ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Dương Thị Vân Anh
VỀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC HÀM PHÂN HÌNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Dương Thị Vân Anh
VỀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC HÀM PHÂN HÌNH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS.TSKH. TRẦN VĂN TẤN
Thái Nguyên - 2017
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
tận tình của PGS. TSKH. Trần Văn Tấn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi
đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng, biết
ơn và đã được sự nhất trí của thầy hướng dẫn khi đưa vào luận văn. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết luận văn
Dương Thị Vân Anh
Xác nhận Xác nhận
của Trưởng (phó) khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học
i
PGS. TSKH. Trần Văn Tấn
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TSKH.
Trần Văn Tấn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Đồng thời
tác giả xin được nói lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Đại
học Sư phạm Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo trong khoa Sau đại học
và khoa Toán đã quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn
thành tốt luận văn của mình.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã dành thời
gian đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho bài luận văn này.
Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân
trong gia đình của mình, những người đã động viên chia sẻ mọi khó khăn
cùng tôi trong thời gian qua để tôi có thể hoàn thành tốt bài luận văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả
ii
Dương Thị Vân Anh
Mục lục
i
Lời cam đoan
ii
Lời cảm ơn
iii
Mục lục
iv
Mở đầu
1
1 Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình
1
4
10
20
1.1 Khoảng cách cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Dãy các hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Họ các hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Các hàm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna . . . . . .
2 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm
phân hình 22 2.1 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm chỉnh hình 22 2.2 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình 37 2.3 Định lý Montel mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
54
Kết luận
55
TÀI LIỆU THAM KHẢO
iii
Mở đầu
Lý thuyết họ chuẩn tắc các hàm phân hình được đưa ra bởi Montel từ những
năm đầu của thế kỷ hai mươi: một họ F các hàm phân hình trên một miền
D của mặt phẳng phức được gọi là chuẩn tắc, nếu mỗi dãy trong họ, đều
trích được dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một hàm phân
hình hay hàm đồng nhất bằng vô cùng. Trong suốt hơn 100 năm qua nhiều
tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc đã được thiết lập bởi đông đảo các nhà toán
học. Nhằm hiểu sâu hơn về nội dung của Lý thuyết này, chúng tôi chọn
nghiên cứu đề tài “Về họ chuẩn tắc các hàm phân hình”.
Nội dung của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình.
Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu khái niệm họ chuẩn tắc, trình bày
một số kiến thức cơ bản của khoảng cách cầu, dãy các hàm phân hình và họ
các hàm phân hình. Đồng thời nhắc lại một số hàm cơ bản của Lý thuyết
Nevanlinna. Những kiến thức này là nền tảng để nghiên cứu chương sau.
Chương 2: Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình.
Nội dung chương này là tìm hiểu các kết quả cổ điển của Montel, Miranda,
Bloch, Gu về họ chuẩn tắc. Trình bày chi tiết các tiêu chuẩn cho chuẩn tắc
các hàm chỉnh hình và các hàm phân hình. Cuối chương chúng tôi tìm hiểu
kết quả của Trần Văn Tấn, Nguyễn Văn Thìn và Vũ Văn Trường về sự mở
rộng Định lý Montel tới trường hợp đạo hàm cầu bị chặn và các điểm được
iv
thay bởi các hàm.
Chương 1
Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình
1.1 Khoảng cách cầu
Trong hình sau, phương trình của mặt cầu
S là:
(1.1)
x2 + y2 + (u −
) =
.
1 2
1 4
Xét 1 số phức z = x+iy. Cho p là một điểm
của mặt phẳng (Oxy) tương ứng với z, có
tọa độ là (x, y). Đường thẳng nối hai điểm
N và p giao với S tại một điểm m khác N .
Ta gọi m là điểm của S tương ứng với z. Khi đó tọa độ của m là (X, Y, u).
Ta có: X = hx, Y = hy, u − 1 = −h. Trong đó h là một số dương. Thay
vào (1.1) ta có:
=
1 x2 + y2 + 1
1 1 + |z|2 .
Và:
y
x
(1.2)
X =
1 + |z|2 , Y =
1 + |z|2 , Z =
|z|2 1 + |z|2 .
Điểm của S tương ứng với ∞ là điểm N có tọa độ là (0, 0, 1).
1
Cho z1 , z2 là hai điểm của mặt phẳng phức mở Định nghĩa 1.1.1. rộng (cid:98)C = C (cid:83) ∞ và m1 , m2 là hai điểm của S tương ứng lần lượt là z1, z2.
Chiều dài của đoạn thẳng m1m2 được định nghĩa lần lượt là khoảng cách cầu giữa z1, z2 và được kí hiệu bởi |z1, z2|. Để tìm ra biểu thức của |z1, z2|. Chia 3 trường hợp: 1) Cả z1, z2 đều hữu hạn. Cho zj = xj + iyj(j = 1, 2) và tập kj = 1 + |zj|2(j = 1, 2). Từ (1.2), ta có:
(k1k2|z1, z2|)2 =(k2x1 − k1x2)2 + (k2y1 − k1y2)2 + (k1 − k2)2
=k2
2k1 + k2
1k2 − 2k1k2(x1x2 + y1y2 + 1),
và do đó
(1.3)
k1k2|z1, z2|2 = |z1|2 + |z2|2 − 2(x1x2 + y1y2).
Tiếp theo sử dụng các mối quan hệ
2iyj = zj − zj(j = 1, 2),
2xj = zj + zj,
ta thấy rằng vế phải của (1.3) bằng |z1 − z2|2. Vậy ta có công thức:
|z1 − z2|
(1.4)
.
|z1, z2| =
2
(1 + |z1|2) 1
2 (1 + |z2|2) 1
2) Một trong z1 hoặc z2 là hữu hạn và số còn lại là vô hạn. Ví dụ
z1 = x1 + iy1 là hữu hạn và z2 = ∞. Khi đó:
|z1, z2|2 =
y2 1 (1 + |z1|2)2 +
1 (1 + |z1|2)2
=
x2 1 (1 + |z1|2)2 + 1 1 + |z1|2 .
và do đó:
(1.5)
.
|z1, z2| =
2
1 (1 + |z1|2) 1
3) Cả z1, z2 đều vô hạn. Hiển nhiên |z1, z2| = 0.
Từ Định nghĩa 1.1.1, bất đẳng thức tam giác:
(1.6)
|z1, z3| (cid:54) |z1, z2| + |z2, z3|.
2
Cố định cho 3 điểm bất kì zj(j = 1, 2, 3) của (cid:98)C. Ta có thể xác định được công thức:
(1.7)
,
|.
|z1, z2| = |
1 z1
|a, ∞|2|z1, z2|.
1 z2 Cố định cho 2 điểm bất kì zj(j = 1, 2) của (cid:98)C. Bổ đề 1.1.2. Cho z1, z2 và a (cid:54)= ∞ là ba điểm của (cid:98)C. Khi đó: |z1 − a, z2 − a| (cid:62) 1 2
Chứng minh. Giả sử zj (cid:54)= ∞(j = 1, 2). Từ Bổ đề 1.1.2 ta có công thức:
|z1 − z2|
,
|z1 − a, z2 − a| =
2
2 (1 + |z2 − a|2) 1
(1 + |z1 − a|2) 1
và bất đẳng thức:
1 + |ζ1 − ζ2|2 =1 + |ζ1|2 + |ζ2|2 − 2Re(ζ1ζ2)
<2(1 + |ζ1|2 + |ζ2|2 + |ζ1|2|ζ2|2) =2(1 + |ζ1|2)(1 + |ζ2|2).
2 (cid:54)= ∞, và sau đó cho z(cid:48)
Nếu một trong hai điểm z1, z2 là hữu hạn và còn lại là vô hạn, ví dụ z1 (cid:54)= ∞, z2 = ∞ ta áp dụng Bổ đề 1.1.2 với z1 và z(cid:48) 2 → ∞ .
Bổ đề 1.1.3. Cho A, B(A < B) là hai số dương. Khi đó có một số dương µ = µ(A, B) chỉ phụ thuộc vào A và B sao cho |z1| (cid:54) A, |z2| (cid:62) B, ta có: |z1, z2| (cid:62) µ. Chứng minh. Nếu |z1| (cid:54) A, |z2| (cid:62) B, z2 (cid:54)= ∞, khi đó:
|z1 − z2|
|z1, z2| =
2
(1 + |z1|2) 1 1 − |
2 (1 + |z2|2) 1 |
z1 z2
2
2 (1 +
(cid:62)
(1 + |z1|2) 1
1 |z2|2 ) 1
1 −
A B
(cid:62)
.
2
2 (1 +
(1 + A2) 1
1 B2 ) 1
3
Điều này cũng đúng khi z2 = ∞.
1.2 Dãy các hàm phân hình
Định nghĩa 1.2.1. Một dãy các điểm zn(n = 1, 2, · · · ) của (cid:98)C được gọi là hội tụ đối với khoảng cách cầu, nếu mọi số dương ε tương ứng với một số nguyên dương N sao cho, với n (cid:62) N , m (cid:62) N , ta có:
(1.8)
|zn, zm| < ε.
Nếu một dãy các điểm zn(n = 1, 2, · · · ) của (cid:98)C hội tụ đối Bổ đề 1.2.2. với khoảng cách cầu, khi đó tồn tại một điểm duy nhất Z trong (cid:98)C sao cho:
(1.9)
|zn, Z| = 0.
lim n→+∞
Z được gọi là giới hạn của dãy zn(n = 1, 2, · · · ) đối với khoảng cách cầu.
Chứng minh. Đầu tiên ta thấy rằng tồn tại điểm Z. Nếu
|zn, ∞| = 0,
lim n→∞
khi đó Z = ∞ là một điểm. Ngoài ra ta có thể tìm được một số dương ε0 và một dãy tăng các số nguyên dương nk(k = 1, 2, · · · ) sao cho
(k = 1, 2, · · · ),
|znk, ∞| (cid:62) ε0
1
2 =
tức là znk là hữu hạn và
.
|znk| < (1 + |znk|2)
(cid:54) 1 ε0
1 |znk, ∞|
Dãy znk(k = 1, 2, · · · ) là bị chặn. Cho Z (cid:54)= ∞ là một điểm giới hạn của dãy znk(k = 1, 2, · · · ). Khi đó với số dương η bất kì và số nguyên dương K bất kì, tương ứng một số nguyên dương k sao cho
k (cid:62) K,
|znk − Z| < η.
Mà:
nk (cid:62) k,
|znk, Z| (cid:54) |znk − Z|,
Ta có:
n (cid:48) (cid:62) K ,
|zn (cid:48), Z | < η,
(n (cid:48) = nk ).
4
Bây giờ cho một số dương ε, cho N là một số nguyên dương sao cho
,
|zn, zm| <
ε 2
với n (cid:62) N , m (cid:62) N , khi đó cho n0 là một số nguyên dương sao cho
.
n0 (cid:62) N, |zn0, Z| <
ε 2
Do đó với n (cid:62) N , ta có:
+
= ε.
|zn, Z| (cid:54) |zn, zn0| + |zn0, Z| <
ε 2
ε 2
Do đó điểm Z thỏa mãn điều kiện (1.9). Từ đó ta có bất đẳng thức sau:
|Z, Z (cid:48)| (cid:54) |Z, zn| + |zn, Z (cid:48)|.
Định nghĩa 1.2.3.
Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm phân hình trong miền D. Cho E một tập con của D. Dãy S được gọi là hội
tụ đều trên E đối với khoảng cách cầu, nếu mỗi số dương ε tương ứng với một số nguyên dương N sao cho, khi n (cid:62) N , m (cid:62) N , ta có:
(1.10)
|fn(z), fm(z)| < ε,
trong E .
Giả sử rằng điều kiện trong Định nghĩa 1.2.3 được thỏa mãn. Khi đó với mỗi điểm z0 của E, dãy fn(z0)(n = 1, 2, · · · ) là hội tụ đối với khoảng cách cầu, do đó nó có một giới hạn F (z0) đối với khoảng cách cầu, do Bổ đề 1.2.2. F (z) là một hàm được xác định trong E. Chúng ta sẽ thấy rằng với mỗi số dương ε tương ứng một số nguyên dương N sao cho, khi n (cid:62) N , m (cid:62) N ta có:
(1.11)
|fn(z), F (z)| < ε,
trong E. Cho số dương ε, từ giả thiết, có một số nguyên dương N sao cho, khi n (cid:62) N , m (cid:62) N , ta có
,
|fn(z), fm(z)| <
ε 2
5
trong E. Do đó khi n (cid:62) N , m (cid:62) N và z ∈ E, ta có:
|fn(z), F (z)| (cid:54) |fn(z), fm(z)| + |fm(z), F (z)|
<
+ |fm(z), F (z)|.
ε 2
Trong bất đẳng thức này cố định n (cid:62) N , z ∈ E và cho m → +∞, ta nhận được:
< ε,
|fn(z), F (z)| (cid:54) ε 2
như khẳng định.Ta nói rằng khi n → +∞, fn(z) hội tụ đều đến F (z) trong E đối với khoảng cách cầu.
Bổ đề 1.2.4. Nếu f (z) là một hàm phân hình trong một miền D, khi đó f (z) liên tục trong D đối với khoảng cách cầu. Tức là, cho mỗi điểm z0 của D, ta có:
(1.12)
|f (z), f (z0)| = 0.
lim z→z0
Chứng minh. Xét một điểm z0 của D và chia hai trường hợp. Nếu f (z0) (cid:54)= ∞, khi đó có hình tròn c : |z − z0| < r thuộc D, sao cho f(z) là hàm chỉnh hình trong c. Do đó từ (1.4) ta có:
(1.13)
|f (z), f (z0)| (cid:54) |f (z) − f (z0)|,
trong c. Hiển nhiên (1.13) suy ra (1.12). Nếu f (z0) = ∞, khi đó áp dụng
. Ta có: với hàm
1 f (z)
,
| = 0.
|
lim z→z0
1 f (z)
1 f (z0)
Khi đó ta có đẳng thức sau:
,
|.
|f (z), f (z0)| = |
1 f (z)
1 f (z0)
Ta lại có (1.12).
Định lý 1.2.5. Cho S: fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm phân hình trong hình tròn Γ : |z − z0| < r. Giả sử dãy S là hội tụ đều trong Γ đối với khoảng cách cầu và cho F (z) là hàm giới hạn của S được xác định trong Γ
6
đối với khoảng cách cầu. Khi đó khẳng định sau là đúng:
(1) Nếu F (z0) (cid:54)= ∞, khi đó ta có thể tìm được một hình tròn Γ0 : |z−z0| < r0(0 < r0 (cid:54) r) và một số nguyên dương n0 sao cho hàm fn(z)(n (cid:62) n0) và F (z) là chỉnh hình trong Γ0, khi đó:
(1.14)
|fn(z) − F (z)| = 0.
lim n→+∞ n(cid:62)n0
đều trong Γ0.
