Luận văn được trình bày thành hai chương, trong chương một sẽ trình bày mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán, đối đồng điều địa phương theo một iđêan; chương hai trình bày tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. Để tìm biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.
Trần Minh Đức
Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số : 60 46 05 Mã số
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được
sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ
Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè.
Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam.
Thầy đã quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn để giúp
tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ. Thầy đã hướng dẫn tôi từ khi làm luận văn Đại
học, nhiệt tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian học cao học và
hoàn thành luận văn Thạc sĩ này
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình
học tập. Tôi xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi
Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải đã tận tình dạy bảo và cho tôi nhiều kiến thức về
Đại Số cũng như kiến thức về học tập.
Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số K21 cũng như các bạn bè và người
thân đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi. Gia đình tôi luôn là nguồn động viên tinh
thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012
TRẦN MINH ĐỨC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................ 3
1.1. Một số bổ đề và định nghĩa ................................................................................. 3
1.2. Bao nội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu ................................................................ 4
1.3. Dãy chính quy – độ sâu ....................................................................................... 5
1.4. Số chiều – hệ tham số .......................................................................................... 6
1.5 . Giới hạn thuận .................................................................................................... 7
1.6. Hàm tử dẫn xuất phải .......................................................................................... 9
1.7. Dãy phổ ............................................................................................................. 10
1.8. Môđun đối đồng điều địa phương ..................................................................... 13
Chương 2: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP
IĐÊAN ......................................................................................................................... 16
2.1. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan ..................................... 16
2.2. Môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và phức Cech............... 27
2.3. Liên hệ giữa môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và môđun
đối đồng điều địa phương ......................................................................................... 34
2.4. Tính chất triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương
theo một cặp Iđêan ................................................................................................... 38
KẾT LUẬN ................................................................................................................. 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 44
1
Đối đồng điều địa phương là lý thuyết tối cần thiết và là một công cụ quan
trọng trong đại số giao hoán và hình học đại số. Trong luận văn này, tôi sẽ trình
bày định nghĩa và các tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một
cặp iđêan (I, J), đây là một khái niệm tổng quát hơn khái niệm môđun đối đồng
điều địa phương theo một iđêan I.
Γ
→
: Mod
Mod
Trong cả luận văn này, ta giả thiết R là vành Nơte giao hoán và cho I, J là hai
I J ,
R
R
iđêan của R. Ta định nghĩa được hàm tử (I, J)-xoắn là mở
IΓ . Hơn nữa vì tính khớp trái của hàm tử
,I JΓ (Bổ đề
rộng của hàm tử I-xoắn
,I JΓ
i
(2.1.3)), với mọi số tự nhiên i ta lấy dãy hàm tử dẫn xuất phải thứ i của
I JH - đây chính là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp
,
chính là
iđêan (I, J).
n
⊆
W( ,
I J
)
Spec R I (
)
J n ,
|
p+
{ = ∈ p
} 1
(
)
Một khái niệm quan trọng được xem xét trong luận văn chính là tập:
Spec R (xem định nghĩa (2.1.6)), mệnh đề (2.1.8) chỉ ra
⊆
M
W( ,
I J
)
đây là tập hợp con của
i
0
rằng một R-môđun M là (I, J)-xoắn khi và chỉ khi Supp . Ta cũng
J = thì hàm tử
I JH lại trở thành hàm tử đối đồng điều địa
,
i
)
)
I J lại trở thành tập
( )V I , nên có thể thấy W( ,
I J là mở
lưu ý rằng khi
IH và tập W( ,
phương
( )V I tương ứng theo một cặp iđêan (I, J).
rộng của
Luận văn được trình bày thành hai chương. Trong chương một tôi sẽ trình
bày mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán, đối đồng điều
địa phương theo một iđêan để chuẩn bị cho độc giả đọc chương hai. Độc giả có
thể bỏ qua chương một để đọc thẳng chương hai, phần chính của luận văn, trình
2
bày tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. Cụ thể
như sau:
)
Trong phần (2.1) của chương hai tôi sẽ trình bày định nghĩa môđun đối đồng
I J và đưa ra một số
điều địa phương theo một cặp iđêan, định nghĩa tập W( ,
tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan.
Phần (2.2) trình bày phức Cech suy rộng và đưa ra định nghĩa tương đương
của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan qua phức Cech suy
rộng (định lý (2.2.4)). Từ đây suy ra được một số hệ quả và tính chất quan trọng
của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan.
Tới phần (2.3) sẽ là sự liên hệ giữa môđun đối đồng điều địa phương theo
một cặp iđêan và môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan. Định lý
(2.3.2) cho ta thấy một môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan
I J
)
,
chính là một giới hạn thuận của những môđun đối đồng điều địa phương theo
)R m là vành địa phương thì ta có
Γ
=
Γ
(
M
)
(
M
)
một iđêan trong tập W( , . Còn nếu (
I
,
J
m
J
I , )
lim ∈ W ( m
.
Và phần (2.4) chính là phần trung tâm của luận văn, sẽ trình bày các định lý
về sự triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo một
≠
=
inf { |
(
)
0} inf {depth
M
I J
)}
i i H M , I J
∈p p | W( ,
cặp iđêan. Đặc biệt định lý (2.4.1) cho ta đẳng thức:
đây chính là mở rộng của định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của Grothendieck
trong trường hợp M là môđun hữu hạn sinh.
Mặc dù có nhiều cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do sự hạn hẹp
trong kiến thức và thời gian nên có thể trong luận văn còn nhiều sai sót, rất
mong được sự nhận xét và phản hồi của quý thầy cô và các bạn.
3
Trong chương này cũng như là trong toàn bộ luận văn khi ta nói đến vành R
thì R chính là vành Nơte giao hoán có đơn vị.
x M+ )
Bổ đề 1.1.1.(Nakayama) Cho R là một vành, M là một R-môđun hữu hạn sinh, I
I∈ sao cho (1
= . 0
0M = .
là một iđêan của R. Giả sử IM M= , khi đó tồn tại x
Nếu R là vành địa phương và I là iđêan thực sự thì ta suy ra
Bổ đề 1.1.2. (Artin-Rees) Cho R là một vành, M là một R-môđun hữu hạn sinh, I
0n đủ
− n n 0
n
nI M N I ∩ =
n I M N 0
)
(
∩ với mọi
là một iđêan của R và N là R-môđun con của M. Khi đó tồn tại số tự nhiên
n≥ 0
. lớn sao cho:
(
)
Định nghĩa 1.1.3. Cho M là một R-môđun. Ta định nghĩa các tập hợp con của
Spec R các iđêan nguyên tố của R sau:
≠
M
Supp
Spec R M (
) |
0}
= ∈ { p
=
s M
Spec R
M
Ann( )} M
As Min
( Spec R (
) | ) |
: p Supp
:
= ∈ { p = ∈ { p
x ⊆ ⇒ p
q
} q = p
p ∃ ∈ x M ∀ ∈ q
tập
Tập Supp M được gọi là giá của M, tập Ass M được gọi là tập các iđêan
nguyên tố liên kết của M. Tập Min M chính là tập hợp các phần tử tối tiểu của
tập Supp M .
⊆
⊆
Min
M
As
s M
Supp
M
Mệnh đề 1.1.4. Với mọi R-môđun M ta có bao hàm thức sau:
⊆
V I
( ) {
Spec R I (
) |
= ∈ p
} p
Định nghĩa 1.1.5. Cho I là một iđêan của R. Ta đặt:
4
=
Supp
(
))
( M V Ann M ⊗ =
∩
Supp
M N
Supp
M
Supp
N
L M N
→ → → → 0
Mệnh đề 1.1.6. Nếu M, N là các R-môđun hữu hạn sinh thì ta có:
Mệnh đề 1.1.7. Cho dãy khớp các R-đồng cấu: 0
∪
As ∪
As s M Supp
⊆ As s L = Supp
s N Supp
M
L
N
Thì ta có:
≠
⊆ là các R-môđun. Môđun N được gọi là mở
≠
'N
N
0
'
Định nghĩa 1.2.1. Cho 0 M N
⊆ ta đều có:
N M∩ ≠ .
rộng thiết yếu của M nếu với mọi môđun 0
Định lý-Định nghĩa 1.2.2. Cho M là một R-môđun. Khi đó tồn tại duy nhất (sai
E E M=
(
)
khác một đẳng cấu) R-môđun nội xạ E là mở rộng thiết yếu của M. Ta gọi E là
0M ≠ được gọi là môđun không phân tích
bao nội xạ của M và ký hiệu .
Định nghĩa 1.2.3. Một R-môđun
được nếu M không là tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự.
E
Định lý 1.2.4. (Matlis) Cho E là một R-môđun nội xạ thì ta có:
= ⊕ trong đó mỗi
iE là môđun nội
E i
∈ i I
i. Tồn tại duy nhất một cách phân tích:
Spec R
(
)
∈p
xạ không phân tích được.
=
E E R
(
/
)
(
/
p . Ngược lại )
E R p là môđun nội xạ không phân tích được với mọi
Spec R
(
)
∈p
sao cho ii. Nếu E là môđun nội xạ không phân tích được thì tồn tại
.
Mệnh đề 1.2.5. Cho vành R, p là một iđêan nguyên tố của R, M là một R-
môđun. Khi đó ta có:
(
)
/
)
(
As (
s M
)
∈p
5
E R p là hạng tử trực tiếp của
E M khi và chỉ khi
As (
s E R (
/
=p ))
i. .
{ } p .
ii.
Định nghĩa 1.2.6. Cho M là một R-môđun, phép giải nội xạ tối tiểu của M là
0
1
ε
d
d
2
0
1
0
M
E
E
E
→ → → → → .....
0
1
2
1
=
=
=
E
E M E
),
(
E
(coker
ε ),
E
E
(coker
d
),....
một phép giải nội xạ của M:
trong đó
Mỗi phép giải nội xạ tối tiểu là duy nhất (sai khác nhau một đẳng cấu). Theo
µ
)
( , p
i
E
E R (
/
) i M p
(
)
Spec R
= ⊕ ∈ p
)
(
)
/
định lý về phân tích môđun nội xạ ta có:
E R p trong tổng trực tiếp, ta gọi
i Mµ p ( ,
)
là số bản sao của Trong đó
i Mµ p ( ,
R = p
Spec R
(
)
k
∈p
( ) p
là số Bass thứ i của M theo p.
p
R p
, và M là một R-môđun. Khi Định lý 1.2.7.(Bass) Cho
=
=
M
/
))
( , p
( ( ), k M p
, R M p
µ i
) dim Ext k
( ) p
i ) dim (Ext ( ( ) R k p
p
p
i R p
đó ta có:
,....,
, x x 1 2
x trong R n
(
,....,
Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R-môđun. Dãy các phần tử
ix không là ước của
x x , 1 2
x M M≠ )n
M
=
i
n 1, 2,...
và được gọi là dãy M- chính quy nếu
(
,....,
, x x 1 2
) x M− 1 i
với mọi . không trong
IM M≠
Định nghĩa 1.3.2. Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của Rthỏa mãn
. Ta định nghĩa độ sâu của M trong I là:
=
laø daõy
- chính quy trong
depth ( ,
I M
)
sup
,...,
)
M
I
{
}
R
n x | ( 1
x n
M
,
M
)
,
m
6
)R m là vành địa phương thì ta ký hiệu: depth
R
= : depth ( R
Nếu (
Định lý 1.3.3. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R
=
≠
depth ( ,
I M
)
i
)
0}
R
i inf{ | Ext ( R
=
inf{depth
M
V I
( )}
/ , R I M ∈ | p p
R p
thỏa mãn IM M≠ . Ta có:
=
≠
M
i inf{ |
)
0}
Mµ ( , p
Mệnh đề 1.3.4. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R
i
p
R p
. Ta có: depth . thỏa mãn IM M≠
Định nghĩa 1.4.1. Cho vành R. Số chiều của R, ký hiệu dim(R) chính là
supremum của độ dài những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố
=
∈
∀ =
dim
....
