Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Minimax và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C S(cid:215) PH(cid:132)M

(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)o0o(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)

TR(cid:134)N TH(cid:192) THU HO(cid:128)I

T(cid:157)NH MINIMAX V(cid:128) T(cid:157)NH COFINITE C(cid:213)A M˘(cid:30)UN

(cid:30)¨I (cid:30)˙NG (cid:30)I(cid:151)U (cid:30)(cid:192)A PH(cid:215)(cid:204)NG

TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N, N(cid:139)M 2018

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C S(cid:215) PH(cid:132)M

(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)o0o(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)

TR(cid:134)N TH(cid:192) THU HO(cid:128)I

T(cid:157)NH MINIMAX V(cid:128) T(cid:157)NH COFINITE C(cid:213)A M˘(cid:30)UN

(cid:30)¨I (cid:30)˙NG (cid:30)I(cid:151)U (cid:30)(cid:192)A PH(cid:215)(cid:204)NG

Ng(cid:160)nh: (cid:30)⁄i sŁ v(cid:160) l(cid:254) thuy‚t sŁ

M¢ sŁ: 8 46 01 04

C¡n bº h(cid:247)(cid:238)ng d¤n khoa h(cid:229)c:

PGS.TS. Nguy„n V«n Ho(cid:160)ng

TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N, N(cid:139)M 2018

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

L˝I CAM (cid:30)OAN

T(cid:230)i xin cam (cid:31)oan r‹ng c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu trong lu“n v«n n(cid:160)y l(cid:160) trung th(cid:252)c v(cid:160) kh(cid:230)ng tr(cid:242)ng l(cid:176)p v(cid:238)i c¡c (cid:31)• t(cid:160)i kh¡c. T(cid:230)i xin cam (cid:31)oan m(cid:229)i s(cid:252) gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) cho vi»c th(cid:252)c hi»n lu“n v«n n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc c£m (cid:236)n v(cid:160) c¡c th(cid:230)ng tin tr‰ch d¤n trong lu“n v«n (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc ch¿ rª ngu(cid:231)n gŁc.

Th¡i Nguy¶n, ng(cid:160)y 16 th¡ng 08 n«m 2018

T¡c gi£

Trƒn Th(cid:224) Thu Ho(cid:160)i

X¡c nh“n cıa tr(cid:247)(cid:240)ng khoa chuy¶n m(cid:230)n X¡c nh“n cıa c¡n bº h(cid:247)(cid:238)ng d¤n khoa h(cid:229)c

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

Lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh v(cid:160)o th¡ng 04/2018 d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n cıa PGS. TS. Nguy„n V«n Ho(cid:160)ng. T(cid:230)i xin (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)y t(cid:228) lÆng k‰nh tr(cid:229)ng v(cid:160) bi‚t (cid:236)n s¥u s›c t(cid:238)i thƒy, nhœng b(cid:160)i h(cid:229)c qu(cid:254) gi¡ tł trang gi§y v(cid:160) c£ nhœng b(cid:160)i h(cid:229)c trong cuºc sŁng thƒy d⁄y gi(cid:243)p t(cid:230)i t(cid:252) tin h(cid:236)n v(cid:160) tr(cid:247)(cid:240)ng th(cid:160)nh h(cid:236)n nhi•u.

T(cid:230)i xin c£m (cid:236)n PhÆng (cid:30)(cid:160)o T⁄o - (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) Ph⁄m Th¡i nguy¶n (cid:31)¢ t⁄o

(cid:31)i•u ki»n (cid:31)” t(cid:230)i ho(cid:160)n th(cid:160)nh s(cid:238)m kh(cid:226)a h(cid:229)c.

T(cid:230)i xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n t(cid:238)i t§t c£ c¡c thƒy c(cid:230) (cid:240) (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n v(cid:160) c¡c thƒy (cid:240) Vi»n to¡n v(cid:238)i nhœng b(cid:160)i gi£ng (cid:31)ƒy nhi»t th(cid:160)nh v(cid:160) t¥m huy‚t, xin c£m (cid:236)n c¡c thƒy c(cid:230) (cid:31)¢ lu(cid:230)n quan t¥m v(cid:160) gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) t(cid:230)i trong suŁt qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p, t⁄o (cid:31)i•u ki»n cho t(cid:230)i tham gia c¡c buŒi seminar v(cid:160) c¡c l(cid:238)p h(cid:229)c ngo(cid:160)i ch(cid:247)(cid:236)ng tr…nh.

T(cid:230)i xin c£m (cid:236)n t§t c£ c¡c anh, em v(cid:160) b⁄n b– (cid:31)¢ (cid:31)ºng vi¶n gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) t(cid:230)i

nhi»t t…nh trong qu¡ tr…nh h(cid:229)c v(cid:160) l(cid:160)m lu“n v«n.

T(cid:230)i xin (cid:31)(cid:247)æc gßi c£m (cid:236)n t(cid:238)i t§t c£ th(cid:160)nh vi¶n trong gia (cid:31)…nh (cid:31)¢ t⁄o (cid:31)i•u

iii

ki»n cho t(cid:230)i (cid:31)(cid:247)æc h(cid:229)c t“p, nghi¶n cøu v(cid:160) ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n.

M(cid:246)c l(cid:246)c

L(cid:237)i cam (cid:31)oan ii

L(cid:237)i c£m (cid:236)n iii

M(cid:240) (cid:31)ƒu 1

5 Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

5 1.1 I(cid:31)¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 1.2 M(cid:230)(cid:31)un Noether v(cid:160) M(cid:230)(cid:31)un Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 1.3 Bi”u di„n thø c§p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 1.4 M(cid:230)(cid:31)un Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 1.5 M(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 Chi•u hœu h⁄n b“c 1 v(cid:160) t‰nh minimax cıa m(cid:230)(cid:31)un

15 (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

15 2.1 M(cid:230)(cid:31)un minimax v(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un cofinite . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 2.2 Chi•u hœu h⁄n b“c mºt v(cid:160) t‰nh ch§t minimax . . . . . . . . . . .

27 Ch(cid:247)(cid:236)ng 3 Chi•u hœu h⁄n b“c 2 v(cid:160) t‰nh Lasker y‚u

27 3.1 M(cid:230)(cid:31)un Lasker y‚u v(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un cofinite . . . . . . . . . . . . . . . .

35 3.2 Chi•u hœu h⁄n b“c hai v(cid:160) t‰nh ch§t Lasker y‚u . . . . . . . . . .

K‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T(cid:160)i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M(cid:240) (cid:31)ƒu

M l(cid:160) R - m(cid:230)(cid:31)un kh¡c 0. V(cid:238)i mØi sŁ nguy¶n kh(cid:230)ng ¥m i cho tr(cid:247)(cid:238)c, ta c(cid:226) m(cid:230)(cid:31)un

Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether (c(cid:226) (cid:31)(cid:236)n v(cid:224)), I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa R v(cid:160)

(cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng thø i cıa M (cid:31)Łi v(cid:238)i gi¡ l(cid:160) i(cid:31)¶an I (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

H i

Exti

R(R/I n, M ).

I(M ) = lim−→

n≥1

b(cid:240)i A. Grothendieck (xem [11] ho(cid:176)c [8]) nh(cid:247) sau:

C¡c t‰nh ch§t c(cid:236) b£n v• l(cid:238)p m(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng c(cid:226) th” xem th¶m

trong cuŁn s¡ch [8].

Mºt (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) quan tr(cid:229)ng trong (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng l(cid:160) "Nguy¶n l(cid:254)

(cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng - to(cid:160)n c(cid:246)c cho chi•u hœu h⁄n cıa c¡c m(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a

ph(cid:247)(cid:236)ng" (xem [10, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1] - b(cid:160)i b¡o cıa G. Faltings) ph¡t bi”u: "V(cid:238)i mºt

(Mp) l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i

IRp

i ≤ r v(cid:160) m(cid:229)i p ∈ Spec R n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un H i

I(M ) l(cid:160) hœu h⁄n sinh

sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng r (cid:31)¢ cho, c¡c Rp-m(cid:230)(cid:31)un H i

v(cid:238)i m(cid:229)i i ≤ r".

C(cid:226) mºt d⁄ng tr…nh b(cid:160)y kh¡c cho ph¡t bi”u cıa nguy¶n l(cid:254) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng -

to(cid:160)n c(cid:246)c cıa Faltings m(cid:160) ta quan t¥m (cid:240) (cid:31)¥y, li¶n quan (cid:31)‚n s(cid:252) kh¡i qu¡t h(cid:226)a

chi•u hœu h⁄n fI(M ) cıa M (cid:31)Łi v(cid:238)i I, trong (cid:31)(cid:226)

fI(M ) := inf{i ∈ N | H i

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) hœu h⁄n sinh},

(†)

(cid:240) (cid:31)¥y ta quy (cid:247)(cid:238)c r‹ng inf(∅) = ∞. Khi (cid:31)(cid:226)

0 :R H i

fI(M ) := inf{i ∈ N | I (cid:42)

I(M ) }

= inf{i ∈ N | I nH i

I(M ) (cid:54)= 0 v(cid:238)i m(cid:229)i n ∈ N};

(cid:113)

(cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i l(cid:243)c (cid:31)(cid:226) nguy¶n l(cid:254) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng - to(cid:160)n c(cid:246)c cıa Faltings (cid:31)(cid:247)æc cho (cid:240) c(cid:230)ng

fI(M ) = inf{fIRp(Mp) | p ∈ Spec R}

= inf{fIRp(Mp) | p ∈ Supp(M/IM ) v(cid:160) dim R/ p ≥ 0},

thøc sau (cid:31)¥y:

(xem [8, 9.6.2]). Nguy¶n l(cid:254) n(cid:160)y ch¿ ra mŁi li¶n h» giœa ch¿ sŁ (cid:31)ƒu ti¶n m(cid:160) c¡c

m(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i gi¡ l(cid:160) i(cid:31)¶an b§t k… kh(cid:230)ng hœu h⁄n sinh

v(cid:160) ch¿ sŁ (cid:31)(cid:226) cho c¡c m(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u khi chuy”n qua (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng h(cid:226)a t⁄i

c¡c i(cid:31)¶an nguy¶n tŁ tr¶n v(cid:160)nh c(cid:236) s(cid:240).

N«m 2013, Bahmanpour-Naghipour-Sedghi (xem [4]) (cid:31)¢ gi(cid:238)i thi»u kh¡i

I (M ), (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh

ni»m chi•u hœu h⁄n b“c n cıa M (cid:31)Łi v(cid:238)i I k‰ hi»u l(cid:160) f n

b(cid:240)i c(cid:230)ng thøc:

f n I (M ) = inf{fIRp(Mp) | p ∈ Supp(M/IM ) v(cid:160) dim(R/ p) ≥ n}.

((cid:63))

I (M ) l(cid:160) sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng ho(cid:176)c l(cid:160) ∞ v(cid:160) ta c(cid:226) f 0

I (M ) = fI(M ).

Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng f n

Tł (cid:31)(cid:226) mºt c¥u h(cid:228)i t(cid:252) nhi¶n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t ra l(cid:160) t…m hi”u t‰nh ch§t cıa m(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi

(cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i chi•u hœu h⁄n b“c 1, b“c 2 cıa M (cid:31)Łi v(cid:238)i I. Chﬂng

I (M ) = inf{i ∈ N | H i f 1

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) minimax} v(cid:160)

I (M ) = inf{i ∈ N | H i f 2

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) Lasker y‚u}

h⁄n c¡c ph¡t bi”u sau (cid:31)¥y

c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng hay kh(cid:230)ng? K‚t qu£ ch‰nh cıa Bahmanpour-Naghipour-Sedghi trong

b(cid:160)i b¡o [4] l(cid:160) tr£ l(cid:237)i cho hai c¥u h(cid:228)i tr¶n. C(cid:246) th” k‚t qu£ thø nh§t cıa h(cid:229)

(cid:31)¢ chøng minh (cid:31)(cid:247)æc r‹ng sŁ nguy¶n i nh(cid:228) nh§t (cid:31)” H i

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un I (M ) (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.8); k‚t qu£ ch‰nh thø hai cıa h(cid:229)

minimax b‹ng v(cid:238)i sŁ f 1

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un Lasker

l(cid:160) ch¿ ra r‹ng sŁ nguy¶n i nh(cid:228) nh§t sao cho H i

I (M ) khi R l(cid:160) v(cid:160)nh nßa (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.3).

y‚u b‹ng v(cid:238)i f 2

C(cid:230)ng c(cid:246) (cid:31)” h(cid:229) chøng minh k‚t qu£ ch‰nh thø nh§t n¶u tr¶n l(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254)

sau (cid:31)¥y:

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1. ([4, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1]) Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh Noether, I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an

I (M )

I (M ) v(cid:160) H f 1

I(M ) l(cid:160) (M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) minimax. I (M )

(M ), th… R-m(cid:230)(cid:31)un

I (M )

(M )/N ) l(cid:160) hœu h⁄n sinh.

cıa R v(cid:160) M l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Khi (cid:31)(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un H i

minimax v(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < f 1 H(cid:236)n nœa, v(cid:238)i mØi m(cid:230)(cid:31)un con minimax N cıa H f 1 HomR(R/I, H f 1

Kh¡i ni»m m(cid:230)(cid:31)un I-cofinite trong (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¶n (cid:31)(cid:247)æc gi(cid:238)i thi»u b(cid:240)i R.

R(R/I, M ) l(cid:160) hœu h⁄n sinh

Hartshorne n«m 1970 (xem [12]) v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) sau: R-m(cid:230)(cid:31)un M (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) I-cofinite n‚u Supp(M ) ⊆ V (I) v(cid:160) Exti

v(cid:238)i m(cid:229)i i ≥ 0.

Mºt trong c¡c c(cid:230)ng c(cid:246) (cid:31)” chøng minh k‚t qu£ ch‰nh thø hai cıa

Bahmanpour-Naghipour-Sedghi [4] l(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y:

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2. ([4, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2]) Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh Noether, I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R, M l(cid:160)

H 0

(M ) l(cid:160) hœu h⁄n sinh (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i m(cid:229)i p ∈ Supp(M/IM )

I (M ), . . . , H t−1

mºt R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh v(cid:160) t ≥ 1 l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n sao cho c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

I(M ) l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i ≤ t

m(cid:160) dim(R/p) > 1. Khi (cid:31)(cid:226), c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un H i

I(M )) l(cid:160) hœu h⁄n sinh.

v(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, H t

Tł nhœng k‚t qu£ tr¶n Bahmanpour-Naghipour-Sedghi [4] (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra c¡c

h» qu£ cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2, (cid:31)(cid:226) l(cid:160) mºt sŁ m(cid:240) rºng cho c¡c k‚t qu£ cıa Bahmanpour-

Naghipour trong [7], Delfino-Marley trong [9] v(cid:160) K. I. Yoshida trong [19] (cid:31)Łi

v(cid:238)i mºt v(cid:160)nh Noether t(cid:242)y (cid:254).

