Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình hàm đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

---------------------------------------

DƯƠNG THỊ PHƯỢNG

PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

---------------------------------------

DƯƠNG THỊ PHƯỢNG – C00454

PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LƯU BÁ THẮNG

Hà Nội – Năm 2016

1

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa.................................................................................................. 01

Mục lục.......................................................................................................... 02

Lời cam đoan ..................................................................................................04

Tóm tắt luận văn............................................................................................. 05

MỞ ĐẦU....................................................................................................... 06

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 VÀNH CÁC ĐA THỨC MỘT BIẾN...................................................... 08

1.2 ĐA THỨC TRÊN MỘT TRƯỜNG SỐ……………………….………. 12

1.2.1 Một số tính chất………………………………………………….…… 12

1.2.2 Một số ví dụ……………………………………………………….….. 16

1.3 ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ………………………………………. 18

1.3.1 Nghiệm hữu tỉ của đa thức với các hệ số nguyên………………….… 18

1.3.2 Đa thức bất khả quy trên trường các số hữu tỉ và các tiêu chuẩn

Eisenstein; Osada; Polya………………………………………….....……... 19

1.4 ĐA THỨC TRÊN VÀ TRÊN …………………………….……... 24

1.5 VÀNH ĐA THỨC NHIỀU BIẾN……………………………….....….. 27

1.5.1 Xây dựng vành các đa thức nhiều biến…………………….………… 27

1.5.2 Bậc của đa thức nhiều biến…………………...……………….……… 28

Kết luận Chương 1........................................................................................ 29

Chương 2. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC

2.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC MỘT BIẾN.................................. 31

2.1.1 Phương trình có dạng .................................. 31

2

2.1.2 Phương trình có dạng ………………… 39

2.1.3 Phương trình có dạng ………… 53

2.1.4 Bài tập tự luyện.................................................................................... 61

2.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC NHIỀU BIẾN…………………...... 62

2.2.1 Một số ví dụ.......................................................................................... 62

2.2.2 Bài tập tương tự.................................................................................... 65

2.3 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC KHÁC.……… 65

2.3.1 Một số ví dụ.......................................................................................... 65

2.3.2 Bài tập tương tự.................................................................................... 71

2.3.3 Bài tập tự luyện......................................................................................73

Kết luận Chương 2..........................................................................................74

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1. Kết luận..................................................................................................... 75

2. Khuyến nghị............................................................................................. . 75

TÀI LIỆU TRÍCH DẪN ............................................................................. 76

3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS

Lưu Bá Thắng, luận văn cao học chuyên ngành phương pháp Toán sơ cấp với

đề tài “Phương trình hàm đa thức” là công trình nghiên cứu của riêng tôi

trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Thăng Long.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa và

phát huy những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 06 năm 2016

Tác giả

Dương Thị Phượng

4

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn gồm ba phần:

PHẦN 1. Mở đầu

PHẦN 2. Nội dung

Phần này gồm hai chương:

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 VÀNH ĐA THỨC MỘT BIẾN

1.2 ĐA THỨC TRÊN MỘT TRƯỜNG SỐ

1.3 ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG

1.4 ĐA THỨC TRÊN VÀ TRÊN

1.5 VÀNH ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

Chương 2. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC

2.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC MỘT BIẾN

2.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

2.3 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC KHÁC

PHẦN 3. Kết luận và khuyến nghị.

5

MỞ ĐẦU

Phương trình hàm nói chung và phương trình hàm đa thức nói riêng là

một trong những lĩnh vực hay và khó của toán sơ cấp. Trong các kì thi

Olympic Toán học Quốc gia, Khu vực và Quốc tế thường xuyên xuất hiện các

bài toán phương trình hàm và phương trình hàm đa thức. Các bài toán này

thường là khó, đôi khi rất khó. Để giải các bài toán đó trước tiên ta phải nắm

vững các kiến thức về phương trình hàm và các tính chất của đa thức, đồng

thời phải có sự vận dụng thích hợp.

Trên thực tế, các công trình nghiên cứu về phương trình hàm có rất

nhiều nhưng các tài liệu đề cập về phương trình hàm đa thức nói riêng còn ít.

Do đó, việc có thể giúp học sinh tiếp cận với phương trình hàm đa thức dễ

dàng hơn và giải quyết được một số bài toán về phương trình hàm đa thức là

một yêu cầu hết sức cần thiết.

Nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục trong nhà trường phổ thông và góp

phần từng bước nâng cao chất lượng của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi

chọn đề tài “Phương trình hàm đa thức” làm luận văn cao học của mình.

Luận văn gồm Mở đầu, hai Chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo.

Chương 1: Trình bày về những kiến thức cơ bản được dùng trong

chương 2 như: vành đa thức, đa thức trên một trường số, đa thức trên trường

số hữu tỉ, trường số thực và trường số phức.

Chương 2: Trình bày chi tiết các dạng phương trình hàm đa thức thông

dụng. Ở mỗi dạng bắt đầu bằng một số tính chất quan trọng sau đó nêu ra các

ví dụ điển hình minh họa, tiếp đến là các bài tập tương tự và cuối cùng là các

bài tập tự luyện. Qua đó, giúp người giải toán dễ hình dung và nắm bắt được

phương pháp giải từng loại phương trình hàm đa thức.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long dưới sự

hướng dẫn khoa học và chỉ bảo tận tình của TS Lưu Bá Thắng, Đại học Sư

6

phạm Hà Nội. Là người học trò đã tiếp thu được nhiều điều bổ ích, quý báu từ

Thầy, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên

kịp thời và sự nghiêm khắc chỉ bảo, hướng dẫn của Thầy.

Tôi xin cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Trường Đại học Thăng Long,

phòng Sau đại học và Quản lý khoa học - Trường Đại học Thăng Long. Đồng

thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp CTM3-BG (Cao học toán Bắc

Giang) khóa 2014 – 2016 của Trường Đại học Thăng Long đã động viên giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, tổ chuyên môn Toán – tin, các đồng

nghiệp Trường THPT Yên Dũng số 3, Bắc Giang đã tạo điều kiện giúp đỡ,

góp ý cho tác giả trong thời gian học tập và thực hiện luận văn này.

Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng nhưng do thời gian có hạn, kinh

nghiệm nghiên cứu và viết luận văn còn hạn chế nên không tránh khỏi những

thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô

và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 06 năm 2016

Tác giả

Dương Thị Phượng

7

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 VÀNH CÁC ĐA THỨC MỘT BIẾN

Cho là một vành giao hoán có đơn vị 1. Kí hiệu

với là biến. Giả sử

Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử và Khi đó

Trên ta có quan hệ bằng nhau: khi và chỉ khi với mọi

và

Phép cộng:

Phép nhân:

Với hai phép toán cộng và nhân đã nêu thì trở thành một vành giao

hoán có đơn vị 1. Khi đó được gọi là vành các đa thức của biến trên

còn phần tử của được gọi là đa thức của biến trên Đa thức

được gọi là có bậc và viết là nếu

trong trường hợp như vậy ta gọi là hệ tử cao nhất của

Quy ước: Đa thức 0 là một đa thức có bậc

Thực chất của việc làm trên là xây dựng một vành mở rộng của

thông qua định nghĩa hình thức cho cái gọi là đa thức của biến trên

mà bản chất thực sự là định nghĩa hình thức cho phần tử siêu việt Bây giờ

8

chúng ta sẽ xem xét một cách tiếp cận khác để đưa ra một vành mở rộng của

đẳng cấu với Cách tiếp cận này chính là để đi kiến thiết một phần tử

siêu việt trên

Xét tập tất cả những dãy được sắp các phần tử thuộc

với vô hạn đếm được các thành phần tọa độ, trong đó chỉ một số hữu hạn

các Trong ta định nghĩa quan hệ bằng nhau và hai phép toán như

(i) khi và chỉ khi với mọi

(ii)

(iii)

Dễ dàng kiểm tra được cùng với hai phép toán trên lập thành một vành

giao hoán.