)
R
sup{ | n
( Spec R i
0,1,..., } n
∃ ⊂ ⊂ ⊂ p 1
p 0
, p p n i
trong R:
Cho M là một R-môđun thì số chiều của M chính là supremum của độ dài
=
∈
dim
M
n sup{ |
....
Supp(M),
∀ = i
n 0,1,..., }
∃ ⊂ ⊂ ⊂ p 1
p 0
, p p n i
những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố trong Supp(M):
Nếu M = 0 ta đặt dim M= –1.
=
dim
M
/ Ann(
M
))
R dim( =
dim(
⊗ M N
R ) dim / (Ann(
M
+ ) Ann(
N
))
,
Mệnh đề 1.4.2. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh.Ta có
)R m là vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn
=
∃
∈
=
d
n inf{ |
,....,
:
,...,
) { }},
m
Định nghĩa 1.4.3. Cho (
m dãy
x x , 1 2
x n
Supp M x ( / ( 1
x M ) n
sinh. Đặt
,....,
,...,
)
x x , 1 2
x ngắn nhất các phần tử trong m thỏa d
Supp M x ( / ( 1
x M = m ) { } d
7
,
)R m là vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn
được gọi là một hệ tham số của M.
,....,
Mệnh đề 1.4.4. Cho (
x x , 2
x là một hệ tham số của M khi và chỉ khi nó là dãy ngắn d
(
,....,
+ ) Ann(
M
)
sinh. Dãy 1
x x , 1 2
x d
là iđêan m -nguyên nhất các phần tử trong m thỏa mãn
,
)R m là vành địa phương,
0M ≠ là R-môđun hữu hạn sinh,
sơ.
d(
)M là độ dài của hệ tham số của M. Khi đó ta có:
=
d(
M
) dim
M
,
)R m là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh.
Định lý 1.4.5. Cho (
Mệnh đề 1.4.6. Cho (
≤
M
dim
M
Một dãy M-chính quy có thể mở rộng thànhmột hệ tham số của M. Từ đây ta suy
,....,
,
ra depth .
)R m là vành địa phương và
, x x 1 2
x là một dãy trong n
m , M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có:
M
≥
dim
dim
M n
− .
(
,..,
x 1
x M )n
,....,
Mệnh đề 1.4.7. Cho (
x là một bộ phận của hệ tham số của M. n
x x , 1 2
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
)
I ≤ là một tập được sắp thứ tự bộ phận.
M
)
)
)
Định nghĩa 1.5.1. Cho R là một vành, ( ,
ψ∈ , (
≤
I
i j
i
i
i
j
IM ∈ )i i
→
:
M
M
)
Một hệ thuận trong phạm trù các R-môđun là: (( , trong đó (
≤
i ψ j
i
j
i
j
Id
k
j
là họ các R-đồng cấu sao cho là một họ các R-môđun, (
I∈ và biểu đồ sau đây là giao hoán với mọi i
≤ ≤ .
i ψ = i
M
i
với mọi i
i ψ → j
M
M
i
j
j
i ψ k
ψ k
M
k
M
)
)
)
8
ψ∈ , (
≤
I
i j
i
i
i
j
là một hệ thuận trong phạm trù các R- Định nghĩa 1.5.2. Cho ((
∈ i I
M
:
và họ các đồng cấu môđun. Khi đó tồn tại một R-môđun lim i M
α ( i
i
∈ i I
→
M lim ) i ∈ i I
sao cho:
j≤ .
i αψ α= j i
j
f
N→ thỏa mãn
i. với mọi i
fψ = j i
i j
f M :i
i
θ
→
N
j≤ . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu
ii. Cho N là một R-môđun, và họ các đồng cấu
: lim i M ∈ i I
sao cho biểu đồ với mọi i
I∈ :
i
f →
M
N
i
θ
α i
M
i
lim ∈ i I
M
)
)
)
sau là giao hoán với mọi i
ϕ∈ , (
≤
I
i j
i
i
j
lim i M ∈ i I
)
I ≤ được gọi là tập trực tiếp nếu với mọi
được gọi là giới hạn thuận của hệ thuận (( .
,i
j
I∈ tồn tại k
I∈ sao cho i
k≤ và j
k≤ .
M
)
)
)
Định nghĩa 1.5.3. Tập sắp thứ tự ( ,
ψ∈ , (
≤
I
i j
i
i
i
j
M
M
)
I ≤ là tập trực tiếp,
→ là các phép nhúng với mọi i
j≤ . Nếu
là một hệ thuận trong phạm trù các R- Mệnh đề 1.5.4. Cho ((
:i ψ j
i
j
:
M
M
môđun, ( ,
∈→ M )
α i
i
i
I
i
M∈
I
i
=
, (
)
)
)
và xét họ các ánh xạ nhúng ( . Khi đó M ta đặt:
M ψ∈
≤
I
i
i j
i
j
. chính là giới hạn thuận của ((
M
)
)
)
9
ψ∈ , (
≤
I
i j
i
i
i
j
Định lý 1.5.5. Giới hạn thuận là giao hoán với tích tenxơ. Nếu (( là
M
⊗ ≅ N
⊗ M N
)
i
(lim ) i ∈ i I
lim( ∈ i I
một hệ thuận, N là một R-môđun thì ta có đẳng cấu tự nhiên sau:
, }i
, }i jM β ,{
i
}i L α , { tiếp và { , i j
jN γ là các hệ thuận các R-môđun trên I. Xét họ các
i
)
:
)
N→ sao cho với mỗi i
I∈ thì dãy sau đây là
Mệnh đề 1.5.6. Giới hạn thuận là bảo toàn tính khớp. Cụ thể, nếu I là tập trực
r L M→ và ( i
i
i
: s M i
i
i
đồng cấu (
0
M
N
→ → → → 0 i
L i
i
dãy khớp:
→
→
→
→
0
N
M
0
L i
i
i
lim ∈ i I
lim ∈ i I
lim ∈ i I
Thì ta sẽ có dãy khớp sau đây:
Mệnh đề 1.5.7.Trên vành Nơte, giới hạn thuận của những môđun nội xạ là một
môđun nội xạ.
:T → là hàm tử cộng tính hiệp biến, và là hai
Định nghĩa 1.6.1. Cho
:
nR T → với mỗi
0n ≥ như sau:
)B•E (
phạm trù Abel trong đó là đủ nội xạ. Ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải
0
1
d
d
2
0
0
E
E
E
1 → → → → ....
: Với mỗi vật B ta chọn một phép giải nội xạ
n
•
n
n
=
(
= : R T B H T ( (
)
(
B
))
Tác động hàm tử T vào phép giải, sau đó lấy đối đồng điều thứ n:
Ker Im
Td − n 1 Td
10
Định nghĩa này là tốt, không phụ thuộc vào cách chọn phép giải nội xạ.
:T → là hàm tử cộng tính hiệp biến và khớp trái, và
n
(
)
là hai phạm trù Abel trong đó là đủ nội xạ. Dãy
R T ≥ là dãy hàm tử dẫn
0
n
Định lý 1.6.2. Cho
0R T T≅ .
xuất phải của T khi và chỉ khi thỏa mãn:
)
nR T E = với mọi 0
1n ≥ .
i. Có đẳng cấu tự nhiên giữa hai hàm tử:
L M N
0
ii. Với mọi E là vật nội xạ trong , ta đều có: (
→ → → → ta có dãy khớp dài với
iii. Với mọi dãy khớp trong : 0
0
0
1
→
→
→
→
→
→
0
0 R T L )
(
(
R T M )
(
R T N )
1 R T L )
(
R T M )
n
n
( n
→
→
→
→
→
→
− 1 R T N
n R T L
.... + 1 n R T L
....
)
(
)
(
(
R T M )
(
R T N )
)
(
....
đồng cấu nối tự nhiên:
p q
( = M M
),
∈ ×
(
p q , )
Định nghĩa 1.7.1. Một môđun song phân bậc là một họ các R-môđun:
=
→
f
(
)
:f M N→ có bậc là (a, b) là một họ các đồng cấu:
Nếu M, N là các môđun song phân bậc, một đồng cấu song phân bậc
M +
+
f M : p q ,
p q ,
p a q b ,
=
f
)
a b ( , )
.
=
f
)
a b ( , )
:f M N→ với deg(
. Bậc của f được ký hiệu là: deg(
=
⊆
=
⊆
f
f
N
K f er
K f ( er
)
(
M
)
Im
(Im
)
(
)
thì ta định Nếu ta có đồng cấu song phân bậc
−
−
p a q b ,
p q ,
p q ,
p q ,
f
g
M
N
P
nghĩa ,
→ → , dãy này được gọi là
=
Cho dãy các đồng cấu song phân bậc
khớp nếu Im f Ker g .
Từ đây, nếu loại bỏ q thì ta định nghĩa được môđun phân bậc và đồng cấu
phân bậc một cách tương tự.
11
)p pM ∈ các R-môđun
⊆
M
Định nghĩa 1.7.2. Một lọc của một R-môđun M là một họ (
M + 1 p
p
⊆
⊆
⊆
M
M
M
...
⊆ ...
p
p
p
+ 1
− 1
)
với mọi p: con của M thỏa mãn
F p
p
∈C của C thỏa
Cho C là một phức, một lọc của Clà họ các phức con (
F +⊆C
F p
p
mãn
⊆
⊆
⊆
⊆
...
...
F p
F p
F p
,
)M d , trong đó M là một môđun song phân bậc, d là
0
.
d d = . Khi đó ta định
Định nghĩa 1.7.3. Cho (
)
(
,
một đồng cấu song phân bậc có bậc là (a, b) thỏa mãn
H M d là một môđun song phân bậc với:
, p q
=
(
,
)
H M d
, p q
Im
er K d d −
−
, p a q b
r
r E d ,
(
)
nghĩa được đồng điều
rE là các môđun
≥ trong đó
1
r
r
r
r
r
+ = 1
E
H E (
)
0
d d = và
Định nghĩa 1.7.4. Một dãy phổ là một dãy
1r ≥ .
2
1
2
2
r
=
=
E
1 H E d
(
,
)
Z
/
B
r E d ,
(
)
với mọi song phân bậc, thỏa mãn
2Z là
≥ là một dãy phổ, ta có 1
r
2
2
⊆
B
Z
Nếu trong đó
2B
1 ⊆ . E
3
3
2
2
2
2
=
=
=
E
3 Z B /
(
) / (
3 B B /
)
H Z (
/
2 B d ,
)
3 Z B /
chu trình và là bờ với Lại có
r
r
2
3
3
2
1
⊆
⊆
⊆
=
B
B
Z
Z
E
E
r / Z B
⊆ . Vậy nếu ta quy nạp theo r thì ta có
(ta có thể xem 3 E ) với
r
r
2
3
3
2
⊆
⊆
⊆
⊆
⊆
B
B
⊆ ⊆ ...
B
Z
.....
