Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập iđêan nguyên tố liên kết và tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ MAI LOAN

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ MAI LOAN

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG

THÁI NGUYÊN - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung

thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng

mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các

thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm ...

Người viết Luận văn

i

Hà Mai Loan

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ

NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại

học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới

thầy, người đã hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu khoa học đúng

đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức

giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện

Toán học và Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy và

khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin

cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,

Khoa Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt

thời gian học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp

đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của

mình.

Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm 2016

Người viết luận văn

ii

Hà Mai Loan

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Mở đầu 1

4 1 Kiến thức chuẩn bị

4 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 1.2 Biểu diễn thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 1.3 Môđun Ext và môđun Tor . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết và tính

cofinite của môđun đối đồng điều địa phương 13

2.1 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun

iii

đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương . . . . 25

Kết luận 41

iv

Tài liệu tham khảo 42

Mở đầu

Cho R là vành Noether, a là một iđêan của R, và M là R−môđun. Một

vấn đề quan trọng trong đại số giao hoán là xác định khi nào tập các iđêan

a(M )

nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương thứ i, H i

của M ứng với iđêan a là hữu hạn. Nếu R là vành địa phương chính quy

a(R) chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên

chứa một trường, khi đó H i

kết với mọi i ≥ 0 (trong [10] và [13]). Trong [20] Singh đã đưa ra một ví

H 3

a (R) có vô hạn các iđêan nguyên tố liên kết. Cũng trong [11] Katzman

dụ của một vành Noether R không địa phương và một iđêan a sao cho

đã đưa ra một ví dụ của một vành địa phương Noether R với đặc số

a (R) có vô hạn các iđêan nguyên tố liên

dương và một iđêan a sao cho H 2

kết.

Trong [2, Định lý 2.2] Brodmann và Lashgari đã chỉ ra rằng môđun

a(M ) của một

đối đồng điều địa phương không hữu hạn sinh đầu tiên H i

môđun hữu hạn sinh M ứng với một iđêan a chỉ có hữu hạn các iđêan

nguyên tố liên kết.

Exti

R(R/a, M ) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0. Gần đây M. T. Dibaei

Một R−môđun M được gọi là a-cofinite nếu SuppR(M ) ⊆ V(a) và

1

và S. Yassemi đã mở rộng kết quả của Brodmann và Lashgari, cụ thể là

định lý sau:

R. Cho s là một số nguyên không âm. Cho M là R−môđun sao cho

Exts

a(M ) là a−cofinite với

R(R/a, M ) là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu H i

Định Lý 1 ([6, Định lý 2.1]) Cho a là một iđêan của vành Noether

a(M )) là hữu hạn sinh.

mọi i < s, thì HomR(R/a, H s

Mặt khác, trong [12] Khashyarmanesh và Salarian đã chỉ ra rằng

a(M ) của một môđun hữu

môđun đối đồng điều địa phương thứ t, H t

hạn sinh M ứng với một iđêan a có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết

a(M )) là hữu hạn với mọi i < t. Gần đây, P. H. Quý đã kết

nếu SuppR(H i

hợp kết quả của Brodmann-Lashgari và kết quả của Khashyarmanesh-

Salarian, cụ thể là định lý sau:

Định lý 2 ([18, Định lý 3.2]) Cho a là một iđêan của vành Noether R,

a(M )

a(M )) là hữu hạn với mọi i < t. Khi đó

và cho M là một R−môđun hữu hạn sinh. Cho t ∈ N sao cho H i

a(M )) là tập hữu hạn.

là hữu hạn sinh hoặc SuppR(H i AssR(H t

Trong phần tiếp theo ta tìm hiểu một số kiến thức căn bản về tính

M là R−môđun hữu hạn sinh và a là iđêan của R, trong [6] Dibaei và

chất cofinite của môđun. Cho (R, m) là vành địa phương Noether, cho

Yassemi đã định nghĩa q(a, M ) là số nguyên nhỏ nhất n ≥ −1 sao cho

a(M ) là m-cofinite với mọi i > n, và đưa ra kết quả về số

các môđun H i

nguyên q(a, M ), cụ thể là định lý sau:

Định lý 3 ([6, Định lý 3.9]) Cho a là iđêan của R và i ≥ 0 là một số

a(R/b) là m−cofinite với mọi iđêan b của R.

nguyên cho trước sao cho H i

2

Khi đó q(a, R/p) < i với mọi p ∈ Spec R. Đặc biệt, q(a, M ) < i với mỗi

R−môđun hữu hạn sinh M .

Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết các chứng minh

của các Định lý 1, 2, 3 như đã nêu trên, các chứng minh này dựa trên

ba bài báo chính là [6], [17], [18]. Luận văn được chia làm hai chương.

Chương 1 dành để trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm:

iđêan nguyên tố liên kết, biểu diễn thứ cấp, môđun Ext và Tor, môđun

đối đồng điều địa phương, bao đầy đủ của môđun. Chương 2 là chương

chính của luận văn dành để chứng minh chi tiết các Định lý 1, Định lý

2, Định lý 3 như đã nêu trên, bên cạnh đó một số hệ quả của các định lý

và một số kiến thức căn bản về tính chất cofinite của môđun cũng được

3

trình bày.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, M

1.1

Iđêan nguyên tố liên kết

là R−môđun và a là iđêan của R.

Các kiến thức của mục này được trích theo cuốn sách [14].

Định nghĩa 1.1.1. (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p

0 (cid:54)= x ∈ M sao cho AnnR(x) = p.

của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu có một phần tử

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR(M )

(hoặc Ass(M )).

SuppR(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp (cid:54)= 0}.

Định nghĩa 1.1.2. (Tập giá của môđun) Đặt

Khi đó SuppR(M ) được gọi là tập giá của M .

4

Sau đây là một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố liên kết.

Mệnh đề 1.1.3.

(i) Cho p ∈ Spec(R). Khi đó p ∈ AssR(M ) nếu và chỉ nếu M có một

môđun con đẳng cấu với R/p.

AssR(M ) (cid:54)= 0. Đặt ZDR(M ) = {x ∈ M | ∃a (cid:54)= 0, a ∈ R, ax = 0} là tập

(ii) Đặt (cid:80) = {AnnR(x) | 0 (cid:54)= x ∈ M }. Nếu p là phần tử tối đại của (cid:80), thì p ∈ AssR(M ). Vì R là vành Noether nên M (cid:54)= 0 khi và chỉ khi

p∈AssR(M )

(cid:83) p . tất cả các ước của không của M , khi đó ZDR(M ) =

AssR(M (cid:48)) ⊆ AssR(M ) ⊆ AssR(M (cid:48)) ∪ AssR(M (cid:48)(cid:48)).

(iii) Cho 0 → M (cid:48) → M → M (cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp các R−môđun. Khi đó

(iv) AssR(M ) ⊆ SuppR(M ) và mỗi phần tử tối thiểu của tập SuppR(M )

đều thuộc vào tập AssR(M ).

(v) Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì AssR(M ) là tập hữu hạn.

Hơn nữa AssR(M ) ⊆ V (AnnR(M )) và mỗi phần tử tối thiểu của V (AnnR(M )) đều thuộc AssR(M ). Vì thế (cid:112)AnnR(M ) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M .

1.2 Biểu diễn thứ cấp

(vi) AssRp(Mp) = {qRp | q ∈ AssR(M ), q ⊆ p}.

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I. G. Macdonald được

xem như là đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho các

5

môđun Noether. Các kiến thức sau đây được trích dẫn từ sách [3] và [14].

Định nghĩa 1.2.1.

(i) Một R−môđun M được gọi là thứ cấp nếu M (cid:54)= 0 và với mọi x ∈ R,

phép nhân bởi x trên M là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong trường hợp này

tập p = {x ∈ R | xnM = 0, với n ∈ N} là iđêan nguyên tố và ta gọi M

là p−thứ cấp.

M = N1 + . . . + Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi−thứ cấp Ni.

(ii) Cho M là R−môđun. Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích

Nếu M = 0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn

được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên

i = 1, . . . , n.

tố pi đôi một khác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa, với mọi

Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được về dạng

tối thiểu. Khi đó tập {p1, . . . , pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ

M , kí hiệu là AttR(M ) (hoặc Att(M )). Các hạng tử Ni, i = 1, . . . , n,

cấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

AttR(M ) thì Ni được gọi là thành phần thứ cấp cô lập.

được gọi là các thành phần thứ cấp của M . Nếu pi là tối tiểu trong

x ∈ R. Khi đó

Mệnh đề 1.2.2. ([3, Mệnh đề 7.2.11]) Cho M là R−môđun Artin và

p∈AttR(M ) p; và

(i) xM = M nếu và chỉ nếu x ∈ R \ (cid:83)

p∈AttR(M ) p.

6

(ii) (cid:112)AnnR(M ) = (cid:84)

1.3 Môđun Ext và môđun Tor

Các kiến thức của mục này được trích theo cuốn sách [19].

Định nghĩa 1.3.1.

(i) (Môđun xạ ảnh) Một R−môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi

h : P → M sao cho g = f h.

toàn cấu f : M → N và mỗi đồng cấu g : P → N , luôn tồn tại đồng cấu

. . . → P2 → P1 → P0 → M → 0,

(ii) (Giải xạ ảnh) Một giải xạ ảnh của R−môđun M là một dãy khớp

trong đó Pi là R−môđun xạ ảnh với mọi i.

Định nghĩa 1.3.2.

(i) (Môđun nội xạ) Một R−môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn

h : M → E sao cho g = hf .

cấu f : N → M và mọi đồng cấu g : N → E, luôn tồn tại đồng cấu

f2−→ · · · ,

0 → M

f0−→ E1

f1−→ E2

µ −→ E0

(ii) (Giải nội xạ) Một giải nội xạ của R−môđun M là một dãy khớp

trong đó Ei là các R−môđun nội xạ với mọi i ≥ 0.

Chú ý 1.3.3. Giải nội xạ của một R−môđun M luôn tồn tại.

