Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ LUẬN

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG QUA ĐỊA PHƯƠNG HÓA VÀ ĐẦY ĐỦ HÓA

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ LUẬN

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG QUA ĐỊA PHƯƠNG HÓA VÀ ĐẦY ĐỦ HÓA

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 604. 601. 04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. LÊ THỊ THANH NHÀN

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam

đoan rằng các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên,ngày 15 tháng 04 năm 2016

Học viên

NGUYỄN THỊ LUẬN

i

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình

của GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã dành nhiều thời gian hướng dẫn

và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin

bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô.

Tôi xin gửi tới các thầy cô ở Viện Toán học Hà Nội, Khoa Toán, Khoa

Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên lời cảm ơn

sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập tại trường.

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã quan tâm, tạo điều

kiện, động viên, cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.

Thái Nguyên,ngày 15 tháng 04 năm 2016

Học viên

NGUYỄN THỊ LUẬN

ii

Mục lục

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa và đầy

3

đủ hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Tiêu chuẩn Artin cho các môđun . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Biểu diễn thứ cấp và tập iđêan nguyên tố gắn kết của

8

môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều

địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa.

16

2.1 Hệ tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Các lớp vành đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Các bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa

phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa . . . . . . . . . 28

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

iii

Mở đầu

Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là R-môđun hữu

hạn sinh với dim M = d và A là R-môđun Artin. Với mọi p ∈ Spec R ta

AssRp(Mp) = {qRp | q ∈ AssR M, q ⊆ p}.

biết rằng

AttR A, được định nghĩa bởi I. G. Macdonald [Mac] có vai trò quan trọng

Với A là R-môđun Artin, tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A, kí hiệu là

tương tự như vai trò của tập các iđêan nguyên tố liên kết của M . Ta đã

(Mp) và AttR H i

m(M ) có đúng không, tức là công thức

m(M ) là Artin với mọi i ≥ 0. Do đó một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu mối quan hệ tương tự giữa tập AttRp H i−dim(R/p) pRp

biết rằng môđun đối đồng điều địa phương H i

(Mp) = {qRp | q ∈ AttR H i

m(M ), q ⊆ p}

AttRp H i−dim(R/p) pRp

(1)

có đúng với mọi p ∈ Spec(R) không? Trong [S], R.Y. Sharp đã chứng

minh được rằng nếu R là vành thương của vành Gorenstein địa phương thì

nguyên lý chuyển dịch qua địa phương hóa (1) là đúng. Tuy nhiên nguyên

lý này không đúng trong trường hợp tổng quát (xem [BS, Ví dụ 11.3.14]).

Kí hiệu (cid:98)R và (cid:99)M lần lượt là vành và (cid:98)R-môđun đầy đủ của R và M theo

(cid:98)R (cid:99)M :

tôpô m-adic, ta có mối quan hệ sau đây giữa tập AssR M và Ass

Ass

AssR M = {P ∩ R | P ∈ Ass

(cid:98)R (cid:99)M } và Ass

(cid:98)R (cid:99)M =

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R).

p∈AssR M

(cid:91)

Vậy câu hỏi tiếp theo là với R-môđun Artin A thì mối quan hệ tương tự

(cid:98)R A có đúng không? Với R-môđun Artin A ta đã

1

giữa tập AttR A và Att

(cid:98)R A} (xem [BS]). Tuy nhiên mối quan m(M ).

biết rằng AttR A = {P∩R | P ∈ Att hệ tương tự như công thức thứ hai là không đúng ngay cả khi A = H i

Tức là quan hệ

Att

Att

m(M ) =

(cid:98)R H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R)

p∈AttR H i

m(M )

(cid:91) (2)

nhìn chung không xảy ra. Chú ý rằng nếu R là vành thương của vành

Gorenstein địa phương thì công thức (2) đúng với bất kì môđun đối đồng

m(M ) (xem [CN]). Cuối năm 2014, trong bài báo "At- tached primes of local cohomology modules under localization and comple-

điều địa phương H i

tion" đăng trong tạp chí Đại số, L. T. Nhàn và P. H. Quý đã chứng minh

được sự chuyển dịch qua địa phương hóa (1) và chuyển dịch qua đầy đủ

hóa (2) là hai điều kiện tương đương với tính chất R là vành catenary phổ

dụng và tất cả các thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay. Mục tiêu của

luận văn là chứng minh lại kết quả trên của L. T. Nhàn và P. H. Quý:

Định lý chính. Các điều kiện sau là tương đương:

(Mp) = {qRp | q ∈ AttR H i

(i) R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay;

m(M ), q ⊆ p} với mọi

pRp

R-môđun M hữu hạn sinh, số nguyên i ≥ 0 và p ∈ Spec R;

(ii) AttRp H i−dim(R/p)

Att

m(M ) =

(cid:98)R H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R) với mọi R-môđun M hữu

m(M )

(iii) Att (cid:83) p∈AttR H i

hạn sinh và số nguyên i ≥ 0.

Luận văn gồm 2 chương. Phần đầu Chương 1 nhắc lại các công thức

chuyển dịch tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa và qua đầy

đủ hóa. Phần tiếp theo trình bày một số vấn đề về tiêu chuẩn Artin của

Melkersson [Mel], tập iđêan nguyên tố gắn kết và môđun đối đồng điều địa

phương. Chương 2 là chương chính của luận văn, trình bày về hệ tham số,

2

các lớp vành đặc biệt, một số bổ đề liên quan và chứng minh Định lý chính.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán địa

phương Noether. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Cho A

là R-môđun Artin và L là một R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh

hay Artin). Kí hiệu (cid:98)R và (cid:99)M lần lượt là đầy đủ của R và M theo tôpô

m-adic. Ta cũng kí hiệu I là iđêan tùy ý của R và Var(I) là tập các iđêan

nguyên tố của R chứa I.

1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương

hóa và đầy đủ hóa

Trong tiết này ta nhắc lại công thức chuyển dịch tập iđêan nguyên tố

liên kết của R-môđun hữu hạn sinh M qua địa phương hóa và qua đầy đủ

hóa. Các kết quả ở tiết này được tham khảo từ [Mat] và [S].

Định nghĩa 1.1.1. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên

tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho AnnR(x) = p.

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR(M ).

Sau đây là một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố liên kết.

Tính chất 1.1.2. (i) Cho p ∈ Spec(R). Khi đó p ∈ AssR(M ) khi và chỉ

3

khi M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p.

(ii) Cho p là phần tử tối đại của tập các iđêan có dạng AnnR(x) trong

AssR(M ) (cid:54)= ∅.

đó 0 (cid:54)= x ∈ M . Khi đó p ∈ AssR(M ). Vì thế, M (cid:54)= 0 khi và chỉ khi

(iii) Đặt ZD(M ) = {a ∈ R | tồn tại m (cid:54)= 0, m ∈ M sao cho am = 0}.

Khi đó tập ZD(M ) các ước của không trong M chính là hợp của các iđêan

nguyên tố liên kết của M .

AssR M (cid:48) ⊆ AssR M ⊆ AssR M (cid:48) ∪ AssR M (cid:48)(cid:48).

(iv) Cho 0 → M (cid:48) → M → M (cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp các R-môđun. Khi đó

(v) AssR(M ) ⊆ SuppR(M ) và mỗi phần tử tối tiểu của SuppR(M ) đều

thuộc AssR(M ).

(vi) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì AssR(M ) là tập hữu hạn. Hơn

nữa AssR(M ) ⊆ Var(AnnR M ). Vì thế Rad(AnnR M ) là giao các iđêan

nguyên tố liên kết của M .

AssS−1R(S−1M ) = {S−1q | q ∈ AssR M, q ∩ S = ∅}.

(vii) Với S là tập đóng nhân trong R thì

Rp := S−1R và Mp := S−1M . Khi đó ta có tính chất chuyển dịch của tập

Cho p ∈ Spec(R), suy ra S = R\p là một tập đóng nhân. Ta kí hiệu

iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa như sau.

Mệnh đề 1.1.3. AssRp(Mp) = {qRp | q ∈ AssR M, q ⊆ p}.

Kết quả tiếp theo là tính chất chuyển dịch của tập iđêan nguyên tố liên

4

kết qua đầy đủ hóa. Nhắc lại rằng, một dãy (xn) ⊂ R được gọi là một dãy Côsi theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho xn − xm ∈ mk, với mọi m, n ≥ n0. Dãy (xn) ⊂ R được gọi là dãy không nếu

với mỗi k ∈ N cho trước tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ mk,với mọi n ≥ n0.

Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Côsi như sau : Hai dãy

Côsi (xn), (yn) được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn) là dãy không. Kí

hiệu (cid:98)R là tập các lớp tương đương của các dãy Côsi. Chú ý rằng tổng và

tích của hai dãy Côsi là một dãy Côsi, quy tắc cộng (xn) + (yn) = (xn + yn)

và quy tắc nhân (xn)(yn) = (xnyn) không phụ thuộc vào cách chọn đại

diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép toán trên (cid:98)R và cùng

với phép toán này (cid:98)R làm thành một vành Noether địa phương với iđêan tối

đại duy nhất là m (cid:98)R. Vành (cid:98)R vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo

tôpô m-adic của R. Bằng cách tương tự ta có khái niệm môđun đầy đủ theo

tôpô m-adic cho R-môđun L tùy ý và được kí hiệu là (cid:98)L. Nhưng chú ý rằng

với p ∈ Spec(R) thì chưa chắc đã có p (cid:98)R ∈ Spec(R).

Mệnh đề 1.1.4. Các phát biểu sau là đúng

Ass

(cid:98)R (cid:99)M = (cid:83)

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R).

p∈AssR M

(i) Ass

(cid:98)R (cid:99)M }.

(ii) AssR M = {P ∩ R | P ∈ Ass

R nên theo [Mat, Định lý 23.2(ii)] ta có

Chứng minh. (i). Vì f : R → (cid:98)R là đồng cấu tự nhiên và (cid:98)R là phẳng trên

Ass

Ass

(cid:98)R(M ⊗ (cid:98)R) =

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R).

p∈AssR M

(cid:91)

Hơn nữa M ⊗ (cid:98)R ∼= (cid:99)M nên khẳng định (i) đã được chứng minh.