(2) Nếu F (z0) = ∞ , khi đó ta có thể tìm một hình tròn Γ0 : |z − z0| < (n (cid:62) n0) và
r0(0 < r0 (cid:54) r) và một số nguyên dương n0 sao cho hàm
1 fn(z)
chỉnh hình trong Γ0 và:
1 F (z)
(1.15)
−
| = 0.
|
1 F (z)
1 fn(z)
lim n→+∞ n(cid:62)n0
đều trong Γ0.
Chứng minh. Xét trường hợp F (z0) (cid:54)= ∞. Khi đó d = |f (z0), ∞| > 0. Tập:
A =
, B =
+ 1,
2 d
2 d
và cho µ(A, B) là một số dương được xác định trong bổ đề 1.1.3. Tập :
(1.16)
, µ(A, B)).
ε0 = min(
d 6 Từ (1.11), ta có thể tìm được số nguyên dương n0 sao cho, khi n (cid:62) n0, ta có:
(1.17)
|fn(z), F (z)| < ε0.
trong hình tròn Γ. Khi đó từ Bổ đề 1.2.4, ta có thể tìm một hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0(0 < r0 (cid:54) r) sao cho trong Γ0 ta có:
.
|fn0(z), fn0(z0)| <
d 6
7
Do đó với z ∈ Γ0, ta có:
|F (z0), ∞| (cid:54)|F (z0), fn0(z0)| + |fn0(z0), fn0(z)|
+|fn0(z), F (z)| + |F (z), ∞|
+ |F (z), ∞|,
<3
d 6
|F (z), ∞| >
d 2
Và do đó:
(1.18)
, |F (z)| < A.
|F (z), ∞| =
2
1 (1 + |F (z)|2) 1 Khi đó từ (1.16), (1.17) và (1.18), từ Bổ đề 1.1.3, cho n (cid:62) n0 và z ∈ Γ0, ta có:
(1.19)
|fn(z)| < B.
Lại có từ (1.18) và (1.19), với n (cid:62) n0 và z ∈ Γ0, ta có: 2 (cid:8)1 + |F (z)|2(cid:9) 1
|fn(z) − F (z)| = (cid:8)1 + |fn(z)|2(cid:9) 1
2 |fn(z), F (z)|
1
1
2 (1 + A2)
2 |fn(z), F (z)|.
(cid:54)(1 + B2)
Bất đẳng thức này và kết quả (1.11) ta chứng minh được khẳng định 1)
trong Định lý 1.2.5 . Xét trường hợp F (z0) = ∞. Khi đó lập luận giống như trên cho hàm
ta chứng minh được khẳng định 2) trong Định
(n = 1, 2, · · · ) và
1 F (z)
1 fn(z) lý 1.2.5 là đúng.
8
Định nghĩa 1.2.6. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm phân hình trong một miền D. Một điểm z0 của D được gọi là C0- điểm của dãy S nếu có một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D sao cho dãy S là hội tụ đều trong Γ đối với khoảng cách cầu . Dãy S được gọi là C0 - dãy trong D, nếu mỗi điểm của D là một C0- điểm của S. Giả sử dãy S là một C0- dãy trong D. Cho z0 là một điểm của D. Khi đó từ giả thiết, dãy S là hội tụ đều trong hình tròn Γ : |z − z0| < r đối với khoảng cách cầu. Do đó từ kết quả (1.11) dãy S có hàm giới hạn F (z) được xác định trong Γ đối với khoảng cách cầu và khi n → +∞, fn(z) hội tụ đều đến F (z) trong Γ đối với khoảng cách cầu.
Định lý 1.2.7. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là C0- dãy của hàm phân hình trong một miền D. Khi đó S có một hàm giới hạn F (z) được xác định trong D đối với khoảng cách cầu, sao cho khi n → +∞, fn(z) hội tụ đều địa phương đến F (z) trong D đối với khoảng cách cầu.
Định lý 1.2.8. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là một C0- dãy các hàm phân hình trong miền D. Khi đó hàm giới hạn F (z) của S đối với khoảng cách
cầu là một hàm phân hình trong D hoặc ∞.
Chứng minh. Kí hiệu σ là tập của các điểm z(cid:48) của D sao cho F (z(cid:48)) = ∞.
Chia 2 trường hợp: 1) Giả sử σ có một điểm tụ z0 trong D. Từ giả thiết ta có hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D sao cho dãy S hội tụ đều trong Γ đối với khoảng cách cầu. Khi đó F (z0) (cid:54)= ∞ là vô lý, bởi vì từ Định lý 1.2.5, F (z) là hữu hạn trong một hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0. Do đó F (z0) = ∞.
Từ Định lý 1.2.5, hàm là chỉnh hình trong hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0.
1 F (z)
, vì vậy hàm Khi đó các điểm của tâp σ là các không điểm của
1 F (z)
1 F (z) cũng bằng 0 trong Γ0 và F (z) = ∞ trong Γ0. Xét điểm z1(z1 (cid:54)= z0) của D. (0 (cid:54) t (cid:54) b) nằm trong D sao Nối z0 và z1 bởi một đường đa giác z = p(t) cho p(0) = z0 , p(b) = z1. Kí hiệu T là tập các số t(cid:48)(0 < t(cid:48) < b) sao cho:
(1.20)
F {p(t)} = ∞.
hàm Với 0 (cid:54) t (cid:54) t(cid:48). Hiển nhiên tập T (cid:54)= ∅. Cho β(0 < β (cid:54) b) là ràng buộc nhỏ nhất của T . Khi đó (1.20) cố định với 0 (cid:54) t < β. Điểm z∗ = p(β) là một điểm tụ của tập σ, do đó có một hình tròn Γ∗ : |z − z∗| < r∗ trong đó F (z) = ∞. Ta có β = b và F (z1) = ∞. Vì vậy F (z) là ∞. 2) Giả sử tập σ không có điểm tụ trong D. Xét một điểm z0 của D. Nếu F (z0) (cid:54)= ∞, khi đó từ Định lý 1.2.5, hàm F (z) là hàm chỉnh hình trong một hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0. Nếu F (z0) = ∞ khi đó từ Định lý 1.2.5 , là chỉnh hình trong hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0. Cho r(cid:48) 0 là một số
0. Khi đó trong hình , trong đó hàm G(z) là
0 ta có thể viết F (z) =
(cid:54) r0 và F (z) (cid:54)= ∞ với 0 < |z − z0| < r(cid:48)
1 F (z) sao cho 0 < r(cid:48) 0 0 : |z − z0| < r(cid:48) tròn Γ(cid:48)
1 G(z)
9
0, G(z0) = 0 và G(z) (cid:54)= 0 với 0 < |z − z0| < r(cid:48)
0. Do đó z0
chỉnh hình trong Γ(cid:48) là một cực điểm của F (z). Vậy F (z) là một hàm phân hình trong D.
1.3 Họ các hàm phân hình
Định nghĩa 1.3.1. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D. Ta nói họ F là chuẩn tắc trong D, nếu từ mọi dãy hàm fn(z)(n = 1, 2, · · · ) của họ F, ta có thể trích ra một dãy con fnk(z)(k = 1, 2, · · · , nk < nk+1) là một C0 -dãy trong D.
Định nghĩa 1.3.2. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D và z0 là một điểm của D. Ta nói rằng họ F là chuẩn tắc tại z0, nếu ta có thể tìm thấy một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D sao cho họ F là chuẩn tắc trong Γ. Nếu F chuẩn tắc trong D thì F chuẩn tắc tại mỗi điểm của D.
Định lý 1.3.3. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D. Nếu họ F chuẩn tắc tại mỗi điểm của D, khi đó F chuẩn tắc trong D.
Chứng minh. Đầu tiên ta tìm được một dãy các điểm zj(j = 1, 2, · · · ) của D sao cho mỗi điểm của D là một điểm giới hạn của dãy zj(j = 1, 2, · · · ). Cách để có một chuỗi các điểm đó là có một tập các điểm a + ib (a, b là các
Rj 2
số hữu tỷ) của D. Đây là một tập đếm được. Xét một điểm zj. Từ giả thiết có một hình tròn |z − zj| < r thuộc D, trong đó họ F chuẩn tắc. Cho Rj là chặn trên nhỏ nhất của tập các điểm r có , nếu Rj < +∞ và hình tính chất này. Cho Γj là hình tròn |z − zj| < tròn |z − zj| < 1 nếu Rj = +∞. Γj thuộc D và họ F chuẩn tắc trong Γj. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm của họ F. Từ S ta trích ra được một dãy con S1 : fα1(z), fα2(z), · · · đó là một C0- dãy trong Γ1. Từ S1 ta có thể trích ra một dãy con S2 : fβ1(z), fβ2(z), · · · đó là một C0- dãy của Γ2. Từ S2 ta có thể trích ra một dãy con S3 : fγ1(z), fγ2(z), · · · đó là một C0- dãy của Γ3. Theo cách này ta có một dãy liên tiếp của dãy Sp(p = 1, 2, · · · ) sao cho với mỗi p (cid:62) 1, Sp là một C0- dãy trong Γp và Sp+1 là một dãy con của Sp. Xét dãy đường chéo
S(cid:48) : fα1(z), fβ2(z), fγ3(z), · · · , fλk(z), · · ·
10
ρ 4
S(cid:48) là một dãy con fnk(k = 1, 2, · · · ) của S. Khi đó với mỗi k, các số hạng fnk(z), fnk+1(z), · · · đều thuộc dãy Sk. Vì thế S(cid:48) là một C0- dãy trong mỗi hình tròn Γj(j = 1, 2, · · · ). Xét một điểm z(cid:48) của D. Từ giả thiết, có một hình tròn Υ : |z − z(cid:48)| < ρ(0 < ρ < 1) thuộc D, sao cho họ F chuẩn tắc trong Υ. Cho zj sao cho . Khi đó hình tròn |z − zj| < 2ρ(cid:48) thuộc Υ và do |zj − z(cid:48)| < ρ(cid:48) với ρ(cid:48) = đó F chuẩn tắc trong hình tròn |z − zj| < 2ρ(cid:48). Từ định nghĩa của Rj, nếu Rj < +∞, ta có:
,
2ρ(cid:48) (cid:54) Rj, ρ(cid:48) (cid:54) Rj 2 và hình tròn |z − zj| < ρ(cid:48) thuộc Γj. Mặt khác, nếu Rj = +∞, khi đó ρ(cid:48) < 1, hình tròn |z − zj| < ρ(cid:48) cũng thuộc Γj. Nhưng z(cid:48) là một điểm của hình tròn |z − zj| < ρ(cid:48). Do đó z(cid:48) là một C0- điểm của dãy S(cid:48). Khi đó z(cid:48) ∈ D tùy ý. Vậy S(cid:48) là một C0- dãy trong D.
Định nghĩa 1.3.4. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D và z0 là một điểm của D. Ta nói rằng họ F là liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu nếu mỗi số dương ε tương ứng một số dương δ, sao cho hình tròn Υ : |z − z0| < δ thuộc D và với mỗi hàm f (z) của họ F, bất đẳng thức:
|f (z), f (z0)| < ε,
cố định trong Υ. Nếu F là liên tục đều tại mỗi điểm của D đối với khoảng cách cầu, ta nói F là liên tục đều trong D đối với khoảng cách cầu.
Bổ đề 1.3.5. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm phân hình trong một miền D và z0 là một điểm của D. Nếu z0 là C0- điểm của S, khi đó S là liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu.
Chứng minh. Giả sử có một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D sao cho dãy S hội tụ đều trong Γ đối với khoảng cách cầu. Cho một số dương ε, để N là số nguyên dương sao cho khi n (cid:62) N, m (cid:62) N , ta có :
,
|fn(z), fm(z)| <
ε 3
11
trong Γ. Tiếp theo cho Γ(cid:48) : |z − z0| < r(cid:48)(0 < r(cid:48) < r) sao cho:
,
|fN (z), fN (z0)| <
ε 3
trong Γ(cid:48). Khi đó với n (cid:62) N, z ∈ Γ(cid:48), ta có:
|fn(z), fn(z0)| (cid:54)|fn(z), fN (z)| + |fN (z), fN (z0)| + |fN (z0), fn(z0)|
<
+
+
.
ε 3
ε 3
ε 3
Vì các hàm fn(z)(1 (cid:54) n < N ) là hữu hạn, ta có thể tìm một số dương δ < r(cid:48) sao cho với 1 (cid:54) n < N và |z − z0| < δ, ta có:
(1.21)
|fn(z), fn(z0)| < ε.
Do đó với mỗi n (cid:62) 1, bất đẳng thức (1.21) cố định trong hình tròn |z −z0| < δ.
Định lý 1.3.6. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D. Để họ F là chuẩn tắc trong D, điều kiện cần và đủ là F liên tục đều trong D đối với khoảng cách cầu.
Chứng minh. +) Điều kiện cần: Cho z0 là một điểm của D và giả sử F không liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu . Khi đó δn(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các số dương sao cho:
(1.22)
δn = 0,
lim n→+∞
với mỗi n, có một hàm fn(z) của F sao cho:
(1.23)
|fn(z), fn(z0)| (cid:62) ε0,
sup Υn
trong đó Υn biểu thị hình tròn |z − z0| < δn. Do F là chuẩn tắc trong D, ta có thể trích ra từ dãy fn(z)(n = 1, 2, · · · ) một dãy con fnk(z)(k = 1, 2, · · · ) là C0- dãy trong D. Đặc biệt z0 là một C0- điểm của dãy fnk(k = 1, 2, · · · ). Từ Bổ đề 1.3.5 dãy fnk(k = 1, 2, · · · ) là liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu. Điều này trái với (1.22) và (1.23). Vậy ta có mâu thuẫn.
12
+) Điều kiện đủ: Cho ζp(p = 1, 2, · · · ) là một dãy các điểm của D sao cho mỗi điểm của D là một điểm giới hạn của dãy ζp(p = 1, 2, · · · ).
Cho S : fn(z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy của họ F. Xét dãy các điểm fn(ζ1)(n = 1, 2, · · · ) của (cid:98)C. Rõ ràng ta có thể tìm được một dãy con fαj(ζ1)(j = 1, 2, · · · ) của dãy fn(ζ1)(n = 1, 2, · · · ) và một điểm w1 ∈ (cid:98)C sao cho:
|fαj(ζ1), w1| = 0.
lim j→+∞
Tiếp theo ta có thể tìm một dãy con fβl(ζ2)(l = 1, 2, · · · ) của dãy fαj(ζ2)(j = 1, 2, · · · ) và một điểm w2 ∈ (cid:98)C sao cho:
|fβl(ζ2), w2| = 0,
lim l→+∞
và v.v.. Cuối cùng trong dãy đường chéo, ta thu được một dãy con fnk(z)(k = 1, 2, · · · ) của dãy S, sao cho với mỗi p (cid:62) 1 ta có:
(1.24)
|fnk(ζp), wp| = 0,
lim k→+∞
trong đó wp ∈ (cid:98)C. Ta thấy dãy Fk(z) = fnk(z)(k = 1, 2, · · · ) là một C0- dãy trong D. Xét một hình tròn Γ : |z − z0| (cid:54) r thuộc D, cho một số dương ε tùy ý, có một số nguyên dương K sao cho khi k (cid:62) K, k(cid:48) (cid:62) K và z ∈ Γ, ta có:
|Fk(z), Fk(cid:48)(z)| < ε.
