Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chính quy nghiệm của phương trình Elliptic với hệ số BMO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Mẫn

TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Mẫn

TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO

Chuyên ngành : Toán Giải tích

Mã số

: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Nhân, luận

văn chuyên ngành Toán Giải Tích với đề tài: “Tính chính quy nghiệm của

phương trình elliptic với hệ số BMO” được thực hiện bởi sự nhìn nhận và

tìm hiểu của chính bản thân tôi.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã thừa kế những

kết quả trong các bài báo, luận văn của các nhà khoa học với sự trân trọng và

biết ơn. Tôi xin cam đoan các nội dung và kết quả trong luận văn được trích

dẫn và liệt kê đầy đủ trong tài liệu tham khảo.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 03 năm2019

Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Tuyết Mẫn

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành được luận văn

thạc sĩ này thì không chỉ nhờ vào sự nỗ lực, cố gắng hết mình của bản thân

mà còn nhờ rất nhiều vào sự hướng dẫn nhiệt tình của các Thầy, Cô; cũng như

sự ủng hộ, giúp đỡ, động viên từ gia đình và bạn bè.

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Nguyễn

Thành Nhân, người đã giới thiệu cho tôi đề tài này và trực tiếp tận tình hướng

dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành tốt luận

văn.

Bên cạnh đó tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình đến toàn thể

các quý Thầy, Cô của khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ

Chí Minh đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cho tôi trong suốt

khóa học. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học,

cũng như Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã

tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành bài nghiên cứu của

mình.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn đến gia đình đã luôn ở bên, động viên, ủng hộ,

giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và

hoàn thành luận văn.

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các ký hiệu

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 2

1.1. Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence ................................... 2

1.2. Một số khái niệm ..................................................................................... 2

1.2.1. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood và một số kết quả trong ....... 2

1.2.2. Bổ đề phủ Vitali ................................................................................ 3

1.2.3. Định nghĩa không gian BMO ............................................................ 4

1.2.4. Một số định nghĩa và kết quả liên quan đến biên Lipschitz .............. 4

1.2.5. Bổ đề 1.6 ............................................................................................ 6

Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCE

VỚI HỆ SỐ KHÔNG LIÊN TỤC ............................................. 7

2.1. Bổ đề phủ Vitali....................................................................................... 7

2.2. Các định nghĩa và bổ đề .......................................................................... 8

2.3. Tính chính quy ....................................................................................... 19

Chương 3. BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN

MIỀN LIPSCHITZ ................................................................... 22

3.1. Bổ đề phủ Vitali..................................................................................... 22

3.2. Các định nghĩa và bổ đề ........................................................................ 24

3.3. Tính chính quy ....................................................................................... 37

Chương 4. BÀI TOÁN NEUMANN VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN

LIPSCHITZ ................................................................................. 42

4.1. Các định nghĩa và bổ đề ........................................................................ 42

4.2. Tính chính quy nghiệm .......................................................................... 53

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................... 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 57

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Một điểm điển hình trong .

Không gian với các điểm có .

Quả cầu mở trong với tâm O, bán kính .

Quả cầu mở có thêm .

Nửa quả cầu.

Nửa quả cầu có thêm .

với các điểm có

Quả cầu mở .

Biên của mà các điểm trong đó có .

Ma trận A cấp .

Hàm với

Hàm với

Giá trị trung bình của trên .

Gradient của .

Divergence của .

Không gian hàm có giá compact.

1

MỞ ĐẦU

Bài toán về tính chính quy nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng

được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu nhiều năm nay. Gần đây một số

kết quả về bài toán này cho các phương trình với hệ số BMO được nghiên cứu

bằng phương pháp sử dụng Bổ đề phủ Vitali và công cụ trong giải tích điều

hòa. Luận văn này tập trung khảo sát một số đánh giá về tính chính quy

nghiệm của một lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với hệ số

không liên tục. Cụ thể là khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình

elliptic với ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO rất nhỏ. Tài liệu nghiên cứu

chính đó là [1], [3], [5], [8].

Nội dung tập trung khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình

dạng divergence. Từ đó ứng dụng vào các bài toán cụ thể với điều kiện biên

Dirichlet và điều kiện biên Neumann. Nội dung luận văn gồm bốn chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Bước đầu giới thiệu về phương trình

elliptic dạng divergence, các định nghĩa và bổ đề quan trọng để bổ trợ

cho các chương sau.

Chương 2: Bàn luận về tính chính quy cho gradient của nghiệm phương

trình elliptic dạng divergence với hệ số không liên tục . Công cụ chính

đó là Bổ đề phủ Vitali. Và phương pháp đánh giá tính chính quy nghiệm

của chương này là nền tảng cho phương pháp của hai chương sau.

Chương 3: Mở rộng đánh giá của chương trước để nghiên cứu về tính

trơn của nghiệm yếu lên biên của bài toán Dirichlet với hệ số BMO trên

miền Lipschitz.

Chương 4: Bài toán Neumann với hệ số BMO trên miền Lipschitz.