Định nghĩa 1.3.4. (Môđun Ext) Cho N là R−môđun. Xét hàm tử

Hom(−, N ) là phản biến, khớp trái. Cho M là R−môđun, lấy một giải

. . .

µ −→ M → 0.

f2−→ P2

f1−→ P1

f0−→ P0

7

xạ ảnh của M

f ∗ 2−→ . . . .

0 → Hom(P0, N )

f ∗ 0−→ Hom(P1, N )

f ∗ 1−→ Hom(P2, N )

Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp trên ta có đối phức

R(M, N ) = Ker f ∗

i−1 được gọi là môđun mở rộng thứ

i / Im f ∗

i của M và N . Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh

Khi đó Exti

của M .

− ⊗ N là hiệp biến, khớp phải. Cho M là R−môđun, lấy một giải xạ

Định nghĩa 1.3.5. (Môđun Tor) Cho N là R−môđun. Xét hàm tử

. . .

µ −→ M → 0.

f2−→ P2

f1−→ P1

f0−→ P0

ảnh của M

. . .

f ∗ 0−→ P0 ⊗ N → 0.

f ∗ 1−→ P1 ⊗ N

f ∗ 2−→ P2 ⊗ N

Tác động hàm tử − ⊗ N vào dãy khớp trên ta có phức

i (M, N ) = Ker f ∗

i−1/ Im f ∗

i được gọi là môđun xoắn thứ i của

M và N . Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của M .

Khi đó TorR

Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Ext và Tor.

Mệnh đề 1.3.6.

R(M, N ) = 0 với mọi

i (cid:62) 1.

(i) Nếu M là xạ ảnh hoặc N là nội xạ thì Exti

i (M, N ) = 0 với mọi i (cid:62) 1.

(ii) Nếu M hoặc N là xạ ảnh thì TorR

R(M, N ) ∼= Hom(M, N ) và TorR

0 (M, N ) ∼= M ⊗ N .

(iii) Ext0

R(M, N (cid:48)(cid:48)) → Extn+1

8

cấu nối Extn (iv) Nếu 0 → N (cid:48) → N → N (cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng R (M, N (cid:48)) với mọi n (cid:62) 0 sao cho ta có dãy

0 → Hom(M, N (cid:48)) → Hom(M, N ) → Hom(M, N (cid:48)(cid:48)) → Ext1

R(M, N (cid:48))

→ Ext1

R(M, N ) → Ext1

R(M, N (cid:48)(cid:48)) → Ext2

R(M, N (cid:48)) → . . .

khớp dài

R(N (cid:48), M ) → Extn+1

cấu nối Extn (v) Nếu 0 → N (cid:48) → N → N (cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng R (N (cid:48)(cid:48), M ) với mọi n (cid:62) 0 sao cho ta có

0 → Hom(N (cid:48)(cid:48), M ) → Hom(N, M ) → Hom(N (cid:48), M ) → Ext1

r(N (cid:48)(cid:48), M )

→ Ext1

R(N, M ) → Ext1

R(N (cid:48), M ) → Ext2

R(N (cid:48)(cid:48), M ) → . . . .

dãy khớp dài

R(M, N )

Hệ quả 1.3.7. Nếu M, N là các R−môđun hữu hạn sinh thì Exti

i (M, N ) cũng là hữu hạn sinh với mọi i.

và TorR

Mệnh đề 1.3.8.

Exti

R(cid:48)(R(cid:48)/aR(cid:48), M ⊗R R(cid:48))

R(R/a, M ) ⊗R R(cid:48) ∼= Exti

(i) ([14, tr. 53]) Nếu R(cid:48) là R−môđun phẳng thì ta có

với mọi i.

(ii) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu S là tập đóng nhân của R

S−1(Extn

S−1R(S−1M, S−1N ),

S−1(TorR

(S−1M, S−1N ).

R(M, N )) ∼= Extn n (M, N )) ∼= TorS−1R

n

thì ta có

(Extn

(Mp, Np),

R(M, N ))p

∼= Extn Rp

(TorR

∼= TorRp

n (M, N ))p

n (Mp, Np).

9

Đặc biệt, với mọi p ∈ Spec R ta có

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương

Môđun đối đồng điều địa phương được định nghĩa bởi A. Grothendieck

(vào những năm 1960). Các kiến thức của mục này được trích theo cuốn

sách [3] và [19]. Trước hết ta giới thiệu về hàm tử a−xoắn.

n≥0(0 :M an), dễ thấy nó là môđun con của M . Nếu f : M → N là đồng cấu các R−môđun thì ta

Định nghĩa 1.4.1. (Hàm tử a−xoắn) Cho a là iđêan của R. Với mỗi R−môđun M, ta định nghĩa Γa(M ) = (cid:83)

có đồng cấu cảm sinh f ∗ : Γa(M ) → Γa(N ) cho bởi f ∗(m) = f (m). Khi

đó Γa(−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù

các R−môđun đến phạm trù các R−môđun. Γa(−) được gọi là hàm tử

a−xoắn.

Định nghĩa 1.4.2. (Mở rộng cốt yếu) Một R−môđun E được gọi là mở

rộng cốt yếu của một R−môđun không tầm thường M nếu M ⊆ E và

với mỗi môđun con khác không N của E luôn có N ∩ M (cid:54)= 0.

Định nghĩa 1.4.3. (Bao nội xạ) Một R−môđun E được gọi là bao nội

xạ của M nếu E là R−môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M .

Chú ý 1.4.4.

(i) Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ. Đặt E = ER(R/m) là bao

R/mn và (cid:98)K lần lượt là đầy đủ m−adic của R và K đối với tôpô

nội xạ của trường thặng dư R/m (khi xem như R−môđun). Ta kí hiệu

(cid:98)R = lim ←

m−adic. Một vành R gọi là đầy đủ nếu (cid:98)R = R.

(ii) Kí hiệu D(−) = HomR(−, E) là hàm tử từ phạm trù các R−môđun

10

và các R−đồng cấu vào chính nó. Với mỗi R−môđun K, ta gọi D(K) là

đối ngẫu Matlis của K.

R−môđun và a là iđêan của R. Lấy giải nội xạ của M

0 → M

f2−→ . . . .

µ −→ E0

f0−→ E1

f1−→ E2

Định nghĩa 1.4.5. (Môđun đối đồng điều địa phương) Cho M là

f ∗ 2−→ . . . .

0 → Γa(E0)

f ∗ 0−→ Γa(E1)

f ∗ 1−→ Γa(E2)

Tác động hàm tử a−xoắn vào dãy khớp trên ta được đối phức

a(M ) = Ker f ∗

i / Im f ∗

i−1 (với mọi i ≥ 0) được gọi là môđun đối

Khi đó H i

đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a.

Tiếp theo ta xét một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa

phương.

Mệnh đề 1.4.6. Cho M là một R−môđun. Khi đó các phát biểu sau là

đúng.

a (M ).

(i) Γa(M ) ∼= H 0

a(M ) = 0 với mọi i ≥ 1.

(ii) Nếu M là nội xạ thì H i

(M (cid:48)) với mọi n ≥ 0 sao cho ta có dãy

(iii) Nếu 0 → M (cid:48) → M → M (cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp ngắn, thì tồn tại các

a

a (M (cid:48)(cid:48)) → H n+1

đồng cấu nối H n

0 → Γa(M (cid:48)) → Γa(M ) → Γa(M (cid:48)(cid:48)) → H 1

a (M (cid:48)) → H 1

a (M )

→ H 1

a (M (cid:48)(cid:48)) → H 2

a (M (cid:48)) → · · ·

khớp dài

Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa đối đồng điều địa

11

phương và hàm tử địa phương hóa.

H n

∼= H n

a (M ) ∼= (Mp) với mọi iđêan nguyên

a (M ))p

S−1a(S−1M ). Đặc biệt, (H n

aRp

Mệnh đề 1.4.7. Nếu S là tập đóng nhân của R, khi đó S−1H n

tố p của R.

Từ mệnh đề trên ta có kết quả sau.

(Mp)).

AssR(H n

a (M )) nếu và chỉ nếu pRp ∈ AssRp(H n

aRp

Mệnh đề 1.4.8. Với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có p ∈

Sau đây là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương thông

qua chiều môđun.

H i

a(M ) = 0 với mọi i > d và mọi iđêan a.

Định lý 1.4.9. (Định lí triệt tiêu Grothendieck) Nếu dim M = d, thì

Một tính chất Artin của môđun đối đồng điều địa phương.

Định lý 1.4.10. Cho (R, m) là vành địa phương, M là R−môđun hữu

a (M ) là Artin với mọi iđêan a.

12

hạn sinh với dim M = d. Khi đó H d

Chương 2

Tính hữu hạn của tập iđêan

nguyên tố liên kết và tính cofinite

của môđun đối đồng điều địa

phương

2.1 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của

môđun đối đồng điều địa phương

Trong phần này ta luôn giả thiết R là vành Noether, a là iđêan của R

và M là R−môđun.

Trước hết ta nhắc lại khái niệm môđun a−cofinite do Hartshorne [8]

định nghĩa.

Định nghĩa 2.1.1. (Môđun a-cofinite) Một R−môđun M được gọi là

R(R/a, M ) là R−môđun hữu hạn sinh với mọi i.

môđun a−cofinite nếu thỏa mãn các điều kiện SuppR(M ) ⊆ V(a) và Exti

13

Kết quả chính thứ nhất của luận văn này chính là định lý sau đây của

M. T. Dibaei và S. Yassemi trong [6, Định lý 2.1].

R. Cho s là một số nguyên không âm. Cho M là R−môđun sao cho

Exts

a(M ) là a−cofinite với

R(R/a, M ) là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu H i

Định lý 2.1.2. (Định lý 1) Cho a là một iđêan của vành Noether

a(M )) là hữu hạn sinh.

mọi i < s, thì HomR(R/a, H s

Chứng minh. Ta sử dụng phương pháp quy nạp theo s.

a (M ) ∼= Γa(M ).