Xét một điểm z∗ ∈ Γ. Vì họ F là liên tục đều tại z∗ đối với khoảng cách cầu, có một hình tròn Υz∗ : |z − z∗| < ρ thuộc D, sao cho mỗi hàm f (z) ∈ F, bất đẳng thức:
,
|f (z), f (z∗)| <
ε 6
cố định trong Υz∗. Khi đó xét một điểm ζp ∈ Υz∗. Từ (1.24), có một số dương Kz∗ sao cho k (cid:62) Kz∗, k(cid:48) (cid:62) Kz∗, ta có
.
|Fk(ζp), Fk(cid:48)(ζp)| <
ε 6 Khi đó với k (cid:62) Kz∗, k(cid:48) (cid:62) Kz∗ và z ∈ Υz∗, ta có:
|Fk(z), Fk(cid:48)(z)| (cid:54)|Fk(z), Fk(z∗)| + |Fk(z∗), Fk(ζp)| + |Fk(ζp), Fk(cid:48)(ζp)|
ε < ε.
+|Fk(cid:48)(ζp), Fk(cid:48)(z∗)| + |Fk(cid:48)(z∗), Fk(cid:48)(z)| <
5 6
13
m (cid:91)
Do đó mỗi điểm z∗ ∈ Γ tương ứng một hình tròn Υz∗ và một số nguyên dương Kz∗. Từ định lý phủ hữu hạn, ta có thể tìm một số hữu hạn các điểm zj(j = 1, 2, · · · , m) của Γ sao cho:
Γ ⊂
Υzj.
j=1
Mặt khác, cho
Kzj.
K = max 1(cid:54)j(cid:54)m
Khi đó số nguyên dương K có tính chất cần tìm.
Định nghĩa 1.3.7. Cho F là họ các hàm chỉnh hình trong miền D. Ta nói rằng F là bị chặn đều địa phương trong D, nếu cho mỗi điểm z0 của D, ta có thể tìm một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D và một số dương M sao cho đối với mỗi hàm f (z) ∈ F, bất đẳng thức:
(1.25)
|f (z)| (cid:54) M,
cố định trong Γ.
Hệ quả 1.3.8. Cho F là họ các hàm chỉnh hình trong một miền D. Nếu F bị chặn đều địa phương trong D, khi đó F chuẩn tắc trong D.
Chứng minh. Xét một điểm z0 của D. Từ giả thiết, ta có thể tìm một hình tròn Γ : |z − z0| (cid:54) r thuộc D và một số dương M sao cho với mỗi hàm f (z) ∈ F bất đẳng thức (1.25) cố định trong Γ. Xét một hàm f (z) ∈ F, khi đó trong hình tròn Γ : |z − z0| < r, ta có:
(cid:90)
dζ,
f (z) =
1 2πi
f (ζ) ζ − z
c
trong đó c là hình tròn |z − z0| = r. Từ công thức này ta suy ra với z ∈ Γ,
(cid:90)
dζ.
f (z) − f (z0) =
(z − z0)
1 2πi
f (ζ) (ζ − z)(ζ − z0)
c
14
2 ta có:
Đặc biệt , với |z − z0| < r
|f (z) − f (z0)| <
|z − z0|.
2M r
Suy ra họ F liên tục đều tại z0. Khi đó:
|f (z), f (z0)| (cid:54) |f (z) − f (z0)|,
Khi đó F liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu. Vậy F liên tục đều trong D đối với khoảng cách cầu, và từ Định lý 1.3.6 suy ra F chuẩn tắc trong D.
Hệ quả 1.3.9. Cho F là một họ các hàm phân hình trong một miền D. Để F chuẩn tắc trong D, điều kiện cần và đủ là với mỗi điểm z0 của D, ta có thể tìm được một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D và một số dương M sao cho mỗi hàm f (z) của F thỏa mãn một trong hai bất đẳng thức trong Γ:
(1.26)
| < M.
|f (z)| < M,
|
1 f (z)
Chứng minh. Giả sử họ F chuẩn tắc trong D. Cho µ(1, 2) là số dương được xác đinh trong Bổ đề 1.1.3 tương ứng cho A = 1, B = 2. Xét một điểm z0 của D. Từ Định lý 1.3.6, F liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu. Do đó có hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D sao cho với mỗi hàm f (z) của F, bất đẳng thức:
|f (z), f (z0)| < µ(1, 2),
cố định trong Γ. Do đó từ Bổ đề 1.1.3, nếu |f (z0)| (cid:54) 1, khi đó trong Γ ta có:
|f (z)| < 2.
Nếu |f (z)| > 1 từ bất đẳng thức:
|
,
| < µ(1, 2),
1 f (z)
1 f (z0)
| < 2 trong Γ.
cũng cố định trong Γ, ta có: |
1 f (z)
15
Tiếp theo giả sử điều kiện trong Hệ quả 1.3.9 được thỏa mãn. Cho z0 là
một điểm của D. Khi đó từ giả thiết, ta có thể tìm được một hình tròn Γ : |z − z0| < r và một số dương M có tính chất được phát biểu trong hệ quả. Từ Định lý 1.3.3 suy ra họ F chuẩn tắc trong D. Đặt F1 và F2 tương ứng là các họ con của F của các hàm f (z) thỏa mãn trong bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai của (1.26). Khi đó F1 là họ các hàm chỉnh hình bị chặn đều trong Γ. Từ chứng minh của Hệ quả 1.3.8, F liên tục đều trong Γ đối với khoảng cách cầu. Tương tự ta suy ra điều này cũng đúng đối với F2 . Vậy họ F liên tục đều trong Γ đối với khoảng cách cầu và do đó chuẩn tắc trong Γ do Định lý 1.3.6 .
Bổ đề 1.3.10. Cho f (z) là một hàm phân hình trong một miền D và z0 là một điểm của D. Khi đó giới hạn:
(1.27)
.
∂(z0, f ) = lim z→z0
|f (z), f (z0)| |z − z0|
tồn tại và là hữu hạn, ta có công thức:
(1.28)
∂(z0, f ) =
|f (cid:48)(z0)| 1 + |f (z0)|2 ,
với điều kiện, trong trường hợp f (z0) = ∞, vế phải của (1.28) được hiểu là giới hạn
lim z→z0
|f (cid:48)(z)| 1 + |f (z)|2 ,
∂(z0, f ) được gọi là đạo hàm cầu của hàm f (z) tại z0.
Chứng minh. Chia hai trường hợp:
1) f (z0) (cid:54)= ∞. Khi đó có một hình tròn |z − z0| < r thuộc D, trong đó
hàm f (z) là chỉnh hình và theo công thức :
=
,
2
|f (z), f (z0)| |z − z0|
|f (z) − f (z0)| |z − z0|
(1 + |f (z)|2) 1
1 2 (1 + |f (z0)|2) 1
với 0 < |z − z0| < r, ta có:
=
lim z→z0
|f (z), f (z0)| |z − z0|
|f (cid:48)(z0)| 1 + |f (z0)|2 .
16
là phân hình trong D và 2) f (z0) = ∞. Khi đó hàm g(z) =
1 f (z)
g(z0) = 0. Do đó:
=
lim z→z0
|g(z), g(z0)| |z − z0|
|g(cid:48)(z0)| 1 + |g(z0)|2 .
Tiết theo, từ :
|g(z), g(z0)| = |f (z), f (z0)|,
và khi z (cid:54)= z0 là lân cận của z0,
|g(cid:48)(z)| 1 + |g(z)|2 =
|f (cid:48)(z)| 1 + |f (z)|2 .
Ta có:
|g(cid:48)(z0)|
=
lim z→z0
z→z0
|f (cid:48)(z)| 1 + |f (z)|2 .
|f (z), f (z0)| |z − z0|
1 + |g(z0)|2 = lim
∂(z, f ) là hàm liên tục trong D. Cho z0 là một điểm của D. Khi đó trong một hình tròn |z − z0| < r, f (z) là chỉnh hình và:
∂(z, f ) =
f (cid:48)(z) 1 + |f (z)|2 ,
Do đó ∂(z, f ) liên tục tại z0. Nếu f (z0) = ∞ điều này cũng đúng do đẳng thức:
(1.29)
∂(z, f ) = ∂(z,
).
1 f
∂(z, f ). Khi đó ta có:
Bổ đề 1.3.11. Cho f (z) là một hàm phân hình trong một miền D. Cho z1, z2(z1 (cid:54)= z2) là hai điểm của D sao cho đoạn σ : z = z1 + t(z2 − z1)(0 (cid:54) t (cid:54) 1) thuộc D. Tập m = max z∈σ
(1.30)
|f (z1), f (z2)| (cid:54) m|z1 − z2|.
Chứng minh. Xét một số dương ε ta có:
(1.31)
|f (z1), f (z2)| < (m + ε)|z1 − z2|.
Giả sử (1.31) không đúng. Cho ζ là trung điểm của σ, chia σ thành hai đoạn σ(cid:48) : z1ζ và σ(cid:48)(cid:48) : ζz2. Ta không thể có cùng một lúc
(1.32)
|f (z1), f (ζ)| < (m + ε)|z1 − ζ|,
17
(1.33)
|f (ζ), f (z2)| < (m + ε)|ζ − z2|,
vì nếu không ta sẽ có:
|f (z1), f (z2)| (cid:54) |f (z1), f (ζ)| + |f (ζ), f (z2)|
< (m + ε)(|z1 − ζ| + |ζ − z2|) = (m + ε)|z1 − z2|.
1 z(1)
Do đó ít nhất một trong hai bất đẳng thức (1.32) và (1.33) không đúng. Kí hiệu các đoạn tương ứng bởi: σ1 : z(1) 2 đó là một trong những đoạn σ(cid:48) và σ(cid:48)(cid:48). Lại chia σ1 thành hai đoạn bởi trung điểm của nó và lặp lại 1 z(2) đối số tương tự, ta có đoạn σ2 : z(2) 2 . Tiếp tục theo cách này ta nhận liên tiếp một dãy các đoạn σn : z(n) 1 z(n) 2 (n = 1, 2, · · · ; σ0 = σ) sao cho σn+1 ⊂ σn(n = 0, 1, 2, · · · ) và:
(1.34)
|f (z(n)
1 ), f (z(n)
2 )| (cid:62) (m + ε)|z(n)
1 − z(n)
2 |(n = 0, 1, 2, · · · ).
Cho z0 là một điểm sao cho z0 ∈ σn(n = 1, 2, · · · ). Khi đó
= ∂(z0, f ),
lim z→z0
|f (z), f (z0)| z − z0
có một hình tròn Υ : |z − z0| < δ thuộc D, sao cho trong Υ ta có:
(1.35)
|f (z), f (z0)| = ∂(z0, f )|z − z0| + η(z)|z − z0|.
trong đó η(z) thỏa mãn bất đẳng thức:
(1.36)
|η(z)| < ε.
trong Υ . Hiển nhiên khi n đủ lớn, σn ⊂ Υ , do đó :
|η(z(n)
j )| < ε (j = 1, 2),
và
|f (z(n)
1 ), f (z(n) < {∂(z0, f ) + ε} (|z(n)
2 )| (cid:54) |f (z(n) 1 − z0| + |z(n)
1 ), f (z0)| + |f (z0), f (z(n) 2 )| 1 − z(n) 2 − z0|) (cid:54) (m + ε)|z(n) 2 |.
bất đẳng thức này không tương thích với (1.34) vì vậy ta có mâu thuẫn.
18
Cuối cùng trong (1.31) cho ε → 0 ta nhận được (1.30).
Định lý 1.3.12. Cho F là một họ các hàm phân hình trong một miền D. Để họ F chuẩn tắc trong D điều kiện cần và đủ là họ:
(1.37) F∗ = {∂(z, f )|f ∈ F} .
bị chặn đều địa phương trong D.
Chứng minh. Giả sử họ F∗ bị chặn đều địa phương trong D. Cho z0 là một điểm của D, khi đó có một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D và một số dương M sao cho mỗi hàm f (z) ∈ F, ta có:
(1.38)
∂(z, f ) (cid:54) M,
trong Γ. Từ Bổ đề 1.3.11 với mỗi hàm f (z) ∈ F ta có:
|f (z), f (z0)| (cid:54) M |z − z0|,
trong Γ. Suy ra họ F liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu và từ Định lý 1.3.6 họ F chuẩn tắc trong D. Ngược lại, giả sử họ F chuẩn tắc trong D. Cho z0 là một điểm của D và giả sử ta không thể tìm được một hình tròn Γ : |z − z0| < r thuộc D và một số dương M sao cho với mỗi hàm f (z) ∈ F ta có (1.38) trong Γ. Lấy hai dãy số dương rn và Mn(n = 1, 2, · · · ) hội tụ tương ứng tới 0 và +∞. Khi đó mỗi n tương ứng với một hàm fn(z) ∈ F sao cho:
(1.39)
∂(z, fn) > Mn,
sup z∈Γn
trong đó Γn kí hiệu là hình tròn |z − z0| < rn. Từ dãy fn(z)(n = 1, 2, · · · ) ta có thể trích ra một dãy con fnk(z)(k = 1, 2, · · · ) là một C0- dãy trong D. Đặc biệt z0 là một C0- điểm của dãy đó. Cho F (z) là hàm giới hạn của dãy này đối với khoảng cách cầu. Từ Định lý 1.2.5 tồn tại hai trường hợp: 1) F (z) (cid:54)= ∞. Khi đó ta tìm được một hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0(Γ0 ⊂ D) và một số nguyên dương k0 sao cho hàm fnk(z)(k (cid:62) k0) và F (z) chỉnh hình trong Γ0, khi k → +∞, fnk(z) hội tụ đều trong Γ0 đến F (z). Khi đó với k (cid:62) k0, z ∈ Γ0 ta có:
(z)|
(z)|,
∂(z, fnk) =
(cid:54) |f (cid:48) nk
|f (cid:48) nk 1 + |fnk(z)|2
19
rõ ràng ta có thể tìm một số dương A sao cho khi k (cid:62) k0 ta có:
∂(z, fnk) (cid:54) A,
. Nhưng điều này không tương thích với (1.39),
r0 2
trong hình tròn |z − z0| < và ta có sự mâu thuẫn.
