Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính lồi của metric Kobayashi trên đa tạp phức taut

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT

Ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Tính lồi của metric Kobayashi

trên đa tạp phức taut" không có sự sao chép của người khác. Khi viết

luận văn tôi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều có nguồn gốc rõ ràng

và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nếu

có vấn đề gì tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Quỳnh Nga

Xác nhận Xác nhận

của chủ nhiệm khoa Toán của người hướng dẫn

TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

i

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn

chân thành nhất tới TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai. Cô đã dành nhiều thời

gian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc và giúp đỡ tôi hoàn

thành bài luận văn này.

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viên

trong gia đình đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua.

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đại

học Sư Phạm Thái Nguyên đã luôn nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong

suốt quá trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi

hoàn thành chương trình học và bảo vệ luận văn.

Bản thân tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cố

gắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được. Tôi rất mong

được thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thị Quỳnh Nga

ii

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Đa tạp phức taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức taut . . . . . . . . 2 2 6 9

Chương 2 TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN

ĐA TẠP PHỨC TAUT

13 2.1 Metric Buseman – Kobayashi trên đa tạp phức taut . . . . . 13 2.2 Tính lồi của metric Buseman – Kobayashi trên đa tạp phức taut 17

KẾT LUẬN 32

Tài liệu tham khảo 33

iii

LỜI MỞ ĐẦU

Từ việc nghiên cứu metric Royden – Kobayashi và khoảng cách Kobayashi

trên đa tạp phức taut, Masashi Kobayashi đã chứng minh được rằng đạo

hàm của khoảng cách Kobayashi bằng metric Buseman – Kobayashi. Cụ thể

là định lý sau:

Nếu M là một đa tạp phức taut thì DdM tồn tại và DdM = (cid:98)FM .

Nhờ kết quả này Masashi Kobayashi đã chứng minh được một điều kiện

cần và đủ cho tính lồi của của metric Royden – Kobayashi trên đa tạp phức

taut sau:

= 1

dM (q, q(cid:48)) d∗ M (q, q(cid:48))

lim q,q(cid:48)→p q(cid:54)=q(cid:48)

Nếu M là một đa tạp phức taut thì FM là lồi nếu và chỉ nếu

.

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu trình bày lại một cách chi tiết,

rõ ràng kết quả nghiên cứu của Masashi Kobayashi về tính lồi của metric

Royden – Kobayashi trên đa tạp phức taut.

Với mục đích như trên, ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo,

nội dung chính của luận văn gồm 2 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình

bày một số kiến thức cơ bản về đa tạp phức, đa tạp phức taut và khoảng

cách Kobayashi trên đa tạp phức taut. Chương 2, chúng tôi trình bày một

số kiến thức bổ sung, các bổ đề cơ sở và trình bày chi tiết, rõ ràng kết quả

của Masashi Kobayashi về tính lồi của metric Royden – Kobayashi trên đa

1

tạp phức taut.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở về đa tạp

phức, đa tạp phức taut và khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức. Các

1.1 Đa tạp phức

kiến thức này được tôi tham khảo trong tài liệu ([1]).

Định nghĩa

Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff. Cặp (U, ϕ) được gọi là một

bản đồ địa phương của X, trong đó U là tập mở trong X và ϕ : U → Cn là

ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) ϕ(U ) là tập mở trong Cn.

ii) ϕ : U → ϕ(U ) là một đồng phôi.

Họ A = {(Ui, ϕi)}i∈I các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập

bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

: ϕi (Ui ∩ Uj) →

i

ϕj (Ui ∩ Uj) là ánh xạ chỉnh hình.

i) {Ui}i∈I là một phủ mở của X. ii) Với mọi Ui, Uj mà Ui ∩ Uj (cid:54)= ∅, ánh xạ ϕj ◦ ϕ−1

Xét họ các atlas trên X. Hai atlas A1, A2 được gọi là tương đương nếu

hợp A1 ∪ A2 là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các

2

atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và

cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều.

n chiều với bản đồ địa phương {(D.IdD)}.

Ví dụ 1.1. ([1]) Giả sử D là miền trong Cn. Khi đó, D là một đa tạp phức

. . .

, n. Rõ

Ví dụ 1.2. ([1]) Đa tạp xạ ảnh Pn (C).

Xét Ui = {[z0 : z1 : . . . : zn] ∈ Pn (C) |zi (cid:54)= 0} với i = 0, 1,

i=1 là một phủ mở của Pn (C).

ràng {Ui}n

. . .

.

, . . . ,

,

, . . . ,

[z0 : z1 :

: zn] →

(cid:19)

zi−1 zi

zi+1 zi

zn zi

Xét các đồng phôi ϕi : Ui → Cn: (cid:18)z0 zi

Ta có

ϕj ◦ ϕ−1

: (z0, . . . , zi−1, zi+1, . . . , zn) →

; k = 0, . . . , m; zi = 1.

i

(cid:19)

k(cid:54)=j

(cid:18)zk zj

i

n chiều và gọi là đa tạp xạ ảnh n chiều.

là ánh xạ chỉnh hình. Vậy Pn (C) là một đa tạp phức Rõ ràng ϕj ◦ ϕ−1

Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức

f : M → N được gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương

(U, ϕ) của M và mọi bản đồ địa phương (V,ψ) của N sao cho f (U ) ⊂ V

Định nghĩa 1.1. ([1]) Giả sử M, N là các đa tạp phức. Ánh xạ liên tục

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V)

thì ánh xạ

là ánh xạ chỉnh hình.

Định nghĩa trên tương đương với với mọi x ∈ M, y ∈ N , tồn tại hai bản

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V)

đồ địa phương (U, ϕ) và (V,ψ) tại x và y tương ứng sao cho

là ánh xạ chỉnh hình.

3

Định nghĩa 1.2. ([1]) Giả sử f : M → N là song ánh giữa các đa tạp

phức. Nếu f và f −1 là các ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song

chỉnh hình giữa M và N .

Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức

(U, φ, ∆m là bản đồ địa phương quanh x, tức là U là một lân cận của x

Giả sử M là đa tạp phức m chiều và ∆ là đĩa đơn vị trong C. Giả sử

(z1, ..., zm) là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quang x.

và φ : U → ∆ là ánh xạ song chỉnh hình. Đặt φ = (z1, ..., zm). Khi đó,

(x1, ..., xm, y1, ..., ym là hệ tọa độ địa phương thực quanh x, ở đó M được

Đặt zα = xα + iyα, trong đó xα và yα là các giá trị thực. Khi đó,

xem như là đa tạp khả vi 2m chiều. Giả sử TxM là không gian tiếp xúc của

, ...,

, ...,

,

M tại x. Khi đó TxM là không gian vector thực 2m chiều và (cid:18) ∂ ∂xm

(cid:19)(cid:27) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (1.1) (cid:26)(cid:18) ∂ ∂x1 (cid:18) ∂ ∂ym (cid:18) ∂ ∂y1

là một cơ sở của TxM . Ký hiệu TxM ⊗R C là phức hóa của TxM . Khi đó, (1.1) cũng là một cơ sở của không gian vector phức TxM ⊗R C. Đặt

,

1 ≤ j ≤ m.

∂ ∂zj =

(cid:19)

∂ ∂yj

1 2

(cid:18) ∂ ∂xj − i

Ta ký hiệu

m (cid:88)

.

; ξj ∈ C

ξj

TxM =

(cid:19)    

x

j=1

(cid:18) ∂ ∂xj  

Khi đó TxM là một không gian con tuyến tính phức m chiều của TxM ⊗R C, mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương (z1, ..., zm).

Ta gọi TxM là không gian tiếp xúc của đa tạp phức M tại x.

Đặt

T M =

TxM (hợp rời)

x∈M

(cid:91)

4

T M có cấu trúc của đa tạp phức 2m chiều sao cho π là ánh xạ chỉnh hình.

Ta định nghĩa phép chiếu π : T M → M bởi điều kiện π(TxM ) = x. Khi đó

Cụ thể hơn, giả sử (z1, ..., zm) là hệ tọa độ chỉnh hình địa phương xác định

trên một tập con mở U của M . Khi đó ta có

m (cid:88)

π−1(U ) =

; x ∈ U, ξj ∈ C

.

