BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG ---------------------------------------
TRẦN CHÂU NGUYÊN
CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG
TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – Năm 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --------------------------------------------
Trần Châu Nguyên – C00451
CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG
TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. SĨ ĐỨC QUANG
Hà Nội – Năm 2016
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long dưới sự
hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH Sĩ Đức Quang. Tôi xin gửi lời cảm ơn
đến Ban Giám hiệu, các Thầy Cô trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học và các
phòng ban liên quan trong Trường Đại học Thăng Long đã tận tình giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn khoa học của mình
là PGS.TSKH Sĩ Đức Quang đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá
trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Đồng thời tôi xin được gửi lời cảm
ơn đến toàn thể gia đình, người thân và các bạn lớp cao học Toán K3 Trường
Đại học Thăng Long đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Vì điều kiện công tác và thời gian có hạn cùng với khối lượng kiến thức
lớn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong các Thầy,
Cô cùng các bạn đọc tiếp tục góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
3
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. 1 MỤC LỤC ........................................................................................................ 2
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 5 Chương 1: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH ........... 6 1.1 Không gian xạ ảnh ...................................................................................... 6 1.2. Tỉ số kép và hàng điểm điều hòa ................................................................ 8 1.3. Ánh xạ xạ ảnh. .......................................................................................... 13 1.3.1. Định nghĩa ............................................................................................ 12 1.3.2. Tính chất của ánh xạ xạ ảnh. ................................................................ 14
1.4. Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh . .................................. 16
1.4.1. Định nghĩa. ........................................................................................... 16 1.4.2. Giao của đường bậc hai với đường thẳng. ........................................... 17 1.4.3. Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực .... 18
1.5. Điểm liên hợp qua siêu mặt bậc hai trong .................................... 19
1.6. Nguyên tắc đối ngẫu ................................................................................. 23 1.7. Các định lý cổ điển của hình học xạ ảnh.................................................. 24 1.8. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: ........................................................ 30 1.8.1. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: ..................................................... 30 1.8.2. Một số nhận xét: .................................................................................... 31 : ................................................... 32 1.8.3. Một số khái niệm đối ngẫu trong Chương 2: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG ƠCLIT ........... 35 2.1. Phép nghịch đảo ....................................................................................... 35 2.2. Đường tròn trực giao ................................................................................ 36 2.3. Cực và đối cực .......................................................................................... 36
Chương 3: HỆ THỐNG BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ỨNG DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG HÌNH HỌC PHỔ THÔNG ........................................ 39 3.1. Các bài toán về quan hệ vuông góc, song song: ...................................... 39 3.2. Các bài toán về tính đồng quy, thẳng hàng: ............................................. 43 KẾT LUẬN .................................................................................................... 53
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................... 54
4
MỞ ĐẦU
Cực và đối cực là một công cụ mạnh và thú vị để nghiên cứu hình học phổ
thông. Với khái niệm cực và đối cực, chúng ta có thể đưa ra cách nhìn khá
nhất quán đối với một số dạng toán đặc trưng (quan hệ vuông góc, thẳng
hàng, đồng quy,...). Ở bậc THPT, chúng ta xem xét khái niệm cực và đối cực
đối với đường tròn, đối với 3 đường cô-níc hoặc với cặp đường thẳng. Tuy
nhiên hiện nay, việc vận dụng các kiến thức về cực và đối cực vào nghiên cứu
và giải quyết các bài toán hình học phổ thông chưa được quan tâm và khai
thác trong chương trình sách giáo khoa, nhưng nó lại nằm trong phạm vi kiến
thức của các đề thi học sinh giỏi môn Toán ở trường THPT. Vì vậy tôi lựa
chọn nghiên cứu đề tài “Cực, đối cực và ứng dụng trong dạy hình học phổ
thông”.
Mục đích của chúng tôi trong luận văn nhằm trình bày phương pháp sử
dụng cực và đối cực để giải quyết bài toán hình học phổ thông. Chúng tôi sẽ
đưa ra hướng giải quyết một số dạng bài toán hình học sơ cấp bằng cách sử
dụng kiến thức về cực và đối cực mà các phương pháp thông thường mất
nhiều công sức mới giải quyết được. Với mong muốn như vậy, tôi hy vọng
luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho các học sinh phổ thông và các
đồng nghiệp giáo viên Toán THPT và THCS để tiếp cận các bài toán hình học
sơ cấp theo một hướng mới.
Luận văn được chia ra làm 3 chương. Trong Chương 1, chúng tôi sẽ trình
bày các kiến thức về cực và đối cực trong mặt phẳng xạ ảnh. Chúng tôi sẽ
dành Chương 2 để trình bày cực và đối cực trong mặt phẳng Euclid. Chương
3 là chương cuối của luận văn sẽ dành để trình bày hệ thống một số dạng bài
tập hình học sơ cấp được giải bằng phương pháp sử dụng cực, đối cực.
5
Chương 1
CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH
1.1 Không gian xạ ảnh
Cho là không gian véc-tơ chiều trên trường , với . Ta kí hiệu
là tập hợp các không gian véc-tơ con một chiều của . Theo kí hiệu
đó, ta hiểu .
Định nghĩa 1.1.1 (Không gian xạ ảnh). Cho một tập hợp , một –không
gian véc-tơ chiều , và một song ánh . Khi đó bộ ba
được gọi là không gian xạ ảnh chiều trên trường , liên kết với
– không gian véc-tơ bởi song ánh .
Để đơn giản, ta kí hiệu bởi , đồng thời để chỉ rõ nó có số chiều
bằng , ta kí hiệu nó là .
Mỗi phần tử của được gọi là một điểm của không gian xạ ảnh . Gọi
là véc-tơ khác của và là không gian véc-tơ con một chiều sinh bởi
véc-tơ , thì là một điểm nào đó của . Khi đó ta nói rằng véc-tơ
là đại diện của điểm .
Hai véc-tơ và (khác ) cùng đại diện cho một điểm khi và chỉ khi
chúng phụ thuộc tuyến tính, tức là , với .
Không gian xạ ảnh trên trường số thực liên kết với không gian véc tơ
được gọi là không gian xạ ảnh thực chiều, kí hiệu là . Trong luận văn
này, chúng ta xét đến không gian xạ ảnh thực chiều .
6
Định nghĩa 1.1.2 (Phẳng trong không gian xạ ảnh ). Cho không gian xạ
. Gọi là không gian véc-tơ con chiều của ảnh
). Khi đó tập hợp được gọi là cái phẳng chiều (hoặc là (
phẳng) của .
Như vậy, mỗi điểm của là một phẳng; phẳng của còn gọi là
đường thẳng; phẳng của là cả không gian .
Định nghĩa 1.1.3 (Hệ điểm độc lập của ). Hệ điểm ( ) của không
gian xạ ảnh được gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ véc-tơ đại diện cho
chúng là hệ véc-tơ độc lập tuyến tính trong . Hệ điểm không độc lập gọi là
hệ điểm phụ thuộc.
Theo định nghĩa đó, trong hệ chỉ có một điểm là hệ độc lập, hệ gồm hai
điểm là hệ độc lập nếu hai điểm đó phân biệt, hệ gồm ba điểm độc lập nếu ba
điểm đó không thẳng hàng. Hệ gồm điểm trở lên luôn luôn là hệ điểm phụ
thuộc.
Định nghĩa 1.1.4 (Mục tiêu xạ ảnh). Một tập hợp có thứ tự gồm điểm của
là được gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kì điểm trong
điểm đó đều độc lập.
Các điểm (với ) gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm gọi
là điểm đơn vị. Các đường thẳng với và , gọi là các trục
tọa độ. Với mỗi mục tiêu xạ ảnh , luôn tìm được một cơ sở
của sao cho véc-tơ là đại diện của đỉnh (với ) và
véc-tơ là đại diện của điểm E. Cơ sở đó được gọi là cơ sở đại
diện của mục tiêu xạ ảnh đã cho.