Z
Z
E
1 ⊆ (*)
r
r
r
r E d ,
(
)
(
)
,
với:
≥ là một dãy phổ, họ
Z B ≥ được cho như
1
1
r
r
∞
∞
r
r
B
B
Z
Z
Định nghĩa 1.7.5. Cho
≥ 1
≥ 1
r
r
=
= dãy phổ là môđun song phân bậc E ∞ được định nghĩa bởi:
=
E
Z
/
B
∞ , p q
∞ , p q
∞ p q ,
trên thỏa mãn (*), đặt và . Ta định nghĩa giới hạn của
p
F
)
12
p
∈C là lọc của phức Cvà họ phép nhúng
p
p
p i H F
H
(
)
(
)
•
•→ C . Ta định nghĩa lọc cảm
:p i F → C . Từ đây cảm sinh ra * :
)
Định nghĩa 1.7.6. Cho (
nH C : (
p
Φ
=C ( )
Im
p i *
nH
t
s
=
Φ
=
{0}
H
H
sinh của
n
n
nHΦ
p
(
)
Nếu với mỗi n tồn tại svà t sao cho và thì ta nói lọc
nHΦ
s
s
t
+ 1
Φ
⊆ Φ
⊆
⊆ Φ
=
H
H
H
H
{0}=
......
n
n
n
n
r
r E d ,
(
)
là bị chặn. Khi đó ta có dây chuyền sau với mỗi n.
≥ được gọi là hội tụ đến một môđun
1
r
Định nghĩa 1.7.7. Một dãy phổ
E
H +⇒
2 ,p q
p q
p
Φ
H
p
+ p q
≅
Φ
E
)
phân bậc H:
p
− 1
∞ . p q
p qH +
Φ
H
+ p q
r
(
)
r , E d
nếu có một lọc bị chặn ( của H sao cho: .
≥ được gọi là suy biến theo trục p nếu
1
r
2
r
{0}
0
r E d ,
(
)
Định nghĩa 1.7.8. Dãy phổ
q ≠ . Dãy phổ
≥ được gọi là suy biến theo trục q
p qE =
,
1
r
2
{0}
với mọi
p ≠ . 0
p qE =
,
(
)
với mọi nếu
E d , r
r
≥ được gọi là dãy phổ góc phần tư thứ ba 1
r
p q ,
=
0
{0}
Định nghĩa 1.7.9: Dãy phổ
p > hoặc
q > . 0
rE
p q
(
)
H +⇒
với mọi nếu
, E d r
r
≥ góc phần tư thứ ba hội tụ 1
r
p q , E 2
n
,0
H
Mệnh đề 1.7.10.Cho dãy phổ .
n E≅ 2
n
n
H
i. Nếu dãy phổ suy biến theo trục p, ta có: .
0, E≅ 2
ii. Nếu dãy phổ suy biến theo trục q, ta có: .
:F
→
13
là b
Định nghĩa 1.7.11. Cho là một phạm trù Abel đủ nội xạ,
pR F B = )
(
{0}
hàm tử cộng tính. Một vật B của được gọi là F-tuần hoàn phải nếu
1p ≥ .
G
F
→ →
với mọi
là các hàm tử hiệp biến,
Định lý 1.7.12.(Grothendieck) Cho
, là các phạm trù Abel đủ nội xạ. Giả sử F là khớp trái và GE là
cộng tính ,
tuần hoàn phải với mọi vật nội xạ E trong . Khi đó với mọi vật A trong , ta
p
q
+ p q
=
⇒
(
R F R G A
)(
)
R
(
FG A )
p q , E 2
có dãy phổ góc phần tư thứ ba sau:
Định nghĩa 1.8.1. Cho R là vành, I là một iđêan của R, M là một R-môđun.
n
Γ
= ∈
=
) {
x M I x
|
0,
n
1}
I M (
)
Đặt
I MΓ (
Γ
⊆ Γ
Γ
Γ
→ Γ
f
(
(
M
))
(
N
)
(
f
) :
(
M
)
(
N
)
:f M N→ thì
Ta thấy là một R-môđun con của M. Mặt khác với mọi R-đồng cấu
I
I
I
I
I
)
nên ta định nghĩa được
I MΓ (
. là thu hẹp của f lên
IΓ là một hàm tử cộng
Với định nghĩa như trên có thể chứng minh được
IΓ được gọi là hàm tử I-xoắn.
Γ
=
tính, R-tuyến tính và khớp trái. Hàm tử
I M M ( )
= . ) 0
R-môđun M được gọi là môđun I-xoắn nếu . R-môđun M được
I MΓ (
gọi là môđun I-không xoắn nếu
IΓ với mọi
0
i ≥ và ta gọi đây là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I:
H
:i I
i R= Γ I
Bây giờ ta xét các hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử khớp trái
i
(
)
14
IH M được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan
Môđun
Γ
= ⇔
Supp(
⊆ M V I ( )
)
I.
I M M ( )
. Mệnh đề 1.8.2. Cho M là một R-môđun. Ta có
Đối đồng điều địa phương có nhiều cách định nghĩa tương đương. Sau đây là
định nghĩa theo giới hạn thuận của hàm tử Ext và định nghĩa theo phức Cech.
i ≥ : 0
Định lý 1.8.3. Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R. Ta có đẳng cấu tự
≅
)
n R I M
/
,
)
i H M ( I
i lim Ext ( R ∈ n
nhiên sau với mọi
=
n a n { |
∈ }
aS
Định nghĩa 1.8.4. Cho vành R, phần tử a thuộc R. Ta định nghĩa:
aS là một tập con nhân của R. Do đó với mỗi R-môđun M ta định
Ta thấy
1
M S M−=
a
a
nghĩa môđun các thương của M:
1
R
C
(0
− • = → → → aS 0)
R a
a
=a
Ta định nghĩa phức Cech theo một phần tử a thuộc R là:
a 1,...,
a n
=a
Với là một dãy các phần tử trong R. Ta định nghĩa phức Cech
1,..., a
a n
C
là: theo
• a i
s = ⊗ = i 1
s
= → →
→
→
(0
(
)
....)
R
a
R a i
R a i
j
∏
∏
<
i
i
j
= 1
15
Do vành ta đang xét là vành Nơte, nên mỗi iđêan I của R là hữu hạn sinh. Từ
=
I
=a ( )
(
,...,
đây ta có định nghĩa đối đồng điều địa phương thông qua phức Cech.
a a , 1 2
a )n
i ≥ : 0
là iđêan của R, M là một R- Định lý 1.8.5. Cho R là vành,
i
i
≅
)
(
(
)
IH M H M C • ⊗ a
môđun. Ta có đẳng cấu tự nhiên sau với mọi
Sau đây là định lý triệt tiêu và không triệt tiêu nổi tiếng của Grothendieck
Định lý 1.8.6. (Grothendieck) Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R.
i
>
i
dim
M
) 0
(
IH M = với mọi
,
)R m là một vành địa phương, M là một R-
Ta có:
Định lý 1.8.7. (Grothendieck) Cho (
=
n
dim
M
nH M ≠ (
)
0
môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Ta có:
m
với
Định lý 1.8.8. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Khi
≠
=
=
inf{ |
(
)
0} depth ( ,
I M
)
inf{depth
M
V I
( )}
i i H M I
R
∈p p |
đó ta có:
16
Trong chương này ta cũng luôn giả thiết R là vành Nơte giao hoán có đơn vị.
Định nghĩa 2.1.1.Cho M là một R-môđun; I, J là hai iđêan của R, ta định nghĩa
n
Γ
⊆
)
x M I x
|
Jx n ,
I J M , (
{ = ∈
} 1
n
n
⊆ ⇔ ⊆
Γ
⊆
+
n I x
Jx
I
Ann x ( )
J
)
x M I
|
Ann x ( )
J n ,
+ do đó
tập:
I J M , (
{ = ∈
} 1
)
ta thấy
I J MΓ , (
Γ
⊆ Γ
f
(
(
M
))
(
N
)
:f M N→ là một đồng cấu R-môđun. Ta có
là một R-môđun con của M. từ đây ta có thể chứng minh được
I J ,
I J ,
Γ
Γ
→ Γ
(
f
) :
(
M
)
(
N
)
và Cho
I J ,
I J ,
I J ,
)
chính là thu hẹp của do đó ta định nghĩa R-đồng cấu
I JΓ
− , ( )
I J MΓ , (
Γ
→
Mod
Mod
:
. Từ đây ta định nghĩa được hàm tử f trên
R
R
I J ,
là một hàm tử hiệp biến cộng Định nghĩa 2.1.2.Hàm tử
)
tính, ta gọi đây là hàm tử (I,J)-xoắn.
I J MΓ , (
Γ
=
) 0
là môđun (I, J)-xoắn của M. Với M là một R-môđun ta định nghĩa
= ta nói M là
I J M M , ( )
I J MΓ , (
ta nói M là môđun (I, J)-xoắn, nếu Nếu
Γ
≡ Γ là hàm tử I-xoắn quen thuộc trong đối
môđun (I, J)-không xoắn.
,I J
I
Nhận xét rằng khi J = 0 thì
− là hàm tử khớp trái.
đồng điều địa phương.
I JΓ
, ( )
Bổ đề 2.1.3.Hàm tử (I,J)-xoắn
17
f
g
L M N
0
Chứng minh.
→ → → → ta cần chứng minh dãy:
Γ
Γ
I J ,
I J ,
→ Γ
( ) f → Γ
( ) g → Γ
0
L
M
N
Cho dãy khớp các R-môđun: 0
, I J
, I J
, I J
Γ
Γ
Γ
f
)
f
)
là khớp.
, ( I J
, ( I J
I J g , ( )
Γ
Γ
Γ
⊆
Γ
0
f
g ( ).
(
) 0
Im
(
f
)
Ker
g ( )
g f = ta suy ra
= do đó
Do là thu hẹp của fnên là đơn cấu. Hơn nữa vì là thu
I J ,
I J ,
I J ,
I J ,
Γ
⊇
Γ
Im
(
f
)
Ker
g ( )
hẹp của g và .
I J ,
I J ,
∀ ∈
Γ
∈Γ
x Ker
x
M
)
Ta chỉ cần chứng minh .
g x = và ( ) 0
1n ≥ sao cho
g , ( ) I J
, ( I J
∈
⊆
y L f y : ( )
x
nI
( ) Ann x
J
+ và tồn tại
= , do f là đơn cấu nên ta có:
⊆
+ =
+ =
nI
J Ann f y
Ann x ( )
( ))
(
J Ann y ( )
+ J
∈ Γ
⇒ ∈ Γ
Γ
⊇
Γ
y
L ( )
Im
x
(
f
)
Im
(
f
)
Ker
g ( )
, ta có . Do đó có
I J ,
I J ,
I J ,
I J ,
suy ra ta có điều Vậy
phải chứng minh.
i
Định nghĩa 2.1.4. Với i là số tự nhiên, ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải thứ i
I JH : hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan
,
,I JΓ là hàm tử
của
i
)
I,J.
, (
I JH M là môđun đối đồng điều địa
Với M là một R-môđun ta định nghĩa
H
H≡
Γ ≡ Γ nên suy ra
phương thứ i của M theo (I,J).
i I
,0
i I
,0I
I
, hàm tử đối đồng Nhận xét rằng nếu J = 0 thì
điều địa phương theo một cặp iđêan chính là mở rộng của hàm tử đối đồng điều
địa phương quen thuộc.
18
Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương theo
cặp iđêan (I, J).
Mệnh đề 2.1.5.Cho I, I’, J, J’ là các iđêan của vành R; i là số tự nhiên bất kỳ và
Γ
Γ
= Γ
Γ
M
M
(
(
))
(
(
))
M là một R-môđun. Ta có:
I J ,
I J ',
'
I J ',
'
I J ,
Γ
⊇ Γ
I
(
M
)
(
M
)
. i.