Chương này mở rộng đánh giá trong chương trước. Kỹ thuật chính của

chương này là từ Bổ đề 3.1 trong Chương 3.

2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, bước đầu giới thiệu phương trình elliptic dạng

divergence, một số định nghĩa và bổ đề cần thiết để nghiên cứu các chương

sau. Tài liệu tham khảo của chương này chủ yếu từ [1], [2], [3], [5] và [9].

1.1. Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence

Phương trình elliptic dạng divergence:

trong miền bị chặn (1.1)

Giả thiết chính đó là các hệ số của phương trình elliptic, , thuộc

không gian John-Nirenberg BMO (xem.[5]) với nửa chuẩn BMO nhỏ:

(1.2)

1.2. Một số khái niệm

1.2.1. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood và một số kết quả trong

Định nghĩa hàm cực đại Hardy-Littlewood

Cho là một hàm khả tích địa phương. Khi đó, hàm cực đại

Hardy-Littlewood của là:

(i) Nếu

Định lý cơ bản của hàm cực đại Hardy-Littlewood

với , khi đó: . Hơn nữa,

(ii) Nếu

(1.3)

, khi đó:

(1.4)

3

(1.3) được gọi là mạnh loại và (1.4) được gọi là yếu loại .

Bổ đề 1.1

(i)

Với . Khi đó, ta có:

(ii)

nếu và chỉ nếu ,

nếu và chỉ nếu .

Bổ đề 1.2

(i)

(ii)

Với và . Khi đó, ta có:

Bổ đề 1.3

Cho là một số thực với . Giả sử rằng tồn tại

nhỏ sao cho:

Khi đó, tất cả các nghiệm của phương trình trong

miền bị chặn thì thỏa mãn .

1.2.2. Bổ đề phủ Vitali

Cho A là một tập đo được. Giả sử rằng một lớp các quả cầu phủ A

Bán kính của bị chặn trên. Và tồn tại các quả cầu rời nhau

sao cho:

là quả cầu với bán kính gấp năm lần bán kính của . Khi đó, ta với

có:

4

1.2.3. Định nghĩa không gian BMO

Cho là hàm khả tích địa phương trên . Khi đó, ta nói thuộc

không gian BMO nếu

Với một hàm và bất kì , thì

Ta nói hàm thuộc không gian VMO nếu và được gọi là

mô đun VMO của hàm .

Thay quả cầu B ở trên bởi , ta nhận được định nghĩa của

. Hơn nữa, ta có thể mở rộng trên toàn mà vẫn giữ được các

tính chất của .

1.2.4. Một số định nghĩa và kết quả liên quan đến biên Lipschitz

Định nghĩa hàm liên tục Lipschitz

Hàm là liên tục Lipschitz nếu:

với hằng số C.

Định nghĩa miền Lipschitz

Với mỗi điểm tồn tại nhỏ và hàm liên tục

Lipschitz sao cho:

5

trong hệ tọa độ. và

Định nghĩa

là -Lipschitz nếu với mọi , tồn tại một hàm liên

tục Lipschitz với sao cho

trong hệ tọa độ.

Ta sẽ giả sử trong các chứng minh sau này do bất biến tỉ lệ.

Bổ đề 1.4

Nếu là miền với biên Lipschitz, thì có miền mở rộng

trong với . Nghĩa là, có một toán tử tuyến tính bị chặn:

(i)

sao cho với mỗi :

(ii)

hầu khắp nơi trong ,

(iii)

có giá compact,

,

trong đó được gọi là một mở rộng đến .

Định lý 1.5

(i) Nếu

Cho là một miền có biên Lipschitz, . Khi đó:

, thì

(ii) Nếu

với mọi (1.5)

, thì

với mọi (1.6)

(iii) Các phép nhúng ở trên là compact nếu bất đẳng thức ngặt

6

(1.5) và (1.6) được thỏa.

1.2.5. Bổ đề 1.6

Giả sử rằng là một hàm đo được, không âm trên miền bị chặn .

Cho các hằng số và . Khi đó, với :

khi và chỉ khi

Và

trong đó C>0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào , và .

Bổ đề trên cho ta biết cách xác định một hàm là hàm thuộc .

Vậy ta đã nhắc lại một số kiến thức quan trọng cần thiết như là Bổ đề phủ

Vitali, hàm cực đại Hardy-Little Wood, chuẩn BMO,… để việc tìm hiểu các

chương sau được dễ dàng hơn.

7

Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

DẠNG DIVERGENCE VỚI HỆ SỐ KHÔNG LIÊN TỤC

Trong chương này, ta sẽ xét trên đánh giá nghiệm của

phương trình elliptic dạng divergence sau:

(2.1)

Giả thiết chính đó là ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO nhỏ.

Nội dung được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [4], [8].

2.1. Bổ đề phủ Vitali

Bổ đề 2.1

Cho và là hai tập đo được với

(2.2)

và thỏa mãn tính chất sau:

mỗi với (2.3)

Khi đó:

Chứng minh.

