Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình Navier - Stokes trong các không gian tới hạn

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

———————o0o——————–

PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES TRONG CÁC KHÔNG GIAN TỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ

Chuyên ngành: Giải tích

: Lâm Thúy Quyên

Học viên thực hiện

Lớp

: Cao học K19

Người hướng dẫn khoa học

: PGS. TSKH. Nguyễn Minh Trí

HÀ NỘI - 2013

Mục lục

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Nghiệm cổ điển, nghiệm mềm và nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Biến đổi Fourier của Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Chương 2. Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh

tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Các không gian Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Các không gian thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm . . . . 27

3.1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . .29

3.2. Tính duy nhất của nghiệm của phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . 46

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

Lời nói đầu

Phương trình Navier - Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1822, cho

đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu viết về phương trình này. Tuy

nhiên, những hiểu biết của chúng ta về phương trình này còn rất khiêm tốn,

muốn hiểu được hiện tượng sóng đập vào đuôi con tàu đang chạy trên mặt nước

hoặc hiện tượng không khí nhiễu loạn sau đuôi máy bay khi bay trên bầu trời . . .

chúng ta đều phải tìm cách giải phương trình Navier - Stokes, do nhu cầu của

Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu phương trình Navier - Stokes càng

trở nên thời sự và cấp thiết.

Phương trình Navier - Stokes mô tả sự chuyển động của chất lỏng trong Rn

(n = 2 hoặc n = 3). Ta giả thiết rằng chất lỏng không nén được lấp đầy Rn.

Ta đi tìm hàm vectơ vận tốc u(t, x) = (ui(t, x)), i = 1, 2, ..., n và hàm áp suất p(t, x),

xác định tại vị trí x ∈ Rn và thời gian t thỏa mãn phương trình Navier - Stokes

như sau:

∂u ∂t − ν(cid:52)u = −(u · ∇)u − ∇p, t > 0,

∇ · u = 0,

u(0, x) = u0(x), x ∈ Rn.



 

Ở đây, hàm vectơ u0(x) thỏa mãn ∇ · u0 = 0 và ν là một hệ số dương.

Luận văn này sẽ trình bày một vài kết quả nghiên cứu gần đây về nghiệm

n = 3, dựa trên bài báo của Carlos E. Kenig và Gabriel S. Koch.

mềm của phương trình Navier - Stokes trong một số không gian tới hạn với

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương và tài liệu tham khảo. Cụ thể là,

Chương 1 "Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes" trình bày về bài toán

Cauchy của phương trình Navier - Stokes, khái niệm nghiệm và phép biến đổi

Fourier đối với phương trình này. Nội dung của phần này được trình bày dựa

trên [3].

Chương 2 "Kiến thức cơ sở" trình bày kiến thức về các không gian Banach

gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến và các không gian Besov có

liên quan. Nội dung của chương này dựa trên [10].

Chương 3 "Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm" trình bày sự

2 , ˙H

tồn tại và duy nhất của nghiệm của phương trình Navier - Stokes với điều kiện

2 ∩ L∞, L3 và L3 ∩ L∞. Ngoài ra, luận văn

ban đầu trong các không gian ˙H

2 và các định lý về

còn trình bày định lý nghiệm mềm của Kato trong ˙H s, s ≥ 1

tính duy nhất của nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes. Nội dung của

Chương 3 được trình bày dựa trên [8] và [10].

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và những hiểu biết của

bản thân còn hạn chế nên trong bản luận văn này em mới chỉ chứng minh được

rõ ràng hơn một số điểm trình bày trong bài báo của Carlos E. Kenig và Gabriel

S. Koch ở Chương 3.

Cuối cùng, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo

PGS. TSKH. Nguyễn Minh Trí, người đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi

điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn

ThS. Đào Quang Khải và các thầy cô phòng Phương trình vi phân đã quan tâm,

giúp đỡ em trong quá trình làm luận văn.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo trường THPT Chuyên

Chu Văn An - Lạng sơn và các thầy cô giáo, cán bộ công nhân viên của Viện

Toán học; xin cảm ơn gia đình và các bạn lớp cao học K19 đã giúp đỡ em trong

suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 8 năm 2013

Lâm Thúy Quyên

Chương 1

Giới thiệu về phương trình Navier -

Stokes

1.1 Phương trình Navier - Stokes

Chúng ta nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình Navier - Stokes với

ẩn hàm là vận tốc u(t, x) = (u1(t, x), u2(t, x), u3(t, x)) và áp suất p(t, x) của một

chất lỏng nhớt không nén được (có hệ số nhớt được cho bởi hằng số ν xác định)

∂u ∂t − ν(cid:52)u = −(u · ∇)u − ∇p, t > 0,

lấp đầy R3: 

∇ · u = 0,

u(0, x) = u0(x), x ∈ R3.

(1.1)

 

∂2 ∂x2 i

3 (cid:80) i=1

là toán tử Laplace Ở đây, hàm vectơ u0(x) thỏa mãn ∇ · u0 = 0, còn (cid:52) =

theo các biến không gian x ∈ R3.

Ta sẽ giả thiết rằng độ nhớt ν bằng 1. Điều này có thể thực hiện được, mà

không làm mất tính tổng quát, do cấu trúc bất biến của phương trình Navier -

Stokes.

Cuối cùng, do tính chất phân kỳ tự do ∇ · u = 0, thể hiện tính không nén được

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

của chất lỏng, ta có thể viết (u · ∇)u = ∇ · (u ⊗ u). Nhận xét này là quan trọng vì

tích của hai hàm suy rộng tăng chậm không luôn được xác định, trong khi đó

loc.

chúng ta luôn luôn có thể lấy đạo hàm (theo nghĩa suy rộng) của một hàm L1

loc để làm cho các số hạng bậc hai ∇ · (u ⊗ u) xác

Do đó, ta chỉ cần đòi hỏi u ∈ L2

định tốt.

||aj||.

X nếu aj ∈ X đối với mỗi j = 1, 2, 3 và ta đặt ||a|| = max 1≤j≤3

Từ nay về sau, ta sẽ nói rằng một vectơ a = (a1, a2, a3) thuộc không gian hàm

v = (v1, v2, v3) ∈ L2

loc nghĩa là vj ∈ L2

loc(R3) đối với mỗi j = 1, 2, 3). Để tránh nhầm lẫn, nếu không gian không phải là R3 (ví dụ nếu số chiều là hai) ta cũng

Để được chính xác hơn, ta nên viết X(R3) thay vì viết X (ví dụ

sẽ viết nó một cách rõ ràng (nói X(R2)). Lý do tại sao chúng ta chủ yếu quan

tâm đến toàn bộ không gian R3 (hay tổng quát hơn Rn, n ≥ 2) là do chúng ta sẽ

sử dụng công cụ là phép biến đổi Fourier, nó dễ dàng hơn để xử lý trong toàn bộ

không gian (hay là một không gian bị chặn với điều kiện tuần hoàn, so với một

u(t, x) của (1.1) trong không gian C([0, T ); X) gồm các hàm liên tục mạnh theo

t ∈ [0, T ) với giá trị trong không gian Banach X gồm các hàm vectơ suy rộng.

miền có biên). Sự chú ý của chúng ta sẽ tập trung vào sự tồn tại của nghiệm

Tùy thuộc vào việc T sẽ hữu hạn (T < ∞) hay vô hạn (T = ∞) chúng ta sẽ có

được tương ứng nghiệm địa phương hay nghiệm toàn cục (theo thời gian).

Trước khi giới thiệu thiết lập các hàm thích hợp, chúng ta sẽ biến đổi hệ (1.1)

dt − (cid:52)u = −P∇ · (u ⊗ u), t > 0,

thành phương trình toán tử:

u(0, x) = u0(x), x ∈ R3,

(1.2)

  

trong đó, với các vectơ u và v, chúng ta định nghĩa tensor của chúng u ⊗ v bởi

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

(u ⊗ v)ij = uivj và P là toán tử chiếu trực giao vào trường vectơ phân kỳ tự do

định nghĩa như sau.

j = 1, 2, 3;

i2 = −1,

Ta đặt:

Dj = −i

∂ ∂xj

(1.3)

j = 1, 2, 3.

và chúng ta ký hiệu biến đổi Riesz bởi

Rj = Dj(−(cid:52))− 1 2 ,

(1.4)

3 (cid:88)

z(x) =

Đối với một trường vectơ tùy ý u(x) = (u1(x), u2(x), u3(x)) trên R3, ta đặt

(Rkuk)(x)

k=1

(1.5)

3 (cid:88)

j = 1, 2, 3.

và định nghĩa toán tử P bởi

(Pu)j(x) = uj(x) − (Rjz)(x) =

k=1 Một cách tương đương khác để xác định P là việc sử dụng các tính chất của

(1.6) (cid:0)δjk − RjRk (cid:1)uk,

3 (cid:88)

biến đổi Fourier và viết

j = 1, 2, 3.

((cid:99)Pu)j(ξ) =

ξjξk |ξ|2

k=1

(cid:1) (1.7) (cid:0)δjk − (cid:98)uk(ξ),

Như vậy, P là một toán tử giả vi phân và là một phép chiếu trực giao vào

hạch của toán tử phân kỳ. Nói cách khác áp suất p trong (1.1) đảm bảo rằng

điều kiện không nén được cho u (∇.u = 0) được thỏa mãn.

S(t) = exp(t(cid:52)),

Cuối cùng, sử dụng toán tử chiếu P này và nửa nhóm

(1.8)

ta có thể đưa phương trình toán tử (1.2) thành phương trình tích phân như sau

S(t − s)P∇ · (u ⊗ u)(s)ds.

u(t) = S(t)u0 −

(cid:90) (1.9)

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

(1.1) → (1.2) → (1.9). Chúng ta sẽ bắt đầu từ (1.9) và chứng minh sự tồn tại và

Chúng ta sẽ không chứng minh chặt chẽ cho chuyển tiếp hình thức từ

duy nhất của nghiệm u(t, x) của nó.

Từ nay sự chú ý của chúng ta về cơ bản sẽ dành cho việc nghiên cứu phương

trình tích phân (1.9) và do chúng ta chỉ xem xét trường hợp của cả không gian R3

nên nửa nhóm S(t) trở thành nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt exp(t(cid:52)).

Nghiệm của bài toán là tổng của hai nghiệm sau: số hạng tuyến tính có chứa

giá trị ban đầu

S(t)u0 := exp(t(cid:52))u0,

(1.10)

và toán tử song tuyến tính biểu thị sự phi tuyến của phương trình

B(u, v)(t) := −

exp((t − s)(cid:52))P∇ · (u ⊗ v)(s)ds.

(cid:90) (1.11)

Chúng ta hãy chú ý ở đây rằng có một loại tương tác trong số hạng tích phân

này giữa ảnh hưởng chính quy hóa được biểu diễn bởi nửa nhóm nhiệt S(t − s)

u ⊗ v. Sự mất đi tính chính quy này được minh họa bằng ví dụ đơn giản sau:

và sự mất tính chính quy đến từ toán tử vi phân ∇ và từ phép nhân từng điểm

nếu hai (vô hướng) hàm f và g trong H 1, tích của chúng chỉ thuộc về H 1/2 và

đạo hàm của chúng ∂(f g) thậm chí còn ít chính quy hơn nếu nó trong H −1/2.

1.2 Nghiệm cổ điển, nghiệm mềm và nghiệm yếu

Sự tồn tại của nghiệm toàn cục phụ thuộc theo thời gian vẫn chưa được chứng

minh và cũng không bị bác bỏ cho trường hợp ba chiều với điều kiện ban đầu

đủ tổng quát; nhưng như chúng ta sẽ thấy trong phần tiếp theo, một nghiệm

chính quy, toàn cục sẽ tồn tại khi giá trị ban đầu là dao động cao hay đủ nhỏ

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

trong một số không gian hàm.

Để bắt đầu, sẽ là cần thiết cần làm rõ ý nghĩa của "nghiệm của phương trình

Navier-stokes", bởi vì, kể từ khi chúng xuất hiện trên bài báo tiên phong của J.

Leray, từ "nghiệm" đã được sử dụng trong một ý nghĩa nhiều hoặc ít tổng quát

hơn. Chúng ta sẽ hiểu nó theo nghĩa chung cổ điển của phương trình vi phân

(cid:48), để có thể sử dụng các công cụ biến đổi Fuorier. Giải thích này được đề xuất

thường theo t với giá trị trong không gian gồm các hàm suy rộng tăng chậm

bởi các khái niệm về nghiệm trong nghĩa suy rộng được sử dụng trong phương

trình. Tiếp theo, chúng ta sẽ yêu cầu không gian hàm X, mà giá trị ban đầu u0

loc, để có thể đưa ra một hàm theo nghĩa suy

thuộc vào nó, thỏa mãn X (cid:44)→ L2

u ∈ L2

loc([0, T ); R3).

rộng đối với số hạng phi tuyến (u · ∇)u = ∇ · (u ⊗ u). Nói chung, ta sẽ yêu cầu

Ta có thể liệt kê được rất nhiều định nghĩa khác nhau của nghiệm chỉ phân

biệt bởi lớp các hàm mà chúng thuộc về cổ điển, mạnh, mềm, yếu, rất yếu, yếu

đều hay nghiệm địa phương Leray của phương trình Navier - Stokes.

Chúng ta sẽ không trình bày tất cả các định nghĩa có thể có ở đây mà tập

trung vào ba trường hợp: nghiệm cổ điển (J. Hadamard), nghiệm yếu (J. Leray)

và nghiệm mềm (K. Yosida).

