Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là trình bày lại phương pháp lặp tổng quát được đề xuất bởi Jung trong tài liệu cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach không có tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, đồng thời điểm bất động này cũng là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QUÁT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QUÁT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRƯƠNG MINH TUYÊN THÁI NGUYÊN, 5/2018
ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Giang, Ban Giám Hiệu trường Trung Học Phổ Thông Hiệp Hòa số 2 Bắc Giang, cũng như toàn thể các đồng nghiệp, người thân và gia đình đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 05 năm 2018 Tác giả luận văn NGUYỄN ĐÌNH LÝ
iii Mục lục Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số vấn đề về không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian Banach lồi đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Không gian Banach trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Toán tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co và ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . 17 1.4. Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2 Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach 28 2.1. Phương pháp lặp ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Phương pháp lặp hiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 43
iv Một số ký hiệu và viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu của E R tập hợp các số thực R+ tập các số thực không âm inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A I toán tử đồng nhất lim sup xn giới hạn trên của dãy số {xn } n→∞ xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị ρE (τ ) mô đun trơn của không gian Banach E F ix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T ∂f dưới vi phân của hàm lồi f M bao đóng của tập hợp M o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t
1 Mở đầu Đầu thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng, trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co của Banach (1922). Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau. Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học khác nhau như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến kinh tế như bài toán cân bằng, bài toán chấp nhận lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân ... Bài toán về điểm bất động có hai lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu chủ yếu, đó là: Ta quan tâm đến sự tồn tại nghiệm của phương trình T (x) = x, trong đó T là một ánh xạ từ tập con C của không gian X vào X và nghiệm x0 của nó được gọi là một điểm bất động của T . Trong rất nhiều trường hợp quan trọng việc giải một phương trình được đưa về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X và y là một phần tử cố định thuộc X, thì nghiệm của phương trình S(x) = y chính là điểm bất động của ánh xạ T được xác định bởi T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X. Bên cạnh đó việc tìm ra các phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động của một ánh xạ cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làm toán trong và ngoài nước. Một trong những bài toán về xấp xỉ điểm bất động được quan tâm nghiên cứu nhiều đó là bài toán tìm điểm bất động của một hay một họ ánh xạ không giãn. Những kết quả cổ điển về lĩnh vực này phải kể đến phương pháp lặp Mann [9], phương pháp lặp Halpern [6] và phương pháp xấp xỉ gắn kết [10]. Cho đến nay đã có nhiều phương pháp được đưa ra dựa trên những cải biên của các phương pháp này cho các lớp bài toán liên quan, như bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục đích của luận văn này là trình bày lại phương pháp lặp tổng quát được đề xuất bởi Jung trong tài liệu [7] cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach không có tính liên tục yếu theo dãy của
2 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, đồng thời điểm bất động này cũng là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân. Phương pháp này có thể ứng dụng vào việc giải bài toán cực trị dạng toàn phương (xem [8]) trên tập lồi, đóng C (tập điểm bất động của phép chiếu mêtric). Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về cấu trúc hình học của các không gian Banach như không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; toán tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co mạnh và ánh xạ không giãn; giới hạn Banach. Ngoài ra, trong chương này luận văn cũng giới thiệu một số phương pháp cơ bản giải bài toán điểm bất động cùng với một số bổ đề bổ trợ cần sử dụng đến trong chương sau của luận văn. Chương 2. Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại một cách chi tiết các kết quả của Jung [7] về các phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện cho bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn, đồng thời là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach.
3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này gồm 5 mục. Mục 1.1 giới thiệu về không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn đều và toán tử j-đơn điệu. Mục 1.2 trình bày về toán tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co, giả co mạnh và ánh xạ không giãn. Mục 1.3 giới thiệu một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục 1.4 đề cập đến giới hạn Banach và một số tính chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày các nội dung của chương 2. Mục 1.5 trình bày một số bổ đề bổ trợ cần sử dụng trong chứng minh các định lý ở chương sau của luận văn. 1.1. Một số vấn đề về không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.1. Không gian Banach phản xạ Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ. Định nghĩa 1.1. Một không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ của E, đều tồn tại phần tử x thuộc E sao cho hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i, với mọi x∗ ∈ E. Chú ý 1.1. Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu hx, x∗ i để chỉ giá trị của phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E.
