Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge - Ampère phức trong các lớp Ftp (W) và Etp (W)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

------------------------------------

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ THANH HUYỀN

NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ

MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP

VÀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------------------------------------------

LƯU THỊ THANH HUYỀN

NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP

VÀ

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu

trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ

công trình nào.

Tác giả

Lưu Thị Thanh Huyền

i

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học

Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này

tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong

quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ

nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái

Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy

rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học

viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong

thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Tháng 04 năm 2017

Tác giả

ii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

1 MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài 1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3. Phương pháp nghiên cứu 2

4. Bố cục luận văn 2

4 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị 4

1.2. Hàm đa điều hòa dưới 6

1.3. Toán tử Monge-Ampère phức 8

1.4. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới 10

1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 12

1.6. Các lớp năng lượng Cegrell 16

Chương 2. NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-

17 AMPERE PHỨC TRONG CÁC LỚP VÀ

17 2.1. Các lớp và

2.2. Các Định lý so sánh 25

28 2.3. Tính tựa liên tục

36 2.4. Nguyên lý so sánh trong các lớp và

45 KẾT LUẬN

46 TÀI LIỆU THAM KHẢO

iii

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Cho là một tập bị chặn của và tập hợp các hàm đa điều

hòa dưới trên . Năm 1982, E. Berfod và B.A. Taylor [2] đã xây dựng toán tử

Monge-Ampere phức

cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế

vị. Các tác giả đã chỉ ra rằng toán tử này hoàn toàn xác định trên lớp các hàm

đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và có ảnh trong lớp các độ đo không âm,

đồng thời thiết lập nguyên lí so sánh để nghiên cứu bài toán Dirichle trên

. Năm 1984, Kiselman đã chỉ ra rằng không thể mở rộng toán

tử tới lớp các hàm đa điều hòa dưới bất kỳ mà vẫn có ảnh trong lớp các

độ đo không âm. Bài toán mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampere

đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Năm 1998, Cegrell [3] đã định

nghĩa các lớp năng lượng trên đó toán tử Monge-Ampere

phức hoàn toàn xác định. Năm 2004, Cegrell [4] đã định nghĩa các lớp

và chỉ ra rằng lớp là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử

Monge-Ampere phức. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge – Ampère

xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Nghiên cứu các lớp

này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so sánh, giải bài toán Dirichlet, sự hội

tụ theo dung lượng…

Năm 2006, Dabbek và Elkhadhra [5] đã mở rộng miền xác định của toán

tử trong trường hợp hàm đa điều hòa dưới bị chặn, ở đó là dòng

dương đóng song chiều trên . Năm 2014, Hbil, Jaway và với

Ghiloufi [9] đã mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampere tới một vài

lớp các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn. Theo hướng nghiên cứu này

1

chúng tôi chọn đề tài: “Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampere phức

trong các lớp và ”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của

Hbil, Jaway và Ghiloufi [9] về mở rộng miền xác định của đối với

các lớp hàm đa điều hòa dưới không nhất thiết bị chặn với là một dòng

dương đóng song chiều trên một tập mở . Giới thiệu hai

lớp và [8] và chỉ ra rằng chúng thuộc miền xác định của toán tử

. Đồng thời chứng minh rằng tất cả các hàm số thuộc các lớp này

đều là tựa liên tục và nguyên lí so sánh có hiệu lực trong các lớp đó.

2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về dạng vi phân và dòng

trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử

Monge-Ampère, tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý so sánh

Bedford-Taylor, các lớp năng lượng Cegrell. Nghiên cứu một số tính chất của

các lớp và . Tính tựa liên tục trong các lớp và

. Nghiên cứu nguyên lí so sánh trong các lớp và

3. Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với phương pháp

của lý thuyết đa thế vị phức.

4. Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 47 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương

nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.

2

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả cơ sở của lý

thuyết đa thế vị, về dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính

chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử Monge-Ampère, tính tựa liên tục của

hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor, các lớp năng

lượng Cegrell. Các nội dung chính của chương này được tham khảo trong tài

liệu tham khảo [1].