Định nghĩa 1.2.1. Một nghiệm cổ điển (u(t, x), p(t, x)) của phương trình Navier

- Stokes là một cặp các hàm u : t → u(t) và p : t → p(t) thỏa mãn hệ (1.1), mà

tất cả các số hạng xuất hiện trong phương trình là các hàm liên tục của đối số

u(t, x) ∈ C([0, T ); E) ∩ C1([0, T ); F ),

của chúng. Chính xác hơn, nghiệm cổ điển là nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãn:

E (cid:44)→ F (nhúng liên tục),

(1.12)

(1.13)

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

u ∈ E ⇒ (cid:52)u ∈ F (toán tử liên tục),

u ∈ E ⇒ ∇ · (u ⊗ u) ∈ F (toán tử liên tục),

(1.14)

(1.15)

trong đó, E và F là hai không gian Banach gồm các hàm suy rộng.

Ví dụ, nếu E là không gian Sobolev H s và s > 3/2 (như vậy cho H s là một

cấu trúc đại số được trang bị phép nhân với các hàm thông thường), ta có thể

chọn F = H s−2, bởi vì (cid:52)u ∈ H s−2 và ∇ · (u ⊗ u) ∈ H s−1 (cid:44)→ H s−2.

Như chúng ta đã biết trong phần giới thiệu, rất khó để đảm bảo sự tồn tại

toàn cục của nghiệm cổ điển, trừ khi chúng ta tìm kiếm nghiệm chính xác trong

một số trường hợp các số hạng phi tuyến biến mất. Cụ thể khi mà chúng ta áp

đặt điều kiện rất hạn chế lên điều kiện ban đầu.

Định nghĩa 1.2.2. Một nghiệm yếu u của phương trình Navier - Stokes trong

u(t, x) ∈ L∞([0, T ); PL2) ∩ L2([0, T ); PH 1),

nghĩa của Leray và Hopf được cho là thỏa mãn các tính chất sau

T (cid:90)

(1.16)

(−(cid:104)u, ∂tϕ(cid:105) + (cid:104)∇u, ∇ϕ(cid:105) + (cid:104)(u · ∇)u, ϕ(cid:105))ds = (cid:104)u0, ϕ(0)(cid:105),

(1.17)

với ϕ ∈ D([0, T ); PD) tùy ý. Ký hiệu (cid:104)·, ·(cid:105) có nghĩa là tích trong L2, trong khi PX

là không gian con của X (ở đây X = L2, H 1 hay D) gồm các hàm đặc trưng bởi

điều kiện phân kỳ tự do ∇ · u = 0. Cuối cùng, nghiệm yếu là giả định thỏa mãn

bất đẳng thức năng lượng sau đây

t > 0.

||u(t)||2

||∇u(s)||2

2 +

2ds ≤

||u(0)||2 2,

1 2

(cid:90) (1.18)

Đôi khi bất đẳng thức này được coi là thỏa mãn không chỉ trên khoảng (0, t) mà

còn thỏa mãn trên tất cả các khoảng (t0, t1) ⊂ (0, T ), ngoại trừ, t0 có thể thuộc

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

t1(cid:90)

||∇u(s)||2

||u(t)||2

(t0, t1) ⊂ (0, T ).

2ds ≤

2 +

||u(0)||2 2,

1 2

một tập có độ đo không. Tức là

Vì vậy, một nghiệm được gọi là "cuộn xoáy" theo nghĩa của Leray.

Cuối cùng, sau bài báo của T. Kato và các cộng sự của ông, chúng ta đã gọi

nghiệm mềm như một phạm trù thứ ba của nghiệm, mà sự tồn tại thu được

từ thuật toán điểm bất động áp dụng cho phương trình tích phân (1.9). Theo

phương án này, phương trình Navier - Stokes được nghiên cứu bởi phương pháp

nửa nhóm như trong các bài báo tiên phong của K. Yosida. Chính xác hơn

nghiệm mềm được định nghĩa theo cách sau.

Định nghĩa 1.2.3. Một nghiệm mềm u của phương trình Navier - Stokes thỏa

u(t, x) ∈ C([0, T ); PX),

mãn phương trình tích phân (1.9) và do đó mà

(1.19)

trong đó, X là không gian Banach gồm các hàm suy rộng mà trên đó nửa nhóm

của phương trình truyền nhiệt { exp(t(cid:52)); t ≥ 0 } là liên tục mạnh và tích phân

trong (1.9) là xác định tốt theo nghĩa của Bochner.

Trong lịch sử sự ra đời của thuật ngữ "mềm" trong sự liên quan với công thức

tích phân đối với việc nghiên cứu một phương trình tích chập tùy ý xuất phát

từ công trình của F.E. Browder (xem [1]). Chúng ta không muốn sử dụng bất

đẳng thức năng lượng, nhưng chúng ta hy vọng trong cách này sẽ đảm bảo tính

duy nhất của nghiệm. Điều này trái ngược với cách xây dựng nghiệm yếu của

Leray, dựa trên lập luận chặt chẽ và một đánh giá tiên nghiệm. Hơn nữa, thuật

toán điểm bất động được xây dựng và ổn định. Do đó, câu hỏi đặt ra là liệu có

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

tồn tại nghiệm mềm của bài toán Cauchy đối với phương trình Navier - Stokes

theo nghĩa của Hadamard.

T (cid:82)

E, tích phân

v(t, ·)dt tồn tại hoặc do

||v(t, ·)||Edt < ∞ (trong trường hợp này

T (cid:82)

Chúng ta nhớ lại rằng một hàm v(t, ·) lấy giá trị trong một không gian Banach

|(cid:104)v(t, ·), y(cid:105)|dt hội tụ với

ta nói tích phân xác định theo nghĩa Bochner ) hoặc do

(cid:48) của E (tích phân này được gọi hội

vectơ y bất kỳ của không gian đối ngẫu E

tụ yếu). Sự hội tụ yếu được đảm bảo bởi dáng điệu dao động của v(t, ·) trong

không gian Banach E.

Mặt khác, tính chất dao động của số hạng song tuyến tính phát sinh từ phương

trình Navier- Stokes được xem xét hệ thống trong tất cả các bài báo dựa trên

cơ sở bất đẳng thức năng lượng, đặc biệt (cid:104)B(u, u), u(cid:105) = 0 miễn là ∇ · u = 0. Trong

thực tế, B(u, u) không bao giờ thuộc không gian là không gian đối ngẫu của một

không gian chứa u.

Một cách rõ ràng hơn, trong các tài liệu liên quan đến sự tồn tại và duy nhất

của nghiệm mềm của phương trình Navier - Stokes như theo H. Fujita và các bài

báo nổi tiếng của T. Kato (xem [6], [7]) các dáng điệu dao động của B(u, v) bị

mất từ đầu, bởi vì, theo định nghĩa nghiệm mềm yêu cầu đánh giá mạnh trong

các cấu trúc liên kết mạnh mẽ, do đó B(u, v) có thể được thay thế bằng |B(u, v)|

mà không ảnh hưởng đến sự tồn tại tương ứng và kết quả duy nhất. Mặt khác,

như nghiệm yếu giới thiệu trong các bài báo tiên phong của J. Leray (xem [14]),

các dáng điệu dao động của B(u, v) thường được phân tích bằng đồng nhất thức

(cid:104)∇ · (v ⊗ u), u(cid:105) = 0,

nổi tiếng

(1.20)

trong đó ∇ · v = 0. Trong trường hợp đó vấn đề là khác nhau, đối với đồng nhất

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

thức ở trên không cho phép một sự linh hoạt lớn nhất trong việc lựa chọn không

gian hàm, mà buộc phải được xác định trong các số hạng của một chuẩn năng

lượng (ví dụ L2, H 1......).

1.3 Biến đổi Fourier của Navier

Tiêu đề của phần này là mượn của một bài báo của P. Federbush "Navier and

Stokes meet the wavelet" (xem [5]). Phương trình Navier - Stokes chưa tồn tại

khi J. Fourier đưa ra nghiệm rõ ràng của phương trình truyền nhiệt

∂v ∂t − (cid:52)v = f,

v(0) = v0.

  (1.21)



Với phương trình này, điều khiển sự thay đổi của nhiệt độ v(t, x), trong sự

t của một vật giả định lấp đầy không gian R3, bởi vì, khi ta xem xét biến đổi

hiện diện của một nguồn nhiệt bên ngoài f (t, x), tại một điểm x và thời gian

Fourier một phần của nó với đối số x, một phương trình vi phân thường theo t,

có nghiệm được cho bởi

S(t − s)f (s)ds,

v(t, x) = S(t)v0 +

S(t) là toán tử tích chập được định nghĩa như trong (1.10) bởi

et(cid:52)g(x) = [e−|·|2t

(cid:90) (1.22)

(1.23) (cid:98)g(·)]∨(x) = ((4πt)−3/2exp{−| · |2/4t} ∗ g)(x)

Phương trình Navier - Stokes mô tả chuyển động của một chất lỏng nhớt, đã

được giới thiệu bởi C. L. M. H. Navier trong năm 1822 (xem [15]), cũng vào

năm đó, do một sự trùng hợp kỳ lạ, J. Fourier xuất bản chuyên luận nổi tiếng

"Théorie Analytique de la Chaleur" (xem [13]), trong đó, ông đã phát triển một

cách có hệ thống những ý tưởng chứa đựng trong bài báo năm 1807.

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

Trong phần này, chúng ta trình bày cách vận dụng biến đổi Fourier để nghiên

cứu phương trình Navier - Stokes, theo phương pháp Fourier để giải phương

trình Navier - Stokes cho một chất lỏng nhớt không nén được, chúng ta thu

được phương trình tích phân (1.9), rất giống với (1.22), dẫn đến khái niệm về

một phương trình mềm và một nghiệm mềm.

Nếu chúng ta sử dụng các biến đổi Fourier một lần nữa, ý tưởng thứ hai đến

với chúng ta là viết lại tích phân (1.9) ( j = 1, 2 và 3) theo biến đổi Fourier

(cid:98)uj(ξ) = exp(−t|ξ|2)(cid:98)u0j

3 (cid:88)

−

exp(−(t − s)|ξ|2)

ξjξk |ξ|2

l,k=1

(cid:90) t (cid:0)δjk − (cid:1)(iξl)(cid:98)ul(ξ) ∗ (cid:98)uk(ξ)ds.

Chúng ta sử dụng các ký hiệu được giới thiệu bởi T. Miyakawa trong [12] và ký

hiệu F (t, x) là hạch tensor liên kết với toán tử exp(t(cid:52))P∇· , ta nói

ξjξk |ξ|2

(1.24) (cid:1)iξl. (cid:91)Fl,k,j(t, ξ) = exp(−t|ξ|2)(cid:0)δjk −

|F (t, x)| (cid:46) |x|−αt−β/2, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 4,

Dễ dàng thấy rằng hạch F (t, x) = {Fl,k,j(t, x)} định nghĩa như trên thỏa mãn

(1.25)

1 ≤ p ≤ ∞.

và

||F (t, x)||p (cid:46) t−(4−3/p)/2,

(1.26)

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ không tận dụng lợi thế của những đánh giá

tổng quát này. Trong thực tế, chúng ta không sử dụng cấu trúc đầy đủ của toán

tử exp(t(cid:52))P∇· và phân tích của chúng ta sẽ áp dụng cho một lớp tổng quát hơn

của phương trình tiến hóa.

Để được rõ ràng hơn, sự tồn tại và định lí duy nhất của nghiệm mềm đối với

phương trình Navier - Stokes sẽ đạt được bằng cách sử dụng định lí điểm bất

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

động của Banach. Giá trị ban đầu được xem xét trên các không gian, mà trên

các không gian đó những biến đổi Riesz là liên tục. Hệ quả là đơn giản: chúng

ta sẽ thoát khỏi những biến đổi Riesz từ đầu và giới hạn nghiên cứu trong việc

nghiên cứu một dạng đơn giản hơn của toán tử exp(t(cid:52))P∇· dẫn đến một dạng

đơn giản hơn của toán tử B. Chúng ta biểu thị các ký hiệu Bs là toán tử xác

định bởi

[S(t − s) ˙Λ](f g)(s)ds,

Bs(f, g)(t) := −

0 trong đó f = f (t, x), g = g(t, x) là các trường vô hướng có cùng tính chất và

˙Λ := (cid:112)−(cid:52),

(cid:90) (1.27)

(1.28)

biểu thị toán tử giả vi phân thuần nhất Calderón nổi tiếng có biểu trưng là |ξ|.

Chúng ta có thể thu được dạng vectơ đầy đủ của toán tử B từ các dạng vô

3 (cid:88)

hướng và các biến đổi Riesz theo công thức sau

RmBs(um, vj) + i

B(u, v)j = −i

RjRkRlBs(ul, vk), j ∈ {1, 2, 3}.

m=1

k=1

l=1

(1.29)

Bs và các biến đổi Riesz. Bằng cách sử dụng các đơn giản này và các tính chất

Như vậy, các dạng vô hướng của toán tử B có thể được viết dưới dạng tích của

cơ bản của biến đổi Fourier, cuối cùng chúng ta nhận được biểu thức đơn giản

hơn của toán tử song tuyến tính (bằng cách lạm dụng ký hiệu sẽ luôn được ký

hiệu bằng chữ cái B):

√

B(f, g) = −

(t − s)−2Θ(

) ∗ (f g)(s)ds,

. t − s

(cid:90) (1.30)

trong đó f = f (t, x) và g = g(t, x) là hai trường vô hướng và Θ = Θ(x) là một

hàm của x mà biến đổi Fourier cho bởi

(1.31) (cid:98)Θ(ξ) = |ξ|e−|ξ|2

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes

Như vậy, Θ là giải tích, dáng điệu giống như O(|x|−4) ở vô cực (điều này cũng

có thể được suy ra bởi [12] với α = 4 và β = 0) và tích phân của nó bằng không.

Chương 2

Kiến Thức Cơ sở

2.1 Các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến

với phép tịnh tiến

Định nghĩa 2.1.1. A) Một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của

các hàm thử là một không gian Banach E sao cho chúng ta có các phép nhúng

liên tục D(R3) ⊂ E ⊂ D(cid:48)(R3) và hơn nữa:

(a) Với mọi x0 ∈ R3 và với mọi f ∈ E thì f (x−x0) ∈ E và ||f ||E = ||f (x−x0)||E.

||f (λx)||E ≤ Cλ||f ||E.