I⊆ thì '
I J ',
I J ,
Γ
⊆ Γ
J
(
M
)
(
M
)
ii. Nếu .
J⊆ thì '
I J ,
'
I J ,
Γ
Γ
= Γ
(
(
M
))
)
iii. Nếu .
I J ,
I J ',
M+ ( ', I J
I
Γ
Γ
= Γ
= Γ
(
(
M
))
(
M
)
)
iv. .
'
'
, I J
, I J
, I JJ
M∩ ( ' J
, I J
=
H
M H M
(
(
)
)
v. .
,
i + I J J
i , I J
i
=
H M H
M
)
(
(
)
. vi.
i , I J
, I J
=
(
)
(
)
H M H
M
. vii.
i I J ,
i I
,
J
viii. .
Chứng minh. Các tính chất này đều được suy ra từ định nghĩa và chứng minh
khá dễ dàng. Sau đây là chứng minh của phần (vii).
n
i
⊆
∈ Γ
(
Ann x ( )
J
I
x
M
)
)⊇ Lấy
+ , ta suy ra:
Đầu tiên ta chứng minh tính chất này cho hàm tử (I, J)-xoắn.
I J
, (
n
∈ Γ
⊆
⊆
x
M
)
nI
I
Ann x ( )
J
+ , từ đây suy ra
thì tồn tại n ∈ sao cho:
i , ( I J
∈ Γ
⊆
x
M
)
(
nI
Ann x ( )
J
)⊆ Ngược lại lấy
+ , do
.
i , ( I J
m
m n .
I
I
n ⊆ ⊆ I
Ann x ( )
I⊆ do đó
+ J
thì tồn tại n ∈ sao cho:
i
∈ Γ
x
M
)
R là vành Nơte nên tồn tại m ∈ sao cho
I J
, (
nên suy ra .
Γ
≡ Γ mà do hàm tử dẫn xuất phải là duy nhất nên ta có điều
19
I J ,
I J ,
Vậy ta có:
phải chứng minh.
i
(
)
IH M có liên hệ
⊆
V I ( )
)
Spec R I ( |
Ta biết rằng tính chất của môđun đối đồng điều địa phương
{ = ∈ p
} p . Và khi ta mở rộng lên thành
chặt chẽ đến tập hợp
môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan thì ta có tập hợp sau.
n
⊆
I J
W( ,
)
Spec R I (
)
J n ,
|
p+
{ = ∈ p
} 1
=
I J
)
V I ( )
Định nghĩa 2.1.6. Cho I, J là hai iđêan của R. Ta định nghĩa tập hợp sau:
I J . )
nhận xét rằng khi J = 0 thì W( , lại đưa về định nghĩa quen thuộc.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập W( ,
⊇
I J
) W( ',
I J
)
I
'
I⊆ thì W( ,
Mệnh đề 2.1.7.Cho I, I’, J, J’ là các iđêan của vành R. Ta có:
⊆
J
'
I J
) W( ,
I J
')
J⊆ thì W( ,
. i. Nếu
+
=
I
I J ',
) W( ,
I J
∩ ) W( ',
I J
)
. ii. Nếu
=
∩
=
I JJ
') W( ,
I J
J
') W( ,
I J
∩ ) W( ,
I J
')
. iii. W(
=
=
I J
) W(
I J ,
I ) W( ,
J
)
. iv. W( ,
,
)R m là vành địa phương, I là iđêan thực sự không là m - nguyên sơ thì:
v. W( , .
=
∈
⊄
W(
I , )
W(
,
J
)
Spec R
(
) |
I
m
m
p
p
{
}
⊂
J
I
=
=
V I ( )
W( ,
I J
)
W( ,
I J
)
vi. Nếu (
∈
J
J Spec R V I (
( )
)\
vii.
20
Chứng minh.
Từ (i) đến (v) chứng minh dễ dàng, sau đây là chứng minh của phần (vi) và
n
n
I
I
⇔ ∃ ≥
W(
I , )
0 :
laø
nguyeân sô
p
m
m
⊆ + ⇔ + p
p m -
(vii)
I hoặc + =p R
∈
J
=m R
(vi) Với ∈
m . , J )
J thì +J m cũng là m - nguyên sơ hoặc +
I⊄p
. Nếu ⊂I nên W( p
I I thì + =p
I là
Mặt khác I không là iđêan m - nguyên sơ nên ( nếu ⊆p
∈
∈
⊄
J
Spec R
I
W(
,
)
(
) |
p
m
p
p
J
= + I
iđêan m - nguyên sơ (!)).
p thì
{
}
⊂
J
I
∈
+
⊂I
,
J
= ) W(
,
I
p
m
m
J , do đó ta được W(
p . Từ đó suy ra +I )
p là iđêan m -
I
. Đặt Ngược lại, với mọi
⊆
⊆
I J
V I ( )
W( ,
)
W( ,
)
nguyên sơ hoặc + =p R , ta được điều phải chứng minh.
I J , ta cần chứng
∈
J
J Spec R V I (
( )
)\
⊆
∉V I ( )
∈ Spec R V I ( ) (
) \
p
p
W( ,
I J
)
( )
(vii) Dễ dàng thấy rằng
V I . Giả sử
∈
)\
(
( )
J Spec R V I
∉
I W( , )
p
I J
W( ,
)
p
p . Suy ra
minh , ta có và
∈
)\
(
( )
∉ J Spec R V I
. Ta có điều phải chứng minh.
Γ
=
)
( )
)
(
⊆ Supp M V I thì
I M M , sau đây là mở (
Theo mệnh đề (1.8.2) nếu
rộng của mệnh đề này trong đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan.
Mệnh đề 2.1.8. Cho M là một R-môđun, các mệnh đề sau là tương đương.
⊆
Min M (
) W( ,
I J )
i. M là môđun (I, J)-xoắn.
⊆
s M
) W( ,
I J )
ii.
⊆
Supp M
(
) W( ,
I J )
iii. As (
iv.
21
⊆
⊆
Min M (
) As (
s M
)
(
iv
)
⇒ ⇒ iii (
)
ii ( )
Chứng minh.
Supp M nên ( )
∈
)⇒ii ( )
∈ Supp M
(
)
∈ Min M
(
)
I J
)
p
q
iv : Với (
Do là hiển nhiên.
p. Vì W( , q
∈
0≥n
I J
)
J
J
nI
q
, tồn tại sao cho ⊆q
p . Vậy W( , p
∈ s M As (
)
= Ann x ( )
p
p
)⇒i iii : Nếu ( ( )
sao cho ⊆ + ⊆ + . nên tồn tại
⊆ +
nI
J Ann x ( )
⊆ + J
p . Do đó
thì tồn tại ∈x M sao cho . Vì M là môđun
∈
W( ,
I J
)
p
(I, J)-xoắn nên tồn tại số tự nhiên n sao cho
Γ
⊇
( )⇒iv (
)
)
i : Ta cần chứng minh rằng
M . Với mọi ∈x M , do Rx là
, ( I J M
=
)
...
( Min Rx
)
(
Min Rx là hữu hạn.Ta đặt tập
.
{
}
, p p 1 2
p s
⊆
⊆
⊆
Min Rx (
)
Supp Rx (
)
Supp M
(
) W( ,
)
môđun hữu hạn sinh nên tập
I J , nên với mỗi 1 ≤ ≤i
s đều tồn tại
n
in
=
I
⊆ + J
J
n
)
. Vì
s , suy
0≥in
p . Chọn i
p với mọi 1 ≤ ≤i i
n thì ⊆ + I i
max( ≤ ≤ i s 1
ns
⊆ + ∩ ∩ ∩
I
⊆ + J
(
)
...
J
sao cho
p p 1 2
p 2
p 1
... p s
p s
=
=
...
( ) Ann x
Ann
(R ) x
=
p
ra
p p 1
= ∩ ∩ ∩ p 2
p , mà R s
x Supp(R )
x Min (R )
∈ p
∈ p
∩ ∩ ∩
⊆m
0≥m
...
Ann x ( )
Mặt khác
)
p 1
p 2
p s
mns
⊆ +
I
( )
x
J Ann x , từ đây suy ra
M . )
là vành Noether nên tồn tại . Kết hợp sao cho (
∈ Γ I J , (
với bên trên ta có:
Hệ quả 2.1.9.
x
M )
1. Các mệnh đề sau đây là tương đương cho phần tử ∈x M .
∈ Γ I J , (
⊆
Supp Rx (
) W( ,
I J )
i.
ii.
→ → → → L M N
0
22
. Khi đó M là R-môđun 2. Cho dãy khớp các R-môđun: (*) 0
(I,J)-xoắn khi và chỉ khi L và N cũng là R-môđun (I, J)-xoắn.
0≥n
x
( )⇒i ii ( )
Chứng minh.
M thì )
∈ Γ I J , (
⊆
+ =
+
Γ
=
nI
J Ann Rx
Ann x ( )
(
)
)
J , do đó
Rx nên theo mệnh đề (2.1.8) ta
I J Rx , (
⊆
Supp Rx (
) W( ,
Với tồn tại sao cho 1.
I J . )
⊆
Γ
=
( )⇒ii ( )
Supp Rx (
) W( ,
)
)
Rx
i Nếu
I J thì theo mệnh đề (2.1.8) ta có
I J Rx , (
∈ Γ
⊆ Γ
x
(
Rx
)
(
có
M . )
I J ,
I J ,
∪
= Supp M Supp N )
(
(
)
( )
Supp L .
nên suy ra
2. Do (*) là dãy khớp nên ta có đẳng thức
Γ
=
⇔
⊆
(
)
(
)
) W( ,
)
(
M
M
I J
, I J
∪
⇔
)
⊆ ( ) W( ,
)
(
Supp L
I J
Supp N
)
⊆
(
)
Supp N
) W( , ⊆ ( ) W( ,
I J )
I J
Supp L
Γ
=
(
)
N
N
, I J
Γ
=
( ) L
L
, I J
Supp M ( ⇔ ⇔
Do đó theo mệnh đề (2.1.8) ta có:
Ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề tiếp theo sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa môđun (I,J)-xoắn và môđun I-
xoắn.
Mệnh đề 2.1.10. Nếu M là R-môđun (I,J)-xoắn thì M/JM là I-xoắn. Ta có chiều
ngược lại nếu M là môđun hữu hạn sinh.
⊆
Supp M
(
) W( ,
I J . )
Chứng minh. Theo mệnh đề (2.1.8) ta có M là môđun (I,J)-xoắn khi và chỉ khi
23
⊆
(
)
/
Supp M JM V I ( )
⊗
⊆
∩
∩
⊆
= Supp M JM Supp M R J
(
(
)
/
/
)
Supp M V J )
⊆ ( ) W( ,
I J
(
)
V J ( )
)⇒ Ta có (
( )V I , do đó M/JM là môđun I-xoắn.
(
)⇐ Nếu M là môđun hữu hạn sinh và M/JM là môđun I-xoắn, ta cần chứng
Áp dụng mệnh đề (1.8.2) thì ta có M/JM là môđun I-xoắn khi và chỉ khi
minh M là môđun (I,J)-xoắn.
x M∈ . Theo
1n ≥
n
n
⊆
∩ ⊆
∩
J Rx (
)
(
)
J M Rx
− 1 J J M Rx
⊆ Jx
Cho bổ đề Artin-Rees ta có thỏa
n
n
⊗
(
)
(
/
/
= Supp M J M Supp M R J
) n
=
∩
(
)
(
∩
= =
) Supp M V J ( ) ) Supp M V J ⊆ ) /
( (
( ) Supp M JM V I
/
nM J M cũng là R-môđun I-xoắn.