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên

cứu gần đây của Hbil, Jaway và Ghiloufi [9] về mở rộng miền xác định của

đối với các lớp hàm đa điều hòa dưới không nhất thiết bị chặn với

là một dòng dương đóng song chiều trên một tập mở . Một số

tính chất của các lớp và [8]. Chứng minh tính tựa liên tục

của các hàm số thuộc các lớp và và nguyên lí so sánh trong các

lớp đó.

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

3

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị

Giả sử là không gian vector chiều với cơ sở chính tắc

, ở đó 1 ở vị trí thứ . Giả sử với mỗi kí hiệu

là hàm tọa độ thứ : . Một ánh xạ gọi là

tuyến tính nếu nó là tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định.

Một ánh xạ tuyến tính sao cho khi

gọi là ánh xạ tuyến tính thay dấu. Tập các ánh xạ tuyến tính thay dấu

từ tới kí hiệu .

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử là tập mở. Một dạng vi phân trên là

ánh xạ .

Nếu đặt thì ta có thể viết mỗi dạng vi

phân trên dưới dạng , trong đó

, là các hàm trên

. Giả sử là dạng và là dạng, ở đó

và khi đó tích ngoài là

4

dạng cho bởi công thức , ở đó nếu

với và ,

với là hoán vị của dãy và

trong tập hợp để tạo thành dãy tăng

.

Nếu là một hàm thì và .

Cho là dạng lớp . Vi phân ngoài của là dạng cho bởi

. Giả sử . Khi đó

, là độ đo Lebesgue trên .

Định nghĩa 1.1.2. Một dòng bậc hay có chiều trên tập mở

là dạng tuyến tính liên tục . Nếu là dạng trong ,

giá trị của tại , kí hiệu bởi hay .

Bây giờ giả sử . Ta kí hiệu là tập các dạng phức

song bậc hệ số hằng trên . Khi đó nếu thì có thể biểu diễn:

,

trong đó tổng lấy theo

các bộ đa chỉ số với ,

. Dạng K hler chính tắc trên cho bởi:

5

Khi đó dạng thể tích trên cho bởi:

Giả sử là tập mở. Tập các dạng vi phân song bậc với hệ số

thuộc (tương ứng ) được kí hiệu (tương ứng

). là dạng tuyến tính liên tục trên

Định nghĩa 1.1.3. Mỗi phần tử gọi là một dòng song bậc

hay dòng (tương ứng song chiều ). Những phần tử

của gọi là dòng cấp , song bậc (hay dòng cấp ).

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử là dòng trên tập mở . được gọi

là dương nếu với mỗi dạng sơ cấp

ta có là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel trên .

1.2. Hàm đa điều hoà dưới

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm

được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi tập hợp

là mở trong X.

6

Định nghĩa 1.2.2. Cho là một tập con mở của và là

một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên

thông nào của . Hàm được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi và

, hàm là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành

phần của tập hợp . Trong trường hợp này, ta viết

. (ở đây kí hiệu là lớp hàm đa điều hoà dưới trong ).

Mệnh đề 1.2.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

và

bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của

, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi ,

.

Định nghĩa 1.2.4. Tập hợp được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm

đều có một lân cận của và một hàm sao cho

.

Định lý 1.2.5. Cho là một tập con mở trong . Khi đó

Họ là nón lồi, tức là nếu là các số không âm và

, thì .

Nếu là liên thông và là dãy giảm, thì

hoặc .

Nếu , và nếu hội tụ đều tới trên

các tập con compact của , thì .

7

Giả sử sao cho bao trên của nó là

bị chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên là đa điều

hoà dưới trong .

Định lý 1.2.6. Cho là một tập con mở của .

Cho là các hàm đa điều hoà dưới trong và . Nếu

là lồi, thì là đa điều hoà dưới trong .

Cho , , và trong . Nếu

là lồi và tăng dần, thì là đa điều hoà dưới trong .

Cho , trong , và trong . Nếu

là lồi và , thì .

Định nghĩa 1.2.7. Một miền bị chặn được gọi là miền siêu lồi nếu tồn

tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục sao cho với

.

1.3. Toán tử Monge-Ampère phức

Cho là đa điều hoà dưới trên miền . Ký hiệu và

. Nếu thì toán tử:

,

với là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian các hàm liên tục với giá compact trên .

8

.

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu là đa điều hoà dưới bị chặn địa

phương trên thì tồn tại dãy sao cho

và hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:

.

Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy , ta ký

hiệu: và gọi là toán tử Monge-Ampe của .

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe.

Mệnh đề 1.3.1. Giả sử là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội

tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó

Nếu là tập mở thì .

Nếu là tập compact thì .

Nếu compact tương đối trong : thì

.

Mệnh đề 1.3.2. Giả sử là miền bị chặn và

sao cho trên và . Giả sử là dòng

dương, đóng trên . Khi đó

9

.

Đặc biệt, nếu thì .

1.4. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới

Phần này trình bày một kết quả quan trọng của lí thuyết đa thế vị. Đó là

chứng minh tính tựa liên tục cho lớp các hàm đa điều hòa dưới. Để đi đến kết

quả này, ta cần khái niệm dung lượng tương đối của một tập Borel theo nghĩa

của Bedford-Taylor.

Định nghĩa 1.4.1. Giả sử là tập mở và là tập Borel. Dung

lượng tương đối của đối với , kí hiệu là hay có thể viết là

nếu không gặp phải sự hiểu lầm nào khác, là đại lượng cho bởi

.

Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg là hữu hạn nếu .

Mệnh đề sau cho một số tính chất của dung lượng tương đối.

Mệnh đề 1.4.2. Nếu , ở đó thì

là độ đo Lebesgue của .

Nếu thì .

.

10

Nếu thì , ở

đó là hằng số.

Nếu và thì .

Mệnh đề 1.4.3. Nếu và thì

.

Mệnh đề 1.4.4. Giả sử là dãy giảm hội tụ điểm trên

tới . Khi đó với mọi và ta có

.

Bây giờ ta chứng minh tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới.

Định lí 1.4.5. Giả sử là hàm đa điều hòa dưới trên tập mở . Khi đó

với mọi tồn tại tập mở với và liên tục trên

.

Chứng minh. Lấy tập mở bất kì . Chỉ cần chứng minh có tập mở

với và liên tục trên . Thật vậy, khi đó ta có thể chọn dãy

và các tập mở sao cho và liên

tục trên mỗi . Đặt . Khi đó là tập mở và

.

11

và với mọi tập mở ta có với nào đó. Vậy liên tục

trên . Do đó liên tục trên . Đặt , ở đây

được chọn sao cho (do Mệnh đề 1.4.3). Đặt và

giả sử là dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới liên tục xác định trên lân cận

của giảm tới . Do Mệnh đề 1.4.4 với tồn tại sao cho với

, ta có .

Đặt . Khi đó và trên ta có

. Vậy đều trên , do đó liên tục trên .

Nhưng trên thì . Vậy . Do đó liên tục trên .

Sau đây là một ứng dụng quan trọng của tính tựa liên tục của hàm đa

điều hòa dưới. Đó là nguyên lí so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới bị chặn

địa phương.

1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor

Định lý 1.5.1. Giả sử là miền bị chặn và sao

cho . Khi đó

. (1.1)

Chứng minh. Theo giả thiết . Điều này có nghĩa là với

mọi tồn tại sao cho thì . Hơn

nữa khi thay bởi , thì khi . Nếu

12

bất đẳng thức (1.1) đúng trên thì cho suy ra (1.1) đúng trên

. Vì vậy có thể giả sử . Vậy

.

Giả sử là các hàm liên tục. Khi đó là tập mở, liên

tục trên và trên . Với , đặt .

Từ giả thiết suy ra hay

với gần biên .

Vậy gần và trên . Theo công thức Stokes ta có

hay .

Vì nên . Vậy

.

Giả sử tùy ý và là miền sao cho . Tồn tại

hai dãy và các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới

và sao cho trên với mọi . Có thể coi . Lấy

và giả sử là tập mở sao cho , là các hàm

liên tục trên . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho

trên . Ta có

13

.

Nhưng và vì là tập mở nên

,

vì và hội tụ yếu tới .

Từ và suy ra

.

Áp dụng vào các hàm liên tục và ta thu được

.

Do đó

.

Hơn nữa

14

và do là tập compact và nên ta có

.

Do tùy ý nên ta được

.

Từ đó với mọi ta có

.

và khi . Nhưng

Do đó

.

Hệ quả 1.5.2. Giả sử là miền bị chặn và sao

cho và . Khi đó

.

Hệ quả 1.5.3. Cho là miền bị chặn và sao

. Giả sử trên . Khi đó cho

trên .

15

1.6. Các lớp năng lượng Cegrell

Định nghĩa 1.6.1

.

tồn tại lân cận của , ,

trên sao cho .

.

Định nghĩa 1.6.2

, .

.

16

CHƯƠNG 2

NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ

VÀ

MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP

2.1. Các lớp và

Cho , tức là nó là tập mở, liên thông, bị là một miền siêu lồi trong

chặn, và tồn tại sao cho với mọi , là tập

compact tương đối trong , trong đó là tập hợp các hàm đa điều

hòa dưới âm, là dòng dương đóng song chiều trên .

Định nghĩa 2.1.1. Lớp Cegrell đa phức liên kết với là tập hợp:

Sử dụng cách chứng minh tương tự trong [8], ta dễ dàng chứng minh rằng lớp

này là một nón lồi và với mọi và

.

Trong mục này chúng ta giới thiệu các lớp , tương tự với và

các lớp Cegrell và sẽ chỉ ra rằng toán tử Monge – Ampère hoàn toàn xác định

trên các lớp đó.

Định nghĩa 2.1.2. Với mỗi số thực ta định nghĩa là tập

hợp:

17

Dễ dàng kiểm tra được và sử dụng bất đẳng

thức Holder, ta có với mọi .

Chúng ta nhắc lại kết quả sau thường được dùng để chứng minh một số

tính chất của các lớp được định nghĩa ở trên.

Định lý 2.1.3 (xem [5]) Giả sử . Nếu thì với ta có

trong đó . và

Chúng ta bắt đầu bằng việc chỉ ra rằng hai lớp đã được giới thiệu kế thừa

một vài tính chất của lớp năng lượng

Định lí 2.1.4. Các lớp và là các nón lồi.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh rằng là đủ với mọi

. Cho và là hai dãy giảm dần tới và tương ứng như

trong Định nghĩa 2.1.2. Ta cần đánh giá

Theo bất đẳng thức Minkowsky, chỉ cần đánh giá các đại lượng:

18

và

với mọi . Sử dụng Định lý 2.1.3, ta có thể đánh giá các đại lượng

cuối cùng bởi

.

và

Vì các dãy trên là bị chặn đều theo định nghĩa của , nên ta suy ra điều

cần chứng minh.

Mệnh đề 2.1.5. Cho (tương ứng ) và , khi đó

hàm số ). (tương ứng

Chứng minh. Cho là một dãy giảm tới như trong Định nghĩa 2.1.2 và

lấy . Dãy giảm tới . Ta chỉ cần chứng minh rằng

Theo Định lý 2.1.3, ta có:

19

Do đó

Vế phải bị chặn đều vì , từ đó suy ra điều phải chứng minh. 

Kết quả quan trọng của phần này là định lý sau, ở đó khẳng định rằng toán tử

Monge – Ampere hoàn toàn xác định trên các lớp và .

Định lý 2.1.6. Cho và là một dãy các hàm đa điều hòa dưới,

giảm dần tới như trong Định lý 2.1.3. Khi đó hội tụ yếu tới độ

đo dương và giới hạn này không phụ thuộc vào sự lựa chọn dãy . Đặt

Chứng minh. Lấy và . Giả

sử là dãy sao cho và

Đặt

trong đó là độ đo Lebesgue trên hình cầu đơn vị . Khi đó ta có

Hàm là đa điều hòa dưới, liên tục trên và trên . Đặt

. Khi đó dãy giảm dần tới hàm đa điều hòa dưới

và theo Mệnh đề 2.1.5.

20

Hơn nữa, sử dụng kỹ thuật tương tự trong chứng minh trên, ta thu được

Định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra sự tồn tại của

Cho là một hàm vét cạn trong . Khi đó ta có

Theo Dabbek – Elkhadhra [5], dãy các độ đo hội tụ

yếu với mỗi . Do đó ta chỉ cần kiểm tra đại lượng sau là đủ:

Vì liên tục gần nên

21



Định lý 2.1.7. Nếu thì

Hơn nữa, nếu giảm dần tới thì

hội tụ tới

Chứng minh. Vì nên tồn tại một dãy sao cho

và

Ta sẽ chứng minh

Với mỗi và ta có:

22

và

Theo Định lý 2.1.6 ta nhận được:

Vì là nửa liên tục dưới nên

Do đó với mọi ta có

Từ đó suy ra

23

Như vậy

(2.1)

Khi giảm dần tới . Điều đó kéo theo thì

(2.2)

và giảm dần tới nên theo đẳng thức Hơn nữa,

(2.1),

(2.3)

Cho trong bất đẳng thức (2.2), kết hợp với các đẳng thức (2.1), và

(2.3) ta nhận được

Như vậy

(2.4)

Tương tự, khi giảm dần tới thì

24

Do đó

(2.5)

Từ các bất đẳng thức (2.4) và (2.5) suy ra điều phải chứng minh. 

Chú ý 2.1.8. Nếu và là dãy giảm tới như trong Định nghĩa

.

2.1.2 thì giảm tới

2.2. Các Định lý so sánh

Chúng ta nhắc lại hai lớp và đã được giới thiệu trong [8].

Định nghĩa 2.2.1. Ta nói rằng nếu tồn tại một dãy

giảm dần tới sao cho

Một hàm số sẽ thuộc nếu với mọi tồn tại một lân cận của

và một hàm sao cho . trên

Như là hệ quả, ta có với mỗi . Tuy nhiên ta

không biết bất kì mối quan hệ nào giữa và .

Bổ đề 2.2.2. Cho và là một tập con mở của sao

cho . Khi đó gần

25

Chứng minh. Cho và là chính quy hóa của và theo thứ tự. Chọn

sao cho . Nếu đủ nhỏ, ta có gần gần

và nếu lấy với , thì trên . gần

Do đó ta có

Suy ra

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Hệ quả 2.2.3. Cho . Giả sử tồn tại tập con mở của sao cho

gần . Khi đó

Chứng minh. Cho và sao cho với mọi .

Khi đó và thuộc và chúng bằng nhau

trên . Kết luận của hệ quả được suy ra từ bổ đề trên.

26

Mệnh đề 2.2.4. (Xem [8]) Với sao cho trên ta có

Chứng minh. Cho và theo thứ tự là các dãy giảm đến và như

trong Định nghĩa 2.2.1. Thay bởi ta có thể giả sử với

mọi . Với và ta có

Cho ta nhận được

Cho giảm dần tới , ta được điều phải chứng minh. 

Bổ đề 2.2.5. Cho . Khi đó tồn tại một dãy

giảm dần tới .

Chứng minh. Sự tồn tại của dãy được xây dựng tương tự như trong [4,

Định lý 2.1]. Vấn đề còn lại là chỉ ra

27

Thật vậy, khi theo Mệnh đề 2.2.4 ta có



2.3. Tính tựa liên tục

Bây giờ chúng ta thiết lập tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới thuộc

. Chúng ta cần nhắc lại một vài khái niệm đã cho trong [5] về và

dung lượng liên kết với được xác định bởi

với mọi tập con compact của . Nếu là một tập con của , thì ta định nghĩa

là tập con compact của

Định nghĩa 2.3.1. Tập con của được gọi là đa cực nếu .

