Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về họ chuẩn tắc các hàm phân hình

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết họ chuẩn tắc các hàm phân hình được đưa ra bởi Montel từ những năm đầu của thế kỷ hai mươi: Một họ F các hàm phân hình trên một miền D của mặt phẳng phức được gọi là chuẩn tắc, nếu mỗi dãy trong họ, đều trích được dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một hàm phân hình hay hàm đồng nhất bằng vô cùng. Luận văn sẽ nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về họ chuẩn tắc các hàm phân hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Dương Thị Vân Anh VỀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC HÀM PHÂN HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Dương Thị Vân Anh VỀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC HÀM PHÂN HÌNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học PGS.TSKH. TRẦN VĂN TẤN Thái Nguyên - 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TSKH. Trần Văn Tấn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng, biết ơn và đã được sự nhất trí của thầy hướng dẫn khi đưa vào luận văn. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn Dương Thị Vân Anh Xác nhận Xác nhận của Trưởng (phó) khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học PGS. TSKH. Trần Văn Tấn i
LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TSKH. Trần Văn Tấn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Đồng thời tác giả xin được nói lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo trong khoa Sau đại học và khoa Toán đã quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tốt luận văn của mình. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho bài luận văn này. Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình của mình, những người đã động viên chia sẻ mọi khó khăn cùng tôi trong thời gian qua để tôi có thể hoàn thành tốt bài luận văn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả Dương Thị Vân Anh ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu iv 1 Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình 1 1.1 Khoảng cách cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Dãy các hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Họ các hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Các hàm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna . . . . . . 20 2 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình 22 2.1 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm chỉnh hình 22 2.2 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình 37 2.3 Định lý Montel mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 iii
