Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết kết quả của các tác giả J. W. Peng và J. C. Yao trong tài liệu về sự kết hợp giữa phương pháp gradient tăng cường, phương pháp lặp Mann và phương pháp lai chiếu cho bài toán tìm một nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG TUẤN DOANH PHƯƠNG PHÁP GRADIENT TĂNG CƯỜNG CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT, BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2017
ii Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trương Minh Tuyên. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Trong quá trình hoàn thiện luận văn, tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích phục vụ cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y, Ban giám hiệu, các phòng chức năng và Khoa Toán - Tin của trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thành viên lớp cao học K9Y và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình hoàn thiện luận văn.
iii Mục lục Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số tính chất của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . 10 1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Phương pháp gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3. Phương pháp gradient tăng cường . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan . . . . . . . . 14 1.4.3. Bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . 16 1.4.4. Một số phương pháp giải bài toán cân bằng . . . . . . . . 18 Chương 2 Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân 20 2.1. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Một số hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo 49
iv Một số ký hiệu và viết tắt H không gian Hilbert h., .i tích vô hướng trên H k.k chuẩn trên H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập các số thực không âm I toán tử đồng nhất ∅ tập rỗng ∀x với mọi x ∃x tồn tại x xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0
1 Mở đầu Bài toán cân bằng có vị trí quan trọng trong lĩnh vực giải tích phi tuyến, nó có mối liên hệ mật thiết, qua lại (theo nghĩa bài toán này có thể đưa về bài toán kia và ngược lại) với một số bài toán quan trọng khác như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán minimax, bài toán điểm bất động ... Việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân hay bài toán cân bằng (hỗn hợp tổng quát) có nhiều ý nghĩa thực tiễn trong các lĩnh vực kinh tế, tài chính, cơ khí và khoa học kỹ thuật ... Trong những năm gần đây vấn đề nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm chung của mô hình bao gồm nhiều bài toán khác nhau đã thu hút được nhiều người làm toán trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Một trong những bài toán được quan tâm nhiều là bài toán tìm một nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết kết quả của các tác giả J. W. Peng và J. C. Yao trong tài liệu [12] về sự kết hợp giữa phương pháp gradient tăng cường, phương pháp lặp Mann và phương pháp lai chiếu cho bài toán tìm một nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert. Nội dung chính của luận văn được chia làm hai chương, trong đó: Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này luận văn tập trung trình bày về một số đặc trưng quan trọng thường xuyên được sử dụng của không gian Hilbert thực H (một số đẳng thức bất đẳng thức cơ bản, sự hội tụ yếu, tính chất Kadec-Klee, phép chiếu mêtric, định lý tách tập lồi, tính đóng yếu của một tập con lồi và đóng C), sơ lược về bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn cùng với phương pháp lai chiếu được đề suất bởi K. Nakajo và W. Takahashi [9], bài toán bất đẳng thức biến phân cùng với các phương pháp gradient [3, 7], gradient tăng cường [6, 10, 11] và bài toán cân bằng (hỗn hợp tổng quát) cùng với một số bài toán liên quan.
2 Chương 2. Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân Trong chương này trước hết luận văn đề cập đến một số bổ đề bổ trợ nhằm phục vụ cho chứng minh của các định lý chính như: Bổ đề KKM, bổ đề về tính chất của ánh xạ giải Tr cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát. Tiếp theo, luận văn trình bày lại chi tiết các chứng minh về sự hội tụ mạnh của phương pháp gradient tăng cường cho bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động trong tài liệu [12]. Cuối cùng của chương này là một ví dụ số đơn giản trên tập các số thực R và thử nghiệm số dựa trên phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho tính đúng đắn của phương pháp lặp.
