ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THÀNH TRUNG

CHẶN ĐỀU CHỈ SỐ KHẢ QUY

CHO IĐÊAN THAM SỐ CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH

TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

Ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đỗ Minh Châu

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị

trùng lặp với các luận văn trước đây. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành

luận văn là các nguồn tài liệu mở. Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được

ghi rõ nguồn gốc.

4 ăm 2019

T giả ận n

Nguyễn Thành Trung

i

LỜI CẢM ƠN

Luận văn "Chặn đều chỉ số khả quy cho Iđêan tham số của môđun

hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương" được hoàn thành sau thời

gian 2 năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học

Thái Nguyên. Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin được bày tỏ

lòng biết ơn chân thành tới cô giáo của tôi - TS. Trần Đỗ Minh Châu,

người cô kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên và tạo mọi điều

kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận

văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái

Nguyên, lãnh đạo khoa Toán, lãnh đạo khoa Sau đại học của Trường đã

tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập

của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy

cho lớp Cao học chuyên ngành Toán khóa 25.

Cuối cùng tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình, bạn

iii

bè đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và nghiên cứu thật tốt.

MỞ ĐẦU

Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu

hạn sinh chiều d. Giả sử x = x1, . . . , xd là một hệ tham số của M và

xn = xn1

1 , . . . , xnd

d . Ta xem hiệu

IM,x(n) = (cid:96)(M/xnM ) − e(xn; M )

q = (x1, . . . , xd). Cho n = (n1 . . . , nd) là bộ gồm d số nguyên dương và

x. Mặc dù IM,x(n) không là đa thức với n1, . . . , nd đủ lớn nhưng nó bị

như một hàm theo biến n trong đó e(x; M ) là số bội của M ứng với dãy

chặn trên bởi các đa thức. Trong [7], N. T. Cường đã chứng minh được

bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo biến n chặn trên IM,x(n) là không

phụ thuộc vào việc chọn x. Bậc này được gọi là kiểu đa thức của M,

kí hiệu là p(M ). Chú ý rằng M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ

nếu (cid:96)(M/ q M ) = e(q; M ), với một (và do đó với mọi) iđêan tham số q

của M. Vì thế nếu ta quy ước bậc của đa thức 0 là −1 thì M là môđun

Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1. Để mở rộng lớp môđun Cohen-

Macaulay, J. Stuckrad và W. Vogel đã giới thiệu lớp môđun Buchsbaum.

Một R-môđun M được gọi là Buchsbaum nếu và chỉ nếu với mọi iđêan

tham số q, hiệu (cid:96)(M/ q M ) − e(q; M ) là không đổi. Sau đó, N. T. Cường,

P. Schenzel và N. V. Trung [9] đã giới thiệu lớp môđun Cohen-Macaulay

(cid:96)(M/ q M ) − e(q; M ) bị chặn trên với mọi iđêan tham số q của M. Dễ

1

suy rộng. Môđun M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu hiệu

p(M ) ≤ 0. Cho đến nay vẫn còn rất ít thông tin về cấu trúc của M khi

p(M ) > 0.

dàng thấy rằng M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu

Cho q là iđêan tham số của M. Số thành phần bất khả quy xuất

hiện trong một phân tích bất khả quy thu gọn của q M được gọi là chỉ

irM (q M ) = dimR/m Soc(M/ q M ), trong đó với mỗi R-môđun N tùy ý,

Soc(N ) = (0 :N m). Một kết quả cổ điển của D. G. Northcott phát biểu

số khả quy của q trong M và kí hiệu là irM (q M ). Chú ý rằng ta luôn có

rằng chỉ số khả quy của các iđêan tham số đối với môđun Cohen-Macaulay

là một bất biến của môđun M. Trong [11], S. Endo và M. Narita đã đưa

ra ví dụ chứng tỏ chiều ngược lại là không đúng. Khi M là môđun Cohen-

Macaulay suy rộng, S. Goto và N. Suzuki [13] đã chứng minh rằng irM (q M )

có chặn trên cho bởi công thức

d−1 (cid:88)

irM (q M ) ≤

(cid:96)R(H j

m(M )) + dimk Soc H d

m(M )

d j

j=0

(cid:32) (cid:33)

với mọi iđêan tham số q của M. Trong trường hợp M là môđun Buchs-

baum, S. Goto và H. Sakurai [12] đã chứng minh dấu bằng trong bất đẳng

thức trên xảy ra với mọi iđêan tham số q nằm trong lũy thừa đủ lớn của

m. Tiếp theo, N. T. Cường và H. L. Trường [10] đã mở rộng kết quả của

Goto, H. Sakurai cho trường hợp môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Gần

đây, N. T. Cường và P. H. Quý đã sử dụng kỹ thuật chẻ ra của đối đồng

điều địa phương để chứng minh lại kết quả này.

Mục đích của luận văn là trình bày lại kết quả của P. H. Quý trong

2

bài báo "On the uniform bound of the index of reducibility of parameter

ideals of a module whose polynomial type is at most one". Kết quả khẳng

định nếu M là R-môđun hữu hạn sinh sao cho p(M ) ≤ 1 thì irM (q M ) bị

chặn trên với mọi iđêan tham số q của M. Ngoài phần mở đầu, kết luận

và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn gồm 2 chương.

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản của môđun hữu hạn sinh

gồm chiều, độ sâu và số bội; khái niệm và tính chất của Đối ngẫu Matlis,

môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại và kiểu đa thức.

Chương 2 trình bày khái niệm chỉ số khả quy, chặn đều số phần tử

sinh tối tiểu của môđun con trong trường hợp chiều 1 và chặn đều chỉ số

khả quy trong trường hợp p(M ) ≤ 1.

3

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán

Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d, L là R-môđun

1.1. Chiều, hệ tham số và số bội của môđun hữu hạn sinh

tùy ý không nhất thiết hữu hạn sinh.

Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm và một số kết quả về

các bất biến của R-môđun hữa hạn sinh M gồm chiều, độ sâu và số bội

ứng với một hệ tham số.

Định nghĩa 1.1.1. Ta nói dãy các iđêan nguyên tố q0 ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qn của R có độ dài n nếu qi (cid:54)= qi+1 với mọi i. Chiều Krull của vành R là cận trên đúng của tất cả độ dài của dãy các iđêan nguyên tố trong R. Chiều

Krull của R được kí hiệu là dim R.

R = k[X1, X2, . . . , Xn, . . .] có chiều là ∞ vì xích các iđêan nguyên tố

(X1) ⊂ (X1, X2) ⊂ . . . ⊂ (X1, X2, . . . , Xn) ⊂ . . .

Ví dụ 1.1.2. (i) Cho k là một trường. Vành các đa thức vô hạn biến

tăng vô hạn.

R đều là một iđêan cực đại. Đặc biệt, mỗi trường đều có chiều bằng 0.

4

(ii) Nếu R là vành Artin thì dim R = 0, vì mỗi iđêan nguyên tố của

(iii) Vành các số nguyên Z có dim Z = 1, vì 0 là một iđêan nguyên tố, còn mọi iđêan nguyên tố khác không là cực đại và có dạng pZ với p là

số nguyên tố.

Định nghĩa 1.1.3. Chiều Krull của M, kí hiệu là dim M, là chiều Krull

của vành R/ AnnR(M ).

Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết

của M nếu tồn tại một phần tử m ∈ M sao cho p = AnnR(m). Tập các

iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR M.

Chú ý rằng iđêan nguyên tố p ∈ AssR M nếu và chỉ nếu M chứa

một môđun con đẳng cấu với R/ p . Hơn nữa, tập các iđêan nguyên tố tối

tiểu chứa AnnR M và tập các iđêan tối tiểu của AssR M là bằng nhau. Vì

thế ta có công thức tính dim M qua chiều của các iđêan nguyên tố liên kết

của M như sau.

dim M = max{dim(R/ p) | p ∈ AssR M }.