2) F (z0) = ∞. Khi đó ta có thể tìm một hình tròn Γ0 : |z − z0| < r0
chỉnh và một số nguyên dương k0 sao cho các hàm
(k (cid:62) k0) và
1 fnk(z)
. Giống hình trong Γ0 và khi k → +∞, hội tụ đều trong Γ0 đến
1 F (z) 1 F (z)
1 fnk(z)
như trong trường hợp đầu tiên, ta có thể tìm một số nguyên dương A sao cho khi k (cid:62) k0 ta có:
∂(z,
) (cid:54) A,
1 fnk
. Điều này cũng không tương thích với (1.39)
r0 2
trong hình tròn |z − z0| < vì:
).
∂(z, fnk) = ∂(z,
1 fnk
Vậy họ F∗ bị chặn đều địa phương trong D.
1.4 Các hàm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna
Ta bắt đầu với hàm đếm của một divisor.
Định nghĩa 1.4.1. Cho ν là một divisor trên mặt phẳng phức C, có nghĩa ν là một ánh xạ từ C vào Z sao cho {z : ν(z) (cid:54)= 0} là rời rạc. Hàm đếm của ν được định nghĩa bởi
(cid:90) r
dt,
(r > 1),
N (r, ν) =
n(t, ν) t
1
|z| ở đó n(t, ν) := (cid:80) Cho k là một số nguyên dương (hoặc k = +∞). Khi đó, hàm đếm của ν với bội được ngắt bởi k, được định nghĩa bởi (cid:90) r 1 20 |z| ở đó n[k](t, ν) := (cid:80)
Như vậy N (r, ν) = N [+∞](r, ν). Cho f là một hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Gọi (f )0 là divisor
không điểm của u. Khi đó Nf (r) := N (r, (f )0), N [k]
f (r) := N [k](r, (f )0) lần
lượt được gọi là hàm đếm các không điểm của u với bội được tính đầy đủ và với bội được được ngắt bởi k. Định nghĩa 1.4.2. Cho f là một hàm phân hình trên C, f (cid:54)≡ 0. Hàm xấp
xỉ của f (ứng với giá trị ∞) được định nghĩa bởi (cid:90) 2π 0 ở đây log+ x = max{0, log x} đối với x ∈ R. Định nghĩa 1.4.3. Hàm đặc trưng Nevanlinna được định nghĩa bởi f q
(cid:88) Định lý 1.4.4 (Định lý cơ bản thứ hai cho các hàm phân hình). Cho f
là một hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức và q điểm a1, . . . , aq
phân biệt trong (cid:98)C. Khi đó f −aj j=1 21 (cid:13)
(cid:13)
(cid:13) (q − 2)Tf (r) ≤ Định lý 2.1.1. Cho D là một miền và a, b (a (cid:54)= b) là hai số phức. Cho F
là họ các hàm f (z) chỉnh hình trong D và sao cho mỗi phương trình: không có nghiệm trong D. Khi đó họ F chuẩn tắc trong D. Chứng minh. Xét trường hợp: a = 0, b = 1. Cho z0 là một điểm của D và
hình tròn Γ : |z − z0| < ρ thuộc D. Cho f (z) là một hàm của họ F và chia
hai trường hợp: 1) |f (z0)| (cid:54) 1. Đặt F (ζ) = f (z0 + ρζ)(|ζ| < 1) . Ta có: , trong đó h là hằng số dương tuyệt đối. Do đó trong hình tròn Υ : |z−z0| (cid:54) ρ
2
ta có: |f (z)| < eh. , do đó 2) |f (z0)| > 1, áp dụng kết quả của trường hợp 1) vào hàm trong hình tròn Υ, ta có: | 22 Từ Hệ quả 1.3.9, trong trường hợp đặc biệt a = 0, b = 1, họ F chuẩn tắc trong D. Xét trường hợp tổng quát, cho fn(z)(n = 1, 2, . . . ) là một dãy các
hàm của F. Đặt: Khi đó gn(z) không nhận giá trị 0 và 1, từ dãy gn(z)(n = 1, 2, . . . ) ta có
thể trích ra một dãy con gnk(z)(k = 1, 2, . . . ) sao cho khi k → +∞ thì
gnk(z)(k = 1, 2, . . . ) hội tụ đều địa phương đến một hàm chỉnh hình hoặc
đến ∞ trong D. Hiển nhiên điều này cũng đúng với dãy con: Bổ đề 2.1.2. Cho F là một họ chuẩn tắc các hàm chỉnh hình trong một
miền D. Cho σ là một tập đóng bị chặn của các điểm thuộc D và M là một
số dương. Giả sử với mỗi hàm f (z) ∈ F, ta có: (2.1) Khi đó họ F bị chặn đều trong mỗi tập đóng bị chặn E của các điểm thuộc
D. Chứng minh. Cho E là một tập đóng bị chặn của các điểm thuộc D. Giả
sử F không bị chặn đều trong E. Khi đó mỗi số nguyên dương n tương ứng
với một hàm fn(z) ∈ F sao cho: (2.2) Xét một dãy con fnk(z)(k = 1, 2, . . . ) của dãy fn(z)(n = 1, 2, . . . ). Từ (2.1),
(2.2) khi k → +∞, fnk(z) không thể hội tụ đều địa phương đến một hàm
chỉnh hình hoặc đến ∞ trong D. Điều này mâu thuẫn với giả thiết F là một
họ chuẩn tắc. Trong đó tập σ thường bao gồm một điểm duy nhất. Định lý 2.1.3. Cho f (z) là một hàm nguyên khác hằng. Khi đó họ của hàm nguyên: (2.3) 23 không chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2. Chứng minh. Giả sử họ (2.3) là chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2. Khi đó
fn(0) = f (0)(n = 1, 2, . . . ), từ Bổ đề 2.1.2, họ (2.3) bị chặn đều trong hình
tròn |z| (cid:54) 1. Có một số dương M sao cho với mỗi n ta có: trong hình tròn |z| (cid:54) 1. Khi đó với mỗi n ta có: trong hình tròn |z| (cid:54) 2n. Hàm nguyên f (z) bị chặn trong C và từ định lý
Liouville suy ra f (z) là một hằng số , điều này trái với giả thiết. Hệ quả 2.1.4. (Định lý Picard trên hàm nguyên) Nếu f (z) là một hàm nguyên khác hằng, khi đó f (z) lấy mọi giá trị hữu hạn, nhận nhiều nhất một giá trị hữu hạn. Nếu f (z) không lấy 2 giá trị hữu hạn a và b(a (cid:54)= b), khi đó từ định lý 2.1.1, họ (2.3) chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2, không tương thích với định lý 2.1.3 Định lý 2.1.5. Cho f (z) là một hàm chỉnh hình trong một miền D: 0 < một số sao cho 0 < 2r < ρ. Khi đó họ các hàm chỉnh hình trong D: (2.4) không chuẩn tắc trong miền d: Chứng minh. Giả sử họ (2.4) chuẩn tắc trong miền d. Từ định lý Weierstrass,
có một dãy các điểm ζm(m = 1, 2, . . . ) của D sao cho: Chúng ta có thể giả sử rằng: 24 Với mỗi điểm ζm tương ứng một số nguyên dương nm sao cho: (cid:54) |ζm| < Hiển nhiên: (2.5) Tập: (2.6) (cid:54) |zm| < r. Khi đó: (2.7) Họ fnm(z)(m = 1, 2, . . . ) là một họ con của họ (2.4), cũng chuẩn tắc trong
miền d. Khi đó từ (2.6), (2.7) và Bổ đề 2.1.2 , họ fnm(z)(m = 1, 2, . . . ) bị
chặn đều trên hình tròn |z| = r. Do đó từ (2.4) có một số dương K sao cho: (2.8) . Điều Hệ quả 2.1.6. ( Định lý Picard trên hàm chỉnh hình trong lân cận của một điểm đặc biệt bị cô lập) Cho f (z) là một hàm chỉnh hình trong một miền D: 0 < |z| < ρ sao cho điểm z = 0 là điểm kì dị cốt yếu của f (z). Khi đó trong D hàm f (z) lấy mọi giá trị hữu hạn một số vô hạn lần, nhận nhiều nhất một giá trị hữu hạn. Chứng minh. Giả sử có hai giá trị hữu hạn a và b(a (cid:54)= b) sao cho f (z) 25 lấy a và b chỉ một số hữu hạn lần trong miền D. Khi đó ta tìm được một
số ρ0(0 < ρ0 < ρ) sao cho f (z) không lấy các giá trị a và b trong miền
r
2n−1 < ρ0 với n (cid:62) n0
D0 : 0 < |z| < ρ0. Cho n0 là số nguyên đủ lớn sao cho
, trong đó r là một số sao cho 0 < 2r < ρ. Khi đó với n (cid:62) n0, hàm fn(z) xác Định lý 2.1.7. Cho một miền D, hai tập đóng bị chặn σ, E của các điểm thuộc D và một số dương µ, ta có thể tìm được một số dương A(D, σ, E, µ) chỉ phụ thuộc vào D, σ, E và µ có các tính chất sau: Nếu f (z) là một hàm chỉnh hình trong D thỏa mãn các điều kiện : 1) f (z) không nhận giá trị 0 và 1 trong D; 2) min
z∈σ
Khi đó ta có: (2.9) Chứng minh. Cho F là họ của các hàm f (z) chỉnh hình trong D và thỏa
mãn điều kiện 1) và 2). Từ Định lý 2.1.1 , họ F chuẩn tắc trong D và khi
đó từ Bổ đề 2.1.2 họ F bị chặn đều trên E. Do đó có một số dương A sao
cho (2.9) cố định với mỗi hàm f (z) của F. Số A này có các tính chất cần
tìm. Hệ quả 2.1.8. (Định lý Schottky) Cho f (z) là một hàm chỉnh hình trong một hình tròn ∆ : |z| < 1 thỏa mãn các điều kiện sau: 1) f (z) không lấy giá trị 0 và 1 trong ∆.
2) |f (0)| (cid:54) µ, µ là một số dương. Khi đó với 0 < r < 1 ta có: (2.10) trong đó A(r, µ) là một số dương chỉ phụ thuộc vào r và µ. Đặc biệt, với (2.11) 26 Định lý 2.1.9. Cho một miền D, hai tập đóng bị chặn σ, E của các điểm thuộc D, một số dương µ và một số nguyên dương p, ta có thể tìm một số dương B(D, σ, E, µ, p) chỉ phụ thuộc vào D, σ, E, µ và p có tính chất sau: Nếu f (z) là một hàm chỉnh hình trong D thỏa mãn các điều kiện 1) và 2) trong định lý 2.1.7, khi đó ta có: (2.12) Chứng minh. Cho F là họ các hàm f (z) chỉnh hình trong D và thỏa mãn
điều kiện 1), 2) của định lý 2.1.7. Ta có F chuẩn tắc trong D và bị chặn đều
trong mỗi tập đóng bị chặn của các điểm thuộc D. Xét họ: (cid:110) (cid:111) Fp = Ta thấy họ Fp cũng bị chặn đều trong mỗi tập đóng bị chặn của các điểm
thuộc D. Từ định lý phủ hữu hạn suy ra Fp bị chặn đều địa phương trong
D. Xét hình tròn Γ : |z − z0| (cid:54) 2r thuộc D. Khi đó có một số dương M sao
cho với mỗi hàm f (z) của F ta có: trong Γ. Từ bất đẳng thức Cauchy, trong hình tròn |z − z0| < r, ta có: Điều này chứng tỏ rằng có một số dương B sao cho (2.12) cố định với mỗi
f (z) ∈ F. Số B này có tính chất cần tìm. Hệ quả 2.1.10. (Định lý Landau) Cho f (z) là một hàm chỉnh hình trong một hình tròn |z| < R, thỏa mãn các điều kiện sau: 1) f (z) không lấy giá trị 0 và 1 trong hình tròn |z| < R.
2) f (0) (cid:54) µ, µ là số dương. Khi đó ta có: (2.13) 27 trong đó B(µ) là một số dương chỉ phụ thuộc vào µ. Đặc biệt, với µ = |f (0)| ta có: (2.14) Chứng minh. Đầu tiên xét trường hợp R = 1. Trong trường hợp này áp dụng Định lý 2.1.9 cho trường hợp đặc biệt khi D = (|z| < 1), σ = E = (0), µ và hợp R = 1 cho hàm f (Rζ)(|ζ| < 1). Bây giờ xét một hàm nguyên siêu việt f (z). Khi đó điểm ∞ là một điểm kì dị cốt yếu của f (z), ta có thể chứng minh giống như trong chứng minh của Định lý 2.1.5, họ các hàm nguyên: (2.15) không chuẩn tắc trong miền ω : một điểm z0 ∈ ω sao cho họ (2.15) không chuẩn tắc tại z0. Xét một hình
tròn Υ : |z − z0| < δ thuộc ω. Từ Định lý 2.1.1 với mỗi giá trị hữu hạn a,
có một số vô hạn các số nguyên dương n sao cho fn(z) lấy giá trị a trong
Υ, nhận nhiều nhất một giá trị hữu hạn a. Hiển nhiên trong hình tròn Υ,
hàm fn(z) lấy những giá trị giống như đã lấy bởi hàm f (z) trong hình tròn (2.16) Xét hai hình tròn cn và cn+p(p (cid:62) 1). Để cn và cn+p không có điểm chung,
sao cho: ∞
(cid:91) , dãy các hình tròn cn(n = 1, 2, . . . ) Khi đó ta thấy rằng nếu δ (cid:54) |z0|
3 tách rời nhau, do đó trong tập mở Ω = n=1 28 hạn a một số vô hạn lần, nhận nhiều nhất một giá trị hữu hạn a. Xét tia
L : z = z0t(0 (cid:54) t < +∞) . Tâm của các hình tròn cn(n = 1, 2, . . . ) đều
nằm trên L và Ω thuộc một góc A : |argz − θ0| < ε(z0 = |z0|eiθ0) với L là
tia phân giác, trong đó ε nhỏ tùy ý với điều kiện δ đủ nhỏ. Trong A, hàm trị hữu hạn a. L được gọi là hướng Julia của hàm f (z). Định lý 2.1.11. Nếu f (z) là hàm nguyên siêu việt, khi đó nó có ít nhất một hướng Julia Chứng minh. Xét một đường cong Γ : z = ϕ(t)(0 (cid:54) t < +∞) , trong đó
ϕ(t) là một hàm giá trị phức liên tục với 0 (cid:54) t < +∞, sao cho khi t tăng từ
0 đến +∞, |ϕ(t)| tăng từ 0 đến +∞. Ta nói rằng đường cong Γ thỏa mãn điều kiện (C).