Theo (2.2), với hầu khắp nơi, tồn tại nhỏ sao cho:

với (2.4)

Chú ý rằng phủ C. Khi đó, theo Bổ đề phủ Vitali, có

các quả cầu rời nhau thỏa:

và (2.5)

Do đó, theo (2.4),

(2.6)

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh: (2.7)

8

Với không đổi, Ta cũng

có:

và

Từ đây, ta suy ra (2.7). Khi đó, theo (2.5), (2.6), (2.7) và (2.3), ta được:

hoàn thành chứng minh. 

2.2. Các định nghĩa và bổ đề

Ta giả sử rằng L là toán tử elliptic đều, tức là,

Định nghĩa 2.2

L là một toán tử elliptic đều nếu tồn tại hằng số dương sao cho:

hầu khắp nơi, (2.8)

Ta nhận thấy từ điều kiện trên thì bị chặn đều.

9

Định nghĩa 2.3

là một nghiệm yếu của phương trình (2.1) nếu:

với bất kì

Bổ đề 2.4

Giả sử rằng là nghiệm yếu của (2.1) trong . Khi đó:

Chứng minh.

Theo Định nghĩa 2.3, ta có:

Ta viết lại đẳng thức trên như sau:

với

Đánh giá . Theo điều kiện elliptic đều (2.8), ta có:

Đánh giá . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với , ta có:

10

Đánh giá . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với , ta có:

Ta kết hợp để có:

Cuối cùng, ta chọn để có kết luận:



Bổ đề 2.5

, sao cho với mỗi nghiệm yếu của (2.1) trong

Với bất kì với

và

11

(2.9)

thì tồn tại nghiệm trơn của

trong

thỏa

(2.10)

Chứng minh.

Ta chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử ngược lại, nghĩa là tồn tại , , và sao

cho là nghiệm yếu của

trong (2.11)

với

(2.12)

Nhưng (2.13)

với bất kì nghiệm của

trong . (2.14)

Theo Bổ đề 2.4 và (2.12), thì là bị chặn trong và

do đó, có dãy con, mà ta vẫn kí hiệu là , sao cho:

trong và trong (2.15) ⇀

Vì bị chặn, nên có dãy con mà ta kí hiệu là , sao cho:

khi (2.16)

12

Nhưng khi đó, theo (2.12), ta có:

trong (2.17)

Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng là nghiệm của

trong (2.18)

Để được như vậy, ta lấy . Khi đó, ta có:

hay (2.19)

Vì và trong , nên trong ⇀ ⇀

. Khi đó, cho trong (2.19), ta có:

do đó, ta được (2.18). Chú ý rằng:

trong .

Lấy là nghiệm của

(2.20)

Khi đó, là một nghiệm của

trong . (2.21)

Với bất kì ,

13

trong đó, do (2.20) và (2.18), và ta có (2.21). Hơn nữa, theo (2.20):

và vì thế, ta có:

Theo đánh giá này, (2.15) và (2.16) thì:

khi .

Nhưng điều này mâu thuẫn với (2.13) bởi (2.21). 

Hệ quả 2.6

, có nhỏ sao cho với mỗi nghiệm của (2.1)

Với bất kì trong mà

và (2.22)

thì tồn tại nghiệm trơn của

trong

14

thỏa

Chứng minh.

Theo Bổ đề 2.5 và (2.22), tồn tại nghiệm của

trong

thỏa

với (2.23)

Trước hết, ta chứng minh rằng là một nghiệm yếu của

trong (2.24)

Để có được điều đó, ta lấy . Khi đó:

từ đó, ta có (2.24). Theo (2.24) và Bổ đề 2.4, ta có đánh giá sau:

Ở đây, ta đã dùng biên địa phương của trong không gian .

Do đó:

(2.25)

Từ (2.25), (2.23) và (2.22) ta có điều phải chứng minh. 

15

Ta chứng minh bổ đề quan trọng sau.

Bổ đề 2.7

Cho hằng số sao cho với bất kì , tồn tại một nhỏ và nếu

là một nghiệm yếu của

trong

với (2.26)

và (2.27)

khi đó:

(2.28)

Chứng minh.

Theo (2.26), tồn tại điểm sao cho:

với mọi . (2.29)

Từ và theo (2.29), ta có:

(2.30)

Tương tự, ta cũng có:

(2.31)

Theo Hệ quả 2.6, (2.27), (2.30) và (2.31), tồn tại nghiệm

của trong sao cho:

với (2.32)

Tồn tại hằng số sao cho:

16

(2.33)

và ta sẽ chứng minh:

(2.34)

trong đó .

Để kiểm tra (2.34), ta giả sử rằng:

(2.35)

Với , và theo (2.35), (2.33), ta có:

(2.36)

Với , và theo (2.29), ta có:

(2.37)

Khi đó, từ (2.36) và (2.37): (2.38)

Do đó, từ (2.35) và (2.38) ta có khẳng định (2.34). Theo (2.34) và yếu

loại 1-1 ta có được:

Theo đánh giá này và (2.32) ta có kết luận (2.28).