7
Định nghĩa 1.1.5 (Tọa độ điểm đối với một mục tiêu xạ ảnh). Trong không
gian xạ ảnh cho mục tiêu xạ ảnh có cơ sở đại diện là
của . Với mỗi điểm bất kì của ta lấy véc-tơ đại diện cho
. Khi đó tọa độ của véc-tơ đối với cơ sở cũng được gọi
là tọa độ của điểm đối với mục tiêu và viết .
1.2. Tỉ số kép và hàng điểm điều hòa
Trong không gian xạ ảnh cho 4 điểm thẳng hàng trong đó ba
điểm đôi một không trùng nhau. Ta gọi là các véc-tơ lần lượt
đại diện cho các điểm thì các véc-tơ đó thuộc một không gian véc-tơ
2 chiều, trong đó độc lập tuyến tính. Khi đó có các số k1, l1 và k2, l2 sao
cho
Ta chú ý rằng và vì không trùng với và .
Định nghĩa 1.2.1 (Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng). Nếu tỉ số có
nghĩa (tức là l2 0), thì nó được gọi là tỉ số kép của 4 điểm thẳng hàng
và kí hiệu là . Nếu thì phân số không có nghĩa,
và khi đó ta xem tỉ số kép của 4 điểm bằng (vô cùng).
Như vậy là
Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn véc-tơ đại diện cho các điểm.
8
Định lý 1.2.2 (Một số tính chất của tỉ số kép). Nếu 4 điểm thẳng
hàng và phân biệt thì:
i) Khi hoán vị 2 điểm đầu với nhau, hoặc 2 điểm cuối với nhau thì tỉ số kép
trở thành số nghịch đảo.
ii) Khi hoán vị đồng thời 2 điểm đầu với nhau và 2 điểm cuối với nhau, tỉ số
kép không thay đổi.
iii) Khi hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, tỉ số kép không thay đổi.
iv) Khi hoán vị 2 điểm ở giữa với nhau, hoặc hoán vị điểm đầu và điểm cuối
với nhau thì được tỉ số kép mới bằng 1 trừ đi tỉ số kép cũ.
v) Nếu A,B,C,D,E là 5 điểm thẳng hàng phân biệt thì
.
Chứng minh. i) Ta có vì vậy và
,
.
ii) Tính chất (ii) chính là hệ quả của tính chất (i). Ta có:
,
.
iii) Ta có . Từ đó ta suy ra
.
Vì vậy ta được
9
.
iv) Thật vậy, ta có
.
Do vậy ta có
.
Vì vậy, ta được :
.
v) Thật vậy, ta có
.
Từ đó, ta suy ra
.
Định nghĩa 1.2.3 (Hàng điểm điều hòa). Nếu tỉ số kép thì ta
nói rằng cặp điểm chia điều hòa hai điểm . Khi đó, vì
nên cặp điểm cũng chia điều hòa hai điểm . Bởi thế, ta còn nói cặp
điểm và cặp điểm liên hiệp điều hòa. Ta cũng nói là một
hàng điểm điều hòa.
10
Định nghĩa 1.2.4 (Chùm đường thẳng). Trong không gian xạ ảnh , tập
hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm được gọi là chùm đường thẳng
với giá là điểm đó.
Một chùm đường thẳng được xác định khi cho giá của nó, hoặc cho hai
đường thẳng nào đó của chùm.
Định lý 1.2.5 (Tỉ số kép của bốn đường thẳng thuộc một chùm). Cho 4 đường
thẳng thuộc một chùm trong đó đôi một phân biệt. Nếu là
đường thẳng cắt 4 đường thẳng đó lần lượt tại (không cắt giá của
chùm) thì tỉ số kép của 4 điểm đó không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng
. Tỉ số kép nói trên được gọi là tỉ số kép của chùm 4 đường thẳng, kí hiệu
.
Chúng minh. Thật vậy, ta chọn một mục tiêu xạ ảnh nào đó, và giả sử đối với
mục tiêu đó, các đường thẳng đó có ma trận cột là và
còn các điểm có ma trận tọa độ cột tương ứng là .
Điểm nên ta có , ngoài ra điểm
là phân biệt nên ta cũng có . Điểm nằm trên đường
thẳng nên phải có mặt khác cũng nằm trên nên
hay Điều này suy ra
,
hay . Từ kết quả này ta có thể lấy số
.
11
Tương tự như vậy ta có với:
.
Từ đó ta suy ra
.
Vậy tỉ số kép nói trên không phụ thuộc . Định lý được chứng minh.
Chú ý: Từ cách chứng minh định lí trên ta suy ra cách tìm tỉ số kép của chùm
4 đường thẳng khi biết tọa độ của chúng đối với một mục tiêu nào đó như sau:
nếu các đường thẳng có ma trận cột tọa độ lần lượt là
thì
Định nghĩa 1.2.6 (Chùm 4 đường thẳng điều hòa). Bốn đường thẳng
của một chùm được gọi là chùm 4 đường thẳng điều hòa nếu
. Khi đó ta còn nói cặp đường thẳng chia điều hòa cặp
đường thẳng .
Định nghĩa 1.2.7 (Hình bốn cạnh toàn phần). Trong mặt phẳng xạ ảnh
hình gồm bốn đường thẳng trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng quy
được gọi là hình bốn cạnh toàn phần; mỗi đường thẳng đó gọi là một cạnh;
giao điểm của 2 cạnh được gọi là một đỉnh; hai đỉnh không nằm trên cùng
một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện; đường thẳng nối 2 đỉnh đối diện được gọi
là đường chéo; giao của hai đường chéo gọi là điểm chéo.
12
Định lí 1.2.8 (Định lý hình bốn cạnh toàn phần). Trong hình bốn cạnh toàn
phần, hai đường chéo đi qua một điểm chéo nào đó chia điều hòa hai đường
thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đường chéo thứ ba.
Chứng minh. (hình vẽ)
Giả sử là bốn cạnh của hình bốn cạnh toàn phần. Các đỉnh của nó
Các điểm chéo là :
Như vậy ta cần chứng minh cặp là:
đường thẳng chia điều hòa cặp đường thẳng . Tức là
Xét hình bốn đỉnh toàn phần thì kết quả trên là hiển
nhiên.
1.3. Ánh xạ xạ ảnh.
Cho các không gian xạ ảnh . và
13
1.3.1. Định nghĩa (Ánh xạ xạ ảnh). Một ánh xạ được gọi là ánh xạ
xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính sao cho nếu véc-tơ là đại
diện cho điểm thì vec-tơ là đại diện cho điểm . Nghĩa
là, nếu thì . Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính
là là đại diện của ánh xạ xạ ảnh .
1.3.2. Tính chất của ánh xạ xạ ảnh. Cho ánh xạ xạ ảnh , có đại
diện là ánh xạ tuyến tính . Khi đó:
a. Ánh xạ tuyến tính là đơn cấu. Thật vậy, nếu vec-tơ là đại
diện cho điểm ,thì vec-tơ đại diện cho điểm nên
.
b. Ánh xạ xạ ảnh là đơn ánh. Thật vậy, giả sử và là hai điểm của
mà . Khi đó, nếu gọi và là các vec-tơ đại diện của và
thì và cùng đại diện cho một điểm nên
. Vì đơn cấu nên suy ra , tức là và
trùng nhau.
c. Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm
(do đơn cấu tuyến tính bảo tồn sự độc lập tuyến tính và sự phụ thuộc tuyến
tính của hệ vec-tơ). Từ đó suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm:
phẳng, số chiều của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng
4 điểm và của chùm bốn siêu phẳng.
d. Mỗi đơn cấu tuyến tính là đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh duy
nhất . Hai đơn cấu tuyến tính và cùng đại
diện cho một ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi có số sao cho
14
. Thật vậy, nếu đã cho đơn cấu tuyến tính thì ánh xạ xạ ảnh
được hoàn toàn xác định bởi: Nếu có đại diện là véc-tơ
thì có đại diện là . Nếu cũng là đại diện cho ánh
xạ xạ ảnh thì với mọi vec-tơ , các vec-tơ và cùng đại diện
cho một điểm của nên . Do và đều là đơn cấu tuyến
tính nên ta suy ra không phụ thuộc vào .