(b) Với mọi λ > 0 tồn tại Cλ > 0 sao cho với mọi f ∈ E, f (λx) ∈ E và

B) Một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến

là một không gian Banach E mà nó là không gian tôpô đối ngẫu của một không

gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử E(∗). Không gian E(0)

gồm các phần tử trơn của E được xác định như là bao đóng của D(R3) trong E.

Nhận xét. Một hệ quả đơn giản của giả thuyết (a) đó là một không gian Banach

bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử E thỏa mãn S(R3) ⊂ E và một hệ

quả của giả thuyết (b) đó là E ⊂ S(cid:48)(R3). Tương tự, chúng ta có đối với một

Chương 2. Kiến Thức Cơ sở

S(R3) ⊂ E(0) ⊂ E ⊂ S(cid:48)(R3). Đặc biệt, E(0) là một không gian Banach bất biến

không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến E thì

với phép tịnh tiến của các hàm thử.

Mệnh đề 2.1.1. (Tích chập trong các không gian gồm các hàm suy rộng bất

biến với phép tịnh tiến)

Nếu E là một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm

||f ∗ ϕ||E ≤ ||f ||E||ϕ||1.

thử hoặc suy rộng và ϕ ∈ S(R3), thì với mọi f ∈ E chúng ta có f ∗ ϕ ∈ E và

Hơn nữa, tích chập có thể mở rộng thành một toán tử song tuyến tính bị

||f ∗ g||E ≤ ||f ||E||g||1.

chặn từ E × L1 vào E và với mọi f ∈ E, với mọi g ∈ L1 ta có bất đẳng thức

Chứng minh.

g(cid:0) k N

(cid:1) (cid:1)f(cid:0)x− k N Dễ dàng chỉ ra rằng đối với mọi f, g ∈ S(R3), tổng Riemann 1 N 3 (cid:80) k∈Z3

hội tụ đến f ∗ g trong S(R3) khi N dần đến ∞.

Định nghĩa 2.1.2. Nếu k ∈ L1(R3) và m = (cid:98)k, chúng ta định nghĩa toán tử m(D)

|||m(D)|||1 = ||k||1.

là toán tử tích chập m(D)f = f ∗ k và chúng ta định nghĩa chuẩn |||m(D)|||1 là

2 thì ϕ(ξ) = 1 và |ξ| ≥ 1

Định nghĩa 2.1.3. Cho hàm thử ϕ ∈ D(R3) sao cho |ξ| ≤ 1

thì ϕ(ξ) = 0. Hàm ψ được định nghĩa là ψ(ξ) = ϕ( ξ

2) − ϕ(ξ). Cho (cid:52)j và Sj được 2j )Ff và F((cid:52)jf ) = ψ( ξ

2j )Ff.

định nghĩa có biến đổi Fourier cho bởi F(Sjf ) = ϕ( ξ

Hàm suy rộng (cid:52)jf được gọi là j - th dyadic block của phép biến đổi Littlewood

- Paley của f.

Chương 2. Kiến Thức Cơ sở

Một trường hợp đặc biệt của các toán tử tích chập đó là phép biến đổi

||Sjf ||E ≤ |||S0|||1||f ||E và ||(cid:52)jf ||E ≤ |||(cid:52)0|||1||f ||E. Do phép biến đổi Littlewood

Littlewood - Paley (xem [10]) (cid:52)jf = ψ(D/2j)f: chúng ta có được đánh giá

- Paley, chúng ta có thể dễ dàng so sánh E với một không gian Besov:

Mệnh đề 2.1.2. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất

f (cid:55)→ f (x/2). Khi đó, E ⊂ B

biến với phép tịnh tiến. Cho C1/2 là toán tử có chuẩn trong L(E, E) của toán tử

−ln2(C1/2),∞ ∞

Chứng minh.

(cid:52)j ánh xạ E vào L∞. Hơn nữa, do các toán tử trên bị chặn trên E và trên L∞,

Do chuẩn của E là bất biến với phép tịnh tiến và do E ⊂ S(cid:48), chúng ta thấy rằng

j ≥ 0, (cid:52)j ánh xạ E vào L∞ với một toán tử có chuẩn O((C1/2)j).

chúng ta có thể viết Dj(f ) = f (2jx) và (cid:52)jf = Dj(cid:52)0D−jf, nó được cho đối với

Như đối với trường hợp của chuẩn Lebesgue, chúng ta có bất đẳng thức

Bernstein như sau.

Mệnh đề 2.1.3. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất

f ∈ S(cid:48)(R3), chúng ta có (vế phải luôn được xác định) :

2j|α|,

2jσ,

biến với phép tịnh tiến. Khi đó, với mọi α ∈ N3 và σ ∈ R, với mọi j ∈ Z và mọi

≤

2−j.

(cid:12) (cid:12)E

∂xα Sjf(cid:12) (cid:12) ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:101)ϕ(cid:12) (cid:12) (cid:12)Sjf(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (a) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∂α (cid:12) ∂α ∂xα F −1 (cid:12)E (cid:12)1 (cid:12)E (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:52)jf(cid:12) (cid:12) ∂xα F −1 (cid:101)ψ(cid:12) ≤ (cid:12) (cid:12) ∂xα (cid:52)jf(cid:12) (cid:12) (b) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∂α (cid:12) ∂α 2j|α|, (cid:12)E (cid:12)1 (cid:12)E (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:0)√ (cid:12)(cid:52)jf(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)F −1(|ξ|σ (cid:101)ψ)(cid:12) (cid:12) ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:52)jf(cid:12) (cid:12) (c) (cid:12) −(cid:52)(cid:1)σ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)1 (cid:12) (cid:12) (cid:12)E (cid:12) 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:52)jf(cid:12) (cid:12) (cid:12) |ξ|2 (cid:101)ψ)(cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:52)jf(cid:12) (cid:12) (d) (cid:12) (cid:80) (cid:12)F −1( ξl (cid:12) ∂ (cid:12)1 (cid:12) (cid:12) (cid:12)E (cid:12) (cid:12) (cid:12)E (cid:12) ∂xl l=1

(cid:12) (cid:12)

Một ví dụ thú vị của toán tử tích chập sẽ được xem xét tiếp theo là tích chập

với hạch của phương trình truyền nhiệt. Chúng ta có nửa nhóm của toán tử et(cid:52)

Chương 2. Kiến Thức Cơ sở

với các đánh giá chính quy sau đây.

Mệnh đề 2.1.4. (Hạch của phương trình truyền nhiệt)

Hạch của phương trình truyền nhiệt et(cid:52) thỏa mãn |||et(cid:52)−eθ(cid:52)|||1 ≤ C|lnt − lnθ|.

Do đó:

a) Nếu E là một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm

thử và nếu f ∈ E, thì et(cid:52)f ∈ Cb([0, ∞), E), nghĩa là ánh xạ t (cid:55)→ et(cid:52)f là liên tục

và bị chặn từ [0, ∞) vào E.

b) Nếu E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép

tịnh tiến và nếu f ∈ E, thì et(cid:52)f ∈ C∗([0, ∞), E), nghĩa là ánh xạ t (cid:55)→ et(cid:52)f là liên

tục từ (0, ∞) vào E và liên tục tại t = 0 đối với tôpô yếu* σ(E, E∗) trên E.

t (cid:82)

Chứng minh.

(cid:52)es(cid:52)ds, do đó,

Chúng ta viết: et(cid:52) − eθ(cid:52) =

|||et(cid:52) − eθ(cid:52)|||1 ≤

|||(cid:52)e(cid:52)|||1

ds s

(cid:90)

Điều này suy ra tính liên tục với t > 0. Đối với tính liên tục tại t = 0, ta chỉ cần

chứng minh rằng với f ∈ S(R3) thì t (cid:55)→ et(cid:52)f là liên tục từ [0, ∞) vào S.

Đôi khi, chúng ta xem xét một trường hợp đặc biệt của các không gian gồm

các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến, đó là các không gian gồm các hàm

khả tích địa phương, là không gian được yêu cầu bất biến với phép nhân từng

điểm với các hàm liên tục bị chặn.

Định nghĩa 2.1.4. Một không gian Banach gồm các hàm khả tích địa phương

bất biến với phép tịnh tiến là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất

biến với phép tịnh tiến E, sao cho đối với mọi f ∈ E và mọi g ∈ S(R3) chúng

Chương 2. Kiến Thức Cơ sở

ta có f g ∈ E và ||f g||E ≤ CE||f ||E||g||∞, trong đó CE là một hằng số dương

(nó không phụ thuộc f và cũng không phụ thuộc g).

Như một vấn đề thực tế, chúng ta có kết quả chính xác hơn về phép nhân

từng điểm:

Bổ đề 2.1.1. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm khả tích địa phương

bất biến với phép tịnh tiến. Khi đó:

a) Các phần tử của E là các hàm khả tích địa phương (nghĩa là các hàm suy

uloc của các

rộng bậc 0). Chính xác hơn, chúng thuộc về không gian Morrey M 1

hàm khả tích đều hữu hạn địa phương.

E, chúng ổn định dưới phép nhân từng điểm theo các hàm liên tục bị chặn.

b) E, đối ngẫu của nó là E(∗) và không gian E(0) gồm các phần tử trơn trong

Chứng minh.

a) Rõ ràng là: nếu f ∈ E và nếu K là tập con compact của R3, thì chúng ta sẽ

ω ∈ D(R3) có giá chứa trong K, ta viết:

|(cid:104)f | ω(cid:105)| = |(cid:104)f ω | φK(cid:105)| ≤ ||f ||E||φK||E(∗)||ω||∞.

xem xét một hàm φK ∈ D(R3) mà nó nhận giá trị bằng 1 trên K, và với mọi

K = x0 + [−1, 1]3 và φK = φ[−1,1]3(x − x0), chúng ta nhận thấy rằng

|µ|(x0 + [−1, 1]3) < ||φ[−1,1]3||E(∗)||f ||E, và do đó f ∈ M 1

uloc.

sup x0∈R3

Do vậy, f là một hàm khả tích địa phương theo độ đo dµ. Hơn nữa, lấy

b) Chúng ta chú ý rằng E(∗) là bao đóng của D trong E(cid:48). Bây giờ, nếu K

là một tập con compact của R3, nếu φK ∈ D(R3) thỏa mãn 1K ≤ φK ≤ 1, thì

đối với mọi ω ∈ D(R3) có giá chứa trong K và với mọi g ∈ C∞(R3), chúng ta có

Chương 2. Kiến Thức Cơ sở

||ωg||E(cid:48) = ||ωgφK||E(cid:48) ≤ ||ω||E(cid:48)||g||∞. Do vậy, phép nhân từng điểm có thể mở rộng

lên một toán tử song tuyến tính bị chặn từ E(∗) × Cb vào E(∗).

2.2 Các không gian Besov

Trong phần này chúng ta sẽ giới thiệu các không gian thế vị trên một không

gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến.

Định nghĩa 2.2.1. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất

E được định nghĩa

biến với phép tịnh tiến. Khi đó, đối với σ ∈ R, không gian H σ

là không gian (Id − (cid:52))−σ/2E, được trang bị chuẩn ||f ||σ,E = ||(Id − (cid:52))σ/2f ||E.

Sau đây, chúng ta định nghĩa các không gian Besov trên một không gian

Banach gồm các hàm suy rộng bất biến đối với phép tịnh tiến, theo một cách

p dựa trên cơ sở các

tương tự như đối với trường hợp các không gian Besov Bs,q

không gian Lebesgue Lp.

Định nghĩa 2.2.2. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng

bất biến với phép tịnh tiến. Đối với σ ∈ R, 1 ≤ q ≤ ∞, không gian Besov Bs,q E

E = [H σ0

E , H σ1

E ]θ,q trong đó σ0 < σ < σ1 và σ = (1−θ)σ0 +θσ1.

được định nghĩa là Bs,q

E , H σ1

E ]θ,q là nội suy (xem [10]).

Ở đây, [H σ0

Mệnh đề 2.2.1. (Phép biến đổi Littlewood - Paley của các không gian Besov)

Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh

tiến. Đối với σ ∈ R, 1 ≤ q ≤ ∞, N ∈ Z và f ∈ S (cid:48)(R3), các khẳng định sau đây

là tương đương:

∈ lq.

j≥N

(cid:1) (A) f ∈ Bσ,q E ; (B) SN f ∈ E, với mọi j ≥ N thì (cid:52)jf ∈ E và (cid:0)2jσ||(cid:52)jf ||E

Hơn nữa, nếu σ > 0, nếu chúng ta định nghĩa đối với k ∈ N không gian

Chương 2. Kiến Thức Cơ sở

|α| ≤ k ∂α

∂xα f ∈ E}, nếu k0 < σ < k1,

Sobolev W k,E = {f ∈ E | ∀α ∈ N3với

σ = (1 − θ)k0 + θk1, thì Bs,q

E = (cid:2)W k0,E, W k1,E(cid:3)

θ,q

Chứng minh.

p , do chúng ta chỉ sử dụng

Đây là chứng minh tương tự như đối với không gian Bs,q

một đánh giá tích chập với hạch khả tích (cid:52)jkσ (xem Mệnh đề 3.5, trong [10]).

Chúng ta sẽ chỉ ra một ví dụ ứng dụng của phép biến đổi Littlewood - Paley

đó là nhân từng điểm là một ánh xạ song tuyến tính bị chặn trên các không

gian Besov thường gặp.

Định lý 2.2.1. ( Phép nhân từng điểm trên các không gian Besov)

Cho E là một không gian Banach gồm các hàm khả tích địa phương bất biến

đối với phép tịnh tiến. Khi đó:

(a) E ∩ L∞ là một đại số đối với phép nhân từng điểm.

E ∩ L∞ là một đại số đối với nhân từng

(b) Đối với 1 ≤ q ≤ ∞ và σ > 0, Bσ,q

điểm.