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3. [4, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.3] Cho R l(cid:160) mºt v(cid:160)nh Noether, I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R, M

I(M )

l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh sao cho dim(M/IM ) ≤ 1. Khi (cid:31)(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un H t

l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n.

Mºt k‚t qu£ ch‰nh kh¡c nœa trong b(cid:160)i b¡o [4] (cid:31)(cid:226) l(cid:160): N‚u (R, m) l(cid:160)

R(R/I, H i

I (M )

I(M )) l(cid:160) Lasker y‚u v(cid:238)i m(cid:229)i I (M ) v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i j ≥ 0. H(cid:236)n nœa, v(cid:238)i mØi m(cid:230)(cid:31)un con Lasker y‚u N cıa (M )/N ) c(cid:244)ng l(cid:160) Lasker y‚u

(M ), th… ta c(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, H f 3

i < f 3 H f 3 I (M ) I

v(cid:160)nh (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Noether (cid:31)ƒy (cid:31)ı, I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa R v(cid:160) M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un Extj

(xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.6).

Tł c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu (cid:31)¢ thu (cid:31)(cid:247)æc cıa Bahmanpour-Naghipour-

Sedghi nh(cid:247) tr¶n (cid:31)¥y, (cid:31)•u (cid:31)(cid:247)a (cid:31)‚n b(cid:160)i to¡n xem x†t v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n n(cid:160)o (cid:31)” cho

I(M )) l(cid:160) hœu h⁄n khi i = f j

I (M ) (chﬂng h⁄n v(cid:238)i j = 1, 2, 3).

t“p hæp AssR(H i

M(cid:246)c (cid:31)‰ch ch‰nh cıa lu“n v«n n(cid:160)y l(cid:160) tr…nh b(cid:160)y l⁄i chi ti‚t c¡c k‚t qu£

nh(cid:247) (cid:31)¢ n¶u tr¶n, c¡c ki‚n thøc n(cid:160)y d(cid:252)a tr¶n b(cid:160)i b¡o ch‰nh l(cid:160) b(cid:160)i b¡o [4]:

K. Bahmanpour, R. Naghipour and M. Sedghi, Minimaxness and Cofinite

properties of local cohomology modules, Communications in Algebra, Vol. 41

(2013), Pp. 2799-2814. (DOI: 10. 1080/00927872.2012.662709). B¶n c⁄nh (cid:31)(cid:226)

(cid:31)” vi»c tr…nh b(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)ƒy (cid:31)ı v(cid:160) rª (cid:254) h(cid:236)n, lu“n v«n tham kh£o th¶m nhi•u

ki‚n thøc (cid:240) b(cid:160)i b¡o [5], [6], [7], [17],. . . ; v(cid:160) c¡c cuŁn s¡ch [8] v(cid:160) [15].

Lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc bŁ c(cid:246)c l(cid:160)m ba ch(cid:247)(cid:236)ng. Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 tr…nh b(cid:160)y nhœng ki‚n

thøc c(cid:236) s(cid:240) cƒn thi‚t (cid:31)” tr…nh b(cid:160)y chøng minh c¡c nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 tr…nh b(cid:160)y v• chi•u hœu h⁄n b“c 1 cıa m(cid:230)(cid:31)un M (cid:31)Łi v(cid:238)i i(cid:31)¶an I

trong mŁi li¶n h» v(cid:238)i t‰nh ch§t minimax cıa m(cid:230)(cid:31)un. Ch(cid:247)(cid:236)ng 3 cıa lu“n v«n

t“p trung tr…nh b(cid:160)y v• chi•u hœu h⁄n b“c 2 cıa M (cid:31)Łi v(cid:238)i i(cid:31)¶an I v(cid:160) t‰nh ch§t

Lasker y‚u cıa m(cid:230)(cid:31)un.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

— ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y ta lu(cid:230)n gi£ thi‚t R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n c(cid:226) (cid:31)(cid:236)n v(cid:224). C¡c ki‚n

1.1

I(cid:31)¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t

thøc (cid:240) ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y d(cid:252)a v(cid:160)o c¡c cuŁn s¡ch [8] v(cid:160) [15].

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.1 (I(cid:31)¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t). Cho M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un, p l(cid:160) i(cid:31)¶an

nguy¶n tŁ cıa v(cid:160)nh R. Khi (cid:31)(cid:226) p (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) i(cid:31)¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M

n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt phƒn tß 0 (cid:54)= x ∈ M sao cho AnnR(x) = p. T“p hæp t§t c£ c¡c

i(cid:31)¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M (cid:31)(cid:247)æc k‰ hi»u l(cid:160) AssR(M ) ho(cid:176)c Ass(M ).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.2 ((cid:30)a t⁄p cıa i(cid:31)¶an). Cho I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa R, khi (cid:31)(cid:226) (cid:31)a

V (I) = {p ∈ Spec(R) | I ⊆ p} .

t⁄p cıa I (cid:31)(cid:247)æc k‰ hi»u l(cid:160) V (I) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i

M»nh (cid:31)• 1.1.3. Cho M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un v(cid:160) I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa R. Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

i) AssR(0 :M I) = AssR(M ) ∩ V (I).

ii) AssR(M/(0 :M I)) ⊆ AssR(M ).

Ass(M ) ⊆ Ass(N ) ∪ Ass(M/N ).

iii) Cho N l(cid:160) mºt m(cid:230)(cid:31)un con cıa R-m(cid:230)(cid:31)un M . Khi (cid:31)(cid:226)

SuppR(M ) = {p ∈ Spec(M ) | Mp (cid:54)= 0} .

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.4 (T“p gi¡ cıa m(cid:230)(cid:31)un). Cho M l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un. Ta (cid:31)(cid:176)t

Khi (cid:31)(cid:226) SuppR(M ) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t“p gi¡ cıa R-m(cid:230)(cid:31)un M .

M c(cid:226) mºt m(cid:230)(cid:31)un con (cid:31)ﬂng c§u v(cid:238)i R/p.

M»nh (cid:31)• 1.1.5. i) Cho p ∈ Spec(R). Khi (cid:31)(cid:226) p ∈ AssR(M ) n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u

SuppR(M (cid:48)) ⊆ SuppR(M ) = SuppR(M (cid:48)) ∪ SuppR(M ”).

ii) Cho 0 → M (cid:48) → M → M ” → 0 l(cid:160) d¢y kh(cid:238)p c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un. Khi (cid:31)(cid:226)

iii) AssR(M ) ⊆ SuppR(M ) v(cid:160) n‚u R l(cid:160) v(cid:160)nh Noether th… mØi phƒn tß c(cid:252)c ti”u

cıa t“p SuppR(M ) (cid:31)•u thuºc v(cid:160)o t“p AssR(M ).

iv) N‚u M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh tr¶n v(cid:160)nh Noether th… AssR(M ) l(cid:160) t“p

V (AnnR(M )) (cid:31)•u thuºc AssR(M ). V… th‚

hœu h⁄n. H(cid:236)n nœa AssR(M ) ⊆ V (AnnR(M )) v(cid:160) mØi phƒn tß tŁi ti”u cıa (cid:112)AnnR(M ) l(cid:160) giao cıa c¡c i(cid:31)¶an

nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M .

V (AnnR(M )) = SuppR(M ).

v) N‚u M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh th…

1.2 M(cid:230)(cid:31)un Noether v(cid:160) M(cid:230)(cid:31)un Artin

vi) N‚u I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa mºt v(cid:160)nh R th… SuppR(R/I) = V (I).

M(cid:230)(cid:31)un Noether l(cid:160) mºt trong nhœng l(cid:238)p m(cid:230)(cid:31)un c(cid:236) b£n nh§t cıa (cid:30)⁄i sŁ

giao ho¡n. Sau (cid:31)¥y ta nh›c l⁄i (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a v(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t cıa n(cid:226).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.1. Cho R l(cid:160) mºt v(cid:160)nh v(cid:160) M l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c

m»nh (cid:31)• sau t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng.

i) ((cid:30)i•u ki»n hœu h⁄n sinh) M(cid:229)i m(cid:230)(cid:31)un con cıa M l(cid:160) hœu h⁄n sinh;

N1 ⊆ N2 ⊆ . . ., th… t(cid:231)n t⁄i m ≥ 1 sao cho Nn = Nm v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ m;

ii) ((cid:30)i•u ki»n d¢y t«ng hay a.c.c) N‚u N1, N2, . . . l(cid:160) c¡c m(cid:230)(cid:31)un con cıa M m(cid:160)

iii) ((cid:30)i•u ki»n tŁi (cid:31)⁄i) M(cid:229)i t“p kh¡c rØng c¡c m(cid:230)(cid:31)un con cıa M (cid:31)•u c(cid:226) phƒn

R-m(cid:230)(cid:31)un M th(cid:228)a m¢n mºt trong c¡c (cid:31)i•u ki»n t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng tr¶n g(cid:229)i l(cid:160)

tß tŁi (cid:31)⁄i.

m(cid:230)(cid:31)un Noether.

M»nh (cid:31)• 1.2.2.

0 → M (cid:48) → M → M ” → 0

i) Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n c(cid:226) (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) v(cid:160) d¢y kh(cid:238)p ng›n c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

Khi (cid:31)(cid:226) M l(cid:160) Noether n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u M (cid:48) v(cid:160) M ” l(cid:160) Noether.

ii) MØi R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh tr¶n v(cid:160)nh Noether R l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un Noether.

S−1M l(cid:160) mºt S−1R-m(cid:230)(cid:31)un Noether.

iii) N‚u M l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un Noether v(cid:160) S l(cid:160) mºt t“p (cid:31)(cid:226)ng nh¥n cıa R th…

Kh¡i ni»m (cid:31)Łi ng¤u cıa m(cid:230)(cid:31)un Noether ch‰nh l(cid:160) kh¡i ni»m m(cid:230)(cid:31)un Artin.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.3. Cho M l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c m»nh (cid:31)• sau t(cid:247)(cid:236)ng

(cid:31)(cid:247)(cid:236)ng.

N1 ⊇ N2 ⊇ . . . th… t(cid:231)n t⁄i m ≥ 1 sao cho Nn = Nm v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ m;

i) ((cid:30)i•u ki»n d¢y gi£m hay d.c.c) N‚u N1, N2, . . . l(cid:160) c¡c m(cid:230)(cid:31)un con cıa M m(cid:160)

ii) ((cid:30)i•u ki»n c(cid:252)c ti”u) M(cid:229)i t“p con kh¡c rØng c¡c m(cid:230)(cid:31)un con cıa M lu(cid:230)n c(cid:226)

phƒn tß c(cid:252)c ti”u.

R-m(cid:230)(cid:31)un M th(cid:228)a m¢n mºt trong c¡c (cid:31)i•u ki»n t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng tr¶n g(cid:229)i l(cid:160)

R th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n d.c.c tr¶n t“p c¡c i(cid:31)¶an ho(cid:176)c th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n m(cid:229)i

m(cid:230)(cid:31)un Artin. Ta n(cid:226)i R l(cid:160) v(cid:160)nh Artin n‚u n(cid:226) l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un Artin. Tøc l(cid:160),

t“p kh¡c rØng c¡c i(cid:31)¶an cıa R (cid:31)•u c(cid:226) phƒn tß c(cid:252)c ti”u.

Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa m(cid:230)(cid:31)un Artin.

M»nh (cid:31)• 1.2.4.

0 → M (cid:48) → M → M ” → 0

i) Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n c(cid:226) (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) v(cid:160) d¢y kh(cid:238)p ng›n c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

Khi (cid:31)(cid:226) M l(cid:160) Artin n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u M (cid:48) v(cid:160) M ” l(cid:160) Artin.

ii) MØi R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh tr¶n v(cid:160)nh Artin R l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un Artin.

1.3 Bi”u di„n thø c§p

iii) MØi i(cid:31)¶an nguy¶n tŁ trong mºt v(cid:160)nh Artin R l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an c(cid:252)c (cid:31)⁄i.

L(cid:254) thuy‚t bi”u di„n thø c§p (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra b(cid:240)i I. G. Macdonald xem nh(cid:247)

l(cid:160) (cid:31)Łi ng¤u v(cid:238)i l(cid:254) thuy‚t ph¥n t‰ch nguy¶n s(cid:236) cho c¡c m(cid:230)(cid:31)un Noether. Sau (cid:31)¥y

ta nh›c l⁄i (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a v(cid:160) t‰nh ch§t cıa bi”u di„n thø c§p.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3.1.

i) Mºt R-m(cid:230)(cid:31)un M (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un thø c§p n‚u th(cid:228)a m¢n M (cid:54)= 0 v(cid:160) v(cid:238)i

m(cid:229)i x ∈ R ph†p nh¥n b(cid:240)i x tr¶n M l(cid:160) to(cid:160)n c§u ho(cid:176)c l(cid:244)y linh. Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y t“p p = {x ∈ R | xnM = 0, v(cid:238)i ∈ N} l(cid:160) i(cid:31)¶an nguy¶n tŁ v(cid:160) ta g(cid:229)i M

l(cid:160) p-thø c§p.

ii) Mºt bi”u di„n thø c§p cıa M l(cid:160) mºt bi”u di„n M = N1 + N2 + . . . + Nn

th(cid:160)nh tŒng hœu h⁄n c¡c m(cid:230)(cid:31)un con pi-thø c§p Ni. N‚u M = 0 ho(cid:176)c M c(cid:226) mºt

bi”u di„n thø c§p th… ta n(cid:226)i M l(cid:160) bi”u di„n (cid:31)(cid:247)æc. N‚u c¡c i(cid:31)¶an nguy¶n tŁ pi

(cid:31)(cid:230)i mºt kh¡c nhau v(cid:160) kh(cid:230)ng c(cid:226) h⁄ng tß Ni n(cid:160)o thła v(cid:238)i m(cid:229)i i = 1, 2, . . . , n

th… bi”u di„n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) bi”u di„n thø c§p tŁi ti”u (hay thu g(cid:229)n).

iii) M(cid:229)i bi”u di„n thø c§p cıa M (cid:31)•u c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)a v• d⁄ng tŁi ti”u. Khi (cid:31)(cid:226) t“p

hæp {p1, . . . , p2} l(cid:160) (cid:31)ºc l“p v(cid:238)i vi»c ch(cid:229)n bi”u di„n thø c§p tŁi ti”u cıa M v(cid:160)

n(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t“p c¡c i(cid:31)¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t cıa M , k‰ hi»u l(cid:160) AttR(M ).