Mặt khác do M/JM là I-xoắn nên ta có:
n J M⊆
Từ đó suy ra
0m ≥ sao cho: m I x
n
⊆
m I x
J M Rx
x
∩ ⊆ nên Jx
Do đó tồn tại
M∈ Γ ,I J
. Ta có điều phải chứng minh. Suy ra
Γ
=
M
s M
I J
s As (
(
)) As (
∩ ) W( ,
)
I J ,
Γ
)
≠ ⇔ 0
As (
s M
∩ ) W( ,
I J
)
Mệnh đề 2.1.11.Cho M là một R-môđun, ta có đẳng thức:
≠ ∅ .
I J M , (
Từ đây ta có
Chứng minh.
Γ
⊆
(
s As (
M
) W( ,
I J
)
)⊆ Vì
24
,I J MΓ
I J ,
Γ
⊆
Γ
s As (
M
) As (
s M
)
⊆ nên
là môđun (I,J)-xoắn nên theo (2.1.8) ta có ,
,I J M M
I J ,
∈
x M∈
(
As (
s M
∩ ) W( ,
I J
)
Ann x ( )
p
p =
)⊇ Với mọi
. mà
{ } \ 0
n
n
⊆ +
≥
I
J Ann x ( )
⇒ ∈ Γ x
M
n
0 :
I
J
⊆ + p. Do đó ta có
. Tồn tại sao cho và
, I J
∈
Γ
Ann x ( )
M
s As (
)
p =
p
.Mặt khác tồn tại
I J ,
nên ta được .
Spec R
(
)
∈p
I J
)
(
)
/
∈p
, khi đó ta có: Mệnh đề 2.1.12.Cho
E R p là môđun (I, J)-xoắn
I J
)
(
)
/
thì i. W( ,
E R p là môđun (I, J)-không xoắn
∉p ii. W( ,
thì
⊆
As
/
W( ,
I J
)
I J
)
)
(
/
) p
Chứng minh.
E R p là môđun (I, J)-
∈p i. Với W( ,
( s E R (
) { } = p
thì nên
I J
)
xoắn.
∉p ii. Với W( ,
∩
=
∩
= ∅
As
/
I J
)
W( ,
I J
)
( s E R (
) ) W( , p
{ } p
Γ
(
/
0
thì ta có:
) =p )
( I J E R ,
. Ta có điều phải chứng minh. Do đó
Mệnh đề 2.1.13. Cho M là R-môđun (I, J)-xoắn. Khi đó tồn tại một phép giải
nội xạ của M sao cho mỗi phần tử đều là R-môđun (I, J)-xoắn.
0
0
=
⊆
As (
s E
) As (
s M
)
E
E M= (
)
Chứng minh.
W( ,
)
I J nên theo mệnh đề (2.1.8) thì
0E là R-môđun (I, J)-xoắn.
là R-môđun (I, J)-xoắn. Vì Nhận xét rằng
25
0E .
Do vậy, một R-môđun (I, J)-xoắn có thể nhúng vào một R-môđun (I, J)-xoắn
nội xạ
− 1
nd
− 1
n
0
0 → → → → E
......
M
E
E
n →
n
1
0 E E ,
...,
E là các R-môđun (I, J)-xoắn và nội xạ.
Ta chứng minh quy nạp, giả sử có dãy khớp các R-môđun:
− 1
− 1
n
n
n
=
=
/ Im
C Coker d
E
d
với
Đặt , do đó theo mệnh đề (2.1.9) phần (2) thì C là
1nE + .
R-môđun (I, J)-xoắn. Theo phần đầu của chứng minh ta có thể nhúng C vào một
1nE + ta có hai dãy khớp sau:
R-môđun (I, J)-xoắn nội xạ
− 1
nd
0
− 1
n
n
→ →
0
....
M
E
E
C
+ 1
→ → → → E n
0
→ → C
E
Do cách đặt C và nhúng C vào
0
n
− 1
n
n
0
→ → → → E
....
M
E
E
E
+ 1 → →
Vậy ta có dãy khớp:
Ta được điều phải chứng minh.
i
) 0
0
Hệ quả 2.1.14. Cho M là một R-môđun. Ta có những điều sau:
i∀ > .
, (
I JH M = ,
H
(
0
i. Nếu M là môđun (I, J)-xoắn thì
= , )) 0
i∀ > .
i , I J
MΓ ( , I J
M
/
ii.
MΓ , I J
Γ
≅ H M H M )
(
(
/
(
M
))
0
iii. là R-môđun (I, J)-không xoắn.
i∀ > .
i , I J
i , I J
, I J
i
)
, iv.
i ≥ . 0
, (
I JH M là (I, J)-xoắn với mọi
v.
26
Chứng minh.
i. Theo mệnh đề (2.1.13) ta có phép giải nội xạ của M mà các phần tử đều là R-
id
1
0
i
i
0
....
E
E +
→ → → → → E ....
i
Γ
=
)i
d
0
môđun (I, J)-xoắn và nội xạ.
i∀ ≥ . Từ đây suy ra:
I J d , (
i
i
− 1
i
i
− 1
=
Γ
Γ
=
H M K
(
)
er
(
d
) / Im
(
d
)
K d er(
) / Im(
d
0
= , ) 0
i∀ > .
i I J ,
I J ,
I J ,
, Do đó ta có
Chiều ngược lại của mệnh đề này là đúng nếu như M là R-môđun hữu hạn
sinh. Ta sẽ chứng minh trong hệ quả (2.4.2).
,I J MΓ
là R-môđun (I, J)-xoắn nên theo (i) ta có đpcm. ii. Do
→ Γ
→ → Γ
0
(
)
/
(
)
M
M
M
M
→ (*) 0
I J ,
I J ,
iii. Ta có dãy khớp:
→ Γ
Γ
→ Γ
→ Γ
Γ
→
Γ
0
(
)
/
(
)
(
)
M
M
M
M
H
M
I J ,
I J ,
I J ,
I J ,
I J ,
1 I J ,
I J ,
(
)
)
(
)
(
H
)
0
Từ đây ta suy ra dãy khớp:
= do (ii) nên ta có:
1 I J ,
MΓ , ( I J
(
)
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
M
/
(
M
)
M
/
(
M
)
M
/
M
0
= (đpcm)
(
)
, I J
, I J
, I J
, I J
, I J
, I J
, I J
(
)
( ≅ Γ
)
(
)
( = Γ
)
Mà
→ Γ
Γ
→ Γ
Γ
→
Γ
0
M
)
M
M
/
(
M
)
H
(
I J ,
I J ,
I J ,
I J ,
I J ,
1 I J ,
I J ,
Γ
→
( →
) Γ
( →
) Γ
→
→ → ....
( H
) (
M
)
/
(
M
)
H
(
M
)
....
)
i I J ,
I J ,
( i H M I J ,
I J ,
+ i 1 I J ,
I J ,
( (
→ Γ )
( i H M I J ,
M ) (
)
)
0
H
)
= , 0
i∀ > do (ii) nên ta có đẳng cấu:
iv. Từ dãy khớp (*) ta có dãy khớp dài
i , I J
MΓ , ( I J
(
)
Do
Γ
≅ H M H M )
(
(
/
M
)
i , I J
i , I J
, I J
27
id
1
1
0
i
i
0
E
E
E
E +
→ → → → → → .... .....
i
1
i
=
Γ
Γ
H M K
(
)
er
(
d
) / Im
d −
(
)
0
i ≥ theo định nghĩa ta có:
v. Lấy một phép giải nội xạ của M:
i I J ,
I J ,
I J ,
i
i
Γ
⊆ Γ
er
(
)
(
)
K
d
E
Với mọi
, I J
, I J
mà là R-môđun (I, J)-xoắn nên theo mệnh đề (2.1.9) phần
(2) ta có điều phải chứng minh.
na
Định nghĩa 2.2.1.Cho R là vành, J là một iđêan của R, với mỗi phần tử a R∈ ta
j+ với n ∈
,a JS
J∈ .
là tập con của R chứa tất cả các phần tử có dạng định nghĩa
n
=
+
∈
a
| j n
J
∈ , j
a JS ,
{
}
và j
,a JS
Nhận xét rằng là một tập con nhân của R. Với mỗi R-môđun M, ta ký
,a JM là môđun các thương của M theo
,a JS
M
S M−=
a J ,
1 a J ,
: hiệu
,a JC •
R
R
0
0
C
a J ,
a J ,
Định nghĩa 2.2.2.Với mỗi phần tử a R∈ , ta định nghĩa phức như sau:
1,a=a
,a JR ở vị trí thứ nhất trong phức. Với một dãy
a các phần tử trong R, ta định nghĩa phức
trong đó R ở vị trí thứ 0 và
,JC •
như sau:
a 2,... s
C
J
28
• a J , i
s
s
= → →
→
→
0
→ → ...
...
...
0
R
R
R
R
(
)
(
)
a J , i
a J , i
a J , 1
∏
∏
(
)
a J , j
a j , s
<
i
i
j
= 1
s = ⊗ = i 1
0
J = thì phức
,JC •
sẽ trở thành phức Cech quen thuộc C • Ta thấy rằng nếu
=a
a a , 1 2
a ,... s
trong định nghĩa (1.8.4) theo , nên định nghĩa ở trên chính là phức
Cech suy rộng.
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của phức Cech suy rộng.
J∈
Tính chất 2.2.3. Cho a R∈ ; I,J là hai iđêan của R,khi đó ta có:
,a JS
J∈
i. chứa 0 khi và chỉ khi a .
R• ≅ .
aC
≠ ∅
I J
)
∈p
p
, thì ta có đẳng cấu giữa các phức ii. Nếu a
I∈ .
,a JS∩
0
I∈ thì ta có
= với mọi
i ≥ . 0
iii. Một iđêan nguyên tố W( , khi và chỉ khi với mọi a
, a J
( i H M , I J
)
=
(
,....,
I
a
iv. Nếu a
, a a 1 2
)s
s
→ Γ
0
(
)
M
M
M
, I J
, a J i
→ → ∏
= 1
i
thì ta có dãy khớp sau: v. Nếu
n
≥
∈
=
n
0,
j
J
: 0
a
j
0
na
= − ∈ ⇒ ∈ J
a
j
J
Chứng minh.
+ . Ta suy ra
a JS∈
,
n
n
≥
n
a
= ∈ ⇒ = J
j
a
− ∈ j
S
0 :
0
J∈
thì tồn tại . i. Nếu
, a J
R
S R−=
J∈
0
Ngược lại nếu a thì tồn tại .
= 0
1 a J ,
a J ,
a JS∈
,
0
0
R
thì theo (i) ta có . Từ đây ta suy ra ii. Giả sử rằng a
• = → → ≅ . R
)
(
a JC ,
nên theo định nghĩa thì
≥
W( ,
I J
)
n
0 : n I
J
∈p
29
I∈ . Khi đó tồn tại
⊆ + p . Vì
(
)⇒ Với
n
n
n
n
=
∈
∈
c
a
j
S
j
J c ,
:
a
= + j
c
a
J
I
− ∈ ∩p
p
∈ ⊆ + p nên tồn tại
iii. và a
a J ,
≠ ∅
p
. Vậy nên
,a JS∩
≠ ∅
p
.