∞

E ∩ Bτ,∞

(cid:1) × (cid:0)Bσ,q . (cid:1) vào Bσ+τ,q toán tử song tuyến tính bị chặn từ (cid:0)Bσ,q

Chứng minh của định lý dựa trên một bổ đề cơ bản sau đây.

j∈N là một dãy các phần tử của

(cid:1)

j∈N ∈ lq(N). Khi đó:

(cid:1) Bổ đề 2.2.1. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến, σ ∈ R, 1 ≤ q ≤ ∞ và cho (cid:0)fj E sao cho (cid:0)2jσ||fj||E

fj hội tụ trong S(cid:48)

a) Nếu đối với các hằng số 0 < A < B < ∞ nào đó, chúng ta có với mọi j ∈ N

mà (cid:98)fj được chấp nhận bởi {ξ ∈ R3 | A2j ≤ |ξ| ≤ B2j}, thì (cid:80) j∈N đến một hàm suy rộng f ∈ Bσ,q E .

Chương 2. Kiến Thức Cơ sở

fj hội tụ trong S(cid:48)

b) Nếu đối với hằng số 0 < B < ∞ nào đó, chúng ta có với mọi j ∈ N mà (cid:98)fj

được chấp nhận bởi {ξ ∈ R3 | |ξ| ≤ B2j}, và nếu σ > 0, thì (cid:80) j∈N

đến một hàm suy rộng f ∈ Bσ,q E .

Chứng minh.

||fj||E < ∞.

Đầu tiên ta chứng minh Bổ đề 2.2.1.

fj là hiển nhiên trong trường hợp b) do (cid:80) j∈N

Sự hội tụ của các dãy (cid:80) j∈N

||gj||E < ∞. Hơn nữa, nếu k ∈ N sao cho 2−k+1 < A < B < 2k−1,

Trong trường hợp a), chúng ta có thể viết fj = (cid:52)N gj với 2N + σ > 0 và ta nhận

thấy rằng (cid:80) j∈N

nên ta có:

(cid:52)jfl, do đó

j−k≤l≤j+k

2jσ||(cid:52)jf ||E ≤ C (cid:80)

2lσ||fl||E,

j−k≤l≤j+k

trong a), (cid:52)jf = (cid:80)

(cid:52)jfl, do đó

0≤l≤j+k

2jσ||(cid:52)jf ||E ≤ C (cid:80)

2(j−l)σ2lσ||fl||E,

0≤l≤j+k

trong b), (cid:52)jf = (cid:80)

và trong cả hai trường hợp chúng ta đều suy ra f ∈ Bσ,q E .

Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh Định lý 2.2.1.

Ta viết f g = π(f, g) + π(g, f ) + R(f, g), trong đó π là một toán tử tích Đêcac thỏa

Sj−2f (cid:52)jg,

Sj−2g(cid:52)jf,

π(f, g) = (cid:80) j∈N π(g, f ) = (cid:80) j∈N

(cid:52)jf(cid:0) (cid:80)

R(f, g) = S0f S0g + (cid:52)−2f (cid:52)0g + (cid:52)−1f (cid:52)0g + (cid:52)−1f (cid:52)1g + ρ(f, g), (cid:52)kg(cid:1).

j−2≤k≤j+2

ρ(f, g) = (cid:80) j∈N

mãn các điều kiện sau:

Áp dụng Bổ đề 1.4.2 với π(f, g), π(g, f ) và ρ(f, g), ta có Sj−2f (cid:52)jg có phổ chứa

trong {ξ ∈ R3 | |ξ| ≤ 5 · 2j−1} và ||Sj−2f (cid:52)jg||E ≤ CE||Sj−2f ||∞||(cid:52)jg||E;

Chương 2. Kiến Thức Cơ sở

||Sjf ||∞ < ∞, và đối với

τ < 0, f ∈ Bτ,∞

2jτ ||Sjf ||∞ < ∞.

∞ khi và chỉ khi sup j≥0

Hơn nữa, chúng ta có f ∈ L∞ khi và chỉ khi sup j≥0

Như là một hệ quả, nếu E là một không gian Banach gồm các hàm khả tích

∞ đối với một σ ≤ 0

địa phương bất biến đối với phép tịnh tiến và nếu E ⊂ Bσ,∞

E là một đại số Banach đối với phép nhân từng điểm với ρ + σ > 0

nào đó, thì Bρ,q

và 1 ≤ q ≤ ∞, hoặc với ρ = −σ > 0 và q = 1.

2.3 Các không gian thuần nhất

Định nghĩa 2.3.1. A) Một không gian Banach thuần nhất bất biến với phép

tịnh tiến của các hàm thử là một không gian Banach E sao cho chúng ta có phép

nhúng liên tục S∞(R3) ⊂ E ⊂ S(cid:48)(R3)/C[x1, x2, x3] và do đó:

||f ||E = ||f (x − x0)||E.

(a) Đối với mọi x0 ∈ R3 và với mọi f ∈ E, f (x − x0) ∈ E và

||f (λx)||E ≤ Cλ||f ||E.

(b) Đối với mọi λ > 0, tồn tại Cλ > 0 sao cho với mọi f ∈ E, f (λx) ∈ E và

B) Một không gian Banach thuần nhất gồm các hàm suy rộng bất biến với phép

tịnh tiến là một không gian Banach E, có tôpô đối ngẫu là không gian Banach

thuần nhất bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử E(∗). Không gian E(0)

gồm các phần tử trơn của E được định nghĩa là bao đóng của S∞(R3) trong E.

Bổ đề 2.3.1. Cho E là một không gian Banach thuần nhất bất biến với phép

tịnh tiến của các hàm thử. Khi đó, tồn tại một số nguyên N ∈ N sao cho không gian SN = {f ∈ S(R3) | ∀α ∈ N3 thỏa mãn |α| < N, (cid:82) xαf (x)dx = 0} là nhúng

liên tục trong E.

Chương 2. Kiến Thức Cơ sở

Chứng minh.

∂ξβ (cid:98)f(cid:12) (cid:12)

|α|≤M

|β|≤M

(cid:80) . Phép nhúng liên tục của S∞ vào E cho chúng ta bất đẳng thức sau: với một hằng số C ≥ 0 nào đó và M ∈ N thì ||f ||E ≤ C (cid:80) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)ξα ∂β (cid:12) (cid:12)∞

Nếu f ∈ SM +1, chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng, sử dụng toán tử Sj của phép

biến đổi Littlewood - Paley, xấp xỉ f − Sjf của f thỏa mãn f − Sjf ∈ S∞ và

= 0. Do vậy f ∈ E.

2j ) (cid:98)f )(cid:12) (cid:12)

∂ξβ (ϕ( ξ

lim j→−∞

|α|≤M

|β|≤M

(cid:80) (cid:80) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)ξα ∂β (cid:12) (cid:12)∞

Định nghĩa 2.3.2. Cho E là một không gian Banach thuần nhất gồm các hàm

SN ⊂ E(∗). Khi đó, biểu diễn Er của E là không gian gồm các hàm suy rộng

f ∈ S (cid:48)(R3) sao cho tồn tại một hằng số C để với mọi φ ∈ SN , chúng ta có

|(cid:104)f | φ(cid:105)| ≤ C||φ||E(∗).

suy rộng bất biến với phép tịnh tiến và cho N là số nguyên lớn nhất sao cho

Định nghĩa 2.3.3. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng

bất biến với phép tịnh tiến hoặc là một không gian Banach thuần nhất gồm các

hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến, σ ∈ R và 1 ≤ q ≤ ∞. Khi đó,

không gian Besov thuần nhất

˙Bσ,q E được định nghĩa là không gian Banach gồm các hàm suy rộng f ∈ S(cid:48)/C[x1, x2, x3] sao cho, với mọi j ∈ Z ta có (cid:52)jf ∈ E và (cid:0)2jσ||(cid:52)jf ||E

j∈Z ∈ lq(Z).

(cid:1)

Mệnh đề 2.3.1. Cho E là một không gian Banach thuần nhất gồm các hàm

−σ,q(cid:48)

suy rộng bất biến với phép tịnh tiến, σ ∈ R, 1 ≤ q ≤ ∞ và cho q(cid:48) là số mũ

E(∗)

−σ,q(cid:48)

liên hợp của q. Chúng ta định nghĩa (cid:101)˙B là bao đóng của S∞ đối với chuẩn

E(∗)

||2−jσ||(cid:52)jf ||E(∗)||lq(cid:48) (Z). Khi đó, (cid:101)˙B biến với phép tịnh tiến của các hàm thử và ˙Bσ,q

E là không gian đối ngẫu của

là một không gian Banach thuần nhất bất

−σ,q(cid:48) E(∗) : một hàm suy rộng f ∈ S(cid:48) thuộc vào ˙Bσ,q

E nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng

(cid:101)˙B

−σ,q(cid:48) E(∗)

. số C sao cho với mọi ω ∈ S∞, chúng ta có |(cid:104)f | ω(cid:105)| ≤ C||ω|| (cid:101)˙B

Chương 3

Sự tồn tại và duy nhất của một số

lớp nghiệm mềm

Trong luận văn này, chúng ta sẽ nói rằng u là một nghiệm mềm của phương

trình Navier - Stokes trong [t0, t0 + T ] đối với một t0 ∈ R nào đó và T > 0 nếu,

với một giá trị ban đầu phân kỳ tự do u0, lời giải u (trong các không gian hàm

về sau ta xét) là nghiệm của phương trình tích phân

e(t−s)(cid:52)P∇ · (−u(s) ⊗ u(s))ds, t ∈ [t0, t0 + T ].

u(t) = e(t−t0)(cid:52)u0 +

(cid:90) t (3.1)

j ∂jFij. Ta sẽ xem xét nghiệm trong không gian ba chiều

(x ∈ R3), do đó u = (u1, u2, u3), ui = ui(x, t), 1 ≤ i ≤ 3. Trong trường hợp đó,

Chúng ta sử dụng ký hiệu sau: với một tensor F = (Fij) ta xác định vectơ ∇ · F bởi (∇ · F )i = (cid:80)

toán tử chiếu P vào trường phân kỳ tự do được định nghĩa trên mỗi trường

RjRkfk, 1 ≤ j ≤ 3, và biến đổi Riesz Rj được xác định

3 (cid:80) k=1

vectơ f bởi (Pf )j = fj +

|ξ| (cid:98)g(ξ).

trên một vô hướng g thông qua biến đổi Fourier cho bởi (Rjg)∧(ξ) = iξj

(cid:52)(∇ · f ) ).

(Người ta cũng có thể viết một cách hình thức Pf = f − ∇ 1

et(cid:52) được

et(cid:52)g(x) = [e−|·|2t

Hạch của phương trình truyền nhiệt xác định bởi

(cid:98)g(·)]∨(x) = ((4πt)−3/2exp{−| · |2/4t} ∗ g)(x), và mở rộng để

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

tác động thành phần lên các không gian vectơ.

Một cách hình thức, (3.1) có được từ việc áp dụng P vào phương trình Navier

- Stokes cổ điển mà ta có thể viết như sau

∂u ∂t − (cid:52)u + ∇p = ∇ · (−u ⊗ u),

∇ · u = 0,

  (3.2)



(ở đây ∇ · (u ⊗ u) = (u · ∇)u do điều kiện ∇ · u = 0) và giải phương trình truyền

nhiệt (do P(∇p) = 0) theo công thức Duhamel.

||g||p = ||g||Lp với mỗi p ∈ [1; +∞) tùy ý,

˙H s = ˙H s(R3) = {g ∈ S(cid:48)|(Dsg)∧(·) = | · |

2 (cid:98)g(·) ∈ L2},

Trong những gì được trình bày sau đây, chúng ta sẽ đặt Lp = Lp(R3) và

f = f (t, x) với không gian Banach X tùy ý, ta có f ∈ Lp((a, b); X) khi và chỉ khi

||f (t)||X = ||f (t, ·)||X ∈ Lp(a, b).

với mỗi s ∈ R, trong đó S(cid:48) là không gian các hàm suy rộng tăng chậm, và cho

m=1 và X := X1 ∩ ... ∩ XM , chúng

)

||g||2

2 . Tương tự như vậy, đối với hàm nhận giá trị

Đối với tập bất kỳ các không gian Banach (Xm)M

M (cid:80) m=1

2 . Để dễ tham khảo,

||fm||2

ta luôn đặt ||g||X = (

X )

M (cid:80) m=1

vectơ f = (f1, ..., fM ), ta định nghĩa ||f ||X = (

chúng ta định nghĩa ở đây các không gian chính mà chúng ta sẽ đề cập trong

2 ) ∩ L2((0, T ); ˙H

2 );

ET = L∞((0, T ); ˙H

:= C([0, T ); ˙H

2 ) ∩ L2((0, T ); ˙H

2 );

:= C([0, T ); L3) ∩ L5(R3 × (0, T )).

E (1/2) T E (3) T

phần sau:

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình Navier - Stokes

Trong phần này, chúng ta trình bày các kết quả về sự tồn tại địa phương của

nghiệm của phương trình Navier - Stokes.

Mục tiêu trong những gì trình bày sau đây là thiết lập sự tồn tại của nghiệm

X = XT của các hàm xác định trong R3 × [0, T ) đối với một T > 0 đủ nhỏ nào đó,

"địa phương" cho (3.1) trong một số (không gian thời gian) không gian Banach

với giá trị ban đầu phân kỳ tự do u0 trong không gian Banach X. Trong những

2 , ta sẽ viết lại (3.1) như sau

x = y + B(x, x),

phần trình bày tiếp theo, cho X là L3 hoặc ˙H

(3.3)

và dưới giả thiết rằng y ∈ X , ta sẽ cố gắng giải phương trình đối với một x ∈ X

nào đó (trong đó X sẽ được lựa chọn sao cho u0 ∈ X suy ra et(cid:52)u0 ∈ X ). Điều

này sẽ được thực hiện bằng bổ đề sau, bằng cách sử dụng định lý ánh xạ co.

