết biểu diễn của các (cid:96)-nhóm

Tài liệu tham khảo cho phần này là mục 3 của bài giảng về các biểu diễn của các

nhóm p-adic reductive của Murnaghan [FM09], bài giảng về lý thuyết biểu diễn của

GLr trên trường địa phương không acsimet [PR07] và sách về giả thuyết Langlands địa phương của Bushnell và Henniart [BH06].

Cho G là một (cid:96)-nhóm. Theo hệ quả 3.24, mọi lân cận của 1 đều chứa một nhóm con

mở và compact. Đặc biệt, ta luôn có thể tìm thấy được một nhóm con mở và compact

của G.

Định nghĩa 4.1. • Một biểu diễn π, V p tơ V và một đồng cấu nhóm π : G của G bao gồm một C- không gian véc . Ta có thể sử dụng π hoặc V để V q AutC (cid:209) p q kí hiệu cho một biểu diễn của G, tùy thuộc vào việc ta quan tâm đến tác động

của nhóm hay là quan tâm đến không gian của biểu diễn.

• Nếu π được gọi là một biểu diễn idV (ánh xạ đồng nhất trên V ), thì g p q (cid:16) π, V p q tầm thường của G trên V .

Định nghĩa 4.2. Một biểu diễn con của biểu diễn π, V của G là không gian con p q V bất biến dưới tác động của G (hay π W ). Một biểu diễn thương W W G p qp q (cid:128) (cid:128) là biểu diễn tự nhiên của G trên không gian thương V của W , trong đó W là { π, V p q một biểu diễn con nào đó của V . Một biểu diễn thương con của V nếu là biểu diễn

thương của một biểu diễn con của V .

Định nghĩa 4.3. Một biểu diễn của nhóm G được gọi là bất khả quy nếu nó π, V p q không phải là biểu diễn 0 (hay nói cách khác V ) và chỉ có duy nhất hai biểu diễn 0 u (cid:24) t con là 0 và chính nó.

Định nghĩa 4.4. Một biểu diễn của G được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại q một tập con hữu hạn π, V p của V sao cho v1, . . . , vn t u

V Span π g G, 1 i n . vi (cid:16) g p q pt | P ⁄ ⁄ uq

(Không gian véc tơ sinh bởi các véc tơ π g p vi). q

Ví dụ 4.5. Một biểu diễn bất khả quy cũng là một biểu diễn hữu hạn sinh. Thật vậy:

nếu là một biểu diễn của V , và v là một véc tơ khác 0 của V , thì không gian π, V p q véc tơ sinh bởi các véc tơ π g p v (khi g chạy trong G) là một biểu diễn con khác 0 của q V . Do đó nếu V là biểu diễn bất khả quy thì V Span π g G . (cid:16) g p v q | pt uq P

Mệnh đề 4.6. Cho với V 0 là một biểu diễn của nhóm G. Các điều kiện sau π, V p q (cid:24) là tương đương:

(1) V là một tổng của các biểu diễn con bất khả quy của nó.

(2) V là một tổng trực tiếp của một họ các biểu diễn con bất khả quy.

(3) Bất kì một biểu diễn con nào của V cũng có một biểu diễn con bù.

Biểu diễn 0 hoặc một biểu diễn thỏa mãn một trong các tính chất nói trên được gọi là

một biểu diễn nửa đơn.

iPI Ui. Xét họ I các tập con J của I sao cho

iPI là họ các biểu diễn con bất khả quy của V q iPJ Ui là một tổng trực tiếp. Họ này khác rỗng do chứa tập con J chỉ có một phần tử.

Chứng minh. • . Gọi 2 q Ui p p 1 q æ p thỏa mãn tính chất V (cid:16)

(cid:176) (cid:176) Trên họ này ta trang bị cho nó một quan hệ thứ tự bao hàm. Xét Ja P t một tập con được sắp thứ tự toàn phần của I. Đặt J a | aPA Ja. Giả sử (cid:16)

(cid:176) (cid:148)

A là u iPJ Ui không là một tổng trực tiếp, thì tồn tại một tập con hữu hạn S của J sao cho iPS Ui không là một tổng trực tiếp. Mặt khác do S là tập con của J nên S phải I. Hay P là tập con của một Ja nào đó. Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Do đó J (cid:176) nói cách khác mọi tập con sắp xếp thứ tự toàn phần của I đều có cực đại trong

I. Theo bổ đề Zorn ta có I có phần tử cực đại. Gọi phần tử cực đại đó là J0. ta sẽ chứng minh rằng

V Ui. (cid:16)

iPJ0

iPJ0 (cid:224) v P

Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại 0 V sao cho v Ui. Do v (cid:24) R P

iPJ0

iPJ0 0 u

Span π g P . Mặt khác v g v q pt P | uq (cid:192) v q p g p G. Điều này dẫn đến V Ui0. Do Ui0 bất khả quy nên theo ví dụ trên ta có Ui với mọi iPJ0 I (mâu thuẫn Ui Ui nên π , hay J0 R i0 nên tồn tại i0 sao cho v Ui0 (cid:16) G g P q X R Ui0 (cid:16) t (cid:192) Y t (cid:192) u P với tính lớn nhất của J0). p (cid:192)

iPI họ các biểu V ,

• . Gọi W là một biểu diễn con thực sự của V và 3 q q 2 q æ p p diễn con bất khả quy của V thỏa mãn tính chất V Ui p iPI Ui. Nếu W (cid:16) (cid:16) biểu diễn bù của nó chính là biểu diễn 0. Ta chỉ cần quan tâm đến trường hợp (cid:192) W là biểu diễn con thực sực của V . Xét I là họ các tập con J của I sao cho

iPJ Ui

W W . Khi đó I là tập khác rỗng, nếu không ta có Ui 0 u q (cid:16) t X

X p với mọi i (cid:192) P là không gian sinh bởi các véc tơ π 0 u (cid:24) t I. Ta lại có Ui là biểu diễn bất khả quy nên theo ví dụ trên nó sẽ v với v là véc tơ khác 0 nào đó. Điều này q W với mọi i W (mâu thuẫn việc W là biểu diễn con g p I và V (cid:128) (cid:128) P dẫn đến Ui thực sự). Trên I được trang bị một quan hệ thứ tự bao hàm. Xét a t P

iPJa

iPJ0 . Khi đó tồn tại i0 sao cho v

iPJ0

(cid:16) với mọi a A nên W W A Ja u | aPA Ja. Khi đó do . Áp dụng bổ đề Ui là một tập con được sắp thứ tự toàn phần của I. Đặt J iPJ Ui X p q (cid:16) t X p P 0 (cid:148) u 0 u Ui (cid:192) ‘ q (cid:16) t Zorn, I có phần tử lớn nhất. Gọi phần tử đó là J0. Ta có W (cid:192) Giả sử tồn tại v W V Ui V. (cid:128) Ui0 và (cid:8) (cid:0)(cid:192) P P (cid:1) ‘ (cid:0) (cid:8)(cid:8) (cid:0)(cid:192) 27

iPJ0

I (mâu thuẫn với W Ui . Điều này dẫn đến J0 i0 (cid:16) t 0 u Y t u P ‘ (cid:8)(cid:8) (cid:0) Ui0 X tính lớn nhất của J0). Vậy (cid:0)(cid:192)

iPJ0 (cid:224)

W V. Ui (cid:11) (cid:16) ‘ (cid:3)

iPJ0

Biểu diễn bù của W là biểu diễn Ui.

(cid:192) •

. Gọi V0 là tổng tất cả các biểu diễn bất khả quy của V khi đó V0 là 1 3 q q æ p p một biểu diễn con của V . Theo giả thiết, tồn tại một biểu diễn con W của V sao

cho V V0 W . Theo định nghĩa của V0 thì W không chứa một biểu diễn con (cid:16) ‘ bất khả quy nào của V .

Giả sử W . Do W 0 nên tồn tại một véc tơ v 0 nằm trong W . Xét 0 u (cid:24) t (cid:24) của W . Đặt S là tập hợp các biểu diễn π (cid:24) Span t v q g p g | (cid:16) P

aPA Wa cũng là phần tử của S. Thật vậy ta có:

biểu diễn con W0 : G u con thực sự của W0. Do W0 là biểu diễn khác 0 nên biểu diễn 0 là một biểu . Trên S được trang bị quan hệ thứ tự bao diễn con thực sự của nó, hay S (cid:24) H là một tập con được sắp thứ tự toàn phần của S. Khi đó hàm. Xét a Wa t | P A u WA (cid:16)

aPA Wa nên tồn tại a sao cho WA. Điều Wa này suy ra WA là một không gian véc tơ con của W0. Do Wa là một biểu G. Vậy WA cũng là một biểu diễn con, nên π

(cid:148) – Xét x, y C. Do WA WA và α, β P (cid:16) P x, y β.y Wa. Do Wa là một không gian véc tơ nên α.x (cid:148) (cid:0) (cid:128) P P

WA với mọi g Wa (cid:128) P x q P g p diễn con của W0.

– Giả sử WA (cid:16) P G π g P Wa. Vì thế Wa W0, khi đó v biểu diễn con (G-bất biến) nên Span t WA. Do đó tồn tại Wa sao cho v g v q u (cid:128) (cid:16) P p | Wa. Do Wa là W0 S). Vậy WA là không gian con thực sự của P (mâu thuẫn với điều kiện Wa W0.

‘ U . Xét p là phép chiếu tự nhiên p : V p U . Đặt V1 : W1 W0 p (cid:209) ‘ ‘ (cid:16) Áp dụng bổ đề Zorn, S có phần tử lớn nhất. Gọi phần tử lớn nhất đó là W1. Do W1 là một biểu diễn con của V , nên tồn tại một biểu diễn con U sao cho V0 . V0 V (cid:16) q Khi đó

– Do π p p π g với mọi g G nên V1 là một biểu diễn con của U . q (cid:5) (cid:5) (cid:16) P g p Hơn nữa V1 q p 0 (do W1 W0). (cid:24) (cid:136)

– Xét V2 V1 là một biểu diễn con thực sự của V1. Ta có p(cid:1)1 (cid:136) W0 là một ). Do tính V2 p p(cid:1)1 W1 q q X V2 p W0 q X (cid:16) (cid:16) p W0 W0 (do p V2 p qq (cid:16) (cid:16) (cid:136) biểu diễn con của W0 chứa W1 (do V0 lớn nhất của W1 nên p(cid:1)1 khác ta lại có p(cid:1)1 p(cid:1)1 (cid:136) p V2, khi đó tồn tại w0 P (cid:16) q X P v2. q (cid:16) 0. Hay W0 W0 W1 nên p p(cid:1)1 0 q (cid:128) p (cid:16) ‘ W0 hoặc p(cid:1)1 W1. Mặt V2 q X p p(cid:1)1 W0 V2 ), nên V1 V2 q p p w0 W0 sao cho p p 0. Điều này suy ra V2 V2 p W0 q X W1. Xét v2 p(cid:1)1 V2 p q (cid:16) q (cid:16) X (cid:16) P

V2 p Do w0 w0 p nói cách khác V1 là một biểu diễn bất khả quy (mâu thuẫn do V0 là tổng tất cả các biểu diễn bất khả quy có thể của G).

Mệnh đề 4.7. Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó, mọi biểu diễn của G đều là một

biểu diễn nửa đơn.

π, V p q Chứng minh. Xét là một biểu diễn bất kì của G, W là một biểu diễn con của V . Gọi W 1 là không gian con bù của W trong V và p là phép chiếu tương ứng của V

lên W .

Do p là ánh xạ tuyến tính đi từ V vào W và các ánh xạ tuyến tính π g bảo toàn p q W (với mọi g G), nên P

gPG | ‚ là một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào W .

p0 : π g p π (cid:16) p q (cid:5) g(cid:1)1 p , q (cid:5) 1 G |

x W , nên p π π g(cid:1)1 x p qp q P g(cid:1)1 p qp p . Do đó π q qp q (cid:5) g p P g(cid:1)1 W , ta có π p g(cid:1)1 x π π x (cid:5) x. Điều này dẫn đến p0 (cid:5) x. Từ đây ta nhận được π x g p qp p qp qq (cid:16) q (cid:16) x p q (cid:16) qp q (cid:16) W .

W W 0. Với x g(cid:1)1 p p0 Im p q (cid:16) Đặt W 0 p0 ker p (cid:16) . Theo định lý về đồng cấu ta có V q ‘ (cid:16) Sử dụng

π s p0 π s(cid:1)1 p0 π p0 π p0 q (cid:16) æ (cid:5) p p q (cid:5) s p (cid:16) s p , q (cid:5)

q (cid:5) ta lại có W 0 bất biến dưới tác động của nhóm G.

của nhóm G là một π1, V 1 π, V p q p q π1 π q (cid:16) g p g p q (cid:5) (cid:209) (cid:5) Định nghĩa 4.8. Đồng cấu giữa hai biểu diễn C-ánh xạ tuyến tính f : V g và V 1 thỏa mãn tính chất f f với mọi G. Tập hợp tất cả các đồng cấu của hai biểu diễn π và π1 sẽ được kí hiệu bởi

V sẽ được sử dụng cho hoặc EndG . Kí hiệu EndG q π p q p q p q π, π1 π, π1 V, V 1 p V, V 1 . P HomG HomG hoặc HomG HomG p q (cid:16) p q

Định nghĩa 4.9. Cho và là hai biểu diễn của G. Ta nói rằng π và π1 π, V p π1, V 1 p q π, π1 chứa một phần tử khả p q q là tương đương (hoặc đẳng cấu) với nhau nếu HomG nghịch. Trong trường hợp đó ta viết π π1. (cid:20)

Mệnh đề 4.10. Cho là một biểu diễn của (cid:96)-nhóm G. Khi đó các điều kiện sau π, V p q là tương đương:

g π g v là một tập mở trong G với mọi v V . 1. Tập StabG v p q (cid:16) t P G | p v qp q (cid:16) u P

2. Với mọi v V , tồn tại một nhóm con mở compact K (phụ thuộc vào v) của G

sao cho π v. P K p v qp q (cid:16)

3. Với mọi v V : g π g là một ánh xạ trơn, nghĩa là P (cid:209) p v qp q (cid:222)(cid:209) V , ánh xạ ϕv : G ánh xạ hằng số địa phương.

Biểu diễn của G thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là một biểu diễn

trơn.

Chứng minh. • là một StabG 1 q æ p . Do phần tử đơn vị 1 2 q p P v p , nên StabG q v p q lân cận mở của 1. Áp dụng định lý 3.21, tồn tại một nhóm con mở compact

K chứa 1. Ta có π v. StabG (cid:128) v p q K p v qp q (cid:16)

• . Với mọi g G, gK là một lân cận mở của g. Lấy g1 gk gK ta có P (cid:16) P π π π π g ϕv gk p v qp q (cid:16) qp q (cid:16) g p k p v qp qp qq (cid:16) p v qp q (cid:16) g p . Vậy ϕv là một ánh xạ q 3 2 q æ p p q g1 ϕpv hằng số địa phương.

•

U . Điều này suy ra U v với mọi u u π v p q (cid:16) q (cid:16) (cid:128) p . Do ϕv là ánh xạ hằng số địa phương nên tồn tại một lân cận U của 1 3 q q æ p p StabG . 1 sao cho π q v với mọi v 1 qp bất kì, ta có π Lấy g P π π π g qq (cid:16) v qp p v StabG p gu p v qp v qp v qp u p g p q (cid:16) qp P q p u q (cid:16) U . Do đó gU là một lân cận mở của g được chứa hoàn toàn trong StabG v p . q P phải là một tập mở. Vì vậy StabG v p q

Ví dụ 4.11. đều là biểu diễn trơn. • Mọi biểu diễn của GLr Fp p q

• Biểu diễn con, biểu diễn thương và biểu diễn thương con của một biểu diễn trơn

cũng là một biểu diễn trơn.

Bổ đề 4.12. Nếu là một biểu diễn của G, thì V 8 : V StabG π, V p q v (cid:16) t P | v p q là một tập mở u là một biểu diễn con trơn của V.

Chứng minh. G là một tập mở nên 0 V 8. • Ta có StabG 0 q (cid:16) p P

V 8. Tồn tại một nhóm con mở compact K của G sao cho K • Giả sử v1, v2 (cid:128) và k K, khi đó ta có StabG StabG v2 P StabG v1 p q X v2 p . Lấy g q P v1 p q (cid:0) P

π π π k π π g v1 v2 v1 v2 v1 v2 v1 v2. gk p qp (cid:0) q (cid:16) g p qp p qp q (cid:0) k p qp qq (cid:16) p qp (cid:0) q (cid:16) (cid:0)

v2 v1

với q V 8. StabG v2 v2 (cid:0) v2 . Vì thế StabG q v1 p v1 p (cid:0) (cid:0) P q (cid:0) P Do đó gK là một lân cận mở của g được chứa hoàn toàn trong StabG p mọi g là một tập mở, hay v1 Điều này chứng minh rằng V 8 đóng với phép cộng.

v với mọi α G là một • Do StabG StabG q (cid:16) q (cid:16) p 0 q (cid:16) p cũng là một tập mở với 0.v p α.v p v p q q α.v StabG p tập mở, nên nếu StabG mọi α 0 và StabG (cid:24) q là một tập mở thì StabG C. Hay nói một cách khác, V 8 đóng với phép nhân vô hướng. P

• Với mọi g G và v V ta có P P

π v v StabG g(cid:1)1StabG g p q p q (cid:16) g. q p

Do đó V 8 bất biến dưới tác động của G.

Chúng ta vừa mới chứng minh rằng V 8 là một biểu diễn con của V . Tính chất trơn

của nó đi ra trực tiếp từ định nghĩa của V 8.

Mệnh đề 4.13. Cho G là một nhóm compact. Khi đó mọi biểu diễn trơn của π, V p q G là nửa đơn.

Chứng minh. Lấy v là một nhóm V . Do π là một biểu diễn trơn nên StabG P là một tập v p q v p q StabG con mở của G. Sử dụng phát biểu 6 của Mệnh đề 3.7, ta có G { cũng là một tập hữu hạn. Do đó W hữu hạn. Điều này dẫn đến π g g p v qp q| t G u P (cid:16) Span π g g G là một biểu diễn con hữu hạn chiều của V . Đặt pt p v qp q| P uq

wPtπpgqpvq|gPGu £

gPG{StabGpvq £

N StabG g(cid:1)1StabG (cid:16) w p q (cid:16) v p g. q

Khi đó N là một nhóm con mở (giao hữu hạn của các nhóm con mở) và chuẩn tắc

(liên hợp của nó với một phần tử g G bất kì cũng là chính nó - từ đẳng thức thứ P 2 định nghĩa N ) của G. Nhóm này tác động tầm thường lên không gian véc tơ W

(π idW ). Do đó hạn chế của π trên biểu diễn con W phân tích qua nhóm có q|W n p

(cid:16) N . Áp dụng Mệnh đề 4.7, ta có W là một biểu diễn nửa đơn. hữu hạn phần tử G { Chúng ta vừa mới chứng minh rằng mọi véc tơ v V đều được chứa trong một P biểu diễn con, nửa đơn, hữu hạn chiều của V .

Xét S là tập các biểu diễn nửa đơn con của V (tập này khác rỗng do chứa biểu

diễn 0). Trên S ta có quan hệ thứ tự bao hàm. Giả sử a Wa P t |

(cid:16)

(cid:148) (cid:16) A là một tập con được u aPA Wa là một biểu diễn con của V . Hơn sắp thứ tự toàn phần của S. Khi đó WA nữa ta lại có WA aPA Wa, mà các Wa là các biểu diễn nửa đơn, nên WA cũng là một biểu diễn nửa đơn. Áp dụng bổ đề Zorn, tập S có phần tử lớn nhất. Gọi W 1 là (cid:176) một phần tử lớn nhất của S.

Giả sử W 1 V khi đó tồn tại v V sao cho v (cid:24) P R W 1. Gọi W 2 là biểu diễn con, nửa W 1 là một biểu diễn con nửa đơn của (cid:0) đơn, hữu hạn chiều chứa v của V . Khi đó W 2 V thực sự chứa W 1 (mâu thuẫn với tính chất lớn nhất của W 1). Vậy W 1 V , hay V (cid:16) là một biểu diễn nửa đơn.

Chú ý 4.14. Trong trường hợp G không phải là nhóm compact, thì có rất nhiều biểu

diễn trơn nhưng không phải là một biểu diễn nửa đơn. Tuy nhiên, trong trường hợp

G là một nhóm compact địa phương, chúng ta vẫn có thể chọn lấy một nhóm con mở

compact K của G và lúc này một biểu diễn V của G khi hạn chế trên K sẽ là một biểu

diễn nửa đơn. Hay nói một cách khác V có thể viết dưới dạng tổng trực tiếp của các

không gian K-bất biến bất khả quy.

Cho V (cid:6) HomC . Với mọi λ V (cid:6) ta định nghĩa π(cid:6) V (cid:6) như sau: λ (cid:16) V, C q p P g p q P

g π v V. π(cid:6) p p λ q v qp q (cid:16) λ p g(cid:1)1 p v qp , qq P

Dễ nhận thấy rằng là một biểu diễn của nhóm G. Tuy nhiên trong trường hợp π(cid:6), V (cid:6) p q tổng quát thì biểu diễn đối ngẫu này không trơn, dù cho π là một biểu diễn trơn.

Định nghĩa 4.15. Đặt π_ là biểu diễn con V _ V (cid:6),8 của π(cid:6). Biểu diễn này là một (cid:16) biểu diễn trơn của G và được gọi là biểu diễn đối ngẫu trơn của π, V p . q

_ không đẳng cấu với biểu q

Chú ý 4.16. Trong trường hợp tổng quát, thì biểu diễn π_ p diễn π. Nhưng điều đó sẽ đúng nếu π là một biểu diễn chấp nhận được (xem ở ngay

dưới).

Định nghĩa 4.17. Một biểu diễn trơn q π, V của G được gọi là chấp nhận được p G, V K (không gian chứa những phần tử bất (cid:128) nếu với mọi nhóm con mở compact K biến của V dưới tác động của K) là một C-không gian vecto hữu hạn chiều.

_ q

Mệnh đề 4.18. Nếu π, V là một biểu diễn trơn chấp nhận được của G thì q p q cũng là một biểu diễn chấp nhận được của G. Hơn thế nữa, ta có π_, V _ p π. π_ p (cid:20)

Chứng minh. Lấy K là một nhóm con mở compact của G. Xét V như là một biểu diễn

của K, áp dụng Mệnh đề 4.13, V là một biểu diễn đơn của K. Do đó, tồn tại W bất V K W . Ta có W là tổng trực tiếp của các biến dưới tác động của K sao cho V (cid:16) ‘ biểu diễn con bất khả quy không tầm thường của K.

|W : W

K. Khi đó v(cid:6) q

Lấy v(cid:6) V _ P p (cid:209) C là một đồng cấu giữa biểu diễn của K trên 0, thì W phải chứa một W, C p q (cid:24)

|W (cid:16) (cid:6). Hơn nữa ta lại có do V K

(cid:6) q V K

(cid:6), ta mở rộng λ để nhận được một phần tử λ của V (cid:6) bằng cách

V K P p q W và biểu diễn tầm thường của K trên C. Nếu HomG biểu diễn con tầm thường (mâu thuẫn với việc W chỉ chứa các biểu diễn con không (cid:6). Ta vừa chứng minh rằng 0, nên v(cid:6) tầm thường). Điều này suy ra v(cid:6) V _ là chấp nhận được, nên dimC V K V K , p q (cid:160) 8 q (cid:128) p p q kéo theo dimC . Vậy dimC π, V p V _ . q (cid:160) 8 pp q K q q (cid:160) 8 pp Cho trước λ

cho λ P p q 0 với mọi w W . w p q (cid:16) P

• Lấy v V . Khi đó v vK w với vK V K và w W . Với mọi k K ta có P (cid:16) (cid:0) P P P

π(cid:6) λ π vK w λ π w k p qp v qp q (cid:16) λ p k(cid:1)1 p qp (cid:0) qq (cid:16) vK p k(cid:1)1 p (cid:0) qp qq (cid:16) vK λ p q (cid:16) v λ p . q

Vậy λ bất biến dưới tác động của K.