C¡c h⁄ng tß Ni (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c¡c th(cid:160)nh phƒn thø c§p cıa M v(cid:238)i n = 1, . . . , n.

M»nh (cid:31)• 1.3.2.

i) Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether, M l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un bi”u di„n (cid:31)(cid:247)æc. Khi

(cid:31)(cid:226) M (cid:54)= 0 khi v(cid:160) ch¿ khi AttR(M ) (cid:54)= ∅. Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y t“p c¡c i(cid:31)¶an

AttR(M ).

nguy¶n tŁ tŁi ti”u cıa R chøa AnnR(M ) ch‰nh l(cid:160) t“p c¡c phƒn tß tŁi ti”u cıa

0 → M (cid:48) → M → M ” → 0

ii) Cho d¢y kh(cid:238)p sau c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un bi”u di„n (cid:31)(cid:247)æc

AttR(M ”) ⊆ AttR(M ) ⊆ AttR(M (cid:48)) ∪ AttR(M ”).

Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

M»nh (cid:31)• 1.3.3. N‚u R-m(cid:230)(cid:31)un M l(cid:160) bi”u di„n (cid:31)(cid:247)æc th… t“p AttR(M ) ch¿ ph(cid:246)

M . Cho p l(cid:160) i(cid:31)¶an nguy¶n tŁ cıa R, khi (cid:31)(cid:226) c¡c khﬂng (cid:31)(cid:224)nh sau t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng

thuºc v(cid:160)o M m(cid:160) kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o vi»c ch(cid:229)n bi”u di„n thø c§p tŁi ti”u cıa

i) p ∈ Att(M ).

Q = p.

ii) M c(cid:226) m(cid:230)(cid:31)un th(cid:247)(cid:236)ng l(cid:160) p-thø c§p. √ iii) M c(cid:226) m(cid:230)(cid:31)un th(cid:247)(cid:236)ng Q sao cho

iv) M c(cid:226) m(cid:230)(cid:31)un th(cid:247)(cid:236)ng Q sao cho AnnR(Q) = p.

1.4 M(cid:230)(cid:31)un Ext

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4.1. i) (M(cid:230)(cid:31)un x⁄ £nh) Mºt R-m(cid:230)(cid:31)un P (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) x⁄ £nh

n‚u v(cid:238)i mØi to(cid:160)n c§u f : M → N v(cid:160) mØi (cid:31)(cid:231)ng c§u g: P → N , lu(cid:230)n t(cid:231)n t⁄i

(cid:31)(cid:231)ng c§u h : P → M sao cho g = f h.

ii) (Gi£i x⁄ £nh) Cho M l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un. Mºt gi£i x⁄ £nh cıa R-m(cid:230)(cid:31)un M

. . .

ϕ −→ M → 0

f2−→ P2

f1−→ P1

f0−→ P0

l(cid:160) mºt d¢y kh(cid:238)p

trong (cid:31)(cid:226) Pi l(cid:160) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un x⁄ £nh v(cid:238)i m(cid:229)i i ≥ 0.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4.2. i) (M(cid:230)(cid:31)un nºi x⁄) Mºt R-m(cid:230)(cid:31)un E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) nºi x⁄ n‚u

h : M → E sao cho g = hf .

v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)(cid:236)n c§u f : N → M v(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng c§u g : N → E, lu(cid:230)n t(cid:231)n t⁄i (cid:31)(cid:231)ng c§u

0 → M

f2−→ . . .

ϕ −→ E0

f0−→ E1

f1−→ E2

ii) (Gi£i nºi x⁄) Mºt gi£i nºi x⁄ cıa R-m(cid:230)(cid:31)un M l(cid:160) mºt d¢y kh(cid:238)p

trong (cid:31)(cid:226) Ei l(cid:160) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un nºi x⁄ v(cid:238)i m(cid:229)i i ≥ 0.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4.3 (M(cid:230)(cid:31)un Ext). Cho N l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un. X†t h(cid:160)m tß ph£n bi‚n,

. . .

ϕ −→ M → 0.

f2−→ P2

f1−→ P1

f0−→ P0

kh(cid:238)p tr¡i Hom(−, N ). Cho M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un, l§y mºt gi£i x⁄ £nh cıa M

f ∗ 2−→ . . .

f ∗ 1−→ Hom(P2, N )

f ∗ 0−→ Hom(P1, N )

0 → Hom(P0, N )

T¡c (cid:31)ºng h(cid:160)m tß Hom(−, N ) v(cid:160)o d¢y kh(cid:238)p tr¶n ta c(cid:226) (cid:31)Łi phøc

R(M, N ) = Ker f ∗

i / Im f ∗

i−1 (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un m(cid:240) rºng thø i cıa

M v(cid:160) N . M(cid:230)(cid:31)un n(cid:160)y kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o vi»c l(cid:252)a ch(cid:229)n gi£i x⁄ £nh cıa M .

Khi (cid:31)(cid:226) Exti

Ta x†t mºt sŁ t‰nh ch§t cıa m(cid:230)(cid:31)un Ext.

M»nh (cid:31)• 1.4.4. Cho M , N l(cid:160) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un, c¡c (cid:31)i•u ki»n sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:

i) M l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un x⁄ £nh.

R(M, N ) = 0 v(cid:238)i m(cid:229)i R-m(cid:230)(cid:31)un N v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i i > 0.

ii) Exti

R(M, N ) = 0 v(cid:238)i m(cid:229)i R-m(cid:230)(cid:31)un N .

iii) Ext1

M»nh (cid:31)• 1.4.5.

R(M, N ) ∼= Hom(M, N ) v(cid:238)i M , N l(cid:160) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un.

i) Ext0

R(M, N ) = 0

ii) Cho M l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un x⁄ £nh, N l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un b§t k… tr¶n R khi (cid:31)(cid:226) Extn

v(cid:238)i m(cid:229)i n nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng.

R(M, N ) c(cid:244)ng l(cid:160) hœu h⁄n sinh

iii) N‚u M , N l(cid:160) R m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh th… Exti

v(cid:238)i m(cid:229)i i ≥ 0.

0 → Hom(N (cid:48)(cid:48), M ) → Hom(N, M ) → Hom(N (cid:48), M ) → Ext1

R(N (cid:48)(cid:48), M ) →

→ Ext1

R(N (cid:48)(cid:48), M ) → . . .

R(N (cid:48), M ) → Ext2

R(N, M ) → Ext1

iv) Cho d¢y kh(cid:238)p ng›n 0 → N (cid:48) → N → N ” → 0 khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i d¢y kh(cid:238)p d(cid:160)i

R(N (cid:48), M ) → Extn+1

R (N ”, M ) l(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng c§u nŁi v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

trong (cid:31)(cid:226) Extn

0 → Hom(M, N (cid:48)) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ”) → Ext1

R(M, N ”) →

→ Ext1

R(M, N ) → Ext1

R(M, N ”) → Ext2

R(M, N (cid:48)) → . . .

v) Cho d¢y kh(cid:238)p ng›n 0 → N (cid:48) → N → N ” → 0 khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i d¢y kh(cid:238)p d(cid:160)i

R(M, N ”) → Extn+1

R (M, N (cid:48)) l(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng c§u nŁi v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

trong (cid:31)(cid:226) Extn

1.5 M(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

M(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i A. Grothendick

v(cid:160)o kho£ng n«m 1960. Tr(cid:247)(cid:238)c khi (cid:31)‚n v(cid:238)i m(cid:230)(cid:31)un n(cid:160)y ta gi(cid:238)i thi»u v• h(cid:160)m tß

a-xo›n.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.5.1 (H(cid:160)m tß a-xo›n). Cho a l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R, m(cid:230)(cid:31)un con a- xo›n cıa R-m(cid:230)(cid:31)un M (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) sau Γa(M ) = (cid:83) n≥1(0 :M an). N‚u h : M → N l(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng c§u c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un, khi (cid:31)(cid:226) t¡c (cid:31)ºng h(cid:160)m tß Γa(h)

h∗(m) = h(m). Khi (cid:31)(cid:226) Γa(−) l(cid:160) h(cid:160)m tß hi»p bi‚n, tuy‚n t‰nh, kh(cid:238)p tr¡i tł

v(cid:160)o (cid:31)(cid:231)ng c§u tr¶n ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:231)ng c§u c£m sinh h∗ : Γa(M ) → Γa(N ) cho b(cid:240)i

ph⁄m tr(cid:242) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un (cid:31)‚n ph⁄m tr(cid:242) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un. H(cid:160)m tß Γa(−) g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m

tß a-xo›n.

Sau (cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t cıa Γa(M ).

M»nh (cid:31)• 1.5.2.

i) Γ0(M ) = M v(cid:160) ΓR(M ) = 0.

ii) N‚u a ⊆ b th… Γb(M ) ⊆ Γa(M ).

iii) Γa+b(M ) = Γa(M ) ∩ Γb(M ).

iv) AssR(Γa(M )) = AssR(M ) ∩ V (a) v(cid:238)i M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un Noether.

v) N‚u R l(cid:160) Noether th… AssR(M/Γa(M )) = AssR(M ) \ V (a).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.5.3 (M(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng). Cho M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un

0 → M

−→ E0 d0

−→ E1 d1

−→ E2 d2

−→ . . . di−1

−−→ Ei di

−→ . . . .

b§t k…, khi (cid:31)(cid:226) lu(cid:230)n t(cid:231)n t⁄i gi£i nºi x⁄ cıa M c(cid:226) d⁄ng

d2 ∗−→ . . .

di+1 ∗−−→ . . . .

0 → Γa(E0)

d0 ∗−→ Γa(E1)

d1 ∗−→ Γa(E1)

di−1 ∗−−→ Γa(Ei)

di ∗−→ Γa(Ei+1)

T¡c (cid:31)ºng h(cid:160)m tß Γa(−) v(cid:160)o d¢y kh(cid:238)p tr¶n ta (cid:31)(cid:247)æc phøc sau

a(M ) = Ker di

∗/ Im di−1

∗

Khi n(cid:226)i H i (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

thø i cıa M (cid:31)Łi v(cid:238)i i(cid:31)¶an a.

R-m(cid:230)(cid:31)un. Khi (cid:31)(cid:226)

M»nh (cid:31)• 1.5.4. Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether, I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R, M l(cid:160)

I (M ) ∼= ΓI(M ).

i) H 0

I(M ) = 0 v(cid:238)i m(cid:229)i i > 0.

ii) N‚u M l(cid:160) nºi x⁄ th… H i

iii) N‚u 0 → M (cid:48) → M → M ” → 0 l(cid:160) d¢y kh(cid:238)p ng›n khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0

I(M ”) → H i

I(M (cid:48)) sao cho d¢y sau l(cid:160) kh(cid:238)p

0 → ΓI(M (cid:48)) → ΓI(M ) → ΓI(M ”) → H 1

I (M (cid:48)) → H 1

I (M )

→ H 1

I (M ”) → H 2

I (M (cid:48)) → . . .

lu(cid:230)n t(cid:231)n t⁄i (cid:31)(cid:231)ng c§u nŁi H i

R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Khi (cid:31)(cid:226) H i

m(M ) l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un Artin v(cid:238)i m(cid:229)i i ≥ 0.

M»nh (cid:31)• 1.5.5. Cho (R, m) l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Noether, M l(cid:160)

Tr(cid:247)(cid:238)c khi (cid:31)‚n v(cid:238)i t‰nh tri»t ti¶u cıa m(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

th(cid:230)ng qua chi•u m(cid:230)(cid:31)un ta (cid:31)‚n v(cid:238)i (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a chi•u cıa m(cid:230)(cid:31)un.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.5.6.

R (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) chi•u cıa R v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc k(cid:254) hi»u l(cid:160) dim R.

i) Cho R l(cid:160) mºt v(cid:160)nh. C“n tr¶n (cid:31)(cid:243)ng cıa (cid:31)º d(cid:160)i c¡c d¢y i(cid:31)¶an nguy¶n tŁ cıa

dim R/ Ann M n‚u M kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:160) n‚u M l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un kh(cid:230)ng th… ta quy (cid:247)(cid:238)c

dim M = −1.

ii) Cho M l(cid:160) mºt R m(cid:230)(cid:31)un. Khi (cid:31)(cid:226) chi•u Krull cıa M k‰ hi»u l(cid:160) dimR M , l(cid:160)

M»nh (cid:31)• 1.5.7 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) tri»t ti¶u cıa Grothendieck). Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao

I(M ) = 0 v(cid:238)i

ho¡n Noether, I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R v(cid:160) M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un. Khi (cid:31)(cid:226) H i

m(cid:229)i i > dimR M .

Ta x†t th¶m mºt sŁ ki‚n thøc v• (cid:31)º s¥u cıa m(cid:230)(cid:31)un trong i(cid:31)¶an.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.5.8 ((cid:30)º s¥u cıa m(cid:230)(cid:31)un trong mºt i(cid:31)¶an). Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh

IM (cid:54)= M . (cid:30)º d(cid:160)i cıa mØi M -d¢y tŁi (cid:31)⁄i trong I (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)º s¥u cıa

M trong i(cid:31)¶an I, k‰ hi»u l(cid:160) depthI(M ) ho(cid:176)c depth(I, M ). Khi I = m l(cid:160) i(cid:31)¶an

Noether, I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa R v(cid:160) M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh sao cho

tŁi (cid:31)⁄i cıa v(cid:160)nh (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (R, m), th… ta vi‚t depth(M ) thay cho depthm(M ).

M»nh (cid:31)• 1.5.9.

a ∈ m l(cid:160) mºt phƒn tß kh(cid:230)ng l(cid:160) (cid:247)(cid:238)c cıa kh(cid:230)ng trong M . Khi (cid:31)(cid:226)

depth(M/aM ) = depth(M ) − 1.

i) Cho M l(cid:160) mºt m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh tr¶n v(cid:160)nh (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Noether (A, m) v(cid:160)

ii) Cho M l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh tr¶n v(cid:160)nh Noether v(cid:160) I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an

depthI(M ) = min {n | Extn

R(R/I, M ) (cid:54)= 0} = min {n | H n

I (M ) (cid:54)= 0} .

cıa R sao cho IM (cid:54)= M . Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

Chi•u hœu h⁄n b“c 1 v(cid:160) t‰nh minimax

cıa m(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y ta lu(cid:230)n gi£ thi‚t R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether c(cid:226) (cid:31)(cid:236)n

2.1 M(cid:230)(cid:31)un minimax v(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un cofinite

v(cid:224), I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R.