Định nghĩa 1.3.3 (Phép biến đổi xạ ảnh). Ánh xạ xạ ảnh là song
ánh khi và chỉ khi và có cùng số chiều. Khi đó, được gọi là đẳng cấu
xạ ảnh, hai không gian và được gọi là đẳng cấu.
Từ các kết quả về đại số tuyến tính, ta có được các tính chất sau:
a) Ánh xạ tuyến tính đại diện cho đẳng cấu xạ ảnh là phép đẳng cấu tuyến
tính.
b) Một đẳng cấu xạ ảnh của không gian xạ ảnh lên chính nó được
gọi là phép biến đổi xạ ảnh (hay ngắn gọn là biến đổi xạ ảnh) của . Tập hợp
các biến đổi xạ ảnh của làm thành một nhóm, nó được gọi là nhóm xạ ảnh
của không gian xạ ảnh . Nhóm xạ ảnh của đẳng cấu với nhóm thương
, với là không gian vec-tơ liên kết với .
c) Nếu trong không gian xạ ảnh cho hai mục tiêu xạ ảnh và
thì có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất của , biến các điểm
thành các điểm và biến thành .
d) Mỗi tập con của được gọi là một hình. Hình được gọi là tương
đương xạ ảnh với hình nếu có một phép biến đổi xạ ảnh biến thành
15
. Quan hệ tương đương xạ ảnh của các hình là một quan hệ tương đương.
Một tính chất của hình được gọi là tính chất xạ ảnh (hay bất biến xạ ảnh)
nếu mọi hình tương đương với đều có tính chất đó. Như vậy, hai hình
tương đương xạ ảnh đều có các tính chất xạ ảnh giống nhau.
Dưới đây là định lý cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh trong .
Định lí 1.3.4. Nếu là song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm
và bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng thì là phép biến đổi xạ ảnh
trong .
1.4. Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh
.
1.4.1. Định nghĩa. Xét phương trình bậc hai thuần nhất của 3 biến
trên trường số thực , tức là phương trình có dạng
, (1)
trong đó và có ít nhất một .
Ta kí hiệu ma trận thì là một ma trận vuông đối xứng
cấp 3 có hạng ít nhất bằng 1. Ta lại kí hiệu là ma trận 1 cột 3 dòng:
.
Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng là
, (2)
trong đó là ma trận chuyển vị của ma trận , còn là kí hiệu cho ma trận
gồm 1 dòng 1 cột gồm 1 số 0.
16
Ma trận được gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai đối với mục tiêu đã
cho. Nếu tức ma trận không suy biến thì siêu mặt bậc hai được
gọi là không suy biến. Ngược lại, nếu thì siêu mặt bậc hai được
gọi là suy biến.
Ta thường gọi siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh là đường
bậc hai. Hai đường bậc hai và với các ma trận và tương ứng
được xem là trùng nhau khi và chỉ khi có số thực sao cho . Khái
niệm đường bậc hai là một khái niệm xạ ảnh.
1.4.2. Giao của đường bậc hai với đường thẳng. Trong không gian xạ ảnh
cho đường bậc hai và đường thẳng . Ta chọn mục tiêu xạ ảnh
sao cho 2 điểm nằm trên . Khi đó phương trình là
. (1)
Giả sử khi đó phương trình của là
. (2)
Giao của và là tập hợp gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ
phương trình (1) và (2), tức là
- Nếu các đều bằng 0 thì mọi điểm thuộc đều thuộc . Vậy :
hay .
17
- Nếu các số đó không đồng thời bằng 0 thì là một siêu mặt bậc hai
trong không gian xạ ảnh 1 chiều . Như vậy giao đó hoặc là một điểm hoặc
là hai điểm phân biệt.
1.4.3. Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực
Trong đối với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt có phương trình
.
Ta xem như là một dạng toàn phương trong không gian véc-tơ . Khi
đó ta có thể tìm được phép biến đổi tuyến tính sao cho dạng toàn
phương ấy trở thành dạng chính tắc. Ta lại xem phép biến đổi tuyến tính đó
như là phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh của , và như ta đi đến định lý sau.
Định lý 1.4.4. Với mỗi siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực
, luôn tìm được một mục tiêu xạ ảnh sao cho đối với nó phương trình
của có dạng chuẩn tắc
. (có p dấu và q dấu +), trong đó và
Mỗi siêu mặt bậc hai có đúng một phương trình chuẩn tắc. Siêu mặt bậc hai
trong trường hợp đó gọi là siêu mặt bậc hai có chỉ số . Ta có định lý
phân loại siêu mặt bậc hai như sau.
Định lý 1.4.5. Hai siêu mặt bậc hai và trong không gian xạ ảnh thực
là tương đương khi và chỉ khi phương trình chuẩn tắc của chúng giống nhau.
Như vậy trong ta có 5 loại đường bậc hai sau đây:
(đường ô van ảo),
(đường ô van, hay đường cô nic),
(cặp đường thẳng ảo liên hợp),
18
(cặp đường thẳng thực phân biệt)
(cặp đường thẳng trùng nhau).
1.5. Điểm liên hợp qua siêu mặt bậc hai trong
Trong với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt bậc hai có phương
trình , và hai điểm và .
Định nghĩa 1.5.1 (Điểm liên hợp). Điểm được gọi là liên hợp với điểm
đối với nếu , trong đó y và z lần lượt là ma trận cột tọa độ của
điểm và điểm .
Khi đó ta cũng có , nên điểm cũng liên hợp với điểm đối với
. Như vậy ta nói hai điểm và liên hợp với nhau đối với . Đặc biệt
điểm liên hợp với chính nó đối với khi và chỉ khi nằm trên .
Định lí 1.5.2. Giả sử hai điểm phân biệt và liên hợp với nhau đối với
siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh . Khi đó :
- Nếu đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt thì
,
- Nếu cắt tại một điểm duy nhất thì điểm đó chính là hoặc .
Chứng minh. Giả sử có phương trình .
- Nếu đường thẳng cắt tại hai đúng điểm phân biệt thì
và .
Vì hai điểm liên hợp với nhau đối với , nên , hay
.
Chú ý rằng do nên . Do đó từ ta suy
ra
19
.
Vì là hai điểm phân biệt của nên , (vì nếu
thì cả đường thẳng sẽ nằm trên ) suy ra . Vậy
.
- Nếu đường thẳng cắt tại điểm duy nhất thì
và ,
và do đó
.
Chú ý rằng , nên ta được
.
Vì phương trình này chỉ có một nghiệm kép duy nhất (sai khác một hằng số
nhân khác 0), nên hoặc hoặc . Như vậy hoặc
trùng với , hoặc trùng với .
Định lí 1.5.3. Trong cho siêu mặt bậc hai và điểm . Tập hợp tất
cả những điểm liên hợp với đối với hoặc là một đường thẳng trong
hoặc là toàn bộ .
Chứng minh. Giả sử siêu mặt bậc hai có phương trình và
. Điểm liên hợp với đối với siêu mặt bậc hai
khi và chỉ khi , hay =0 hay
. (1)
20
- Nếu hệ số của xj trong phương trình (1) không đồng thời bằng 0, hay ma
trận ytA có các số hạng không đồng thời bằng 0 thì phương trình (1) cho ta
một đường thẳng trong . Đường thẳng đó có ma trận cột tọa độ là Ay.