(ii). Gọi f a : Spec( (cid:98)R) → Spec(R) là ánh xạ cảm sinh của f , tức là f a(P) = f −1(P) := P ∩ R với mọi P ∈ Spec( (cid:98)R). Vì f là ánh xạ phẳng hoàn toàn nên theo [Mat, Định lý 7.3(i)], f a là toàn ánh. Áp dụng [Mat,

5

Định lý 23.2](ii) ta có

{P ∩ R | P ∈ Ass

Ass

(cid:98)R (cid:99)M } = f a(Ass

(cid:98)R (cid:99)M ) = f a(

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R))

p∈AssR M

(cid:91)

=

f a(Ass

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R)).

p∈AssR M

(cid:91)

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R)) = {p} với mỗi p ∈ Spec(R).

Theo [Mat, Định lý 23.2](ii), f a(Ass

(cid:98)R (cid:99)M } = AssR M .

Vì thế {P ∩ R | P ∈ Ass

1.2 Tiêu chuẩn Artin cho các môđun

Tiết này trình bày khái niệm và một số tính chất của môđun Artin,

đặc biệt là tiêu chuẩn Artin của L. Melkersson [Mel].

Định nghĩa 1.2.1. Một R-môđun L được gọi là môđun Artin nếu mỗi dãy

giảm các môđun con của L đều dừng, nghĩa là nếu L ⊇ L1 ⊇ L2 ⊇ . . . ⊇ Ln ⊇ . . . là một dãy giảm dần các môđun con của L thì tồn tại k ∈ N sao

R-môđun Artin, tức là mọi dãy giảm các iđêan của R đều dừng.

cho Lk = Ln với mọi n ≥ k. Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là một

Mệnh đề sau cho ta điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Artin.

Mệnh đề 1.2.2. R-môđun L là môđun Artin nếu và chỉ nếu mỗi tập khác

rỗng các môđun con của L đều có phần tử tối tiểu.

Tiếp theo là một tính chất hay dùng của môđun Artin.

Mệnh đề 1.2.3. Cho 0 → L(cid:48) → L → L(cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp các R-môđun.

Khi đó L là Artin nếu và chỉ nếu L(cid:48), L(cid:48)(cid:48) là Artin.

Phần cuối của tiết này đưa ra tiêu chuẩn Artin theo tính chất I-xoắn.

(0 :L I n) = {x ∈ L | I nx = 0}.

6

Định nghĩa 1.2.4. Cho R-môđun L. Với mỗi số tự nhiên n, đặt

n≥0(0 :L I n).

Khi đó (0 :L I n) là một môđun con của L. Kí hiệu ΓI(L) = (cid:83) Ta nói rằng L là I-xoắn nếu L = ΓI(L).

Bổ đề 1.2.5. Cho a ∈ R và L là Ra-xoắn. Giả sử L(cid:48), L(cid:48)(cid:48) là các môđun con

của L sao cho L(cid:48)(cid:48) ⊆ L(cid:48) và ai(0 :L(cid:48) ai+1) = ai(0 :L(cid:48)(cid:48) ai+1) với mọi i. Khi đó L(cid:48) = L(cid:48)(cid:48).

Định lý 1.2.6. (Tiêu chuẩn Artin của Melkersson) L là Artin nếu và chỉ

nếu tồn tại một iđêan I của R sao cho (0 :L I) là Artin và L là I-xoắn.

Chứng minh. Giả sử L là Artin. Với I là iđêan tùy ý, vì (0 :L I) là môđun

con của L nên nó là Artin. Lấy x ∈ L. Rõ ràng Rx là R-môđun hữu hạn

sinh. Vì Rx là môđun con của L nên nó là Artin. Do đó (cid:96)(Rx) < ∞. Vì

thế tồn tại n sao cho mnx = 0, tức là x ∈ (0 :L mn). Do đó L là m-xoắn.

Ngược lại, giả sử tồn tại iđêan I của R sinh bởi t phần tử sao cho (0 :L I) là Artin và L = (cid:83) n≥0(0 :L I n). Ta sẽ chứng minh L là Artin bằng phương pháp quy nạp theo t. Nếu t = 0 thì I = 0 và do đó L = (0 :L I)

là Artin. Với t = 1, đặt I = Ra. Gọi L1 ⊇ L2 ⊇ . . . ⊇ Ln . . . là dãy giảm

các môđun con của L. Ta chứng minh dãy đó phải dừng. Với mỗi i và với

x ∈ (0 :L a). Vậy ai(0 :N ai+1) ⊆ (0 :L a). Tiếp theo ta chứng minh ai(0 :Ln ai+1) ⊇ ai+1(0 :Ln ai+2) với mọi i. Thật vậy, lấy x ∈ ai+1(0 :Ln ai+2) tùy ý. Khi đó tồn tại y ∈ (0 :Ln ai+2) sao cho x = ai+1y. Vì y ∈ (0 :Ln ai+2) nên ai+2y = 0. Suy ra ai+1(ay) = 0 hay ay ∈ (0 :Ln ai+1). Do đó tồn tại z ∈ (0 :Ln ai+1) sao cho ay = z. Ta có x = ai+1y = aiz. Suy ra x ∈ ai(0 :Ln ai+1). Vậy ai(0 :Ln ai+1) ⊇ ai+1(0 :Ln ai+2).

mỗi môđun con N của L, nếu x ∈ ai(0 :N ai+1) thì tồn tại y ∈ (0 :N ai+1) sao cho x = aiy. Ta có ax = a(aiy) = ai+1y = 0. Suy ra ax = 0 hay

(0 :Ln a) ⊇ . . . ⊇ ai(0 :Ln ai+1) ⊇ ai+1(0 :Ln ai+2) ⊇ . . .

7

Với mỗi n ≥ 1 ta có dãy giảm các môđun con của (0 :L a)

En = akn(0 :Ln akn+1) = ai(0 :Ln ai+1), ∀i ≥ kn.

Vì (0 :L a) là Artin nên tồn tại kn ∈ N sao cho

(0 :L a). Do đó nó phải dừng, tức là tồn tại n0 để En = En0 với mọi n ≥ n0. Với mọi i ≥ kn0 và n ≥ n0 ta có En0 = akn0 (0 :Ln0 akn0 +1) ⊇ ai+1) ⊇ ai(0 :Ln ai+1) ⊇ En = En0. Vậy En0 = ai(0 :Ln ai+1) với ai(0 :Ln0 mọi i ≥ kn0, n ≥ n0. Với mỗi số nguyên i = 0, 1, . . . , kn0 − 1 ta có dãy giảm

Ta có En = akn+kn+1(0 :Ln akn+kn+1+1) ⊇ akn+kn+1(0 :Ln+1 akn+kn+1+1) = En+1. Vì thế E1 ⊇ . . . ⊇ En . . . là một dãy giảm các môđun con của

ai(0 :L1 ai+1) ⊇ . . . ⊇ ai(0 :Ln ai+1) ⊇ ai(0 :Ln+1 ai+1) ⊇ . . .

sau

J = (a1, . . . , at−1) và N = (0 :L J). Khi đó N là Rat-xoắn và (0 :N at) =

(0 :L I). Do đó (0 :L I) là Artin nên (0 :N at) cũng là Artin. Vì N là

Rat-xoắn nên theo như trường hợp t = 1 ở trên thì N là Artin. Vì L là

I-xoắn nên L là J-xoắn. Vì N = (0 :L J) là Artin với mọi J được sinh ra

các môđun con của (0 :L a), nên tồn tại u ≥ n0 để ai(0 :Ln ai+1) = ai(0 :Lu ai+1) với mọi n ≥ u, 0 ≤ i ≤ kn0 − 1. Theo Bổ đề 1.2.5, Ln = Ln+1 với mọi n ≥ u. Vậy L là Artin. Với t > 1. Giả sử I = (a1, . . . , at). Đặt

bởi t − 1 phần tử nên theo giả thiết quy nạp ta được L là Artin.

1.3 Biểu diễn thứ cấp và tập iđêan nguyên tố gắn

kết của môđun Artin

Các kiến thức ở mục này được tham khảo trong [Mac].

Định nghĩa 1.3.1. (i) Một R-môđun L được gọi là thứ cấp nếu L (cid:54)= 0 và

với mọi x ∈ R ta có xL = L hoặc tồn tại n ∈ N để xnL = 0. Trong trường

hợp này tập p = {x ∈ R | xnL = 0, với n ∈ N} là iđêan nguyên tố và ta

8

gọi L là p-thứ cấp.

L = L1 + · · · + Lt thành tổng hữu hạn các môđun con, trong đó Li là

(ii) Cho L là R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp của L là một phân tích

pi-thứ cấp. Nếu L = 0 hoặc L có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói L là

biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối tiểu nếu các iđêan

nguyên tố pi đôi một khác nhau và không có hạng tử Li nào là thừa, với

mọi i = 1, . . . , t.

Chú ý rằng nếu Li, Lj là hai môđun con p-thứ cấp của L thì Li + Lj

cũng là môđun con p-thứ cấp của L. Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của L

đều có thể đưa được về dạng tối tiểu. Khi đó tập {p1, . . . , pt} là độc lập

với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L và được gọi là tập các iđêan

nguyên tố gắn kết của L, kí hiệu là AttR L. Các hạng tử Li, với i = 1, . . . , t,

được gọi là các thành phần thứ cấp của L. Nếu pi là tối tiểu trong AttR L

thì Li được gọi là thành phần thứ cấp cô lập.

Nếu A là R-môđun Artin thì A là biểu diễn được. Từ giờ đến hết tiết

này ta luôn giả thiết A là R-môđun Artin.

Mệnh đề 1.3.2. Các phát biểu sau đây là đúng.

(i) AttR A (cid:54)= ∅ khi và chỉ khi A (cid:54)= 0.

dim (R/AnnR A) = max {dim (R/p) | p ∈ AttR A}.

(ii) min AttR A = min Var (AnnR A). Đặc biệt

AttR A(cid:48)(cid:48) ⊆ AttR A ⊆ AttR A(cid:48) ∪ AttR A(cid:48)(cid:48).