ξj

(cid:19)    

x

j=1

(cid:18) ∂ ∂xj  

Ánh xạ

m (cid:88)

ξj

∈ π−1(U ) (cid:55)→ (z1(x), ..., zm(x), ξ1, ..., ξm) ∈ C2m

(cid:19)

x

j=1

(cid:18) ∂ ∂xj

là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương của T M . Ta gọi T M là phân thớ

tiếp xúc chỉnh hình của đa tạp phức M .

Không gian phân thớ

Ánh xạ liên tục π : E → X giữa các không gian Hausdorff được gọi là

phân thớ K-vector bậc r nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) Với mỗi p ∈ X, Ep := π−1(p) là K-không gian vector r chiều (Ep được

gọi là thớ trên p);

h : π−1(U ) → U × K r

ii) Với mỗi p ∈ X, tồn tại lân cận U của p và một đồng phôi

hp : Ep → {p} × K r → K r

thỏa mãn h(Ep) ⊂ {p} × K r, và hp xác định phép hợp thành

là một đẳng cấu K-không gian vector (cặp (U, h) được gọi là tầm thường

hóa địa phương).

Đối với một K-phân thớ vector π : E → X, E được gọi là không gian

toàn thể, X được gọi là không gian đáy, và ta thường nói E là một phân

thớ vector trên X. Ta còn ký hiệu phân thớ vector trên là (E, π, X).

5

Nếu E, X là các không gian phức và π là ánh xạ chỉnh hình toàn ánh,

và phép đồng phôi h là ánh xạ song chỉnh hình thì phân thớ vector được

1.2 Đa tạp phức taut

gọi là phân thớ chỉnh hình.

Trước khi định nghĩa đa tạp phức taut, ta ký hiệu

Ký hiệu 1.1. ∆ = {ζ ∈ C|, |ζ| < 1}

Định nghĩa 1.3. ([2]) Cho X và Y là hai đa tạp phức. Một họ F các ánh

xạ chỉnh hình từ X → Y được gọi là chuẩn tắc nếu mọi dãy trong F hoặc

tồn tại dãy con hội tụ hoặc dãy con phân kì compact.

Ký hiệu X ∗ là compact hóa bởi một điểm của X. Vì X là Hausdorff,

compact địa phương, liên thông và đếm được thứ hai nên X ∗ là Hausdorff,

compact địa phương, liên thông, đếm được thứ hai và compact hóa được.

Đặc biệt, với mỗi đa tạp phức Y , không gian C 0(Y, X ∗) là đếm được thứ hai,

C 0(Y, X ∗) là compact tương đối, ở đó ký hiệu ∞ là điểm tại vô cùng của

X ∗ và bất kỳ ánh xạ hằng có giá trị ∞.

và một tập con của C 0(Y, X ∗) là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu họ F ∪ {∞} ⊂

Cho X, Y là hai đa tạp phức. Kí hiệu Hol(X, Y ) là tập các ánh xạ chỉnh

hình từ đa tạp phức X vào đa tạp phức Y .

Định nghĩa 1.4. ([2]) Đa tạp phức X là taut nếu Hol(∆, X) là họ chuẩn

tắc.

Hol(∆, X) ∪ {∞} ⊂ C 0 (∆, X ∗) là compact.

Vì Hol(∆, X) là đóng trong C 0 (∆, X) nên điều này tương đương với

X tương thích với topo của nó. Giả sử Hol(∆, X) đồng liên tục với d. Khi

Định lý 1.1. ([2]) Cho X là một đa tạp phức, d là một khoảng cách trên

6

đó, Hol(Y, X) là đồng liên tục với mỗi đa tạp phức Y

Chứng minh. Giả sử ngược lại tồn tại một đa tạp phức Y sao cho Hol(Y, X)

zν ⊂ Y và fν ⊂ Hol(Y, X) sao cho zν → z0 và d(fν(zν), fν(z0) ≥ ε với mọi ν ∈ N. Chọn hệ tọa độ địa phương thích hợp ta có thể giả sử Y là hình cầu đơn vị Euclide B trong Cn và chọn z0 = 0.

không là đồng liên tục. Khi đó, tồn tại ε > 0, một điểm z0 ∈ Y và dãy

Định nghĩa gν ∈ Hol(∆, X) bởi

.

gν(ζ) = fν

(cid:19)

(cid:18) ζz1 ||z1||

d(gν(||zν), gν(0)) = d(fν(zν), fν(z0) ≥ ε,

Khi đó, ||zν → 0 khi ν → ∞ và

với mọi ν ∈ N, và do đó Hol(∆, X) không là đồng liên tục, điều này dẫn

đến mâu thuẫn. Vậy Hol(Y, X) là đồng liên tục.

Bây giờ, ta giả sử tồn tại một đa tạp phức Y sao cho Hol(Y, X) không là

C 0(Y, X ∗). Vì nó là đồng liên tục tương ứng với d nên theo định lý Ascoli-

chuẩn tắc. Khi đó, Hol(Y, X) ∪ {∞} không là một tập con compact trong

Arzela, Hol(Y, X) ∪ {∞} không đóng trong C 0(Y, X ∗). Đặc biệt, tồn tại

một dãy {fν} ⊂ Hol(Y, X) hội tụ đến một ánh xạ f ∈ C 0(Y, X ∗) trong C 0(Y, X) hoặc đến ánh xạ hằng ∞, vì Hol(Y, X) đóng trong C 0(Y, X). Tồn

tại một điểm z0 ∈ Y sao cho f (z0) = ∞ và f không đồng nhất bằng ∞

trong bất kỳ lân cận nào của z0. Do đó, chọn hệ tọa độ địa phương thích

hợp, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử Y là hình cầu đơn vị B của Cn và z0 = 0.

Vì f không đồng nhất bằng ∞, tồn tại z1 ∈ B sao cho f (z1) (cid:54)= ∞. Định

nghĩa gν ∈ Hol(∆, X) và g ∈ C 0(∆, X ∗) bởi

gν(ζ) = fν

(cid:19) (cid:19) . và g(ζ) = f (cid:18) ζz1 ||z1|| (cid:18) ζz1 ||z1||

7

Hol(∆, X) ∪ {∞} không compact trong C 0(∆, X ∗) dẫn đến mâu thuẫn.

Khi đó, g không thuộc C 0(∆, X) ∪ {∞} và gν → g khi ν → ∞. Điều đó có nghĩa là Hol(∆, X) ∪ {∞} không đóng trong C 0(∆, X ∗), khi đó,

Định lý được chứng minh.

Từ định lí trên ta có hệ quả sau:

Hệ quả 1.1. ([2]) Một diện Riemann là taut nếu và chỉ nếu nó là Hybebolic.

Mệnh đề 1.1. ([2]) Mọi miền taut bị chặn D ⊂ Cn là giả lồi.

Chứng minh. Cho họ F ⊂ Hol (∆, D)∩C 0 (cid:0)∆, D(cid:1) là một họ của các ánh xạ

ϕ (∂, ∆) là compact tương đối trên ϕ (cid:0)∆(cid:1)

D. Đặc biệt ∪ ϕ∈F

ϕ (∂, ∆) là bị chặn. Do đó theo nguyên lý cực đại ∪ ϕ∈F cũng bị chặn và do đó họ F là compact tương đối trong Hol (∆, Cn).

ϕ (∂, ∆) ⊆ D không có dãy con nào trong dãy F phân kì

liên tục chỉnh hình trên ∆ , sao cho ∪ ϕ∈F

Đặc biệt vì ∪ ϕ∈F

compact. Do D là taut nên F là compact tương đối trong Hol (∆, D). Và ϕ (cid:0)∆ ⊆ D(cid:1) và D là giả vì vậy F là taut trong C 0 (∆, D). Từ đó ta có ∪ ϕ∈F

lồi.

Ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.1. ([2])

i) Một đa tạp con đóng Y của một đa tạp taut X là đa tạp taut.

ii) Tích của hai đa tạp taut là một đa tạp taut.

