ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ THANH MAI CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
VỚI GIÁ CỰC ĐẠI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ THANH MAI CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
VỚI GIÁ CỰC ĐẠI
Ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 8.46.01.04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn
THÁI NGUYÊN - 2019
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn, các kết quả nghiên cứu là trung
thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Thanh Mai
Xác nhận Xác nhận
của khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học
i
GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn
LỜI CẢM ƠN
Luận văn "Chiều, số bội và iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối
đồng điều địa phương với giá cực đại" được thực hiện tại Trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình,
tận tụy của GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình. Đồng thời,
tác giả xin trân trọng cảm ơn tới TS. Trần Đỗ Minh Châu với sự giúp đỡ
của cô trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy cô khoa
Toán đã tham gia giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và
nghiên cứu.
Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động
ii
viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập.
Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin
3
1.1. Tập các iđêan nguyên tố gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Chiều của môđun Artin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Số bội cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại . 16
2.1. Tính Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Tập iđêan nguyên tố gắn kết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Công thức bội liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
iii
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
MỞ ĐẦU
Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn
sinh. Chiều Krull, tập iđêan nguyên tố liên kết, đa thức Hilbert-Samuel và số
bội là các bất biến quan trọng của M trong nghiên cứu môđun này. Chúng
có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Nếu kí hiệu chiều của M là d thì từ một
min AssR(M ) ta tính được d thông qua tập iđêan nguyên tố liên kết của M.
kết quả quen thuộc SuppR(M ) = Var(AnnR M ) và min Var(AnnR M ) =
Hơn nữa, d cũng chính là bậc của đa thức Hilbert-Samuel. Số bội của M
tương ứng với một iđêan m-nguyên sơ q của R bằng tích của d! với hệ số cao
nhất của đa thức Hilbert-Samuel. Số bội còn được tính thông qua tập iđêan
nguyên tố liên kết nhờ công thức liên kết cho số bội.
Var(AnnR A) không còn đúng. Thêm vào đó SuppR(A), nếu khác rỗng chỉ
Đối với mỗi R-môđun Artin A, nhìn chung công thức SuppR(A) =
gồm iđêan cực đại. Vì thế chiều Krull và tập iđêan nguyên tố liên kết không
có ý nghĩa trong nghiên cứu cấu trúc của môđun Artin A. Năm 1971, D.
(cid:96)(0 :A I n) là một đa thức khi n đủ lớn. Ông gọi đa thức này là đa thức Hilbert
Kirby [11] đã chỉ ra rằng nếu I là iđêan của R sao cho (cid:96)(0 :A I) hữu hạn thì
của môđun Artin A vì vai trò của nó đối với A tương tự như vai trò của đa
thức Hilbert-Samuel đối với môđun hữu hạn sinh. Sau đó, R. N. Roberts [21]
đã đưa ra khái niệm chiều Noether (lúc đầu ông gọi là chiều Krull nhưng kí
hiệu là Kdim, chiều Noether là thuật ngữ do D. Kirby đổi lại để tránh nhầm
1
lẫn với chiều Krull). Trong [21], ông đã chứng minh được chiều Noether của
môđun Artin A chính bằng bậc của đa thức Hilbert của A. Chính vì thế,
chiều Noether là thích hợp nhất để đi đến định nghĩa hệ bội, hệ tham số cho
môđun Artin và xây dựng công thức liên kết cho số bội của môđun Artin.
Năm 1973, I. G. Macdonald [12] đã giới thiệu lý thuyết biểu diễn thứ cấp
và đưa ra khái niệm iđêan nguyên tố gắn kết của một môđun. Đối với mỗi
môđun Artin A, vai trò của tập tất cả các iđêan nguyên tố gắn kết hoàn toàn
tương tự vai trò của tập iđêan nguyên tố liên kết đối với môđun hữu hạn
m(M )
sinh. Chú ý rằng, môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại H i
luôn là Artin tại mọi cấp. Vì thế chiều Noether và tập iđêan nguyên tố gắn
kết cũng như số bội có vai trò quan trọng trong nghiên cứu môđun đối đồng
điều địa phương.
Mục tiêu của luận văn là trình bày lại các kết quả gần đây của các tác
giả M. Brodmann, N. T. Cường, L. T. Nhàn, T. N. An, P. H. Quý, T. Đ. M.
Châu, . . . trong các bài báo [3], [7], [8], [17], [18], [19], . . . về chiều, tập iđêan
nguyên tố gắn kết và số bội của các môđun đối đồng điều địa phương với giá
cực đại. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận
văn được trình bày thành hai chương:
Chương 1 trình bày các kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều
và số bội cho môđun Artin.
Chương 2, chương chính của luận văn trình bày một số kết quả về
chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết và công thức liên kết cho số bội của
m(M ).
môđun đối đồng địa phương Artin với giá cực đại H i
2
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Chương 1
Iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số
bội cho môđun Artin
Trong toàn bộ luận văn này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán
Noether địa phương; M và R-môđun hữu hạn sinh chiều d, A là R-môđun
Artin, N là R-môđun hữu hạn sinh tuỳ ý và L là R-môđun bất kì. Với mỗi
I. Mục tiêu của chương này là trình bày một số kết quả về tập iđêan nguyên
iđêan I của R ta cũng kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa
1.1. Tập các iđêan nguyên tố gắn kết
tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin.
Tiết này dành để trình bày các tính chất của tập iđêan nguyên tố
gắn kết của một môđun Artin dựa trên các tài liệu tham khảo của I. G.
Macdonald [12], M. P. Brodmann và R. Y. Sharp [2]. Theo một nghĩa nào
đó, tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin có vai trò tương tự như
tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh. Vì thế, nó là một công
cụ hữu hiệu trong nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin. Cơ sở để đi đến
3
định nghĩa tập iđêan nguyên tố gắn kết là biểu diễn thứ cấp.
xnL = 0 thì ta nói phép nhân bởi x trên L là luỹ linh. Nếu xL = L thì ta
Định nghĩa 1.1.1. (i) Cho x ∈ R. Nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho
nói phép nhân bởi x trên L là toàn cấu.
(ii) Ta nói L là môđun thứ cấp nếu L (cid:54)= 0 và với mỗi x ∈ R, phép nhân
bởi x trên L hoặc là toàn cấu hoặc luỹ linh. Trong trường hợp này, tập tất
√
cả các phần tử x ∈ R sao cho phép nhân bởi x trên L là luỹ linh là một
AnnR L = p . Ta gọi L là
iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là p . Hơn nữa,
p-thứ cấp.
Li là pi-thứ cấp, được gọi là một biểu diễn thứ cấp của L. Biểu diễn thứ cấp này gọi là tối tiểu nếu các pi đôi một khác nhau và mỗi Li không thừa, tức là Li (cid:54)= L1 + . . . + Li−1 + Li+1 + . . . + Ln với mọi i = 1, . . . , n. Ta nói L là
R-môđun biểu diễn được nếu nó có biểu diễn thứ cấp. Vì tổng của hữu hạn
(iii) Mỗi cách viết L dưới dạng L = L1 + L2 + . . . + Ln, trong đó mỗi
môđun con p-thứ cấp của L là p-thứ cấp nên mỗi biểu diễn thứ cấp đều có
thể quy về tối tiểu.
1 + . . . + L(cid:48)
Định lý 1.1.2 (Định lý duy nhất thứ nhất). Giả sử L = L1 + . . . + Lr = L(cid:48)
s là hai biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L, trong đó Li là pi-thứ i là qi-thứ cấp với i = 1, . . . , s. Khi đó r = s và
{p1, . . . , pr} = {q1, . . . , qs}.
cấp với i = 1, . . . , r và L(cid:48)
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử L biểu diễn được. Theo Định lý duy nhất thứ
L và kí hiệu là AttR(L). Mỗi phần tử của AttR(L) là iđêan nguyên tố gắn
nhất, tập {p1, . . . , pn} chỉ phụ thuộc vào L mà không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L. Ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của
kết của L. Nếu p là tối tiểu trong tập AttR(L) thì thành phần thứ cấp tương
ứng gọi là thành phần thứ cấp cô lập của L.
Nhận xét 1.1.4. Rõ ràng L là R-môđun biểu diễn được thì AttR(L) là hữu
4
hạn. Hơn nữa, AttR(L) = ∅ nếu và chỉ nếu L = 0.
Định lý tiếp theo chỉ ra rằng các thành phần thứ cấp cô lập là duy
nhất.
Định lý 1.1.5 (Định lý duy nhất thứ hai). Giả sử L là biểu diễn được.
Khi đó các thành phần thứ cấp cô lập của L không phụ thuộc vào biểu diễn
thứ cấp tối tiểu của L.
−→ L
g −→ L(cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu
Định lý 1.1.6. Cho 0 → L(cid:48) f
AttR(L(cid:48)(cid:48)) ⊆ AttR(L) ⊆ AttR(L(cid:48)) ∪ AttR(L(cid:48)(cid:48)).
diễn được và các R-đồng cấu. Khi đó
Định lý sau đây cho thấy ứng dụng của biểu diễn thứ cấp trong nghiên
cứu môđun Artin.
Định lý 1.1.7. Mọi môđun Artin đều biểu diễn được.
Sau đây là một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun
Artin tương tự với các kết quả đã biết về tập iđêan nguyên tố liên kết của
môđun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.1.8. Cho A là R-môđun Artin và r ∈ R. Khi đó
p∈AttR(A) p .
√
(i) rA = A nếu và chỉ nếu r ∈ R \ (cid:83)
AnnR A = (cid:84)
p∈AttR(A) p .
(ii)
Chứng minh. Nếu A = 0 thì AttR(A) = ∅ theo Nhận xét 1.1.4. Vì thế khẳng
định (i) và (ii) luôn đúng.
Giả sử A (cid:54)= 0 và A = L1 + . . . + Ln là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu
của A, trong đó mỗi Li là môđun con pi-thứ cấp của A. Khi đó AttR(A) = {p1, . . . , pn}.
p∈AttR(A) p . Suy ra rLi = Li với mọi i = 1, . . . , n. Do đó rA = A. Ngược lại, nếu r ∈ pj, với j nào đó (1 ≤ j ≤ n) thì tồn tại
5
(i) Giả sử r ∈ R \ (cid:83)
h ∈ N sao cho rhLj = 0. Vì thế
n (cid:88)
rhA = rhL1 + . . . + rhLj−1 + rhLj+1 + . . . + rhLn ⊆
Li ⊂ A.
i=1 i(cid:54)=j
Suy ra rA (cid:54)= A.
(ii) Theo tính chất của tập linh hoá tử và căn của iđêan ta có
n (cid:88)
n (cid:92)
AnnR A =
AnnR(Li)
Li
i=1
i=1
n (cid:92)
(cid:113) (cid:112) (cid:0) (cid:1) = (cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116)AnnR
=
i=1
p∈AttR(A)
(cid:92) p . pi =
Hệ quả 1.1.9. Cho (R, m) là vành địa phương và A là R-môđun Artin. Khi
đó A có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu AttR(A) ⊆ {m}.
Chứng minh. (⇒) Giả sử (cid:96)(A) < ∞. Khi đó tồn tại h ∈ N sao cho mhA = 0.
Nếu A = 0 thì AttR(A) = ∅. Do đó AttR(A) ⊆ {m}. Giả sử A (cid:54)= 0. Ta sẽ chứng minh A là m-thứ cấp. Thật vậy, lấy r ∈ R. Nếu r ∈ m thì rhA = 0.
AttR(A) = {m}. Vậy AttR(A) ⊆ {m}.
√
AnnR A = m.
(⇐) Nếu AttR(A) ⊆ {m} thì theo Mệnh đề 1.1.8 (ii), Suy ra tồn tại h sao cho mhA = 0. Do đó A có độ dài hữu hạn.
√
Nếu r /∈ m thì r khả nghịch. Suy ra rA = A. Do đó A là m-thứ cấp. Vì thế
AnnR A =
p∈Var(AnnR A)
(cid:84) p nên từ Mệnh đề Chú ý rằng p = (cid:84) p⊇AnnR A
1.1.8 ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.1.10. Cho A là R-môđun Artin. Khi đó
(i) min AttR(A) = min Var(AnnR A).
6
(ii) dim(R/AnnR A) = max{dim(R/ p) | p ∈ AttR(A)}.
Để chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của R-môđun Artin A qua
đồng cấu phẳng địa phương ta sử dụng công thức sau đây. Nhắc lại rằng,
đồng cấu ϕ : R → S giữa các vành địa phương (R, m) và (S, n) được gọi là
đồng cấu phẳng địa phương nếu S là R-môđun phẳng và ϕ(m) ⊆ n.
Bổ đề 1.1.11. Cho A là một R-môđun Artin, (S, n) là vành Noether địa
phương và ϕ : R → S là đồng cấu phẳng địa phương giữa các vành địa
S-môđun Artin và
AttR(A) = {ϕ−1(P) | P ∈ AttS(A ⊗R S)}.
phương (R, m) và (S, n). Giả sử rằng dim(S/mS) = 0. Khi đó A ⊗R S là
Chứng minh. Trước hết, ta sử dụng tiêu chuẩn Melkersson [2, 7.1.2] để chứng
minh A ⊗R S là một S-môđun Artin. Vì S là phẳng trên R và R/m là môđun
HomS(S/mS; A ⊗R S) ∼= HomS(R/m ⊗R S; A ⊗R S)
∼= HomR(R/m; A) ⊗R S.
biểu diễn hữu hạn nên theo [14, Định lý 7.11] ta có
HomR(R/m; A) ⊗R S là S-môđun hữu hạn sinh được triệt tiêu bởi mS. Do
Vì HomR(R/m; A) ∼= (0 :A m) nên HomR(R/m; A) là R-môđun có độ dài hữu hạn. Vì thế HomR(R/m; A) là R-môđun hữu hạn sinh. Suy ra
đó HomR(R/m; A)⊗R là S/mS-môđun hữu hạn sinh. Vì dim(S/mS) = 0
nên S/mS là vành Artin. Suy ra HomR(R/m; A) ⊗R S là S-môđun có độ dài
hữu hạn. Chú ý rằng, với mỗi a ∈ A, môđun Ra có độ dài hữu hạn nên a bị
triệt tiêu bởi một luỹ thừa nào đó của m. Vì thế A là m-xoắn. Suy ra A ⊗R S
là mS-xoắn. Do đó A ⊗R S là S-môđun Artin.