(iii) Nếu 0 → A(cid:48) → A → A(cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì

9

Chú ý 1.3.3. Cho u ∈ A và cho (cid:98)r ∈ (cid:98)R. Gọi (rn)n∈N là dãy Côsi trong R đại diện cho lớp (cid:98)r. Khi đó Ru = {au | a ∈ R} là một môđun con của A, do đó nó là môđun Artin. Chú ý rằng Ru là hữu hạn sinh. Vì thế Ru vừa

là môđun Artin, vừa là môđun Noether. Do đó Ru là môđun có độ dài hữu hạn. Vì thế tồn tại số tự nhiên k sao cho mku = 0. Vì (cid:98)r ∈ (cid:98)R, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho rn − rm ∈ mk với mọi m, n ≥ n0. Suy ra (rn − rm)u = 0

với mọi m, n ≥ n0. Hay rnu = rn0u với mọi n ≥ n0. Do đó ta có thể định nghĩa tích vô hướng (cid:98)ru = rn0u. Dễ kiểm tra được đây là một tích vô hướng trên A. Do đó A có cấu trúc tự nhiên như (cid:98)R-môđun. Với cấu trúc này, một

A xét như (cid:98)R-môđun. Vì thế A là một (cid:98)R-môđun Artin. Nếu xem (cid:98)R-môđun

A này như là R-môđun xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → (cid:98)R thì ta được

môđun con của A xét như R-môđun nếu và chỉ nếu nó là môđun con của

cấu trúc R-môđun ban đầu trên A. Như vậy tập iđêan nguyên tố gắn kết

của A trên R và trên (cid:98)R luôn xác định và ta có mối liên hệ giữa các tập

iđêan nguyên tố gắn kết này như sau.

(cid:98)R A}.

Bổ đề 1.3.4. AttR A = {P ∩ R | P ∈ Att

Chứng minh. Giả sử A = (A11 + . . . + A1t1) + . . . + (An1 + . . . + Antn) là

Att

(cid:98)R A = {(cid:98)pij | i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , ti}.

một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A xét như (cid:98)R-môđun, trong đó Aij là (cid:98)pij-thứ cấp và (cid:98)pi1 ∩ R = . . . = (cid:98)piti ∩ R = pi với mọi i = 1, . . . , n và các pi là đôi một phân biệt. Khi đó

Đặt Ai = Ai1 + . . . + Aiti với i = 1, . . . , n. Khi đó A = A1 + . . . + An. Với mỗi i ∈ {1, . . . , n} và x ∈ pi ta có x ∈ (cid:98)pij với mọi j = 1, . . . , ti. Do đó phép nhân bởi x trên Ai là toàn cấu. Suy ra Ai là pi-thứ cấp. Vì mỗi Aij

AttR A = {p1, . . . , pn} = {(cid:98)p ∩ R | (cid:98)p ∈ Att

(cid:98)R A}.

10

đều không thừa nên Ai là không thừa mới mọi i. Vậy

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương

Trong tiết này ta nhắc lại khái niệm và một số tính chất của môđun

đối đồng điều địa phương. Các thuật ngữ được tham khảo trong cuốn [BS].

x ∈ ΓI(L). Khi đó ΓI(−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái

Định nghĩa 1.4.1. Cho I là iđêan của R và L, N là các R-môđun. Đặt ΓI(L) = (cid:83) n≥0(0 :L I n). Cho f : L → N là đồng cấu các R-môđun thì ta có đồng cấu cảm sinh f ∗ : ΓI(L) → ΓI(N ) cho bởi f ∗(x) = f (x) với mọi

từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun. ΓI(−) được gọi là

hàm tử I-xoắn.

Định nghĩa 1.4.2. Một R-môđun L được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi

h : N (cid:48) → L sao cho g = hf .

đơn cấu f : N → N (cid:48) và mỗi đồng cấu g : N → L, luôn tồn tại đồng cấu

f2−→ · · ·

0 → L α−→ E0

f0−→ E1

f1−→ E2

Một giải nội xạ của R-môđun L là một dãy khớp các R-môđun

trong đó mỗi Ei là một môđun nội xạ. Chú ý rằng mọi môđun đều có giải

nội xạ.

Định nghĩa 1.4.3. Cho L là R-môđun và I là iđêan của R. Môđun dẫn

I(L). Cụ thể, nếu cho

f2−→ · · ·

0 → L α−→ E0

f0−→ E1

f1−→ E2

suất phải thứ i của hàm tử I-xoắn ΓI(−) ứng với M được gọi là môđun đối đồng điều thứ i của L với giá I. Kí hiệu là H i

f ∗ 2−→ · · ·

0 → ΓI(E0)

f ∗ 0−→ ΓI(E1)

f ∗ 1−→ ΓI(E2)

là giải nội xạ của L, tác động hàm tử I-xoắn vào ta được đối phức

i−1, với i ≥ 0. Môđun này không phụ thuộc

i / Im f ∗ I(L) = Ker f ∗ vào việc chọn giải nội xạ của L.

11

Khi đó H i

Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.

Mệnh đề 1.4.4. Cho L là R-môđun. Các khẳng định sau là đúng.

I(L) = 0 với mọi i ≥ 1.

(i) Nếu L là nội xạ thì H i

I (L).

(ii) ΓI(L) ∼= H 0

(iii) Nếu 0 → L(cid:48) → L → L(cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun thì tồn

(L(cid:48)) với mọi i ≥ 0 sao cho ta có dãy

I(L(cid:48)(cid:48)) → H i+1

I

tại các đồng cấu nối H i

0 → ΓI(L(cid:48)) →ΓI(L) → ΓI(L(cid:48)(cid:48)) → H 1

→ H 1

I (L) → H 1

I (L(cid:48)) → . . .

I (L(cid:48)) I (L(cid:48)(cid:48)) → H 2

khớp dài

Một tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là tính

triệt tiêu trong mối quan hệ với tính I-xoắn, độ sâu và chiều của môđun.

Đầu tiên là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương trong mối

quan hệ với tính I-xoắn.

Mệnh đề 1.4.5. Cho L là R-môđun. Các phát biểu sau là đúng.

I(L) là môđun I-xoắn với mọi i ≥ 0.

(i) H i

I(L) = 0 với mọi i > 0. Đặc biệt với mỗi

R-môđun L, ta có H j

I(L)) = 0 với mọi i ≥ 0 và với mọi j ≥ 0.

I (H i

(ii) Nếu L là I-xoắn thì H i

Mệnh đề trên cho ta ngay kết quả sau đây.

I(L) với mọi số tự nhiên i ≥ 1.

I(L) ∼= H i

Hệ quả 1.4.6. Với mỗi R-môđun L, đặt L = L/ΓI(L). Khi đó ta có H i

Tiếp theo là tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương

12

liên quan đến khái niệm dãy chính quy và độ sâu của môđun.

Định nghĩa 1.4.7. Cho L là R-môđun. Phần tử 0 (cid:54)= a ∈ R được gọi

là phần tử L-chính quy nếu (0 :L a) = 0 và L (cid:54)= aL. Một dãy các

L/(a1, . . . , ai−1)L-chính quy với mọi i = 1, . . . , n và L/(a1, . . . , an)L (cid:54)= 0.

phần tử a1, . . . , an của R được gọi là L-dãy chính quy nếu ai là phần tử

Chú ý nếu (R, m) là vành địa phương, a1, . . . , an ∈ m thì điều kiện thứ

hai trong định nghĩa L-dãy chính quy là không cần, tức L/(a1, . . . , an)L (cid:54)= 0

là luôn đúng.

Từ nay đến hết tiết này, ta giả thiết (R, m) là vành địa phương và M

là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có các kết quả sau.

Định nghĩa 1.4.8. Mỗi dãy chính quy của M trong I đều có thể mở rộng

thành một dãy chính quy tối đại và độ dài của của các dãy chính quy tối

đại trong một iđêan I là bằng nhau. Độ dài này được gọi là độ sâu của

môđun M trong I , kí hiệu là depthI(M ). Đặc biệt khi I = m thì ta viết là depth(M ).

Độ sâu của môđun hữu hạn sinh có thể được đặc trưng qua tính không

triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau.

depthI(M ) = min{i | H i

I(M ) (cid:54)= 0}.

Mệnh đề 1.4.9. Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và M (cid:54)= 0 thì

Sau cùng là khái niệm chiều của môđun và tính triệt tiêu của môđun

đối đồng điều địa phương liên quan đến khái niệm chiều của môđun.

Định nghĩa 1.4.10. Một dãy p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn các iđêan nguyên tố

của R được gọi là một dãy iđêan nguyên tố của R có độ dài n. Cận trên

các độ dài của các dãy iđêan nguyên tố của R được gọi là chiều (chiều

13

Krull) của vành R, kí hiệu là dim R. Khi đó chiều (chiều Krull) của M là

dim M = −1.

chiều của vành R/ AnnR M , kí hiệu là dim M . Nếu M = 0 thì ta quy ước

Định lý 1.4.11. (Định lí triệt tiêu Grothendieck) Với dim M = d, các

khẳng định sau là đúng:

I(M ) = 0 với mọi số nguyên i > d và mọi iđêan I của R.

(i) H i

m(M ) (cid:54)= 0}.

(ii) Nếu M (cid:54)= 0 thì dim M = max{i | H i

Cuối tiết này ta trình bày tính chất Artin của môđun đối đồng điều

địa phương. Để xét tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương trước

hết ta cần mệnh đề sau.

i ∈ N ta có dãy khớp

0 → H i

I(M )/xH i

I(M ) → H i

I(M/xM ) → (0 :H i

I (M ) x).

Mệnh đề 1.4.12. Cho x ∈ I là một phần tử M -chính quy. Khi đó với mọi

Định lý sau khẳng định môđun đối đồng điều đại phương cấp cao nhất

với giá tùy ý và môđun đối đồng điều đại phương cấp tùy ý với giá cực đại

luôn là Artin.