Chứng minh. i) Vì Y là đa tạp con đóng trong đa tạp taut X nên Hol (∆, Y )

là đóng trong Hol (∆, X). Và X là đa tạp phức taut nên Hol (∆, X) là họ

chuẩn tắc. Do đó Hol (∆, Y ) là họ chuẩn tắc. Theo định nghĩa Y là đa tạp

phức taut.

p1 : X1 × X2 → X1

ii) Giả sử X1, X2 là hai đa tạp taut. Kí hiệu:

8

p2 : X1 × X2 → X2

X1 × X2. Khi đó,

Hol (∆, X1 × X2) = Hol (∆, X1) × Hol (∆, X2)

là các phép chiếu lên thành phần thứ nhất và thành phần thứ hai của

và dãy {ϕi} ⊂ Hol (∆, X1 × X2) là phân kì compact nếu và chỉ nếu ít nhất

một trong những dãy {pj ◦ fi} ⊂ Hol (∆, Xj) , j = 1; 2 là phân kì compact.

1.3 Khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức

taut

Do đó ta có khẳng định ii).

Trước hết, chúng tôi giới thiệu giả khoảng cách Kobayashi.

Hol(D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị

Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X.

tô pô compact mở. Xét dãy các điểm p0 = x, p1, ..., pk = y của X, dãy các

điểm a1, a2, ..., ak của D và dãy cách ánh xạ f1, ..., fk trong Hol(D, X) thỏa

fi(0) = pi−1, fi(ai) = pi, ∀i = 1, ..., k.

mãn

Tập hợp α = {p0, ..., pk, a1, ..., ak, f1, ..., fk} thỏa mãn các điều kiện trên

được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.

Ta định nghĩa

,

ρD(0; ai), α ∈ Ωx,y

dX(x, y) = inf α

i=1

(cid:41) (cid:40) k (cid:88)

X.

trong đó, Ωx,y là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong

9

Khi đó, dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả

khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.

ρD(0; ai) được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình

k (cid:80) i=1

α.

Tổng

Định lý sau đây cho ta tính chất của khoảng cách Kobayashi.

Định lý 1.2. ([2]) Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không

∀x, y ∈ X.

dX (x, y) ≥ dY (f (x) , f (y))

gian phức thì f làm giảm khoảng cách Kobayashi, nghĩa là

Hơn nữa, f là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ

chỉnh hình f : D → X là giảm khoảng cách.

Chứng minh. Tính giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobaysashi là

hiển nhiên, vì nếu α là dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm x và y trong X

thì f ◦ α cũng là dây chuyền chỉnh hình nối f (x) và f (y) trong Y .

Bây giờ, ta chứng minh tính lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi.

α = {fi ∈ Hol(D, Z), ai ∈ D, i − 1, ..., k}

Lấy hai điểm x, y tùy ý trong X. Gọi

là dây chuyền chỉnh hình nối x với y trong X. Giả sử d(cid:48) là giả khoảng cách

X. Ta chứng minh dX ≥ d(cid:48). Gọi pi ∈ X, i = 0, ..., k là các điểm thỏa mãn

fi(0) = pi−1, fi(ai) = pi.

trên X có tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ chỉnh hình từ D tới

Khi đó, vì số dây chuyền chỉnh hình nối x với y lớn hơn số dây nối f (x)

k (cid:88)

k (cid:88)

d(cid:48)(x, y) ≤

d(cid:48)(fi(0), fi(ai)) ≤

ρ(0, ai).

i=1

i=1

với f (y) nên ta có

10

∀x, y ∈ X.

dX (x, y) ≥ dY (f (x) , f (y))

Theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có

Vậy định lý được chứng minh.

M trên M × M bởi

{δ(a, b)|∃f ∈ Hol(∆, M ), a, b ∈ ∆, f (a) = p, f (b) = q},

d∗ M (p, q) = inf f

Định nghĩa 1.5. ([2]) Ta định nghĩa hàm d∗

M (p, q) < ∞ nếu p đủ

nối p với q thì ta đặt d∗ trong đó ρ là khoảng cách Poincaré trên ∆. Nếu không có đĩa giải tích nào M (p, q) = ∞. Lưu ý rằng d∗

gần q.

Tiếp theo với mỗi số nguyên dương l, ta đưa ra một hàm trên M × M

như sau:

(cid:96) (cid:88)

.

d∗ M (pj, pj+1)|p1 = p, p2,....,p(cid:96), p(cid:96)+1 = q ∈ M

d((cid:96)) M (p, q) = inf

   

j=1

 

d((cid:96)) M (p, q)

dM (p, q) = lim (cid:96)→∞

Khi đó

được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên M .

M (p, q) ≥ d(2) d∗

M (p, q) ≥ ... ≥ d((cid:96))

M (p, q) ≥ ... ≥ dM (p, q)

Theo đinh nghĩa này, chúng ta dễ dàng thấy rằng

M (p, q) = dM (p, q) nếu M là

với mọi p, q ∈ M . Lempert đã chỉ ra rằng d∗

một miền lồi.

Định nghĩa 1.6. ([2]) Cho M là một đa tạp phức taut. Điểm p ∈ M được

dM (p, q) = d∗

M (p, q) với mọi q ∈ U .

gọi là một điểm đơn Kobayashi nếu tồn tại một lân cận mở U của p sao cho

11

D = dD nên mọi điểm

Ví dụ 1.3. ([2]) Vì nếu D là miền lồi trong Cm thì d∗

của một miền lồi D trong Cm đều là điểm đơn Kobayashi.

Với mỗi v ∈ TpD, ta gọi F (v) là độ dài của v được định nghĩa bởi

F (v) = inf

.

: f : ∆ → D chỉnh hình, f (0) = p, f (cid:48)(0) = λf v, λf > 0

(cid:27)

(cid:26) 1 λ

12

Chương 2

TÍNH LỒI CỦA METRIC

KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP

PHỨC TAUT

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu metric Royden-Kobayashi và

khoảng cách Kobayashi trên một đa tạp phức taut. Chúng ta chứng minh

rằng đạo hàm của khoảng cách Kobayashi trùng với metric Busemann

Kobayashi. Điều này cho chúng ta điều cần và đủ cho tính lồi của met-

2.1 Metric Buseman – Kobayashi trên đa tạp

phức taut

ric Royden-Kobaysshi.

∆ = {ζ ∈ C|, |ζ| < 1} Hol(∆, M ) = (cid:8)f : ∆ → M |f là ánh xạ chỉnh hình(cid:9) .

Chúng ta nhắc lại ký hiệu:

S. Kobayashi đã đưa ra một giả metric vi phân mới (cid:98)FM trên M mà là

hai lần đối ngẫu của M được xác định như sau:

13

Định nghĩa 2.1. ([2]) Cho M là một đa tạp phức m- chiều. Khi đó,

= ξ

|ζ=0

FM (ξ) = inf

t > 0|∃ f ∈ Hol(∆, M ), sao cho tf∗

(cid:19) (cid:27) (cid:26)

(cid:18) d dζ

trong đó ξ ∈ TpM là một véc tơ tiếp xúc chỉnh hình được gọi là giả metric

Royden-Kobayashi trên M .

Định nghĩa 2.2. ([2]) Cho FM là giả metric Royden-Kobayashi trên đa tạp

IFM (p) = {ξ ∈ TpM |FM (ξ) < 1}

phức M . Tập

được gọi là chỉ đồ của FM tại p. FM là nửa chuẩn tại p nếu và chỉ nếu chỉ

đồ của nó tại p là một tập lồi.

Định nghĩa 2.3. ([2]) Cho M là đa tạp phức. Với mọi ξ ∈ TpM ,

,

(cid:110) (cid:98)FM (ξ) = inf (cid:111) t > 0|t−1ξ ∈ (cid:98)IFM (p)

trong đó (cid:98)IFM (p) là bao lồi của IFM (p) được gọi là giả metric Busemann-

Kobayashi trên M . Nếu M là đa tạp phức taut thì (cid:98)FM là một metric.

Mệnh đề 2.1. ([2] Cho M là đa tạp phức. Giả metric Busemann-Kobayashi

(cid:98)FM trên M có các tính chất sau:

(i) (cid:98)FM là một nửa chuẩn tại mỗi p ∈ M ;

(ii) (cid:98)FM là nửa liên tục trên;

(iii) Nếu FM là một chuẩn tại mỗi M ∈ M và liên tục trên T M thì (cid:98)FM

cũng là một chuẩn tại mỗi p ∈ M và cũng liên tục trên T M .