I∈ . Với mỗi a
I∈ ta chọn một phần tử
(
)⇐ Giả sử
,a JS∩
n a (
)
∈
∈
=
+
n a ( )
j a , ( )
J
c a ( )
a
j a ( )
c a ( )
S
∈ ∩p
với mọi a
a J ,
)
=
= −
+
I
(
,...,
a
n aa (
j a ( )
c a ( )
J
∈ + p . Mà do R là vành Nơte nên
, phần tử này có dạng với . Do
a a , 1 2
)s
)in a (
), (
),.... (
n a sao cho
J∈ + p với mọi 1 i
≤ ≤ . Đặt s
,như đó
n a n a ( 1 2
)s
ia
s
W( ,
)
nI
J
I J
⊆ + ⇒ ∈ p
p
)
n
vậy ta chọn được
( n a i
= ∑
= 1
i
E •
thì ta được .
I∈ . Ta chọn E • là một phép giải nội xạ tối tiểu của M, khi đó (
i
=
Γ
H
E •
(
)
iv. Với a
,a JM . Do đó ta được
, a J
, I J
, a J
( i H M , I J
)
(
) ,a J )
iE
. là một R-phép giải nội xạ của
µ
)
( , p
i
E
/
) i M p
thành tổng trực tiếp của các môđun nội xạ Biểu diễn mỗi
E R ( R
(
)
Spec R
= ⊕ ∈ p
M
M
)
)
( , p
( , p
i
E
E
R
/
(
/
µ ) i
µ ) p i
R p
E R ( R
R
, a J
, a J
(
)
(
)
a J ,
, a J
, a J
(
)
(
)
Spec R
Spec R
= ⊕ ∈ p
= ⊕ ∈ p
ta có:
I∈ ta được:
)
M
( , p
i
Γ
=
(
)
(
/
µ ) i
0
E
E
R
R
p
, I J
, a J
, I J
R
, a J
, a J
(
)
a J ,
(
)
= ⊕ Γ W ( ,
)
I J
∈ p
0
Do đó dựa vào (iii) và giả thiết a
= với mọi
i ≥ . 0
, a J
( i H M , I J
)
s
∈
∈ Γ
er x K M
M
)
x
M
Từ đây ta suy ra
, ( I J
, a J i
∏
= 1
i
→
khi và chỉ khi . v. Ta chỉ cần chứng minh
∈ Γ
x
M
)
)⇒ Với (
30
0n ≥ sao cho
Jx∈ với mọi
, ( I J
n ia x
−
1 i
s
s
0
≤ ≤ . Do đó với mỗi 1 i
≤ ≤ thì tồn tại
J∈ sao cho (
= và ta cũng
ib
n a i
b x ) i
s
∈
x K M er
M
(
S
thì tồn tại số tự nhiên
n a i
− ∈ ) b i
, a J
, a J i
∏
= 1
i
→
s
in
∈
x K M er
M
a
S
(
)⇐ Với
dễ thấy rằng . Vậy ta suy ra .
+ ∈ b i
a J ,
, a J i
∏
= 1
i
→
in
+
a
(
0
bx
Jx
= từ đây suy ra
= − ∈ . Do đó tồn tại số n đủ lớn sao cho
b x ) i
n ia x
⊆ ⇒ ∈ Γ
n I x
Jx
x
M
)
Thì với mọi i đều tồn tại sao cho
, ( I J
.
=
I
=a ( )
(
a ,...
a a , 1 2
)s
i
≅
0
M
(
là một iđêan của Định lý 2.2.4. Cho M là một R-môđun, và
i ≥ ta có đẳng cấu tự nhiên sau:
⊗a
• ,
i , I J
J
R
( H M H C )
)
R. Khi đó với mọi .
≅ Γ
M
M
)
, ( I J
Chứng minh. Từ mệnh đề (2.2.3) phần (v) ta đã có đẳng cấu tự nhiên:
)
L M N
→ → → → . Do mỗi phần 0
1S M−
Với một dãy khớp bất kỳ các R-môđun 0
,JC •
đều là R-môđun phẳng ( vì là phẳng nếu M là môđun tử trong phức
→ ⊗ → ⊗ → ⊗ →
0
0
N
L
J
J
J
phẳng) nên ta có dãy khớp của các phức
→
0
....
J
J
J
J
i
i
− 1
+ 1
→
...
H
H
J
J
J
J
. Từ đây ta có được dãy khớp dài:
) ⊗ → L ) ⊗ → N
) ⊗ → M ) ⊗ → L
) ⊗ → N ) ⊗ → M
) ⊗ → L ) ⊗ → N
(
) ⊗ → L
0
Vậy ta chỉ cần chứng minh với mọi R-môđun nội xạ E và
0
i > . Do sự phân tích thành tổng trực tiếp của môđun nội xạ nên ta chỉ
với mọi
/
0
E R⊗ (
31
,
J
cần chứng minh với mỗi p là iđêan nguyên tố của R. Ta
) =p )
1s = , ta có:
sẽ chứng minh bằng quy nạp theo s là độ dài của a .
→
→
E
0
/
/
0
) p
) p
Nếu
E R ( R
E R ( R
(
)
a J , 1
(
),
J
)
/
∉p
E R p ( )
RE R p nếu / )
a 1W((
R
a J 1 ,
),
J
)
∈p
E R⊗ (
/
0
đẳng cấu với và bằng 0 nếu trong đó
a 1W((
J
,
. Trong cả hai trường hợp này thì ta đều có .
) =p )
=a '
,....,
a
1s > , và đặt
a a , 2 3
s
=
⊗
C
. Khi đó ta có đẳng thức Bây giờ ta giả sử
. Do đó theo định lý (1.7.12) ta có dãy phổ góc phần tư thứ ba:
J
,
J
• a J , 1
+ p q
=
⊗
⊗
⇒
⊗
H
E R (
/
E R (
/
) p
) p
J
J
p q , E 2
,
(
)
)
• a J , 1
( p H C
)
0
E R (
/
0
q > . Do đó
Theo giả thiết quy nạp thì ta có với mọi
) =p )
⊗
=
⊗
⊗
E R (
/
/
) p
) p
J
J
,
dãy phổ là suy biến theo trục p, và ta có đẳng cấu:
)
)
• a J , 1
)
⊗ Γ
=
(
E R (
/
)) p
J
,
E R ( )
• a J , 1
n
=
→ Γ
→
H
0
(
E R (
/
(
E R (
/
0
)) p
)) p
,
,
J
J
( → Γ
)
( n H C ( n H C (
, a J 1
E R (
/
0
2n ≥ . Theo mệnh đề
Từ đây ta thấy rằng với mọi
) =p )
Γ
)
/
/
, ( ( J E R
(2.1.12) thì
1
→
→
E R (
E R (
0
0
/
/
H
) p
) p
(
)
E R p . Vậy ta chỉ còn ( ) → = 0
, a J 1
1s = .
cần chứng minh rằng nhưng điều này ta hoặc là bằng 0 hoặc là bằng )) p (
đã chứng minh trong trường hợp
Vậy ta có điều phải chứng minh.
=a
,
,
,....,
a
32
a a a 1 2 3
s
( )
Hệ quả 2.2.5. Cho M là một R-môđun J-xoắn, là một dãy các
I = a . Khi đó ta có đẳng cấu tự nhiên
⊗
M
(
)
≅ ) H M H M
phần tử của R và iđêan
. Từ đó suy ra với mọi số tự nhiên i.
R
R
i , ( I J
i I
→
M
M
ϕ :
I∈ , ta có đồng cấu tự nhiên
a
a J ,
n
n
=
ϕ (
)
/ z a
/ z a
Chứng minh.Với a xác định như sau
n
= ∈
∈
ϕ (
) 0
/ z a
M
m
J
. Đầu tiên chúng ta sẽ chứng minh ϕ là một đẳng cấu.
∈ b ,
, a J
l 2
ma
(
b z− )
0
ma
(
b−
)
l ma 2
b−
(
)
= . Vì
. Khi đó tồn tại sao cho Giả sử rằng
l ∈ nên
l 2
−
l ma 2
(
b
)
z
0
= . Mặt khác do M là môđun J-xoắn nên tồn tại số tự nhiênl đủ lớn
2
n
0
l ma
z a /
= ∈ 0
M
l 2 b z = . Từ đây ta suy ra
z = nên 0
chia hết cho với mọi
a
. Vậy ta chứng minh thì
n
=
w
z
/ (
a
− ∈ ) b M
J∈
được ϕ là đơn cấu.
, a J
0
Để chứng minh ϕ là toàn cấu ta lấy với z M∈ và b
l 2 b z = . Ta viết
l 2
m
l 2
m
l m 2
m
−
=
−
=
−
(
a
b
)
c a .(
b
)
a
z
c a (
b z )
. Vì Mlà J-xoắn nên tồn tạil đủ lớn sao cho
c R∈ ,
n
l 2
m
l 2
m
=
−
=
=
w
z
/ (
a
b
)
cz a /
cz aϕ
(
/
)
với thì trong M. Vậy
nên ϕ là toàn cấu.
I∈ . Từ đây ta có
M M≅ a
a J ,
⊗
C
M C
M
với mọi a Do ϕ là một đẳng cấu nên ta có
I∈ . Và do đó ta có được đẳng cấu giữa các
• ,a J
R
• ≅ ⊗ a
R
với mọi a
⊗
⊗
⊗
= M C
C
⊗ ⊗ ....
C
M
phức:
J
R
• a J , 1
• a J , 2
• a J , s
≅
⊗
⊗
C
C
⊗ ⊗ ....
C
M
• a
• a 1
• a 2
s
M
R
Áp dụng định lý (2.2.4) và định lý (1.8.5) ta được:
i
i
=
⊗
⊗
=
(
(
)
(
M H M
)
(
)
33
i , I J
J
R
R
i I
i ≥
0)
, (
i I JH
|M
I
{
}
λ λ∈ là một hệ thuận thì ta sẽ có đẳng cấu tự nhiên:
≅
H
M
)
))
λ
λ
i , I J
i H M ( , I J
(lim λ
lim( λ
=a
là giao hoán với giới hạn thuận. Tức là: nếu Mệnh đề 2.2.6. Hàm tử
a a , 1 2
a ,... s
Chứng minh. Gọi là một dãy các phần tử trong R sinh ra I . Theo
định lý (2.2.4) và tính giao hoán của tích tenxơ và hàm tử đối đồng điều với giới
i
≅
⊗
≅
⊗
H
M
)
M
H
M
)
λ
λ
λ
hạn thuận, ta có:
i , I J
R
J
J
R
(lim λ
lim λ
lim( λ
≅
⊗
≅
M
))
)
λ
λ
J
R
i H M ( , I J
)
lim λ
lim( λ
R
R
:
'
ϕ → là
ϕ = ( ) J
J R .
'
Định lý 2.2.7. Cho I và J là hai iđêan của R, M’ là một R-môđun,
≅
')
(
')
H
M
một đồng cấu vành thỏa mãn tính chất . Ta có đẳng cấu tự nhiên
'
i ( H M , I J
i ', IR JR
=a
với mọi số tự nhiên i . giữa hai R’-môđun sau:
a a , 1 2
a ,... s
ϕ
(
ϕ ),... (
a
=a ( )
Chứng minh. Đặt là dãy các phần tử trong vành R sinh ra iđêan I,
ϕ ϕ a ( ), 1
a 2
)s
=
s
ϕ (
S
)
. Từ giả thiết ta có đẳng thức của hai tập con nhân đặt
≤ ≤ . Do đó ta có:
Sϕ (
),
JR
'
a J , i
a i
≅
⊗
≅
⊗
≅
M
M
H
M
')
')
')
(
')
trong R’: với mọi 1 i
• i H C ( ϕ (
),
'
'
i H M ( , I J
J
R
J
R
i ', IR JR
Ta được điều phải chứng minh.