Định lý 1.4.13. Cho (R, m) là vành địa phương , M là R-môđun hữu hạn

sinh với dim M = d. Khi đó

I (M ) là Artin với mọi iđêan I.

(i) H d

m(M ) là Artin với mọi số nguyên i ≥ 0.

(ii) H i

Chứng minh. (i). Ta sẽ chứng minh quy nạp theo d. Với d = 0 thì M có độ

I (M ) ∼= ΓI(M ) vì thế H 0

I (M ) là Artin. Cho d ≥ 1 và giả thiết rằng kết quả đúng với trường hợp chiều nhỏ hơn d. Do d > 0 nên

dài hữu hạn và do H 0

I(M ) ∼= H i

I(M/ΓI(M )). Chú ý rằng dim(M ) ≥

14

theo Hệ quả 1.4.6 ta có H i

dim(M/ΓI(M )). Nếu dim(M/ΓI(M )) < d thì H d H d

I(M ) ∼= H i

I (M/ΓI(M )) = 0. Do đó I (M ) = 0 và vì thế nó là môđun Artin. Giả sử dim(M/ΓI(M )) = d. Khi I(M/ΓI(M )). Do M/ΓI(M ) có phần tử chính quy trong I nên ta có thể giả thiết I chứa phần tử x là M -chính quy. Từ dãy khớp 0 → M x.→ M

p → M/xM → 0, theo Mệnh đề 1.4.12 ta có dãy khớp cảm

đó H i

(M/xM )

f → H d

I (M ) x.→ H d

I (M ).

H d−1 I

sinh

Vì x là phần tử M -chính quy nên dim(M/xM ) = d − 1. Theo giả thiết

(M/xM ) là Artin. Từ dãy khớp trên suy ra

I

(M/xM )/ Ker f ∼= Im f = Ker(x.) = (0 :H d

H d−1 I

I (M ) x).

(M/xM )/ Ker f là Artin nên (0 :H d

quy nạp thì H d−1

I (M ) x) là Artin. Vì H d

Vì H d−1 I

I (M ) là I (M ) là môđun Rx-xoắn. Do đó theo Định

môđun I-xoắn và x ∈ I nên H d

I (M ) là môđun Artin.

lý 1.2.6 ta suy ra H d

m(M ) ∼= Γm(M ). Vì M là môđun Noether nên dãy (0 :M m) ⊆ (0 :M m2) ⊆ . . . phải dừng, tức tồn tại số tự nhiên r sao cho (0 :M mk) = (0 :M mr) với mọi k ≥ r. Do vậy H 0

m(M ) = (0 :M mr). Suy ra mr ⊆ AnnR(H 0

(ii). Ta cũng chứng minh bằng quy nạp theo i. Với i = 0 ta có H 0

m(M )) ≤ dim R/mr = 0. Suy ra H 0

m(M )). Vì m(M ) có độ dài hữu hạn, do đó nó là Artin. Cho i > 0. Giả thiết kết quả đúng cho i − 1. Chú ý

m(M ) ∼= H i

m(M) với M = M/Γm(M ). Do đó tồn tại x ∈ m là p → M/xM → 0 ta có dãy khớp

thế dim(H 0

δi−1→ H i

m(M ) x.→ H i

m (M/xM )

m(M ). Suy ra

H i−1

∼= Im δi−1 = Ker(x.) = (0 :H i

m (M/xM )/ Ker δi−1

m(M ) x).

rằng H i M -chính quy. Từ dãy khớp 0 → M x.→ M H i−1

m(M ) là môđun m-xoắn và x ∈ m nên H i

m(M ) cũng là môđun Rx-

Vì H i

m(M ) là môđun Artin.

15

xoắn. Theo Định lý 1.2.6 ta suy ra H i

Chương 2

Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa.

Trong suốt chương này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành Noerther địa

phương, M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Kí hiệu (cid:98)R và (cid:99)M lần

lượt là đầy đủ m-adic của R và M . Mục tiêu của chương là chứng minh

lại định lý chính trong bài báo [NQ] của L. T. Nhàn và P. H. Quý, nghiên

cứu về việc chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều

m(M ) qua địa phương hóa và qua đầy đủ hóa trong mối liên hệ với tính catenary phổ dụng và các thớ hình thức là

địa phương với giá cực đại H i

Cohen-Macaulay của vành cơ sở. Trước tiên ta nhắc lại khái niệm và các

tính chất của hệ tham số.

2.1 Hệ tham số

dim M = max{n ≥ 0 | tồn tại p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn ∈ SuppR M }

= max{dim(R/p) | p ∈ AssR M } = dim(R/ AnnR M ).

Đầu tiên ta nhớ lại rằng

16

Sau đây là định lý quan trọng về số chiều.

Mệnh đề 2.1.1. Hàm (cid:96)(M/mnM ) là đa thức có hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn

dim M = deg (cid:96)(M/mnM )

= inf{t | tồn tại x1, . . . , xt ∈ m để (cid:96)(M/(x1, . . . , xt)M ) < ∞}.

và

Định nghĩa 2.1.2. Một hệ gồm d phần tử {x1, . . . , xd} nằm trong m

{x1, . . . , xd} là một hệ tham số của M thì xi được gọi là một phần tử tham

được gọi là một hệ tham số của M nếu (cid:96)(M/(x1, . . . , xd)M ) < ∞. Nếu

số của M và tập con i phần tử {x1, . . . , xi} được gọi là một phần hệ tham

số của M với mọi i = 1, . . . , d.

Chú ý rằng luôn tồn tại một hệ tham số của M theo Mệnh đề 2.1.1.

Khi đó ((x1, . . . , xd) + AnnR M ) là m-nguyên sơ. Mệnh đề sau cho ta một

số tính chất của hệ tham số.

Mệnh đề 2.1.3. Các phát biểu sau là đúng.

1 , . . . , xnd

d } cũng

(i) Nếu {x1, . . . , xd} là một hệ tham số của M thì {xn1

là một hệ tham số của M với mọi n1, . . . , nd ∈ N.

dim(M/(x1, . . . , xt)M ) ≥ d − t.

(ii) Cho số tự nhiên t ≤ d và {x1, . . . , xt} ⊆ m. Khi đó

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {x1, . . . , xt} là một phần của hệ tham số

của M .

(iii) Cho x ∈ m. Khi đó x là phần tử tham số của M khi và chỉ khi x /∈ p

với mọi p ∈ AssR M thỏa mãn dim R/p = d.

Ta đã biết rằng x là phần tử M -chính quy khi và chỉ khi x /∈ p với mọi

p ∈ AssR M . Từ đó ta có mối quan hệ giữa dãy chính quy và hệ tham số

17

như sau.

Mệnh đề 2.1.4. Nếu {x1, . . . , xt} là M -dãy chính quy thì {x1, . . . , xt} là

một phần của hệ tham số của M .

2.2 Các lớp vành đặc biệt

Trong tiết này ta trình bày một số khái niệm, tính chất của vành

catenary phổ dụng và vành Gorenstein sẽ dùng trong luận văn. Từ đó thấy

được mối quan hệ giữa hai lớp vành trên. Trước hết, ta nhắc lại khái niệm

vành catenary. Vì R là vành Noether địa phương nên với mọi cặp iđêan

nguyên tố p ⊂ q của R luôn tồn tại dãy các iđêan tố p = p0 ⊂ . . . ⊂ pn = q

bão hòa giữa p và q (nghĩa là với mọi i = 0, . . . , n − 1, không thể chèn

thêm một iđêan nguyên tố nào chen giữa pi và pi+1). Khi đó n được gọi là

độ dài của dãy nguyên tố bão hòa này.

Định nghĩa 2.2.1. Vành R được gọi là catenary nếu mọi dãy nguyên tố

bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố p ⊂ q đều có chung độ dài.

Năm 1946, I. Cohen đã chứng minh rằng mọi vành địa phương đầy

đủ là catenary. Sau đó, M. Nagata cũng chỉ ra ràng mọi miền nguyên, địa

phương tựa không trộn lẫn là catenary. Như vậy hầu hết các vành được biết

đến đều là catenary. Rõ ràng nếu R là vành catenary thì Rp là catenary với

mọi p ∈ Spec(R). Ngoài ra vành catenary còn có tính chất sau.

Mệnh đề 2.2.2. Các mệnh đề sau là đúng:

(i) Nếu R là catenary thì vành thương của R cũng là catenary.

(ii) R là catenary khi và chỉ khi ht(p/q) = dim R/q − dim R/p với mọi

iđêan nguyên tố p, q của R thỏa mãn q ⊆ p.

18

Như vậy nếu R là miền nguyên, địa phương catenary thì nó thỏa mãn

ht p + dim R/p = dim R.

công thức chiều

Tiếp theo là định nghĩa và một số tính chất của lớp vành catenary phổ

dụng.

Định nghĩa 2.2.3. Vành R được gọi là catenary phổ dụng nếu mọi R-đại

số hữu hạn sinh đều là catenary.

Chú ý rằng nếu S là R-đại số hữu hạn sinh, tức là tồn tại a1, . . . , at ∈ S

sao cho S = R[a1, . . . , at] thì ta có toàn cấu vành ϕ : R[x1, . . . , xt] → S

i = 1, . . . , t. Vì thế, S đẳng cấu với vành thương của vành đa thức. Vì

từ vành đa thức t biến R[x1, . . . , xt] đến S sao cho ϕ(xi) = ai, với mọi

vành thương của vành catenary là vành catenary nên suy ra vành R là

catenary phổ dụng nếu và chỉ nếu mọi vành đa thức với hệ số trên R đều

là catenary.

Định lý sau đây đưa ra điều kiện để một vành là catenary phổ dụng thông

qua tính tựa không trộn lẫn và tính Cohen-Macaulay của vành. Trước hết

ta nhắc lại khái niệm vành tựa không trộn lẫn, vành không trộn lẫn và vành

Cohen-Macaulay.

Định nghĩa 2.2.4. Vành R được gọi là vành tựa không trộn lẫn nếu vành

đầy đủ m-adic (cid:98)R của R là đẳng chiều, tức là dim (cid:98)R/P = dim (cid:98)R với mọi

P ∈ min Ass (cid:98)R. Vành R được gọi là không trộn lẫn nếu dim (cid:98)R/P = dim (cid:98)R

với mọi P ∈ Ass (cid:98)R.

depth R = dim R.