- Nếu các hệ số đó đều bằng 0 hay ma trận ytA gồm toàn số 0 thì mọi điểm X
của đều có tọa độ thỏa mãn phương trình (1).
Định nghĩa 1.5.4 (Cực và đối cực qua siêu mặt bậc hai). Nếu tập hợp các
điểm liên hợp đối với điểm Y đối với siêu mặt bậc hai (S) là một đường thẳng
thì đường thẳng đó được gọi là đường thẳng đối cực của điểm Y và kí hiệu là
Y*. Ngược lại, điểm Y được gọi là điểm đối cực của đường thẳng Y*.
Điểm Y được gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu Y liên hợp với
mọi điểm của đối với (S). Như vậy điểm kì dị của (S) phải nằm trên (S)
vì điểm kì dị liên hợp với chính nó. Hơn nữa chỉ có siêu mặt bậc hai suy biến
mới có điểm kì dị. Thật vậy, tọa độ của điểm kì dị là nghiệm của hệ phương
trình
.
Bởi vậy, nếu (S) có điểm kì dị thì hệ phương trình đó có nghiệm không tầm
thường, do đó detA=0, hay (S) suy biến.
Định nghĩa 1.5.5 (Tiếp tuyến và tiếp điểm). Nếu điểm nằm trên siêu mặt
bậc hai nhưng không phải là điểm kì dị của thì đường thẳng đối cực
của đối với được gọi là đường thẳng tiếp xúc của tại , hay còn
gọi là tiếp tuyến của tại . Điểm nằm trên đường thẳng và điểm Y
được gọi là tiếp điểm.
Bây giờ, ta chú ý rằng: Nếu siêu mặt bậc hai (S) không suy biến thì mỗi
đường thẳng bất kì đều có điểm đối cực duy nhất. Thật vậy, giả sử có
phương trình với . Với đường thẳng U, điểm X là đối cực
21
của nó khi và chỉ khi (X)tA=(U)t hay A(X)=(U), do đó (X)=A-1(U) được xác
định duy nhất.
Định nghĩa 1.5.6 (Đường thẳng liên hợp). Hai đường thẳng U và V được gọi
là liên hợp với nhau qua siêu mặt bậc hai không suy biến (S) khi hai điểm đối
cực của chúng liên hợp với nhau qua (S).
Các tính chất :
a) Hai đường thẳng liên hợp với nhau qua siêu mặt bậc hai không suy biến
(S) khi và chỉ khi đường thẳng này đi qua điểm đối cực của đường thẳng kia.
Thật vậy, cho hai đường thẳng U,V có điểm đối cực đối với (S) lần lượt là U*
và V*. Khi đó U liên hợp với V qua (S) khi và chỉ khi U* và V* là hai điểm liên
hợp qua S. Vì U gồm những điểm liên hợp với U* nên U đi qua V*. Tương tự
ta cũng có V đi qua U*.
b) Đường thẳng U liên hợp với chính nó qua siêu mặt bậc hai (S) khi và chỉ
khi U tiếp xúc với (S) tại điểm U* là điểm đối cực của U.
c) Cho hai đường thẳng phân biệt U,V liên hợp với nhau qua siêu mặt bậc hai
không suy biến (S). Nếu qua có hai đường thẳng phân biệt P và Q cùng
tiếp xúc với (S) thì . Thật vậy, gọi các điểm đối cực của các
đường thẳng lần lượt là ta có
.
Vì các đường thẳng cùng thuộc một chùm (có giá là ) nên:
.
Từ đó :
,
.
22
Vậy bốn điểm thẳng hàng. Nhưng hai điểm liên hợp với
là các giao điểm của
nhau đối với còn với nên
, do đó .
1.6. Nguyên tắc đối ngẫu
Ta định nghĩa về phép đối xạ trong như sau: Kí hiệu là tập hợp tất cả
các điểm, đường thẳng (0 – phẳng và 1 – phẳng trong ). Ta chọn trong
một mục tiêu xạ ảnh nào đó và xác định ánh xạ như sau: nếu là
một điểm thì là một đường thẳng có tọa độ giống như tọa độ của , cụ
thì ; nếu là một đường thẳng nào đó thể là
thì là một điểm.
Hai cái phẳng và trong mặt phẳng xạ ảnh gọi là có quan hệ liên
thuộc nếu một trong hai phẳng đó chứa phẳng kia. Tức là hoặc .
Khi đó ta nói thuộc , hoặc thuộc . Chẳng hạn, nếu điểm nằm trên
đường thẳng thì ta nói: “điểm thuộc đường thẳng ”, hoặc nói: “đường
thẳng thuộc điểm ”. Như vậy, từ “ thuộc” đồng nghĩa với một trong các
từ “nằm trên”, “đi qua”, “chứa”, “chứa trong”.
Với cách hiểu như vậy, ta có thể nói rằng: Phép đối xạ giữ nguyên quan hệ
liên thuộc giữa các phẳng, có nghĩa là nếu thuộc thì thuộc .
Định nghĩa 1.6.1 (Mệnh đề đối ngẫu). Giả sử là một mệnh đề nào đó
trong mặt phẳng xạ ảnh nói về các phẳng và các quan hệ liên thuộc giữa
chúng. Nếu trong mệnh đề đó các từ “0 – phẳng” được thay bằng các từ
“1– phẳng” và ngược lại, các từ khác giữ nguyên thì được mệnh đề mới
gọi là mệnh đề đối ngẫu.
23
Từ tính chất của phép đối xạ, ta có kết quả sau đây gọi là nguyên tắc đối
ngẫu.
Định lý 1.6.2 (Nguyên tắc đối ngẫu). Trong mặt phẳng xạ ảnh cặp mệnh đề
đối ngẫu với nhau hoặc cùng đúng, hoặc cùng sai.
Ví dụ. Ta xét mệnh đề sau trong : “ Có một và chỉ một đường thẳng đi qua
hai điểm phân biệt cho trước” . Ta phát biểu lại dưới dạng: “ Có một và chỉ
một 1 – phẳng thuộc hai 0 – phẳng phân biệt cho trước”. Khi đó, mệnh đề đối
ngẫu của nó sẽ là: “Có một và chỉ một 0 – phẳng thuộc hai 1 – phẳng phân
biệt cho trước”, hay phát biểu cách khác : “ Hai đường thẳng phân biệt luôn
cắt nhau tại một điểm duy nhất”. Cặp mệnh đề đối ngẫu trên đây đều đúng.
1.7. Các định lý cổ điển của hình học xạ ảnh
Định nghĩa 1.7.1 (Hình sáu đỉnh). Tập hợp gồm 6 điểm phân biệt có thứ tự
được gọi là một hình sáu đỉnh. Nó được kí hiệu là
. Các điểm gọi là các đỉnh của hình sáu đỉnh đó. Các đường
thẳng gọi là các cạnh của hình sáu đỉnh. Các
cặp đỉnh và , và , và gọi là các cặp đỉnh đối diện. Các cặp cạnh
và , và , và gọi là các cặp cạnh đối diện.
Định lý 1.7.2 (Định lý Pascal). Nếu một hình 6 đỉnh có 6 đỉnh nằm trên một
đường ôvan (còn gọi là hình sáu đỉnh nội tiếp đường ôvan) thì giao điểm của
các cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh. (hình vẽ)
24
(Hình 1)
Giả sử hình 6 đỉnh nội tiếp đường ôvan (S). Ta kí hiệu:
, , .
Từ định lý Stâyne thuận, ta có:
.
Tuy nhiên, ta có:
, .
Vì vậy ta có:
.
Điều đó chứng tỏ rằng, có phép ánh xạ xạ ảnh mà
, hơn thế, là phép chiếu xuyên tâm
vì là điểm tự ứng. Do vậy các đường thẳng đồng quy. Nói
cách khác thẳng hàng.
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal.
Ta có thể định nghĩa hình năm đỉnh, hình bốn đỉnh, hình ba đỉnh tương
tự như định nghĩa hình sáu đỉnh. Hãy xét một hình năm đỉnh nội
tiếp đường ôvan . Ta xem hình năm đỉnh đó như là một trường hợp đặc
biệt của hình sáu đỉnh khi hai đỉnh liên tiếp nào đó trùng nhau, chẳng hạn đó
25
là hình sáu đỉnh . Khi đó lập luận trong chứng minh của định lí
Pascal vẫn đúng nếu cạnh được thay bằng tiếp tuyến của ôvan tại đỉnh
. Vậy ta có kết quả sau đây:
Hệ quả 1.7.3. Nếu hình năm đỉnh nội tiếp đường ôvan thì ba
giao điểm của : cạnh với cạnh , cạnh với tiếp tuyến của tại
, cạnh với cạnh thẳng hàng.
(Hình 2)
Đối với hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp ôvan (S), nếu ta xem nó là trường hợp
đặc biệt của hình sáu đỉnh AABBCD thì sẽ có ba điểm sau đây thẳng hàng:
giao điểm của tiếp tuyến tại A với cạnh BC, giao điểm hai cạnh AB và CD,
giao điểm của tiếp tuyến tại B với cạnh AD.
(Hình 3)
Cũng với hình bốn đỉnh ABCD nói trên, nếu ta xem nó là trường hợp đặc
biệt của hình sáu đỉnh AABCCD hoặc ABBCDD thì sẽ được kết quả sau:
26
Hệ quả 1.7.4. Nếu một hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp một đường ôvan thì
giao điểm các cặp cạnh đối diện và giao điểm các cặp cạnh đối diện và giao
điểm các tiếp tuyến tại các cặp đỉnh đối diện là bốn điểm thẳng hàng (Các
cặp cạnh đối diện là : AB và CD, AD và BC, các cặp đỉnh đối diện là A và C,
B và D).
(Hình 4)
Đối với hình ba đỉnh ABC nội tiếp một đường ôvan, nếu ta xem nó là
trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh AABBCC thì được kết quả sau đây:
Hệ quả 1.7.5. Nếu một hình ba đỉnh nội tiếp một đường ôvan thì giao điểm
của một cạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng.
(Hình 5)
Định nghĩa 1.7.6 (Hình sáu cạnh). Hình sáu cạnh là tập hợp có thứ tự gồm
sáu đường thẳng . Nó được ký hiệu . Các đường
thẳng được gọi là cạnh của hình sáu cạnh đó. Các giao điểm
được gọi là các đỉnh của hình sáu
27
cạnh. Các cặp cạnh và , và , và được gọi là các cặp cạnh đối
diện. Các cặp đỉnh và , và , và
được gọi là các cặp đỉnh đối diện.
Định lý Pascal có đối ngẫu là định lí sau đây, còn gọi là định lí Brianchon.
(Hình 6)
Định lý 1.7.6. (Định lý Brianchon). Nếu một hình sáu cạnh có sáu cạnh
phân biệt cùng tiếp với một đường ôvan ( còn gọi là hình lục giác ngoại tiếp
ôvan đó) thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy (hình 6a).
Các trường hợp đặc biệt của định lí Pascal cũng có các mệnh đề đối ngẫu
tương ứng, sau đây ta kể ra hai trong số các mệnh đề là đối ngẫu của các
trường hợp đặc biệt của định lý Pascal.
Hệ quả 1.7.7. Nếu một hình bốn cạnh ngoại tiếp một đường ôvan thì các
đường thẳng nối các đỉnh đối diện và các đường thẳng nối tiếp điểm trên các
cạnh đối diện là bốn đường thẳng đồng quy (hình 6b).
Hệ quả 1.7.8. Nếu một hình ba cạnh ngoại tiếp một đường ôvan thì các
đường thẳng nối một đỉnh với tiếp điểm trên cạnh đối diện là ba đường thẳng
đồng quy (hình 6c).
28
Tiếp theo ta quan tâm đến định lý liên quan đến chùm đường bậc hai như
sau. Trong cho 4 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng
hàng. Tập hợp các đường bậc hai đi qua bốn điểm đó được gọi là một chùm
đường bậc hai, kí hiệu là . Bốn điểm được gọi là cơ sở
của chùm. Trong số các đường bậc hai của chùm có 3 đường bậc
hai suy biến thành các cặp đường thẳng. Đó là các cặp đường thẳng: và
, và , và . Ngoài ra các đường bậc hai khác đều là đường
ôvan. Rõ ràng là nếu điểm không trùng với một trong các điểm
thì có một đường bậc hai duy nhất của chùm đi qua .
Định lý 1.7.9 (Định lý Desargues thứ hai). Trong cho một chùm đường
bậc hai và đường thẳng s không đi qua . Khi đó mỗi
đường bậc hai của chùm sẽ cắt s theo một cặp điểm tương ứng với nhau trong
một phép đối hợp xác định của s.
Chứng minh.
(Hình 7)
Giả sử là một đường bậc hai nào đó của chùm, tức là đi qua
. Ta gọi và là giao điểm của và thì ta có lục giác
nội tiếp . Theo định lý Pascal, ba điểm ,
, thẳng hàng. Gọi
29
là phép chiếu xuyên tâm, với tâm .
là phép chiếu xuyên tâm, với tâm .
là phép chiếu xuyên tâm, với tâm .
Khi đó tích là phép biến đổi xạ ảnh của biến thành
thành . Nếu là đường bậc hai của chùm, nhưng không phải là đường
ôvan, chẳng hạn là cặp đường thẳng và và cắt tại và ,
thì cũng dễ thấy rằng . Ngoài ra, hiển nhiên là phép đối hợp.
Định nghĩa 1.7.10. Kí hiệu {I} là chùm đuờng thẳng có tâm là điểm I. Một
ánh xạ F: {I} {I} được gọi là biến đổi xạ ảnh của chùm {I}nếu nó bảo tồn tỉ
số kép của bốn đường thẳng bất kì. Nếu ngoài ra thì F được gọi là
phép đối hợp của chùm {I}.
Định lý sau đây là đối ngẫu của định lí Desargues thứ hai:
Định lý 1.7.11 (Đối ngẫu của Định lý Desargues thứ hai). Xét tập hợp các
đường bậc hai tiếp xúc với bốn đường thẳng cho trước trong đó
không có ba đường nào đồng quy. Gọi I là một điểm không nằm trên .
Khi đó hai tiếp tuyến từ điểm I của mỗi đường bậc hai nói trên sẽ tương ứng
với nhau trong cùng một phép đối hợp xác định của chùm {I}.
Chú ý: Bốn đường thẳng a, b, c, d làm thành một hình bốn cạnh toàn phần.
Các cặp đường thẳng nối điểm I với hai đỉnh đối diện của hình bốn đỉnh toàn
phần đó cũng tương ứng với nhau phép đối hợp nói trên.
1.8. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh:
1.8.1. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh:
Ta đã biết cách xây dựng mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh. Lấy một mặt
phẳng afin , rồi bổ sung thêm các phần tử của tập hợp để được tập
30
hợp và xây dựng thành mặt phẳng xạ ảnh .
Bây giờ ta mô tả quá trình ngược lại bỏ bớt đi từ mặt phẳng xạ ảnh một
tập hợp nào đó và xây dựng phần còn lại thành một mặt phẳng afin. Bằng
cách đó ta được một mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin.
Giả sử là mặt phẳng xạ ảnh liên kết với – không gian vectơ gọi
là một đường thẳng nào đó của đặt . Ta xây dựng
thành mặt phẳng afin theo cách sau đây: Đưa vào một mục tiêu xạ ảnh
với các đỉnh nằm trên khi đó đường thẳng sẽ có
phương trình .
Nếu điểm thì có toạ độ trong đó (vì ). Bởi
vậy nếu ta đặt , với thì ta được một bộ thứ tự gồm 2 số
với . Nó được gọi là toạ độ không thuần nhất của điểm và viết
. Rõ ràng là có một song ánh từ tập đến tập bằng cách cho
mỗi điểm tương ứng với toạ độ không thuần nhất của nó.
Nếu có hai điểm của là và thì ta kí hiệu là
véc-tơ của .
Bằng cách đó ta có ánh xạ , thoả mãn các tiên đề của không
gian afin và do đó trở thành không gian afin hai chiều liên kết với không
gian véctơ .
1.8.2. Một số nhận xét:
+ Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng cắt nhau trên .
+ Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng bằng thương của hai tỉ số
đơn .
31
+ Ba đường cônic trong : Nếu là đường Oval trong mặt phẳng xạ
ảnh thì trong mặt phẳng afin , tập sẽ là:
- Elip nếu không cắt .
- Hypepol, nếu cắt tại hai điểm phân biệt.
- Parabol, nếu tiếp xúc với .
1.8.3. Một số khái niệm đối ngẫu trong :
Ta lưu ý đến cách thành lập mệnh đề đối ngẫu trong : Trong , để có
mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M ta thay trong M các từ “ điểm” bởi các từ “
đường thẳng” và ngược lại, còn các từ khác giữ nguyên.
a) Khái niệm ba điểm độc lập trong , được định nghĩa là “ba điểm không
cùng thuộc một đường thẳng” có khái niệm đối ngẫu là “ba đường thẳng
không cùng thuộc một điểm”. Đó chính là khái niệm ba đường thẳng độc lập.
b) Trong hình bốn đỉnh toàn phần và hình bốn cạnh toàn phần là cặp khái
niệm đối ngẫu.
c) Trong , khái niệm chùm đường thẳng (tập hợp các đường thẳng cùng đi
qua một điểm) có khái niệm đối ngẫu là: Tập hợp các điểm cùng thuộc một
đường thẳng, ta gọi chúng là một hàng điểm.
d) Cho bốn điểm thẳng hàng, có tỉ số kép . Qua phép
đối xạ, các đường thẳng thuộc một chùm và từ định
nghĩa tỉ số kép của hàng bốn điểm và chùm bốn đường thẳng ta suy ra
. Bởi vậy, ta nói rằng: Khái niệm tỉ số
kép của hàng bốn điểm và tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng là cặp khái
niệm đối ngẫu.
e) Khái niệm hàng điểm điều hoà và chùm đường thẳng điều hoà là cặp khái
niệm đối ngẫu.
32
f) Các cặp định lí đối ngẫu thường gặp là: định lí Pascal và định lí Brianshon;
định lí Desargues thứ nhất và định lí Desargues thứ hai; định lí hình bốn cạnh
toàn phần và định lí hình bốn đỉnh toàn phần.
1.8.4 Ví dụ ứng dụng của nguyên lý đối ngẫu trong mặt phẳng afin.
Một kết quả quen thuộc của hình học Euclide sau đây: Trong tam giác ,
đường trung bình luôn song song với cạnh đáy tương ứng.
Trong hình học xạ ảnh,ta thu được kết quả:
Trong mặt phẳng xạ ảnh, tam giác có các cạnh lần lượt cắt
đường thẳng xa vô tận tại các điểm . Lấy các điểm lần lượt trên
sao cho . Khi đó ba đường thẳng
đồng qui tại điểm .
33
Sử dụng nguyên tắc đối ngẫu cho bài toán trên ta có:
Cho ba đường thẳng không đồng qui cắt nhau ở các điểm tương ứng
. Dựng các đường thẳng qua điểm và qua điểm sao cho
ta có . Khi đó dựng đường thẳng qua điểm và
qua giao điểm của và , ta có ba đường thẳng đồng qui.
34
Chương 2
CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG ƠCLIT
2.1. Phép nghịch đảo
Định nghĩa 2.1.1 (Phép nghịch đảo). Cho một điểm cố định và một số
. Nếu ứng với mỗi điểm của mặt phẳng khác với điểm ta tìm được
thì phép biến hình
điểm trên đường thẳng sao cho
gọi là phép nghịch đảo cực , phương tích k.
Ta thường kí hiệu phép nghịch đảo đó là . Phép nghịch đảo hoàn
toàn được xác định nếu biết cực và phương tích của nó.
Các tính chất:
a) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp vì nghĩa là
nếu thì ta cũng có . Do đó hay là
phép đồng nhất.
b) Nếu thì hai điểm và cùng nằm về một phía
đối với điểm . Khi đó tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo
là đường tròn tâm và có bán kính bằng . Ta gọi đường tròn
.
này là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo . Ta có
Cần lưu ý rằng nếu điểm nằm ở miền trong của đường tròn nghịch đảo
thì điểm sẽ nằm ngoài đường tròn nghịch đảo và ngược lại.
c) Nếu thì hai điểm và nằm về hai phía đối với điểm
. Khi đó ta không có điểm kép và do đó không có đường tròn nghịch đảo vì
.
d) Vì không đổi nên nếu điểm tiến lại gần điểm thì điểm
35
càng đi xa điểm . Ta vẽ đường tròn đường kính và từ vẽ đường
. Nếu
thẳng vuông góc với cắt đường tròn đó tại và . Ta có
qua phép nghịch đảo với đã cho thì
. Khi đó ta có bốn điểm
ta cũng có cùng
nằm trên một đường tròn.
2.2. Đường tròn trực giao
Định nghĩa 2.2.1 (Hai đường tròn trực giao). Cho hai cắt nhau tại
hai điểm ; , lần lượt là tiếp tuyến của và qua . Khi đó
góc giữa hai đường thẳng , được gọi là góc của hai đường tròn. Hai
đường tròn gọi là trực giao khi và chỉ khi góc của chúng bằng 900.
2.2.2. Một số dấu hiệu. Chúng tôi liệt kê dưới đây một số dấu hiệu đơn giản
về sự trực giao của hai đường tròn.
a) Dấu hiệu 1: cắt nhau tại , , lần lượt là tiếp tuyến của
và qua . Khi đó và trực giao qua qua O2
O1
b) Dấu hiệu 2: Cho và . Khi đó và trực giao
.
c) Dấu hiệu 3: Cho và trực giao
d) Dấu hiệu 4: Cho , là đường kính của và cắt tại
. Khi đó và trực giao .
2.3. Cực và đối cực
Chúng ta xem mặt phẳng hợp với đường thẳng vô tận là không gian xạ ảnh
hai chiều. Khi đó mỗi đường tròn được xem là một đường Oval không giao
36
với đường thẳng vô tận. Ta có các khái niệm điểm liên hợp, cực và đối cực đã
được định nghĩa trong chương một. Khi đó ta có ngay một số tính chất sau:
a) Tính chất 1. Cho và hai điểm . Khi đó gọi là liên hợp đối
với nếu đường tròn đường kính trực giao với
b) Tính chất 2. Cho và điểm khác . Khi đó tập hợp các điểm
liên hợp với là một đường thẳng vuông góc với .
c) Tính chất 3. Cho , đường thẳng không đi qua . Khi đó tồn tại duy
nhất điểm sao cho với mọi thuộc ta có liên hợp đối với .
Đường thẳng là đường đối cực của đối với và là cực của
đường thẳng đối với .
d) Đối cực của đi qua đối cực của đi qua .
e) Khi chạy trên một đường thẳng cố định thì đối cực của luôn đi qua
một điểm cố định.
f) quay quanh một điểm cố định thì cực của chạy trên một đường thẳng
cố định.
Dưới đây chúng tôi liệt kê, không chứng minh một số định lý đơn giản sau.
Định lý 2.3.1. Tập hợp các điểm liên hợp với điểm (cho trước) đối với
đường tròn là đường đối cực của . (Ta nói hai điểm và liên hợp
với nhau đối với đường tròn nếu đường tròn đường kính trực giao
với .)
Từ đây ta thu được:
Hệ quả 2.3.2. Với hai điểm trên mặt phẳng mà nằm trên đường đối
cực của đối với và cắt ở thì bốn điểm lập
thành một hàng điểm điều hòa.
37
Hệ quả 2.3.3. Với hai điểm trên mặt phẳng mà cắt ở thỏa
mãn bốn điểm lập thành một hàng điểm điều hòa thì nằm trên
đường đối cực của và nằm trên đường đối cực của .
Định lý 2.3.4. vuông góc với đường đối cực của .
Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire). Với hai điểm . Đường đối cực của đi
qua khi và chỉ khi đường đối cực của sẽ đi qua .
Định lý 2.3.6. Ba điểm (khác tâm đường tròn xét cực và đối cực) thẳng hàng
khi và chỉ khi ba đường đối cực của chúng đồng quy hoặc song song.
Định lý 2.3.7. Bốn điểm (khác tâm đường tròn xét cực và đối cực) lập thành
một hàng điểm điều hòa khi và chỉ các đường đối cực của chúng lập thành
một chùm điều hòa.
38
Chương 3
HỆ THỐNG BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ỨNG DỤNG CỰC VÀ
ĐỐI CỰC TRONG HÌNH HỌC PHỔ THÔNG
3.1. Các bài toán về quan hệ vuông góc, song song:
Những bài toán dưới đây đều là những bài toán hay, có thể giải chúng bằng
phương pháp khác, tuy nhiên trong khuôn khổ đề tài, nó được chọn nhằm thể
hiện ý tưởng về ứng dụng cực và đối cực.
Bài toán 1: Giả sử đường tròn với tâm và bán kính . Qua bên
trong đường tròn vẽ hai dây cung và không đi qua tâm . Hai tiếp
tuyến tại của cắt nhau tại ,hai tiếp tuyến tại của (O) cắt nhau
tại . Chứng minh rằng và vuông góc với nhau.
(T7/362 Tạp chí toán học và tuổi trẻ )
Lời giải.
Ta xét cực và đối cực đối với . Ta thấy đường đối cực của là đi
qua nên đường đối cực của sẽ đi qua (Định lý 2.3.5 (Định lý La
Hire)). Tương tự có đường đối cực của đi qua . Từ hai điều trên ta suy
39
ra đường đối cực của chính là . Đến đây theo Định lý 2.3.4 ta có
.
Ngoài ra một định lí nổi tiếng của hình học phẳng sau đây được chứng minh
rất ngắn gọn dựa theo cực và đối cực.
Bài toán 2 (Định lí Brokard). Cho tứ giác nội tiếp đường tròn .
Giả sử cắt ở , cắt ở , cắt ở . Chứng minh
rằng là trực tâm của tam giác .
Lời giải.
Xét cực và đối cực đối với . Ta thấy là đường đối cực của nên
theo Định lý 2.3.4 có
(3.1.1)
Tương tự có :
(3.1.2)
Từ (3.1.1) và (3.1.2) suy ra là trực tâm của tam giác .
40
Bài toán 3. Cho tam giác cân tại . Hai đường thẳng bất kì
qua . Các đường thẳng tương ứng vuông góc với cắt nhau tại .
Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại , đường thẳng qua C
vuông góc với cắt tại . Chứng minh rằng vuông góc với .
Nhận xét: Rõ ràng trong đề bài toán không thấy sự xuất hiện của bất cứ
đường tròn nào. Tuy nhiên, từ giả thiết ban đầu ta có , do vậy xuất
hiện đường tròn tâm , bán kính (gọi tắt là ).
Lời giải.
Xét cực và đối cực đối với . Ta thêm một số kí hiệu:
là đường thẳng qua và vuông góc với .
là đường thẳng qua và vuông góc với .
Ta thấy là các tiếp tuyến của . Đồng thời ta có: Đường đối cực
41
của sẽ đi qua và vuông góc với , hay chính là . Tương tự đường
đối cực của chính là . Áp dụng kết quả của Định lý 2.3.5 (Định lý La
Hire) ta sẽ có cực của chính là . Do vậy theo Định lý 2.3.4 thì
.
Ta xét một bài toán sử dụng cực và đối cực để chứng minh song song:
Bài toán 4. Cho tam giác có đường tròn nội tiếp là . Tiếp điểm
của trên lần lượt là . cắt lại ở . Đường
thẳng qua vuông góc với cắt ở . Chứng minh rằng .
Lời giải.
Xét cực và đối cực đối với . Gọi là giao điểm thứ hai của với
.
, ta thấy thẳng hàng. cắt lần lượt ở . Ta thấy
Nên ta suy ra đồng viên. Do đó
42
.
Do đó tứ giác nội tiếp. Vậy ta có
Chú ý rằng là trung điểm của nên theo bổ đề Maclaurine suy ra
. Hay thuộc đường đối cực của (theo Hệ quả 2.3.3) (3.1.3).
Mặt khác đường đối cực của là đi qua nên đường đối cực của đi
qua (Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)) (3.1.4).
Từ hai điều trên ta suy ra đường đối cực của là . Vậy theo Định lý
2.3.4, ta có : . Mặt khác nên suy ra .
Nhận xét. Chứng minh song song bằng ý tưởng dùng cực và đối cực giúp
bài toán của ta trở nên thú vị hơn.
3.2. Các bài toán về tính đồng quy, thẳng hàng:
Bài toán 5. (Định lí Brianchon) Chứng minh rằng ba đường chéo của một lục
giác ngoại tiếp đồng quy .
Lời giải.
43
Ta kí hiệu là lục giác ngoại tiếp .Tiếp điểm của trên
lần lượt là .
Xét cực và đối cực đối với . Gọi lần lượt là giao điểm của các
cặp đường thẳng , , . Dùng định lí Pascal cho lục
giác nội tiếp ta có thẳng hàng. Theo Định lý 2.3.6 thì các
đường đối cực của hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Mặt
khác, các đường đối cực của lần lượt là nên ta có
đồng quy .
với là đường tròn nội tiếp. Tiếp điểm của Bài toán 6. Cho tam giác
trên lần lượt là . Gọi lần lượt là điểm chung
của các cặp đường thẳng . Chứng minh rằng
thẳng hàng
Lời giải.
Xét cực và đối cực đối với . Đường đối cực của là đi qua , nên
đường đối cực của đi qua . (Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)). Mặt khác,
44
đường đối cực của đi qua nên suy ra đường đối cực của là .
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có: Đường đối cực của là và đường đối
cực của là . Khi đó, sử đụng dịnh lí Ceva ta có đồng quy.
Theo Định lý 2.3.6 ta có thẳng hàng.
Bài toán 7. Cho tam giác , đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với
lần lượt tại . Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc
với lần lượt tại . Chứng minh rằng đồng quy.
Lời giải.
Gọi lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và .
Gọi lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng
. Theo Bài toán 6 ta có thẳng hàng.(*)
45
Chú ý rằng đồng quy nên . Do đó
thuộc đường đối cực của đối với (theo Hệ quả 2.3.3). Mặt khác dễ
thấy thuộc đường đối cực của đối với nên ta có là đường đối
cực của đối với . Tương tự có là đường đối cực của đối với
và là đường đối cực của đối với . Từ ba điều trên và (*) và
Định lý 2.3.6 ta có , , đồng qui.
Qua hai bài toán, chúng ta đã thấy rõ hiệu lực của Định lý 2.3.6 cho những
bài toán chứng minh tính thẳng hàng và đồng qui. Tuy nhiên ta cần áp dụng
linh hoạt các định lí vào giải các bài toán như sau:
Bài toán 8. Trong tam giác kẻ các đường cao và gọi
là trực tâm của tam giác. Gọi là một giao điểm của với đường tròn
đường kính . Chứng minh rằng và tiếp tuyến tại của
đồng quy.