Mở đầu Lý thuyết họ chuẩn tắc các hàm phân hình được đưa ra bởi Montel từ những năm đầu của thế kỷ hai mươi: một họ F các hàm phân hình trên một miền D của mặt phẳng phức được gọi là chuẩn tắc, nếu mỗi dãy trong họ, đều trích được dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một hàm phân hình hay hàm đồng nhất bằng vô cùng. Trong suốt hơn 100 năm qua nhiều tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc đã được thiết lập bởi đông đảo các nhà toán học. Nhằm hiểu sâu hơn về nội dung của Lý thuyết này, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài “Về họ chuẩn tắc các hàm phân hình”. Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1: Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình. Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu khái niệm họ chuẩn tắc, trình bày một số kiến thức cơ bản của khoảng cách cầu, dãy các hàm phân hình và họ các hàm phân hình. Đồng thời nhắc lại một số hàm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna. Những kiến thức này là nền tảng để nghiên cứu chương sau. Chương 2: Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình. Nội dung chương này là tìm hiểu các kết quả cổ điển của Montel, Miranda, Bloch, Gu về họ chuẩn tắc. Trình bày chi tiết các tiêu chuẩn cho chuẩn tắc các hàm chỉnh hình và các hàm phân hình. Cuối chương chúng tôi tìm hiểu kết quả của Trần Văn Tấn, Nguyễn Văn Thìn và Vũ Văn Trường về sự mở rộng Định lý Montel tới trường hợp đạo hàm cầu bị chặn và các điểm được thay bởi các hàm. iv
Chương 1 Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình 1.1 Khoảng cách cầu Trong hình sau, phương trình của mặt cầu S là: 1 1 x2 + y 2 + (u − ) = . (1.1) 2 4 Xét 1 số phức z = x+iy . Cho p là một điểm của mặt phẳng (Oxy) tương ứng với z , có tọa độ là (x, y). Đường thẳng nối hai điểm N và p giao với S tại một điểm m khác N . Ta gọi m là điểm của S tương ứng với z . Khi đó tọa độ của m là (X, Y, u). Ta có: X = hx, Y = hy , u − 1 = −h. Trong đó h là một số dương. Thay vào (1.1) ta có: 1 1 = . x2 + y + 1 1 + |z|2 2 Và: x y |z|2 X= ,Y = ,Z = . (1.2) 1 + |z|2 1 + |z|2 1 + |z|2 Điểm của S tương ứng với ∞ là điểm N có tọa độ là (0, 0, 1). Định nghĩa 1.1.1. Cho z1 , z2 là hai điểm của mặt phẳng phức mở S b = C ∞ và m1 , m2 là hai điểm của S tương ứng lần lượt là z1 , z2 . rộng C 1
Chiều dài của đoạn thẳng m1 m2 được định nghĩa lần lượt là khoảng cách cầu giữa z1 , z2 và được kí hiệu bởi |z1 , z2 |. Để tìm ra biểu thức của |z1 , z2 |. Chia 3 trường hợp: 1) Cả z1 , z2 đều hữu hạn. Cho zj = xj + iyj (j = 1, 2) và tập kj = 1 + |zj |2 (j = 1, 2). Từ (1.2), ta có: (k1 k2 |z1 , z2 |)2 =(k2 x1 − k1 x2 )2 + (k2 y1 − k1 y2 )2 + (k1 − k2 )2 =k22 k1 + k12 k2 − 2k1 k2 (x1 x2 + y1 y2 + 1), và do đó k1 k2 |z1 , z2 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 − 2(x1 x2 + y1 y2 ). (1.3) Tiếp theo sử dụng các mối quan hệ 2xj = zj + zj , 2iyj = zj − zj (j = 1, 2), ta thấy rằng vế phải của (1.3) bằng |z1 − z2 |2 . Vậy ta có công thức: |z1 − z2 | |z1 , z2 | = 1 1 . (1.4) (1 + |z1 |2 ) 2 (1 + |z2 |2 ) 2 2) Một trong z1 hoặc z2 là hữu hạn và số còn lại là vô hạn. Ví dụ z1 = x1 + iy1 là hữu hạn và z2 = ∞. Khi đó: 2 x21 y12 1 |z1 , z2 | = + + (1 + |z1 |2 )2 (1 + |z1 |2 )2 (1 + |z1 |2 )2 1 = . 1 + |z1 |2 và do đó: 1 |z1 , z2 | = 1 . (1.5) (1 + |z1 |2 ) 2 3) Cả z1 , z2 đều vô hạn. Hiển nhiên |z1 , z2 | = 0. Từ Định nghĩa 1.1.1, bất đẳng thức tam giác: |z1 , z3 | 6 |z1 , z2 | + |z2 , z3 |. (1.6) 2