Giả sử A = A1 + . . . + An là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A, trong
7
đó Ai là pi-thứ cấp với i = 1, . . . , n. Khi đó AttR(A) = {p1, . . . , pn}. Vì S là R-đại số phẳng hoàn toàn nên theo [14, Định lý 7.5(i)] ϕ là đơn cấu. Vì thế
có thể xem R như là vành con của S và Ai ⊗R S có thể xem như là S-môđun
A ⊗R S = (A1 ⊗R S) + . . . + (An ⊗R S).
con của A ⊗R S với mọi i = 1, . . . , n. Khi đó ta có
. . .+Biki của S-môđun Ai⊗RS, trong đó Bij là Pij-thứ cấp. Khi đó A⊗RS = (cid:80)n i=1(Bi1 + . . . + Biki) là biểu diễn thứ cấp của A ⊗R S. Bằng cách loại bỏ các thành phần thừa và đánh số lại, ta có thể giả sử tồn tại một số nguyên ti ≤ ki với i = 1, . . . , n sao cho A ⊗R S = (cid:80)n i=1(Bi1 + . . . + Biti) là biểu diễn thứ cấp của A ⊗R S mà không có thành phần nào thừa. Nếu ti = 0 với
i nào đó thì Ai ⊗R S = 0. Suy ra Ai = 0 do S là phẳng hoàn toàn trên R,
Với mỗi i = 1, . . . , n, chọn một biểu diễn thứ cấp tối tiểu Ai ⊗R S = Bi1 +
A = A1+. . .+An. Vì thế ti ≥ 1 với mọi i = 1, . . . , n. Để khẳng định biểu diễn thứ cấp A⊗RS = (cid:80)n i=1(Bi1+. . .+Biti) là tối tiểu, ta còn phải chứng minh các Pij là đôi một phân biệt. Thật vậy, giả sử i ∈ {1, . . . , n} và x ∈ pi . Khi đó tồn tại m ∈ N sao cho xmAi = 0. Suy ra xm(Ai⊗R S) = 0 và do đó xmBij = 0 với
mâu thuẫn với tính chất Ai là không thừa trong biểu diễn thứ cấp tối tiểu
mọi j = 1, . . . , ti. Vì thế x ∈ Pij ∩ R với mọi j = 1, . . . , ti. Lấy x ∈ R \ pi thì xmAi = Ai. Suy ra xm(Ai ⊗R S) = Ai ⊗R S với mọi m ∈ N. Nếu ϕ(x) ∈ Pij với j ∈ {1, . . . , ti} nào đó thì tồn tại m0 ∈ N sao cho ϕ(x)m0Bij = 0. Do đó xm0(Ai ⊗R S) (cid:54)= Ai ⊗R S, mâu thuẫn. Vì thế ϕ(x) /∈ Pij với mọi j = 1, . . . , ti.
AttR(A) = {P ∩ R | P ∈ AttS(A ⊗R S)}.
Kéo theo pi = Pij ∩ R với mọi j = 1, . . . , ti. Do đó Pij là đôi một khác nhau. Suy ra A ⊗R S = (cid:80)n i=1(Bi1 + . . . + Biti) là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A ⊗R S. Vì thế AttS(A ⊗R S) = {Pij | i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , ti}. Vậy
Vì đồng cấu tự nhiên f : R → (cid:98)R là đồng cấu phẳng địa phương nên
8
với mỗi R-môđun Artin A ta có công thức sau.
AttR(A) = {P ∩ R | P ∈ Att
(cid:98)R(A)}.
1.2. Chiều của môđun Artin
Hệ quả 1.1.12.
dim(R/ AnnR A) không phù hợp để đi đến một cách tự nhiên các khái niệm
Cho A là R-môđun Artin. Khi đó SuppR(A) ⊆ {m}. Vì thế chiều Krull
hệ bội, hệ tham số cho môđun Artin. Năm 1973, D. Kirby đã đưa ra kết quả
về đa thức Hilbert-Samuel cho môđun Artin, tương tự với kết quả về đa thức
Hilbert-Samuel cho môđun Noether. Kết quả được phát biểu như sau.
Định lý 1.2.1. (Xem [11, Mệnh đề 2]) Cho A là R-môđun Artin và q là
iđêan của R sao cho (cid:96)(0 :A q) hữu hạn. Khi đó (0 :A qn) có độ dài hữu hạn và (cid:96)R(0 :A qn) là một hàm đa thức với n đủ lớn.
q (n) = (cid:96)R(0 :A qn+1). Theo Định lý 1.2.1, H A
q (n) là một hàm
Đặt H A
s (cid:88)
s (cid:88)
đa thức, nghĩa là tồn tại các số nguyên s, g0, g1, . . . , gs, trong đó s ≥ 0, sao (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
gi, với n đủ lớn. Đặt P A
gi. Ta
q (n) =
q (n) =
n + i i
n + i i
i=0
cho H A
i=0 q (n) là hàm Hilbert-Samuel của R-môđun Artin A và P A
q (n) là đa thức
gọi H A
Hilbert-Samuel ứng với iđêan q . Với kết quả này, D. Kirby đã nhận xét rằng
sự tồn tại của đa thức Hilbert-Samuel của môđun Artin là một gợi ý để
định nghĩa các khái niệm chiều và số bội cho môđun Artin. Năm 1974, R.
N. Roberts [21] định nghĩa chiều Krull (kí hiệu là Kdim) cho môđun tùy ý
và đưa ra một số kết quả về chiều Krull này cho môđun Artin. Ông cũng
chỉ ra rằng chiều Kdim của môđun Artin A chính bằng bậc của đa thức
Hilbert-Samuel của A. Để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull của các
9
môđun hữu hạn sinh, D. Kirby trong [11] đã đổi thuật ngữ của R. N. Roberts
thành chiều Noether. Sau đây, chúng tôi nhắc lại khái niệm chiều Noether
cho môđun Artin theo thuật ngữ của D. Kirby. Chú ý rằng chiều Noether có
thể định nghĩa cho một môđun tùy ý, không nhất thiết là môđun Artin.
Định nghĩa 1.2.2. Chiều Noether của một R-môđun Artin A, kí hiệu
bởi N-dimR A, được định nghĩa bằng quy nạp như sau. Nếu A = 0, thì
N-dimR A < s là sai và với mỗi dãy tăng các môđun con A0 ⊆ A1 ⊆ . . .
đặt N-dimR A = −1. Cho số nguyên s ≥ 0, ta đặt N-dimR A = s nếu
n ≥ n0.
của A, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < s với mọi
Như vậy N-dimR A = 0 khi và chỉ khi A (cid:54)= 0 và A là Noether. Bổ đề
sau cho ta tính chất của chiều Noether khi chuyển qua dãy khớp.
Bổ đề 1.2.3. Nếu 0 → A(cid:48) → A → A(cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp các R-môđun Artin
thì N-dimR A = max{N-dimR A(cid:48), N-dimR A(cid:48)(cid:48)}.
max{N-dimR A(cid:48), N-dimR A(cid:48)(cid:48)} = d. Rõ ràng ta có
N-dimR A ≥ d.
Chứng minh. Ta có thể giả sử A(cid:48) là môđun con của A và A(cid:48)(cid:48) = A/A(cid:48). Đặt
(cid:54)= 0 hoặc A(cid:48)(cid:48)
Nếu d = −1 thì A(cid:48), A(cid:48)(cid:48) = 0 và do đó A = 0. Suy ra N-dimR A = −1. Nếu (cid:54)= 0 và A(cid:48), A(cid:48)(cid:48) là Noether. Do đó A (cid:54)= 0 cũng là d = 0 thì A(cid:48)
d ≤ N-dimR A < d,
Noether. Suy ra N-dimR A = 0. Cho d > 0. Nếu N-dimR A < d thì
0 → An+1 ∩ (An + A(cid:48))/An → An+1/An → An+1/An+1 ∩ (An + A(cid:48)) → 0.
10
vô lý. Lấy A0 ⊆ A1 ⊆ . . . là một dãy tăng các môđun con của A. Khi đó ta có dãy tăng (A0 + A(cid:48))/A(cid:48) ⊆ (A1 + A(cid:48))/A(cid:48) ⊆ . . . các môđun con của A(cid:48)(cid:48) và dãy tăng A0 ∩ A(cid:48) ⊆ A1 ∩ A(cid:48) ⊆ . . . các môđun con của A(cid:48). Xét dãy khớp
N-dimR(An+1/(An+1 ∩ (An + A(cid:48))))
= N-dimR((An+1 + An + A(cid:48))(cid:14)(An + A(cid:48))) = N-dimR((An+1 + A(cid:48))(cid:14)(An + A(cid:48))) = N-dimR((An+1 + A(cid:48))/A(cid:48))(cid:14)((An + A(cid:48))/A(cid:48)) < d − 1.
Vì N-dimR A(cid:48)(cid:48) ≤ d nên tồn tại n0 sao cho với mọi n ≥ n0
N-dimR(An+1 ∩ (An + A(cid:48))/An) ≤ N-dimR(An+1 ∩ A(cid:48)(cid:14)An ∩ A(cid:48)) < d − 1
Vì N-dimR A(cid:48) ≤ d nên tồn tại n1 sao cho
N-dimR(An+1/An) < d − 1 với mọi n ≤ n2, trong đó n2 = max{n0, n1}.
với mọi n ≥ n1. Do đó áp dụng giả thiết quy nạp cho dãy khớp trên ta có
Theo định nghĩa chiều Noether ta suy ra N-dimR A = d.
Định lý sau đây chứng tỏ rằng chiều Noether của A là bậc của đa
x1, . . . , xk ∈ m để (cid:96)R(0 :A (x1, . . . , xk)R) < ∞. Đây là kết quả của R. N.
thức Hilbert-Samuel của A, và cũng là số k bé nhất sao cho có k phần tử
Roberts trong [21].
t(A) = inf{t ∈ N | ∃x1, . . . , xt ∈ m : (cid:96)R(0 :A (x1, . . . , xt)R) < ∞}.
Ký hiệu 1.2.4. Với mỗi R-môđun Artin A, kí hiệu
Nếu A = 0 thì ta đặt t(A) = −1.
N-dimR A = t(A) = deg H A
q (n).
Định lý 1.2.5. (Xem [21, Định lý 6])Với mỗi R-môđun Artin A ta có
Hệ quả 1.2.6. Cho x ∈ m. Khi đó N-dimR(0 :A x) ≥ N-dimR A − 1.
N-dimR A − 1.
11
Hơn nữa, nếu N-dimR A > 0 thì tồn tại x ∈ m để N-dimR(0 :A x) =
Cho A là R-môđun Artin và (cid:98)r ∈ (cid:98)R, a ∈ A. Gọi (rn)n∈N là dãy Côsi
m, n ≥ n0. Suy ra rna = rn0a với mọi n ≥ n0. Ta định nghĩa tích vô hướng
trong R đại diện cho lớp (cid:98)r. Vì Ra có độ dài hữu hạn nên tồn tại số tự nhiên k sao cho mka = 0. Chú ý rằng tồn tại n0 sao cho rn − rm ∈ mk với mọi
(cid:98)ra = rn0a. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như (cid:98)R-môđun. Với cấu trúc này,
A xét như (cid:98)R-môđun. Do đó A là (cid:98)R-môđun Artin. Hơn nữa, chiều Noether
một môđun con của A xét như R-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con của
của A trên R và (cid:98)R là như nhau.
N-dimR A = N-dim
(cid:98)R A.
Bổ đề 1.2.7. Với mỗi R-môđun Artin A ta có
Kết quả sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa N-dim A và dim(R/ AnnR A).
Mệnh đề 1.2.8. (Xem [8, Mệnh đề 2.4])Các phát biểu sau là đúng.
(i) N-dimR A = 0 nếu và chỉ nếu dim(R/ AnnR A) = 0. Trong trường
hợp này A có độ dài hữu hạn và R/ AnnR A là vành Artin.
(ii) N-dimR A ≤ dim(R/ AnnR A).
Chứng minh. (i) Giả sử N-dimR A = 0. Suy ra A là R-môđun Noether và do
√
đó (cid:96)R(A) < ∞. Vì vậy, dim(R/ AnnR A) = 0.
AnnR A = {m}. Vì thế, tồn tại n ∈ N sao cho mn ⊆ AnnR A. Suy ra mnA = 0. Vì thế ta có dãy
A ⊇ mA ⊇ m2A ⊇ . . . ⊇ mn−1A ⊇ mnA = 0.
Ngược lại, giả sử dim(R/ AnnR A) = 0. Khi đó
Chú ý rằng với mọi i ta có m(miA/mi+1A) = 0. Vì thế miA/mi+1A có cấu
trúc R/m-môđun Artin, và do đó miA/mi+1A là R/m-không gian véctơ hữu
12
hạn chiều. Suy ra (cid:96)R(miA/mi+1A) = dimR/m(miA/mi+1A) < ∞ với mọi
n−1 (cid:88)
i. Vì thế (cid:96)R(A) =
(cid:96)R(miA/mi+1A) < ∞. Suy ra A Noether và do đó
i=0
N-dim A = 0.