3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này gồm 4 mục. Mục 1.1 trình bày về một số tính chất của không gian Hilbert. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục 1.3 trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân cùng với hai phương pháp cơ bản để giải lớp bài toán này (phương pháp gradient và phương pháp gradient tăng cường). Mục 1.4 tập trung trình bày về bài toán cân bằng cùng với các bài toán liên quan (bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động, bài toán tối ưu hàm lồi khả vi, bài toán bất đẳng thức biến phân), bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và một số phương pháp giải bài toán cân bằng. Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2]. 1.1. Một số tính chất của không gian Hilbert Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu là h., .i và chuẩn được kí hiệu là k.k. Mệnh đề 1.1. Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với mọi x, y, z ∈ H. Chứng minh. Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi]
4 = kx − yk2 + kx − zk2 . Vậy ta được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.2. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, với mọi x, y ∈ H và mọi λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 . (1.1) Chứng minh. Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 . Ta được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.3. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, nếu với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện |hx, yi| = kxk.kyk, tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng x 6= λy với mọi λ ∈ R. Khi đó, từ tính chất của tích vô hướng, ta có 0 < kx − λyk2 = λ2 kyk2 − 2λhx, yi + kxk2 , với mọi λ ∈ R. Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộc tuyến hx, yi tính. Giả sử y 6= 0, khi đó với λ = , thì bất đẳng thức trên trở thành kyk2 |hx, yi| < kxk.kyk, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính. Mệnh đề được chứng minh. Nhắc lại rằng, dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu về phần tử x ∈ H, nếu lim hxn , yi = hx, yi, n→∞
5 với mọi y ∈ H. Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì xn * x. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét không gian P∞ l2 = {xn } ⊂ R : n=1 |xn | 2 < ∞ và {en } ⊂ l2 , được cho bởi en = (0, ..., 0, 1 , 0, ..., 0, ...), vị trí thứ n với mọi n ≥ 1. Khi đó, en * 0, khi n → ∞. Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 < kyk2 < ∞. n=1 Suy ra limn→∞ hen , yi = 0, tức là en * 0. Tuy nhiên, {en } không hội tụ về 0, vì ken k = 1 với mọi n ≥ 1. Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial, tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.4. Cho H là một không gian Hilbert thực và {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ thỏa mãn điều kiện xn * x, khi n → ∞. Khi đó, với mọi y ∈ H và y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk. (1.2) n→∞ n→∞ Chứng minh. Vì xn * x, nên {xn } bị chặn. Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi > kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi. Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 . n→∞ Do đó, ta nhận được lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk. n→∞ n→∞ Mệnh đề được chứng minh.
6 Mệnh đề 1.5. Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức là nếu {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn * x và kxn k → kxk, thì xn → x, khi n → ∞. Chứng minh. Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → 0, n → ∞. Suy ra xn → x, khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.6. Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC x ∈ C sao cho kx − PC xk ≤ kx − yk với mọi y ∈ C. Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf kx − uk. Khi đó, tồn tại {un } ⊂ C sao cho u∈C kx − un k −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có 2 kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k 2 un + um 2 2 = 2kx − un k + 2kx − um k − 4kx − k 2 2 2 ≤ 2(kx − un k + kx − um k ) − 4d2 −→ 0, khi n, m −→ ∞. Do đó {un } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại u = lim un ∈ C. Do chuẩn là hàm số liên tục nên kx − uk = d. Giả sử tồn n→∞ tại v ∈ C sao cho kx − vk = d. Ta có 2 2 ku − vk = k(x − u) − (x − v)k 2 2 u+v 2 = 2(kx − uk + kx − vk ) − 4kx − k 2 ≤ 0. Suy ra u = v. Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho kx − PC xk = inf u∈C kx − uk. Định nghĩa 1.1. Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PC x ∈ C xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C. Ví dụ 1.1. Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0. Khi đó y − hx, ui PC x = x + 2 u. kuk
7 Ví dụ 1.2. Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tử cho trước và R là một số dương. Khi đó, ta có:  x nếu kx − ak ≤ R, PC x = R a + (x − a) nếu kx − ak > R. kx − ak Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là một phép chiếu mêtric. Mệnh đề 1.7. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là phép chiếu mêtric từ H lên C là hx − PC x, PC x − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C. (1.3) Chứng minh. Giả sử PC là phép chiếu mêtric. Khi đó với mọi x ∈ H, y ∈ C và mọi t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PC x ∈ C. Do đó, từ định nghĩa của phép chiếu mêtric, suy ra kx − PC xk2 ≤ kx − ty − (1 − t)PC xk2 , với mọi t ∈ (0, 1). Bất đẳng thức trên tương đương với kx − PC xk2 ≤ kx − PC xk2 − 2thx − PC x, y − PC xi + t2 ky − PC xk2 , với mọi t ∈ (0, 1). Từ đó, ta có t hx − PC x, PC x − yi ≥ − ky − PC xk2 , 2 với mọi t ∈ (0, 1). Cho t → 0+ , ta nhận được hx − PC x, PC x − yi ≥ 0. Ngược lại, giả sử hx − PC x, PC x − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C. Khi đó, với mỗi x ∈ H và y ∈ C, ta có kx − PC xk2 = hx − PC x, x − y + y − PC xi = hx − PC x, y − PC xi + hx − PC x, x − yi
8 ≤ kx − yk2 + hy − PC x, x − PC x + PC x − yi = kx − yk2 + hy − PC x, x − PC xi − ky − PC xk2 ≤ kx − yk2 . Suy ra PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây: Hệ quả 1.1. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó, với mọi x, y ∈ H, ta có kPC x − PC yk2 ≤ hx − y, PC x − PC yi. Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.7, ta có hx − PC x, PC y − PC xi ≤ 0, hy − PC y, PC x − PC yi ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.8. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó, với mọi x ∈ H và y ∈ C, ta có kx − yk2 ≥ kx − PC xk2 + ky − PC xk2 . Chứng minh. Với mọi x ∈ H và y ∈ C, từ Mệnh đề 1.7, ta có hx − PC x, y − PC xi ≤ 0. Từ đó, ta có kx − yk2 = k(x − PC x) − (y − PC x)k2 = kx − PC xk2 + ky − PC xk2 − 2hx − PC x, y − PC xi ≥ kx − PC xk2 + ky − PC xk2 . Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.9. Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H và x∈ / C. Khi đó, tồn tại một phần tử v ∈ H, v 6= 0 sao cho suphv, yi ≤ hv, xi − kvk2 . y∈C
9 Chứng minh. Vì x ∈ / C, nên v = x − PC x 6= 0. Từ Mệnh đề 1.7, ta có hv, y − PC xi ≤ 0, với mọi y ∈ C. Suy ra hv, y − x + x − PC xi ≤ 0, với mọi y ∈ C. Điều này tương đương với hv, yi ≤ hv, xi − kvk2 , với mọi y ∈ C. Do đó suphv, yi ≤ hv, xi − kvk2 . y∈C Mệnh đề được chứng minh. Chú ý 1.1. Mệnh đề 1.9 còn được gọi là định lý tách tập lồi cho trước với một điểm không thuộc nó. Mệnh đề 1.10. Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H, thì C là tập đóng yếu. Chứng minh. Giả sử C không là tập đóng yếu. Khi đó, tồn tại dãy {xn } trong C thỏa mãn xn * x, nhưng x ∈ / C. Vì C là tập lồi và đóng, nên theo định lý tách các tập lồi, tồn tại y ∈ H và ε > 0 (chẳng hạn lấy y = v và ε = kvk2 /2 trong chứng minh của Mệnh đề 1.9 sao cho hy, zi < hy, xi − ε, với mọi z ∈ C. Đặc biệt hy, xn i < hy, xi − ε, với mọi n. Cho n → ∞, ta nhận được hy, xi ≤ hy, xi − ε, điều này là vô lý. Do đó, C là tập đóng yếu. Chú ý 1.2. Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng. Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.11. Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu.
10 1.2. Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.2. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếu với mọi x, y ∈ C, ta có kT x − T yk ≤ kx − yk. Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là F ix(T ), tức là F ix(T ) = {x ∈ C : T x = x}. Mệnh đề dưới đây cho ta mô tả về tính chất của tập điểm bất động F ix(T ). Mệnh đề 1.12. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn. Khi đó, F ix(T ) là một tập lồi và đóng trong H. Chứng minh. Giả sử F ix(T ) 6= ∅. Trước hết, ta chỉ ra F ix(T ) là tập đóng. Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãn nên T liên tục trên C. Giả sử {xn } là một dãy bất kỳ trong F ix(T ) thỏa mãn xn → x, khi n → ∞. Vì {xn } ⊂ F ix(T ), nên kT xn − xn k = 0, với mọi n ≥ 1. Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được kT x − xk = 0, tức là x ∈ F ix(T ). Do đó, F ix(T ) là tập đóng. Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F ix(T ). Giả sử x, y ∈ F ix(T ), tức là T x = x và T y = y. Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y. Khi đó, từ Mệnh đề 1.2 và tính không giãn của T ta có kT z − zk2 = kλ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)k2 = λkT z − xk2 + k(1 − λ)(T z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 = λkT z − T xk2 + (1 − λ)k(T z − T y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 ≤ λkz − xk2 + (1 − λ)k(z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 = kλ(z − x) + (1 − λ)(z − y)k2 = 0. Suy ra T z = z và do đó z ∈ F ix(T ). Vậy F ix(T ) là một tập lồi. Bài toán. Cho T : C −→ H là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng và khác rỗng C của không gian Hilbert H vào H là một ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅. Tìm phần tử x∗ ∈ F ix(T ).
11 Đã có nhiều phương pháp nổi tiếng được đề xuất để giải bài toán trên, như phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt ... Trong luận văn chúng tôi chỉ giới thiệu phương pháp lai chiếu được đề xuất bởi K. Nakajo và W. Takahashi [9] vào năm 2003. Kết quả này được cho bởi định lý dưới đây: Định lí 1.1. [9] Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Cho T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với F ix(T ) 6= ∅. Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } như sau     yn = αn xn + (1 − αn )T xn ,  C = {z ∈ C : ky − zk ≤ kx − zk},  n n n (1.4)    Q n = {z ∈ C : hx n − z, x − xn i ≥ 0},   n+1 = PCn ∩Qn x1 , n ≥ 1, x trong đó {αn } là dãy số thực thỏa mãn điều kiện {αn } ⊂ [0, a), với a < 1. Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh về PF ix(T ) x1 , khi n → ∞. 1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.3.1. Phát biểu bài toán Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H và A : C −→ H là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho hA(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C. (1.5) Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.5) được gọi là tập nghiệm của bài toán và ký hiệu là V I(C, A). Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H và A : C −→ H là một ánh xạ từ C vào H. a) Ánh xạ A được gọi là đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C ta có: hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0.
12 b) Ánh xạ A được gọi là giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C ta có: hA(y), x − yi ≥ 0 suy ra hA(x), x − yi ≥ 0. c) Ánh xạ A được gọi là α−đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có: hA(x) − A(y), x − yi ≥ αkx − yk2 . d) Ánh xạ A được gọi là α-ngược đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có: hA(x) − A(y), x − yi ≥ αkA(x) − A(y)k2 . e) Ánh xạ A được gọi là h-liên tục trên C nếu A(x + ty) * A(x) khi t −→ 0+ sao cho với mọi x, y ∈ C. f) Ánh xạ A được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C nếu tồn tại một hằng số L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có: kA(x) − A(y)k ≥ Lkx − yk. Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ A là α-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ A là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz. Sau đây là một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.5) trong không gian Hilbert. 1.3.2. Phương pháp gradient Ta có mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.13. Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.5) nếu và chỉ nếu x∗ = PC (x∗ − λA(x∗ )) (1.6) ở đây λ > 0 là một hằng số. Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.7, ta có x∗ = PC (x∗ − λA(x∗ )) khi và chỉ khi h(x∗ − λA(x∗ )) − x∗ , x − x∗ i ≤ 0, ∀x ∈ C.
13 Điều này tương đương với hA(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C, tức là x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.5). Dựa vào kết quả này, khi F là ánh xạ đơn điệu mạnh và Lipschitz, năm 1967 J. L. Lions và G. Stampacchia [7] đã đề xuất phương pháp gradient, để xác định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.5). Với phương pháp lặp được xác định như sau: x0 ∈ C, xn+1 = PC (xn − λF (xn )), n = 0, 1, 2... (1.7) Gần đây, A. Bnouhachem và các cộng sự [3] cũng đề xuất một kết quả mới để tìm nghiệm cho bài toán (1.5). Họ xây dựng dãy lặp xác định như sau: x0 ∈ C, xn+1 = PC (xn − λF (xn+1 )), n = 0, 1, 2... (1.8) và chứng minh được dãy lặp (1.8) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (1.5). 1.3.3. Phương pháp gradient tăng cường Như đã biết, phương pháp gradient chỉ cho sự hội tụ mạnh khi ánh xạ F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Một số nhà toán học đã áp dụng mở rộng phương pháp gradient tăng cường, được đề xuất bởi G. M. Korpelevich [6], để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân (1.5) và đã chứng minh được các phương pháp này hội tụ mạnh khi ánh xạ F chỉ có tính chất đơn điệu, thậm chí là giả đơn điệu (xem [10], [11]). Với phương pháp này dãy lặp {xn } được xác định theo công thức sau: x0 = x ∈ C, yn = PC (xn − λF (xn )), (1.9) xn+1 = PC (xn − λF (yn )), n = 0, 1, 2... trong đó λ ∈ (0, 1/L) với L là hằng số liên tục Lipschitz của ánh xạ F và họ đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của các dãy lặp {xn } và {yn } xác định bởi (1.9) tới nghiệm x∗ của bài toán (1.5).
14 1.4. Bài toán cân bằng 1.4.1. Phát biểu bài toán Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert H và F : C×C −→ R là một song hàm thỏa mãn tính chất F (x, x) = 0, ∀x ∈ C. (1.10) Bài toán cân bằng ứng với hàm F ký hiệu là EP (F ) và được phát biểu như sau: Tìm phần tử x ∈ C sao cho F (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C. (EP) Chú ý 1.3. Người ta thường giả thiết C là tập lồi, đóng và song hàm F thỏa mãn điều kiện đơn điệu, tức là F (x, y) + F (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C. (1.11) 1.4.2. Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan Dưới đây, luận văn đề cập đến một số bài toán có thể đưa về bài toán cân bằng. Bài toán tối ưu. Cho ϕ : C −→ R là một hàm số. Xét bài toán tìm phần tử x ∈ C sao cho: ϕ(x) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ C. (1.12) Đặt F (x, y) = ϕ(y) − ϕ(x) với mọi x, y ∈ C. Khi đó, x là nghiệm của bài toán (1.12) khi và chỉ khi x là nghiệm của bài toán cân bằng EP (F ). Chú ý 1.4. Trong trường hợp này song hàm F thỏa mãn điều kiện đơn điệu (1.11), vì F (x, y) + F (y, x) = 0 với mọi x, y ∈ C. Bài toán điểm yên ngựa. Cho C1 và C2 là các tập con của không gian Hilbert H và cho ϕ : C1 ×C2 −→ R là một hàm số. Khi đó, điểm (x1 , x2 ) ∈ C1 × C2 được gọi là điểm yên ngựa của ϕ nếu và chỉ nếu ϕ(x1 , y2 ) ≤ ϕ(y1 , x2 ) với mọi (y1 , y2 ) ∈ C1 × C2 .
15 Nhận xét 1.1. Nếu (x1 , x2 ) ∈ C1 × C2 là điểm yên ngựa của hàm ϕ, thì ta có ϕ(x1 , y2 ) ≤ ϕ(x1 , x2 ) ≤ ϕ(x1 , x2 ) với mọi (y1 , y2 ) ∈ C1 × C2 . Đặt C = C1 × C2 và F ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ϕ(y1 , x2 ) − ϕ(x1 , y2 ) với mọi (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ C. Khi đó, bài toán điểm yên ngựa tương đương với bài toán cân bằng EP (F ). Chú ý 1.5. Dễ nhận thấy rằng với mọi (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ C ta đều có F ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) + F ((y1 , y2 ), (x1 , x2 )) = 0. Do đó song hàm F thỏa mãn điều kiện đơn điệu (1.11). Bài toán điểm bất động. Cho T : C −→ C là một ánh xạ. Xét bài toán tìm một điểm bất động của T , tức là tìm một phần tử x ∈ C sao cho T x = x. Xét hàm số F : C × C −→ R được xác định bởi F (x, y) = hx − T x, y − xi, với mọi x, y ∈ C. Giả sử x là một điểm bất động của T . Khi đó, F (x, y) = 0 với mọi y ∈ C, tức là x là một nghiệm của bài toán cân bằng EP (F ). Ngược lại, giả sử x là một nghiệm của bài toán cân bằng EP (F ), tức là F (x, y) = hx − T x, y − xi ≤ 0, 1 với mọi y ∈ C. Vì x, T x ∈ C và C là tập lồi nên y = (x + T x) ∈ C. Do đó từ 2 bất đẳng thức trên, ta nhận được 1 kx − T xk2 ≤ 0 2 hay tương đương với x = T x. Như vậy ta nhận được bài toán điểm bất động tương đương với bài toán cân bằng. Nhận xét 1.2. Song hàm F (x, y) = hx − T x, y − xi ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đơn điệu khi và chỉ khi hT x − T y, x − yi ≤ kx − yk2 ,
16 với mọi x, y ∈ C. Do đó, từ định nghĩa của ánh xạ không giãn, dễ nhận thấy nếu T là ánh xạ không giãn thì F là một song hàm đơn điệu. Bài toán tối ưu lồi khả vi. Xét bài toán: min ϕ(x), (1.13) x∈C trong đó ϕ : H −→ R là một phiếm hàm lồi khả vi. Ta biết rằng phần tử x ∈ C là nghiệm của bài toán (1.13) khi và chỉ khi x thỏa mãn điều kiện h5ϕ(x), y − xi ≥ 0 với mọi y ∈ C. Đặt F (x, y) = h5ϕ(x), y − xi với mọi x, y ∈ C. Khi đó, dễ thấy x là nghiệm của bài toán (1.13) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán EP (F ). Chú ý 1.6. Ta biết rằng toán tử vi phân 5ϕ của hàm lồi ϕ là đơn điệu, tức là h5ϕ(x) − 5ϕ(y), x − yi ≥ 0 với mọi x, y ∈ C. Từ đó, ta có F (x, y) + F (y, x) = hϕ(x), y − xi + hϕ(y), x − yi = −h5ϕ(x) − 5ϕ(y), x − yi ≤ 0, với mọi x, y ∈ C. Do đó, trong trường hợp này song hàm F thỏa mãn điều kiện đơn điệu (1.11). Bài toán bất đẳng thức biến phân. Cho A : C −→ H là một ánh xạ liên tục. Xét bài toán bất đẳng thức biến phân tìm một phần tử x ∈ C sao cho hAx, y − xi ≥ 0 với mọi y ∈ C. Với mỗi x, y ∈ C, đặt F (x, y) = hAx, y − xi. Khi đó, ta nhận được một song hàm F : C × C −→ R. Dễ dàng nhận thấy phần tử x là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, A) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán cân bằng EP (F ). 1.4.3. Bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Cho B : C −→ H là một ánh xạ phi tuyến, ϕ : C −→ R là một hàm số và