• Giả sử g Stabπ(cid:6) λ q p P (ở đây ta sử dụng kí hiệu này để chỉ rõ rằng ta xét các phần G cố định v thông qua π(cid:6)). Khi đó gK là một lân cận mở của g được chứa tử g P là một tập mở. hoàn toàn trong Stabπ(cid:6) . Điều này dẫn đến Stabπ(cid:6) p λ q λ q p

K. Vậy q

(cid:6). Điều này kéo theo q

(cid:6)

V _ p Hai điều vừa được nhắc đến ở trên, cho ta thấy λ là một phần tử của V _ V K p q (cid:16) p

K q

(cid:6) q

V _ V K V _ V K. pp q (cid:16) pp (cid:16) pp (cid:20)

(cid:6) q q C, là nhóm con mở của G (do

Với mỗi v λ λ v V , ta xét ánh xạ tuyến tính fv : V _ (cid:209) (cid:222)(cid:209) v p p . Ta có Stabπ q (cid:128) q là một biểu diễn trơn), fv π, V p v p q q p P . Do Stabπ q Stabpπ_q(cid:6) nên nó chứa một nhóm con compact, mở của G. Gọi nhóm con compact mở đó là L.

_, q

_ q

Lấy g bất kì, ta có gL là một lân cận mở chứa g nằm hoàn toàn trong Stabpπ_q(cid:6) P là một nhóm con mở của G. Do đó fv là một phần tử fv q p , nên Stabpπ_q(cid:6) q fv p q Stabpπ_q(cid:6) V _ của fv p _. q p Xét ánh xạ tuyến tính tự nhiên ϕ : V V _ (cid:209) p (cid:222)(cid:209) V _ fv. Theo chứng minh phía K với K là một nhóm q pp v trên ta có ϕ|V K là một đẳng cấu tuyến tính giữa V K và con mở compact bất kì của G.

• Lấy f V _ là một tập mở trong G, nên tồn P p f p q

_ bất kì. Khi đó do Stabpπ_q(cid:6) q f tại một nhóm con mở compact L nằm trong Stabpπ_q(cid:6) p L. Sử dụng ϕ|V L là một đẳng cấu giữa V L và f q

_ q

V _ q pp . Điều này dẫn đến q L, ta tìm được V _ q V sao cho ϕ f . Vậy ϕ là một toàn cấu. P pp V L v P (cid:128) v p

là hai nhóm con mở của G, nên và Stabπ v • Giả sử ϕ p v p q v1 p q v ϕ q (cid:16) p Stabπ p q X q (cid:16) v1 . Do Stabπ q v1 p q . Ta có v, v1 Stabπ P q là một nhóm con mở của G. Vì thế tồn tại một nhóm con V L. Sử dụng v1 p L, ta suy ra v v1. Vậy ϕ là một đơn q X _ q pp (cid:16) q Stabπ mở compact L được chứa trong Stabπ v p ϕ|V L là một đẳng cấu giữa V L và V _ cấu.

• Ta có

_ q

λ π_ π_ π v fv fv fπpgqv π_ p g p qp qp q (cid:16) p g(cid:1)1 p λ q g(cid:1)1 p λ q v qp q (cid:16) λ p g p q q (cid:16) λ p . q

Điều này dẫn đến ϕ π π ϕ. g p (cid:5) g p q (cid:16) p q (cid:16) p _ _ q q

_ q

Vậy ϕ là một đẳng cấu giữa hai biểu diễn và π_ pp q V _ p . Hay, ta có q

(cid:5) π, V p π_ π q _. q (cid:20) p

Ta kết thúc mục này với một kết quả khá quen thuộc và quan trọng của lý thuyết

biểu diễn.

Bổ đề 4.19 (Bổ đề Schur). Cho là một biểu diễn trơn, bất khả quy, chấp nhận π, V p q được của (cid:96)-nhóm G. Khi đó ta có dimC 1. HomG p π, π p qq (cid:16)

Chứng minh. Lấy A q π, π p A Av Av với mọi k và K là nhóm con mở compact của G. Xét v K. Do đó A|V K : V K p qp q (cid:16) q (cid:16) k p P π p HomG v k q (cid:209) P

0 sao cho Av (cid:24) (cid:16) V K, P V K. Do V là ta có π một biểu diễn chấp nhận được nên V K là một không gian véc tơ hữu hạn chiều. Điều này dẫn đến A|V K là một tự đồng cấu tuyến tính của không gian véc tơ hữu hạn chiều V K. Gọi λ λ.v. Đặt V 1 : C là một giá trị riêng của A khi đó tồn tại v Av λ.v P V λ.IdV . (Ở đây IdV là ánh xạ đồng nhất trên V .) q u (cid:16) (cid:16) (cid:1) P |

v A ker (cid:16) t p • Ta có V 1 là một không gian véc tơ con khác 0 của V .

• Lấy v V 1, ta có Av λ.v. Ta có P (cid:16)

v π Av π λ.v π g . g p g p q (cid:16) qp q (cid:16) qp p q g p π λ. p v q

A q p V 1 với mọi g q (cid:16) G. Hay V 1 bất biến dưới tác động của nhóm G. v Nên πg p q P P

Sử dụng giả thiết V là một biểu diễn bất khả quy, ta có V 1 V . Điều này dẫn đến (cid:16) A λ.IdV . (cid:16)

Hệ quả 4.20. Mọi biểu diễn trơn bất khả quy, chấp nhận được của một (cid:96)-nhóm π, V p q abel G có số chiều bằng 1.

Chứng minh. Do G là một nhóm abel nên π với mọi g, g1 G hay π g.g1 P p q (cid:16) π π π π g, g1 G. Điều này suy ra π π, π .Theo Bổ đề g p g1 p q (cid:5) g1 p q @ P q HomG g q (cid:5) q (cid:16) Schur ta có dim HomG 1, nên tồn tại cg q p cg.IdV . g p π, π p q (cid:16) q (cid:16) P p Do V bất khả quy nên V 0. Lấy v g1.g p g p q P C sao cho π 0 trong V bất kì. Đặt U v . Với Span t u (cid:16) mọi u U , ta có: π c.v u g cg.c (cid:24) cg c.v p q (cid:16) p v q q (cid:16) q (cid:16) qp qp P P p (cid:24) g π p con khác 0 của V . Ta lại có V là biểu diễn bất khả quy nên U U suy ra U là biểu diễn C.v. Do V hay V (cid:16) (cid:16) V 1. đó, dim p q (cid:16)

là một biểu diễn trơn, bất khả quy, chấp nhận được của Hệ quả 4.21. Cho

π, V p (cid:96)-nhóm G. Kí hiệu Z q g g1 nhóm tâm của nhóm G. Khi đó, (cid:16) t (cid:16) @ G | G u z g1.g g.g1, P C(cid:2) thỏa mãn π Z. Đồng q (cid:16) (cid:209) p z p .IdV với mọi z q P P (cid:36)π tồn tại đồng cấu nhóm (cid:36)π : Z cấu nhóm (cid:36)π được gọi là đặc trưng trung tâm của π.

Chứng minh. Lấy z Z bất kì, ta có: g.z z.g với mọi g G, suy ra π P g p G, suy ra π z π q (cid:16) p q (cid:5) C sao cho P với mọi g π g π (cid:16) HomG z p q P π, π p . Khi đó tồn tại cz q P q P q (cid:5) π p cz.IdV . Đặt z p z p q (cid:16) C(cid:2), z (cid:36)π : Z cz, (cid:209) (cid:222)(cid:209)

khi đó ta có π (cid:36)π z p q (cid:16) .IdV . q Hơn nữa, với z, z1 z p Z bất kì, ta có: P

π (cid:36) z.z1 p q (cid:16) z.z1 p .IdV ; q

π π z1 π z z1 z (cid:36)π .IdV (cid:36)π q (cid:5) q (cid:5) p q (cid:16)

p π q (cid:16) z π Mà ta lại có π p nên (cid:36)π (cid:36)π .IdV . q . Vậy (cid:36)π là một đồng z p z.z1 p q (cid:16) q (cid:5) p p z1 p q .(cid:36)π q .(cid:36)π q z1 p z1 p q p z p q (cid:16) q zz1 p cấu nhóm.

5 Độ đo Haar

Tài liệu tham khảo cho mục này là cuốn sách của Bushnell và Henniart [BH06,

Mục 3, Chương 1]. Cho G là một (cid:96)-nhóm. Chúng ta xét C-không gian véc tơ C 8 c p C hằng số địa phương (tại mỗi điểm g của các hàm f : G G q G, tồn tại một lân cận (cid:209) P

của g sao cho giá trị của hàm f trên lân cận đó là một hằng số) và có giá compact

là một tập compact - ở đây X được hiểu là bao đóng của g f f (supp p q : (cid:16) t G | g p P q (cid:24) 0 u X).

Bổ đề 5.1. Cho f , khi đó tồn tại nhóm con mở compact K G sao cho (cid:128) f f f G. C 8 G c p q với mọi g P gK Kg p q (cid:16) g p q (cid:16) p q P

Chứng minh. Có f là một tập compact và với mọi g K, tồn f nên supp p G q P q P C 8 c p tại Ug là lân cận của g sao cho f |Ug là một hằng số.

gPC ⁄

Ug, và K compact nên tồn tại g1, g2, f Ta có supp p q (cid:128) f , gn sao cho supp p q (cid:128) (cid:4) (cid:4) (cid:4)

i sao cho

Ugi. Do G là compact địa phương nên tồn tại nhóm con mở compact Ki, K 1

i(cid:16)1 ⁄ giKi

igi

i(cid:16)1p £

. Khi đó K là nhóm con mở compact Ki Ugi và K 1 Ugi. Đặt K K 1 iq X

(cid:128) thỏa mãn f (cid:128) f g f gK q (cid:16) p q (cid:16) (cid:16) . q Kg p

và g G, ta định nghĩa: Cho f p C 8 c p G q P P

x f x G và x f , x G. λ p g p f qp qqp q (cid:16) g(cid:1)1x p , q @ P ρ p g p f qp qqp q (cid:16) xg p q @ P

Khi đó G và G là hai biểu diễn của nhóm G. qq qq

G là hai biểu diễn trơn của G. ρ, C 8 c p p và G λ, C 8 c p p Mệnh đề 5.2. ρ, C 8 c p qq qq p λ, C 8 c p p

G là một biểu diễn trơn, còn với G Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng qq qq ρ, C 8 c p p λ, C 8 c p p ta sẽ làm tương tự.

f f . Theo Bổ đề 5.1, tồn tại một x Ta có Stabλ g(cid:1)1x p G | q (cid:16) f p P g q (cid:16) t nhóm con mở compact K của G sao cho f P f G u x G. Lấy g x bất x p q @ Kx p q (cid:16) p , q @ P P

Stabλ f p f p q . Do đó q là một nhóm con mở. f kì, khi đó gK là một lân cận mở của g được chứa hoàn toàn trong Stabλ Stabλ p q

Định nghĩa 5.3. Một tích phân Haar phải trên G là một C-ánh xạ tuyến tính khác không I : C 8 C thỏa mãn các tính chất sau:

c (cid:209) f I p

1. I với mọi g G và f C 8 c . q ρ p g p f qp qq (cid:16) P P

2. I 0 nếu f 0. (Ở đây một số phức lớn hơn hoặc bằng 0 nếu nó là một số ¥ f p q ¥ thực không âm, và một hàm nhận giá trị phức sẽ lớn hơn hoặc bằng 0 nếu tất cả

các giá trị của nó là một số thực không âm).

Ta có định nghĩa tương tự cho tích phân Haar trái bằng việc thay λ bằng ρ.

Mệnh đề 5.4. Tích phân Haar phải trên G tồn tại và duy nhất (sai khác một bội số

thực dương).

thỏa (f K C 8 c p G q gồm các hàm bất biến dưới tác động của λ p P q Chứng minh. Lấy K là một nhóm con mở compact bất kì của G. Xét không gian con KC 8 c p G q mãn tính chất f với mọi x G và k f của C 8 G c p q k(cid:1)1x p x p P P q

qq q (cid:16) , nên nó là một biểu diễn con của G q p K). Không gian này là bất biến . TC với biểu diễn G (tương ứng của P ρ, C 8 G dưới tác động của ρ c p p tầm thường của G (tương ứng của K) trên C (hay tác động của g g P được định nghĩa bởi K) lên C là ánh xạ đồng nhất). Gọi 1 là ánh xạ tuyến tính từ C đến KC 8 c p G q

x x c.1K 1 p c p qqp q (cid:16) , q p

KC 8 c p p

x là hàm đặc trưng của X (nhận giá trị 1 nếu x X và nhận giá trị 0 q trong đó 1X nếu x p X). Với h bất kì, ta có h 1 . Xét ánh xạ HomG P HomK R , C G q q P C, C q p (cid:5) P tuyến tính

KC 8 c p p

C, C C; h h 1. ϕ : HomG HomK , C G q q (cid:209) p q (cid:20) (cid:222)(cid:209) (cid:5)

KC 8 c p

và hạn chế của f lên Với mọi f , supp G q f p q P là một hằng số. Điều này dẫn đến được phủ bởi hữu hạn Kg(cid:1)1 K g t G u z g 1Kg K P độc lập tuyến tính. Vậy 1Kg 1Kg P t | | G u z lập thành hệ sinh của KC 8 . G c p q G K u z g | P t

. G q Giả sử h 0. Do h nên ρ h ker p P g p h với mọi g (cid:16) q(cid:5) 0 với mọi P HomG P 1K h p q (cid:16) G. Do đó h g 1K q K Kg(cid:1)1 i Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra rằng là một cơ sở của KC 8 c p 1K , khi đó ta có h ϕ q (cid:16) p q g ρ G. Điều này dẫn đến h p p 0 (sử dụng 1Kg với g P (cid:16) , C KC 8 G c p q p q 1Kg 0, hay h q (cid:16) p G là một cơ sở của KC 8 c p z P q (cid:16) ). Vậy ϕ là G q một đơn cấu.

i ci1Kgig(cid:1)1

q (cid:16) g K C được định nghĩa bởi IK nên ta có f G u P x xg z | 0). Khi đó IK Xét ánh xạ tuyến tính IK : KC 8 G c p q (cid:209) là một cơ sở của KC 8 G c p q g i ci. Ta lại có ρ p f p q (cid:16) 1Kg 1. Do p i ci1Kgi (chỉ có hữu hạn . q x p f qp qp q (cid:16) q (cid:16) (cid:16) i ci1Kgip (cid:176) 1Kg t ci (cid:24) Do đó (cid:176) (cid:176) . IK ci IK ρ p g p f qp qq (cid:16) (cid:176) f p q (cid:16)

i ‚ . Ta có IK q

KC 8 c p p

1 nên 1K Điều này dẫn đến IK HomG , C G q p q (cid:16) P

ϕ c, IK IK c1K IK p c qp q (cid:16) 1 p c p qq (cid:16) p q (cid:16)

IdC một cơ sở của HomK IK hay ϕ p . Do đó ϕ là một toàn cấu. q q (cid:16) C, C p Kết hợp những điều vừa chứng minh, ta có ϕ là một đẳng cấu. Do đó

KC 8 c p

, C 1. dimC p q (cid:16)

KC 8 c p 1K p

n¥1 các nhóm con mở compact Kn của G sao 1 (ta luôn chọn được vì 1 có một cơ sở lân cận gồm các nhóm con mở

n Kn

0 thỏa mãn tính chất G q ta có một phần tử IK (cid:24) G q HomG p , C q 1. 0 nếu f Ngoài ra trong HomG IK p 0 và IK q ¥ f p q (cid:16) ¥ Chúng ta chọn một dãy giảm Kn t u cho

KnC 8 c p

n¥1 ⁄

(cid:16) compact). Khi đó ta có (cid:147) G C 8 c p q (cid:16) . G q

Kn C8

(cid:1)1.IKn. Khi đó ta có In(cid:0)1

c pGq (cid:16)

Với mỗi n 1, đặt In K1 Kn { (cid:16) | ¥ | | In. Cho n tiến ra vô cùng ta nhận được ánh xạ tuyến tính I thỏa mãn tính chất của tích phân Haar

phải.

Kn C8

KnC 8 tử của Hom c p p

Kn C8

KnC 8 c p q (cid:16) p Jn nên cn(cid:0)1.In(cid:0)1 c.I. Ngoài ra ta lại có J

c pGq là một phần C sao P cn.In. Điều này 0 nên 0 khi f

Kn C8 c pGq (cid:16) f q ¥ p 0. Hơn nữa J

J | (cid:16) 1, nên tồn tại cn , C G q Giả sử J là một tích phân Haar phải của G. Khi đó Jn : . Do dimC q , C G q cn.In. Ta lại có Jn(cid:0)1 | (cid:16) | c. Do đó J cn HomG p c pGq (cid:16) (cid:16) ¥ cho Jn kéo theo cn(cid:0)1 c.I (cid:16) 0 khi f (cid:16) 0. Điều này chỉ xảy ra khi c 0, do đó c 0. f p q ¥ ¥

f g(cid:1)1 G. (cid:24) bởi ˇf g p C 8 c p G q q (cid:16) P p ¡ , g q P P (với I là tích phân Haar phải) là một ¥ , ta định nghĩa ˇf G q f C; I C 8 Hệ quả 5.5. Cho f c p Khi đó phiếm hàm I 1 : C 8 G c p ˇf q p (cid:222)(cid:209) q (cid:209)

tích phân Haar trái trên G. Hơn thế nữa, bất kì tích phân Haar trái nào trên G cũng có dạng c.I 1 với c 0 nào đó.

¡ Chứng minh. Ta có

λ f g x(cid:1)1 f g(cid:1)1x(cid:1)1 f xg ρ g p q x p q (cid:16) λ p f qp qp q (cid:16) q (cid:16) ˇf xg p ˇf x p g p q (cid:16) q q

(cid:1)1 q . Điều này suy ra I 1 là một tích q

nên I 1 I f pp I 1 I I λ p g p q (cid:16) p ˇf q (cid:16) q q (cid:16) ˇf q (cid:16) p f p ρ p g p q (cid:16) f g λ (cid:127) q q p p phân Haar trái trên G. (cid:127) Làm tương tự, nếu J là một tích phân Haar trái trên G, thì f là một tích J ˇf q p (cid:222)(cid:209) phân Haar phải trên G. Áp dụng mệnh đề 5.4 ta thu được tính duy nhất của tích phân

Haar trái trên G.

Cho I là một tích phân Haar trái trên G. Cho S là một tập con mở, compact (cid:24) H của G và 1S là hàm đặc trưng của nó. Ta định nghĩa

I . µG 1S S p q q (cid:16) p

S g 0 và µG µG gS p S p q ¡ q (cid:16) , q @ P p Khi đó µG G. Ta gọi µG là độ đo Haar trái trên G. Theo tính chất của tích phân Haar trái ta có độ đo Haar trái tồn tại và duy nhất

sai khác một hằng số thực dương. Mối tương quan giữa tích phân Haar trái và độ đo

Haar trái được thể hiện qua kí hiệu cổ điển sau:

I f , f dµG f p q (cid:16) g p q g p q C 8 c p . G q P »G Để cho việc tính toán được ngắn gọn, ta chấp nhận cách viết tắt sau:

f f 1S dµG x p q x p q x p q (cid:16) x p dµG q x p . q

»S »G Theo Bổ đề 5.1, với G là một (cid:96)-nhóm và f

Kiqc

P 0 và f , Kn sao cho f C 8 , tồn tại các nhóm con mở G c p q Kilà hằng số fi. (cid:4) (cid:4) (cid:4) |p (cid:148) (cid:16) | compact K1, K2, Khi đó, ta có:

i(cid:16)1 ‚

i(cid:16)1 »Ki ‚

f g f g dµG fiµ fi g p dµG q p q (cid:16) g p q (cid:16) Ki p . q g p dµG q p q (cid:16) »Ki »G Tính chất cơ bản của độ đo Haar là các tập mở khác rỗng phải có độ đo dương

và các tập mở compact phải có độ đo hữu hạn. Đối với các (cid:96)-nhóm G, ta có thể định

nghĩa độ đo Haar trái một cách dễ dàng như sau. Cố định một nhóm con mở compact

1. Giả sử rằng K là một nhóm con mở compact khác của G. Khi K0 p q (cid:16) K K0 K1 p X K0. Đặt µG đó, do tính chất bất biến trái của µG, ta có µG g g p K K µG K0 p K K0 K0 P X {p . Điều này dẫn đến µG q qq (cid:16) | X q| K qq (cid:16) K0 X K0 X K K K X K K K với mọi q (cid:1)1 (ở đây do K0 chỉ có hữu hạn (cid:1)1. X K0 {p pp K là nhóm con mở của K0 nên K0 µG K0 q K0 K0 {p X q| q (cid:16) | q|| {p {p X X X q| p {p K0 K và với mọi nhóm con mở compact K của G, ta K0 q (cid:16) | , với mọi g q q (cid:16) K0 là nhóm compact, K0 phần tử). Do đó µG K p K µG gK Đặt µG P p p nhận được độ đo Haar trái trên G.

Ví dụ 5.6. • Nhóm (tương ứng (cid:0)q F(cid:2) p , p : S (cid:2)q S p Fp, p p (tương ứng µF(cid:2) (cid:222)(cid:209) | ) với mọi tập con S 1 q |{p (cid:1) (cid:128) Ta có µFp : S (tương ứng S S |{ (cid:222)(cid:209) | p ) là một độ đo Haar trái trên Fp (tương ứng trên F(cid:2) F(cid:2) ) với tôpô rời rạc là một (cid:96)-nhóm. Fp p ). (Ở đây (cid:128) S được hiểu là số lượng phần tử của tập S). | |

S G là một • Nhóm hữu hạn G với tôpô rời rạc là một (cid:96)-nhóm. Ta có µG : S (cid:222)(cid:209) | |{| độ đo Haar trái trên G.

k là một cơ sở lân cận của 0 gồm các nhóm con mở pkZp • Trên Qp, ta có P | 0 là một độ pkZp Qp và k 1 pk với mọi g (cid:0) q (cid:16) P ¥ N u t compact của Qp. Ta có µQpp g đo Haar trái trên Qp.

p ,ta có

Z(cid:2) • Trên Q(cid:2) k là một cơ sở lân cận của 1 gồm các nhóm (cid:0) t | 1 u được định nghĩa bởi pkZp 1 p u Y t ¥ con mở compact của Q(cid:2) p . Ta có µQ(cid:2)

p q (cid:16)

p và k

p u Y t

p , ta có

g gZ(cid:2) pkZp pk(cid:1)1 1 và µQ(cid:2) p p 1 p (cid:0) qq (cid:16) µQ(cid:2) p p 1 p p 1 q (cid:1) Q(cid:2) với mọi g 1 là một độ đo Haar trái trên Q(cid:2) p . P ¥ Z(cid:2) Nhận xét: Từ định nghĩa phía trên ta thấy với mọi S 1 k pkZp P t (cid:0) 1 u | ¥ Q(cid:2) và g P p gS g . p µQ(cid:2) p p q (cid:16) S µQpp 1 p q{| |q (cid:1) Chú ý 5.7. Nếu G là một nhóm giao hoán, thì độ đo Haar trái trên G cũng là độ đo

Haar phải trên nó. Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát thì điều đó không còn đúng

nữa.