B : X × X → X là một dạng song tuyến tính liên tục, sao cho tồn tại η = ηX > 0

Bổ đề 3.1.1. Cho X là một không gian Banach với chuẩn ||x|| = ||x||X , và cho

||B(x, y)|| ≤ η||x||.||y||,

thỏa mãn

(3.4)

với tất cả x và y trong X . Khi đó, với mỗi y ∈ X cố định mà ||y|| < 1/(4η),

R :=

> 0.

phương trình (3.3) sẽ có duy nhất một nghiệm x ∈ X thỏa mãn ||x|| ≤ R với

1 − (cid:112)1 − 4η||y|| 2η

(3.5)

Chứng minh.

Cho F (x) = y + B(x, x), sử dụng (3.4) và bất đẳng thức tam giác ta có thể kiểm

chứng rằng F là ánh xạ từ BR vào chính nó, với BR := {x ∈ X | ||x|| ≤ R}.

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

Thật vậy: F : BR → BR do

||F (x)|| ≤ ||y|| + η

(cid:19)2

= ||y|| +

1 − 2(cid:112)1 − 4η||y|| + 1 − 4η||y|| 4η

= R.

2 − 2(cid:112)1 − 4η||y|| 4η

(cid:18)1 − (cid:112)1 − 4η||y|| 2η

||F (x) − F (x(cid:48))|| = ||y + B(x, x) − y − B(x(cid:48), x(cid:48))|| = ||B(x, x) − B(x(cid:48), x(cid:48))||

= ||B(x, x) − B(x(cid:48), x) + B(x(cid:48), x) − B(x(cid:48), x(cid:48))||

= ||B(x − x(cid:48), x) + B(x(cid:48), x − x(cid:48))||.

Hơn nữa, F còn là một thu gọn trên BR như sau: giả sử x, x(cid:48) ∈ BR ta có

||B(x − x(cid:48), x)|| ≤ η||x − x(cid:48)||.||x||,

||B(x(cid:48), x − x(cid:48))|| ≤ η||x(cid:48)||.||x − x(cid:48)||,

Theo giả thiết

||F (x) − F (x(cid:48))|| ≤ η||x − x(cid:48)||.||x|| + η||x(cid:48)||.||x − x(cid:48)||

= η||x − x(cid:48)||.(||x|| + ||x(cid:48)||)

≤ 2η.R.||x − x(cid:48)||.

suy ra

2ηR = 1 − (cid:112)1 − 4η||y|| < 1.

Theo cách xác định của R và y, ta dễ dàng chứng minh được rằng

x ∈ BR của ánh xạ F thỏa mãn F (x) = x.

Do vậy, định lí ánh xạ co đảm bảo sự tồn tại duy nhất của một điểm cố định

Bổ đề được chứng minh.

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

3.1.1 Lý thuyết địa phương trong ˙H 1

2 ) ∩ L2((0, T ); ˙H

2 ) với chuẩn

2 và cho ET = L∞((0, T ); ˙H

Giả sử u0 ∈ ˙H

+ ||f ||2

||f ||2

||f ||ET =

L2((0,T ); ˙H

L∞((0,T ); ˙H

1 2 )

3 2 )

(cid:18) (cid:19) 1 (3.6)

Chú ý rằng với không gian FT := L4((0, T ); ˙H 1) có chuẩn cho bởi

||f (s)||4

||f ||FT =

˙H 1ds

.||f ||

(cid:19) 1 (cid:18) T (cid:90)

1 2

3 2

1 Ta xét ||f || ˙H 1 ≤ ||f || 2 ˙H

1 2 ˙H

T (cid:90)

ds,

||f (s)||4

1 2

3 2

||f (s)||2 ˙H

||f (x)||2 ˙H

˙H 1ds ≤ sup 0

, lấy tích phân hai vế với lũy thừa 4, ta được

sau đó lấy căn bậc bốn hai vế, ta có

2 (cid:18) T (cid:90)

||f ||FT ≤

1 2

3 2

||f (x)|| ˙H

||f (s)|| ˙H

sup 0

.||f ||

≤ ||f ||

≤ ||f ||ET .

1 2 )

3 2 )

1 2 L∞((0,T ); ˙H

1 2 L2((0,T ); ˙H

(cid:18) (cid:19) 1 (cid:19) 1

.||f ||

Do vậy ET ⊂ FT và

||f ||FT ≤ ||f ||

1 2 )

3 2 )

1 2 L∞((0,T ); ˙H

1 2 L2((0,T ); ˙H

(3.7)

1 2

T (cid:90)

ds (cid:46)

||f ||2

˙H 1ds,

˙H 1||g||2

1 2

||f ⊗ g||2 ˙H

(cid:46) ||h1|| ˙H 1||h2|| ˙H 1, ta có Theo bất đẳng thức ||h1h2|| ˙H

lại áp dụng bất đẳng thức Holder, suy ra

T (cid:90)

||f ||2

||f ||4

||g||4

˙H 1||g||2

˙H 1ds ≤

˙H 1ds

(cid:19) 1 (cid:19) 1 (cid:18) T (cid:90) (cid:18) T (cid:90)

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

Lấy căn bậc hai hai vế của bất đẳng thức trên:

||g||4

||f ||4

˙H 1ds

1 2

||f ⊗ g||2 ˙H

(cid:19) 1 (cid:19) 1 (cid:19) 1 (cid:18) T (cid:90) (cid:18) T (cid:90) (cid:46) (cid:18) T (cid:90) .

f ⊗ g

và do đó ta được

1 2 )

2 u)n = |ξ|

(3.8) (cid:46) ||f ||FT .||g||FT . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L2((0,T ); ˙H

2 B(f, g) trong đó (D

2 un(ξ) với B(f, g)

Xét toán tử giả vi phân D

được xác định bởi

B(f, g) :=

e(t−s)(cid:52)P∇ · (−f (s) ⊗ g(s))ds.

(cid:90)

Ta có thể viết như sau

3 2 B(f, g)(t) =

e(t−s)(cid:52)(cid:52)F (s)ds,

(cid:90)

3 2 (f (s) ⊗ g(s)).

F (s) := P(cid:52) · (−(cid:52))−1D

trong đó,

Theo kết quả của phương trình truyền nhiệt (xem Định lý 7.3 trong [10]),

e(t−s)(cid:52)(cid:52)f (s, ·)ds

(cid:90) (cid:46) ||f ||L2(R3×(0,T )), (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L2(R3×(0,T ))

ta có,

(cid:46) ||F ||L2(R3×(0,T )), (cid:12) (cid:12) 2 B(f, g) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)D (cid:12) (cid:12) (cid:12)L2(R3×(0,T ))

2 (f ⊗ g) nên

do F ∼ D

1 2 )

(cid:46) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f ⊗ g (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)D (cid:12) 3 (cid:12) 2 B(f, g) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L2((0,T ); ˙H (cid:12) (cid:12) (cid:12)L2(R3×(0,T ))

Theo bất đẳng thức (3.8), ta suy ra

3 2 )

(3.9) (cid:46) ||f ||FT .||g||FT . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L2((0,T ); ˙H

Ta nhắc lại bổ đề sau (xem Bổ đề 14.1, trong [10]).

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

Bổ đề 3.1.2. Cho T ∈ (0, +∞] và 1 ≤ j ≤ 3. Nếu h ∈ L2(R3 × (0, T )) thì

e(t−s)(cid:52)∂jhds ∈ Cb([0, T ); L2),

(cid:90)

trong đó, Cb là không gian gồm các hàm liên tục bị chặn.

Đối với f, g ∈ FT và theo (3.8) ta có

1 2 )

(cid:46) ||f ||FT .||g||FT , (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f ⊗ g (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)D (cid:12) 1 (cid:12) 2 (f ⊗ g) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L2((0,T ); ˙H (cid:12) (cid:12) (cid:12)L2(R3×(0,T ))

2 (f ⊗ g) ∈ L2(R3 × (0, T )). Áp dụng Bổ đề 3.1.2 thu được

2 B(f, g) ∈ C([0, T ); L2) và do đó B(f, g) ∈ C([0, T ); ˙H

2 ).

suy ra D

Hơn nữa, chứng minh của Bổ đề 3.1.2 (xem chứng minh Bổ đề 14.1, trong [10])

cho ta đánh giá

1 2 )

(cid:46) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f ⊗ g (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L∞((0,T ); ˙H (cid:12) (cid:12) (cid:12)L2((0,T ); ˙H

Bất đẳng thức trên cùng với đánh giá (3.8), suy ra

1 2 )

(3.10) (cid:46) ||f ||FT .||g||FT . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L∞((0,T ); ˙H

1 2

≤

Kết hợp (3.7), (3.9) và (3.10), ta có kết quả

1 2 )

3 2 )

L∞((0,T ); ˙H

L2((0,T ); ˙H

≤ η||f ||FT .||g||FT ,

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)FT (3.11)

trong đó, η là số dương không phụ thuộc vào T .

u0 ∈ ˙H

2 suy ra U ∈ ET ⊂ FT , trong đó U (t) := et(cid:52)u0. Vì vậy, chúng ta có thể

Theo bất đẳng thức năng lượng chuẩn, L2 đối với phương trình truyền nhiệt,

1 2

4η (hay nếu ||u0|| ˙H

T = +∞, cho kết quả là sự tồn tại toàn cục), và theo Bổ đề 3.1.1, với X = FT , sẽ

là đủ nhỏ, người ta có thể lấy lấy T đủ nhỏ mà ||U ||FT < 1

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

tồn tại duy nhất một nghiệm mềm nhỏ u ∈ FT của phương trình Navier - Stokes

trên [0, T ).

2 ) theo Bổ đề 3.1.2 và lý

u = U + B(u, u) ∈ ET . Hơn nữa, u ∈ C([0, T ); ˙H

Chú ý rằng (3.7) và (3.10) còn suy ra B(u, u) ∈ ET , hay cụ thể hơn là

2 ∩ L∞

3.1.2 Lý thuyết địa phương trong ˙H 1

thuyết cổ điển đối với phương trình truyền nhiệt (xem thêm trong [9]).

Sử dụng kết quả trên ta có thể chứng minh một nghiệm không chỉ tồn tại

2 , mà còn thuộc về L∞ đối với t > 0. Điều này sẽ được trình bày bằng

trong ˙H

√

tg(t, x) ∈ L∞(cid:0)R3 × (0, T )(cid:1)},

E ∞ T := ET ∩ {g |

√

F ∞

tg(t, x) ∈ L∞(cid:0)R3 × (0, T )(cid:1)}.

T := FT ∩ {g |

cách xem xét các không gian sau:

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một η∞ > 0 nào đó, sao cho

≤ η∞||f ||F ∞

.||g||F ∞

(3.12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)F ∞

Để chứng minh (3.12) ta sẽ cần mệnh đề sau.

√

t||B(f, g)(t)||∞ (cid:46) ||B(f, g)||L∞((0,T );L3)

sup t∈(0,T )

√

+ sup

t||g(t)||∞.

t||f (t)||∞ · sup t∈(0,T )

t∈(0,T )

Mệnh đề 3.1.1. Ta có

Chứng minh.

(i)

||et(cid:52)u0||∞ (cid:46) t− 1

2 ||u0||3,

· √

(ii)

et(cid:52)P∇ · h =

|H(y)| (cid:46) (1 + |y|)−4.

) ∗ h, trong đó

Chúng ta sẽ cần những tính chất sau:

1 t2 H(

(3.13)

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

Ta có: (i) chính là bất đẳng thức Young, và (ii) có thể xem trong Mệnh đề 11.1

trong [10]. Ta có

2(cid:90)

B(f, g) =

e(t/2)(cid:52)e( t

2 −s)(cid:52) · P∇ · (f ⊗ g)(s)ds +

e(t−s)(cid:52)P∇ · (f ⊗ g)(s)ds

t 2

(cid:90)

= e(t/2)(cid:52)B(f, g)(t/2) +

e(t−s)(cid:52)P∇ · (f ⊗ g)(s)ds.

t 2

(cid:90)

√

Theo (ii):

e(t−s)(cid:52)P∇ · (f ⊗ g)(t, x) =

(t − s)2 H(cid:0)

(cid:1) ∗ (f ⊗ g)(t, x)

√

H(cid:0)

1 (t − s)2

· t − s y t − s

√

R3 √

(cid:90) (cid:1)(f ⊗ g)(x − y, s)dy.

t − s và dy = (

t − s)3dz nên ta được

t−s

Đặt z = y√ thì y = z

√

e(t−s)(cid:52)P∇ · (f ⊗ g)(x, s) =

H(z)(f ⊗ g)(x − z

t − s, s)(

t − s)3dz.

1 (t − s)2

(cid:90)

Suy ra

√

H(z)(f ⊗ g)(x − z

t − s, s)dz

1 (t − s)1/2

(cid:90) (cid:12)e(t−s)(cid:52)P∇ · (f ⊗ g)(x, s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(1 + |z|)4 dz = C ·

(cid:90)

||f (s)||∞||g(s)||∞ (t − s)1/2

(cid:46) ||f (s)||∞||g(s)||∞ (t − s)1/2

Mặt khác theo (i), ta có

e(t/2)(cid:52)B(f, g)(t/2) +

t 2

(cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(t)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) e(t−s)(cid:52)P∇ · (f ⊗ g)(s)ds (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞

e(t−s)(cid:52)P∇ · (f ⊗ g)(s)ds

≤ (cid:12) (cid:12)

t 2

(cid:90) (cid:12)e(t/2)(cid:52)B(f, g)(t/2)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞

(t − s)−1/2(cid:12) (cid:12)

t/2

(cid:90) (cid:12)f ⊗ g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:46) (t/2)−1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(t/2)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)3 (cid:12) (cid:12)3

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

(t − s)−1/2(cid:12) (cid:12)

t/2

(cid:90) (cid:46) (t/2)−1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(t/2)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f (s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)3 (cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) (cid:12)∞

+ t1/2 sup s∈( t 2 ,t)

· sup s∈( t 2 ,t)

(cid:46) t−1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(t/2)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f (s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)3 (cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) (cid:12)∞

t1/2(cid:12) (cid:12)

Do đó, đối với t ∈ (0; T )

+ t1/2 sup s∈( t 2 ,t)

· t1/2 sup s∈( t 2 ,t)

+ sup

(cid:12)B(f, g)(t)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:46) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(t/2)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f (s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) (cid:12)3 (cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) (cid:12)∞

t1/2(cid:12) (cid:12)

t∈(0,T )

· sup t∈(0,T )

(cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(t)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f (s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)3 (cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) (cid:12)∞ (cid:46) sup t∈(0,T )

√

t||B(f, g)(t)||∞ (cid:46) ||B(f, g)||L∞((0,T );L3)

sup t∈(0,T )

√

+ sup

t||g(t)||∞.

t∈(0,T )

t||f (t)||∞ · sup t∈(0,T )

hay ta có

Mệnh đề được chứng minh.