Đặt (cid:98)FM (υ) = 2 (cid:98)FM (ξ), trong đó ξ ∈ TpM với υ = ξ + ξ. Vì vậy dạng tích

phân của (cid:98)FM được xác định tương tự như trên. S.Kobayashi chứng minh

rằng dạng tích phân của (cid:98)FM trùng với dạng tích phân của FM . Royden cũng

đã chỉ ra rằng dạng tích phân của FM trùng với giả khoảng cách Kobayashi.

14

Mệnh đề sau đây cho ta các tính chất của giả metric Royden-Kobayashi

trên đa tạp phức.

Mệnh đề 2.2. ([2]) Cho FM là giả metric Royden - Kobayashi trên đa tạp

phức M . Khi đó, FM có các tính chất sau:

(i) FM (ξ) ≥ 0 với mỗi ξ ∈ TpM ; (ii) FM (λξ) = |λ|FM (ξ) với mỗi λC;

(iii) FM là nửa liên tục trên trên phân thớ tiếp xúc chỉnh hình TpM , hơn

nữa nếu M là taut, thì Hol(∆, M ) là họ chuẩn tắc;

(iv) FM là liên tục trên T M ;

(v) FM (ξ) = 0 nếu và chỉ nếu ξ = 0.

Do đó chúng ta thấy rằng FM là một metric trên M , nếu M là đa tạp

phức taut.

Cho υ ∈ TpM là véc tơ tiếp xúc thực. Khi đó, υ có thể viết được một

cách duy nhất υ = ξ + ξ với ξ ∈ TpM . Đặt FM (υ) = 2FM (ξ).

Định nghĩa 2.4. ([2]) Cho FM là giả metric Royden-Kobayashi trên đa tạp

phức M . Khi đó, FM cảm sinh một giả khoảng cách dM trên M như sau:

1 (cid:90)

dt

dM (p, q) = inf

FM

c∗

(cid:19)(cid:19) (cid:18)    

0

(cid:18) d dt  

trong đó c chạy trên tất cả các đường cong trơn từng khúc nối p với q. Giả

khoảng cách dM này được gọi là dạng tích phân của FM .

Vì điều kiện dM (p, q) = 0 không bắt buộc p = q nên trong trường hợp

dM là khoảng cách nếu M là taut.

tổng quát, dM không phải là khoảng cách. Tuy nhiên, Royden đã chỉ ra rằng

Định nghĩa 2.5. ([2]) Cho FM là giả metric Royden-Kobayashi trên đa tạp

phức M . FM được gọi là lồi tại p, nếu nó là nửa chuẩn tại p.

15

Định nghĩa 2.6. ([2]) Một metric Hermitian trên phân thớ vector phức E

hp(η, ¯ζ) = hp(ζ, ¯η)

của đa tạp phức M là một dạng Hermitian trơn, xác định dương trên mỗi thớ, mỗi một metric được viết dưới dạng h ∈ Γ(E ⊗ ¯E)∗ sao cho

với mỗi η, ζ ∈ Ep và hp(ζ, ¯ζ) > 0 với mỗi ζ (cid:54)= 0 trong Ep.

Một đa tạp Hermitian là một đa tạp phức với một metric Hermitian trên

không gian tiếp xúc chỉnh hình của nó.

Định nghĩa 2.7. ([2]) Cho h là một metric Hermitian trên M . Cố định

một điểm p thuộc M . Khi đó, h cảm sinh ánh xạ mũ exp : U → M , trong

,

dM (q, exp tu) |t|

lim u→υ t→0

đó U ⊂ T M là một lân cận mở nhỏ của 0 ∈ TpM . Nếu tồn tại giới hạn

trong đó u ∈ TqM thì ta gọi giới hạn này là đạo hàm của giả khoảng cách

.

dM (q, exp tu) |t|

DdM (υ) = lim u→υ t→0

Kobayashi dM trên M , kí hiệu

ξ ∈ TpM , trong đó υ = ξ + ξ thì DdM là một giả metric trên M .

Chú ý rằng định nghĩa đạo hàm của giả khoảng cách Kobayashi dM trên M là độc lập với cách chọn h. Hơn nữa, nếu đặt DdM (ξ) = 2−1DdM (υ) với

Giả sử D là một miền trong Cm với metric phẳng chuẩn. Đồng nhất T D

.

DdD(p, ξ) = lim

(q,η)→(p,ξ)

dD(q, q + tη) 2 |t|

t→0

với D × Cm. Khi đó, nếu đạo hàm DdD tồn tại thì ta có

Đạo hàm của giả khoảng cách metric Kobayashi trên M không phải luôn

luôn tồn tại. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng nếu D là một miền trong Cm,

16

≤ FD(p, ξ),

lim (q,η)→(p,ξ)

dM (q, q + tη) 2 |t|

t→0

thì

với mỗi (p, υ) ∈ D × Cm. Mặt khác, M.Y.Pang đã chứng minh rằng nếu D

,

2FD(p, ξ) = lim t→0

d∗ D(p, p + tξ) |t|

là một miền taut trong Cm thì

2.2 Tính lồi của metric Buseman – Kobayashi

trên đa tạp phức taut

với mỗi ξ ∈ Cm.

Masashi Kobayashi đã chứng minh được một kết quả quan trọng về đạo

hàm của khoảng cách Kobayashi đó là đạo hàm của khoảng cách Kobayashi

trùng với metric Busemann Kobayashi. Điều này cho chúng ta điều cần và

đủ cho tính lồi của metric Royden-Kobaysshi. Để trình bày kết quả này của

Masashi Kobayashi ta cần một số khái niệm sau:

Định nghĩa 2.8. ([2]) Cho đa tạp phức taut M , p, q ∈ M và ξ ∈ TpM .

i) Một ánh xạ chỉnh hình f ∈ O(∆, M ) được gọi là ánh xạ cực trị đối

d∗ M (p, q) = ρ(0, t).

với các điểm p, q ∈ M nếu tồn tại t ∈ [0, 1) sao cho f (0) = p, f (t) = q và

ii) Một ánh xạ chỉnh hình f ∈ O(∆, M ) được gọi là ánh xạ cực trị đối

= ξ.

(cid:16) d với véc tơ tiếp xúc chỉnh hình ξ ∈ TpM nếu FM (ξ)f∗ (cid:17) dζ |ζ = 0

Định nghĩa trên chỉ cho mỗi cặp điểm p, q ∈ M (một ξ ∈ TpM ). Tổng

ξ ∈ TpM không nhất thiết tồn tại.

quát, ánh xạ cực trị đối với tất cả các cặp điểm p, q ∈ M hoặc tất cả các

M.Y.Pang đã chứng minh được kết quả sau:

17

{pn} ⊂ D và {qn} ⊂ D là các dãy hội tụ tới điểm gốc. Giả sử fn ∈ O (∆, D)

Định lý 2.1. (M.Y. Pang [3]) Cho D ⊂ Cm là một miền chứa điểm gốc,

(0, f (cid:48) (0)). Hơn nữa đồng nhất sau là đúng:

=

,

lim n→∞

2FD(0, f (cid:48)(0)) (cid:107)f (cid:48)(0)(cid:107)

d∗ D(pn, qn) (cid:107)pn − qn(cid:107)

là các ánh xạ cực trị đối với pn, qn ∈ D và hội tụ tới f ∈ O (∆, D) đều trên các tập con compact. Khi đó f (cid:48)(0) (cid:54)= 0 và f là ánh xạ cực trị đối với

2 với mọi z = (z1, ..., zm) ∈ Cm.

m (cid:80) j=1

trong đó (cid:107)z(cid:107) = (cid:12)zj(cid:12) (cid:12) (cid:12)

Chứng minh. Giả sử {pn} , {qn} là hai dãy trong D cùng hội tụ đến 0. Do

tính cực trị của fn nên ta có thể tìm tn ∈ (0; 1) sao cho fn(0) = pn, fn(tn) = qn và δ(0, tn) = d∗(pn, qn). Rõ ràng tn → 0 khi n → ∞.