34
I J
)
n
≥
n
0 :
I
J
I J
)
⊆ +a
Định nghĩa 2.3.1. Ta định nghĩa W( , là tập các iđêan a của R sao cho tồn tại
Γ
⊆ Γ
(
M
)
(
M
)
a
b . Khi đó với mọi R-môđun M ta có
. Sau đó ta trang bị cho W( , một quan hệ thứ tự bộ phận ≤
a
b
Γ
→ Γ
(
M
)
(
M
)
W( ,
I J ≤ ),
. như sau: ≤ ⇔ ⊇ a b
a
b
)
(
và các đồng cấu nhúng đi từ nếu Như vậy (
≤a b tạo thành một hệ thống thuận (direct system): { Γ
a
} W ( , M ∈ )
I J
)
a
.
Định lý 2.3.2. Cho M là một R-môđun, I và J là hai iđêan của vành R. Ta có
≅
)
)
i H M ( , I J
i H M ( a
)
lim ∈ W ( , I J a
đẳng cấu tự nhiên sau đây:
Γ
≅
Γ
(
M
)
(
M
)
I J ,
a
)
lim ∈ W ( , I J a
Γ
≅
Γ
M
M
(
)
(
)
Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh cho i = 0, hay:
a
a
W ( ,
I J
)
∈ a
)
lim ∈ W ( , I J a
Γ
=
Γ
(
)
(
)
M
M
Theo mệnh đề (1.5.4) ta có: nên ta chỉ cần chứng
, I J
a
W ( ,
)
I J
∈ a
∈ Γ
⊆
x
M
)
(
Ann x ( )
nI
Ann x ( )
J
=a
)⊆ Với
minh .
0n ≥ sao cho
+ . Đặt
, ( I J
∈
Γ
x
)
I J
)
a
(
)
x
M
thì tồn tại , ta
∈ có: W( ,
M∈ Γa (
a
W ( ,
)
I J
∈ a
∈
∈
Γ
x
)
I J
)
a
x
(
M
)
và nên
(
)⊇ Với
M∈ Γa (
a
I J
W ( ,
)
∈ a
n
m n .
0
,
mI
J
I
J
J
n x =
0
⊆ +a
n ⊆ + a
a
m n ≥ sao cho
thì ta có W( , và . Do đó tồn tại
( ⊆ + a
)
m n .
⊆ ⇒ ∈ Γ
I
x
Jx
x
M
)
, ( I J
L M N
0
→ → → → là một dãy khớp các R-môđun. Ta có dãy khớp dài
và . Vì nên suy ra
∈
I J
)
a
Với 0
: sau với mỗi W( ,
→ Γ
→
→
→
→
0
→ Γ → Γ ( ) L
(
M
)
(
N
)
)
)
....
a
a
a
1 H L ( ) a
1 H M ( a
1 H N ( a
35
→
Γ
→
Γ
→
M
N
0
Γ → L ( )
(
)
(
)
a
a
a
1 H L ( ) a
)
)
)
)
lim ∈ I J W ( , a
lim ∈ I J W ( , a
lim ∈ I J W ( , a
lim ∈ I J W ( , a
→
→
→
)
)
... (**)
1 H M ( a
1 H N ( a
)
)
lim ∈ I J W ( , a
lim ∈ I J W ( , a
0
iH E = (
) 0
i > ta có
Vì giới hạn thuận là hàm tử khớp, ta có dãy khớp dài sau:
a
với mọi a . Mặt khác với E là một R-môđun nội xạ và
= ) 0
Do đó:
i H E ( a
)
lim ∈ W( , I J a
=
(***)
i H i / a
)
lim ∈ W ( , I J a
0,1, 2,3....
là một Từ (*), (**) và (***) ta chứng minh được
,I JΓ nên ta suy ra điều phải chứng minh.
hệ thống các hàm tử dẫn xuất phải của
Hệ quả 2.3.3. Cho E là một R-môđun nội xạ; I, J là hai iđêan của R. Khi đó ta
Γ
)
có:
, ( I J E
i
) 0
1i ≥ .
là R-môđun nội xạ. i.
, (
I JH E = với mọi
ii.
i
Chứng minh.
, ( )
I JH − là hàm tử dẫn xuất phải của
− . Vậy ta chỉ cần chứng minh (i). Theo định lý (2.3.2) ta có đẳng
Ta thấy rằng (ii) là dễ dàng có được do
I JΓ
, ( )
hàm tử
Γ
≅
Γ
(
E
)
(
E
)
I J ,
a
)
lim ∈ W ( , I J a
cấu sau:
36
)EΓa (
Theo tính chất của hàm tử đối đồng điều địa phương thì ta có là R-
môđun nội xạ với mọi iđêan a của R. Do đó theo mệnh đề (1.5.7) ta suy ra điều
phải chứng minh.
=
=
V J ( )
W(
I , )
W(
m
m p , )
∈
I
J
J
W (
,
)
W (
,
)
m
∈ p
m
Bổ đề 2.3.4. Cho R là vành địa phương với iđêan tối đại m ,ta có:
n
J
I
,
⊆ + ⊆ + J
I
I
( )V J∈p
m
Chứng minh.
∈ m thì tồn tại )
0n ≥ sao cho
p suy ra
⊆
W(
, )I
∈p
V J ( )
W(
I , )
m .Do
, W( Với
m . Mặt
∈
W (
,
)
I
J
m
⊆
,
J
⊇ ) W(
J
)
,
m W(
W(
I , )
W(
m nên ta có
m
m p . , )
∈
I
W (
,
J
)
W (
,
J
)
m
∈ p
m
⊆
W(
V J ( )
đó ta có khác do
, ) m p
∈
W (
,
J
)
m
p
∉
( )V J
⇒ ⊄ J
q
W(
, )
q
m p mà
q .
Vậy ta chỉ cần chứng minh . Ta chứng minh phản
∈
W (
,
J
)
m
∈ p
=
x
\
r
R dim /
chứng, giả sử tồn tại
J∈ q và ta đặt
q.Do x là phần tử
/R q -chính quy nên suy ra
R
,
,
...,
,
,
...,
dim
= − r
1
Lấy
y − ∈ m sao cho
y y y 1 2 3
1
r
y y y 1 2 3
y − là 1 r
x ( )
+q
R
. Do đó tồn tại
x+q ( )
...,
)
(
...,
)
+q
+q
. Theo tính chất của hệ tham số thì ta suy ra một hệ tham số của của
x y y ( , , 1
2
y − r 1
y y , 1
2
y − r 1
Spec R
(
)
∈p
m -nguyên sơ. Do đó ta tìm được
là m -nguyên sơ còn thì không phải là iđêan
+
⊆ ⊂
(
...,
)
(*)
q
p m
y y , 1
2
y − 1 r
+
⊆
+ ⊂ +
...,
y
)
x ( )
J
q
p
sao cho:
p nên J + p cũng là iđêan m -
x y y ( , , 1
2
r
− 1
,
∈p
W(
, )
q
m mà )J
m p nên suy ra
Mặt khác vì
∈
W (
,
J
)
m
∈ p
W(
, )
∈q
m p , suy ra p = p+ q là iđêan m -nguyên sơ! Mâu thuẫn với (*), nên ta
nguyên sơ. Từ đó ta suy ra W(
37
có điều phải chứng minh.
I J
)
a b
a
b ,
Γ
⊇ Γ
M
M
(
)
(
)
Nhớ lại rằng tập W( , là tập sắp thứ tự bộ phận, trong đó ≤ ⇔ ⊇
I
I
,
, b
a
M
(
để ý rằng nếu ≤a b thì ta suy ra , từ đây ta có được một hệ
I
,
a
} )
W( ,
I J
)
∈ a
,
. thống nghịch { Γ
)R m , M là R-môđun.Ta có đẳng cấu tự
Γ
=
Γ
(
M
)
(
M
)
Mệnh đề 2.3.5. Cho vành địa phương (
I
,
J
m
J
I , )
lim ∈ W ( m
nhiên sau :
Γ
=
Γ
(
M
)
(
M
)
Chứng minh.
I
,
J
m
∈
J
W (
I , )
m
)
x
0
,
J
W(
I , )
Ta chỉ cần chứng minh rằng .
∈ m thì tồn tại
m n ≥ sao cho
mI x = và 0
(
)⊆ Lấy
M∈ Γ ( I
n
m n .
)
x
Jx
x
M
⊆ + I
J
m
m
,
, ( J
⊆ ⇒ ∈ Γm
Γ
⊆
Γ
M
M
(
)
(
)
. Từ đây ta suy ra . Vậy
I
J
,
m
∈
J
W (
I , )
m
∈
Γ
(
)
x
M
(
)⊇ Lấy
,
J
m
∈
W (
J
, ) I
m
I , )
∈ m ,
.
0n ≥ sao
n
⊆
Ann x ( )
+ ⇒ ∈ J
W(
J
,
Ann x
( ))
⊆ , ) W( I
,
Ann x
( ))
m
m
m
m
tồn tại cho Với mọi W( J
. Vậy ta có W( . Bây
=
⊆
=
V Ann x
J
J
( ))
(
W(
,
)
W(
,
)
V I ( )
m
m
∈
∈
J
Ann x
J
,
W (
( ))
W (
I , )
m
m
⊆
(
)
I
( ) Ann x
⇒ ∈ Γ x
M
giờ, áp dụng bổ đề (2.3.4) ta có:
I
Từ đây suy ra , ta có điều phải chứng minh.
38
=
depth M
W( ,
inf
∈p | p
} )
{
i
) 0
n
Định lý 2.4.1. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, đặt I J n thì ta có:
≤ < .
, (
I JH M = với mọi 0 i
i.
n , (
I JH M ≠ 0 )
ii.
E M• (
Chứng minh.
i E M (
/
(
)
Spec R
= ⊕ ∈ p M theo p.
giải nội xạ phép i M ( ) p, tiểu ) Lấy ) ) E R ( là µ p) với mọi 0 i≤ trong đó của M. Thì là số Bass thứ i của tối i Mµ p, (
(
)
M
p,
Γ
= Γ
(
))
(
/
)
i ( E M
( E R
µ p) i
, I J
, I J
(
)
⊕ Spec R
∈ p
(
)
(
)
M
M
p,
p,
= Γ
⊕ Γ
(
/
)
(
/
)
( E R
( E R
µ p) i
µ p) i
, I J
, I J
⊕ W ( ,
)
⊕ W ( ,
)
I J
I J
∈ p
∉ p
(
)
M
p,
= Γ
(
/
)
( E R
µ p) i
, I J
⊕ W ( ,
)
I J
∈ p
(
)
M
p,
/
(*)
( E R
µ p) i
)
I J
= ⊕ ∈ W ( , p
≤
=
≠
n depth M
inf
|
)
I J
)
Mµ ( p,
∈p
Áp dụng mệnh đề (2.1.12) ta có:
{ i
} 0
i
p
= ⇒
Γ
n
i
i E M (
)) 0
(
= ∀ ≤ < . ) 0, 0
thì ta có nên ta
, I J
Γ
0
)
(
))
≠ , 0
n , (
I JH M ≠ . Từ (*) ta thấy rằng
n I J E M , (
Γ
(
)
được Mặt khác nếu W( , i H M ( , I J
,
)
do đó phức chỉ xuất phát từ phần tử thứ n. Ta có biểu đồ giao hoán Bây giờ ta cần chứng minh ( I J E M•
n
→
→ Γ
→ Γ
0
)
n E M (
(
))
+ 1 E M (
(
))
n H M ( I J ,
I J ,
I J ,
n
− 1
n
n
n
d →
d →
− 1 E M (
)
n E M (
)
+ 1 E M (
)
sau:
n
n
− 1
=
⊆
K d er
Im
d
n E M (
)
trong đó hai dòng là khớp, hai mũi tên cột là phép nhúng tự nhiên.
n
1
= Γ
∩
)
n E M (
(
))
K d − er
≠ 0
n H M ( , I J
i I J ,
Vì là mở rộng thiết yếu, nên ta có:
39
Vậy ta được điều phải chứng minh.