 Từ Bổ đề 2.7 và các phép đổi biến, vị tự, ta có bổ đề sau.

Bổ đề 2.8

Giả sử rằng là nghiệm yếu của (2.1) trong miền .

Nếu , khi đó:

17

Hệ quả 2.9

Giả sử rằng là nghiệm yếu của (2.1) trên miền và có tính chất sau:

Cho là một số nguyên dương và . Khi đó, ta có:

Chứng minh.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo .

Với thì kết luận trên đúng theo Bổ đề 2.7 và Bổ đề 2.1 với

Giả sử rằng kết luận trên đúng với số nguyên dương . Bây giờ, ta

chứng minh kết luận trên cũng đúng với số nguyên dương .

Ta định nghĩa: và . Khi đó, là nghiệm yếu của (2.1)

trong và thỏa mãn:

Theo giả thiết đặt ra ở trên, ta có:

18

Ta viết lại bất đẳng thức trên như sau:

trong đó:

Đánh giá

Đánh giá

Theo cách định nghĩa ta có:

Do kết luận đúng với k=1, nên ta có:

19

Vì nên

Do đó, kết luận đúng với .

Hệ quả được chứng minh. 

2.3. Tính chính quy

Sau đây là phát biểu kết quả chính của chương này.

Định lý 2.10 [1]

. Tồn tại nhỏ sao cho với mọi

Cho p là một số thực với A thỏa và L elliptic đều;

và mọi f thỏa

Nếu là nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng elliptic (2.1)

trong , khi đó: thuộc với đánh giá

20

trong đó hằng số C là độc lập với và f.

Ta chỉ xét trường hợp . Trường hợp là cổ điển và trường

hợp sẽ dễ dàng thu được khi lấy đối ngẫu. Lưu ý rằng nếu ta có thể

thiết lập trong đánh giá cho gradient của trên quả cầu , khi đó theo

phép đổi biến và phủ, ta có được đánh giá chính.

Định lý 2.11 [1]

. Tồn tại nhỏ sao cho với

Cho p là một số thực với mọi A thỏa và L elliptic đều;

và mọi f thỏa

Nếu là nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng elliptic

trong (2.39)

khi đó: thuộc với đánh giá

trong đó hằng số C độc lập với và f.

Chứng minh.

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng:

bằng cách nhân phương trình đạo hàm riêng elliptic (2.39) với một hằng số

nhỏ.

Từ với chuẩn nhỏ. Giả sử:

Khi đó, tồn tại hằng số C phụ thuộc vào sao cho:

21

do đó, (2.40)

Theo Hệ quả 2.9, ta có:

Theo (2.40), ta được:

Chọn sao cho do đó:

Khi đó, theo đánh giá này và Bổ đề 1.6 thì .

Vậy . 

22

Trong chương này, ta đã tìm hiểu được kỹ thuật chính quy nghiệm khi sử

dụng Bổ đề phủ Vitali của Byun.

Chương tiếp theo, ta sẽ mở rộng đánh giá xem xét tính trơn của nghiệm

yếu lên biên với biên là đồ thị địa phương và có hằng số Lipschitz nhỏ.

Chương 3. BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI HỆ SỐ BMO

TRÊN MIỀN LIPSCHITZ

Trong chương này, ta xét tính chính quy bài toán Dirichlet của phương

trình elliptic dạng divergence trên miền mở bị chặn, mà biên của miền này là

một đồ thị địa phương và có hằng số Lipschitz nhỏ. Ma trận hệ số chính có

nửa chuẩn BMO nhỏ. Ta quan tâm đến yêu cầu tối thiểu của tính chính quy

nghiệm trong của phương trình sau:

(3.1)

với miền mở bị chặn .

Mục tiêu của chương này là mở rộng đánh giá của chương trước để

nghiên cứu tính trơn của nghiệm yếu lên biên. Biên của miền được giả sử

là đồ thị địa phương và có hằng số Lipschitz nhỏ. Ta cũng nhắc lại vài định

nghĩa liên quan đến miền Lipschitz. Ta có thể giả sử là miền phẳng.

Tài liệu tham khảo chủ yếu của chương này là [1].

3.1 Bổ đề phủ Vitali

Bổ đề 3.1

23

và là hai tập đo được với

Cho (3.2)

và thỏa mãn tính chất sau:

mỗi với (3.3)

Khi đó:

Chứng minh.

Theo (3.2), với hầu khắp nơi, tồn tại nhỏ sao cho:

với (3.4)

Vì phủ C, theo Bổ đề phủ Vitali, tồn tại các quả

cầu rời nhau sao cho:

và (3.5)

Do đó, theo (3.4), ta có:

(3.6)

Xét và ta sẽ chứng minh:

(3.7)

Ta thấy với không đổi,

Bây giờ, từ

ta có:

Do đó, ta có (3.7). Cuối cùng, theo (3.6), (3.7) và (3.3), ta có:

24

hoàn thành chứng minh. 