Trước hết ta chứng minh f (cid:48)(0) (cid:54)= 0. Chọn hình cầu mở B(0; r) ⊂ D

là hình cầu tâm 0 bán kính r nhỏ. Do tính compact của hình cầu đóng

B

0;

r 2

(cid:16) (cid:17) , ta có thể tìm một hằng số C sao cho

0;

.

dB(0;r)(z1, z2) ≤ C||z1 − z2|| với z1, z2 ∈ B

r 2

(cid:16) (cid:17)

D ≤ d∗

B(0;r). Do đó, với n đủ lớn ta có bất

Ta nhắc lại bất đẳng thức d∗

=

δ(0, tn) tn

d∗ D(fn(tn)), fn(0)) tn

≤

dB(0;r)(fn(tn)), fn(0)) tn

≤

đẳng thức

fn(tn)), fn(0) tn

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Điều này có nghĩa là f (cid:48)(0) (cid:54)= 0 vì thành phần thứ nhất hội tụ đến 1 trong

khi thành phần cuối hội tụ đến f (cid:48)(0).

Để chứng minh f là ánh xạ cực trị, ta nhắc lại rằng metric ˜F trùng với

metric F thông thường. Do đó, với ε > 0 tồn tại một ánh xạ chỉnh hình

18

ϕ : B → D sao cho

F (f (cid:48)(0)) ≤

< F (f (cid:48)(0)) + ε,

1 λϕ

= λϕ(f (cid:48)(0)) và đặt det(ϕ∗)0 (cid:54)= 0. Theo định lý ánh

ϕ(0) = 0, ϕ∗

(cid:19)

(cid:18) ∂ ∂x1

xạ ngược ta có thể chọn lân cận U của 0 thuộc B sao cho hạn chế ϕ|U là

song chỉnh hình từ U đến một tập mở V của 0 ∈ D. Không mất tính tổng

quát, ta có thể giả sử pn, qn ∈ V , vì ϕ|U là song chỉnh hình từ U đến một

n, ta có thể lấy (duy nhất) ánh xạ cực trị hn : ∆ → B vào hình cầu với ˜pn

tập mở V , tồn tại dãy ˜pn, ˜qn ∈ U sao cho ϕ(˜pn) = pn, ϕ(˜qn) = qn. Với mỗi

= v (cid:54)= 0 vì

và ˜qn sao cho ˜pn = hn(0) và ˜qn = hn(sn) với sn ∈ (0; 1). Chú ý rằng ˜pn, ˜qn

˜pn = lim n→∞

˜pn = 0 và lim n→∞

˜qn − ˜pn tn

và tn thỏa mãn điều kiện lim n→∞

=

lim n→∞

˜qn − ˜pn tn

ϕ−1(qn) − ϕ−1(pn) tn

=

→ (ϕ−1 ◦ f ))(cid:48)(0) (cid:54)= 0

ϕ−1(fn(tn)) − ϕ−1(fn(0)) tn

dãy ˜pn, ˜qn hội tụ đến 0 trong B và

∆ → B.

khi n → ∞. Do đó, dãy {hn} hội tụ đến ánh xạ cực trị duy nhất h :

ϕ ◦ hn(0) = ϕ(˜pn) = pn = fn(0),

ϕ ◦ hn(sn) = ϕ(˜qn) = qn = fn(tn).

Với mỗi n, hai ánh xạ ϕ ◦ hn : ∆ → D và fn nối pn và qn, tức là

δ(0, tn) = d∗(pn, qn) = d∗(ϕ ◦ hn(0), ϕ ◦ hn(sn)) ≤ δ(0, sn).

Nhắc lại rằng fn là cực trị tại pn và qn, do đó

sn tn

Điều đó có nghĩa là tn ≤ sn và do đó 1 ≤

f (cid:48)(0) = lim n→∞

= lim n→∞

fn(tn) − fn(0) tn

qn − pn tn

Vì fn hội tụ đều đến f trên mỗi tập compact nên ta có

19

.

.

= lim n→∞

ϕ ◦ hn(sn) − ϕ ◦ hn(0) sn

sn tn

= (ϕ ◦ hn)(cid:48)(0) (cid:54)= 0,

lim n→∞

ϕ ◦ hn(sn) − ϕ ◦ hn(0) sn

Nhưng vì

sn tn

f (cid:48)(0) = A(ϕ ◦ hn(0))(cid:48) = Aϕ∗(h(cid:48)(0)).

dãy hội tụ đến một hằng số A > 1, do đó, ta có

(cid:19)

= λϕf (cid:48)(0) nên

Ah(cid:48)(0) =

∂ ∂x1 .

1 λϕ

h là ánh xạ cực trị nên FB(h(cid:48)(0)) = 1, ta có Aλϕ = 1.

1 ≤ A =

< F (f (cid:48)(0)) + ε

1 λϕ

Mặt khác, ϕ∗ (cid:18) ∂ ∂x1

F (f (cid:48)(0)) ≤ 1 và vì ε > 0 trong bất đẳng thức được chọn tùy ý, ta có

F (f (cid:48)(0)) = 1. Điều đó chứng tỏ f là cực trị theo hướng của f (cid:48)(0).

Nhắc lại bất đẳng thức F (g(cid:48)(0)) ≤ 1 đúng với mỗi g ∈ D(∆). Đặc biệt,

.

f (cid:48)(0) = lim n→∞

qn − pn tn

= 1. Hơn nữa, f là

Để chứng minh đẳng thức trong định lý, ta nhắc lại

δ(0, tn) tn

Thêm vào đó, δ(0, tn) = d∗(pn, qn) và lim n→∞

=

=

.

lim n→∞

= lim n→∞

1 ||f (cid:48)(0)||

F (f (cid:48)(0)) ||f (cid:48)(0)||

d∗(qn, pn) ||qn − pn||

δ(0, tn)/tn (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) qn − pn (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) tv (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

ánh xạ cực trị (tức là F (f (cid:48)(0)) = 1) nên

=

2FD(0, f (cid:48)(0)) (cid:107)f (cid:48)(0)(cid:107)

d∗ D(pn, qn) (cid:107)pn − qn(cid:107)

. Vậy lim n→∞

20

Áp dụng Định lý 2.1 với p là một điểm của M , cố định lân cận tọa độ

chỉnh hình tùy ý (Uo, ϕ, ∆m) của p sao cho ϕ(p) = 0, M. Kobayashi đã

chứng minh định lý sau:

Định lý 2.2. ([2]) Cho {pn} ⊂ M và {qn} ⊂ M là hai dãy hội tụ tới điểm p

của M . Giả sử rằng fn ∈ O(∆, M ) là các ánh xạ cực trị đối với pn, qn ∈ M

dζ |ζ=0) (cid:54)= 0 và f là ánh xạ cực trị đối với f∗( d

và dãy {fn} hội tụ tới f ∈ O(∆, M ) đều trên các tập con compact. Khi đó f∗( d

dζ |ζ=0). Hơn nữa, (cid:17) dζ |ζ=0)

=

.

lim n→∞

d∗ M (pn, qn) (cid:107)ϕ(pn) − ϕ(qn)(cid:107)

f∗( d 2FM (cid:13) (cid:13)(ϕ ◦ f )∗( d (cid:13)

(cid:16)

(cid:13) (cid:13) dζ |ζ=0) (cid:13)

Chứng minh của Định lý 2.2 hoàn toàn tương tự như chứng minh của

Định lý 2.1

r là đa đĩa đơn vị bán kính r. Giả sử f là một ánh xạ chỉnh hình từ ∆k vào một đa tạp phức n chiều M

Cho ∆k là đa đĩa đơn vị trong Ck, ta đặt ∆k

k tại đó.

và giả sử f là chính quy tại 0, có nghĩa là ma trận Jacobian có hạng bằng

∆k vào một đa tạp M n chiều. Khi đó, cho r < 1, tồn tại một phép nhúng

Mệnh đề 2.3. ([4] Cho f là một phép nhúng chỉnh hình của đa đĩa đơn vị

chỉnh hình F của ∆k × ∆n−k vào M sao cho F = f trên ∆k × {0}.

Mệnh đề trên được H. L. Royden chứng minh chi tiết trong [4].

Chúng ta nhắc lại định lý sau đây về thác triển ánh xạ chỉnh hình chính

quy, định lý này đóng vai trò quan trọng trong chứng minh kết quả chính

của Masashi Kobayashi về đạo hàm của khoảng cách Kobayashi.

Định lý 2.3. (H.L. Royden [4]) Cho f là một ánh xa chỉnh hình từ đĩa

0. Khi đó, với r < 1, tồn tại một ánh xạ F từ ∆ × ∆n−1 vào M là chính

đơn vị ∆ vào một đa tạp phức n chiều M , và giả sử rằng f là chính quy tại

quy tại 0 và hạn chế của nó trên ∆ × {0} là f .