(cid:30)ƒu ti¶n ta tr…nh b(cid:160)y kh¡i ni»m m(cid:230)(cid:31)un minimax (cid:31)(cid:247)æc gi(cid:238)i thi»u b(cid:240)i H.

Z¨oschinger [20].

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.1 (M(cid:230)(cid:31)un minimax). Mºt R-m(cid:230)(cid:31)un M (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un

minimax n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh N cıa M sao cho m(cid:230)(cid:31)un

th(cid:247)(cid:236)ng M/N l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un Artin.

Nh“n x†t 2.1.2. Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n ta th§y r‹ng l(cid:238)p m(cid:230)(cid:31)un minimax bao

h(cid:160)m c£ l(cid:238)p m(cid:230)(cid:31)un Noether v(cid:160) l(cid:238)p m(cid:230)(cid:31)un Artin. Th“t v“y, gi£ sß M l(cid:160) R-

M th(cid:228)a m¢n M/N l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un Artin; V… th‚ M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un minimax.

m(cid:230)(cid:31)un Noether, l(cid:243)c (cid:31)(cid:226) ta ch(cid:229)n m(cid:230)(cid:31)un con N l(cid:160) M v(cid:160) khi (cid:31)(cid:226) m(cid:230)(cid:31)un th(cid:247)(cid:236)ng M/N ∼= 0; trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y rª r(cid:160)ng N l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh cıa

R-m(cid:230)(cid:31)un Artin. V… v“y M c(cid:244)ng l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un minimax.

(cid:30)Łi v(cid:238)i tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n‚u M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un Artin, th… ta ch(cid:229)n N = 0. Khi (cid:31)(cid:226) N l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh cıa M th(cid:228)a m¢n M/N = M/0 ∼= M l(cid:160)

H(cid:236)n nœa, ta s‡ th§y l(cid:238)p m(cid:230)(cid:31)un minimax (cid:31)(cid:226)ng k‰n d(cid:247)(cid:238)i ph†p l§y m(cid:230)(cid:31)un

con, m(cid:230)(cid:31)un th(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) m(cid:240) rºng nh(cid:247) m»nh (cid:31)• sau (cid:31)¥y.

M»nh (cid:31)• 2.1.3. i) Cho N l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un con cıa R-m(cid:230)(cid:31)un M . Khi (cid:31)(cid:226) M l(cid:160)

minimax n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u N v(cid:160) M/N l(cid:160) minimax.

R(P, M ) l(cid:160) minimax v(cid:238)i m(cid:229)i i ≥ 0 v(cid:160) m(cid:229)i

R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh P .

ii) Cho M l(cid:160) minimax. Khi (cid:31)(cid:226) Exti

M1 cıa M sao cho M/M1 l(cid:160) Artin. Khi (cid:31)(cid:226) N ∩ M1 l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh cıa N . M(cid:176)t kh¡c ta c(cid:226) N/(N ∩ M1) ∼= (N + M1)/M1 l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un con cıa

M/M1, n¶n N/(N ∩ M1) l(cid:160) Artin. V“y N l(cid:160) minimax.

Chøng minh. i) Gi£ sß M l(cid:160) minimax. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh

M1/(N ∩ M1) l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh cıa M/N ; (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i n(cid:226) th(cid:228)a m¢n (M/N )/((M1 + N )/N ) ∼= M/(M1 + N ) ∼= (M/M1)/((M1 + N )/M1) l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un

Ti‚p theo ta chøng t(cid:228) M/N l(cid:160) minimax. Ta th§y (M1 + N )/N ∼=

Artin. Suy ra M/N l(cid:160) minimax.

Ng(cid:247)æc l⁄i, ta gi£ sß N v(cid:160) M/N l(cid:160) minimax. Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) m(cid:230)(cid:31)un con

hœu h⁄n sinh N1 =< x1, . . . , xn > cıa N sao cho N/N1 l(cid:160) Artin; v(cid:160) c(cid:226) hœu

P1 =< y1, . . . , ym > v(cid:160) (cid:31)(cid:176)t M2 = N1 + P1. Khi (cid:31)(cid:226) M2 hœu h⁄n sinh. (cid:30)(cid:231)ng

h⁄n phƒn tß y1, . . . , ym cıa M sao M/(< y1, . . . , ym > +N ) l(cid:160) Artin. Gi£ sß

→

→ 0,

0 →

N + P1 N1 + P1

M N + P1

th(cid:237)i ta th§y M/M2 l(cid:160) Artin. Th“t v“y, tł d¢y kh(cid:238)p

M M2 N + P1 N1 + P1

M N1 + P1 M N + P1

v(cid:160) (cid:31)•u l(cid:160) Artin. Theo tr¶n ta c(cid:226) ta c(cid:226) M/M2 l(cid:160) Artin khi

= M/(< y1, . . . , ym > +N ) l(cid:160) Artin. M(cid:176)t kh¡c ta c(cid:226)

M N + P1

⊆

∼=

N + P1 N1 + P1

N + (N1 + P1) N1 + P1

N + M2 M2

N N ∩ M2

N N ∩ (N1 + P1)

N N1 + N ∩ P1

N/N1 (N1 + N ∩ P1)/N1

ngay

trong (cid:31)(cid:226) m(cid:230)(cid:31)un l(cid:160) Artin (v… n(cid:226) l(cid:160) th(cid:247)(cid:236)ng cıa m(cid:230)(cid:31)un Artin

N/N1). Suy ra

N/N1 (N1 + N ∩ P1)/N1 N + P1 N1 + P1

l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un Artin. V“y d(cid:242)ng d¢y kh(cid:238)p tr¶n ta suy ra

(cid:31)(cid:247)æc M/M2 l(cid:160) Artin. Chøng t(cid:228) M l(cid:160) minimax.

. . . → P2 → P1 → P0 → P → 0

ii) L§y gi£i x⁄ t(cid:252) do cıa R-m(cid:230)(cid:31)un P ta (cid:31)(cid:247)æc d¢y kh(cid:238)p

0 → Hom(P0, M ) → Hom(P1, M ) → Hom(P2, M ) → . . .

trong (cid:31)(cid:226) Pi l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un t(cid:252) do c(cid:226) h⁄ng hœu h⁄n. Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) phøc

R(P, M )

g(cid:231)m c¡c m(cid:230)(cid:31)un minimax (do M l(cid:160) minimax v(cid:160) sß d(cid:246)ng (cid:254) i). Tł (cid:31)(cid:226) Exti

l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un con th(cid:247)(cid:236)ng cıa m(cid:230)(cid:31)un minimax do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) c(cid:244)ng l(cid:160) minimax (theo (cid:254)

i).

Ti‚p theo ta nh›c l⁄i kh¡i ni»m m(cid:230)(cid:31)un cofinite (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i R.

Hartshorne [12] nh(cid:247) sau:

I-cofinite n‚u n(cid:226) th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n:

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.4 (M(cid:230)(cid:31)un I-cofinite). Mºt R-m(cid:230)(cid:31)un M (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un

(1) SuppR(M ) ⊆ V (I)

R(R/I, M ) l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i ≥ 0.

(2) Exti

Sau (cid:31)¥y l(cid:160) mºt ti¶u chu'n ki”m tra m(cid:230)(cid:31)un I-cofinite (cid:31)(cid:247)æc chøng minh

b(cid:240)i L. Melkersson trong [17] n«m 2005.

R-m(cid:230)(cid:31)un M th(cid:228)a m¢n Supp(M ) ⊆ V (I). Gi£ sß r‹ng (0 :M x) v(cid:160) M/xM

M»nh (cid:31)• 2.1.5. ([17, H» qu£ 3.4]) Cho x l(cid:160) phƒn tß thuºc i(cid:31)¶an I cıa R v(cid:160)

(cid:31)•u l(cid:160) I-cofinite th… M l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un I-cofinite.

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp R-m(cid:230)(cid:31)un M l(cid:160) minimax, th… ta c(cid:226) th¶m mºt d§u hi»u

sau (cid:31)¥y nœa c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)æc chøng minh b(cid:240)i L. Melkersson.

Supp(M ) ⊆ V (I). Khi (cid:31)(cid:226) M l(cid:160) I-cofinite khi v(cid:160) ch¿ khi (0 :M I) l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un hœu

M»nh (cid:31)• 2.1.6. ([17, M»nh (cid:31)• 4.3]) Cho M l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un minimax sao cho

h⁄n sinh. H(cid:236)n nœa, n‚u c(cid:226) mºt phƒn tß x ∈ I sao cho (0 :M x) l(cid:160) I-cofinite

th… M l(cid:160) I-cofinite.

Ta k‚t th(cid:243)c m(cid:246)c n(cid:160)y b(cid:240)i mºt bŒ (cid:31)• k(cid:190) thu“t sau (cid:31)¥y.

BŒ (cid:31)• 2.1.7. Cho R l(cid:160) mºt v(cid:160)nh Noether, I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa R v(cid:160) M l(cid:160) R-

m(cid:230)(cid:31)un. Gi£ sß (0 :M I) l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:160) (cid:31)(cid:176)t Kn = (0 :M I n) v(cid:238)i n = 1, 2, . . ..

Supp(Kn+2/Kn+1) ⊆ Supp(Kn+1/Kn).

Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 1 ta c(cid:226) bao h(cid:160)m thøc sau (cid:31)¥y

R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i n. Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i mØi n ≥ 1, ta c(cid:226) (cid:31)ﬂng thøc

Supp(Kn+1/Kn) = V (AnnR Kn+1/Kn).

Chøng minh. V… (0 :M I) l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh n¶n (0 :M I n) c(cid:244)ng l(cid:160)

V (AnnR(Kn+2/Kn+1)) ⊆ V (AnnR(Kn+1/Kn)).

Ta quy b(cid:160)i to¡n v• vi»c chøng minh

Nh(cid:247) v“y ta ch¿ cƒn chøng minh AnnR(Kn+1/Kn) ⊆ AnnR(Kn+2/Kn+1) l(cid:160) (cid:31)ı.

L§y x ∈ AnnR(Kn+1/Kn) n¶n xKn+1 ⊆ Kn suy ra I nxKn+1 = 0. Ta chøng minh I n+1xKn+2 ⊆ I nxKn+1. Th“t v“y l§y t(cid:242)y (cid:254) ω ∈ Kn+2 suy ra

I n+2ω = 0 hay Iω ⊆ (0 :M I n+1) = Kn+1. Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

I n+1xω = I nx(Iω) ⊆ I nxKn+1.

V… ω l(cid:160) t(cid:242)y (cid:254) thuºc Kn+2 n¶n ta c(cid:226) I n+1xKn+2 ⊆ I nxKn+1.

AnnR(Kn+2/Kn+1). V“y AnnR(Kn+1/Kn) ⊆ AnnR(Kn+2/Kn+1).

2.2 Chi•u hœu h⁄n b“c mºt v(cid:160) t‰nh ch§t minimax

Nh(cid:247) v“y v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ AnnR(Kn+1/Kn) ta suy ra I n+1xKn+2 ⊆ I nxKn+1 = 0 c(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160) xKn+2 ⊆ (0 :M I n+1) = Kn+1 hay x ∈

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta nh›c l⁄i mºt ti¶u chu'n Artin cıa Melkersson [16] v(cid:160) mºt

k‚t qu£ cıa Bahmanpour-Naghipour trong b(cid:160)i b¡o [5].

R. Khi (cid:31)(cid:226) n‚u (0 :M I) l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un Artin v(cid:160) M l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un I-xo›n, th… M l(cid:160) mºt

BŒ (cid:31)• 2.2.1. ([16, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.3]) Cho M l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un, I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa

m(cid:230)(cid:31)un Artin.

BŒ (cid:31)• 2.2.2. ([5, BŒ (cid:31)• 2.2]) Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether, M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un

hœu h⁄n sinh kh¡c kh(cid:230)ng, v(cid:160) I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa R. L§y t l(cid:160) sŁ nguy¶n kh(cid:230)ng

HomR(R/I, H t

I(M ) l(cid:160) I-cofinite minimax v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. Khi (cid:31)(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un I(M )) l(cid:160) hœu h⁄n sinh. (cid:30)(cid:176)c bi»t t“p hæp AssR(H t I(M )) l(cid:160) hœu

¥m sao cho H i

h⁄n.

Ti‚p theo l(cid:160) mºt sŁ k‚t qu£ cıa Bahmanpour-Naghipour trong [5].

M»nh (cid:31)• 2.2.3. ([5, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3]) Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether, M

l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:160) I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R. L§y t l(cid:160) sŁ

HomR(R/I, H t

I(M )) l(cid:160) hœu h⁄n sinh. (cid:30)(cid:176)c bi»t t“p hæp AssR(H t

I(M ) l(cid:160) minimax v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. Khi (cid:31)(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un I(M )) l(cid:160) hœu

nguy¶n kh(cid:230)ng ¥m sao cho H i

h⁄n.

I(M ) l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. Ta chøng minh b‹ng quy n⁄p theo i. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp i = 0 l(cid:160) hi”n

Chøng minh. Theo BŒ (cid:31)• 2.2.2 ta ch¿ cƒn chøng minh r‹ng H i

nhi¶n.

i v(cid:238)i i > 0. Theo gi£ thi‚t quy n⁄p, ta c(cid:226) H j

I (M ) l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i j < i.

Ti‚p theo ta gi£ sß k‚t qu£ (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chøng minh cho c¡c gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) h(cid:236)n

(cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.2.2 v(cid:160) gi£ thi‚t, ta c(cid:226) HomR(R/I, H i

I(M ) l(cid:160) I-cofinite. Do (cid:31)(cid:226) ta thu (cid:31)(cid:247)æc H i

I(M )) l(cid:160) hœu h⁄n I(M )

sinh. Tł M»nh (cid:31)• 2.1.6 ta c(cid:226) H i

l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < t.

R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:160) I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa R. Cho t l(cid:160) sŁ nguy¶n

BŒ (cid:31)• 2.2.4. ([5, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.5]) Cho R l(cid:160) mºt v(cid:160)nh giao ho¡n Noether, M l(cid:160)

kh(cid:230)ng ¥m sao cho H i

I(M ) l(cid:160) minimax v(cid:238)i m(cid:229)i i < t v(cid:160) N l(cid:160) mºt m(cid:230)(cid:31)un con I(M )/N ) l(cid:160) hœu h⁄n

minimax cıa H t

I(M ). Khi (cid:31)(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, H t I(M )/N ) l(cid:160) hœu h⁄n.

sinh. (cid:30)(cid:176)c bi»t, suy ra t“p AssR(H t

0 → (0 :N I) → (0 :H t

I(M ) l(cid:160) hœu h⁄n I(M ) l(cid:160) d¢y kh(cid:238)p n¶n ta c(cid:226) d¢y I (M ) I) c(cid:244)ng l(cid:160) d¢y kh(cid:238)p suy ra (0 :N I) l(cid:160) hœu

Chøng minh. Theo M»nh (cid:31)• 2.2.3, ta th§y HomR(R/I, H t sinh. H(cid:236)n nœa, v… d¢y 0 → N → H t

h⁄n sinh.