Lấy tập con của gồm tất cả những phần tử dạng Khi

đó, ta có:

(i) là một vành con của vành

(ii) Tương ứng là một đẳng cấu.

Thật vậy, từ và thuộc ta có ngay

và

thuộc Vậy là một vành con của Từ ta suy ra

Vậy là một ánh xạ. Dễ dàng kiểm tra là một đẳng cấu. Do đó

9

Do đẳng cấu với vành con của nên khi đồng nhất với

chúng ta đã nhúng được vào và ta có thể coi là một

vành con của

Đặt Dễ dàng kiểm tra các lũy thừa sau đây:

ở tọa độ thứ .

Khi đó mỗi phần tử có thể biểu diễn như sau:

Như vậy, mỗi phần tử thuộc đều biểu diễn được thành một dạng đa thức

Từ của với các hệ tử thuộc Như vậy

suy ra

hay

Xét tương ứng cho bởi Dễ kiểm tra được

là một đẳng cấu vành. Vậy

10

Định lí 1.1.1 Cho là một miền nguyên. Khi đó vành các đa thức là

một miền nguyên. Ngoài ra, nếu là các đa thức khác đa thức 0, thì

Chứng minh

Thật vậy giả sử là các đa thức khác đa thức 0, và giả sử

với

Khi đó khác và

với

Vì là một miền nguyên nên khác 0, do đó Vậy là một

miền nguyên. Cũng từ chứng minh vừa rồi, ta suy ra:

Cho là một miền nguyên, khi đó ta có vành các đa thức là một

miền nguyên. Giả sử Đa thức được gọi là chia hết cho

đa thức nếu tồn tại đa thức để Đa thức được

gọi là một ước chung của và nếu cả và đều chia hết cho

được gọi là một ước chung lớn nhất của và nếu là một ước chung

của và đồng thời chia hết cho mọi ước chung của và Ước

chung lớn nhất của hai đa thức, được xác đinh duy nhất sai khác một nhân tử

khả nghịch của Nếu một ước chung lớn nhất của và là khả nghịch

(tất nhiên lúc đó ), thì và gọi là nguyên tố cùng nhau. Đa thức

11

được gọi là khả quy trên nếu có hai đa thức không khả nghịch,

để Đa thức được gọi là bất khả quy trên nếu không có hai đa

thức không khả nghịch để

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử là một phần tử tùy ý thuộc vành

là một đa thức tùy ý của Phần tử

được gọi là giá trị của tại Nếu

thì được gọi là một nghiệm của Tìm nghiệm của

trong được gọi là giải phương trình đại số bậc n

trên

1.2 ĐA THỨC TRÊN MỘT TRƯỜNG CON CỦA TRƯỜNG SỐ PHỨC

Trong luận văn này ta chỉ nghiên cứu đa thức trên một trường là

trường con của trường số phức.

1.2.1 Một số tính chất

Định lí 1.2.1.1 Cho là một trường con của trường số phức và giả sử

Khi đó dư của phép chia cho là hay

Chứng minh

Từ thuật toán chia đa thức ta có Do đó

Bây giờ ta cần tìm hiểu cách tính của Horner.

Để ý rằng thực hiện phép chia cho

ta được các hệ tử của đa thức thương cho bởi

các công thức và dư hay

12

Vì nên ta suy ra sơ đồ tính và cả thông qua quá trình

lặp như sau:

Lược đồ tính và cả theo cách này, được gọi là Lược đồ Horner.

Định lí 1.2.1.2 (Bézout) Nếu là nghiệm của đa thức bậc dương

thì với có

Chứng minh

Thật vậy, ta luôn biểu diễn với Từ

ta rút ra và

Hệ quả 1.2.1.3 Cho một đa thức bậc dương Khi đó ta có:

(i) Nếu là các nghiệm của thì

với có .

(ii) Số nghiệm của đa thức trong không vượt quá bậc của

Định lí Bézout là cơ sở cho khái niệm nghiệm bội của một đa thức,

được phát biểu rằng: được gọi là một nghiệm bội của đa thức bậc

dương nếu với nguyên dương và

13

Trường hợp thì được gọi là nghiệm đơn; trường hợp

thì được gọi là nghiệm kép của

Định lí 1.2.1.4 (Viète) Nếu là các nghiệm của một đa thức bậc

trên một trường thì

được gọi là những đa thức đối xứng cơ bản của

Chứng minh

Do nên khai triển vế

phải ta được

Bằng việc đồng nhất các hệ tử của hai đa thức ở hai vế, ta được

Định lí 1.2.1.5 (Lagrange) Cho là một đa thức bậc trên một trường

và là phần tử phân biệt trong Đặt

Khi đó ta có:

(i)

14

(ii)

Chứng minh

(i) Đặt Ta có và

Đa thức có và có quá nghiệm là Do đó

phải là đa thức Vậy

(ii) Vì nên từ (i) suy ra

Định lí 1.2.1.6 (Taylor) Cho là một đa thức bậc trên một trường

và Khi đó ta có:

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh định lí này bằng quy nạp theo bậc của đa thức. Dễ kiểm tra

được trường hợp bậc Giả sử phát biểu đã đúng cho tất cả đa thức có bậc

nhỏ hơn hoặc bằng Xét đa thức bậc Bây giờ ta cần chỉ ra rằng

Đặt

15

Khi đó:

Mặt khác theo giả thiết quy nạp áp dụng cho thì

Vì vậy Kết hợp với ta rút ra Do

đó ta nhận được:

và quy nạp đã hoàn thành. Định lí được chứng minh.

1.2.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1.2.2.1 Cho đa thức thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Chứng minh

Đặt Khi đó ta có:

hay được biểu diễn dưới dạng:

Mặt khác nên Dẫn đến

16

Từ đó suy ra

Do đó

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 1.2.2.2 Cho là phần tử phân biệt trên một trường

Đặt Chứng minh rằng với mỗi đa thức

bậc trên ta có

Chứng minh

Theo công thức nội suy Lagrange ta có

So sánh các hệ số của ta được

Ví dụ 1.2.2.3 Cho các số nguyên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần

Chứng minh rằng trong số các giá trị của đa thức

tại sẽ tồn tại ít nhất một để

Chứng minh

Đặt theo ví dụ 1.2.2.2, ta nhận được

17

Đặt Dễ thấy rằng nên ta có

các bất đẳng thức:

Do đó Vậy

Ví dụ 1.2.2.4 Cho là đa thức bậc có hệ số cao nhất là thỏa mãn

Tính giá trị biểu thức

Bài giải

Xét ta có

Do hệ số cao nhất của Đặt

là 1 nên hệ số cao nhất của cũng là 1.

Ta có nên có dạng:

Vì hệ số cao nhất của là 1 nên nên ta có:

Suy ra

Vậy

1.3 ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG

1.3.1 Nghiệm hữu tỉ của đa thức với các hệ số nguyên

Định lí 1.3.1.1 Cho đa thức

18

Khi đó nếu số hữu tỉ với là nghiệm của phương trình

thì ta có các khẳng định sau:

(i) là một ước của và là một ước của

(ii) là ước của với mọi số nguyên

Chứng minh

(i) Giả sử số hữu tỉ với là một nghiệm của Khi đó:

Vì nên là một ước của và là một ước của

(ii) Khai triển theo các lũy thừa của ta được:

Thay ta được:

Vì nên là ước của với mọi số nguyên

Hệ quả 1.3.1.2 Các nghiệm hữu tỉ của đa thức

phải là số nguyên.

1.3.2 Đa thức bất khả quy trên trường các số hữu tỉ và các tiêu chuẩn

Eisenstein; Osada; Polya

Cho một đa thức

Đặt Khi đó là một đa thức với các hệ số

19

nguyên, nguyên tố cùng nhau. Đa thức này được gọi là một đa thức nguyên

bản.