Định nghĩa 2.2.5. Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu

Định lý 2.2.6. R là catenary phổ dụng nếu thỏa mãn một trong các điều

19

kiện sau:

(i) R là tựa không trộn lẫn;

(ii) R là thương của một vành Cohen-Macaulay.

Định lý 2.2.7. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) R là vành catenary phổ dụng;

(ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary;

(iii) R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R).

T. Kawasaki đã chứng minh được R là vành thương của vành Cohen-

Macaulay địa phương khi và chỉ khi R là vành catenary phổ dụng và mọi

thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Nhắc lại rằng, với mỗi p ∈ Spec(R) và

P ∈ Spec( (cid:98)R) sao cho P ∩ R = p, đồng cấu tự nhiên R → (cid:98)R cảm sinh đồng cấu địa phương f : Rp → (cid:98)RP. Khi đó vành thớ (cid:98)RP ⊗ (Rp/pRp) ∼= (cid:98)RP/p (cid:98)RP là thớ hình thức của R ứng với p và P.

Khái niệm vành Gorenstein được giới thiệu bởi Grothendieck năm 1961.

Có nhiều cách định nghĩa vành Gorenstein, trong luận văn tôi chọn định

nghĩa theo tính hữu hạn của chiều nội xạ.

Định nghĩa 2.2.8. Một vành Noether địa phương R được gọi là vành

Gorenstein địa phương nếu nó có chiều nội xạ hữu hạn, tức là R có một

giải nội xạ trong đó chỉ có hữu hạn môđun nội xạ khác 0.

Một vành Noether R bất kì là vành Gorenstein nếu Rm là vành Goren-

stein địa phương với mọi m ∈ max R.

Sau đây là các điều kiện tương đương với Định nghĩa 2.2.8.

Định lý 2.2.9 (Mat, Định lý 18.1). Cho (R, m, k) là vành Noether địa

20

phương n chiều. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) R là vành Gorenstein;

(i’) R có chiều nội xạ bằng n;

R(k, R) = 0 với i (cid:54)= n và Exti

R(k, R) ∼= k với i = n;

(ii) Exti

R(k, R) = 0 nếu i > n;

(iii) Exti

R(k, R) = 0 với i < n và Exti

R(k, R) ∼= k với i = n;

(iv) Exti

R(k, R) ∼= k;

(iv’) R là vành Cohen-Macaulay và Extn

(v) R là vành Cohen-Macaulay và tất cả các iđêan tham số của R là bất

khả quy;

(v’) R là vành Cohen-Macaulay và tồn tại iđêan tham số bất khả quy.

Từ Định lý 2.2.9 ta có ngay nhận xét.

Nhận xét 2.2.10. Vành Gorenstein là vành Cohen-Macaulay.

Nhưng điều ngược lại không đúng. Ví dụ khi k là một trường thì vành

địa phương R = k[x, y, z]/(x2, xy, y3, z2) có độ dài hữu hạn nên là vành

Cohen-Macaulay địa phương nhưng R không là Gorenstein.

2.3 Các bổ đề liên quan

Mục đích của tiết này là trình bày các kết quả cần thiết để chứng minh

định lý chính của luận văn. Đó là kết quả chính trong bài báo [CN] của L.

T. Nhàn và T. Đ. M. Châu, Định lý chẻ ra của môđun đối đồng điều địa

phương được chứng minh bởi N. T. Cường và P. H. Quý trong [CQ, Hệ

R → S là đồng cấu phẳng giữa hai vành địa phương trong bài báo [NQ]

21

quả 3.5] và bổ đề về mối quan hệ giữa tập AttR A và AttS(A ⊗R S) khi

của L. T. Nhàn và P. H. Quý. Các kiến thức trong tiết này được trích từ

tài liệu [CN], [CQ] và [NQ].

Công cụ chủ yếu để chứng minh định lý chính trong [CN] là khái niệm

giả giá thứ i của M được giới thiệu bởi M. Brodmann và R. Y Sharp. Khái

niệm này được định nghĩa như sau.

R(M ), được cho bởi công thức

Psuppi

(Mp) (cid:54)= 0}.

R(M ) = {p ∈ Spec(R) | H i−dim(R/p)

pRp

Định nghĩa 2.3.1. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giả giá thứ i của M , kí hiệu là Psuppi

Sau đây là một số tính chất của tập giả giá. Chú ý rằng, tập con T

của Spec(R) được gọi là tập đóng dưới phép đặc biệt hóa nếu với hai iđêan

nguyên tố bất kì p và q của R thỏa mãn p ⊆ q và p ∈ T ta luôn có q ∈ T .

Bổ đề 2.3.2. Các khẳng định sau là đúng với mọi số nguyên i ≥ 0:

R(M ) là đóng dưới phép đặc biệt hóa;

(i) Nếu R là catenary thì Psuppi

R(M ) nếu và chỉ nếu P là phần tử tối

( (cid:99)M );

(ii) Giả sử vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-

Macaulay. Cho p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec( (cid:98)R) là iđêan tối tiểu của p (cid:98)R. Khi đó p là phần tử tối tiểu của Psuppi tiểu của Psuppi (cid:98)R

(iii) Nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay

m(M )).

R(M ) = Var(AnnR H i

thì Psuppi

Bồ đề sau là một trong số các nội dung chính trong bài báo của L. T.

Nhàn và T. Đ. M. Châu [CN, Định lý 1.1].

Bổ đề 2.3.3. Các mệnh đề sau là tương đương:

22

(i) R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay;

Ass

m(M ) = min

(cid:98)R H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R), với mọi R-môđun

m(M )

(ii) min Att (cid:83) p∈AttR H i

hữu hạn sinh M và số nguyên i ≥ 0;

m(M )) = N-dimR H i

m(M ), với mọi R-môđun hữu

(iii) dim(R/ AnnR H i

Ass

hạn sinh M và số nguyên i ≥ 0.

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R). Khi đó

m(M )

Chứng minh. (i) → (ii). Giả sử P ∈ min

Ass

tồn tại p0 ∈ AttR H i m(M ) sao cho P ∈ Ass ta có P ∩ R = p0. Lấy p1 ∈ min AttR(H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R) vì p1 ∈ AttR H i

m(M )

nữa ta có P1 ∈ (cid:83) p∈AttR H i (cid:98)R( (cid:98)R/p0 (cid:98)R). Theo Bổ đề 1.1.4(ii), m(M )) sao cho p1 ⊆ p0. Khi đó (cid:98)R( (cid:98)R/p1 (cid:98)R) sao cho P1 ⊆ P. Hơn m(M ). Như vậy, do P ⊇ p1 (cid:98)R. Suy ra tồn tại P1 ∈ min Ass (cid:83) p∈AttR H i

Ass

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R) nên P1 = P.

m(M )

tính chất tối tiểu của P trong tập (cid:83) p∈AttR H i

m(M ). Theo Bổ đề 1.3.2(ii) ta có p0 ∈ min Var(AnnR H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p0 (cid:98)R) và p0 ∈ m(M )). Vì vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.3.2(iii) ta có p0 ∈ min Psuppi

min Ass

R(M ). Mặt khác do P ∈ ( (cid:99)M ) theo Bổ đề 2.3.2(ii) và

(cid:98)R( (cid:98)R/p0 (cid:98)R) nên suy ra P ∈ min Psuppi (cid:98)R

m(M )) theo Bổ đề 2.3.2(iii). Do

(cid:98)R H i

Vì thế p0 = P ∩ R = P1 ∩ R = p1. Suy ra P ∈ min Ass min AttR H i

m(M )) theo Bổ đề 1.3.2(ii). Suy ra

đó P ∈ min Att giả thiết (i). Vì vậy P ∈ min Var(Ann (cid:98)R(H i

min Att

Ass

m(M )) ⊇ min

(cid:98)R(H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R).

p∈AttR H i

m(M )

(cid:91)

(cid:98)R(H i

Ngược lại, lấy P ∈ min Att

m(M )). Đặt p0 = P ∩ R. Khi đó theo Bổ đề m(M ). Lấy p1 ∈ min AttR H i m(M ) sao cho p1 ⊆ p0. Vì đồng cấu tự nhiên R → (cid:98)R là phẳng hoàn toàn nên nó thỏa mãn Định lý

1.3.4 ta có p0 ∈ AttR H i

đi xuống (xem [Mel, Định lý 9.5]), nghĩa là tồn tại iđêan nguyên tố P1 ⊆ P

m(M ) nên theo m(M )). Do đó từ giả thiết (i) và

23

để P1 ∩ R = p1. Suy ra tồn tại P2 ∈ min Var(p1 (cid:98)R) sao cho P2 ⊆ P1. Rõ ràng P2 ∩ R = p1 theo Bổ đề 1.1.4(ii). Vì p1 ∈ min AttR H i Bổ đề 1.3.2(ii) ta có p1 ∈ min Var(AnnR H i

R(M ). Vì P2 ∈ min Var(p1 (cid:98)R) nên ( (cid:99)M ). Do đó

Bổ đề 2.3.2(iii) suy ra p1 ∈ min Psuppi áp dụng giả thiết (i) và Bổ đề 2.3.2(ii) ta có P2 ∈ min Psuppi (cid:98)R

P2 ∈ min Var(Ann

(cid:98)R H i m(M ). Vì P ∈ min Att

(cid:98)R H i

(cid:98)R(H i

Ass

ra P2 ∈ min Att

m(M )) theo Bổ đề 2.3.2(iii) và Bổ đề 1.3.2(ii) ta suy m(M )) và P2 ⊆ P nên ta (cid:98)R( (cid:98)R/p1 (cid:98)R), hơn nữa p1 ∈ AttR H i m(M ) nên (cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R). Giả sử Q là phần tử tối tiểu trong tập

m(M )

ta có P ∈

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R), sao cho Q ⊆ P. Chú ý rằng, theo chứng minh

m(M )

có P2 = P. Do đó P ∈ min Ass (cid:83) p∈AttR H i Ass

(cid:83) p∈AttR H i trên ta có

min Att

Ass

m(M )) ⊇ min

(cid:98)R(H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R).

p∈AttR H i

m(M )

(cid:91)

(cid:98)R(H i

Ass

Do đó Q ∈ min Att

m(M )). Vì vậy P ∈ min

m(M )). Suy ra P = Q do tính chất tối tiểu của P (cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R). Do đó ta

(cid:98)R(H i

m(M )

trong Att (cid:83) p∈AttR H i

có

Ass

min Att

m(M )) = min

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R).