Bổ đề 1.1.4.

√

ab ∈ I và a /∈ I kéo theo b ∈

I với mọi a, b ∈ R. Chú ý rằng nếu I là

√

Cho I (cid:54)= R là iđêan của R. Ta nói rằng I là iđêan nguyên sơ nếu

I là iđêan nguyên tố. Trong trường hợp này ta

iđêan nguyên sơ thì p =

nói I là iđêan p-nguyên sơ.

L1 (cid:38) L2 (cid:38) . . . (cid:38) Lt = L (*) trong đó mỗi Li là môđun con của L được

Cho L là R-môđun không nhất thiết hữu hạn sinh. Dãy 0 = L0 (cid:38)

gọi là dãy môđun con độ dài t. Ta nói L có dãy hợp thành nếu tồn tại dãy

i = 0, . . . , t − 1. Nếu L có dãy hợp thành thì mọi dãy môđun con không

5

(*) mà giữa Li và Li+1 không thể thêm một môđun con nào khác, với mọi

có mắt lặp lại của L đều có thể mở rộng được thành một dãy hợp thành

L có độ dài hữu hạn và độ dài của L, kí hiệu là (cid:96)R(L), là độ dài của một

và các dãy hợp thành của L có chung độ dài. Trong trường hợp này ta nói

dãy hợp thành. Nếu L không có dãy hơp thành thì ta nói L có độ dài vô

hạn, ta kí hiệu (cid:96)R(L) = ∞.

Định lý sau cho ta hai bất biến tương đương với chiều Krull của M .

Định lý 1.1.5. [14, Định lý 13.4]. Cho q là một iđêan m-nguyên sơ. Khi

dim M = deg (cid:96)R(M/ qn M )

= inf{t | ∃x1, . . . , xt ∈ m, (cid:96)R(M/(x1, . . . , xt)M ) < ∞}.

đó (cid:96)R(M/ qn M ) là một đa thức với hệ số hữu tỉ khi n đủ lớn và

Vì R là vành Noether nên m là iđêan hữu hạn sinh. Do đó tồn

(cid:96)R(M/mM ) < ∞ nên ta suy ra (cid:96)R(M/(x1, . . . , xt)M ) < ∞. Do đó theo

tại hữu hạn phần tử x1, . . . , xt thuộc m sao cho m = (x1, . . . , xt)R. Vì

Định lý 1.1.5 ta có dim M ≤ t. Suy ra dim M < ∞.

Định nghĩa 1.1.6. Một hệ gồm d phần tử {x1, . . . , xd} nằm trong m

{x1, . . . , xd} là một hệ tham số của M thì xi được gọi là một phần tử tham

được gọi là một hệ tham số của M nếu (cid:96)R(M/(x1, . . . , xd)M ) < ∞. Nếu

số của M và tập con i phần tử {x1, . . . , xi} được gọi là một phần hệ tham

số của M.

Chú ý rằng luôn tồn tại hệ tham số của M theo Định lý 1.1.5. Khi

đó (x1, . . . , xd) + AnnR M là iđêan m-nguyên sơ. Mệnh đề sau cho ta một

số tính chất của hệ tham số.

6

Mệnh đề 1.1.7. Các phát biểu sau là đúng.

1 , . . . , xnd

d } cũng là

(i) Nếu {x1, . . . , xd} là một hệ tham số của M thì {xn1 một hệ tham số của M với mọi n1, . . . , nd ∈ N.

(ii) Cho x ∈ m. Khi đó x là phần tử tham số của M khi và chỉ khi x /∈ p

với mọi p ∈ AssR M thỏa mãn dim R/ p = d.

(cid:1) là tổ hợp chập k của n phần Với hai số tự nhiên k ≤ n, ta đặt (cid:0)n k

tử.

Định nghĩa 1.1.8. Cho x = (x1, . . . , xd) là hệ tham số của M. Đặt

q = (x1, . . . , xd). Khi đó tồn tại các số nguyên e0, e1, . . . , en với e0 > 0 sao

cho với n đủ lớn ta có.

+ e1

+ . . . + en.

(cid:96)R(M/ qn M ) = e0

n + d d

n + d − 1 d − 1

(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)

1.2. Đầy đủ theo tôpô m-adic và Đối ngẫu Matlis

Ta gọi e0 là số bội của M ứng với x và kí hiệu là e(x, M ).

Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m, L là R-

môđun không nhất thiết hữu hạn sinh. Mục tiêu của tiết này là nhắc lại

khái niệm vành đầy đủ (cid:98)R của R theo tôpô m-adic và một số kết quả về

hàm tử đối ngẫu Matlis D(−) := Hom(−, E(R/m)). Nội dung tiết này

tham khảo trong [4, Chương 10].

Định nghĩa 1.2.1. Một dãy (xn) ⊂ R được gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N để xn − xm ∈ mk,

với mọi m, n ≥ n0. Dãy (xn) ⊂ R được gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ mk, với mọi n ≥ n0.

Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai

dãy Cauchy (xn), (yn) được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn) là dãy

7

không. Kí hiệu (cid:98)R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý

(xn) + (yn) = (xn + yn) và quy tắc nhân (xn)(yn) = (xnyn) không phụ

rằng tổng và tích của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng

thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì thế chúng là

các phép toán trên (cid:98)R và cùng với phép toán này (cid:98)R làm thành một vành Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất (cid:98)m. Vành (cid:98)R vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R.

Một dãy (zn) ⊂ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho zn − zm ∈ mkM, với mọi m, n ≥ n0. Dãy (zn) ⊂ M gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước tồn tại n0 ∈ N sao cho zn ∈ mk, với mọi n ≥ n0. Ta trang bị quan hệ

tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (zn), (tn)

được gọi là tương đương nếu dãy (zn − tn) là dãy không. Kí hiệu (cid:99)M là tập

các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng tổng của hai dãy

Cauchy là một dãy Cauchy và tích vô hướng của một phần tử thuộc (cid:98)R với

một dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng (zn) + (tn) = (zn + tn)

và quy tắc nhân vô hướng a(zn) = (azn) với a ∈ (cid:98)R, không phụ thuộc vào

cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép toán

trên (cid:99)M và cùng với phép toán này (cid:99)M làm thành một (cid:98)R-môđun và được

gọi là môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành (cid:98)R.

Ví dụ 1.2.2. Cho k là một trường, k[x] là một vành đa thức một biến

trên k. Vành S = k[x] không là vành địa phương. Chọn P = (x)S là iđêan

cực đại của S. Do đó vành địa phương hóa R = SP là vành địa phương với

iđêan tối đại là m = (x)R. Ta có thể kiểm tra được vành đầy đủ m-adic

của R là k[[x]].

Định nghĩa 1.2.3. Cho L (cid:54)= 0 là một R-môđun, một R-môđun E được

gọi là mở rộng cốt yếu của một môđun L nếu L ⊆ E và với mỗi môđun

con khác không N của E luôn có N ∩ L (cid:54)= 0. Một R-môđun E được gọi

8

là bao nội xạ của L nếu E là R-môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của

L. Mỗi R-môđun L luôn có ít nhất một bao nội xạ. Hơn nữa, nếu E và E(cid:48)

f (x) = x, với mọi x ∈ L. Ta kí hiệu bao nội xạ của môđun L là E(L).

là những bao nội xạ của L, thì tồn tại một đẳng cấu f : E → E(cid:48) sao cho

0 → L → E0 → E1 → E2 → . . .