3.2 Các định nghĩa và bổ đề

(i) Ta nói

Định nghĩa 3.2

là một nghiệm yếu của (3.1) nếu

(ii) Ta nói

với bất kì

với trên là nghiệm yếu của

trên nếu

. với bất kì

Bổ đề 3.3

Giả sử rằng với trên là nghiệm yếu của

trên . Khi đó:

Chứng minh.

Lưu ý rằng . Theo Định nghĩa 3.2, ta có:

Ta viết lại đẳng thức trên như sau:

25

với

Đánh giá . Theo điều kiện elliptic đều, ta được:

Đánh giá . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ,ta được:

Đánh giá . Theo điều kiện và bất đẳng thức Cauchy với :

Ta kết hợp :

26

Do đó:

Cuối cùng, ta chọn để kết luận rằng:



Bổ đề 3.4

Cho bất kì , nhỏ sao cho với mỗi nghiệm yếu của

với (3.8)

thì tồn tại nghiệm trơn của

thỏa

(3.9)

27

Chứng minh.

Ta chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử ngược lại, nghĩa là tồn tại , , và sao

cho là nghiệm yếu của

(3.10)

với

(3.11)

Nhưng, với bất kì nghiệm của

(3.12)

thì (3.13)

Theo Bổ đề 3.3 và (3.8), thì là bị chặn trong . Do đó có

dãy con, mà ta kí hiệu là , sao cho:

trong và trong (3.14) ⇀

Vì bị chặn, nên có dãy con mà ta kí hiệu là , sao cho:

với (3.15)

Nhưng khi đó, theo (3.11), ta có:

trong (3.16)

Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng là nghiệm yếu của

trong với (3.17)

28

Để được như vậy, ta lấy và mở rộng bằng 0 bên ngoài

. Khi đó, theo (3.10), ta có:

hay (3.18)

Vì và trong , nên trong ⇀ ⇀

. Khi đó, cho trong (3.18), ta có:

do đó, ta có (3.17). Chú ý rằng:

Lấy là nghiệm của

(3.19)

trong . Khi đó, là nghiệm trơn của

(3.20)

Với bất kì , theo (3.17) và (3.19), ta có:

29

Từ đó, ta có (3.20). Hơn nữa, theo (3.19):

và vì thế, ta có:

Từ đánh giá này, (3.14) và (3.15), ta có:

khi

Nhưng điều này mâu thuẫn với (3.13) bởi (3.20). 

Hệ quả 3.5

Với bất kì , nhỏ sao cho với mỗi nghiệm yếu của

với

(3.21)

30

thì tồn tại nghiệm trơn của

thỏa

(3.22)

Chứng minh.

Theo Bổ đề 3.4 và (3.21), tồn tại nghiệm trơn của

sao cho:

và (3.23)

Đầu tiên, ta chứng minh rằng là một nghiệm yếu của

trên (3.24)

Để có được điều đó, ta chọn bất kì . Khi đó, ta có:

từ đó, ta có (3.24). Theo (3.24) và Bổ đề 3.3:

Ta cũng có đánh giá sau:

31

Do đó, ta có:

(3.25)

Khi đó, từ (3.25), (3.23) và (3.21) ta có điều cần chứng minh. 

Bổ đề 3.6

Cho hằng số với bất kì , tồn tại một nhỏ. Nếu

là một nghiệm yếu của trong với

(3.26)

khi đó:

(3.27)

Chứng minh.

Theo (3.26), tồn tại điểm sao cho:

với mọi (3.28) .

Từ và theo (3.28), ta có:

32

do đó,

(3.29)

Tương tự, ta cũng có:

(3.30)

Theo Hệ quả 3.5, (3.26), (3.29) và (3.30), tồn tại nghiệm trơn của

(3.31)

sao cho:

và (3.32)

Tồn tại hằng số sao cho:

(3.33)

Ta đặt và sẽ chứng minh:

(3.34)

Để kiểm tra điều này, ta giả sử rằng:

(3.35)

Với , và theo (3.35), (3.33), ta có:

33

(3.36)

Với , và theo (3.28), ta có:

(3.37)

Khi đó, từ (3.36) và (3.37): (3.38)

Do đó, từ (3.35) và (3.38), ta có khẳng định (3.34).

Theo (3.34) và yếu loại 1-1, ta có:

Từ đánh giá này, (3.32), (3.29) và (3.26) ta có kết luận (3.27). 

Bây giờ ta có thể suy ra hệ quả sau ngay từ bổ đề trên. Ta giả sử

vì thế và trên .

Hệ quả 3.7

Giả sử rằng là nghiệm yếu của

với

Khi đó, có tính chất sau:

, thì với

Bổ đề 3.8

34

Nếu là nghiệm yếu của

và có tính chất sau:

với mọi mà

(3.39)

thì

(3.40)

Chứng minh.

Ta chứng minh bằng phản chứng.

Nếu thỏa (3.39) và kết luận (3.40) là sai, thì tồn tại

sao cho:

với mọi .

Nếu , thì ta giả sử . Ta xét

để thấy rằng:

Theo Hệ quả 3.7, cho quả cầu với được thay bởi :

 Điều này trái với (3.39).