Ta có

√

(cid:18) (cid:19)2

= (cid:12) (cid:12)

t(cid:12) (cid:12)

2 FT

2 F ∞ T

sup t∈(0,T )

(cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(t)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞

Kết hợp (3.10), (3.11) và mệnh đề trên, suy ra

≤ η2||f ||2 FT

||g||2 FT

2 FT

(cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

√ t(cid:12) (cid:12)

và (cid:18) (cid:19)2

sup t∈(0,T )

(cid:12)B(f, g)(t)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞

√

t||g(t)||∞

t||f (t)||∞ sup t∈(0,T )

(cid:21)2 (cid:46) (cid:20) ||B(f, g)||L∞((0,T );L3) + sup t∈(0,T )

√

t||g(t)||∞

||f ||FT ||g||FT + sup t∈(0,T )

t||f (t)||∞ sup t∈(0,T )

(cid:20) (cid:21)2 (cid:46)

Mặt khác,

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

√

t||f (t)||∞

= (cid:12) (cid:12)

2 FT

2 F ∞ T

√

(cid:1)2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)f(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

t||g(t)||∞

= (cid:12) (cid:12)

2 FT

2 F ∞ T

+ (cid:0) sup t∈(0,T ) + (cid:0) sup t∈(0,T )

.||g||2

(cid:1)2 (cid:12)g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

F ∞ T

. Khi đó, (3.12) được chứng minh.

, do đó, (cid:12) (cid:12) (cid:12)

≤ η∞||f ||F ∞

.||g||F ∞

hay ta được (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ η(cid:48)||f ||2 (cid:12)B(f, g) (cid:12) (cid:12) F ∞ T (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)F ∞

T sao cho U (t) = et(cid:52)u0

Theo Bổ đề 3.1.1 tồn tại duy nhất một nghiệm u ∈ F ∞

thỏa mãn

||U ||F ∞

1 4η∞

2 ⊂ L3

(3.14)

2 ||u0||3, nên u0 ∈ ˙H

Chú ý rằng bất đẳng thức Young cho ta ||et(cid:52)u0||∞ (cid:46) t− 1

T . Hơn nữa, kết quả nghiệm trong trường hợp của (3.14) sẽ đặc

suy ra U ∈ F ∞

T .

trưng hơn đối với E ∞

√

Chúng ta có khẳng định

tet(cid:52)u0

= 0 ∀u0 ∈ L3,

lim t→0

2 tùy ý, đối với T đủ nhỏ.

(3.15) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞

để chỉ ra rằng (3.14) sẽ đúng với u0 ∈ ˙H

< ε/2,

Ta sẽ chứng minh (3.15), với ε > 0 tùy ý, lấy R và M đủ lớn sao cho

(cid:12) (cid:12) (cid:12)u0(1 − χM,R)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)3

trong đó, χM,R = 1 đối với x ∈ {|x| < R} ∩ {x | |u0(x)| ≤ M } và bằng 0 trong các

√

tet(cid:52)u0

tet(cid:52)u0 +

tet(cid:52)u0 · χM,R −

tet(cid:52)u0 · χM,R(cid:12) (cid:12)

trường hợp còn lại. Theo bất đẳng thức Young, ta có,

= (cid:12) (cid:12)

√

tet(cid:52)(u0χM,R) +

tet(cid:52)(cid:0)u0(1 − χM,R)(cid:1)(cid:12) (cid:12)

= (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) (cid:12)∞

√

tet(cid:52)(cid:0)u0(1 − χM,R)(cid:1)(cid:12) (cid:12)

+ (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞

≤

< ε,

· M +

t(cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) √ (cid:12)et(cid:52)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)1 (cid:12) tet(cid:52)(u0χM,R)(cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) ε 2

với t > 0 đủ nhỏ. Vậy (3.15) được chứng minh.

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

3.1.3 Lý thuyết địa phương trong L3 (và L3 ∩ L∞)

Lấy u0 ∈ L3 và đặt DT = R3 × (0, T ) đối với một T ∈ (0, +∞] nào đó. Chúng

U ∈ L5(DT ), trong đó U (t, x) = et(cid:52)u0(x) như sau: vì et(cid:52)u0 = et(cid:52)(u0)+ − et(cid:52)(u0)−,

ta sẽ chỉ ra sự tồn tại địa phương trong không gian L5(DT ). Lưu ý đầu tiên là

p > 1

ta có thể giả sử u0 ≥ 0. Do

(Ut − (cid:52)U ) · U p−1 = 0,

⇔ Ut · U p−1 − (cid:52)U · U p−1 = 0.

với tùy ý

Lấy tích phân theo từng biến ta được

dx.

dxdt =

dx +

4(p − 1) p

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:12)U p/2(x, t)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)U p/2(x, 0)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∇(U p/2)(x, t)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

α =

Từ bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Sobolev ta có: với p < r < q và

∈ (0, 1) thì ||g||r = (cid:12) (cid:12)

≤ (cid:12) (cid:12)

α p

1−α q

r − 1 p − 1

, nên suy ra bất đẳng (cid:12)|g|α|g|1−α(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)r

3/5

thức

2/5 L∞(cid:0)(0,T );L2(cid:1)

L2(cid:0)(0,T ); ˙H 1(cid:1).

(cid:12) (cid:12) (cid:12)g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:46) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L10/3(DT )

Áp dụng bất đẳng thức này với p = 3 cho đẳng thức trên, ta có:

(cid:12) (cid:12) (cid:12)U 3/2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:46) (cid:12) (cid:12) (cid:12)U 3/2(0)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)2 (cid:12) (cid:12)L10/3(DT )

mà chính xác là

(3.16) (cid:12) (cid:12) (cid:12)U(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:46) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)3 (cid:12) (cid:12)L5(DT )

Ta nhắc lại

B(f, g)(t, x) =

K(t − s, ·) ∗ (cid:0)f (s, ·) ⊗ g(s, ·)(cid:1)(x)ds,

(cid:90)

trong đó, ta có thể viết (xem (3.13))

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

t > 0,

1 t2 H( x√ t

K(t, x) =

t ≤ 0,

 



đối với một hàm trơn H ∈ L1 ∩ L∞ nào đó. Với sự lạm dụng ký hiệu cho đơn

giản, chúng ta có mệnh đề sau.

Mệnh đề 3.1.2. Ta có

K(t − s) ∗ h(s)ds

(cid:90) (cid:46) (cid:12) (cid:12) (cid:12)h(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5/2(R3×R) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5(R3×R)

nếu vế phải hữu hạn.

Chứng minh.

K(t − s) ∗ h(s)ds

≤

t (R)

(cid:90) (cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)K(t − s) ∗ h(s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ds (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5

Theo bất đẳng thức Young cho biến x: ||f ∗ g||r ≤ ||f ||p||g||q đối với p, q, r thỏa

p + 1

q − 1 = 1

r > 0. Cho r = 5, 1

5 = 1

(5/4) + 1

(5/2) − 1, ta có

mãn 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ và 1

≤

t (R)

(cid:90) (cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)K(t − s) ∗ h(s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)K(t − s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)h(s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5 (cid:12) (cid:12)L5/4 (cid:12) (cid:12)L5/2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5

(t − s)−4/5(cid:12) (cid:12)

t (0,+∞)

0 +∞ (cid:90)

(cid:90) (cid:12)H(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)h(s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5/4 (cid:12) (cid:12)L5/2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5

≤ (cid:12) (cid:12)

(R)

t (R)

(cid:46) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)||h(s)||L5/2 (cid:12) (cid:12)L5/2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)h(s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5/2 |t − s|1−α ds (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞

5. Có được kết quả trên do áp dụng công thức:

với α = 1

||f (Λx)||p =

(cid:19)1/p (cid:19)1/p (cid:18) (cid:90) (cid:18) (cid:90) (cid:0)f (Λx)(cid:1)p (cid:0)f (Λx)(cid:1)p dΛx Λ3

= Λ−3/p

d(Λx)

= Λ−3/p||f ||p.

(cid:19)1/p (cid:18) (cid:90) (cid:0)f (Λx)(cid:1)p

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

Khi đó,

= (cid:12) (cid:12)

= (t − s)−4/5(cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)K(t − s)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(t − s)−2H(cid:0)(t − s)−1/2x(cid:1)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)H(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5/4 (cid:12) (cid:12)L5/4 (cid:12) (cid:12)L5/4

5 = 1

(5/2) − α, ta có kết quả cuối cùng như

Tích phân một chiều theo biến t với 1

trên. Vậy mệnh đề được chứng minh.

Mặt khác, với t ∈ (0, T ) chúng ta có:

K(t − s) ∗ h(s)ds =

K(t − s) ∗ (cid:0)f ⊗ g(cid:1)(s)ds,

(cid:90) (cid:90)

[0, T ], với f, g ∈ L5(DT ) tùy ý, Mệnh đề 3.1.2 cho ta

đối với h := χ[0,T ]f ⊗ g, trong đó χ[0,T ] là hàm đặc trưng với khoảng thời gian

≤ η5

(3.17) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f ⊗ g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L5(DT ) (cid:12) (cid:12)L5/2(DT ) (cid:12) (cid:12)L5(DT ) (cid:12) (cid:12)L5(DT )

đối với một η5 > 0 nào đó độc lập với T .

Do đó, tồn tại duy nhất một nghiệm u ∈ L5(DT ) theo Bổ đề 3.1.1 miễn là

||U ||L5(DT ) < 1 4η5

là đúng với T đủ nhỏ do (3.17). (hoặc đối với ||u0||3 đủ nhỏ,

người ta có thể lấy T = +∞).

Hơn nữa, đánh giá (7.26) của [4] còn chỉ ra rằng

(3.18) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:46) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L∞((0,T );L3) (cid:12) (cid:12)L5(DT ) (cid:12) (cid:12)L5(DT )

Chứng minh của nó cũng chỉ ra t (cid:55)→ ||B(f, g)(t)||3 là liên tục. Điều này, cùng

B(f, g) ∈ C((0, T ); L3). Lý thuyết cổ điển của phương trình truyền nhiệt chỉ

với thực tế là B(f, g) liên tục yếu trong L3 trên (0, T ) (xem [4]), suy ra

√

ra rằng u = U + B(u, u) ∈ C([0, T ); L3).

t · u(t, x) ∈ L∞(DT ) (đối với một T

Nhận xét. Chúng ta có thể giả sử rằng

có thể nhỏ hơn) trong cách chứng minh tương tự như chứng minh (3.12) bằng

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

cách sử dụng Mệnh đề 3.1.1 và đánh giá (3.19), với việc thiết lập các nghiệm địa

3.1.4 Nghiệm mềm của Kato trong H s, s ≥ 1/2

phương với tính trơn cao hơn trong các không gian tương tự.

Khái niệm nghiệm mềm của phương trình Navier - Stokes đã được xây dựng

đầu tiên bởi Kato và Fujita trong không gian Sobolev H s(R3) với s ≥ 1/2.

Khi đó, không gian ET là H s(R3) và không gian ET là không gian C([0, T ], H 1/2)

nếu s > 1/2 và C([0, T ], H 1/2) ∩ L2((0, T ), H 3/2) với s = 1/2.

Định lý 3.1.1. (A) Cho s > 1/2. Khi đó, với mọi u0 ∈ H s(R3) sao cho ∇·u0 = 0,

sẽ tồn tại một T ∗ dương và một (duy nhất) nghiệm mềm u ∈ C([0, T ∗), H s(R3))

của phương trình Navier - Stokes trên (0, T ∗) × R3 thỏa mãn u(0, ·) = u0.

Nghiệm này là trơn trên (0, T ∗) × R3.

(B) Đối với mọi u0 ∈ H 1/2(R3) sao cho ∇ · u0 = 0, tồn tại một T ∗ dương và

(0, T ∗) × R3 thỏa mãn u(0, ·) = u0. Hơn nữa, nghiệm này có thể được chọn sao

một nghiệm mềm u ∈ C([0, T ∗), H 1/2(R3)) của phương trình Navier - Stokes trên

cho với mọi T ∈ (0, T ∗), chúng ta có u ∈ L2((0, T ), H 3/2(R3)). Nếu thêm điều

kiện mở rộng trên chuẩn H 3/2, thì nghiệm là duy nhất, và hơn thế nữa, nó là

trơn trên (0, T ∗) × R3.

phần (A) hoặc phần (B) đối với nghiệm trơn u, bằng +∞.

Chứng minh.

(A) Chúng ta sẽ chứng minh toán tử B : E × E → E liên tục trên không

H s = Bs,2

gian L∞([0, T ], H s(R3)) và u0 ∈ H s(R3). Theo bất đẳng thức Bernstein ta có

∞

2 ⊂ Bs−3/2,∞

; do vậy (áp dụng Định lý 2.2.1), ta suy ra rằng, bất cứ khi

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

nào f ∈ H s và g ∈ H s thì f g ∈ H s(s > 3/2) hoặc f g ∈ H 2s−3/2(3/4 < s < 3/2);

f, g ∈ H 3/2.