Bổ đề 1.3.2.1 (Gauss) Nếu thì

Chứng minh Chỉ cần chứng minh cho trường hợp là

đủ, vì thay cho việc xét và ta xét các đa thức và tương

ứng. Giả sử và với

và Giả sử Gọi là một

ước nguyên tố của Khi đó tất cả các hệ số của đều chia hết cho

trong khi và có những hệ số không cùng chia hết cho Gọi và là

những hệ số đầu tiên của và tương ứng mà không chia hết cho Khi đó

hệ số của thỏa mãn:

(mâu thuẫn !). Vậy Khi thì

Từ bổ đề trên ta suy ra hệ quả sau:

Hệ quả 1.3.2.2 Tích của hai đa thức nguyên bản cũng là một đa thức nguyên

bản.

Hệ quả 1.3.2.3 Đa thức nguyên bản là một đa thức bất khả quy trên

khi và chỉ khi nó là một đa thức bất khả quy trên

Chứng minh

Giả sử và với Dễ thấy rằng luôn tồn tại các số

hữu tỉ dương và sao cho và thuộc đồng thời là các đa thức

20

nguyên bản. Khi đó vì và là một đa thức nguyên bản,

cùng với và thuộc , nên nguyên dương. Theo Bổ đề 1.3.2.1,

ta có: Vậy

Do đó là một phân tích của trong

Do kết quả này, nên ta có thể chuyển việc xét tính bất khả quy của các

đa thức thuộc về việc xét tính bất khả quy trong Sau đây là một

số tiêu chuẩn để có thể kiểm tra một đa thức thuộc là bất khả quy.

Định lí 1.3.2.4 (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho một đa thức

bậc với các hệ số nguyên. Giả sử rằng, tồn tại một số nguyên tố sao

cho không chia hết cho và các chia hết cho nhưng

không chia hết cho Khi đó là một đa thức bất khả quy trên

Chứng minh

Giả sử khả quy trên Theo chứng minh Hệ quả 1.3.2.3, tồn tại hai đa

thức bậc dương với hệ số nguyên để

với Vì chia hết cho nên ít nhất

một trong hai số hoặc phải chia hết cho Xét chẳng hạn chia hết

cho Vì không chia hết cho nên không chia hết cho Khi đó

nếu tất cả các đều chia hết cho thì cũng phải chia hết cho (mâu

thuẫn với giả thiết). Do đó phải tồn tại một không chia hết cho Gọi là

chỉ số nhỏ nhất để không chia hết cho Khi đó vì

và cùng với tất cả các số hạng đều

21

chia hết cho nên cũng phải chia hết cho (mâu thuẫn!). Điều này

chứng tỏ là một đa thức bất khả quy trên

Ví dụ 1.3.2.5 Với mỗi số nguyên tố chứng minh rằng đa thức

là một đa thức bất khả quy trên

Chứng minh

Ta phải chứng minh là một đa thức bất

khả quy trên Ta có chia hết cho nhưng không chia hết cho với

mọi Theo tiêu chuẩn Eisenstein đa thức là bất khả quy trên

Ví dụ 1.3.2.6 Chứng minh rằng nếu là một số nguyên tố, thì đa thức

là bất khả quy trên

Chứng minh

Dễ chỉ ra rằng

Theo tiêu chuẩn Eisenstein, thì vế phải là một đa thức bất khả quy trên Do

đó bất khả quy trên Vì là một đa thức nguyên bản nên

bất khả quy trên

Định lí 1.3.2.7 (Tiêu chuẩn Osada) Cho là

một đa thức có các hệ số nguyên với là một số nguyên tố. Khi đó nếu

thì là một đa thức bất khả quy trên

Chứng minh

22

Giả sử là khả quy. Khi đó với và là những đa

thức bậc dương với các hệ số nguyên. Vì là một số nguyên tố nên một

trong các số hạng tự do của hay phải bằng chẳng hạn hệ số tự do của

bằng Do đó trị tuyệt đối của tích các nghiệm của trong trường phức

phải bằng 1. Khi đó phải có một nghiệm phức với Vì

cũng là nghiệm của nên

(mâu thuẫn !)

Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng là một đa thức bất khả quy trên

Ví dụ 1.3.2.8 Chứng minh rằng nếu là một số nguyên tố lẻ, thì đa thức

là bất khả quy trên

Chứng minh

Dễ thấy đa thức này có nên theo tiêu chuẩn

Osada thì nó là một đa thức bất khả quy trên

Định lí 1.3.2.9 (Tiêu chuẩn Polya) Cho là một đa thức với hệ số

nguyên bậc Đặt Giả sử rằng, tồn tại số nguyên

đôi một khác nhau và không là nghiệm của sao cho

Khi đó là một đa thức bất khả quy trên

Chứng minh

Giả sử là khả quy, khi đó từ chứng minh Hệ quả 1.3.2.3,

ở đó là những đa thức bậc dương với các hệ số

nguyên. Không hạn chế tính tổng quát, ta giả sử Như

23

vậy ta thấy ngay và chia hết cho Do đó

Theo Ví dụ 1.3.2.8, tồn tại để Vì

nên Do đó Từ mâu thuẫn này ta suy ra là

một đa thức bất khả quy.

Ví dụ 1.3.2.10 Chứng minh rằng đa thức

là một đa thức bất khả quy trên

Chứng minh

Ta có với mọi Do đó theo tiêu chuẩn Polya, thì

là một đa thức bất khả quy trên Do nguyên bản nên suy ra

bất khả quy trên

Ví dụ 1.3.2.11 Chứng minh rằng không tồn tại một đa thức thỏa

mãn và

Chứng minh

Giả sử tồn tại đa thức thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta luôn có:

chia hết cho tức là chia hết cho 23.

Nhưng không chia hết cho Do vậy

không tồn tại đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn đề bài.

1.4 ĐA THỨC TRÊN VÀ TRÊN

Vì là trường đóng đại số nên đa thức bất khả quy một ẩn trên chỉ

là những đa thức bậc một. Chính vì lí do này mà ta chỉ cần xét đa thức bất khả

quy trên

24

Định lí 1.4.1 Cho một đa thức bậc dương Khi đó là một

đa thức bất khả quy khi và chỉ khi hoặc hoặc

Chứng minh

Hiển nhiên, nếu là một đa thức bậc nhất hay một tam thức bậc 2

với biệt thức thì là bất khả quy trên Ta chứng minh

điều ngược lại. Giả sử là một đa thức bất khả quy với

Trường hợp thì Xét trường

hợp Khi đó Nếu

thì có hai nghiệm và ta có Vậy

Xét trường hợp Vì là trường đóng đại số

nên có nghiệm theo Định lí cơ bản của đại số. Do

nên còn nghiệm Khi đó chứa nhân tử

hay là khả quy (mâu thuẫn !). Tóm lại,

là một đa thức bất khả quy khi và chỉ khi hoặc

hoặc

Định lí 1.4.2 Mỗi đa thức bậc dương đều có thể phân tích một

cách duy nhất dưới dạng:

trong đó và với mọi cùng với

25

(theo thứ tự từ điển).

Chứng minh

Vì là một vành Euclid, nên có thể phân tích được thành tích các

nhân tử bất khả quy trong Bằng cách viết và

ta có thể quy về tích

trong đó và với mọi cùng với

(theo thứ tự từ điển). Vậy ta thấy ngay sự phân tích này là duy nhất.

Ví dụ 1.4.3 Cho là 2 đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn điều

chia hết cho đa thức Chứng minh kiện

cùng chia hết cho rằng

Chứng minh

(*) Ta có

Ta thấy:

chia hết cho do đó sẽ chia hết cho

Theo giả thiết chia hết cho nên từ (*) suy ra sẽ

chia hết cho Mà có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1 nên

26

Do đó Theo Định lý Bézout suy ra

cùng chia hết cho

Nhận xét. Để 2 đa thức cùng chia hết cho thì theo Định lý

Bézout ta cần chứng minh là nghiệm của tức là

Một cách tự nhiên ta thêm bớt và và áp dụng tính

chất chia hết cho với là một đa thức với hệ số

nguyên, để đi đến kết quả.