N l(cid:160) I-cofinite. Ta x†t d¢y kh(cid:238)p sau

0 → N → H t

I(M ) → H t

I(M )/N → 0.

V… N l(cid:160) I-xo›n v(cid:160) minimax, n¶n ta ¡p d(cid:246)ng M»nh (cid:31)• 2.1.6 suy ra (cid:31)(cid:247)æc

HomR(R/I, H t

I(M ) → HomR(R/I, H t

I(M )/N ) → Extt

I(R/I, N ).

T¡c (cid:31)ºng h(cid:160)m tß HomR(R/I, −) ta (cid:31)(cid:247)æc d¢y sau c(cid:244)ng l(cid:160) kh(cid:238)p

I(M )/N ) l(cid:160) hœu h⁄n sinh.

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra HomR(R/I, H t

Ta c(cid:226) ngay h» qu£ sau (cid:31)¥y cıa BŒ (cid:31)• 2.2.4.

H» qu£ 2.2.5. Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether, M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n

I(M ) l(cid:160) minimax v(cid:238)i m(cid:229)i i < t th… I(M )/Ni) l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i ≤ t (trong (cid:31)(cid:226) Ni l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un

HomR(R/I, H i con minimax cıa H i

I(M )).

sinh v(cid:160) I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa R. N‚u H i

H 0

(M ) l(cid:160) minimax khi v(cid:160) ch¿ khi ch(cid:243)ng l(cid:160) hœu h⁄n sinh (cid:31)(cid:224)a

I (M ), . . . , H t−1

M»nh (cid:31)• sau (cid:31)¥y l(cid:160) mºt m(cid:240) rºng cıa ph¡t bi”u [10, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1] c¡c

ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i c¡c i(cid:31)¶an nguy¶n tŁ n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

M»nh (cid:31)• 2.2.6. ([4, M»nh (cid:31)• 2.2]) Cho R l(cid:160) mºt v(cid:160)nh Noether v(cid:160) I l(cid:160) i(cid:31)¶an

cıa R. Cho M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh v(cid:160) t ≥ 1 l(cid:160) sŁ nguy¶n. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c

(cid:31)i•u ki»n sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:

I(M ) l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un minimax v(cid:238)i m(cid:229)i i < t.

i) H i

I(M ))p l(cid:160) Rp-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i < t v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i p ∈

Supp(M/IM ) v(cid:238)i dim R/p > 0.

ii) (H i

I(M ) l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un minimax v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. I(M )

Chøng minh. (i) ⇒ (ii) Gi£ sß H i

I(M )/Li l(cid:160) Artin.

Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i mØi i < t, t(cid:231)n t⁄i mºt R-m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh Li cıa H i sao cho H i

L§y p ∈ Supp(M/IM ) sao cho dim R/p > 0. Khi (cid:31)(cid:226) (H i

I(M ))p ∼= (Li)p v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. Suy ra (H i

I(M )/Li)p = 0 I(M ))p l(cid:160)

Rp-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i < t, nh(cid:247) y¶u cƒu.

(ii) ⇒ (i) Ta chøng minh quy n⁄p theo t ≥ 1. N‚u t = 1 th… khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:243)ng

v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. Do (cid:31)(cid:226) (H i

I (M ) l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh.

v… H 0

Gi£ sß khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:243)ng trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp t − 1 v(cid:238)i t > 1. Theo gi£ thi‚t

I(M ) l(cid:160) minimax v(cid:238)i m(cid:229)i i < t − 1 v(cid:160) nh(cid:247) v“y ta ch¿

quy n⁄p th… R-m(cid:230)(cid:31)un H i

(M ) l(cid:160) minimax. (cid:30)(cid:176)t

Hn = (0 :H t−1

(M ) I n)

cƒn chøng minh R-m(cid:230)(cid:31)un H t−1

v(cid:238)i n = 1, 2, . . .. Khi (cid:31)(cid:226) theo BŒ (cid:31)• 2.2.4, ta c(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un H1 l(cid:160) hœu h⁄n sinh,

do (cid:31)(cid:226) Hn l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 1. V… v“y theo BŒ (cid:31)• 2.1.7 ta

Supp(Hn+2/Hn+1) ⊆ Supp(Hn+1/Hn)

suy ra

v(cid:238)i m(cid:229)i n = 1, 2, . . .. V… R l(cid:160) v(cid:160)nh Noether n¶n Spec R l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Noether

Supp(Hn+1/Hn) = Supp(Hs+1/Hs)

khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng s sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ s + 1 ta c(cid:226)

(M ))p l(cid:160) hœu h⁄n sinh, (ch(cid:243) (cid:254) p ∈ Supp(M/IM )), v(cid:160)

CuŁi c(cid:242)ng ta chøng minh Supp(Hs+1/Hs) ⊆ Max R b‹ng ph£n chøng. Ta gi£

(M ) sao cho

(M ))p = Lp.

(H t−1 I

sß ph£n chøng r‹ng t(cid:231)n t⁄i p ∈ Supp(Hs+1/Hs) sao cho dim R/p > 0. Theo (ii) th… Rp-m(cid:230)(cid:31)un (H t−1 v… v“y t(cid:231)n t⁄i R-m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh L cıa H t−1

(M ))p = Lp.

Lp ⊆ (Hn)p ⊆ (Hn+1)p ⊆ (H t−1

V… ΓI(L) = L n¶n t(cid:231)n t⁄i sŁ nguy¶n n ≥ s + 1 sao cho I nL = 0 v(cid:160) nh(cid:247) v“y

(M ) n¶n d„ d(cid:160)ng th§y

Suy ra (Hn)p = (Hn+1)p v(cid:160) p /∈ Supp(Hn+1/Hn) (cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. B(cid:240)i

Hn = H t−1

∞ (cid:83) n=1

Supp(H t−1

(M )/Hs) = Supp(Hs+1/Hs)

v…

Supp(H t−1

(M )/Hs) ⊆ Max R

I) l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh v(cid:160) Supp(Hs+1/Hs) ⊆

(M )/Hs

I) c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i hœu h⁄n. Do (cid:31)(cid:226) theo

Khi (cid:31)(cid:226)

(M )/Hs

V… Hs+1/Hs = (0 :H t−1 Max R, n¶n k†o theo R-m(cid:230)(cid:31)un (0 :H t−1

(M ) l(cid:160)

(M )/Hs l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un Artin. V“y H t−1

R-m(cid:230)(cid:31)un minimax.

BŒ (cid:31)• 2.2.1, ta suy ra H t−1

(cid:30)” chøng minh (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ch‰nh cıa m(cid:246)c n(cid:160)y, ta cƒn (cid:31)‚n mºt k‚t qu£ bŒ

a(M )) l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i

R(R/b, H i

træ sau (cid:31)¥y.

M»nh (cid:31)• 2.2.7. ([14, H» qu£ 3.5]) Cho a v(cid:160) b l(cid:160) c¡c i(cid:31)¶an cıa R v(cid:238)i a ⊆ b. Cho n l(cid:160) sŁ nguy¶n kh(cid:230)ng ¥m sao cho Extj m(cid:229)i i < n v(cid:160) m(cid:229)i j ∈ N . Khi (cid:31)(cid:226)

a (M )) ∩ V (b) l(cid:160) hœu

a (M )) l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:160) v… v“y AssR(H n

i) HomR(R/b, H n

h⁄n.

a (M )) l(cid:160) hœu h⁄n sinh.

R(R/b, H n

ii) Ext1

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ch‰nh cıa m(cid:246)c n(cid:160)y n(cid:226) cho ta th§y sŁ nguy¶n nh(cid:228)

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un minimax, sŁ nguy¶n n(cid:160)y b‹ng sŁ

inf (cid:8)fIRp(Mp) | p ∈ Supp(M/IM ) v(cid:160) dim R/p ≥ 1(cid:9) .

nh§t i sao cho H i

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.8. ([4, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3]) Cho R l(cid:160) mºt v(cid:160)nh giao ho¡n Noether, I l(cid:160)

i(cid:31)¶an cıa R v(cid:160) M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)(cid:243)ng.

I (M ).

I(M ) l(cid:160) minimax v(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < f 1

I (M )

i) R-m(cid:230)(cid:31)un H i

(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) minimax, mØi khi f 1

I (M ) l(cid:160) sŁ hœu h⁄n.

I (M )

ii) R-m(cid:230)(cid:31)un H f 1

(M ), ta c(cid:226) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

I (M )

(M )/N

(M )/N ) v(cid:160) Ext1

HomR(R/I, H f 1

R(R/I, H f 1

iii) V(cid:238)i m(cid:229)i m(cid:230)(cid:31)un con minimax N cıa H f 1

I (M ) l(cid:160) sŁ hœu h⁄n.

l(cid:160) hœu h⁄n sinh, mØi khi f 1

I (M ) = inf (cid:8)fIRp(Mp) | p ∈ Supp(M/IM ), dim R/p ≥ 1(cid:9) . f 1

Chøng minh. i) Theo c(cid:230)ng thøc ((cid:63)) (cid:240) phƒn m(cid:240) (cid:31)ƒu, ta nh›c l⁄i r‹ng

(Mp) l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i p ∈

I (M ), khi (cid:31)(cid:226) H i

IRp

Supp(M/IM ) v(cid:160) dim R/p ≥ 1. Tł M»nh (cid:31)• 2.2.6 suy ra H i

L§y t(cid:242)y (cid:254) i < f 1

I (M ). Ti‚p t(cid:246)c tł H» qu£ 2.2.5 suy ra HomR(R/I, H i

v(cid:238)i m(cid:229)i i < f 1

I (M ). Do (cid:31)(cid:226) H i

I(M ) l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < f 1

I(M ) l(cid:160) minimax I(M )) l(cid:160) I (M )

hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i ≤ f 1

theo M»nh (cid:31)• 2.1.6.

(Mp) kh(cid:230)ng hœu

IRp

ii) V… t(cid:231)n t⁄i p ∈ Supp(M/IM ) v(cid:238)i dim R/p ≥ 1 (cid:31)” H t

I (M ). N¶n tł M»nh (cid:31)• 2.2.6 suy ra H t

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160)

R-m(cid:230)(cid:31)un minimax.

h⁄n sinh, trong (cid:31)(cid:226) t = f 1

iii) (cid:30)” chøng minh khﬂng (cid:31)(cid:224)nh n(cid:160)y ta sß d(cid:246)ng (i) v(cid:160) M»nh (cid:31)• 2.2.7. Tł (i) v(cid:160)

I (M )

(M ))

(M )) v(cid:160) Ext1

HomR(R/I, H f 1

R(R/I, H f 1

I (M )

M»nh (cid:31)• 2.2.7, ta th§y c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

(M ). Khi

l(cid:160) hœu h⁄n sinh. Ta l§y N l(cid:160) mºt m(cid:230)(cid:31)un con minimax cıa H f 1

(cid:31)(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un (0 :N I) c(cid:244)ng l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) theo M»nh (cid:31)• 2.1.6, ta

I (M )

(M )/N ) → Ext1

HomR(R/I, H f 1

(M )) → HomR(R/I, H f 1

R(R/I, N )

I (M )

→ Ext1

(M )) → Ext1

(M )/N ) → Ext1

R(R/I, H f 1

R(R/I, N ).

suy ra (cid:31)(cid:247)æc N l(cid:160) I-cofinite. Ta x†t d¢y kh(cid:238)p

I (M )

(M )/N )

(M )/N ) v(cid:160) Ext1

HomR(R/I, H f 1

R(R/I, H f 1

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un sau (cid:31)¥y

l(cid:160) hœu h⁄n sinh.

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) minimax(cid:9) .

I (M ) = inf (cid:8)i ∈ N | H i f 1

H» qu£ 2.2.9. Cho R, I v(cid:160) M nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.8. Khi (cid:31)(cid:226)

i < f 1

I(M ), khi (cid:31)(cid:226) theo ii) cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.8 suy ra H t

I (M ) = t. X†t H t

I(M ) l(cid:160) minimax v(cid:238)i m(cid:229)i I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) minimax khi t l(cid:160) sŁ hœu h⁄n. V“y (cid:31)ﬂng thøc tr¶n (cid:31)(cid:243)ng khi t l(cid:160) sŁ

Chøng minh. Theo phƒn i) cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.8 ta c(cid:226) H i

hœu h⁄n.

t = f 1

I (M ) = inf{fIRp(Mp) | p ∈ Supp(M/IM ), dim R/p ≥ 1} = ∞.

X†t t v(cid:230) h⁄n, khi (cid:31)(cid:226) theo (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ta c(cid:226)

(Mp) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i p ∈ Supp(M/IM ) m(cid:160) dim R/p ≥ 1.

IRp

Suy ra H i

I(M ) l(cid:160) minimax v(cid:238)i m(cid:229)i i ≥ 0.

Tł (cid:31)(cid:226) theo M»nh (cid:31)• 2.2.6 ta c(cid:226) H i

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) minimax } = ∅, m(cid:160) ta (cid:31)¢ quy (cid:247)(cid:238)c

inf(∅) = ∞. V“y (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)(cid:243)ng ngay c£ khi t v(cid:230) h⁄n.

Do (cid:31)(cid:226) t“p {i ∈ N | H i

I (M )

(M )/N ) l(cid:160) hœu h⁄n.

K‚t qu£ sau (cid:31)¥y l(cid:160) m(cid:240) rºng cıa k‚t qu£ ch‰nh trong [3, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 4.2].

H» qu£ 2.2.10. Cho R, I, M nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.8. Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i m(cid:230)(cid:31)un (M ) th… t“p AssR(H f 1 con minimax N cıa H f 1

Ti‚p theo ta s‡ x†t mºt v‰ d(cid:246) sau cho th§y v(cid:238)i mºt i(cid:31)¶an I cıa v(cid:160)nh

giao ho¡n Noether R v(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh M , th… t‰nh ch§t minimax

I(M ) kh(cid:230)ng suy ra t‰nh ch§t I-cofinite cıa R-m(cid:230)(cid:31)un H i

I(M ).

cıa R-m(cid:230)(cid:31)un H i

Tr(cid:247)(cid:238)c khi (cid:31)‚n v(cid:238)i v‰ d(cid:246) ta cƒn nh›c l⁄i (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa v(cid:160)nh (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

Gorenstein.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.2.11. Cho (R, m, k) l(cid:160) mºt v(cid:160)nh Noether (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng n-chi•u.