Bổ đề 3.9

35

Giả sử rằng là nghiệm yếu của

với

Cho k là một số nguyên dương và . Khi đó, ta có:

Chứng minh.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo .

Trường hợp , kết luận có được từ Hệ quả 3.7 và Bổ đề 3.1 với

Giả sử rằng kết luận đúng với số nguyên dương . Ta đặt và

. Khi đó, là nghiệm yếu của

với

36

Khi đó, theo giả thiết quy nạp, ta có:

Ta viết lại đẳng thức trên như sau:

trong đó:

Đánh giá :

Đánh giá

Theo định nghĩa ta có:

37

Vì kết luận đúng với nên:

Vì ta có:

 Do đó, kết luận đúng với .

Với bổ đề trên, ta có thể đưa ra cách chứng minh đơn giản và sơ cấp tính

chính quy trong không gian cho nghiệm của phương trình elliptic dạng

divergence với điều kiện biên Dirichlet.

3.3 Tính chính quy

Ta xét định lý chính của chương này.

Định lý 3.10 [1]

Cho số thực p với . Tồn tại sao cho mọi A thỏa

và L elliptic đều;

với mọi thỏa

,

và với mọi thỏa

38

Nếu là nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng elliptic (3.1) thì

với đánh giá

trong đó hằng số C độc lập với và .

Ta chỉ cần thiết lập biên đánh giá cho gradient của trên . Khi đó,

theo các phép đổi biến, phủ và đánh giá ta có được định lý trên. Ta chỉ xét

trường hợp . Trường hợp sẽ dễ dàng thu được khi lấy đối

ngẫu. Trường hợp là cổ điển.

Định lý 3.11 [1]

. Tồn tại nhỏ sao cho với

Cho p là một số thực với mọi A thỏa

;

và mọi f thỏa

Nếu là một nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng elliptic

(3.41)

khi đó, thuộc với đánh giá

trong đó hằng số C là độc lập với và f.

Chứng minh.

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng:

39

khi nhân phương trình đạo hàm riêng (3.41) với một hằng số nhỏ nếu cần

thiết. Theo mạnh loại và Bổ đề 1.6, ta có:

(3.42)

Theo Bổ đề 3.9 ta có:

Theo (3.42) thì:

Chọn sao cho

Khi đó, theo đánh giá này thì :

.

Do đó, . 

40

Mục tiêu tiếp theo của ta là cho thấy tại sao cần giả thiết biên của miền

là một đồ thị địa phương và có hằng số Lipschitz nhỏ. Ta chọn bất kì điểm

Khi đó, ta giả sử rằng:

với và mà .

Ta định nghĩa:

và viết

Ta có do đó và

Chọn đủ nhỏ sao cho nằm trên và định nghĩa

với mọi .

Nếu là nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng

Khi đó, là nghiệm yếu của

trong đó:

Với cách tính đơn giản ta có:

41

Ta giả sử rằng là đủ nhỏ và tính .

Đầu tiên, ta xét:

Tiếp theo, ta có:

Đánh giá này, chính xác là điều ta cần.

Bây giờ, ta đưa ra chứng minh của Định lý 3.10.

Chứng minh.

Ta thiết lập biên cho gradient của trên trong Định lý 3.11, ta

có được chứng minh bằng cách dùng các phép đổi biến, phủ và đánh giá phần

trong, và phép lấy đối ngẫu.

42

Chương 4. BÀI TOÁN NEUMANN VỚI HỆ SỐ BMO

TRÊN MIỀN LIPSCHITZ

Trong chương này ta xét tính chính quy của bài toán Neumann trên miền

mở bị chặn mà miền này có biên là đồ thị địa phương và có hằng số Lipschitz

nhỏ. Ma trận hệ số chính của phương trình elliptic được giả sử có nửa chuẩn

BMO nhỏ. Ta quan tâm đến yêu cầu chính quy tối thiểu của bài toán

Neumann sau:

(4.1)

Mục tiêu chính của chương này là mở rộng đánh giá trong Chương 3 để

nghiên cứu về tính trơn của nghiệm yếu lên biên. Biên của miền được giả

sử là có hằng số Lipschitz nhỏ. Kỹ thuật chính của chương này là từ Bổ đề 3.1

trong Chương 3.

Tài liệu tham khảo chủ yếu của chương này là [1].

4.1. Các định nghĩa và bổ đề

Ta xét các quả cầu với R>0.

Định nghĩa 4.1

Ta nói là nghiệm yếu của phương trình (4.1) nếu

Định nghĩa 4.2

là nghiệm yếu của trên với điều kiện biên

Neumann trên nếu

với trên .

Ta cần bổ đề sau để sử dụng cho bổ đề xấp xỉ sau đó.

Bổ đề 4.3

43

Nếu là nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên của

thì tồn tại hằng số sao cho:

Chứng minh.