Trường hợp s = 0, thì H 0

φ : (0 :M a) −→ HomR(R/a, M )

x (cid:55)−→ fx

Ta có (0 :M a) ∼= HomR(R/a, M ), thật vậy xét

fx : R/a −→ M

¯α = α + a (cid:55)−→ αx

φ là đồng cấu vì với mọi x, x1, x2 ∈ (0 :M a), với mọi ¯α ∈ R/a và mọi

r ∈ R ta có

φ(x1 + x2)(¯α) = fx1+x2(¯α) = α(x1 + x2) = αx1 + αx2

= fx1(¯α) + fx2(¯α) = φ(x1)(¯α) + φ(x2)(¯α),

φ(rx)(¯α) = frx(¯α) = α(rx) = r(αx) = rfx(¯α) = rφ(x)(¯α).

φ là đơn cấu vì Ker φ = {x ∈ (0 :M a)|fx = 0} = {0}. φ là toàn cấu vì với mọi f ∈ HomR(R/a, M ), tồn tại x = f (¯1) ∈ (0 :M a)

trong đó

φ(x)(¯α) = φ(f (¯1))(¯α) = ff (¯1)(¯α) = αf (¯1) = f (¯α).

14

thỏa mãn

HomR(R/a, Γa(M )) ∼= HomR(R/a, M )

Vậy φ là đẳng cấu. Tương tự ta có (0 :Γa(M ) a) ∼= HomR(R/a, Γa(M )). Mặt khác (0 :M a) = (0 :Γa(M ) a) (cid:0)vì ta có (0 :Γa(M ) a) ⊆ (0 :M a), và ngược lại với mọi x ∈ (0 :M a) ⊆ Γa(M ), suy ra x ∈ Γa(M ) và xa = 0, do đó x ∈ (0 :Γa(M ) a), suy ra (0 :M a) ⊆ (0 :Γa(M ) a)(cid:1). Do đó

a (M )) là hữu hạn sinh.

là hữu hạn sinh. Vì vậy HomR(R/a, H 0

Giả sử rằng s > 0 và trường hợp s−1 là đúng. Vì Γa(M ) là a−cofinite,

R(R/a, Γa(M )) là hữu hạn sinh với mọi i. Từ dãy khớp

0 → Γa(M ) → M → M/Γa(M ) → 0,

. . . → Exts

R(R/a, M/Γa(M ))

ta có Exti

→ Exts+1

R (R/a, Γa(M )) → . . . ,

ta có dãy khớp dài cảm sinh R(R/a, M ) → Exts

R(R/a, M ) hữu hạn sinh và Exti

R(R/a, Γa(M )) là hữu hạn

trong đó Exts

R(R/a, M/Γa(M )) là hữu hạn sinh.

sinh với mọi i, do đó ta có Exts

a (M/Γa(M )) = 0 và H i

a(M/Γa(M )) ∼= H i

a(M ) với mọi i > 0.

Mặt khác H 0

Do đó ta có thể giả sử rằng Γa(M ) = 0. Cho E là một bao nội xạ của M

và đặt N = E/M . Khi đó Γa(E) = 0 (vì E là mở rộng cốt yếu của M nên

nếu Γa(E) (cid:54)= 0, suy ra tồn tại x (cid:54)= 0, x ∈ Γa(E) ∩ M , do đó x ∈ Γa(M ) điều này là mâu thuẫn) và do đó HomR(R/a, E) ∼= (0 :E a) ⊆ Γa(E) = 0.

0 → M → E → N → 0

15

Từ dãy khớp ngắn

. . . → H k

(M ) → H k+1

(E) → . . . ,

a (E) → H k

a (N ) → H k+1

a

a

. . . → Extk

R(R/a, E) → Extk

R (R/a, M )

R(R/a, N ) → Extk+1 → Extk+1

R (R/a, E) → . . . .

ta có các dãy khớp dài

(M ) với mọi

Vì E là nội xạ nên Exti

a

a(E) = 0, với mọi i > 0 . a(N ) ∼= H i+1

R(R/a, N ) ∼= Exti+1

R(R/a, E) = 0 và H i R (R/a, M ) và H i

i ≥ 0, suy ra Exts−1

a(N ) là a-cofinite với

(N ))

a

R (R/a, N ) là hữu hạn sinh và H i mọi i < s−1. Bây giờ theo giả thuyết quy nạp thì HomR(R/a, H s−1 là hữu hạn sinh và do đó HomR(R/a, H s

a(M )) cũng là hữu hạn sinh.

Do đó Exti

HomR(R/a, H 1

a (M )), ta có thể đưa ra kết quả sau đây với giả thuyết yếu

Trong chứng minh như vậy cho tính hữu hạn sinh của R−môđun

HomR(an, −) có các tính chất sau.

hơn. Trước hết ta nhắc lại một số tính chất về hàm tử a−biến đổi.

Chú ý 2.1.3. (Theo [3, 2.2]) Cho a là iđêan của R, M là R−môđun. Hàm tử a−biến đổi Da(−) ∼= lim →

(i) Da(−) là hàm tử khớp trái.

∼= H i+1 a

, với mọi i ≥ 1. (ii) RiDa

(iii) Tồn tại dãy khớp

0 → Γa(M ) → M → Da(M ) → H 1

a (M ) → 0.

(1)

Da(M ) = 0.

16

(iv) Từ (1) ta thấy nếu M là a−xoắn (tức là Γa(M ) = M ) thì

0 → Γa(M ) → M → M/Γa(M ) → 0,

(v) Da(M ) ∼= Da(M/Γa(M )). Thật vậy, từ (i) và dãy khớp

0 → Da(Γa(M )) → Da(M ) → Da(M/Γa(M )) → R1Da(Γa(M )).

a (Γa(M )) = 0. Suy ra

ta được dãy khớp

Mà ta có Da(Γa(M )) = 0 và R1Da(Γa(M )) ∼= H 2 Da(M ) ∼= Da(M/Γa(M )).

0 → M/Γa(M ) → Da(M ) → H 1

a (M ) → 0,

(vi) Da(M ) ∼= Da(Da(M )). Thật vậy, từ (1) ta có dãy khớp

0 → Da(M/Γa(M )) → Da(Da(M )) → Da(H 1

a (M )).

a (M )) = 0, suy ra Da(M/Γa(M )) ∼= Da(Da(M )). Mặt Mà ta có Da(H 1 khác Da(M/Γa(M )) ∼= Da(M ) (do (v)), suy ra Da(M ) ∼= Da(Da(M )).

suy ra có dãy khớp

(vii) Γa(Da(M )) = 0. Thật vậy, áp dụng dãy khớp (1) cho môđun Da(M )

0 → Γa(Da(M )) → Da(M ) α→ Da(Da(M )) → H 1

a (Da(M )) → 0.

ta được dãy khớp

Mà ta có Da(M ) ∼= Da(Da(M )). Suy ra Γa(Da(M )) ∼= Ker α = 0.

R(R/a, M ) và

Ext2

R(R/a, Γa(M )) là các R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó R−môđun

HomR(R/a, H 1

a (M )) là hữu hạn sinh.

Mệnh đề 2.1.4. Giả sử M là R−môđun sao cho Ext1

0 → Γa(M ) → M → M/Γa(M ) → 0,

17

Chứng minh. Từ dãy khớp

Ext1

R(R/a, M ) → Ext1

R(R/a, M/Γa(M )) → Ext2

R(R/a, Γa(M )).

ta có dãy khớp

R(R/a, M/Γa(M )) là hữu hạn sinh. Mặt khác từ dãy

Do đó môđun Ext1

0 → M/Γa(M ) → Da(M ) → H 1

a (M ) → 0,

khớp

HomR(R/a, Da(M )) → HomR(R/a, H 1

a (M )) → Ext1

R(R/a, M/Γa(M )).

ta có dãy khớp

Ta có Ext1 R(R/a, M/Γa(M )) là hữu hạn sinh và Hom(R/a, Da(M )) = 0 (cid:0)vì Hom(R/a, Da(M )) ∼= (0 :Da(M ) a) ⊆ Γa(Da(M )), mà Γa(Da(M )) = 0 (theo Chú ý 2.1.3(vii))(cid:1), do đó ta có được kết quả HomR(R/a, H 1 a (M ))

là hữu hạn sinh.

Kết quả tiếp theo đã được đưa ra bởi Divaani - Aazar và Mafi [7].

R(R/a, M ) là hữu hạn

Hệ quả 2.1.5. Cho M là R−môđun sao cho Exti

sinh với mọi i. Khi đó môđun đối đồng điều địa phương đầu tiên không

là a−cofinite của M ứng với a chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên

kết.

a(M ) không là

Chứng minh. Giả sử s là số nguyên không âm sao cho H s

a(M ) là a-cofinite với mọi i < s. Khi đó theo Định lý 2.1.2

a-cofinite và H i

a(M )) là hữu hạn sinh. Mà ta có

AssR(HomR(R/a, H s

a(M ))) = AssR(H s = AssR(H s

a(M )) ∩ SuppR(R/a) a(M )) ∩ V(a) = AssR(H s

a(M )).

ta có HomR(R/a, H s

a(M )) là hữu hạn.

18

Suy ra AssR(H s

Kết quả tiếp theo đã được đưa ra bởi Brodmann và Lashgari trong [2,

Định lý 2.2] và nó chứng minh lại phần đầu của (2.4) và sự mở rộng (2.5)

của Brodmann, Rotthaus và Sharp trong [4].

Hệ quả 2.1.6. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh. Cho s là một số

a(M ) là hữu hạn sinh với mọi i < s. Khi đó

nguyên không âm sao cho H i

a(M )) là hữu hạn.

tập AssR(H s

R(R/a, M )

a(M )) ⊆ V(a) với mọi

Chứng minh. Vì M là R−môđun hữu hạn sinh nên ta có Exti

a(M )) là hữu hạn sinh với mọi i < s, với mọi j,

R(R/a, H i

là hữu hạn sinh với mọi i. Mặt khác vì Supp(H i i và Extj

nên H i

a(M )) là hữu

a(M ) là a-cofinite với mọi i < s . Khi đó theo Định lý 2.1.2 ta a(M )) là hữu hạn sinh. Suy ra AssR(H s

có HomR(R/a, H s

hạn.