21

Chứng minh. Giả sử g là ánh xạ từ đĩa đơn vị ∆ vào ∆×M , g(z) = (cid:104)z, f (z)(cid:105).

G của ∆r × ∆n vào ∆ × M khớp với g trên ∆r × {0}.

Khi đó, g là một phép nhúng. Theo Mệnh đề 2.3, tồn tại một phép nhúng

Lấy π : ∆ × M là phép chiếu lên thành phần M . Khi đó, π ◦ g = f .

Vì f là chính quy tại 0 nên ta có thể chọn không gian con tuyến tính S

(n − 1) chiều của ∆n, ánh xạ π ◦ G hạn chế trên ∆r × S là chính quy tại 0. Vì S chứa đa đĩa ∆n−1, ta có thể chọn một đĩa đơn vị bằng cách thay

∆r × ∆n−1. Định lý được chứng minh.

đổi tỷ lệ, mệnh đề là đúng nếu chúng ta có F là một hạn chế của π ◦ G trên

Từ đây chúng ta giả thiết rằng M là một đa tạp phức taut. Do đó chú ý

rằng tồn tại một ánh xạ cực trị đối với bất kì cặp p, q ∈ M hoặc ξ ∈ TpM .

Định lý 2.4. ([2]) Với bất kì ε > 0, tồn tại một lân cận mở U ⊂ U0 của p

sao cho:

M (q, q(cid:48)) − 2FM (ϕ−1

∗ (p, ϕ(q) − ϕ(q(cid:48))))(cid:12)

(cid:12) (cid:12)d∗ (cid:12) < ε (cid:107)ϕ(q) − ϕ(q(cid:48))(cid:107) ,

Dd∗

M = FM .

với mọi q, q(cid:48) ∈ U . Hơn nữa ta có đồng nhất thức sau:

Chứng minh. Để đơn giản, chúng ta có thể giả thiết rằng M là một miền

trong Cm. Ta chỉ cần chứng minh rằng đối với bất kì ε > 0 có tồn tại một

|d∗

M (q, q(cid:48)) − 2FM (p, q − q(cid:48))| < ε (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

lân cận mở của p sao cho bất kỳ q, q(cid:48) ∈ U ta có

Giả sử ngược lại, tồn tại một hằng số ε > 0 sao cho có các điểm phân

q ∈ Cm, (cid:107)q − p(cid:107) < 1 j

j ) =

j ∈ B(cid:107).(cid:107)(p, 1 j thỏa mãn bất đẳng thức sau:

(cid:110) (cid:111) với mỗi số nguyên dương biệt qj, q(cid:48)

j) − 2FM (p, qj − q(cid:48)

j

M (qj, q(cid:48)

(cid:12) (cid:12)d∗ (cid:13)qj − q(cid:48) (cid:13) (cid:13) . (cid:12) > ε (cid:13) j)(cid:12)

22

j ∈ M j, trong đó cj ∈ [0, 1) với mỗi cặp các điểm

Vì M là taut nên tồn tại ánh xạ cực trị fj ∈ O(∆, M ) đối với qj, q(cid:48)

j ).

j ∈ B(cid:107).(cid:107)(0, 1 Bằng cách chọn một dãy con của dãy {fj} (nếu cần), chúng ta có thể

sao cho fj(0) = qj và fj(cj) = q(cid:48) qj, q(cid:48)

j) (cid:13) (cid:13)

j

hội tụ tới ξ ∈ Cm với (cid:107)ξ(cid:107) = 1. giả sử rằng {fj} hội tụ đều tới f ∈ O(∆, M ) trên các tập con compact, và −(qj − q(cid:48) (cid:13) (cid:13)qj − q(cid:48)

= lim j→∞

f (cid:48)(0) (cid:107)f (cid:48)(0)(cid:107)

|0 − cj| (cid:107)fj(0) − fj(cj)(cid:107)

j

−

= lim j→∞

fj(0) − fj(cj) 0 − cj qj − q(cid:48) (cid:13) (cid:13)qj − q(cid:48)

Theo Định lý 2.1 ta có

j

= ξ.

(cid:13) (cid:13)

≤

ε 2

M (qj, q(cid:48) d∗ (cid:13) (cid:13)qj − q(cid:48)

j) (cid:13) (cid:13)

j

Lấy một số nguyên dương N đủ lớn thỏa mãn

(cid:12) (cid:12) − 2FM (q(cid:48), ξ) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

j

≤

2FM (q(cid:48),

ε 2

qj − q(cid:48) (cid:13) (cid:13)qj − q(cid:48)

và

j

(cid:13) (cid:13) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ) − 2FM (p, ξ) (cid:12) (cid:12)

với mọi j > N . Khi đó ta có

j

p,

− 2FM

j) (cid:13) (cid:13)

(cid:32)

M (qj, q(cid:48) d∗ (cid:13) (cid:13)qj − q(cid:48)

j

j

+

≤

2FM (q(cid:48), ξ) − 2FM

(cid:13) (cid:13) (cid:33)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 

j) (cid:13) (cid:13)

M (qj, q(cid:48) d∗ (cid:13) (cid:13)qj − q(cid:48)

j

j

qj − q(cid:48) (cid:13) (cid:13)qj − q(cid:48) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) − 2FM (q(cid:48), ξ) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

qj − q(cid:48) j (cid:13) (cid:13) (cid:13)qj − q(cid:48)

≤ε.

 p,  (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Điều này là mâu thuẫn, vì vậy chúng ta hoàn thành chứng minh khẳng

định thứ nhất của định lý.

23

Chúng ta cố định một metric Hermitian h trên M . Ta có các công thức

= ξ;

ϕ(exp tu) − ϕ(q) t

lim u→v t→0

=

;

ϕ(exp tu) − ϕ(q) (cid:107)ϕ(exp tu) − ϕ(q)(cid:107)

ξ (cid:107)ϕ∗(ξ)(cid:107)

lim u→v t→0

sau:

trong đó ξ ∈ TpM , υ = ξ + ξ và u ∈ TpM .

Dd∗

d∗ M (exp tu) |t|

M (v) = lim u→v t→0

ϕ(exp tu) − ϕ(q) (cid:107)ϕ(exp tu) − ϕ(q)(cid:107)

(cid:107)ϕ(exp tu) − ϕ(q)(cid:107) |t|

= lim u→v t→0

= 2FM (

) (cid:107)ϕ∗(ξ)(cid:107)

ξ (cid:107)ϕ∗(ξ)(cid:107)

= FM (v)

Từ khẳng định thứ nhất của định lý này và định nghĩa của Dd∗M , ta có

Định lý được chứng minh.

M . Khi đó, tồn tại một hằng số L(cid:48) > 0 sao cho với bất kỳ ξ ∈ TpM ta có

L(cid:48)(cid:107)ξ(cid:107)h < FM (ξ)

Bổ đề 2.1. ([6]) Gọi h là metric Hermitian trên M và p là một điểm của

trong đó (cid:107)ξ(cid:107)h là độ dài của ξ cảm sinh bởi h.

ξ1, ...., ξn ∈ TpM thỏa mãn các điều kiện sau: (i) ξ1, ...., ξn là độc lập tuyến tính trên R;

Định lý 2.5. ([5]) Với bất kỳ ξ ∈ TpM tồn tại n véc tơ tiếp xúc chỉnh hình

ξj;

n (cid:80) j=1

FM (ξj)

(ii) ξ =

n (cid:80) j=1

(iii) (cid:98)FM (ξ) =

24

L > 0 thỏa mãn điều kiện sau: Với bất kỳ ξ ∈ TpM , lấy ξ1, ...., ξn ∈ TpM

Bổ đề 2.2. ([2]) Cho p là một điểm thuộc M . Khi đó, tồn tại một hằng số

n (cid:88)

(cid:107)ξ(cid:107)h ≤ L

(cid:107)ξj(cid:107)h.

j=1

thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 2.5. Khi đó, ta có bất đẳng thức sau:

Chứng minh. Vì (cid:98)FM liên tục nên tồn tại hằng số L(cid:48)(cid:48) > 0 sao cho

L(cid:48)(cid:48)(cid:107)ξ(cid:107)h ≥ (cid:98)FM (ξ) với mọi ξ ∈ TpM.