Một giải nội xạ của L là một dãy khớp

trong đó mỗi Ei là R-môđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi môđun đều có giải

nội xạ.

R/m của R. Xét hàm tử D(−) = Hom(−, E) từ phạm trù các R-môđun

Định nghĩa 1.2.4. Đặt E := E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư

đến chính nó. Ta thấy D(−) là hàm tử phản biến, tuyến tính và khớp trái.

Vì E là môđun nội xạ nên D(−) là hàm tử khớp. Với mỗi R-môđun L, ta

gọi D(L) là đối ngẫu Matlis của L.

Xét µL : L → DD(L) = HomR(HomR(L, E), E) là đồng cấu cho

bởi (µL(x))(f ) = f (x), với mỗi x ∈ L, với mọi f ∈ HomR(L, E). Ta có µL

là đơn cấu. Thật vậy, giả sử 0 (cid:54)= x ∈ L. Xét R-đồng cấu f (cid:48) : Rx → R/m

xác định bởi f (cid:48)(rx) = r + m với mọi r ∈ R. Khi đó f (cid:48)(x) = 1 + m (cid:54)= 0. Xét

đơn cấu nhúng i : R/m → E. Do E là bao nội xạ nên tồn tại f : L → E

f (x) = f j(x) = if (cid:48)(x) = f (cid:48)(x) (cid:54)= 0.

sao cho f = f j = if (cid:48), trong đó j là đơn cấu nhúng từ Rx → L. Vì thế

Suy ra µL(x)(f ) (cid:54)= 0. Vậy µL là đơn cấu.

Bổ đề 1.2.5. Giả sử (R, m) là vành địa phương. Các phát biểu sau là

đúng.

(i) AnnR L = AnnR D(L);

9

(ii) Nếu (cid:96)R(L) < ∞ thì D(L) ∼= L;

(iii) Nếu L là môđun Noether thì D(L) là môđun Artin;

1.3. Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại

(iv) (R, m) là vành đầy đủ và L là môđun Artin thì D(L) là môđun Noether.

Trong tiết này luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, I là iđêan

của R và L là R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh). Mục đích của

tiết này là trình bày các tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa

phương phục vụ cho chương sau. Các kiến thức và thuật ngữ ở đây được

tham khảo từ cuốn sách của Brodmann-Sharp [4].

Định nghĩa 1.3.1. Với mỗi R-môđun L, đặt ΓI(L) = ∪n≥0(0 :L I n). Chú ý rằng ΓI(L) là môđun con của L. Nếu f : L → L(cid:48) là đồng cấu các R-môđun thì f ∗ : ΓI(L) → ΓI(L(cid:48)) cho bởi f ∗(x) = f (x) cũng là đồng

R-môđun. Rõ ràng, ΓI(−) là hàm tử hiệp biến, khớp trái và ta gọi nó là

cấu. Do đó ta có hàm tử ΓI(−) từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù

hàm tử I-xoắn.

Định nghĩa 1.3.2. Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử I-xoắn ΓI(−)

ứng với R-môđun L được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ n

I(L) ta lấy

I (L). Cụ thể để tính H i

0 → L α−→ E0

u0−→ E1

u1−→ E2 → . . .

của L với giá I, và được kí hiệu bởi H n

là một giải nội xạ tùy ý của L, sau đó tác động hàm tử ΓI(−) ta được đối

u∗ 1−→ Γ(E2) → . . .

u∗ 0−→ Γ(E1)

0 → Γ(E0)

phức

i / Im u∗

I(L) = Ker u∗

i−1 là môđun đối đồng điều thứ i của đối phức trên. Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của L.

Khi đó H i

Nhắc lại rằng R-môđun L được gọi là I-xoắn nếu L = ΓI(L). Sau

10

đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.

Mệnh đề 1.3.3. Các phát biểu sau đây là đúng:

I (L) ∼= ΓI(L);

(i) H 0

I(L) = 0 với mọi i ≥ 1;

(ii) Nếu L là nội xạ thì H i

I(L) = 0 với mọi i ≥ 1;

(iii) Nếu L là I-xoắn thì H i

I(L) là môđun I-xoắn với mọi I;

(iv) H i

I(L)) = 0 với mọi j > 0;

I (H i

(v) H j

(L(cid:48)) gọi

(vi) Nếu 0 → L(cid:48) → L → L(cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun thì tồn

I (L(cid:48)(cid:48)) → H n+1

I

tại với mỗi số tự nhiên n một đồng cấu δn : H n

I (L) → H 1

I (L(cid:48)(cid:48))

→ ΓI(L(cid:48)) → ΓI(L) → ΓI(L”) δ0−→ H 1 δ1−→ H 2

I (L(cid:48)) → H 1 I (L(cid:48)) → H 2

I (L) → . . .

là đồng cấu nối, sao cho ta có dãy khớp dài:

Một kết quả rất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là

Định lý triệt tiêu của Grothendieck.

R. Khi đó H i

I(M ) = 0 với mọi i > dim M.

Định lý 1.3.4. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của

I (M ) = M và theo Định

Ví dụ 1.3.5. Cho R = Z là vành các số nguyên, M = Z/6Z là R-môđun hữu hạn sinh với dim = 0 và I = 12Z. Ta có H 0

I(M ) = 0 với mọi i > 0.

lý triệt tiêu của Grothendieck thì H i

Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn

sinh nhìn chung không Artin. Sau đây là một kết quả về tính Artin của

môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại, chứng minh bởi I. G.

Macdonald và R. Y. Sharp.

Định lý 1.3.6. (Xem [4, Định lý 7.1.3]) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh.

m(M ) là R-môđun Artin với mọi số nguyên i ≥ 0.

11

Khi đó H i

1.4. Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng

Trong tiết này chúng ta nhắc lại khái niệm và một số kết quả thường

sử dụng trong chương 2 về lớp môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay

suy rộng. Trước hết ta nhắc lại khái niệm độ sâu của môđun.

Định nghĩa 1.4.1. (i) Một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử không là

m = 0 với mọi m ∈ M.

ước của không đối với M nếu 0 :M x = 0, tức là xm = 0 kéo theo

(ii) Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử M -chính quy nếu ta có 0 :M x = 0

và M (cid:54)= xM, tức là x không là ước của không đối với M và xM (cid:54)= M.

(iii) Một dãy các phần tử (x1, . . . , xk) trong vành R được gọi là M -dãy

i = 1, . . . , k, tức là M (cid:54)= (x1, . . . , xk)M và

((x1, . . . , xi−1)M :M xi) = (x1, . . . , xi−1)M với mọi i = 1, . . . , k.

chính quy hay M -dãy nếu xi là M/(x1, . . . , xi−1)-chính quy với mọi

Ví dụ 1.4.2. Cho R = k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức ba

biến x, y, z trên một trường k. Khi đó x, y, z là R-dãy vì R (cid:54)= (x, y, z)R,

(0 :R x) = 0, (0 :R/xR y) = 0, (0 :R/(x,y)R z) = 0.

và ta có

Định nghĩa 1.4.3. Một M -dãy (x1, . . . , xk) các phần tử trong I được gọi

(x1, . . . , xk, y) là M -dãy.

là M -dãy tối đại trong I nếu không tồn tại một phần tử y ∈ I sao cho

Mệnh đề 1.4.4. Giả sử M (cid:54)= IM. Khi đó mỗi M -dãy trong I đều mở

rộng được thành M -dãy tối đại trong I và hai M -dãy tối đại trong I có

chung độ dài.

Định nghĩa 1.4.5. Độ dài của một M -dãy chính quy tối đại trong I được

12

gọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth(I; M ). Độ sâu của

M trong iđêan cực đại m, được kí hiệu là depth M và được gọi là độ sâu

của M.