Định nghĩa 5.8. Nhóm G được gọi là đơn modular nếu độ đo Haar trái trên G cũng

là độ đo Haar phải trên nó (tương đương với, tích phân Haar trái trên G cũng là tích

phân Haar phải trên nó).

G, ta xét ánh xạ Cho µG là một độ đo trái của G. Với g

(cid:0) sao cho

G P C, C 8 c p f . q (cid:209) f dµG xg p q x p q (cid:222)(cid:209) »G R(cid:2) Đây là một tích phân Haar trái trên G, do đó tồn tại duy nhất δG g p q P

f xg f x x δG g p q p dµG q x p q (cid:16) dµG q p , q p »G »G

C(cid:2); g là một với mọi f δG C 8 c p . Từ định nghĩa dễ thấy rằng, hàm δG : G G q (cid:209) g p q (cid:222)(cid:209) P đồng cấu nhóm. Hơn nữa, lấy f là hàm đặc trưng của một nhóm con mở compact K

của G, ta thấy rằng δG là tầm thường trên K và do đó là một biểu diễn trơn một chiều của G.

1 với mọi g G. Bổ đề 5.9. Nhóm G là một đơn modular khi và chỉ khi δG g p q (cid:16) P

Chúng ta gọi δG là đặc trưng modular của nhóm G.

Ví dụ 5.10. • Các nhóm và là các nhóm giao hoán, nên Fp, p Qp, p (cid:0)q Q(cid:2) p , p (cid:2)q , (cid:0)q cũng là các nhóm đơn modular.

là một nhóm không đơn • Nhóm con B các ma trận tam giác trên của GLr Qp p q modular. Đặc trưng modular của nó sẽ được tính trong mục sau (mệnh đề 6.6).

• Các nhóm hữu hạn là các nhóm đơn modular.

Cho G1, G2 là hai (cid:96)-nhóm. Đặt G G1 G2. (cid:16) (cid:2)

Bổ đề 5.11. Nhóm G là (cid:96)-nhóm với tôpô tích.

Chứng minh. 1. G hoàn toàn không liên thông: Do G1, G2 hoàn toàn không liên

thông nên theo Bổ đề 3.12, ta có G G1 G2 hoàn toàn không liên thông. (cid:16) (cid:2)

2. G compact địa phương: Lấy bất kì thuộc G (g1 G1, g2 g1, g2 G2 P P p q

(cid:2) . Vì G1 q compact địa phương nên tồn tại lân cận compact U1 của g1 trong G1, tương tự, U2 là lân cận compact tồn tại lân cận compact U2 của g2 trong G2. Khi đó U1 của trong G. g1, g2 p q

, ta định nghĩa ánh xạ f như sau: Cho f1 G1 , f2 G2 C 8 c p P q C 8 c p q P

C f : G G1 G2 (cid:16) (cid:209) f (cid:2) g1, g2 g1, g2 f1 p q (cid:222)(cid:209) p g1 p .f2 q g2 p . q q (cid:16)

1q (cid:16)

0 và K c

2q (cid:16)

0. Đặt K 0. Điều K2, ta có K là một tập con compact và f (cid:2) (cid:16) Do f1.f2 có giá compact nên tồn tại hai tập K1, K2 compact sao cho f1 p K c K c p p f f2 này dẫn đến supp p q q Lại có f1, f2 hằng số địa phương nên tồn tại lân cận U1, U2 sao cho f1 | | hằng số. Chọn U K1 q (cid:16) compact. f là một tập con đóng của tập compact K, nên supp p u1 và f2 U2 là U là hằng số. Kết U2, dễ thấy U là lân cận mở thỏa mãn f U1 | (cid:16) (cid:2) hợp những lập luận trên, ta có f C 8 c p . G q P Xét ánh xạ sau :

G1 G2 ψ : C 8 c p q (cid:2) q (cid:209) C 8 c p G q f. C 8 c p f1, f2 p q (cid:222)(cid:209)

Dễ thấy ψ là một ánh xạ song tuyến tính, theo tính phổ dụng của tích ten-xơ ta có

đồng cấu tuyến tính :

G1 G2 ψ1 : C 8 c p q b C 8 c p G q f. C 8 c p f1 q (cid:209) f2 (cid:222)(cid:209) b

• Với mọi f G và , tồn tại một nhóm con mở compact K, g1, g2, . . . , gn G q C 8 c p C sao cho f P j. Theo tính i gjK P (cid:16) , (cid:16) H (cid:24) X @

(cid:176)

(cid:2) (cid:128)

(cid:128) (cid:128)

m i(cid:16)1 ki

(cid:2) sao cho K K K1 K1 K2 {p (cid:2) (cid:16) (cid:2) P q q p P n i(cid:16)1 ci1giK và giK c1, c2, . . . , cn chất của tôpô tích, tồn tại tập U1 (mở trên G1) chứa phần tử đơn vị của G1 và U2 K. Do G1 và G2 đều (mở trên G2) chứa phần tử đơn vị của G2 sao cho U1 U2 U2. Khi U1 và K2 là các (cid:96)-nhóm, nên tồn tại một nhóm con mở compact K1 K2 là một nhóm con mở compact được chứa trong K. Do tính compact đó K1 của K nên tồn tại k1, k2, . . . , km . K2 Khi đó ta có (cid:151)

j(cid:16)1 ‚ khi đó ta có

1giK 1gikj pK1(cid:2)K2q. (cid:16)

i , g2 g1 i q

Giả sử gi và ki (cid:16) p

j K1.1g2

i k2

j K2.

i k1

i , k2 k1 i q (cid:16) p 1gikj pK1(cid:2)K2q (cid:16)

1g1

n i(cid:16)1

m j(cid:16)1 ci1g1

i k1

i k2

j K2q (cid:16)

Do đó ψ1 f . Vậy ψ1 là một toàn cấu. 1g2

j K1 b , ta có q

i(cid:16)1 ‚

• Xét (cid:176) f i 2 P p (cid:176) i(cid:16)1 f i 1 b ψ1 ker p n (cid:176) 0, (5.1) g1 g2 g1 G1, g2 G2. f i 1p .f i 2p q q (cid:16) @ P P

r i(cid:16)1 ci1g1

i(cid:16)1 f i

i K1 b

1 b

luôn tìm được một nhóm con mở compact K sao cho f (cid:16) 1g2 Do với một hàm f hằng số địa phương và có giá compact trên một (cid:96)-nhóm, ta i ci1giK với hữu hạn i K2 và phương trình hàm (5.1) có (cid:176) f i 2 (cid:16) K, nên G { P gi thể viết dưới dạng (cid:176)

i K1p

i K2p

i(cid:16)1 ‚

(cid:13) là các nhóm con mở compact tương ứng

i K i

i K1

0, g1 g2 (cid:176) ci1g1 1g2 q q (cid:16)

(cid:13) với K i (cid:13)) tương ứng là nhóm con mở compact của G1 và G2; g1 g2 j. Lấy g1 j K2

i(cid:16)1 f i

1 b

g1 j K1 (cid:147) với mọi i trong đó K1, K2 (lấy K(cid:13) (cid:16) của hàm f i và g2 i K2 gi 1K1 và g2 X (cid:16) H P P (cid:16) H X gi 2K2, ta có vế trái của 0 với mọi i. (cid:16) (cid:24) đẳng thức trên bằng ci. Do đó phương trình hàm (5.1) kéo theo ci Điều này dẫn đến 0. Vậy ψ1 là một đơn cấu. f i 2 (cid:16) ψ1 0, hay ker p q (cid:16)

(cid:176) Kết hợp những lập luận phía trên, chúng ta nhận được mệnh đề sau:

Mệnh đề 5.12. Ta có một đẳng cấu giữa hai không gian véc tơ

. G1 G2 C 8 c p q b C 8 c p q (cid:20) C 8 c p G q

G1 G2 Mệnh đề 5.13. Sử dụng đẳng cấu trên, ta đồng nhất C 8 c p với C 8 c p C 8 c p G q q b

. q Giả sử µ1, µ2 lần lượt là các độ đo Haar trái trên G1 và G2. Khi đó tồn tại duy nhất một độ đo Haar trái µG trên G sao cho

. f1 f2 f1 g1 g1 f2 dµ2 g qp dµG q g p b q (cid:16) p dµ1 q p q g2 p q g2 p . q »G1 »G2 »Gp

Chúng ta viết là µG µ1 µ2. (cid:16)

Chứng minh. Với f bất kì, cố định g1 G1, ta có f G2 b G q C 8 c p P P g1, g2 p q P C 8 c p . Ta xét q hàm số

f . f 1 dµ2 g1 g1, g2 p q g2 p q p q (cid:16)

Hàm này là một phần tử của C 8 c p »G2 . q G G1 C thỏa mãn Xét ánh xạ I : C 8 c p q (cid:209)

I f 1 g1 f p q (cid:16) g1 p dµ1 q p . q »G1

Đây là một tích phân Haar trái trên G. Gọi µG là độ đo tương ứng của nó.

Nếu f có dạng f1 f2, từ định nghĩa của µG, ta dễ dàng thấy được

. f1 g1 dµ1 f2 b f2 f1 b g qp dµG q g p q (cid:16) p q g1 p q g2 p dµ2 q g2 p . q »G1 »Gp »G2

6 Một vài tính chất của nhóm GLr

Trong mục này chúng ta sẽ nhắc lại một vài tính chất quan trọng của nhóm G :

(cid:16) GLr mà chúng ta sẽ sử dụng trong luận văn. Để mở đầu chúng ta sẽ giới thiệu một vài nhóm con của nhóm GLr liên quan đến bài viết. Chúng ta tập trung vào những cách phân tích của GLr tương ứng với những nhóm con đó.

Ta kí hiệu B là nhóm con Borel của GLr chứa các ma trận tam giác trên, T là nhóm con chứa các ma trận đường chéo và N là nhóm con lũy đơn chứa các ma trận

tam giác trên và có phần tử nằm trên đường chéo là 1. Chú ý rằng T chuẩn hóa N (hay nói cách khác ta có tnt(cid:1)1 T ), N là nhóm con chuẩn tắc N với mọi n N và t P P P của B và B là tích nửa trực tiếp của T và N .

là nhóm chuẩn hóa của xuyến T Ta kí hiệu W nhóm NG T trong đó NG T p q{ T p q trong G. Nhóm này được gọi là nhóm Weyl của G. Dễ dàng chứng minh rằng W gồm

các ma trận mà mỗi hàng và mỗi cột chỉ có duy nhất một vị trí khác 0 và vị trí đó

nhận giá trị 1.

Định lý 6.1 (Phân tích Bruhat). Cho F là một trường bất kì, khi đó ta có phân tích

sau đây:

wPW §

F BwB GLr p q (cid:16)

Chứng minh. Việc viết một ma trận thành tích của một ma trận tam giác trên, một

phần tử thuộc nhóm Weyl và một ma trận tam giác trên chỉ thuần túy sử dụng các

phép toán của phép khử Gauss đối với hàng và cột của ma trận. Đây là một việc khá

dễ dàng, tuy nhiên chứng minh rằng các hợp là hợp rời là không hiển nhiên và cần

nhiều công việc hơn. Để tránh việc phải giới thiệu các công cụ mới chúng ta sẽ bỏ qua

chứng minh điều này trong trường hợp tổng quát. Ở đây ta chỉ đưa ra một chứng minh

cho trường hợp đặc biệt với r 2 (cũng là đối tượng chính của luận văn). Ta có: (cid:16)

W Id2 , w0 (cid:16) # (cid:16) (cid:3) 1 0 0 1 (cid:11) (cid:16) (cid:3) 0 1 1 0 (cid:11)+

. B Khi đó ta sẽ chứng minh GL2 Bw0B. Lấy g GL2 F p q F p q (cid:16) a b c d (cid:11) P (cid:16) (cid:3) (cid:151) B. Nếu c 0, ta có (cid:16) (cid:13) a b 0 d (cid:11) P (cid:3) Nếu c 0, ta có: (cid:24) (cid:13)

c (cid:11)(cid:11)

c 0 bc(cid:1)ad a b c d (cid:11) (cid:16) (cid:3) 0 1 1 0 (cid:11) (cid:3) c d a b (cid:11) (cid:16) (cid:3) 0 1 1 0 (cid:11) (cid:3)(cid:3) (cid:3)

c (cid:11)

c 0 bc(cid:1)ad 0 1 1 0 (cid:11) (cid:3) 1 0 a c 1 (cid:11) (cid:3) 1 0 a c 1 (cid:11)(cid:11) (cid:3)

c (cid:11)

c 0 bc(cid:1)ad (cid:16) (cid:3)

Bw0B c 0 bc(cid:1)ad (cid:16) (cid:3) 0 1 1 0 (cid:11) (cid:3) (cid:16) (cid:3)(cid:3) a c 1 1 0 (cid:11) (cid:3) 1 a c 0 1 (cid:11) (cid:3) d c (cid:11) P

B Như vậy GL2 F p Bw0B. q (cid:16) Ta lại có xét một phần tử g Bw0B, khi đó (cid:148)

b1 bb1 g ba1 da1 (cid:16) (cid:3) a b 0 d(cid:11) (cid:3) P 0 1 1 0(cid:11) (cid:3) a1 0 d1(cid:11) (cid:16) (cid:3) ad1 (cid:0) db1 (cid:11)

với a, d, a1, d1 0. Điều này dẫn đến g B, hay B Bw0B (cid:24) . (cid:16) H R

(cid:148)

Cho F là một trường địa phương. Kí hiệu O vành định giá nguyên của F . Đặt

K0 GLr O p . Chọn (cid:36) là một phần tử đơn trị hóa của O. q (cid:16)

Định lý 6.2 (Phân tích Iwasawa). Ta có phân tích sau:

GLr K0.B B.K0. F p q (cid:16) (cid:16)

Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo cỡ của ma trận.

• Với r 1, bài toán là tầm thường. (cid:16)

• Với r 2, xét g . GL2 (cid:16) F p q a b c d (cid:11) P (cid:16) (cid:3)

- Nếu c 0, ta có: . K0.B (cid:16) a b 0 d (cid:11) (cid:16) (cid:3) 1 0 0 1 (cid:11) (cid:3) a b 0 d (cid:11) P (cid:3)

a c 1 1 0 (cid:11)

c (cid:11)

d - Nếu c 0, ta có: . (cid:24) c 0 bc(cid:1)ad a b c d (cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:3) (cid:3)

O + Nếu K0.B a c P a b c d (cid:11) P æ (cid:3)

(cid:36)N + Nếu . O, chọn được N 0 sao cho (cid:36)N O. Đặt t a c ¡ P (cid:36)N 1 1 1 (cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:0) a c R Khi đó t K0 và ta có:

c (cid:36)N

a c 1 1 0 (cid:11) (cid:16) (cid:3)

c (cid:36)N

P (cid:36)N 1 (cid:36)N . . (cid:36)N 1 (cid:36)N (cid:3) 1 1 1 (cid:11) (cid:3) 1 (cid:11) (cid:0) (cid:0) a c (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ta có

c (cid:36)N

a c (cid:36)N

c (cid:36)N

1 1 (cid:36)N 1 1 .x B (cid:12) (cid:0) a c (cid:0) với x p P q 1 (cid:36)N (cid:3) (cid:0) 1 0 (cid:0) a c (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:11) (cid:16) (cid:4) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:13) Từ 1. (cid:36)N O suy ra (cid:36)N 1 (cid:36)N 1 (cid:36)N , a c a c (cid:16) P æ (cid:0) ⁄ 1 | |

c (cid:36)N

a c (cid:36)N (cid:0) Khi đó

(cid:1)1

Lại có 1 , nên 1 1 (cid:7) (cid:7) . Suy ra (cid:7) a c a c 1 æ ) ⁄ a max c a c (cid:36)N !(cid:7) (cid:7) (cid:7) a c (cid:36)N 1 (cid:7) (cid:7) (cid:0) (cid:7) a c (cid:0) (cid:36)N ⁄ (cid:7) a (cid:7) (cid:7) c (cid:0) (cid:0) a c (cid:36)N O (cid:0) K0B. (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) 1 P (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) 1 (cid:36)N a c (cid:7) a c (cid:36)N (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) æ (cid:3) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) 1 (cid:11) P (cid:160) (cid:7) 1 (cid:7) (cid:7) (cid:0) a c (cid:0) (cid:7) (cid:7) (cid:7) ⁄ (cid:7) 1 (cid:7) (cid:0) a c (cid:0) (cid:0) (cid:0)

c (cid:36)N

a c 1 1 0 (cid:11) (cid:16) (cid:3)

c (cid:36)N

(cid:36)N 1 (cid:36)N . K0B. (cid:36)N 1 (cid:36)N (cid:3) 1 1 1 (cid:11) (cid:3) 1 (cid:11) P (cid:0) (cid:0) a c (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ta làm tương tự cho trường hợp BK0 (chú ý là đối với cách phân tích trên, ta sử dụng khử Gauss theo hàng, còn với K0B ta sẽ khử Gauss theo cột).

• Giả sử định lý đúng đến r 1 (với r 3), ta sẽ chứng minh định lý đúng với r.

biến ma trận A thành ¥ GLr GLr(cid:1)1 F p q F p q (cid:209) q

ma trận ta đồng nhất ma trận có dạng F p P với ma trận A. Khi (cid:1) Bằng phép nhúng i : GLr(cid:1)1 1 0 0 A (cid:11) (cid:3) 1 0 0 A (cid:11) (cid:3) đó áp dụng giả thiết quy nạp ta có

K0B. 1 0 0 A (cid:11) P (cid:3)

Ta lại có:

. , a11 a12 . . . a1r 0 A a11 a12 . . . a1r 0 Ir(cid:1)1 (cid:3) 1 0 0 A (cid:11) (cid:3) (cid:11) (cid:11) (cid:16) (cid:3)

1, nên K0B. với Ir(cid:1)1 là ma trận đơn vị cỡ r (cid:1) a11 a12 . . . a1r 0 A (cid:3) (cid:11) P

(với i j) ma trận vuông cỡ r có các phần tử nằm trên đường λ q p (cid:24) Kí hiệu Ei,j chéo chính là 1, phần tử nằm ở vị trí nhận giá trị λ và các vị trí khác nhận i, j p q giá trị 0.

(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) bất kì. Do g là ma trận khả nghịch Xét g GLr F p q P (cid:16) (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . .

a11 a12 a21 a22 ... ... ar1 ar2 a1r a2r ... arr (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13)

nên ta trong các phần tử ai1 luôn tồn tại ít nhất một phần tử khác 0. Bằng cách đổi chỗ các hàng của g ta có thể nhận được một ma trận mới g1 sao cho vị trí

được từ ma trận đơn vị bằng cách đổi chỗ hai hàng i và j (là một ma trận thuộc

kg1 với k K0). Do đó g K0. Ta lại có: P (cid:16)

(cid:1)1

i(cid:16)2 (cid:2) „

a1r (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) . g1 Ei,1 (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . (cid:6) ... (cid:6) ... (cid:11) (cid:16) (cid:3) ai1 (cid:1) a11 (cid:10)(cid:10) (cid:2) a11 a12 0 ... 0 (cid:6) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) 46

(cid:1)1

(cid:1)ai1 a11

Mặt khác do nên a11 ai1 Ei,1 K0. | | ¥ | | P (cid:9)(cid:9) (cid:1) (cid:1)

Định lý 6.3 (Phân tích Cartan). Ta có phân tích sau:

m1⁄m2⁄(cid:4)(cid:4)(cid:4)⁄mr,miPZ §

0 0 (cid:36)m1 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) K0. GLr K0 F p q (cid:16) (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . .

0 (cid:36)m2 ... ... 0 0 0 ... (cid:36)mr (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp.

m1PZ §

(cid:36)m1O(cid:2) • Với r 1, ta chứng minh F O(cid:2)(cid:36)m1O(cid:2) (cid:16) (cid:16) (cid:16)

Với x F bất kì, ta có: P

x aN aN (cid:0)1(cid:36)N (cid:0)1 (cid:0) (cid:16) (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) p 0 q (cid:24) aN (cid:36)N (cid:36)N aN (cid:0)1(cid:36) aN p (cid:0) (cid:16) (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) q

O(cid:2) hay x (cid:36)N O(cid:2). Do aN 0 nên aN aN (cid:0)1(cid:36) (cid:24) (cid:0) (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) P P

m1⁄m2,miPZ §

(cid:36)m1 • Với r K0 K0 2 ta chứng minh GL2 (cid:16) F p q (cid:16) (cid:3) 0 0 (cid:36)m2 (cid:11)

Lấy x GL2 F p . Việc đổi chỗ các hàng và các cột của một ma trận q a b c d (cid:11) P (cid:16) (cid:3) tương ứng với việc ta sẽ nhân vào bên trái hoăc bên phải của ma trận đó một ma

trận biến đổi hàng hay cột (là các ma trận thuộc K0) do đó bằng cách đổi chỗ . các hàng và các cột, không mất tổng quát, ta giả sử max a a d c b , , , t| | | | | | Do x là ma trận khả nghịch nên a 0 (ngược lại dó |u | | (cid:16) là lớn nhất nên điều này | a (cid:24) | | dẫn đến a b c d 0, và x lúc này là ma trận 0). Ta có phân tích sau: (cid:16) (cid:16) (cid:16) (cid:16)

a (cid:11) (cid:3)

0 . a 0 ad(cid:1)bc 1 b a 0 1 (cid:11) a b c d (cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:3) 1 0 c a 1 (cid:11) (cid:3)

1, do đó và – Do a max a , b , c , d nên , b a c a ⁄ | | (cid:16) t| | | | | |u (cid:3) (cid:3) 1 b a 0 1 (cid:11) 1 0 c a 1 (cid:11) | | là hai phần tử thuộc K0. (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7)

ab bc – Từ chứng minh định lý với r 1, ta thấy a, F có thể viết dưới (cid:1) a (cid:16) P ad bc O(cid:2)). Điều này cho dạng a (cid:36)m1.a1 và (cid:36)m2.b1 (trong đó a1, b1 (cid:1) a P (cid:16) (cid:16) phép ta viết

(cid:36)m1 , a 0 ad(cid:1)bc (cid:3) 0 0 (cid:36)m2 (cid:11) (cid:3) a1 0 0 b1 (cid:11) 0 a (cid:11) (cid:16) (cid:3)

ad bc max a d , c b a với K0. Ta lại có | (cid:1) | ⁄ . | | | . | | | t| |u ⁄ | | æ (cid:3) ad a1 0 0 b1 (cid:11) P bc a . Điều này dẫn đến m1 m2. (cid:1) a ⁄ | | ⁄

m1⁄m2,miPZ ⁄

(cid:36)m1 (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) K0. (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) Ta vừa chứng minh rằng GL2 K0 F p q (cid:16) 0 0 (cid:36)m2 (cid:11)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng m1 thì m1, m2 p q (cid:24) p (cid:3) 1, m1 2q

2 (cid:11)

(cid:36)m1 (cid:36)m1 K0 K0 K0 K0 . (cid:16) H X 0 0 (cid:36)m1 (cid:3) 0 0 (cid:36)m2 (cid:11) (cid:3)

Giả sử phản chứng giao của hai tập hợp trên là khác rỗng. Khi đó tồn tại một

1(cid:0)m1 2

2 (cid:11)

2 (cid:160) 0 0 (cid:36)m2 (cid:11) a1 b1 c1 d1 (cid:11)

1 với mọi k0 k0 det p | x det p q| (cid:16) (cid:36)m1 m1 m2 | (cid:0) (cid:16) | p K0, nên m1 2. Do m1 q| (cid:16) . Điều này kéo theo m1 | (cid:16) | nên không mất tổng quát ta có thể giả sử m1 | m1, m2 q (cid:24) 1. Khi đó ta có P 1 (cid:0) (cid:160) m1 m2. phần tử x thuộc vào giao trên. Do (cid:36)m1(cid:0)m2 1, m1 m1 2q p m1 m1 1 ⁄ (cid:160) (cid:36)m1 (cid:36)m1 hay tồn tại y K0 Do K0 K0 K0 (cid:24) H 0 0 (cid:36)m1 a b c d (cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:147) và y1 là hai phần tử thuộc vào K0 thỏa mãn tính chất (cid:16) (cid:3)

2 (cid:11)

(cid:36)m1 0 (cid:36)m1 y y1 0 0 (cid:36)m1 (cid:3) 0 (cid:36)m2 (cid:11) (cid:16) (cid:3)

hay

2 (cid:11)

. a1(cid:36)m1 c1(cid:36)m1 b1(cid:36)m1 2 d1(cid:36)m1 b(cid:36)m2 a(cid:36)m1 c(cid:36)m1 d(cid:36)m2 (cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:3)

Do x ad bc max ad , bc và a , b , c , d 1. Điều này dẫn P t| | |u | | | | | | | | ⁄ đến hoặc K0 nên 1 (cid:16) | d a (cid:1) 1 hoặc | ⁄ b | 1. | | (cid:16) | | (cid:16) c | (cid:16) | | | (cid:16)

– Nếu a d 1 ta có: a(cid:36)m1 (cid:36)m1 (cid:36)m1 a1(cid:36)m1 (mâu thuẫn). | | (cid:16) | (cid:16) | | ¡ | | ¥ | (cid:36)m1 c1(cid:36)m1 | (mâu thuẫn). (cid:36)m1 – Nếu b 1 ta có: | c(cid:36)m1 | | ¥ | | (cid:16) | | | (cid:16) | c | (cid:16) | | (cid:16) |

(cid:36)m1 F K0 Như vậy GL2 K0 p q (cid:16) | ¡ | 0 0 (cid:36)m2 (cid:11) (cid:3)

m1⁄m2,miPZ § • Giả sử định lý đúng đến k

1 (với r 3), ta sẽ chứng minh nó đúng đến r (cid:16) (cid:1) ¥ k r, tức là: (cid:16)

m1⁄m2⁄(cid:4)(cid:4)(cid:4)⁄mr,miPZ §

0 0 (cid:36)m1 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) (cid:4) K0 GLr K0 F p q (cid:16) (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . .

0 (cid:36)m2 ... ... 0 0 0 ... (cid:36)mr

j(cid:16)1,r i(cid:16)1,r P q

(cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) Xét x F (cid:4) (cid:4) (cid:4) 2, bằng cách đổi chỗ các aij GLr (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) . Cũng giống trường hợp r q (cid:16) p p hàng các cột, không mất tổng quát, ta giả sử rằng max (cid:16) a11 | | aij | (cid:16) j, ta kí hiệu | 0. Với mọi i α p (cid:24) (cid:24) Do x là ma trận khả nghịch nên a11 trận cỡ r i, j 1, r . (cid:16) qi,j là ma ( r có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, phần tử ở vị trí hàng (cid:2) i, cột j là α và các phần tử ở vị trí khác bằng 0. Ta có phân tích:

(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) (cid:4)

(cid:16) (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . a11 0 0 B (cid:11)(cid:4) a21 a11 (cid:10)2,1 (cid:4) (cid:4) (cid:4) ar1 a11 (cid:10)r,1(cid:4)(cid:3) a12 a11 (cid:10)1,2 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:2) ar1 a11 (cid:10)1,r (cid:2) (cid:2) (cid:2) a11 a12 a21 a22 ... ... ar1 ar2 a1r a2r ... arr aij.a11 ai1.a1j (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) ở đó B . bij với bij (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) GLr(cid:1)1 (cid:1) a11 (cid:4) (cid:4) (cid:4) j(cid:16)2,r i(cid:16)2,r P q (cid:16) p F p q (cid:16)

– Do max nên j. 1 a11 aij K0 với mọi i | | (cid:16) t| |u æ (cid:24) ⁄ aij a11 (cid:10)i,j P (cid:2) – Theo giả thiết quy nạp ta có (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) aij a11 (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:36)m2 0 0 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) B k0 k1 0 (cid:16) (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . .

0(cid:11)

0 (cid:36)m3 ... ... 0 0 0 ... (cid:36)mr (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) 1 ta nhận mr và k0, k1 GLr(cid:1)1 ⁄ (cid:4) (cid:4) (cid:4) ⁄ . Sử dụng trường hợp r q O p (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) 0 P (cid:16) O. Từ đó ta nhận được phân tích sau: (cid:36)m1a1 với a1 với m2 được a11 P 0 (cid:36)m1 . 0 diag 1 0 0 k1 (cid:16) a11 0 0 B(cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:3) 1 0 0 k0(cid:11) (cid:3) a1 0 0 1(cid:11) (cid:3) (cid:36)m2, . . . , (cid:36)mr p (cid:11) (cid:3) q

Trong đó 1 là ma trận đơn vị cỡ r 1, diag (cid:36)m2, . . . , (cid:36)mr là ma trận đường (cid:1) p q chéo.

max và Hơn nữa ta còn có bij (cid:36)m2 |

t| max , aij.a11 | (cid:16) ai1.a1j . (cid:36)m1 bij a11 t| ai1.a1j | |u (cid:1) a11 |u aij.a11 | a11 | | (cid:16) | ⁄ | | (cid:16) | ⁄

(cid:7) (cid:7) (cid:7) Điều này dẫn đến m1 (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) m2. (cid:7) ⁄

Như vậy:

m1⁄m2⁄(cid:4)(cid:4)(cid:4)⁄mr,miPZ ⁄

(cid:36)m1 0 0 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) (cid:4) K0. K0 GLr F p q (cid:16) (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . .

0 (cid:36)m2 ... ... 0 0 0 ... (cid:36)mr (cid:4) (cid:4) (cid:4)

1, m1

thì m1 Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) 2, . . . , m1 rq (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) m1, m2, . . . , mr p q (cid:24) p

0 (cid:36)m1 (cid:36)m1 0 0 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) (cid:4) (cid:12) (cid:4) K0 K0 K0 K0 . (cid:16) H (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . £ 0 0 (cid:36)m1 ... ... 0 0 0 ... (cid:36)m1 0 (cid:36)m2 ... ... 0 0 0 ... (cid:36)mr (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) Giả sử phản chứng giao của hai tập hợp trên khác rỗng. Tương tự như trường

i. Hơn nữa, tồn tại hai ma trận A

i(cid:16)1 ‚

hợp r 2 ta phải có m1 , B mi xij (cid:16) (cid:16) p q (cid:16)

(cid:16) K0 sao cho: x1 ijq P p

(cid:36)m1 0 0 (cid:36)m1 0 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) (cid:4) (cid:12) A B (cid:4) (cid:16) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . .

0 (cid:36)m2 ... ... 0 0 0 ... (cid:36)mr 0 0 (cid:36)m1 ... ... 0 0 0 ... (cid:36)m1 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) hay

r x1

(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) (cid:4) (cid:12) x11(cid:36)m1 x12(cid:36)m2 x21(cid:36)m1 x22(cid:36)m2 . (cid:16) (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . ... ...

11(cid:36)m1 x1 21(cid:36)m1 x1 ... r1(cid:36)m1 x1

1 x121(cid:36)m1 22(cid:36)m1 2 x1 ... r2(cid:36)m1

1r(cid:36)m1 x1 2r(cid:36)m1 x1 ... rr(cid:36)m1 x1

xr1(cid:36)m1 xr2(cid:36)m2 x1r(cid:36)mr x2r(cid:36)mr ... xrr(cid:36)mr (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13)

(cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) 50

1, m1

2, . . . , m1 rq

m1 Do , nên tồn tại i0 là chỉ số nhỏ nhất sao

i). Không mất tính

i(cid:16)1 ‚

r thì m1 m1 r (vì nếu i0 mi q (cid:24) p i0. Ta có i0 (cid:160) (cid:16) (cid:24)

i0.

m1, m2, . . . , mr p cho mi0 (cid:24) tổng quát ta có thể giả sử mi0 (cid:160) Do A 1 và 1 với mọi i, j. K0 ta có xij xσpiqi A det p | q| (cid:16) | P | | ⁄

Điều này suy ra tồn tại σ | (cid:16) i 1 1, r. σ sign p σPSr ‚ Sr sao cho q i(cid:16)1 „ xσpiqi P | | (cid:16) @ (cid:16)

σpi0q

– Nếu σ i0 khi đó ta có i0 p

σpi0qi0(cid:36)m1 x1

(cid:36)mi0 (cid:36)m1 i0 (cid:36)m1 q ¥ xσpi0qi0(cid:36)mi0 | | (cid:16) | | ¡ | |

σpi0qi0

σpi1q

i1 (cid:16) (cid:36)m1

| ¥ | x1 | ¥ | σpi0q). (cid:36)m1 (mâu thuẫn với điều kiện xσpi0qi0(cid:36)mi0 (cid:16) – Nếu σ i0. i0 p q (cid:160) q ¥ Do tính chất nhỏ nhất của i0 nên ta có m1 i1 p i0. Ta có

(cid:36)m1 i0 (cid:36)mi1 xσpi1qi1(cid:36)mi1 i0 sao cho σ i0, do σ là một song ánh, nên tồn tại i1 (cid:160) m1 mi1 ⁄ mi0 (cid:160) σpi1qi1(cid:36)m1 x1 | | (cid:16) | | ¡ | |

σpi1qi1

| ¥ | x1 | ¥ | σpi1q). (cid:36)m1 (mâu thuẫn với điều kiện xσpi1qi1(cid:36)mi1 (cid:16)

Như vậy,

(cid:36)m1 0 0 (cid:36)m1 0 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) (cid:4) (cid:12) K0 K0 K0 K0 . (cid:16) H (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . £ 0 (cid:36)m2 ... ... 0 0 0 ... (cid:36)mr 0 0 (cid:36)m1 ... ... 0 0 0 ... (cid:36)m1 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13)

F và Bây giờ chúng ta sẽ bàn luận đến các độ đo Haar được gắn vào nhóm GLr p q các nhóm con của nó.

Nhóm các ma trận vuông M Mr F p (cid:16) là (như một nhóm cộng tính) tích của r2 q bản copy của F và độ đo Haar của nó nhận được bằng cách lấy tích (ten xơ) của r2

bản copy của độ đo Haar trên F .

Mệnh đề 6.4. Cho µ là một độ đo Haar trên M . Với φ , hàm số

(cid:1)r (suy biến trên M

x x GLr φ p q| x det p q| (cid:222)(cid:209) (cid:1) C 8 GLr F c p qq p . Khi đó M q

φ F p (cid:1)rdµ GLr (cid:222)(cid:209) x φ p q| x det p q| x p P ) nằm trong C 8 c p q F p C 8 c p , φ q P qq »M F là một nhóm F p . Đặc biệt, ta có GLr q p q là một tích phân Haar trái và phải trên GLr đơn modular.

Chứng minh. Lấy g và xét hai ánh xạ GLr F p q P

M . φ và φ C 8 c p q (cid:222)(cid:209) dµ gx φ q p x p q (cid:222)(cid:209) xg φ p dµ q x p , φ q P »M

»M Cả hai đều là tích phân Haar trên M , nên chúng sai khác với tích phân Haar tương

ứng với độ đo µ một hằng số dương (phụ thuộc vào g). Để tính toán giá trị của các

hằng số này, ta lấy φ là hàm đặc trưng của m O p q M ). Đối với ánh xạ đầu tiên, hàm số x Mr làm hàm đặc trưng của m1 (nhóm con compact mở của g(cid:1)1m. (cid:16) gx q φ p (cid:222)(cid:209) (cid:16) Do đó

m m1 m1 µ µ m1 : m m : m . φ p dµ gx q x p q (cid:16) m1 p q (cid:16) p qp X q{p q X »M m1 Ở đây được hiểu là chỉ số của nhóm con m m1 trong nhóm m1. Thương m1 : m p X q X GLr O p . Do đó ta chỉ q (cid:16) của hai chỉ số này là hằng số trên một lớp kề K0gK0 với K0 cần tính cho g có dạng

(cid:36)m1 0 0 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12)

(cid:4) (cid:4) (cid:4) . . .

(cid:1)r

0 (cid:36)m2 ... ... 0 0 0 ... (cid:36)mr (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) trong phân tích Cartan ở trên, ta nhận được:

x dµ gx φ q p x p q (cid:16) | g det p q| φ p dµ q x p . q »M »M

(cid:1)r

Làm tương tự cho tích phân thứ hai, ta cũng nhận được:

x xg φ p dµ q x p q (cid:16) | g det p q| φ p dµ q x p . q »M »M

(cid:1)r

Ta có:

(cid:1)rdµ

»M x det p q| x φ p q| x p q (cid:16) »M

(cid:1)r

và

(cid:1)rdµ

»M Điều này dẫn đến điều phải chứng minh.

Nhóm T các ma trận đường chéo là (như một nhóm nhân) tích của r bản copy của

và độ đo Haar của nó nhận được bằng cách lấy tích (ten xơ) của r bản GL1 F p (cid:20) q F (cid:2) copy của độ đo Haar của F (cid:2).

Mệnh đề 6.5. Hàm

1⁄i(cid:160)j⁄r „

(cid:4) (cid:4) (cid:4) 1 x12 1 (cid:4) (cid:12) φ φ ; φ Nr dµF C 8 c p F p qq xij p q P (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . (cid:222)(cid:209) »F (cid:4) (cid:4) (cid:4)»F x1r x2r ... 1

(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) là một nhóm (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) F p . Đặc biệt, ta có Nr q F p q là một tích phân Haar trái và phải trên Nr đơn modular.

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo r.

• Với r với F , độ đo Haar trên N cũng là độ đo Haar 2, ta đồng nhất N2 F p q (cid:16) trên F .

x1r

• Giả sử mệnh đề đúng đến r 1 (với r 3). Ta sẽ chứng minh rằng nó cũng đúng ¥

r(cid:1)1 i(cid:16)1 dµF

là độ , x , dµ với r. Kí hiệu r1 (cid:12) xir p q (cid:16) (cid:16) (cid:16) (cid:4) (cid:1) 1 x12 (cid:4)(cid:4)(cid:4) x1pr(cid:1)1q (cid:4)(cid:4)(cid:4) x2pr(cid:1)1q ... ... (cid:2) –

F r(cid:1)1 ϕ p

... xpr(cid:1)1qr (cid:10) F p . Theo giả thiết quy nạp q đo Haar trên F r(cid:1)1 và dr1 là độ đo Haar trên Nr(cid:1)1 chúng ta có dr1 (cid:13) xij (cid:5) 1⁄i(cid:160)j⁄r(cid:1)1 dµF . q p F r(cid:1)1 dx với mọi ϕ r1x (cid:16) GLr(cid:1)1 C 8 c p q P q P F – p , xét ánh xạ ϕ q (cid:222)(cid:209)

là Với mọi g tích phân Haar trên F r(cid:1)1, nên nó sai khác với tích phân Haar tương ứng với độ ‡ đo dµ một hằng số dương (phụ thuộc vào g). Để tính hằng số này ta xét ϕ là g(cid:1)1Or(cid:1)1. là hàm đặc trưng của m1 hàm đặc trưng của m Or(cid:1)1. Khi đó ϕ (cid:16) gx q p (cid:16) Do đó

m1 m1 x ϕ µ m : m µ m1 : m dµ p gx q p q (cid:16) m1 p q (cid:16) q{p . q X qp X »M

r(cid:1)1

m p Phân tích r1 theo phân tích Cartan (ý tưởng giống hệt trong chứng minh của mệnh đề phía trên), ta nhận được

ϕ x x p dµ q x p q gx ϕ q p dµ p q (cid:16) | g det p q| »M »M Ta có:

1 x1 r1

r1 x φ dr1dx (cid:3) 1 (cid:11) (cid:3) 1(cid:11)

»Nr(cid:1)1pF q »F r(cid:1)1

1r1 r1 r1

φ dr1 dx(cid:12) (cid:3) x1 (cid:0) 1 (cid:11) (cid:16) »Nr(cid:1)1pF q

1r1 r1 r1

(cid:4) »F r(cid:1)1 (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:13)

1x 1 (cid:11)

φ dr1 dx(cid:12) (cid:3) (cid:16) »Nr(cid:1)1pF q

r(cid:1)1

(cid:4) »F r(cid:1)1 (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:13) 1r1 x1 r1 φ dr1 dx(cid:12) r1 det p q| 1 (cid:11) (cid:3)

»F r(cid:1)1

(cid:16) »Nr(cid:1)1pF q

(cid:4) | (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:13) r1 x φ dr1 dx(cid:12) (cid:3) 1(cid:11) (cid:16) »Nr(cid:1)1pF q

1r1 r1 r1

(cid:4) »F r(cid:1)1 (cid:6) (cid:5)

φ dr1dx. (cid:3) (cid:14) (cid:13) x1 (cid:0) 1 (cid:11) (cid:16) »Nr(cid:1)1pF q »F r(cid:1)1

Đây chính là điều chúng ta muốn chứng minh.

Ta có nhóm Borel B là tích nửa trực tiếp T N ; ta định nghĩa hàm tuyến tính trên

N bởi T B C 8 c p q C 8 c p q b không gian C 8 c p q (cid:16)

φ B (cid:222)(cid:209) dµT tn φ q p t p dµN q n p , φ q P C 8 c p , q »T »N

trong đó µT , µN tương ứng là các độ đo Haar trên T và N . Ta có:

φ n dµT dµN t1tt(cid:1)1n1tn q p t q p n p q t1n1tn dµT φ q p dµN t q p p q (cid:16) »T »N »T »N

dµT (cid:16) t q p t1tt(cid:1)1n1tn φ dµN p q n p »T (cid:2)»N

dµT dµN (cid:16) q (cid:10) t q p t1tn φ q p n p

(cid:16) »T (cid:2)»N dµT tn φ q p q (cid:10) n p . q t p dµN q »T »N

Vậy hàm tuyến tính vừa định nghĩa trên là một tích phân Haar trái trên B. Chúng ta

sẽ kí hiệu nó bằng

φ b . (cid:222)(cid:209) φ p dµB q b p q »B

1(cid:1)r

3(cid:1)r . . .

Mệnh đề 6.6. Đặc trưng modular δB của B được cho bởi

r(cid:1)1, n |

Chứng minh. Từ định nghĩa của µB ta có: Khi đó:

i ‚

f b f dµT .dµN b p dµB q p q (cid:16) tn q p t q p n q p »B »B n dµT dµN (cid:16) f 1 t i p q b f 2 n i p q p t q b p p qq »B

i »T ‚

(cid:16) f 1 dµT t i p q . t q p f 2 n i p dµN q n q p »N

2. Cố định c B, khi đó tồn tại Trước hết ta tính toán δB trong trường hợp r (cid:16) P

s T và m N sao cho c sm. P (cid:16) (cid:16) (cid:3) 0 s2 (cid:11) P s1 0 Ta có:

i »T ‚

f bc f n f dµT .dµN p dµB q b p q (cid:16) t.n.s.m q p t q p p q (cid:16) t.s.s(cid:1)1n.s.m dµT q p .dµN t q p n p q »B »B f t.s dµT »B .dµN pp . q s(cid:1)1n.s.m p qq t q p n q p (cid:16) »B (5.12) dµN f 1 i p dµT ts q . t q p f 2 i p s(cid:1)1.n.s.m q n p q (cid:16) »N

dµN f 2 i p n q p f 2 i p s(cid:1)1.n.s.m q n p q (cid:16) (cid:13) »N »N

. . dµN f 2 i n p q (cid:16) s1 0 s(cid:1)1.n.s dµN q s(cid:1)1 1 0 1 n 0 1 (cid:11) (cid:3) (cid:3) 0 s2 (cid:11)(cid:11) (cid:3)(cid:3) »N

. dµN f 2 i n p q (cid:16) s1 0 s(cid:1)1 1 0 (cid:3) 0 s2 (cid:11)(cid:11) (cid:3)(cid:3) 0 s(cid:1)1 2 (cid:11) s(cid:1)1 1 n s(cid:1)1 2 (cid:11) »N

dµN f 2 i n p q (cid:16) 1 s2s(cid:1)1 1 n 1 0 (cid:3) (cid:11)

dµN f 2 i (cid:16) y p q (cid:16) f 2 n i p dµN q n q p (cid:3) 1 y 0 1 (cid:11) »N »N

(cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) »N s1 s2 (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) s1 s2 (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) Khi đó từ (5.12) ta có:

i »T ‚

t. f dµT dµN f 1 i bc p dµB q b p q (cid:16) . t q p f 2 i p n q n q p s1 0 (cid:3) (cid:3) 0 s2 (cid:11)(cid:11) »B »N

(cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) s1 s2 (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) 55

f 1 dµT t i p q . t q p f 2 n i p dµN q n q p (cid:16) »N

i »T ‚

f 2 n i p dµN q n q p (cid:7) (cid:7) (cid:7) f 1 dµT t (cid:7) i p p q s1 s2 (cid:7) (cid:7) (cid:7) . t (cid:7) q (cid:16) »N

i »B ‚

f (cid:16) b p dµB q b p q

i »T ‚ s1 s2 (cid:7) (cid:7) s1 (cid:7) (cid:7) s2 (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7)

Tổng quát: Bằng tính toán tương tự, ta có đẳng thức (5.12). (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7)

0 1 0 0 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) (cid:4) (cid:12) (cid:4) (cid:12) (cid:4) ; n s ; s(cid:1)1 (cid:16) (cid:16) (cid:16) (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . .

1 n12s2 1 ... 0

0 1 ... ... 0 0 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) ... . . . 1 s1 0 ... 0 s2 ... 0 s(cid:1)1 1 0 ... 0 0 s(cid:1)1 2 ... 0 0 ... sr 0 ... s(cid:1)1 r (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) dµN s(cid:1)1.n.s q n p q (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) f 2 i p (cid:13) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) n p (cid:4) (cid:4) (cid:4) s(cid:1)1.n.s.m dµN q q (cid:16) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) f 2 i p »N 1 0 0 »N 0 (cid:6) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) (cid:4) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:4) (cid:4) . . dµN f 2 i n q p (cid:16) (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . »N s2 ... 0 s1 0 ... 0 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) ... . . . 1 s(cid:1)1 1 0 ... 0 0 s(cid:1)1 2 ... 0 0 1 ... ... 0 0 0 ... sr 0 ... s(cid:1)1 r (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) (cid:13) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) 0 0 (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) (cid:4) (cid:12) (cid:12) . dµN f 2 i (cid:16) n q p (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . »N (cid:4) (cid:4) (cid:4) s1 0 ... 0 s2 ... 0 s(cid:1)1 1 0 ... 0 s(cid:1)1 1 n12 s(cid:1)1 2 ... 0 0 ... sr (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) (cid:13) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:12) (cid:12) dµN f 2 i (cid:16) n p q (cid:4) (cid:4) (cid:4) . . . »N 1 s(cid:1)1 0 ... 0 (cid:6) (cid:14) (cid:6) (cid:14) (cid:6) (cid:14) (cid:14) (cid:6) (cid:6) (cid:14) (cid:5) (cid:13) s(cid:1)1 1 n1r s(cid:1)1 2 n2r ... (cid:14) (cid:14) (cid:14) s(cid:1)1 (cid:14) r (cid:14) (cid:13) s(cid:1)1 1 n1rsr s(cid:1)1 2 n2rsr ... 1

(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) (cid:13)

1(cid:1)r

r(cid:1)5 . . .

f 2 n i p dµN q (cid:4) (cid:4) (cid:4) n q p (cid:16)

1(cid:1)r

s3 sn f 2 n i p dµN q n p q (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) si (cid:5) sj (cid:7) »N 1⁄i(cid:160)j⁄r (cid:7) „ (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) r(cid:1)3. r(cid:1)1. s2 s1 (cid:7) (cid:7) | | | | | | | »N (cid:16) | Từ (5.12) ta có:

r(cid:1)1.

r(cid:1)3. |

r(cid:1)5 . . . |

1(cid:1)r

t.s f dµN dµB dµT s1 s2 s3 sn f 1 i p q f 2 i p n q n q p . t q p bc p q b p q (cid:16) | | | | | »B

i »T ‚ s1

r(cid:1)1. |

r(cid:1)3. |

i »T ‚

| (cid:0) r(cid:1)5 . . . dµN dµT s2 s3 sn »N n q (cid:8) f 2 i p n p q f 1 t i p q . t q p | | | (cid:16) | | | »N

(cid:1)1 q

c f b δB p (cid:16) b p dµB q . q p »B

Sử dụng mệnh đề 6.6 ở trên, ta có B không là một nhóm đơn modular.