1.5 VÀNH CÁC ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

1.5.1 Xây dựng vành các đa thức nhiều biến

Định nghĩa 1.5.1.1 Giả sử là một vành giao hoán có đơn vị. Đặt

Khi đó vành kí hiệu là được gọi là vành các đa

thức của biến lấy hệ tử trong vành Mỗi phần tử của được

gọi là một đa thức của biến lấy hệ tử trong vành Đa thức có dạng

được gọi là một đơn thức. Hai đơn thức và

được gọi là hai đơn thức đồng dạng, nếu

Nhận xét 1.5.1.2 Từ định nghĩa của vành các đa thức nhiều biến ta suy ra

rằng:

(i) Mỗi đa thức của vành đều có thể viết dưới

dạng:

27

với các và là các số tự nhiên đồng thời

Các gọi là các hệ tử, các gọi là các hạng tử của đa thức

Đa thức khi và chỉ khi các hệ tử của nó

bằng không tất cả.

(ii) Hai đa thức và bao giờ cũng có thể quy về

cùng một dạng:

trong đó

(iii) khi và chỉ khi với

(iv) Tổng, hiệu, tích của và là

1.5.2. Bậc của đa thức nhiều biến

Định nghĩa 1.5.2.1 Giả sử là một đa thức

khác không và

với các và Ta gọi là bậc của

đa thức đối với biến là số mũ cao nhất mà có được trong

các hạng tử ở vế phải của nó. Nếu biến không có mặt trong các hạng tử ở

28

vế phải của đa thức thì ta nói rằng bậc của đối

với là 0. Ta gọi là bậc của hạng tử

Bậc của là một số (kí hiệu là ) lớn

nhất trong các bậc của các hạng tử của nó ở vế phải. Nếu các hạng tử ở vế

phải của có cùng bậc thì được gọi là một đa

thức đẳng cấp hay một dạng bậc Đặc biệt một dạng bậc nhất gọi là một

dạng tuyến tính, một dạng bậc hai gọi là một dạng toàn phương, một dạng bậc

ba gọi là một dạng lập phương.

Từ những điều vừa kể đến, ta nhận được một số kết quả sau:

Mệnh đề 1.5.2.2 Giả sử và là hai đa thức khác

không có các hạng tử cao nhất tương ứng là và Khi đó ta

có các khẳng định sau:

(i) Nếu thì hạng tử cao nhất của đa thức tổng

là

(ii) Nếu thì hạng tử cao nhất của đa thức tích

là

Hệ quả 1.5.2.3 Nếu là một miền nguyên thì vành đa thức

cũng là một miền nguyên.

Kết luận Chương 1 Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về đa thức,

cách xây dựng vành các đa thức một biến, vành các đa thức nhiều biến. Bên

cạnh đó còn trình bày các tính chất quan trọng của đa thức trên một trường số

trong đó có định lí Bézout và hệ quả của nó là một công cụ mạnh để giải

29

quyết các bài toán về đa thức và phương trình hàm đa thức. Ngoài ra trong

chương 1 còn giới thiệu một số tính chất của đa thức trên trường số hữu tỉ, số

thực và số phức, các tiêu chuẩn để chứng minh một đa thức là bất khả quy.

Qua đó tác giả cũng đưa ra một số ví dụ minh họa giúp người đọc dễ dàng

thấy được sự vận dụng hiệu quả của các tính chất trong các bài toán đa thức.

30

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC

2.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC MỘT BIẾN

2.1.1 Phương trình có dạng

Trong phần này ta sử dụng một số tính chất sau:

1) Nếu là đa thức tuần hoàn, tức là tồn tại sao cho

với mọi thì ( là một hằng số).

2) Trong mọi đa thức đều phân tích được dưới dạng tích các nhân tử

bậc nhất và các nhân tử bậc hai với biệt thức âm.

3) Nếu đa thức với và có nhiều hơn nghiệm (kể

cả nghiệm bội) thì nó là đa thức 0.

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1.1.1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

Phân tích: Khi giải phương trình hàm, xác định một hàm số thỏa mãn một

tính chất với mọi ta có một phương pháp điển hình là phương pháp thế,

thay bởi một giá trị đặc biệt từ đó phát hiện ra một tính chất nào đó của

hàm số. Đa thức cũng là một hàm số, vì vậy ta sẽ thử thay bởi một vài giá

trị để tìm nghiệm của đa thức. Sau đó áp dụng định lí Bézout là một kết quả

mạnh trong giải toán đa thức (định lí Bézout không đúng với hàm số tùy ý).

Bài giải

Lần lượt thay ta được Do đó là nghiệm

của đa thức Suy ra Thay vào giả thiết ta được:

31

Suy ra

Điều đó dẫn đến do đó

Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy ( là một hằng số).

Ví dụ 2.1.1.2 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

và tồn tại số nguyên sao cho

(V2.1.1.2)

Bài giải

Ta chứng minh là một ước số nguyên của 2016. Thật vậy, ta có vì

nếu thì điều này

mâu thuẫn vì Bây giờ giả sử

Thay vào (V2.1.1.2) ta được Khi đó:

Thay ta được hay cũng là một nghiệm của

Giả sử, với số nguyên dương nào đó đều là nghiệm

Kết hợp với (V2.1.1.2) của

suy ra

Thay ta được:

Do nên ta có

cũng là một nghiệm của Theo nguyên lí quy nạp sẽ nhận là

32

nghiệm với mọi Do đó có vô số nghiệm, mâu thuẫn. Vậy điều

giả sử là sai, ta đã chứng minh được phải là một ước nguyên dương của

2016,

chứng minh tương tự trên ta có đều là Đặt

nghiệm của nên

Kết hợp (V2.1.1.2) ta được:

Khi đó nên là đa thức hằng.

Do vậy

Thay ta có

Vậy tương ứng với 4 giá trị của ta tìm được 4 đa thức:

Thử lại ta thấy cả bốn đa thức đều thỏa mãn đề bài.

Bài toán tổng quát Cho hai số thực ( ) và đa thức thỏa mãn

(2.1.1)

a) Chứng minh rằng nếu thì

33

b) Hãy tìm đa thức nếu

Bài giải

a) Nếu là một đa thức bậc thỏa mãn (2.1.1) thì ta chứng minh

Giả sử

Từ (2.1.1) ta có Khi đó:

Suy ra

Đồng nhất hệ số trong đẳng thức ta được:

b) Nếu thì hệ thức (2.1.1) trở thành:

Ta thấy

Giả sử Cho ta có:

Tức là

Khi đó

Thay vào (2.1.1) ta được:

dẫn đến Suy ra

Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu

bài toán . Vậy ( là một hằng số).

34

Ví dụ 2.1.1.3 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn

Bài giải

a) Ta có

suy ra dẫn đến Do đó Xét

Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy ( là một hằng số).

b) Ta có

suy ra dẫn đến Do đó Xét

Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy ( là một hằng số).

Ví dụ 2.1.1.4 (Moldova 2004) Tìm đa thức với hệ số thực thỏa mãn

Bài giải

Từ giả thiết ta có:

nên Dễ thấy

với là đa thức với hệ số thực. Thay vào giả thiết ta được:

Suy ra

35

hay Đặt ta có:

nên Khi đó:

dẫn đến

Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy ( là một hằng số).

Ví dụ 2.1.1.5 (Đề nghị thi HSG DH ĐBBB 2015) Tìm tất cả các đa thức

với hệ số thực thỏa mãn

Bài giải

Giả thiết đã cho được viết lại dưới dạng:

Đặt Ta có

(V2.1.1.5)

Lần lượt thay vào (V2.1.1.5) ta được:

Suy ra với

Khi đó (V2.1.1.5) trở thành:

Suy ra

Do đó

Hay với là hằng số. Từ đó ta thu được:

36

Thử lại thỏa mãn bài toán.

Vậy ( là hằng số).

Bài tập tương tự

Bài tập 2.1.1.1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

Hướng dẫn

Do nên hay có dạng:

trong đó cũng là một đa thức.