Kết quả chính thứ hai của luận văn này là định lý sau đây của P. H.

Quý trong [18, Định lý 3.2]. Đó là sự kết hợp kết quả của Brodmann-

Lashgari ([2]) và kết quả của Khashyarmanesh-Salarian([12]).

Định lý 2.1.7. (Định lý 2) Cho a là một iđêan của vành Noether R,

a(M )

a(M )) là hữu hạn với mọi i < t. Khi đó

và cho M là một R−môđun hữu hạn sinh. Cho t ∈ N sao cho H i

là hữu hạn sinh hoặc SuppR(H i AssR(H t a(M )) là hữu hạn.

Để chứng minh Định lý 2.1.7 ta cần một số kiến thức chuẩn bị về

19

môđun FSF và một số kết quả bổ trợ sau.

Định nghĩa 2.1.8. (Môđun FSF) (xem [18, Định nghĩa 2.1]) Cho R là

vành Noether và M là một R−môđun. M được gọi là môđun FSF nếu

có một môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho tập giá SuppR(M/N )

là tập hữu hạn.

Mệnh đề 2.1.9. Cho M là một R−môđun. Khi đó

(i) Nếu M là môđun FSF, thì AssR(M ) là tập hữu hạn.

(ii) Cho 0 → M1 → M → M2 → 0 là một dãy khớp của các R−môđun.

Khi đó M là FSF khi và chỉ khi M1 và M2 là FSF.

R(N, M )

(iii) Cho M là một môđun FSF và N là hữu hạn sinh. Khi đó Exti

là FSF với mọi i ≥ 0.

Chứng minh.

(i) Giả sử M là môđun FSF khi đó sẽ tồn tại một môđun con hữu hạn

sinh N của M sao cho SuppR(M/N ) là tập hữu hạn. Suy ra AssR(N )

0 → N → M → M/N → 0,

và AssR(M/N ) là các tập hữu hạn. Từ dãy khớp

ta có AssR(M ) ⊆ AssR(N ) ∪ AssR(M/N ). Suy ra AssR(M ) là tập hữu

hạn.

(ii) Giả sử M là môđun FSF, suy ra tồn tại môđun con hữu hạn sinh N

của M sao cho SuppR(M/N ) hữu hạn.

⊆

.

∼=

(M1 + N ) N

M N

M1 (M1 ∩ N )

20

+) Ta có (M1 ∩ N ) ⊆ M1 và (M1 ∩ N ) là hữu hạn sinh. Mặt khác

⊆ SuppR

M1 ∩ N

M1 ∩ N là tập hữu hạn. Từ đó suy ra M1 là FSF.

(cid:17) (cid:17) (cid:17) (cid:16) M1 (cid:16) M1 Suy ra SuppR , nên ta có SuppR (cid:16)M N

N (N ∩ M1)

⊆

∼=

= M2.

N (N ∩ M1)

N + M1 M1

M M1

+) Ta có là hữu hạn sinh (vì N là hữu hạn sinh) và có

=

=

.

=

M2 (N + M1)/M1

M/M1 (N + M1)/M1

M N + M1

M/N (N + M1)/N

Mặt khác

Suy ra

,

SuppR

⊆ SuppR

(cid:17) (cid:16) (cid:17)

(cid:16)M N

M2 (N + M1)/M1 M2 (N + M1)/M1

(cid:17) (cid:16) là tập hữu hạn. Từ đó suy ra M2 là nên ta có SuppR

FSF.

Ngược lại, giả sử M1 và M2 là FSF. Cho N1 và N2 lần lượt là môđun con

hữu hạn sinh của M1 và M2, sao cho SuppR(M1/N1) và SuppR(M2/N2)

là các tập hữu hạn. Ta có thể giả sử rằng M1 là môđun con của M

x1, x2, . . . , xn là hệ sinh của N1 và y1, y2, . . . , ym là hệ sinh của N2 trong

M2 = M/M1. Đặt K là môđun con của M sinh bởi y1, y2, . . . , ym.

và M2 = M/M1. Cho x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym thuộc M sao cho

x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym, khi đó N = N1 + K và N là hữu hạn sinh.

Khi đó N2 = (K + M1)/M1. Đặt N là môđun con của M sinh bởi

→

=

→

→ 0,

0 →

M N

M1 + K N1 + K

M N1 + K

M M1 + K

Từ dãy khớp

ta có

.

SuppR

= SuppR

∪ SuppR

(cid:17) (cid:17) (cid:17) (cid:16) M

M1 + K

21

(cid:16)M N (cid:16)M1 + K N1 + K

⊆

=

∼=

M1 + N N

M1 + K N1 + K

M1 M1 ∩ N

=

=

=

.

=

M1 + (N1 + K) N1 + K M1 M1 ∩ (N1 + K) M1 N1 + (M1 ∩ K)

Ta có

M1 (M1 ∩ N1) + (M1 ∩ K) M1/N1 (N1 + (M1 ∩ K))/N1 (cid:17)

⊆ SuppR

(cid:17) (cid:17) là tập Suy ra SuppR , nên SuppR (cid:16)M1 + K N1 + K (cid:16)M1 N1 (cid:16)M1 + K N1 + K hữu hạn.

=

.

∼=

M M1 + K

M/M1 (M1 + K)/M1

Mặt khác ta có

M2 N2 (cid:16) M

M1 + K

(cid:17) (cid:17) là tập hữu Mà SuppR là tập hữu hạn, suy ra SuppR (cid:16)M2 N2

hạn. Từ đây suy ra SuppR(M/N ) là tập hữu hạn. Do đó M là FSF.

0 → M1 → M → M2 → 0,

(iii) Vì M là FSF nên tồn tại dãy khớp

với M1 hữu hạn sinh và SuppR(M2) là tập hữu hạn. Dãy khớp này cảm

g → Exti

f → Exti

Exti

R(N, M2)

R(N, M )

R(N, M1)

sinh dãy khớp

0 → Im f → Exti

R(N, M ) → Im g → 0.

R(N, M1) là hữu hạn sinh và SuppR(Exti

R(N, M2))

với mọi i ∈ N. Từ đó ta có dãy khớp

R(N, M1)/ Ker f là hữu hạn sinh, và

22

Mặt khác ta có N và M1 là môđun hữu hạn sinh và SuppR(M2) là tập hữu hạn, suy ra Exti là tập hữu hạn. Vì thế, Im f ∼= Exti

R(N, M2) nên SuppR(Im g) là tập hữu hạn. Từ đây suy ra

Exti

R(N, M ) là FSF với mọi i ∈ N.

vì Im g ⊆ Exti

Mệnh đề 2.1.10. Cho a là một iđêan của vành Noether R, và cho M

a(M ) là FSF với mọi i < t.

là một R−môđun FSF. Cho t ∈ N sao cho H i

a(M )) là FSF. Bởi vậy AssR(H t

a(M )) là hữu hạn.

a(M )) là tập hữu hạn

a(M )) là FSF, từ Mệnh đề 2.1.9(i)

Khi đó HomR(R/a, H t

a(M ))) là hữu hạn và từ

AssR(H t

a(M )) = AssR(Hom(R/a, H t

a(M ))).

Chứng minh. Khẳng định cuối cùng AssR(H t được suy ra từ HomR(R/a, H t AssR(HomR(R/a, H t

a(M )) là FSF bằng quy nạp theo t.

Ta chứng minh rằng HomR(R/a, H t

HomR(R/a, H 0

a (M )) ∼= (0 :H 0

a (M ) ∼= Γa(M ) ⊆ M,

a (M ) a) ⊆ H 0

Trường hợp t = 0 là rõ ràng vì

mà M là FSF theo giả thuyết.

a (M ). Khi

Giả sử t > 0 và trường hợp t − 1 là đúng. Đặt M = M/H 0

a (M ) → M → M → 0 và M là

đó M là FSF (suy ra từ dãy khớp 0 → H 0

a(M )

a (M ) = 0, và H k

a (M ) ∼= H k

a (M ) với mọi k > 0. Do đó H i

FSF), H 0

a(M ) ∼= H t

a(M ). Thay thế M bởi M và giả

là FSF với mọi i < t và H t

a (M ) = 0. Vì M là FSF nên theo mệnh đề 2.1.9(i), ta có

AssR(M ) là hữu hạn. Kết hợp với H 0

a (M ) = 0 dẫn đến tồn tại a ∈ a sao

sử từ đây H 0

0 → M a·→ M

p → M/aM → 0,

23

cho a là phần tử M −chính quy. Vì vậy ta có dãy khớp ngắn

H i

(M )

a(M ) → H i

a(M/aM ) → H i+1

a

trong đó p là phép chiếu tự nhiên. Từ đó có dãy khớp đối đồng điều

a(M ) là FSF với mọi i < t, nên H i

a(M/aM ) là FSF

với mọi i ∈ N. Mà H i

(M/aM )) là FSF.

với mọi i < t − 1. Rõ ràng rằng M/aM là FSF, vì vậy theo quy nạp, ta

a

có HomR(R/a, H t−1

(p)

H t−1 a

(M ) a·→ H t−1

(M )

→ H t−1

(M/aM ) → H t

H t−1 a

a

a

a(M ) a·→ H t

a(M ). (2)

(p)). Ta chia dãy khớp (2)

Ta xét dãy khớp dài

a

(M ) (M )

H t−1 a aH t−1 a

và N (cid:48) = Coker(H t−1 Đặt N =

thành hai dãy khớp

0 → N → H t−1

(M/aM ) → N (cid:48) → 0,

a

(3)

0 → N (cid:48) → H t

a(M ) a·→ H t

a(M ).

(4)

HomR(R/a, H t−1

(M/aM )) → HomR(R/a, N (cid:48)) → Ext1

a

R(R/a, N ).

(M/aM )) FSF và Ext1

a

R(R/a, N ) là FSF (vì N là

Từ dãy (3) ta suy ra dãy khớp

Vì HomR(R/a, H t−1 FSF và theo mệnh đề 2.1.9(iii)), nên suy ra HomR(R/a, N (cid:48)) là FSF.