Ta luôn có bất đẳng thức depth M ≤ dim M. Từ đó, ta có định

nghĩa vành và môđun Cohen-Macaulay như sau

Định nghĩa 1.4.6. M là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc M (cid:54)= 0

và depth M = dim M. Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó

thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay.

K[[x1, . . . , xn]] các chuỗi lũy thừa hình thức n biến trên một trường K.

Một trong những ví dụ quan trọng về vành Cohen-Macaulay là vành

Vành này có chiều và độ sâu đều là n vì ta có dãy chính quy x1, . . . , xn

của R = K[[x1, . . . , xn]]. Sau đây là một số tính chất của môđun Cohen-

Macaulay.

Mệnh đề 1.4.7. Các khẳng định sau đây là đúng.

(i) Giả sử M là Cohen-Macaulay. Khi đó dim R/ p = dim M với mọi

p ∈ AssR M.

M -dãy.

(ii) M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là

Mệnh đề 1.4.8. Các điều kiện sau là tương đương.

(i) M là môđun Cohen-Macaulay.

(ii) (cid:99)M là Cohen-Macaulay.

(iii) M/xM là Cohen-Macaulay với mọi phần tử M -chính quy x ∈ m.

m(M ) = 0 với mọi i = 0, . . . , d − 1.

13

(iv) H i

Giả sử e(x, M ) là số bội của M ứng với hệ tham số x = (x1, . . . , xd).

M -dãy. Từ đó ta có kết quả sau.

Ta luôn có e(x, M ) ≤ (cid:96)R(M/xM ). Dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu x là

e(x, M ) = (cid:96)R(M/xM )

Mệnh đề 1.4.9. M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu

với mọi hệ tham số x.

Định nghĩa 1.4.10. Một môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay

supx((cid:96)R(M/xM ) − e(x, M )) < ∞,

suy rộng nếu:

trong đó cận trên lấy trên tất cả các hệ tham số x của M.

R-môđun R là Cohen-Macaulay suy rộng.

Định nghĩa 1.4.11. Vành R gọi là vành Cohen-Macaulay suy rộng nếu

Sau đây là một đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng.

Định lý 1.4.12. Các phát biểu sau đây là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay suy rộng.

m(M )) < ∞, với mọi i < d.

(ii) (cid:96)R(H i

1.5. Kiểu đa thức

(iii) (cid:99)M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.

Khái niệm kiểu đa thức được giới thiệu bởi N.T. Cường trong [6].

Cho x = (x1, . . . , xd) là một hệ tham số của M và n = (n1, . . . , nd) là một

IM,x(n) = (cid:96)R(M/(xn1

1 , . . . , xnd

1 , . . . , xnd

d )M ) − e(xn1

d ; M )

14

bộ gồm d số nguyên dương. Xét hiệu số

trong đó e(x, M ) là bội của M ứng với hệ tham số x. Nhìn chung, IM,x(n)

xét như một hàm số với các biến n1, . . . , nd không là đa thức với n1, . . . , nd

đủ lớn nhưng nó luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trên bởi các đa

thức.

Định nghĩa 1.5.1. Bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo biến n chặn

trên hàm số IM,x(n) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x. Bất

biến này được gọi là kiểu đa thức của M và được kí hiệu là p(M ).

Kiểu đa thức của một môđun có thể cho ta biết nhiều thông tin về

−1 thì rõ ràng M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1 và M

cấu trúc của môđun đó. Chẳng hạn, nếu quy ước bậc của đa thức 0 là

là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi p(M ) ≤ 0. Kiểu đa thức của

một môđun có thể coi là một độ đo tốt để xem môđun đó gần với tính

Cohen-Macaulay như thế nào. Sau đây là một số tính chất cơ bản của kiểu

đa thức p(M ).

Mệnh đề 1.5.2. Các khẳng định sau là đúng.

(i) p(M ) ≤ d − 1.

(cid:98)R( (cid:99)M ).

(ii) Nếu kí hiệu (cid:99)M là đầy đủ m-adic của M thì p(M ) = p

m(M ) với 0 ≤ i ≤ d − 1. Ta cũng đặt

Đặt ai(M ) = Ann H i

a(M ) = a0(M ) . . . ad−1(M ).

Kí hiệu nCM(M ) = {p ∈ Supp(M ) | Mp không Cohen-Macaulay}. Chú

ý rằng M được gọi là đẳng chiều nếu dim R/ p = dim M với mọi iđêan

nguyên tố tối tiểu p của M . Định lý sau cho ta thấy ý nghĩa của kiểu đa

15

thức. Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu

R có chiều nội xạ hữu hạn, tức là R có một giải nội xạ trong đó chỉ có hữu

hạn môđun nội xạ khác 0.

Định lý 1.5.3. (xem [6, Định lý 4.2]) Giả sử R là thương của một vành

Gorenstein địa phương. Khi đó

(i) p(M ) = dim R/a(M ).

16

(ii) Nếu M là đẳng chiều thì p(M ) = dim(nCM(M )).

Chương 2

Chặn đều chỉ số khả quy cho iđêan

tham số của môđun hữu hạn sinh

Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R, m) là một vành Noether

địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d, L là R-môđun không

nhất thiết hữu hạn sinh. Mục tiêu của chương này là trình bày kết quả

chặn đều chỉ số khả quy cho iđêan tham số của môđun hữu hạn sinh M

2.1. Chỉ số khả quy của iđêan tham số trong một môđun Noether

khi kiểu đa thức p(M ) ≤ 1 trong bài báo gần đây của P. H. Quý [16].

Chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số cho các lớp

môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng đã được

nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu như D.G. Northcott, S. Goto,

N.T. Cường, P. H. Quý... Trong tiết này chúng ta nhắc lại khái niệm chỉ

số khả quy và trình bày một số kết quả đã biết về chặn đều chỉ số khả quy

cho iđêan tham số.

Định nghĩa 2.1.1. R-môđun con L của M được gọi là môđun con bất khả

quy nếu mỗi cách viết L = L1 ∩ L2, trong đó L1, L2 là các R-môđun con

17

của M đều kéo theo L = L1 hoặc L = L2.

Năm 1921, E. Noether đã chứng minh kết quả về số thành phần bất

khả quy xuất hiện trong phân tích thành giao không thừa các iđêan bất

khả quy của vành Noether. Kết quả này dễ dàng mở rộng cho môđun.

Định lý 2.1.2. Mỗi R-môđun con L của M đều viết được thành giao hữu

hạn không thừa các môđun con bất khả quy của M. Số thành phần bất khả

quy xuất hiện trong mỗi phân tích bất khả quy không thừa là không đổi,

tức là chỉ phụ thuộc vào L, không phụ thuộc vào phân tích.

Định nghĩa 2.1.3. Số môđun con bất khả quy của M xuất hiện trong

một phân tích bất khả quy không thừa của L được gọi là chỉ số khả quy

của L trong M và được kí hiệu là irM (L). Nếu q là iđêan tham số của M

thì irM (q M ) được gọi là chỉ số khả quy của q trong M.

Nhận xét 2.1.4. Với mỗi R-môđun L, ta kí hiệu Soc(L) là tổng tất cả

các môđun con đơn của L. Vì R là vành địa phương và mỗi môđun đơn

đều đẳng cấu với trường thặng dư k = R/m nên dễ dàng chứng minh được Soc(L) = (0 :L m) ∼= Hom(R/m, L). Vì thế, Soc(L) là một k-không gian véctơ hữu hạn chiều.

Tiếp theo ta xây dựng công thức tính irM (L) khi (cid:96)R(M/L) < ∞.