(cid:98)R(H i

p∈AttR H i

m(M )

(cid:91)

xét 2.3, Hệ quả 4.8] suy ra t = dim( (cid:98)R/ Ann (ii) ⇒ (iii). Cho i ≥ 0. Đặt t = N-dimR H i (cid:98)R H i

m(M ). Theo [CN, Nhận m(M )). Khi đó tồn tại m(M ) sao cho dim( (cid:98)R/P) = t. Đặt

(cid:98)R H i

iđêan nguyên tố P của (cid:98)R chứa Ann

m(M ) ∩ R ⊇ AnnR H i

m(M ). Do đó

(cid:98)R H i

t = dim( (cid:98)R/P) ≤ dim(R/p) ≤ dim(R/ AnnR H i

m(M )).

p = P ∩ R. Rõ ràng p ⊇ Ann

min Ass

Đặt k = dim(R/ AnnR H i tố p0 ∈ min AttR(H i

Ass

m(M )). Theo Bổ đề 1.3.2(ii) tồn tại iđêan nguyên m(M )) để dim(R/p0) = k. Lấy iđêan nguyên tố P ∈ (cid:98)R( (cid:98)R/p0 (cid:98)R) sao cho dim( (cid:98)R/P) = dim(R/p0) = k. Khi đó ta có (cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R) và P∩R = p0. Gọi P1 là phần tử tối tiểu của

m(M )

P ∈

Ass

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R) sao cho P1 ⊆ P. Suy ra P1 ∈ Ass

(cid:98)R( (cid:98)R/p1 (cid:98)R)

m(M ) với p1 nào đó thuộc AttR H i

m(M ). Vì thế p0 = P ∩ R ⊇ P1 ∩ R = p1. Do

24

tập (cid:83) p∈AttR H i (cid:83) p∈AttR H i

tính chất tối tiểu của p0 trong tập AttR(H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p0 (cid:98)R). Vì P ∈ min Ass

Ass

P và P1 đều là phần tử của tập Ass

m(M )) nên p1 = p0. Suy ra cả (cid:98)R( (cid:98)R/p0 (cid:98)R) (cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R). Từ giả

m(M )

m(M )). Do đó theo Bổ đề 1.3.2(ii) ta có

dim( (cid:98)R/P) ≤ dim( (cid:98)R/ Ann

(cid:98)R(H i m(M )). Suy ra k ≤ t. Vậy

và P1 ⊆ P nên P = P1. Vậy P ∈ min (cid:83) p∈AttR H i

dim(R/ AnnR H i

m(M )) = N-dimR H i

m(M ).

thiết (ii) suy ra P ∈ min Att (cid:98)R H i

(iii) ⇒ (i). Theo M. Hochster và C. Huneke, một phần tử x ∈ R gọi

là triệt tiêu đều đối đồng điều địa phương của M nếu x (cid:54)= p với mọi

m(M ) = 0 với mọi i ≤ dim M − 1. Để chứng minh (i), ta cần chỉ ra rằng R/p có phần tử triệt tiêu đều đối đồng điều địa phương

p ∈ min AssR M và xH i

ai = AnnR H i

(cid:98)R H i

( (cid:98)R/p (cid:98)R). Do đó theo

i=0 ai. Theo giả m(R/p)). Vì đồng cấu tự nhiên R → (cid:98)R là phẳng nên theo Định lý chuyển cơ sở phẳng [BS, Định lý 4.3.2] ta có (cid:98)R-đẳng cấu H i

m(R/p) ∼= H i m (cid:98)R

với mọi p ∈ Spec(R). Cho p ∈ Spec(R) và đặt s = dim(R/p). Kí hiệu m(R/p) với i = 0, 1, . . . , s − 1 và đặt a = (cid:81)s−1 thiết (iii), với mỗi số nguyên i, ta có dim(R/ai) = dim( (cid:98)R/ Ann

dim(R/ai) = dim( (cid:98)R/ Ann

( (cid:98)R/p (cid:98)R))

(cid:98)R H i m (cid:98)R

= max{dim( (cid:98)R/P) | P ∈ Att

( (cid:98)R/p (cid:98)R)}.

(cid:98)R H i m (cid:98)R

Bổ đề 1.3.2(ii) suy ra

Vì (cid:98)R là đầy đủ nên (cid:98)R là ảnh đồng cấu của vành Gorenstein địa phương. Do

(cid:98)R H i m (cid:98)R

( (cid:98)R/p (cid:98)R) ta có dim( (cid:98)R/P) ≤ i. Vậy dim(R/ai) ≤ i với mọi số nguyên i. Từ đó suy ra dim(R/a) ≤ s và do đó a (cid:42) p. Vì thế

đó với mỗi P ∈ Att

m(R/p) = 0 với mọi i < s, nghĩa là R/p có phần tử triệt tiêu đều đối đồng điều địa phương. Do đó R là vành

tồn tại phần tử x ∈ a/p. Suy ra xH i

catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay.

Một bước quan trọng để chứng minh kết quả chính trong luận văn

25

là với mỗi số nguyên dương i < d và mỗi iđêan nguyên tố gắn kết p ∈

AttR H i

m(M ) ta nhận được R-môđun hữu hạn sinh N thích hợp sao cho p ∈ AssR(N ) (xem Bổ đề 2.4.2). Sử dụng tính chất chẻ ra của môđun đối

đồng điều địa phương được chứng minh bởi N. T. Cường và P. H. Quý [CQ,

Hệ quả 3.5] ta có thể chứng minh được tính chất này. Cho T là tập con

(T )i = {p ∈ T | dim(R/p) = i}.

của Spec R và số tự nhiên i ≥ 0, đặt

Trước tiên ta có chú ý.

Chú ý 2.3.4. Cho N là R-môđun hữu hạn sinh có chiều t > 0, ta có tập

m(N )) với i = 0, . . . , t và a(N ) = a0(N ) . . . at−1(N ). Chú

ai(N ) = AnnR(H i

ý rằng

t (cid:92)

AnnR(0 :N/(x1,...,xi−1)N xi),

x

i=1

(cid:92) a(N ) ⊆

trong đó x = {x1, . . . , xt} chạy trên tập tất cả các hệ tham số của N .

Ta có kết quả về tính chẻ ra của môđun đối đồng điều địa phương được

chứng minh bởi N. T. Cường và P. H. Quý (xem [CQ, Hệ quả 3.5]) như

sau.

Bổ đề 2.3.5. Đặt M = M/UM (0), trong đó UM (0) là môđun con lớn nhất

x ∈ a(M )3 là một phần tử tham số của M . Với mọi i < d − 1 ta có

H i

m(M/xM ) ∼= H i

m(M ) ⊕ H i+1

m (M ).

của M có chiều nhỏ hơn d. Với các kí hiệu trong Chú ý 2.3.4, giả sử rằng

AttS(A ⊗R S) khi R → S là đồng cấu phẳng giữa hai vành địa phương

Cuối cùng ta trình bày Bổ đề về mối quan hệ giữa tập AttR A và

được L. T. Nhàn và P. H. Quý chứng minh trong [NQ, Bổ đề 2.3].

Bổ đề 2.3.6. Cho A là R-môđun Artin, (S, n) là vành địa phương Noether

26

và ϕ : R → S là đồng cấu phẳng giữa hai vành địa phương (R, m) và (S, n).

AttR A = {ϕ−1(P) | P ∈ AttS(A ⊗R S)}.

Giả sử dim(S/mS) = 0. Khi đó A ⊗R S là S-môđun Artin và

Chứng minh. Đầu tiên ta sử dụng tiêu chuẩn Artin của Melkersson (Định

lý 1.2.6) để chứng minh A ⊗R S là S-môđun Artin. Vì S là phẳng trên R

HomS(S/mS; A⊗RS) ∼= HomS(R/m⊗RS; A⊗RS) ∼= HomR(R/m; A)⊗RS.

và R/m có biểu diễn hữu hạn nên theo [Mat, Định lý 7.11] ta có:

Vì A là R-môđun Artin, HomR(R/m; A) là R-môđun có độ dài hữu hạn. Vì

vậy HomR(R/m; A) là R-môđun hữu hạn sinh. Vậy HomR(R/m; A) ⊗R S

là S-môđun hữu hạn sinh bị triệt tiêu bởi mS. Bởi vì dim(S/mS) = 0, kéo

theo HomR(R/m; A) ⊗R S là S-môđun có độ dài hữu hạn. Vì A là m-xoắn

nên A ⊗R S cũng là m-xoắn. Suy ra A ⊗R S là S-môđun Artin.