(2.1)

Lấy ξ1, ...., ξn ∈ TpM thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 2.5. Theo Bổ

n (cid:88)

n (cid:88)

đề 2.1 chúng ta có

FM (ξj) ≥ L(cid:48)

(cid:107)ξj(cid:107)h

j=1

j=1

(2.2)

n (cid:88)

n (cid:88)

.

FM (ξj) ≥ L(cid:48)

(cid:107)ξj(cid:107)

L(cid:48)(cid:48)(cid:107)ξ(cid:107)h ≥ (cid:98)FM (ξ) =

j=1

j=1

h

Từ 2.1 và 2.2 ta có

Bổ đề được chứng minh.

d∗ M (qj, qj+1).

M (q, q(cid:48)) =

l (cid:80) j=1

Nhận xét 2.1. Ta cố định một số nguyên dương l. Lấy hai điểm q, q(cid:48) tùy ý của M sao cho d(l) M (q, q(cid:48)) < ∞. Vì M là taut nên tồn tại l + 1 điểm q1 = q, q2, ..., ql,ql+1 = q(cid:48) ∈ M sao cho d(l)

Bổ đề 2.3. ([2]) Cho M là một đa tạp phức taut và p là một điểm của M .

Với mỗi lân cận mở W ⊂ U0 của p và mỗi số nguyên dương l tồn tại một lân cận mở V ⊂ W của p thỏa mãn điều kiện sau: Với bất kì q, q(cid:48) ∈ V , lấy l + 1

M (q, q(cid:48)) =

d∗ M (qj, qj+1).

l (cid:80) j=1

điểm q1 = q, q2, ..., ql,ql+1 = q(cid:48) ∈ M sao cho dl

Khi đó q1, ..., ql+1 được chứa trong W .

25

Chứng minh. Vì M là taut, M là hyperbolic (tức là dM là khoảng cách và

(p, R) =

tô pô cảm sinh bởi nó trùng với tô pô trên M ).

{q ∈ M |dM (q, p) < R}. Khi đó, tồn tại một hằng số r > 0 thỏa mãn ϕ−1(B(cid:107).(cid:107)(0, r)) ⊂ W , trong đó B(cid:107).(cid:107)(0, r) = {z ∈ Cm| (cid:107)z(cid:107) < r}.

4 )). Với bất kỳ hai điểm q, q(cid:48) ∈ V , tồn tại l + 1

Chọn hằng số R > 0 chúng ta có thể giả sử rằng W = BdM

Đặt V = ϕ−1(BdB(cid:107).(cid:107)(0,r)(0, R

d∗ M (qj, qj+1).

M (q, q(cid:48)) =

l (cid:80) j=1

điểm q1 = q, q2, ..., ql,ql+1 = q(cid:48) ∈ M sao cho dl

dM (p, qj) ≤ dM (p, q) + dM (q, qj)

M (q, qj)

≤ dM (p, q) + d(j) ≤ dM (p, q) + d(j)

M (q, q).

Khi đó, với mỗi qj ta có

B(cid:107).(cid:107)(0,r) =

dB(cid:107).(cid:107)(0,r) nên ta có

dM (p, qj) ≤ dB(cid:107).(cid:107)(0.r)(ϕ(p), ϕ(q)) + dB(cid:107).(cid:107)(0,r)(ϕ(q), ϕ(q(cid:48)))

≤ dB(cid:107).(cid:107)(0.r)(ϕ(p), ϕ(q)) + dB(cid:107).(cid:107)(0,r)(ϕ(q), ϕ(p))

≤

R.

+ dB(cid:107).(cid:107)(0,r)(ϕ(p), ϕ(q(cid:48))) 3 4

Bởi vì khoảng cách Kobayashi có tính chất giảm khoảng cách và dl

Do đó qj được chứa trong W .

Bổ đề 2.4. ([2]) Cho một lân cận mở V của p và một hằng số C > 0 sao

l (cid:88)

(cid:107)ϕ(qj) − ϕ(qj + 1)(cid:107) ≤ C (cid:107)ϕ(q) − ϕ(q(cid:48))(cid:107) ,

j=1

cho với bất kỳ cặp điểm q, q(cid:48) ∈ V và mỗi số nguyên dương l, ta có:

l (cid:88)

M (q, q(cid:48)) = dl

d∗ M (qj, qj+1).

j=1

trong đó q1 = q, q2, ..., ql,ql+1 = q(cid:48) ∈ M sao cho

26

Chứng minh. Vì M là taut nên FM là liên tục. Khoảng cách Kobayashi dM

C (cid:48) (cid:107)ϕ(q) − ϕ(q(cid:48))(cid:107) ≤ dM (q, q(cid:48)),

là một dạng tích phân của FM , do đó tồn tại một lân cận mở W của p và một hằng số C (cid:48) > 0 sao cho

với mọi q, q(cid:48) ∈ W bất kỳ. Chọn một lân cận mở đủ nhỏ V ⊂ W của p như

d∗

q(cid:48) ∈ W sao cho dl

M (qj, qj+1). Ta có

M (q, q(cid:48)) =

l (cid:80) j=1

l (cid:88)

l (cid:88)

trong Bổ đề 2.4. Với mỗi q, q(cid:48) ∈ V ta lấy l + 1 điểm q1 = q, q2, ..., ql,ql+1 =

C (cid:48)

(cid:107)ϕ(qj) − ϕ(qj+1)(cid:107) ≤

dM (qj, qj+1)

j=1

j=1

l (cid:88)

(2.3)

≤

M (qj,qj+1) = d(l) d∗

M (q, q(cid:48)).

M (q, q(cid:48)) ≤ d∗

j=1

(2.4)

V = ϕ−1(B(cid:107).(cid:107)(0, R)) và ϕ−1(B(cid:107).(cid:107)(0, 2R)) ⊂ W . Khi đó, tồn tại một hằng số C (cid:48)(cid:48) > 0 sao cho

dB(cid:107).(cid:107)(0,2R)(ϕ(q), ϕ(q(cid:48))) ≤ C (cid:48)(cid:48) (cid:107)ϕ(q) − ϕ(q(cid:48))(cid:107) ,

Mặt khác, chọn một hằng số nhỏ R > 0, chúng ta có thể giả thiết rằng

trong đó q, q(cid:48) ∈ V . Vì thế ta có

M (q, q(cid:48)) ≤ dB(cid:107).(cid:107)(0,2R)(ϕ(q), ϕ(q(cid:48))) ≤ C (cid:48)(cid:48) (cid:107)ϕ(q) − ϕ(q(cid:48))(cid:107) . d∗

(2.5)

l (cid:88)

C (cid:48)

(cid:107)ϕ(qj) − ϕ(qj+1)(cid:107) ≤ C (cid:48)(cid:48) (cid:107)ϕ(q) − ϕ(q(cid:48))(cid:107) .

j=1

Kết hợp 2.4 và 2.5 ta có

Bổ đề được chứng minh.

Bổ đề tiếp theo chính là chìa khóa để chứng minh định lý chính.

27

Bổ đề 2.5. ([2]) Với mỗi ε > 0 và mỗi số nguyên dương l ≥ 2m, tồn tại

một lân cận mở U ⊂ U0 của p sao cho

(cid:12) (cid:12)d(l) M (q, q(cid:48)) − 2 (cid:98)FM (ϕ−1 (cid:12) (cid:12) ∗ (p, ϕ(q(cid:48)) − ϕ(q(cid:48))) (cid:12) < ε (cid:107)ϕ(q) − ϕ(q(cid:48))(cid:107) (cid:12)

với mọi q.q(cid:48) ∈ U .