Bổ đề 2.1.5. Cho M là R-môđun có độ dài hữu hạn và N là môđun con

của M. Khi đó N ∩ Soc(M ) = 0 nếu và chỉ nếu N = 0.

Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện cần.

Giả sử tồn tại 0M (cid:54)= x ∈ N. Do (cid:96)R(M ) < ∞ nên M là môđun Artin. Do

đó dãy giảm sau sẽ dừng

mx ⊇ m2x ⊇ m3x ⊇ . . .

Suy ra tồn tại số tự nhiên n sao cho mnx = mn+1x. Theo Bổ đề Nakayama

18

ta có mnx = 0. Gọi n là số nhỏ nhất thỏa mãn mnx = 0 và mn−1x (cid:54)= 0.

0 (cid:54)= mn−1x ⊆ N ∩ Soc(M ) = 0.

Khi đó, m(mn−1x) = 0, suy ra mn−1x ⊆ Soc(M ). Do đó

Điều này vô lý. Do vậy N = 0.

Bổ đề 2.1.6. Cho N1, N2, . . . , Ns là các môđun con của R-môđun M có độ

dài hữu hạn. Đặt Hi = Ni∩Soc(M ), i = 1, s. Khi đó H1∩H2∩. . .∩Hs = 0

nếu và chỉ nếu N1 ∩ N2 ∩ . . . ∩ Ns = 0.

Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.1.5 cho môđun con N = N1 ∩ N2 ∩ . . . ∩ Ns,

ta suy ra điều phải chứng minh.

Định lý 2.1.7. Giả sử L là môđun con của M sao cho (cid:96)(M/L) < ∞. Khi

irM (L) = dimk Hom(k; M/L) = dimk Soc(M/L).

đó chỉ số khả quy của môđun con L trong M được cho bởi công thức

irM (0) = dimk Soc(M ) trong trường hợp (cid:96)(M ) < ∞.

Chứng minh. Do irM (L) = irR(0M/L; M/L) nên ta chỉ cần chứng minh

Giả sử dimk Soc(M ) = n và {e1, . . . , en} là một cơ sở của Soc(M ).

Hi = Ni ∩ Soc(M ). Khi đó Hi ⊂ Ni và Ni là môđun con bất khả quy

Gọi Ni là môđun con tối đại của M không chứa ei với i = 1, . . . , n. Đặt

Ni và U ∩ V = Ni thì do Ni là môđun con tối đại không chứa ei nên

ei ∈ U, V. Suy ra ei ∈ U ∩ V = Ni, điều này là vô lý. Mặt khác, ta có

H1 ∩ . . . ∩ Hn = 0M . Từ Hi = Ni ∩ Soc(M ), Theo Bổ đề 2.1.6 ta suy ra

N1 ∩ . . . ∩ Nn = 0M là một phân tích bất khả quy không thừa của 0M .

của M. Thật vậy, nếu tồn tại các môđun con U, V của M chứa thực sự

Vậy irM (0) = dimk Soc(M ).

Hệ quả 2.1.8. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và q là iđêan tham số

irM (q M ) = dimk Hom(k; M/ q M ) = dimk Soc(M/ q M ).

19

của M. Khi đó chỉ số khả quy của q trong M được cho bởi công thức

Trong trường hợp vành R không địa phương và độ dài của M/L

không nhất thiết hữu hạn, chỉ số khả quy irM (L) được tính theo công

thức sau.

Rp/ p Rp. Khi đó ta có

Mệnh đề 2.1.9. [8, Bổ đề 2.3] Với mỗi p ∈ Spec(R), kí hiệu k(p) =

irM (L) =

dimk(p) Soc(M/L)p.

p∈AssR(M/L)

(cid:88)

Sau đây là một số kết quả đã biết về chặn đều cho chỉ số khả quy của

iđêan tham số. Trước hết là kết quả của D. G. Northcott [15] khẳng định

rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay, tức là p(M ) = −1, thì irM (q M )

M. Trong [11], S. Endo và M. Narita đã đưa ra phản ví dụ chứng tỏ chiều

là một bất biến của M. Bất biến này được gọi là kiểu Cohen-Macaulay của

ngược lại của kết quả này nhìn chung không đúng. Trong trường hợp M

là môđun Cohen-Macaulay suy rộng, S. Goto và N. Suzuki [13] đã chứng

minh được irM (q M ) có chặn trên cho bởi công thức sau.

Định lý 2.1.10. Giả sử M là Cohen-Macaulay suy rộng, tức là p(M ) ≤ 0.

Khi đó

d−1 (cid:88)

irM (q M ) ≤

(cid:96)R(H j

m(M )) + dimk Soc H d

m(M )

d j

j=0

(cid:32) (cid:33)

với mọi iđêan tham số q của M. Ngoài ra, tồn tại số nguyên n ≥ 0 sao

d (cid:88)

irM (q M ) =

dimk Soc H j

m(M )

d j

j=0

cho (cid:32) (cid:33)

20

với mọi iđêan tham số q chứa trong mn.

2.2. Chặn đều số phần tử sinh tối tiểu của môđun con trong

trường hợp chiều nhỏ hơn hoặc bằng 1

Chú ý rằng p(M ) và irM (q M ) không đổi khi chuyển qua đầy đủ

m-adic. Vì thế từ đây trở đi ta luôn giả thiết (R, m) là vành đầy đủ.

Với mỗi R-môđun N , kí hiệu v(N ) := dimk(N/mN ) là số phần tử

sinh tối tiểu của N. Chìa khóa để chứng minh định lý chính là kết quả sau

cho vành địa phương chiều 1.

Bổ đề 2.2.1. (Xem [17, Chương 3]) Cho (R, m) là vành địa phương chiều

1. Khi đó số phần tử sinh tối tiểu của các iđêan của R bị chặn trên bởi một

bất biến không phụ thuộc vào việc chọn iđêan, nghĩa là tồn tại số nguyên

dương c sao cho v(I) = (cid:96)(I/mI) ≤ c với mọi iđêan I.

Sau đó S. Goto và N. Suzuki đã mở rộng kết quả này cho môđun.

Bổ đề 2.2.2. [13, Định lý 3.1] Cho M là R-môđun hữu hạn sinh chiều 1.

Khi đó tồn tại số nguyên dương c sao cho v(N ) = (cid:96)(N/mN ) ≤ c với mọi

môđun con N của M.

{v(N ) | N ⊆ M }.

c(M ) = sup N

Ký hiệu 2.2.3. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Ta định nghĩa

Nhận xét 2.2.4. (i) Theo Bổ đề 2.2.2, nếu d ≤ 1 thì c(M ) là một số

R-môđun con N của M. Suy ra c(M ) ≤ (cid:96)(M ).

nguyên dương. Nếu d = 0 thì (cid:96)(M ) < ∞. Vì thế, v(N ) ≤ (cid:96)(M ), với mọi

d − 1 khi n đủ lớn nên c(M ) = ∞.

(ii) Nếu d ≥ 2 thì do v(mnM ) = (cid:96)(M/mnM ) là một đa thức bậc

dim R ≤ 1. Sau đó S. Goto và N. Suzuki [13] đã mở rộng kết quả này cho

Trong [17], J. D. Sally đã chứng minh rằng c(R) < ∞ khi và chỉ khi

21

môđun. Sau đây là một số tính chất của bất biến c(M ).

{(cid:96)(N :M m/N ) | N ⊆ M }.

c(M ) = sup N

Mệnh đề 2.2.5. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d ≤ 1. Khi đó

Chứng minh. Với mỗi R-môđun con N của M, do m(N :M m) ⊆ N nên

/

∼= (N :M m)/N.