Vì với trên , nên theo định nghĩa

nghiệm yếu, ta có:

Khi đó, theo Bất đẳng thức Cauchy với và điều kiện elliptic đều:

Lấy , ta được:



Bổ đề 4.4

Giả sử rằng là nghiệm yếu của trong với điều kiện

biên Neumann trên và lấy là hàm cắt tiêu chuẩn mà .

Khi đó:

trong đó, hằng số C phụ thuộc vào các hệ số của A.

Chứng minh.

Vì với trên , nên theo định nghĩa nghiệm

yếu, ta có điều sau:

44

Ta viết lại đẳng thức trên như sau:

với

Đánh giá . Theo điều kiện elliptic đều, ta được:

Đánh giá . Áp dụng Bất đẳng thức Cauvhy với ta được:

Đánh giá . Từ điều kiện và Bất đẳng thức Cauchy với :

Cuối cùng, từ các đánh giá , ta có:

45

Chọn , ta nhận được:



Bổ đề 4.5

Với bất kì , tồn tại nhỏ sao cho mỗi nghiệm yếu

với điều kiện biên Neumann trên của trong

mà

(4.2)

Khi đó, tồn tại nghiệm trơn với điều kiện biên Neumann trên của

sao cho:

(4.3)

Chứng minh.

Ta chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử ngược lại, nghĩa là tồn tại , , và sao

cho là nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên của

(4.4)

46

với

(4.5)

Nhưng

(4.6)

với bất kì nghiệm với điều kiện biên Neumann trên của

(4.7)

Theo Bổ đề 4.4 và (4.4), thì là bị chặn trong . Do

đó có dãy con, mà ta kí hiệu là , sao cho:

trong và trong (4.8) ⇀

Vì bị chặn nên có dãy con mà ta kí hiệu là , sao cho:

khi (4.9)

Nhưng khi đó, theo (4.5), ta có:

trong (4.10)

Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng là nghiệm yếu với điều kiện biên

Neumann trên của

trong . (4.11)

Để được như vậy, lấy với trên . Bây giờ, ta mở

rộng tới và bằng 0 ngoài . Khi đó, theo (4.4) ta có:

(4.12) hay

47

Vì và trong , nên trong ⇀ ⇀

. Khi đó, cho trong (4.12), ta có do đó ta

có (4.11). Chú ý rằng:

Lấy là nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên của

(4.13)

Khi đó, là nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên của

trong . (4.14)

Với bất kì mà trên , theo (4.11) và (4.14), ta có

điều sau:

Từ đó, ta có (4.14). Hơn nữa, theo Bổ đề 4.3:

và vì thế, ta có:

48

Từ đánh giá này, (4.8) và (4.9): khi

Nhưng điều này mâu thuẫn với (4.6) bởi (4.14). 

Mục tiêu tiếp theo của ta là chỉ ra đủ nhỏ trong với điều kiện

thích hợp trên A và f.

Hệ quả 4.6

Cho bất kì , tồn tại nhỏ sao cho mỗi nghiệm yếu với điều

kiện biên Neumann trên của mà

(4.15)

tồn tại nghiệm trơn với điều kiện biên Neumann trên của

thỏa

(4.16)

Chứng minh.

Theo Bổ đề 4.5 và (4.15), tồn tại nghiệm trơn với điều kiện biên

Neumann trên của sao cho:

với (4.17)

Đầu tiên, ta chứng minh rằng là một nghiệm yếu với điều

kiện biên Neumann trên của

trên (4.18)

49

Để có được điều đó, ta chọn bất kì với trên .

Khi đó, từ định nghĩa nghiệm yếu, ta có:

từ đó, ta có (4.18).

Theo Bổ đề 4.4, ta có đánh giá sau:

Trong đó, ta đã sử dụng

Do đó, ta có

 Vậy từ đánh giá này, (4.17) và (4.15) ta có điều cần chứng minh.

Bổ đề 4.7

, tồn tại một với bất kì nhỏ và nếu

Cho hằng số là một nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann của trên

trong với

(4.19)

khi đó:

(4.20)

Chứng minh.

50

Theo (4.19), tồn tại điểm sao cho:

với mọi (4.21) .

Từ và theo (4.21), ta có:

do đó,

(4.22)

Tương tự, ta cũng có:

(4.23)

Theo Hệ quả 4.6, (4.22), (4.23) và (4.19), tồn tại nghiệm trơn với

điều kiện biên Neumann trên của

(4.24)

sao cho:

với (4.25)

Tồn tại hằng số sao cho:

(4.26)

Ta đặt và sẽ chứng minh:

(4.27)

Để kiểm tra điều này, ta giả sử rằng:

51

(4.28)

Với , và theo (4.28), (4.26), ta có:

(4.29)

Với , và theo (4.21), ta có:

(4.30)

Khi đó, từ (4.29) và (4.30) ta có:

(4.31)

Từ (4.28) và (4.31) ta có khẳng định (4.27).

Theo (4.27) và yếu loại :

Theo đánh giá này, (4.25), (4.22) và (4.19) ta có kết luận (4.20). 

Phần tiếp theo của chương này gần giống như chương trước nên chỉ nêu

rõ các điều sau mà không chứng minh, ngoại trừ Định lý 4.11.