Với s = 3/2, chúng ta có thể viết đối với (cid:15) dương tùy ý thì f g ∈ H 3/2−(cid:15) khi

T , với ET = L∞([0, T ], H s(R3)) ta sẽ đánh giá

Bây giờ, cho f và g thuộc vào E 3

h = B(f, g) =

e(t−τ )(cid:52)P∇ · (f ⊗ g)dτ .

(cid:90)

Ta viết s = σ + ρ với σ = s, ρ = 0 đối với s > 3/2, σ = 2s − 3/2; ρ = 3/2 − s đối

với 1/2 < s < 3/2 và σ = 1, σ = 1/2 đối với s = 3/2; Do đó, chúng ta có

dτ

||h(t, ·)||H s ≤

(cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)e(t−τ )(cid:52)(Id − (cid:52))ρ/2P∇ · (Id − (cid:52))σ/2(f ⊗ g)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)2

max(

)dτ .

||g(τ, ·)||H s

1 (t − τ )1/2

1 (t − τ )(1+ρ)/2

≤ Cs sup 0<τ

||f (τ, ·)||H s sup 0<τ

(cid:90)

||B(f, g)||ET ≤ C(cid:48)

s||f ||ET ||g||ET T (1−ρ)/2(cid:0)1 + T ρ/2(cid:1).

Điều này cho ta

Lại do, ||et(cid:52)u0||ET ≤ ||u0||H s, chúng ta nhận thấy rằng sẽ có một nghiệm mềm

trong E 3

t H s

T đối với T đủ nhỏ. Hơn nữa, ta có (địa phương theo thời gian) tính duy x. Do tính liên tục yếu * của t (cid:55)→ u(t, ·) ∈ H s(R3), nên ta có (cid:0)L∞((0, T ), H s(cid:1) và chúng ta có thể xem

nhất trong L∞

(toàn cục) tính duy nhất trong ∩0

xét các khoảng thời gian tối đa mà trên đó u xác định như một (giới hạn địa

phương) hàm nhận giá trị trong H 3. Chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng t (cid:55)→ u là

liên tục từ [0, T ∗) vào H s. Đầu tiên, thuật toán Kato liên quan đến một giá trị

ban đầu u0 ∈ H s hội tụ đến một nghiệm u ∈ C([0, T ], H s) trong đó T có thể được

), trong đó γs là một hằng số dương (nó chỉ

− 4 1−ρ H s

đánh giá bởi T ≥ min(1, γs||u0||

phụ thuộc vào s) và ρ đã được định nghĩa trong chứng minh của sự tồn tại của

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

T : do C([0, T ], H s) là đóng trong E 3

T , nó là đủ để kiểm tra

một nghiệm trong E 3

u(0) = eit(cid:52)u0 và u(k) = u(0) − B(u(k), u(k))

xem mỗi u(k) lặp lại được định nghĩa bởi

thuộc vào C([0, T ], H s). Rõ ràng u(0) ∈ C([0, T ], H s) (do các hàm thử là trù mật

trong không gian bất biến với phép tịnh tiến H s); Thực tế dễ dàng kiểm tra

được B ánh xạ từ C([0, T ], H s) × C([0, T ], H s) vào C([0, T ], H s). Sẽ là đủ để chứng

minh nó trên một không gian con trù mật, và do đó, chúng ta phải kiểm tra

rằng B ánh xạ từ C([0, T ], H s+2) × C([0, T ], H s+2) vào C([0, T ], H s): thật vậy, đối

với f và g trong L∞((0, T ), H s+2), chúng ta có B(f, g) ∈ L∞((0, T ), H s+2) và

P∇ · (f ⊗ g) ∈ L∞((0, T ), H s+1), do đó ∂tB(f, g) ∈ L∞((0, T ), H s).

(0, T ∗) × R3. Thật vậy, do H s ⊂ Bs−3/2,∞

Hơn nữa, chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng nghiệm u là C∞ trong

∞

ET = L∞([0, T ], H s(R3)) bởi ET = {f ∈ L∞([0, T ], H s(R3)) | tθf ∈ L∞((0, T )×R3)},

, chúng ta có thể thay thế không gian

trong đó ta định nghĩa θ như sau θ = 0 nếu s > 3/2, θ = 3/4−s/2 nếu 1/2 < s < 3/2

và θ = 1/4 nếu s = 3/2.

Mặt khác,

≤ CθT 1/2−θ(cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)tθB(f, g)(t)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)tθf(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)tθg(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L∞((0,T )×R3) (cid:12) (cid:12)L∞((0,T )×R3) (cid:12) (cid:12)L∞((0,T )×R3)

trong đó, hằng số Cθ không phụ thuộc vào T , chúng ta thấy rằng nguyên tắc co

1−2θ

, γ(cid:48)

1, γs||u0||

s||u0||

− 4 1−ρ H s

− 4 H s

Picard làm việc trong không gian mới ET đối với một T nào đó mà nó có thể được (cid:18) (cid:19) đánh giá bởi T ≥ min

. Do vậy, nghiệm u xây dựng (cid:0)L∞([T0, T1] × R3)(cid:1). Khi trong ∩0

đó, theo Mệnh đề 15.1 trong [10] (xem [10]) cho ta kết quả u là trơn.

Để chứng minh (B), chúng ta sẽ chứng minh rằng H 1/2(R3) là một

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

ET = L∞([0, T ], H 1/2(R3)) ∩ L2([0, T ], H 3/2(R3)), (T < ∞). Thật vậy, ta có

ET ⊂ L4([0, T ], H 1). Do đó, đối với f và g trong ET thì (f ⊗g) ∈ (L2([0, T ], H 1/2)3×3

không gian giá trị chấp nhận được, với không gian chấp nhận được

và điều này suy ra B(f, g) ∈ L2([0, T ], H 3/2(R3)) và B(f, g) ∈ Cb([0, T ], H 1/2(R3)).

Do vậy, ta nhận thấy rằng có thể áp dụng Định lý 15.1 bis trong

≤ CT

L4([0, T ], H 1). Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức (cid:12)f(cid:12) (cid:12) (cid:12)

T , để chứng minh (địa phương theo thời gian) sự tồn tại của một nghiệm, chúng

T (cid:82)

, trong đó CT là một hàm không giảm của [10] với FT (cid:12)B(f, g)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)FT (cid:12) (cid:12)FT (cid:12) (cid:12)FT

4 H 1dt = 0, điều này là

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)et(cid:52)u0 ta phải chứng minh rằng với u0 ∈ H 1/2 thì lim T →0

hiển nhiên.

√

tf ∈ L∞((0, T ) × R3)}.

GT = L4([0, T ], H 1) ∩ {f |

Chúng ta cũng có thể sử dụng không gian sau

Toán tử song tuyến tính B bị chặn trong GT , do nó bị chặn trong FT và do chúng

ta có thể viết

e(t−s)(cid:52)P∇ · (f ⊗ g)ds.

B(f, g)(t) = et(cid:52)/2B(f, g)(t/2) +

t/2

(cid:90)

Do đó,

√

≤ C min (1, t)−1/2(cid:12) (cid:12)

ds t − s

t/2

(cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)f(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)g(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(t/2)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B(f, g)(t)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) (cid:12)∞ (cid:12) (cid:12)H 1/2 + C (cid:12) (cid:12)∞

√

= 0 và chúng ta nhận thấy rằng phép lặp Picard

t(cid:12) (cid:12)

trong đó, C không phụ thuộc vào T .

√

t||et(cid:52)u0||∞; Do đó, cho ta một

(cid:12) (cid:12)et(cid:52)u0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∞ Hơn nữa, do lim t→0

t H 1 x

sẽ cung cấp một nghiệm trong GT đối với một T dương đủ nhỏ. Đánh giá của ta trên T chỉ phụ thuộc vào (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)et(cid:52)u0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)L4 và sup 0

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

nghiệm u trong ∩t

thuộc vào GT (u(t0)), trong đó, T (u(t0)) là bị chặn đều trên tập con compact tùy

x , và do vậy u là trơn trên (0, T ∗) × R3.

loc,tL∞

ý của [0, T ∗). Điều này suy ra u ∈ L∞

Để chứng minh (C), chúng ta thực hiện theo chứng minh của (B), nhưng với

không gian Sobolev thuần nhất: chúng ta sẽ kiểm tra ˙H 1/2(R3) là một không

√

E = L∞((0, ∞), ˙H 1/2) ∩ L2((0, ∞), ˙H 3/2) ∩ {f |

tf ∈ L∞((0, ∞) × R3)},

gian giá trị chấp nhận được, với không gian chấp nhận được

√

G = L4((0, ∞), ˙H 1) ∩ {f |

tf ∈ L∞((0, ∞) × R3)}.

theo chứng minh tính bị chặn của B trong

Vậy nên, chúng ta thấy rằng tồn tại một (cid:15)0 dương sao cho, nếu ||u0|| ˙H 1/2 < (cid:15)0, thì

phương trình Navier - Stokes với giá trị ban đầu u0 có một nghiệm u trong E 3.

Lại do, u ∈ Cb((0, ∞), ˙H 1/2) và đối với bất kỳ t0 ≥ 0 thì u(t + t0) sẽ đạt được

thông qua thuật toán Picard đối với phương trình Navier - Stokes, với giá

trị ban đầu u(t0). Hơn nữa, nếu u0 thuộc vào không gian H s với s ≥ 1/2 và

v ∈ C((0, T ∗), H 1/2) ∩T

nếu chúng ta tìm kiếm nghiệm duy nhất v ∈ C((0, T ∗), H s), (s > 1/2) hoặc

[0, T ∗). Tuy nhiên, chuẩn L2 của u là đóng do chuẩn L2 của u0. Vậy nên, T ∗ = +∞

sử dụng quá trình Picard trên [t0, t0 + (cid:15)(t0)] đối với mọi t0 < T ∗ suy ra v = u trên

với s = 1/2. Nếu s > 1/2, chúng ta viết (sử dụng phép biến đổi Littlewood - Paley)

Sjf (cid:52)jg+Sj+1g(cid:52)jf. Khi đó, ta có ||f g||H s ≤ C(cid:0)||f ||∞||g||H s+||g||∞||f ||H s

f g = (cid:80) j∈Z

(cid:1).

Điều này cho chúng ta bất đẳng thức đối với t < T ∗

√

||u(t)||H s ≤ ||u0||H s + C0

||u(τ )||∞||u(τ )||H s

dτ t − τ

(cid:90)

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

Từ đánh giá ||u(τ )||∞ ≤ C1τ −1/2, ta có

√

||u(t)||H s ≤ ||u0||H s + C0C1

||u(τ )||H s

dτ t − τ

||u(τ )||H s, ta thấy rằng, đối với (cid:15) ∈ (0, 1),

(cid:90)

Nếu ω(t) = sup τ

1−(cid:15) (cid:90)

1 (cid:90)

√

ω(t) ≤

ω(t).

√

1 + C0C1

ω((1 − (cid:15))t) + C0C1

dτ t − τ

√ τ

1−(cid:15)

(cid:18) (cid:19)

u vẫn đóng trên mỗi tập con compact của [0, ∞) và chúng ta biết từ (A) rằng

Đánh giá trên cho ta với một (cid:15) đủ nhỏ, ω(t) ≤ C((cid:15))ω((1 − (cid:15))t). Do vậy, chuẩn của

tồn tại thời gian cực đại của nghiệm trong H s sau đó T ∗ = ∞.(Như một vấn đề

thực tế, chúng ta thậm chí còn chứng minh được chuẩn H s vẫn bị chặn toàn cục

trên [0, ∞)).

3.2 Tính duy nhất của nghiệm của phương trình Navier -

Stokes

C([0, T ); L3). Trước tiên, để thuận lợi cho việc nghiên cứu định lý duy nhất

Tiếp theo chúng ta sẽ đề cập đến định lý duy nhất của nghiệm trong lớp

nghiệm, chúng ta nhắc lại ở đây các mệnh đề dùng vào việc chứng minh định lý

duy nhất.

Mệnh đề 3.2.1. Đẳng thức năng lượng

Cho T ∈ (0; +∞] và cho u ∈ L∞((0, T ); L2(R3)) là một nghiệm của phương

trình Navier - Stokes

∂u ∂t − (cid:52)u + ∇p = ∇ · (−u ⊗ u),

∇ · u = 0.

 



Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

Giả sử rằng:

p = 1

2 − 3 2q .

(i) u ∈ L2((0, T ); ˙H 1(R3)), (ii) với một số q ∈ [3; +∞], u ∈ Lp(cid:0)(0, T ); Lq(R3)(cid:1) với 1

Khi đó, u ∈ C(cid:0)[0, T ); L2(R3)(cid:1) và đẳng thức năng lượng

+ 2

dxds = (cid:12) (cid:12)

2 2

(cid:90) (cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u(t, ·)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∇ ⊗ u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u(τ, ·)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

đúng với tất cả τ, t thỏa mãn 0 ≤ τ < t < T .

Mệnh đề 3.2.2. Cho T ∈ (0, +∞] và cho u1, u2 là hai nghiệm của phương trình

Navier - Stokes: đối với i = 1, 2

∂ui ∂t − (cid:52)ui + ∇pi = ∇ · (−ui ⊗ ui),

∇ · ui = 0.

 



Giả sử rằng:

(i) Với i = 1, 2, ui ∈ L∞((0, T ); L2(R3));

p = 1

2 − 3 2q .

(ii)Với i = 1, 2, ui ∈ L2((0, T ); ˙H 1(R3)); (iii) Với một q ∈ [3; +∞] nào đó, ui ∈ Lp(cid:0)(0, T ); Lq(R3)(cid:1) với 1

t (cid:55)→

u1(t, x)u2(t, x)dx,

Khi đó, (cid:90)

là liên tục trên [0, T ) và ta có đẳng thức

∇ ⊗ u1 · ∇ ⊗ u2dxds

u1(t, x)u2(t, x)dx + 2

(cid:90) (cid:90) (cid:90)

u1 · (u1 · ∇)u2dxds −

u1 · (u2 · ∇)u2dxds +

u1(τ, x)u2(τ, x)dx,

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

với mọi τ, t sao cho 0 ≤ τ < t < T .