(N :M m) m(N :M m)

N m(N :M m)

ta có đẳng cấu

(cid:96)((N :M m)/N ) ≤ (cid:96)(N :M m)/m(N :M m) = v(N :M m).

Vì thế N :M m/N là môđun thương của (N :M m)/m(N :M m). Do đó

{(cid:96)((N :M m)/N ) | N ⊆ M } ≤ c(M ).

sup N

Suy ra

Ngược lại, do N ⊆ mN :M m nên ta có N/mN là môđun con của

v(N ) = (cid:96)(N/mN ) ≤ (cid:96)(mN :M m/mN ).

mN :M m/mN. Vì thế

{(cid:96)(N :M m/N ) | N ⊆ M }

c(M ) ≤ sup N

Do đó

và ta có điều phải chứng minh.

Tiếp theo là tính chất của c(M ) khi chuyển qua dãy khớp ngắn.

Mệnh đề 2.2.6. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun hữu hạn sinh chiều nhỏ

0 → M1 → M → M2 → 0.

hơn hoặc bằng 1

Khi đó

(i) c(M1) ≤ c(M ) và c(M2) ≤ c(M ).

22

(ii) c(M ) ≤ c(M1) + c(M2).

Chứng minh. (i) Vì mỗi R-môđun con của M1 đều được xem là R-môđun

con của M nên hiển nhiên c(M1) ≤ c(M ).

c(M2) = sup

{(cid:96)(J/N :M/N m)/(J/N ) | N ⊆ J ⊆ M }.

J

Giả sử M2 = M/N với N là R-môđun con nào đó của M. Khi đó

{(cid:96)(J :M m/J) | N ⊆ J ⊆ M }.

c(M2) = sup

J

Chú ý rằng ta có đẳng cấu (J/N :M/N m)/(J/N ) ∼= J :M m/J. Vì thế

Vậy c(M2) ≤ c(M ).

N1 := N ∩ M1 là môđun con của M1 và ta có đơn cấu

N/N1 ∩ M1 → M/M1 = M2.

(ii) Giả sử N là R-môđun con của M sao cho v(N ) = c(M ). Khi đó

Chú ý rằng N1 ∩ M1 = N1. Do đó ta có thể xem N2 = N/N1 là môđun

0 → N1 → N → N2 → 0.

con của M2. Vì thế ta có dãy khớp ngắn các R-môđun

0 → N1/mN1 → N/mN → N2/mN2 → 0.

Dãy này cảm sinh ra dãy khớp ngắn

c(M ) = v(N ) = v(N1) + v(N2).

Suy ra (cid:96)(N/mN ) = (cid:96)(N1/mN1) + (cid:96)(N2/mN2) và do đó

Chú ý rằng, theo cách xác định N1 và N2 ta có N1 là môđun con của M1

và N2 là môđun con của M2. Vì thế theo kết quả (i) ta có v(N1) ≤ c(M1)

c(M ) ≤ c(M1) + c(M2).

23

và v(N2) ≤ c(M2). Do đó

2.3. Chặn đều chỉ số khả quy cho iđêan tham số trong trường

hợp p(M ) ≤ 1

Trong tiết này, ta vẫn giả thiết (R, m) là vành địa phương Noether

đầy đủ. Vì thế, theo Mệnh đề 1.2.5, nếu A là R-môđun Artin thì đối ngẫu

Matlis N := D(A) = Hom(A, E(R/m)) là một R-môđun Noether, trong

đó E(R/m) là bao nội xạ của R-môđun R/m. Hơn nữa Ann A = Ann N.

Vì thế A có chiều Krull là t nếu đối ngẫu Matlis của A là môđun Noether

m(M ) là Artin với mọi i ≥ 0

có chiều t, nghĩa là dim R/ Ann A = t. Vì H i

m(M ) ≤ 1 với

nên theo Định lý 2.3 ta có p(M ) ≤ 1 nếu và chỉ nếu dim H i

mọi i = 0, . . . , d − 1. Trước hết ta có Bổ đề sau.

Bổ đề 2.3.1. (xem [4, Bổ đề 10.2.16]) Cho E, F, I là các R-môđun sao

Hom(Hom(E, F ), I) ∼= E ⊗ Hom(F, I).

cho E là hữu hạn sinh và I là nội xạ. Khi đó

r(A) : = sup{(cid:96)(0 :A/B m) | B ⊆ A}

= sup{(cid:96)(B :A m/B) | B ⊆ A}.

Với mỗi R-môđun Artin A, ta đặt

dim Soc(A) = (cid:96)(0 :A m) ≤ r(A).

Từ định nghĩa này ta có ngay bất đẳng thức

N := D(A) = Hom(A, E(R/m)). Khi đó r(A) = c(N ).

Hệ quả 2.3.2. Cho A là R-môđun Artin có chiều nhỏ hơn hoặc bằng 1 và

L := D(A/B) = Hom(A/B, E(R/m)).

24

Chứng minh. Với mỗi R-môđun con B của A ta đặt

Tác động hàm tử đối ngẫu Matlis vào dãy khớp A → A/B → 0 ta được

dãy khớp 0 → D(A/B) → D(A). Suy ra L là môđun con của N. Theo Bổ

D(Hom(R/m, A/B)) = Hom(Hom(R/m, A/B), E(R/m))

∼= R/m ⊗ Hom(A/B, E(R/m)) = R/m ⊗ D(A/B) ∼= L/mL.

đề 2.3.1 ta có

(cid:96)(B :A m)/B = (cid:96)(0 :A/B m)

= (cid:96)(Hom(R/m, A/B)) = (cid:96)(L/mL) = v(L) ≤ c(N ).

Vì thế

Suy ra r(A) ≤ c(N ).

B = D(N/L) = Hom(N/L, E(R/m)). Tác động hàm tử Đối ngẫu Matlis

Ngược lại, giả sử L là môđun con của N sao cho v(L) = c(N ). Đặt

0 → L → N → N/L → 0.

vào dãy khớp ngắn

Chú ý rằng hàm tử Đối ngẫu Matlis là hàm tử phản biến và cộng tính. Vì

0 → D(N/L) → D(N ) → D(L) → 0.

thế ta có dãy khớp ngắn

D(A/B) ∼= D(D(L)) ∼= L.

Do vành R là đầy đủ nên D(N ) = DD(A) ∼= A. Suy ra ta có dãy khớp 0 → B → A → D(L) → 0 hay D(L) ∼= A/B. Chú ý rằng

(cid:96)((B :A m)/B) = v(L) = c(N ).

Vì B là môđun con của A nên theo chứng minh trên ta có

25

Suy ra r(A) ≥ c(N ). Vậy r(A) = c(N ).

Từ Hệ quả 2.3.2 và Mệnh đề 2.2.6 ta suy ra tính chất của r(A) khi

chuyển qua dãy khớp như sau.

0 → A1 → A → A2 → 0.

Hệ quả 2.3.3. Cho dãy khớp các R-môđun Artin chiều không vượt quá 1

Khi đó

(i) r(A1) ≤ r(A2) và r(A2) ≤ r(A).

(ii) r(A) ≤ r(A1) + r(A2).

Chứng minh. Giả sử 0 → A1 → A → A2 → 0 là dãy khớp các R-môđun

Artin chiều không vượt quá 1. Tác động hàm tử Đối ngẫu Matlis lên dãy

0 → D(A2) → D(A) → D(A1) → 0.

khớp này ta được dãy khớp

c(D(A1)). Chú ý rằng theo Mệnh đề 2.2.6(ii) ta có c(D(A2)) ≤ c(D(A))

Theo Hệ quả 2.3.2, ta có r(A2) = c(D(A2)), r(A) = c(D(A)), r(A1) =

và c(D(A1)) ≤ c(D(A)). Hơn nữa c(D(A)) ≤ c(D(A1)) + c(D(A2)). Vì

thế ta có ngay điều phải chứng minh.