7 Biểu diễn hạn chế và biểu diễn cảm sinh

Cho G là một (cid:96)-nhóm và H là một nhóm con đóng của G. Xét K là một nhóm con

mở, compact của G, khi đó K H cũng là một nhóm con mở compact của H. Cho K X chạy trên cơ sở lận cận compact mở của 1 trong G, ta nhận được một cơ sở lân cận

compact mở của 1 trong H. Theo hệ quả 3.24, ta có H cũng là một (cid:96)-nhóm. Trong

mục này chúng ta sẽ quan tâm đến mối tương quan giữa biểu diễn của một nhóm với

biểu diễn của một nhóm con của nó.

H, V

Định nghĩa 7.1. Cho π, V là một biểu diễn trơn của G. Khi đó được p q π p | q

Hπ, resG

. gọi là biểu diễn hạn chế của G trên H. Kí hiệu cho biểu diễn hạn chế ta sử dụng resG q p

Từ định nghĩa trên, ta dễ thấy rằng hạn chế của một biểu diễn trơn cũng là một

biểu diễn trơn. Do đó ta thu được một hàm tử hạn chế từ phạm trù các biểu diễn

trơn trên G vào phạm trù các biểu diễn trơn trên nhóm con đóng H của nó. Tiếp theo

chúng ta sẽ xây dựng hai hàm tử phụ hợp trái và phụ hợp phải của hàm tử này.

(cid:0) thỏa mãn

Cho là một biểu diễn trơn của H. Đặt δ là ánh xạ từ H vào R(cid:2) σ, W p q tính chất δ h δH δG trong đó δG là đặc trưng modular của nhóm G. p q (cid:16) h p q{ h q p

W thỏa mãn tính chất f hg (cid:209) p Bổ đề 7.2. Đặt V là tập hợp các hàm f : G δ1{2 với mọi h H và g q (cid:16) G, và tồn tại một nhóm con mở compact K σ h q f qp g p p P P h p qq của G sao cho f f (ở đây nhóm K phụ thuộc vào hàm f ). Khi đó V cùng gK p q (cid:16) g p q

với hai phép toán cộng hai ánh xạ và nhân một số với một ánh xạ thông thường lập thành một C-không gian véc tơ.

f : G W (cid:16) t (cid:209) u

Chứng minh. Xét V 1 . Dễ thấy V 1 cùng với phép cộng ánh xạ và nhân vô hướng ánh xạ là một C-không gian véc tơ. Ta chứng minh V là không gian véc tơ con của V 1.

1{2σ

1{2σ h q p

Thật vậy, vì δ g δ 0 và với K là một nhóm 0 p qp h q p qq (cid:16) h p 0 q (cid:16) qp 0 gh 0 q p nên 0 V . h p gK con mở compact bất kì của G ta luôn có 0 p q (cid:16) (cid:16) (cid:16) g 0 p q P

1{2σ

gh gh δ g f1 P qp δ δ f2 g p δ f2 q (cid:16) f1 f2 qp V , ta có: 1{2σ h q + Với f1, f2 1{2σ g h h p q gh f2 p q (cid:0) 1{2σ h h p q p f1 p h p q (cid:16) g p qq (cid:16) qq (cid:16) q (cid:0) qpp qp (cid:0) p p f1 h p q (cid:0) p q . Giả sử K1 và g f

gK g K2 ta có K1 f2 f2 q (cid:16) f2 , khi đó lấy K q q (cid:16) p f1 p q (cid:16) (cid:16) X (cid:0) qp (cid:0) p p q . Vậy q g qp V . h q p (cid:0) g f2 f1 qq qp p p và K2 tương ứng là hai nhóm con mở compact của G thỏa mãn f1 K1g p f2 f1 f1 K2g p f2

1{2σ h q p

1{2σ h q p . Lấy nhóm con mở compact K của ánh xạ f ta thu được

gh αf α α f δ δ αf gh p f qp qqq (cid:16) qq (cid:16) h p g p q (cid:16) qp p p p g p qq (cid:16) P h p αf qp gK δ p qp q (cid:16) C, ta có: g αf qp (cid:0) P + Với α 1{2σ h p q αf qq V . g qp h qpp p . Vậy αf q P p

Bổ đề 7.3. Sử dụng cùng kí hiệu với bổ đề trên ta có nếu f V và g là một phần tử P xg f cũng là một phần tử của V . Hơn thế nữa f x p q (cid:16) p q của G thì ánh xạ fg tự đẳng cấu tuyến tính từ V vào chính nó. Xét ánh xạ π : G fg là (cid:222)(cid:209) thỏa mãn tính V Aut p (cid:209) q với mọi x G. Khi đó π là một đồng cấu nhóm. chất π x fg P g p f qp qp q (cid:16) x p q

Chứng minh. Ta có:

π g1 x π π x π xg f π x π p g p q (cid:5) p f qqp qp q (cid:16) g p qp g1 p f qp qqp q (cid:16) g1 p f qp qp q (cid:16) xgg1 p q (cid:16) gg1 p f qp . q qp

Mệnh đề 7.4. Cho H là một nhóm con đóng của G, là một biểu diễn trơn của σ, W p q H. Khi đó được định nghĩa như trong hai bổ đề trên là một biểu diễn trơn của π, V p q G. Biểu diễn này được gọi là biểu diễn cảm sinh từ biểu diễn của H. Ta kí σ, W p q hiệu: V W và π IndG Hp (cid:16) q IndG σ Hp . q (cid:16)

Chứng minh. Sử dụng hai bổ đề ở trên, ta nhận được là một biểu diễn của G. π, V p q Việc còn lại là chứng minh rằng biểu diễn này là một biểu diễn trơn.

Lấy f V do đó tồn tại một nhóm con mở compact K của G sao cho f f kg p g p q (cid:16) P f q là một tập với mọi k K và g G. Điều này dẫn đến K StabG , do đó StabG q f p q p (cid:128) P mở. Hay là một biểu diễn trơn. P π, V p q

Biểu diễn cảm sinh W này chứa một biểu diễn con cũng được gọi IndG σ Hp , IndG Hp p q

qq là biểu diễn “cảm sinh” nhưng là cảm sinh compact. Biểu diễn đó được kí hiệu là indG σ Hp , có không gian biểu diễn được cho bởi: q

W : W : f có giá compact modulo H . indG Hp f (cid:16) t q IndG Hp P q u

Ở đây hàm f có giá compact modulo H được hiểu rằng giá của f có dạng HC với C

là một tập compact trong không gian tôpô thương H G. z

Định lý 7.5 (Luật thuận nghịch Frobenius). Cho π, V là một biểu diễn trơn của G p q và σ, W là một biểu diễn trơn của H. Khi đó, ta có đẳng cấu tuyến tính: p q

HV, W

resG HomH HomG q (cid:21) p . q V, IndG p

HW vào W nhận được bằng

Ở đây không gian véc tơ W của vế phải được hiểu là không gian véc tơ của biểu diễn δ1{2 σ. b

HW thành f

HW là một G-đồng cấu. Khi đó α

HV, W

IndG 1 q p P (ở đây 1 là phần tử đơn vị của G). resG f : Chứng minh. Ta kí hiệu ασ là ánh xạ tuyến tính đi từ IndG cách biến một hàm f IndG Cho f : V . HomH ασ (cid:16) (cid:5) P p f p q q (cid:209) Thật vậy, ta có:

Hσ

α π h α π v f IndG h v f f p v qp q (cid:16) f p h q p qp q (cid:16) π p v h q p 1 q (cid:16) pp qp q (cid:5) p f qp 1 q (cid:16) qqqp p v p h q qp qp

và

σ h α δ1{2 α δ1{2 f δ1{2 p b qp q (cid:5) f p v qp q (cid:16) .σ h q p h p f p v qp qp qq (cid:16) .σ h q p h p f qp v p 1 qq (cid:16) qp v p . h q qp

Ta xét ánh xạ α như sau:

HV, W

α : HomG HomH V, IndG p resG p q q (cid:209) f α (cid:222)(cid:209) f p . q

Dễ nhận thấy rằng α là một đồng cấu của hai không gian véc tơ phức.

(cid:6) như sau:

Cho ánh xạ f 1 : V W là một H-đồng cấu. Định nghĩa đồng cấu f 1 (cid:209)

IndG (cid:209) f 1 (cid:6) : V v f 1 π v (cid:222)(cid:209) f 1 v (cid:6)p g qp q (cid:16) g p q q p

(cid:6) (cid:5) g q (cid:5) p

x x π f 1 qq (cid:16) p q (cid:16) qp x qp g q (cid:16) . v q q (cid:16) HomG f 1 π x p p IndG Hσ π g v qp p f 1 v (cid:6)p qp q f 1 v g π (cid:6)p q (cid:16) q p suy ra f 1 (cid:6) (cid:5) qp g π p q (cid:16) p q (cid:5) g xg v π p q p f 1 (cid:6). Do đó f 1 (cid:6) P f 1 xg v (cid:6)p qp V, IndG HW p q Ta có f 1 IndG Hσ Khi đó xét ánh xạ sau:

HV, W q (cid:209) f 1

HomG β : HomH V, IndG p q resG p

f 1 (cid:6) (cid:222)(cid:209)

Dễ kiểm tra rằng β là một đồng cấu tuyến tính. Chúng ta sẽ chứng minh rằng β là

ánh xạ ngược của α. Thật vậy:

β f 1 β f 1 f 1 α p (cid:5) v qp qp q (cid:16) f 1 p v qp 1 q (cid:16) qp π p v 1 q p q (cid:16) v p q

và

α α π g f f (cid:5) f qp f p q (cid:16) v q π p g qp v p

β p β v g q p α nên ta có α g v qp qp qp q (cid:16) H V,W q và β IdHomH presG 1 qp q (cid:16) p q H W q. Ở đây Id được hiểu là IdHomGpV,IndG (cid:5) (cid:16) (cid:5) (cid:16) ánh xạ đồng nhất.

Định lý 7.6 (Luật thuận nghịch Frobenius). Cho H là một nhóm con mở của (cid:96)-nhóm

G (do H là nhóm mở nên H cũng là nhóm con đóng của G và do đó H cũng là một

(cid:96)-nhóm). Vẫn sử dụng các kí hiệu của định lý trên ta có đẳng cấu tuyến tính sau:

HW, V

indG HomH HomG . q W, resG p q (cid:21) p

Ở đây không gian véc tơ W ở vế phải được hiểu là không gian véc tơ của biểu diễn δ1{2 σ. b

Chứng minh. Với mọi w W được định nghĩa như sau: W ta xét ánh xạ λw : G P (cid:209)

1{2.σ q

0 nếu g H R g λw p δ g w nếu g H. q (cid:16) $ & g p p qp q P

HW .

% Dễ thấy rằng λw P indG Xét ánh xạ sau đây:

indG ασ : W (cid:209) w λw (cid:222)(cid:209)

Ta có:

• Với mọi a, b C và w, w1 W thì P P

aw σ bw1 aλw bλw1 λaw(cid:0)bw1 g p q (cid:16) g p qp (cid:0) g p q (cid:0) g p q q (cid:16)

với mọi g 0 g g với mọi g aλw bλw1 H. Vậy ασ là P g p q (cid:16) (cid:16) p q (cid:0) p q R H và λaw(cid:0)bw1 một đồng cấu tuyến tính.

• Do với mọi h H ta có P

Hσ

1{2.σ gh q p

0 nếu g H R w w gh indG ασ ασ λw p h p q(cid:5) g qp qp q (cid:16) p qp q (cid:16) gh p δ w nếu g H q (cid:16) $ & gh p qp q P

% 60

và

1{2σ

1{2.σ gh q p

nếu g H 0 R σ w δ ασ ασ δ1{2 (cid:5) h p b g qp qqp p q (cid:16) h q p p w h q p g qp δ gh w nếu g H. q (cid:16) $ & p qp q P

Hσ

% . σ W, indG ασ ασ HomH q h p q (cid:5) (cid:16) b (cid:5) p P p nên indG δ1{2 Ở đây W được hiểu là không gian của biểu diễn δ1{2 . Nói một cách khác ασ h q σ. b

Do đó ánh xạ α được định nghĩa như sau:

HW, V

indG HomH α : HomG W, V p p q (cid:209) f α f q ασ (cid:222)(cid:209) f p q (cid:16) (cid:5)

là một đồng cấu tuyến tính.

indG Giá của các hàm f P

HW là hợp hữu hạn của các lớp kề Hg với g là phần tử G và hạn chế của f xuống những lớp kề đó cũng là z Hg, khi đó indG σ Hp

có giá g(cid:1)1 f HW . Bây giờ ta giả sử supp p f qp q (cid:16) qp q đại diện của lớp tương đương H phần tử của indG được chứa trong H, nên do đó nó là một tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các hàm

W (trong đó W là một cơ sở của không gian véc tơ W ). Rất rõ ràng là hệ

HW . Do đó với mọi H-đồng cấu φ : W

với w W và g H qp G độc lập tuyến tính. Điều này dẫn z λw q với w P W và g H g qp λw P P q P G lập thành một cơ sở của không gian véc z V cho trước, tồn tại duy nhất một (cid:209) . Ta nhận được ánh λw (cid:209) V thỏa mãn tính chất φ(cid:6)p q (cid:16) w φ p q λw, w P các hàm indG σ Hp đến indG g σ Hp qp qp tơ indG G-đồng cấu φ(cid:6) : indG HW xạ tuyến tính β được định nghĩa như sau:

HW, V

indG β : HomH HomG W, V p p q q (cid:209) φ φ(cid:6). (cid:222)(cid:209)

Theo định nghĩa ta có

λw ασ φ(cid:6)p w p q (cid:16) w φ p q q (cid:16)

nên α β φ(cid:6) (cid:5) IdHomH pW,V q. Hơn nữa, ta cũng lại có (cid:5) (cid:16)

α α f f λw f p q(cid:6)p q (cid:16) p v qp q (cid:16) λw p q

H W,V q. Do đó α và β là ánh xạ ngược của nhau.

nên β α IdHomGpindG (cid:5) (cid:16)

H và IndG

H tương ứng

Hai định lý thuận nghịch Frobenius trên cho ta thấy rằng, indG

là phụ hợp trái và phải của hàm tử resG H.

Chú ý 7.7. Trong trường hợp G là một nhóm hữu hạn thì biểu diễn cảm sinh và biểu

diễn cảm sinh compact là một. Hơn nữa một nhóm hữu hạn luôn là một nhóm đơn

modular, nên ta nhận lại được khái niệm cảm sinh thông thường (tức là δ h 1 với p q (cid:16) H). Hàm tử cảm sinh vừa là phụ hợp trái và phải của hàm tử hạn chế. mọi h P

8 Biểu diễn cảm sinh parabolic và môđun Jacquet

Cho F là một trường, ta đồng nhất nhóm G với nhóm các tự đẳng cấu GLr F p q (cid:16) của F -không gian véc tơ V F r. (cid:16) Với F -không gian véc tơ V , một dãy các không gian con thực sự của V thỏa V(cid:6)q p mãn tính chất

: 0 V, V1 V2 Vk (cid:136) (cid:136) (cid:136) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:136) (cid:16)

V(cid:13)q p được gọi là một cờ của V .

Định nghĩa 8.1. Một nhóm con P của G được gọi là một nhóm con parabolic ứng

của P nếu P với một cờ g g i 1, k . Vi, G | Vi p P q (cid:128) @ (cid:16) (cid:16)

V(cid:13)q p Định nghĩa 8.2. Cho ( là một cơ sở của V . Nhóm con parabolic tương u V được gọi là một v1 v1, . . . , vr v1, v2 v1, v2, . . . , vr ứng với cờ Span t u (cid:128) t Span t u (cid:128) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:128) Span t u (cid:16) nhóm con Borel của G.

Với một cờ

: 0 V V1 V2 Vk V(cid:13)q p (cid:136) (cid:136) (cid:136) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:136) (cid:16)

của V , trong nhóm con parabolic P liên kết với nó, tồn tại một nhóm con chuẩn tắc

1. Nhóm con k i Vi với mọi 1 { ⁄ (cid:1) ⁄ N chứa các phần tử tác động tầm thường lên Vi(cid:0)1 N này được gọi là căn lũy đơn của P . Lúc này P có thể được xem như là tích nửa

k(cid:1)1

trực tiếp P M N với (cid:16)

i(cid:16)1 „

M Vi(cid:0)1 (cid:16) GL p Vi { . q

Phân tích P M N được gọi là phân tích Levi của P với N là căn lũy đơn, và M là (cid:16) nhóm con Levi của P .

với α Một nhóm con parabolic luôn liên hợp với một nhóm con parabolic tiêu chuẩn Pα là một phân hoạch nào đó của r (nghĩa là αi là các số nguyên α1, α2, , αk (cid:16) p (cid:4) (cid:4) (cid:4) q

k i(cid:16)1 αi

dương thỏa mãn tính chất r) và (cid:16)

(cid:176) g1 (cid:6) (cid:6) $ , (cid:4) (cid:12) (cid:6) g2 . Pα : gi (cid:16) F GLαip q P (cid:6) . . .

(cid:6) ... gk

(cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) Nhóm căn lũy đơn Nα của Pα là tập hợp các ma trận khối tam giác trên có dạng ’’’’’& ’’’’’% /////. /////-

1α1 (cid:6) (cid:6) (cid:12) (cid:4) (cid:6) 1α2

(cid:6) . . .

(cid:6) ... 1αk

(cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5)

với 1αi là ma trận đơn vị cỡ αi và nhóm con Levi của P là nhóm con các ma trận đường chéo khối:

i(cid:16)1 „

, $ (cid:12) (cid:4) g2 F : : gi Mα GLαi P (cid:20) GLαip q (cid:16) . . .

Bổ đề 8.3. Với n (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:6) (cid:5) Nα, m (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:13) Mα bất kì, ta có: mnm(cid:1)1 Nα. /////. /////- ’’’’’& ’’’’’% P P

Chứng minh. Cố định một cơ sở S : P của V . Giả sử f, g tương ứng là v1, v2, . . . , vr (cid:16) t u

các tự đẳng cấu tuyến tính của V có ma trận biểu diễn theo cơ sở S tương ứng là m và n. Khi đó f gf (cid:1)1 là một tự đẳng cấu và có ma trận biểu diễn theo cơ sở S là mnm(cid:1)1.

i Đặt Vi (1 ⁄ 0). Khi đó ta có f Id Vi và Vi Vi k) tương ứng là các không gian véc tơ con sinh bởi các véc tơ i(cid:1)1 j(cid:16)0 Vj (cid:16) g p (cid:1) qp q (cid:128) p q (cid:16) 0). ⁄ vαi(cid:1)1(cid:0)1, . . . , vαi (với quy ước α0 (với quy ước V0 (cid:192) (cid:16)

i(cid:1)1

j(cid:16)0 (cid:224)

Ta có : f gf (cid:1)1 Id f gf (cid:1)1 f f (cid:1)1 f g f f (cid:1)1 Vi Vi p (cid:1) qp q (cid:16) p (cid:1) qp q (cid:16) p (cid:1) qp qq Vi p i(cid:1)1 f g f f Id f Vj. Vi Vi Vj (cid:1) qp q (cid:16) g p (cid:1) (cid:16) p qp q (cid:128) (cid:11) (cid:16) (cid:3)

Điều này dẫn đến mnm(cid:1)1 Nα. P

Định nghĩa 8.4. Cho σ là biểu diễn trơn của Mα. Ta coi σ như là một biểu diễn của Pα bằng cách lấy tác động trên Nα là tác động tầm thường. Khi đó IndG P σ được gọi là cảm sinh parabolic của G từ σ.

Chú ý 8.5. Ta cũng có định nghĩa tương tự cho cảm sinh compact parabolic indG P . Tuy nhiên bằng cách sử dụng phân tích Iwasawa, ta có thể chứng minh được rằng hai biểu

diễn cảm sinh này là một, do đó ta không nhất thiết phải đưa thêm khái niệm cảm sinh

compact parabolic. Hơn nữa, từ đó ta cũng thấy rằng cảm sinh parabolic vừa là phụ hợp

trái và vừa là phụ hợp phải của hàm tử hạn chế trên một nhóm con parabolic.

Cố định một nhóm con parabolic tiêu chuẩn Pα. Kể từ bây giờ để tránh cho công

thức quá phức tạp chúng ta sẽ bỏ tất cả các chỉ số α.

N Span π v v V, n N . Giả sử p q (cid:16) n p v q t | P (cid:1) u P π, V p Lấy n q N, π , ta có: V v P N p q

là biểu diễn của G. Đặt V n1 p π P n1 (cid:1) π π v π qp p (cid:1) q (cid:16) v q n p v q v n q π π v (cid:16) p v q π n q p π V π (cid:1) (cid:1) v n q p v n q p N p . q P nn1 v p (cid:1) q nn1n(cid:1)1n p nn1n(cid:1)1 p (cid:16)

Suy ra V N bất biến dưới tác động của π q . q n p p Lấy m q M , từ bổ đề 8.3 và lập luận tương tự như trên, ta cũng chứng minh được

P là bất biến dưới tác động của π rằng V .

v v , ta có: V V m q p V v N p q Đặt VN N p q| (cid:0) (cid:16)

V { n π q (cid:16) tr π v P π V π V p qpr u n p qq (cid:16) sq (cid:16) (cid:0) n p N p N π v v qp π N p N p V qp v qq V v qp v qp q (cid:16) q (cid:0) (cid:0) p (cid:16) p q (cid:1) q (cid:0) q (cid:0) n p v qp N p q . s

s (cid:16) n p n p v (cid:16) r Điều này cho thấy N tác động tầm thường lên VN .