0 → HomR(R/a, N (cid:48)) → HomR(R/a, H t

a(M )) a·→ HomR(R/a, H t

a(M )).

Hơn nữa, từ (4) ta có dãy khớp

a· : HomR(R/a, H t

a(M )) → HomR(R/a, H t

a(M ))

Mà đồng cấu nhân

bằng không vì a ∈ a.

a(M )) ∼= HomR(R/a, N (cid:48)) là FSF.

24

Vì vậy, ta có HomR(R/a, H t

Chứng minh Định lý 2 (hay Định lý 2.1.7). (Định lý này được suy

a(M ) là hữu hạn sinh với mọi i < t thì H i

a(M )) là tập hữu hạn với mọi i < t thì

ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.10) Vì R là vành Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh nên suy ra M là FSF (vì có SuppR(M/M ) = ∅). Tương tự, cho t ∈ N, nếu H i a(M ) là

a(M ) là FSF với mọi i < t. Khi đó AssR(H t

a(M )) là tập hữu hạn theo

FSF với mọi i < t, hoặc SuppR(H i H i

2.2 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

mệnh đề 2.1.10.

Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức căn bản về phức Koszul (theo

[3, 5.2]). Trong phần này ta luôn giả thiết R là vành Noether, a là iđêan

của R và M là R−môđun.

Chú ý 2.2.1.

(i) Cho x1, . . . , xn ∈ R. Lấy Rn là R−môđun tự do có cơ sở {e1, . . . , en}.

Phức Koszul, kí hiệu là K•(x1, . . . , xn; R) (hoặc K•(x; R)) được xác định

0 → Kn(x; R) dn−→ Kn−1(x; R)

dn−1−−→ . . . d2−→ K1(x; R) d1−→ K0(x; R) → 0,

như sau

R), và với r = 1, 2, . . . , n và (i1, i2, . . . , ir) mà 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ir ≤ n,

trong đó Kr(x; R) = ∧r(Rn) với mọi r = 0, 1, . . . , n (lưu ý K0(x; R) =

dr(ei1i2...ir) = dr(ei1 ∧ ei2 ∧ · · · ∧ eir)

25

ta có

r (cid:88)

=

(−1)h−1xh(ei1 ∧ · · · ∧ (cid:99)eih ∧ · · · ∧ eir)

h=1 r (cid:88)

.

=

(−1)h−1xhei1... (cid:98)ih...ir

h=1

Dĩ nhiên Kt(x; R) = 0 với mọi t < 0 và mọi t > n.

· · · → HomR(Ki−1(x; R), M ) → HomR(Ki(x; R), M ) →

HomR(Ki+1(x; R), M ) → . . . .

(ii) Với một R−môđun M ta kí hiệu H i(x1, . . . , xn; M ), i = 0, . . . , n (hoặc H i(x; M )), là môđun đối đồng điều của phức

Tiếp theo ta nhắc lại một số tính chất cofinite của môđun (xem [17]).

Chú ý 2.2.2.

(i) (Nguyên lý chuyển đổi vành) (theo [5, mệnh đề 2]) Cho φ : R → R(cid:48)

là một đồng cấu giữa các vành Noether, sao cho R(cid:48) là hữu hạn sinh như

một môđun trên R. Xét một iđêan a của R và một R(cid:48)−môđun M . Khi

đó M có cấu trúc của một R−môđun từ φ. Như một môđun trên R, M

là cofinite ứng với a khi và chỉ khi M như một môđun trên R(cid:48) là cofinite

ứng với iđêan mở rộng aR(cid:48).

(ii) Ta sẽ chứng minh sự tương đương của tính cofinite của một môđun

và tính hữu hạn của đối đồng điều Koszul của nó. Cho x1, . . . , xn là các

phần tử của vành R.

Giả sử φ : R → R(cid:48) là một đồng cấu vành và M là một R(cid:48)−môđun, do

26

đó nó là R−môđun qua φ.

H i(x1, . . . , xn; M ) ∼= H i(φ(x1), . . . , φ(xn); M )

Khi đó ta có đẳng cấu tự nhiên

R(cid:48)(R(cid:48)n) (theo [14, tr. 284]).

R(Rn) ⊗R R(cid:48) ∼= ∧r ∧r

với mọi i. Thật vậy, ta có

HomR(∧•

R(Rn), M ) ∼= HomR(cid:48)(∧• ∼= HomR(cid:48)(∧•

R(Rn) ⊗R R(cid:48), M ) (theo [19, 3.82]) R(cid:48)(R(cid:48)n), M ).

Bởi vậy ta có được đẳng cấu tự nhiên của phức

Suy ra HomR(K•(x; R), M ) ∼= HomR(cid:48)(K•(φ(x); R(cid:48)), M ).

Định lý 2.2.3. Cho a là một iđêan của vành Noether R và cho x1, . . . , xn

SuppR M ⊆ V(a) và mọi môđun đối đồng điều Koszul H i(x1, . . . , xn; M ) là R−môđun hữu hạn sinh.

là một hệ sinh của a. Khi đó một R−môđun M là a−cofinite khi và chỉ khi

Chứng minh. Áp dụng nguyên lý chuyển đổi vành cho tính cofinite ([5,

mệnh đề 2]), từ đồng cấu R−đại số φ : R[X1, . . . , Xn] → R được xác

định bởi φ(Xi) = xi với i = 1, . . . , n, R−môđun M có cấu trúc của một

môđun trên R[X1, . . . , Xn] qua φ. Vì dãy X1, . . . , Xn là dãy chính quy

0 → Kn(X; R[X1, . . . , Xn]) dn→ · · · → K1(X; R[X1, . . . , Xn]) d1→

K0(X; R[X1, . . . , Xn]) → K0(X; R[X1, . . . , Xn])/ Im d1 → 0,

trong vành R[X1, . . . , Xn], nên theo [14, Định lý 16.5] ta có dãy khớp

K0(X; R[X1, . . . , Xn])/ Im d1

∼= R[X1, . . . , Xn]/(X1, . . . , Xn),

27

mà

do đó dãy khớp trên là giải tự do của môđun R[X1, . . . , Xn]/(X1, . . . , Xn).

Exti

R[X1,...,Xn](R[X1, . . . , Xn]/(X1, . . . , Xn), M ) ∼= H i(X1, . . . , Xn; M ).

Khi đó với mỗi i ta có

Ngoài ra ta có H i(X1, . . . , Xn; M ) ∼= H i(x1, . . . , xn; M ) (theo Chú ý

2.2.2(ii)). Vì ảnh của iđêan (X1, . . . , Xn) qua φ là a, nên áp dụng

SuppR M ⊆ V(a) và H i(x1, . . . , xn; M ) là hữu hạn sinh với mọi i.

nguyên lý chuyển đổi vành ta suy ra M là a−cofinite khi và chỉ khi

Hệ quả 2.2.4. Với mọi môđun a−cofinite M , M/aM là một R−môđun

hữu hạn sinh.

R−môđun hạn sinh, suy ra M/aM là R−môđun hữu hạn sinh.

Chứng minh. Nếu a = (x1, . . . , xn), thì M/aM ∼= H n(x1, . . . , xn; M ) (theo [14, tr. 127]). Mặt khác theo Định lý 2.2.3, H n(x1, . . . , xn; M ) là

Chú ý 2.2.5. Một môđun mà không chứa tổng trực tiếp vô hạn của các

R−môđun M trên vành Noether R, M có chiều Goldie hữu hạn, khi đó

môđun con khác không thì được gọi là có chiều Goldie hữu hạn. Với một

bao nội xạ E(M ) của M phân tích được thành tổng trực tiếp của hữu

r (cid:77)

E(M ) ∼=

E(R/pi)ni

i=1

hạn các môđun nội xạ không phân tích được:

trong đó ni là số nguyên dương. Ở đây p1, . . . , pr là các iđêan nguyên

tố phân biệt của M , cần thiết là các iđêan nguyên tố liên kết với M .

Đặc biệt tập hợp AssR(M ) của các iđêan nguyên tố liên kết với M

28

phải là tập hữu hạn khi M có chiều Goldie hữu hạn. Hơn nữa M có

i=1(R/pi)ni (cid:0)thật vậy, vì p1, . . . , pr ∈ AssR(M ) nên pi = (0 :R xi) với 0 (cid:54)= xi ∈ M , với mọi ∼= Rxi, với mọi i = 1, . . . , r. Mặt khác ta có

i = 1, . . . , r. Ta có R/pi

Rxi∩Rxj = 0, với i (cid:54)= j, với mọi i, j = 1, . . . , r. Vì nếu Rxi∩Rxj (cid:54)= 0 thì

môđun con hữu hạn cốt yếu đẳng cấu với ⊕r

phải tồn tại 0 (cid:54)= x = axi = bxj, với a, b ∈ R. Do đó có 0 (cid:54)= Rx, Rx ⊂ Rxi

và Rx ⊂ Rxj. Suy ra 0 (cid:54)= AssR(Rx), AssR(Rx) ⊆ AssR(Rxi) = {pi}

i=1(Rxi)ni ∼= ⊕r

ra ⊕r

và AssR(Rx) ⊆ AssR(Rxj) = {pj}, điều này là mâu thuẫn. Từ đây suy i=1(R/pi)ni(cid:1). Một môđun con N của M là cốt yếu trong M nếu mỗi môđun con khác không của M có một điểm giao nhau

khác không với N . Do đó tính chất của M có chiều Goldie hữu hạn có

M .

thể biểu diễn bởi sự tồn tại của một môđun con hữu hạn là cốt yếu trong

Mệnh đề 2.2.6. Nếu M là a−cofinite, thì M có chiều Goldie hữu hạn.

√

√

Chứng minh. Ta có (0 :M a) ∼= HomR(R/a, M ), vì vậy (0 :M a)

a ⊆

là một môđun con hữu hạn sinh của M (vì M là a−cofinite nên HomR(R/a, M ) ∼= Ext0 R(R/a, M ) là hữu hạn sinh). Xét một phần tử x (cid:54)= 0 trong M . Từ SuppR(M ) ⊆ V(a), suy ra có n > 0 sao cho anx = 0 nhưng an−1x (cid:54)= 0 (cid:0)thật vậy, vì SuppR(Rx) ⊆ SuppR(M ) ⊆ V(a), suy a ⊆ (cid:112)AnnR(x), mà ra SuppR(Rx) = V(AnnR(x)) ⊆ V(a). Suy ra a, nên tồn tại n ∈ N sao cho an ⊆ AnnR(x), chọn n nhỏ nhất(cid:1). Vì thế 0 (cid:54)= an−1x ⊆ Rx ∩ (0 :M a). Vì vậy mỗi môđun con của M có

một giao điểm khác không với (0 :M a), bởi vậy (0 :M a) là một môđun

con hữu hạn của M , cốt yếu trong M . Suy ra M có chiều Goldie hữu

29

hạn.

Hệ quả 2.2.7. Nếu M là a−cofinite thì AssR(M ) là một tập hữu hạn.

Chứng minh. Giả sử M là a−cofinite, khi đó theo Mệnh đề 2.2.6 thì M

có chiều Goldie hữu hạn. Suy ra AssR(M ) là tập hữu hạn.

Mệnh đề 2.2.8. Cho φ : R → R(cid:48) là một đồng cấu giữa các vành Noether.

Cho a là một iđêan của R và cho aR(cid:48) là iđêan mở rộng của nó tới R(cid:48).

Cuối cùng cho M là một R−môđun và M ⊗R R(cid:48) là R(cid:48)−môđun mở rộng.

- Nếu φ là phẳng và M là a−cofinite thì M ⊗R R(cid:48) là aR(cid:48)−cofinite .

- Nếu φ là phẳng trung thành thì M ⊗R R(cid:48) là aR(cid:48)−cofinite nếu và chỉ

nếu M là a−cofinite.

Exti

R(cid:48)(R(cid:48)/aR(cid:48), M ⊗R R(cid:48))

R(R/a, M ) ⊗R R(cid:48) ∼= Exti

Chứng minh. Nếu φ là phẳng thì ta có

với mọi i (theo [14, 7.7]).

Nếu φ là phẳng trung thành, thì một R−môđun N là hữu hạn sinh

nếu và chỉ nếu N ⊗R R(cid:48) là R(cid:48)−môđun hữu hạn sinh. Do đó M ⊗R R(cid:48) là aR(cid:48)−cofinite nếu và chỉ nếu M là a−cofinite.

Chú ý 2.2.9. Cho M là một môđun Artin trên vành địa phương (R, m).

x = (xn) ∈ (cid:98)R, trong đó xn ∈ R. Khi đó (u) = { au | a ∈ R} là

Kí hiệu (cid:98)R là vành đầy đủ theo tôpô m−adic. Cho u ∈ M và cho

một môđun con của M , do đó nó là môđun Artin. Chú ý rằng (u) là hữu

(u) là môđun có độ dài hữu hạn. Vì thế tồn tại số tự nhiên k sao cho

hạn sinh. Vì thế (u) vừa là môđun Artin, vừa là môđun Noether. Do đó

30

mku = 0. Vì (xn) ∈ (cid:98)R, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn − xm ∈ mk

với mọi m, n ≥ n0. Do đó ta có (xn − xm)u = 0 với mọi m, n ≥ n0.

Suy ra xnu không đổi khi n ≥ n0. Do đó ta có thể định nghĩa xu = xnu

với n ≥ n0. Đây là một tích vô hướng trên M . Do đó M có cấu trúc

(cid:98)R−môđun.

Định lý 2.2.10. Cho M là một môđun artin trên vành địa phương (R, m)

và cho a là một iđêan thực sự của R. Khi đó các điều kiện sau đây là

tương đương trên M

(i) M là a−cofinite,

(ii) (0 :M a) có độ dài hữu hạn; và, khi R là đầy đủ,

(iii) với mỗi p ∈ AttR M , iđêan a + p là m−nguyên sơ.

i=1pi (xem [3, Mệnh

R → (cid:98)R, ta có thể giả sử từ đầu rằng R là đầy đủ. Cho p1, . . . , pr là các iđêan nguyên tố gắn kết của M . Từ (cid:112)AnnR(M ) = ∩r đề 7.2.11]), nên iđêan a + pi là m−nguyên sơ với mọi i nếu và chỉ nếu có một số n, sao cho mn ⊆ a + AnnR(M ) (cid:0)thật vậy, từ a + pi là m−nguyên sơ, suy ra m ⊇ a + AnnR(M ) và ta có m ∈ min(a + AnnR(M )), vì nếu m /∈ min(a + AnnR(M )) thì tồn tại m (cid:41) q ⊇ a + AnnR(M ), suy ra

√

Chứng minh. Từ M là Artin nên nó có cấu trúc tự nhiên của một môđun trên đầy đủ (cid:98)R của R và có một đẳng cấu tự nhiên M ∼= M ⊗R (cid:98)R như môđun trên (cid:98)R. Bởi vậy theo tính phẳng trung thành của ánh xạ tự nhiên

a + pj = m, suy ra tồn tại 1 ≤ j ≤ r để q ⊇ a + pj, do đó q ⊇

31

q = m, điều này là mâu thuẫn. Vậy m ∈ min(a + AnnR(M )), suy ra m = (cid:112)a + AnnR(M ). Do đó tồn tại n > 0 sao cho mn ⊆ a + AnnR(M )(cid:1). (i) ⇒ (ii) Giả sử M là a−cofinite, khi đó ta có (0 :M a) ∼= HomR(R/a, M )

là hữu hạn sinh. Suy ra (0 :M a) là Noether và vì M là Artin nên (0 :M a)

là Artin. Do đó (0 :M a) có độ dài hữu hạn.

(ii) ⇒ (iii) Giả sử rằng M thỏa mãn điều kiện (ii). Cho N = D(M )

là đối ngẫu Matlis của M . Từ M là artin và R là đầy đủ, ta có N

(0 :M a) có độ dài hữu hạn. Bởi vậy SuppR(N/aN ) ⊆ {m}. Bây giờ

là một R−môđun hữu hạn sinh và hơn nữa AnnR(N ) = AnnR(M ). Ta có D(0 :M a) ∼= N/aN có độ dài hữu hạn, vì từ giả thuyết

ta có SuppR(N/aN ) = V(a + AnnR(N )) và do đó có số n sao cho mn ⊆ a + AnnR(N ), suy ra a + p là m−nguyên sơ với mỗi iđêan nguyên

R(R/a, M ) bị triệt

tố gắn kết p của M .

(iii) ⇒ (i) Giả sử rằng M thỏa mãn điều kiện (iii). Nếu ta lấy n sao cho mn ⊆ a+AnnR(M ), khi đó với mỗi j, môđun artin Extj tiêu bởi mn và bởi vậy nó có độ dài hữu hạn. Do đó M là a−cofinite.

Hệ quả 2.2.11. Mỗi môđun con và thương của một môđun artin

a−cofinite cũng là a−cofinite.

Chứng minh. Theo [14, Định lý 6.10], mỗi iđêan nguyên tố gắn kết của

ảnh của môđun artin M qua một đồng cấu, cũng là một iđêan nguyên tố

gắn kết của của M . Do đó các môđun con và môđun thương của môđun

artin a−cofinite M cũng là a−cofinite.

Hệ quả 2.2.12. Cho M là a−cofinite. Khi đó với mỗi iđêan tối đại m

của R, Γm(M ) là artin và a−cofinite.

Chứng minh. Đặt L = Γm(M ). Ta có (0 :L a) là một môđun con

32

của (0 :M a), bởi vậy nó là một môđun hữu hạn và do đó nó có

√

độ dài hữu hạn (cid:0)vì SuppR(0 :L a) ⊆ SuppR(L) ⊆ V(m), mặt khác SuppR(0 :L a) = V(AnnR(0 :L a)), suy ra V(AnnR(0 :L a)) ⊆ V(m), do m ⊆ (cid:112)AnnR(0 :L a), suy ra tồn tại n ∈ N sao cho mn(0 :L a) = 0, đó suy ra (0 :L a) là Artin(cid:1). Chú ý rằng SuppR(0 :L a) ⊆ {m}. Khi đó theo [16, 1.3] ta có L là artin, suy ra L = Γm(M ) là a−cofinite (theo định lý

2.2.10).

(k(p), Mp) và

µi(p, M ) và tất cả các số Betti βi(p, M ) của M là hữu hạn; hay với mỗi iđêan nguyên tố p của R và mỗi số nguyên j, Extj Rp TorRp

j (k(p), Mp) là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường thặng dư

k(p) của vành địa phương Rp.

Định lý 2.2.13. Nếu M là a−cofinite với iđêan a, thì tất cả số Bass

Chứng minh. Theo tính chất phẳng của R → Rp, nên ta có Mp là

R(k, M )

aRp−cofinite với mỗi iđêan nguyên tố p của R. Do đó ta có thể giả sử rằng (R, m) là vành địa phương và ta phải chỉ ra rằng Exti

i (k, M ) là không gian vectơ hữu hạn chiều với mỗi i trên trường

và TorR

thặng dư k = R/m của R. Ta chứng minh điều đó bằng phương pháp

quy nạp trên dim (SuppR (M )).

Nếu dim(SuppR (M )) = 0, thì SuppR(M ) ⊆ V(m). Do đó với x ∈ M bất kì, ta có SuppR(Rx) ⊆ V(m). Nên tồn tại n để mnx = 0, tức là x ∈ (0 :M mn) ⊆ Γm(M ). Do đó Γm(M ) = M . Từ đó theo hệ quả 2.2.12

ta suy ra M = Γm(M ) là Artin và a−cofinite.