Định nghĩa 2.3.4. Một dãy các phần tử x1, . . . , xk được gọi là dãy lọc

chính quy của M nếu Supp((x1, . . . , xi−1)M : xi)/(x1, . . . , xi−1)M ⊆ {m}

với mọi i = 1, . . . , k.

Dễ dàng kiểm tra được x1, . . . , xk là dãy lọc chính quy của M nếu

và chỉ nếu xi /∈ p với mọi p ∈ Ass M/(x1, . . . , xi−1)M \ {m}.

Mệnh đề 2.3.5. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d và p(M ) ≤ 1.

Khi đó với mỗi dãy lọc chính quy (x1, . . . , xk) với k ≤ d của M ta có

j+k (cid:88)

r(H j

r(H i

m(M/(x1, . . . , xk)M )) ≤

m(M ))

k i − j

i=j

26

(cid:32) (cid:33)

m (M/(x1, . . . , xk)M ))

dim Soc(H d−k (cid:32)

với mọi j < d − k, và

d−1 (cid:88)

≤

r(H i

m(M )) + dim Soc(H d

m(M )).

k k + i − d

i=d−k

(cid:33)

Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo k. Trường hợp k = 0 là hiển

f −→ M

0 → M/0 :M x1

g −→ M/x1M → 0,

nhiên. Xét k = 1. Chú ý rằng ta luôn có dãy khớp ngắn

trong đó f, g lần lượt cho bởi f (m + 0 :M x1) = x1m và g(m) = m + x1M,

m1x1 = m2x1. Hơn nữa rõ ràng Im f = Ker g = x1M. Dãy khớp ngắn này

với mỗi m ∈ M. Thật vậy, f là ánh xạ vì nếu (m1 − m2)x1 = 0 thì

H j

fj−→ H j

gj−→ H j+1

m(M )

m(M/x1M )

m (M/0 :M x1)

cảm sinh ra dãy khớp sau giữa các môđun đối đồng điều địa phương

0 → 0 :M x1 → M → M/0 :M x1 → 0

với mọi j < d − 1. Mặt khác, từ dãy khớp

0 → H j

m(0 :M x1) → H j

m(M ) → H j

m(M/0 :M x1) → H j+1

m (0 :M x1).

ta được dãy khớp sau với mọi j < d − 1

dim(0 :M x1) = 0. Vì thế, theo Định lý triệt tiêu của Grothendieck, H j+1

m (0 :M x1) = 0 với mỗi j ≥ 0. Vì thế, ta có đẳng cấu với mỗi j ≥ 0

H j+1

m (M/0 :M x1) ∼= H j+1

m (M ).

m(M ) và t ∈ Ann H j+1

m (M ). Do H j

m(M/x1M )/ Im fj

m (M/0 :M x1) nên ta có

m(M/x1M ) = 0. Điều này dẫn đến

Do x1 là phần tử lọc chính quy của M nên (cid:96)(0 :M x1) < ∞. Suy ra

m(M/x1M ) ⊆ Im fj và do đó stH j m(M/x1M ). Vì thế

Ann H j

m(M ) Ann H j+1

m (M ) ⊆ Ann H j

m(M/x1M )

27

Giả sử s ∈ Ann H j đẳng cấu với một môđun con nào đó của H j+1 tH j st ∈ Ann H j

m (M ). Do

m(M ) Ann H j+1

với mọi j < d − 1. Vì p(M ) ≤ 1 nên theo Định lý 1.5.3 ta suy ra dim R/a(M ) ≤ 1. Chú ý rằng a(M ) ⊆ Ann H j

dim R/ Ann H j

m(M ) Ann H j+1

m (M ) ≤ 1.

m(M/x1M ) ≤ 1 với mọi j = 0, . . . , d − 2. Vì thế

m(M ) ≤ 1 với mỗi j = 0, . . . , d − 2 nên

đó

Suy ra dim R/ Ann H j p(M/x1M ) ≤ 1. Vì dim R/ Ann H j

r(H j

m(M/x1M )) ≤ r(H j

m(M )) + r(H j+1

m (M ))

theo Hệ quả 2.3.3 ta có

0 → M x1−→ M → M/x1M → 0

với mọi j < d − 1. Mặt khác từ dãy khớp

H d−1

m (M ) → H d−1

m (M/x1M ) → H d

m(M ) x1−→ H d

m(M ).

ta có dãy khớp sau

0 → A → H d−1

m (M/x1M ) → 0 :H d

m(M ) x1 → 0,

Vì thế ta suy ra được dãy khớp ngắn sau

m (M ). Tác động hàm tử Hom(R/m, •) vào

với A là môđun thương của H d−1

0 → 0 :A m → 0 :H d−1

m(M ) m.

m (M/x1M ) m → 0 :H d

dãy khớp này ta được dãy khớp

m (M/x1M ) ≤ 1. Vì thế A

Chú ý rằng dim R/ Ann A ≤ dim R/ Ann H d−1

dim Soc H d−1

m (M/x1M ) = (cid:96)(0 :H d−1

m (M/x1M ) m) ≤ (cid:96)(0 :A m) + (cid:96)(0 :H d

m(M ) m) = dim Soc(A) + dim Soc(H d

m(M )

≤ r(A) + dim Soc(H d

m(M )

≤ r(H d−1

m(M ).

m (M )) + dim Soc(H d

28

là R-môđun Artin có chiều không vượt quá 1. Suy ra

Suy ra khẳng định đúng khi k = 1. Với k > 1, theo giả thiết quy nạp ta

r(H j

m(M/(x1, . . . , xk)M ))

≤ r(H j

m (M/(x1, . . . , xk−1)M ))

m(M/(x1, . . . , xk−1)M )) + r(H j+1 (cid:32)

có

j+k (cid:88)

j+k−1 (cid:88)

r(H i

r(H i

≤

m(M )) +

m(M ))

k − 1 i − j − 1

k − 1 i − j

i=j+1

i=j

(cid:32) (cid:33) (cid:33)

j+k (cid:88)

=

r(H i

m(M ))

k i − j

i=j

(cid:32) (cid:33)

dim Soc H d−k

m (M/(x1, . . . , xk)M ))

(M/(x1, . . . , xk−1)M ))

m

≤ r(H d−k m (M/(x1, . . . , xk−1)M )) + dim Soc(H d−k+1 (cid:32)

với mọi j < d − k. Hơn nữa, cũng theo giả thiết quy nạp ta có

d−1 (cid:88)

d−1 (cid:88)

r(H i

≤

r(H i

m(M )) +

m(M )) + dim Soc(H d

m(M ))

k − 1 k + i − d

i=d−k+1

(cid:33)

i=d−k d−1 (cid:88)

=

r(H i

m(M )) + dim Soc(H d

m(M )).

k k + i − d

i=d−k

(cid:32) (cid:33)

Ta có điều phải chứng minh.

Bổ đề 2.3.6. Cho q = (x1, . . . , xd) là iđêan tham số của M. Khi đó tồn

M và q = (y1, . . . , yd).

√

tại hệ tham số y = y1, . . . , yd sao cho hệ này là một dãy lọc chính quy của

Ann M + q = m. Nếu

Chứng minh. Vì q là iđêan tham số của M nên

iđêan nguyên tố p ∈ Ass(M ) chứa q thì p ⊇ Ann M + q . Do đó p = m.

Hiển nhiên q không nằm trong m q . Vì thế theo Định lý tránh nguyên tố

ta có

p∈Ass M \{m}

(cid:91) q (cid:42) m q ∪ p .