Cho z0(z0 (cid:54)= 0) là một điểm. Khi đó đường cong Γ∗ : z = z0ϕ(t)(0 (cid:54) t <
+∞) cũng thỏa mãn điều kiện (C), và nếu với một giá trị t0, ϕ(t0) = 1, khi
đó đường cong Γ∗ đi qua điểm z0. Trong bất kì trường hợp nào, đường cong cũng có tính chất đó. Cho tn(n = 1, 2, . . . ) được xác định bởi: (2.17) và cho f (z) là hàm nguyên siêu việt. Khi đó họ các hàm nguyên : (2.18) không chuẩn tắc trong miền ω : không chuẩn tắc tại z0 và xét dãy các hình tròn: (2.19) ∞
(cid:91) , khi đó các hình tròn Γn(n = 1, 2, . . . ) không giao nhau. Ta Giả sử δ (cid:54) |z0|
3 thấy trong tập mở n=1 hạn lần, nhận nhiều nhất một giá trị hữu hạn a. Trong miền: (cid:91) 0 29 điều này cũng đúng. Tập ψ(t) = z0ϕ(t), δ = |z0|η(0 < η (cid:54) 1
3
miền: (cid:91) 0 Hàm f (z) lấy mọi giá trị hữu hạn a một số vô hạn lần, nhận nhiều nhất một giá trị hữu hạn a, không có vấn đề gì với số dương η. Ta nói rằng đương cong z = ψ(t) là một đường cong Julia của f (z). Định lý 2.1.12. Cho f (z) là một hàm nguyên siêu việt. Khi đó cho đường
cong bất kì z = ϕ(t) thỏa mãn điều kiện (C), ta có thể tìm một điểm z0 của miền của f (z). Định lý 2.1.13. Cho D là một miền, a và b (cid:54)= 0 là hai số phức, và số
nguyên ν (cid:62) 1. Cho F là một họ các hàm f (z) chỉnh hình trong D sao cho
mỗi phương trình: (2.20) không có nghiệm trong D. Khi đó họ F chuẩn tắc trong D. Chứng minh. Đầu tiên xét trường hợp a = 0, b = 1. Cho z0 là một điểm
của D và Γ : |z − z0| < ρ là một hình tròn thuộc D. Cho f (z) là một hàm
của họ F, đặt: F (ζ) = (2.21) (2.22) (cid:54) 1, trong đó hν là một số dương chỉ phụ thuộc vào ν. Nếu |F (0)| = ta có: từ (2.21), trong hình tròn Υ : |z − z0| < 30 Mặt khác, nếu |F (0)| = (cid:54) ehν max(ρν, (cid:27) F1 = Từ Hệ quả 1.3.9, họ F chuẩn tắc trong D trong trường hợp a = 0, b = 1.
Xét trường hợp tổng quát ta áp dụng kết quả vừa tìm được cho họ:
(cid:26)f (z) − a
b Định lý 2.1.14. Cho f (z) là một hàm nguyên mà không phải là một đa
thức có bậc tối đa là ν, trong đó ν (cid:62) 1 là số nguyên. Khi đó họ của các hàm
nguyên: (2.23) không chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2. Chứng minh. Giả sử họ (2.23) chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2. Khi đó
f (0)
2nν (n = 1, 2, . . . ), từ Bổ đề 2.1.2, họ (2.23) bị chặn đều trong Từ bất đẳng thức Cauchy, f (z) là đa thức có bậc tối đa là ν, điều này trái với giả thiết. Hệ quả 2.1.15. Cho f (z) là một hàm nguyên mà không phải đa thức có
bậc tối đa là ν, trong đó ν (cid:62) 1 là một số nguyên. Khi đó với hai giá trị hữu
hạn bất kì a và b (cid:54)= 0 ít nhất một trong hai phương trình : (2.24) có nghiệm trong C. Chứng minh. Giả sử mỗi phương trình (2.24) không có nghiệm. Khi đó từ Định lý 2.1.13, họ: 31 là chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2, trong đó fn(z) được xác định bởi
(2.23). Khi đó họ (2.23) cũng chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2, điều này trái với Định lý 2.1.14. 2 < |z| < 4 Định lý 2.1.16. Cho f (z) là một hàm nguyên siêu việt và ν (cid:62) 1 là số
nguyên. Khi đó họ (2.23) không chuẩn tắc trong miền ω : 1 Chứng minh. Khi điểm ∞ là điểm kì dị cốt yếu của hàm f (z), có một dãy
các điểm ζm(m = 1, 2, . . . ) sao cho: Ta thấy: Để mỗi m tương ứng nm sao cho: Ta có: . Khi đó: Từ Bổ đề 2.1.2, nếu họ (2.23) chuẩn tắc trong miền ω thì dãy fnm(z)(m =
1, 2, . . . ) bị chặn đều trong hình tròn |z| = 1. Do đó có một số dương K sao cho: m, rm = 2nm (m = 2, 1, . . . ). Tức là hàm f (z) là đa thức có bậc tối đa bằng ν, trái với giả thiết f (z) là hàm nguyên siêu việt. Cho f (z) là một hàm chỉnh hình trong một miền
Định lý 2.1.17.
R0 < |z| < +∞, sao cho điểm ∞ là điểm kì dị cốt yếu của f (z). Khi đó họ (2.23) không chuẩn tắc trong miền Ω : 32 số sao cho R > 2R0. Chứng minh. Đặt: f (z) = F (z) + G(z), trong đó F (z) là hàm nguyên siêu
việt, và G(z) là một hàm chỉnh hình trong miền R0 < |z| < +∞, sao cho: Cho fn(z) được xác định bởi (2.23). Khi đó: Giống như chứng minh của Định lý 2.1.16, ta thấy rằng họ Fn(z)(n =
1, 2, . . . ) không chuẩn tắc trong miền Ω. Điều này cũng đúng cho họ fn(z)(n =
1, 2, . . . ). Hệ quả 2.1.18. Cho f (z) là một hàm chỉnh hình trên một miền D : R0 <
|z| < +∞, sao cho điểm ∞ là điểm kì dị cốt yếu của f (z). Cho ν (cid:62) 1 là số
nguyên. Khi đó với hai giá trị hữu hạn bất kì a và b (cid:54)= 0, ít nhất một trong hai phương trình: (2.25) có vô số nghiệm trong D. Chứng minh. Giả sử mỗi phương trình (2.25) có duy nhất một nghiệm hữu
hạn trong D. Cho ρ > R0 là một số sao cho mỗi phương trình (2.25) không
có nghiệm với ρ < |z| < +∞. Cho n0 là một số nguyên dương sao cho với
n (cid:62) n0, ta có 2n−1R > ρ, trong đó R là số được xác định trong Định lý
2.1.17 . Từ Định lý 2.1.13, họ: Định lý 2.1.19. (Định lý Schottky mở rộng) 33 Cho một miền D, hai tập đóng bị chặn σ, E của các điểm thuộc D, một số
dương m và số nguyên ν (cid:62) 1, ta có thể tìm được một số dương P (D, σ, E, m, ν) chỉ phụ thuộc vào D, σ, E, m và ν có tính chất sau: Nếu f (z) là một hàm chỉnh hình trong D thỏa mãn các điều kiện: 1) Mỗi phương trình f (z) = 0, f (ν)(z) = 1 không có nghiệm trong D;
2) min
z∈σ
Khi đó ta có: (2.26) Định lý này được chứng minh dựa vào Định lý 2.1.13 và Bổ đề 2.1.2 Định lý 2.1.20. (Định lý Landau mở rộng) Cho một miền D, hai tập đóng bị chặn σ, E của các điểm thuộc D, một số dương m và hai số nguyên dương ν và p, ta có thể tìm được một số dương Nếu f (z) là một hàm chỉnh hình trong D thỏa mãn điều kiện 1) và 2) trong định lý 2.1.19 , khi đó ta có: (2.27) Định lý này được chứng minh dựa vào định lý 2.1.13 và bổ đề 2.1.2, bằng phương pháp tương tự trong chứng minh định lý 2.1.9. Định nghĩa 2.1.21. Cho w = f (z) là hàm chỉnh hình trong một miền D, và ∆ là một miền trong w - phẳng. Ta nói rằng ∆ là một miền ảnh đơn phủ của f (z) lên D, nếu có một miền d ⊂ D sao cho f (z) là đơn diệp trong Định lý 2.1.22. Cho D là một miền và một số A > 0. Cho F là họ của
các hàm f (z) thỏa mãn điều kiện sau: 1) f (z) chỉnh hình trong D.
2) Không tồn tại hai số R1, R2 sao cho: 34 và với mỗi số 0 (cid:54) ω < 2π, miền: là miền ảnh đơn phủ của f (z) trong D. Khi đó họ F chuẩn tắc trong D. Chứng minh. Cho z0 là một điểm của D và Γ : |z − z0| < ρ là một hình
tròn thuộc D. Cho S : fn(z)(n = 1, 2, . . . ) là một dãy các hàm của họ F.
Từ Định lý 1.3.3, ta chứng minh được từ dãy S ta có thể trích ra một dãy
con fnk(z)(k = 1, 2, . . . ) sao cho khi k → +∞, fnk(z) hội tụ đều đến một
hàm chỉnh hình hoặc đến ∞ trong hình tròn Γ(cid:48) : |z − z0| <
. Chia hai
trường hợp: 1) Dãy fn(z0)(n = 1, 2, . . . ) bị chặn, tức là |fn(z0)| (cid:54) L(n = 1, 2, . . . ).
Từ hàm phụ trợ Fn(ζ) = fn(z0 + ρζ)(|ζ| < 1) trong hình tròn |z − z0| (cid:54) ρ
,
2
ta có: trong đó: (cid:19) (cid:18) a , và từ Hệ quả Do đó dãy S bị chặn đều trong hình tròn |z − z0| (cid:54) ρ
2
1.3.8, ta có thể trích từ S một dãy con fnk(z)(k = 1, 2, . . . ) sao cho khi
k → +∞, fnk(z) hội tụ đều đến một hàm chỉnh hình trong hình tròn Γ(cid:48). 2) Dãy fn(z0)(n = 1, 2, . . . ) không bị chặn. Khi đó một dãy con fnk(z0)(k = , ta có: và đặc biệt: 35 Bất đẳng thức này cho thấy khi k → +∞, |fnk(z)| hội tụ đều đến +∞ trong
Γ(cid:48). Định lý 2.1.23. Cho D là một miền và K > 1 là một số. Cho F là họ các
hàm f (z) thỏa mãn điều kiện: 1) f (z) chỉnh hình và không lấy giá trị 0 trong D.
2) Có một số ω = ω(f ) sao cho 0 (cid:54) ω < 2π và các miền: (2.28) không là miền ảnh đơn phủ của f (z) lên D. Khi đó học F chuẩn tắc trong
D. Chứng minh. Cho z0 là một điểm của D và |z − z0| < ρ là một hình tròn
thuộc D. Cho f (z) là một hàm của họ F và đặt F (ζ) = f (z0 + ρζ)(|ζ| < 1).
Ta có 2 bất đẳng thức: (2.29) (2.30) , ta có: trong đó h là hằng số dương tuyệt đối. Nếu |F (0)| = |f (z0)| (cid:54) 1, từ (2.29),
trong hình tròn Υ : |z − z0| (cid:54) ρ
2 Mặt khác, nếu |F (0)| = |f (z0)| > 1, khi đó từ (2.30), trong Υ ta có: Do đó từ Hệ quả 1.3.9, họ F chuẩn tắc trong D. Định lý 2.1.24. Cho D là một miền, số nguyên ν (cid:62) 1 và K > 1 . Cho F
là họ các hàm f (z) thỏa mãn các điều kiện: 1) f (z) chỉnh hình và không lấy giá trị 0 trong D.
2) Có một số ω = ω(f ) sao cho 0 (cid:54) ω < 2π và các miền (2.28) không 36 là miền ảnh đơn phủ của f (ν)(z) lên D. Khi đó họ F chuẩn tắc trong D. Chứng minh. Cho z0 là một điểm của D và |z − z0| < ρ là hình tròn thuộc
D. Cho f (z) là một hàm của họ F và đặt: F (ζ) = có hai bất đẳng thức: trong đó hν là một số dương chỉ phụ thuộc vào ν. Khi đó chứng minh được
hoàn thành như trong chứng minh của Định lý 2.1.13. Định lý 2.2.1. Cho D là một miền và a, b, c là 3 giá trị phân biệt trong (cid:98)C.
Cho F là họ các hàm f (z) phân hình trong D, sao cho mỗi phương trình: (2.31) không có nghiệm trong D. Khi đó họ F chuẩn tắc trong D. Chứng minh. Nếu một trong các giá trị a, b, c là vô hạn, giả sử c = ∞, khi
đó a, b(a (cid:54)= b) hữu hạn và hàm f (z) của họ F chỉnh hình trong D, sao cho
một trong hai phương trình trong (2.31) không có nghiệm trong D, do đó
từ Định lý 2.1.1 họ F chuẩn tắc trong D.
Giả sử các giá trị a, b, c hữu hạn. Xét họ các hàm: (cid:26) (cid:27) F1 = và 37 Các hàm của F1 chỉnh hình và không lấy giá trị
trong D.