Cho A = A1 + A2 + . . . + An là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A, trong

đó Ai là pi-thứ cấp với mọi i = 1, . . . , n. Vậy AttR A = {p1, . . . , pn}. Coi S

Ai ⊗R S có thể coi như môđun con của A ⊗R S với mọi i = 1, . . . , n. Vì vậy

A ⊗R S = (A1 ⊗R S) + . . . + (An ⊗R S). Với mỗi i = 1, . . . , n, chọn một biểu

là phẳng thực sự R-đại số, R có thể được xem như một vành con của S và

diễn thứ cấp tối tiểu của S-môđun Ai ⊗R S là Ai ⊗R S = Bi1 + . . . + Biki, với Bij là Pij-thứ cấp. Vậy A ⊗R S = (cid:80)n i=1(Bi1 + . . . + Biki) là một biểu diễn thứ cấp của A ⊗R S. Bằng cách bỏ đi các thành phần thừa và đánh

số lại các thành phần còn lại, ta có thể giả thiết rằng tồn tại số nguyên ti ≤ ki với i = 1, . . . , n sao cho A ⊗R S = (cid:80)n i=0(Bi1 + . . . + Biti) là một biểu diễn thứ cấp của A ⊗R S mà không có bất kì thành phần thừa

S là phẳng hoàn toàn trên R nên ti ≥ 1 với mọi i = 1, . . . , n. Bây giờ cho i ∈ {1, . . . , n}, và x ∈ pi nên tồn tại m ∈ N sao cho xmAi = 0. Suy ra xm(Ai ⊗R S) = 0 và xmBij = 0 với mọi j = 1, . . . , ti. Do đó

27

nào. Vì Ai không thừa trong biểu diễn thứ cấp A = A1 + A2 + . . . + At,

x ∈ Pij ∩ R với mọi j = 1, . . . , ti. Cho x ∈ R/pi. Khi đó xmAi = Ai nên xm(Ai ⊗R S) = Ai ⊗R S, với m ∈ N. Nếu x ∈ Pij, với j ∈ {1, . . . , ti} thì tồn tại m0 ∈ N sao cho xm0Bij = 0. Do đó xm0(Ai ⊗R S) (cid:54)= Ai ⊗R S,

i=0(Bi1 + . . . + Biti) là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của

điều này là mâu thuẫn. Vậy x /∈ Pij, với mọi j = 1, . . . , ti. Kéo theo

AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttS(A ⊗R S)}.

pi = Pij ∩ R với mọi j = 1, . . . , ti,. Vậy Pij từng đôi một phân biệt và A ⊗R S = (cid:80)n A ⊗R S. Vì vậyAttS(A ⊗R S) = {Pij | i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , ti}. Hay

2.4 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa

Tiết này dành để chứng minh định lý chính của luận văn về điều kiện

cần và đủ của vành cơ sở để công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết

của môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa

là đúng. Nội dung của tiết này được trình bày dựa theo bài báo [NQ].

Trước tiên sử dụng Bổ đề 2.3.5, ta có tính chất sau, tính chất này sẽ

được dùng để chứng minh Bổ đề 2.4.2.

Bổ đề 2.4.1. Với các kí hiệu trong Chú ý 2.3.4, giả thiết rằng x ∈ a(M )3

d−1 (cid:91)

d−2 (cid:91)

AttR(H i

AttR(H i

m(M )) ⊆

m(M/xM )) ∪ (AssR M )d−1.

i=0

i=0

là phần tử tham số của M . Khi đó ta có

d. Đặt M = M/UM (0). Đầu tiên ta chứng minh rằng

AttR(H d−1

m (M )) = (AssR M )d−1 ∪ AttR(H d−1

m (M )).

28

Chứng minh. Với UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn

H d−1

f → H d−1

m (UM (0))

m (M ) → H d−1

m (M ) → 0

Thật vậy, từ dãy khớp 0 → UM (0) → M → M → 0 sẽ cảm sinh dãy khớp

m (UM (0))) = ∅ = (AssR M )d−1, theo Bổ đề 1.3.2(i). Vậy đẳng thức trên là đúng. Giờ ta xét dim(UM (0)) = d − 1

Nếu dim UM (0) < d−1 thì AttR(H d−1

AttR(H d−1

m (UM (0))) = (AssR UM (0))d−1 = (AssR M )d−1,

thì

AttR(H d−1

m (M ))

m (M )) ⊆ AttR(H d−1 ⊆ AttR(H d−1

m (UM (0)))/ Ker f ) ∪ AttR(H d−1 m (UM (0))) ∪ AttR(H d−1

m (M ))

= (AssR M )d−1 ∪ AttR(H d−1

m (M )).

m (M )) (xem [BS, 11.3.9]) và do

theo [BS, 7.3.2]. Từ Bổ đề 1.3.2(iii) ta có:

m (M )) ⊆ AttR(H d−1

m (M )). Suy ra

AttR(H d−1

m (M )) ⊇ (AssR(M ))d−1 ∪ AttR(H d−1

m (M )).

Mặt khác, ta có (AssR M )d−1 ⊆ AttR(H d−1 dãy trên khớp nên AttR(H d−1

Vậy đẳng thức trên đã được chứng minh.

d−2 (cid:91)

d−2 (cid:91)

AttR(H i

(AttR(H i

m(M/xM )) =

m(M )) ∪ AttR(H i+1

m (M ))).

i=0

i=0 Chú ý rằng H 0

m(M )) = ∅. Vì vậy từ đẳng thức

m(M ) = 0. Suy ra AttR(H 0

Giờ sử dụng Bổ đề 2.3.5 ta có

d−2 (cid:91)

AttR(H i

m(M/xM )) ∪ (AssR M )d−1

i=0

d−2 (cid:91)

=

(AttR(H i

m(M )) ∪ AttR(H i+1

m (M ))) ∪ (AssR M )d−1

i=0 d−2 (cid:91)

=

(AttR H i

m (M ))

m(M ) ∪ AttR H i

m(M )) ∪ ((AssR M )d−1 ∪ AttR H d−1

i=0 d−1 (cid:91)

=

(AttR(H i

m(M )) ∪ AttR(H i

m(M ))).

i=0

29

trên ta có:

d−1 (cid:91)

d−2 (cid:91)

AttR(H i

AttR(H i

m(M )) ⊆

m(M/xM )) ∪ (AssR M )d−1.

i=0

i=0

Rõ ràng

Kết quả của bổ đề này được xem như chìa khóa để chứng minh kết quả

chính của tiết này.

d−1 (cid:91)

d−1 (cid:91)

AttR(H i

(AssR(M/(x1, . . . , xi)M ))d−i−1.

m(M )) ⊆

i=0

i=0

Bổ đề 2.4.2. Cho x1, . . . , xd là một hệ tham số của M . Với giả thiết như Chú ý 2.3.4, nếu xi ∈ a(M/(x1, . . . , xi−1)M )3 với mọi i = 1, . . . , d thì

AttR(H 0

m(M )), vế phải là (AssR(M ))0. Vậy bổ đề đúng với d = 1. Với d > 1. Giả thiết rằng kết quả đúng với d − 1. Đặt M1 = M/x1M . Áp dụng

Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo d. Với d = 1 thì vế trái là

d−1 (cid:91)

d−2 (cid:91)

AttR(H i

AttR(H i

m(M )) ⊆

m(M1)) ∪ (AssR M )d−1

i=0

i=0 d−2 (cid:91)

⊆

(AssR(M1/(x2, . . . , xi+1)M1))d−i−2 ∪ (AssR M )d−1

i=0 d−1 (cid:91)

=

(AssR(M/(x1, . . . , xi)M ))d−i−1 ∪ (AssR M )d−1

i=1 d−1 (cid:91)

=

(AssR(M/(x1, . . . , xi)M ))d−i−1.

i=0

Bổ đề 2.4.1 và giả thiết quy nạp ta được:

Sau đây là Nguyên lí dịch chuyển của môđun đối đồng điều địa phương

30

qua địa phương hóa được R.Y. Shap chứng minh trong [S, Định lý 3.7].

Bổ đề 2.4.3. Giả sử R là vành thương của vành Gorenstein địa phương.

(Mp)) = {qRp | q ∈ AttR(H i

m(M )), q ⊆ p}.

AttRp(H i−dim(R/p) pRp

Khi đó với bất kì iđêan nguyên tố p của R và bất kì số nguyên i ≥ 0 ta có

Nhìn chung Nguyên lí dịch chuyển của môđun đối đồng điều địa phương

qua địa phương hóa không đúng trong trường hợp tổng quát, (xem [BS, Ví

dụ 11.3.14]). Với R là vành địa phương bất kì ta sẽ có quan hệ bao hàm và

được gọi là Nguyên lí dịch chuyển yếu qua địa phương hóa, [BS, 11.3.8].

Bổ đề 2.4.4. Với bất kì iđêan nguyên tố p của R và bất kì số nguyên i ≥ 0

(Mp)) ⊆ {qRp | q ∈ AttR(H i

m(M )), q ⊆ p}.

AttRp(H i−dim(R/p) pRp

ta có

Bây giờ sẽ là Định lý chính trong luận văn này.

Định lý 2.4.5. Ta có các điều kiện sau là tương đương:

(Mp)) = {qRp | q ∈ AttR(H i

(i) R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay;

m(M )), q ⊆ p} với

pRp

(ii) AttRp(H i−dim(R/p)

mọi R-môđun M hữu hạn sinh, p ∈ Spec R và số nguyên i ≥ 0;

Ass

m(M )) =

(cid:98)R(H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R), với mọi R-môđun hữu

m(M )

(iii) Att

(cid:83) p∈AttR H i hạn sinh M và số nguyên i ≥ 0.

i ≥ 0. Đầu tiên ta chứng minh nếu tồn tại một hệ tham số x1, . . . , xd của M thỏa mãn xk ∈ a(M/(x1, . . . , xk−1)M )3, với mọi k = 1, . . . , d, thì

Chứng minh. Ta sử dụng các kí hiệu như trong Chú ý 2.3.4. Cho số nguyên

Att

Ass

m(M )) ⊆

(cid:98)R(H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R)

p∈AttR(H i

m(M ))

31

(cid:91)

m(M )). Nếu i = d thì ta có P ∈ (Ass

(cid:98)R(H i

Thật vậy, lấy P ∈ Att

(cid:98)R (cid:99)M )d, m(M )). Do đó

xem [BS, Định lý 7.3.2]. Chú ý rằng (AssR M )d = AttR(H d

theo [Mat, 23.2] ta có

Ass

Ass

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R) =

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R).

p∈(AssR M )d

p∈AttR(H d

m(M ))

(cid:91) (cid:91) P ∈

Vậy kết quả là đúng trong trường hợp i = d.

Cho i < d. Với mọi k = 1, . . . , d, dễ thấy

a(M/(x1, . . . , xk−1)M ) (cid:98)R ⊆ a( (cid:99)M /(x1, . . . , xk−1) (cid:99)M ).