Cố định cho 3 điểm bất kì zj (j = 1, 2, 3) của C. b Ta có thể xác định được công thức: 1 1 , |. |z1 , z2 | = | (1.7) z1 z2 Cố định cho 2 điểm bất kì zj (j = 1, 2) của C. b Bổ đề 1.1.2. Cho z1 , z2 và a 6= ∞ là ba điểm của C. b Khi đó: 1 |z1 − a, z2 − a| > |a, ∞|2 |z1 , z2 |. 2 Chứng minh. Giả sử zj 6= ∞(j = 1, 2). Từ Bổ đề 1.1.2 ta có công thức: |z1 − z2 | |z1 − a, z2 − a| = 1 1 , (1 + |z1 − a|2 ) 2 (1 + |z2 − a|2 ) 2 và bất đẳng thức: 1 + |ζ1 − ζ2 |2 =1 + |ζ1 |2 + |ζ2 |2 − 2Re(ζ1 ζ2 ) B , ta có: |z1 , z2 | > µ. Chứng minh. Nếu |z1 | 6 A, |z2 | > B, z2 6= ∞, khi đó: |z1 − z2 | |z1 , z2 | = 1 1 (1 + |z1 |2 ) 2 (1 + |z2 |2 ) 2 z1 1−| | z2 > 1 1 1 (1 + |z1 |2 ) 2 (1 + )2 |z2 |2 A 1− > B . 1 1 1 (1 + A2 ) 2 (1 + 2 ) 2 B Điều này cũng đúng khi z2 = ∞. 3
1.2 Dãy các hàm phân hình Định nghĩa 1.2.1. Một dãy các điểm zn (n = 1, 2, · · · ) của C b được gọi là hội tụ đối với khoảng cách cầu, nếu mọi số dương ε tương ứng với một số nguyên dương N sao cho, với n > N , m > N , ta có: |zn , zm | < ε. (1.8) Bổ đề 1.2.2. Nếu một dãy các điểm zn (n = 1, 2, · · · ) của C b hội tụ đối với khoảng cách cầu, khi đó tồn tại một điểm duy nhất Z trong C b sao cho: lim |zn , Z| = 0. (1.9) n→+∞ Z được gọi là giới hạn của dãy zn (n = 1, 2, · · · ) đối với khoảng cách cầu. Chứng minh. Đầu tiên ta thấy rằng tồn tại điểm Z . Nếu lim |zn , ∞| = 0, n→∞ khi đó Z = ∞ là một điểm. Ngoài ra ta có thể tìm được một số dương ε0 và một dãy tăng các số nguyên dương nk (k = 1, 2, · · · ) sao cho |znk , ∞| > ε0 (k = 1, 2, · · · ), tức là znk là hữu hạn và 1 1 1 |znk | < (1 + |znk |2 ) 2 = 6 . |znk , ∞| ε0 Dãy znk (k = 1, 2, · · · ) là bị chặn. Cho Z 6= ∞ là một điểm giới hạn của dãy znk (k = 1, 2, · · · ). Khi đó với số dương η bất kì và số nguyên dương K bất kì, tương ứng một số nguyên dương k sao cho k > K, |znk − Z| < η. Mà: nk > k, |znk , Z| 6 |znk − Z|, Ta có: n0 > K , |zn 0 , Z | < η, (n 0 = nk ). 4
Bây giờ cho một số dương ε, cho N là một số nguyên dương sao cho ε |zn , zm | < , 2 với n > N , m > N , khi đó cho n0 là một số nguyên dương sao cho ε n0 > N, |zn0 , Z| < . 2 Do đó với n > N , ta có: ε ε |zn , Z| 6 |zn , zn0 | + |zn0 , Z| < + = ε. 2 2 Do đó điểm Z thỏa mãn điều kiện (1.9). Từ đó ta có bất đẳng thức sau: |Z, Z 0 | 6 |Z, zn | + |zn , Z 0 |. Định nghĩa 1.2.3. Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm phân hình trong miền D. Cho E một tập con của D. Dãy S được gọi là hội tụ đều trên E đối với khoảng cách cầu, nếu mỗi số dương ε tương ứng với một số nguyên dương N sao cho, khi n > N , m > N , ta có: |fn (z), fm (z)| < ε, (1.10) trong E . Giả sử rằng điều kiện trong Định nghĩa 1.2.3 được thỏa mãn. Khi đó với mỗi điểm z0 của E , dãy fn (z0 )(n = 1, 2, · · · ) là hội tụ đối với khoảng cách cầu, do đó nó có một giới hạn F (z0 ) đối với khoảng cách cầu, do Bổ đề 1.2.2. F (z) là một hàm được xác định trong E . Chúng ta sẽ thấy rằng với mỗi số dương ε tương ứng một số nguyên dương N sao cho, khi n > N , m > N ta có: |fn (z), F (z)| < ε, (1.11) trong E . Cho số dương ε, từ giả thiết, có một số nguyên dương N sao cho, khi n > N , m > N , ta có ε |fn (z), fm (z)| < , 2 5
trong E . Do đó khi n > N , m > N và z ∈ E , ta có: |fn (z), F (z)| 6 |fn (z), fm (z)| + |fm (z), F (z)| ε + |fm (z), F (z)|. < 2 Trong bất đẳng thức này cố định n > N , z ∈ E và cho m → +∞, ta nhận được: ε |fn (z), F (z)| 6 < ε, 2 như khẳng định.Ta nói rằng khi n → +∞, fn (z) hội tụ đều đến F (z) trong E đối với khoảng cách cầu. Bổ đề 1.2.4. Nếu f (z) là một hàm phân hình trong một miền D, khi đó f (z) liên tục trong D đối với khoảng cách cầu. Tức là, cho mỗi điểm z0 của D, ta có: lim |f (z), f (z0 )| = 0. (1.12) z→z0 Chứng minh. Xét một điểm z0 của D và chia hai trường hợp. Nếu f (z0 ) 6= ∞, khi đó có hình tròn c : |z − z0 | < r thuộc D, sao cho f(z) là hàm chỉnh hình trong c. Do đó từ (1.4) ta có: |f (z), f (z0 )| 6 |f (z) − f (z0 )|, (1.13) trong c. Hiển nhiên (1.13) suy ra (1.12). Nếu f (z0 ) = ∞, khi đó áp dụng 1 với hàm . Ta có: f (z) 1 1 lim | , | = 0. z→z0 f (z) f (z0 ) Khi đó ta có đẳng thức sau: 1 1 |f (z), f (z0 )| = | , |. f (z) f (z0 ) Ta lại có (1.12). Định lý 1.2.5. Cho S: fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm phân hình trong hình tròn Γ : |z − z0 | < r. Giả sử dãy S là hội tụ đều trong Γ đối với khoảng cách cầu và cho F (z) là hàm giới hạn của S được xác định trong Γ đối với khoảng cách cầu. Khi đó khẳng định sau là đúng: 6
(1) Nếu F (z0 ) 6= ∞, khi đó ta có thể tìm được một hình tròn Γ0 : |z−z0 | < r0 (0 < r0 6 r) và một số nguyên dương n0 sao cho hàm fn (z)(n > n0 ) và F (z) là chỉnh hình trong Γ0 , khi đó: lim |fn (z) − F (z)| = 0. (1.14) n→+∞ n>n0 đều trong Γ0 . (2) Nếu F (z0 ) = ∞ , khi đó ta có thể tìm một hình tròn Γ0 : |z − z0 | < 1 r0 (0 < r0 6 r) và một số nguyên dương n0 sao cho hàm (n > n0 ) và fn (z) 1 chỉnh hình trong Γ0 và: F (z) 1 1 lim | − | = 0. (1.15) n→+∞ n >n 0 fn (z) F (z) đều trong Γ0 . Chứng minh. Xét trường hợp F (z0 ) 6= ∞. Khi đó d = |f (z0 ), ∞| > 0. Tập: 2 2 A = , B = + 1, d d và cho µ(A, B) là một số dương được xác định trong bổ đề 1.1.3. Tập : d ε0 = min( , µ(A, B)). (1.16) 6 Từ (1.11), ta có thể tìm được số nguyên dương n0 sao cho, khi n > n0 , ta có: |fn (z), F (z)| < ε0 . (1.17) trong hình tròn Γ. Khi đó từ Bổ đề 1.2.4, ta có thể tìm một hình tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 (0 < r0 6 r) sao cho trong Γ0 ta có: d |fn0 (z), fn0 (z0 )| < . 6 7