M V :

M chịu tác động tầm thường của nhóm N và là một biểu diễn của nhóm M . Nếu π là một biểu diễn trơn của G thì J G M

Đặt J G VN , từ chứng minh trên ta thấy J G (cid:16)

cũng là một biểu diễn trơn của M . Ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 8.6. Cho π, V p q parabolic tiêu chuẩn có phân tích Levi P M N . Khi đó J G là một biểu diễn trơn của nhóm G, P là một nhóm con M V được gọi là môđun (cid:16) Jacquet của biểu diễn . π, V p q

Định lý 8.7. Cho G là một nhóm và P là nhóm con parabolic tiêu chuẩn có phân tích

Levi P M.N của G. Cho là biểu diễn trơn của G và là một biểu diễn (cid:16) π, V p q σ, W p q trơn của M . Khi đó ta có một đẳng cấu tuyến tính:

M W

HomM HomG J G M V, W V, IndG p q (cid:21) p , q

trong đó W ở vế phải được xem như là không gian véc tơ của biểu diễn δ1{2 σ. b

Chứng minh. Theo Luật thuận nghịch Frobenius, ta có đẳng cấu tuyến tính:

P W

P V, W

HomP HomG q (cid:21) resG p , q V, IndG p

P V, W

trong đó W ở vế phải được xem như là không gian véc tơ của biểu diễn δ1{2 σ của P . b

. q δ1{2 ϕ với mọi p P . p p σ q P N và v q (cid:21) W , khi đó ϕ (cid:5) δ1{2 J G HomM M , W p p π p σ v v ϕ Lấy n tác 0 (do σ resG Ta sẽ chứng minh: HomP p Cho P -đồng cấu ϕ : resG P V (cid:209) n π V , khi đó ϕ q p p P q (cid:16) n p n q p v p qq (cid:1) q (cid:16) qp P p q (cid:5) p v ϕ p q (cid:16) q 0. (cid:1) V động tầm thường trên W và N là nhóm đơn modular). Điều này dẫn đến ϕ p qq (cid:16) n p N p 0. Do đó tương ứng v v1 khi đó v V khi đó ta có: ϕ v1 s (cid:16) r N p P q s q (cid:16) v ϕ (cid:1) là một ánh xạ. Dễ kiểm tra v1 (cid:1) W được định nghĩa như sau: ϕ(cid:6)pr v p v p q sq (cid:16) Giả sử r ϕ(cid:6) : J G M (cid:209) rằng ϕ(cid:6) là một ánh xạ tuyến tính.

Hơn nữa ta lại có

m ϕ m δ1{2 m ϕ m π ϕ(cid:6)p p v qpr sqq (cid:16) π p v qp qq (cid:16) m p σ q p v p qp qq qsq (cid:16) ϕ p . σ qp v pr sqq (cid:16)

HomM Điều này dẫn đến ϕ(cid:6) P π ϕ(cid:6)pr v p qp δ1{2 m m q p p J G M , W p

resG HomM α : HomP , ta định nghĩa đồng cấu tuyến tính α như sau: q P V, W J G M , W p q p q (cid:209) ϕ ϕ(cid:6). (cid:222)(cid:209)

M (cid:209) . Với mọi p

Cho M -đồng cấu ψ : J G W , ta định nghĩa đồng cấu tuyến tính ψ(cid:6) : V W (cid:209) mn P ta có thỏa mãn ψ(cid:6) v ψ (cid:16) P p q (cid:16) v pr sq

p ψ(cid:6) ψ π ψ v δ1{2 ψ v δ1{2 ϕ(cid:6) v π p qq (cid:16) pr π p m p qpr sqq (cid:16) σ m q p m p qp pr sqq (cid:16) σ m q m p p qp . qq p

. Ta xét đồng cấu tuyến tính β được định nghĩa như sau: v qp p Do đó ψ(cid:6) HomP v p qp p qsq (cid:16) resG P V, W q p P

P V, W

HomP β : HomM J G M , W p resG p q q (cid:209) ψ ψ(cid:6). (cid:222)(cid:209)

Dễ dàng kiểm tra được rằng α và β là ánh xạ ngược của nhau.

là một biểu diễn trơn của (cid:96)-nhóm. được gọi là π, V π, V p q p 0 với mọi M là nhóm con Levi của một nhóm con Định nghĩa 8.8. Cho q một biểu diễn cuspidal nếu J G M V (cid:16) parabolic P của G.

Bổ đề 8.9. Một biểu diễn bất khả quy là cuspidal khi và chỉ khi nó không phải π, V p q là một biểu diễn con của bất kì biểu diễn cảm sinh parabolic từ một nhóm con parabolic

thực sự P của G.

M W

M W khi và chỉ khi V, IndG p

M V

0. Tuy nhiên sử dụng định lý 8.7, ta lại có HomG q (cid:21) q (cid:24) 0 (do J G 0), nên ta thu được điều phải chứng minh. Chứng minh. Biểu diễn V bất khả quy là biểu diễn con của IndG V, IndG HomG p J G HomM M V, W p q (cid:16) (cid:16)

9 Các biểu diễn của nhóm GL2pFpq

Trong mục này chúng ta sẽ mô tả tất cả các biểu diễn bất khả quy của G. Trước

khi bắt đầu chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả của lý thuyết biểu diễn phức của các

nhóm hữu hạn mà chúng ta sẽ dùng trong mục này. Các kết quả này đều có thể tìm

thấy ở trong rất nhiều cuốn sách tham khảo về lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn,

chẳng hạn như [S71].

C Cho π, V là một biểu diễn hữu hạn chiều của nhóm hữu hạn G. Hàm số χπ : G (cid:209) p q biến g thành số phức Tr được gọi là một đặc trưng của biểu diễn π (trong đó g π p p qq Tr là vết của ánh xạ tuyến tính f ). f p q Cho φ và ψ là hai hàm nhận giá trị phức trên G. Ta kí hiệu

gPG | ‚

ψ ψ , 1 G φ | p q (cid:16) g p q g φ p q |

trong đó z là số phức liên hợp của z. Ta có mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 9.1. (1) Hai biểu diễn của nhóm hữu hạn G đẳng cấu với nhau khi và chỉ

khi chúng có cùng một hàm.

(2) Đặc trưng χ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy của nhóm hữu hạn G

khi và chi khi 1. χ, χ p q (cid:16)

(3) Số các biểu diễn bất khả quy của nhóm hữu hạn G bằng số các lớp liên hợp của

(4) Gọi n1, . . . , nk là số chiều của tất cả các biểu diễn bất khả quy của G. Khi đó ta

có

i(cid:16)1 ‚

. n2 i (cid:16) | G |

Mệnh đề 9.2. Cho G là một nhóm hữu hạn, H là một nhóm con của nó. Giả sử σ là

một biểu diễn của H có đặc trưng là χσ. Khi đó:

Hσ có số chiều bằng |G|

|H| lần số chiều của biểu diễn σ.

(i) Biểu diễn cảm sinh IndG

Hσ được cho bởi công thức sau:

(ii) Đặc trưng của biểu diễn cảm sinh IndG

H σp

sPG,s(cid:1)1gsPH | ‚

g χσ χIndG 1 H q (cid:16) s(cid:1)1gs . q p |

Từ bây giờ chúng ta sẽ sử dụng mệnh đề trên cho G GL2 Fp p . q (cid:16)

Mệnh đề 9.3. Số phần tử của nhóm G là p2 p2 p p 1 qp . q (cid:1) (cid:1)

p có p2 véc-tơ nên ta có p2

p. Do không gian véc-tơ F2

1 cách chọn (cid:1)

Chứng minh. Một ma trận g bất kì thuộc G được tạo thành từ hai véc-tơ cột độc lập tuyến tính của F2 véc-tơ khác 0 cho cột thứ nhất của g, véc-tơ cột thứ hai phải độc lập tuyến tính với véc-tơ thứ nhất. Do trường Fp có p phần tử nên có p véc-tơ phụ thuộc tuyến tính với véc-tơ cột thứ nhất, do đó có p2 p cách chọn véc-tơ cột thứ hai. Khi đó, số phần tử (cid:1) của G là p2 p p2 p 1 qp . q (cid:1) (cid:1)

Với g G, đa thức đặc trưng của g có dạng: P

λ2 aλ b. Pg λ p q (cid:16) (cid:0) (cid:0)

p , khi đó g liên

F(cid:2) Mệnh đề 9.4. (1) Nếu Pg có hai nghiệm phân biệt λ1 λ2 q (cid:24) P λ p hợp với ma trận có dạng:

; (cid:3) λ1 0 0 λ2 (cid:11)

p , khi đó g liên hợp với ma trận có dạng:

F(cid:2) có nghiệm kép α (2) Nếu Pg λ p q P

hoặc ; α 0 0 α (cid:11) (cid:3) α 1 0 α (cid:11) (cid:3)

là một đa thức bất khả quy trên Fp, khi đó g liên hợp với ma trận có λ p q (3) Nếu Pg dạng:

0 . 1 (cid:3) b (cid:1) a (cid:11) (cid:1)

Chứng minh. Đây là kết quả trực tiếp của lý thuyết chéo hóa ma trận: mọi ma trận

đều đồng dạng với ma trận dạng Jordan của nó.

Hệ quả 9.5. Nhóm G có tất cả p2 1 biểu diễn bất khả quy. (cid:1)

Chứng minh. • Số lớp liên hợp dạng (1) trong mệnh đề 9.4 bằng số cách chọn bộ

p . Do đó có 1 p 2p

sao cho chúng đôi một khác nhau và thuộc vào F(cid:2) q p 1 qp 2 q (cid:1) (cid:1) λ1, λ2 p lớp liên hợp dạng (1).

• Số lớp liên hợp dạng (2) trong mệnh đề 9.4 bằng 2 lần số cách chọn λ Fp. Vậy P lớp liên hợp dạng (2). p có 2 p 1 q (cid:1)

• Số lớp liên hợp dạng (3) trong mệnh đề 9.4 bằng số các đa thức Pg λ q p

p. Số các đa thức có dạng

F2 λ1 (cid:1) q q P a, b p . Số các đa thức có dạng x p (cid:1) 2 với λ p λ2 bất khả quy trên Fp hay không có nghiệm trong Fp. Số các đa thức có thể là p2 (tương với λ2 x ứng với số cách chọn cặp qp Fp là 1 Fp là p. Vậy 2p (cid:24) P x p λ q (cid:1) P 1 q (cid:1) p λ1 số lớp liên hợp có dạng (3) là :

p2 p p p p 1 2 1 2 (cid:1) p p 1 q (cid:1) (cid:1) (cid:16) p . 1 q (cid:1)

1 2p

p p p2 1. Vậy số các lớp liên hợp của G là 1 2p p 1 qp 2 q (cid:0) p 2 p (cid:1) (cid:1) (cid:1) 1 q (cid:0) p 1 q (cid:16) (cid:1) (cid:1) Sử dụng ý (3) mệnh đề 9.1, ta có điều phải chứng minh.

Các biểu diễn bất khả quy là biểu diễn con của một biểu diễn cảm sinh

parabolic.

Nhóm G có duy nhất một nhóm con parabolic tiêu chuẩn là nhóm Borel các ma

trận tam giác trên B. Căn lũy đơn của B là nhóm N gồm các ma trận có dạng (cid:3)

1 x 0 1(cid:11) Fp. Nhóm con Levi của B là nhóm T gồm các ma trận đường chéo có dạng

với a, d F(cid:2) p . P với x P a 0 0 d(cid:11) (cid:3)

Do T là một nhóm giao hoán, áp dụng hệ quả 4.20 ta có mọi biểu diễn bất khả quy C(cid:2) là một biểu diễn bất khả quy của T .

của T đều có số chiều bằng 1. Giả sử χ : T (cid:209) p đến C(cid:2) thỏa mãn tính chất sau: Đặt χ1 và χ2 tương ứng là các ánh xạ từ F(cid:2)

χ χ . χ1 và χ2 a p q (cid:16) d p q (cid:16) a 0 0 1(cid:11) (cid:3) 1 0 0 d(cid:11) (cid:3)

p và χ

Khi đó χ1, χ2 là hai đặc trưng của F(cid:2) χ1 a p .χ2 q d p . q a 0 0 d(cid:11) (cid:16) (cid:3)

p khi đó χ

a Ngược lại, lấy hai đặc trưng χ1 và χ2 bất kì của F(cid:2) χ1 .χ2 q d q p p a 0 0 d(cid:11) (cid:16) (cid:3) là một đặc trưng của T . Do đó ta chỉ cần tìm tất các biểu diễn bất khả quy là biểu

χ1 χ2 với χ1 và χ2 là hai đặc trưng b q diễn con của biểu diễn cảm sinh parabolic IndG T p bất kì của F(cid:2) p .

tính trên các lớp tương đương của G được cho bởi χ2 χ1 b q Mệnh đề 9.6. Sử dụng các kí hiệu trong mệnh đề 9.4 hàm đặc trưng của biểu diễn cảm sinh parabolic IndG T p bảng sau:

Số lớp Số phần tử của 1 lớp Lớp liên hợp Ci Ci χIndG q

Bpχ1bχ2qp χ2 χ1 1 q

p 1 1 α C1 (cid:1) q p α p q p p (cid:0) (cid:16) (cid:3)

p 1 p2 1 α C2 χ1 (cid:1) (cid:1) α p χ2 q p q (cid:16) (cid:3)

p2 p C3 χ1 χ1 χ2 λ1 p p (cid:1) 2 q (cid:1) p 1 qp 2 (cid:0) λ1 p χ2 q λ2 p q (cid:0) λ2 p q p q (cid:16) (cid:3)

p p p 0 C4 p 1 q (cid:1) 2 p p 1 q (cid:1) 1 α 0 0 α (cid:11) α 1 0 α (cid:11) 0 λ1 0 λ2 (cid:11) b 0 (cid:1) a (cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:1)

Chứng minh. Việc tính số các lớp liên hợp có dạng Ci đã được thực hiện trong Hệ quả 9.5.

Lớp liên hợp dạng C1 chứa các ma trận nằm trong nhóm tâm của G (giao hoán với các ma trận khác), do đó lớp liên hợp của nó chỉ có 1 phần tử. Hơn nữa ta có

g(cid:1)1 B với mọi g G nên áp dụng mệnh đề 9.2 ta có g P α 0 0 α (cid:11) (cid:16) (cid:3) α 0 0 α (cid:11) P (cid:3)

Bpχ1bχ2q

gPG | ‚ B

p χ1 χIndG 1 B α p χ2 q α p q (cid:16) p (cid:0) χ1 1 q α p χ2 q α p . q α 0 0 α (cid:11) (cid:16) (cid:3) |

p p p2 p2 p | p (cid:1) G | 1 qp

2 và 1 q | (cid:16) khi đó đẳng thức gC2

Giả sử g . (cid:1) q 0 và a d. NG | (cid:16) p (cid:1) C2g dẫn đến c (cid:16) q (cid:16) (cid:16) Đẳng thức cuối cùng là hệ quả của việc a b c d(cid:11) P

pp2(cid:1)1qpp2(cid:1)pq

C2 p C2 q là tập hợp các ma trận tam giác trên có phần tử nằm p . Vậy số các phần tử trong lớp

ppp(cid:1)1q (cid:16)

p2 1.

Giả sử g B. Một phần tử thuộc B đồng (cid:16) (cid:3) Hay nói cách khác ta có NG p trên đường chéo chính bằng nhau và cùng thuộc vào F(cid:2) |G| tương đương của C2 là |NGpC2q| (cid:16) (cid:1) thỏa mãn tính chất gC2g(cid:1)1 P a b c d(cid:11) (cid:16) (cid:3)

dạng với C2 nếu 2 phần tử nằm trên đường chéo chính có tổng bẳng 2α và tích bằng

g. Đẳng thức này dẫn α2. Điều này dẫn đến gC2g(cid:1)1 hay gC2 (cid:16) (cid:3)

đến c 0 và a α x (cid:16) (cid:3) 0 α(cid:11) B khi và chỉ khi g α x 0 α(cid:11) B. Áp dụng mệnh đề 9.2 ta dx. Vậy gC2g(cid:1)1 (cid:16) (cid:16) P P có:

Bpχ1bχ2q

gPB | ‚

α α . χ1 χ1 χ2 χIndG 1 B α p χ2 q α p q (cid:16) p q p q α 1 0 α (cid:11) (cid:16) (cid:3) |

pp2(cid:1)1qpp2(cid:1)pq

c 0 (do Giả sử g khi đó đẳng thức gC3 C3g dẫn đến b NG C3 (cid:16) (cid:16) (cid:16) p q (cid:16) (cid:3) T . Vậy số các phần tử trong lớp tương a b c d(cid:11) P λ2) . Hay nói cách khác ta có NG (cid:24) q (cid:16) p. λ1 đương của C3 là C3 p p2 pp(cid:1)1q2 (cid:16) (cid:0)

|G| |NGpC3q| (cid:16) a b c d(cid:11)

Giả sử g B. Một phần tử thuộc B đồng thỏa mãn tính chất gC3g(cid:1)1 P (cid:16) (cid:3)

dạng với C3 nếu 2 phần tử nằm trên đường chéo chính có tổng bằng λ1 λ2 và tích

. bằng λ1λ2. Điều này dẫn đến gC2g(cid:1)1 hoặc gC2g(cid:1)1 λ1 x 0 λ2(cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:0) λ2 y 0 λ1(cid:11) (cid:16) (cid:3)

g. Đẳng thức này dẫn hay gC2 • Trường hợp 1: gC2g(cid:1)1 λ1 x 0 λ2(cid:11) (cid:16) (cid:3) đến c (cid:16) (cid:3) xd. Điều này dẫn đến g λ1 x 0 λ2(cid:11) B. 0 và bλ2 bλ1 (cid:16) (cid:16) (cid:0)

g. Đẳng thức này dẫn • Trường hợp 2: gC2g(cid:1)1 hay gC2 λ2 y 0 λ1(cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:16) (cid:3) P λ2 x 0 λ1(cid:11)

. đến d yc. Điều này dẫn đến g 0 và aλ1 aλ2 Bw0. Trong đó w0 (cid:16) (cid:16) (cid:0) P 0 1 1 0(cid:11) (cid:16) (cid:3)

Áp dụng mệnh đề 9.2 ta có:

Bpχ1bχ2q

χ1 χ1 χIndG 1 B λ1 p χ2 q λ2 p q (cid:0) λ2 p χ2 q λ1 p λ1 0 0 λ2 (cid:11) (cid:16) (cid:3) q(cid:11)

gPB ‚ χ2 q

gPBw0 ‚ . λ1 q p

| (cid:3) λ1 | χ1 χ1 p λ2 p q (cid:0) λ2 p χ2 q (cid:16) x y Giả sử g bz và NG khi đó đẳng thức gC4 C4g dẫn đến y (cid:16) (cid:1) (cid:16) (cid:3) t(cid:11) P z az. Điều này dẫn đến (cid:16) 1 (trong đó p2 p2 t x C4 p q NG | (cid:1) (cid:16) q| ⁄ C4 p (cid:1) (cid:1)

pp2(cid:1)1qpp2(cid:1)pq p2(cid:1)1

p2 (cid:16)

P p p 1 tương ứng với số cách Fp sao cho chúng không đồng thời bằng 0). Vậy số các phần tử trong lớp . Do G được viết 1 q (cid:16) (cid:1) p

p p2 p2 G p . chọn x, z tương đương của C4 lớn hơn hoặc bằng |G| thành hợp rời các lớp liên hợp dạng Ci nên điều này dẫn đến 1 q p p p p 2 q (cid:1) (cid:1) p 1 qp 2 (cid:1) 2 p | ¥ p .1 1 q (cid:1) p (cid:0)p . 1 q (cid:1) p2 p 1 q(cid:0) (cid:1) .p p 1 q (cid:16) p (cid:1) 1 qp (cid:1) p (cid:1) . q p2 p p (cid:0) q(cid:0) |

p . Dấu bằng xảy ra, dẫn đến số phần tử trong lớp tương của C4 chính xác bằng p (cid:1) p 1 q Ta thấy rằng đa thức đặc trưng của một phần tử thuộc B luôn có nghiệm trong

G ta P B. Áp dụng mệnh đề 9.2 ta có: Fp, nên nó không thể đồng dạng với ma trận C4. Hay nói cách khác với mọi g có gC4g(cid:1)1 R

Bpχ1bχ2q

0 0. χIndG 1 (cid:3) b (cid:1) a (cid:11) (cid:16) (cid:1)

có số chiều bằng p 1. Hệ quả 9.7. χ1 χ2 (1) Biểu diễn cảm sinh parabolic IndG T p q b (cid:0)

là một biểu diễn bất khả quy khi và χ1 χ2 q b (2) Biểu diễn cảm sinh parabolic IndG T p χ2. chỉ khi χ1 (cid:24)

đẳng cấu với nhau khi và chi khi χ2 χ1 µ1 µ2 q (3) Hai biểu diễn IndG T p b µ2 hoặc là χ1 µ1 và χ2 χ1 và IndG T p b µ2 và χ2 q µ1. (cid:16) (cid:16) (cid:16)

là tổng trực tiếp của hai biểu diễn χ1 χ1 (cid:16) (4) Biểu diễn cảm sinh parabolic IndG T p q b bất khả quy trong đó một biểu diễn có số chiều bằng 1 và một biểu diễn có số

chiều bằng p.