(cid:98)R H i

Đặt dim( (cid:98)R/P) = t thì P ∈ (Att

2.4.2 ta có P ∈ (Ass

m(M ))t. Vì i < d nên theo Bổ đề (cid:98)R( (cid:99)M /(x1, . . . , xd−t−1) (cid:99)M ))t. Đặt p0 = P ∩ R. Khi đó m(M ) theo Bổ đề 1.3.4 và p0 ∈ AssR(M/(x1, . . . , xd−t−1)M ).

p0 ∈ AttR H i

Vì vậy ta có

Ass( (cid:98)R/p (cid:98)R).

(cid:98)R( (cid:99)M /(x1, . . . , xd−t−1) (cid:99)M ) =

p∈AssR(M/(x1,...,xd−t−1)M )

Ass

(cid:91) P ∈ Ass

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R). Vậy tính

m(M ))

Do đó P ∈ Ass( (cid:98)R/p0 (cid:98)R) và vì thế P ∈ (cid:83) p∈AttR(H i

chất đầu đã được chứng minh.

Giờ ta chứng minh (i) ⇒ (ii). Cho số nguyên i ≥ 0 và p là iđêan

m(M )) sao cho q ⊆ p thì qRp ∈ (Mp). Thật vậy, theo Bổ đề 1.3.4 thì tồn tại iđêan nguyên

nguyên tố của R. Từ kết quả của Bổ đề 2.4.4, để chứng minh (ii) ta chỉ

m(M )) sao cho Q ∩ R = q. Vì R là vành catenary phổ dụng và tất cả các thớ hình thức là Cohen-Macaulay, ta có dim(R/at(M )) ≤ t với

còn phải chỉ ra rằng nếu q ∈ AttR(H i AttRp H i−dim(R/p) pRp (cid:98)R(H i tố Q ∈ Att

mọi t = 0, . . . , d−1, (xem [CNN, Hệ quả 4.2(i)]). Vì vậy dim(R/a(M )) < d.

Do đó tồn tại phần tử x1 ∈ a(M )3 là phần tử tham số của M . Bằng

32

cách tương tự, ta chọn được hệ tham số của M là {x1, . . . , xd} thỏa mãn xk ∈ a(M/(x1, . . . , xk−1)M )3, với mọi k = 1, . . . , d. Nên từ chứng minh

(cid:98)R( (cid:98)R/q (cid:98)R). Vì R là catenary phổ dụng và tất cả các thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên vành R/q là không trộn lẫn. Vì vậy

( (cid:99)M )) nên

(cid:98)R(H i

(cid:98)R(H i m (cid:98)R

trên ta có Q ∈ Ass

m(M )) = Att ( (cid:99)MQ)) theo Bổ đề 2.4.3. Chú ý rằng ánh xạ tự

(cid:98)RQ

dim( (cid:98)R/Q) = dim(R/q). Vì Q ∈ Att (H i−dim( (cid:98)R/Q) Q (cid:98)RQ

Q (cid:98)RQ ∈ Att

nhiên Rq → (cid:98)RQ là phẳng hoàn toàn và có dim( (cid:98)RQ/q (cid:98)RQ) = 0. Hơn nữa, từ

H i−dim(R/q)

(Mq) ⊗ (cid:98)RQ

( (cid:99)MQ).

qRq

∼= H i−dim( (cid:98)R/Q) Q (cid:98)RQ

Định lý chuyển cơ sở phẳng (xem [BS, 4.3.2]) ta có

(Mq)) bởi Bổ đề 2.3.6. Theo giả thiết (i) có R

qRq

Vậy qRq ∈ Att(H i−dim(R/q)

i − dim(R/q) = (i − dim(R/p)) − dim(Rp/qRp).

(Mp)) theo nguyên

là catenary nên

∼= Rq, suy ra qRp ∈ AttRp(H i−dim(R/p)

pRp

Vì thế từ (Rp)qRp

(ii) ⇒ (iii). Cho p ∈ AttR(H i

m(M )) và P ∈ Ass( (cid:98)R/p (cid:98)R). Đầu tiên ta sẽ chứng minh dim( (cid:98)R/P) = dim(R/p). Thật vậy, giả sử dim( (cid:98)R/P) <

dim(R/p), đặt k = dim( (cid:98)R/P). Theo [BS, 11.3.3] ta thấy rằng

lý dịch chuyển yếu qua địa phương hóa (Bổ đề 2.4.4).

( (cid:98)R/p (cid:98)R)) = Att

m(R/p)).

(cid:98)R(H k

(cid:98)R(H k m (cid:98)R

m(R/p)) theo Bổ đề (Rp/pRp)).

pRp (Rp/pRp)) = ∅, điều

pRp

m(M )) nên từ giả thiết (ii) suy (Mp)). Chú ý rằng ánh xạ tự nhiên Rq → (cid:98)RP

pRp

P ∈ Att

( (cid:99)MP). Vì vậy

(Mp) ⊗ (cid:98)RP

∼= H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP

Bởi vì P ∈ Ass( (cid:98)R/p (cid:98)R) nên p = P ∩ R ∈ AttR(H k 1.3.4. Vì vậy từ giả thiết (ii) ta có pRp ∈ AttRp(H k−dim(R/p) Tuy nhiên, nếu dim(R/p) > k thì AttRp(H k−dim(R/p) này là mâu thuẫn. Vậy dim( (cid:98)R/P) = dim(R/p). Tiếp theo, từ chứng minh trên ta có dim( (cid:98)RP/p (cid:98)RP) = 0. Vì p ∈ AttR(H i ra pRp ∈ AttRp(H i−dim(R/p) là phẳng hoàn toàn và H i−dim(R/p)

( (cid:99)MP)) theo Bổ đề 2.3.6. Theo nguyên lý dịch

(cid:98)RP

pRp (H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP

P (cid:98)RP ∈ Att

( (cid:99)M )), vậy

(cid:98)R(H i m (cid:98)R

33

chuyển yếu qua địa phương hóa (Bổ đề 2.4.4) có P ∈ Att

m(M )). Suy ra

(cid:98)R(H i

P ∈ Att

Att

Ass

m(M )) ⊇

(cid:98)R(H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R).

p∈AttR(H i

m(M ))

(cid:91)

Giờ ta chứng minh bao hàm ngược lại bằng cách sử dụng tính chất đã chứng

m(M ) (cid:54)= 0. m(M )) sao cho dim(R/p) = (Mp))

pRp (Mp)) (cid:54)= ∅. Theo Mệnh đề

pRp

minh ở đầu. Với mỗi số nguyên i ∈ {0, . . . , d − 1} sao cho H i

(Mp) (cid:54)= 0. Vì vậy ta có i ≥ dim(R/p). Suy

pRp

Suy ra tồn tại iđêan nguyên tố p ∈ AttR(H i dim(R/ai(M )) theo Mệnh đề 1.3.2. Vậy pRp ∈ AttRp(H i−dim(R/p) theo giả thiết (ii). Suy ra AttRp(H i−dim(R/p) 1.3.2(i) suy ra H i−dim(R/p)

ra dim(R/ai(M )) ≤ i. Vậy dim(R/a(M )) ≤ d. Do đó tồn tại phần tử x1 ∈ a(M )3 là phần tử tham số của M . Kết quả tương tự sẽ tồn tại một hệ tham số {x1, . . . , xd} của M sao cho xk ∈ a(M/(x1, . . . , xk−1)M )3, với

mọi k = 1, . . . , d. Từ chứng minh trên ta có

Att

Ass

m(M )) ⊆

(cid:98)R(H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R).

p∈AttR(H i

m(M ))

(iii) ⇒ (i) Được chứng minh trong Bổ đề 2.3.3 (ii) ⇒ (i).

34

(cid:91)

Kết luận

Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày lại chi tiết các kết quả

trong bài báo của L. T. Nhàn và P. H. Quý [NQ], Attached primes of

local cohomology modules under localization and completion, Journal of

Algebra, (2014). Luận văn đã thu được một số kết quả như sau:

1. Hệ thống lại một số vấn đề về tập iđêan nguyên tố liên kết môđun

Artin và môđun đối đồng điều địa phương có liên quan đến nội dung

luận văn.

2. Trình bày khái niệm và một số tính chất của hệ tham số và hai lớp

vành đặc biệt liên quan đến luận văn là vành Gorenstein và vành

catenary. Tiếp đó là hai bổ đề cần thiết để chứng minh định lý chính

của luận văn là hai định lý chính trong [CN] và [CQ]. Và cuối cùng

là chứng minh lại định lý chính trong [NQ].

Định lý 2.4.5. Các điều kiện sau là tương đương:

(Mp) = {qRp | q ∈ AttR H i

m(M ), q ⊆ p} với

pRp

(i) R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay; (ii) AttRp H i−dim(R/p) mọi R-môđun M hữu hạn sinh, p ∈ Spec R và số nguyên i ≥ 0;

(iii) Att

Att

m(M ) =

(cid:98)R H i

(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R). với mọi R-môđun M

(cid:83) p∈AttR H i

m(M )

hữu hạn sinh và số nguyên i ≥ 0.

35

Tài liệu tham khảo

[BS] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local cohomology: An algebraic in-

troduction with geometry applications, Camb. Univ. Press.

[CN] T. D. M. Chau, L. T. Nhan (2014), Attached primes of local cohomology

modules and structure of Noertherian local rings, J. Algebra, 403, 459-459.

[CNN] N. T. Cuong, L. T. Nhan, N. T. K. Nga (2010), On pscudo supports and

non Cohen Macaulay locus of a finitely generated module, J. Algebra, 323,

3029-3038.

[CQ] N. T. Cuong, P. H. Quy, On the splitting of local cohomology and structure

of finitely generated modules in local rings, Preprint.

[Mac] I. G. Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a com-

mutative ring, Symposia Mathematica, 11, 23-43.

[Mat] H. Matsumura (1986), Commutative ring theory, Camb. Univ. Press.

[Mel] L. Melkersson (1995), Some applications of a criterion for Artinianess of

a modules, J. Pure Appl. Algebra, 101, 291-303.

[NQ] L. T. Nhan and P. H. Quy (2014), Attached primes of local cohomology

modules under localization and completion, J. Algebra, 420, 475 -485.

[S] R. Y. Sharp (1975), Some results on the vanishing of local cohomology mod-

ules, Proc. London Math. Soc., 30, 177-195.

36