Do đó với z ∈ Γ0 , ta có: |F (z0 ), ∞| 6|F (z0 ), fn0 (z0 )| + |fn0 (z0 ), fn0 (z)| +|fn0 (z), F (z)| + |F (z), ∞| d 2 Và do đó: 1 |F (z), ∞| = 1 , |F (z)| < A. (1.18) (1 + |F (z)|2 ) 2 Khi đó từ (1.16), (1.17) và (1.18), từ Bổ đề 1.1.3, cho n > n0 và z ∈ Γ0 , ta có: |fn (z)| < B. (1.19) Lại có từ (1.18) và (1.19), với n > n0 và z ∈ Γ0 , ta có: 1 2 2 1 2 2 |fn (z) − F (z)| = 1 + |fn (z)| 1 + |F (z)| |fn (z), F (z)| 1 1 6(1 + B 2 ) 2 (1 + A2 ) 2 |fn (z), F (z)|. Bất đẳng thức này và kết quả (1.11) ta chứng minh được khẳng định 1) trong Định lý 1.2.5 . Xét trường hợp F (z0 ) = ∞. Khi đó lập luận giống như trên cho hàm 1 1 (n = 1, 2, · · · ) và ta chứng minh được khẳng định 2) trong Định fn (z) F (z) lý 1.2.5 là đúng. Định nghĩa 1.2.6. Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm phân hình trong một miền D. Một điểm z0 của D được gọi là C0 - điểm của dãy S nếu có một hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D sao cho dãy S là hội tụ đều trong Γ đối với khoảng cách cầu . Dãy S được gọi là C0 - dãy trong D, nếu mỗi điểm của D là một C0 - điểm của S . Giả sử dãy S là một C0 - dãy trong D. Cho z0 là một điểm của D. Khi đó từ giả thiết, dãy S là hội tụ đều trong hình tròn Γ : |z − z0 | < r đối với khoảng cách cầu. Do đó từ kết quả (1.11) dãy S có hàm giới hạn F (z) được xác định trong Γ đối với khoảng cách cầu và khi n → +∞, fn (z) hội tụ đều đến F (z) trong Γ đối với khoảng cách cầu. 8
Định lý 1.2.7. Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là C0 - dãy của hàm phân hình trong một miền D. Khi đó S có một hàm giới hạn F (z) được xác định trong D đối với khoảng cách cầu, sao cho khi n → +∞, fn (z) hội tụ đều địa phương đến F (z) trong D đối với khoảng cách cầu. Định lý 1.2.8. Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một C0 - dãy các hàm phân hình trong miền D. Khi đó hàm giới hạn F (z) của S đối với khoảng cách cầu là một hàm phân hình trong D hoặc ∞. Chứng minh. Kí hiệu σ là tập của các điểm z 0 của D sao cho F (z 0 ) = ∞. Chia 2 trường hợp: 1) Giả sử σ có một điểm tụ z0 trong D. Từ giả thiết ta có hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D sao cho dãy S hội tụ đều trong Γ đối với khoảng cách cầu. Khi đó F (z0 ) 6= ∞ là vô lý, bởi vì từ Định lý 1.2.5, F (z) là hữu hạn trong một hình tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 . Do đó F (z0 ) = ∞. 1 Từ Định lý 1.2.5, hàm là chỉnh hình trong hình tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 . F (z) 1 1 Khi đó các điểm của tâp σ là các không điểm của , vì vậy hàm F (z) F (z) cũng bằng 0 trong Γ0 và F (z) = ∞ trong Γ0 . Xét điểm z1 (z1 6= z0 ) của D. Nối z0 và z1 bởi một đường đa giác z = p(t) (0 6 t 6 b) nằm trong D sao cho p(0) = z0 , p(b) = z1 . Kí hiệu T là tập các số t0 (0 < t0 < b) sao cho: F {p(t)} = ∞. (1.20) Với 0 6 t 6 t0 . Hiển nhiên tập T 6= ∅. Cho β(0 < β 6 b) là ràng buộc nhỏ nhất của T . Khi đó (1.20) cố định với 0 6 t < β . Điểm z∗ = p(β) là một điểm tụ của tập σ , do đó có một hình tròn Γ∗ : |z − z∗ | < r∗ trong đó F (z) = ∞. Ta có β = b và F (z1 ) = ∞. Vì vậy F (z) là ∞. 