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

(Phần chứng minh của mệnh đề có thể xem Mệnh đề 14.3, trong [10]).

Định lý 3.2.1. (Định lý duy nhất của Serrin)

Cho u0 ∈ L2(R3) với ∇ · u0 = 0. Giả thiết rằng tồn tại một nghiệm u của

u0 sao cho

u ∈ L∞((0, T ); L2(R3));

phương trình Navier - Stokes trên (0, T ) × R3, T ∈ (0, +∞], với giá trị ban đầu

(i)

p = 1

2 − 3 2q .

(ii) u ∈ L2((0, T ); ˙H 1(R3)); (iii) với một q ∈ [3; +∞] nào đó, u ∈ Lp(cid:0)(0, T ); Lq(R3)(cid:1) với 1

Khi đó, u là nghiệm Leray duy nhất liên kết với u0 trên (0, T ).

Chứng minh.

Chứng minh Định lý 3.2.1 được suy ra từ Mệnh đề 3.2.2. Nếu v là một nghiệm

Leray khác, chúng ta viết:

− 2

u(t, ·) · v(t, ·)dx

= (cid:12) (cid:12)

+ (cid:12) (cid:12)

2 2

(cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u(t, ·) − v(t, ·)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u(t, ·)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)v(t, ·)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

|∇ ⊗ v|2dxds

− 2

|∇ ⊗ u|2dxds + (cid:12) (cid:12)

≤ (cid:12) (cid:12)

2 2

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u0

+ 4

∇ ⊗ u · ∇ ⊗ vdxds − 2

u · (u · ∇)vdxds

− 2(cid:12) (cid:12)

2 2

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:12) (cid:12)u0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

u · (v · ∇)vdxds

+ 2

(cid:90) (cid:90)

u(cid:0)(u − v) · ∇(cid:1)vdxds.

dxds − 2

= −2

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:12)∇ ⊗ (u − v)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

Hơn nữa, ta có

u(cid:0)(u − v) · ∇(cid:1)udxds = 0.

(cid:90) (cid:90)

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

˙H 1) ⊂ L2/r

˙H r.

x ∩ L2 t

t L2

≤ (cid:12) (cid:12)

(2π)3/2

(cid:12)f(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

1−r 2 2 − r

3, ∇ ⊗ (u − v) ∈ L2L2 và u ∈ LqLq với

δ + 1 1

2 + 1

q = 1, r

2 + 1

p = 1.

(do ||f || ˙H r = 1 Do đó: u − v ∈ L2/r (cid:12) (cid:12)2 x với 1 (cid:12)|ξ|r (cid:98)f(cid:12) (cid:12) (cid:12) t Lδ Mặt khác, với 3 ≤ q < ∞ đặt r = 3 q . Khi đó, v − u ∈ (L∞ (cid:12) (cid:12)f(cid:12) (cid:12) r ˙H 1). (cid:12) (cid:12) δ = 1

Với tất cả 0 ≤ τ < t < T , ta có

(cid:90) (cid:90)

(cid:12) (cid:12) u.(cid:0)(u − v) · ∇(cid:1)(v − u)dxds (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

≤ Cr

p q

2 ˙H 1ds

2/r ˙H r ds

(cid:19)r/2 (cid:18) t (cid:90) (cid:19)1/p(cid:18) t (cid:90) (cid:19)1/2(cid:18) t (cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)v − u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)v − u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

τ (cid:18) t (cid:90)

τ (cid:19)1/p(cid:18) t (cid:90)

dsdx

≤ C(cid:48) r

p q

1−r 2

sup 0

(cid:19) 1+r (cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∇ ⊗ (v − u)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)v − u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

τ (cid:18) t (cid:90)

dsdx +

≤ C(cid:48) r

p q

2 2

1 − r 2

sup 0

(cid:19) (cid:90) (cid:90) (cid:19)1/p(cid:18)1 + r (cid:12)∇ ⊗ (v − u)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)v − u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Nếu u = v trên [0, τ ] và nếu t > τ thì chúng ta có

< 1,

1+r 2 C(cid:48) r

p q

(cid:19)1/p (cid:18) t (cid:82) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

nên ta được

≤

C(cid:48) r

2 2

p q

2 2

1 − r 2

sup 0

(cid:19)1/p (cid:18) t (cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)v − u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)v − u(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Do đó, u = v trên [0, t].

Khi p < ∞ thì đây chính là tính duy nhất trên [0, T ).

r||u||∞

L L3 < 1 để suy ra tính duy

Khi p = ∞, chúng ta phải giả thiết rằng C(cid:48)

nhất của nghiệm.

Do vậy, định lý này chỉ chứng minh cho trường hợp p < ∞

Định lý 3.2.2. (Định lý duy nhất của Von Wahl)

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

Cho u0 ∈ L2(R3) với ∇ · u0 = 0. Giả sử rằng tồn tại một nghiệm u của phương

u ∈ L∞((0, T ); L2(R3));

trình Navier - Stokes trên (0, T ) × R3 (T ∈ (0, +∞]) với giá trị ban đầu u0 sao cho

(i)

(ii) u ∈ L2((0, T ); ˙H 1(R3)); (iii) u ∈ C(cid:0)[0, T ); L3(R3)(cid:1) .

Khi đó, u là nghiệm Leray duy nhất liên kết với u0 trên (0, T ).

Chứng minh.

β ∈ L∞((0, T0) × R3) và ||α||L∞L3 < ε.

Nếu T0 < T , khi đó với mỗi ε > 0, ta sẽ tách u trên [0, T0] thành u = α + β với

Theo tính liên tục đều của t ∈ [0, T0] (cid:55)→ u(t, ·) ∈ L3, chúng ta có thể tìm được N

sao cho

< ε/2.

1[k/N,(k+1)/N ](t)u(k/N, ·)(cid:12) (cid:12)

0≤k

(cid:88) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)u − (cid:12) (cid:12)L∞((0,T ),L3)

Ta có thể xấp xỉ mỗi u(k/N, ·) bởi một vectơ hàm βk,n ∈ (L∞)3, với một sai số

điều khiển trong L3 bởi chuẩn ||u(k/N, ·) − βk,n||3 < ε/2.

1[k/N,(k+1)/N ](t)βk,N (x).

β(t, x) = (cid:80) 0≤k

Do đó, chúng ta xác định được β như sau

Khi đó, chúng ta viết

dxds

≤ C||α||L∞L3

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:12)∇ ⊗ (v − u)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) u(cid:0)(u − v) · ∇(cid:1)(v − u)dxds (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

dxds

+ ||β||∞

(cid:19)1/2 (cid:19)1/2(cid:18) t (cid:90) (cid:90) (cid:18) t (cid:90) (cid:90) (cid:12)(v − u)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∇ ⊗ (v − u)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

dxds +

dxds.

≤ 2Cε

||β||2 ∞

4 Cε

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:12)∇ ⊗ (v − u)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(v − u)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm

Chọn ε sao cho 2Cε < 1, chúng ta có

≤

ds.

||β||2 ∞

2 2

4 Cε

(cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)v(t, ·) − u(t, ·)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)v(t, ·) − u(t, ·)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Bổ đề Gronwall cho chúng ta kết luận u = v. Định lý được chứng minh.

Kết luận

Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một vài kết quả nghiên cứu gần đây

về nghiệm mềm của hệ phương trình Navier - Stokes. Đó là sự tồn tại và duy

nhất của nghiệm của hệ phương trình này với điều kiện ban đầu trong một số

không gian tới hạn khi n = 3, dựa trên bài báo của Carlos E. Kenig và Gabriel

S. Koch. Sự tồn tại toàn cục của nghiệm của hệ phương trình này khi n = 3 vẫn

chưa được chứng minh. Thế giới thực của chúng ta là không gian ba chiều, vì

thế hệ phương trình Navier - Stokes trong không gian ba chiều mới thực sự có ý

nghĩa. Tuy nhiên, luận văn mới chỉ trình bày chứng minh sự tồn tại địa phương

của nghiệm của bài toán. Muốn chứng minh sự tồn tại nghiệm của toàn cục

của hệ mà không hạn chế về điều kiện ban đầu thì cần có những công cụ mạnh

hơn. Cuối cùng trong lớp C([0, T ); L3) luận văn đã chứng minh sự duy nhất của

nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes.

Tài liệu tham khảo

Tài liệu tiếng Anh

[1] F. E. Browder (1987), "Non-linear equations of evolution", Ann. Math (80),

485-523.

[2] L. Caffarelli, R. Kohn and L. Nirenberg (1982), "Partial regularity of suit-

able weak solutions of the Navier-stokes equations", Comm. Pure Appl.

Math (35), 771-837.

[3] Marco Cannone (2003), "Harmonic analysis tools for solving the incompress-

ible Navier-Stokes equations", Handbook of Mathematical Fluid Dynamics,

vol 3, eds. S. Friedlander and D. Serre, Elsevier.

[4] L. Escauriaza, G.A. Seregin, V. ˇSverák (2003), "L3,∞-solutions of

Navier–Stokes equations and backward uniqueness", Uspekhi Mat. Nauk

(58), 3–44.

[5] P. Federbush (1993), " Navier and Stokes meet the wavelet", Comm. Math.

Phys (155), 219–248.

[6] H. Fujita and T. Kato (1964), "On the Navier-Stokes initial value problem

I", Arch. Rat. Mech. Anal (16), 269–315.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[7] T. Kato and H. Fujita (1962), "On the non-stationary Navier-Stokes sys-

tem", Rend. Sem. Mat. Univ. Padova (32), 243–260.

[8] Carlos E. Kenig, Gabriel S. Koch (2011), "An alternative approach to

regularity for the Navier–Stokes equations in critical spaces", Ann. I. H.

Poincaré – AN (28), 159–187.

[9] O.A. Ladyzenskaja, V.A. Solonnikov, N.N. Ural’ceva (1968), Linear and

Quasi-Linear Equations of Parabolic Type, American Mathematical Society,

Providence, RI, 648.

[10] P.G. Lemarié-Rieusset (2002), Recent Developments in the Navier–Stokes

Problem, Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics, vol. 431,

Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 390.

[11] Y. Meyer (1997), "Wavelets and fast numerical algorithms", Handbook of

Numerical Analysis, P.-G. Ciarlet and J.-L.Lions Eds., Elsevier Science

B.V., North-Holland, Amsterdam (5), 639–713.

[12] T. Miyakawa (2000), "On space-time decay properties of nonstationary

incom-pressible Navier-Stokes Flows in Rn", Funkcial. Ekvac (43), 541–557.

Tài liệu tiếng Pháp

[13] J. Fourier (1888), Théorie analytique de la chaleur, 1822, published in En-

vres de Fourier, 1 Gauthiers-Villar et fils, Paris.

[14] J. Leray (1933), "Etudes de diverses équations intégrales non linéaires et de

quelques problèmes que pose l’hydrodynamique", J. Math. Pures et Appl

(12), 1–82.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[15] C. L. M. H. Navier (1822), "Mémoire sur les lois du mouvement des fluides",

Mém. Acad. Sci. Inst. France (6), 389-440.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình Navier - Stokes trong các không gian tới hạn

PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES TRONG CÁC KHÔNG GIAN TỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ

Mục lục

Lời nói đầu

Chương 1

Giới thiệu về phương trình Navier -

Stokes

1.1 Phương trình Navier - Stokes

1.2 Nghiệm cổ điển, nghiệm mềm và nghiệm yếu

1.3 Biến đổi Fourier của Navier

Chương 2

Kiến Thức Cơ sở

2.1 Các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến

với phép tịnh tiến

2.2 Các không gian Besov

2.3 Các không gian thuần nhất

Chương 3

Sự tồn tại và duy nhất của một số

lớp nghiệm mềm

3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình Navier - Stokes

3.2 Tính duy nhất của nghiệm của phương trình Navier -

Stokes

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Hiệu chỉnh phương trình Toán tử loại I dựa trên Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh

Luận văn Thạc sĩ: Một số vấn đề về lý thuyết xấp xỉ đều tốt nhất và ứng dụng trong toán sơ cấp

Luận văn Thạc sĩ: Nghiệm kì dị tại một điểm cho phương trình Navier – Stokes

Luận văn Thạc sĩ: Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu

Luận văn Thạc sĩ: Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu

Summary doctoral dissertation in mathematics: Some qualitative properties of solutions to navier-stokes equations

Mô hình tính toán mô phỏng quá trình bất ổn định Kelvin-Helmholtz

Nghiên cứu đặc tính khí động của mẫu máy bay không người lái

Đề cương môn học Phương trình vi phân trong không gian Banach

Một số tính chất đặc trưng của hàm lồi xấp xỉ

Dưới vi phân của hàm lồi xấp xỉ

Bài toán Cauchy trong không gian Banach tổng quát với tích phân Bochner

Bài giảng Cơ học chất: Chương 7 - PGS.TS. Lê Song Giang

Luận án Thạc sĩ Luật học: Định tội danh tội cướp giật tài sản trong giai đoạn điều tra từ thực tiễn thành phố Hà Nội

Luận án Thạc sĩ Luật học: Quyền không buộc phải đưa ra lời khai chống lại chính mình hoặc buộc phải nhận mình có tội của người bị buộc tội trong tố tụng hình sự Việt Nam

Tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier - Stokes trong không gian ba chiều

Tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho hệ vi phân chứa trễ

Nghiệm đối tuần hoàn của bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính

Đề thi kết thúc học phần học kì 1 môn Giải tích hàm năm 2019-2020 có đáp án - Trường ĐH Đồng Tháp

Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị tác động trong không gian banach có thứ tự

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098