Chứng minh. 1. Khẳng định (1) là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 9.2(i).

gPdạng Ci

Bpχ1bχ2q. Áp dụng Mệnh đề 9.6 giá trị của

g 2. Đặt χ với g χIndG χ p χ q (cid:16) g p q

(cid:176) chạy trên tất cả các phần tử đồng dạng với một ma trận có dạng Ci được cho bởi bảng sau:

Lớp liên hợp dạng Ci χ1 χ2 χ1 χ2 (cid:16) (cid:24)

2 1 q

p C1 p p p 1 qp (cid:1) (cid:0) p p 1 qp (cid:1) (cid:0) (cid:16) (cid:3)

p2 p p2 C2 p p (cid:1) 1 qp 1 q (cid:1) p (cid:1) 1 qp 1 q (cid:1) (cid:16) (cid:3)

p2 p p C3 2 p p qp (cid:0) p 1 qp 2 q (cid:1) (cid:1) p2 p p qp (cid:0) p 1 qp (cid:1) 3 q (cid:1) (cid:16) (cid:3)

0 0 C4 1 (cid:16) (cid:3) α 0 0 α (cid:11) α 1 0 α (cid:11) λ1 0 0 λ2 (cid:11) b 0 (cid:1) a (cid:11) (cid:1)

Các kết quả của bảng trên nhận được bằng các phép tính trực tiếp từ những kết

quả đã nhận được từ Mệnh đề 9.6. Để mô tả cách tính, ở đây chúng ta sẽ trình

bày cách nhận được kết quả tính toán cho lớp khó nhất là lớp C3.

gPdạng C3 ‚

χ g χ1 χ1 g p χ p q q (cid:16) λ1 p .χ2 q λ2 p q (cid:0) λ2 p .χ2 q λ1 p qs (cid:2) r λ1 0 0 λ2 (cid:9) ‚bộ pλ1(cid:24)λ2q ‚gP lớp (cid:1)

2. |

χ1 λ1 .χ2 λ2 χ1 λ2 .χ2 q p λ1 p qs q p (cid:2)r χ1 q (cid:0) χ1 (cid:16) (cid:0) qr p .χ2 q λ2 p q (cid:0) λ1 p p .χ2 q λ1 p qs (cid:2) λ2 p p2 p ‚bộ pλ1(cid:24)λ2q χ1 λ1 .χ2 λ2 χ1 λ2 .χ2 p q (cid:0) 2 p (cid:2)r χ1 q χ2 p χ1 χ2 (cid:16) (cid:0) qr| λ1 p q| p λ2 p q λ2 p q| λ1 p 2. | qs λ1 p q| (cid:0) | q| s p2 p ‚bộ pλ1(cid:24)λ2q p λ2 χ2 λ2 p χ2 q p q λ1 p . q (cid:0) p2 p χ1 q λ1 p χ1 q (cid:0) ‚λ1(cid:24)λ2PF(cid:2)

1. Điều này dẫn đến • Nếu χ1 χ2 khi đó ta có χ1 χ2 λ2 χ2 λ1 p χ1 q λ1 p q (cid:16) q q (cid:16)

gPdạng C3 ‚

λ2 p p g p p2 p p (cid:1) 2 q (cid:1) p p 1 qp 2 q (cid:16) p2 2 p q (cid:0) (cid:0) p p qp (cid:0) p 1 qp 2 q (cid:1) (cid:1) g χ p χ p q

p p2 2 p p qp p 1 qp (cid:1) (cid:1) . 2 q (cid:0) (cid:16)

• Nếu χ1 χ2 khi đó (cid:24)

χ1 χ1 λ2 χ2 λ2 χ2 λ1 p χ1 q λ2 p χ2 q p q λ1 p q (cid:16) λ2 p χ2 q p q λ1 p q λ1 p χ1 q ‚λ1(cid:24)λ2PF(cid:2) ‚λ1,λ2PF(cid:2) χ1 χ2 χ1 λ q p χ2 λ q p . λ q p (cid:1) λ q p ‚λPF(cid:2)

χ1 χ2

λ1PF(cid:2) p

χ1 χ2 p

Giả sử µ : F(cid:2) ta luôn có 0. Sử dụng điều này cho µ q (cid:16) C(cid:2) là một đồng cấu nhóm không tầm thường khi đó p (cid:209) x µ ta thu được xPF(cid:2) p p 0 hay (cid:16) 0. Điều này dẫn đến λ1 χ1 χ2 λ1 (cid:176) q (cid:16) p q λ1 p q (cid:16)

(cid:176) (cid:176) 0. χ2 λ1 χ1 λ2 p χ2 q λ2 p q p q (cid:16) λ1 p χ1 q ‚λ1,λ2PF(cid:2)

λ1(cid:24)λ2PF(cid:2) p

Thay vào công thức tính ta thu được χ1 λ1 λ1 p χ1 q λ2 p χ2 q λ2 p χ2 q p q

p χ1 χ1 χ1 λ1 λ2 p χ2 q (cid:176) χ2 λ2 q p λ1 p q (cid:16) (cid:1) χ1 λ q χ2 λ q λ p χ2 q λ p p p q (cid:16) (cid:1)p . 1 q (cid:1) p q ‚λPF(cid:2) ‚λ1(cid:24)λ2PF(cid:2)

Vậy

gPdạng C3 ‚

g p p2 p p p (cid:1) 2 q (cid:1) p 1 qp 2 χ p χ q g p q (cid:16) p2 2 p q (cid:0) p qp 1 q (cid:1) (cid:0) (cid:1) p

p2 p p qp (cid:0) p 1 qp . 3 q (cid:1) (cid:1) (cid:16) p

Từ bảng trên, ta có:

i(cid:16)1 ‚

1 nếu χ1 χ2 (cid:24) χ, χ χ g χ 1 G p q (cid:16) g p χ p q q (cid:16) g p χ q g p 2 nếu χ1 χ2. 1 G | | | q (cid:16) $ & ‚gPlớp Ci (cid:16)

χ1 % bất khả quy khi và chỉ khi χ1 χ2. χ2 (cid:24) q b

p và

gPG | ‚ Sử dụng Mệnh đề 9.1(2), ta có IndG Bp µ2 q χ2 q

khi và chỉ khi đặc trưng của chúng phải χ1 χ2 IndG Bp 3. Ta có IndG Bp q (cid:20) F(cid:2) với mọi α µ1 b bằng nhau. Điều này dẫn đến χ1 µ1 b α p α p q (cid:16) α p µ2 q α p q P

χ1 χ2 λ2 χ1 λ2 χ2 µ1 λ1 µ2 µ1 λ2 λ1 p q p q (cid:0) p q λ1 p q (cid:16) p q λ2 p q (cid:0) p µ2 q λ1 p q

p . Lấy λ2

F(cid:2) 1 khi đó đẳng thức thứ hai dẫn đến với mọi λ1 λ2 (cid:24) P (cid:16)

, χ1 χ2 µ1 µ2 λ1 λ1 p q (cid:0) λ1 p q (cid:16) λ1 p q (cid:0) p q

cùng 1. Vậy với λ1 1 ta có cặp χ1 λ1 λ1 (cid:24) (cid:24) λ1 p q p , µ2 q λ1 q µ2 và cặp µ1 λ1 µ1 p q (cid:16) q p µ2 µ1 λ1 λ1 p và χ2 . Hơn nữa ta lại có F(cid:2) q λ1 p λ1 p λ1 p q (cid:16) q (cid:16) q p λ1 q p q (cid:16) p là một nhóm p , ta thu được điều phải chứng

, χ2 với mọi λ1 p q λ1 là nghiệm của một phương trình bậc 2. Do đó χ1 p hoặc χ1 và χ2 xyclic, nên chỉ cần chọn λ1 là phần tử sinh của F(cid:2) minh.

Bpχ1bχ1q, χIndG

Bpχ1bχ1qq (cid:16)

4. Do 2 (theo chứng minh phía trên), nên biểu diễn

là tổng trực tiếp của hai biểu diễn bất khả quy. χ1 q χIndG p IndG χ1 Bp b Xét f : G dễ dàng kiểm tra rằng (cid:209) q (cid:16) qq với mọi b f g p B và g χ1 g det p p G. Do đó f χ1 bg p q (cid:16) p b P P b . Hơn q C được định nghĩa bởi f b χ1 qp thế nữa ta lại có, g f p q g.f q x f χ1 g χ1 f . Do đó p qp q (cid:16) xg p g det p qq (cid:16) q (cid:16) qq q IndG Bp det χ1 p p P x det p p

χ1 χ1 . Vậy thành phần bất q b là một không gian có số chiều bằng p. χ1 χ1 χ1 không gian con 1 chiều sinh bởi f là bất biến dưới tác động của nhóm G, hay nó là một biểu diễn con 1 chiều của biểu diễn IndG Bp khả quy còn lại của IndG Bp b q

Tổng kết các kết quả nhận được phía trên, ta đã xây dựng được:

Bχ1

1 chiều: IndG χ2 với χ1, χ2 là hai (cid:1) 2 q (cid:1) p 1 qp 2 b (cid:13) (cid:0) p biểu diễn bất khả quy p p đặc trưng của F(cid:2) p .

C(cid:2) : g với χ là một 1 biểu diễn bất khả quy 1 chiều πχ: G (cid:13) (cid:1) (cid:209) g det χ p p qq (cid:222)(cid:209) p đặc trưng của F(cid:2) p .

Bχ

χ với χ là 1 biểu diễn bất khả quy p chiều là phần bù của πχ trong IndG b (cid:13) (cid:1) p một đặc trưng của F(cid:2) p .

p biểu diễn 2 q (cid:1) 2 q (cid:0) (cid:1) p p 1 qp 2 p 1 qp 2 1 q (cid:16) p 2 p (cid:1) (cid:0) p Vậy ta đã xây dựng được tất cả p (cid:1) bất khả quy là một biểu diễn con của một biểu diễn cảm sinh parabolic. Những biểu

diễn bất khả quy còn lại là các biểu diễn cuspidal. Số lượng các biểu diễn cuspidal bất

khả quy của G là:

p2 1 p p (cid:1) 2 q (cid:0) p p p 1 q p 1 qp 2 (cid:1) 2 (cid:1) (cid:1) (cid:16)

biểu diễn.

Các biểu diễn bất khả quy cuspidal của G. Ta nhắc lại rằng một biểu diễn

π, V được gọi là cuspidal nếu như với mọi nhóm parabolic con thực sự của G, môđun q p Jacquet của nó bằng 0. Trong trường hợp của chúng ta điều này tương đương với

V V N p . q (cid:16)

nPN ‚

Bổ đề 9.8. Cho v V . Ta có v V N khi và chỉ khi π 0. P P p q n p v q (cid:16)

Chứng minh. + Điều kiện cần: Cho v P n1 tuyến tính của các phần tử có dạng π V . Ta có: N và v N , khi đó v được biểu diễn thành tổ hợp p q vi, ở đó n1 vi q (cid:1) p P P

nPN ‚

π π v π v π π v 0. n p qp n1 p v q (cid:1) q (cid:16) nn1 p v q n q p (cid:1) q (cid:16) nn1 p v q (cid:1) n q p (cid:16) π nPNp ‚

nPN ‚

Như vậy, π v 0. n q p (cid:16)

nPN ‚

+ Điều kiện đủ: Cho v V thỏa mãn π 0. Khi đó: P n p v q (cid:16)

nPN ‚ N

π v v 0 n q p (cid:0) (cid:1) q (cid:16) v nPNp ‚ v v (cid:244) (cid:16) n p v q q (cid:1)

.v v v (cid:244) | | (cid:16) n q p q (cid:1)

π nPNp ‚ π nPNp ‚ 74

v v . 1 N (cid:244) (cid:16) n p v q q (cid:1) | π nPNp | ‚

Từ hệ thức trên suy ra v V N P p . q

Xét nhóm con Mirabolic của G:

p, x

F(cid:6) M a . Fp P P (cid:16) #(cid:3) a x 0 1 (cid:11) | +

p M và Ta có N (cid:128) | (cid:16) p p . 1 q (cid:1) Lấy θ : Fp (cid:209)

M | C(cid:2) là một đặc trưng không tầm thường của Fp. Bằng việc đồng nhất nhóm căn lũy đơn N với Fp ta xem θ như là một đặc trưng của N . Tất cả các đặc trưng của N đều có dạng này.

N θ là một biểu diễn bất khả quy của M .

N θ của biểu diễn

C(cid:2) là một đặc trưng không tầm thường. Khi đó ta có (cid:209) Mệnh đề 9.9. Cho θ : Fp IndM

N θ .

Chứng minh. Trước hết ta sử dụng Bổ đề 9.2 để tính đặc trưng χIndM cảm sinh χIndM

Trường hợp 1: Với a 1 khi đó det m m(cid:1)1 a 1 nên m m(cid:1)1 (cid:24) (cid:24) (cid:13) (cid:3) a y 0 1(cid:11) (cid:11) (cid:16) a y 0 1(cid:11) (cid:3) không thuộc vào N với mọi m (cid:3) M . Do đó ta có: P

0, x Fp. χIndM N θ @ P a y 0 1 (cid:11) (cid:16) (cid:3)

M ta có Trường hợp 2: Với mọi m (cid:13) a x 0 1(cid:11) P (cid:16) (cid:3)

1 ax m m(cid:1)1 N. 0 (cid:3) 1 x 0 1 (cid:11) (cid:16) (cid:3) 1 (cid:11) P

Vì thế:

p ,yPFp

θ θ ax χIndM N θ 1 N ax p q (cid:16) p . q 1 x 0 1 (cid:11) (cid:16) (cid:3) | | ‚aPF(cid:2) ‚aPF(cid:2)

1. p + Nếu x 0, χIndM N θ (cid:1) (cid:16) 1 0 0 1 (cid:11) (cid:16) (cid:3)

aPFp

+ Nếu x θ ax 1 θ a 1. Mặt khác ta 0, χIndM N θ (cid:24) p q (cid:1) (cid:16) p q (cid:1) 1 x 0 1 (cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:176) (cid:176) lại có θ 1, nên θ a 1 với mọi x 0. 0. Vì vậy χIndM N θ (cid:25) p q (cid:16) (cid:24)

N θ là một

N θq (cid:16)

(cid:176) Sử dụng các kết quả vừa tính được, ta có 1. Vậy IndM 1 x 0 1 (cid:11) (cid:16) (cid:1) N θ, χIndM (cid:3) χIndM p biểu diễn bất khả quy.

IndM C(cid:2) không tầm thường sao cho ρ|M là một biểu diễn bất khả quy cuspidal của G. Khi đó luôn N θ. Đặc biệt, (cid:209) (cid:16) Mệnh đề 9.10. Cho ρ, V q p tồn tại một đặc trưng θ : Fp số chiều của một biểu diễn bất khả quy cuspidal là p 1. (cid:1)

N là một biểu diễn của nhóm N nên nó là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy của N . Mặt khác, ta lại có N là một nhóm giao hoán, nên Theo

Chứng minh. Ta có ρ |

Bổ đề Schur, các biểu diễn bất khả quy của N chỉ có chiều bằng 1. Điều này dẫn đến

nPN ‚ Điều này dẫn đến χ

ρ|N chứa một đặc trưng θ của N . Hay nói một cách khác ta có HomN bất kì khi đó với mọi c Lấy φ ρ n N 1, V p c p q (cid:16) qp P p | suy ra θ, ρ|N q (cid:24) p C ta có: φ c φ n p . Do V là một biểu diễn cuspidal nên V qq @ V P N . HomN P c φ p q (cid:16) q ρ | n p c φ p qp qq p q (cid:16)

nPN ‚ c p

nPN ‚

V N . Điều , sử dụng Bổ đề 9.8 ta nhận được q ρ | n p c φ p qp qq

. Do đó θ 1. q P p 0 với mọi c này kéo theo φ 1, V 0 u (cid:25) c p q (cid:16) P p q (cid:16) t C hay HomN Sử dụng luật thuận nghịch Frobenius ta có

N θ, ρ|M

0. HomM HomM IndM p q (cid:20) θ, ρ|N p q (cid:24)

M N 1. p dim p q ¥ | (cid:16) |{| (cid:1) q (cid:16) | là tất cả các biểu diễn bất khả quy cuspidal của

ppp(cid:1)1q 2

1 với mọi i. Sử dụng mệnh đề 9.1(4) ta p Vi Hơn nữa theo mệnh đề 9.9 thì IndM N θ còn là một biểu diễn bất khả quy, nên ρ|M chứa IndM IndM N θ. Vì thế dim N θ V p Gọi Vi với i chạy từ 1 đến ppp(cid:1)1q G. Ta vừa mới chứng minh rằng dim p q ¥ (cid:1) lại có

2 1 q

2 q

p G p p p2 p p (cid:0) p p 2 qp 1 q (cid:1) (cid:1) 2 | | (cid:16) Vi dim p (cid:0) (cid:0) p (cid:1) 1 q (cid:0) p (cid:1) 1 q

i(cid:16)1 ‚ p p p

2 1 q

2 1 q p

p p p2 1 q p p (cid:0) p p p 2 qp 1 q (cid:1) (cid:1) 2 (cid:1) 2 ¥ (cid:1) (cid:0) (cid:0) p (cid:1) 1 q (cid:0) p (cid:1) 1 q p2 p p p2 . 1 qp (cid:1) (cid:16) p (cid:1) q (cid:16) | G |

N θ.

p IndM 1. Do đó ρ|M Vi Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi dim p q (cid:16) (cid:1) (cid:16)

p2 của trường hữu hạn Fp2 là một nhóm xyclic cấp p2

p2 (cid:209)

p2 được gọi là phân tích được nếu tồn tại

Nhóm nhân tính F(cid:2) 1, do đó (cid:1) nó có p2 1 đặc trưng ν : F(cid:2) C(cid:2). (cid:1)

p sao cho

Định nghĩa 9.11. Một đặc trưng ν của F(cid:2) một đặc trưng θ của F(cid:2)

ν θ q (cid:16) NF p α p2 {Fpp . qq

p2 {Fp : Fp2

Trong đó NF Fp; α α p αp(cid:0)1 là ánh xạ chuẩn của mở rộng Galois Fp2 (cid:209) Fp. {

α ν p q (cid:16) α p . Trong q (cid:222)(cid:209) Bổ đề 9.12. Đặc trưng ν của F(cid:2) p2 là phân tích được khi và chỉ khi ν đó α αp là liên hợp của α. (cid:16)

p2 {Fpp

Chứng minh. • Do NF α , nên nếu ν phân tích được thì ν NF α p2 {Fpp q (cid:16) q α p q (cid:16) ν α . p q

p2 {Fp là một đồng cấu nhóm giữa 1, hay p2 {Fpq

p2 và nhóm F(cid:2) P 1. Nói một cách khác α là nghiệm của đa thức xp(cid:0)1 0 có đủ p2 nghiệm trên Fp2. Do đó

• Giả sử ngược lại ta có ν q (cid:16) p α p . Ta có NF q E : NF , khi đó NF α ν p . Giả sử α ker p (cid:16) 1 q (cid:16) 0. Mặt khác ta (cid:16) x p 1. Áp dụng (cid:1) (cid:16) | α p2 {Fpp (cid:1) (cid:16) p2 {Fpq| (cid:16) . NF ker p (cid:0) p2 {Fp có số phần tử là p2(cid:1)1 p p(cid:0)1 (cid:16) p 1 q (cid:1) Điều này dẫn đến NF nhóm F(cid:2) αp(cid:0)1 lại có xp2 định lý đồng cấu nhóm, ta có ảnh của NF p2 {Fp là một toàn cấu.

p , do NF

p2 sao cho

p2 {Fp là một đẳng cấu nên tồn tại α

F(cid:2) F (cid:2) Với mọi x P P NF x. Giả sử α và α1 là hai phần tử thỏa mãn α p2 {Fpp q (cid:16)

p2 {Fpp

α1 x. α NF NF q (cid:16) q (cid:16)

Điều này dẫn đến α1α(cid:1)1 E.

p2 (cid:209)

. Ta có λ khi và chỉ khi λ λ hay (cid:16) F(cid:2) E phần tử. Vậy h là một h ker q p 1 P E, λ p . Do đó ảnh của h có λλ(cid:1)1 p 1 q{p (cid:222)(cid:209) p2 p (cid:1) P | Xét ánh xạ h : F(cid:2) λ (cid:1) toàn ánh. Do đó tồn tại λ sao cho α1α(cid:1)1 P 1 p (cid:0) q (cid:16) (cid:16) | λλ(cid:1)1 . Ta có (cid:16)

(cid:1)1 q

ν ν ν 1. α1α p (cid:16) λλ(cid:1)1 p q (cid:16) α p ν q α p (cid:16)

Vậy ν ν . α p q (cid:16) α1 p Ta định nghĩa θ ν α . Khi đó θ là một đặc trưng của F(cid:2) p . q x p p q q (cid:16)

Phần cuối của mục này sẽ tập trung vào việc xây dựng các biểu diễn cuspidal bất

khả quy của nhóm G, bằng cách liên kết mỗi một đặc trưng không phân tích được của F(cid:2) p2 với một biểu diễn cuspidal.

Do số chiều của biểu diễn cuspidal bất khả quy là p 1, ta có thể lấy bất kì không (cid:1)

(cid:1)

1 chiều. Không gian chúng ta cảm thấy thích hợp nhất trong trường gian véc tơ p hợp này sẽ là không gian V các hàm nhận giá trị phức trên F(cid:2) p . Hơn nữa chúng ta cũng muốn rằng hạn chế của biểu diễn này trên nhóm Mirabolic M phải là IndM N θ với θ là một đặc trưng không tầm thường của Fp. Với các đặc điểm đó, chúng ta bắt đầu xây dựng biểu diễn πν.

x θ ax πν qp q (cid:16) bx p f q p . q a b f 0 1(cid:27)(cid:11) p (cid:3)(cid:19)

Hơn thế nữa, chúng ta cũng mong muốn rằng πν trùng với ν trên nhóm tâm hóa Z của G:

x ν f . πν qp q (cid:16) d q p x p q d 0 f 0 d(cid:27)(cid:11) p (cid:3)(cid:19)

Do đó,

f x ν f . πν qp q (cid:16) c p θ q bc(cid:1)1x p q ac(cid:1)1x p q a b 0 c(cid:27)(cid:11) p (cid:3)(cid:19)

Bằng tính toán trực tiếp, ta có thể kiểm tra được rằng πν là một đồng cấu nhóm giữa (nhóm các tự đẳng cấu của V ). Ta cần mở rộng đồng cấu này cho toàn V B và Aut p q bộ nhóm G. Để thực hiện điều này ta cần phải viết lại nhóm G dưới dạng phần tử sinh

và quan hệ.

Đặt

và u . w 0 1 1 0(cid:11) 1 1 0 1(cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:16) (cid:3)

(cid:1) Khi đó chúng ta có các quan hệ giữa w và các phần tử của B như sau:

3 wu q

w w, w2 , và . p 1 (cid:1) 0 a 0 0 d(cid:11) (cid:16) (cid:3) d 0 0 a(cid:11) (cid:3) (cid:16) (cid:3) 0 1(cid:11) 1 0 0 1(cid:11) (cid:16) (cid:3) (cid:1)

Mệnh đề 9.13. Nhóm G là nhóm sinh bởi B và ˜w với các quan hệ sau.

(1)

˜w ˜w(cid:1)1 , α 0 0 δ(cid:11) (cid:3) δ 0 0 α(cid:11) (cid:16) (cid:3)

(2)

˜w2 , 1 (cid:1) 0 (cid:16) (cid:3) 0 1(cid:11) (cid:1)

(3)

3 ˜wu q p

. 1 0 0 1(cid:11) (cid:16) (cid:3)

(cid:209) 1. Chứng minh. Đặt ˜G là nhóm sinh bởi B và ˜w với những quan hệ phía trên. Khi đó tồn tại duy nhất một toàn cấu θ : ˜G G cố định các phần tử B và biến ˜w thành w. θ Chúng ta cần chứng minh rằng ker p q (cid:16) Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng trong ˜G, với mọi b B B T , tồn tại b1, b2 P (cid:1) P sao cho ˜wb ˜w 0, khi đó b1 ˜wb2. Thật vậy, nếu β (cid:1) (cid:24)

d1ud2; b (cid:16) (cid:3) α β 0 δ (cid:11) (cid:16) (cid:3) 0 1 0 δβ(cid:1)1(cid:11) (cid:3) 1 1 0 1(cid:11) (cid:3) α 0 0 β(cid:11) (cid:16)

bởi (3), ta có ˜wu ˜w u(cid:1)1 ˜w(cid:1)1u(cid:1)1; và bởi (2) ta cũng có: (cid:16)

˜wu(cid:1)1. ˜wu ˜w u(cid:1)1 (cid:16) 1 (cid:1) 0 0 1(cid:11) (cid:3) (cid:1)

Điều này dẫn đến

˜wb ˜w ˜wd1 ˜w(cid:1)1 b1 ˜wb2, (cid:16) p ˜wu ˜w q ˜w(cid:1)1d2 ˜w p q (cid:16)

trong đó

˜wd1 ˜w(cid:1)1 u(cid:1)1 ˜w(cid:1)1d2 ˜w b1 và b2 (cid:16) p u(cid:1)1 q (cid:16) p q 1 (cid:1) 0 (cid:3) 0 1(cid:11) (cid:1) là các phần tử của B (sử dụng (1)).