Lời giải.
46
Gọi giao điểm của với là như hình vẽ , như vậy sẽ là ,
hoặc . Ta sẽ chứng minh và tiếp tuyến tại của đồng qui.
(với trường hợp của tiếp tuyến tại thì chứng minh tương tự). Xét cực và
đối cực đối với .
Bình luận: Ta thấy không hề có cực, nên Định lý 2.3.6 không thể
áp dụng. Ta sẽ sử dụng một phương thức tiếp cận khác như sau:
Gọi giao điểm của và là . Ta có là đường đối cực của
, mà đi qua nên đường đối cực của sẽ đi qua (theo Định lý
đi qua
2.3.5 (Định lý La Hire)) hay tiếp tuyến tại . Tức là ta có
và tiếp tuyến tại đồng qui tại .
Bài toán 9. Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác . Qua
lần lượt vẽ các đường thẳng tương ứng vuông góc với
. Các cặp đường thẳng và , và , và ,
và tương ứng cắt nhau ở . Chứng minh rằng và
cắt nhau tại .
(Trích cuộc thi toán mùa đông tại Bulgaria ,1996 )
47
Lời giải.
Xét cực và đối cực đối với .
Bình luận: bài toán cũng không thể sử dụng trực tiếp Định lý 2.3.6 do
điểm không có điểm đối cực. Tuy nhiên, có thể áp dụng định lý Định lý
2.3.4 để giải bài toán này như sau:
Gọi lần lượt là tiếp điểm của trên . Gọi
lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng:
. Ta sẽ chứng minh thẳng hàng,
phần chứng minh thẳng hàng hoàn toàn tương tự. Theo giả thiết bài toán
ta sẽ có: là đường đối cực của , là đường đối cực của . Từ đó suy ra
là đường đối cực của điểm . (3.2.1)
Tương tự , ta cũng có là đường đối cực của điểm . (3.2.2)
Mặt khác trong tứ giác , ta chứng minh được . (3.2.3)
Từ (3.2.1), (3.2.2), (3.2.3), Định lý 2.3.4 và tiên đề Euclide ta có
thẳng hàng. Chúng minh tương tự, ta cũng có thẳng hàng. Vậy
và cắt nhau tại .
48
Bài toán 10. Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn . Tiếp điểm của
trên lần lượt là . Trên lấy điểm , trên lấy
điểm sao cho . Chứng minh rằng đồng qui.
Lời giải. Xét cực và đối cực đối với . Kẻ lần lượt vuông góc với
. Gọi giao điểm của và là , ta sẽ chứng minh thẳng
hàng. Ta thấy đường đối cực của phải đi qua và vuông góc với mà
nên suy ra là đường đối cực của . Suy ra thuộc đường đối
cực của . (3.2.4)
(3.2.5) Mặt khác thuộc là đường đối cực của .
Từ (3.2.4), (3.2.5) và Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire), ta suy ra là
đường đối cực của . (3.2.6)
Tương tự là đường đối cực của . (3.2.7)
Từ (3.2.6), (3.2.7) và Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire) ta tiếp tục suy ra
đường đối cực của là . Mặt khác
nên ta suy ra . Từ đó ta có đồng qui tại điểm .
49
3.3. Các bài toán về quỹ tích, điểm bất động:
Bài toán 11. Cho đường tròn và một đường thẳng nằm ngoài .
Một điểm chạy trên . Từ ta kẻ tới hai tiếp tuyến (ở đó
là tiếp điểm).Chứng minh rằng khi chạy trên thì luôn đi qua
một điểm cố định .
Lời giải.
Xét cực và đối cực đối với . Gọi là cực của , vì cố định nên
cố định. thuộc suy ra đường đối cực của sẽ đi qua cực của hay
đường thẳng đi qua điểm cố định.
Bài toán 12. Cho góc cố định và một điểm cố định nằm trên tia .
Đường tròn thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với với hai tia . Gọi tiếp
điểm của trên lần lượt là . Từ ta kẻ tiếp tuyến tới
50
(ở đó là tiếp điểm, khác ). cắt ở . Gọi là đường
thẳng qua và vuông góc với . Chứng minh rằng khi di động
(nhưng luôn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải.
Xét cực và đối cực đối với . Đường thẳng cắt ở , ta có đường
đối cực của là (qua điểm ) suy ra đường đối cực của sẽ đi qua
(theo Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)). (3.3.1).
Đường đối cực của là (qua điểm ) suy ra đường đối cực của sẽ
(3.3.2). đi qua (theo Định lý 2.3.5).
Từ (3.3.1),(3.3.2) và theo Định lý 2.3.5 ta suy ra là đường đối cực
của .
Theo Định lý 2.3.5 ta có vuông góc với , mặt khác ta có
là phân giác góc cố định nên điểm cố định.
Từ đó ta có điều cần chứng minh.
51
Bài toán 13. Cho đường tròn tâm và một điểm cố định nằm trong
đường tròn . Dây cung của quay quanh , và cắt tiếp tuyến
tại và của lần lượt tại . Gọi giao điểm của hai đường thẳng
là . Tìm quỹ tích của điểm khi quay quanh .
Lời giải.
Gọi là giao điểm của và , cắt ở . Ta có là
đường đối cực của điểm đối với . Điểm thuộc nên theo Định lý
2.3.5 ta có thuộc đường đối cực của đối với . (3.3.3)
Áp dụng Định lý 2.3.7 cho bốn điểm ta có
nên suy ra , theo Hệ quả 2.3.3 ta có
điểm thuộc đường đối cực của đối với . (3.3.4)
Từ (3.3.3) và (3.3.4) suy ra là đường đối cực của đối với . Mặt
khác, do giả thiết điểm cố định nên đường đối cực cũng cố định. Vậy
điểm luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Giới hạn của quỹ tích điểm là đoạn thẳng mà các biên là giao điểm của
hai tiếp tuyến tại hoặc tại trong trường hợp từng tiếp tuyến này song
song với đường thẳng cố định .
52
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày một hướng nghiên cứu một nhóm các bài toán hình học
phẳng phổ thông nhờ sử dụng các tính chất liên quan đến cực và đối cực mà
sách giáo khoa ít đề cập đến nhưng lại nằm trong phạm vi kiến thức của các
đề thi.
* Tóm tắt và đánh giá kết quả nghiên cứu chính của luận văn:
Luận văn cho ta thấy được hệ thống kiến thức cơ sở để sử dụng các kết
quả quan trọng về cực và đối cực vào một nhóm các bài toán hình học phổ
thông theo các kết quả nghiên cứu sau:
1. Ứng dụng cực và đối cực để giải các bài toán chứng minh song song,
vuông góc
2. Ứng dụng cực và đối cực để giải các bài toán chứng minh đồng qui,
thẳng hàng
3. Ứng dụng cực và đối cực để giải các bài toán quỹ tích, điểm bất động
* Gợi mở hướng phát triển của đề tài:
- Hướng phát triển của luận văn là:
+ Tiếp tục nghiên cứu phương pháp sử dụng các lí thuyết về cực và đối cực
trong mặt phẳng để giải quyết thêm một số bài toán trong hình học phổ thông,
bao gồm cả các bài toán trong không gian Euclide ba chiều P3(R).
+ Tổng quát phương pháp để có thể giải quyết các bài toán trong không
gian Euclide chiều Pn(R).
53
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Văn Như Cương (2006), Hình học xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm.
[2] Titu Andreescu (2009), Mathematical Olympic Challenges, Birkhäuser
Boston, a part of Springer Science+Business Media, LLC, Second Edition.
[3] Hoàng Quốc Khánh, http://forummathscope.org/showthread.php?t=7287
54