(ii) Ta chứng minh điều này bằng quy nạp theo t = dim(R/ AnnR A).
N-dimR(0 :A x) ≤ t − 1. Vì thế theo Hệ quả 1.2.6 ta có N-dimR A ≤ t.
Nếu t = 0 thì theo (i) ta có N-dimR A = 0. Cho t > 0. Gọi p1, . . . , pk là tất cả các iđêan nguyên tố của AttR(A) sao cho t = dim(R/ pi). Chú ý rằng SuppR(A) ⊆ {m}. Vì t > 0 nên các iđêan nguyên tố pi (cid:54)= m, với mọi i = 1, . . . , k. Do đó dim(0 :A x) ≤ t − 1. Theo giả thiết quy nạp ta có
Chú ý rằng tồn tại A sao cho N-dimR A < dim(R/ AnnR A) (xem
Chương 2, Ví dụ 2.2.2). Vì vậy một câu hỏi tự nhiên là với điều kiện nào của
vành R hoặc của môđun Artin A ta có N-dimR A = dim(R/ AnnR A)?
Hệ quả 1.2.9. (Xem [8, Hệ quả 2.5]) Nếu (R, m) là vành địa phương đầy đủ
N-dimR A = dim(R/ AnnR A).
thì
Cũng trong [8], các tác giả đã đưa ra điều kiện cho môđun Artin A để
chiều Noether và chiều Krull của vành R/ AnnR A bằng nhau. Điều kiện đó
là A thoả mãn tính chất (∗).
Định nghĩa 1.2.10. (Xem [8, Định nghĩa 4.2]) Một R-môđun Artin A
Var(AnnR A).
được gọi là thoả mãn tính chất (∗) nếu AnnR(0 :A p) = p với mọi p ∈
N-dimR A = dim(R/ AnnR A) = dim( (cid:98)R/ Ann
(cid:98)R A).
13
Mệnh đề 1.2.11. Nếu A thoả mãn tính chất (∗) thì
1.3. Số bội cho môđun Artin
Lý thuyết bội cho các môđun Noether đóng vai trò rất quan trọng
trong đại số giao hoán và hình học đại số. Mục tiêu của tiết này là trình bày
R-môđun Artin với N-dimR A = s. Định lý 1.2.5 dẫn chúng ta tới các khái
khái niệm và một số kết quả về số bội cho môđun Artin. Luôn giả thiết A là
niệm sau đây.
Định nghĩa 1.3.1. Một hệ x = (x1, . . . , xk) các phần tử trong m được gọi
là một hệ bội của A nếu (cid:96)(0 :A xR) < ∞. Một hệ bội x = (x1, . . . , xk) của A
được gọi là hệ tham số của A nếu k = s. Hệ các phần tử (x1, . . . , xi) trong
m với i ≤ s được gọi là một phần hệ tham số của A nếu chúng ta có thể bổ
sung được s − i phần tử xi+1, . . . , xs trong m sao cho (x1, . . . , xk) là một hệ
tham số của A.
(x1, . . . , xi) trong m là một hệ tham số của A khi và chỉ khi
N-dim(0 :A (x1, . . . , xi)R) = s − i.
Ta có thể dễ dàng suy ra từ Định lý 1.2.5 rằng một hệ các phần tử
Mệnh đề 1.3.2. (Xem [7, 2.10, 2.11]). Các phát biểu sau là đúng.
(i) Mỗi hệ bội của A là hệ bội của mọi môđun con của nó.
(ii) Nếu (x1, . . . , xk) là một hệ bội của A và xiA = 0 với một số i nào
đó thì x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xk cũng là một hệ bội của A.
(iii) Nếu 0 → A(cid:48) → A → A(cid:48)(cid:48) → 0 là một dãy khớp các R-môđun Artin
thì x là một hệ bội của A nếu và chỉ nếu nó là một hệ bội của A(cid:48) và A(cid:48)(cid:48).
Định nghĩa 1.3.3. Giả sử x = (x1, . . . , xk) là một hệ bội của A. Bội hình thức của A tương ứng với hệ bội x, kí hiệu là e(cid:48)(x, A), được định nghĩa bằng
14
quy nạp như sau: Với k = 0, nghĩa là (cid:96)R(A) < ∞, ta đặt e(cid:48)(∅, A) = (cid:96)R(A).
e(cid:48)(x, A) = e(cid:48)(y; (0 :A x1R)) − e(cid:48)(y; A/x1A).
Với k > 0, theo Mệnh đề 1.3.2 thì y = (x2, . . . , xk) là một hệ bội của (0 :A x1R) và A/x1A. Do đó theo giả thiết quy nạp, ta có các số e(cid:48)(y; (0 :A x1R)), e(cid:48)(y; A/x1A) đã được định nghĩa. Vì thế ta đặt
Mệnh đề 1.3.4. Các phát biểu sau là đúng.
(i) Nếu x = (x1, . . . , xk) là một hệ bội của A thì e(cid:48)(x, A) > 0 nếu và
n + i
s (cid:88)
chỉ nếu k = s = N-dimR A.
q (n) =
i
i=0
(ii) Giả sử x là một hệ tham số của A và P A gi là
đa thức Hilbert-Samuel của A. Khi đó e(cid:48)(x, A) = gs.
Cho q là iđêan của R sao cho (cid:96)(0 :A q) < ∞. Dựa vào kết quả về đa thức
Hilbert-Samuel của D. Kirby ta có thể định nghĩa số bội của môđun Artin A
q (n) bậc s sao
ứng với iđêan q như sau. Theo Định lý 1.2.1, tồn tại đa thức P A
q (n) = (cid:96)(0 :A qn+1). Chú
q (n), trong đó H A
q (n) = P A
cho với n đủ lớn ta có H A
s(q, A)
1(q, A), . . . , e(cid:48)
0(q, A) > 0; e(cid:48)
ý rằng, theo Mệnh đề 1.3.2, tồn tại các số e(cid:48)
sao cho
+ e(cid:48)
+ . . . + e(cid:48)
q (n) = e(cid:48) P A
0(q, A)
1(q, A)
s(q, A).
n + s s
n + s − 1 s − 1
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
0(q, A) gọi là số bội của A ứng với iđêan q . Nếu x = (x1, . . . , xs) là
Hệ số e(cid:48)
0(q, A) = e(cid:48)(x, A).
15
hệ tham số của A và q = (x1, . . . , xs) thì e(cid:48)
Chương 2
Môđun đối đồng điều địa phương với
giá cực đại
Mục tiêu của chương này là trình bày một số kết quả về tính Artin,
chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết và công thức liên kết cho số bội của môđun
đối đồng điều địa phương với giá cực đại. Nội dung được tham khảo trong
2.1. Tính Artin
các bài báo [3], [17], [18], [19].
Lý thuyết môđun đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên
bởi A. Grothendieck vào những năm 1960 và nhanh chóng phát triển, được
nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Ngày nay lý thuyết đối đồng điều
địa phương đã trở thành công cụ không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác
nhau của toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp, . . .
Mục tiêu của tiết này là trình bày tính Artin của môđun đối đồng điều địa
phương. Trước hết ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương
và ba tính chất cơ bản của môđun này là tính độc lập với vành cơ sở, tính
16
chất chuyển phẳng cơ sở và tính triệt tiêu.
Định nghĩa 2.1.1. (Xem [2, Định nghĩa 1.1.1]) Cho I là iđêan của R. Với
mỗi R-môđun M, đặt
ΓI(M ) =
(0 :M I n).
n≥0
(cid:91)
Nếu f : M → N là đồng cấu các R-môđun thì f (ΓI(M )) ⊆ ΓI(N ). Do đó
ta có đồng cấu ΓI(f ) : ΓI(M ) → ΓI(N ) xác định bởi ΓI(f )(x) = f (x) với
mỗi x ∈ ΓI(M ). Khi đó ΓI(•) là hàm tử hiệp biến, khớp trái trên phạm trù
các R-môđun và được gọi là hàm tử I-xoắn.
Định nghĩa 2.1.2. (Xem [2, Định nghĩa 1.2.1]) Với mỗi số nguyên i ≥ 0,
hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn được gọi là hàm tử đối đồng
I(•). Kết quả của tác I(M ) và được gọi là môđun
động H i điều địa phương thứ i đối với I và được kí hiệu là H i I(•) vào R-môđun M được kí hiệu là H i
đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với giá I.
I(M ) ta làm như sau: Lấy một giải nội xạ của M
I • : 0 d−1
−−→ I 0 d0
−→ I 1 → . . . → I i di
−→ I i+1 → . . .
Để xác định H i
0 → M α−→ I 0 d0
−→ I 1 → . . . → I i di
−→ I i+1 → . . .
Khi đó, có một R-đồng cấu α : M → I 0 sao cho dãy sau là khớp.
0 → ΓI(I 0)
ΓI (d0) −−−→ ΓI(I 1) → . . . → ΓI(I i)
ΓI (di) −−−→ ΓI(I i+1) → . . .
Tác động hàm tử ΓI vào phức I • ta được phức mới
I(M ).
Khi đó môđun thương Ker ΓI(di)/ Im ΓI(di−1) không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ I • của M và môđun này chính là H i
I (M ) ∼= ΓI(M ).
I(•) là hiệp biến, tuyến tính và H 0 √
√
Chú ý rằng hàm tử H i
I =
J thì H i
I(M ) = H i
J (M ).
Hơn nữa, nếu I, J là các iđêan của R sao cho
Nếu f : R → R(cid:48) là một đồng cấu vành và N là R(cid:48)-môđun thì N cũng
17
là R-môđun cảm sinh bởi f với phép nhân vô hướng được định nghĩa bởi
rn := f (r)n, trong đó r ∈ R, n ∈ N. Với phép nhân vô hướng này, ta luôn
I(N ), trong đó IR(cid:48) là iđêan của
IR(cid:48)(N ) và H i
R(cid:48) sinh bởi f (I). Khi đó việc tính môđun đối đồng điều địa phương thứ i
xác định được các R-môđun H i
của N trên R và trên R(cid:48) là như nhau. Tính chất này được gọi là tính độc lập
với vành cơ sở.
Định lý 2.1.3. (Xem [2, Định lý 4.2.1]) Cho f : R → R(cid:48) là một đồng cấu
vành, N là R(cid:48)-môđun và I là một iđêan của R. Khi đó với mọi i ≥ 0 ta có
I(N ) các R-môđun.
IR(cid:48)(N ) ∼= H i
đẳng cấu H i
Khi f : R → R(cid:48) là đồng cấu phẳng, ta có tính chất cơ bản sau của
môđun đối đồng điều địa phương, được gọi là tính chất chuyển phẳng cơ sở.
Định lý 2.1.4. (Xem [2, Định lý 4.3.2]) Giả sử đồng cấu vành R → R(cid:48) là
đồng cấu phẳng, I là iđêan của R và M là R-môđun. Khi đó, với mọi i ≥ 0
H i
I(M ) ⊗R R(cid:48) ∼= H i
IR(cid:48)(M ⊗R R(cid:48)).
ta có R(cid:48)-đẳng cấu
Một trong những tính chất quan trọng có nhiều ứng dụng là tính triệt
tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.
Định lý 2.1.5. (Xem [2, Định lý 6.1.2])(Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu
của A. Grothendieck) Cho I là iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh.
Khi đó các khẳng định sau là đúng.
I(M ) = 0 với mọi i > dim(M ).
(i) H i
I(M ) (cid:54)= 0}. (iii) Nếu M (cid:54)= 0 thì depth(I, M ) = min{i | H i
I(M ) (cid:54)= 0}.
(ii) Nếu M (cid:54)= 0 thì d = max{i | H i
Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn sinh
18
nhìn chung không Artin. Vì thế, hai kết quả sau về tính Artin của môđun
đối đồng điều địa phương chứng minh bởi I. G. Macdonald và R. Y. Sharp
rất được quan tâm.
Định lý 2.1.6. (Xem [2, Định lý 7.1.3, Định lý 7.1.6]) Các khẳng định sau
là đúng.
(i) H i
m(M ) là R-môđun Artin với mọi số nguyên i ≥ 0. I (M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I của R.
(ii) H d
Chứng minh. (i) Ta chứng minh Định lý bằng quy nạp theo i. Vì M là R-
m(M ) là Artin. Vậy khẳng định đúng
môđun hữu hạn sinh nên Γm(M ) là R-môđun hữu hạn sinh. Do đó tồn tại n ∈ N sao cho mnΓm(M ) = 0. Suy ra H 0
với i = 0.
m (N ) là R-môđun Artin với mọi R-môđun hữu hạn sinh N . Chú ý rằng theo [2, Hệ quả 2.1.7(iii)] ta
Giả sử i > 0 và ta đã chứng minh được H i−1
H i
m(M ) ∼= H i
m(M/Γm(M )).
có R-đẳng cấu
Hơn nữa, theo [2, Bổ đề 2.1.2], M/Γm(M ) là R-môđun m-xoắn tự do. Vì thế
ta có thể giả thiết thêm M là R-môđun m-xoắn tự do.
Áp dụng [2, Bổ đề 2.1.1(ii)] suy ra m chứa một phần tử r là M -chính
0 → M r−→ M → M/rM → 0
quy. Dãy khớp
H i−1
f −→ H i
m (M/rM )
m(M ) r−→ H i
m(M )
cảm sinh ra dãy khớp
các môđun đối đồng điều địa phương. Vì M/rM là môđun hữu hạn sinh nên
m (M/rM ) là Artin. Chú ý rằng từ dãy khớp trên
theo giả thiết quy nạp H i−1
H i−1
m (M/rM )/ Ker f ∼= Im f = (0 :H i
m(M ) r).
19
ta có
m(M ) là m-xoắn nên nó cũng là
m(M ) r) là R-môđun Artin. Vì H i
m(M ) là Artin.
Suy ra (0 :H i Rr-xoắn. Theo [2, Định lý 7.1.2] ta có H i
I (M ) = ΓI(M ) là
R-môđun Artin.
(ii) Ta chứng minh Định lý bằng quy nạp theo d. Nếu d = 0 thì M là R-môđun m-nguyên sơ. Vì thế tồn tại t ∈ N sao cho mtM = 0. Do ΓI(M ) là R-môđun con của M nên mtΓI(M ) = 0. Vì thế H 0
(N ) là Artin, với
I
Giả sử d > 0 và ta đã chứng minh được H dimR N
mọi R-môđun N khác không, hữu hạn sinh có chiều nhỏ hơn d. Theo [2,
I (M ) ∼= H d
Hệ quả 2.1.7(iii)], H d
H d
I (M/ΓI(M )). Suy ra nếu dim M/ΓI(M ) < d I (M/ΓI(M )) = 0 theo Định lý triệt tiêu Grothendick 2.1.5(i). Vì thế I (M ) = 0 và do đó là Artin. Vì M/ΓI(M ) là I-xoắn tự do theo [2, Bổ đề
thì H d
2.1.2] nên ta có thể giả thiết thêm M là R-môđun I-xoắn tự do.
Tiếp theo ta lập luận tương tự như trong chứng minh 2.1.6(i). Theo
[2, Bổ đề 2.1.1(ii)], iđêan I chứa phần tử M -chính quy là r và ta cũng có dãy
(M/rM ) → H d
I (M ) r−→ H d
I (M ).
H d−1 I
khớp
Vì r là M -chính quy nên r /∈ q với mọi q ∈ AssR M. Giả sử p ∈ AssR M
(M/rM ) là Artin và
I
I (M )
thỏa mãn dim(R/ p) = d. Khi đó p không chứa AnnR(M/rM ). Vì thế dim(M/rM ) ≤ d − 1. Theo giả thiết quy nạp H d−1
I (M ) r) là Artin. Vì H d I (M ) là R-môđun Artin.
do đó áp dụng vào dãy khớp trên ta suy ra (0 :H d là Rr-xoắn nên theo [2, Định lý 7.1.2], môđun H d
Khi vành cơ sở là vành Gorenstein, đối ngẫu Matlis và đối ngẫu địa
phương là những công cụ quan trọng để nghiên cứu đối đồng điều địa phương.
Nhắc lại rằng vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu R có chiều
nội xạ hữu hạn, tức là R có một giải nội xạ trong đó chỉ có hữu hạn môđun
20
nội xạ khác 0. Ta gọi D(N ) := HomR(N, E(R/m)) là đối ngẫu Matlis của
R-môđun N, trong đó E(R/m) là bao nội xạ của R-môđun R/m. Định lý
đối ngẫu địa phương được phát biểu như sau.
Bổ đề 2.1.7. (Xem [2, 11.2.6]) Giả sử R là thương của một vành Gorenstein địa phương (R(cid:48), m(cid:48)) với dim R(cid:48) = n(cid:48). Khi đó Exti R(cid:48)(M, R(cid:48)) là R-môđun hữu
H i
m(M ) ∼= D(Extn(cid:48)−i
R(cid:48) (M, R(cid:48))) với mọi i ≥ 0.
hạn sinh và ta có đẳng cấu
R(M ) = Extn(cid:48)−i
R(cid:48) (M, R(cid:48)).
Với mỗi số nguyên i, kí hiệu K i(M ) = K i
Môđun này được gọi là môđun khuyết thứ i của M và K(M ) := K d(M )
2.2. Chiều
được gọi là môđun chính tắc của M.
Tiết này dùng để trình bày các kết quả gần đây về chiều của môđun
đối đồng điều địa phương Artin được chứng minh trong [8], [18], [5] bởi N.
m(M ) là R-môđun
T. Cường, L. T. Nhàn, T. Đ. M. Châu. Chú ý rằng, vì H i
m(M ) có hai khái niệm chiều là chiều
Artin nên theo mục 2 chương I, H i
m(M ))). Vì thế, trong
m(M ) và chiều Krull dim(R/ Ann(H i
Noether N-dim H i
phần này, sau khi chứng minh các tính chất của chiều Noether của môđun
đối đồng điều địa phương, chúng tôi trình bày tiếp về mối quan hệ giữa hai
chiều này.
N-dimR(H i
m(M )) ≤ i.
Định lý 2.2.1. (Xem [8, Định lý 3.1]) Với mỗi i = 0, . . . , d ta có
H 0
m(M ) = Γm(M ) là Noether (và cũng là Artin) nên N-dimR(H 0
m(M )) ≤ 0. Cho d > 0. Theo Định lý tránh nguyên tố, tồn tại x ∈ m sao cho x /∈ p với mọi
21
Chứng minh. Ta chứng minh Định lý bằng quy nạp theo d. Với d = 0, vì
iđêan p ∈ AssR(M )\{m}. Do cách chọn phần tử x ta suy ra dim(0 :M x) ≤ 0.
0 → (0 :M x) → M → M/(0 :M x) → 0
Từ dãy khớp
. . . → H i
m(0 :M x) → H i
m(M/(0 :M x)) → H i+1
m (0 :M x) →
→ H i+1
m(M ) → H i m (M ) → H i+1
m (M/(0 :M x)) . . .
ta được dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
m(0 :M x) = H i+1
m (0 :M x) = 0, với mọi
i ≥ 1. Vì thế, với i ≥ 1 ta có đẳng cấu
Do dim(0 :M x) ≤ 0 nên ta có H i
H i
m(M/(0 :M x)).
m(M ) ∼= H i
(2.1)
→ H i
fi−→ H i
gi−→ H i+1
m(M/(0 :M x)) .x−→ H i
m(M )
m(M/xM )
m (M/(0 :M x)) → (2.2)
Từ dãy khớp 0 → M/(0 :M x) .x−→ M → M/xM → 0 ta được dãy khớp
Thay (2.1) vào (2.2) ta được dãy khớp
H i
fi−→ H i
gi−→ H i+1
m(M ) .x−→ H i
m(M )
m(M/xM )
m (M ) .x−→ H i+1
m (M )
m(M/xM ) sao cho
(2.3)
m(M )/ Ker fi → H i m(M ) nên ta có dãy khớp
0 → H i
m(M )/xH i
m(M ) → H i
m(M/xM ).
Chú ý rằng luôn tồn tại đơn cấu ϕi : H i Im ϕi = Im fi. Hơn nữa Ker fi = xH i
m (M ) x) = Im gi nên ta có toàn cấu
H i
m(M/xM )
gi−→ (0 :H i+1
m (M ) x) → 0.
Từ dãy (2.3) suy ra (0 :H i+1
0 → H i
ϕi−→ H i
m(M )/xH i
m(M )
m(M/xM )
gi−→ (0 :H i+1
m (M ) x) → 0.
Do Ker gi = Im fi = Im ϕi nên ta có dãy khớp
0 → H 0
m(M/xM ) → (0 :H 1
m(M ) x) → 0.
22
Với i = 0, ta có dãy khớp
Vì thế H i
m(M/xM ) là các môđun Artin với mọi i = 0, 1, . . . , d − 1. Theo giả m(M/xM )) ≤ i với mọi i = 0, 1, . . . , d − 1.
thiết quy nạp ta có N-dimR(H i
m(M/xM )) ≤ i
N-dimR(0 :H i+1
m (M ) x) ≤ N-dimR(H i
Do đó, theo Bổ đề 1.2.3 ta có
m(M )) ≤ i với
với i = 0, 1, . . . , d − 1. Theo Hệ quả 1.2.6, ta có N-dimR(H i
mọi i = 0, 1, . . . , d.
m(M ) là Artin nên theo Mệnh đề 1.2.8 nhìn chung ta
Chú ý rằng H i
m(M )) ≤ dim(R/ AnnR(H i
m(M ))). Ví dụ sau đây khẳng định
có N-dimR(H i
rằng dấu đẳng thức có thể không xảy ra.
m(R) trên vành địa
Ví dụ 2.2.2. Tồn tại môđun đối đồng điều địa phương H 1
m(R)) < dim(R/ AnnR(H 1
m(R))).
phương (R, m) sao cho N-dimR(H 1
Chứng minh. Gọi (R, m) là miền Noether địa phương chiều 2 được xây dựng
R có một iđêan nguyên tố nhúng liên kết Q chiều 1. Vì Q ∈ Ass( (cid:98)R) và
( (cid:98)R)) theo Bổ đề 2.3.4. Chú ý rằng
dim( (cid:98)R/Q) = 1 nên Q ∈ Att H 1
(cid:98)R(H 1 m (cid:98)R ( (cid:98)R) xét như các (cid:98)R-môđun. Do đó Q ∈ Att
(cid:98)R(H 1
m(R) ∼= H 1 m (cid:98)R
m(R)). Vì Q ∈ Ass( (cid:98)R) nên Q ∩ R ∈ Ass(R). Vì R là miền nguyên nên Q ∩ R = 0. Do
bởi D. Ferrand và M. Raynaud trong [22] mà môđun đầy đủ m-adic (cid:98)R của
AnnR(H 1
m(R)) = Ann
m(R)) ∩ R ⊆ Q ∩ R = 0.
(cid:98)R(H 1
m(R))) = 2. Mặt khác, ta dễ dàng suy ra từ Định m(R)) = 1. Vậy môđun đối đồng
đó ta có
m(R) thỏa mãn
N-dimR(H 1
m(R)) = 1 < 2 = dim(R/ AnnR(H 1
m(R))).
23
Vì thế dimR(R/ AnnR(H 1 lý 2.2.1 và Mệnh đề 1.2.8(i) rằng N-dimR(H 1 điều địa phương H 1
Từ Ví dụ 2.2.2 một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là khi nào chiều
Noether và chiều Krull của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại
là bằng nhau. Định lý sau đưa ra câu trả lời cho câu hỏi này.
Định lý 2.2.3. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Nếu R là thương của vành
N-dimR(H i
m(M )) = dim(R/ AnnR(H i
m(M ))).
Gorenstein địa phương thì
dimR(K i(M )) = dim
(cid:98)R( (cid:99)K i(M )).
Chứng minh. Kí hiệu (cid:99)K i(M ) là môđun đầy đủ m-adic của K i(M ). Ta có
m(M ) là môđun Artin nên H i
m(M ) có cấu trúc (cid:98)R-môđun Artin. Áp dụng Định lý 2.1.4 cho đồng cấu tự nhiên f : R → (cid:98)R, ta có các (cid:98)R-đẳng
Chú ý rằng H i
H i
( (cid:99)M ) ∼= H i
(M ⊗ (cid:98)R) ∼= H i
m(M ) ⊗ (cid:98)R ∼= H i
m(M ).
m (cid:98)R
m (cid:98)R
cấu
Vì E(R/m) là bao nội xạ của R/m nên theo [2, 10.2.5] ta có E là R-môđun Artin. Suy ra E có cấu trúc (cid:98)R-môđun Artin và theo [2, 10.2.10] ta có E ∼= E(cid:48), trong đó E(cid:48) là bao nội xạ của (cid:98)R/m (cid:98)R. Do đó, theo [14, Định lý 7.11], ta có
m(M ), E) ⊗ (cid:98)R
= Hom ∼= Hom
m(M ) ⊗ (cid:98)R, E ⊗ (cid:98)R) m( (cid:99)M ), E(cid:48)) = K i( (cid:99)M ).
các đẳng cấu
(cid:99)K i(M ) ∼= K i(M ) ⊗ (cid:98)R = HomR(H i (cid:98)R(H i (cid:98)R(H i
dimR(K i(M )) = dim
( (cid:99)M ))
= dim
m(M )) = N-dim
m(M )).
(cid:98)R(K i( (cid:99)M )) = dim (cid:98)R(H i
(cid:98)R(H i m (cid:98)R (cid:98)R(H i
Vì thế
dim( (cid:98)R/ Ann
m(M )).
m(M )) = N-dimR(H i
m(M ))) = N-dim
(cid:98)R(H i
(cid:98)R(H i
24
Mặt khác, từ Bổ đề 1.2.7 và Hệ quả 1.2.9, ta suy ra
m(M ))) = dimR(K i
m(M )) = N-dimR(H i
m(M )).
Vậy dim(R/ AnnR(H i
m(M )) với i = 1, . . . , d. Nếu R là thương
Hệ quả 2.2.4. Đặt ai = AnnR(H i
dim(R/ai) ≤ i.
của vành Gorenstein địa phương thì với mọi i = 1, . . . , d ta có
m(M ) (cid:54)= 0 thì
N-dimR(H d
m(M )) = d.
Định lý 2.2.5. Nếu R-môđun Artin H d
m(M ) không là môđun hữu hạn sinh nếu d > 0.
Hơn nữa, H d
H i
m(M ) ∼= H i
m+AnnR M (M ) ∼= H i
m(R/ AnnR M )(M ).
Chứng minh. Ta có thể giả thiết AnnR M = 0 do các đẳng cấu sau
Vì M luôn là ảnh đồng cấu của một môđun tự do hữu hạn sinh nào đó nên
ta có thể chọn một dãy khớp 0 → K → Rn → M → 0. Ta có dãy khớp cảm
(H d
m(R))n → H d
m(M ) → 0.
sinh
m(R) có cấu trúc (cid:98)R-môđun nên theo Định lý 2.3.1
Att
m(R)) = {P ∈ Spec( (cid:98)R), dim( (cid:98)R/P) = d}.
(cid:98)R(H d
Chú ý rằng H d
Att
m(M )) ⊆ Att
m(R)).
(cid:98)R(H d
Suy ra
m(M ) (cid:54)= 0 nên Att
m(M )) (cid:54)= ∅. Do đó theo Bổ đề 1.2.7 và Hệ quả
(cid:98)R(H d (cid:98)R(H d
Vì H d
N-dimR(H d
m(M )) = N-dim
m(M )) = dim( (cid:98)R/ Ann
m(M ))) = d.
(cid:98)R(H d
(cid:98)R(H d
1.2.6 ta có
m(M ) hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu N-dimR(H d
m(M )) = 0
Vì môđun Artin H d
25
nên ta có ngay khẳng định thứ hai khi d > 0.
Năm 2014, L. T. Nhàn và T. Đ. M. Châu [18] đã chứng minh được
đẳng thức trong Định lý 2.2.3 vẫn đúng khi vành cơ sở là thương của vành
Cohen-Macaulay.
Mệnh đề 2.2.6. Các mệnh đề sau là tương đương.
m(M ))) = N-dimR(H i
m(M )) với mọi số nguyên i
(i) dim(R/ AnnR(H i
và với mọi R-môđun Noether M.
m(M ) p) = p với mọi số nguyên i, với mọi R-môđun
(ii) AnnR(0 :H i
m(M ))).
Noether M và với mọi p ∈ Var(AnnR(H i
(iii) R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R đều là
Cohen-Macaulay.
Chứng minh. (iii) ⇒ (ii). Theo [17, Hệ quả 3.2].
(ii) ⇒ (i). Theo Mệnh đề 1.2.11.
k−1 (cid:89)
(i) ⇒ (iii). Giả sử p ∈ Spec(R). Đặt k = dim(R/ p). Với mỗi i =
0, 1, . . . , k − 1, đặt ai = AnnR(H i
m(R/ p)) và a =
i=0
ai. Theo giả thiết
xH i
m(R/ p) = 0 với mọi i < k, nghĩa là R/ p có phần tử triệt tiêu đều đối đồng điều địa phương. Theo [10, Hệ quả 4.3], R là vành catenary phổ dụng
(i) và Định lý 2.2.1 ta có dim(R/ai) = N-dimR(H i m(R/ p)) ≤ i với mọi i. Suy ra dim(R/a) < k và do đó a (cid:42) p . Vì thế tồn tại x ∈ a \ p . Suy ra
2.3. Tập iđêan nguyên tố gắn kết
và mọi thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay.
Mục tiêu của tiết này là trình bày các kết quả đã biết về tập iđêan
nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại.
Trước hết là kết quả của I. G. Macdonald và R. Y. Sharp [13] mô tả tập
26
iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất.
m(M ) (cid:54)= 0 thì
AttR(H d
m(M )) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/ p) = d}.
Định lý 2.3.1. [13, Định lý 2.2] Nếu H d
Chú ý rằng, với mỗi môđun hữu hạn sinh M, với mỗi iđêan nguyên tố
p của R, mối liên hệ giữa tập AssR(Mp) và tập AssR(M ) được cho bởi công
AssR(Mp) = {q Rp | q ∈ AssR(M ), q ⊆ p}.
thức
(Mp)) và AttR(H i
m(M )) nhìn chung là không đúng, xem
AttRp(H i−dim(R/ p) p Rp
Tuy nhiên, mối quan hệ tương tự giữa hai tập iđêan nguyên tố gắn kết
[2, Ví dụ 11.3.14]. Trong [20], R. Y. Sharp đã sử dụng đối ngẫu địa phương
chứng minh kết quả sau, được gọi là nguyên lý nâng địa phương cho các
môđun đối đồng điều địa phương.
Bổ đề 2.3.2. (Xem [2, 11.3.2]) Nếu R là thương của một vành Gorenstein
địa phương thì với mỗi iđêan nguyên tố p của R và mỗi số nguyên i ≥ 0 ta
(Mp)) = {q Rp | q ∈ AttR(H i
m(M )), q ⊆ p}.
AttRp(H i−dim(R/ p) p Rp
có
Nhìn chung, chúng ta có kết quả sau, được gọi là nguyên lý nâng địa
phương yếu, xem [2, 11.3.8].
Bổ đề 2.3.3. Với mỗi iđêan nguyên tố p của R và với mỗi số nguyên i ≥ 0
(Mp)) ⊆ {q Rp | q ∈ AttR(H i
m(M )), q ⊆ p}.
AttRp(H i−dim(R/ p) p Rp
ta có
Hệ quả là ta có hai tính chất sau về tập iđêan nguyên tố gắn kết của
27
các môđun đối đồng điều địa phương.
m(M )).
m(M ) (cid:54)= 0 và p ∈ AttR(H i
Bổ đề 2.3.4. (Xem [2, 11.3.9]) Giả sử M (cid:54)= 0 và p ∈ AssR(M ) với dim(R/ p) = i. Khi đó H i
Bổ đề 2.3.5. (Xem [2, 11.3.5]) Nếu R là thương của vành Gorenstein địa
m(M ))
m(M ) (cid:54)= 0 thì với mỗi p ∈ AttR(H i
phương và i là số nguyên sao cho H i
ta có dim(R/ p) ≤ i.
Câu hỏi đặt ra là nguyên lý nâng địa phương còn đúng cho trường hợp
mở rộng khi vành cơ sở là thương của vành Cohen-Macaulay không?
Một vấn đề khác về tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối
đồng điều địa phương là công thức chuyển tập này qua đầy đủ. Với mỗi R-
môđun hữu hạn sinh M, mối liên hệ giữa tập các iđêan nguyên tố liên kết
của M và tập các iđêan nguyên tố liên kết của (cid:99)M được cho bởi hai công thức
sau.
AssR(M ) = {P ∩ R | P ∈ Ass
(cid:98)R( (cid:99)M )}
(2.4)
Ass
Ass
(cid:98)R( (cid:99)M ) =
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R).
p∈AssR(M )
(cid:91) (2.5)
Nếu A là R-môđun Artin thì do A có cấu trúc (cid:98)R-môđun Artin nên áp dụng
Hệ quả 1.1.12 ta có công thức tương tự với công thức (2.4) của môđun hữu
hạn sinh M.
AttR(A) = {P ∩ R | P ∈ Att
(cid:98)R(A)}.
(2.6)
Tuy nhiên, công thức đối ngẫu với (2.5)
Att
Ass
(cid:98)R(A) =
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R)
p∈AttR(A)
(cid:91)
nhìn chung không đúng, ngay cả khi A là môđun đối đồng điều địa phương
28
với giá cực đại. Sau đây là một ví dụ.
Ví dụ 2.3.6. Cho R là miền Noether địa phương chiều 2 xây dựng bởi
( (cid:98)R)).
Ferrand và Raynaud [22] có tính chất tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ Ass( (cid:98)R)
(cid:98)R(H 1 m (cid:98)R
sao cho dim( (cid:98)R/P) = 1. Khi đó theo Bổ đề 2.3.4 ta có P ∈ Att
Hơn nữa, P ∩ R ∈ Ass(R) theo công thức (2.5). Vì vành R là miền nguyên
nên Ass(R) = {0}. Do đó P ∩ R = 0. Chú ý rằng theo Định lý 2.1.6, H 1
m(R) m(R) có cấu trúc (cid:98)R-môđun Artin. Áp dụng Định
là R-môđun Artin. Suy ra H 1
H 1
( (cid:98)R).
m(R) ∼= H 1
m(R) ⊗R (cid:98)R ∼= H 1 m (cid:98)R
lý 2.1.4 ta có các (cid:98)R-đẳng cấu
(cid:98)R(H 1
m(R)). Suy ra 0 = P ∩ R ∈ AttR(H 1 m(R)) theo Hệ quả 1.1.12. Vì dim (cid:98)R = dim R = 2 nên tồn tại iđêan nguyên tố Q ∈ Ass( (cid:98)R)
Vì thế P ∈ Att
sao cho dim( (cid:98)R/Q) = 2. Khi đó Q ∩ R = 0 theo công thức (2.4). Đặt A = H 1
dim( (cid:98)R/ Ann
m(R))) = N-dim
(cid:98)R(H 1
m(R) và p = 0. Theo kết quả vừa lập luận ta có p ∈ AttR(A) và (cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R). Chú ý rằng theo Bổ đề 1.2.7 và Định lý 2.2.1 ta có m(R)) ≤ 1. Vì thế dim( (cid:98)R/P) ≤ 1 (cid:98)R(A). Vậy
(cid:98)R(A) theo Mệnh đề 1.1.10. Suy ra Q /∈ Att
Att
Ass
(cid:98)R(H 1 với mỗi P ∈ Att (cid:98)R(A) (cid:54)= (cid:83)
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R).
p∈AttR(A)
Q ∈ Ass
Nhận xét 2.3.7. Tồn tại vành Noether địa phương (R, m) không đầy đủ
sao cho
Att
Ass
(cid:98)R(A) =
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R)
p∈AttR(A)
(cid:91)
với mọi R-môđun Artin A. Chẳng hạn, nếu R là một vành định giá rời rạc
không đầy đủ thì R thoả mãn điều kiện Spec( (cid:98)R) → Spec(R) là song ánh
và do đó công thức này là đúng (xem [1, Mệnh đề 2.1.3]). Chú ý rằng R là
vành định giá rời rạc nếu và chỉ nếu R là miền nguyên Noether địa phương
chiều 1 và iđêan cực đại là iđêan chính (xem [14, Định lý 11.2]). Nếu R là
Spec( (cid:98)R) → Spec(R) là song ánh. Một ví dụ về vành định giá rời rạc không
29
vành định giá rời rạc thì (cid:98)R cũng là vành định giá rời rạc, do đó ánh xạ
đầy đủ là địa phương hoá của vành K[x] tại iđêan cực đại (x), trong đó K
là một trường và K[x] là vành đa thức một biến x trên K.
Sử dụng đối ngẫu Matlis và đối ngẫu địa phương, ta chứng minh được
công thức luôn đúng khi R là thương của vành Gorenstein địa phương.
Mệnh đề 2.3.8. Giả sử R là thương của một vành Gorenstein địa phương.
Khi đó với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M và với mỗi số nguyên i ≥ 0 ta có
Att
) Ass
m(M )) =
(cid:98)R(H i
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R).
p∈AttR(H i
m(M )
(cid:91) (2.7)
sao cho vành R là thương của R(cid:48). Khi đó H i
AttR(H i
m(M )) = AttR(D(K i(M ))) = AssR(K i(M )).
Chứng minh. Giả sử (R(cid:48), m(cid:48)) là vành Gorenstein địa phương có chiều là n m(M ) ∼= D(K i(M )) theo Bổ đề 2.1.7. Vì K i(M ) là R-môđun hữu hạn sinh nên theo [20, Định lý 2.3] ta có
Kí hiệu (cid:99)K i(M ) là đầy đủ m-adic của K i(M ). Khi đó đối ngẫu Matlis cho ta
D(H i
m(M )) ∼= D(D(K i(M ))) ∼= (cid:99)K i(M ).
đẳng cấu giữa các (cid:98)R-môđun
m(M ))) ∼= D( (cid:99)K i(M )). Vì (cid:99)K i(M ) là (cid:98)R-môđun hữu
m(M ) ∼= D(D(H i
Suy ra H i
Att
m(M )) = Att
(cid:98)R(H i
(cid:98)R( (cid:99)K i(M ))
(cid:98)R(D( (cid:99)K i(M ))) = Ass (cid:91) Ass
=
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R).
p∈AssR(K i(M ))
hạn sinh nên cũng theo [20, Định lý 2.3] và công thức (2.4), (2.5) ta có
m(M )) nên ta có
Vì AssR(K i(M )) = AttR(H i
Ass
Att
m(M )) =
(cid:98)R(H i
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R).
p∈AttR(H i
m(M ))
30
(cid:91)
Chú ý rằng tồn tại vành Noether địa phương (R, m) sao cho công thức
m(M ) nhưng R không là thương của một
(2.7) luôn đúng với mọi R-môđun H i
vành Gorenstein địa phương. Sau đây là một ví dụ.
Ví dụ 2.3.9. Cho (R, m) là miền nguyên Noether địa phương có chiều là
1 sao cho R không thể viết dưới dạng thương của một vành Gorenstein địa
m(M ). Thật vậy, nếu H i
Att
phương (tồn tại miền nguyên như vậy theo D. Ferrand và M. Raynaud [22]).
(cid:98)R(H i
Khi đó công thức (2.7) đúng cho mọi H i m(M )) = ∅ và AttR(H i
m(M ) (cid:54)= 0. Vì (cid:96)
(cid:98)R(H 0
thức (2.7) đúng cho H i
m(M )) = {m (cid:98)R}. Tương tự, AttR(H 0
m(M ). Giả sử H 0 (cid:98)R(H 0
{m}. Suy ra công thức (2.7) đúng cho H 0
m(M ). Nếu H 1
m(M ) = 0 thì m(M )) = ∅ theo Nhận xét 1.1.4, do đó công m(M )) < ∞ nên m(M )) = m(M ) (cid:54)= 0 thì theo Định lý 2.3.1 ta có dim M = dim (cid:99)M = 1. Vì R là miền nguyên nên Ass(R) = {0}. Do dim M = 1 nên ta có AttR(H 1
theo Hệ quả 1.1.9 ta có Att
m(M )) = {0} = min AssR(M ) theo Định (cid:98)R( (cid:99)M ) và Ass( (cid:98)R) chỉ gồm những iđêan nguyên tố chiều 1
lý 2.3.1. Vì min Ass
nên theo Định lý 2.3.1 và công thức (2.5) ta có
Att
Ass
m(M )) = min Ass
(cid:98)R(H 1
(cid:98)R( (cid:99)M ) =
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R)
p∈min AssR(M )
(cid:91)
=
Ass
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R).
p∈AttR(H 1
m(M ))
(cid:91)
m(M ).
Do đó công thức (2.7) đúng cho H 1
Ví dụ 2.3.9 dẫn đến câu hỏi tiếp theo là công thức (2.7) đúng khi R là
thương vành Cohen-Macaulay địa phương không? Bài báo [19] đã đưa ra câu
trả lời khẳng định cho câu hỏi này. Khá thú vị là công thức (2.7) lại chính là
một đặc trưng của vành thương Cohen-Macaulay. Trước khi trình bày chứng
minh chi tiết kết quả này, ta có các bổ đề sau.
31
Ký hiệu 2.3.10. Với mỗi tập con T của Spec(R) và mỗi số nguyên i ≥ 0,
(T )i = {p ∈ T | dim(R/ p) = i}.
ta đặt
m(N )) với i = 0, . . . , t và a(N ) = a0(N ) . . . at−1(N ).
Nếu N là R-môđun hữu hạn sinh có chiều t > 0, thì ta kí hiệu ai(N ) = AnnR(H i
t (cid:92)
Chú ý rằng
AnnR(0 :N/(x1,...,xi−1)N xi),
x
i=1
(cid:92) a(N ) ⊆
trong đó x = (x1, . . . , xt) chạy trong tập tất cả các hệ tham số của N, xem
[23, Định lý 2.4.5]
Bổ đề 2.3.11. Đặt M = M/UM (0), trong đó UM (0) là môđun con lớn nhất
x ∈ a(M )3 là phần tử tham số của M. Khi đó với mọi i < d − 1 ta có
H i
m(M/xM ) ∼= H i
m(M ) ⊕ H i+1
m (M ).
của M có chiều nhỏ hơn d. Với kí hiệu như trong Kí hiệu 2.3.10, giả sử rằng
Bổ đề 2.3.12. Với kí hiệu như trong Kí hiệu 2.3.10, giả sử rằng x ∈ a(M )3
d−1 (cid:91)
d−2 (cid:91)
AttR(H i
AttR(H i
m(M )) ⊇
m(M/xM )) ∩ (AssR(M ))d−1.
i=0
i=0
là một phần tử tham số của M. Khi đó ta có
d. Đặt M = M/UM (0). Đầu tiên, ta chứng minh rằng
AttR(H d−1
m (M )) = (AssR(M ))d−1 ∪ AttR(H d−1
m (M )).
Chứng minh. Kí hiệu UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn
H d−1
f −→ H d−1
m (UM (0))
m (M ) → H d−1
m (M ) → 0.
Thật vậy, từ dãy khớp 0 → UM (0) → M → M → 0 ta có dãy khớp
m (UM (0))) = ∅ = (AssR(M ))d−1 theo Nhận xét 1.1.4. Ngược lại, ta có dim(UM (0)) = d − 1 và do đó theo Định lý
32
Nếu dim(UM (0)) < d − 1 thì AttR(H d−1
AttR(H d−1
m (UM (0))) = (AssR(UM (0)))d−1 = (AssR(M ))d−1.
2.3.1
AttR(H d−1
m (M ))
m (M )) ⊆ AttR(H d−1 ⊆ AttR(H d−1
m (UM (0))/ Ker f ) ∪ AttR(H d−1 m (UM (0))) ∪ AttR(H d−1
m (M ))
= (AssR(M ))d−1 ∪ AttR(H d−1
m (M )).
m (M )) ⊆
m (M )) theo [2, 11.3.9] và AttR(H d−1
Vì thế, theo Định lý 1.1.6, ta có
m (M )) theo dãy khớp trên nên ta có
AttR(H d−1
m (M )) = (AssR(M ))d−1 AttR(H d−1
m (M )).
Vì (AssR(M ))d−1 ⊆ AttR(H d−1 AttR(H d−1
Vậy, khẳng định được chứng minh.
d−2 (cid:91)
d−2 (cid:91)
AttR(H i
(AttR(H i
m(M/xM )) =
m(M )) ∪ AttR(H i+1
m (M ))).
i=0
i=0
Tiếp theo, theo Bổ đề 2.3.11 ta có
m(M ) = 0. Do đó, theo khẳng định trên ta có
d−2 (cid:91)
AttR(H i
m(M/xM )) ∪ (AssR(M ))d−1
i=0
d−2 (cid:91)
=
(AttR(H i
m (M )))
m(M )) ∪ AttR(H i
m(M ))) ∪ ((AssR(M ))d−1 ∪ AttR(H d−1
i=0 d−1 (cid:91)
=
(AttR(H i
m(M )) ∪ AttR(H i
m(M ))).
i=0
Chú ý rằng H 0
d−1 (cid:91)
d−2 (cid:91)
AttR(H i
AttR(H i
m(M )) ⊇
m(M/xM )) ∩ (AssR(M ))d−1.
i=0
i=0
33
Vì thế
d−1 (cid:91)
d−1 (cid:91)
AttR(H i
(AssR(M/(x1, . . . , xi)M ))d−i−1.
m(M )) ⊆
i=0
i=0
Bổ đề 2.3.13. Cho (x1, . . . , xd) là một hệ tham số của M. Với kí hiệu như trong Kí hiệu 2.3.10, nếu xi ∈ a(M/(x1, . . . , xd)M )3 với mọi i = 1, . . . , d thì
Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo d. Với d = 1 thì vế trái
m(M )) và vế phải là (AssR(M ))0. Vậy khẳng định trên là đúng. Với d > 1. Đặt M1 = M/x1M. Khi đó, theo Bổ đề 2.3.12 và theo quy nạp
là AttR(H 0
d−1 (cid:91)
d−2 (cid:91)
AttR(H i
AttR(H i
m(M )) ⊆
m(M1)) ∪ (AssR M )d−1
i=0
i=0 d−2 (cid:91)
⊆
(AssR(M1/(x2, . . . , xi+1)M1))d−i−2 ∪ (AssR M )d−1
i=0 d−1 (cid:91)
=
(AssR(M/(x1, . . . , xi)M ))d−i−1 ∪ (AssR M )d−1
i=1 d−1 (cid:91)
=
(AssR(M/(x1, . . . , xi)M ))d−i−1.
i=0
ta có
Bây giờ, ta trình bày kết quả chính của phần này.
Định lý 2.3.14. Các mệnh đề sau là tương đương.
(i) R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R đều là
(Mp)) = {q Rp | q ∈ AttR(H i
Cohen-Macaulay.
p Rp
m(M )), q ⊆ p} với mọi R-môđun hữu hạn sinh M, số nguyên i ≥ 0 và iđêan nguyên tố p của R.
(ii) AttRp(H i−dim(R/ p)
Ass
m(M )) =
(cid:98)R(H i
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R) với mọi R-môđun
p∈AttR(H i
m(M ))
(cid:91) (iii) Att
hữu hạn sinh M và số nguyên i ≥ 0.
34
Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh nếu tồn tại hệ tham số (x1, . . . , xd)
của M sao cho xk ∈ a(M/(x1, . . . , xk−1)M )3 với mọi k = 1, . . . , d thì
Att
Ass
m(M )) ⊆
(cid:98)R(H i
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R).
p∈AttR(H i
m(M ))
(cid:91)
Thật vậy, giả sử P ∈ Att
m(M )). Nếu i = d thì theo Định lý 2.3.1 ta m(M )). Vì thế
(cid:98)R(H i
(cid:98)R(H i (cid:98)R( (cid:99)M ))d và (AssR(M ))d = AttR(H d
có Att
m(M )) = (Ass (cid:98)R( (cid:99)M ))d và do đó theo [14, Định lý 23.2], ta có
P ∈ (Ass
Ass( (cid:98)R/ p (cid:98)R) =
Ass( (cid:98)R/ p (cid:98)R).
p∈(AssR(M ))d
p∈AttR(H d
m(M ))
(cid:91) (cid:91) P ∈
m(M )))t. Rõ ràng với
(cid:98)R(H i
Giả sử i < d. Đặt dim( (cid:98)R/P) = t. Suy ra P ∈ (Att
mọi k = 1, . . . , d ta có
a(M/(x1, . . . , xk−1)M ) (cid:98)R ⊆ a( (cid:99)M /(x1, . . . , xk−1) (cid:99)M ).
Vì thế xk ∈ a( (cid:99)M /(x1, . . . , xk−1) (cid:99)M )3 với mọi k = 1, . . . , d. Áp dụng Bổ đề (cid:98)R( (cid:99)M /(x1, . . . , xd−t−1) (cid:99)M ))t. Chú ý rằng theo [14, Định 2.3.13 ta có P ∈ (Ass
lý 23.2], ta có
Ass
Ass( (cid:98)R/ p (cid:98)R).
(cid:98)R( (cid:99)M /(x1, . . . , xd−t−1) (cid:99)M ) =
p∈AssR(M/(x1,...,xd−t−1)M )
(cid:91)
Ass
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R). Khẳng định trên được chứng minh.
m(M ))
p∈AttR(H i Bây giờ ta chứng minh (i) ⇒ (ii). Cho số nguyên i ≥ 0 và p là iđêan
m(M )). Theo Bổ đề 2.3.3, ta (Mp)). Thật vậy, theo Bổ đề 1.1.12,
(cid:91) Suy ra tồn tại p0 ∈ AssR(M/(x1, . . . , xd−t−1)M ) sao cho P ∈ Ass( (cid:98)R/ p0 (cid:98)R). Khi đó P ∩ R = p0 và do đó p0 ∈ AttR(H i m(M )) theo Bổ đề 1.1.12. Vậy P ∈
nguyên tố của R. Giả sử q ⊆ p và q ∈ AttR(H i cần chứng minh q Rp ∈ AttRp(H i−dim R/ p p Rp (cid:98)R(H i tồn tại iđêan nguyên tố Q ∈ Att m(M )) sao cho Q ∩ R = q . Vì R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó đều là Cohen-Macaulay
35
nên theo Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.1 ta có dim(R/at(M )) ≤ t với mọi t = 0, . . . , d − 1. Suy ra dim(R/a(M )) < d. Do đó tồn tại x1 ∈ a(M )3 là
1, . . . , d. Theo khẳng định vừa chứng minh ở trên ta có Q ∈ Ass
(x1, x2, . . . , xd) của M sao cho xk ∈ a(M/(x − 1, . . . , xk−1)M )3 với mọi k = (cid:98)R( (cid:98)R/ q (cid:98)R). Vì R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R đều là Cohen-
phần tử tham số của M. Lập luận tương tự, ta chọn được một hệ tham số
Macaulay nên vành R/ q là không trộn lẫn theo nghĩa của M. Nagata [16],
dim( (cid:98)R/Q) = dim(R/ q) và do đó
q (cid:98)RQ = Q (cid:98)RQ. Do Q ∈ Att
Att
( (cid:99)M )) nên theo Bổ đề 2.3.2 ta có Q (cid:98)RQ ∈ Att
(cid:98)RQ
(cid:98)R(H i m (cid:98)R
(cid:98)R( (cid:98)R/ q (cid:98)R)). Vì thế (cid:98)R(H i m(M )) = (H i−dim( (cid:98)R/Q) ( (cid:99)MQ)). Q (cid:98)RQ
nghĩa là dim( (cid:98)R/P) = dim( (cid:98)R/ q (cid:98)R) với mỗi P ∈ (Ass (cid:113)
Vì đồng cấu tự nhiên Rq → (cid:98)RQ là phẳng hoàn toàn nên theo Định lý 2.1.4
H i−dim(R/ q)
(Mq ⊗ (cid:98)RQ)
(Mq) ⊗ (cid:98)RQ
q Rq
(Mq ⊗ (cid:98)RQ).
∼= H i−dim( (cid:98)R/Q) q (cid:98)RQ ∼= H i−dim( (cid:98)R/Q) Q (cid:98)RQ
ta có
Mq ⊗ (cid:98)RQ
∼= M ⊗R Rq ⊗Rq (cid:98)RQ ∼= M ⊗ ∼= (cid:99)M ⊗
(cid:98)R (cid:98)R ⊗Rq (cid:98)RQ ∼= (cid:99)MQ. (cid:98)R (cid:98)RQ
Chú ý rằng ta luôn có các (cid:98)RQ-đẳng cấu
H i−dim(R/ q)
( (cid:99)MQ).
(Mq) ⊗ (cid:98)RQ
q Rq
∼= H i−dim( (cid:98)R/Q) Q (cid:98)RQ
(Mq)). Vì R là vành
q Rq
Vì thế
(Mp)) theo Bổ đề 2.3.3.
i − dim(R/ q) = (i − dim(R/ p)) − dim(Rp/ q Rp). ∼= Rq nên q Rp ∈ AttRp(H i−dim(R/ p)
Do đó theo Bổ đề 1.1.11 ta có q Rq ∈ AttRq(H i−dim(R/ q) catenary theo giả thiết (i) nên ta có
p Rp
Do (Rp)q Rp
m(M )) và P ∈ Ass( (cid:98)R/ p (cid:98)R). Trước hết, ta chứng minh dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p). Thật vậy, giả sử dim( (cid:98)R/P) <
dim(R/ p). Đặt k = dim( (cid:98)R/P). Theo Bổ đề 2.3.4, ta có
(ii) ⇒ (iii). Lấy p ∈ AttR(H i
( (cid:98)R/ p (cid:98)R)) = Att
m(R/ p) ⊗ (cid:98)R) = Att
m(R/ p)).
(cid:98)R(H k
(cid:98)R(H k
(cid:98)R(H k m (cid:98)R
36
P ∈ Att
m(R/ p)) theo Bổ đề (Rp/ p Rp)) theo giả thiết (ii).
p Rp
(Rp/ p Rp)) = ∅, mâu
p Rp
Vì P ∈ Ass( (cid:98)R/ p (cid:98)R) nên p = P ∩ R ∈ AttR(H k
1.1.12. Do đó ta có p Rp ∈ AttRp(H k−dim(R/ p) Mặt khác, do dim(R/ p) > k nên AttRp(H k−dim(R/ p) thuẫn. Vậy dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p).
(Mp)) theo giả
Tiếp theo, vì P là iđêan tối tiểu của (cid:98)R/ p (cid:98)R nên dim( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP) = 0.
m(M )) nên ta có p Rp ∈ AttRp(H i−dim(R/ p)
p Rp
Do p ∈ AttR(H i
H i−dim(R/ p)
(Mp) ⊗ (cid:98)RP
( (cid:99)MP).
p Rp
∼= H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP
thiết (ii). Chú ý rằng đồng cấu tự nhiên Rp → (cid:98)RP là phẳng hoàn toàn và
( (cid:99)MP)). Suy ra
(H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP
(cid:98)RP ( (cid:99)M )) theo nguyên lý nâng địa phương yếu. Do đó P ∈
Att
(cid:98)R(H i m (cid:98)R m(M )). Vậy
Vì thế, theo Bổ đề 1.1.11, ta có P (cid:98)RP ∈ Att
P ∈ Att (cid:98)R(H i
Ass
Att
m(M )) ⊇
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R).
(cid:98)R(H i
p∈AttR(H i
m(M ))
(cid:91)
m(M ) (cid:54)= 0, theo Bổ đề m(M )) sao cho dim(R/ p) = (Mp)) theo giả thiết (ii).
p Rp
Ngược lại, với mỗi i ∈ {0, . . . , d − 1} sao cho H i
1.1.10, tồn tại một iđêan nguyên tố p ∈ AttR(H i dim(R/ai(M )). Khi đó p Rp ∈ AttRp(H i−dim(R/ p) Suy ra H i−dim(R/ p) (Mp) (cid:54)= 0. Do đó i ≥ dim(R/ p). Vì thế dim(R/ai(M )) ≤ p Rp i. Suy ra dim(R/a(M )) < d. Khi đó tồn tại phần tử x1 ∈ a(M )3 là phần tử
tham số của M. Lập luận tương tự, tồn tại một hệ tham số (x1, . . . , xd) của M sao cho xk ∈ a(M/(x1, . . . , xk−1)M )3 với mọi k = 1, . . . , d. Vậy
Att
Ass
m(M )) ⊆
(cid:98)R(H i
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R).
p∈AttR(H i
m(M ))
(cid:91)
(cid:98)R( (cid:98)R/ Ann
(cid:98)R(H i
dimR(R/ AnnR(H i
(iii) ⇒ (ii). Cho i ≥ 0. Đặt t = dim
Ngược lại, tồn tại p0 ∈ AttR(H i
Ass
m(M ))) và k = m(M ))). Theo Bổ đề 1.2.7 và Hệ quả 1.2.9 ta có ngay k ≤ t. m(M )) theo Mệnh đề 1.1.10 sao cho dim(R/ p0) = k. Lấy P ∈ min Var(p0 (cid:98)R) sao cho dim( (cid:98)R/P) = k. Khi đó (cid:98)R( (cid:98)R/ p0 (cid:98)R). Theo giả thiết (iii), P ∩ R = p0 . Vì thế P ∈
p0∈AttR(H i
m(M ))
37
(cid:83)
(cid:98)R(H i
t. Vậy t = k. Vì thế dim( (cid:98)R/ Ann
m(M ))) = dim(R/ AnnR(H i
m(M )). Suy ra dim( (cid:98)R/P) ≤ dim( (cid:98)R/ AnnR(H i m(M ))) hay k ≤ (cid:98)R(H i m(M ))). Theo Mệnh đề 2.2.6 R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-
P ∈ Att
2.4. Công thức bội liên kết
Macaulay.
Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và q là iđêan m-nguyên sơ. Ta có
thể tính được số bội e(q, M ) của M ứng với q dựa vào công thức sau đây,
được gọi là công thức bội liên kết [4, 4.6.8]
e(q, M ) =
(cid:96)Rp(Mp)e(q, R/ p).
p∈SuppR(M ) dim(R/ p)=d
(cid:88)
Trong công thức này, các iđêan nguyên tố p chạy trong tập giá SuppR(M )
sao cho dim(R/ p) = d = dim M. Để xây dựng công thức bội liên kết tương
m(M ), ta cần định nghĩa
tự cho các môđun đối đồng điều địa phương Artin H i
m(M ). Trong [3], M. P. Brodmann
được "đối địa phương hóa" thích hợp cho H i
(Mp) là "đối địa phương hóa" của H i
m(M )
p Rp
và R. Y. Sharp đã xem H i−dim(R/ p)
để định nghĩa tập giả giá thứ i của M. Từ đó hai ông đã xây dựng thành
m(M ) khi vành cơ sở là thương của vành
công công thức bội liên kết cho H i
Cohen-Macaulay. Sau đó, L. T. Nhàn và T. N. An đã chứng minh công thức
m(M ) thoả mãn tính chất (∗). Mục tiêu của phần
bội này cũng đúng khi H i
này là trình bày lại hai kết quả đó. Trước hết ta nhắc lại khái niệm giả giá
thứ i của M.
38
Định nghĩa 2.4.1. Cho i ≥ 0 là một số nguyên.Giả giá thứ i của M, kí hiệu
R(M ), được cho bởi công thức sau
Psuppi
(Mp) (cid:54)= 0}.
R(M ) = {p ∈ Spec(R) | H i−dim(R/ p)
p R p
là Psuppi
Khi R là thương của vành Gorenstein địa phương, sử dụng đối ngẫu
Matlis và đối ngẫu địa phương ta có thể nhanh chóng chứng minh được công
m(M ).
thức bội liên kết cho H i
Mệnh đề 2.4.2. (Xem [3, Mệnh đề 1.2]) Giả sử R là thương của một vành
Gorenstein địa phương và q là iđêan m-nguyên sơ. Cho i ≥ 0 là số nguyên.
m(M ) (cid:54)= 0 thì
Nếu H i
e(cid:48)(q, H i
(Mp))e(q, R/ p).
m(M )) =
(cid:96)Rp(H i−dim R/ p p Rp
p∈Psuppi R(M ) dim(R/ p)=N-dim(H i
m(M ))
(cid:88) (2.8)
đề 2.1.7 ta có đẳng cấu H i Chứng minh. Vì R là thương của vành Gorenstein địa phương nên theo Bổ m(M ) ∼= D(K i(M )). Suy ra, với mọi n ≥ 0, ta có
các đẳng cấu
M / qn+1 K i M
m(M ) qn+1 (cid:1) ∼= (cid:0)0 :D(K i
M ) qn+1 (cid:1) ∼= D(cid:0)K i
(cid:1). (cid:0)0 :H i
Vì thế áp dụng tính chất của đối ngẫu Matlis ta có
(cid:96)(cid:0)0 :H i
M / qn+1 K i M
m(M ) qn+1 (cid:1) = (cid:96)(cid:0)K i
(cid:1).
m(M ) trùng nhau.
Điều này dẫn đến đa thức Hilbert-Samuel của K i(M ) và H i
m(M )) = e(q, K i(M )).
m(M )) và e(cid:48)(q, H i Cho p ∈ Spec(R). Giả sử R là ảnh của vành Gorenstein địa phương R(cid:48)
Do đó dim(K i(M )) = N-dim(H i
qua toàn cấu φ : R(cid:48) → R. Đặt p(cid:48) = φ−1(p). Khi đó dim(R(cid:48)/ p(cid:48)) = dim(R/ p).
dim R(cid:48)
p(cid:48) = dim R(cid:48) − dim(R(cid:48)/ p(cid:48)).
Vì R(cid:48) là vành Gorenstein nên ta có
p(cid:48) → Rp xác định bởi p(cid:48) cũng là vành
39
Chú ý rằng φ cảm sinh ra toàn cấu vành φp : R(cid:48) φp(r(cid:48)/s(cid:48)) = φ(r(cid:48))/φ(s(cid:48)) trong đó r(cid:48) ∈ R(cid:48), s(cid:48) ∈ R(cid:48) \ p(cid:48) . Vì R(cid:48)
Gorenstein nên áp dụng Định lý Đối ngẫu địa phương 2.1.7 và [2, 11.2.7] ta
p(cid:48)−(i−dim R/ p)
H i−dim(R/ p)
(Mp, R(cid:48)
p(cid:48)), ERp(Rp/ p Rp))
p Rp
dim R(cid:48) (Mp) ∼= HomRp(Ext R(cid:48) p(cid:48)
(Mp, R(cid:48)
= HomRp(Extdim R(cid:48)−i
p(cid:48)), ERp(Rp/ p Rp))
R(cid:48) p(cid:48)
(M, R(cid:48)))p, ERp(Rp/ p Rp))
∼= HomRp((Extdim R(cid:48)−i R(cid:48) ∼= D((K i(M ))p).
p Rp
được các Rp-đẳng cấu
(Mp) (cid:54)= 0 khi và chỉ khi (K i(M ))p (cid:54)= 0. Suy ra R(M ) = SuppR(K i(M )). Hơn nữa, với mỗi p ∈ SuppR(K i(M )) = (Mp)) =
R(M ) sao cho dim(R/ p) = dim(K i(M )), ta có (cid:96)(H i−dim(R/ p)
p Rp
(cid:96)((K i(M ))p). Vì thế từ công thức bội liên kết của K i(M )
Điều này dẫn đến H i−dim(R/ p) ta có Psuppi Psuppi
e(q, K i(M )) =
)(cid:96)Rp((K i(M ))p)e(q, R/ p)
p∈SuppR(K i(M ) dim(R/ p)=dim(K i(M ))
(cid:88)
m(M ) ứng với q là
ta suy ra công thức bội liên kết của H i
e(cid:48)(q, H i
(Mp))e(q, R/ p).
m(M )) =
(cid:96)Rp(H i−dim(R/ p) p Rp
p∈Psuppi R(M ) dim(R/ p)=N-dim(H i
m(M ))
(cid:88)
Nhận xét 2.4.3. Nếu R là vành đầy đủ thì theo Định lý Cấu trúc của
R(M ) =
Var(Ann(K i(M ))) = Var(Ann(H i
m(M ))).
Cohen [14, Định lý 31.7], R là ảnh đồng cấu của vành chính quy địa phương. Vì thế, theo lập luận trong chứng minh Mệnh đề 2.4.2 ta có Psuppi
m(M )
Trong [17], L. T. Nhàn và T. N. An cũng chứng minh được nếu H i
m(M ) = Var(AnnR(H i
m(M ))).
thoả mãn tính chất (∗) thì Psuppi
H i
m(M ) thoả mãn tính chất (∗) thì Psuppi
m(M ) = Var(AnnR(H i
m(M ))).
40
Bổ đề 2.4.4. (Xem [17, Định lý 3.1]) Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Nếu
(Mp) (cid:54)= 0. Suy ra
R(M ). Khi đó H i−dim(R/ p)
p Rp
(Mp)) (cid:54)= ∅. Vì thế tồn tại q ∈ Spec(R) sao cho q Rp ∈
(Mp)) với iđêan nguyên tố q ⊆ p . Theo Bổ đề 2.3.3 ta có
m(M )). Vì thế Psuppi
R(M ) ⊆
m(M )). Do đó p ⊇ q ⊇ AnnR(H i m(M ))).
Chứng minh. Giả sử p ∈ Psuppi AttRp(H i−dim(R/ p) p Rp AttRp(H i−dim(R/ p) p Rp q ∈ AttR(H i Var(AnnR(H i
Ngược lại, giả sử p ∈ Var(AnnR(H i
m(M ))). Do H i m(M ) p) = p . Đặt A = (0 :H i
m(M ) thoả mãn tính m(M ) p). Giả sử q ∈ Spec(R) và q ⊇ AnnR A. Ta sẽ chứng minh AnnR(0 :A q) = q . Hiển nhiên q ⊆ AnnR(0 :A q). Mặt khác, do A ⊆ H i
m(M ) nên (0 :A q) ⊇ (0 :H i
m(M ) q). Do H i
chất (∗) nên AnnR(0 :H i
m(M ) q). Vì m(M ) thoả mãn tính chất (∗) và m(M ) q) = q . Suy ra AnnR(0 :A q) = q .
m(M )) nên AnnR(0 :H i Vì thế, áp dụng Mệnh đề 1.2.11 ta có
dim(R/ p) = dim(R/ AnnR A) = dim( (cid:98)R/ Ann
(cid:98)R A)
= max{dim( (cid:98)R/P) | P ∈ Att
(cid:98)R(A)}.
thế AnnR(0 :A q) ⊆ AnnR(0 :H i q ⊇ AnnR(H i
(cid:98)R(A) sao cho dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p). Chú ý rằng
H i
( (cid:99)M ) ∼= H i
m(M ) như (cid:98)R-môđun nên theo Nhận xét 2.4.3
m (cid:98)R
(M ))) = Var(Ann
( (cid:99)M ) = Var(Ann
m(M ))).