Tiếp theo, chúng ta chú ý rằng nếu d T , khi đó bằng cách sử dụng (1) và (2) ta P có ˜wd ˜w ˜wd ˜w(cid:1)1 B. (cid:16) p ˜w2 q Giả sử tồn tại 1 P g B, do đó bằng cách sử dụng θ ker p . Khi đó g q P R (cid:24)

b1 nếu b T, P ˜wb ˜w B T, b1 ˜wb2 nếu b (cid:16) $ & P (cid:1)

% g có thể được viết lại như sau

α1 β1 g ˜w trong đó α, α1, δ, δ1 0. (cid:24) 0 (cid:16) (cid:3) δ1 (cid:11) α β 0 δ (cid:11) (cid:3)

Ảnh của vế phải thông qua đồng cấu θ là phần tử . Do đó δ1α 0 (cid:1) (cid:16) α1α α1δ δ1α β1β (cid:1) δ1β (cid:11) (cid:3) (cid:1) (cid:1) (mâu thuẫn).

p (cid:209)

C bởi w Để định nghĩa πν , ta định nghĩa hàm số j : F(cid:2) q p

p2 {Fp pλq(cid:16)x ‚

j x θ 1 p p q (cid:16) ν λ q λ p . q λ p (cid:0)

như sau: Với định nghĩa này, ta có thể định nghĩa πν w p q

x ν y(cid:1)1 j πν w p f qp qp q (cid:16) p xy p f q y p . q q ‚yPF(cid:2)

được định nghĩa như trên có w p q Việc còn lại của chúng ta đó là kiểm tra xem với πν bảo toàn các quan hệ (1),(2) và (3) trong mệnh đề 9.13 trên hay không. Việc kiểm tra

không khó, nhưng cần những tính toán khá tỉ mỉ và có phần buồn tẻ nên chúng ta sẽ

bỏ qua (các chứng minh chi tiết có thể tìm thấy trong [PS83, Chương 2, mục 13]).

p2, biểu diễn πν

Định lý 9.14. (1) Với mọi đặc trưng ν không phân tích được của F(cid:2)

được xây dựng như trên là một biểu diễn bất khả quy cuspidal.

p2, khi đó πν đẳng cấu

(2) Nếu ν (cid:24) ν1 với πν1 khi và chỉ khi ν ν1 là hai đặc trưng không phân tích được của F(cid:2) . q α p α p

N θ. Do IndM

N θ bất khả quy nên πν cũng là một biểu diễn bất khả quy. Giả sử nó không phải biểu diễn cuspidal, khi đó nó là biểu diễn con của một biểu diễn cảm sinh parabolic. Điều

IndM Chứng minh. πν q (cid:16) (1) Từ cách xây dựng ta có resG M p q (cid:16)

này dẫn đến số chiều của nó phải là 1, p hoặc p 1 (mâu thuẫn do theo cách xây (cid:0) 1). dựng biểu diễn πν có số chiều là p (cid:1)

(2) Để đơn giản kí hiệu chúng ta sử dụng N thay cho NF λ. λ p λ p q (cid:16) (cid:0)

p2 {Fppλq và Tr λ q jν1 lần lượt là hàm số j tương ứng với π1 trên B. ν p . Khi đó π

(cid:16) (cid:16) (cid:16) F(cid:2) πν, π1 Đặt π (cid:16) ν và ν1. Nếu ν πν1 và đặt j ν, khi đó ta có: ν1 α (cid:16) jν, j1 α p α p q (cid:16) q @ P (cid:16) Hơn nữa,

N pλq(cid:16)x ‚

θ λ θ ν1 j1 1 (cid:1) p 1 (cid:1) p Tr p λ p Tr p p qq λ p q (cid:16) ν q λ p q x p q (cid:16) ‚N pλq(cid:16)x

N pλq(cid:16)x ‚

θ λ j x 1 (cid:1) p (cid:16) Tr p p ν qq λ p q (cid:16) p q

Do đó π1 π π1. w1 p q (cid:16) w1 p . Như vậy ta có π q (cid:16) V Aut p P ϕ π1 π s s s p resG M p q (cid:16) , q q (cid:5) (cid:16) @ P (cid:5) p Ngược lại, giả sử rằng π1 đẳng cấu với π. Khi đó, tồn tại tự đẳng cấu ϕ sao cho π1 ϕ Schur 4.19, θ là một phép vị tự. Do đó, π1 π s p P s p q (cid:16) với mọi α bằng nhau trên B. Do đó, ν π1 ν1 α G. Mặt khác resG π M p , s @ q F(cid:2) p . Hơn nữa, π q . Từ Bổ đề q G. Đặc biệt, π và π1 là w1 w1 p p α p q (cid:16) q (cid:16) P q p q nên

p (cid:209)

ν1 ν y y(cid:1)1 p j1 q xy p f q y p , q y(cid:1)1 p j q xy p f q p q (cid:16) ‚yPF(cid:2) F(cid:2) với mọi x C). P Từ đó suy ra j ‚yPF(cid:2) p và mọi f j1 α V (nhắc lại rằng V là không gian các hàm f : F(cid:2) với mọi α Fp, nghĩa là p q (cid:16) P α p P q

N pλq(cid:16)α ‚

θ θ ν1 . Tr p λ p ν qq λ p q (cid:16) Tr p λ p qq λ q p

p bất kì, ta có j

F(cid:2) Với x x2α j1 . Rút gọn ν ở hai vế ta thu được p q (cid:16) x2α p q P x p q

N pλq(cid:16)α ‚

θ xTr ν1 α, x θ λ F(cid:2) p . p λ p qq , λ q p @ P xTr p p ν qq λ p q (cid:16)

Fp bất kì, tồn tại λ P P y và N N λ p λ0 p q (cid:16) q (cid:16) p q

ν1 ν1 λ ν ν và đặt θy là đặc trưng của F(cid:2) q (cid:0) q (cid:1) p p θ Fp2 Chọn λ0 là phần tử sinh của nhóm xyclic Fp2. Với y (do Fp2 là mở rộng (trường) bậc hai duy sao cho Tr λ nhất của Fp). Một nghiệm khác cho hai đẳng thức trên, hiển nhiên là λ. Đặt p được định nghĩa ay (cid:16) bởi θy λ p xy p λ q q (cid:1) . Khi đó, ta có q λ p x p q (cid:16)

0. ayθy (cid:16)

yPFp ‚ θy1, sử dụng bổ đề Artin về tính độc lập tuyến Fp. Đặc

Chú ý rằng y y1, khi đó θy (cid:24) (cid:24) 0 với mọi y (cid:16) P của các đặc trưng phân biệt của một nhóm, ta có ay biệt, ta còn có:

ν ν ν1 ν1 λ0 λ0 p q (cid:0) p q (cid:16) λ0 p q (cid:0) λ0 p . q

Kết hợp với

ν ν ν1 ν1 λ0 p ν q λ0 p q (cid:16) λ0 N p p qq (cid:16) N p λ0 p qq (cid:16) λ0 p ν1 q λ0 p , q

ν hoặc ν1 ν, ν ν λ0 . Từ đó suy ra ν1 q (cid:16) (cid:16) q (cid:16) q p λ0 p q (cid:16) λ0 p hoặc ν1 ta có hoặc ν1 λ0 p vì λ0 là phần tử sinh của F(cid:2) p2.

biểu diễn πν đôi một không đẳng cấu với nhau. Đặc

Hệ quả 9.15. Chúng ta có p2(cid:1)p 2 biệt tất cả các biểu diễn cuspidal của G được xây dựng như trên.

p2, khi đó một đặc trưng θ của F(cid:2)

Chứng minh. Gọi α là phần tử sinh của nhóm F(cid:2)

2kiπ p2(cid:1)1 .

được xác định duy nhất khi biết giá trị θ α . Giả sử θ α e q (cid:16) q p p Theo mệnh đề 9.12, ta có θ phân tích được khi và chỉ khi k chia hết cho p 1. Ta

có đúng p 1 nằm trong khoảng từ 0 đến p2 (cid:0) 2. Do đó có (cid:1) (cid:0) (cid:1) 1 giá trị k chia hết cho p 1 đặc trưng phân tích được. Vậy sẽ có p2 p (cid:1) (cid:1) quan hệ tương đương trên các đặc trưng không phân tích được như sau ν p đặc trưng không phân tích được. Xét ν1 khi và (cid:20) ν1 q (cid:16) α p α p .Các lớp tương đương có 2 phần tử, nên có số lớp tương đương là q chỉ khi ν p2(cid:1)p 2 . Áp dụng định lý 9.14 trên ta có p2(cid:1)p 2

biểu diễn πν đôi một không đẳng cấu với nhau. Hơn nữa do số lượng biểu diễn cuspidal của G chính xác bằng p2(cid:1)p , nên cách 2 xây dựng πν từ các đặc trưng không phân tích được của F(cid:2) p2 cho phép ta biết hết các biểu diễn cuspidal của G.

10 Các biểu diễn cuspidal độ sâu 0 của GL2pQpq

Trong mục này chúng ta sẽ xây dựng một lớp các biểu diễn cuspidal của nhóm

. Các biểu diễn này được xây dựng cảm sinh từ những biểu diễn cuspidal của q đã được xây dựng ở phía trên. Các biểu diễn này được gọi là biểu diễn cuspidal q Qp GL2 p Fp GL2 p có độ sâu 0.

. Thông qua q Fp p

Zp p Fp p q

p GLr

vào GLr . Giả sử χ là một đặc trưng của Q(cid:2) q p

Q(cid:2) p GLrpZpqp Qp . q

, ta cũng có thể xem σ như là một biểu diễn q p thỏa mãn hạn chế của χ xuống Z(cid:2) p Zp σ là một biểu diễn của Q(cid:2) . p (cid:4) q thì π là một biểu diễn bất χ σ q (cid:4) Định lý 10.1. Xét σ là một biểu diễn cuspidal bất khả quy của GLr toàn cấu nhóm từ GLr Zp của GLr trùng với đặc trưng trung tâm của σ, khi đó χ Nếu gọi π là biểu diễn cảm sinh compact indGLrpQpq khả quy cuspidal chấp nhận được của GLr p

Trước hết, chúng ta cần một bổ đề tổng quát cho phép mô tả hạn chế của một biểu

diễn cảm sinh (trong trường hợp đặc biệt mà chúng ta đang quan tâm).

Bổ đề 10.2. Cho H là một nhóm con mở, compact modulo tâm hóa của một (cid:96)-nhóm

là một biểu diễn trơn hữu hạn chiều của H. Gọi π q σ, W p (cid:16) là biểu diễn cảm sinh compact tương ứng. Khi đó hạn chế của π xuống H được q đơn modular G. Gọi indG σ Hp cho bởi

gσ

HXg(cid:1)1Hg

HXg(cid:1)1Hgp

gPHzG{H (cid:224)

IndH π | , q indG σ Hp qs (cid:20) | (cid:16) r

trong đó gσ là biểu diễn của g(cid:1)1Hg định nghĩa bởi gσ g(cid:1)1Hg σ với mọi h H. p h q p q (cid:16) P

là không gian các hàm f trơn Chứng minh. Với mỗi g C 8 q trên HgH thỏa mãn f σ G, gọi Vg h1 HgH, σ p gh2 (cid:16) f q q (cid:16) p p . Vì HgH mở trong G và cũng compact q

, định nghĩa bằng cách mở q (cid:209) π cho ta một ánh xạ chính (cid:209) P h1gh2 p indG σ modulo H nên ta có một đơn cấu chính tắc Vg Hp rộng bởi 0 bên ngoài HgH. Bây giờ, tập các đơn ánh Vg tắc

gPHzG{H (cid:224)

π. Vg (cid:209)

Ta sẽ chỉ ra đây là một đẳng cấu của các H-môđun. Thật vậy, bằng cách xét giá

của các hàm, dễ thấy ánh xạ trên là đơn ánh. Mặt khác, từ định nghĩa của π ta có

π là đồng cấu các H-môđun ngay được tính toàn ánh. Chú ý rằng H tác động lên Vg thông qua phép nhân bên phải của H lên HgH, đồng thời ánh xạ Vg

gσ

HXg(cid:1)1Hgp

HXg(cid:1)1Hg q được định nghĩa tốt và là một song ánh bảo toàn tác động của H. Ta có điều phải

(cid:209) Tiếp theo ta kiểm tra được tương ứng f f từ Vg vào IndH (cid:222)(cid:209) |

p GLr

chứng minh.

Chứng minh cho định lý 10.1. Gọi H là nhóm con Q(cid:2) nhóm con mở, đồng thời compact modulo tâm hóa của G Zp p GLr . Rõ ràng H là một q Qp p . Để đơn giản, ta q (cid:16) σ của H. Ta sẽ chứng minh định lý 10.1 bằng cách lần cũng viết σ để chỉ biểu diễn χ (cid:4) lượt chứng minh tính bất khả quy, chấp nhận được và tính cuspidal của π.

Tính bất khả quy: Ta có khẳng định sau đây: Với mọi g G H, ta luôn có P (cid:1) . HomHXg(cid:1)1Hg σ,g σ p 0 u q (cid:16) t Tạm thời chấp nhận khẳng định này, khi đó theo bổ đề phía trước ta có σ xuất

H |

1. hiện trong π với bội 1, hay nói cách khác dim HomH σ, π p q (cid:16) Giả sử phản chứng rằng π không bất khả quy. Khi đó tồn tại một dãy khớp ngắn

của các G-module không tầm thường:

0 π 0. π1 π2 (cid:221)(cid:209) (cid:221)(cid:209) (cid:221)(cid:209)

(cid:221)(cid:209) Chú ý rằng vì H compact modulo tâm hóa nên mọi biểu diễn (chẳng hạn σ, π1, π2 p tác động như một đặc trưng đều là H-môđun nửa đơn. Vì như một G-module. Điều tương tự cũng nên π có thể nhúng vào IndG σ Hp q và π) mà trên đó Q(cid:2) indG σ π Hp (cid:16) q

, π1, σ p đúng cho π1. Sử dụng định lý thuận nghịch Frobenius 7.5 ta có HomH 0 u q (cid:24) t nói cách khác σ xuất hiện trong π1. Theo định lý thuật nghịch Frobenius 7.6 ta có

HomH σ, π2 HomG p , π2 q . q indG σ Hp p

q (cid:16) Do đó σ cũng xuất hiện trong π2, tuy nhiên điều này mâu thuẫn với việc σ chỉ xuất

hiện với bội 1 trong π.

Như vậy ta chỉ cần phải chứng minh nhận xét nói trên. Vì g G H nên bằng cách P (cid:1) sử dụng phân tích Cartan, ta có thể giả sử mà không làm mất tính tổng quát rằng

F , . . . , (cid:36)mr(cid:1)1

0. Gọi k là chỉ số duy nhất g diag . . . trong đó m1 mr(cid:1)1 , 1 q p (cid:16) ¥ . Khi đó ta cũng có 0 u q (cid:24) t ¥ σ,g σ p ¥ (cid:16)

(cid:36)m1 F thỏa mãn mk 1 và mk(cid:0)1 σ,g σ HomNkpOqXg(cid:1)1NkpOqg p ứng với phân hoạch r của r. Ta có Nk gNk Nk ¥ 0. Giả sử HomHXg(cid:1)1Hg 0 q (cid:24) u u r k (cid:0) p (cid:1) q (cid:16) g(cid:1)1 q O p O p q X (cid:128) , trong đó Nk là căn lũy đơn của nhóm con parabolic , ở đây k q nên gσ q σ, 1 g(cid:1)1Nk g, tức là HomNkpOqXg(cid:1)1NkpOqg q q (cid:24) t O p p . q X là một biểu diễn cuspidal của GLr B p Fp các kí hiệu được hiểu theo nghĩa hiển nhiên. Vì σ được nâng lên từ GLr p tầm thường trên Nk . Điều này 0 O u p σ, W mâu thuẫn với p Fp p q q

Dễ thấy ta chỉ cần chứng minh, với mỗi m Tính chấp nhận được: Tiếp theo ta chứng minh π là biểu diễn chấp nhận được. 1 thì πKm là hữu hạn chiều. Ở đây Km ¥ là nhóm con đồng dư chính bậc m.

Nhắc lại rằng πKm là không gian vector gồm các hàm hằng số địa phương f : G W (cid:209) thỏa mãn

f σ với mọi h H, g G, k Km. hgk p q (cid:16) f h q p g p , q P P P

Sử dụng phân tích Cartan, ta có thể chọn các phần tử đại diện của các lớp kề kép

F , . . . , (cid:36)mr m2 F q ⁄ . 1 mi(cid:0)1 max u ⁄ (cid:1) t gKmg(cid:1)1 H, trong đó Uj là căn . Như vậy j lũy đơn của nhóm con parabolic tối đại ứng với phân hoạch r q

a trong H k, trong đó a với 0 diag (cid:16) (cid:16) (cid:4) . . . (cid:36)m1 p a m1 i (cid:16) 1 ⁄ r mi ⁄ q (cid:16) ⁄ (cid:1) P | m thì Uj mj(cid:0)1 Km ở dạng g G z { mr và k K Km. Với mỗi a như vậy, đặt t p { O mj a Chú ý rằng nếu t p p q (cid:16) q (cid:128) (cid:1) ¥ X j r (cid:0) p (cid:16) (cid:1) ta có:

σ f f f g(cid:1)1ug f u p g p ug p q (cid:16) q (cid:16) (cid:4) g p , q

nói cách khác f q (cid:4) W là một vector cố định bởi Uj g p và do đó bởi Uj q (cid:16) O p q Fp p . Khi q cho ta f g p đó tính cuspidal của q q P σ, W p g p Vậy ta đã chứng minh được nếu 0 q (cid:16) f 0. πKm thì f có giá nằm trong các lớp kề kép (cid:24) P m. Vì tập các lớp kề như vậy là hữu hạn nên ta có số chiều của a HakKm với t p q (cid:160)

πKm là hữu hạn.

Tính cuspidal: Gọi P M N là một nhóm con parabolic của G. Để chứng minh π là (cid:16) (cid:4)

(cid:6) q

(cid:16) πN p (cid:16) π(cid:6) p cuspidal ta cần chỉ ra môđun Jacquet πN π, C Chú ý rằng HomN q (cid:20) p đối ngẫu π(cid:6) của π) được cố định bởi N . Ta sẽ chỉ ra

π(cid:6) p nên ta có thể đồng nhất π(cid:6) với C 8 0. (cid:16) G, σ(cid:6) Vì π 0. 0. Do đó ta chỉ cần chứng minh N là không gian con gồm các vector (trong không gian q N q H p , không gian các hàm q indG σ Hp z q (cid:16) σ(cid:6) hg . hằng số địa phương φ trên G với giá tập giá trị trong W (cid:6) thỏa mãn φ p g φ p h q p q (cid:16) q Ta có thể kiểm tra phép đồng nhất này là đúng bằng cách chú ý rằng không gian đối

N là không gian gồm các hàm hằng số địa phương φ : G q

ngẫu của tổng trực tiếp của các không gian vector sẽ đẳng cấu với tích trực tiếp của các W (cid:6) đối ngẫu. Suy ra π(cid:6) p (cid:209) thỏa mãn

g với mọi h H, g G, n N . φ σ(cid:6) φ h p q p , q P P P hgn p q (cid:16)

Tiếp theo, sử dụng phân tích Iwasawa ta có thể chọn phần tử đại diện cho các lớp

kề kép trong H M , chú ý rằng N sao cho chúng đều nằm trong M . Với mỗi m G { z P

N H H mN m(cid:1)1. N X (cid:16) X

Do đó với mọi h N O O p q (cid:16) , ta có p q P

σ(cid:6) m(cid:1)1hm m φ h p q p hm φ p q (cid:16) (cid:4) m φ p , q

W (cid:6) được cố định bởi N m m φ p . Hơn nữa vì là biểu diễn cuspidal q P q 0. Suy ra 0. (do q (cid:16) Fp tức là φ p p q m là biểu diễn cuspid2al) nên φ p σ, W p q q (cid:16) q (cid:16) σ(cid:6), W (cid:6) p N π(cid:6) q p (cid:16)

Tài liệu

[BH06] C. J. Bushnell, G. Henniart, The local Langlands conjecture for GL2,

Grundlehren der Math. Wiss. 335, Springer, Berlin.

N via compact open [BK93] C. J. Bushnell, P. C. Kutzko, The admissible dual of GL p q subgroups, Princeton University Press, Princeton (1993).

[FM09] F. Murnaghan, Representations of reductive p-adic groups,

http://www.math.toronto.edu/murnaghan/course/mat1197/notes.pdf.

for finite fields K, [PS83] I. Piatetski-Shapiro, Complex representations of GL2 K p q Contemporary mathematics (16).

[PR07] D. Prasad, A. Raghuram, Representation theory of GLn over non-Archimedean

local fields, http://www.math.tifr.res.in/ dprasad/ictp2.pdf.

[S71] J. P. Serre, Linear representations of finite groups, Graduate texts in Mathemat-

ics 42, Springer.

[RV18] R. Vinroot, Topological groups,

http://www.math.wm.edu/ vinroot/PadicGroups/topgroups.pdf (cid:18)

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số biểu diễn Cuspidal của nhóm Gl2 trên trường p − adic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Thu Hà

MỘT SỐ BIỂU DIỄN CUSPIDAL CỦA NHÓM GL2 TRÊN TRƯỜNG P − ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Thu Hà

MỘT SỐ BIỂU DIỄN CUSPIDAL CỦA NHÓM GL2 TRÊN TRƯỜNG P − ADIC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số:

8460101.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. ĐỖ VIỆT CƯỜNG

Hà Nội - Năm 2019

Mục lục

Lời cảm ơn

1 Giới thiệu

BẢNG THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU

2 Định giá và trường địa phương

3 Các (cid:96)- nhóm

4 Lý thuyết biểu diễn của các (cid:96)-nhóm

5 Độ đo Haar

6 Một vài tính chất của nhóm GLr

»Nr(cid:1)1pF q »F r(cid:1)1

»F r(cid:1)1

7 Biểu diễn hạn chế và biểu diễn cảm sinh

8 Biểu diễn cảm sinh parabolic và môđun Jacquet

9 Các biểu diễn của nhóm GL2pFpq

10 Các biểu diễn cuspidal độ sâu 0 của GL2pQpq

Tài liệu

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Chế tạo và nghiên cứu tính chất điện, từ của vật liệu multiferroic Ba₀.₇Ca₀.₃TiO₃/ NiFe₂O₄

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu vật liệu biến hóa dạng chuỗi một chiều chế tạo từ kim loại đồng trên đế FR-4 hoạt động tại tần số MHz ứng dụng trong truyền năng lượng không dây

Luận văn Thạc sĩ: Đánh giá khả năng tác động tới môi trường biển của việc xả nước thải từ sự cố nhà máy điện hạt nhân Fukushima sử dụng công cụ ERICA

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng mô hình đầu dò nơtron và gamma sử dụng nhấp nháy EJ-276 ghép nối với mảng nhân quang silicon

Luận văn Thạc sĩ: Đánh giá khả năng ảnh hưởng của bức xạ ion hóa đến sức khỏe cư dân khu vực mỏ đất hiếm Đông Pao, xã Bản Hon, huyện Tam Đường, tỉnh Lai Châu

Luận văn Thạc sĩ: Sử dụng phương pháp nhiễu xạ neutron khảo sát cấu trúc tinh thể và pha trật tự từ trong vật liệu Pr2FeCrO6

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu phân lập, xác định cấu trúc và hoạt tính ức chế NO của các hợp chất thứ cấp từ chủng vi nấm biển Aspergillus sp. CL251

Luận văn Thạc sĩ: Phân tích một số hợp chất bisphenol thôi nhiễm từ bao bì nhựa lên một số mẫu thực phẩm nền tinh bột

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và đánh giá hoạt tính kháng khuẩn, kháng nấm của loài hoa mộc (Osmanthus fragrans (Thunb.) Lour.) ở Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và đánh giá tác dụng kháng viêm của loài côi Turpinia montana (Blume) Kurz

Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đặc trưng tính chất vật liệu composite có cấu trúc nano chitosan–cyclodextrin/TiO₂–Ag

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu chế tạo và khảo sát một số tính chất của màng phủ trên cơ sở nhựa epoxy gốc nước và khung cơ kim - ZIF

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuất napthoquinone chứa nguyên tố flo bằng phản ứng đa thành phần

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu điều chế vật liệu Bioglass và tổ hợp lai với polymer ALG-F127 định hướng ứng dụng trong điều trị nội nha

Luận văn Thạc sĩ: Khảo sát thành phần hóa học và hoạt tính ức chế enzyme α-glucosidase trên một số hợp chất phân lập từ thịt quả bình bát nước (Annona glabra L.).

Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp chất lai chứa khung tetrahydro-β-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuất của benzazole

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu chiết tách lignin từ vỏ sầu riêng Ri6 (Durio zibethinus Murr.) và tổng hợp vật liệu biocomposite định hướng ứng dụng trong bảo quản sau thu hoạch

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hạt nano bạc phủ acid hyaluronic mang doxorubicin định hướng ứng dụng trong điều trị ung thư

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và hoạt tính kháng viêm của loài rau dừa nước (Ludwigia adscendens)

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách