Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ NGỌC HƯỜNG

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN

TRONG VIỆC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TOÁN TỬ ∆𝜸

Ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy

THÁI NGUYÊN – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu

trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa được công bố trong bất cứ công

trình nào.

Tác giả

Phạm Thị Ngọc Hường

i

LỜI CẢM ƠN

Sau khoảng thời gian học tập tại Trường ĐHSP Thái Nguyên, tôi đã hoàn

thành luận văn cao học của mình. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất

đến TS. Phạm Thị Thủy, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện

để tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận

văn cao học đã đã dành thời gian đọc và cho tôi những ý kiến quý báu để cuốn

luận văn này được hoàn thiện.

Tôi cũng xin tri ân các thầy cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Thái Nguyên

đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt thời gian tôi theo học cao học tại

trường. Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường ĐHSP Thái Nguyên, phòng SĐH

đã hộ trợ tôi trong suốt khóa học.

Do thời gian và khả năng của bản thân còn hạn chế nên luận văn của tôi không

tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô

và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Tác giả luận văn

ii

Phạm Thị Ngọc Hường

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan .............................................................................................. i

Lời cảm ơn ................................................................................................. ii

Mục lục ..................................................................................................... iii

Một số quy ước và kí hiệu ........................................................................ iv

MỞ ĐẦU .................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài .................................................................................... 1

2. Mục đích của luận văn ............................................................................ 1

3. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 1

4. Bố cục của luận văn ................................................................................ 1

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................... 3

1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm ........................................... 3

1.1.1. Không gian tuyến tính ................................................................. 3

1.1.2. Không gian metric ....................................................................... 4

1.1.3. Phương trình đạo hàm riêng ........................................................ 5

1.2. Không gian hàm ............................................................................... 8

1.2.1. Đạo hàm suy rộng ....................................................................... 8

1.2.2. Không gian 𝐿𝑝 ............................................................................. 9

1.2.3. Không gian Sobolev ..................................................................10

1.3. Toán tử............................................................................................10

1.3.1. Toán tử ∆𝛾 .................................................................................10

1.3.2. Một số tính chất .........................................................................12 Chương 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG VIỆC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TOÁN

TỬ ∆𝜸 .......................................................................................................15

2.1. Bài toán ..............................................................................................15

iii

2.1.1. Bài toán 1 ...................................................................................15

2.1.2. Bài toán 2 ...................................................................................16

2.2. Sự tồn tại nghiệm ...............................................................................18

2.2.1. Sự tồn tại nghiệm của Bài toán 1 ..................................................

2.2.2. Sự tồn tại nghiệm của Bài toán 2 ..............................................26

KẾT LUẬN ..............................................................................................35

iv

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................36

MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU

Trong toàn bộ luận văn, ta thống nhất một số kí hiệu như sau:

‖𝑥‖ chuẩn Euclid của phần tử x trong không gian ℝ𝑁.

𝐶𝑘(Ω) không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trong không gian Ω.

không gian đối ngẫu của không gian Banach H. 𝐻′

〈. , . 〉𝐻 tích vô hướng trong không gian H.

hội tụ yếu. ⇀

phép nhúng liên tục. ↪

phép nhúng compact. ↪↪

iv

Vol(Ω) độ đo Lebesgue của tập Ω trong không gian ℝ𝑁.

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong những năm trở lại đây, bài toán biên luôn là chủ đề nghiên cứu được

nhiều chuyên gia quan tâm bởi những ứng dụng rộng rãi của nó trong các ngành

vật lý, hóa học và sinh học. Đặc biệt là việc nghiên cứu điều kiện tồn tại và

không tồn tại nghiệm của bài toán biên có chứa phương trình elliptic suy biến

là rất khó, phức tạp. Do vậy các kết quả đạt được chiếm vị trí quan trọng trong

phát triển lý thuyết toán học.

Việc giải tìm nghiệm của các bài toán này rất phức tạp. Bởi vậy người ta

dùng nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán biên có chứa phương trình

elliptic suy biến. Trong đó phương pháp biến phân: phương pháp điểm tới hạn

của một phiến hàm có nhiều ưu điểm đã và đang được nghiên cứu bởi rất nhiều

các nhà toán học trong và ngoài nước.

Xuất phát từ những lý do trên, tôi đã lựa chọn vấn đề nghiên cứu sự tồn tại

nghiệm của phương trình elliptic suy biến làm nội dung nghiên cứu của luận

văn với tên gọi:

“Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình

elliptic suy biến chứa toán tử ∆𝜸”.

2. Mục đích của luận văn

Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình

elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ.

3. Phương pháp nghiên cứu

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình elliptic suy biến, tôi sử

dụng phương pháp biến phân: phương pháp điểm tới hạn của một phiếm hàm.

4. Bố cục của luận văn

Nội dung của luận văn gồm có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết

luận và danh mục các tài liệu tham khảo.

1

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Trong Chương này tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm,

các không gian hàm, toán tử và một số kiến thức bổ trợ được sử dụng trong

Chương 2.

Chương 2: Trình bày về việc sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm

2

nghiệm của phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ của 2 bài toán.

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích

hàm, các không gian hàm, toán tử và một số kiến thức bổ trợ được sử dụng trong Chương 2. Các kiến thức trong chương được trích dẫn từ các tài liệu [2],[3],[4]. 1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm

1.1.1. Không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp 𝑋 ≠ ∅ cùng với một phép toán hai ngôi viết theo

lối cộng (+) và một ánh xạ 𝜑: 𝐾 × 𝑋 → 𝑋. Với mỗi 𝛼 ∈ 𝐾 và mỗi 𝑥 ∈ 𝑋 thì phần

tử 𝜑(𝛼, 𝑥) được gọi là tích của số 𝛼 với phần tử x và được kí hiệu là 𝛼𝑥. Giả sử

rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

1) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;

2) 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋;

3) Trong X tồn tại phần tử 𝜃 sao cho 𝑥 + 𝜃 = 𝜃 + 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋;

4) Với mỗi phần tử 𝑥 ∈ 𝑋, tồn tại phần tử đối (−𝑥) ∈ 𝑋 sao cho

𝑥 + (– 𝑥) = 𝜃;

5) 1. 𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋;

6) 𝛼(𝛽𝑥) = (𝛼𝛽)𝑥, ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝑋;

7) (𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥, ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝑋;

8) 𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦, ∀𝛼 ∈ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝑋.

Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên trường K, K là trường

số thực ℝ hoặc trường số phức ℂ và mỗi phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 được gọi là một vectơ;

còn các điều kiện trên được gọi là các tiên đề về không gian tuyến tính.

Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K.

𝑛 𝑖=1

= 𝜃 kéo Các vectơ 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋 gọi là độc lập tuyến tính nếu ∑ 𝛼𝑖𝑥𝑖

theo 𝛼𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Các vectơ 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋 gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc

3

lập tuyến tính.

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K.

Một hệ vectơ trong X gọi là hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X đều biểu thị

tuyến tính qua hệ đó.

Nếu X có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì X được gọi là một không gian

tuyến tính hữu hạn sinh.

Một hệ vectơ trong X gọi là một cơ sở của X nếu mọi vectơ của X đều biểu thị

tuyến tính duy nhất qua hệ đó.

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là không gian tuyến tính hữu hạn sinh. Khi đó X có cơ

sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong X đều như nhau. Số đó được gọi là

số chiều của không gian tuyến tính X.

Nếu X là một không gian tuyến tính trên trường K có số chiều n ta viết

𝑑𝑖𝑚𝑋 = 𝑛 hoặc 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑋 = 𝑛

Định nghĩa 1.1.5. Một tập con khác rỗng M của không gian tuyến tính X gọi là

một không gian con tuyến tính của X nếu nó ổn định với hai phép toán của X,

nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau:

1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀, 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑀;

2) ∀𝑥 ∈ 𝑀, ∀𝛼 ∈ 𝐾, 𝛼𝑥 ∈ 𝑀.

Định nghĩa 1.1.6. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K. Ánh xạ

A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn:

1) 𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;

2) 𝐴(𝛼𝑥) = 𝛼𝐴𝑥 với mọi 𝑥 ∈ 𝑋, 𝛼 ∈ 𝐾.

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A

được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử

thuần nhất. Khi Y = K thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.

1.1.2. Không gian metric

Cho X là một tập tùy ý, khác rỗng.

Định nghĩa 1.1.7. Một metric trong X là một ánh xạ

𝜌: 𝑋 × 𝑋 → ℝ

4

của tích 𝑋 × 𝑋 vào đường thẳng thực ℝ, thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1) 𝜌(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;

2) 𝜌(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦;

3) 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜌(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;

4) 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

Một không gian metric là một tập hợp khác rỗng cùng với một metric trong

tập hợp ấy. Số 𝜌(𝑥, 𝑦) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.

Định nghĩa 1.1.7. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ

bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X.

1.1.3. Phương trình đạo hàm riêng

1.1.3.1. Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng

Phương trình liên hệ giữa ẩn hàm 𝑢(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), các biến số độc lập

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo

hàm riêng. Nó có dạng:

, … , , … , , … ) = 0 (1.1) 𝐹 (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑢, 𝜕𝑢 𝜕𝑥1 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑘𝑢 𝑘𝑛 𝑘1, … , 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥1

Trong đó F là hàm số nhiều biến số, với kí hiệu 𝑢 = 𝑢(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛).

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của hàm u có mặt trong phương trình được

gọi là cấp của phương trình.

Ví dụ 1: Phương trình đạo hàm riêng cấp một của hàm hai biến 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) có

dạng:

, 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢, ) = 0. 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦

Ví dụ 2: Phương trình đạo hàm riêng cấp hai của hàm hai biến 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) có

dạng:

, , , 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2) = 0. 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦

5

𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 , Nghiệm của phương trình (1.1) là ẩn hàm 𝑢 = 𝑢(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) mà khi thay vào phương trình đó nó trở thành đồng nhất thức.

1.1.3.2. Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.

Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu như hàm F tuyến tính

đối với ẩn hàm 𝑢 = 𝑢(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) và tất cả các đạo hàm riêng của ẩn hàm. Ví dụ 1. Khi 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) ta có phương trình:

𝑎(𝑥, 𝑦) + 𝑐(𝑥, 𝑦) + 𝑒(𝑥, 𝑦) 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 2𝑏(𝑥, 𝑦) 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦

𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝑑(𝑥, 𝑦) +𝑓(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑔(𝑥, 𝑦) (1.2)

là phương trình tuyến tính cấp hai tổng quát đối với ẩn hàm 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) vì: Nếu

ta đặt vế trái của phương trình (2.2) bằng hàm F thì trong phương trình này hàm

F tuyến tính với ẩn hàm u và các đạo hàm riêng của ẩn hàm u.

Ví dụ 2. Cho phương trình đạo hàm riêng cấp 3 của hàm 2 biến

2𝑥𝑦 − sin 𝑥 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2𝜕𝑦 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝑦𝑢2 = 0 (1.3)

Phương trình (1.3) không là phupwng trình đạo hàm riêng tuyến tính vì vế trái

của phương trình là một hàm hai biến không tuyến tính đối với ẩn hàm 𝑢 =

𝑢(𝑥, 𝑦).

1.1.3.3. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong

trường hợp hai biến

Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến.

𝑎(𝑥, 𝑦)𝑢𝑥𝑥 + 2𝑏(𝑥, 𝑦)𝑢𝑥,𝑦 + 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢𝑦𝑦 + 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑢𝑥, 𝑢𝑦) = 0 (1.4)

Trong đó

𝑢𝑥𝑥 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2.

𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 , 𝑢𝑥𝑦 = Xét một điểm (𝑥0, 𝑦0) cố định. Phương trình (1.4) tại điểm (𝑥0, 𝑦0) được gọi là:

1. Phương trình thuộc loại elliptic (hay phương trình elliptic) nếu như tại

điểm đó 𝑏2 − 𝑎𝑐 < 0.

2. Phương trình thuộc loại hypebolic (hay phương trình hypebolic) nếu như

6

tại điểm đó 𝑏2 − 𝑎𝑐 > 0.

3. Phương trình thuộc loại parabolic (hay phương trình parabolic) nếu như

tại điểm đó 𝑏2 − 𝑎𝑐 = 0.

Nếu như phương trình (1.4) thuộc một loại nào đó tại mọi điểm trong miền G thì

ta nói rằng phương trình thuộc loại đó trong miền G.

Người ta chứng minh được rằng qua phép biến đổi bất kì

𝜉 = 𝜉(𝑥, 𝑦),

𝜂 = 𝜂(𝑥, 𝑦),

với 𝜉(𝑥, 𝑦), 𝜂(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶2(𝐺) và

≠ 0, (1.5) 𝐽 = | | = 𝜉𝑥𝜂𝑦 − 𝜉𝑦𝜂𝑥 = 𝜉𝑥 𝜂𝑥 𝜉𝑦 𝜂𝑦 𝐷(𝜉, 𝜂) 𝐷(𝑥, 𝑦)

loại của phương trình sẽ không thay đ,uổi. Từ đó thông qua phép đổi biến

(𝑥, 𝑦) → (𝜉, 𝜂), ta sẽ đưa phương trình được xét về phương trình có dạng chính

tắc. Thật vậy, với phép đổi biến ở trên, ta có:

𝑢𝑥 = 𝑢𝜉𝜂𝑥 + 𝑢𝜂𝜂𝑥;

𝑢𝑦 = 𝑢𝜉𝜂𝑦 + 𝑢𝜂𝜂𝑦;

𝑢𝑥𝑥 = 𝑢𝜉𝜉𝜉𝑥

2 + 2𝑢𝜉𝜂𝜉𝑥 + 𝑢𝜂𝜂𝜂𝑥 2 + 2𝑢𝜉𝜂𝜉𝑦 + 𝑢𝜂𝜂𝜂𝑦

2 + 𝑢𝜉𝜉𝑥𝑥 + 𝑢𝜂𝜂; 2 + 𝑢𝜉𝜉𝑦𝑦 + 𝑢𝜂𝜂;

𝑢𝑦𝑦 = 𝑢𝜉𝜉𝜉𝑦

𝑢𝑦𝑦 = 𝑢𝜉𝜉𝜉𝑥𝜉𝑦 + 𝑢𝜉𝜂(𝜉𝑥𝜂𝑦 + 𝜉𝑦𝜂𝑥) + 𝑢𝜂𝜂𝜂𝑥𝜂𝑦 + 𝑢𝜉𝜉𝑥𝑦 + 𝑢𝜂𝜂𝑥𝑦;

Thay các đại lượng trên vào phương trình (1.4) ta được phương trình sau:

𝑎1(𝜉, 𝜂)𝑢𝜉𝜉 + 2𝑏1(𝜉, 𝜂)𝑢𝜉𝜂 + 𝑐1(𝜉, 𝜂)𝑢𝜂𝜂 + 𝐹1(𝜉, 𝜂, 𝑢, 𝑢𝜉, 𝑢𝜂) = 0

2; 𝑎1 = 𝑎𝜉2 + 2𝑏𝜉𝑥𝜉𝑦 + 𝑐𝜉𝑦

với

𝑏1 = 𝑏𝜉𝑥𝜂𝑥 + 𝑏(𝜉𝑥𝜂𝑦 + 𝜂𝑥𝜉𝑦) + 𝑐𝜉𝑦𝜂𝑦;

2; 2 + 2𝑏𝜂𝑥𝜂𝑦 + 𝑐𝜂𝑦

𝑐1 = 𝑎𝜂𝑥

1.2. Các không gian hàm

7

1.2.1. Đạo hàm suy rộng ℝ𝑛 = {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛: 𝑥𝑘 ∈ ℝ, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛}, 𝛺 là một tập mở trong ℝ𝑛.

Hàm số

𝑓 ∶ Ω ⟶ ℝ

𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥).

Nếu 𝑓(𝑥) là hàm liên tục trong ℝ𝑛, 𝑓 ∈ ℂ(ℝ𝑛) thì ta kí hiệu

𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛: 𝑓(𝑥) ≠ 0}.

Khi đó bao đóng của A được gọi là giá của hàm f và kí hiệu supp f. Nếu supp f

𝑘(Ω) là không gian gồm các hàm khả vi liên tục đến cấp k và có giá

compact thì hàm 𝑓(𝑥) được gọi là có giá compact.

Đặt 𝐶0

𝑘(Ω) là một không gian tuyến tính, kí hiệu là 𝐷𝑘(Ω).

compact. Cho tập mở Ω ⊂ ℝ𝑛. Với phép cộng hàm số và phép nhân hàm số với

∞ 𝐷(Ω) = ⋂ 𝐷𝑘(Ω). 𝑘=1

một hằng số thì 𝐶0

𝐷(Ω) là không gian tuyến tính các hàm khả vi vô hạn, có giá compact trong Ω.

Định nghĩa 1.2.1. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm

hàm tuyến tính liên tục trên 𝐷(Ω).

Hàm suy rộng f tác động lên mỗi 𝜑 ∈ 𝐷(Ω) được kí hiệu là 〈𝑓, 𝜑〉.

Hai hàm suy rộng f,g được gọi là bằng nhau nếu:

〈𝑓, 𝜑〉 = 〈𝑔, 𝜑〉, ∀𝜑 ∈ Ω.

𝑛. Đạo hàm suy rộng

Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trong Ω lập thành không gian 𝐷′(Ω).

Nếu Ω = ℝ𝑛 ta kí hiệu 𝐷′ = 𝐷′(ℝ𝑛). Định nghĩa 1.2.2. Cho 𝑓 ∈ 𝐷′(Ω), 𝛼 = (𝛼1, … , 𝛼𝑛) ∈ ℤ+ cấp 𝛼 của hàm f trong Ω, kí hiệu 𝐷𝛼(𝑓), là một ánh xạ từ 𝐷(Ω) vào ℂ được xác

định bởi:

𝐷𝛼(𝑓): 𝜑 ⟼ (−1)|𝛼|〈𝑓, 𝜑〉,

với 𝜑 ∈ 𝐷(Ω).

8

Nhận xét

𝑛, 𝑓 ∈ 𝐷(Ω), đạo hàm suy rộng cấp 𝛼 của hàm f trong Ω là

1. Với mỗi 𝛼 ∈ ℤ+

một hàm suy rộng, nói cách khác, đạo hàm suy rộng 𝐷𝛼𝑓 là phiếm hàm

tuyến tính liên tục từ 𝐷(Ω) vào ℂ vì:

 Với mỗi 𝜆, 𝜇 ∈ ℂ; 𝜑, 𝜓 ∈ 𝐷(Ω) ta có:

〈𝐷𝛼𝑓, 𝜆𝜑 + 𝜇𝜓〉 = (−1)|𝛼|〈𝑓, 𝐷𝛼(𝜆𝜑 + 𝜇𝜓)〉

= (−1)|𝛼|(𝜆〈𝑓, 𝐷𝛼𝜑〉 + 𝜇〈𝑓, 𝐷𝛼𝜓〉)

= (−1)|𝛼|(𝜆〈𝐷𝛼𝑓, 𝜑〉 + 𝜇〈𝐷𝛼𝑓, 𝜓〉).

𝜑𝑘 = 0 thì:

𝑘→∞

𝑛,

 Với 𝜑𝑘 ∈ 𝐷(Ω), 𝑘 = 1,2, … , 𝐷 lim

𝐷𝛼𝜑𝑘 = 0, 𝛼 ∈ ℤ+ 𝐷 lim 𝑘→∞

〈𝑓, 𝐷𝛼𝜑𝑘〉 = 0. nên lim 𝑘→∞ 〈𝐷𝛼𝑓, 𝜑𝑘〉 = lim 𝑘→∞

2. Mọi hàm suy rộng 𝐷′(Ω) đều có đạo hàm.

3. Phép toán đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm

𝐷𝛼+𝛽(𝑓) = 𝐷𝛼(𝐷𝛽𝑓) = 𝐷𝛽(𝐷𝛼𝑓).

1.2.2. Không gian 𝑳𝒑

Đinh nghĩa 1.2.3. 𝐿𝑝(Ω), 1 ≤ 𝑝 < ∞ , là không gian Banach bao gồm tất cả các

1 𝑝

hàm khả tích Lebesgue bậc 𝑝 trên Ω với chuẩn được định nghĩa như sau:

Ω

. 𝑑𝑥) ‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω) ≔ (∫ |𝑢|𝑝

Chú ý rằng 𝐿𝑝(Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < 𝑝 < +∞.

Định nghĩa 1.2.4. 𝐿∞(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được

và bị chặn hầu khắp trên Ω với chuẩn:

|𝑢(𝑥)|. ‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω) ≔ 𝑒𝑠𝑠 𝑠𝑢𝑝 𝑥∈𝛺

𝑚(Ω), 1 ≤ 𝑝 < ∞ là không gian bao gồm tất cả các hàm

1.2.3. Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.2.5. 𝑊𝑝

𝑢(𝑥) ∈\𝐿𝑝(Ω), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp 𝛼, |𝛼| ≤ 𝑚 thuộc

9

𝐿𝑝(Ω) và được trang bị chuẩn

1 𝑝

|𝛼|≤𝑚

𝑚(Ω) ≔ ( ∑ ∫ |𝐷𝛼𝑢(𝑥)|𝑝𝑑𝑥 Ω

𝑚(Ω) là một không gian Banach với 1 ≤ 𝑝 < ∞ và là không

. ) ‖𝑢‖𝑊𝑝

𝑚(Ω) với chuẩn trên được gọi là không

Ta kiểm tra được 𝑊𝑝

gian Hilbert với 𝑝 = 2. Không gian 𝑊𝑝

gian Sobolev.

1.3. Toán tử

1.3.1. Toán tử ∆𝜸

Giả sử Ω là một miền bị chặn có biên trơn trong không gian ℝ𝑁, 𝑁 ≥ 2. Khi đó,

2𝜕𝑥𝑗),

ta định nghĩa toán tử:

𝑁 ∆𝛾≔ ∑ 𝜕𝑥𝑗(𝛾𝑗 𝑗=1

𝜕𝑥𝑗 = 𝜕 𝜕𝑥𝑗

𝑁

trong đó hàm 𝛾𝑗: ℝ𝑁 → ℝ là các hàm liên tục và thỏa mãn 𝛾𝑗 > 0, j=1,2,…,N trong ℝ𝑁\∏, với

𝑗=1

}. ∏ =: {𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) ∈ 𝑅𝑁: ∏ 𝑥𝑗 = 0

Hơn nữa, chúng ta giả sử 𝛾𝑗(𝑋) thỏa mãn các tính chất:

1) 𝛾1(𝑋) ≡ 1, 𝛾𝑗(𝑋) = 𝛾𝑗(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁), 𝑗 = 1,2, … , 𝑁; 2) Với mỗi 𝑋 ∈ ℝ𝑁 ta có 𝛾𝑗(𝑋) = 𝛾𝑗(𝑋∗), 𝑗 = 1,2, … , 𝑁, trong đó

𝑋∗ = (|𝑥1|, … , |𝑥𝑛|) nếu 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁);

3) Tồn tại hằng số 𝜌 ≥ 0 sao cho:

0 ≤ 𝑥𝑘𝜕𝑥𝑘𝛾𝑗(𝑋) ≤ 𝜌𝛾𝑗(𝑋), ∀𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑗 − 1}, ∀𝑗 = 2, … , 𝑁,

𝑁 ≔ {(𝑥1, … , 𝑥𝑁) ∈ ℝ𝑁: 𝑥𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑁};

với mỗi 𝑋 ∈ ℝ+

4) Tồn tại nửa nhóm {𝛿𝑡}𝑡>0 thỏa mãn:

𝛿𝑡 ∶ ℝ𝑁 ⟶ ℝ

(𝑥1, … , 𝑥𝑁) ⟼ 𝛿𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑁) = (𝑡𝜀1𝑥1, … , 𝑡𝜀𝑁𝑥𝑁)

10

với 1 = 𝜀1 ≤ 𝜀2 ≤ ⋯ ≤ 𝜀𝑁, sao cho 𝛾𝑗 là 𝛿𝑡 - thuần nhất bậc 𝜀𝑗 − 1, tức là

𝛾𝑗(𝛿𝑡(𝑋)) = 𝑡𝜀𝑗−1𝛾𝑗(𝑋), ∀𝑋 ∈ ℝ𝑁, ∀𝑡 > 0, 𝑗 = 1, … , 𝑁. Ta định nghĩa 𝑁̃ là số chiều thuần nhất của ℝ𝑁 cùng với nửa nhóm {𝛿𝑡}𝑡>0, tức là

𝑁̃ ≔ 𝜀1 + 𝜀2 + ⋯ + 𝜀𝑁.

Ví dụ 1.3.1: Giả sử k là một số thực không âm. Khi đó toán tử

∆𝛾≔ ∆𝑥 + |𝑥|2𝑘∆𝑦,

trong đó

) , 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁1) ∈ ℝ𝑁1, 𝛾 = (1,1, … ,1 ⏟ 𝑁1−𝑠ố , |𝑥|𝑘, … , |𝑥|𝑘 ⏟ 𝑁2−𝑠ố

𝑝(Ω) (1 ≤ 𝑝 ≤ +∞) gồm tất cả các hàm 𝑢 ∈

𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑁2) ∈ ℝ𝑁2, 𝑁1, 𝑁2 ∈ ℕ, được gọi là toán tử Grushin.

1/𝑝

𝑁

𝑝

Định nghĩa 1.3.1. Không gian 𝑆𝛾 𝐿𝑝(𝛺) mà 𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢 ∈ 𝐿𝑝(Ω) với mọi 𝑗 = 1,2, … , 𝑁.Ta định nghĩa chuẩn trong không gian này như sau

𝑝(Ω) = {∫(|𝑢|𝑝 + ∑ |𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢|

𝑗=1

Ω

2(Ω) với

)𝑑𝑥 . } ‖𝑢‖𝑆𝛾

Nếu p = 2, ta có thể định nghĩa tích vô hướng trong không gian 𝑆𝛾

𝑁 2(Ω) = (𝑢, 𝑣)𝐿2(Ω) + ∑(𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢, 𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑣)𝐿2(Ω) 𝑗=1

𝑝(Ω).

𝑝 (Ω) là không gian đóng của 𝐶0

1(Ω) trong không gian 𝑆𝛾

. (𝑢, 𝑣)𝑆𝛾

Không gian 𝑆𝛾,0

1 2

𝑁

2

Đặt

𝑗=1

. ) ∇𝛾𝑢 ≔ (𝛾1𝜕𝑥1𝑢, 𝛾2𝜕𝑥2𝑢, … , 𝛾𝑁𝜕𝑥𝑁𝑢), |∇𝛾𝑢| ≔ (∑ |𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢|

11

1.3.2. Một số tính chất

Mệnh đề 1.3.2. Giả sử 𝑁̃ > 2. Khi đó phép nhúng

2 (Ω) ↪ 𝐿2𝛾

∗ =

∗ (Ω), trong đó 2𝛾

2𝑁̃ 𝑁̃−2

2 (Ω) ↪ 𝐿2𝛾

∗ (Ω) là compact với mỗi q ∈

’ 𝑆𝛾,0

∗ ).

là liên tục. Hơn nữa, phép nhúng 𝑆𝛾,0

[1,2𝛾

∗ =

Mệnh đề 1.3.3. Giả sử 𝑁𝑘 > 2, k là một số thực không âm. Khi đó ta có

2 (ℝ𝑁) ↪ 𝐿𝑝(ℝ𝑁), trong đó 2 ≤ 𝑝 ≤ 2𝛾 𝑆𝑘

.

2𝑁𝑘 𝑁𝑘−2 Chú ý: Nếu 𝑁̃ > 2 và Ω chứa gốc tọa độ, khi đó định lí nhúng

2𝑁̃ 𝑁̃ −2

2 (Ω) ↪ 𝐿

+𝜏(Ω) là không đúng với mỗi 𝜏 là số dương. Thật vậy, ta đặt

𝑆𝛾,0

2𝑁̃ 𝑁̃−2

∞(Ω) và 𝜙(𝑋) ≠ 0. Giả sử Θ là một số đủ lớn thỏa mãn

∞(Ω) với mọi 𝜃 ≥ Θ.

+ 𝜏 = 𝑝(𝜏).

‖𝜙‖

‖𝜙𝜃‖

𝐿𝑝(𝜏)(Ω)

𝐿𝑝(𝜏)(Ω)

Lấy 𝜙(𝑋) ∈ 𝐶o 𝜙𝜃(𝑋) = 𝜙(𝜃𝜀1𝑥1, 𝜃𝜀2𝑥2, … , 𝜃𝜀𝑁𝑥𝑁) ≔ 𝜙(𝑋𝜃) ∈ 𝐶o Xét hai số

.

𝐴𝜃 =

|‖𝜙‖|

|‖𝜙𝜃‖|

2 (Ω) 𝑆𝛾,0

2 (Ω) 𝑆𝛾,0

và 𝐴 ≔ 𝐴1 =

Ta có

Ω

∫( 𝜙𝜃(𝑋))𝑝(𝜏)𝑑𝑋

Ω

= ∫ (𝜙𝜃(𝜃𝜀1𝑥1, 𝜃𝜀2𝑥2, … , 𝜃𝜀𝑁𝑥𝑁))𝑝(𝜏) 𝑑𝑥1𝑑𝑥2 … 𝑑𝑥𝑁

Ω

= 𝑑𝜃𝜀1𝑥1𝑑𝜃𝜀2𝑥2 … 𝑑𝜃𝜀𝑁𝑥𝑁 1 𝜃𝑁̃ ∫ (𝜙𝜃(𝜃𝜀1𝑥1, 𝜃𝜀2𝑥2, … , 𝜃𝜀𝑁𝑥𝑁))𝑝(𝜏)

Ω

= 𝜃−𝑁̃ ∫ (𝜙(𝑋𝜃))𝑝(𝜏)𝑑𝑋𝜃,

do đó

𝑁̃ − 𝑝(𝜏)‖𝜙‖𝐿𝑝(𝜏)(Ω). (1.6)

‖𝜙𝜃‖𝐿𝑝(𝜏)(Ω) = 𝜃

12

Mặt khác ta có

1 2

𝑁 2 2 (Ω) = (∫ ∑ |𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃| 𝑗=1

Ω

1 2

𝑁

2

d𝑋 ) |‖𝜙𝜃‖|𝑆𝛾,0

𝑗=1

Ω

. = (∫ ) 𝑑𝜃𝜀1𝑥1𝑑𝜃𝜀2𝑥2 … 𝑑𝜃𝜀𝑁𝑥𝑁 1 𝜃𝑁̃ ∑ |𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃|

Từ giả thiết 4) ta có

𝛾𝑗(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁)𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃(𝑋) = 𝜃−𝜀𝑗+1𝛾𝑗(𝜃𝜀1𝑥1, 𝜃𝜀2𝑥2, … , 𝜃𝜀𝑁𝑥𝑁)𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃(𝑋),

và

𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃(𝑋) = 𝜃𝜀𝑗𝜕𝑥𝑗𝜙(𝜃𝜀1𝑥1, 𝜃𝜀2𝑥2, … , 𝜃𝜀𝑁𝑥𝑁).

1 2

𝑁

2

Do vậy

2 (Ω) = 𝜃1−

𝑁̃ 2 (∫ ∑ |𝛾𝑗(𝑥𝜃)𝜕𝑥𝑗

𝑗=1

Ω

2 (Ω). (1.7)

𝑁̃ = 𝜃1− 2 |‖𝜙𝜃‖|𝑆𝛾,0

) (𝑥𝜃)| d𝑋𝜃 |‖𝜙𝜃‖|𝑆𝛾,0

−

Từ (1.2) và (1.3) ta có

−1−

𝑁̃ 2

𝑁̃ 𝑝(𝜏)𝐴.

𝜃 = 𝜃 𝐴𝜃 =

2 (Ω)

𝑁̃ 𝑝(𝜏)‖𝜙𝜃‖𝐿𝑝(𝜏)(Ω) 𝑁̃ 2 |‖𝜙𝜃‖|𝑆𝛾,0

𝜃1−

𝑁̃ 2

𝑁̃ 𝑝(𝜏)

Do − 1 − > 0, nên 𝐴𝜃 ⟶ ∞ khi 𝜃 ⟶ ∞.

Định nghĩa 1.3.4. Cho H là không gian Banach. Ánh xạ E : H → ℝ được gọi là

khả vi Fréchet tại điểm u ∈ 𝐻 nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính bị chặn DE(u) ∈ 𝐻

thỏa mãn

→ 0 |𝐸(𝑢 + 𝑣) − 𝐸(𝑢) − 𝐷𝐸(𝑢)(𝑣)| ‖𝑣‖𝐻

khi ‖𝑣‖𝐻 → 0. Khi đó DE(u) được gọi là đạo hàm Fréchet của E tại u. Hơn nữa, đạo hàm của

13

E tại u theo hướng v khí hiệu bởi 〈𝑣, 𝐷𝐸(𝑢)〉 ≔ 𝐷𝐸(𝑢)(𝑣).

Ánh xạ E là thuộc lớp 𝐶1 nếu ánh xạ u ⟼ 𝐷𝐸(𝑢) là liên tục.

Định lí 1.3.5. Cho H là không gian Banach phản xạ và M ⊂ 𝐻 là tập đóng yếu

trong H. Giả sử E : M ⟶ ℝ ∪ +∞ là bức trên M, tức là

1) E(u) ⟶ ∞ khi ‖𝑢‖𝐻 ⟶ ∞, u ∈ 𝑀; Và E là nửa liên tục dưới yếu trên M, tức là

2) Với mỗi u ∈ 𝑀 dãy {𝑢𝑛} ⊂ 𝑀, 𝑢𝑛 ⇀ 𝑢 trong H thì

𝑖𝑛𝑓 𝐸(𝑢𝑛). 𝐸(𝑢) ≤ 𝑙𝑖𝑚 𝑛⟶∞

Khi đó E bị chặn dưới trên M và đạt infimum trên M.

Chương 2

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG VIỆC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TOÁN TỬ ∆𝜸

Trong Chương 2, sử dụng phương pháp biến phân để tìm nghiệm của Bài toán

chứa phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆𝛾. Nội dung trong chương được

trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11], [12].

14

2.1. Bài toán

Trong Chương 2, ta đi tìm nghiệm của hai bài toán sau:

2.1.1. Bài toán 1

Giả sử Ω là miền bị chặn, có biên trơn trong ℝ𝑁, N ≥ 2.

Ta xét bài toán:

−∆𝛾𝑢 + 𝑎(𝑥)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑢) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 Ω

𝑁̃ 2 (𝛺), ∆𝛾 là toán tử có dạng với 𝑎 ∈ 𝐿

𝑢|𝜕Ω = 0

2𝜕𝑥𝑗), 𝜕𝑥𝑗 ≔

𝑁 ∆𝛾≔ ∑ 𝜕𝑥𝑗 (𝜕𝑗 𝑗=1

, 𝑗 = 1,2, … , 𝑁. 𝜕 𝜕𝑥𝑗

Và 𝑓 ∈ 𝐶(𝛺̅ × ℝ, ℝ) thỏa mãn một số giả thiết sau:

(H1) Tồn tại các hằng số 𝛼 ≥ 1 và 𝐶0 ≥ 0 sao cho

𝛼𝐺(𝑥, 𝑡) + 𝐶0 ≥ 𝐺(𝑥, 𝑠𝑡), ∀𝑡 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ 𝛺̅, 𝑠 ∈ [0,1],

𝑡

trong đó

0

𝐺(𝑥, 𝑡) ≔ 𝑡𝑓(𝑥, 𝑡) − 2𝐹(𝑥, 𝑡), 𝐹(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝜏)𝑑𝜏;

(H1’) Tồn tại 𝑡∗ > 0 mà, cho x ∈ Ω cố định, f(x,t)/t tăng khi t ≥ 𝑡∗ và giảm

khi 𝑡 ≤ −𝑡∗;

∗ =

∗ −2) = 0 đồng nhất với mọi x ∈ Ω, trong đó 2𝛾

2𝑁̃ . 𝑁̃−2

𝑓(𝑥, 𝑡)/(𝑡|𝑡|2𝛾 (H2) 𝑙𝑖𝑚 |𝑡|→∞

𝐹(𝑥, 𝑡)/𝑡2 = +∞ đồng nhất với mọi x ∈ Ω. (H3) 𝑙𝑖𝑚 |𝑡|→∞

𝑓(𝑥, 𝑡)/𝑡 = 0 đồng nhất với mọi x ∈ Ω. (H4) 𝑙𝑖𝑚 𝑡→0

(H5) Cho một số 𝛿 > 0, hoặc

𝐹(𝑥, 𝑡) ≥ 0 𝑣ớ𝑖 |𝑡| ≤ 𝛿, 𝑥 ∈ Ω,

Hoặc

𝐹(𝑥, 𝑡) ≤ 0 𝑣ớ𝑖 |𝑡| ≤ 𝛿, 𝑥 ∈ Ω.

15

2.1.2. Bài toán 2

Ta xét bài toán sau

2(ℝ𝑁),

−∆𝛾𝑢 + 𝑏(𝑥)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑢) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℝ𝑁, { 𝑢 ∈ 𝑆𝛾

với ∆𝛾 là toán tử subelliptic có dạng

2𝜕𝑥𝑗) , 𝛾 = (𝛾1, 𝛾2, … , 𝛾𝑁): ℝ𝑁 →

𝑁 ∆𝛾 ≔ ∑ 𝜕𝑥𝑗 (𝛾𝑗 𝑗=1

ℝ𝑁.

Toán tử ∆𝛾 chứa nhiều toán tử elliptic suy biến như là loại toán tử Grushin

𝐺𝛼 ≔ ∆𝑥 + |𝑥|2𝛼∆𝑦, 𝛼 ≥ 0,

trong đó x biểu thị một điểm của ℝ𝑁1 × ℝ𝑁2, và toán tử có dạng

𝑃𝛼,𝛽 ≔ ∆𝑥 + ∆𝑦 + |𝑥|2𝛼|𝑦|2𝛽∆𝑧, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ𝑁1 × ℝ𝑁2 × ℝ𝑁3,

với 𝛼, 𝛽 là các số thực không âm.

Ta đưa ra các giả thiết sau:

(𝐴1) 𝑓: ℝ𝑁 × ℝ → ℝ là hàm Carathéodory thỏa mãn |𝑓(𝑥, 𝜉)| ≤ 𝑓1(𝑥)|𝜉| + 𝑓2(𝑥)|𝜉|𝑝−1 với mọi(𝑥, 𝜉) ∈ ℝ𝑁 × ℝ,

trong đó 𝑓1, 𝑓2: ℝ𝑁 → ℝ là không âm và

∗ 𝑝3 2𝛾 𝑝3(𝑝−1)(ℝ𝑁), 𝑓2(𝑥) ∈ 𝐿𝑝2(ℝ𝑁) ∩ 𝐿𝑝3(ℝ𝑁),

𝑓1(𝑥) ∈ 𝐿𝑝1(ℝ𝑁) ∩ 𝐿𝑝3(ℝ𝑁) ∩ 𝐿

∗ , ≤ 2𝛾

∗ , 𝑝1, 𝑝2 > 1, 𝑝3 ≥

∗ 2𝛾 ∗ − 𝑝 2𝛾

, ≤ 2𝛾 2𝑝1 𝑝1 − 1 𝑝𝑝2 𝑝2 − 1

∗ . ∗ − 2𝑝 + 2) ≤ 2. 2𝛾

|𝐹(𝑥,𝜉)|

𝜉2 = ∞, với mọi x ∈ ℝ𝑁, tồn tại 𝑟0 ≥ 0 sao cho

𝑝3(2𝛾

(𝐴2) 𝑙𝑖𝑚 |𝜉|→∞

𝜉 0

𝐹(𝑥, 𝜉) ≡ ∫ 𝑓(𝑥, 𝜏)𝑑𝜏 ≥ 0 với mọi (𝑥, 𝜉) ∈ ℝ𝑁 × ℝ, |𝜉| ≥ 𝑟0;

(𝐴3) Tồn tại các hằng số 𝜇 > 2 và 𝑟1 > 0 sao cho

1 (ℝ𝑁) và

𝜇𝐹(𝑥, 𝜉) ≤ 𝜉𝑓(𝑥, 𝜉) 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 (𝑥, 𝜉) ∈ ℝ𝑁 × ℝ, |𝜉| ≥ 𝑟1;

16

𝑏(𝑥) ≔ 𝑠𝑢𝑝{𝜇 ∈ ℝ: 𝑉𝑜𝑙({𝑥 ∈ ℝ𝑁, 𝑏(𝑥) < 𝜇}) = 0} > 0; (𝐴4) 𝑓(𝑥, −𝜉) = −𝑓(𝑥, 𝜉) với mọi (𝑥, 𝜉) ∈ ℝ𝑁 × ℝ; (𝐵1) b : ℝ𝑁 → ℝ sao cho 𝑏 ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐 𝜇0 = 𝑒𝑠𝑠 𝑖𝑛𝑓 𝑥∈ℝ𝑁

(𝐵2) Với M > 0 bất kì

𝑉𝑜𝑙({𝑥 ∈ ℝ𝑁, 𝑏(𝑥) ≤ 𝑀}) < ∞.

2.2. Sự tồn tại nghiệm

2.2.1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán 1

Giả sử Ω là một miền bị chặn có biên trơn trong ℝ𝑁, N ≥ 2. Ta xét các toán

tử có dạng

2𝜕𝑥𝑗), 𝜕𝑥𝑗 ≔

𝑁 ∆𝛾≔ ∑ 𝜕𝑥𝑗 (𝜕𝑗 𝑗=1

, 𝑗 = 1,2, … , 𝑁. 𝜕 𝜕𝑥𝑗

𝑁

Giả sử hàm 𝛾𝑗 ∶ ℝ𝑁 → ℝ là liên tục, khác 0, và 𝐶1 ∈ ℝ𝑁 ∖ ∏, khi đó

𝑗=1

= 0}. ∏ ≔ {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) ∈ ℝ𝑁: ∏ 𝑥𝑗

Ta giả sử nó có các thuộc tính sau:

1) Tồn tại mở rộng của nửa nhóm {𝛿𝑡}𝑡>0, trong đó

𝛿𝑡: ℝ𝑁 → ℝ, 𝛿𝑡(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) = (𝑡𝜀1𝑥1, … , 𝑡𝜀𝑁𝑥𝑁), 1 = 𝜀1 ≤ 𝜀2 ≤ ⋯ ≤ 𝜀𝑁,

như vậy 𝛾𝑗 𝑙à 𝛿𝑡 − độ đồng nhất với cấp 𝜀𝑗 - 1,2,…

𝛾𝑗(𝛿𝑡(𝑥)) = 𝑡𝜀𝑗−1𝛾𝑗(𝑥), ∀𝑥 ∈ ℝ𝑁, ∀𝑡 > 0, 𝑗 = 1, … , 𝑁;

Số

𝑛 𝑁̃ = ∑ 𝜀𝑗 𝑗=1

(2.1)

gọi là kích thước đồng nhất của ℝ𝑁 đố𝑖 𝑣ớ𝑖 {𝛿𝑡}𝑡>0;

2) 𝛾1 = 1, 𝛾𝑗(𝑥) = 𝛾𝑗(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑗−1), 𝑗 = 2, … , 𝑁;

3) Tồn tại hằng số 𝜌 > 0 sao cho

𝑁 ≔ {(𝑥1, … , 𝑥𝑁) ∈ ℝ𝑁: 𝑥𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑁};

0 ≤ 𝑥𝑘𝜕𝑥𝑘𝛾𝑗(𝑥) ≤ 𝜌𝛾𝑗(𝑥), 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑗 − 1}, 𝑗 = 2, … , 𝑁,

17

với mọi 𝑥 ∈ ℝ̅ + 4) Đẳng thức 𝛾𝑗(𝑥) = 𝛾𝑗(𝑥∗), 𝑗 = 1,2, … , 𝑁, không đổi với 𝑥 ∈ ℝ𝑁, khi đó

2 (Ω) ↪ 𝐿𝑝(Ω), khi 1≤ 𝑝 ≤ 2𝑁̃/(𝑁̃ − 2).

𝑥∗ = (|𝑥1|, … , |𝑥𝑁|) 𝑛ế𝑢 𝑥 = ( 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁).

∗ = 2𝑁̃/(𝑁̃ − 2) là điểm tới hạn Sobolev của nhúng

Mệnh đề 2.2.1. Giả sử 𝑁̃ > 2 thì 𝑆𝛾,0

2 (Ω) ↪ 𝐿𝑝(Ω),

Hơn nữa, số 2𝛾

∗ , nhúng là compact.

𝑆𝛾,0

và khi 1≤ 𝑝 ≤ 2𝛾

1/2

2

Nhận xét: Theo Mệnh đề 2.2.1, hai chuẩn

2 (Ω) = (∫|∇𝛾𝑢|

2 (Ω) và |‖𝑢‖|𝑆𝛾,0

Ω

𝑑𝑥 ) ‖𝑢‖𝑆𝛾,0

2 (Ω) gọi là nghiệm yếu của Bài toán 1 nếu

là tương đương.

Hàm 𝑢 ∈ 𝑆𝛾,0

2 (Ω),

+ ∫ 𝑎(𝑥)𝑢𝑣𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑢)𝑣𝑑𝑥 , ∀𝑣 ∈ 𝑆𝛾,0

Ω

Ω

∫ ∇𝛾𝑢. ∇𝛾𝑣𝑑𝑥 Ω

2

hoặc tương đương nếu u là điểm tới hạn của hàm số 𝐶1.

2 (Ω).

Ω

2 (Ω), ℝ) thỏa mãn điều kiện Cerami tại c ∈

𝐼(𝑢) ≔ + 𝑎(𝑥)𝑢2) 𝑑𝑥 − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥, 𝑢 ∈ 𝑆𝛾,0 1 2 ∫ (|∇𝛾𝑢| Ω

2 (Ω) với

Định nghĩa 2.2.2. Ta nói I ∈ 𝐶1(𝑆𝛾,0

∞ ⊆ 𝑆𝛾,0

ℝ ((𝐶𝑒)𝑐 ngắn) nếu dãy bất kì {𝑢𝑛}𝑛=1

2 (𝛺))∗ → 0

2 (𝛺))‖𝐼′(𝑢𝑛)‖(𝑆𝛾,0

𝐼(𝑢𝑛) → 𝑐,

2 (Ω), ℝ) thỏa mãn điều kiện (𝐶𝑒)∗ nếu mỗi

(1 + ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,0 2 (Ω), ta nói rằng I thỏa mãn điều kiện (Ce) nếu I có một dãy con hội tụ trong 𝑆𝛾,0

∞ được chấp nhận và

∞ như vậy {𝛼𝑛}𝑛=1

thỏa mãn điều kiện (𝐶𝑒)𝑐 với mọi c ∈ ℝ. Định nghĩa 2.2.3. Hàm I ∈ 𝐶1(𝑆𝛾,0

dãy {𝑢𝛼𝑛}𝑛=1

𝑢𝛼𝑛 ∈ 𝑋𝛼𝑛, 𝑠𝑢𝑝 𝐼(𝑢𝛼𝑛) < +∞,

2 (Ω) 𝑆𝛾,0

2 (Ω))∗ → 0 (𝑆𝛾,0

(1 + ‖𝑢𝛼𝑛‖ )‖𝐼′(𝑢𝛼𝑛)‖

18

chứa một dãy con hội tụ đến một điểm tới hạn của I.

Mệnh đề 2.2.4. Giả sử không gian Banach thực B được phân tích thành tổng

trực tiếp 𝐵 = 𝐵1 ⊕ 𝐵2, ta có hai dãy không gian con sau:

1 ⊂ 𝐵1

2 ⊂ 𝐵1

1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐵1, 𝐵0

𝑛∈ℕ

𝑗 < ∞, 𝑗 = 1,2, 𝑛 ∈ ℕ. Giả sử cũng có I ∈ C(B, ℝ) thỏa mãn các

, 𝑗 = 1,2, 𝐵0 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑗 2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐵2, 𝐵𝑗 = ⋃ 𝐵𝑛

trong đó dim 𝐵𝑛 điều kiện sau:

1) I có liên kết cục bộ tại 0 và 𝐵1 ≠ 0.

2) I thỏa mãn điều kiện (𝐶𝑒)∗.

1 ⊕ 𝐵2.

3) Các ánh xạ bị chặn I hợp thành các tập bị chặn.

4) Với mọi 𝑚 ∈ ℕ, 𝐼(𝑢) → −∞, như vậy ‖𝑢‖𝐵 → ∞, 𝑢 ∈ 𝐵𝑚

Do đó I có ít nhất hai điểm tới hạn.

Mệnh đề 2.2.5. Cho E là không gian Banach vô hạn chiều, và I ∈ 𝐶1(E, ℝ) là

một hàm số chẵn thỏa mãn (PS) và như vậy I(0)=0. Giả sử rằng E = 𝑉 ⊕ 𝑋, do

đó I là hữu hạn chiều, và I thỏa mãn các điều kiện sau:

1’) Có các hằng số 𝜌, 𝛼 > 0 như vậy 𝐼\𝜕𝐵𝜌∩𝑋≥ 𝛼; 2’) Cho không gian con hữu hạn chiều 𝐸̃ ⊂ 𝐸, trong đó R=R(𝐸̃) như vậy

I ≤ 0 trên 𝐸̃\𝐵𝑅(𝐸̃).

Khi đó I có một dãy các giá trị tới hạn.

Theo lí thuyết phổ của các toán tử compact, ta có thể viết dãy các giá trị riêng

−∞ < 𝜆1 < 𝜆2 ≤ 𝜆3 ≤ ⋯ ≤ 𝜆𝑛 < 0 ≤ 𝜆𝑛+1 ≤ 𝜆𝑛+2 ≤ ⋯

2 (Ω), (2.2)

Cho bài toán về giá trị riêng

−∆𝛾𝑢 + 𝑎(𝑥)𝑢 = 𝜆𝑢 trong Ω, 𝑢 ∈ 𝑆𝛾,0

2

𝜆𝑗 → +∞, và với các giá trị riêng được viết nhiều lần như bội số của nó, lim 𝑗→∞

𝑢∈𝑆𝛾,0

2 (Ω),‖𝑢‖𝐿2(Ω)=1

2 (Ω) = 𝑉 ⊕ 𝑋, trong đó

inf + 𝑎(𝑥)𝑢2)𝑑𝑥. 𝜆1 =

19

∫ (|∆𝛾𝑢| Ω Cho 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛, 𝑒𝑛+1, … là các hàm riêng biệt trực giao trong 𝐿2(Ω). Do đó 2 (Ω) được phân tích thành 𝑆𝛾,0 𝑆𝛾,0

2 (Ω): ∫ 𝑢𝑣𝑑𝑥 = 0, 𝑣 ∈ 𝑉

𝛺

}, 𝑉 ≔ {𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛}, 𝑋 ≔ {𝑢 ∈ 𝑆𝛾,0

dim V < +∞, và dim X = +∞.

𝑁̃ 2 (Ω). Khi đó Bài toán 1 có ít nhất một nghiệm không tầm thường. 𝑎, 𝑎 ∈ 𝐿

Định lí 2.2.6. Giả sử f thỏa mãn (H1) - (H5) và 0 là một giá trị riêng của −∆𝛾 +

Chứng minh

2

Ta áp dụng Mệnh đề 2.2.4 cho hàm

Ω

Ω

2 (Ω). Ta chỉ xét trường hợp khi 0 là một giá trị riêng của

𝐼(𝑢) = 𝑑𝑥 + ∫ 𝑎(𝑥)𝑢2𝑑𝑥 − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 1 2 1 2 ∫ |∆𝛾𝑢| Ω

xác định trong 𝑆𝛾,0

−∆𝛾 + 𝑎 và

𝐹(𝑥, 𝑢) ≤ 0 với |𝑢| ≤ 𝛿. (2.3)

2 (Ω) = 𝑉 ⊕ 𝑋, trong đó V (hữu hạn chiều) là không gian mở

Các trường hợp khác cũng tương tự và đơn giản hơn.

Giả sử rằng 𝑆𝛾,0

của các hàm riêng biệt ứng với giá trị riêng của giá trị âm -∆𝛾 + 𝑎 và X là bổ 2 (Ω). Ta chọn một cơ sở Hilbert {𝑒𝑛}𝑛≥0 trong X sung trực giao của nó trong 𝑆𝛾,0

và định nghĩa

𝑋𝑚 = span{𝑒0, 𝑒1, … , 𝑒𝑚}, 𝑚 ∈ ℕ.

1) Ta khẳng định rằng I có liên kết cục bộ tại 0 với mối quan hệ đến (V,X).

2 (Ω), với mọi 𝑢1 ∈ 𝑋1. (2.4)

Ta sẽ phân tích X thành 𝑋1 + 𝑋2 , trong đó 𝑋1 = ker(−∆𝛾 + 𝑎), 𝑋2 = (𝑉 + 𝑋1)⊥ . Với u ∈ X, ta có 𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2, 𝑢1 ∈ 𝑋1, 𝑢2 ∈ 𝑋2. Từ đó dim𝑋1 < ∞, tồn tại C > 0 sao cho

∗

‖𝑢1‖𝐿∞(Ω) ≤ 𝐶2‖𝑢1‖𝑆𝛾,0

(2.5) Từ (H2) – (H4), với 𝜀 > 0 bất kì, tồn tại 𝐶𝜀 > 0 sao cho |𝐹(𝑥, 𝑡)| ≤ 𝜀𝑡2 + 𝐶𝜀|𝑡|2𝛾

20

Do đó, trên V ta có

2

∗ 2𝛾 2 (Ω) 𝑆𝛾,0

Ω

Ω

𝐼(𝑢) ≤ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑎(𝑥)𝑢2𝑑𝑥 − 𝜀 ∫ 𝑢2𝑑𝑥 + 𝐶‖𝑢‖ 1 2 1 2 ∫ |∆𝛾𝑢| Ω

2 (Ω) ≤ 𝑟,

Cho một số C > 0, vậy

2 (Ω) ≤ 𝛿/2𝐶2. Ta đặt

𝐼(𝑢) ≤ 0, u ∈ 𝑉, ‖𝑢‖𝑆𝛾,0

với r > 0 đủ nhỏ. Lấy 𝑢1 + 𝑢2 ∈ 𝑋 sao cho ‖𝑢‖𝑆𝛾,0

Ω1 = {𝑥 ∈ Ω ∶ |𝑢2(𝑥)| ∈ 𝛿/2}, Ω2 = Ω\Ω1.

Theo (2.4), trên Ω1, ta có

≤ 𝛿; |𝑢(𝑥)| ≤ |𝑢1(𝑥)| + |𝑢2(𝑥)| ≤ ‖𝑢1‖𝐿∞(Ω) + 𝛿 2

vì vậy, do (2.3)

Ω1

∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 ≤ 0.

Trong Ω2, bởi (2.4), ta có

|𝑢(𝑥)| ≤ |𝑢1(𝑥)| + |𝑢2(𝑥)| ≤ 2|𝑢2(𝑥)|.

∗

∗

∗

Vì vậy, do (2.5)

|𝐹(𝑥, 𝑢)| ≤ 𝜀|𝑢|2 + 𝐶𝜀|𝑢|2𝛾 ≤ 4𝜀|𝑢2|2 + 22𝛾 𝐶𝜀|𝑢2|2𝛾

2𝑑𝑥

và

∗ 2𝛾 2 (Ω) 𝑆𝛾,0

Ω

+ 𝑐‖𝑢2‖

∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 ≤ 4𝜀 ∫ 𝑢2 Ω2

2

cho số c > 0. Vì vậy

2𝑑𝑥

2𝑑𝑥

∗ 2𝛾 2 (Ω) 𝑆𝛾,0

𝐼(𝑢) ≥ 𝑑𝑥 + − 𝑐‖𝑢2‖ 1 2 1 2 ∫ |∇𝛾𝑢2| Ω ∫ 𝑎(𝑥)𝑢2 Ω − 4𝜀 ∫ 𝑢2 Ω

Ω1

− ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥

và với 0 < r < 𝛿\(2𝐶) đủ nhỏ, ta có

2 (Ω) ≤ 𝑟.

21

𝐼(𝑢) ≥ 0, 𝑢 ∈ 𝑋, ‖𝑢‖𝑆𝛾,0

∞ mà {𝛼𝑛}𝑛=1

∞ 2) Giả sử I thỏa mãn điều kiện (𝐶𝑒)∗. Ta xét dãy {𝑢𝛼𝑛}

𝑛=1

→ 0.

𝑢𝛼𝑛 ∈ 𝐸𝛼𝑛, 𝑐 = sup 𝐼(𝑢𝛼𝑛) < +∞, (1 + ‖𝑢𝛼𝑛‖

)‖𝐼′(𝑢𝛼𝑛)‖

2 (Ω) 𝑆𝛾,0

2 (Ω) 𝑆𝛾,0

được thừa nhận và

(2.6)

Từ đó, 𝑐 ∈ ℝ, 𝐸𝛼𝑛 = 𝑉𝛼𝑛 ⊕ 𝑋𝛼𝑛, 𝛼𝑛 ∈ ℕ, 𝑉𝛼𝑖 và 𝑋𝛼𝑖 là các không gian con

2 (Ω) . Khi đó

với i = 𝛼1, … , 𝛼𝑛. Ta viết tắt 𝑢𝛼𝑛 bởi 𝑢𝑛.

∞ bị chặn trong 𝑆𝛾,0

2 (Ω) → 0 khi n → ∞. Để

Đầu tiên ta chứng minh rằng {𝑢𝑛}𝑛=1

‖𝑢‖𝑆𝛾,0

2 (Ω)

2 (Ω) sao cho

; 𝜔𝑛 = 𝑢𝑛 ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,0

2 (Ω) = 1. Do đó có 𝜔 ∈ 𝑆𝛾,0

2 (Ω) và ‖𝜔𝑛‖𝑆𝛾,0

2 (Ω) khi 𝑛 → ∞,

khi 𝜔𝑛 ∈ 𝑆𝛾,0

∗ , 𝜔𝑛 → 𝜔 trong 𝐿𝑝(Ω) khi 𝑛 → ∞, với 2 ≤ 𝑝 < 2𝛾

𝜔𝑛 ⇀ 𝜔 trong 𝑆𝛾,0

𝜔𝑛 → 𝜔 trong Ω khi 𝑛 → ∞.

Từ định lí nhúng Sobolev, ta được

2 (Ω) = 𝐶3,

∗ 𝐿2𝛾

(Ω)

‖𝜔𝑛‖ ≤ 𝐶3‖𝜔𝑛‖𝑆𝛾,0

với 𝐶3 là hằng số dương. Để Ω≠ = {𝑥 ∈ Ω ∶ 𝜔(𝑥) ≠ 0}. Sau đó |Ω≠| = 0. Thật

vậy,

2 (Ω)

𝜔𝑛 (𝑥) = 𝜔(𝑥) ≠ 0 trong Ω≠, lim 𝑛→∞ = lim 𝑛→∞ 𝑢𝑛(𝑥) ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,0

nghĩa là |𝑢𝑛(𝑥)| → +∞ trong Ω≠. Vì vậy,

lim 𝑛→+∞ 𝐹(𝑥, 𝑢(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 = +∞ a. e. trong Ω≠. (2.7)

22

Do (H3), tồn tại hằng số 𝐶4 > 0 sao cho 𝐹(𝑥, 𝑡) |𝑡|2 > 1

với mọi x ∈ Ω và t ≥ 𝐶4. Từ đó F(x,t) là liên tục trong Ω̅ × [−𝐶4, 𝐶4], tồn tại C > 0 sao cho

|𝐹(𝑥, 𝑡)| ≤ 𝐶 với mọi (𝑥, 𝑡) ∈ Ω̅ × [−𝐶4, 𝐶4].

Ta thấy rằng tồn tại hằng số 𝐶̃ sao cho

𝐹(𝑥, 𝑡) ≥ 𝐶̃ với mọi (𝑥, 𝑡) ∈ Ω̅ × ℝ. (2.8)

Nghĩa là

2 (Ω)

≥ 0. (2.9) |𝜔𝑛(𝑥)|2 − 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 𝐶̃ ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,0

2

Từ định nghĩa của điều kiện (𝐶𝑒)∗, ta có

2𝑑𝑥

2 (Ω)

Ω

+ . (2.10) 𝑐 ≥ 𝐼(𝑢𝑛) = − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛)𝑑𝑥 ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,0 1 2 1 2 ∫ 𝑎(𝑥)𝑢𝑛 Ω

Ta sẽ có

2𝑑𝑥 + 𝑜(1). (2.11)

2 ∫ 𝑎(𝑥)𝜔𝑛 Ω

Ω

+ 𝑑𝑥 = ∫ 1 2 1 2 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛) |𝑢𝑛|2 𝜔𝑛

Nếu |Ω≠| > 0, từ (H3), (2.7) và (2.9), kết hợp với bổ đề Fatou, ta có

2 (Ω)

Ω≠

Ω≠

𝑑𝑥 +∞ = ∫ lim inf 𝑛→∞ |𝜔𝑛(𝑥)|2𝑑𝑥 − ∫ lim inf 𝑛→∞ 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 𝐶̃ ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,0

2 (Ω)

Ω≠

𝑑𝑥 ( ) |𝜔𝑛(𝑥)|2 − ≤ ∫ lim inf 𝑛→∞ 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 𝐶̃ ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,0

2 (Ω)

Ω≠

𝑑𝑥 ∫ ( ) |𝜔𝑛(𝑥)|2 − ≤ lim inf 𝑛→∞ 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 𝐶̃ ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,0

2 (Ω)

Ω

23

𝑑𝑥 ∫ ( ) |𝜔𝑛(𝑥)|2 − ≤ lim inf 𝑛→∞ 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 𝐶̃ ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,0

2𝑑𝑥 + 𝑜(1)

2 (Ω)

Ω

∫ 𝑑𝑥 ≤ + = lim inf 𝑛→∞ 1 2 1 2 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,0 ∫ 𝑎(𝑥)𝜔𝑛 Ω

2‖𝑎(𝑥)‖

𝑁̃ 2 (Ω)

𝐿

≤ + 𝑜(1). + 𝐶3 1 2

Điều này là mâu thuẫn. Do đó, ta có |Ω≠| = 0, và vì vậy 𝜔(𝑥) = 0 trong Ω. Do đó I(t𝑢𝑛) là liên tục với 𝑡 ∈ [0,1], tồn tại 𝑡𝑛 ∈ [0,1] sao cho

𝐼(𝑡𝑢𝑛), 𝐼(𝑡𝑛𝑢𝑛) = max 𝑡∈[0,1]

và 〈𝐼′(𝑢𝑛), 𝑢𝑛〉 = 𝑜(1), suy ra

〈𝐼′(𝑡𝑛𝑢𝑛), 𝑡𝑛𝑢𝑛〉 = 𝑜(1).

Cho 𝑡 ∈ [0,1], giả sử (H1) kéo theo

2𝐼(𝑡𝑢𝑛) ≤ 2𝐼(𝑡𝑛𝑢𝑛) = 2𝐼(𝑡𝑛𝑢𝑛) − 〈𝐼′(𝑡𝑛𝑢𝑛), 𝑡𝑛𝑢𝑛〉 + 𝑜(1)

Ω

+ 𝑜(1) = ∫ [𝑡𝑛𝑢𝑛𝑓(𝑥, 𝑡𝑛𝑢𝑛) − 2𝐹(𝑥, 𝑡𝑛𝑢𝑛)]𝑑𝑥

Ω

+ 𝑜(1) ≤ ∫ [𝛼(𝑢𝑛𝑓(𝑥, 𝑡𝑛𝑢𝑛) − 2𝐹(𝑥, 𝑢𝑛) + 𝐶0]𝑑𝑥

∗

= 𝛼[2𝐼(𝑢𝑛) − 〈𝐼′(𝑢𝑛), 𝑢𝑛〉] + 𝐶0|Ω| + 𝑜(1) ≤ 2𝛼𝑐 + 𝐶0|𝛺| + 𝑜(1). (2.12)

|𝐹(𝑥, 𝑡)| ≤ + 𝐶𝜀, 𝑣ớ𝑖 𝑡 ∈ ℝ, ∀𝑥 ∈ Ω.

Hơn nữa, vì (H2), với mỗi 𝜀 ≥ 0, tồn tại 𝐶𝜀 > 0 sao cho 1 ∗ 𝜀|𝑡|2𝛾 2𝛾 2𝐶3

∗

Để 𝛿 = 𝜀/(2𝐶𝜀) > 0. Cho 𝐴 ⊆ Ω với A < 𝛿, ta có

𝑑𝑥 | ≤ ∫ |𝐹(𝑥, 𝜔𝑛)|𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝐶𝜀𝑑𝑥 +

𝐴

𝐴

𝐴

∗

|∫ 𝐹(𝑥, 𝜔𝑛)𝑑𝑥 𝐴 1 ∗ 𝜀 ∫ |𝜔𝑛|2𝛾 2𝛾 2𝐶3

Ω

𝐴

24

≤ ∫ 𝑎(𝜀)𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 ≤ 𝜀 + 𝜀 = 𝜀 . 1 2 1 2 1 ∗ 𝜀 ∫|𝜔𝑛|2𝛾 2𝛾 2𝐶3

∞

Ω

𝑛=1

là liên tục tuyệt đối. Vì thế } {∫ 𝐹(𝑥, 𝜔𝑛)𝑑𝑥

→ ∫ 𝐹(𝑥, 0)𝑑𝑥 = 0

Ω

∫ 𝐹(𝑥, 𝜔𝑛)𝑑𝑥 Ω

theo định lí hội tụ Vitali.

Mặt khác, hàm

Ω là liên tục yếu tại a ∈ 𝐿𝑁̃∖2(Ω). Vì thế,

2𝑑𝑥

𝜒 ∶ 𝑢 ↦ ∫ 𝑎(𝑥)𝑢2𝑑𝑥

→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞.

∫ 𝑎(𝑥)𝜔𝑛 Ω

2

2𝑑𝑥

Điều này có nghĩa là, với s > 0 bất kì,

2 (Ω)

Ω

Ω

= 𝑠2 + 𝑜(1). + 𝑠2 ∫ 𝑎(𝑥)𝜔𝑛 − 2 ∫ 𝐹(𝑥, 𝑠𝜔𝑛)𝑑𝑥 2𝐼(𝑠𝜔𝑛) = ‖𝑠𝜔𝑛‖𝑆𝛾,0

Kết hợp với (2.12), ta được

2 (Ω).

𝑠2 + 𝑜(1) = 2𝐼(𝑠𝜔𝑛) ≤ 2𝛼𝑐 + 𝐶0|𝛺| + 𝑜(1).

∞ là bị chặn trong 𝑆𝛾,0

2 (Ω). Khi đó ta có

Từ đó với s bất kì, ta có sự mâu thuẫn. Vậy {𝑢𝑛}𝑛=1

2

2 (Ω)

‖𝑢𝑛 − 𝑢‖𝑆𝛾,0

= 〈𝐼′(𝑢𝑛) − 𝐼′(𝑢), 𝑢𝑛 − 𝑢〉 − ∫ [𝑎(𝑢𝑛 − 𝑢)2 − (𝑓(𝑥, 𝑢𝑛) − 𝑓(𝑥, 𝑢))(𝑢𝑛 − 𝑢)]𝑑𝑥.

Ω 2 (Ω) và I’(u) = 0.

Ta có thể giả sử rằng 𝑢𝑛 ⇀ 𝑢 trong 𝑆𝛾,0

Có nghĩa là 𝑢𝑛 → 𝑢 trong 𝑆𝛾,0

3) Chắc chắn, các ánh xạ bị chặn I hợp thành các tập bị chặn.

2 (Ω) → ∞, 𝑢 ∈ 𝑉 ⊕ 𝑋𝑚.

4) Cuối cùng, ta khẳng định rằng, với mọi m ∈ ℕ,

𝐼(𝑢) → −∞ khi ‖𝑢‖𝑆𝛾,0

25

Thật vậy, theo (H3), với mỗi M > 0, tồn tại 𝐶𝑀 sao cho

𝐹(𝑥, 𝑢) ≥ 𝑀𝑢2 − 𝐶𝑀. (2.13)

2

Vì vậy

2 (Ω)

Ω

Ω

2

𝐼(𝑢) = + ∫ 𝑎𝑢2𝑑𝑥 − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 ‖𝑢‖𝑆𝛾,0 1 2 1 2

2 (Ω)

2 ∗ 𝐿2𝛾

(Ω)

Ω

2

2

2

≤ − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 + ‖𝑎‖𝐿𝑁̃ ∖2(Ω)‖𝑢‖ ‖𝑢‖𝑆𝛾,0 1 2

2 (Ω)

2 (Ω)

2 (Ω)

2

≤ − 𝐶𝑀|Ω| + 𝐶‖𝑢‖𝑆𝛾,0 − 𝑀𝐶̅‖𝑢‖𝑆𝛾,0 1 2

2 (Ω)

1

= ( − 𝐶𝑀|Ω|. (2.14) + 𝐶 − 𝑀𝐶̅) ‖𝑢‖𝑆𝛾,0 ‖𝑢‖𝑆𝛾,0 1 2

2

Trong bất đẳng thức trên, ta thường lấy M > 0 đủ lớn, do vậy + 𝐶 − 𝑀𝐶̅ < 0.

2

Điều đó có nghĩa là

2 (Ω)

→ ∞, 𝑢 ∈ 𝑉⨁𝑋𝑚. 𝐼(𝑢) → −∞ khi ‖𝑢‖𝑆𝛾,0

Định lí được chứng minh. ∎

𝑝(ℝ𝑁) (1≤ 𝑝 < +∞) gồm tất cả các hàm 𝑢 ∈

2.2.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán 2

Định nghĩa 2.2.7. Không gian 𝑆𝛾 𝐿𝑝(ℝ𝑁) mà 𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢 ∈ 𝐿𝑝(ℝ𝑁) với mọi j=1,…,N. Ta định nghĩa chuẩn trong

1 𝑝

𝑝

không gian này như sau

𝑝(ℝ𝑁) = ( ∫(|𝑢|𝑝 + |𝛻𝛾𝑢|

ℝ𝑁

2(ℝ𝑁) như sau

)𝑑𝑥 , ) ‖𝑢‖𝑆𝛾

2(ℝ𝑁) = (𝑢, 𝑣)𝐿2(ℝ𝑁) + (∇𝛾𝑢, ∇𝛾𝑣)𝐿2(ℝ𝑁).

trong đó ∇𝛾𝑢 = (𝛾1𝜕𝑥1𝑢, 𝛾2𝜕𝑥2𝑢, … , 𝛾𝑁𝜕𝑥𝑁𝑢). Nếu 𝑝 = 2 ta có thể định nghĩa tích vô hướng trong 𝑆𝛾

(𝑢, 𝑣)𝑆𝛾

2

Ta có

2 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2(ℝ𝑁): ∫ (|∇𝛾𝑢| ℝ𝑁

26

+ 𝑏(𝑥)𝑢2) 𝑑𝑥 < +∞ } (ℝ𝑁) = {𝑢 ∈ 𝑆𝛾

2

(ℝ𝑁) là không gian với b(x) thỏa mãn các điều kiện (𝐵1), (𝐵2), khi đó 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

1 2

2

2

Hilbert có dạng

(ℝ𝑁) = ( ∫ (|∇𝛾𝑢| ℝ𝑁

2

2(ℝ𝑁) là liên tục. Từ bất đẳng thức nhúng và

. + 𝑏(𝑥)𝑢2) 𝑑𝑥 ) ‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

∗ . (ℝ𝑁) ↪ 𝐿𝑞(ℝ𝑁) 𝑘ℎ𝑖 2 ≤ 𝑞 ≤ 2𝛾

(ℝ𝑁) ↪ 𝑆𝛾 Vì (𝐵1) nhúng 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

bất đẳng thức H𝑜̈ 𝑙𝑑𝑒𝑟′𝑠, ta có 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

∗ . (ℝ𝑁) ↪ 𝐿𝑞(ℝ𝑁) là compact khi 2 ≤ 𝑞 ≤ 2𝛾

2 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

Bổ đề 2.2.8. Cho (𝐵1), (𝐵2) được thỏa mãn. Khi đó phép nhúng từ

Bổ đề 2.2.9. Giả sử 𝑓: ℝ𝑁 × ℝ → ℝ là hàm Carathéodory thỏa mãn

|𝑓(𝑥, 𝜉)| ≤ 𝑓1(𝑥)|𝜉| + 𝑓2(𝑥)|𝜉|𝑝−1 với mọi (𝑥, 𝜉) ∈ ℝ𝑁 × ℝ,

∗ 𝑝3 2𝛾 𝑝3(𝑝−1)+2𝛾

∗ (ℝ𝑁), 𝑓2(𝑥) ∈ 𝐿𝑝2(ℝ𝑁) ∩ 𝐿𝑝3(ℝ𝑁),

∗ .

∗ , ≤ 2𝛾

với 𝑓1, 𝑓2: ℝ𝑁 → ℝ là không âm và

∗ , 𝑝1, 𝑝2 > 1, 𝑝3 ≥

∗ − 2𝑝 + 2) ≤ 2. 2𝛾

∗ 2𝛾 ∗ − 𝑝 2𝛾

2(ℝ𝑁), ℝ) và

≤ 2𝛾 , 𝑝3(2𝛾

𝑓1(𝑥) ∈ 𝐿𝑝1(ℝ𝑁) ∩ 𝐿𝑝3(ℝ𝑁) ∩ 𝐿 𝑝𝑝2 2𝑝1 𝑝1 − 1 𝑝2 − 1 Đặt 𝛷1(𝑢) ∈ 𝐶1(𝑆𝛾

2(ℝ𝑁), khi đó

Φ1(𝑢) = ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥. ℝ𝑁

với mọi 𝑣 ∈ 𝑆𝛾

′ (𝑢)(𝑣) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑢)𝑣𝑑𝑥. ℝ𝑁

Φ1

Nhận xét

27

Định nghĩa Euler – hàm Lagrange liên kết với Bài toán 2 như sau

2

ℝ𝑁

Φ(𝑢) = − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 . + 𝑏(𝑥)𝑢2) 𝑑𝑥 1 2 ∫ (|∇𝛾𝑢| ℝ𝑁

2

2

Từ Bổ đề 2.2.9 và f thỏa mãn (𝐴1), 𝑏(𝑥) thỏa mãn (𝐵1), ta có Φ được xác định

(ℝ𝑁), ℝ) với trong 𝑆𝛾,𝑏(𝑥) (ℝ𝑁) và Φ ∈ 𝐶1(𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

ℝ𝑁

ℝ𝑁

2

− ∫ 𝑓(𝑥, 𝑢)𝑣𝑑𝑥 Φ′(𝑢)(𝑣) = ∫ (∇𝛾𝑢. ∇𝛾𝑣 + 𝑏(𝑥)𝑢𝑣)𝑑𝑥

(ℝ𝑁). Ta có thể kiểm tra rằng điểm tới hạn của Φ là nghiệm với mọi 𝑣 ∈ 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

yếu của Bài toán 2.

Bổ đề 2.2.10. Cho 𝕏 là không gian Banach vô hạn chiều, 𝕏 = 𝕐⨁ℤ, trong đó 𝕐 là vô hạn chiều và 𝐽 ∈ 𝐶1(𝕏, ℝ) thỏa mãn điều kiện (𝐶𝑒)𝑐 với mọi 𝑐 > 0, 𝐽(0) = 0, 𝐽(−𝑢) = 𝐽(𝑢) 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑢 ∈ 𝕏, và

1) Các hằng số 𝜌, 𝛼 > 0 mà 𝐽(𝑢) ≥ 𝛼 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑢 ∈ ℤ như vậy ‖𝑢‖𝕏 = 𝜌; 2) Với không gian con vô hạn chiều bất kì 𝕏̂ ⊂ 𝕏, có 𝑅 = 𝑅(𝕏̂) > 0 thì

𝐽(𝑢) ≥ 0 trong 𝕏̂\𝐵𝑅.

Khi đó J có một dãy không bị chặn của các giá trị tới hạn.

2

Bổ đề 2.2.11. Giả sử (𝐴1), (𝐴3), (𝐵1) và (𝐵2) được thỏa mãn. Khi đó 𝛷 thỏa

(ℝ𝑁). mãn điều kiện (𝐶𝑒)𝑐 với mọi 𝑐 > 0 trong 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

Chứng minh

∞ là dãy trong 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

∗ → 0 và Φ(𝑢𝑚) → 𝑐 khi 𝑚 → ∞ (2.15)

(ℝ𝑁)) ‖Φ′(𝑢𝑚)‖

‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

(ℝ𝑁))

2 (𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

(ℝ𝑁) mà (1 + Cho {𝑢𝑚}𝑚=1

1

2

Vậy

(ℝ𝑁) − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢𝑚)𝑑𝑥 → 0 khi 𝑚 → ∞

ℝ𝑁

2

(2.16)

Φ′(𝑢𝑚)(𝑢𝑚) → 0 và ‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

Khi m đủ lớn, ta có

28

𝑐 + 1 ≥ Φ(𝑢𝑚) − Φ′(𝑢𝑚)(𝑢𝑚) (2.17) 1 𝜇

2

2

(ℝ𝑁)

ℝ𝑁

2

2

− 𝑑𝑥 = ( + ∫ ( 𝑓(𝑥, 𝑢𝑚)𝑢𝑚 − 𝐹(𝑥, 𝑢𝑚)) ) ‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥) 1 2 1 𝜇 1 𝜇

(ℝ𝑁)

Ω𝑚(0,𝑟1)

− 𝑑𝑥 = ( + ∫ ( 𝑓(𝑥, 𝑢𝑚)𝑢𝑚 − 𝐹(𝑥, 𝑢𝑚)) ) ‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥) 1 2 1 𝜇 1 𝜇

Ω𝑚(𝑟1,∞)

2

2

𝑑𝑥 + ∫ ( 𝑓(𝑥, 𝑢𝑚)𝑢𝑚 − 𝐹(𝑥, 𝑢𝑚)) 1 𝜇

(ℝ𝑁)

Ω𝑚(0,𝑟1)

− 𝑑𝑥, ≥ ( + ∫ ( 𝑓(𝑥, 𝑢𝑚)𝑢𝑚 − 𝐹(𝑥, 𝑢𝑚)) ) ‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥) 1 𝜇 1 2 1 𝜇

2

trong đó Ω𝑚(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ𝑁: 𝑎 ≤ |𝑢𝑚(𝑥)| < 𝑏} 𝑣ớ𝑖 0 ≤ 𝑎 < 𝑏.

∞ bị chặn trong 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

(ℝ𝑁) bởi một lập luận mâu Đầu tiên ta chỉ ra rằng {𝑢𝑚}𝑚=1

2

(ℝ𝑁) → ∞ khi 𝑚 → ∞. (2.18)

thuẫn. Thật vậy, giả sử rằng

‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

Đặt

2

(ℝ𝑁)

2

(ℝ𝑁) = 1. Chuyển đến một dãy con, ta có thể giả sử rằng 𝑣𝑚 ⇀

𝑢𝑚 , 𝑣𝑚 = ‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

khi đó ‖𝑣𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

(ℝ𝑁), khi đó bởi vì bổ đề 2.2.9, 𝑣𝑚 → 𝑣 mạnh trong 𝐿𝑞(ℝ𝑁), 𝑣 yếu trong 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

∗ , và 𝑣𝑚 → 𝑣 trong ℝ𝑁.

2 ≤ 𝑞 < 2𝛾

Từ (2.17) và (2.18), ta có

2

2

(ℝ𝑁)

Ω𝑚(0,𝑟1)

1 𝑑𝑥 ≤ − < 0. ∫ ( 𝑓(𝑥, 𝑢𝑚)𝑢𝑚 − 𝐹(𝑥, 𝑢𝑚)) 1 𝜇 1 2 1 𝜇 lim sup 𝑛→∞ ‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

Nếu 𝑣 ≡ 0, khi đó 𝑣𝑚 → 0 trong 𝐿𝑞(ℝ𝑁), 2 ≤ 𝑞 < 2𝛾 (2.19) ∗ , và 𝑣𝑚 → 0 trong ℝ𝑁.

29

Vì vậy, do (𝐴1)

| ∫

𝑑𝑥| ≤ ∫

𝑑𝑥

|𝑣𝑚|2

𝑓(𝑥, 𝑢𝑚)𝑢𝑚 − 𝜇𝐹(𝑥, 𝑢𝑚) 𝜇|𝑢𝑚|2

(ℝ𝑁)

𝑓(𝑥, 𝑢𝑚)𝑢𝑚 − 𝜇𝐹(𝑥, 𝑢𝑚) 2 𝜇‖𝑢𝑚‖ 2 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

Ω𝑚(0,𝑟1)

Ω𝑚(0,𝑟1)

≤ 𝐶 ∫ (|𝑓1(𝑥)| + |𝑓2(𝑥)|)

|𝑣𝑚|2𝑑𝑥 ≤ 𝐶 ∫ (|𝑓1(𝑥)| + |𝑓2(𝑥)|)

|𝑣𝑚|2𝑑𝑥

ℝ𝑁

Ω𝑚(0,𝑟1)

) → 0 khi 𝑚 → ∞,

2 ≤ 𝐶 (‖𝑓1‖𝐿𝑝1(ℝ𝑁)‖𝑣𝑚‖ 𝐿

2𝑝1 𝑝1−1(ℝ𝑁)

2 + ‖𝑓2‖𝐿𝑝2(ℝ𝑁)‖𝑣𝑚‖ 𝐿

2𝑝2 𝑝2−1(ℝ𝑁)

∗) = 0

mâu thuẫn với (2.19).

∗ ⊂ Ω𝑚(𝑟0, ∞), 𝑉𝑜𝑙(Ω1

∗ trong đó Ω2

∗⋃Ω2

Đặt Ω∗ = {𝑥 ∈ ℝ𝑁: 𝑣(𝑥) ≠ 0} khi đó 𝑉𝑜𝑙(Ω∗) > 0. Với mọi 𝑥 ∈ Ω∗, ta có |𝑢𝑚(𝑥)| = ∞. Vậy Ω∗ = Ω1 lim 𝑛→∞

với 𝑚 ∈ ℕ đủ lớn. Từ (𝐴1), (2.16) và bổ đề Fatou’s rằng

2

2

(ℝ𝑁)

(ℝ𝑁)

0 = lim 𝑚→∞ = lim 𝑚→∞ 𝑐 + 1 2 ‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥) Φ(𝑢𝑚) 2 ‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2 𝑑𝑥

ℝ𝑁

− ∫ [ ] 𝑣𝑚 = lim 𝑚→∞ 1 2 𝐹(𝑥, 𝑢𝑚) 2 𝑢𝑚

2 𝑑𝑥

2 𝑑𝑥

Ω𝑚(0,𝑟0)

Ω𝑚(𝑟0,∞)

2

2

− ∫ − ∫ [ ] 𝑣𝑚 𝑣𝑚 = lim 𝑚→∞ 1 2 𝐹(𝑥, 𝑢𝑚) 2 𝑢𝑚 𝐹(𝑥, 𝑢𝑚) 2 𝑢𝑚

𝑚→∞

𝐿

2𝑝1 𝑝1−1(ℝ𝑁)

𝐿

2𝑝2 𝑝2−1(ℝ𝑁)

2 𝑑𝑥

≤ lim sup [ + ‖𝑓1‖𝐿𝑝1(ℝ𝑁)‖𝑣𝑚‖ + ‖𝑓2‖𝐿𝑝2(ℝ𝑁)‖𝑣𝑚‖ 1 2

Ω𝑚(𝑟0,∞)

− ∫ ] 𝑣𝑚 𝐹(𝑥, 𝑢𝑚) 2 𝑢𝑚

2 𝑑𝑥

Ω𝑚(𝑟0,∞)

30

∫ 𝑣𝑚 ≤ 𝐶1 − lim inf 𝑚→∞ |𝐹(𝑥, 𝑢𝑚)| 2 𝑢𝑚

2 𝑑𝑥

ℝ𝑁

2 𝑑𝑥 = −∞ (2.20)

∫ 𝜒Ω𝑚(𝑟0,∞)(𝑥)𝑣𝑚 ≤ 𝐶1 − lim inf 𝑚→∞ |𝐹(𝑥, 𝑢𝑚)| 2 𝑢𝑚

ℝ𝑁

𝜒Ω𝑚(𝑟0,∞)(𝑥)𝑣𝑚 ≤ 𝐶1 − ∫ lim 𝑚→∞ |𝐹(𝑥, 𝑢𝑚)| 2 𝑢𝑚

∞ bị chặn trong 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

Điều đó là mâu thuẫn, trong đó 𝜒𝐼 biểu thị hàm đặc trưng liên kết với tập con 2 (ℝ𝑁). 𝐼 ⊂ ℝ. Do đó {𝑢𝑚}𝑚=1

2

Bởi vì những kết quả trên, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng

∗ . (2.21)

(ℝ𝑁) khi 𝑚 → ∞ 𝑢𝑚 ⇀ 𝑢 trong 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

𝑢𝑚 → 𝑢 trong 𝐿𝑞(ℝ𝑁) khi 𝑚 → ∞, 2 ≤ 𝑞 < 2𝛼

Từ (𝐴1), ta được

ℝ𝑁

| | ∫ 𝑓(𝑥, 𝑢𝑚)(𝑢𝑚 − 𝑢)𝑑𝑥

ℝ𝑁

ℝ𝑁

≤ ∫ |𝑓1(𝑥)||𝑢𝑚||𝑢𝑚 − 𝑢|𝑑𝑥 + ∫ |𝑢𝑚 − 𝑢||𝑢𝑚|𝑝−1|𝑓2(𝑥)|𝑑𝑥

2𝑝1 𝑝1−1(ℝ𝑁)

𝐿

𝐿

≤ ‖𝑢𝑚 − 𝑢‖ ‖𝑢𝑚‖ ‖𝑓1‖𝐿𝑝1(ℝ𝑁)

𝑝𝑝2 𝑝2−1(ℝ𝑁)

𝐿

2𝑝1 𝑝1−1(ℝ𝑁) 𝑝−1 ‖𝑓2‖𝐿𝑝2(ℝ𝑁). ‖𝑢𝑚‖ 𝑝𝑝2 𝑝2−1

+ ‖𝑢𝑚 − 𝑢‖

Từ (2.21), ta có thể kết luận rằng

→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑚 → ∞.

∫ 𝑓(𝑥, 𝑢𝑚)(𝑢𝑚 − 𝑢)𝑑𝑥 ℝ𝑁

Vì thế

(2.22)

∫ [𝑓(𝑥, 𝑢𝑚) − 𝑓(𝑥, 𝑢)](𝑢𝑚 − 𝑢)𝑑𝑥 → 0 𝑘ℎ𝑖 𝑚 → ∞. ℝ𝑁

2

2

(ℝ𝑁)

Chú ý rằng

31

‖𝑢𝑚 − 𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

= 〈Φ′(𝑢𝑚) − Φ′(𝑢), 𝑢𝑚 − 𝑢〉 + ∫ [𝑓(𝑥, 𝑢𝑚) − 𝑓(𝑥, 𝑢)](𝑢𝑚 − 𝑢)𝑑𝑥. ℝ𝑁

Rõ ràng là

〈Φ′(𝑢𝑚) − Φ′(𝑢), 𝑢𝑚 − 𝑢〉 → 0 khi 𝑚 → ∞. (2.23)

2

2

Từ (2.22) – (2.23), suy ra

(ℝ𝑁)

2

→ 0 khi 𝑚 → ∞. ‖𝑢𝑚 − 𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

(ℝ𝑁). Ta kết luận 𝑢𝑚 → 𝑢 mạnh trong 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

Bổ đề 2.2.11 được chứng minh. ∎

2

(ℝ𝑁), 𝑅 = 𝑅(𝕏̂) > 0 có Bổ đề 2.2.12. Giả sử (𝐴1) - (𝐴3), (𝐵1) và (𝐵2) được thỏa mãn. Khi đó với không gian con vô hạn chiều bất kì 𝕏̂ ⊂ 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

(ℝ𝑁) ≥ 𝑅.

𝛷(𝑢) ≤ 0, ∀𝑢 ∈ 𝕏̂, ‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

Chứng minh

(ℝ𝑁) → ∞,

∞ ⊂ 𝕏̂ với ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

Ta chỉ ra sự mâu thuẫn. Giả sử cho dãy {𝑢𝑛}𝑛=1

có M > 0 mà Φ(𝑢𝑛) ≥ −𝑀 với mọi 𝑛 ∈ ℕ. Đặt

2

(ℝ𝑁)

2

(ℝ𝑁) = 1. Ta có thể giả sử rằng

𝑢𝑛 , 𝑣𝑛(𝑥) = ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

khi đó ‖𝑣𝑛‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

(ℝ𝑁) khi 𝑛 → ∞ 𝑣𝑛 ⇀ 𝑣 yếu trong 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

∗ . 𝑣𝑛 → 𝑣 mạnh trong 𝐿𝑞(ℝ𝑁) khi 𝑛 → ∞, 2 ≤ 𝑞 < 2𝛾

𝑣𝑛 → 𝑣 a. e. trong ℝ𝑁 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞,

Với 𝕏̂ là vô hạn chiều, khi đó

2

(ℝ𝑁) = 1. Do đó, từ (2.20) ta có

𝑣𝑛 → 𝑣 mạnh trong 𝕏̂ khi 𝑛 → ∞

và 𝑣 ∈ 𝕏̂, ‖𝑣‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

2

(ℝ𝑁)

(ℝ𝑁)

32

0 = lim 𝑚→∞ ≤ lim 𝑚→∞ −𝑀 2 ‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥) Φ(𝑢𝑚) 2 ‖𝑢𝑚‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2 𝑑𝑥 = −∞.

ℝ𝑁

𝜒Ω𝑚(𝑟0,∞)(𝑥)𝑣𝑚 ≤ 𝐶1 − ∫ lim inf 𝑚→∞ |𝐹(𝑥, 𝑢𝑚)| 2 𝑢𝑚

2

(ℝ𝑁) ≥ 𝑅. ∎

Do đó dẫn đến mâu thuẫn. Có 𝑅 = 𝑅(𝕏̂) > 0 vậy Φ(𝑢) ≤ 0, với 𝑢 ∈ 𝕏̂,

∞

2

‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

𝑗=1

Cho {𝑒𝑗} (ℝ𝑁) và 𝕏𝑗 = ℝ𝑒𝑗, là một cơ sở tổng trực tiếp của 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

𝕐𝑘 = 𝕏𝑗, ℤ𝑘 = 𝕏𝑗, 𝑘 ∈ ℕ. 𝑘 ⊕ 𝑗 = 1 𝑘 ⊕ 𝑗 = 𝑘 + 1

∗ (2.24)

Cho

‖𝑢‖

=1

(ℝ𝑁)

2 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

𝛽𝑘 = ‖𝑢‖𝐿𝑞(ℝ𝑁), 2 ≤ 𝑞 < 2𝛼 sup 𝑢∈ℤ𝑘

∞

khi đó 𝛽𝑘 → 0 khi 𝑘 → ∞. Thật vậy, giả sử rằng không có trường hợp này. Khi

2 ⊂ 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

𝑗=1

(ℝ𝑁)

2 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

đó có 𝜀0 > 0 và {𝑢𝑗} (ℝ𝑁), ‖𝑢𝑗‖ = 1, với 𝑢𝑗 ⊥ 𝕐𝑘𝑗,

𝐿𝑞(ℝ𝑁)

(ℝ𝑁), ta có thể ‖𝑢𝑗‖ ≥ 𝜀0, trong đó 𝑘𝑗 → ∞ khi 𝑗 → ∞. Bất kì 𝑣 ∈ 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

tìm thấy 𝑤𝑗 ∈ 𝕐𝑘𝑗 mà 𝑤𝑗 → 𝑣 khi 𝑗 → ∞. Vì thế

(ℝ𝑁)| = |(𝑢𝑗, 𝑤𝑗 − 𝑣)

(ℝ𝑁)

(ℝ𝑁)

2 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

| ≤ ‖𝑤𝑗 − 𝑣‖ |(𝑢𝑗, 𝑣)𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

(ℝ𝑁). Do đó, 𝑢𝑗 → 0 trong 𝐿𝑝(ℝ𝑁) , mâu khi 𝑗 → ∞, 𝑢𝑗 ⇀ 0 yếu trong 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2

(ℝ𝑁) = 𝜌.

thuẫn.

Bổ đề 2.2.13. Giả sử (𝐴1), (𝐵1) và (𝐵2) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các hằng số 𝜌, 𝛼, 𝑘 > 0 𝑚à 𝛷(𝑢) ≥ 𝛼 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑢 ∈ ℤ𝑘, có ‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥) Chứng minh

2 2

Bất kì 𝑢 ∈ ℤ𝑘, sử dụng bất đẳng thức Hö lder’s, ta có

(ℝ𝑁)

2 𝑝1 𝑝1−1(ℝ𝑁)

𝐿

𝑝

Φ(𝑢) ≥ − ‖𝑓1‖𝐿𝑝1(ℝ𝑁)‖𝑢‖ ‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥) 1 2

𝑝𝑝1 𝑝1−1(ℝ𝑁)

𝐿

33

− ‖𝑓2‖𝐿𝑝2(ℝ𝑁)‖𝑢‖

2

2 2

2 2

(ℝ𝑁)

(ℝ𝑁)

2

(ℝ𝑁)

𝑝1 𝑝1−1(ℝ𝑁)

𝐿

𝑝

𝑢 = ‖ − ‖𝑓1‖𝐿𝑝1(ℝ𝑁) ‖ ‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥) ‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥) 1 2 ‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

(ℝ𝑁)

2

𝑝 2 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

(ℝ𝑁)

𝑝𝑝1 𝑝1−1(ℝ𝑁)

𝐿

𝑢 ‖𝑢‖ . ‖ − ‖𝑓2‖𝐿𝑝2(ℝ𝑁) ‖ ‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

∗ , ta có

∗ , 2 ≤ 𝑝𝑝2 < 2𝛾

2𝑝1 𝑝1−1

2

2 2

Φ(𝑢) ≥

2‖𝑢‖

− ‖𝑓1‖𝐿𝑝1(ℝ𝑁)𝛽𝑘

(ℝ𝑁)

‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

1 2

𝐿

𝑝1 𝑝1−1(ℝ𝑁)

.

− ‖𝑓2‖𝐿𝑝2(ℝ𝑁)𝛽𝑘

𝑝 𝑝‖𝑢‖ 𝐿

𝑝𝑝1 𝑝1−1(ℝ𝑁)

2

(ℝ𝑁) =

Vì 2 ≤ < 2𝛾

1 vậy 2

2 2

Do (2.24), ta chọn k đủ lớn, và ‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

2 − ‖𝑓2‖𝐿𝑝2(ℝ𝑁)𝛽𝑘

(ℝ𝑁)

− − ‖𝑓1‖𝐿𝑝1(ℝ𝑁)𝛽𝑘 ‖𝑢‖𝑆𝛾,𝑏(𝑥) 1 8 1 4

𝑝 1 2𝑝 = 𝛼 > 0. ∎ Định lí 2.2.14. Giả sử rằng b và f thỏa mãn (𝐴1), (𝐴2)(𝐴3), (𝐴4), (𝐵1) 𝑣à (𝐵2).

Khi đó Bài toán 2 có vô số nghiệm không tầm thường.

2

Chứng minh

(ℝ𝑁), 𝕐 ≡ 𝕐𝑘, ℤ ≡ ℤ𝑘. Do các bổ đề 2.10, 2.11 và 2.12 đều Cho 𝕏 ≡ 𝑆𝛾,𝑏(𝑥)

thỏa mãn tất cả các điều kiện của bổ đề 2.6. Do đó, bài toán 2 có vô số nghiệm

không tầm thường. ∎

KẾT LUẬN

Trong luận văn này tôi đã

- Đưa ra hai bài toán

 Bài toán 1: Giả sử Ω là miền bị chặn, có biên trơn trong ℝN, N ≥ 2.

Ta xét bài toán:

34

−∆γu + a(x)u = f(x, u) trong Ω

u|∂Ω = 0

Ñ 2 (Ω), ∆γ là toán tử có dạng

với a ∈ L

2 ∂xj), ∂xj ≔

N ∆γ≔ ∑ ∂xj (∂j j=1

, j = 1,2, … , N. ∂ ∂xj

 Bài toán 2: Ta xét bài toán sau

2(ℝN),

−∆γu + b(x)u = f(x, u) trong ℝN, { u ∈ Sγ

với ∆γ là toán tử subelliptic có dạng

2 ∂xj) , γ = (γ1, γ2, … , γN): ℝN →

N ∆γ ≔ ∑ ∂xj (γj j=1

ℝN.

Toán tử ∆γ chứa nhiều toán tử elliptic suy biến như là loại toán tử Grushin

Gα ≔ ∆x + |x|2α∆y, α ≥ 0,

trong đó x biểu thị một điểm của ℝN1 × ℝN2, và toán tử có dạng

Pα,β ≔ ∆x + ∆y + |x|2α|y|2β∆z, (x, y, z) ∈ ℝN1 × ℝN2 × ℝN3,

với α, β là các số thực không âm.

- Sử dụng các định lý nhúng cho trường hợp tới hạn và phương pháp biến phân

cho phiếm hàm tương ứng, Luận văn đã chỉ ra các điều kiện đủ đối với vế phải

của phương trình elliptic suy biến để các bài toán có ít nhất một nghiệm không

tầm thường

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedow, Khuất Văn Ninh (1992), Giải

xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.

[2] Nguyễn Thừa Hợp (1999), Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng, Nhà

35

xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.

[3] Hà Trần Phương (2010), Đề cương bài giảng Giải tích hàm, khoa Toán

trường Đại học sư phạm Thái Nguyên.

[4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc

Gia Hà Nội.

Tiếng Anh

[5] A. E. Kogoj and E. Lanconelli (2012), "On semilinear - Laplace

equation", Nonlinear Analysis.75(12), 4637-4649.

[6] C. T. Anh and B. K. My (2016), "Existence of solutions to -Laplace

equations without the Ambrosetti- Rabinowitz condition", Complex Var.

Elliptic Equ. 61(1), 137-150.

[7] D. T. Luyen (2017), "Two nontrivial solutions of boundary value problems

for semilinear ∆𝛾 differential equations", Math. Notes 101(5), 815--823.

[8] D. T. Luyen, D. T. Huong, and L. T. H. Hanh , “Existence of infinitely

many solutions for ∆𝛾 - Laplace problems”, Department of Mathematíc,

Hoa Lu Univesity, Ninh Nhat, Ninh Binh City, Vietnam, Received June 10,

2017, in final form, March 12, 2018.

[9] D. T. Luyen and N. M. Tri (2015), "Existence of solutions to boundary

value problems for semilinear differential wquations", Math. Notes

97(1),73-84.

[10] D. T. Luyen and N. M. Tri, "On the existence of multiple solutions to

boundary value problems for semilinear elliptic degenerate operators"(in

press).

[11] D. T. Luyen and N. M. Tri, “Existence of infinitely many solutions for

semilinear degenerate Schrodinge equations”.

[12] S. Luan and A. Mao (2005), "Periodic solutions for a class of non-

36

autonomous Hamiltonian systems", Nonlinear Anal. 61(8), 1413-1426.