4 Mệnh đề 1.1. [1] Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i) E là không gian phản xạ. ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu. Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong không gian tuyến tính định chuẩn. Mệnh đề 1.2. Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không gian tuyến tính định chuẩn X thì C là tập đóng yếu. Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại dãy {xn } ⊂ C / C. Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X ∗ sao cho xn * x, nhưng x ∈ tách ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với mọi y ∈ C. Đặc biệt ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với mọi n ≥ 1. Ngoài ra, vì xn * x nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i. Do đó, trong bất đẳng thức trên cho n → ∞, ta nhận được hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều này là vô lý. Do đó, điều giả sử là sai hay C là tập đóng yếu. Mệnh đề được chứng minh. Chú ý 1.2. Nếu C là tập đóng yếu thì hiển nhiên C là tập đóng. Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện về sự tồn tại điểm cực tiểu của một phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trong không gian Banach phản xạ. Mệnh đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ E và f : C −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trên C, sao cho f (xn ) → ∞ khi kxn k → ∞. Khi đó, tồn tại x0 ∈ dom(f ) sao cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C}.
5 Chứng minh. Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C}. Khi đó, tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao cho f (xn ) → m khi n → ∞. Nếu {xn } không bị chặn thì tồn tại một dãy con {xnk } của {xn } sao cho kxnk k → ∞. Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn với m 6= ∞. Do đó, {xn } bị chặn. Theo Mệnh đề 1.1 và Mệnh đề 1.2, tồn tại dãy con {xnj } của {xn } sao cho xnj * x0 ∈ C. Vì f là nửa liên tục dưới trong tôpô yếu nên ta có m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m. j→∞ n→∞ Do đó, m = f (x0 ). Mệnh đề được chứng minh. 1.1.2. Không gian Banach lồi đều Định nghĩa 1.2. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = 1 ta có x + y 2 < 1. Chú ý 1.3. Định nghĩa 1.2 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE thỏa kx + yk mãn = 1, suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ SE và x 6= y ta có 2 ktx + (1 − t)yk < 1 với mọi t ∈ (0, 1), trong đó SE = {x ∈ E : kxk = 1}. Mệnh đề 1.4. Giả sử C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach lồi chặt và phản xạ E. Khi đó, tập C 0 = x ∈ C : kxk = inf{kyk : y ∈ C} là gồm duy nhất một phần tử. Chứng minh. Đặt d = inf{kyk : y ∈ C}. Khi đó, tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao cho kxn k → d, khi n → ∞. Từ tính bị chặn của {xn } và Mệnh đề 1.1, tồn tại dãy con {xnk } ⊂ {xn } sao cho xnk * x. Từ tính đóng yếu của C (Mệnh đề 1.2), suy ra x ∈ C. Do đó, từ tính nửa liên tục dưới yếu của chuẩn ta có kxk ≤ lim kxn k = d. n→∞
6 Suy ra kxk = d = inf{kyk : y ∈ C} hay x ∈ C 0 . Ta chứng minh tính duy nhất. Giả sử tồn tại y 6= x và y ∈ C 0 . Từ tính lồi chặt của C, ta có ktx + (1 − t)yk < d với mọi t ∈ (0, 1), điều này mâu thuẫn với d = inf{kyk : y ∈ C}. Định nghĩa 1.3. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta luôn có x + y 2 ≤ 1 − δ(ε). Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gian Banach lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ dưới đây chỉ ra điều đó. Ví dụ 1.1. (xem [1] trang 54) Xét E = c0 (không gian các dãy số hội tụ về không) với chuẩn k.kβ xác định bởi ∞ 1/2 |xi |2 X kxkβ = kxkc0 + β , x = (xi ) ∈ c0 . i=1 i2 Khi đó, (E, k.kβ ), β > 0 là một không gian lồi chặt nhưng không là không gian lồi đều. Để đo tính lồi của không gian Banach E người ta đưa vào khái niệm sau: Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số x + y δE (ε) = inf 1 − 2 : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε . Nhận xét 1.1. Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng trên đoạn [0; 2]. Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi δE (2) = 1 (xem [1] trang 59). Ngoài ra, không gian Banach E là lồi đều khi và chỉ khi δE (ε) > 0, ∀ε > 0 (xem [1] trang 60). Mệnh đề 1.5. (xem [1] trang 56) Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian phản xạ.