Kể từ giờ, ta giả sử vì thế và trên .

Hệ quả 4.8

Giả sử rằng là nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên

của với

Khi đó, có tính chất sau:

nếu , thì

52

Bổ đề sau là quan trọng đối với mục tiêu chính của ta.

Bổ đề 4.9

Nếu là nghiệm yếu của

và có tính chất sau:

với mọi mà

thì

Các quả cầu để phủ trong Bổ đề phủ Vitali được lựa chọn cẩn thận.

Bổ đề 4.10

Giả sử rằng là nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên

của với

Cho k là một số nguyên dương và . Khi đó, ta có:

53

4.2. Tính chính quy nghiệm

Đầu tiên ta cần chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu.

Định lý 4.11

Phương trình (4.1) có nghiệm yếu duy nhất sai khác một hằng số.

Chứng minh.

Ta sẽ chứng minh bằng Bổ đề Lax-Milgram. Trước hết, ta định nghĩa

dạng song tuyến:

.

Khi đó, tồn tại các hằng số sao cho:

Vậy là hàm tuyến tính bị chặn trên H. Ta

dùng Bổ đề Lax-Milgram để tìm hàm duy nhất thỏa mãn:

Khi đó, ta kết luận là nghiệm yếu duy nhất của (4.1). Thật vậy, với

bất kì ,ta có:

Hoàn thành chứng minh. 

Định lý 4.12 [1]

. Tồn tại nhỏ sao cho với

Cho p là một số thực với mọi A thỏa

54

;

và mọi f thỏa

Nếu là một nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên của

thì thuộc với đánh giá

trong đó, hằng số C là độc lập với và f.

Cuối cùng, ta có định lý chính của chương này.

Định lý 4.13 [1]

Cho số thực p với . Tồn tại sao cho với mọi A thỏa

và L elliptic đều;

với mọi thỏa

,

và với mọi thỏa

Nếu là nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên của

thì với đánh giá

trong đó, hằng số C độc lập với và .

Chứng minh.

55

Trường hợp được suy ra từ Định lý 4.11. Trường hợp

được suy ra từ Định lý 4.12 và đánh giá phần trong (xem Chương 2) cùng với

các phép đổi biến, vị tự,… Trường hợp có được khi ta lấy đối ngẫu.

56

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Luận văn này đã trình bày một cách chi tiết các đánh giá về tính chính quy

nghiệm của một lớp các phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với

hệ số không liên tục, cụ thể là phương trình với ma trận hệ số có nửa chuẩn

BMO nhỏ. Đồng thời cũng đạt được mục tiêu chính là tìm hiểu việc khảo sát

tính chính quy nghiệm của phương trình dạng divergence trong đó đã đạt

được:

Mục tiêu thứ nhất: Tìm hiểu kỹ thuật chính quy nghiệm khi sử dụng Bổ

đề phủ Vitali của Byun.

Mục tiêu thứ hai: Tìm hiểu kết quả về tính chính quy nghiệm cho

phương trình elliptic dạng divergence với hệ số không liên tục và có chuẩn

BMO nhỏ.

Tuy nhiên, mục tiêu thứ ba: Định hướng chính quy nghiệm cho phương

trình Stokes, vẫn chưa đạt được do thời gian chưa cho phép.

Tác giả cũng mong muốn sau này sẽ được nghiên cứu thêm để hoàn thiện

hơn về đề tài mà mình theo đuổi.

57

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sun-Sig Byun. (May 2003). Optimal Regularity Theory Of

Elliptic And Parabolic Equations. University of Iowa, Iowa city,

Iowa.

[2] L. A. Caffareli and X. Cabre. (1995). Fully nonlinear elliptic

equations, volume 43 of American Mathermatical Society Colloquium

Publication. American Mathermatical Society, Providence, RI.

[3] L. A. Caffareli and I. Peral. (1998). On estimaties for elliptic

equations in divergence form. Comm. Pure Appl. Math, 51(1):1-21.

[4] G. Di Fazio. (1996). estimates for divergence form elliptic

equations with discontinuous coefficients. Boll. Un. Mat. Ital A(7),

10(2): 409-420.

[5] F. John and L. Nirenberg. (1961). On function of Bounded mean

oscillation. Comm. Pure Appl. Math, 14:415-426.

[6] Juba Kinnunen and Shulin Zhou. (1999). A local estimates for

nonlinear equations with discontinuous coefficients. Comm. Partial

Differential Equations, 24:2043-2068.

[7] Norman G. Meyers. (1963). An estimate for the gradient of

solutions of second order elliptic divergence equations. Ann. Scuola

Norm. Sup. Pisa(3), 17:189-206.

[8] Lihe Wang. A geometric approach to the Calderon-Zygmund

estimates. Acta Mathematica Sinica, 2:381-396, 2003. Enghlish

Series.

[9] D. S. Jerison, C.E. Kenig. (1981). The Neumann problem on Lipschitz

domains. Bull. Amer. Math. Soc, 4:203-207.