Từ Định lý 2.1.1, họ F1 chuẩn tắc trong D, vì vậy F liên tục đều trong D
đối với khoảng cách cầu , do Định lý 1.3.6. Cho z0 là một điểm của D và cố định trong Υ. Điều này cũng đúng với bất đẳng thức: Khi đó từ Bổ đề 1.1.2 ta có: trong Υ. Do đó họ F liên tục đều trong D đối với khoảng cách cầu và từ
Định lý 1.3.6 họ F chuẩn tắc trong D. Định lý 2.2.2. Cho f (z) là một hàm phân hình khác hằng trong C. Khi đó
họ các hàm phân hình trong C: (2.32) không chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2. Chứng minh. Giả sử họ (2.32) chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2. Khi đó từ Hệ quả 1.3.9 , ta có thể tìm một hình tròn Γ : |z| < r(0 < r < 2) và một
số dương M sao cho mỗi hàm fn(z) của họ (2.32) trong Γ thỏa mãn một
trong các bất đẳng thức: (2.33) Vậy ít nhất một trong hai bất đẳng thức cố định trong Γ với vô hạn các số nguyên dương n. Giả sử điều này đúng với bất đẳng thức đầu tiên trong
(2.33). Khi đó bất đẳng thức: |f (z)| < M cố định trong hình tròn |z| < 2nr
với n đủ lớn. Khi đó hàm f (z) là hàm nguyên, do đó là một hằng số, điều này trái với giả thiết. Ta sẽ dẫn đến một mâu thuẫn, nếu ta giả sử rằng bất đẳng thức thứ hai trong (2.33) cố định trong Γ với một số vô hạn các số 38 nguyên dương n. Hệ quả 2.2.3. (Định lý Picard trên các hàm phân hình trong C)
Nếu f (z) là hàm phân hình khác hằng trong C, khi đó f (z) lấy mọi giá trị
a ∈ (cid:98)C, nhận nhiều nhất hai giá trị a ∈ (cid:98)C. Chứng minh. Nếu hàm f (z) không lấy ba giá trị phân biệt a, b, c thuộc (cid:98)C,
khi đó từ Định lý 2.2.1, họ (2.32) chuẩn tắc trong hình tròn |z| < 2, mâu thuẫn với Định lý 2.2.2. Giả sử hàm f (z) không lấy ba giá trị a, b, c. Nếu một trong các giá trị a, b, c là vô hạn, khi đó f (z) sẽ là một hàm nguyên mà không lấy hai giá trị hữu hạn. Từ Hệ quả 2.1.4, f (z) là một hằng số. Nếu các giá trị a, b, c hữu hạn là một hàm nguyên mà không lấy các giá trị và thì hàm . Từ Hệ quả 2.1.4, f (z) là một hằng số. Định nghĩa 2.2.4. Cho f (z) là hàm phân hình trong một miền D : 0 < một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) Có một số ρ1(0 < ρ1 < ρ) sao cho f (z) chỉnh hình trong một miền 2) Điểm z = 0 là một điểm tụ của tập các cực điểm của f (z) trong miền Hệ quả 2.2.5. Cho f (z) là một hàm phân hình trong một miền D : 0 < cốt yếu. Chứng minh. Chia hai trường hợp. Nếu điều kiện 1) trong Định nghĩa 2.2.4 được thỏa mãn, khi đó từ Hệ quả 2.1.6 , trong D, hàm f (z) lấy mọi giá trị một số vô hạn lần, nhận nhiều nhất một giá trị hữu hạn và ∞. Bây giờ giả sử điều kiện 2) trong Định nghĩa 2.2.4 được thỏa mãn và trong D, f (z) lấy 39 ba giá trị a, b, c chỉ một số hữu hạn lần. Tất nhiên các giá trị a, b, c đều hữu hạn. Cho D1 : 0 < |z| < ρ1(0 < ρ1 < ρ) là một miền, trong đó f (z) không lấy các giá trị a, b, c. Hàm g(z) = chỉnh hình trong D1 và không lấy các giá trị và . Từ Hệ quả 2.1.6, điểm z = 0 không là điểm kì dị cốt yếu của g(z). Khi đó điểm z = 0 là điểm tụ của tập hợp các không điểm của g(z), điểm z = 0 là một điểm kì dị rời nhau của g(z) mà khi đó
đẳng thức bằng 0 trong D1. Điều này là vô lý. Bổ đề 2.2.6. Cho F là một họ chuẩn tắc các hàm phân hình trong một
miền D. Cho σ là một tập đóng bị chặn của các điểm thuộc D, một giá trị
a(a ∈ (cid:98)C) và một số δ(0 < δ (cid:54) 1). Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) Mỗi hàm f (z) ∈ F không lấy giá trị a trong D.
2) Với mỗi hàm f (z) ∈ F, ta có : max
z∈σ đóng bị chặn E của các điểm của D, có một số α > 0 sao cho với mỗi hàm
f (z) ∈ F, ta có: (2.34) Chứng minh. Chia hai trường hợp: 1) a = ∞. Khi đó các hàm của họ F chỉnh hình trong D và với mỗi hàm 1 2 (cid:54) 1
δ Do đó từ Bổ đề 2.1.2, với mỗi tập đóng bị chặn E của các điểm của D, có
một số K > 0 sao cho với mỗi hàm f (z) ∈ F, ta có: suy ra 2 2) a (cid:54)= ∞. Cho E là một tập đóng bị chặn của các điểm của D, giả sử không tồn tại một số α > 0 có tính chất cần thiết với E. Khi đó với mỗi số
nguyên dương n tương ứng một hàm fn(z) ∈ F sao cho: (2.35) 40 Từ dãy fn(z)(n = 1, 2, . . . ) ta có thể trích ra một dãy con fnk(k = 1, 2, . . . )
là một C0- dãy trong D. Từ Định lý 1.2.7, khi k → +∞, fnk(z) hội tụ đều
địa phương đến một hàm giới hạn F (z) trong D đối với khoảng cách cầu. Từ định lý phủ hữu hạn, ta có: đều trên E. Mặt khác từ Định lý 1.2.8, F (z) là một hàm phân hình trong đề 1.2.4 ta thấy rằng hàm |F (z), a| liên tục trong D. Cho một số ε > 0, để
k0 là một số nguyên dương sao cho khi k (cid:62) k0, ta có: (2.36) trên E. Từ (2.35), (2.36) và bất đẳng thức: ta thấy khi k (cid:62) k0, ta có: do đó: và có một điểm z0 ∈ E sao cho F (z0) = a. F (z) là một hàm phân hình
trong D. Mặt khác, từ điều kiện 2) của Bổ đề 2.2.6 và bất đẳng thức: ta tìm : điều này cho thấy F (z) không bằng a. Khi F (z0) = a (cid:54)= ∞, từ Định lý
1.2.5, ta có thể tìm một hình tròn Υ : |z − z0| < ρ thuộc D và một số
nguyên dương k∗ sao cho các hàm fnk(z)(k (cid:62) k∗) và F (z) chỉnh hình trong
Υ và 41 đều trong Υ. Khi đó từ định lý đã biết, fnk(z) − a có không điểm trong Υ,
khi k đủ lớn, điều này mâu thuẫn với điều kiện 1) trong Bổ đề 2.2.6. Định lý 2.2.7. Cho một miền D, hai tập đóng bị chặn σ, E của các điểm
thuộc D, có ba giá trị phân biệt aj(aj ∈ (cid:98)C)(j = 1, 2, 3) và một số δ(0 <
δ (cid:54) 1), ta có thể tìm được một số α(D, σ, E, a1, a2, a3, δ) > 0 chỉ phụ thuộc
vào D, σ, E, aj(j = 1, 2, 3) và δ có các tính chất sau: Nếu f (z) là một hàm
phân hình trong D thỏa mãn các điều kiện: 1) f (z) không lấy giá trị aj(j = 1, 2, 3) trong D;
2) max
z∈E Khi đó ta có: (2.37) Đây là dạng tổng quát của định lý Schottky trong trường hợp của hàm phân hình. Chứng minh. Cho F là họ các hàm phân hình trong D và thỏa mãn các điều
kiện 1), 2) trong Định lý 2.2.7. Từ Định lý 2.2.1, họ F chuẩn tắc trong D.
Từ Bổ đề 2.2.6, có một số α > 0 sao cho với mỗi hàm f (z) ∈ F ta có: Số α có tính chất cần thiết. Định nghĩa 2.2.8. Cho f (z) là một hàm phân hình siêu việt trong C. Cho
Γ : z = z(t)(0 (cid:54) t < +∞) là một đường cong, trong đó z(t) là hàm có giá
trị phức liên tục sao cho: (2.38) Cho a ∈ (cid:98)C là một giá trị . Nếu: (2.39) khi đó a được gọi là một giá trị tiệm cận của f (z) và Γ là một đường tương 42 ứng xác định. Định lý 2.2.9. Cho f (z) là một hàm phân hình siêu việt trong C. Nếu f (z)
có giá trị tiệm cận a, khi đó họ các hàm phân hình trong (C): (2.40) không chuẩn tắc trong miền ω : Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a (cid:54)= ∞. Nếu và họ 1) f (z) chỉ có một số hữu hạn các cực điểm. Trong trường hợp này ta có thể tìm được một số dương R sao cho f (z) chỉnh hình với R < |z| < +∞ và có một kì dị cốt yếu tại điểm z = ∞. Giống như chứng minh của Định lý 2.1.5, họ (2.40) không chuẩn tắc trong miền ω. 1) f (z) có vô hạn các cực điểm. Trong trường hợp này ta có thể tìm
được một dãy con fnk(z)(k=1,2,. . . ) của dãy (2.40), sao cho với mỗi k,
hàm fnk(z) có ít nhất một cực điểm trong miền E : 1 (cid:54) |z| (cid:54) 2. Cho
Γ : z = z(t)(0 (cid:54) t < +∞) là đường cong được xác định trong Định nghĩa
2.2.8. Giả sử |z(0)| < 2n1 và họ (2.40) chuẩn tắc trong miền ω. Khi đó từ
dãy fnk(z)(k = 1, 2, . . . ) ta có thể trích ra một dãy con fmh(z)(h = 1, 2, . . . )
là một C0- dãy trong ω, hàm giới hạn F (z) là một hàm phân hình trong ω
hoặc ∞ đối với khoảng cách cầu. Xét hình tròn |z| = r(1 (cid:54) r (cid:54) 2). Với mỗi
h ta tìm được th sao cho: , khi đó: Hiển nhiên th → +∞, khi h → +∞. Tập zh = Từ (2.39) ta có: Mặt khác từ Định lý 1.2.7 và định lý phủ hữu hạn, khi h → +∞, fmh(z)
hội tụ đều đến F (z) trong E đối với khoảng cách cầu. Khi đó từ bất đẳng thức: 43 ta thấy min
|z|=r Định lý 2.2.10. Cho f (z) là một hàm phân hình siêu việt trong C. Để họ (2.40) không chuẩn tắc trong miền ω :
< |z| < 4 , điều kiện cần và đủ là
hàm |z|∂(z, f ) không bị chặn trong C, trong đó ∂(z, f ) là đạo hàm cầu của
f (z). Chứng minh. Đầu tiên, từ (2.40) ta có: (2.41) Giả sử họ (2.40) chuẩn tắc trong miền ω. Khi đó từ Định lý 1.3.12 và
định lý phủ hữu hạn, dãy ∂(z, fn)(n = 1, 2, . . . ) bị chặn đều trong miền
E : 1 (cid:54) |z| (cid:54) 2, tức là có một số dương M sao cho với mỗi n (cid:62) 1, ta có: trong E. Do đó từ (2.41) trong E. Điều này tương đương với bất đẳng thức: với 2n (cid:54) |z| (cid:54) 2n+1. Khi đó n (cid:62) 1 tùy ý, ta kết luận là hàm |z|∂(z, f ) bị
chặn trong C.
Ngược lại nếu có một số dương M (cid:48) sao cho: trong C, khi đó với z ∈ ω ta có: 44 Do đó dãy ∂(z, fn)(n = 1, 2, . . . ) bị chặn đều trong ω và từ Định lý 1.3.12
họ (2.40) chuẩn tắc trong ω
Xét một hàm phân hình siêu việt f (z) trong C sao cho họ (2.40) không chuẩn tắc trong miền ω : ∞
(cid:91) mở Ω = n=1 nhất hai giá trị a ∈ (cid:98)C. Ta thấy không có vấn đề gì với số dương ε, trong
góc A : |argz − θ0| < ε(z = |z0|eiθ0) với tia L : z = z0t(0 (cid:54) t < +∞) là
phân giác, f (z) lấy mọi giá trị a ∈ (cid:98)C một số vô hạn lần, nhận nhiều nhất
hai giá trị a ∈ (cid:98)C. Tia L được gọi là hướng Julia của f (z). Định lý 2.2.11. Nếu f (z) là hàm phân hình siêu việt trong C sao cho hàm
|z|∂(z, f ) không bị chặn trong C, khi đó f (z) có ít nhất một hướng Julia. Định lý 2.2.12. Cho f (z) là nột hàm phân hình siêu việt trong C sao cho
hàm |z|∂(z, f ) không bị chặn trong C. Khi đó cho đường cong bất kì z = ϕ(t) thỏa mãn điều kiện (C), ta có thể tìm một điểm z0 của miền
sao cho đường cong z = z0ϕ(t) là một đường cong Julia của f (z). Định lý 2.2.13. Cho D là một miền, a và b (cid:54)= 0 là hai số phức và số nguyên
ν (cid:62) 1. cho F là họ các hàm f (z) phân hình trong D sao cho mỗi phương
trình: không có nghiệm trong D. Khi đó họ F chuẩn tắc trong D. 45 Chứng minh. Đầu tiên xét trường hợp a = 0, b = 1. Cho z0 là một điểm
thuộc D và Γ : |z − z0| < ρ là hình tròn thuộc D. Cho f (z) là một hàm của họ F và đặt : F (ζ) = cố định. Tập : ν = Kν max(ρν, khi đó trong hình tròn |z − z0| < cố định. Do đó từ Hệ quả 1.3.9, họ F chuẩn tắc trong D.
Xét trường hợp tổng quát. Từ các trường hợp đặc biệt, họ F1 các hàm:
f (z) − a
b chuẩn tắc trong D. Từ Hệ quả 1.3.9, họ F2 các hàm: chuẩn tắc trong D, từ Định lý 1.3.12 họ F2 liên tục đều trong D đối với
khoảng cách cầu. Khi đó từ Bổ đề 1.1.2 ta có: họ F cũng liên tục đều trong D đối với khoảng cách cầu, do đó F chuẩn tắc
trong D. Bây giờ xét một hàm phân hình siêu việt f (z) trong C . Ta sẽ tìm điều kiện trong đó họ: (2.42) của các hàm phân hình trong C không chuẩn tắc trong miền ω : Đặt: (2.43) 46 Ta nói hàm f (z) thỏa mãn điều kiện (C), nếu có một tập s các điểm của khoảng
1
2 (2.44) Hiển nhiên nếu: (2.45) khi đó f (z) thỏa mãn điều kiện (C). Đặc biệt nếu có một đường cong liên
tục z = z(t)(0 (cid:54) t < +∞) với
z(t) = ∞, sao cho hàm f {z(t)} bị
chặn khi t đủ lớn, t (cid:62) t0, khi đó (2.45) cố định. Hiển nhiên nếu f (z) có một
giá trị tiệm cận hữu hạn khi đó (2.45) cố định. Định lý 2.2.14. Cho f (z) là một hàm phân hình siêu việt trong C. Nếu
f (z) thỏa mãn điều kiện (C), khi đó họ (2.42) không chuẩn tắc trong miền Chứng minh. Chia hai trường hợp: 1) f (z) chỉ có một số hữu hạn các cực. Trong trường hợp này ta cần tìm một số dương R sao cho f (z) là chỉnh hình với R < |z| < +∞ và có một điểm kì dị cốt yếu tại điểm z = ∞. Khi đó bằng phương pháp đã sử dụng trong chứng minh của Định lý 2.1.16 ta thấy họ (2.42) không chuẩn tắc trong ω. 2) f (z) có vô hạn các cực. Trong trường hợp này chúng ta có thể tìm
một dãy con fnk(z)(k = 1, 2, . . . ) của dãy (2.42), sao cho với mỗi k thì hàm
fnk(z) có ít nhất một cực trong miền E : 1 (cid:54) |z| (cid:54) 2. Bây giờ giả sử họ
(2.42) chuẩn tắc trong ω. Khi đó từ dãy fnk(z)(k = 1, 2, . . . ) ta có thể trích
ra một dãy con fmh(z)(h = 1, 2, . . . ) là một C0 - dãy trong ω. Cho F (z)
là hàm giới hạn đối với khoảng cách cầu. Xét tập s được xác định ở trên
và cho t ∈ s. Khi đó cho h → +∞, fmh(z) hội tụ đều đến F (z) trong hình
tròn |z| = t đối với khoảng cách cầu. Mặt khác, từ (2.42) ta có: 47 Khi đó từ (2.44) và bất đẳng thức : ta có: và do đó trên hình tròn |z| = t, F (z) có một không điểm. Khi đó F (z) ≡ 0,
nhưng điều này không phù hợp với thực tế là khi h → +∞, fmh(z) hội tụ
đều đến F (z) trong miền E đối với khoảng cách cầu và với mỗi h, hàm
fmh(z) có ít nhất một cực trong E. Định lý 2.2.15. Cho f (z) là một hàm phân hình siêu việt trong C. Nếu
f (z) thỏa mãn điều kiện (C), khi đó họ không chuẩn tắc trong miền ω : Định lý 2.2.16. Cho fn(z)(n = 1, 2, . . . ) là dãy các hàm phân hình trong
một miền D và an(n = 1, 2, . . . ) là một dãy bị chặn của các số phức. Nếu
họ F : fn(z)(n = 1, 2, . . . ) chuẩn tắc trong trong D, khi đó họ F1 : fn(z) +
an(n = 1, 2, . . . ) cũng chuẩn tắc trong D. Chứng minh. Khi F chuẩn tắc trong D, từ Định lý 1.3.6, F liên tục đều
trong D đối với khoảng cách cầu. Cho: Từ Bổ đề 1.1.2, (cid:62)1
2
(cid:62)1
2 48 do đó họ F1 cũng liên tục đều trong D đối với khoảng cách cầu, vì vậy F1
chuẩn tắc trong D. Trong phần này, chúng tôi tìm hiểu kết quả của Trần Văn Tấn, Nguyễn Văn Thìn và Vũ Văn Trường [8] về sự mở rộng Định lý Montel tới trường hợp đạo hàm cầu bị chặn và các điểm được thay bởi các hàm. Định lý 2.3.1. Cho F là một họ các hàm phân hình trên D ⊂ C. Giả sử
với mỗi tập con compact K ⊂ D, tồn tại j=1 i) các số nguyên dương (có thể bằng +∞) (cid:96)1, . . . , (cid:96)q thỏa mãn (cid:80)q ii) các hàm phân hình a1f , . . . , aqf (f ∈ F) trên D, và các số dương ε, (cid:19)(k)(cid:33)# (cid:32)(cid:18) 1
f với mọi f ∈ F, j ∈ {1, . . . , q}, và k = 0, . . . , (cid:96)j − 2. Ở đây, ta ký hiệu σ là
khoảng cách cầu trên (cid:98)C.