7 1.1.3. Không gian Banach trơn Định nghĩa 1.4. Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE tồn tại giới hạn d kx0 + tyk − kx0 k (kx0 + tyk)t=0 = lim . (1.1) dt t→0 t Định nghĩa 1.5. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó: a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi x ∈ SE . b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ SE giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ SE . c) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mọi x ∈ SE , giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ SE . d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x, y ∈ SE . Định nghĩa 1.6. Không gian Banach E được gọi là trơn (trơn đều) nếu chuẩn trên E khả vi Gâteaux đều (Fréchet đều). Ngoài ra, ta có thể định nghĩa không gian Banach trơn đều thông qua mô đun trơn của nó. Định nghĩa 1.7. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định bởi ρE (τ ) = sup{2−1 (kx + yk + kx − yk) − 1 : kxk = 1, kyk = τ }. Nhận xét 1.2. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng trên khoảng [0; +∞) [1], [5]. Ví dụ 1.2. [1] Nếu E là không gian lp hoặc Lp (Ω) thì ta có 1  (1 + τ p )1/p − 1 < τ p , 1 < p < 2,  ρE (τ ) = p (1.2) p − 1 p−1 2 τ 2 + o(τ 2 ) < τ , p ≥ 2.   2 2
8 Mệnh đề 1.6. [1] Mọi không gian Banach trơn đều bất kì là không gian phản xạ. Định nghĩa 1.8. Một không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu ρE (τ ) lim = 0. (1.3) τ →0 τ Ví dụ 1.3. Mọi không gian Hilbert và không gian lp , Lp (Ω) (1 < p < +∞) đều là không gian trơn đều [4]. 1.1.4. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.9. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa ∗ trị J : E −→ 2E xác định bởi J(x) = {f ∈ E ∗ : hx, f i = kxk2 , kxk = kf k} được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Chú ý 1.4. Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh xạ đồng nhất I. Nhận xét 1.3. Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì E, ta luôn có J(x) 6= ∅ với mọi x ∈ E, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lí Hahn - Banach. Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E. Mệnh đề 1.7. [1] Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x), ∀x ∈ E; ii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ E; iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J(D) là một tập hợp bị chặn trong E ∗ ; iv) Nếu E ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị;
9 v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ khi E là không gian Banach trơn đều. Chứng minh. i) Giả sử f ∈ J(−x), ta có h−x, f i = k − xk.kf k∗ = kf k2∗ , k − xk = kf k∗ . Khi đó hx, −f i = (−1)2 h−x, f i = k − f k2 = kxk2 . Suy ra −f ∈ J(x) hay f ∈ −J(x). Do đó, ta có J(−x) ⊆ −J(x). (1.4) Ngược lại giả sử f ∈ −J(x) hay − f ∈ J(x), ta có hx, −f i = (−1)2 h−x, f i = (−1)2 k − xkkf k, k − xk = kf k = k − f k2 = kxk2 . Khi đó h−x, f i = h−(−x), −f i = hx, −f i = kxk2 . Suy ra f ∈ J(−x). Do đó, ta có −J(x) ⊆ J(−x). (1.5) Từ (1.4) và (1.5), ta có J(−x) = −J(x). ii) Giả sử f ∈ J(λx), ta có hλx, f i = kλxk.kf k = kf k2 , kλxk = kf k. Khi đó hx, λ−1 f i = λ−1 hλx, λ−1 f i = λ−2 kλxk.kf k = kλ−1 f k2 = kxk2 .