Khi (cid:31)(cid:226) R (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt v(cid:160)nh Gorenstein (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng n‚u R c(cid:226) chi•u nºi x⁄

l(cid:160) n (tøc l(cid:160) injdim R = n).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.2.12. V(cid:160)nh giao ho¡n Noether R (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) v(cid:160)nh Gorenstein

n‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng h(cid:226)a Rm cıa n(cid:226) t⁄i mØi i(cid:31)¶an tŁi (cid:31)⁄i m (cid:31)•u l(cid:160) v(cid:160)nh Gorenstein

(cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.

(R) l(cid:160) Artin v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un

d ≥ 4. Cho x1, x2, . . . , xd l(cid:160) mºt h» tham sŁ cıa R, J = (x1, x2, . . . , xd−2) v(cid:160) K = (x3, . . . , xd). Khi (cid:31)(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un H d−1

V‰ d(cid:246) 2.2.13. Cho (R, m) l(cid:160) mºt v(cid:160)nh Gorenstein (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i sŁ chi•u

minimax nh(cid:247)ng kh(cid:230)ng l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un I-cofinite trong (cid:31)(cid:226) I = J ∩ K.

(R) ∼= H d

∼= ER(R/m).

J+K(R) = H d m

H d−1 I

(R) l(cid:160) minimax.

Chøng minh. Theo t‰nh ch§t cıa d¢y Mayer-Vietoris, t(cid:231)n t⁄i c¡c (cid:31)ﬂng c§u

(R) l(cid:160) I-cofinite.

V… R-m(cid:230)(cid:31)un ER(R/m) l(cid:160) Artin n¶n ta suy ra R-m(cid:230)(cid:31)un H d−1 Ta chøng minh b‹ng ph£n chøng r‹ng gi£ sß R-m(cid:230)(cid:31)un H d−1

HomR(R/I, ER(R/m)) ∼= ER/I(R/m)

Khi (cid:31)(cid:226) theo (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ta suy ra R-m(cid:230)(cid:31)un

l(cid:160) hœu h⁄n sinh. (cid:30)i•u n(cid:160)y d¤n (cid:31)‚n dim(R/I) = 0, tuy nhi¶n n(cid:226) l⁄i m¥u thu¤n

v(cid:238)i dim(R/I) = 2.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3

Chi•u hœu h⁄n b“c 2 v(cid:160) t‰nh Lasker

y‚u

H i

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un Lasker y‚u v(cid:160) ta chøng minh (cid:31)(cid:247)æc sŁ §y b‹ng f 2 I (M ) v(cid:238)i R l(cid:160) v(cid:160)nh nßa (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng. Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t ta cƒn nh›c l⁄i v• m(cid:230)(cid:31)un Lasker y‚u.

3.1 M(cid:230)(cid:31)un Lasker y‚u v(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un cofinite

M(cid:246)c (cid:31)‰ch ch‰nh cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng sŁ nguy¶n i nh(cid:228) nh§t (cid:31)”

AssR(M/N ) l(cid:160) t“p hœu h⁄n v(cid:238)i m(cid:229)i m(cid:230)(cid:31)un con N cıa M .

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.1.1. Mºt R-m(cid:230)(cid:31)un M (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un Lasker y‚u n‚u

Ti‚p theo ta nh›c l⁄i mºt t‰nh ch§t cıa m(cid:230)(cid:31)un a-xo›n.

M»nh (cid:31)• 3.1.2. ([8, BŒ (cid:30)• 2.1.1(ii)]) Cho M l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh

v(cid:160) a l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R. Khi (cid:31)(cid:226) M l(cid:160) a-xo›n t(cid:252) do khi v(cid:160) ch¿ khi a chøa mºt phƒn

tß kh(cid:230)ng l(cid:160) (cid:247)(cid:238)c cıa 0 trong M .

M l(cid:160) a-xo›n t(cid:252) do.

Chøng minh. N‚u a chøa mºt phƒn tß kh(cid:230)ng l(cid:160) (cid:247)(cid:238)c cıa kh(cid:230)ng trong M th…

Ng(cid:247)æc l⁄i, gi£ sß a ch¿ chøa m(cid:229)i phƒn tß l(cid:160) (cid:247)(cid:238)c cıa kh(cid:230)ng trong M . Khi

p∈Ass M p v(cid:160) v… M l(cid:160) hœu h⁄n sinh n¶n Ass(M ) hœu h⁄n. H(cid:236)n nœa, theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¡nh nguy¶n tŁ t(cid:231)n t⁄i p ∈ Ass(M ) sao cho a ⊆ p. V… M c(cid:226) mºt

(cid:31)(cid:226) a ⊆ (cid:83)

m(cid:230)(cid:31)un con c(cid:226) linh ho¡n tß l(cid:160) p n¶n suy ra (0 :M a) (cid:54)= 0. Nh(cid:247) v“y, Γa(M ) (cid:54)= 0

(m¥u thu¤n). V“y ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

Ti‚p theo ta nh›c l⁄i mºt k‚t qu£ cıa T. Kawasaki.

M»nh (cid:31)• 3.1.3. ([13, BŒ (cid:31)• 1]) Cho I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa R, v(cid:160) p l(cid:160) mºt sŁ

nguy¶n kh(cid:230)ng ¥m. Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i R-m(cid:230)(cid:31)un T , ta c(cid:226) c¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160)

t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng

R(R/I, T ) l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i ≤ p.

i) Exti

R(R/P, T ) l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i ≤ p.

ii) V(cid:238)i mØi P ∈ min(R/I) th… Exti

R(N, T )

iii) V(cid:238)i m(cid:229)i R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh N c(cid:226) Supp(N ) ⊆ V (I), th… Exti

l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i ≤ p.

(trong (cid:31)(cid:226) min(R/I) l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c i(cid:31)¶an nguy¶n tŁ tŁi ti”u cıa I).

M»nh (cid:31)• 3.1.4. ([7, BŒ (cid:31)• 2.4, 2.5]) Cho (R, m) l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether

(cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) A l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un Artin.

R-m(cid:230)(cid:31)un A/xA c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i hœu h⁄n.

i) Gi£ sß x l(cid:160) mºt phƒn tß cıa m sao cho V (Rx) ∩ AttR A ⊆ {m}. Khi (cid:31)(cid:226)

ii) Gi£ sß I l(cid:160) mºt i(cid:31)¶an cıa R sao cho R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, A) l(cid:160) hœu h⁄n sinh. Khi (cid:31)(cid:226) V (I) (cid:84) AttR A ⊆ V (m).

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) mºt m»nh (cid:31)• cıa Bahmanpour-Naghipour-Sedghi.

M»nh (cid:31)• 3.1.5. ([4, M»nh (cid:31)• 3.1]) Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether v(cid:160) I l(cid:160)

I(M ))p l(cid:160) Rp- m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i < t v(cid:160) m(cid:229)i p ∈ Supp(M/IM ) v(cid:238)i dim R/p > 1,

I(M )) l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un

mºt i(cid:31)¶an cıa R. Cho M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh sao cho (H i

I(M ) l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < t.

trong (cid:31)(cid:226) t l(cid:160) sŁ nguy¶n kh(cid:230)ng ¥m. Khi (cid:31)(cid:226) HomR(R/I, H t hœu h⁄n sinh v(cid:160) H i

Chøng minh. Ta s‡ chøng minh quy n⁄p theo t. N‚u t = 1, khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:243)ng

do M»nh (cid:31)• 2.2.3.

Gi£ sß khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i t − 1 (v(cid:238)i t > 1). Thay M b(cid:240)i M/ΓI(M ),

kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta c(cid:226) th” gi£ sß r‹ng M (kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:160) hœu

p∈AssR M p.

h⁄n sinh) l(cid:160) mºt R-m(cid:230)(cid:31)un I-xo›n t(cid:252) do. Khi (cid:31)(cid:226) theo M»nh (cid:31)• 3.1.2 suy ra I (cid:42) (cid:83)

Hi,n = (0 :H i

I (M ) I n).

Ti‚p theo v(cid:238)i m(cid:229)i n ∈ N v(cid:160) m(cid:229)i 0 ≤ i < t, ta (cid:31)(cid:176)t

Khi (cid:31)(cid:226) tł gi£ thi‚t quy n⁄p v(cid:160) M»nh (cid:31)• 3.1.3 ta c(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un Hi,n l(cid:160) hœu h⁄n

Supp(Hi,n+1/Hi,n) = Supp(Hi,k+1/Hi,k)

sinh. Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i sŁ nguy¶n k sao cho

dim(R/p) > 1. H(cid:236)n nœa, v…

Supp(Hi,k+1/Hi,k) ⊆ Supp(M/IM )

v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ k + 1 v(cid:160) m(cid:229)i i < t. Ta l§y p ∈ Supp(Hi,k+1/Hi,k) sao cho

I(M ))p l(cid:160) Rp-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i mºt m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh L cıa

H i

I(M ) sao cho (H i

I(M ))p = Lp. M(cid:176)t kh¡c v… ΓI(L) = L n¶n suy ra t(cid:231)n t⁄i sŁ

n¶n suy ra p ∈ Supp(M/IM ) v(cid:160) theo gi£ thi‚t ta thu (cid:31)(cid:247)æc (H i

Lp = (H i

I(M ))p ⊇ (Hi,n+1)p ⊇ (Hi,n)p ⊇ Lp.

nguy¶n n ≥ k + 1 sao cho I nL = 0. Khi (cid:31)(cid:226)

(cid:30)i•u n(cid:160)y d¤n (cid:31)‚n (Hi,n+1/Hi,n)p = 0, tøc l(cid:160) p /∈ Supp(Hi,n+1/Hi,n) (m¥u

∪∞

n=1Hi,n = H i

I(M ) n¶n ta d„ d(cid:160)ng th§y

Supp(H i

I(M )/Hi,k) = Supp(Hi,k+1/Hi,k).

thu¤n). Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i p ∈ Supp(Hi,k+1/Hi,k) ta c(cid:226) dim R/p ≤ 1. B(cid:240)i v…

Supp(H i

I(M )/Hi,k) ⊆ {p ∈ Spec(R) | dim(R/p) ≤ 1} .

K†o theo

I(M )) l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i < t n¶n tł

Ta l⁄i c(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, H i

HomR(R/I, H i

R(R/I, Hi,k)

I(M )) → HomR(R/I, H i

I(M )/Hi,k) → Ext1

I(M )/Hi,k) c(cid:244)ng l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i I(M )/Hi,k) = H i I(M )/Hi,k n¶n suy ra t“p

d¢y kh(cid:238)p

I(M )/Hi,k l(cid:160) hœu h⁄n. Ta (cid:31)(cid:176)t

Ti = (cid:8)p ∈ Supp(H i

I(M )/Hi,k) | dim R/p = 1(cid:9) .

suy ra R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, H i i < t. Ti‚p theo ta c(cid:226) ΓI(H i AssR H i

I(M )/Hi,k v(cid:160) t“p T = ∪t−1

i=0Ti l(cid:160) hœu h⁄n.

Khi (cid:31)(cid:226) Ti ⊆ min AssR H i

(H i

I(M ))pj l(cid:160) minimax v(cid:238)i m(cid:229)i j = 1, . . . , l v(cid:160) m(cid:229)i i = 0, . . . , t − 1. Do (cid:31)(cid:226) I(M ) sao cho Rpj -m(cid:230)(cid:31)un

Gi£ sß T = {p1, . . . , pl}. Theo M»nh (cid:31)• 2.2.6, ta th§y Rpj -m(cid:230)(cid:31)un

I(M )/Li,j)pj l(cid:160) Artin. Ti‚p theo ta (cid:31)(cid:176)t

Li = Li,1 + . . . + Li,l + Li,k.

t(cid:231)n t⁄i mºt m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh Li,j cıa H i (H i

I(M )/Li)p l(cid:160) Artin. M(cid:176)t kh¡c, tł d¢y

V(cid:238)i m(cid:229)i p ∈ T , ta th§y Rp-m(cid:230)(cid:31)un (H i

HomR(R/I, H i

I(M )) → HomR(R/I, H i

I(M )/Li) → Ext1

R(R/I, Li)

kh(cid:238)p

I(M )/Li) l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) suy ra I(M )/Li)p) c(cid:244)ng l(cid:160) hœu h⁄n

k†o theo R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, H i v(cid:238)i m(cid:229)i p ∈ T th… Rp-m(cid:230)(cid:31)un HomRp(Rp/IRp, (H i

AttRp((H i

I(M )/Li)p) ∩ V (IRp) ⊆ {pRp} .

sinh. Theo M»nh (cid:31)• 3.1.4, ta c(cid:226)

(cid:30)(cid:176)t

S = ∪t−1

(H i

j=1

I(M )/Li)pj

i=0 ∪l

(cid:111) (cid:110) q ∈ Spec R | qRpj ∈ AttRpj

x /∈ (∪q∈S\V (I)q) ∪ (∪p∈AssR M p).

Khi (cid:31)(cid:226) S ∩ V (I) ⊆ T . M(cid:176)t kh¡c, t(cid:231)n t⁄i phƒn tß x ∈ I sao cho

0 → M x−→ M → M/xM → 0,

Ta x†t d¢y kh(cid:238)p

. . . → H i

(M ) x−→ H i+1

(M ) → . . . .

I(M ) x−→ H i

I(M ) → H i

I(M/xM ) → H i+1

khi (cid:31)(cid:226) n(cid:226) c£m sinh ra mºt d¢y kh(cid:238)p d(cid:160)i

0 → H i

Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i i ≥ 0, ta suy ra d¢y kh(cid:238)p ng›n sau

I(M )/xH i

I(M ) → H i

I(M/xM ) → (0 :H i+1

(M ) x) → 0.