Khi đó F là chuẩn tắc. Để chứng minh định lý trên, ta cần các bổ đề sau: Bổ đề 2.3.2 (Bổ đề Zalcman, [9]). Cho F là một họ các hàm phân hình
trên đĩa đơn vị D. Khi đó F không chuẩn tắc tại z0 ∈ D, khi và chỉ khi với
mỗi α, thỏa mãn −1 < α < 1, tồn tại 49 Bổ đề 2.3.3 (xem Grahl-Nevo, [5]). Cho {aα, bα}α∈I là một họ các cặp hàm
phân hình trên một miền D ⊂ C . Giả sử tồn tại hằng số dương ε sao cho
σ (aα(z), bα(z)) ≥ ε với mọi α ∈ I và mọi z ∈ D. Khi đó các họ {aα}α∈I
và {bα}α∈I là chuẩn tắc. Chứng minh Định lý 2.3.1. Không mất tính tổng quát, giả sử D là đĩa đơn
vị D. Giả sử F không chuẩn tắc tại z0 ∈ D. Khi đó, theo Bổ đề 2.3.2, với
α = 0 tồn tại (2.46) hội tụ đều trên các tập con compact thuộc C, với g là một hàm phân hình
khác hằng.
Khi đó với mỗi j ∈ N, ta có (2.47) trên các tập con compact của C \P, (cid:19)(j) (cid:19)(j) (2.48) và trên các tập con compact của C \Z (cid:18)1
g (cid:18) 1
gv theo metric Euclid, với P, Z lần lượt là các tập con không điểm, cực điểm của g. Lấy K := {z : |z| ≤ j=1 i) các số nguyên dương (có thể bằng +∞), (cid:96)1, . . . , (cid:96)q thỏa mãn (cid:80)q ii) các hàm phân hình a1fv, . . . , aqfv (f ∈ F) trên D, và các số thực dương
ε và M sao cho σ(aifv(z), ajfv(z)) ≥ ε với mọi z ∈ D, 1 ≤ i, j ≤ q, i (cid:54)= j,
và: (cid:19)(k)(cid:33)# v )#(z) ≤ M, (cid:32)(cid:18) 1
fv 50 với mọi v ≥ 1, j ∈ {1, . . . , q}, và mọi k = 0, . . . , (cid:96)j − 2.
Bỏ qua bất kỳ (cid:96)j = 1, không mất tính tổng quát, có thể giả sử q ≥ 3 và
(cid:96)j ≥ 2 với mọi j = 1, . . . , q. Từ Bổ đề 2.3.3, ta có thể giả sử {ajfv}v≥1 hội tụ đều trên các tập con
compact của C theo metric cầu tới hàm phân hình aj (hoặc ∞) với mọi
j = 1, . . . , q. Khi đó Ajv(ξ) := ajfv(zv + ρvξ) hội tụ đều trên các tập con
compact của C tới hằng số aj(z0). Từ giả thiết về các khoảng cách cầu giữa
các cặp điểm thuộc {a1(z), . . . , aq(z)} ta có a1(z0), . . . , aq(z0) đôi một phân
biệt. Bây giờ ta chứng minh khẳng định sau: Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, nếu Cố định một j. Với không điểm ξ0 bất kỳ của g(ξ)−aj(z0), do aj(z0) (cid:54)= ∞,
nên g chỉnh hình tại ξ0. Theo Định lý Hurwitz, tồn tại các giá trị ξv (với
mỗi v đủ lớn) ξv → ξ0 sao cho Ajv(ξv) (cid:54)= ∞ và ◦
K, nên zv + ρvξv ∈ K với mọi v đủ lớn. Từ ajfv(zv + ρξv) → Để ý rằng z0 ∈
aj(z0) (cid:54)= ∞, ta có thể giả sử rằng (2.49) Ta có (2.50) với mọi k = 0, . . . , (cid:96)j − 2 và với mọi v đủ lớn. n), với mỗi Đặt M1 := M · (1 + (1 + |aj(z0)|)2), và Mn+1 := M · (1 + M 2 số nguyên dương n. Ta chứng minh bất đẳng thức sau bằng quy nạp: (2.51) for all k = 1, . . . (cid:96)j − 1. (cid:12)
(cid:12)f (k)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)
(cid:12) ≤ Mk,
v (zv + ρvξv)
Thật vậy, với k = 1, do (2.50) ta có v(zv + ρvξv)| 51 Kết hợp với (2.49), ta có (cid:16)
v(zv+ρvξv)| ≤ M · Vậy ta nhận được (2.51) đối với k = 1. Giả sử (2.51) đúng với k (k ≤ (cid:96)j − 2). Khi đó, từ (2.50) và giả thiết quy nạp, ta có (cid:16) v (zv + ρvξv)|2(cid:17)
(cid:1) = Mk+1. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta nhận được (2.51). v (zv + ρvξv)| v (ξv)| Do (2.51) ta có v · |f (k)
v · Mk, với mọi k = 1, . . . (cid:96)j − 1. v Do đó, từ g(k−1) v · Mk · (1 + |g(k−1)
ρk v v (ξv)| ≤ lim
v→∞ Vậy, g(k)(ξ0) = 0 với mọi k = 1, . . . , (cid:96)j − 1. Do đó không điểm ξ0 của
g − aj(z0) có bội ít nhất (cid:96)j. Ta nhận được khẳng định nêu trên. Nếu tồn tại j ∈ {1, . . . , q}, sao cho aj(z0) = ∞, khi đó hội tụ đều trên các tập con compact của D \ {z : aj(z) = 0} trên, ta cũng có mọi không điểm của (nói cách khác cực điểm của g) có 52 bội ít nhất (cid:96)j. q
(cid:88) Bây giờ áp dụng các định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai ta có: (cid:13)
(cid:13)
(cid:13)(q − 2)T (r, g) ≤ j=1
q
(cid:88) j=1
q
(cid:88) j=1 q
(cid:88) Điều này trái với giả thiết j=1 53 Do đó, F là một họ chuẩn tắc. Nội dung của luận văn là tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết họ chuẩn tắc các hàm phân hình được đưa ra bởi Montel từ những năm đầu của thế kỷ hai mươi. Từ đó nghiên cứu các định lý Montel mở rộng. Trong luận văn này chúng tôi đạt được những kết quả sau: 1. Trình bày các khái niệm và các tính chất về họ chuẩn tắc, khoảng cách cầu, dãy các hàm phân hình, họ các hàm phân hình và nhắc lại các hàm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna. 2. Phát biểu và chứng minh lại các tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm chỉnh hình. Tìm hiểu các định lý Montel, Miranda và Bloch đối với các hàm chỉnh hình. 3. Trình bày các tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình, định lý Montel và định lý Gu. 4. Trình bày sự mở rộng định lý Montel tới trường hợp đạo hàm cầu bị 54 chặn và các điểm được thay bởi các hàm. [1] Bloch A. (1925), Les theoremes de Valiron sur les fonctions entieres et la theorie de I’ uniformisation, Annales Fac. sc. Toulouse, 17. [2] Bloch A. (1925), Quelques theoremes sur les fonctions entieres et mero- morphes d’ une variable , Comp tes rendus, 181. [3] Chuang C. T. (1935), A generalization of a theorem of Montel, Science Reports of the National Tstnghua Universtty 3, 215-220. [4] Chuang C. T. (1993), Normal families of meromorphic functions, ISBN 981-02-1257-7. [5] Grahl J. and Nevo S. (2014), Eceptional functions wandering on the sphere and normal families, Israel J. Math, 202 , 21-34. [6] Gu Y. X. (1979), A criterion of normlity of families of meromorphic functions, Scientia Sinica Special Issue (1), 267-274. [7] Miranda (1935), Sur un nouveau critere de normalite pour les families de fonctions holomorphes, Bullehn Soc. Math, 63, 185-196. [8] Tan T. V. and Thin N. V. and Truong V. V. (2017), On the normality criteria of Montel and Bergweiler-Langley, J. Math. Anal. Appl, 448 , 319-325. [9] Zalcman L. (1998), Normal families: new perspective, Bull. Amer. Mat. 55 Soc. 35 , 215-230.N [k](r, ν) =
dt,
(r > 1),
n[k](t, ν)
t
log+ |f (reiθ)|dθ,
r > 1,
m(r, f ) =
1
2π
(r) + m(r, f ),
r > 1.
Tf (r) = N 1
N [1]
(r) + o(Tf (r)).
Chương 2
Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc
các hàm phân hình
2.1 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm
chỉnh hình
2.1.1 Định lý Montel cho họ các hàm chỉnh hình
f (z) = a, f (z) = b,
, F ) < h(1 + log+|F (0)|),
logM (
1
2
1
f (z)
| < eh.
1
f (z)
(n = 1, 2, . . . ).
gn(z) =
fn(z) − a
b − a
(k = 1, 2, . . . ).
fnk(z) = a + (b − a)gnk(z)
|f (z)| (cid:54) M.
min
z∈σ
|fn(z)| > n.
max
z∈E
fn(z) = f (2nz)(n = 1, 2, . . . ),
|fn(z)| (cid:54) M,
|f (z)| (cid:54) M,
|z| < ρ sao cho điểm z = 0 là một điểm kì dị cốt yếu của f (z). Cho r là
(n = 1, 2, . . . ),
fn(z) = f (
z
2n )
< |z| < 2r.
r
4
ζm = 0, |f (ζm)| < 1 (m = 1, 2, . . . ).
lim
m→+∞
(m = 1, 2, . . . ).
|ζm| <
r
2
.
r
2nm+1
r
2nm
nm = +∞.
lim
m→+∞
zm = 2nmζm,
r
2
fnm(zm) = f (ζm),
|fnm(zm)| < 1.
|f (z)| (cid:54) K,
(m = 1, 2, . . . ). Cuối cùng từ (2.5) và
r
trong dãy các hình tròn |z| =
2nm
nguyên lý modun cực đại, ta thấy (2.8) cố định với 0 < |z| (cid:54) r
2n1
này mâu thuẫn với giả thiết điểm z = 0 là một điểm kì dị cốt yếu của hàm
f (z).
r
4
< |z| < 2r. Do
định bởi (2.4) không nhận các giá trị a và b trong miền d :
Định lý 2.1.1, họ F0 : fn(z)(n (cid:62) n0) chuẩn tắc trong d. Khi đó họ (2.4) khác
với F0 chỉ bởi một số hữu hạn của các hàm bổ sung fn(z)(1 (cid:54) n < n0), vậy
họ (2.4) cũng chuẩn tắc trong d, điều này mâu thuẫn với Định lý 2.1.5.
|f (z)| (cid:54) µ;
|f (z)| (cid:54) A(D, σ, E, µ).
max
z∈E
M (r, f ) (cid:54) A(r, µ),
µ = |f (0)| ta có:
M (r, f ) (cid:54) A(r, |f (0)|).
|f (p)(z)| (cid:54) B(D, σ, E, µ, p).
max
z∈E
f (p)(z)|f (z) ∈ F
.
|f (z)| (cid:54) M,
|f (p)(z)| (cid:54) p!
M
rp .
R|f (cid:48)(0)| (cid:54) B(µ),
R|f (cid:48)(0)| (cid:54) B(|f (0)|).
p = 1. Với trường hợp tổng quát, ta áp dụng kết quả thu được trong trường
fn(z) = f (2nz)(n = 1, 2, . . . ),
< |z| < 4. Từ Định lý 1.3.3 suy ra có
1
2
cn : |z − zn| < rn, zn = 2nz0, rn = 2nδ.
rn + rn+p (cid:54) |an+p − an|.
cn, f (z) lấy mọi giá trị hữu
f (z) lấy mọi giá trị hữu hạn a một số vô hạn lần, nhận nhiều nhất một giá
z = ϕ1(t), ϕ1(t) =
ϕ(t)
ϕ(t0)
|ϕ(tn)| = 2n(n = 1, 2, . . . ),
gn(z) = f {ϕ(tn)z} (n = 1, 2, . . . ),
< |z| < 4. Cho z0 ∈ ω sao cho họ (2.18)
1
2
Γn : |z − z0ϕ(tn)| < δ|ϕ(tn)|(n = 1, 2, . . . ).