Thay vào phương trình đã cho ta được Suy ra

Vậy ( là hằng số).

Bài tập 2.1.1.2 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

Hướng dẫn

Xét theo đề bài ta có

Đặt ta được suy ra

Mặt khác đa thức là một đa thức sai phân nên

Mà

Ta lại có do đó

Vậy đa thức cần tìm là hoặc ( là hằng số).

37

Bài tập 2.1.1.3 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

(B2.1.1.3)

Hướng dẫn

(B2.1.1.3) trở thành Do đó là nghiệm của Cho

(B2.1.1.3) trởthành Do đó là nghiệm của Cho

(B2.1.1.3) trở thành Do đó là nghiệm của Cho

Suy ra

Thay vào (B2.1.1.3) ta được

Suy ra

( là hằng số). Vậy

Bài tập 2.1.1.4 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

(B2.1.1.4)

Hướng dẫn

(B2.1.1.4) trở thành Do đó là nghiệm của Cho

. Thay vào (B2.1.1.4) ta được: Khi đó

Suy ra

( là hằng số). Vậy

Bài toán trên có thể tổng quát thành bài toán sau:

38

Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

Bài tập 2.1.1.5 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

Hướng dẫn

Từ giả thiết ta có:

Dễ thấy

Suy ra trong đó cũng là một đa thức.

Thay vào phương trình đã cho ta được

Nhận thấy nên suy ra trong đó cũng là một đa

thức. Thay vào phương trình ta được:

Do đó

Vậy ( là hằng số).

2.1.2 Phương trình có dạng

Bài toán tổng quát Giả sử và là các đa thức thuộc đã

cho thỏa mãn điều kiện Tìm tất cả các đa

thức sao cho (2.1.2)

Nghiệm của phương trình hàm (2.1.2) có nhiều tính chất đặc biệt giúp chúng

ta có thể xây dựng được tất cả các nghiệm của nó từ các nghiệm bậc nhỏ.

Tính chất 2.1.2.1 Nếu là nghiệm của (2.1.2) thì cũng là nghiệm của

(2.1.2).

39

Hệ quả 2.1.2.2 Nếu là nghiệm của (2.1.2) thì cũng là nghiệm

của (2.1.2).

Định lí 2.1.2.3 Nếu là các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện

và thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

(i)

trong đó là hệ số cao nhất của (ii) và

các đa thức tương ứng.

Khi đó mọi số nguyên dương tồn tại nhiều nhất một đa thức có bậc

và thỏa mãn phương trình (2.1.2).

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1.2.1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

Bài giải

Với thay vào giả thiết ta được suy ra hoặc Vậy

hoặc

Với khác hằng số. Giả sử có dạng:

và các hệ số không đồng thời bằng 0. Giả sử là số lớn

nhất nhỏ hơn sao cho Ta có

Đồng nhất hệ số của hai vế ta có (mâu thuẫn).

Vậy Khi đó thay vào phương trình

đã cho ta được

40

So sánh hệ số của trong phương trình trên ta suy ra mà nên

Do đó

Vậy các đa thức cần tìm là

Nhận xét. Bài toán trên có thể khai thác theo một hướng khác như sau:

Ta có thỏa mãn Định lí 2.1.2.3 và có

thỏa mãn phương trình nên ta có các đa thức thỏa mãn là :

Ví dụ 2.1.2.2 (Bulgaria 1976) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực

thỏa mãn phương trình với

Bài giải

Ta có

Do vậy nếu ta đặt thì ta được

Áp dụng kết quả của Ví dụ 2.1.2.1 suy ra

Vậy

Nhận xét. Bài toán trên có thể khai thác theo một hướng khác như sau:

Ta có thỏa mãn Định lí

2.1.2.3 và có thỏa mãn phương trình nên ta có các đa thức thỏa

mãn là:

Ví dụ 2.1.2.3 (Nam Tư 1982) Tìm tất cả các đa thức với hệ số nguyên

thỏa mãn phương trình với

Bài giải

Giả sử

41

Cho ta được hay

Do đó hoặc

Thay biểu thức của vào phương trình đã cho và so sánh hệ số của ta

thu được Do nên ta có ngay Mà là số

nguyên nên suy ra

- Với thì hoặc

- Với thì hoặc Thử lại ta thấy

thỏa mãn đề bài.

- Với thì và Thay vào điều kiện

của bài toán ta được

Vậy các đa thức cần tìm là và

Ví dụ 2.1.2.4 ( Romania 2001) Tìm đa thức với hệ số thực và thỏa mãn

Bài giải

Giả sử .

- Nếu thì (thỏa mãn).

- Nếu ta đặt

Thay vào giả thiết ta nhận được Nếu khác đa

thức 0 thì ta có

Suy ra (mâu thuẫn).

Vì vậy ta có nên

Đặt thì ta có

42

Giả sử ta có:

Đồng nhất hệ số ta được

Suy ra

Khi đó (thỏa mãn).

Vậy ( là hằng số).

Nhận xét. Bài toán trên có thể khai thác theo một hướng khác như sau:

Tập các nghiệm của là hữu hạn, nên bị chặn. Do đó tồn tại số

nguyên dương sao cho

Đặt và xét đa thức Ta có

hơn nữa, khi thay vào giả thiết ta được:

Dẫn đến

Nghĩa là là nghiệm của thì cũng là nghiệm của Như vậy

ta xây dựng được một dãy vô hạn các nghiệm đôi một phân biệt của là

Suy ra hay

Ta khẳng định nếu là nghiệm của (có thể nghiệm phức) thì

Thật vậy, giả sử Ta có vì vậy ta lại xây

dựng được một dãy nghiệm của

43

Công thức tổng quát của dãy là suy ra các phần tử của dãy

là đôi một khác nhau dẫn đến mâu thuẫn giả thiết.

Do đó điều giả sử là sai, tức là chỉ có nghiệm

Vậy ( là hằng số).

Ví dụ 2.1.2.5 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

Bài giải

- Nếu thì là hằng số.

Từ giả thiết ta có

Suy ra trường hợp này có hai đa thức thỏa mãn đề ra.

- Nếu với lẻ thì đa thức luôn có 1 nghiệm Từ

dẫn đến cũng là nghiệm giả thiết ta có

của

Xét dãy số

Ta thấy là dãy tăng và bằng quy nạp theo ta có Do đó

đa thức có vô số nghiệm, điều này vô lý.

Vì vậy là số chẵn.

- Xét Ta viết lại:

Từ giả thiết của bài toán, ta đồng nhất hệ số của ở cả hai vế phương trình

hàm, ta được do đó

44

Ta đặt với và

Khi đó

(V2.1.2.5)

vì

Mà nên VT(V2.1.2.5) có bậc là VP(V2.1.2.5) có

bậc là Mặt khác nên

Suy ra

Vậy các đa thức cần tìm là

Ví dụ 2.1.2.6 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

Bài giải

Nếu là đa thức hằng thì và là

đa thức bậc nhất thỏa mãn.

Giả sử Gọi là hệ số bậc cao nhất cuả

cân bằng hệ số bậc cao nhất hai vế của phương trình ta được

suy ra

Đặt giả sử Thay vào

phương trình hàm ban đầu ta được:

45

Hay

Khi đó bậc của đa thức vế trái trong phương trình trên là trong khi đó

bậc đa thức vế phải là (vô lý). Do đó

Vậy các đa thức thỏa mãn là

Bài tập tương tự

Bài tập 2.1.2.1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

Hướng dẫn

Nếu đồng nhất là hằng số thì thỏa mãn yêu cầu.

Xét đặt Ta đi chứng minh:

Thật vậy, giả sử một trong các số đó khác không. Gọi là số lớn nhất thỏa

mãn Ta có:

Đồng nhất hệ số của ở hai vế ta có đây là điều mâu thuẫn. Từ

đó giả sử phản chứng là sai, ta phải có ngay

Suy ra

46

Vậy

Bài tập 2.1.2.2 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với (B2.1.2.2.1)

Hướng dẫn

Cho thay vào (B2.1.2.2.1) ta được hoặc .