Mặt khác, lấy F• → R/m là một giải tự do của R/m (ở đây F• gồm

các R−môđun tự do hữu hạn sinh). Khi đó các phức HomR(F•, M )

33

và F• ⊗R M chỉ gồm các môđun Artin (do M là Artin). Từ cách

i (k, M ) là

R(k, M ) và

TorR

R(k, M ) và TorR môđun thương của môđun con của môđun Artin, nên Exti i (k, M ) là môđun Artin. Hơn nữa rõ ràng m Exti

R(k, M )) = 0 và

tính các môđun Ext và Tor ta được Exti

i (k, M )) = 0. Do đó Exti

R(k, M ) và TorR

i (k, M ) là Noether. Suy ra

µi(m, M ) = dimk Exti

R(k, M ) < ∞, βi(m, M ) = dimk TorR

i (k, M ) < ∞

m TorR

với mọi i.

0 → L → M → M → 0,

Trong trường hợp dim(SuppR(M )) > 0, xét dãy khớp

trong đó L = Γm(M ) và M = M/L. Theo hệ quả 2.2.12, môđun L

là artin và a−cofinite. Vì L và M đều là a−cofinite, suy ra M cũng

là a−cofinite.Từ việc xét dãy khớp dài liên quan đến Ext và Tor cảm

sinh từ dãy khớp ngắn ở trên, ta cần chỉ ra điều khẳng định của chúng

M = M/Γm(M ), do đó Γm(M ) = 0, suy ra m /∈ AssR M ). Do đó ta

ta với M . Môđun đó không có m như là iđêan nguyên tố liên kết (vì

có thể giả sử rằng m không là iđêan nguyên tố liên kết với R−môđun

a−cofinite M . Từ hệ quả 2.2.7, M chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố

x ∈ m. Từ tính chất khớp của dãy

0 → M x.→ M → M/xM → 0,

liên kết. Từ đó theo định lý tránh nguyên tố ta có phần tử M −chính quy

Exti−1

R(k, M ) .x→ Exti

R(k, M ),

R (k, M/xM ) → Exti

TorR

i+1(k, M/xM ) → TorR

i (k, M ) .x→ TorR

i (k, M ).

34

đầu tiên ta suy ra rằng M/xM là a−cofinite. Ta cũng có các dãy khớp

R(k, M )) và m ⊆ (0 :R TorR

i (k, M ))(cid:1), do

Exti−1

R(k, M ) → 0,

R (k, M/xM ) → Exti

TorR

i+1(k, M/xM ) → TorR

i (k, M ) → 0.

Từ x ∈ m (cid:0)mà m ⊆ (0 :R Exti đó với mỗi i ta có các toàn cấu

R (k, M/xM )) < ∞ và i+1(k, M/xM )) < ∞, do đó dimk(Exti R(k, M )) < ∞ và i (k, M )) < ∞. Suy ra µi(m, M ) < ∞ và βi(m, M ) < ∞ với

Bây giờ chú ý rằng dim (SuppR (M/xM )) < dim (SuppR (M )). Theo giả thuyết quy nạp ta có dimk(Exti−1 dimk(TorR dimk(TorR

mọi i.

dim R/a = 1. Khi đó với mỗi R−môđun hữu hạn sinh M , các số Betti

Hệ quả 2.2.14. Cho a là một iđêan của một vành Noether R, sao cho

a(M ) là hữu hạn với mọi i.

của H i

Chứng minh. Theo mệnh đề 2.2.8 ta có thể giả sử rằng R là địa phương.

a(M ) là a−cofinite trong trường hợp này (theo [5,

Khi đó mỗi môđun H i

a(M ) là hữu hạn với mọi i (theo

định lý 1]). Suy ra các số Betti của H i

định lý 2.2.13).

Tiếp theo ta trình bày một số kết quả gần đây về tính chất cofinite của

môđun đối đồng điều địa phương của Dibaei và Yassemi trong [6]. Trong

phần này ta luôn giả thiết rằng (R, m) là vành địa phương Noether, a

q(a, R) là số nguyên nhỏ nhất n ≥ −1 sao cho H i

a(M ) là Artin với mọi

35

là iđêan của R và M là R−môđun. Trong [9] Hartshorne đã định nghĩa

i ≥ n và mọi R−môđun hữu hạn sinh M . Định nghĩa sau đây được sinh

ra từ định nghĩa của Hartshorne.

Định nghĩa 2.2.15. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh và a là một

iđêan của R. Ta định nghĩa q(a, M ) là cận trên đúng của số nguyên i sao

a(M ) không là m−cofinite.

cho môđun H i

V(m) và HomR(R/m, M ) là không gian vectơ hữu hạn chiều (thật vậy

Chú ý rằng R−môđun M là m−cofinite nếu và chỉ nếu SuppR(M ) ⊆

R(R/m, M ) là hữu

từ SuppR(M ) ⊆ V(m), suy ra M = Γm(M ), do đó M là m−xoắn. Mặt khác từ HomR(R/m, M ) ∼= (0 :M m) là hữu hạn sinh, suy ra (0 :M m) là Artin. Từ đây suy ra M là Artin, do đó môđun Exti

hạn sinh với mọi i). Tập các môđun m−cofinite là một phạm trù abel,

tức là nó ổn định dưới tác động môđun con, môđun thương và lấy môđun

mở rộng của nó, với dãy khớp T1 → T → T2 của các R−môđun, T là

(M ) là Artin, nên ta có q(a, M ) < dim M . Trong định

m−cofinite nếu T1 và T2 là m−cofinite. Do đối đồng điều địa phương cấp

a

cao nhất H dim M

lý sau đây đã chỉ ra rằng bất biến q(a, M ) chỉ phụ thuộc vào giá của M .

R−môđun hữu hạn sinh sao cho SuppR(N ) ⊆ SuppR(M ). Khi đó

q(a, N ) ≤ q(a, M ).

Định lý 2.2.16. Cho a là iđêan thực sự của R, M và N là các

a(N ) là m−cofinite với mọi

i > q(a, M ). Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp lùi theo i với

q(a, M ) < i ≤ dim(M ) + 1.

Chứng minh. Ta chỉ cần chỉ ra rằng H i

36

Với i = dim(M ) + 1 ta không có gì để chứng minh (vì dim(N ) ≤

dim(M ) suy ra i = dim(M ) + 1 > dim(N ) nên H i

a(N ) = 0).

Bây giờ giả sử q(a, M ) < i ≤ dim(M ). Theo định lý của Gruson [21],

0 = N0 ⊆ N1 ⊆ · · · ⊆ Nt = N

có một xích

sao cho mỗi thương liên tiếp Nj/Nj−1 là một ảnh đồng cấu của một tổng

trực tiếp của hữu hạn các bản sao của M . Bằng cách sử dụng dãy khớp

ngắn, ta có thể giảm xuống trường hợp t = 1. Bởi vậy tồn tại số nguyên

0 → L → M n → N → 0.

dương n và R−môđun hữu hạn sinh L để có dãy khớp

· · · → H i

(L) → . . . .

a(L) → H i

a(M n) → H i

a(N ) → H i+1

a

(L) là m−cofinite và từ H i

Do đó ta có dãy khớp dài sau đây

a(M n) là

a

Theo giả thuyết quy nạp H i+1

a(N ) cũng là m−cofinite.

m−cofinite, ta có H i

Hệ quả tiếp theo đưa ra một công thức cho q(a, −) trong một dãy khớp

ngắn.

R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó

q(a, M ) = max{q(a, L), q(a, N )}.

Hệ quả 2.2.17. Cho 0 → L → M → N → 0 là một dãy khớp của các

SuppR(M ) = SuppR(L) ∪ SuppR(N ),

37

Chứng minh. Từ dãy khớp trên ta có

do đó SuppR(L) ⊆ SuppR(M ) và SuppR(N ) ⊆ SuppR(M ). Khi đó theo

q(a, M ) ≥ max{q(a, L), q(a, N )}.

Định lý 2.2.16, ta có q(a, L) ≤ q(a, M ) và q(a, N ) ≤ q(a, M ). Suy ra

Ngược lại, từ việc các môđun m−cofinite thuộc phạm trù abel và từ

· · · → H i

(L) → H i+1

(M ) → . . . ,

a(L) → H i

a(M ) → H i

a(N ) → H i+1

a

a

dãy khớp dài trong chứng minh của Định lý 2.2.16 (với n = 1)

a(M ) không là m−cofinite thì H i

a(N ) không là m−cofinite

suy ra nếu H i

a(L) không là m−cofinite. Suy ra q(a, M ) ≤ max{q(a, L), q(a, N )}.

hoặc H i

q(a, R) = sup{q(a, N ) | N là R−môđun hữu hạn}.

Hệ quả 2.2.18. Với mỗi iđêan a của R, ta có

Chứng minh. Điều này được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.2.16.

q(a, M ) = sup{q(a, R/p) | p ∈ SuppR M }.

Định lý 2.2.19. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó

q(a, M ) với mọi p ∈ SuppR(M ) (theo Định lý 2.2.16). Bây giờ giả sử

Chứng minh. Ta có SuppR(R/p) ⊆ SuppR(M ), suy ra q(a, R/p) ≤

rằng dấu bằng không xảy ra với mọi p ∈ SuppR(M ). Có một lọc nguyên

mỗi i, Mi/Mi−1 tố 0 = M0 ⊆ M1 ⊆ · · · ⊆ Mn = M các môđun con của M, sao cho với ∼= R/pi trong đó pi ∈ SuppR(M ). Đặt t = q(a, M ). Khi

a(R/pi) là m−cofinite với mọi 1 ≤ i ≤ n. Từ dãy khớp

0 → Mi−1 → Mi → R/pi → 0.

38

đó H t

(R/pi) → H t

(Mi−1),

H t−1 a

a(Mi−1) → H t

a(Mi) → H t

a(R/pi) → H t+1

a

Ta có dãy khớp

a(Mn) là m−cofinite, điều này là

với mọi i = 1, 2, . . . , n, do đó ta có H t

mâu thuẫn.