(cid:98)R(H i
Psuppi (cid:98)R
(cid:98)R(H i m (cid:98)R
( (cid:99)M ). Suy
(cid:98)R(H i
m(M )). Dẫn đến P ∈ Psuppi (cid:98)R
(cid:98)R A nên P ⊇ Ann ( (cid:99)MP) (cid:54)= 0. Lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.3.14(ii
(Mp) (cid:54)= 0 hay p ∈ Psuppi
R(M ). Do vậy ta có
p Rp
Suy ra tồn tại P ∈ Att
m(M ))) ⊆ Psuppi
R(M ).
Vì P ⊇ Ann ra H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP ⇒ iii) ta được H i−dim(R/ p) Var(AnnR(H i
Chú ý 2.4.5. Chiều ngược lại của Bổ đề cũng đúng. Có thể xem chứng minh chi tiết trong [17, Định lý 3.1]. Kết quả cho thấy rõ vai trò của Psuppi
R(M ) m(M ) tương tự như vai trò của SuppR(M ) đối với môđun Noether
M.
41
đối với H i
m(M )
Bổ đề 2.4.6. (Xem [17, Hệ quả 3.3]) Cho i ≥ 0 là số nguyên. Giả sử H i
R(M ) là tập con đóng của Spec(R) đối với tôpô Zariski.
thoả mãn tính chất (∗). Khi đó các khẳng định sau là đúng.
m(M )) thì
R(M ) sao cho dim(R/ p) = N-dim(H i
( (cid:99)M )
(Mp)) là khác không và hữu hạn. Hơn nữa, nếu P ∈ Psuppi (cid:98)R
(cid:96)Rp(H i−dim(R/ p) p Rp sao cho dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p) thì
(cid:96)
(Mp))(cid:96)
( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP).
( (cid:99)MP)) = (cid:96)Rp(H i−dim(R/ p)
p Rp
(cid:98)RP
(cid:98)RP
(H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP
(i) Psuppi (ii) Nếu p ∈ Psuppi
Chứng minh. (i) Hiển nhiên do Bổ đề 2.4.4.
R(M ) sao cho dim(R/ p) = N-dim(H i
m(M )). Giả sử P ∈ min Var(p (cid:98)R) thoả mãn dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p). Khi đó ta có H i−dim(R/ p)
(Mp) (cid:54)= 0. Bằng cách lập luận như trong chứng minh Định lý
p Rp
(ii) Lấy p ∈ Psuppi
H i−dim(R/ p)
( (cid:99)MP).
(Mp) ⊗ (cid:98)RP
p Rp
∼= H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP
( (cid:99)M ). Do dim (cid:98)R/P =
( (cid:99)MP) (cid:54)= 0. Vì thế P ∈ Psuppi (cid:98)R
( (cid:99)M ) = Var(Ann
P (cid:98)RP m(M )) = N-dim
(cid:98)R(H i
(cid:98)R H i
m(M )) và Psuppi m(M )) (cid:98)R ( (cid:99)M ). Vì (cid:98)R là ảnh đồng cấu của vành chính quy địa
2.3.14(ii ⇒ iii) ta được
( (cid:99)MP)) hữu hạn
(cid:98)R
(H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP
(cid:98)P
Suy ra H i−dim( (cid:98)R/P) N-dimR(H i nên P ∈ Min Psuppi (cid:98)R phương nên áp dụng Mệnh đề 2.4.2, suy ra (cid:96)
và hữu hạn khi và chỉ khi (cid:96)Rp và khác không. Chú ý rằng đồng cấu h : Rp → (cid:98)RP là đồng cấu phẳng địa ( (cid:99)MP)(cid:1) là khác không (cid:0)H i−dim( (cid:98)R/P) phương nên áp dụng [4, 1.2.25] ta được (cid:96) (cid:98)RP P (cid:98)RP (Mp)(cid:1) khác không và hữu hạn. Hơn (cid:0)H i−dim(R/ p) p Rp
(cid:96)
(Mp)(cid:1).(cid:96)
( (cid:99)MP)(cid:1) = (cid:96)(cid:0)H i−dim(R/ p)
( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP).
p Rp
(cid:98)RP
(cid:98)RP
nữa, trong trường hợp này ta có
(cid:0)H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP
42
Định lý 2.4.7. (Xem [17, Hệ quả 3.3]) Cho i ≥ 0 là số nguyên và q là iđêan
m(M ) (cid:54)= 0 và H i
m(M ) thoả mãn tính chất (∗) thì
m-nguyên sơ. Nếu H i
e(cid:48)(q, H i
(Mp))e(q, R/ p (cid:1).
(cid:96)Rp
m(M )) =
p∈Psuppi R(M ) dim(R/ p)=N-dim(H i
m(M ))
(cid:88) (cid:0)H i−dim(R/ p) p Rp
(cid:96)R(N/ qn R) = (cid:96)
(cid:98)R(N/ qn R ⊗ (cid:98)R) = (cid:96)
(cid:98)R( (cid:98)N /(q (cid:98)R) (cid:98)N ).
Chứng minh. Với mỗi R-môđun hữu hạn sinh N ta luôn có
Vì thế e(q, R/ p) = e(q (cid:98)R, (cid:98)R/ p (cid:98)R). Áp dụng công thức bội liên kết cho (cid:98)R/ p (cid:98)R
ứng với q (cid:98)R ta được
(cid:96)
e(cid:48)(q (cid:98)R, (cid:98)R/ p (cid:98)R) =
(cid:98)RP
P∈Psuppi
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R) dim( (cid:98)R/P)=dim(R/ p)
(cid:88) (cid:0) (cid:1)e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P). (cid:98)Rp (cid:98)RP
Suy ra
e(cid:48)(q, R/ p) =
(cid:96) (cid:98)RP
P∈Psuppi
(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R) dim( (cid:98)R/P)=dim(R/ p)
(cid:88) (cid:0) (cid:1)e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P). (cid:98)Rp (cid:98)RP
( (cid:99)M ). Vì thế
m(M ) có cấu trúc (cid:98)R-môđun nên H i
m(M ) ∼= H i m (cid:98)R ( (cid:99)M ) là trùng nhau. Suy ra
m(M ) và H i
m (cid:98)R
e(cid:48)(q, H i
( (cid:99)M )).
Do H i
( (cid:99)M )). Do (cid:98)R là ảnh đồng
(cid:98)R(H i m (cid:98)R
m(M )) = N-dim cấu của vành chính quy địa phương nên áp dụng Mệnh đề 2.4.2 ta được
e(cid:48)(q (cid:98)R,H i
( (cid:99)M ))
m (cid:98)R
đa thức Hilbert-Samuel của H i m(M )) = e(cid:48)(q (cid:98)R, H i m (cid:98)R Chú ý rằng N-dimR(H i
=
(cid:96)
( (cid:99)MP)(cid:1)e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P).
(cid:98)RP
(cid:88)
P∈Psuppi
( (cid:99)M ))
dim( (cid:98)R/P)=N-dim
(cid:98)R( (cid:99)M ) (cid:98)R(H i
m (cid:98)R
43
(cid:0)H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP
m(M )) ta có
R(M ) thoả mãn dim(R/ p) = N-dim(H i
Với mỗi p ∈ Psuppi
(cid:96)
( (cid:99)MP))e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P)
(cid:98)R
(H i−dim( (cid:98)R/P) (cid:98)P (cid:98)RP
(cid:98)P
P∈Psuppi
(cid:98)R( (cid:99)M )
dim( (cid:98)R/ (cid:98)P)=N-dimR(H i
m(M )),P∩R=p
(cid:88)
=
(Mp))(cid:96)
( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP)e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P)
(cid:96)Rp(H i−dim(R/ p) p Rp
(cid:98)RP
P∈Psuppi
(cid:98)R( (cid:99)M ) dim( (cid:98)R/ (cid:98)P)=N-dimR(H i
m(M ))
P∩R=p
(cid:88)
(cid:96)
(Mp))
( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP)e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P)
= (cid:96)Rp(H i−dim(R/ p) p Rp
(cid:98)RP
P∈Psuppi
(cid:98)R( (cid:99)M ) dim( (cid:98)R/ (cid:98)P)=N-dimR(H i
m(M ))
P∩R=p
(Mp))e(q, R/ p).
= (cid:96)Rp(H i−dim(R/ p) p Rp
(cid:88)
Vì thế ta có
e(cid:48)(q, H i
(Mp)(cid:1)e(q, R/ p).
(cid:96)Rp
m(M )) =
p∈Psuppi R(M ) dim(R/ p)=N-dim(H i
m(M ))
(cid:88) (cid:0)H i−dim(R/ p) p Rp
Định lý 2.4.8. (Xem [3, Định lý 2.4]) Giả sử R là catenary phổ dụng với
mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay và q là iđêan m-nguyên sơ. Cho i ≥ 0
m(M ) (cid:54)= 0 thì
là số nguyên. Nếu H i
e(cid:48)(q, H i
(Mp))e(q, R/ p (cid:1).
(cid:96)Rp
m(M )) =
p∈Psuppi R(M ) dim(R/ p)=N-dim(H i
m(M ))
(cid:88) (cid:0)H i−dim(R/ p) p Rp
Chứng minh. Vì R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-
Macaulay nên theo Mệnh đề 2.2.6 ta có H i
m(M ) thoả mãn (∗) với mỗi i. Vì m(M ) ứng với q
thế, áp dụng Định lý 2.4.7 ta có công thức bội liên kết của H i
e(cid:48)(q, H i
(Mp))e(q, R/ p (cid:1).
(cid:96)Rp
m(M )) =
p∈Psuppi R(M ) dim(R/ p)=N-dim(H i
m(M ))
44
(cid:88) (cid:0)H i−dim(R/ p) p Rp
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày một số kết quả về chiều, tập iđêan nguyên tố gắn
kết và công thức liên kết cho số bội của môđun đối đồng điều địa phương,
• Mối liên hệ giữa chiều Krull và chiều Noether của H i
m(M ). Đặc trưng
gồm:
• Đặc trưng vành cơ sở để công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết
của vành cơ sở để hai chiều này bằng nhau.
m(M ) qua đầy đủ và qua địa phương hoá là đúng.
• Chứng minh công thức liên kết cho số bội của H i
m(M ) trong hai trường
của H i
H i
m(M ) thoả mãn tính chất (∗).
45
hợp khi vành cơ sở là thương của vành Cohen-Macaulay và môđun
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] T. Đ. M. Châu (2014), Về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối
Tiếng Anh
đồng điều địa phương, Luận án tiến sĩ, Đại học Sư phạm Huế.
[2] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic
introduction with geometric applications, Cambridge University Press.
[3] M. Brodmann and R. Y. Sharp (2002), "On the dimension and multi-
plicity of local cohomology modules", Nagoya Math. J., 167, 217-233.
[4] W. Bruns and J. Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Uni-
versity Press.
[5] T. D. M. Chau, L. T. Nhan (2014), "Attached primes of local cohomology
modules and structure of Noetherian local rings", J. Algebra, 403, 459-
469.
[6] N. T. Cuong, N. T. Dung, L. T. Nhan (2007), "Top local cohomology and
the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module",
46
Comm. Algebra, 35 (5), 1691-1701.
[7] N. T. Cuong and L. T. Nhan (1999), "Dimension, Multiplicity and
Hilbert function of Artinian modules", East-West J. Math., 1(2) , 179-
196.
[8] N. T. Cuong, L. T. Nhan (2002), "On the Noetherian dimension of Ar-
tinian modules", Vietnam J. Math., 30(2) , 121-130.
[9] N. T. Cuong, L. T. Nhan, N. T. K. Nga (2010), "On pseudo supports and
non Cohen-Macaulay locus of a finitely generated module", J. Algebra,
323, 3029-3038 .
[10] M. T. Dibaei, R. Jafari (2011), "Cohen-Macaulay loci of modules",
Comm. Algebra, 39(10), 3681-3697.
[11] D. Kirby (1971), "Artinian modules and Hilbert polynomial", Quart. J.
Math. Oxford, 2(23), 197-204.
[12] I. G. Macdonald (1973), "Secondary representation of modules over a
commutative ring", Symposia Mathematica, 11, 23-43.
[13] I. G. Macdonald and R. Y. Sharp (1972), "An elementary proof of the
non-vanishing of certawin local cohomology modules", Quart. J. Math.
Oxford, (2)23, 197-204.
[14] H. Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University
Press.
[15] S. McAdam, L. J. Ratliff (1977), "Semi-local taut rings", Indiana Univ.
47
Math. J. 26,73-79.
[16] M. Nagata (1962), Local Rings, Interscience, New York.
[17] L. T. Nhan, T. N. An (2009), "On the unmixedness an the universal
catenaricity of local rings and local cohomology modules", J. Algebra,
321, 303-311.
[18] L. T. Nhan and T. D. M. Chau (2014), "Noetherian dimension and co-
localization of Artinian modules over local rings", Algebra Colloquium,
(4)21, 663-670.
[19] L. T. Nhan, P. H. Quy (2014), "Attached primes of local cohomology
modules under localization and completion", J. Algebra, 420, 475-485.
[20] R. Y. Sharp (1975), "Some results on the vanishing of local cohomology
modules", Proc. Londol Math. Soc., 30, 177-195.
[21] R. N. Roberts (1974), "Krull dimension for Artinian modules over quasi
Tiếng Pháp
local commutative rings", Quart. J. Math. Oxford, 26, 269-273.
[22] D. Ferrand and M. Raynaud (1970), "Fibres formelles d’un anneau local
Tiếng Đức
Noetherian", Ann. Sci. E’cole Norm. Sup., (4)3, 295-311.
[23] P. Schenzel (1982), "Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und
Buchsbaum Ringe", Lecture Notes in Math., vol. 907, Springer, Berlin,
48
Heidelberg, New York.
![Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp chất lai chứa khung tetrahydro-β-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250807/kimphuong1001/135x160/50321754536913.jpg)