Định nghĩa 2.3.2. Một hàm đa điều hòa dưới được gọi là tựa liên tục đối với

, nếu với mỗi tồn tại một tập con mở sao cho và

là liên tục trên .

Mệnh đề 2.3.3. Cho . Khi đó với mỗi ta có

.

Nói riêng, tập là đa cực.

28

Chứng minh. Cho là một dãy giảm dần tới trên như trong

Định nghĩa 2.2.1. Lấy và là một tập con

compact trong . Theo nguyên lý so sánh (cho hàm đa điều hòa dưới

bị chặn), ta có

Điều đó kéo theo

.

Cho , ta thu được

. 

Hệ quả 2.3.4. Mỗi đều là tựa liên tục.

Chứng minh. Cho , Đặt và

.

Theo Mệnh đề 2.3.3, tồn tại sao cho .

Hàm bị chặn trên nên theo Dabbek – Elkhadhra [5], tồn tại

một tập con mở trong sao cho và liên tục trên

.

29

Bằng cách lấy , ta suy ra điều phải chứng minh.

Để nghiên cứu tính tựa liên tục trên , ta sẽ tiến hành như trong

trường hợp trước.

Mệnh đề 2.3.5. Cho và giảm dần tới trên như

trong Định nghĩa 1. Khi đó với mỗi ta có

.

Nói riêng, tập là đa cực.

Chứng minh. Cho . Theo nguyên lý so sánh (cho

hàm đa điều hòa dưới bị chặn), ta có

Điều đó kéo theo

.

Cho , ta thu được

.

Bằng phương pháp tương tự trong Hệ quả 2.3.4 ta có kết quả sau

30

Hệ quả 2.3.6. Mỗi hàm trong là tựa liên tục.

Bây giờ ta cần phiên bản đầu tiên của nguyên lý so sánh, trong đó một

trong những hàm số là không bị chặn. Kết quả này đã được chứng minh trong

[5] cho hàm bị chặn.

Định lý 2.3.7. Cho và sao cho

.

Khi đó

.

Chứng minh. Trước tiên ta giả sử và liên tục trên lân cận của .

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử trên và . trên

Đặt , ta có trên và

.

Vì họ các độ đo hội tụ yếu đến khi , nên

Bây giờ xét trường hợp tổng quát. Thay bởi nếu cần thiết, ta có thể giả

sử ; Do đó có một tập con mở sao cho

với mọi . Cho và là hai dãy hàm đa điều

hòa dưới trơn theo thứ tự giảm dần tới và trên một lân cận của sao cho

trên với . Sử dụng lập luận như trên ta thu được

31

.

Với tồn tại một tập con mở của sao cho và là

các hàm liên tục trên . Ta có thể viết , trong đó là hàm liên

tục trên và . Đặt . Khi đó trên

.

, nên ta có Vì

.

ta có Bây giờ khi

.

32

Từ tính liên tục của và trên suy ra là tập con đóng của

. Điều này kéo theo

.

Như vậy

.

Do đó

.

Cho ta thu được

Vì và khi nên ta có bất

đẳng thức cần chứng minh bằng cách thay . bởi

33

Định nghĩa 2.3.8. Số Lelong–Demailly của đối với hàm đa điều hòa dưới

là giới hạn , trong đó

Kết quả sau đây đã được chứng minh trong [7], tác giả đã sử dụng công

thức Stokes , trong đó phải có điều kiện chính quy trên .

Định lý 2.3.9. Cho : liên tục trên . Khi đó với mỗi ta có

(2.6)

Nói riêng

Chứng minh. Cho và , đặt Với

. Theo Định lý 2.3.7 ta có

.

Bằng cách lấy supremum trên tất cả các , ta nhận

được đánh giá sau

34

Cho , ta nhận được vế trái của bất đẳng thức (2.6)

Đối với vế phải của bất đẳng thức, ta chú ý rằng hàm số

là hàm đa điều hòa dưới và thỏa mãn trên , do đó theo Hệ quả

2.2.3 và do gần nên ta nhận được

Theo vế phải của bất đẳng thức (2.6), ta có

Nếu lấy và trong vế trái của bất đẳng thức (2.6), ta được

.

35

Cho Ta được điều phải chứng minh 

Chú ý 2.3.10. Nếu , ở đó liên tục trên , thì dựa vào Mệnh đề

2.3.5 và Định lý 2.3.9, ta có .

2.4. Nguyên lý so sánh trong các lớp và

Mục đích chính của phần này là chứng minh kết quả sau đây:

Định lý 2.4.1. Cho và . Khi đó

.

Trước khi chứng minh, ta trình bày một vài hệ quả.

Hệ quả 2.4.2. Cho sao cho liên tục trên . Khi đó

Chứng minh. Theo nguyên lý so sánh, ta có:

, nên Vì . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Hệ quả 2.4.3. Giả sử và sao cho liên tục trên và

. Khi đó .

Chứng minh. Giả sử . Khi đó tồn tại

sao cho

36

.

Với đủ bé, ta có . Do đó theo nguyên lý so sánh, ta có

.

Từ đó

Điều này là vô lý 

Để chứng minh kết quả chính, ta sử dụng bất đẳng thức tương tự của

Xing (xem [12,13] để biết chi tiết hơn), tổng quát hóa cho lớp . Ta bắt

đầu bằng việc nhắc lại bổ đề sau:

Bổ đề 2.4.4. (xem [8]) Cho là một dòng dương đóng song chiều trên

. Giả sử trên và . và

Khi đó

với mọi và .

37

Bổ đề 2.4.5. Giả sử sao cho trên và

Khi đó ta có

. với mỗi và

Chứng minh. Giả sử và . Sử dụng Bổ đề 2.4.4 ta trên

thu được

….

.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

38

Trong trường hợp tổng quát, với mỗi ta đặt . Khi đó

trên và thỏa mãn trên với . Do đó

Vì , họ các độ đo hội tụ yếu tới khi

và hàm là nửa liên tục dưới, nên cho ta thu được bất

đẳng thức cần chứng minh.

Mệnh đề 2.4.6. Cho . Khi đó và

Với mỗi sao cho trên ta có

(2.7)

Bất đẳng thức (2.7) xảy ra với sao cho trên và

trên với nào đó.

Chứng minh.

Giả sử và theo thứ tự giảm dần tới và

như trong Định nghĩa 2.2.1 Thay bởi ta có thể giả sử

với . Theo Bổ đề 2.4.5, với , ta có

Bằng cách xấp xỉ bởi một dãy hàm đa điều hòa dưới liên tục triệt tiêu trên

(xem [3]) và sử dụng Mệnh đề 2.2.4, khi , ta thu được

39

Vì là nửa liên tục dưới nên

Do đó cho ta thu được kết quả cần chứng minh.

Cho và sao cho . Khi đó tồn là tập con mở của

tại sao cho trên và . Lấy sao cho trên

trên trên Vì trên , nên ta có và

. Điều này kéo theo và . trên

Sử dụng (a) ta nhận được

Khi trên ta có

Bây giờ vì và trên nên ta nhận được

Chú ý 2.4.7. Nếu lấy và trong Mệnh đề 2.4.6, ta nhận được

chứng minh khác của Mệnh đề 2.2.4.

Định lý 2.4.8. Cho , và

. Khi đó .

40

Chứng minh. Ta chứng minh định lý theo hai bước, đầu tiên ta giả sử

. Theo Bổ đề 2.2.5, tồn tại sao cho

giảm dần tới và

giảm dần tới với mỗi . Vì là mở, nên ta có

ở đó . Vì nên ta thu được

Từ đó suy ra (theo [8])

Do đó

.

Suy ra

. trên

Bây giờ giả sử . Vì , nên ta chỉ cần

chứng minh trên với

mọi . Thật vậy, vì nên theo bước thứ nhất ta có:

41

Mặt khác trên tập mở nên suy ra

Vì chứa trong các tập , và ,

nên kết hợp các đẳng thức cuối ta thu được

. 

Bây giờ ta có thể chứng minh một bất đẳng thức tương tự với bất đẳng

thức Demailly đã được trình bày trong [10].

Mệnh đề 2.4.9.

. Khi đó Giả sử sao cho

.

Giả sử là độ đo dương triệt tiêu trên các tập đa cực của và

sao cho và . Khi đó

.

Chứng minh. Đặt Vì

với sao cho với . Mặt nên tồn tại

42

khác, vì nên ta có

với . Theo Định lý 2.4.8 ta có

.

Cho và theo Định lý 2.1.6, ta nhận được

vì và khi .

b) Chứng minh tương tự như a). 

Mệnh đề 2.4.10. Giả sử . Khi đó

với và mọi .

43

Chứng minh. Lấy và đặt . Theo bất đẳng thức

(2.7) trong

Mệnh đề 2.4.6 ta có

.

Vì nên theo Định lý 2.4.8 ta có

Vì nên

.

Cho ta nhận được



Để kết thúc chứng minh kết quả chính, ta chỉ cần lấy và trong

mệnh đề trên.

44

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày:

+ Tổng quan và hệ thống các kết quả về dạng vi phân và dòng trong lý

thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử Monge-

Ampère, tính tựa liên tục của hàm đa điều hoà dưới, nguyên lý so sánh

Bedford-Taylor và các lớp năng lượng Cegrell.

+ Một số tính chất của các lớp và .

+ Tính tựa liên tục trong các lớp và .

+ Nguyên lí so sánh trong các lớp và : Kết quả chính là

Định lý 2.4.1 được chứng minh thông qua các Bổ đề 2.4.4, 2.4.5, Các Mệnh đề

2.4.6, 2.4.9 và 2.4.10 và Định lý 2.4.8.

45

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG VIỆT

[1]. Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị ,

Nxb Đại học sư phạm Hà Nội.

TIẾNG ANH

[2]. Bedford. E and Taylor. B. A (1982), “A new capacity for

plurisubharmonic funtions”, Acta Math. 149, no.1-2, pp. 1 - 40.

[3]. Cegrell U. (1998), “ Pluricomplex energy”, Acta. Math. 180, pp. 187 - 217.

[4]. Cegrell U. (2004), “The general definition of the complex Monge-

Ampere operator”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54, pp. 159 - 179.

[5]. Dabbek. K and Elkhadhra. F (2006), “ Capacite assosiee à un courant

positif ferme“, Documenta Math. 11, pp. 469 - 486.

[6]. Demailly. J.P., Complex analytic and diffirential geometry, Open book

available at http:// www. Fourier. Ujf-grenoble. Fr/demailly/book. Html.

[7]. Elkhadhra. F (2013), “Lelong-Demailly numbers in terms of capacity

and weak convergence for closed positive current”, Acta Math. Scientia

33B (6), pp. 1652 - 1666.

[8]. Hai. L.M and Dung. N.T (2009), “Local T-pluripolarity of a subset and

some Cegrell’s pluricomplex energy classes associated to a positive

closed current“, Vietnam J. of Math. 37: 2&3, pp. 1-9.

[9]. Hbil. J, Zaway. M and Ghiloufi. N (2014), “Pluricomplex energy classes

asociated to a positive closed current”, arXiv: 1403.0375vl [Math.CV] 3

Mar 2014.

[10]. Khue. N.V and Pham. H.H (2009), “A comparison principle for the

complex Monge-Ampere operator in Cegrell’s classes and applications

”, Tran. Amer. Math. Soc. 361, pp. 5539 - 5554.

46

[11]. Kolodziej. S (2005), “The complex Monge-Ampère equation and

pluripotential theory”. Mem. Amer. Math. Soc. 178, No. 840, pp 1-64.

[12]. Xing Y. (1996), “Continuity of the complex Monge-Ampere operator”,

Proc. Am. Math. Soc.,124, pp. 457 - 467”.

[13]. Xing. Y (2000), “Complex Monge – Ampère measures of

plurisubharmonic functions with bounded values near the boundary”,

Canad. J. Math. 52, pp. 1085 – 1100.

47