Chứng minh. Để đơn giản, ta giả thiết rằng M là một miền trong Cm.

q(cid:48) ∈ M thỏa mãn dl

M (q, q(cid:48)) =

d∗ M (qj, qj+1) và n véc tơ tiếp xúc chỉnh

l (cid:80) j=1

Lấy hai điểm phân biệt q, q(cid:48) ∈ U0 tùy ý. Chọn các điểm q1 = q, q2, ...., ql,ql+1 =

hình (p, ξ1), ..., (p, ξn) ∈ M × Cm với (p, q − q(cid:48)) ∈ M × Cm như trong Định

l (cid:88)

n (cid:88)

j−1 (cid:88)

j (cid:88)

ξk, q +

ξk,

M (qj, qj+1) = d(l) d∗

d∗ M (q +

M (q, q(cid:48)) ≤

j=1

j=1

k=0

k=1

lý 2.7, trong đó n ≤ 2m. Ta có

ξk, q +

ξk)

d∗ M (q +

j−1 (cid:80) k=0

j (cid:80) k=1

n (cid:88)

l (cid:88)

=

≤

.

d∗ M (qj, qj+1) (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

d(l) M (q, q(cid:48)) (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

(cid:107)ξj(cid:107) (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

(cid:107)ξj(cid:107)

j=1

j=1

trong đó ξ0 = 0. Vì vậy ta có

ξk, q +

ξk)

d∗ M (q +

j−1 (cid:80) k=0

j (cid:80) k=1

l (cid:88)

n (cid:88)

=

≤

(cid:107)qj+1 − qj(cid:107) (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

d(l) M (q, q(cid:48)) (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

(cid:107)ξj(cid:107) (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

d∗ M (qj, qj+1) (cid:107)qj+1 − qj(cid:107)

(cid:107)ξj(cid:107)

j=1

j=1

Chúng ta dễ dàng thấy rằng

Ta cố định một ε > 0 tùy ý và lấy một lân cận mở U của p. Khi đó với

bất kì q, q(cid:48) ∈ U ta có

l (cid:88)

p,

− ε

2FM

(cid:18) (cid:18) (cid:19)

qj+1 − qj (cid:107)qj+1 − qj(cid:107)

≤

j=1 d(l) M (q, q(cid:48)) (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

(cid:19) (cid:107)qj+1 − qj(cid:107) (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

28

n (cid:88)

+ ε

.

≤

p,

2FD

(cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

ξj (cid:107)ξj(cid:107)

j=1

(cid:19) (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:107)ξj(cid:107)

Thay U bởi một lân cận mở nhỏ hơn, ta có thể giả sử rằng các điều kiện

có trong Bổ đề 2.2 và Bổ đề 2.4 được thỏa mãn. Vì vậy, ta có

l (cid:88)

2

p,

− Cε

FM

qj+1 − qj (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

≤

j=1 d(l) M (q, q(cid:48)) (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

(cid:18) (cid:19)

n (cid:88)

≤2

p, ε

+ Lε.

FD

ξj (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

j=1

(cid:18) (cid:19)

Bởi vì

l (cid:88)

l (cid:88)

p,

≥

p,

FM

(cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:18)

qj+1 − qj (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

qj+1 − qj (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

j=1

j=1

(cid:98)FM

l (cid:88)

≥ (cid:98)FM



qj+1 − qj (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

  p,

p,

= (cid:98)FM

j=1 q − q (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

(cid:19) (cid:18)

và

n (cid:88)

p,

p,

p,

FM

= (cid:98)FM

= (cid:98)FM

q(cid:48) − q (cid:107)q(cid:48) − q(cid:107)

q(cid:48) − q (cid:107)q(cid:48) − q(cid:107)

ξj (cid:107)ξj(cid:107)

j=1

(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)

nên ta có

p,

− Cε ≤

+ Lε.

p,

≤ 2 (cid:98)FM

2 (cid:98)FM

q(cid:48) − q (cid:107)q(cid:48) − q(cid:107)

d(l) M (q, q(cid:48)) (cid:107)q − q(cid:48)(cid:107)

q − q(cid:48) (cid:107)q(cid:48) − q(cid:107)

(cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:18)

Các hằng số C, L không phụ thuộc vào l.

Định nghĩa 2.9. Cho h là một metric Hermit trên đa tạp phức M . Cố

định một điểm p thuộc M . Khi đó, h cảm sinh ánh xạ mũ exp : U → M ,

29

trong đó U ⊂ T M là một lân cận mở nhỏ của 0 ∈ TpM . Nếu tồn tại giới

,

dM (q, exp tu) |t|

lim u→υ t→0

hạn

trong đó u ∈ TqM thì ta gọi giới hạn này là đạo hàm của giả khoảng cách

.

dM (q, exp tu) |t|

DdM (υ) = lim u→υ t→0

Kobayashi dM trên M , kí hiệu

DdM = (cid:98)FM .

Định lý 2.6. ([2]) Nếu M là một đa tạp phức taut thì DdM tồn tại và

Chứng minh. Lấy bất kỳ metric hermit trên M , ta có

,

= (cid:98)FM

lim t→0

dM (exp tυ, q) (cid:107)ϕ(exp tυ) − ϕ(q)(cid:107)

ξ (cid:107)ϕ∗(ξ)(cid:107)

(cid:18) (cid:19)

dM (q, exp tu) |t|

DdM (υ) = lim u→υ t→0

(cid:107)ϕ(exp tu) − ϕ(q)(cid:107) |t|

= lim u→υ t→0

trong đó ξ ∈ TpM với υ = ξ + ξ. Do đó ta có

dM (q, exp tu) (cid:107)ϕ(exp tu) − ϕ(q)(cid:107) (cid:18)

(cid:107)ϕ∗(ξ)(cid:107)

= 2 (cid:98)FM

ξ (cid:107)ϕ∗(ξ)(cid:107)

= 2 (cid:98)FM (ξ)

= (cid:98)FM (υ).

(cid:19)

Định lý được chứng minh.

M thì

= 2 (cid:98)FD(p, ξ)

dD(q, q + tη) |t|

lim (q,η)→(p,ξ) t→0

Định lý này cho chúng ta công thức sau: Nếu D là một miền taut trong

30

với mỗi ξ ∈ Cm, nếu D là một miền taut trong Cm.

Từ Định lý 2.6 và Định lý 2.4 chúng ta dễ dàng có được Hệ quả 2.1

Hệ quả 2.1. ([2]) Cho M là một đa tạp phức taut, khi đó FM là lồi tại p

= 1

dM (q, q(cid:48)) d∗ M (q, q(cid:48))

lim q,q(cid:48)→p q(cid:54)=q(cid:48)

nếu và chỉ nếu

Từ Hệ quả 2.1 ta thấy nếu p ∈ M là điểm đơn Kobayashi, thì FM là lồi

tại p. Thật vậy, p là điểm đơn Kobayashi ta có chỉ đồ của FM tại p là tập

lồi. Điều này kéo theo FM là nửa chuẩn và do đó FM là lồi tại p.

31

KẾT LUẬN

Luận văn "Tính lồi của metric Kobayashi trên đa tạp phức taut" đã trình

bày được một số kết quả sau đây:

1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về đa tạp phức, đa tạp phức taut

và khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức taut.

2. Trình bày một số kiến thức cơ sở và trình bày chi tiết, rõ ràng kết quả

nghiên cứu sau:

2.1) và các tính chất của giả metric Royden - Kobayashi (Mệnh đề 2.2).

- Trình bày các tính chất của giả metric Buseman – Kobayashi (Mệnh đề

2.3).

- Trình bày kết quả về thác triển ánh xạ chỉnh hình chính quy (Định lý

- Trình bày lại một cách chi tiết, rõ ràng kết quả nghiên cứu của Masashi

Kobayashi chứng tỏ trên đa tạp phức taut đạo hàm của khoảng cách Kobayashi

và giả metric Buseman – Poincare là trùng nhau (Định lý 2.6). Nhờ định lý

này, M. Kobayashi cũng đưa ra được một điều kiện cần và đủ cho tính lồi

của giả metric.

- Trình bày được một kết quả nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình chính

quy (Định lý 2.3).

32

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Phạm Việt Đức, "Mở đầu về lý thuyết các không gian phức hyperbolic",

Tiếng Anh

2005, NXB Đại học Sư phạm.

[2] Masashi Kobayashi, "On the convexity of the Kobayashi metric on a

taut complex manifold", Volume 194 No. 1, May 2000.

[3] Pang, M.Y.,"On infinitesimal behavior of the Kobayashi distance", Pa-

cific J. Math., 162(1) (1994), 121-141

[4] Royden, H. L., "The Extension of regular holomorphic maps", Proc.

Amer. Math. Soc., 43(2) (1974), 306-310.

[5] ....., "A new invariant infinitesimal metric", Internat. J. Math., 1(1)

(1990), 83-90

[6] Royden, H.L., "Remarks on the Kobayashi metric", Several complex

variables II, pp. 125-137, Lecture Notes in Math., Vol. 185, Springer,

Berlin, 1971

33