Chú ý 2.2.20. Trong kết quả 2.2.16 - 2.2.19 vành R được giả định là

địa phương Noether. Bây giờ giả sử R là một vành Noether (không nhất

thiết là địa phương) có chiều hữu hạn, a là một iđêan của R, và M là

q(aRp, Mp) và định nghĩa

q(a, M ) = sup{q(aRp, Mp) | p ∈ SuppR M }.

một R−môđun hữu hạn sinh. Với mỗi p ∈ SuppR M , có thể xét bất biết

Có thể kiểm tra tất cả các kết quả 2.2.16 - 2.2.19 vẫn đúng.

q(a, b, M ) như là cận trên đúng của các số nguyên i sao cho môđun

H i

a(M ) không là b−cofinite.

Chú ý 2.2.21. Cho a và b là hai iđêan của R. Ta có thể định nghĩa

Mặt khác ta biết rằng phạm trù của các môđun b−cofinite là một

phạm trù con Abel của phạm trù của các R−môđun nếu một trong các

điều sau là đúng:

(1) R là một vành Noether và b là một iđêan chiều bằng một (theo [1]).

(2) R là vành Noether có chiều không vượt quá hai (theo [15, Định lý

7.4]).

Bởi vậy, với cùng chứng minh, ta có thể thấy các kết quả 2.2.16 - 2.2.19

39

là đúng với q(a, b, M ) thay cho q(a, M ) với điều kiện (1) hoặc (2) đúng.

Chú ý 2.2.22. Cho R là một vành nửa địa phương với các iđêan tối

J−cofinite là một phạm trù con abel của phạm trù của các R−môđun

đại m1, m2, . . . , mn. Đặt J = ∩mi. Khi đó phạm trù của các môđun

và các kết quả 2.2.16 - 2.2.20 là đúng với q(a, J, M ) thay cho q(a, M ).

Kết quả chính thứ ba của luận văn là Định lý sau đây của Dibaei-

Yassemi trong [6, Định lý 3.9].

Định lý 2.2.23. (Định lý 3) Cho a là iđêan của R và i ≥ 0 là số nguyên

a(R/b) là m−cofinite với mọi iđêan b của R. Khi

cho trước sao cho H i

R−môđun hữu hạn sinh M .

đó q(a, R/p) < i với mọi p ∈ Spec R. Đặc biệt, q(a, M ) < i với mỗi

a(R/p) là m−cofinite, với mọi p ∈ Spec R.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo j ≥ i + 1 rằng H j

Ta chỉ cần xét trường hợp j = i + 1. Giả sử tồn tại p ∈ Spec R

(R/p) không là m−cofinite. Khi đó rõ ràng a (cid:42) p (vì nếu

a

sao cho H i+1

(R/p) = 0). Đầu tiên ta chỉ ra rằng

a

(R/p)) (cid:42)

(R/p)) ⊆ V(m). Giả sử ngược lại rằng SuppR(H i+1

a

a

(R/p)) mà q (cid:54)= m. Suy ra, có

a

(cid:54)= 0, tức là, sx (cid:54)= 0 với mọi s ∈ R \ q.

SuppR(H i+1 V(m). Khi đó có q ∈ SuppR(H i+1 x ∈ H i+1 (R/p) sao cho

a

x 1

a ⊆ p thì R/p là a−xoắn, nên H i+1

Do đó (0 :R x) ⊆ q, vì thế q ∈ SuppR(Rx) \ {m}. Do x bị triệt tiêu bởi

một lũy thừa nào đó của a, nên tồn tại b ∈ a \ p sao cho bx = 0. Bây giờ

0 → R/p b→ R/p → R/(p + bR) → 0.

40

ta xét dãy khớp

H i

(R/p) b→ H i+1

(R/p),

a(R/(p + bR)) → H i+1

a

a

Nó cảm sinh dãy khớp sau đây

H i

a(R/(p + bR)) → (0 :H i+1

(R/p) b) → 0.

a

nên ta có dãy khớp

(R/p) b), suy ra Rx ⊆ (0 :H i+1

(R/p) b). Khi đó

a

a

Do bx = 0 nên x ∈ (0 :H i+1

a(R/p + bR)).

q ∈ SuppR(Rx) ⊆ SuppR(H i

a(R/p + bR) có giá không chứa trong V(m), nên

H i

a(R/p + bR) không là m−cofinite, điều này là mâu thuẫn với giả thiết.

(R/p)) ⊆ V(m). Vì thế bất kì y ∈ H i+1

(R/p) đều có

a

a

(R/p) là môđun m−xoắn.

Điều này chỉ ra rằng H i

Do đó SuppR(H i+1 tính chất SuppR(Ry) ⊆ V(m), suy ra có lũy thừa của m triệt tiêu y, tức là H i+1 a

(R/p) là m−cofinite, ta chỉ cần chứng tỏ rằng

(R/p)) có độ dài hữu hạn (ta áp dụng tiêu chuẩn Melk-

a

a HomR(R/m, H i+1 ersson sẽ suy ra H i+1

(R/p) là Artin, và sử dụng Định lý 2.2.10, sẽ được

a

H i+1 a

(R/p) là m−cofinite). Đặt K = (0 :H i+1

(R/p) b) và xét dãy khớp

a

0 → K → H i+1

(R/p) b→ H i+1

(R/p).

a

a

(R/p)) (vì từ

Để chỉ ra H i+1

a

b ∈ m và từ dãy khớp trên ta có dãy khớp

(R/p)) → 0(cid:1).

0 → HomR(R/m, K) → HomR(R/m, H i+1

a

Từ b ∈ m, ta thấy HomR(R/m, K) = HomR(R/m, H i+1

a(R/p + bR) (nó là m−cofinite theo giả

Lưu ý rằng K là thương của H i

(R/p)) là môđun có độ dài hữu hạn.

HomR(R/m, H i+1

a

41

thiết), vì vậy K cũng là m−cofinite theo Hệ quả 2.2.11. Có nghĩa là

Kết luận

Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày lại và chứng minh chi tiết

(cid:136) Nhắc lại một số kiến thức có liên quan đến luận văn: Iđêan nguyên

các kết quả chính sau đây:

tố liên kết, biểu diễn thứ cấp, môđun Ext và Tor, môđun đối đồng

(cid:136) Chứng minh được: Cho a là một iđêan của vành Noether R. Cho

s là một số nguyên không âm. Cho M là R−môđun sao cho

Exts

a(M ) là a−cofinite

điều địa phương, một số chuẩn bị về tính cofinite của môđun.

R(R/a, M ) là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu H i a(M )) là hữu hạn.

(cid:136) Chứng minh được: Cho a là một iđêan của vành Noether R, và cho

M là một R−môđun hữu hạn sinh. Cho t ∈ N sao cho H i

a(M ) là

a(M )) là hữu hạn với mọi i < t. Khi đó

với mọi i < s, thì HomR(R/a, H s

a(M )) là hữu hạn.

(cid:136) Chứng minh được: Cho a là iđêan của R và i ≥ 0 là một số nguyên

hữu hạn sinh hoặc SuppR(H i AssR(H t

a(R/b) là m−cofinite với mọi iđêan b của R. Khi

cho trước sao cho H i

R−môđun hữu hạn sinh M .

42

đó q(a, R/p) < i với mọi p ∈ Spec R. Đặc biệt, q(a, M ) < i với mỗi

Tài liệu tham khảo

[1] K. Bahmanpour, R. Naghipour (2009), "Cofiniteness of local coho-

mology modules for ideals of small dimension", J. Algebra. 321, 1997-

2011

[2] M. Brodmann, A. Lashgari Faghani (2000), "A finiteness result for

associated primes of local cohomology modules", Proc. Amer. Math.

Soc. 128, 2851-2853.

[3] M. Brodmann, R. Y. Sharp, "Local Cohomology: An algebraic

introduction with geometric applications", Cambridge University

Press.

[4] M. P. Brodmann, Ch. Rotthaus, R. Y. Sharp (2000), "On annihila-

tors and associated primes of local cohomology modules", J. Pure

Appl. Algebra. 153, 197-227.

[5] D. Delfino, T. Marley (1997), "Cofinite modules and local cohomol-

ogy", J. Pure and Applied Algebra. 121, 45-52.

[6] M. T. Dibaei, S. Yassemi (2005), "Associated primes and cofiniteness

43

of local cohomology mdules", Manuscripta math. 117, 199-205.

[7] K. Divaani-Aazar, A.Mafi (2005), "Associated primes of local coho-

mology modules", Proc. Amer. Math. Soc. 133, 655-660.

[8] R. Hartshorne (1970), "Affine duality and cofiniteness", Invent.

Math. 9, 145-164.

[9] R. Hartshorne (1968), "Cohomological dimension of algebraic vari-

eties", Ann. Math. 88, 403-450.

[10] C. Huneke, R. Sharp (1993), "Bass numbers of local cohomology

modules", Trans. Amer. Math. Soc. 339, 765-779.

[11] M. Katzman (2002), "An example of an infinite set of associated

primes of a local cohomology module", J. Algebra. 252, 161-166.

[12] K. Khashyarmanesh, Sh. Salarian (1999), "On the associated primes

of local modules", Comm. Algebra. 27, 6191-6198.

[13] G. Lyubeznik (1993), "Finiteness properties of local cohomology

modules (an application of D−modules to commutative algebra)",

Invent. Math. 113, 41-55.

[14] H. Matsumura (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Uni-

versity Press.

[15] L. Melkersson (2005), "Modules cofinite with respect to an ideal",

Journal of Algebra. 285, 649-668.

[16] L. Melkersson (1990), "On asymptotic stability for sets of prime

ideals connected with the powers of an ideal", Math. Proc. Cambridge

44

Philos. Soc. 107, 267-271.

[17] L. Melkersson (1999), "Properties of cofinite modules and applica-

tions to local cohomology", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 125,

417-423.

[18] P. H. Quy (2010), "On the finiteness of associated primes of local

cohomology modules", Proc. Amer. Math. Soc. 138, 1965-1968.

[19] J. Rotman (1979), "An introduction to homological algebra", (Aca-

demic press, INC).

[20] A. K. Singh (2000), "p-torsion elements in local cohomology mod-

ules", Math. Res. Lett. 7, 165-176.

[21] W. Vasconcelos (1997), "Divisor theory in module categories",

45

North-Holland, Amsterdam.