10 Suy ra λ−1 f ∈ J(x) hay f ∈ λJ(x). Do đó, ta có J(λx) ⊆ λJ(x). (1.6) Giả sử f ∈ λJ(x) hay λ−1 f ∈ J(x), ta có hx, λ−1 f i = λ−1 hλx, λ−1 f i = λ−2 hλx, f i = λ−2 kλxk.kf k, kλxk = kf k = kλ−1 f k2 = kxk2 . Khi đó hλx, f i = hλ−1 λx, λ−1 f i = hx, λ−1 f i = kxk2 . Suy ra f ∈ J(λx). Do đó, ta có λJ(x) ⊆ J(λx). (1.7) Từ (1.6) và (1.7), ta có J(λx) = λJ(x). iii) Ta chứng minh J ánh xạ mỗi tập bị chặn trong E thành tập bị chặn trong E ∗ . Thật vậy, giả sử D là tập con bị chặn trong E. Khi đó, ∃M > 0 sao cho kxk ≤ M, ∀x ∈ D. Do đó, ta có | hx, f i |≤ kxk.kf k, f ∈ E ∗ , kxk = kf k = kxk2 ≤ M 2 . Vậy J(D) là tập bị chặn trong E ∗ . iv) Giả sử f1 , f2 ∈ SE ∗ , x ∈ E. Ta có hx, f1 i = kxk.kf1 k, kf1 k = 1. hx, f2 i = kxk.kf2 k, kf2 k = 1. Cộng vế với vế của 2 phương trình trên ta nhận được hx, f1 + f2 i = 2kxk.
11 Từ đó, suy ra 2kxk = hx, f1 + f2 i ≤ kxkkf1 + f2 k. Từ đó, ta thu được kf1 k + kf2 k = 2 ≤ kf1 + f2 k. (1.8) Mặt khác, hiển nhiên ta có kf1 + f2 k ≤ kf1 k + kf2 k. (1.9) Từ (1.8) và (1.9), ta có kf1 + f2 k = kf1 k + kf2 k = 2. Suy ra kf1 + f2 k = 1. 2 Vì E ∗ là không gian lồi chặt nên suy ra f1 = f2 . Vậy J là ánh xạ đơn trị. v) Lấy bất kì x, y ∈ SE và λ > 0, ta có hy, J(x)i hλy, J(x)i hx, J(x)i − kxk2 + hλy, J(x)i = = kxk λkxk λkxk 2 hx + λy, J(x)i − kxk kxkkx + λyk − kxk2 = ≤ λkxk λkxk 2 kx + λyk − kxk kx + λyk − kxkkx + λyk = = λ λkx + λyk hx + λy, J(x + λy)i − |hx, J(x + λy)i| ≤ λkx + λyk λhy, J(x + λy)i + hx, J(x + λy)i − |hx, J(x + λy)i| = λkx + λyk hy, J(x + λy)i ≤ . kx + λyk Vì vậy, với mọi x, y ∈ SE và λ > 0 ta có hy, J(x)i kx + λyk − kxk hy, J(x + λy)i ≤ ≤ kxk λ kx + λyk Do tính liên tục đều của J trên mỗi tập con bị chặn của E suy ra kx + λyk − kxk hy, J(x)i lim = . λ→0 λ kxk Suy ra E là không gian trơn đều.
12 Ngược lại giả sử E là không gian trơn đều, khi đó J là đơn trị. Ta phải chứng minh J liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E. Theo giả thiết E là không gian trơn đều nên E ∗ là không gian lồi đều do đó E ∗ là không gian lồi chặt. Giả sử {xn }, {yn } là các dãy trong E sao cho kxn k ≤ K, kyn k ≤ K, K > 0 và kxn − yn k → 0. Trường hợp 1. Nếu xn → 0 thì yn → 0. Khi đó, ta có kJ(xn )k = kxn k → 0 và kJ(yn )k = kyn k → 0. Do đó kJ(xn ) − J(yn )k → 0. Trường hợp 2. xn 9 0. Khi đó ∃α > 0 và {xnk } ⊂ {xn } sao cho kxnk k ≥ α. Vì α kxn − yn k → 0, nên ta có thể giả sử kynk k ≥ . Không mất tính tổng quát, ta 2 có thể giả sử kxn k ≥ β, kyn k ≥ β, β > 0. xn yn Đặt un = và vu = , khi đó kun k = kvn k = 1. Ta có kxn k kyn k xn kyn k − yn kxn k kun − vn k = kxn kkyn k 1 ≤ 2 x n ky n k − xn kxn k + x n kx n k − y n kxn k β
1