2) Giả sử tập σ không có điểm tụ trong D. Xét một điểm z0 của D. Nếu F (z0 ) 6= ∞, khi đó từ Định lý 1.2.5, hàm F (z) là hàm chỉnh hình trong một hình tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 . Nếu F (z0 ) = ∞ khi đó từ Định lý 1.2.5 , 1 hàm là chỉnh hình trong hình tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 . Cho r00 là một số F (z) sao cho 0 < r00 6 r0 và F (z) 6= ∞ với 0 < |z − z0 | < r00 . Khi đó trong hình 1 tròn Γ00 : |z − z0 | < r00 ta có thể viết F (z) = , trong đó hàm G(z) là G(z) 9
chỉnh hình trong Γ00 , G(z0 ) = 0 và G(z) 6= 0 với 0 < |z − z0 | < r00 . Do đó z0 là một cực điểm của F (z). Vậy F (z) là một hàm phân hình trong D. 1.3 Họ các hàm phân hình Định nghĩa 1.3.1. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D. Ta nói họ F là chuẩn tắc trong D, nếu từ mọi dãy hàm fn (z)(n = 1, 2, · · · ) của họ F, ta có thể trích ra một dãy con fnk (z)(k = 1, 2, · · · , nk < nk+1 ) là một C0 -dãy trong D. Định nghĩa 1.3.2. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D và z0 là một điểm của D. Ta nói rằng họ F là chuẩn tắc tại z0 , nếu ta có thể tìm thấy một hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D sao cho họ F là chuẩn tắc trong Γ. Nếu F chuẩn tắc trong D thì F chuẩn tắc tại mỗi điểm của D. Định lý 1.3.3. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D. Nếu họ F chuẩn tắc tại mỗi điểm của D, khi đó F chuẩn tắc trong D. Chứng minh. Đầu tiên ta tìm được một dãy các điểm zj (j = 1, 2, · · · ) của D sao cho mỗi điểm của D là một điểm giới hạn của dãy zj (j = 1, 2, · · · ). Cách để có một chuỗi các điểm đó là có một tập các điểm a + ib (a, b là các số hữu tỷ) của D. Đây là một tập đếm được. Xét một điểm zj . Từ giả thiết có một hình tròn |z − zj | < r thuộc D, trong đó họ F chuẩn tắc. Cho Rj là chặn trên nhỏ nhất của tập các điểm r có Rj tính chất này. Cho Γj là hình tròn |z − zj | < , nếu Rj < +∞ và hình 2 tròn |z − zj | < 1 nếu Rj = +∞. Γj thuộc D và họ F chuẩn tắc trong Γj . Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm của họ F. Từ S ta trích ra được một dãy con S1 : fα1 (z), fα2 (z), · · · đó là một C0 - dãy trong Γ1 . Từ S1 ta có thể trích ra một dãy con S2 : fβ1 (z), fβ2 (z), · · · đó là một C0 - dãy của Γ2 . Từ S2 ta có thể trích ra một dãy con S3 : fγ1 (z), fγ2 (z), · · · đó là một C0 - dãy của Γ3 . Theo cách này ta có một dãy liên tiếp của dãy Sp (p = 1, 2, · · · ) sao cho với mỗi p > 1, Sp là một C0 - dãy trong Γp và Sp+1 là một dãy con của Sp . Xét dãy đường chéo S 0 : fα1 (z), fβ2 (z), fγ3 (z), · · · , fλk (z), · · · 10