Γn, hàm f (z) lấy mọi giá trị hữu hạn a một số vô
(|z − z0ϕ(t)| < δ|ϕ(t)|)
). Khi đó trong
(|z − ψ(t)| < η|ψ(t)|)
< |z| < 4 sao cho đường cong z = z0ϕ(t) là một đường cong Julia
1
2
2.1.2 Định lý Miranda
f (z) = a,
f (ν)(z) = b.
f (z0 + ρζ)(|ζ| < 1). Ta có hai bất đẳng thức:
1
ρν
logM (
, F ) < hν(1 + log+|F (0)|),
logM (
,
|),
) < hν(1 + log+|
1
2
1
2
1
F
1
F (0)
|f (z0)|
ρν
ρ
2
|f (z)| < ehν ρν (cid:54) ehν max(ρν,
1
ρν ).
|f (z0)|
| <
|
ρν > 1, từ (2.22), trong hình tròn Υ, ta có:
1
ρν ).
ehν
ρν
1
f (z)
|f (z) ∈ F
.
(n = 1, 2, . . . ),
fn(z) =
f (2nz)
2nν
fn(0) =
hình tròn |z| = 1 Do đó có số dương K sao cho
(n = 1, 2, . . . ).
rn = 2n
M (rn, f ) (cid:54) Krν
n,
f (z) = a, f (ν)(z) = b,
= fn(z) −
gn(z) =
f (2nz) − a
2nν
a
2nν (n = 1, 2, . . . ),
(m = 1, 2, . . . ).
ζm = ∞,
|f (ζm)| < 1
lim
m→+∞
|ζm| > 2 (m = 1, 2, . . . ).
2nm < |ζm| < 2nm+1.
nm = +∞. Tập zm =
lim
m→+∞
ζm
2nm
1 < |zm| (cid:54) 2,
|fnm(zm)| <
1
2ν .
M (rm, f ) (cid:54) Krν
< |z| < 4R , trong đó R là một
R
2
G(z) = 0.
lim
z→∞
.
fn(z) = Fn(z) + Gn(z), Fn(z) =
, Gn(z) =
F (2nz)
2nν
G(2nz)
2nν
f (z) = a, f (ν)(z) = b.
= fn(z) −
gn(z) =
f (2nz) − a
2nν
a
2nν (n (cid:62) n0),
R
2
<
trong đó fn(z) được xác định bởi (2.23) chuẩn tắc trong miền Ω :
|z| < 4R. Tức là, họ fn(z)(n (cid:62) n0) và do đó họ (2.23) chuẩn tắc trong Ω,
trái với Định lý 2.1.17.
|f (z)| (cid:54) m ;
|f (z)| (cid:54) P (D, σ, E, m, ν).
max
z∈E
Q(D, σ, E, m, ν, p) chỉ phụ thuộc vào D, σ, E, m, ν và p có tính chất sau:
|f (p)(z)| (cid:54) Q(D, σ, E, m, ν, p).
max
z∈E
2.1.3 Định lý Bloch
d và các ánh xạ d lên ∆. Điều này tương tự với các hàm nghịch đảo của
w = f (z) có một nhánh ϕ(w) chỉnh hình trong ∆ sao cho ϕ(w) ∈ D và
f {ϕ(w)} = w với w ∈ ∆.
R1 (cid:62) A, R2 − R1 > A
R1 < |w| < R2, ω < argw < ω + 2π
ρ
4
) (cid:54) 4e3(A + L)Φ(
),
|fn(z)| < 4e3(A + |fn(z0)|)Φ(
1
2
1
2
Φ(r) = exp
.
−logr
3ρ
4
1, 2, . . . ) sao cho khi k → +∞, fnk(z0) hội tụ đến ∞. Xét một điểm z1 ∈ Γ(cid:48).
thuộc hình tròn Γ. Trong hình tròn
Khi đó hình tròn |z − z1| <
|z − z1| (cid:54) ρ
4
),
|fnk(z)| < 4e3(A + |fnk(z1)|)Φ(
1
3
).
|fnk(z0)| < 4e3(A + |fnk(z1)|)Φ(
1
3
< |ω| < K, ω < argω < ω + 2π,
1
K
, F ) < h(1 + logK + log+|F (0)|),
logM (
1
2
logM (
) < h(1 + logK + log+|
|),
,
1
F (0)
1
2
1
F
|f (z)| < eh(1+logK).
|
| < eh(1+logK).
1
f (z)
(|ζ| < 1). Ta
f (z0 + ρζ)
ρν
logM (
, F ) < hν(1 + logK + log+|F (0)|),
1
2
|),
,
logM (
) < hν(1 + logK + log+|
1
F (0)
1
2
1
F
2.2 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm
phân hình
2.2.1 Định lý Montel cho họ các hàm phân hình
f (z) = a, f (z) = b, f (z) = c,
|f (z) ∈ F
.
1
f (z) − a
1
b − a
1
c − a
ε là một số dương. Khi đó có một hình tròn Υ : |z − z0| < δ thuộc D, sao
cho đối với mỗi hàm f (z) ∈ F, bất đẳng thức:
,
| < ε,
|
1
f (z) − a
1
f (z0) − a
|f (z) − a, f (z0) − a| < ε.
2
|f (z), f (z0)| (cid:54)
|a, ∞|2 |f (z) − a, f (z0) − a| <
2
|a, ∞|2 ε,
fn(z) = f (2nz)(n = 1, 2, . . . ),
| < M.
|
|fn(z)| < M,
1
fn(z)
1
b − a
1
f (z) − a
1
c − a
|z| < ρ. Ta nói rằng điểm z = 0 là một điểm kì dị cốt yếu của f (z), nếu
D1 : 0 < |z| < ρ1 và điểm z = 0 là một điểm kì dị cốt yếu của f (z).
D.
|z| < ρ sao cho điểm z = 0 là điểm kì dị cốt yếu của f (z). Khi đó trong D,
f (z) lấy mọi giá trị a ∈ (cid:98)C một số vô hạn lần, nhận nhiều nhất hai giá trị
a ∈ (cid:98)C.
Đây là định lý Picard trên một hàm phân hình trong lân cận của điểm kì dị
1
f (z) − a
1
b − a
1
c − a
|f (z), a| (cid:62) δ. Khi đó với mỗi tập
|f (z), a| (cid:62) α.
min
z∈E
f (z) ∈ F, ta có:
.
(1 + |f (z)|2)
min
z∈σ
|f (z)| < min
z∈σ
|f (z)| (cid:54) K,
max
z∈E
.
|f (z), ∞| (cid:62)
min
z∈E
1
(1 + K 2) 1
.
|fn(z), a| <
min
z∈E
1
n
|fnk(z), F (z)| = 0
lim
k→+∞
D hoặc ∞. Trong cả hai trường hợp, từ bất đẳng thức tam giác (1.6) và Bổ
|fnk(z), F (z)| < ε,
|F (z), a| (cid:54) |F (z), fnk(z)| + |fnk(z), a|,
,
|F (z), a| < ε +
min
z∈E
1
nk
|F (z), a| = 0,
min
z∈E
|fnk(z), a| (cid:54) |fnk(z), F (z)| + |F (z), a|,
|F (z), a| >
max
z∈σ
δ
2
|fnk(z) − F (z)| = 0.
lim
k→+∞
k(cid:62)k0
|f (z), a1| (cid:62) δ;
|f (z), a1| (cid:62) α(D, σ, E, a1, a2, a3, δ).
min
z∈E
|f (z), a| (cid:62) α.
min
z∈E
z(t) = ∞.
lim
t→+∞
f {z(t)} = a,
lim
t→+∞
fn(z) = f (2nz)(n = 1, 2, . . . ),
< |z| < 4.
1
2
=
(n = 1, 2, . . . ).
a = ∞, xét hàm
1
f (2nz)
1
fn(z)
1
f (z)
Chia hai trường hợp:
|z(th)| = 2mhr.
z(th)
2mh
|zh| = r, fmh(zh) = f {z(th)} .
fmh(zh) = a.
lim
h→+∞
|F (zh), a| (cid:54) |F (zh), fmh(zh)| + |fmh(zh), a|,
|F (z), a| = 0 và do đó F (z) phải là một hàm phân hình trong
ω và lấy giá trị a trong một hình tròn |z| = r. Khi đó r(1 (cid:54) r (cid:54) 2) tùy ý,
do đó F (z) đồng nhất với hằng số a. Nhưng điều này mâu thuẫn với thực
tế là với mỗi h, hàm fmh(z) có ít nhất một cực điểm trong E.
1
2
∂(z, fn) = 2n∂(2nz, f ).
∂(z, fn) (cid:54) M,
2n|z|∂(2nz, f ) (cid:54) |z|M (cid:54) 2M,
|z|∂(z, f ) (cid:54) 2M,
|z|∂(z, f ) (cid:54) M (cid:48),
< 2M (cid:48).
∂(z, fn) = 2n∂(2nz, f ) (cid:54) M (cid:48)
|z|
1
2
< |z| < 4. Từ Định lý 1.3.6 có điểm z0 ∈ ω
sao cho họ (2.40) không chuẩn tắc tại z0. Cho Υ : |z − z0| < δ là hình
tròn thuộc ω. Từ Định lý 2.2.1, với mỗi giá trị a ∈ (cid:98)C có một số vô hạn các
số nguyên dương n sao cho fn(z) lấy giá trị a trong Υ, nhận nhiều nhất
hai giá trị a ∈ (cid:98)C. Do đó giống như trường hợp của hàm nguyên siêu việt,
cn(n = 1, 2, . . . ) là dãy các hình tròn (2.16) với δ (cid:54) |z0|
, khi đó trong tập
3
cn, f (z) lấy mọi giá trị a ∈ (cid:98)C một số vô hạn lần, nhận nhiều
< |z| < 4,
1
2
2.2.2 Định lý Gu
f (z) = a, f (ν)(z) = b,
1
ρν f (z0 + ρζ)(|ζ| < 1). Ta có thể tìm một số dương
một trong hai bất
1
32
Kν chỉ phụ thuộc vào ν sao cho trong hình tròn |ζ| <
đẳng thức:
|
|F (ζ)| < Kν,
| < Kν,
1
F (ζ)
K (cid:48)
1
ρν ),
ρ, một trong hai bất đẳng thức:
1
32
|
|f (z)| < K (cid:48)
ν,
| < K (cid:48)
ν,
1
f (z)
, f (z) ∈ F,
g(z) =
bg(z) = f (z) − a, f (z) ∈ F,
|a, ∞|2|f (z), f (z0)|,
|f (z) − a, f (z0) − a| (cid:62) 1
2
(n = 1, 2, . . . ),
fn(z) =
f (2nz)
2nν
< |z| < 4.
1
2
|f (z)| (0 < r < +∞).
µ(r, f ) = min
|z|=r
< t < 4, trong đó bao gồm vô số điểm và có một điểm tụ
1
2
t0(
< t0 < 4) , sao cho với mỗi t ∈ s, ta có:
lim
n→+∞
µ(2nt, f )
(2nt)ν = 0.
µ(r, f )
lim
r→+∞
rν = 0,
lim
t→+∞
ω :
< |z| < 4.
1
2
|fmh(z)| =
min
|z|=t
1
2mhν µ(2mht, f ).
|F (z), 0| (cid:54) |F (z), fmh(z)| + |fmh(z), 0|,
|F (z), 0| = 0
min
|z|=t
(n = 1, 2, . . . ),
fn(z) =
< |z| < 4.
f {ϕ(tn)z}
{ϕ(tn)}ν
1
2
|an| (cid:54) M (n = 1, 2, . . . ).
|fn(z), fn(z0)| =|(fn(z) + an) − an, (fn(z0) + an) − an|
|an, ∞|2|fn(z) + an, fn(z0) + an|
1
1 + M 2 |fn(z) + an, fn(z0) + an|,
2.3 Định lý Montel mở rộng
<
1
(cid:96)j
q − 2,
M sao cho σ(aif (z), ajf (z)) ≥ ε với mọi z ∈ D, 1 ≤ i, j ≤ q, i (cid:54)= j và
(z) ≤ M,
(f (k))#(z) ≤ M,
sup
z∈K:f (z)=ajf (z)(cid:54)=∞
sup
z∈K:f (z)=ajf (z)=∞
1) số thực r, 0 < r < 1,
2) các điểm zn, |zn| < r, zn → z0,
3) dãy số thực dương ρn → 0+,
4) các hàm fn ∈ F
sao cho
→ g(ξ)
gn(ξ) =
fn(zn + ρnξ)
ρα
n
hội tụ đều trên các tập con compact của C theo metric cầu, ở đó g(ξ) làm
một hàm phân hình khác hằng thỏa mãn g#(ξ) (cid:54) g#(0) = 1 và có bậc không
lớn hơn 2.
1) số thực r, 0 < r < 1,
2) các điểm zv, |zv| < r, zv → z0,
3) các số thực dương ρv → 0+,
4) các hàm fv ∈ F
sao cho
gv(ξ) = fv(zv + ρvξ) → g(ξ)
g(j)
v → g(j)
→
} ⊂ D, theo giả thiết, tồn tại
1 + |z0|
2
<
1
(cid:96)j
q − 2,
(z) ≤ M,
(f (k)
sup
z∈K:fv(z)=ajfv (z)(cid:54)=∞
sup
z∈K:fv(z)=ajfv (z)=∞
aj(z0) (cid:54)= ∞ thì mọi không điểm của g − aj(z0) có bội ít nhất (cid:96)j.
fv(zv + ρvξv) − ajfv(zv + ρξv) = gv(ξv) − Ajv(ξv) = 0.
|fv(zv + ρvξv)| = |ajfv(zv + ρξv)| ≤ 1 + |aj(z0)|.
≤ M,
|f (k+1)
v
1 + |f (k)
(zv + ρvξv)|
v (zv + ρvξv)|2
|f (cid:48)
1 + |fv(zv + ρvξv)|2 ≤ M.
|f (cid:48)
1 + |fv(zv + ρvξv)|2(cid:17)
≤ M ·(cid:0)1 + (1 + |aj(z0)|)2(cid:1) = M1.
(zv + ρvξv)| ≤ M ·
|f (k+1)
v
1 + |f (k)
≤ M · (cid:0)1 + M 2
k
= ρk
v ·
|g(k)
1 + |g(k−1)
v
|f (k)
1 + ρ2(k−1)
v
(ξv)|2
(zv + ρvξv)|2
|f (k−1)
v
v (zv + ρvξv)|
≤ ρk
≤ ρk
(2.52)
(ξv) → g(k−1)(ξ0) (cid:54)= ∞, ta có
|g(k)
(ξv)|2) = 0.
0 ≤ |g(k)(ξ0)| = lim
v→∞
(ξ) :=
1
Av
1
ajfv(zv + ρvξ)
theo metric Euclid tới 0. Do đó, từ (2.47), với một lập luận tương tự như
1
g
) + o(T (r, g))
N (r,
1
g − aj(z0)
≤
N (r,
) + o(T (r, g))
1
(cid:96)j
1
g − aj(z0)
≤
T (r, g) + o(T (r, g)).
1
(cid:96)j
< q − 2.
1
(cid:96)j
KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo
![Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp chất lai chứa khung tetrahydro-β-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250807/kimphuong1001/135x160/50321754536913.jpg)