Suy ra tồn tại phần tử y1 ∈ q \m q và y1 /∈ p với mọi p ∈ Ass M \ {m}.

29

Rõ ràng phần tử y1 vừa là phần tử tham số vừa là phần tử lọc chính

quy của M. Với i = 2, . . . , d, tiếp tục áp dụng Định lý tránh nguyên

tố, ta chọn được phần tử yi ∈ q \m q ∪(y1, . . . , yi−1) và yi /∈ p với mọi

p ∈ Ass M/(y1, . . . , yi−1)M và p (cid:54)= m. Vì thế ta chọn được một hệ tham

số y = y1, . . . , yd sao cho hệ này là một dãy lọc chính quy của M. Theo

Bổ đề Nakayama ta có ngay q = (y1, . . . , yd).

Định lý 2.3.7. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d và p(M ) ≤ 1.

Khi đó chỉ số khả quy của iđêan tham số q của M bị chặn trên bởi một

bất biến không phụ thuộc vào việc chọn q. Cụ thể

d−1 (cid:88)

r(H i

irM (qM ) ≤

m(M )) + dim Soc(H d

m(M ))

d i

i=0

(cid:32) (cid:33)

với mọi hệ tham số q của M.

Chứng minh. Giả sử q là iđêan tham số của M. Theo Bổ đề 2.3.6 ta chọn

được các phần tử x1, . . . , xd ∈ m sao cho x1, . . . , xd vừa là hệ tham số, vừa

irM (q M ) = dimk Soc(H d

m(M/ q M )).

là dãy lọc chính quy của M và q = (x1, . . . , xd). Chú ý rằng

Vì thế, áp dụng Mệnh đề 2.3.5 cho trường hợp k = d, ta được

d−1 (cid:88)

r(H i

irM (qM ) ≤

m(M )) + dim Soc(H d

m(M )).

d i

i=0

(cid:32) (cid:33)

Chú ý rằng, trong trường hợp M là môđun Cohen Macaulay suy

rộng, chặn trên của irM (q M ) trong Định lý 2.3.7 là tốt hơn chặn trên

m(M )) ≤ (cid:96)(H i

m(M )) với mọi i.

trong kết quả của Goto-Suzuki [13] vì r(H i

dim R/ p = dim M với mọi p ∈ Ass M. Theo [5, Theorem 8.1.1], dễ dàng

Nhắc lại rằng, một R-môđun M được gọi là không trộn lẫn nếu

30

kiểm tra được nếu M là R-môđun không trộn lẫn chiều 3 thì p(M ) ≤ 1.

Hệ quả 2.3.8. Cho M là R-môđun không trộn lẫn chiều 3. Khi đó chỉ số

chính quy của iđêan tham số q của M bị chặn trên bởi một bất biến không

phụ thuộc vào việc chọn q.

Chứng minh. Do giả thiết R là vành đầy đủ nên theo [5, Định lý 8.1.1],

với p ∈ Spec R sao cho dim R/ p = i, ta có p ∈ Ass R/ai(M ) nếu và

dim R/ai(M ) ≤ 1 với mọi i = 0, 1, 2. Suy ra p(M ) ≤ 1. Theo 2.3.7 ta có

chỉ nếu p ∈ Ass M. Hơn nữa, dim R/ai(M ) ≤ i với i = 0, 1, 2. Vì thế

điều phải chứng minh.

Nhận xét 2.3.9. Nếu (R, m) là vành địa phương chiều 3 thì irR(q R) bị

chặn trên với mọi iđêan tham số q của R (xem [13, Định lý 3.8]). Vì thế

lớp các môđun có chỉ số khả quy của các iđêan tham số bị chặn trên thực

sự lớn hơn lớp các môđun có kiểu đa thức không vượt quá 1. Cũng trong

[13, Ví dụ 3.9], Goto và Suzuki đã xây dựng một vành chiều 4 có chỉ số

khả quy của các iđêan tham số không bị chặn trên. Chú ý rằng vành trong

ví dụ của Goto và Suzuki có kiểu đa thức bằng 3. Vì thế một câu hỏi tự

nhiên đặt ra là: Có đúng không khi khẳng định chỉ số khả quy irM (qM )

31

bị chặn trên với mọi iđêan tham số q của M khi và chỉ khi p(M ) ≤ 2?

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày lại chi tiết kết quả trong

bài báo của P. H. Quý [16], On the uniform bound of the index of reducibility

of parameter ideals of a module whose polynomial type is at most one, Arch.

Math. (Basel), 101(2013), 469-478.

Luận văn trình bày một số kết quả sau:

1. Hệ thống lại một số vấn đề chiều Krull, hệ tham số, số bội, Đối

ngẫu Matlis, môđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay,

môđun Cohen-Macaulay suy rộng và kiểu đa thức.

2. Trình bày khái niệm và tính chất của chỉ số khả quy của môđun

con L trong môđun M.

3. Trình bày một số kết quả về chặn đều chỉ số khả quy của iđêan

tham số trong trường hợp kiểu đa thức p(M ) ≤ 0.

4. Trình bày chi tiết chứng minh kết quả chặn đều cho chỉ số khả

32

quy của iđêan tham số khi kiểu đa thức p(M ) ≤ 1.

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] T. Đ. Dũng (2019), Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun

trên vành giao hoán, Luận án Tiến sĩ, Đại học Khoa học, Đại học Thái

Nguyên.

[2] T. T. Giang (2014), Quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không

Cohen-Macaulay suy rộng, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm, Đại

học Thái Nguyên.

[3] N. T. Thu (2014), Tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng

điều địa phương Artin, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm, Đại học

Tiếng Anh

Thái Nguyên.

[4] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic

introduction with geometric application, Cambridge University Press.

[5] W. Bruns, J. Herzog (1998), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Uni-

33

versity Press (Revised edition).

[6] N. T. Cuong (1991),On the dimension of the non-Cohen-Macaulay

locus of local ring admitting dualizing complexes, Math. Proc. Cam-

bridge Phil. Soc. 109, 479-488.

[7] N. T. Cuong (1992), On the least degree of polynomials bounding above

the differences between lengths and multiplicities of certain systems of

parameters in local ring, Nagoya Math. J. 125, 105-114.

[8] N. T. Cuong, P. H. Quy and H. L. Truong (2015), On the index of

reducibility in Noetherian modules, J. Pure and Appl. Algebra, 219,

4510-4520.

[9] N. T. Cuong, P. Schenzel, N. V. Trung (1978),Verallgeminerte Cohen-

Macaulay modul, Math-Nachr 85, 156-177.

[10] N. T. Cuong, H. L. Trường (2008), Asymptotic behavior of parameter

ideals in generalized Cohen-Macaulay module, J. Algebra, 320, 158-

168.

[11] S. Endo and M. Narita (1964), The number of irreducible components

of an ideal and the semi-regularity of a local ring, Proc. Japan Acad.

40, 627-630.

[12] S. Goto, H. Sakurai (2003), The equality I 2 = QI in Buchsbaum rings,

Rend. Sem. Univ. Padova,110 25-56.

[13] S. Goto, N. Suzuki (1984), Index of reducibility of parameter ideals in

34

a local ring, J. Algebra 87, 53-88.

[14] H. Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge Univer-

sity Press.

[15] D. G. Northcott (1957), On the irreducible ideals in local rings, J.

London Math. Soc, 32, 82-88.

[16] P. H. Quy (2013), On the uinform bound of the index of reducibility

of parameter ideals of a module whose polynomial type is at most one,

Arch. Math. (Basel), 101, 469-478.

[17] J. D. Sally (1978), Numbers of generators of ideals in local rings, Mar-

35

cel Dekker, Inc., New York - Basel.