S 0 là một dãy con fnk (k = 1, 2, · · · ) của S . Khi đó với mỗi k , các số hạng fnk (z), fnk+1 (z), · · · đều thuộc dãy Sk . Vì thế S 0 là một C0 - dãy trong mỗi hình tròn Γj (j = 1, 2, · · · ). Xét một điểm z 0 của D. Từ giả thiết, có một hình tròn Υ : |z − z 0 | < ρ(0 < ρ < 1) thuộc D, sao cho họ F chuẩn tắc trong Υ. Cho zj sao cho ρ |zj − z 0 | < ρ0 với ρ0 = . Khi đó hình tròn |z − zj | < 2ρ0 thuộc Υ và do 4 đó F chuẩn tắc trong hình tròn |z − zj | < 2ρ0 . Từ định nghĩa của Rj , nếu Rj < +∞, ta có: Rj 2ρ0 6 Rj , ρ0 6, 2 và hình tròn |z − zj | < ρ0 thuộc Γj . Mặt khác, nếu Rj = +∞, khi đó ρ0 < 1, hình tròn |z − zj | < ρ0 cũng thuộc Γj . Nhưng z 0 là một điểm của hình tròn |z − zj | < ρ0 . Do đó z 0 là một C0 - điểm của dãy S 0 . Khi đó z 0 ∈ D tùy ý. Vậy S 0 là một C0 - dãy trong D. Định nghĩa 1.3.4. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D và z0 là một điểm của D. Ta nói rằng họ F là liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu nếu mỗi số dương ε tương ứng một số dương δ , sao cho hình tròn Υ : |z − z0 | < δ thuộc D và với mỗi hàm f (z) của họ F, bất đẳng thức: |f (z), f (z0 )| < ε, cố định trong Υ. Nếu F là liên tục đều tại mỗi điểm của D đối với khoảng cách cầu, ta nói F là liên tục đều trong D đối với khoảng cách cầu. Bổ đề 1.3.5. Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm phân hình trong một miền D và z0 là một điểm của D. Nếu z0 là C0 - điểm của S , khi đó S là liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu. Chứng minh. Giả sử có một hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D sao cho dãy S hội tụ đều trong Γ đối với khoảng cách cầu. Cho một số dương ε, để N là số nguyên dương sao cho khi n > N, m > N , ta có : ε |fn (z), fm (z)| < , 3 11
trong Γ. Tiếp theo cho Γ0 : |z − z0 | < r0 (0 < r0 < r) sao cho: ε |fN (z), fN (z0 )| < , 3 trong Γ0 . Khi đó với n > N, z ∈ Γ0 , ta có: |fn (z), fn (z0 )| 6|fn (z), fN (z)| + |fN (z), fN (z0 )| + |fN (z0 ), fn (z0 )| ε ε ε < + + . 3 3 3 Vì các hàm fn (z)(1 6 n < N ) là hữu hạn, ta có thể tìm một số dương δ < r0 sao cho với 1 6 n < N và |z − z0 | < δ , ta có: |fn (z), fn (z0 )| < ε. (1.21) Do đó với mỗi n > 1, bất đẳng thức (1.21) cố định trong hình tròn |z −z0 | < δ. Định lý 1.3.6. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D. Để họ F là chuẩn tắc trong D, điều kiện cần và đủ là F liên tục đều trong D đối với khoảng cách cầu. Chứng minh. +) Điều kiện cần: Cho z0 là một điểm của D và giả sử F không liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu . Khi đó δn (n = 1, 2, · · · ) là một dãy các số dương sao cho: lim δn = 0, (1.22) n→+∞ với mỗi n, có một hàm fn (z) của F sao cho: sup |fn (z), fn (z0 )| > ε0 , (1.23) Υn trong đó Υn biểu thị hình tròn |z − z0 | < δn . Do F là chuẩn tắc trong D, ta có thể trích ra từ dãy fn (z)(n = 1, 2, · · · ) một dãy con fnk (z)(k = 1, 2, · · · ) là C0 - dãy trong D. Đặc biệt z0 là một C0 - điểm của dãy fnk (k = 1, 2, · · · ). Từ Bổ đề 1.3.5 dãy fnk (k = 1, 2, · · · ) là liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu. Điều này trái với (1.22) và (1.23). Vậy ta có mâu thuẫn. +) Điều kiện đủ: Cho ζp (p = 1, 2, · · · ) là một dãy các điểm của D sao cho mỗi điểm của D là một điểm giới hạn của dãy ζp (p = 1, 2, · · · ). 12
Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy của họ F. Xét dãy các điểm fn (ζ1 )(n = 1, 2, · · · ) của C. b Rõ ràng ta có thể tìm được một dãy con fα (ζ1 )(j = 1, 2, · · · ) của dãy fn (ζ1 )(n = 1, 2, · · · ) và một điểm w1 ∈ C j b sao cho: lim |fαj (ζ1 ), w1 | = 0. j→+∞ Tiếp theo ta có thể tìm một dãy con fβl (ζ2 )(l = 1, 2, · · · ) của dãy fαj (ζ2 )(j = 1, 2, · · · ) và một điểm w2 ∈ C b sao cho: lim |fβl (ζ2 ), w2 | = 0, l→+∞ và v.v.. Cuối cùng trong dãy đường chéo, ta thu được một dãy con fnk (z)(k = 1, 2, · · · ) của dãy S, sao cho với mỗi p > 1 ta có: lim |fnk (ζp ), wp | = 0, (1.24) k→+∞ trong đó wp ∈ C. b Ta thấy dãy Fk (z) = fn (z)(k = 1, 2, · · · ) là một C0 - dãy k trong D. Xét một hình tròn Γ : |z − z0 | 6 r thuộc D, cho một số dương ε tùy ý, có một số nguyên dương K sao cho khi k > K, k 0 > K và z ∈ Γ, ta có: |Fk (z), Fk0 (z)| < ε. Xét một điểm z∗ ∈ Γ. Vì họ F là liên tục đều tại z∗ đối với khoảng cách cầu, có một hình tròn Υz∗ : |z − z∗ | < ρ thuộc D, sao cho mỗi hàm f (z) ∈ F, bất đẳng thức: ε |f (z), f (z∗ )| < , 6 cố định trong Υz∗ . Khi đó xét một điểm ζp ∈ Υz∗ . Từ (1.24), có một số dương Kz∗ sao cho k > Kz∗ , k 0 > Kz∗ , ta có ε |Fk (ζp ), Fk0 (ζp )| < . 6 Khi đó với k > Kz∗ , k 0 > Kz∗ và z ∈ Υz∗ , ta có: |Fk (z), Fk0 (z)| 6|Fk (z), Fk (z∗ )| + |Fk (z∗ ), Fk (ζp )| + |Fk (ζp ), Fk0 (ζp )| 5 +|Fk0 (ζp ), Fk0 (z∗ )| + |Fk0 (z∗ ), Fk0 (z)| < ε < ε. 6 13
Do đó mỗi điểm z∗ ∈ Γ tương ứng một hình tròn Υz∗ và một số nguyên dương Kz∗ . Từ định lý phủ hữu hạn, ta có thể tìm một số hữu hạn các điểm zj (j = 1, 2, · · · , m) của Γ sao cho: m [ Γ⊂ Υzj . j=1 Mặt khác, cho K = max Kzj . 16j 6m Khi đó số nguyên dương K có tính chất cần tìm. Định nghĩa 1.3.7. Cho F là họ các hàm chỉnh hình trong miền D. Ta nói rằng F là bị chặn đều địa phương trong D, nếu cho mỗi điểm z0 của D, ta có thể tìm một hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D và một số dương M sao cho đối với mỗi hàm f (z) ∈ F, bất đẳng thức: |f (z)| 6 M, (1.25) cố định trong Γ. Hệ quả 1.3.8. Cho F là họ các hàm chỉnh hình trong một miền D. Nếu F bị chặn đều địa phương trong D, khi đó F chuẩn tắc trong D. Chứng minh. Xét một điểm z0 của D. Từ giả thiết, ta có thể tìm một hình tròn Γ : |z − z0 | 6 r thuộc D và một số dương M sao cho với mỗi hàm f (z) ∈ F bất đẳng thức (1.25) cố định trong Γ. Xét một hàm f (z) ∈ F, khi đó trong hình tròn Γ : |z − z0 | < r, ta có: 1 f (ζ) Z f (z) = dζ, 2πi ζ − z c trong đó c là hình tròn |z − z0 | = r. Từ công thức này ta suy ra với z ∈ Γ, 1 f (ζ) Z f (z) − f (z0 ) = (z − z0 ) dζ. 2πi (ζ − z)(ζ − z0 ) c 14