- Nếu ta đặt trong đó

Thay vào (B2.1.2.2.1) ta được:

(B2.1.2.2.2)

Cho thay vào (B2.1.2.2.2) ta được mâu thuẫn với cách đặt

nên

- Nếu ta đặt trong đó

thay vào (B2.1.2.2.2) ta được:

(B2.1.2.2.3)

Cho thay vào (B2.1.2.2.3) ta có mâu thuẫn với cách đặt nên

Vậy có hai đa thức thỏa mãn đề bài là

Bài tập 2.1.2.3 Giả sử là đa thức với hệ số thực không đồng nhất bằng

không thỏa mãn phương trình với

47

Chứng minh rằng không có nghiệm thực.

Hướng dẫn

Giả sử ngược lại có một nghiệm thực nào đó. Ta thấy rằng nếu là

một nghiệm của thì cũng là nghiệm của Vì vậy ta xây

dựng được một dãy nghiệm của

- Trường hợp ta có Suy ra đa

thức có vô số nghiệm do đó mâu thuẫn giả thiết.

- Trường hợp và là nghiệm kép bậc của nghĩa là

Khi đó thay vào phương trình đã cho ta được:

Suy ra .

Thay ta được mâu thuẫn.

Vậy điều giả sử là sai, nghĩa là không có nghiệm thực.

Bài tập 2.1.2.4 Giả sử là đa thức với hệ số thực không đồng nhất bằng

không thỏa mãn phương trình với

a) Chứng minh rằng không có nghiệm thực.

b) Tìm tất cả các đa thức có bậc bằng 2016 thỏa mãn bài toán.

48

Hướng dẫn

a) Giả sử có một nghiệm thực nào đó.

Ta thấy rằng nếu là nghiệm của thì cũng là nghiệm của

Vì vậy ta xây dựng được một dãy nghiệm của :

Chú ý rằng dãy trên là một dãy đơn điệu tăng vì như

có vô số nghiệm và do đó mâu thuẫn. vậy

không có nghiệm thực. Vậy

nên có ít nhất một nghiệm Ta thấy b) Do

rằng là nghiệm của thì cũng là nghiệm của Vì

vậy ta xây dựng được một dãy nghiệm của là Do số

nghiệm của là hữu hạn nên tồn tại sao cho do đó

(B2.1.2.4.1) Khi đó

(B2.1.2.4.2) Tương tự

Tuy nhiên theo (B2.1.2.4.1) thì nên

Vì vậy

Từ giả thiết suy ra hệ số bậc cao nhất của bằng 1. Do

nên ta phân tích được thành tích của 1008 đa thức bậc hai hệ số thực:

49

hệ số bậc cao nhất của bằng 1.

Với mọi ta có hoặc hoặc Cả hai

trường hợp đều suy ra

Vậy

Bài tập 2.1.2.5 (Việt Nam 2006) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực

thỏa mãn phương trình

với (B2.1.2.5)

Hướng dẫn

Thay bởi vào phương trình (B2.1.2.5) rồi trừ hai phương trình cho nhau

ta thu được với

Do đó đúng với vô số giá trị của

hoặc đúng với vô số giá trị của

Mà là một đa thức nên

đúng với mọi giá trị của

- Nếu (*) thay vào (B2.1.2.5) ta được:

Đặt thì ta có

Theo Ví dụ 2.1.2.1 thì

Suy ra

50

So sánh với điều kiện (*) thì ta nhận được:

- Nếu (**) thay vào (B2.1.2.5) ta được:

Đặt thì ta có

Theo Ví dụ 2.1.2.1 thì

Suy ra

So sánh với điều kiện (**) thì ta nhận được:

Bài tập 2.1.2.6 Tìm tất cả các đa thức khác hằng số, với hệ số thực thỏa

với (B2.1.2.6) mãn phương trình

Hướng dẫn

Giả sử là một nghiệm của Khi đó cũng là nghiệm.

Thay bằng vào (B2.1.2.6) ta có

Vì nên ta cũng suy ra cũng là nghiệm của

Chọn là nghiệm có modul lớn nhất (nếu có vài nghiệm như thế ta chọn một

trong chúng). Từ cách chọn ta suy ra và Áp

dụng bất đẳng thức về modul ta có:

Như vậy dấu bằng phải xảy ra ở các bất đẳng thức trên, suy ra

với là một số dương nào đó.

51

suy Nếu thì

ra mâu thuẫn với cách chọn

Do vậy

Từ đó và ta có suy ra hay

và do đó là thừa số của Từ đây trong đó

là đa thức không chia hết cho Thay vào (B2.1.2.6) ta có

cũng thỏa mãn (B2.1.2.6).

Nếu như phương trình có nghiệm thì làm tương tự như trên, nghiệm

có modul lớn nhất phải là Nhưng điều này không thể vì là đa thức

không chia hết cho Ta kết luận được là hằng số, giả sử đó là

Thay vào phương trình, ta được

Như vậy tất cả các nghiệm không hằng của phương trình (B2.1.2.6) có dạng

với là số nguyên dương.

Bài tập 2.1.2.7 Tìm tất cả các đa thức không phải là đa thức hằng thỏa

mãn phương trình

với

Hướng dẫn

Đặt

Suy ra với hay

Giả sử tồn tại số m lớn nhất sao cho và suy ra

52

Đồng nhất hệ số của ở hai vế ta được mâu thuẫn với điều giả

sử. Từ đó suy ra

Vậy với

Bài tập 2.1.2.8 (Albania TST 2009) Tìm tất cả các đa thức khác đa thức

không có hệ số không âm và thỏa mãn

Hướng dẫn

Giả sử

Do nên ta có

Suy ra

Theo giả thiết

Suy ra hay

So sánh hệ số của ở hai vế của đồng nhất thức ta được

Vậy

2.1.3 Phương trình có dạng

53

Bài toán tổng quát Giả sử và là các đa thức thuộc

đã cho thỏa mãn điều kiện Tìm tất cả

các đa thức sao cho:

Định lí 1.3.1 Nếu là các đa thức không hằng thỏa mãn điều kiện

là một đa thức cho trước, ngoài ra

hoặc và Khi đó với

mỗi số nguyên dương và số thực tồn tại nhiều nhất một đa thức

thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i)

(ii)

(iii)

Hệ quả Trong các điều kiện của định lý, với mỗi số nguyên dương tồn tại

nhiều nhất hai đa thức có bậc thỏa mãn phương trình

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1.3.1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với (V2.1.3.1)

Bài giải

- TH1: nếu thì Bằng phương pháp quy nạp toán

học ta chứng minh được Mà là một đa thức nên

54

- TH2: nếu giả sử

Thay vào (V2.1.3.1) ta được:

Đồng nhất hệ số của ta được do đó

Đồng nhất hệ số của ta được suy ra

Tiếp tục quá trình này ta nhận được hệ số trước bậc lẻ của bằng không, hay

với là một đa thức bậc Thay vào (V2.1.3.1)

ta được

Đặt ta có:

Cho thay đổi thì với vô số giá trị của suy ra nó

cũng đúng với mọi hay thỏa mãn yêu cầu của bài.

- Nếu thỏa mãn thì Khi đó

- Nếu thì từ đa thức ta tiến hành phương pháp như trên ta sẽ

nhận được đa thức có bậc hai lần bằng bậc của Cứ tiếp tục quá

trình này chỉ hữu hạn bước ta sẽ nhận được đa thức

Như vậy đa thức thỏa mãn yêu cầu bài toán chỉ có thể nằm trong dãy

Thử lại ta thấy các đa thức thuộc dãy trên đều thỏa mãn các yêu cầu của bài.