,R m) là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi
Nhận thấy rằng định lý (2.4.1) này chính là mở rộng của định lý (1.8.8) quen thuộc trong đối đồng điều địa phương.
Hệ quả 2.4.2. Cho ( đó các mệnh đề sau là tương đương.
i
) 0
i. M là môđun (I,J)-xoắn.
, (
I JH M = với mọi i>0.
ii.
ii⇒ đã chứng minh trong phần (i) mệnh đề (2.1.14)
( ) i
(
)
Γ
ii
M
)
⊆ nên ta đặt
Chứng minh.
MN =
(
)
( ) i⇒ Vì
I J M , (
Γ
M
)
, ( I J
và ta cần chứng minh N =
0.
0N ≠ .Theo phần (iv) của mệnh đề (2.1.15) ta có:
M
Γ
= Γ
=
(
)
0
N
, I J
, I J
Γ
(
)
M
, I J
M
=
≅
H
∀ > i
(
)
),
0
i H N , I J
i , I J
i H M ( , I J
Γ
M
(
)
, I J
∈
≤
≤
< ∞
W( ,
I J
)
∈m
inf
I J
depth N
depth N
Giả sử
/ W( , p
p
m
{ depth N
} )
nên Mặt khác
=
0
i
inf
depth N
I J
.
(
) N ≠
i I JH ,
∈p p / W( ,
{
} )
ta có Theo định lý (2.4.1) thì với số
(vô lý)
,R m) là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh. Giả
Vậy ta có điều phải chứng minh.
M
= ∀ >
i
) 0,
dim
i H M , ( I J
JM
=
r
dim M
Định lý 2.4.3. Cho ( sử J R≠ khi đó ta có:
JM
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo .
M
0
1
40
r = − , khi đó
= nên theo bổ đề Nakayama ta được
0M = suy ra
JM
i
) 0
, (
I JH M = với mọi số tự nhiên i.
=
⊂
M
⊂ ⊂ ....
= M M
Với
1
s
j
r ≥ , ta có một lọc hữu hạn sau = R
Supp M
(
)
/
0 p , với
sao cho
M 0 0 s 0,1,...
∈p j
1
j
j
=
j
0,1,...
s
và Giả sử − ≅ M M / j
R
0
/
0
−→ M
j
→ → M j
→p j
1
=
j
0,1,...,
s
Do đó ta có dãy khớp sau với mỗi :
→
)
(
/
− → )
1
i H M ( , I J
j
i H M ( , I J
j
i H R , I J
p ) j
+
+
≤
=
=
) dim / (
)
) dim /
R
J
( R Ann M J
M JM r
p
: Từ đây ta suy ra dãy khớp với mỗi
j
Spec R
(
)
M R=
/
∈p
Lưu ý rằng: dim / (
p với
≅
H
R
(
/
/
) p
p . Do đó nếu thay R )
( J R
i H R , I J
i ( I R
/ ), p
/ ) p
/
Do đó ta có thể giả sử .
l
0
)
, (
I JH R ≠ , ta cần chỉ ra điều vô
As (
(
bởi ( Theo định lý (2.2.7) ta có ( )R p , ta có thể giả sử rằng R là một miền nguyên và M R= .
r> sao cho s H R ≠ ∅ . ))
))
As (
(0)≠q
lý. Để ý rằng lúc này ta có Bây giờ ta giả sử rằng tồn lại l l , I J
s H R chứa một iđêan nguyên tố
l , I J
0
( x ≠ thuộc vào q . Dãy khớp R
Đầu tiên ta giả sử rằng . Khi
R
R
0
0
→ , cho ta thu được dãy khớp:
x ( )
→
x →
RH (
)
(
)
(
)
− 1 l , I J
l H R , I J
l H R , I J
x ( )
R
= − < − 1
r
l
1
đó chọn một phần tử x → → →
+
J
x ( )
l
)
) 0
= . Điều này chứng tỏ rằngx là
, (
I JH R -chính quy. Nhưng x lại nằm
RH − 1 l , ( I J
x ( )
l
)
Lưu ý rằng dim nên theo giả thiết quy nạp ta suy ra được
, (
I JH R , nên x là ước của không trong
l
, (
I JH R (!). )
As (
))
trong iđêan nguyên tố liên kết q của
l s H R = ( , I J
⊆
∈
As (
(
)
{ } (0) I J )) W( ,
I J
)
Điều vô lý ở trên dẫn đến . Dựa theo mệnh đề (2.1.8) và
l s H R , I J
≥
n
J
, suy ra (0) W( , . Do đó
(2.1.14) phần (v) ta có rằng 0 : n ⊆ , suy I ra rằng với mọi x thuộc R ta đều có tồn tại
n
⊆
+ ⇒ ∈ Γ
I
J
Ann x ( )
x
(
41
, I J
l
) 0
. Điều này suy ra R là một R-môđun (I,J)-xoắn do
, (
) R I JH R = (mâu thuẫn!).
đó
i
>
dim /
R J
i
Vậy ta có điều phải chứng minh.
, (
I JH M = với mọi ) 0
Hệ quả 2.4.4. Cho R là một vành địa phương và M là một R-môđun (không cần thiết phải hữu hạn sinh). Thì ta có .
M
Chứng minh.
Mλ
= lim λ
M
λ
R
≥
=
dim /
dim
dim
R J
thể viết Do một R-môđun là giới hạn thuận của những môđun con hữu hạn sinh, ta có trong đó mỗi Mλlà một R-môđun hữu hạn sinh. Để ý rằng
+
(
(
))
JM
λ
λ
J Ann M M
λ
>
≥
i
dim /
R J
dim
. Do đó với
JM
λ
=
)
= ) 0
H Mλ (
i H M ( , I J
i , I J
lim λ
thì theo mệnh đề (2.2.6), ta có:
,
)R m .
J+ là iđêan m -nguyên sơ. Khi đó ta có đẳng thức:
≠
=
M JM
(
)
dim /
{ i i H M sup | , I J
} 0
Định lý 2.4.5. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương ( Giả sử I
0
Chứng minh.
r , (
I JH M ≠ với ) J+ là iđêan m -nguyên sơ nên theo mệnh đề (2.1.5)thì
i
r H M H M
Nhờ định lý (2.4.3) ta chỉ cần chứng minh rằng
,
= i , I J
J
M JM dim / = m ) (
M
→ → → JM M
0
→ ta suy ra được dãy khớp:
. Vì I ) ( với mọi số tự nhiên i. Do đó ta có thể giả sử I = m .
JM
M
→
→
(
)
(
)
(
)
H
H
JM
Từ dãy khớp 0
,
H M , J
J
r m
r m
+ 1 r , J m
JM
JM
M
≤
= ) 0
dim(
) dim(
)
(*)
JM+ r 1 , ( JH m
2 J M
2 J M
M
=
)
r
dim(
= . Hơn nữa, theo mệnh đề (2.2.5) và định lý không triệt tiêu của
JM
Theo định lý (2.4.3) ta có vì
Grothendieck (1.8.7) ta có:
M
M
=
≠
H
H
)
(
)
0
, ( J
r m
r m
JM
JM
0
)
r , (
I JH M ≠ (điều phải chứng minh).
42
Do đó từ dãy khớp (*) ta suy ra được
i
>
i
dim
M
Định lý 2.4.6. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, ta có:
, (
I JH M = với mọi ) 0
i
M
>
i
dim
i. .
+ . 1
, (
I JH M = với mọi ) 0
JM
ii.
Chứng minh.
≅
>
)
= ) 0
i
dim
M
i. Theo định lý (2.3.2) và định lý triệt tiêu của Grothendieck (1.8.6) ta có:
i H M ( , I J
i H M ( a
)
lim ∈ W ( , I J a
M
=
r
dim(
)
với mọi .
JM
a M+ )
0
1
. ii. Ta chứng minh bằng quy nạp theo
J∈ sao cho (1
ax
r = − thì theo bổ đề Nakayama ta có a = − ∈ nên Rx Jx
r
i
= . Do đó . Từ đây ta suy ra Mlà R-môđun (I,J)- 1
Khi
= ∀ > = + . ) 0, 0
Jx= i I JH M , (
với mọi x M∈ thì x xoắn. Mệnh đề(2.1.14) cho chúng ta
r ≥ sử dụng kỹ thuật chứng minh tương tự như định lý (2.4.3) ta sẽ có
0 điều phải chứng minh.
Khi
43
i
)
)
Trong luận văn này tôi đã làm được những điều sau đây:
, (
I JH M và một số tính chất
I J MΓ , (
)
, môđun • Đưa ra định nghĩa môđun
I J có một vai trò quan trọng
cơ bản (trong phần 2.1), và tập W( ,
trong việc nghiên cứu các tính chất này.
• Đưa ra định nghĩa phức Cech suy rộng tương ứng với môđun đối đồng
điều địa phương theo một cặp iđêan, và định lý (2.2.4) chỉ ra đẳng cấu
tự nhiên của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan và
i
)
phức Cech suy rộng.
, (
I JH M là giới hạn thuận của một hệ thuận các môđun đối
• Môđun
Γ
=
Γ
(
M
)
(
M
)
đồng điều địa phương, và mệnh đề (2.3.5) ta có
)m là vành địa phương.
I
,
J
m
J
I , )
lim ∈ W ( m
trong trường hợp (R,
• Một số định lý về tính triệt tiêu và không triệt tiêu trong phần (2.4).
Đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan là một vấn đề khá mới mẻ và
còn nhiều bài toán mở để nghiên cứu. Chẳng hạn như về tính Artin của môđun
đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan, tập các iđêan nguyên tố liên kết,
đối ngẫu Matlis hoặc biến đối iđêan…
44
[1] M. P. Brodman and R. Y. Sharp, Local cohomology: An Algebraic
Introduction with Geometric Application, Cambridge University Press,
Cambridge, 1998.
[2] R. Takahashi, Y. Yoshino and T. Yoshizawa, Local cohomology based on
a nonclosed support define by a pair of ideals, J. Pure Appl. Algebra 213
(2009), 582-600.
L. Chu and Q. Wang, Some results on local cohomology modules define by [3]
a pair of ideals, J. Math. Kyoto Univ. 49 (2009), no. 1, 59-72.
[4] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press,
1986.
[5] A. Grothendieck, Local cohomology, Lecture Notes in Mathematics 41,
Springer, 1967.
[6] L. Chu, Top local cohomology modules with respect to a pair of ideals,
Proc. Amer. Math. Soc, 139: 777-782, 2011.
J. R. Strooker, Homological question in Local Algebra, Cambridge [7]
University Press, Cambridge, 1990.
[8] D. G. Northcott, An introduction to Homological Algebra, Cambridge
University Press, Cambridge, 1960.
[9] J. J. Rotman, An introduction to Homological Algebra, Springer Press,
2009.
[10] D. Eisenbud, Comutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry,
Springer Press, 1995.
![Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp chất lai chứa khung tetrahydro-β-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250807/kimphuong1001/135x160/50321754536913.jpg)