(*)

V… Supp(M/xM/I(M/xM )) = Supp(M/IM ) n¶n tł d¢y kh(cid:238)p tr¶n v(cid:160) theo

H 0

(M/xM )

I (M/xM ), H 1

I (M/xM ), . . . , H t−2

(M/xM )) l(cid:160) hœu h⁄n sinh. V(cid:238)i

gi£ thi‚t quy n⁄p ta suy ra r‹ng c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

I(M ) + Li)/xH i

H i

I(M ) l(cid:160) mºt m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh cıa I(M ) n¶n k†o theo t(cid:231)n t⁄i mºt m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh Ni cıa

H i

I(M )/xH i I(M/xM ) sao cho d¢y sau l(cid:160) kh(cid:238)p

0 → H i

I(M )/(Li + xH i

I(M )) → H i

I(M/xM )/Ni → (0 :H i+1

(M ) x) → 0.

l(cid:160) I-cofinite v(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, H t−1 m(cid:229)i i < t, v… (xH i

I(M )) v(cid:160) V (i) = H i

I(M )/(Li + xH i

I(M/xM )/Ni. Khi (cid:31)(cid:226), tł M»nh (cid:31)• 3.1.4 ta d„ d(cid:160)ng th§y r‹ng Rpj -m(cid:230)(cid:31)un (Ui)pj l(cid:160) hœu h⁄n v(cid:238)i m(cid:229)i

j = 1, . . . , l (ch(cid:243) (cid:254) r‹ng x /∈ ∪q∈S\V (I)q). Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i mºt R-m(cid:230)(cid:31)un con Bij

Ta (cid:31)(cid:176)t Ui = H i

cıa Ui sao cho (Ui)pj = (Bij)pj . (cid:30)(cid:176)t Bi = Bi1 + . . . + Bil. Khi (cid:31)(cid:226) Bi l(cid:160) mºt

SuppR Ui/Bi ⊆ Supp(H i

I(M )/Ki)\T ⊆ Max R.

m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh cıa Ui sao cho

0 → Ni → H i

I(M/xM ) → Vi → 0

M(cid:176)t kh¡c d¢y kh(cid:238)p

HomR(R/I, H i

I(M/xM )) → HomR(R/I, Vi) → Ext1

R(R/I, Ni)

c£m sinh ra d¢y kh(cid:238)p sau

i < t. Do (cid:31)(cid:226), v… d¢y

0 → HomR(R/I, Ui) → HomR(R/I, Vi)

v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, Vi) l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i

l(cid:160) d¢y kh(cid:238)p, n¶n R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, Ui) c(cid:244)ng l(cid:160) hœu h⁄n sinh. Tł (cid:31)(cid:226) suy

Max R n¶n R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, Ui/Bi) l(cid:160) Artin v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. V… Ui/Bi l(cid:160)

I-xo›n, n¶n theo Melkersson (BŒ (cid:31)• 2.2.1) ta suy ra Ui/Bi l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un Artin.

ra R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, Ui/Bi) l(cid:160) hœu h⁄n sinh. H(cid:236)n nœa v… Supp(Ui/Bi) ⊆

I(M ) + Li/xH i

I(M ) l(cid:160) mºt m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh

Tøc l(cid:160) Ui l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un minimax v(cid:238)i m(cid:229)i i < t.

I(M ) v(cid:160)

∼= (H i

I(M )/xH i

I(M ))/((xH i

I(M ) + Li)/xH i

I(M ))

cıa H i M(cid:176)t kh¡c, v… xH i I(M )/xH i

I(M )/xH i

n¶n ta suy ra R-m(cid:230)(cid:31)un H i

I(M ) l(cid:160) minimax v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. H(cid:236)n nœa I(M )) c(cid:244)ng l(cid:160) hœu h⁄n

I(M )/xH i

theo d¢y kh(cid:238)p (*), R-m(cid:230)(cid:31)un HomR(R/I, H i

I(M )/xH i

I(M )

sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. Do v“y theo M»nh (cid:31)• 2.1.6 th… R-m(cid:230)(cid:31)un H i

l(cid:160) I-cofinite.

(M ) x) c(cid:244)ng l(cid:160) I- (M )/xH t−1 (M )

Tł d¢y kh(cid:238)p (*) c(cid:244)ng ta suy ra R-m(cid:230)(cid:31)un (0 :H i+1

cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. (cid:30)(cid:176)c bi»t, ta suy ra r‹ng R-m(cid:230)(cid:31)un H t−1

HomR(R/I, H t

I(M )) l(cid:160) hœu h⁄n sinh. CuŁi c(cid:242)ng ta th§y r‹ng v… R-m(cid:230)(cid:31)un I(M ) (cid:31)•u l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < t n¶n tł M»nh

I(M )/xH i

I (M ) x) v(cid:160) H i (0 :H i (cid:31)• 2.1.5 ta suy ra (cid:31)(cid:247)æc H i

I(M ) l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < t.

l(cid:160) minimax v(cid:160) I-cofinite. M(cid:176)t kh¡c tł d¢y kh(cid:238)p (*) c(cid:244)ng suy ra r‹ng

M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)¥y l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng:

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.6. Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether v(cid:160) I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R. Cho

I (M ).

I(M ) l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < f 2

I (M )

i) R-m(cid:230)(cid:31)un H i

(M ), ta c(cid:226) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

I (M )

(M )/N )

(M )/N ) v(cid:160) Ext1

HomR(R/I, H f 2

R(R/I, H f 2

ii) V(cid:238)i m(cid:229)i m(cid:230)(cid:31)un con minimax N cıa H f 2

I (M ) l(cid:160) sŁ hœu h⁄n.

l(cid:160) hœu h⁄n sinh, mØi khi f 2

I (M ) (xem l⁄i c(cid:230)ng thøc ((cid:63)) (cid:240) phƒn m(cid:240)

Chøng minh. i) Theo (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa f 2

f 2 I (M ) = inf{fIRp(Mp) | p ∈ Supp(M/IM ), dim R/p ≥ 2}

(cid:31)ƒu), ta c(cid:226)

I (M ) th… H i m(cid:160) dim R/p ≥ 2. (cid:129)p d(cid:246)ng M»nh (cid:31)• 3.1.5 ta c(cid:226) H i

I(Mp) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i p ∈ Supp(M/IM ) I(M ) l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i

i < f 2

I (M ) v(cid:160) Hom(R/I, H t

I(M )) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i t = f 2

I (M ).

Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i i < f 2

ii) T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) chøng minh phƒn ii) cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.8.

H» qu£ 3.1.7. Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether v(cid:160) I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R. Cho M

s = inf (cid:8)depth(IRp, Mp) | p ∈ Supp(M/IM ) v(cid:160) dim R/p > 1(cid:9) .

l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh v(cid:160) (cid:31)(cid:176)t

Khi (cid:31)(cid:226) c¡c (cid:31)i•u (cid:31)i»n sau l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng

I(M ) l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < s.

i) R-m(cid:230)(cid:31)un H i

I (M ), ta c(cid:226) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

HomR(R/I, H s

I (M )/N ) v(cid:160) Ext1

R(R/I, H s

I (M )/N )

ii) V(cid:238)i m(cid:229)i m(cid:230)(cid:31)un con minimax N cıa H s

l(cid:160) hœu h⁄n sinh, mØi khi s l(cid:160) hœu h⁄n.

I (M ) v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.6 ta suy ra (cid:31)i•u cƒn chøng

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng s ≤ f 2

minh.

Ti‚p theo ta ph¡t bi”u v(cid:160) chøng minh k‚t qu£ ch‰nh sau (cid:31)¥y, (cid:31)(cid:226) l(cid:160) mºt

m(cid:240) rºng k‚t qu£ cıa Bahmanpour - Naghipour trong [7], v(cid:160) (cid:31)(cid:226) c(cid:244)ng l(cid:160) k‚t qu£

cıa Delfino - Marley trong [9] v(cid:160) Yoshida trong [19] (cid:31)Łi v(cid:238)i v(cid:160)nh giao ho¡n

Noether t(cid:242)y (cid:254).

H» qu£ 3.1.8. Cho R, I, M nh(cid:247) trong H» qu£ 3.1.7. Cho t l(cid:160) sŁ nguy¶n

I(M ) ≤ 1 v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c (cid:31)i•u ki»n

kh(cid:230)ng ¥m sao cho dim Supp H i

sau (cid:31)(cid:243)ng

I(M ) l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < t.

i) R-m(cid:230)(cid:31)un H i

I(M ), ta c(cid:226) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

HomR(R/I, H t

I(M )/N ) v(cid:160) Ext1

I(M )/N )

R(R/I, H t

ii) V(cid:238)i m(cid:229)i m(cid:230)(cid:31)un con minimax N cıa H t

l(cid:160) hœu h⁄n sinh.

s = inf (cid:8)depth(IRp, Mp) | p ∈ Supp(M/IM ) v(cid:160) dim R/p > 1(cid:9) .

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t

V(cid:238)i t ≤ s, theo k‚t qu£ cıa H» qu£ 3.1.7 ta c(cid:226) (cid:31)i•u cƒn chøng minh.

H» qu£ 3.1.9. Cho R, I, M nh(cid:247) trong H» qu£ 3.1.7. Gi£ sß dim(M/IM ) ≤ 1.

I(M ) l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i.

Khi (cid:31)(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un H i

I(M ) ⊆ Supp(M/IM ) v(cid:160) dim(M/IM ) ≤ 1 n¶n

dim Supp H i

I(M ) ≤ 1

Chøng minh. V… Supp H i

3.2 Chi•u hœu h⁄n b“c hai v(cid:160) t‰nh ch§t Lasker y‚u

v(cid:238)i m(cid:229)i i ≥ 0. Do (cid:31)(cid:226) k‚t qu£ (cid:31)(cid:247)æc suy ra tr(cid:252)c ti‚p tł H» qu£ 3.1.8.

Tr(cid:247)(cid:238)c khi tr…nh b(cid:160)y k‚t qu£ ch‰nh cıa m(cid:246)c n(cid:160)y ta nh›c l⁄i kh¡i ni»m

m(cid:230)(cid:31)un FSF cıa P. H. Quy [18].

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.2.1. ([18, (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1]) Mºt R-m(cid:230)(cid:31)un M (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) F SF

M/N l(cid:160) hœu h⁄n (tøc l(cid:160) Supp(M/N ) l(cid:160) t“p hœu h⁄n).

n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh N cıa M sao cho t“p gi¡ cıa t“p

M»nh (cid:31)• sau (cid:31)¥y ch¿ ra r‹ng kh¡i ni»m kh¡i ni»m m(cid:230)(cid:31)un FSF tr(cid:242)ng v(cid:238)i

kh¡i ni»m Lasker y‚u.

R-m(cid:230)(cid:31)un. Khi (cid:31)(cid:226) M l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un Lasker y‚u n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u M l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un FSF.

BŒ (cid:31)• 3.2.2. ([3, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.5]) Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether v(cid:160) M l(cid:160)

Ti‚p theo l(cid:160) mºt m»nh (cid:31)• cƒn (cid:31)” chøng minh k‚t qu£ ch‰nh (cid:240) m(cid:246)c n(cid:160)y.

Nh›c l⁄i r‹ng mºt v(cid:160)nh giao ho¡n Noether R (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) v(cid:160)nh nßa (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

n‚u Max R l(cid:160) t“p hœu h⁄n.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.3. ([4, M»nh (cid:31)• 3.7]) Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh Noether nßa (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng, I

I (M ) = inf (cid:8)i ∈ N | H i f 2

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) Lasker y‚u (cid:9) .

l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R v(cid:160) M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Khi (cid:31)(cid:226)

t = inf (cid:8)i ∈ N | H i

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) Lasker y‚u (cid:9) .

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t

Ta bi‚t r‹ng mºt m(cid:230)(cid:31)un b§t k… c(cid:226) gi¡ hœu h⁄n (cid:31)•u c(cid:226) chi•u gi¡ kh(cid:230)ng qu¡ 1.

I(M ) l(cid:160) Lasker y‚u. Suy ra H i

Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i i < t, ta c(cid:226) H i

I(M ) l(cid:160) FSF theo I(M )p l(cid:160) hœu h⁄n sinh v(cid:238)i m(cid:229)i i < t, m(cid:229)i

BŒ (cid:31)• 3.2.2 v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. H(cid:236)n nœa H i

I (M ) ≥ inf (cid:8)i ∈ N | H i f 2

I (M ), tøc l(cid:160) I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) Lasker y‚u (cid:9) .

p ∈ Supp(M/IM ) m(cid:160) dim R/p ≥ 2. Chøng t(cid:228) t ≤ f 2

I (M )

Ng(cid:247)æc l⁄i, tł chøng minh cıa M»nh (cid:31)• 3.1.5 ta suy ra v(cid:238)i mØi 0 ≤ i < f 2

I (M ) I k) (v(cid:238)i k n(cid:160)o (cid:31)(cid:226)) th(cid:228)a m¢n

dim Supp(H i

I(M )/(0 :H i

I (M ) I k)) ≤ 1.

t(cid:231)n t⁄i m(cid:230)(cid:31)un con hœu h⁄n sinh (0 :H i

I(M )/(0 :H i

I (M ) I k) l(cid:160) I-cofinite.

Do (cid:31)(cid:226) theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.6 ta suy ra R-m(cid:230)(cid:31)un H i

(Supp(H i

I(M )/0 :H i

I (M ) I k))

I (M ) I k))\ Max(R)) ⊆ AsshR(H i

V… v“y t“p hæp

Supp(H i

I(M )/(0 :H i

I (M ) I k))

l(cid:160) hœu h⁄n. V… t“p Max(R) l(cid:160) hœu h⁄n n¶n tł (cid:31)(cid:226) ta suy ra t“p

I(M ) l(cid:160) FSF

l(cid:160) hœu h⁄n. Do (cid:31)(cid:226), theo BŒ (cid:31)• 3.2.2, ta suy ra c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un H i

I (M ). V… th‚

I (M ) ≤ inf (cid:8)i ∈ N | H i f 2

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) Lasker y‚u (cid:9) .

(hay l(cid:160) Lasker y‚u) v(cid:238)i m(cid:229)i i < f 2

Ta c(cid:226) (cid:31)i•u cƒn chøng minh.

Ti‚p theo tr…nh b(cid:160)y th¶m mºt sŁ k‚t qu£ cıa Bahmanpour-Naghipour.

BŒ (cid:31)• 3.2.4. ([7, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1]) Cho (R, m) l(cid:160) v(cid:160)nh Noether (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng, I l(cid:160)

mºt i(cid:31)¶an cıa R v(cid:160) M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Cho t l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n

I(M ) ≤ 2 v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

Extj

(M )) v(cid:160) HomR(R/I, H t

I (M )), . . . , Extj

I(M ))

R(R/I, H 0

R(R/I, H t−1

kh(cid:230)ng ¥m sao cho dim Supp H i

I(M ) l(cid:160) hœu h⁄n

l(cid:160) Lasker y‚u v(cid:238)i m(cid:229)i j ≥ 0. (cid:30)(cid:176)c bi»t, ta suy ra t“p AssR H i

v(cid:238)i m(cid:229)i i ≤ t.