Ví dụ 2.1.3.2 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

55

với

Bài giải

Nếu đặt với và thì ta có:

- Nếu thì

- Nếu và thì

- Nếu và (tức là đồng nhất 0) thì

Từ đó suy ra Đến đây, ta đễ dàng tìm được các nghiệm của phương

trình đã cho là và

Ví dụ 2.1.3.3 (Romania 1990) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực

thỏa mãn phương trình với

Bài giải

Đặt cho thay vào phương trình trên ta được:

Đặt trong đó

Thay vào giả thiết ta được:

Hay

Cho thay vào phương trình trên ta được

mâu thuẫn với cách đặt trên. Từ đó ta có

56

Ví dụ 2.1.3.4 Tìm tất cả các bộ trong đó là hằng, là các đa

thức sao cho:

Bài giải

Nếu là nghiệm thì cũng là nghiệm. Không mất tính

tổng quát ta giả sử Phương trình trên có thể viết lại thành:

Do nên suy ra Từ đó ta giải được

với là số tự nhiên nào đó. Thay vào phương trình trên ta được

Đặt ta được phương trình:

Thay vào phương trình trên ta được Do nên

và Từ đó suy ra

Đặt khi đó ta có:

Nếu thì chia cả hai vế cho ta được:

suy ra mâu thuẫn. Với

thì chia cả hai vế cho ta được: Nếu

57

Với suy ra mâu thuẫn.

Vậy chỉ còn một khả năng có thể xảy ra là Lúc đó ta được phương

trình:

Lí luận tương tự như trong lời giải của Ví dụ 2.1.3.2, ta suy ra

hoặc đồng nhất bằng 0, hoặc có bậc lớn hơn hay bằng bậc

của Như vậy, nếu không đồng nhất 0 thì vế trái sẽ có

bậc là mâu thuẫn. Vậy suy ra và thay

lại vào đẳng thức ta suy ra

Vậy

Bài tập tương tự

Bài tập 2.1.3.1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn phương

trình với

Hướng dẫn

Có hai đa thức hằng thỏa mãn phương trình đã cho là đa thức đồng nhất -1 và

đa thức đồng nhất 2. Với các đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1, áp dụng hệ quả

của định lí ta suy ra với mỗi số nguyên dương tồn tại không quá một đa

thức thỏa mãn phương trình đã cho. Điểm khó ở đây là ta không có cơ

chế đơn giản để xây dựng các nghiệm. Dùng phương pháp đồng nhất hệ số ta

tìm được các nghiệm bậc 1,2,3,4 lần lượt là:

Từ đây có thể dự đoán được quy luật của dãy nghiệm như sau:

58

Cuối cùng để hoàn tất lời giải bài toán, ta chỉ cần chứng minh các đa thức

thuộc dãy đa thức trên thỏa mãn giả thiết. Ta có thể thực hiện điều này bằng

cách sử dụng quy nạp toán học hoặc bằng cách như sau:

Xét bất kì thuộc đặt ta suy ra:

và Từ đó ta có:

Đẳng thức này đúng với mọi bất kì thuộc do đó đúng với mọi

Bài tập 2.1.3.2 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

Hướng dẫn

Ta sử dụng phương pháp quy nạp. Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta tìm

được các đa thức bậc 1,2,3,4,5 thỏa mãn giả thiết là :

Nhận thấy

Ta chứng minh mọi đa thức trong dãy xác định bởi:

thỏa mãn yêu cầu của bài.

Bài tập 2.1.3.3 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực không đồng nhất

không thỏa mãn

Hướng dẫn

Giả sử thỏa mãn đầu bài. Khi đó ta có:

59

Suy ra

Đặt ta có do

Xét dãy {xn} như sau:

Khi đó:

(*)

Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được

Xét đa thức hệ số thực

Từ (*) ta có nhận làm nghiệm với mọi

Mặt khác do dãy tăng nghiêm ngặt nên suy ra

Thử lại ta có thỏa mãn đầu bài.

Vậy có duy nhất đa thức .

Bài tập 2.1.3.4 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực không đồng nhất

không thỏa mãn

Hướng dẫn

Thay vào giả thiết ta được:

60

Thay vào giả thiết ta được:

Như vậy các số hạng của dãy:

đều là nghiệm của

Dễ thấy và dãy trên có vô số số hạng nên có vô hạn

nghiệm. Suy ra dẫn đến

Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy đa thức cần tìm là với mọi không âm.

2.1.4 Bài tập tự luyện

Bài tập 2.1.4.1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

Bài tập 2.1.4.2 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

Bài tập 2.1.4.3 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

Bài tập 2.1.4.4 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

61

Bài tập 2.1.4.5 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

Bài tập 2.1.4.6 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc thỏa

mãn: tồn tại số thực sao cho

với

Bài tập 2.1.4.7 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

Bài tập 2.1.4.8 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

Bài tập 2.1.4.9 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

Bài tập 2.1.4.10 (Bulgaria 2001) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực

thỏa mãn với

Bài tập 2.1.4.11 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

Bài tập 2.1.4.12 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

với

2.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

2.2.1 Một số ví dụ

Ví dụ 2.2.1.1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực sao cho

với

Bài giải

62

Giả sử là một đa thức 1 biến tùy ý.

Dễ dàng nhận thấy vì

Giả sử là đa thức thỏa mãn đề bài.

với . Xét

Suy ra

Do đó với mỗi số thực tùy ý, đa thức một biến luôn nhận 1

giá trị cố định với mọi nên là đa thức hằng.

là đa thức một ẩn bất kì. Hay

thử lại ta thấy đúng. Suy ra

Vậy nghiệm của phương trình là với là đa thức một

biến bất kì.

Ví dụ 2.2.1.2 (Iran TST 2010) Tìm các đa thức 2 biến hệ số thực,

với thỏa mãn

Bài giải

là phép thay vào phương trình ban đầu. Ta có: Kí hiệu

với suy ra

Vì vậy

Ta có

Kí hiệu là phép thay vào phương trình ở trên. Ta có

63

với suy ra

Vì vậy đặt từ đây ta được:

(lại quay về phương trình ban

đầu). Tiếp tục quá trình này ta có thỏa mãn với

mọi số tự nhiên nghĩa là Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy đa thức cần tìm là

Ví dụ 2.2.1.3 (THTT T11/435) Tìm tất cả đa thức sao cho

với

Bài giải

Xét trường hợp Nhận xét:

Do đó nếu đặt trong đó và đa

thức không chia hết cho (*) thì

hay

thì Ta chứng minh Cho

Thật vậy, giả sử lấy thì từ giả thiết ta có:

Xét Khi đó:

64

Suy ra

Dẫn đến chia hết cho

Tương tự nếu thì suy ra chia hết cho

Điều này mâu thuẫn với (*). Do đó

Vậy

2.2.2 Bài tập tương tự

Bài tập 2.2.2.1 (Iran TST 2009) Hãy xác định tất cả các đa thức với

hệ số thực, thỏa mãn điều kiện

với

Bài tập 2.2.2.2 Tìm các đa thức 2 biến hệ số thực, thỏa mãn

với

Bài tập 2.2.2.3 Tìm các đa thức 2 biến hệ số thực, thỏa mãn

với .

Bài tập 2.2.2.4 Tìm các đa thức 2 biến hệ số thực, thỏa mãn

với

2.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC KHÁC

2.3.1 Một số ví dụ

Ví dụ 2.3.1.1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực sao cho với bất kì số

thực nào ta cũng có:

Bài giải

65

ta có: Đặt

ta được Cho

Đặt thay vào phương trình trên ta suy ra:

với hay

Khi đó với chia hết cho 2.

Hoặc với không chia hết cho 2.

Với suy ra do đó

Vậy đa thức cần tìm là

Ví dụ 2.3.1.2 (IMO 2004) Tìm tất cả các đa thức sao cho

thỏa mãn

Bài giải

Trước hết ta tìm một nghiệm nguyên của phương trình

ta có Với

suy ra ta có Với

là một nghiệm nguyên của dẫn đến Do đó

với ta có cũng là nghiệm của phương trình. Vì

nên

Đặt ta có

66

với

Ta xét các trường hợp của

nên với lẻ. - Nếu lẻ thì

nên - Nếu thì

- Nếu chẵn thì nên với chẵn và

Từ đây suy ra với mọi tùy ý.

Thử lại đúng nên đa thức cần tìm là

Nhận xét. Bài toán trên cũng có thể khai thác theo hướng khác như sau:

Cho ta được

Điều này cho thấy rằng là hàm chẵn. Đặt khi đó phương

trình đề bài cho trở thành:

Đặt ta có:

Như vậy ta được

Cho ta được

67

Lại đặt ta được

Đặt thay vào phương trình hàm đa thức trên ta được:

Đồng nhất hệ số tự do và hệ số bậc cao nhất ta được:

Dẫn đến

Ta thấy không thỏa mãn nên

Do đó ta có

Ta được phương trình

Mà và nên

Suy ra và

Do đó ta có

Từ đó ta có Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy đa thức cần tìm là

Ví dụ 2.3.1.3 Tìm các đa thức thỏa mãn

Bài giải

68

ta thấy thỏa mãn đề bài. Xét

cho từ phương trình đề bài ta có Xét

thay vào phương trình đã cho ta có Cho

hay

với

Vì nên xét Gọi hệ số bậc cao nhất của là

Đồng nhất hệ số bậc cao nhất ở hai vế phương trình trên ta có:

Suy ra thử lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy đa thức cần tìm là với ( là hằng số).

Ví dụ 2.3.1.4 Tìm các đa thức thỏa mãn

với

Bài giải

với là hằng số, từ giả thiết suy ra thỏa mãn yêu cầu. Xét

ta có Xét

Từ phương trình ban đầu suy ra

ta có: Đặt

và

Khi đó

69

Đồng nhất hệ số 2 vế của phương trình trên, ta được:

Do đó

Vậy đa thức cần tìm là hoặc

Ví dụ 2.3.1.5 Tìm tất cả các đa thức và thỏa mãn

với

Bài giải

suy ra là một đa thức bất kì. Xét

giả sử và Từ phương trình ban Xét

đầu ta có

( là hằng số), suy ra Nếu

đặt Nếu

Thay vào phương trình ban đầu sau đó đồng nhất hệ số 2 vế, ta được:

Từ đây suy ra

là một đa thức bất kì; thì Vậy nếu

thì nếu

70

2.3.2 Bài tập tương tự

Bài tập 2.3.2.1 Xác định tất cả các đa thức thỏa mãn điều kiện

với

Hướng dẫn

Nhận thấy phương trình đầu tiên tương đương với phương trình

với

Từ phương trình trên cho suy ra hay

hoặc

- Với cho thay vào phương trình ta có:

hay

- Với suy ra với Do đó:

nhưng phương trình này thỏa mãn với nên

với

Từ đây lại có với hoặc với

Tiếp tục lập luận này, ta có:

với - Hoặc

- Hoặc với là một số nguyên dương thỏa mãn đề bài.

Vậy với

Bài tập 2.3.2.2 Tìm tất cả các đa thức sao cho

thỏa mãn

Hướng dẫn

71

Nếu là đa thức hằng thì

Chọn ta được:

Đặt thay vào phương trình trên ta được:

Đồng nhất hệ số bậc cao nhất và hệ số tự do ta được:

Từ đó suy ra

- Nếu lẻ, ta có:

Nhận thấy thỏa mãn, xét khi đó

(vì lẻ nên ). Do đó loại. Mà

Thử lại ta thấy thỏa mãn. Như vậy

- Nếu chẵn, ta được

Nhận thấy thỏa mãn, xét khi đó

Do đó không thỏa mãn. Mà

Thử lại ta thấy thỏa mãn. Như vậy

Vậy đa thức cần tìm là trong đó

Bài tập 2.3.2.3 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

72

Hướng dẫn

Ta sẽ chọn các số có dạng thỏa mãn phương trình thứ

hai trong hệ.

Thay vào phương trình ta được:

Ta chọn các số đơn giản nhất là Như vậy bộ thỏa

mãn phương trình thứ hai. Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

Đặt thay vào phương trình trên ta được:

Đồng nhất hệ số tự do và hệ số bậc cao nhất ta được:

Như vậy có dạng

Khi đó

Đồng nhất hệ số ta có

Suy ra Thử lại:

Vậy đa thức cần tìm là trong đó

2.3.3 Bài tập tự luyện

Bài tập 2.3.3.1 Tìm tất cả các đa thức sao cho

73

Bài tập 2.3.3.2 Tìm tất cả các đa thức sao cho

Bài tập 2.3.3.3 Tìm tất cả các đa thức sao cho

Bài tập 2.3.3.4 Tìm tất cả các đa thức sao cho

Bài tập 2.3.3.5 (Costa Rica 2008) Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

với

Kết luận chương 2

Chương 2 trình bày các dạng phương trình hàm đa thức, cụ thể tác giả

đã phân loại từng dạng phương trình hàm đa thức một biến, phương trình hàm

đa thức nhiều biến. Qua đó thấy được sự đa dạng, phong phú của các phương

trình hàm đa thức. Chỉ cần vận dụng linh hoạt, hợp lí phương pháp giải từng

dạng thì ta có thể giải quyết các bài toán thật đơn giản, hiệu quả và cũng từ

đây cho ta sáng tạo thêm nhiều bài toán khác liên quan đến phương trình hàm

đa thức. Ngoài ra chương 2 còn đưa ra một số dạng phương trình hàm đa thức

khác giúp người giải toán không còn thấy bỡ ngỡ, lạ lẫm khi đứng trước mỗi

bài toán phương trình hàm đa thức.

74

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1. Kết luận

Phương trình hàm đa thức là một dạng toán khó, để giải được các

phương trình hàm loại này, chúng ta cần nắm rõ không những các kĩ thuật giải

phương trình hàm mà còn các tính chất và các đặc trưng cơ bản của đa thức.

Dựa vào các mối quan hệ đặc trưng của hàm, chúng ta sẽ tìm được các đa

thức thỏa mãn xem như là nghiệm của phương trình đó. Thông qua một số bài

toán về đa thức và phương trình hàm đa thức luận văn đã bước đầu giúp học

sinh mới bắt đầu học về phương trình hàm đa thức có những cách tiếp cận và

có một số hướng tư duy khi gặp những bài toán đó.

2. Khuyến nghị

Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên và học

sinh trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở trường trung học phổ thông, trong

rèn luyện đội tuyển thi giỏi cấp tỉnh, quốc gia và quốc tế.

Hy vọng đề tài này sẽ được tiếp tục nghiên cứu, mở rộng và phát triển,

được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu, học tập của học sinh trung học phổ

thông. Với việc phân chia các dạng phương trình hàm đa thức sẽ giúp ích

nhiều cho học sinh trong quá trình học toán, giúp các em không còn cảm thấy

“ngán ngại” khi đứng trước các bài toán về phương trình hàm đa thức nữa.

75

TÀI LIỆU TRÍCH DẪN

[1] Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc về đa thức, Nhà xuất bản Giáo dục,

Hà Nội 2008.

[2] Dương Quốc Việt (Chủ biên), Cơ sở lý thuyết số và đa thức, NXB Đại học

Sư phạm, 2014.

[3] Dương Quốc Việt (Chủ biên), Bài tập cơ sở lý thuyết số và đa thức, NXB

Đại học Sư phạm, 2014.

[4] Amir Hossein Parvardi, Functional Polynomial Problems, June 13, 2011.

[5] Dusan Djukic, Polynomial Equations, Olympiad Training Materials,

www.imomath.com.

[6] Juliel’s Blog. Polynomial. October 25, 2013.

https://julielltv.wordpress.com/2013/10/25/bai-toan-phuong-trinh-ham-da-

thuc-nhieu-bien/

[7] Juliel’s Blog. Polynomial. May 16, 2014.

https://julielltv.wordpress.com/category/phuong-trinh-ham-da-thuc/

[8] Titu Andreescu, Functional Equations, Electronic Edition, 2007.