M»nh (cid:31)• 3.2.5. ([4, M»nh (cid:31)• 3.8]) Cho (R, m) l(cid:160) v(cid:160)nh giao ho¡n Noether (cid:31)(cid:224)a

ph(cid:247)(cid:236)ng, I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R v(cid:160) M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Cho t l(cid:160) sŁ nguy¶n

I(M ) ≤ 2 v(cid:238)i m(cid:229)i i < t. Khi (cid:31)(cid:226)

kh(cid:230)ng ¥m sao cho dim Supp H i

I(M )) l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un Lasker y‚u v(cid:238)i m(cid:229)i i < t v(cid:160) m(cid:229)i j ≥ 0.

R(R/I, H i

i) Extj

R(R/I, H t

I(M )) v(cid:160) Ext1

I(M )) l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un Lasker y‚u.

ii) HomR(R/I, H t

I(M ), ta c(cid:226) R-m(cid:230)(cid:31)un

HomR(R/I, H t

I(M )/N ) v(cid:160) Ext1

R(R/I, H t

I(M )/N )

iii) V(cid:238)i m(cid:229)i m(cid:230)(cid:31)un con Lasker y‚u N cıa H t

R(R/I, H i

l(cid:160) Lasker y‚u.

R(R/I, H t

I(M ) v(cid:160) I(M ) trong (cid:31)(cid:226) j = 0, 1, 2, . . . ; i = 0, 1, . . . , t − 1 v(cid:160) s = 0, 1.

Chøng minh. Ta (cid:31)(cid:176)t Φ l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c m(cid:230)(cid:31)un Extj Exts

Khi (cid:31)(cid:226) k‚t qu£ cıa Phƒn i) v(cid:160) ii) (cid:31)(cid:247)æc suy ra tł c¡ch chøng t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) chøng

HomR(R/I, H t

I(M )) → HomR(R/I, H t

I(M )/N ) → Ext1

I(R/I, N ) →

Ext1

R(R/I, H t

I(M )) → Ext1

R(R/I, H t

I(M )/N ) → Ext2

I(R/I, N ).

minh BŒ (cid:31)• 3.2.4. (cid:30)” chøng minh iii) ta sß d(cid:246)ng d¢y kh(cid:238)p sau v(cid:160) ii)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.6. ([4, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.9]) Cho (R, m) l(cid:160) v(cid:160)nh (cid:31)ƒy (cid:31)ı (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

I (M )

Noether, I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R v(cid:160) M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Gi£ sß f 3

l(cid:160) sŁ hœu h⁄n. Khi (cid:31)(cid:226)

I(M )) l(cid:160) Lasker y‚u v(cid:238)i m(cid:229)i i < f 3

I (M ) v(cid:160) m(cid:229)i j ≥ 0.

R(R/I, H i

I (M )

i) Extj

(M ), ta c(cid:226) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

I (M )

(M )/N )

(M )/N ) v(cid:160) Ext1

R(R/I, H f 3

Hom(R/I, H f 3 I

ii) V(cid:238)i m(cid:229)i m(cid:230)(cid:31)un con Lasker y‚u N cıa H f 3

I(M )) v(cid:160) Hom(R/I, H t

I (M ) v(cid:160) l§y Φ l(cid:160) t“p I(M )) v(cid:238)i j ≥ 0 v(cid:160)

l(cid:160) Lasker y‚u.

i = 0, 1, 2, . . . , t − 1.

Chøng minh. (cid:30)Łi v(cid:238)i chøng minh i), ta l§y t = f 3 t§t c£ c¡c m(cid:230)(cid:31)un Extj R(R/I, H i

L§y L ∈ Φ v(cid:160) L(cid:48) l(cid:160) m(cid:230)(cid:31)un con cıa L. Gi£ sß tr¡i l⁄i r‹ng (i) kh(cid:230)ng

{q ∈ Ass(L) | dim R/q ≥ 1} l(cid:160) v(cid:230) h⁄n. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i t“p con v(cid:230) h⁄n (cid:31)‚m

(cid:31)(cid:243)ng. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i L ∈ Φ sao cho L kh(cid:230)ng l(cid:160) Lasker y‚u. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra t“p

k=1qk. L§y S l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng nh¥n R \ ∪∞

k=1 cıa T sao cho kh(cid:230)ng phƒn tß l(cid:160) m. Theo [14, BŒ (cid:31)• 3.2], suy ra k=1qk. Khi (cid:31)(cid:226) ta th§y r‹ng S−1R- m(cid:230)(cid:31)un S−1L l(cid:160) hœu h⁄n sinh, v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) AssS−1R(S−1L) l(cid:160) hœu h⁄n. Nh(cid:247)ng S−1q ∈ AssS−1R(S−1L) v(cid:238)i m(cid:229)i k = 1, 2, 3, . . ., (cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) v(cid:230) l(cid:254).

(cid:31)(cid:247)æc {qk}∞ m (cid:54)⊆ ∪∞

K‚t lu“n

Lu“n v«n (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y v(cid:160) chøng minh chi ti‚t c¡c k‚t qu£ ch‰nh sau (cid:31)¥y:

1. Nh›c l⁄i c¡c ki‚n thøc c(cid:226) li¶n quan (cid:31)‚n lu“n v«n: T“p gi¡, I(cid:31)¶an nguy¶n tŁ

li¶n k‚t, m(cid:230)(cid:31)un Nother, m(cid:230)(cid:31)un nºi x⁄, m(cid:230)(cid:31)un x⁄ £nh, m(cid:230)(cid:31)un Ext, bi”u di„n

thø c§p, m(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t cıa c¡c m(cid:230)(cid:31)un

n(cid:160)y.

2. Chøng minh (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£ ch‰nh trong ch(cid:247)(cid:236)ng 2: Cho R l(cid:160) mºt v(cid:160)nh Noether v(cid:160) I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R. Cho M l(cid:160) R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c (cid:31)i•u ki»n

sau (cid:31)(cid:243)ng:

I (M ).

I(M ) l(cid:160) minimax v(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i 1 < f 1 I (M )

(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) minimax khi f 1

I (M ) l(cid:160) hœu h⁄n.

I (M )

i) R-m(cid:230)(cid:31)un H i ii) R-m(cid:230)(cid:31)un H f 1 iii) M(cid:229)i m(cid:230)(cid:31)un con minimax N cıa H f 1

(M ), khi (cid:31)(cid:226) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

I (M )

(M )/N )

HomR(R/I, H f 1

(M )/N ) v(cid:160) ExtR(R/I, H f 1

l(cid:160) hœu h⁄n sinh khi f 1

I (M ) l(cid:160) hœu h⁄n.

3. Chøng minh (cid:31)(cid:247)æc: Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh Noether, I l(cid:160) mºi i(cid:31)¶an cıa R v(cid:160) M l(cid:160)

R-m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Khi (cid:31)(cid:226)

I (M ) = inf (cid:8)i ∈ N0 | H i f 1

I(M ) kh(cid:230)ng l(cid:160) minimax(cid:9) .

4 . Chøng minh (cid:31)(cid:247)æc: Cho R l(cid:160) v(cid:160)nh Noether v(cid:160) I l(cid:160) i(cid:31)¶an cıa R. Cho M l(cid:160)

R - m(cid:230)(cid:31)un hœu h⁄n sinh. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)¥y l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng:

i) R-m(cid:230)(cid:31)un H i

I (M ).

I(M ) l(cid:160) I-cofinite v(cid:238)i m(cid:229)i i < f 2

I (M )

ii) M(cid:229)i m(cid:230)(cid:31)un con minimax N cıa H f 2

(M ), khi (cid:31)(cid:226) c¡c R-m(cid:230)(cid:31)un

I (M )

(M )/N )

(M )/N ) v(cid:160) Ext1

HomR(R/I, H f 2

R(R/I, H f 2

l(cid:160) hœu h⁄n sinh khi f 2

I (M ) l(cid:160) hœu h⁄n.

T(cid:160)i li»u tham kh£o

[1] Abazari R. and Bahmanour K. (2011), "Cofiniteness of extension functors of

cofinite modules", J. Algebra, 330, 507-516.

[2] Azami J., Naghipour R. and Vakili B. (2009), "Finiteness properties of local

cohomology modules for a - minimax modules", Proc. Amer. Math. Soc. 137,

439-448.

[3] Bahmanpour K. and Khojali A. (2011), "On the equivalence of FSF and

weakly Laskerian classes", preprint.

[4] Bahmanpour K., Naghipour R. and Sedghi M. (2013), "Minimaxness and

Cofinite properties of local cohomology modules", Communications in Alge-

bra, Vol 41, 2799-2841.

[5] Bahmanpour K. and Naghipour R. (2008), "On the cofiniteness of local

cohomology modules", Proc. Amer. Math. Soc. 136, 2359-2363

[6] Bahmanpour K. and Naghipour R. (2008), "Associated primes of local

cohomology modules and Matlis duality", J. Algebra, 320, 2632-2641.

[7] Bahmanpour K. and Naghipour R. (2009), "Cofiniteness of local cohomology

moduls for ideanls of small dimension", J. Algera, 321, 1997-2011.

[8] Brodman M. P. and Sharp R. Y. (1998), Local cohomology; an algebraic

introduction with geometric applications, Cambridge University Press.

[9] Delfino D. and Marley T. (1997), "Cofinite modules and local cohomology",

J. Pure and Appl. Algebra, 121, 45-52.

[10] Faltings G. (1981), "Der endlichkeitssatz in der lokalen kohomologic(cid:17), Math.

Ann. 255, 45-56.

[11] Grothendieck A. (1966), Local cohomology, Notes by R. Hartshorne, Lecture

Notes in Math. 862.

[12] Hartshorne R. (1970), "Affine duality and cofiniteness", Invent. Math. 9,

145-164.

[13] Kawasaki K. I. (1996), "On the finiteness of Bass numbers of local cohomology

modules", Proc. Amer. Math. Soc. 124, 3275-3279.

[14] Khashayarmanesh K. (2007), "On the finiteness properties of extension and

torsion functors of local cohomology modules", Proc. Amer. Math. Soc. 135,

1319-1327.

[15] Matsumura H. (1986), Commutative ring theory , Cambridge Univ. Press,

Cambridge.

[16] Melkersson L. (1990), "On asymptotic stability for sets of primes ideals

connected with the powers of an ideals", Math. Proc. Cambridge Philos.

Soc. 107, 267-292.

[17] Melkersson L. (2005), "Modules cofinite with respect to an ideal", J. Algebra,

285, 649-668.

[18] Quy P. H. (2010), "On the finiteness of associated primes of local cohomology

modules", Proc. Amer. Math. Soc. 138, 1965-1968.

[19] Yoshida K. I. (1997), "Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of

dimension one", Nagoya Math. J. 147, 179-191.

[20] Z¨oschinger H. (1986), "Minimax modules", J. Algebra, 102,1-32.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Minimax và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

T(cid:157)NH MINIMAX V(cid:128) T(cid:157)NH COFINITE C(cid:213)A M˘(cid:30)UN

(cid:30)¨I (cid:30)˙NG (cid:30)I(cid:151)U (cid:30)(cid:192)A PH(cid:215)(cid:204)NG

T(cid:157)NH MINIMAX V(cid:128) T(cid:157)NH COFINITE C(cid:213)A M˘(cid:30)UN

(cid:30)¨I (cid:30)˙NG (cid:30)I(cid:151)U (cid:30)(cid:192)A PH(cid:215)(cid:204)NG

M(cid:246)c l(cid:246)c

M(cid:240) (cid:31)ƒu

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

Chi•u hœu h⁄n b“c 1 v(cid:160) t‰nh minimax

cıa m(cid:230)(cid:31)un (cid:31)Łi (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3

Chi•u hœu h⁄n b“c 2 v(cid:160) t‰nh Lasker

y‚u

K‚t lu“n

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Chế tạo và nghiên cứu tính chất điện, từ của vật liệu multiferroic Ba₀.₇Ca₀.₃TiO₃/ NiFe₂O₄

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu vật liệu biến hóa dạng chuỗi một chiều chế tạo từ kim loại đồng trên đế FR-4 hoạt động tại tần số MHz ứng dụng trong truyền năng lượng không dây

Luận văn Thạc sĩ: Đánh giá khả năng tác động tới môi trường biển của việc xả nước thải từ sự cố nhà máy điện hạt nhân Fukushima sử dụng công cụ ERICA

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng mô hình đầu dò nơtron và gamma sử dụng nhấp nháy EJ-276 ghép nối với mảng nhân quang silicon

Luận văn Thạc sĩ: Đánh giá khả năng ảnh hưởng của bức xạ ion hóa đến sức khỏe cư dân khu vực mỏ đất hiếm Đông Pao, xã Bản Hon, huyện Tam Đường, tỉnh Lai Châu

Luận văn Thạc sĩ: Sử dụng phương pháp nhiễu xạ neutron khảo sát cấu trúc tinh thể và pha trật tự từ trong vật liệu Pr2FeCrO6

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu phân lập, xác định cấu trúc và hoạt tính ức chế NO của các hợp chất thứ cấp từ chủng vi nấm biển Aspergillus sp. CL251

Luận văn Thạc sĩ: Phân tích một số hợp chất bisphenol thôi nhiễm từ bao bì nhựa lên một số mẫu thực phẩm nền tinh bột

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và đánh giá hoạt tính kháng khuẩn, kháng nấm của loài hoa mộc (Osmanthus fragrans (Thunb.) Lour.) ở Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và đánh giá tác dụng kháng viêm của loài côi Turpinia montana (Blume) Kurz

Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đặc trưng tính chất vật liệu composite có cấu trúc nano chitosan–cyclodextrin/TiO₂–Ag

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu chế tạo và khảo sát một số tính chất của màng phủ trên cơ sở nhựa epoxy gốc nước và khung cơ kim - ZIF

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuất napthoquinone chứa nguyên tố flo bằng phản ứng đa thành phần

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu điều chế vật liệu Bioglass và tổ hợp lai với polymer ALG-F127 định hướng ứng dụng trong điều trị nội nha

Luận văn Thạc sĩ: Khảo sát thành phần hóa học và hoạt tính ức chế enzyme α-glucosidase trên một số hợp chất phân lập từ thịt quả bình bát nước (Annona glabra L.).

Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp chất lai chứa khung tetrahydro-β-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuất của benzazole

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu chiết tách lignin từ vỏ sầu riêng Ri6 (Durio zibethinus Murr.) và tổng hợp vật liệu biocomposite định hướng ứng dụng trong bảo quản sau thu hoạch

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hạt nano bạc phủ acid hyaluronic mang doxorubicin định hướng ứng dụng trong điều trị ung thư

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và hoạt tính kháng viêm của loài rau dừa nước (Ludwigia adscendens)

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok